автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование пристеночной плазмы

РГ6 од

/ ^Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Дитрих Екатерина Александровна

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ

Специальность 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СО

СП сг>

с* Москва, 1993

С?

Турсве4 Ъу .Дл^Т^Х

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

Дитрих Екатерина Александровна

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ

Специальность 05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1993

Тур<^ Ьу Лм^-ТЪХ

Работа выполнена в Институте физики плазмы им. Макса Планка, Берлин.

Научный руковоцнтель:

доктор физико-математических наук, профессор Стернин Б.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Попов A.M., доктор физико-математических наук, профессор Сигов Ю.С.

Ведущая организация:

Институт ядерного синтеза РНЦ "Курчатовский институт"

Защита состоится

'V....-M4.....

1993 г. на заседании Специализированного совета К.053.05.87 при Московском государственном университете по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы. М ГУ .Факультет вычислительной математики и кибернетики, dtp в 0 в / Т —

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМ и К МГУ. Автореферат разослан "Ю?..ШЪ^Мд 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физико-математических наук х^?

В.М.Говоров

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. В термоядерных реакторых удержание плазмы определяется магнитными полями и условиями на границе плазменного шнура, которые зависят от конструктивных особенностей и материала реактора и могут варьироваться в широком диапазоне. Однако на сегодняшний день проблему построения термоядерного реактора нельзя рассматривать только как инженерную задачу, потому что многие физические процессы, происходящие в такой искусственно созданной плазме, до конца не изучены.

Существенное влияние на удержание плазмы оказывают процессы, происходящие в пристеночном слое, расположенном за последней (сепаратрисной) замкнутой магнитной поверхностью плазменного шнура. Здесь плазма оттекает к стенке, выбивает из нее примесные частицы, нейтрализуется, что, естественно, влияет на горение н срыв плазмы.

Моделированию процессов, происходящих в пристеночной плазме, посвящено большое количество работ. Например, в недавно вышедшей работе1, достаточно полно рассказывается об основных проблемах и достижениях в теории и эксперименте в пристеночной плазме за последнее десятилетие и дан обзор наиболее интересных, ключевых работ в этой области.

Известно2, что в зависимости от типа лимитера или дивертора (приспособлений, ограничивающих диффузионный выборе плазмы на стену), задачи моделирования пристеночной плазмы в токамаках являются двумерными в случае тороидальных лимитеров или диверторов, и трехмерными в стеллараторах или в случае применения рельсовых лимитеров. В то же время хорошо зарекомендовали себя одномерные гидродинамические модели, на которых проще, чем на многомерных, проверяется качественная зависимость параметров плазмы от изменения входных данных задачи: граничных условий, моделей различных источников, коэффициентов и т.д.

Естественно, каждая новая модель требует новых расчетов. Но несмотря на разнообразие перечисленных задач, они едины в одном — все они представляют собой более или менее упрощенные уравнения Брагинского3.

Если в расчетах центральной плазмы, подробно описанных в книге Днестровского н Костомарова4, часто интересно проследить временное развитие распределения параметров плазмы, то в гидродинамических моделях пристеночной плазмы обычно исследуется стационарное решение. Отметим, что поиск этот, как

xStengeby P.C., McCracken G.M. // Nuclear Fusion. 1990. Vol. 30, No. 7. P. 1225.

2Lingertat J., Guenthcr K., Dietrich L. // Plasma Physics and control. Fusion. 1987. Vol. 29. P. 1356.

3Брагинский С.И. Явления переноса плазмы // В кн. Вопросы теории плазмы. Вып. 1. М.: Госатомиэдат. 1963. С. 183.

*Днестравский Ю.И., Костомаров Д.П. // Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1982.

правило, ведется методом временной релаксации — способом довольно надежным, однако не самым быстрым для нахождения стационарного решения.

До последнего времени, особенно в связи с развитием сверхскоростных ЭВМ, затруднений с численным моделированием не было. Но в связи с решением смешанных математических моделей, в которых вычисление параметров нейтралов или примесей на каждой итерации производится с помощью других кодов, скорость сходимости основной модели по методу временной релаксации оказывается не достаточно быстрой.

Поэтому несомненно актуальным является поиск новых, более оптимальных численных методов для решения задач пристеночной плазмы.

Цель работы заключалась в поиске стационарного решения для задач гидродинамики как линеаризуемых краевых двухточечных задач и, исходя из этого, в разработке для этих моделей численного метода, который бы являлся наиболее быстрым и универсальным в применении.

Основные результаты работы:

1. Исследована общая математическая постановка одномерных задач гидродинамики стационарной пристеночной плазмы.

2. Проведена линеаризация этих задач по методу Ньютона-Канторовича, сводящая поиск решения нелинейной краевой задачи к решению вспомогательной линейной краевой задачи.

3. На основе численного метода типа прогонки создана программа (код LINEAR), для которой разработаны принцип выбора сетки, выведения начального приближения, а также нормировки параметров исходной физической модели.

4. Проведена апробация метода численными экспериментами по исследованию зависимости плазмы слоя от увеличения плотности нейтралов вблизи ди-верторных пластин и влияния граничных условий на параметры чистой плазмы с различной столкновительностью.

5. Предложено развитие метода линеаризации и прогонки для решения двумерных краевых задач, а также выведены коэффициенты двумерной прогонки и дана оценка матричных вычислений, проводимых на одной итерации по методу прогонки для разных постановок задач.

Научная новизна. В настоящей работе предлагается новый подход к проблеме поиска стационарного решения задач гидродинамики пристеночной плазмы, который позволяет считать эти задачи сразу как стационарные. Этот подход, как показал эксперимент, значительно эффективнее эволюционного. Он представлен для одномерного случая.

На основе численного метода типа прогонки составлена программа решения линеаризуемых краевых задач. Эта программа показала высокую скорость расчетов, а также универсальность разработанного численного метода при решении различных задач гидродинамики.

Проведено развитие метода на двумерные краевые задачи гидродинамики при-:теночной плазмы, выведен принцип расчета двумерного кода.

Практическая ценность. Как было проверено многочисленными расчетами эдномерных задач, программы, разработанные на основе предложенного метода, обладают большой скоростью счета, значительно превосходящей скорость поиска стационарного решения обычными (эволюционными) методами.

Код LINEAR внедрен в Институте физики плазмы им. Макса Планка в Гар-кинге на CRAY и уже полтора года успешно эксплуатируется для решения различных одномерных задач гидродинамики пристеночной плазмы проектируемого стелларатора Wendelstein 7-Х.

В ближайшем будущем программы, использующие предложенный метод, предполагается включить для экспресс-анализа в экспериментальные исследования на токамаке ASDEX.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, вве-цення, заключения и приложения.

Краткое содержание работы

Первая глава содержит две части. Первая часть посвящена обсуждению уравнений Брагинского и задачам, которые возникают при гидродинамическом моделировании пристеночной плазмы. Во второй части проведен анализ используемых в данной тематике численных методов.

Вторая глава — основная. На примере одномерной модели в ней описан общий принцип поиска стационарного распределения параметров пристеночной плазмы. Временную модель предлагается рассматривать сразу как стационарную двухточечную краевую задачу, которая затем решается методом линеаризации Ньютона-Конторовича, сводящим решение нелинейной задачи к решению вспомогательной линейной задачи. Для решения линейных краевых двухточечных задач разработан численный метод типа прогонки.

Остановимся более подробно на описании метода и основных результатах.

Состояние двухжидкостной пристеночной плазмы в токамаке вдоль магнитной силовой линии можно описать с помощью уравнений гидродинамики относительно плотности п, скорости v и температуры и То заряженных частиц

плазмы е 6 [О, Ь]:

вп д

т+д~е™ = Фп>

д д , т rr,^ в ( ЛЛ л

—тпхпу + + 35 + Т.) = Тв [пъ) + ф„

в /3 в //5 т{У* \ ЯГЛ 0пТ„ (1

л и*35+—;+* Цз*+—) ^ - * «т;=-«-«г+*«•■>

д /з гг\ д (ь _ ягл 0пТ, _

л (гт')+ (<гт< -* «г) ="иг+ **■

Со временем плазма стабилизируется и на краях рассматриваемой облает; (то есть в средней плоскости и на диверторной пластине) устанавливаются еле дующие условия:

при в — О, V = О, дп

л

дт, __

дя ~ дз

- о,

0Т<

при » = Ьу

дv I тп,{Т{

~т>л=епу у—

дТе „

= Свпу1в.

ОЙ

(2

Здесь коэффициенты Брагинского т}, щ, коэффициенты е, е; и ч, а также ис точники Ф„, ФР, Ф^ и Фд0 представляют собой нелинейный функции от искомы; параметров плазмы.

Поскольку требуется найти стационарное решение, то в уравнениях (1) про изводные по времени можно считать равными нулю. Введя затем новые переменные вязкости п и теплопроводности д{ и д$, пропорциональные производным от скорости и температуры, придем к следующей системе обыкновенных диффе

ренциальных уравнений для е Е [О, L]: d

^nv = ФП)

*п{тУ+Т< + Т9) = ^ + Фр>

de £

de

£ ds

de

//5 тп<1/2\ \ dnTe -

/5 \ dnTfl ,

(jnt/Г* - wj = v-^- + Фдв,

(3)

dv ж

ds > V

dTi _ 4i_

de >

dTe

■ de

граничными условиями на краях рассматриваемого отрезка магнитнои силовои линии:

' при е = О,

v = О,

Фп + — = О, 1

qi = О, Чв = О

при я = L,

7Г = C11V

тщТх

(4)

Ях = с» nvl\, _ qe - CgnvTy.

Относительно вектор-функции и = ti(e) = (тг(я), Ti(e), То (в), 7г(а), (л), qe{e), «(«)) полученная стационарная задача (3), (4) в общей математической формулировке представляет собой нелинейную краевую двухточечную задачу следующего вида:

^ = е £ [0,1], F Е R', (5)

с граничными условиями вида

(Н{и)= 0, я = О, Я бЕ'-т, \<3(м) = 0, « = 1, С £ И"1.

Решение ее ищем в виде ряда

оо

«(*) = г»<°>(*) + а £ а € (0,1),

к=О

(6)

и

где согласно методу линеаризации Ньютона-Конторовича, погрешность приближения на каждом итерационном шаге Аи^Це) относительно известного и^ является решением вспомогательной линейной краевой двухточечной задачи

= УР(«(*))Д„(*) + - ) , -€[0,1], (8)

о, у я е не-"*)*1,

I = -С(«(*>), 8 = 1, у я е и."1*1.

(9)

Здесь значение вектора известно из предыдущей итерации.

Решение линейной задачи (8), (9) можно найти прямым численным методом следующим образом. Сопоставим системе уравнений (8) разностный аналог на сетке из I узлов:

- - сад +('(»ад - ^) ■ (">>

где » = 0,...,/— 1, и^ = «(*")(«»•). Для системы уравнений (9) в крайних узлах

имеем

УЯ(«<Л))д4*> = -Я(4*>), (11)

|)Д4<!) = (12)

Тогда значения погрешности приближения для следующей итерации в

каждом узле можно рассчитать по формуле

Ди^дл^-кг,-. (13) Коэффициенты прогонки при » = 0,... / — 1 вычисляются рекуррентно: = (Е + Д,,УЯ+1/2)Р< €

= (Е + д^УЯ+г/^д,- + д* (я+г/2 - ^д""1) е я', (14)

для начальных коэффициентов

Р0 = (6 Я1хт „ ( -УЯ-1 ^ 6

\де мниор VH невырожден относительно компонент Айд^ 6 Ri-m вектора Ли^К Экончательно, при подстановке значения

который затем подставим в формулу (13).

Условием останова итерационного процесса (7), (13), (14) можно считать уменьшение до нужной точности суммарной квадратичной невязки

На основе разработанного численного метода линеаризации и прогонки составлена программа для решения на ЭВМ задач гидродинамики пристеночной плазмы (код LINEAR).

Третья глава описывает некоторые вычислительные эксперименты, целью которых является проверка работоспособности предложенного численного метода.

Первый пример — расчет плазмы для параметров токомака ASDEX и сравнение их с результатами, полученными другими авторами. Здесь приведены графики зависимости параметров плазмы от увеличения плотности нейтралов вблизи диверторных пластин. С помощью проведенного численного эксперимента была также проверена чувствительность метода линеаризации к сильному изменению градиентов решения.

Во втором эксперименте изучалось влияние граничных условий на чистую плазму для различных параметров столкновительности. Проведенный эксперимент показал также универсальность метода относительно изменения условий задачи.

В третьем случае исследуется принципиальная возможность использования одномерного гидродинамического моделирования в магнитной конфигурации стелларатора. Функции источников из центральной плазмы в этих расчетах не являются постоянными, в отличие от задач для токамаков.

Четвертая глава диссертации посвяшена развитию предложенного численного метода на двумерные краевые задачи. Аналогично одномерному случаю, здесь выведены коэффициенты двумерной прогонки, дана оценка объема вычислений на одной итерации.

В Приложении приводится один из вариантов кода LINEAR на яз* е FGETRAN/77 и его описание.

Апробация работы

О проделанной работе докладывалось на научных семинарах сотруднико: Центрального института электронной физики АН ГДР (Берлин, ГДР, 1989), на учных семинарах института физики плазмы им. Макса Планка и его Берлинско го отделения (Гархинг, Берлин, ФРГ, 1990 - 1992), на международном семинар "Теория плазменных процессов в токамаке-реакторе" (Варшава, 1990), на Тре тьем международном семинаре "Plazma Edge Theory in Fusion Devices"" (Baj Хоннеф, ФРГ, 1992), на Пятом научном семинаре по стелларатору Wendelstei] 7-Х (Рингберг, ФРГ, 1992).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в следующих работах

1. Дитрих Е.А. Эффективный метод решения одномерной гидроцинамиче ской модели пристеночной плазмы в токамаке. Материалы семинара 'Теори плазменных процессов в токамаке-реакторе", Варшава, 1990. С. 136 - 149.

2. Sünder D.t Dicirick Е., Gory S. One-dimensional SOL modele for Wendelstei 7-X. Proceeding of the 5th Workshop on Wendelstein 7-X, Ringderg-Bavaria, 1992 IPP 2/317. P. 23.

3. Dietrich E. High-speed 1-D fluid code for the scrape-off layer. Contrib. Plasm Phye. Vol. 32 (1992), 3/4. P. 480 - 484.