автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование поведения системы двух жидкостей под воздействием различных возмущающих факторов

_ На правах рукописи

1 о МАР 1997

Корольков Анатолий Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ ГОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ РАЗЛИЧНЫХ ВОЗМУЩАЮЩИХ ФАКТОРОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и механики Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана.

Официальные оппоненты:

д.ф-м.н. Вабщевич П. Н. д.ф-м.н., проф. Мартинсон Л.К. д.т.н. Сапожников В.В.

Ведущая организация: Институт прикладной математики им.М. В.Келдыша

Защта состоится " Ь " 1997 г. ъ_Цчас. на ва-

седании Ученого Совета Л 053.15.12 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э.Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Автореферат разослан "//" ЦТ^хАг^Л 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета •д.ф-м.н., профессор

И.К.Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Одним из важнейших направлений развития современной гидродинамики является исследование движения и теплообмена системы цвух несмешиваюидася несжимаемых жидкостей, в частности, поведение жидкости в частично заполненном сосуде (поведение системы вдкость-газ). Движение жидкости может Оыть вызвано различными факторами (силами плавучести, капиллярными, термокапиллярными зилами), обладать различной интенсивностью, сопровождаться искривлением поверхности раздела сред, всплесками, образованием капель и пузырей, ударами о стенки емкости.

Ведущую роль в решении этой проблемы занимает вычислительный эксперимент. Хорошо разработан математический аппарат, включающий аналитические' методы анализа гидродинамической' устойчивости, численно-аналитические методы расчета формы поверхности раздела и параметров малых линейных колебаний поверхности эколо своего равновесного положения, численные методы расчета значительных искажений формы поверхности, нелинейных колебаний поверхности, разделения и слияния объемов жидкости и т.п. Однако, каждый метод ориентирован на определенный класс задач, и ни □дин из существующих методов не обладает достаточной универсальностью, чтобы проводить расчеты, не имея заранее сведений о характере и особенностях течения.

Целью настоящей работы является разработка математической модели и алгоритма расчета поведения системы двух несмешиваю-щихся несжимаемых жидкостей под воздействием различных возмуща-ощих факторов (сил плавучести, капиллярных и термокапиллярных сил) для численного решения широкого круга задач, в которых заранее неизвестны особенности и характер движения (процессы формообразования, линейные и нелинейные колебания поверхности, произвольные перемещения жидкостей, отделения и слияния объемов жидкости и т.п.)

. Необходимость решения подобных'задач, связанных с реализацией. и использованием космических полетов на околоземной орбите, делает настоящую работу актуальной. На борту космического аппарата (КА) имеются емкости, частично или полностью заполнейг ные жидкостью. Это баки с жидким топливом, резервуары с водой в системе жизнеобеспечения, кюветы с растворами или смесями для

реализации технологических процессов, отсеки внутреннего пространства КА, заполненные воздухом. Состояние, близкое к невесомости, существующее на борту КА во время космического полета, характеризуется эволюционным изменением вектора остаточных ускорений по величине и направлению. Особенности поведения жидкости в таких условиях важно учитывать при определении влияния значительных объемов движущейся жидкости на характер полета КА, при разработке и эксплуатации заборных устройств, при планировании и реализации технологических процессов на борту КА, при разработке технологий утилизации остатков топлива.

Для решения этих задач целесообразно использовать сквозной метод счета, поскольку не всегда можно заранее предугадать характер движения жидкости (плескания, образование больших капель, больших пузырей, удары о стенки емкости). Существующие методы сквозного счета имеют два основных недостатка:

- расширение области контакта в процессе счета,

- возникновение паразитных течений в области контакта. Последний проявляет себя при замедлении основного движения (например, в задаче о колебании поверхности жидкости при постоянном векторе ускорения).

Разработанный в настоящей работе метод основан на механическом представлении о поверхности контакта, как о тонкой плен ке, движущаяся вместе с жидкостью. Система двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей заменяется единой гипотетической жидкостью с переменными (зависящими от координаты) свойствами. Алгоритм сквозного счета обеспечивает подавление паразитных возмущений в области контакта и постоянство толщины области контакта. При уменьшении параметра осреднения обеспечивается сходимость решения к решению сопряженной задачи.

Прототипами разработанного метода могут служить методики решения сопряженных задач (Лыков A.B., Купцова B.C. и др.), методика использования сквозного счета в системе жидкость-твердое тело при .расчете процессов кристаллизации (Вабищевич H.H. и др.), метод "крупных частиц" для решении задач о движении двухслойных систем (Белоцерковский О.М., .Давыдов Ю.М. и др.), метод сквозного счета для задач определения квазиравновесной формы " поверхности раздела сред в высокочастотном вибрационном поле (Любимова Т.П. и др.), УОГ-метод описания положения по-

tepxirocTH жидкости (Los Alamos Scientific laboratory Report ,A-8355, 1980).

Практическая ценность. Получена теоретическая основа для юнструирования алгоритмов сквозного счета для решения задач, формулированных в сопряженной постановке. Разработанные мате-атическая модель и алгоритм расчета применимы к решению широ-:ого круга задач о движении и теплообмене двухжидкостных систем систем жидкость-газ) под воздействием нескольких факторов од-овременно (массовых сил плавучести, капиллярных сил, термока-иллярных сил). Основные ограничения применимости метода связа-. ы с возможностями используемой вычислительной техники. Ограни-ения на возможные перемещения жидкости не накладываются. Это ажно при решении задач, в которых характер поведения поверх-ости контакта не известен заранее. Применение разработанного ычислительного алгоритма позволило получить ряд обобщений, ка-ающихся количественных характеристик процессов тепло-массопе-еноса в жидкости и системе жидкость-газ в условиях, близких к евесомости. Разработанный вычислительный алгоритм позволяет ешать ряд других важных задач, таких как задачу о поведении ел с полостями, заполненными жидкостью, задачу о поведении идкого топлива в топливном баке. Разработанный вычислительный лгоритм и результаты, полученные с е_го использованием, предс-авляют научную новизну.

Достоверность основных результатов работы основывается на еоретическом обосновании принятой математической модели и ал-оритма расчета, достоверность результатов расчета - на тести-овании программ, сравнении результатов расчетов с результатами кспериментальных исследований и с расчетными результатами, поученными с использованием других алгоритмов, основанных на ругих математических моделях.

Основные результаты были опубликованы в 51 печатной рабо-е, доложены и обсуждены на следующих конференциях и семинарах: жегодных НТК МДТИ (МГУЛ) 1982-1996 г.; 6 Всесоюзной школе по исленным методам в механике жидкости, Томск, 1980; 2 Всесоюз-эм семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, ермь, 1981; 9 школе по численным Методам механики вязкой жид; ости, 'Ленинград, 1982; конференции молодых ученых ИТПМ, Ново-ибирск, 1983; 3 Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепло-

массообмену в невесомости, Черноголовка, 1984; межвузовском семинаре "Теплофизика", Москва, 1984; научных семинарах ИШ, рук. Л.И.Чудов, В.И.Полежаев, Москва, 1985, 1995 и 1996; научном семинаре ИВТАН, рук. Б.М.Берковский, Москва, 1985; 15 Гагаринских чтениях, Москва. 1985; Всесоюзной школе-семинаре "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 9-15 июня, 1986; Четвертом Всесоюзном семинаре по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, Новосибирск, 1987; Минском Международном Форуме (Теплообмен - MMI-), Минск ,1988; 1-м Симпозиуме по исследованиям в условиях микрогравитации, ИКИ/AIAA, май 13-17, 1991, Москва; The Second Russian-China symposium on austronau-tlcal scince and technique, Samara, Russian, June, 30 - July, 4, 1992; International workshop on short-term experiments under strongly reduced gravity conditions, Bremen, Germany, 1994, 4-7 July; International Aerospace Congress (IAC'94), August 15-19, 1994 г., Moscow; Non-gravitational mechanism of convection and heat/mass transfer, International Workshop, September 15-17, 1994, Zvenigorod, Russia; Первой Российской национальной конференции по теплообмену, Красногорск, 21-25 ноября 1994; международной конференции "Гидромеханика, гидромашины, гидропривод и гидропневмоавтоматика", секция "Механика жидкости", 28 ноября -3 декабря 1994 г. Москва, МГТУ, 1994; совместном научном семинаре кафедр прикладной математики и теплотехники МГУЛ, 7 апреля 1994 г.; Ninth European Symposium Gravity dependent phenomena in phisical sciences, Berlin, Germany, 2-5 May 1995; семинаре в ИПМ им. М.В.Келдыша, рук. Ю.П.Попов, 26 июня 1995 г.; Second European Symposium Fluids in Space, Naples, Italy, 22-26 April 1996; Drop Tower Days 1996 in Bremen, July 8-11, 1996.

1. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы'.

Первая глава посвящена обзору публикаций, посвященных изучению поведения жидкости, или системы жидкостей под воздействием различных возмущающих факторов. К настоящему времени сформировался ряд направлений в.этой области, к которым можно отнести исследования конвективных течений в жидкости, механизмов воэ-

никновения конвективных течений и их устойчивости, поведения жидкостей со свободными поверхностями, двухжидкостных систем, двухфазных течений. В связи с развитием космонавтики интерес представляют исследования поведения тел с полостями, заполненными жидкостями, а также изучение состояния, близкого к невесомости, на борту КА. В конце главы рассмотрены существующие сквозные методы расчета поведения двухжидкостных систем.

Во второй главе приведена постановка задачи, дана ее математическая формулировка как сопряженной задачи с подвижной (перемещающейся вместе с жидкостями) границей между контактирующими средами. Рассматривается замкнутая область, заполненная двумя несмешивающимися несжимаемыми жидкостями (первая жидкость галее плотная). Со стороны стенок емкости к системе жидкостей южет подводиться тепло,, движение жидкостей обусловлено силами 1лавучести и поверхностными силами: Изучается движение и тепло-убмен этой системы жидкостей.

Полная сопряженная постановка задачи при заданных началь-!ых условиях и известных условиях на стенке емкости включает в :ебя систему уравнений (для каждой из контактирующих областей, .-1.2)

¡V 1

- + (У-У)У = В---Ур +. , (1) С11У00 - 0, (2)

К- р 1

1т _ ■ ар

- + У-ггас}(Т) = ае!-У2Т , (3) — + У-?гас1(Р) - 0. (4) 11 91

словия сопряжения на границе раздела сред (СП означает скачок еличины Г при переходе через границу контакта от первой жид-ости ко второй) г ЭТ-т

ТЬО, к— =0, (5) ПП - О. [рп]=-б-(Са+4ь)-П - ртас1(б). (6)

1 оп->

десь использованы общепринятые обозначения У(1,г) - вектор корости, Т(Ь,г) - температура, е --ускорение, р - плотность, V коэффициент кинематической вязкости, ае - коэффициент темлера-уройроводности, X - коэффициент теплопроводности, п - нормаль поверхности контакта (внешняя по отношению к первой жидкос-и), б- - коэффициент поверхностного натяжения (определен лишь а поверхности контакта), Са и Сь - главные кривизны поверхнос-

ти контакта, вектор Рп=Рп, где Р - тензор напряжений. Функция заполнения Г(1,г) задает положение жидкостей (Р>0 - первая жидкость, Г<0 - вторая жидкость, Р=0 соответствует поверхности раздела сред).

Делается допущение, что сопряженная задача имеет единственное решение, устойчивое относительно входных данных. Решение задачи (1)-(6) с фиксированными начальными и граничными условиями названо эталонным решением.

Для применения метода сквозного счета необходимо принять меры для обеспечения корректности операций дифференцирования. С этой целью введен определяемый параметр С (функция заполнения), зависящий от некоторой заданной константы е. Величина С(е,г) в заданной точке соответствует объемной доли одной из жидкостей (условно - первой) в шаровой окрестности этой точки радиуса е.

Задача с осредненными параметрами формулируется следующим образом: в области находятся две несмешивающиеся несжимаемые жидкости, положение жидкостей задается распределением параметра С (с фиксированным значением е); значение С=1 указывает на то, что в данной точке - первая жидкость, значение С=0 - вторая (или газ), другие значения 1>С>0 указывают на то, что точка принадлежит области плавного перехода от одной жидкости к другой (области контакта). Область, занятую только 1-ой жидкостью, обозначим 1' (1=1,2), область контакта - 0'. Плотность жидкости в области контакта зависит от С

р(С) = ргС + р2-(1 - С). (7)

Полагаем, что остальные физические свойства жидкости в области контакта являются монотонными дифференцируемыми на 10,11 функциями от С: ЩС), V (С) =ц (С) /р (С), £,(С), Л(С), 9 (С), аь(С)«Х(С)/£,(С) (ц - коэффициент динамической вязкости, £ ; объемная теплоемкость, В - коэффициент температурного расширения), причем Г(1)=й, Г (0) = 4 а, где ( это р, V, ^, е,, х, в, * (здесь и далее аргумент С не пишем для краткости).

В области контакта сохраняется свойство несжимаемости, иоятому в силу (7) имеем

ЭС

— + V и гас) (С) = 0 (»1

сН

Уравнение (8) выполняется тождественно в областях 1' и 2', поскольку в них С'СопбЬ. Уравнение (8) накладывает существенные ограничения на возможные движения жидкости в области контакта. В самом деле, оно означает, что величина-функции О не меняется вдоль траектории, следовательно, при сохранении в процессе счета смысла функции С как объемной доли первой жидкости, движение в области контакта возможно лишь вдоль поверхности постоянства С (согласованное движение).

Параметр е в задаче с осредненными параметрами характеризует толщину области контакта при формировании начального положения жидкостей. Однако, в силу уравнения (8) толщина области контакта не меняется во времени, следовательно параметр е характеризует толщину области контакта для решения в целом.

Можно записать единое уравнение переноса импульса и единое уравнение переноса энергии для всей области с учетом переменности физических и теплофизическмх свойств в виде 9V 1 „ 2

— + (У-У) У = а - - Ур + V-У2У + - 7ц Б' + (р(У) (0) 91 р р

ат „ 1

— + У-УТ - зе У2Т + - УХ УТ (10) 31 е,

где Э* - тензор скоростей деформации, - ч>(У) - некоторый ограниченный по е распределенный в О' источник импульса, который введен с целью обеспечения согласованного движения в области контакта. В силу ограниченности <р(У) суммарный источник, добавленный в модель, может быть сделан сколь угодно малым уменьшением ширины области контакта (уменьшением параметра е), а - непрерывная вектор-функция ускорений, вызванных объемными силами различной природы - силами плавучести, объемными силами, имитирующими действие поверхностных капиллярных (В) и термокапиллярных (М) сил, а=в+»Н-В,

В = -б-(Са+4ь)-егас1(С)/р,

М - -б-Зз-(егасНТ) - п-(ггас1(Т)-п))-|ега<1(С)|/р. (и)

Вектор В нормален к изоповерхности С, вектор И лежит в касаг-тельной плоскости к изоповерхности С.

Далее в работе показано, что при условии устойчивости сопряженной задачи при любом ф(У), ограниченном по е, для сходимости решения задачи с осредненными параметрами к эталонному решению достаточно, чтобы все частные производные компонент скорости были ограничены по е. При согласованном движении (8) ограниченность по е частных производных компонент скорости эквивалентна ограниченности по е компонент тензора скоростей деформации.

Для описания поведения жидкостей в области контакта используется представление об области контакта, как об эластичной пленке толщины 2-е. Единое уравнение переноса импульса для всей расчетной области записано в Следующем виде:

р" ГЭУ \ 1 2

— — + (У-У)У - а---Ур + V-V V + -Уц-Б'.

о > а о

Р_ Р

/ Р1 - в области 1', Здесь р = < рг - в области 2', ^ рт - в области 0',

рт - осредненная по толщине области контакта плотность Ь л -1 \-1

(12)

Рт =

1

2-1)

1

-С12

1

•1л(р1/р2)

(13)

Р1~Р2

Использование осредненной плотности вместо локальной при инерционном члене позволяет подавить разность относительных ускорений слоев области контакта, вызванных силами плавучести. Значение рт подобрано таким образом, чтобы интеграл по толщине области контакта члена, отвечающего за силы плавучести, после замены р на рт не изменился. Легко убедиться в том,' что уравнение (12) для 0' получается из (9) при подстановке ограниченного по в источникового члена

ФПГ)

(Р-Рт) (ЗУ

(О* \

- * (»-V)» .

1ЭЬ I

(14)

При численной реализации системы (8)-(10) уравнение переноса импульса (9) при условии (14) может бить решено традиционными методами конечных разностей. Основную сложность представляет решение уравнения (8) для функции заполнения С. Необходимо удовлетворить требование сохранения (не увеличения) толщины об-

ласти контакта за счет схемной диффузии. С этой целью используется специальная схема решения уравнения (8), основанная на методе "жидкость в ячейке". Для каждой ячейки расчетной области в текущий момент времени записывается баланс объема первой жидкости на основе текущего состояния поля скоростей. При этом используется допущение о том, что жидкость в ячейке не распределена равномерно, а занимает определенное положение по отношению к текущему состоянию системы. Можно считать что первая жидкость в ячейке смещается в сторону градиента функции С. При расчете перетока смеси из одной ячейки в другую учитывается, что в первую очередь перетекает примыкающая к границе жидкость. Для двумерного случая описание алгоритма приведено в третьей главе.

Формально перенос, тепла ,в двухжидкостной системе может быть рассчитан из уравнения (10). Одной из важнейших характеристик взаимодействия контактирующих'сред является теплообмен между контактирующими жидкостями. Теплообмен между жидкостями определяет структуру полей температур около границы контакта, тем самым определяя характер и интенсивность как термокапиллярного движения, так и конвективного движения в каждой из жидкостей под действием сил плавучести. Однако при численном решении уравнения (10) методом конечных разностей в области контакта проявляется большая схемная диффузия, .которая может существенно повлиять на теплообмен между жидкостями. Эта схемная диффузия не может быть "подавлена" выбором конечно-разностной схемы, поскольку причина ее появления связана с "осреднением" температуры по объему ячейки области контакта, содержащей как первую, так и вторую жидкость. Поэтому было решено для расчета переноса тепла отказаться от использования единого уравнения (10) и вернуться к сопряженной формулировке задачи, но теперь уже -для дискретного аналога расчетной области, рассматривая отдельно теплоперенос в каждой из жидкостей и рассчитывая тепловое взаимодействие жидкостей как задачу о тепловом контакте разнородных жидкостей в ячейке. Для того, чтобы в ячейках расчетной сетки, относящихся к области контакта, иметь информацию о температуре каждой жидкости в отдельности для характеристики системы в целом используются два поля температур - для первой и второй жидг кости. Конвективный перенос тепла определяется при решении уравнения (8) в алгоритме "жидкость в ячейке" за счет учета ко-

личества теплоты, перетекшего вместе с жидкостью из соседних ячеек. Диффузионный перенос тепла в каждой из жидкостей в отдельности определяется методом "жидкость в ячейке" при условии отсутствия перетоков жидкости из ячейки в ячейку, причем, при решен»м задачи распада температурного разрыва для неподвижных сред учитывается текущий объем жидкости данного вида в ячейке-источнике и ячейке-приемнике. Если в ячейке-приемнике отсутствует жидкость данного вида, то и диффузионный переток тепла отсутствует. Таким образом осуществляется решение уравнения переноса энергии в каждой из контактирующих областей при условии теплоизоляции границы контакта. Эта процедура соответствует первому шагу алгоритма сопряжения по температуре. На втором шаге осуществляется расчет теплового взаимодействия контактирующих сред непосредственно, используя решение задачи распада температурного разрыва между жидкостями различного вида в ячейках, относящихся к области контакта. При этом учитывается как суммарная площадь контакта, так и время контакта.

Третья глава посвящена описанию математической модели и алгоритма сквозного расчета двумерного движения двух несмешива-ющихся несжимаемых жидкостей в области прямоугольной формы. Для определенности считаем, что рг>рг. более легкую жидкость будем называть газом. В начальный момент времени 1=0 известно распределение С (т.е. задано положение жидкостей) в расчетной области, жидкости неподвижны, и задано распределение температур. На стенках емкости используются условие непротекания, условие проскальзывания (или прилипания) и условие изотермичности стенок.

При переходе к безразмерным параметрам в качестве масштабов длины, времени и давления использованы соотношения (?, Кг/*1 и ае^'р^/И2, соответственно, безразмерная температура определяется по формуле Т - (Т - ТпигОЛТтах - Тт,п). где Т - размерная температура, безразмерными определяющими параметрами задачи являются числа Галилея (ба - в-^/Уа2), Грасгофа № (»1 •ДТ'В'!?3/^!2) и Прандтля (Рг - VI/*!).. Функции параметра С р(С), ц(С), v(C), гДС)., МО), в (С), ае(С) отнесены к соответствующим значениям первой жидкости

Г- ПС)/^.

(15)

Компоненты векторов В и М - безразмерные образы В и И.

В = E-t-grad(C)/p, . (16)

где

6-R

Е - -(17)

Р1-Я1

а с - кривизна изолинии С, проходящей через данную точку области контакта. Положительное значение £, соответствует обходу первой жидкости против часовой стрелки.

В соответствии с (И) в безразмерном виде

Ма-Рг , .

М »---(grad T)-m -tn. .(18)

p-h v '<

Здесь m - единичный касательный к изолинии С вектор (вектора я ни ■ - grad(C)/|grad(C)| образуют правую систему координат: против часовой стрелки поворот от m к п). Скалярное произведение grad(Т)-и является производной температуры вдоль границы контакта, а внешний множитель вектор ш задает направление действия "термокапиллярной" силы, h - толщина области контакта h = 1/|grad(C)|. Далее для краткости подчеркивание, означающее беэ-размерность параметра, опускаем.

При численном решении уравнения переноса импульса (12) для двумерного случая естественно использовать параметры Y.W (функция тока и функция интенсивности вихря). После выполнения операции перекрестного дифференцирования и подстановки В и М получаем

aw / aw aw. ,ь „ , ат • эг ..

— + {и — + V —} = {--Рг2-—6гх---Gry } + '

at ^ Эх Эу> V ^ Эу Вх ))

Pr2 ; P2W ЭС эс х

Pm ^ Piy v Эу Эх '

рг (а / aw. а / aw.. i / ас а^ эс эс >

+ •—( — p-v— +■ —|p-v— + -(-------

рт ^ дх^ Эх' Эу1' ду)> рт Эх Эу Эу Эх '

Ма-Рг г8Х ЭС ат ЭС. /Э2С а2с. Pm-|gradC| ^х Эу эу'эх^'эу2 Эх2'

Число Грасгофа 6г = (За-р-ДТ появилось в результате использования приближения Буссинеска при описании температурной зависимости плотности жидкостей. Были использованы допущения о том, что толщина области контакта остается неизменной, и что каждый элемент области контакта ведет себя как элемент твердого тела. Последний член упрощен с использованием предположения, что производная температуры вдоль поверхности меняется слабо по сравнению со значением самой производной. Фигурными скобками показаны члены, отбрасываемые в области контакта. V/ - функция интенсивности вихря связана с функцией тока уравнением Пуассона, составляющие скорости выражаются через функцию тока

Э2ф Э2ф 34 Эф

—^ + — = V? ; (20) и - — , v = - — . (21)

Эх* 6ус Эу Эх

Для численной реализации разработанной математической модели применяется двухпроходная расчетная схема. При первом проходе осуществляется шаг по времени а-сИ, где а -параметр схемы (в расчетах «=0.5), решается уравнение (19), определяется новое положение области контакта. При втором проходе осуществляется шаг по времени , источниковые члены вычисляются по положению области контакта ив первого прохода. Применение двухпроходной схемы расчета позволяет уменьшить интенсивность автоколебаний, возникающих в области контакта при уменьшении интенсивности основного движения.

Далее в работе представлена конечно-разностная аппроксимация уравнений, начальных и граничных условий, описаны расчетные алгоритмы. Ключевым является алгоритм расчета методом "алдкость в ячейках" изменения распределения функции заполнения С во времени. Каждому узлу (1,3) сопоставляется прямоугольная ячейка размером Дх-Ду с центром в точке (1,а). Обмен жидкостями между ячейками происходит с учетом взаимного их расположения: более тяжелая жидкость смещается в направлении градиента С. Это учтено в соотношении

т - «• Сц ■ соз26 + 0.125- Г (1~Сц) | (1-Си)) • (|ззГ|в| +б1п0)2 0.250-[Си-0.5-[|Си-»»НСи-«3]-(|51П8|-Б1п8)2 ,

где V» = и-сИ /Лх , 8 - угол между направлением градиента функции С и направлением против оси координат, параллельной границе между ячейками. Это соотношение определяет количертво перетекшей первой жидкости т за время Л через участок границы длиной Дх из ячейки источника в ячейку приемник при скорости перетока и и относительном объеме первой жидкости в ячейке-источнике Си. Причем скорости перетока на границе контакта ячеек определяются как полусумма соответствующих компонент в узлах контактирующих ячеек.

В конце главы 3 сделаны замечания об ограничениях и области применимости описанного алгоритма. Здесь следует отметить, что объем области контакта должен быть много меньше объемов контактирующих сред или их частей. Алгоритм работает неверно, если существенны процессы с масштабом по пространству, меньшем размера ячейки конечно-разностного разбиения. Так равновесная форма поверхности жидкости, имеющей кривизну, претерпевает искажение, если радиус кривизны порядка размера ячейки. Термокапиллярные эффекты на искривленных поверхностях очень чувствительны к грубости пространственной сетки, поскольку при любом конечном значении пространственного шага "поверхность" (область контакта) имеет толщину, примерно равную этому шагу, и в уравнении движения для области контакта остается существенным вклад инерционного члена. Если в расчете включены одновременно несколько факторов, то время развития процесса, а значит и шаг по времени, будет определяться наиболее быстрым из иих. Приближение Буссинеска, используемое при решении задач тепловой гравитационной конвекции в жидкости и газе, имеет смысл лишь при Ба-Рг > 1 и 6а >> 6г. Важнейшим критерием корректности работы алгоритма является постоянство толщины области контакта. Необходим визуальный контроль за состоянием области контакта. Изменение толщины области контакта, как правило, сопровождается резким увеличением интенсивности автоколебаний и "авостом". Всякий раз удавалось выбором параметров счета (чаще всего уменьшением размеров расчетной сетки, реже уменьшением шага по времени) добиться нормального развития процесса. При проведении вычислительного эксперимента определяющие параметры задачи л условиях, описанных в последующих главах, варьировались в еле-

дующих диапазонах: 0<0а<107; 0<6г<106; О.ОШ'гЧЗОО; 0<Ма<105; ООХЮ7; 1<р2/р1<0.001; 0^2/^1*10; »¿/щ^; = 1 или 0.

При использовании сетки 51x51 на ПК 486/0X2-66 один шал- по списанному алгоритму осуществляется за время от 5 до 30 сек. Оптимизация по времени счета специально не проводилась.

В четвертой главе представлены результаты тестовых и контрольных расчетов. Работа выполнялась в четыре этапа: проверка на отсутствие ошибок в программе, корректность работы всей программы и отдельных ее блоков, получение качественно правдоподобных результатов на сложных течениях с подвижной границей раздела сред, сравнение с результатами, полученными другими методами (вычислительный и лабораторный эксперимент).

Проверка корректности работы алгоритмов расчета процессов переноса в области контакта основывалась на сравнении результатов, полученных в однородной среде (контрольный вариант), с результатами, полученными на двухжидкостной системе с совпадающими параметрами жидкости (контролируемый вариант). Отличия полей и интегральных характеристик в контрольном и контролируемом вариантах являются следствием возмущающего действия алгоритмов расчета, реализованных в области контакта.

Далее приводятся несколько примеров расчетов сложных течений с подвижной границей раздела сред и сравнений с результатами, полученными другими методами (на картинках указано безразмерное время).

Рис.1. Колебание поверхности жидкости при постоянном векторе ускорения (а), поля функции тока (б). Начальное положение задано функцией "косинус", сетка 31x31.

а) 0.000086 0.000847 0.002361

(Ц N...........

колебания поверхности жидкости при постоянном вскоре ускорения (Ва^Ю®, Рг=Г, И=Ю) вызваны начальным отклонением но-

верхности от равновесного положения (Рис.1). Колебания малой амплитуды близки к линейным. После завершения полного периода колебаний поверхность раздела сред занимает практически начальное положение. Полный период колебания жидкости, полученный в расчете (размер емкости 1 м, заполнена наполовину водой) в земных условиях составляет 0.08 сек, отличается от периода, полученного из решения задачи о малых линрйных колебаниях поверхности идеальной жидкости около своего равновесного положения на ЗХ 141].

Падение капли воды (ртути) на поверхность воды (ртути) в емкости размера 0.1 м (0.05 м) при постоянном векторе ускорения е/!Го=0.001 (^0=0.0001) показано на рис.2 (рис.3). На заключительном кадре показано положение поверхности жидкости через 0.5 сек (1.1 сек) после начала падения.

0 _о , 0.000002 0.000004 0.000008

Рис.2. Падение каш1И7води на поверхность при постоянном векторе ускорения (Са=10 , Рг=7, 11=10°, рг/рж=0.001, сетка 41x41).

0 о 0.0006 0.0009 0.0019 к ш

• .........:......:••••

Рис.3. Падение капли ртути на поверхность при постоянном векторе ускорения (ба=10', Рг=0.03, Е=10°, рг/рж-0.001, сетка 41x41).

На рис.4, показан процесс обрушения столба жидкости в поле постоянного вектора ускорения ( 6а=106 , Рг=1, отношение плотностей газа и жидкости равно 0,001). Трение на стенках отсутствует, силы поверхностного натяжения не учитываются.

', 0.00003

у;

0.00008 г

ОО012

0.00022]

Рис.4. Обрушение столба жидкости ускорения (ва^Ю13, Рг=1, рг/рж=0.001)

при постоянном векторе

На рис.5, представлены результаты расчета термокапиллярного дрейфа пузыря воздуха в воде в емкости размером 1 см, при перепаде температур 1 градус. По сравнению с результатами, полученными численно-аналитическими и экспериментальными методами Ю.К.Братухиным и др., скорость дрейфа несколько занижена - составляет 66% (МЖГ.- 1984.- N3).

Рис.5. Термокапиллярный дрейф пузыря воздуха в соде в условиях полной невесомости (Ба=0, Рг=7,.рг/Рж=0.001, ¿=10, Ма-10 , сетка 51x51); а) положения пузыря и изотерм, б) функции тока

рцрш

!;! 0.125 ¡Ш 0.225 Ц;,

11 Н М-1 И I > |'|1

51 0.5251|1! ¡¿«■¡«мий!

Рис.6. Последовательные положения поверхности раздела сред (алгоритм сквозного счета). Время в секундах

На рис.6 представлен результат расчета процесса образования газового пузыря в кювете, частично заполненной силиконовым маслом, за счет действия капиллярных сил при нулевом угле сма-

чивания в момент возникновения состояния невесомости. Получено хорошее совпадение с соответствующими результатами расчета O.Mitsuru и др. (Acta Astronáutica.- 1990.- Vol.21, N 6-7.)

Важными для иллюстрации динамических возможностей модели и алгоритма являются результаты расчета релей-тейлоровской неустойчивости, возникающей при постоянном векторе ускорения, когда слой более тяжелой жидкости вытесняет находящуюся снизу более легкую жидкость. На рис.7 показана (изолиниями функции С) динамика изменения взаимного положения жидкостей при начальной форме поверхности раздела сред, задаваемой функцией "косинус" (по ширине расчетной области укладывались два периода функции "косинус", на боковых стенках задавались условия симметрии, сетка 21x21). Хороший результат дали количественные сравнения с результатами работы Давыдова Ю.М. (Исследование релей-тейлоровской неустойчивости,- Владивосток: ИМ-ГИГ, 1991.), в которой при аппробировании алгоритма метода крупных частиц на задаче о релей- тейлоровской неустойчивости приводятся сравнения с имеющимися в литературе данными.

Рис.7. Последовательные положения области контакта при развитии релей-тейлоровской " неустойчивости, сетка 21x21, ߣ}=106, Рг=1, 1>0, рг/рж=0.001 (t=0, 0.001, 0.002 , 0.00?)

».ocie 0.0037 Ö.0Ö73; 0 0178

О ¡B1

-KU

Рис.8. Растекание капли жидкости в устойчиво'стратифицирр-ваиной среде (устойчивая температурная стратификация, вг-Ю-', (За-106, Рг-1, Кг(?я=0.667).

На рис.8, показан процесс растекания капли жидкости в устойчиво стратифицированной среде под действием сил плавучести. Жидкости не смешиваются, в начальный момент капля погруженной жидкости имеет круглую форму и расположена на горизонте с той же плотностью. Стратификация задавалась вертикальным градиентом температур, теплофизические свойства жидкостей одинаковы (что обеспечивает слабое возмущение температурного поля и сохранение устойчивой стратификации).

На рис.9 показан процесс слияния двух капель (левая капля .нагрета по отношению к правой и окружающей среде, Ма=105, Е=105, X2/Xi=0.1, aeg/aei^O. 1), сопровождающегося деформацией поверхности,'вызванной термокапиллярным течением. В отличие от работы O.Mitsuru и др. (Microgravity Q.- 1992.- Vol 2, No 1), в которой та же задача решалась без учета теплового и динамического взаимодействия с окружающей средой, решение в сопряженной постановке позволило исследовать термокапиллярное движение системы -капель в окружающей среде и теплообмен с окружающей средой.

а) 6) В)

СО ®0 Щр ш

Рис.9. Слияние двух капель различной температуры, Ма^О^; поля температур показаны изотермами 1-0.1, 3 - 0.3, 5 - 0.5, 7 - 0.7, 0 : 0.9; моменты а) О, б) 0.0003, в) 0.0007, г) 0.0016

Во всех приведенных расчетах ширина области контакта остается практически неизменной, что является свидетельством согласованности движения жидкости в области контакта. Приведенные |!нше результаты расчетов показали, что описанный алгоритм позволяет рассчитывать сложные течения двухжидкостных систем с изменением положения поверхности раздела сред.

В пятой главе решается задача о поведении системы жид-гость- газ при переменном векторе ускорения. Емкость квадратного .сечения частично заполнена жидкостью. Рассматривается плоское течение жидкости под действием сил плавучести в условиях равномерно вращающегося вектора ускорения.

Используя упрощенную механич&скую модель системы жидкость-газ, в предположении, что плотность газа много меньше плотности жидкости и емкость заполнена примерно наполовину, были получены три пороговых значения угловой скорости вращения вектора ускорения

«2 - (За-Рг, «1 = Рг-(Иза, ыо - 2-Рг-^г, (22)

связанных между собой соотношением 0 < <оо < И < иг, определяющих четыре различных режима развития процесса тепломассоперено-са в системе жидкость-газ при векторе ускорения, вращающемся с угловой скоростью ы. Угловые скорости вращения вектора ускорения, соответствующие этим режимам, можно считать "очень малой", "малой", "средней" и "большой". При "очень малой" скорости вращения, как при постоянном векторе ускорения, форма поверхности жидкости деформируется в основном конвективным потоком; при векторе ускорения, вращающемся с "малой" скоростью, поверхность жидкости успевает отследить изменение направления вектора ускорения, однако вклад конвективного потока жидкости в изменение формы поверхности незаметен; в случае, когда вектор ускорения вращается с "большой" скоростью следует ожидать подавления всякого движения. В случае "средней" скорости вращения вектора ускорения возможны сложные изменения формы поверхности, образование капель, пузырей, удары жидкости о стенки емкости. •

Для подтверждения результатов теоретического исследования; основанного на механической модели поведения системы жидкость-газ, бил проведен вычислительный эксперимент с использованием описанного выше алгоритма сквозного счета.

При "очень малой" угловой скорости вращения (изменения направления) вектора ускорения (0 < и < шо ) поверхность ориентирована в каждый момент времени на текущее направление вектора ускорения (рис.10 а, ы=10, (За=10б, Эг=105, Рг=1). Вклад тепловой гравитационной конвекции в распределение температур существен (сравните поля температур (Т) на рис.10 а и б).

При "малой" скорости вращения ректора ускорения (ыо < « <<1>1), как и в предыдущем случае, поверхность жидкости ориентируется на текущее направление ректора ускорения (рис.11а, и-300, ба-Ю6, Рг-1), однако вклад тепловой гравитационной кон-

векции практически не заметен - поля температур (рис.116 и Ив), получрнные при Бг^-Ю5 и Бг=0, практически не отличаются.

Рис.10. Положения поверхности раздела сред [С] и поля температур [Т] при естественной конвекции в системе жидкость-газ при вращении вактора ускорения с "очень малой" _ угловой скоростью (6а=10 , Рг=1, (о=10, 1-0.0048); а) Бг^Ю5, б) Бг=0

Рис.11. Положения поверхности раздела сред (а) и поля температур (б,в) при "малой" скорости вращения вектора ускорения (Ба=10 , Рг=1,с ы=300, 1=0.003); а) Бг^Ю5, б) БгО

»1

6)

■1

Рис. 12. Положения поверхности раздела сред при "средней" скорости вращения вектора ускорения; Ба=Ю , Рг=1, ш=10000, Т3г=0, моменты а) 0.00022, б) 0.00058, в) 0.00088, г) 0.00118

При "средней" скорости вращения вектора ускорения (<¿1 < ы < ыг) поверхность жидкости меняет свое направление, однако не успевает отследить текущее направление вектора ускорения (рис.12, ы=10000, С1а=10б, Рг=1). Движение имеет периодический характер, интенсивность движения меняется в зависимости от направления вектора ускорения по отношению к положению поверхности жидкости.

Рис.13. Положения поверхности жидкости при "большой" скорости вращения вектора ускорения; Ва=10°, Рг=1, и=1000000, £-0.000012

.О*

При "большой" скорости вращения (о>2 < и), поверхность жидкости остается практически неподвижной (рис.13, ы=1000000, ва^Ю6, Рг=1). Интенсивность движения очень мала и характеризует лишь локальные периодические перемещения объемов жидкости.

Полученный в этой главе результат позволяет по определяющим параметрам гидродинамической системы предсказать режим движения жидкости и выделить диапазон частот изменения вектора ускорения к которым данная гидродинамическая система наиболее чувствительна.

В шестой главе с использованием описанной выше методики решается задача о перемещении центра масс жидкости. Разработанный в настоящей работе алгоритм решения сопряженных задач методом сквозного счета является хорошим инструментом для решения задачи о перемещении центра масс жидкости, системы двух жидкостей или системы жидкость-газ. Представлены результаты численного исследования движения центра масс жидкости или системы двух несмешивающихся жидкостей в цилиндрической емкости квадратного сечения при переменном векторе ускорения. Рассматриваются два случая - емкость заполнена жидкостью полностью и емкость заполнена жидкостью наполовину (оставшийся объем заполнен газом, или другой более легкой жидкостью). Положение центра масс определяется интегрированием функции распределения плотности.

Перемещение жидкости в частично заполненном сосуде вызывает перемещения центра масс системы жидкость-газ. Пример расчета изменения положения центра масс при сложном движении жидкости представлен на рис.14. Колебания поверхности жидкости сопровождается сложным движением центра масс, представленным на рис.16.

1 а)~ . „ \ ГЧ/ 4 ' 1J

Рис.14. Положения поверхности а) 0.0002, 0) 0.0004, в) 0.0005

жидкости во времени

8.5» Q.4S 0.40 0.35 0.30 0.Z5

s

\

S

\

S

0.00025 0.00050

0.40 0.3Б 0.3Z 0.20 0.24 0.20

У

К

t

0.00025 0.00050

Рис.15. Движение центра масс (для варианта рис.14).

В седьмой, заключительной главе рассматриваются возможности использования описанного метода сквозного счета для решения различных прикладных задач гидродинамики, осложненных дополнительными факторами (присутствие в жидкости взвесей, взаимодействие системы жидкость-газ с фазоразделительными сетками).

Взвесь представляет собой совокупность мелких частичек, погруженных в жидкость. Эти частички могут обладать плотностью, отличной от плотности жидкости. Тогда под действием сил плавучести частички могут перемещаться относительно жидкости, т.е. обладать своей скоростью. Взвесью можно считать ансамбль мелких пузырей примерно- одного диаметра, поэтому особенности поведения взвешенных частиц должны учитываться и при эксплуатации топливных баков с капиллярными заборными устройствами (КЗУ).'

При моделировании поведения жидкости со взвесями использовались три модели: 1. Если плотности жидкости и частичек близки, то описывать распределения взвеси можно с использованием традиционного подхода, применяя концентрацию, как показатель "количества" частичек в единице объема (без учета концентрационной конвекции). 2. Если плотности жидкости и частичек различны, но вязкость жидкости велика, так что скорость частичек взвеси совпадает со скоростью жидкости, то разность плотностей жидкости и частичек может быть учтена с помощью концентрационных сил плавучести. 3. Если скорость V движения частиц относительно жидкости существенна, то она может быть определена из формулы Стокса и добавлена к скоростям частичек взвеси (вдоль текущего направления вектора ускорения).

При численной реализации моделей 1.,2.,3. имеет место как физическая, так и схемная диффузия. Для моделирования взвеси, не подвергающейся диффузионному переносу, следует воспользоваться методикой численного решения задачи о поведении системы двух несмешивающихся жидкостей, описанной в настоящей работе. Можно рассматривать взаимодействие двух объемов жидкости - содержащей взвесь (Ж1) и не содержащей взвесь (жг). На рис.16 представлены результаты применения алгоритма сквозного счета для несмешивающихся жидкостей к системе жидкость-взвесь при йг-Ю6, Рг=1 и различных (безразмерных) скоростях оседания (-50, 0 и 50, соответственно).

Рис.16. Результаты применения алгоритма сквозного счета к системе жидкость-взвесь при Сг-10°, Рг=1 в моменты а) 0.0002 и б) 0.0016 при различных скоростях оседания (У=-50,0 и 50, соответственно) .

Использование разработанного алгоритма для решения задач о поведении жидкостей со взвесями позволяет наряду со скоростью

относительного движения частичек взвеси учитывать и движение, обусловленное силами плавучести за счет разницы плотностей частичек взвеси и жидкости. Эти силы плавучести характеризуются числом 6а и отношением плотностей жидкости и жидкости со взвесью.

Другим примером использования методики расчета движения двухжидкостных систем может служить задача о взаимодействии га-вожидкйстной системы с фазоразделительными устройствами. Для надежного запуска и работы двигательной установки в условиях невесомости в баках с жидким топливом используют фазораздели-тельные запирающие сетки. Основными характеристиками запирающих сеток являются статическая и динамическая"запирающие способности.

Динамическая запирающая способность сетки и критерий удержания жидкости сеткой служат основой для построения математической модели движения системы жидкость-газ в замкнутом объёме с запирающей сеткой. В расчетной области в узлах расположения фазоразделительного устройства на каждом шаге по времени проверяется условие удержания в зависимости от состава смеси жидкость-газ. В случае выполнения условия удержания поток смеси в этом узле тормозится (т.е. скорость жидкости обнуляется).

На рис.17. представлен результат расчета процесса обрушения столба жидкости с газовыми включениями в виде пузырей сквозь фазораэделительное устройство. За счет больших скоростей натекания жидкости на фазораэделительное устройство пузыри газа проталкиваются сквозь ячейки фазоразделительной сетки.

::::::::::::: 7 щ

* \ ЩрКШЩь :::::: ^ 1

Рис.17. Результат расчета процесса обрушения столба жидкости с газовыми включениями в виде пузырей (а) сквозь фазораэделительное устройство (б) (показаны моменты О, 0.00006, 0.00010, 0.00014).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. В рамках настоящей работы задача о произвольных перемещениях системы двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей в замкнутом объеме была сформулирована как сопряженная задача с ¡¡сдвижной границей раздела сред. Разработана математическая модель, основанная на описании поведения контактирующих сред как единой непрерывной среды с переменными (зависящими от координат) свойствами. Обоснована замена поверхностных сил некоторой эффективной распределенной массовой силой в области контакта.

2. Получены условия, обеспечивающие аппроксимацию сопряженной задачи задачей с осредненными параметрами. Эти условия описывают целый класс задач с непрерывными параметрами, аппроксимирующих сопряженную задачу, и служат теоретической основой для конструирования алгоритмов сквозного счета.

3. Разработан алгоритм теплового взаимодействия контактирующих сред в сопряженной задаче с неподвижной и перемещающейся вместе с течением жидкостей границей раздела сред, лишенный не-физичных процессов переноса тепла через границу контакта за счет перемешивания и схемной диффузии.

4. Разработан алгоритм сквозного счета, обеспечивающий сохранение (неувеличение) толщины области контакта ь процессе счета.

Е>. Дана полная математическая формулировка задачи с осредненными параметрами о двумерном движении и теплообмене двухжид-костной системы в прямоугольной области в переменных функция тока-функция интенсивности вихря. Разработан алгоритм численного решения задачи. Выявлена неустойчивость алгоритма, возбуждаемая источниковыми членами. Предложена процедура расчета, подавляющая неустойчивость.

6. Показана возможность и эффективность испол! зования разработанной математической модели и алгоритма расчета для решения широкого круга задач, включая задачу о конвективном тепло-массопереносе в двухжидкостной системе в случае изменяющегося во времени по величине и направлению вектора ускорения, задачу определения равновесных форм поверхности раздела сред, задачу определения характеристик колебаний поверхности жидкости относительно сгюего равновесного состояния, задачу о движении жид-

кости ва счет термокапиллярных эффектов на поверхности раздела сред, задачу о гермокапиллярном дрейфе пузыря, задачу о произвольных перемещениях жидкости в частично заполненном сосуде под воздействием различных возмущающих факторов.

7. Используя сопряженную постановку, впервые получено решение задачи об особенностях движения жидкости в частично заполненном сосуде в условиях, близких к невесомости, когда вектор остаточных ускорений изменяет во времени свою величину и направление. .В частности, решена задача об особенностях движения и теплообмена системы двух жидкостей или системы жидкость-газ в случае вращающегося вектора ускорения. Определены режимы течений, получены обобщающие зависимЬсти.

в. Показана возможность и эффективность использования разработанного метода сквозного счета для решения задачи о воздействии движущейся сложным образом жидкости в замкнутом объеме на стенки емкости.

9. Для ¡ -¡пения задачи о поведении системы жидкое топливо-газ в топливных баках разработаны математические модели и алгоритмы расчета, основанные на сопряженной постановке задачи, учитывающие присутствие в жидкой фазе твердых включений в виде взвесей, пузырей, наличие в топливном баке фазоразделительных сеток.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Батарин А.И., Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Численное и экспериментальное исследование сопряженного теплообмена для горизонтального цилиндра в слабом поле массовых сил // Тез. докл. второго Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости.- Пермь, 1981. С. 85-86.

2. Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Численное исследование сопряженного теплообмена в горизонтальном цилиндре, окруженном бесконечным твердым массивом // Вопросы теплопередачи: Сб. научн. тр. МЛТИ.- 1981.- Вып. 130.- С. 153-166.

3. Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Исследование нестационарных процессов переноса в условиях сопряженного теплообмена горизонтального цилиндра, расположенного в жидкой сре-

де // Вопроси теплопередачи: Сб. научи, тр. Ш1ТИ.- 1981,- Bun. 130,- С. 167-180.

4. Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Математическая модель и некоторые результаты численного исследования сопряженного теплообмена в сферических полостях // Вопросы теплопередачи: Сб. научн. тр. МЛТИ.- 1981,- Вып. 130.- С. 181-191.

5. Корольков A.B., Купцова B.C. Теплопередача в условиях внутренней задачи естественной конвекции для сферических и цилиндрических емкостей. // Вопросы теплопередачи: Сб. научн. тр. МЛТИ,- 1981,- Вып. 138.- С. 186-192.

6. Корольков A.B., Купцова B.C. Исследование сопряженного теплообмена в сферической полости массива // Технология производства древесных плит и пластиков: Сб. научн. тр. МЛТИ.-1982,- Вып. 143.- С. 38-42.

7. Корольков A.B. Математическая модель сопряженного теплообмена в условиях смешанной конвекции для горизонтального цилиндра // Технология древесных пластиков и плит: Сб. научн. тр. МЛТИ,- 1983.- Вып. 150,- С. 10-14.

8. Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Свободная конвекция около горизонтальной труби при заданном тепловом потоке на внутренней стенке // Тез. докл. 4 Всесоюзной конференции "Мировой океан",- Владивосток, 1983,- С. 142-143.

9. Корольков A.B. Трансформация полей функций тока и температур в сопряженной задаче несимметричной тепловой конвекции для горизонтального цилиндра // Технология древесных плит и пластиков: Сб. научн. тр. МЛТИ.- 1984,- Вып. 159,- С. 69-75.

10. Корольков A.B. К построению алгоритма уточненного расчета температур на границах контакта сред в сопряженных задачах // Вопросы теплопередачи в технологических процессах: Сб. научн. тр. МЛТИ. - 1984.- Вып. 163.- С. 63-72.

11. Корольков A.B., Купцова B.C., Малинин В.Г. Исследование распределений давлений при свободной конвекции около горизонтальных цилиндрических нагревателей опреснительных устало ьок. // Вопроси теплопередачи ь технологических процессах: Сб. научн. тр. МЛШ,- 1984,- Вин. 163,- С. 122-132.

12. Корольков A.B. , Kymitoki B.C. Особенности численного исследования несимметричной сопряженной конвекции около гори-

- 3D -

зонтального цилиндра // Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск, 1985.г, Т. 16, N 2.- С. 88-95.

13. Корольков A.B. О тепловой гравитационной конвекции внутри цилиндрической емкости в переменном поле вектора ускорения силы тяжести.- Деп. в ВИНИТИ 4.09.85, N 6518.

14. Брдлик П.М., Ермаков А.К., Корольков A.B., Малинин

B.Г. Теплообмен проницаемого горизонтального цилиндра при свободной- конвекции в различных газах и жидкостях // Вопросы теплопередачи в.технологических процессах: Сб. научн. тр. МЛТИ.-1985.- Вып. 173,- С. 106-114.

15. Корольков A.B. Численное исследование влияния конвекции Марангони на перенос тепла в горизонтальных цилиндрических емкостях // Тез. докл. Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986.- Пермь, 1986.-

C. 179.

16. Корольков A.B., Купцова B.C. Математическое моделирование сопряженного теплообмена для горизонтального цилиндра в переменном поле вектора ускорения // Тез. докл. Всесоюзная школа-семинар "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986.- Пермь, 1986.- С 178.

17. Корольков A.B. О тепловой гравитационной конвекции в поле вращающегося вектора местного ускорения // Сб. научн. трудов МЭИ.- М. , 1986,- N 113.- С. 96-102. .

18. Авдуевский B.C., Корольков A.B., Купцова B.C., Савичев В.В. Исследование тепловой гравитационной конвекции в переменном поле вектора малых ускорений // ПМТФ. - 1987. - N 1. - С 54-59.

19. Авдуевский B.C., Ветошкин A.M., Корольков A.B., Купцова B.C., Савичев В.В. Основные особенности развития естественной конвекции в переменном поле вектора ускорения // Тез. докл. 4 Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости.- Новосибирск, 1987.- С. 19-20.

20. BeTQUJKHH A.M., Корольков A.B. Численные исследования естественной конвекции в поле переменного вектора ускорения, имеющего преимущественное направление // Тез. докл. 4 Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости.- Новосибирск, 1987.- С. 22-23.

21. Ветошкин A.M., Корольков A.B., Купцова B.C., Савичев B.B. Развитие естественной конвекции в однородном поле переменного вектора ускорения // Тез. докл. Минского международного форума (24-27 мая, 1988 г.): Секция 1. Конвективный тепломассообмен. Часть 1.- Минск, 1988.- С. 29-31.

22. Корольков A.B., Купцова B.C., Савичев В.В. Тепловая гравитационная конвекция внутри цилиндрической емкости в поле переменного вектора ускорения силы тяжести // Тез. докл. 15 Га-гаринских чтений, 1985,- Наука, 1986,- С. 218-219.

23. Корольков A.B., Крылова Т.А., Купцова B.C. Алгоритм расчета высокоинтенсивной естественной конвекции в замкнутом объеме // Математическое моделирование сложных химико-технологических систем: Тез. докл. 5 Всесоюзной научной конференции.-Казань, 1988,- С. 154-155.

24. Корольков A.B. О тепловой гравитационной конвекции внутри цилиндрической емкости в переменном поле вектора ускорения силы тяжести // Изв АН БССР. Сер ФЭН. - 1986.- Nom 3,- С. 114-115.

25. Корольков A.B. Взаимодействие тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции в частично заполненном сосуде в переменном поле вектора ускорения // Изв АН БССР. Сер ФЭН, 1991, N 1.- С. 82-87.

26. Ветошкин A.M., Корольков A.B., ' Купцова B.C., Савичев В.В. Об особенностях развития естественной конвекции в условиях, близких к невесомости // Космическая наука и техника.- Киев, 1989.- Вып.4.- С. 53-57.

27. Батарин А.И., Корольков A.B. Особенности развития те-' че'ния при естественной конвекции у изотермического цилиндра во вращающемся поле вектора ускорения // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии: Сб. научн. тр. шт.- 1991,- Вып. 232,- С. 190-191.

28. Корольков A.B., Купцова B.C. Вычислительный эксперимент в решении технологических проблем хранения жидких углеводородов // Автоматизация и компьютеризация информационной техники и технологии: Сб. научн. тр. МЛТИ.- 1991.- Вып. 232.- С. 196-197.

29. Ветошкин A.M., Корольков A.B. Численное исследование поьедения жидкости в условиях, близких к невесомости // Автома-

тизация и компьютеризация информационной техники и технологии: Сб. научн. тр. ШЛИ,- 1991.- Вып. 232,- С. 200-203.

30. Корольков А.В. Взаимодействие тепловой гравитационной и термокапиллярной конвенций в частично заполненном сосуде в переменном поле вектора ускорения // Изв. АН БССР. Серия физико-энергетических наук.- 1991.- N 1,- С. 82-87.

31. Ветошкин A.M., Корольков А.В., Купцова B.C., Савичев В.В. Об'особенностях развития конвективных процессов в условиях, близких к- невесомости // Инженерно-физический журнал.-1992.- Т.62, N 2,- С. 235-242.

32. Корольков А.В., Раджабов Н.К. Решение задачи оптимизации геометрии солнечного аккумулятора на основе балансных соотношений теплообмена. // Гелиотехника.- 1991,- N 6.- С. 14-17.

33. Ветошкин A.M., Корольков А.В., Савичев В.В. Особенности поведения жидкости и системы жидкость-газ в условиях, близких к невесомости // Изв. РАН. МЖГ,- 1994.- N 5,- С. 122-128.

34. Корольков А.В. Численное моделирование методом сквозного счета поведения системы жидкость-газ в переменном поле вектора ускорения // Изв. РАН. МЖГ,- 1994.- N5.- С. 129-134.

35. Aliev I., Korolkov A., Savitchev V. About the two-layered liquid's boundary form in microacceleration // Drop tower days 1994 in Bremen. International workshop on short-term experiments under strongly reduced gravity conditions. - Bremen, Germany, 1994.- P. 222-226.

36. Savitchev V.V., Korolkov A.V., Vetoshkin A.M. Movements of center of mass in liquid and two liquid system // IAC'94, International Aerospace Congress. Theory, Applications, Technologies. Abstracts. August 15-19.- Russia, Moscow, 1994. -P. 242.

37. Korolkov A.V., Savitchev V.V. On Liquid-Gas System Behavior in the Variable Field of Acceleration Vector // Non-gravitational mechanism of convection and heat/mass transfer. International Workshop. Abstract. September 15-17, 1994.- Zveni-girod, Russia, 1994.- P. 9-10.

38. Савичев В.В., Корольков А.В., Ветошкин A.M. Теплообмен системы жидкость-газ со стенками емкости в переменном поле вектора ускорения // Труды Первой Российской национальной конфе-

ренции по теплообмену. Том 2. Свободная конвекция,- М. , 1994. -С. 182-186.

39. Корольков А.В. Математическое моделирование процессов тепломассообмена в системе жидкость-газ в переменном поле вектора ускорения // Труды Первой Российской национальной конференции по теплообмену. Том 6. Двухфазные течения,- М., 1994.-С. 112-117.

40. Корольков А.В., Савичев В.В. Движение центра масс жидкости и системы двух жидкостей, обусловленное силами плавучести, в условиях, близких к невесомости // Международная конференция "Гидромеханика, гидромашинн, гидропривод и гидропневмоавтоматика", 28 ноября - 3 декабря 1994 г: Тезисы докладов.-М. : МГТУ ИМ. Н.Э. Баумана, 1994.- С. 23.

41. Ветошкин A.M., Корольков А.В. 0 численном моделировании поведения системы жидкость-газ // Вопросы гидродинамики и теплопередачи в технологических процессах: Межвуз. сб. - М.: МГУЛ, 1993,- Вып. 259,- С. 148-163.

42. Savitchev V.V., Korolkov A.V. On Liquid-Gas System Behaviour in the Near Weightlessness State // Ninth European Symposium Gravity dependent phenomena in phisical sciences, Berlin, Germany, 2-5 May 1995. Abstracts. - Berlin, 1995.- P. 301-302.

43. Korol'kov A.V. Numerical Investigation of Liquid-Gas System Behavior in a Variable Acceleration Vector Field by a Discontinuity Capturing Technique // Fluid dynamics. - 1994.-V. 29, N 5.- P. 699-703.

44. Vetoskin A.M., Korol'kov A.V., Savichev V.V. Specific Ffeatures of the Behavior of a Liquid and a Liquid-Gas System Under Conditions of Near-Weightlessness // Fluid dynamics. -

1994,- V. 29, N 5,- P. 693-698.

45. Vetoskin A.M., Koiol'kov A.V., Savichev V.V. Movements of Mass Center In Liquid and Two Liquid System // Proceedings of the Microgravity Science and Applications Session, international Aerospace Congress, Moscow, August 16-17, 1994.- Moscow,

1995,- P. 119-123.'

46. Savichev V.V'., Korol'kov A.V., Vetoskin A.M. Movements of Mass Center In Liquid and Two Liquid System // 1AC94, Irr ¡.ornat.torial Aerospace Congress. Theory, Appl icatioris, Techno I o-

gies. Proceedings. August 15-19, 1994.- Russia, Moscow, 1995.-V.I.- P. 43^-442.

4V. Savitchev V.V., Korolkov A.V., Vetoshkin A.M. Through Circuit for Two-Liquid System Movement Simulation // Second European Symposium Fluid in Space. Naples, Italy, 22-26 April 1996, Abstracts.- Italy, Maples, 1996,- P. 190.

48. Savitchev V.V., Korolkov A.V. On Liquid-Gas System Behavior in Space // Second European Symposium Fluid in Space. Naples,, Italy, 22-26 April 1996, Abstracts.- Italy, Naples. 1996.- P. 189.

49. Savitchev V.V., Korolkov A.V., Vetoshkin A.M. Computer Simulation of Beginning Phase, of Immiscible Liquid System Ther-mocapillary Motion // Drop Tower Days 1996 in Bremen. July 8-11, 1996.- Bremen, 1996.- P. 8-27 - 8-29.

50. Savitchev V.V., Korolkov A.V. On Liquid-Gas System Behavior in Space // Second European Symposium Fluid in Space. Naples, Italy 22-26 April 1996, Proceedings.- Napoly, Italy, 1996.- P-. 563-568.

51. Savitchev V.V.., Korolkov A.V., Vetoshkin A.M. Through scheme for two-llqiid system movement simulation // Second European Symposium Fluid in Space. Naples, Italy 22-26 April 1996, Proceedings.- Napoly, Italy, 1996.- P. 569-573.

Подписано к печати J97 г. Заказ kO

Объем 2.0 п.л. Тираж 100 экз.

Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана