автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами

На правах рукописи

КЕНЬШОВ Евгений Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ

Специальность 05.13.18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Самара, 2004

Работа вьполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П. Королева

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Тимбай И.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Котляр В.В.

кандидат физико-математических наук, доцент Кузнецов В.П.

Ведущая организация:

Самарский государственный университет

Защита состоится г. в_часов на заседании

диссертационного совета Д 212.215.05 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика СП. Королева (443086, г. Самара, Московское шоссе, 34).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика СП. Королева.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор ^^¿-¿»¿¿¡^ £_Калентьев А.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Большое количество задач, рассматриваемых в интересах развития науки и техники, сводятся к исследованию математических моделей нелинейных динамических систем второго порядка. Задачи такого рода возникают в механике, радиотехнике, теории управления, динамике космических аппаратов и других разделах современной науки. Важной проблемой является разработка качественных и приближенных аналитических методов математического моделирования переходных процессов, происходящих в системе под действием медленно меняющихся параметров, когда происходит изменение характера движения: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т.д.

В данной работе исследуется математическая модель динамической системы второго порядка вида

Р(а, г) = а(г) дш а+Ь(г) зт 2а+с(х) соз а,

где - угловой параметр, - моментная характеристика,

малые возмущения, обусловленные наличием диссипации и крутящего момента, - малые возмущения, обуславливающие медленные изменения

параметров, - вектор медленно меняющихся переменных, - малый параметр, характеризующий величину возмущений.

Системой такого вида описывается движение ряда механических задач, например, в частных случаях движение искусственных спутников на орбите Земли, спуск космического аппарата в атмосферу. Невозмущенная система описывает движение маятника на вращающейся платформе со смещенной точкой подвеса относительно оси вращения платформы.

Общее решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер процесса, во-вторых, для установления закономерностей процесса требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решения, экономные с точки зрения машинного времени, всегда должны и с п о инф оде

задачи. Поэтому поиск приближенных разработка

а. + Е(а,г) = г/(а,г)

(1)

СП« 09

методов исследования, позволяющих существенно ускорить расчет, установить закономерности, свойственные данному процессу, а также получить новые знания о нелинейных системах, является актуальной задачей.

Известно решение исследуемой невозмущенной системы, когда моментная характеристика представлена в виде синусоидальной или бигармонических гармоник. В данной работе найдено решение невозмущенной системы для случая, когда моментная характеристика описывается рядом Фурье с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами.

В возмущенном движении системы происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета. Вопросы перехода между областями фазового портрета, разделенными сепаратрисами, в нелинейных системах с медленно меняющимися параметрами рассматриваются в работах Арнольда В.И., Нейштадта А.И., Ярошевского В.А. и др. Исследование. эволюции фазовых траекторий проводится на основе анализа поведения интеграла действия. Получены формулы в интегральной форме для определения вероятностей попадания в ту или иную область движения, расчеты по которым позволяют исключить статистическое моделирование. Преобразование исходной математической модели к модели, основанной на интеграле действия, ведет к существенному сокращению численных расчетов.

В прикладной задаче о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты Кузмаком Г.Е. исследованы переходные режимы движения тела, обусловленные медленным изменением во времени коэффициента синусоидальной моментной характеристики и диссипацией. В работах Асланова B.C. и Тимбая И.А. исследованы переходные режимы движения систем с бигармонической моментной характеристикой, обусловленные медленным изменением во времени коэффициентов моментной характеристики. В работах Ярошевского В.А. исследуются условия возникновения плоской авторотации - длительного вращательного движения без перехода в колебательное, когда моментная характеристика представлена рядом Фурье. Получены в интегральном виде формулы для определения критического значения скорости, при которой реализуется плоская авторотация.

В диссертационной работе исследуются переходные процессы в нелинейной динамической системе, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением

коэффициентов диссипации и крутящего момента. Косинусоидальная компонента моментной характеристики, например, применительно к спуску космического аппарата, обусловлена его малой асимметрией. На основе полученных аналитических формул для интеграла действия, для определения времен перехода через сепаратрису, для критической угловой скорости вращения, для определения вероятностей попадания в ту или иную колебательную область движения разработан метод аналитического исследования переходных процессов без численного интегрирования и в некоторых случаях без статистического моделирования. Разработан также метод аналитического исследования переходных процессов в прикладной задаче о входе неуправляемого тела в атмосферу.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка качественных и приближенных аналитических методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, когда моментная характеристика представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента.

Для достижения данной цели в работе решаются следующие задачи:

1) оценка современного состояния проблемы разработки методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами;

2) разработка качественных и аналитических методов исследования модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы:

а) исследование свойств модели в случае бифуркации особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы;

б) нахождение аналитических решений для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы;

с) получение аналитических формул для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы;

3) разработка методов аналитического исследования модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента:

а) получение формул для определения времен переходов, возникающих при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия;

б) исследование случаев возникновения плоской авторотации;

-6в) получение формул для определения вероятностей попадания в различные колебательные области фазового портрета;

4) разработка аналитических методов исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;

5) проверка адекватности расчетов по аналитическим формулам и результатов численного интегрирования;

6) разработка алгоритмов и комплекса программ, позволяющих эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами.

Методы исследования. При разработке методов для получения аналитических формул использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах Нейштадта А.И., Ярошевского В. А., Тимбая И. А.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Найдено аналитическое решение для углового параметра в невозмущенном движении нелинейной динамической системы второго порядка, моментная характеристика которой описывается рядом Фурье с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами;

2. Разработан метод аналитического исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Метод разработан на основе полученных аналитических формул:

1) для интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрис;

2) для определения времен перехода через сепаратрисы;

3) для определения вероятностей попадания в ту или иную колебательную область движения;

4) для критической угловой скорости вращения, при превышении которой вращение продолжается в течение длительного интервала времени. Практическое значение работы заключается в следующем:

Разработанные комплексы программ позволяют эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, в частности, в задаче о входе неуправляемого тела в атмосферу планеты. Результаты исследований и программное обеспечение используется в учебном процессе Самарского государственного аэрокосмического университета.

Публикации и апробация работы

Основные положения работы и научные результаты докладывались на 7-ми конференциях, в том числе, на 24-ых объединенных чтениях по космонавтике (Москва, 1999 г.); XXV самарской областной студенческой научной конференции (Самара, 1998 г.); всероссийской студенческой научной конференции «V королевские чтения» (Самара, 1999 г.), 49-ой студенческой научно - технической конференции (Самара, 1999 г.); IX научно - техническом семинаре по управлению движением и навигации летательных аппаратов (Самара, 1999 г.); всероссийской студенческой научной конференции «VII королевские чтения» (Самара, 2003 г.); российско - европейской летней космической школе (Самара, 2003 г.).

По теме работы имеется 10 публикаций, в их числе статьи: в сборнике трудов студенческого научного общества «Студенческая наука аэрокосмическому комплексу» (Самара, 1999 г.); научно - техническом сборнике «Управление движением и навигация летательных аппаратов» (Самара, 2000 г.); известиях Самарского научного центра РАН (Самара, 2003 г.); аспирантском вестнике Поволжья (Самара, 2003 г.); также принята к печати статья в журнале РАН «Космические исследования» (Москва, №3,2004 г.).

Результаты исследований вошли в научно - технический отчет по проекту Российского фонда фундаментальных исследований: проект РФФИ № 99-01-00477 «Исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки в обобщенном случае Лагранжа», руководитель д.т.н., профессор Асланов B.C., 1999 - 2001 г.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка цитированной литературы из 53 наименований, приложения. Объем диссертации - 143 страницы, из них 92 страницы машинописного текста, 44 рисунка, 3 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы исследований, сформулирована цель диссертационной работы и пути ее достижения, отмечены новизна и практическое значение работы, даны сведения о публикациях.

В первой главе дается оценка современного состояния проблемы исследования переходных процессов в нелинейных динамических системах с медленно меняющимися коэффициентами, и проводится анализ известной литературы по данной теме. Анализируются результаты исследований, полученные в работах таких ученых, как В.А. Ярошевский, Г.Е. Кузмак, В.И. Арнольд, А.И. Нейштадт, B.C. Асланов, Ф.Л. Черноусько и др. Проводится численный анализ исследуемой математической модели. На основе

представленного анализа сформулированы основные задачи, решаемые в данной работе.

Во второй главе исследуется математическая модель невозмущенного движения динамической системы. В данном случае движения (е = 0, z = const)

уравнение движения (1) записывается в виде

a + asina + bsin2a + ccosa = 0. (2)

Проводится анализ возможных видов фазовых портретов движения системы в зависимости от соотношения коэффициентов а, b, с.

Анализ уравнения (2) показывает, что количество особых точек может быть либо 4, либо 2 (рис. 1, 2), причем для определения количества особых точек не нужно решать исходное уравнение._

В работе получено параметрическое представление бифуркационной кривой, разделяющей случаи 2-х и 4-х особых точек на фазовой плоскости,

ц=Г\({^) (рис. 3) относительно коэффициентов Т| = — и С, = — '

с с

где а являете;

T| = c/g'a, C, = ~(2sin3 а)'1,

Бифуркационная кривая П(а)

4 особые точки

2 особь е точки Рис. 3

(3)

Для получения численных значений особых точек используется алгоритм Феррари.

Для нахождения решения параметра а в невозмущенном движении рассматривается интеграл энергии системы (2)

а = ±^2(8(а) + Н), (4)

где

= асы а + ¿с<м2 а - сяша.

Производя замену переменных u = tg^, соотношение (4) можно записать как

где в(и) = 2й2 =^1(И-а + Ь)иА-2сиг +(21г-2Ь)и2 -2си + 11 + а + ь), а знак ±

выбирается в зависимости от знака du таким, чтобы в любой момент времени левая часть была неотрицательной. Интегрируя левую и правую части (5), имеем

Интеграл, стоящий в левой части, относится к классу эллиптических интегралов. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени О(и). Для реализации колебательного процесса два из четырех корней данного многочлена должны соответствовать предельным значениям углового параметра, при достижении которых и — 0. В случае вращения в качестве предельных величин берутся

Вводится следующее правило нумерации корней полинома О(и). Действительные корни: комплексно-сопряженные корни:

Ьх±щ, Ь2 Исг, причем Ь} >Ь2, с, >0, сг >0.

Рассматриваются три характерных случая движения системы:

1. Случай четырех комплексно-сопряженных корней полинома О(и). Решение

для углового параметра имеет вид

а = 2 агщ[\ + с^{ат{Ь( „,*)+ ср.)],

(6)

где

а/я(5(7-/0^ + Тц1Л:) - амплитудаЯкоби, б3, 04> -

острые углы.

2. Случай двух действительных и двух комплексно-сопряженных корней. Решение для углового параметра имеет вид

и2+и1у-(и1- и1у)сп(5(+ т 0, 1 + у-П-уМ5Г/-и+т0>А)

а = "1аШ%

3. Случай четырех действительных корней. Решение для углового параметра имеет вид

а = 2 агс/й

(8)

В формулах (7), (8) к = к{иииг,и},и^ - модуль эллиптических функций, зависящий от корней полинома С(и), 5 = б(и,,и2,и3,ы.)), <р. =ф.(б1,йа,с,,с2),

вспомогательные величины, зависящие от корней полинома О(ы), а также от выбора колебательной области, в которой происходят колебания.

Следует отметить, что формулы для углового параметра а задают непрерывную функцию на отрезке ае[-тс;я]. В случаях вращения или

колебаний, выходящих за данный диапазон, необходимо продолжить функцию углового параметра на соответствующие отрезки, исходя из особенности арктангенса.

Исследование возмущенного движения проводится на основе выражений для интегралов действия, полученных в невозмущенном движении системы. Интеграл действия вычисляется по формуле

№тах

1г = | Ыа,

(9)

«™/я

где

амплитудные значения углового параметра (при вращении ат1п = —к, О-тах = л)- Величина а определяется из интеграла энергии (4).

Интеграл (9) посредством замены переменной принимает вид

'■-К®*-

(10)

Интеграл (10) относится к классу эллиптических интегралов и приводится к сумме элементарных функций и трех так называемых нормальных эллиптических интегралов. Результат интегрирования зависит от типа корней полинома четвертой степени О(ы). На сепаратрисах,

разделяющих вращательную и колебательную области (кривая на рис. 1, 2) или две колебательные области (кривые /, и /2 на рис. 1), имеет место совпадение двух корней полинома О(и), в этих случаях интеграл действия выражается через элементарные функции.

На сепаратрисе, разделяющей колебательную и вращательную области, многочлен О(и) имеет два мнимых и два совпадающих действительных корня (нм). В этом случае для интеграла действия получено следующее аналитическое выражение

/.-К'.чЧАИ».

где

(И)

Ул/^

2 , т/Т+^-лР7? 2 2

-. " —— при р <г ,

У^р'-г1 2

Гагс187Р=7

при р2 > гг.

, агЩ—,-

г г1

1п{г).1пуЛЩлЛИ

Ь'+р1

при рг<гг,

при рг>гг.

«41

т,п =

2У2

Рг =

и'+Г

г: =

у,+2у2л+у3и

И - 2 „ 2

У =-—, Г = у,+2у2т+у}т\

у, + 2угт+у3т1

а = _у и +у3т-у2м3,т), = П\у2-у,иг(+у}п-у2инп),

т +1 т +1

у3=И.-а+Ь, у, = Зу3м34 -4си34 +2И,-2Ь, уг=у3и3<-с.

В работе также получены аналитические выражения для интегралов действия на сепаратрисах разделяющих две колебательные области

(внутренние области А1, и внешнюю область Л, см. рис. 1). В этом случае полином О(и) помимо кратного корня иЗА имеет два действительных корня и, и щ, а интеграл действия запишется на сепаратрисе

на сепаратрисе

где A-j'A-з = I\-¡>I\-j(a'bicih'uM'ui>ui) - интегралы, записанные в элементарных функциях, зависящие от корней полинома G(u) и параметров системы, е,_3 =el_¡(a,b,c,h,uM) - коэффициенты, зависящие от кратного корня полинома G(u) и параметров системы.

В третьей главе разрабатывается метод аналитического исследования математического модели возмущенного движения динамической системы. В общем случае движения уравнение (1) записывается в виде

а+a(z)sina+b(z)sin2a+c(z) cos а = za(z)á+z), (14)

Для определенности принят закон изменения вектора медленных переменных в виде экспоненты - положительный параметр

(такой закон имеет место, например, в задаче входа неуправляемого твердого тела в атмосферу). При этом

Предлагается следующий метод исследования переходных процессов движения системы без интегрирования уравнений движения, используя только аналитические выражения для интеграла действия, полученные на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета. На фазовых портретах (рис. 1, 2) имеют место вращательная область и колебательные разделенные сепаратрисами В

зависимости от величины энергии h система может совершать либо вращательное, либо колебательное движение. Пусть система в начальный момент времени совершает вращательное движение. По мере движения системы с ростом параметра z колебательные области растут, и система, совершающая вращательное движение, в какой-то момент времени t. начинает совершать колебательное движение в области Далее движение системы, показанной на рис. 1, продолжается до тех пор, пока система в момент времени t.. начинает совершать колебательное движение относительно одного из двух устойчивых положений равновесия в области А\, или A¡. Моменты времен переходов определяются из равенства выражения для интеграла

действия, описывающего изменение его в процессе движения, и выражения для интеграла действия, вычисленного на соответствующей сепаратрисе.

Рассматриваются следующие случаи возмущенного движения системы.

А) Случай движения с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, без учета крутящего момента и диссипации. В этом случае интеграл действия (9) для системы (14) остается постоянной величиной. Равенство Ig = const справедливо для большинства начальных

условий с точностью на временах порядка где - малый

параметр, характеризующий скорость изменения параметра z. Согласно

работам Нейштадта для систем типа (14) исключительное множество начальных условий, для которых эта оценка несправедлива, имеют меру - любое наперед заданное число. С учетом (15) интегралы действия на сепаратрисах определяются как

где Б - интеграл действия на сепаратрисе /3, а , Д интегралы действия на

сепаратрисах /, и /2 невозмущенного движения, определяемые по формулам

(11)-(13)в момент времени /0 = 0 (г = 1).

Из равенства интеграла действия, вычисленного в начальный момент о

времени , и интеграла действия, вычисленного на сепаратрисе 1} (16), время перехода в область определяется как

Время перехода из области в области или (рис 1) определяется

как

С = 21п-

■/Р.

Д+А

Вероятности попадания из колебательной области в колебательные области А\, ^.соответственно Р, и А. определяются по формулам:

л=—— • (18)

Б) Случай движения с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации.

В этом случае интеграл действия в процессе движения изменяется по закону

~ 1-и

(19)

Из равенства интеграла действия (19) и интеграла действия на сепаратрисах /,, /3 и 1г (16) определяется параметр г. При этом время перехода

определяется по формуле

В) Рассматривается случай движения с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. В этом случае интеграл действия в процессе движения изменяется по закону

1г = 1У

1г = А-Ве-с,"х>.

(21)

Здесь А =

5 =

С = -—5-,

Р

"о

Из равенства интеграла действия (21) и интеграла действия на сепаратрисе /, (16), определяется параметр г. При этом время перехода определяется по

формуле (20).

В случае если диссипацией пренебречь изменение интеграла действия в процессе движения определяется по формуле

.1)

(22)

Тогда время перехода определяется соотношением t. = 2 In

\D-\tf-

Р

ill/Ms

I 1 P JJ I P

/Р.

(23)

В случае, когда кривые (21) и (16) не пересекаются, переход вращательного движения в колебательное не происходит, возникает длительное вращательное движение системы (плоская авторотация). Из условия касания кривых (21) и (16), для случая

критическая скорость (щ)^, при превышении которой возникает плоская авторотация определяется по формуле

где

В случае если диссипацией пренебречь, выражение для критической скорости принимает вид

(dX=D^/{\6n\). (25)

В отличие от аналогичных формул для критической скорости, приведенных в работах Ярошевского в интегральном виде, в формулах (24) и (25) параметр D выражен через элементарные функции (11).

В четвертой главе исследуется модель переходных режимов движения относительно центра масс космического аппарата с малой асимметрией, восстанавливающий аэродинамический момент которого описывается рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами. На примере спускаемой капсулы YES2 Европейского космического агентства «The Second Young Engineer's Satellite» исследуется переход плоского вращательного движения аппарата к колебательному, обусловленный медленным изменением коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов малой асимметрии и демпфирования. Проводится численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере.

-15В пятой главе приводится описание комплекса программ, реализованного в программной среде Delphi, математических пакетах MathCad, Mathematica, позволяющего строить фазовые портреты, определять времена переходов, сравнивать численные расчеты с расчетами по аналитическим формулам.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1) Разработан качественный и аналитический метод исследования математической модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы (2):

а) исследованы случаи бифуркации особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы;

б) найдены аналитические решения для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы;

с) получены аналитические формулы для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы.

2) Разработан аналитический метод исследования математической модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента (14):

а) получены формулы для определения времен переходов, возникающих

при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия;

б) исследованы случаи возникновения плоской авторотации;

в) определены формулы для критической угловой скорости;

г) получены формулы для определения вероятности попадания в различные колебательные области фазового портрета.

3) Разработан метод исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;

4) Разработан комплекс программ в пакетах MathCad, Mathematica, Delphi, позволяющего эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами.

В приложении приведены тексты разработанного комплекса программ.

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе: 1. Кеньшов Е.А., Тимбай ИЛ. Моделирование перехода плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией в колебательное при входе в атмосферу // Известия Самарского научного центра РАН. Самара. 2003. №1. С. 143-149.

2. Кеныиов ЕЛ. Исследование перехода плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией к колебательному при входе в атмосферу//Аспирантский вестник Поволжья. Самара. 2003. №1. С. 31-33.

3. Кеныиов Е.А., Тимбай ИЛ. Исследование переходных режимов движения летательного аппарата с малой асимметрией на верхнем участке траектории спуска в атмосферу // Управление движением и навигация летательных аппаратов. Часть 1. Самара. 2000. С. 95-97.

4. Кеныиов ЕЛ. Плоская авторотация летательного аппарата с малой асимметрией на верхнем участке траектории спуска в атмосферу // Сб. тр. студенческого научного общества факультета летательных аппаратов. Выпуск 2.1999. С. 29-31.

5. Кеныиов ЕА. Математическое моделирование переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «VII Королевские чтения». Самара. 2003. С. 68.

6. Кеныиов Е.А. Исследование плоской авторотации летательного аппарата с малой асимметрией на участке входа в атмосферу // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «VI Королевские чтения». Самара. 2001. С. 89.

7. Кеныиов Е.А., Тимбай ИЛ. Исследование переходных режимов движения космического аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов XXIV научных чтений по космонавтике. М: ИИЕТ РАН. 2000. С. 114.

8. Кеныиов ЕЛ. Определение границы перехода вращения в колебания летательного аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов 49-й студенческой научно - технической конференции. Самара. 1999. С. 78.

9. Кеныиов ЕЛ. Исследование переходных режимов движения спускаемого аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «V Королевские чтения». Самара. 1999. С. 31.

10. Кеныиов ЕЛ. Определение границы перехода вращения в колебание летательного аппарата с малой асимметрией // Тезисы докладов XXV Самарской областной студенческой научной конференции. Самара. 1998. С. 87.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

1.1 Анализ современного состояния проблемы исследования переходных процессов.

1.2 Численный анализ исследуемой математической модели и постановка решаемых задач.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

2.1 Фазовая плоскость движения системы.

2.2 Решение для углового параметра.

2.3 Аналитическое выражение для интеграла действия на сепаратрисах.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

3.1 Модель переходных процессов с учетом медленного изменения моментной характеристики.

3.2 Модель переходных процессов с учетом диссипации.

3.3 Модель переходных процессов с учетом диссипации и крутящего момента.

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ

4.1 Математическая модель движения космического аппарата при входе в атмосферу.

4.2 Численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере.

ГЛАВА 5. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ.

Большое количество задач, рассматриваемых в интересах развития науки и техники, сводятся к исследованию математических моделей нелинейных динамических систем второго порядка. Задачи такого рода возникают в механике, радиотехнике, теории управления, динамике космических аппаратов и других разделах современной науки. Важной проблемой является разработка качественных и приближенных аналитических методов математического моделирования переходных процессов, происходящих в системе под действием медленно меняющихся параметров, когда происходит изменение характера движения: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т.д.

В данной работе исследуется система вида a + F(a,z) = zf(a,z), (1) г = гФ(г),

F(a,z) = a(z)sina + b(z) sin 2а + c(z) cos а, f(a,z) = a(z)a + ^(z), где а - угловой параметр, F(a,z) - моментная характеристика, f(d,z) -малые возмущения, обусловленные наличием диссипации и крутящего момента, Ф(г) - малые возмущения, обуславливающие медленные изменения параметров, z - вектор медленно меняющихся переменных, s -малый параметр, характеризующий величину возмущений.

Системой такого вида описывается движение ряда механических задач, например, в частных случаях движение искусственных спутников на орбите Земли, спуск космического аппарата в атмосферу. Певозмущенная система (s = 0) описывает движение маятника на вращающейся платформе, со смещенной точкой подвеса относительно оси вращения платформы, а также влияние светового потока на движение электрона.

Общее решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер процесса, во-вторых, для установления закономерностей процесса требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решения, экономные с точки зрения машинного времени, всегда- должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка методов исследования, позволяющих существенно ускорить я расчет, установить закономерности, свойственные данному процессу, а также получить новые знания о нелинейных системах, является актуальной задачей.

Известно решение исследуемой невозмущенной системы, когда моментная характеристика представлена в виде синусоидальной или бигармонических гармоник. В данной работе найдено решение невозмущенной системы для случая, когда моментная характеристика описывается рядом Фурье с двумя первыми синусоидальными и первым косину соидальным членами.

В возмущенном движении системы происходит эволюция фазовых " траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета. Вопросы перехода между областями фазового портрета, разделенными сепаратрисами, в нелинейных системах с медленно меняющимися параметрами рассматриваются в работах Арнольда В.И., Нейштадта А.И., Ярошевского В.А. и др. Исследование эволюции фазовых траекторий проводится на основе анализа поведения интеграла действия. Получены-' формулы в интегральной форме для определения вероятностей попадания в ту или иную область движения, расчеты по которым позволяют исключить статистическое моделирование. Преобразование исходной модели к математической модели на основе интеграла действия ведет к существенному сокращению численных расчетов.

В прикладной задаче о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты Кузмаком Г.Е. исследованы переходные режимы движения тела, обусловленные медленным изменением во времени коэффициента синусоидальной моментной характеристики и диссипацией. В работах Асланова B.C. и Тимбая И.А. исследованы переходные режимы движения систем с бигармонической моментной характеристикой, обусловленные медленным изменением во времени коэффициентов моментной характеристики. В работах Ярошевского В.А. исследуются условия возникновения плоской авторотации - длительного вращательного движения тела без перехода в колебательное, когда моментная характеристика представлена рядом Фурье. Получены в интегральном виде формулы для определения критического значения скорости, при которой реализуется плоская авторотация.

В диссертационной работе исследуются переходные процессы в нелинейной динамической системе, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени " коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Косинусоидальная компонента моментной характеристики, например, применительно к спуску космического аппарата, обусловлена его малой асимметрией. На основе полученных аналитических формул для интеграла действия, для определения времен перехода через сепаратрису, для критической угловой скорости вращения, для определения вероятностей попадания в ту или иную колебательную область движения разработан метод аналитического исследования переходных процессов без численного интегрирования и в некоторых случаях без статистического моделирования. Разработан также метод аналитического исследования переходных процессов в прикладной задаче о входе неуправляемого тела в атмосферу. Цель работы. Целью настоящей работы является разработка качественных и приближенных аналитических методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, когда моментная характеристика представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента.

Для достижения данной цели в работе решаются следующие задачи:

1) оценка современного состояния проблемы разработки методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами;

2) разработка качественных и аналитических методов исследования модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы: а) исследование свойств модели в случае бифуркации особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы; б) нахождение аналитических решений для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы; с) получение аналитических формул для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы;

3) разработка методов аналитического исследования модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента: а) получение формул для определения времен переходов, возникающих при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия; б) исследование случаев возникновения плоской авторотации; в) получение формул для определения вероятностей попадания в различные колебательные области фазового портрета;

4) разработка аналитических методов исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;

5) проверка адекватности расчетов по аналитическим формулам и к результатов численного интегрирования;

6) разработка алгоритмов и комплекса программ, позволяющих эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами.

Методы исследования. При разработке методов для получения аналитических формул использовались теория адиабатического инварианта, метод фазовой плоскости, а также методы и подходы, развитые в работах Нейштадта А.И., Ярошевского В.А., Тимбая И.А. Научная новизна. Научная новизна работы заключается в следующем. " 1. Найдено аналитическое решение для углового параметра в невозмущенном движении нелинейной динамической системы второго порядка, моментная характеристика которой описывается рядом Фурье с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами; 2. Разработан метод аналитического исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Метод разработан на основе полученных аналитических формул:

1) для интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрис;

2) для определения времен перехода через сепаратрисы;

3) для определения вероятностей попадания в ту или иную колебательную область движения;

4) для критической угловой скорости вращения, при превышении которой вращение продолжается в течение длительного интервала времени.

Достоверность. Научные положения, выводы и рекомендации базируются на четком представлении автором принципов и методов математического t моделирования, полностью обоснованных корректными математическими выкладками, результатами численных расчетов и моделирования на ЭВМ. Практическое значение работы заключается в следующем: разработанные комплексы программ позволяют эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, в частности, в задаче о входе неуправляемого тела в атмосферу планеты. Результаты исследований и программное обеспечение используется в учебном процессе Самарского государственного аэрокосмического университета. На защиту выносятся: " 1) качественный и аналитический метод исследования модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы: а) алгоритм поиска особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы; б) аналитические решения для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы; с) аналитические формулы для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы;

2) метод аналитического исследования модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента: а) формулы для определения времен переходов, возникающих при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия; в) формулы для критической угловой скорости; г) формулы для определения вероятности попадания в различные колебательные области фазового портрета;

3) аналитический метод исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;

Публикации и апробация работы

Основные положения работы и научные результаты докладывались на 7-ми конференциях, в том числе, на 24-ых объединенных чтениях по космонавтике (Москва, 1999 г.); XXV самарской областной студенческой научной конференции (Самара, 1998 г.); всероссийской студенческой научной конференции «V королевские чтения» (Самара, 1999 г.), 49-ой студенческой научно - технической конференции (Самара, 1999 г.); IX научно - техническом семинаре по управлению движением и навигацией " летательных аппаратов (Самара, 1999 г.); всероссийской студенческой научной конференции «VII королевские чтения» (Самара, 2003 г.); российско - европейской летней космической школе (Самара, 2003 г.).

По теме работы имеется 10 публикаций /28-37/, в их числе статьи: в сборнике трудов студенческого научного общества «Студенческая наука аэрокосмическому комплексу» (Самара, 1999 г.); научно - техническом сборнике «Управление движением и навигация летательных аппаратов»

Самара, 2000 г.); известиях Самарского научного центра РАН (Самара,

2003 г.); аспирантском вестнике Поволжья (Самара, 2003 г.); также принята к печати статья в журнале РАН «Космические исследования» (Москва).

Результаты исследований вошли в научно - технический отчет по проекту Российского фонда фундаментальных исследований: проект РФФИ 99-01-00477 «Исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки в обобщенном случае Лагранжа», руководитель д.т.н., профессор

Асланов B.C., 1999 - 2001 г.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений и списка использованной литературы. В первой главе приведен обзор и анализ работ, посвященных исследованию переходных процессов в нелинейных динамических системах. Проводится численный анализ исходной системы. i

На основе представленного анализа сформулированы основные задачи, решаемые в данной работе.

Во второй главе описана модель невозмущенного движения нелинейной динамической системы. Проводится анализ фазовой плоскости движения системы, исследуются возможные виды фазовых портретов. Найдены решения для углового параметра во всех возможных случаях движения системы. Получены аналитические выражения для интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих различные области движения нелинейной системы.

В третьей главе исследуются переходные процессы в нелинейной " динамической системе с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Определяются моменты переходов вращательного движения в колебательное, а также колебательного движения в колебательное с другими характеристиками. Исследуются случаи возникновения плоской авторотации.

В четвертой главе исследуется переходные режимы движения космического аппарата (КА) при входе в атмосферу. Определяются времена переходов вращательного движения КА в колебательное, колебательного в колебательное с другими характеристиками, а также величины критических угловых скоростей, при которых реализуется плоская авторотация.

В пятой главе приведено описание комплекса программ, используемого для численного и аналитического исследования динамических систем второго порядка с переменными коэффициентами.

В заключение работы перечислены основные результаты работы, научные выводы и определено место основных результатов, полученных в данной работе, среди известных по исследуемой проблеме.

В приложении приведены результаты сравнения численных расчетов и расчетов по аналитическим формулам.

Выход

Форма «Просмотр файла результатов»

Форма предназначена для вывода результатов численного интегрирования (рис. 5.10). Выходными параметрами являются: время, угловой параметр, скорость изменения углового параметра, коэффициенты моментной характеристики, коэффициенты крутящего момента и диссипации. Также все выходные параметры записываются в файл rez.dat.

Форма «Результаты интегрирования»

Результаты интегрирования I alpha(tj, dalpha(t), a(t), b[tb c(t), ksip). sigmapj

96. 96. 96.

96,

97. 97. 97.

97. 37, 98 98

98, 98

98

99 99 99 99 99

398 5 4,

598 54

798 54

998 55

198 55,

398 54

598 54

798 54

388 54

198 53

398 53

598 53

798 53

998 53

198 53

398 52

598 52

798 51

268 568 853 034 048 887 608 304 044 849 703 580 448 272 002 588 050 ,578 .393

1.411 1.534 1.239 0.517 -0.389 -1.168 -1.538 -1.448 -1.133 -0.832 -0.650 -0.610 -0.734 -1.069 -1.677 -2.462 -2.744 -1.771 -0.027

-3.719 -3.756 -3.794 -3.832 -3.870 -3.909 -3.949 -3.988 -4.028 -4.069 -4.110 -4.151 -4.193 -4.235 -4.277 -4.320 .364 -4.408 -4.452

-4.958 -5.008 -5.058 -5.109 -5.160 -5.212 -5.265 -5.318 -5.371 -5.425 -5.480 -5.535 -5.590 -5.646 -5.703 -5.760 .818 .877 -5.936

-1

1.240 1.252 1.265 1.277 1.290 303 1.316 1.329 1.343 1.356 1.370 1.384 1.398 412 1.426 1.440 455 -1.469 -1.484

-1

0.010 0.010 0.010 0.010 0.010 0.010 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.011 0.012 0.012

0.012

0.006 0.006 0.006 0.006 0.006 0.007 0.007 0.007 0.007 0.007 0.007 007 0.007 0.007 0.007 0.007 0.007

007

-0

- ri'.v" -Щт

Форма «Помощь»

Форма предназначена для вывода подсказки по виду интегрируемой системы, коэффициентах системы (рис. 5.11). В работе предусмотрена контекстная ссылка на все вводимые параметры (рис. 5.2, 5.3).

Помощь - "I л

Форма «Помощь»

• и.-. B.VV: V/ - ■

Рассматриваемою в данной работе нелинейную динамическую систему можно представить в виде] о.+ a(z )sin cc+b(z )sin 2a + c(z )cos a= zg( z)a+ z = гФ(г), t где a(z), b(z), c(z) - коэффициенты моментной характеристики, g(z),

- коэффициенты диссипации и крутящего момента. Примем чакон изменения этих коэффициентов в виде: a(z)=a0z, b(z)=b0z, c(z) = c0z, o(z) = oaz. £(z,) = £0z, где <z0,b0,c0, a0, £0- некоторые числовые коэффициенты. Дня определенности примем закон изменения вектора медленных переменных в впде z = ехр(&(t-t0)) (р - пололапельньш коэффициент порядка малости s), такой закон характерен для движения системы в средах с экспоненциально возрастающей плотностью, например, в атмосфере.

Рис. 5.11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе разработан качественный и аналитический метод исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, когда моментная характеристика представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента.

Основными результатами проведенных исследований являются:

1) разработан качественный и аналитический метод исследования модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы: а) исследованы случаи бифуркации особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы; б) найдены аналитические решения для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы; с) получены аналитические формулы для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы;

2) разработан метод аналитического исследования модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента: а) получены формулы для определения времен переходов, возникающих при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия; б) исследованы случаи возникновения плоской авторотации; в) определены формулы для критической угловой скорости; г) получены формулы для определения вероятности попадания в различные колебательные области фазового портрета;

3) разработан аналитический метод исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;

4) разработаны алгоритмы и комплекс программ комплекс программ в пакетах MathCad, Mathematika, Delphi, позволяющие эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами.

Ниже приведено место основных результатов, полученных в диссертационной работе среди известных по исследуемой проблеме.

Вид нелинейной системы Результаты, полученные другими исследователями: Результаты, полученные автором:

Динамическая система с синусоидальной и бигармонической моментными характеристиками Невозмущенное движение.

Решения для углового параметра.

Возмущенное движение с учетом переменности коэффициентов.

Формулы для вычисления интегралов действия. Форйулы для времен переходов.

Возмущенное движение с учетом переменности коэффициентов с учетом диссипации и крутящего момента.

Формулы в интегральном виде для критической угловойскорости.' Формулы для времен переходов. Формулы в аналитическом виде для критической угловой скорости.

Динамическая система с моментной характеристикой в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной Невозмущенное движение.

Уравнение бифуркационной кривой. Решения для углового параметра во всех возможных случаях движения. Аналитические зависимости для интеграла действия на сепаратрисах.

Возмущенное движение с учетом переменности коэффициентов.

Формулы в интегральном виде для вероятностей попадания в различные колебательные области. Формулы для времен переходов. Аналитические формулы для вероятностей попадания в различные колебательные области

Возмущенное движение с учетом переменности коэффициентов с учетом диссипации и крутящего момента.

Формулы в интегральном виде для критической угловой скорости. Формулы для времен переходов. Формулы в аналитическом виде для критической угловой скорости.

1. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусъко Ф.Л. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии // Изв. АН. МТТ. 1986. № 5.С. 3.

2. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусъко Ф.Л. Быстрое движение вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде // Изв. АН. МТТ. 1982. № 3. С. 5.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Наука. 1979. С. 304.

4. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18. Вып. 6. С. 91-192.

5. Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы // Доклады АН СССР. 1965. Т. 161. № 1. С. 9-12.

6. Асланов B.C. О вращательном движении баллистического осесимметричного аппарата при спуске в атмосфере // Космич. исслед. 1976. Т. 14. № 4. С. 491.

7. Асланов B.C., Серов В.М. Вращательное движение осесимметричного твердого тела с бигармонической характеристикой восстанавливающего момента // Изв. АН. МТТ. 1995. № 3. С. 19.

8. Асланов B.C., Мясников С.В. Устойчивость нелинейных резонансных режимов движения космического аппарата в атмосфере // Космич. исслед. 1996 Т. 34. № 6. С. 626.

9. Асланов B.C., Тимбай И.А. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска в атмосферу // Космич. исслед. 1997. Т. 35. № 3. С. 279-286.

10. Асланов B.C., Тимбай И.А. Интеграл действия при движении твердого тела в обобщенном случае Лагранжа // Изв. АН. Механика твердого тела. 1998. № 2. С. 9-17.

11. Асланов B.C., Тимбай И.А. Канонические переменные действие угол при движении твердого тела под действием бигармонического момента // Изв. АН. Механика твердого тела. 2003. № 1. С. 17-30.

12. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М: МГУ. 1975. С. 308.

13. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М: Наука. 1965. С. 416.

14. Белецкий В.В., Яншин A.M. Влияние аэродинамических сил на вращательное движение искусственных -спутников. Киев: Наук думка. 1984. С. 188.

15. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.

16. Бухголъц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. П. М: Наука. 1972.

17. Боголюбов Н.Н. Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука. 1974. С. 504.

18. Боголюбов Н.Н. Митрополъский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наукова думка. 1969. С. 337.

19. Бобылев А.В., ЯротевскийВ.А. Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмосферу // Космич. исслед. 1999 Т. 37. № 5. С. 515-523.

20. Воейков В.В., Ярошевский В.А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1. № 3. С. 45.

21. Воейков В.В., Ярошевский В.А. Исследование плоского неуправляемого движения около центра масс аппарата, снижающегося в плотные слои атмосферы // Труды ЦАГИ, 1961.

22. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Журн. Вычисл. мат. физики 1963. Т. 3. № 1.С. 3.

23. Заболотнов М.Ю. Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спуске в атмосфере // Космич. исслед. 2002 Т. 40. № 5. С. 503-514.

24. Заболотнов Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией // Космич. исслед. 1993 Т. 31. № 6. С. 39-50. '

25. Заболотнов Ю.М. Метод исследования резонансного движения одной нелинейной колебательной системы // МТТ. 1996 № 5. С. 45-61.

26. Кенъшов Е.А. Исследование переходных режимов движения спускаемого аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов Всероссийской молодежной научной конференции «V Королевские чтения». Самара. 1999. С. 31.

27. Кенъшов Е.А. Исследование плоской авторотации летательного аппарата с малой асимметрией на участке входа в атмосферу // Тезисыдокладов Всероссийской молодежной научной конференции «VI Королевские чтения». Самара. 2001. С. 89.

28. Кенъшов Е.А. Определение границы перехода вращения в колебание летательного аппарата с малой асимметрией // Тезисы докладов XXV Самарской областной студенческой научной конференции. Самара. 1998. С. 87.

29. Кенъшов Е.А. Определение границы перехода вращения в колебания летательного аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов 49-й студенческой научно технической конференции. Самара. 1999. С. 78.

30. Кенъшов Е.А. Плоская авторотация летательного аппарата с малой асимметрией на верхнем участке траектории спуска в атмосферу // Сб. тр. студенческого научного общества факультета летательных аппаратов. Выпуск 2. 1999. С. 29-31.

31. Кенъшов Е.А., Тимбай И.А. Исследование переходных режимов движения летательного аппарата с малой асимметрией на верхнем участке траектории спуска в атмосферу // Управление движением и навигация летательных аппаратов. Часть 1. Самара. 2000. С. 95-97.

32. Кенъшов Е.А., Тимбай И.А. Исследование переходных режимов движения космического аппарата с малой асимметрией при входе в атмосферу // Тезисы докладов XXIV научных чтений по космонавтике. М: ИИЕТ РАН. 2000. С. 114.

33. Кенъшов Е.А., Тимбай И.А. Моделирование перехода плоского вращательного движения космического аппарата с асимметрией вколебательное при входе в атмосферу // Известия Самарского научного центра РАН. Самара. 2003. №1. С. 143-149.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.39 .КузмакГ.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М.: Наука, 1970.

35. Лифшиц И.М., Слуцкин А.А, Набутовский В.М. Об особенностях движения заряженных квазичастиц в переменном и неоднородном электромагнитном поле // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1961. Т. 41. Вып. 3. С. 939.

36. Нейштадт А.И. Вопросы теории возмущений нелинейных резонансных систем // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: ВИНИТИ, 1988.

37. Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису // Физика плазмы. 1986. Т. 12. Вып. 8. С. 992.

38. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимися параметрами // Прикладная математика и механика. 1975. Т. 39. С. 621-632.

39. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

40. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. С. 951.

41. Серое В.М. Вращательное движение динамически симметричного твердого тела под действием нелинейного момента // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №5. С. 26.

42. Тимофеев А.Ф. Интегрирование функций. М.: ОГИЗ, 1948.

43. Шилов А.А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 5. С. 1028.

44. Ярошевский В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М.: Машиностроение, 1978.

45. Ярошевский В.А. Исследование условий возникновения плоской авторотации космического аппарата на этапе входа в атмосферу // Космические исследования, 2001, Т.39, №1, С. 43-50.

46. Neishtadt A. Averaging, capture into resonances, and chaos in nonlinear system // CHAOS/XAOS. New York., 1990, pp. 261-273.