автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарных процессов взаимодействия ансамблей заряженных частиц с электромагнитными полями

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

БОГОМОЛОВ Яков Леонидович

УДК 533.951:519.633

1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ АНСАМБЛЕЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Горький - 1989

Работа выполнена В Институте прикладной физики АН СССР, г. Горький.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор А.Г.ЛИТВЛК,

1£андидат физико-математических на; С.Н.С. А.Д.ЮНАКОВСКИЙ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических гlav

профессор Ю.С.СИ ГОВ.

доктор физико-математических нау. профессор Е.Н.ПЕЛИНОВСКИЙ

Ведущая организация: Институт автоматики и электрометри!

СО АН СССР (г. Новосибирск)

Зашита состоится " " .Р/У^^/г^ 1990 г. в ~00 часов на заседании специализированного совета К 003.38.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте прикладной физики (603С00, г. Горький, ул. Ульянова, 46).

Отзывы направлять по адресу: 603600, Горький, ГСП-120, ул. Ульянова, 46, ИПФ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПФ АН СССР.

Автореферат разослан 19

Ученый секретарь

специализированного совета ^/¡^' ^

доктор физико-математических наук А.Г.ЛУЧИНИН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория взаимодействия ансамблей |аряженньк частиц с электромагнитными полями традицион-ю является областью активных исследований в физике плазам и электронике СВЧ.

Одним иг важных направлений этих исследований являйся изучение динамики процессов при воздействии на плаз-[у электромагнитных полей. Помимо развития представлений | фундаментальных явлениях (ленгмвровская турбулентность, :жагие во внешнем магнитном поле, распространение пучков 1лектромагнитных волн в плазме и т.д.), теоретические 1азработки по данной тематике стимулируются активно веющимися экспериментальными исследованиями» каправленны-[И на решение таких важных прикладных задач, как инер-' ¡ионные способы удержания, сжатие и нагрев плазмы, соз-,ание искусственных-неоднородностей ионосферы для рас-ирения возможностей радиосвязи и др.

Одновременно в электронике СВЧ ведется разработка :ощных источников электромагнитных колебаний, которые лгут быть использованы в плазменном эксперименте. Соэ-- I -

данке коротковолновых источников (гиротроны, ЛСЗ - лазер на свободных электронах) требует использования сверхраз-нерных электродинамических снстеы, в которых во взаимоде: ствие вступает значительное количество мод. Исследование динамики процессов конкуренции ыэд в таких системах пред ставляет интерес в плане возможностей этих генераторов.

Общие сложности исследования математических моделей процессов взаимодействия ансамблей заряженных частиц с электромагнитными долями заключаются, главным образом, в нелинейности и многомерности. Аналитические решения стро ятся лишь в отдельных случаях. Полное исследование возыо: но, как правило, только с помощью численных расчетов на ЭВМ. Но, поскольку потребности прикладных и фундаментальных исследований в физике плазмы и электронике СВЧ расту быстрее, чем возможности вычислительной техники, актуальной остается проблема выбора и создания новых эффективны вычислительных методов и алгоритмов.

Цель работы и основные задачи. Цель настоящей работ! заключается в развитии и приложении вычислительных методов и алгоритмов для численного моделирования нестациона: дах процессов взаимодействия электромагнитных полей с пл; змой или потоками частиц.

Ори этом проведены исследования математических моделей, описывающих следующие конкретные физические явления и процессы:

I) динамику многоыодовых ЛСЭ-генераторов и гиротро-нов (самосогласованная система усредненных уравнений для поля и усредненных уравнений движения частиц);

Z) ленгмвровскув турбулентность во внешеы высоко- 2 -

1стотноы поле без учета изменения электронной функции ^определения (система уравнений квазигидродинамического' эибликения);

3) ленгшоровскую турбулентность, возбуждаемую пучком тектронов или внешний высокочастотным полем с учетом избиения функции распределения электронов (система квази-едродинамических уравнений совместно с диффузионным урав-гннем для функции распределения);

4) сжатие плазмы во внешнем магнитном поле (дЕумер-эе по пространственным переменным уравнение Фоккера-1ланка);

5) динамику распространения пучков электромагнитных )лн в нелинейных средах (уравнение Шредингера совместно уравнением для среды; рассмотрены различные варианты заЕнения для среды).

Научная новизна. Научная новизна диссертационной ра->ты заключается в следующем.

Разработана новая методика построения схем численно) интегрирования с использованием высших производных для ¡ыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка ща Основываясь на неявных соотношениях »

¡пользуя разложения в ряды Тейлора правых частей, метода позволяет получать явные расчетные формулы. Кроме то-I, при определенных предположениях относительно Эс), ;ается полностью избежать вычисления значений этих функ-¡й. Последнее обстоятельство позволяет существенно сокра-1ть время расчетов.

Сконструированы новые вычислительные алгоритмы для >авнения движения заряженных частиц в переменных электро- 3 -

магнитных полях с учетом того факта, что поля известны только в узлах вычислительной сетки. Данные алгоритмы бш использованы при численном моделировании нестационарных процессов в СВЧ-генераторах со сверхразмерными электродинамическими системами. Впервые исследованы нестационарные режимы генерации' в электронных генераторах следутацих веде ЛСЭ с двухзеркальным резонатором (случаи непрерывной и ш пульсной инжекции электронов), ЛСЭ с распределенной обрат ной связью, гиротрон с квазиоптическим резонатором.

Предложены модификации операторного компактного неяв ного метода для операторов второго порядка с особенностями в коэффициентах* (типа радиальной части оператора Лапласа в цилиндрической системе координат1).

Проведено численное моделирование эволюции двумерной функции распределения электронов при адиабатическом магнитном сжатии плазмы с учетом кулоновских столкновений. Получены- количественные характеристики процесса установления стационарного анизотропного распределения по питч-углам.

На основе спектрального и операторного компактного неявного методов разработана и программно реализована методика численного интегрирования нелинейной системы уравнений, описывающей одномерную турбулентность плазменных волн (система уравнений квазигидродинамического приближения совместно с диффузионным уравнением .для функции распределения электронов). Универсальность программы, заключающаяся в возможности модификации рассматриваемых уравнений, позволяет использовать ее для широкого класса задач физики плазмы. В частности, с ее помощью были иссле -

«м ¿¿г —

,ованы основные количественные и качественные характерис-■ики одномерной ленгмюровской турбулентности, возбуждае-' ¡ой внешим высокочастотным полем или пучком электронов, ¡зучека динамика околозвуковых ленгмюровских солитонов и .Етоколебательного солитона в замагниченной плазме, а тан-;е исследован ряд других задач.

На. основе неявного спектрального метода разработана [етодика численного интегрирования нелинейных систем равнений, описывающих динамику многомерных процессов не-тационарного самовоздействия пучков электромагнитных ¡олн в средах с различными типами нелинейности. В числен-[ом эксперименте получены новые типы нелинейной эволюции юлн, связанные с процессами инерции нелинейности: дина-¡ическое самоканалирование, характеризующееся сжатием учка в однородную нить; формирование движущихся в прост-¡анстве локальных сгустков типа фокусов.

Практическая значимость. Смоделированные в работе шзические эффекты имеют широкий круг практических прило-:ений. К ним относятся эксперименты по инерционным и маг-:итным способам удержания, сжатию и нагреву плазмы, про-юдимые по программе УГС; лабораторные и ионосфе;>кне экс-;ерименты по взаимодействию моищх электромагнитных волн

плазмой. Результаты, полученные в диссер-чции, можно :спользовать для прогнозирования и интерпретации этих.экспериментов.

Рассмотренные в работе математические модели ленгмо-ювекой турбулентности и динамики распространения пучков лектромагнитных волн в плазме имеют универсальный харак-•ер. Поэтому разработанные методик.* расчетов и их програм-

иные реализации могут быть использованы для численного моделирования реда других физических явлений.

Предложенные в работе модификации операторного компактного неявного метода, методика численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго по рядка, вычислительный алгоритм для нестационарного уравнения Шредннгеровского типа кмеют самостоятельный интере и могут быть использованы при решении других задач.

При исследовании нестационарных процессов в многомо доеых СВЧ-генераторах получен вакшй с практической точк зрения результа|, заключающийся в возможности установления одночастогной генерации виз зависимости от числа мод попадающих в полосу усиления.

Представленные в работе численные алгоритмы допускают распараллелившие вычислений и легко переносятся на спецпроцессорную технику, интенсивно развивающуюся в настоящее- время.

Апробация полученных результатов. Основные результаты работы докладывались на ХУ Мевдународной конференции по явлениям в ионизованных газах (Минск, 1981), УШ Всесоюзной школе "Численные методы решения задач математической физики" (Львов, 1983), X Всесоюзной конференции по электронике СВЧ (Минск, 1983), 1У Всесоюзном семинаре по релятивистской высокочастотной электронике (Москва, 1984), конференции по физике горячей спазмы (Звенигород, 1984), 1 Всесоюзной школе "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Рига, 1985), 1У Международной конференции "Пограничные и внутренние сдои" (Новосибирск, 1985), Л Все- о -

эюзной сноле "Теоретические основы и конструирование «ленных алгоритмов решения задач математической физики" "Ърький, 1986), УП Международной конференции по физике иазмы (Киев, 1987), на всесоюзных семинарах по плазмен-зй турбулентности в ФИ АН СССР, а тахле на семинарах атематических отделов ИПФ АН СССР и НИР£И.

По теме диссертации опубликовано 16 работ, список эторых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит з введения, трех глав, заключения и приложения. Она из-ожена на 205 страницах машинописного текста (осноенок екст,включая приложение, занимает 129 страниц) и содер-ит 40 рисунков и 10 таблиц. Список литературы содержит 25 названий работ (список литературы к прилогенпз -I наименование),

СОДШШШЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, вклв-[ая актуальность темы, цель и основные задачи, научную говизну и практическую значимость, а также приведены ос-гавные защищаемые положения.

В начале каждой главы и приложения определяется круг осматриваемых вопросов, а также проводится краткий об-юр литературных источникоь. В заключениях к главам крат-со формулируются основные результаты и выводы.

Первая глава посвящена проблеме численного модели-ювания нестационарных процессов в электронных генераторах.

В п. 1.1 приводятся основные уравнения, описывающие ззаимодействие электронного пучка с электромагнитными

- 1 -

(ЗМ) волнами в следующих системах: ЛСЭ с резонатором 5аб-ри-Перо (случаи стационарной и импульсной инжекции элект ронов); ЛСЭ с брэгговским резонатором; гиротрон, работав щий на модах шепчущей галереи. Обосновывается выбор прос ранственно-временной модели для описания многомодовых процессов. Отмечаются основные вычислительные трудности для рассматриваемых уравнений: наличие большого числа не зависимых переменных; нелинейность уравнения движения ча тиц; возможность образования сложных структур ЗМ полей, обусловленная взаимодействием большого числа мод в рассы риваемых системах;.

В п. 1.2 представлены разработанные новые численные алгоритмы интегрирования уравнения движения заряженных частиц в переменных ЭЦ полях с учетом того факта, что по ля известны только в дискретных точках. В случае малости изменения энергии частиц алгоритм сконструирован согласи методике численного интегрирования обыкновенных дифферен циальных уравнений второго порядка, изложенной в прилоке нии. В более общем случае алгоритм построен на основе не линейной локальной замены. В обоих случаях расчетные фо£ мулы являются явными, хотя основываются на первоначально неявных соотношениях. Разработанные алгоритмы дали возможность выполнять вычисления с более крупными шагами по сравнению со стандартными двухточечными методами. С использованием данных алгоритмов построены вычислительные схемы, которые позволили промоделировать сложные режимы

генерации (периодические и стохастические автоколебания)

*

в рассматриваемых системах.

П. 1.3 посвящен изложению основных результатов вы-

целительных экспериментов по исследованию нестационарных енсиыов генерации в электронных генераторах. Показана при умеренных превышениях электронного-тока над старто-им значением) возможность установления одночастотной энерации вне зависимости от числа мод, попадающих в по-осу усиления. Также показано, что при дальнейшем увели-знии электронного тока имеет место последовательность ифуркаций: одномодовая генерация сменяется кооперацией эд е периодическую структуру волны; в свою очередь, пе~ «одическая автомодуляция переходит в стохастическую, арактер выхода на сложные режимы различается, в заЕиси-эсти от рассматриваемой системы.

В п. 1.4 сформулированы основные результаты и выео--л по первой главе.

Вторая глава касается вопросов использования схем эвышенного порядка аппроксимации для ¿'равнений парабо-лческого типа, описывающих диффузионно-конвективные яе— эния (в.т.ч. рассматривается и двумерный случай).

В п. 2.1 проводится краткий обзор существующих се-эчных методов повышенного порядка аппроксимации и обос-эвьшаются преимущества операторного компактного неявно-• з метода (ОКНМ): высокий порядок аппроксимации по прост-анственной переменней - четвертый (как следствие, воз-эжнссть использовать крупные временные шаги), сведение входной задачи к решению трехдиагональной системы урав-' гний, возможность простой факторизации в многомерном гсучае, возможность построения ОКН схем, устойчивых по гношению к большим значениям сеточного числа Рейнольд- -а, возможность построения ОКН схем, обладащих свойст-

бом равномерной сходимости. Для двумерного уравнения в схеме Крзнка-Никольсона предложена модификация рекурсивной формулы,'существенно упрощаащая вычисления.

Б п. 2.2 представлены ОКН формулы экспоненциального типа разностной аппроксимации оператора Лапласа в полярной системе координат, а также результаты тестов, на которых эти формулы были апробированы.

В п. 2.3 получены разностные формулы ОКН приблкгенк; для оператора. ЬШвЪ/, входяцего :

двумерное уравнение Фоккера-Еланка, которое описывает пр< цесс образований»' ускоренных электронов при адиабатически магнитном сжатии плазмы с учетом кулоновскил столкновени: На основе ОКН метода сконструирована численная схема интегрирования данного уравнения. Представлены результаты тестовых расчетов (тривиальные случаи) и поведения интеграла уравнения в общем случае. Изложены основные результ. ты исследования процесса скатия полностью ионизированной плазмы вс внешнем магнитном поле, полученные на оскоЕе численного моделирования. Отмечено применение ОКН метода для решения рада других задач (процесс синхротронного ИЗ' лучения, динамика квазилинейной релаксаций быстрых части в плазме при наличии источников и стоков частиц и волн).

В п. 2.4 сформулированы основные результаты и выводы по второй главе.

Третья глава посвящена использованию спектральных методов при численном моделировании ленгмзровской турбулентности и распространения пучков Ш волн в нелинейных средах.

П. 3.1 касается изучения одного из фундаментальных

— Ю —

явлений в физике плазмы - сильной ленгмюровской турбулент-1 ности. Отмечены три основных подхода, используемых для описания данного явления: модели, основанные на системе уравнений движения для отдельных частиц; модели, основанные на кинетических уравнениях Власова и гидродинамические модели, получавшиеся на основе усреднения уравнений Власова по скоростям частиц и временя масштаба плазменного периода. На основе гидродинамической модели рассмотрена задача о динвмике сильной ленгмюровской турбулентности, возбуждаемой в однородной изотропной плазме, помещенной в плоский конденсатор, на обкладках которого поддерживается заданная плотность высокочастотного з&рада (постоянная электрическая индукция). Представлен алгоритм численного интегрирования системы квазигвдродинамических уравнений, основанный нэ спектральном методе. Спецификой алгоритма является то, что, основываясь на неявных соотношениях, он позволяет вести расчеты по явным формулам. Алгоритм протестирован в случае, когда известно точное решение системы уравнений. Приведены основные результату численного моделирования одномерной ленгмюровской турбулентности, возбуждаемой внешним высокочастотным полем, с учетом линейного затухания Ландау.

В п. 3.2 при анализе затухания ленгмюровских волн принято во внимание изменение функции распределения электронов: система уравнений квазигидродинамики дополнена диффузионным уравнением для функции распределения. При численном решении последнего использовался ОКН метод.

Данная математическая модель была использована тайге при исследовании ленгмировской турбулентности, воз- II -

букдаемой пучком электронов. Выделены основные характерные стадии данного процесса.

П. 3.3 посвящен численному моделированию распространения пучков 5М волн в нелинейных средах. Изложены алгоритмы, основанные на использовании дискретного преобразования Фурье, с поморю которых исследована пространственно-временная динамика интенсивных пучков излучения в средах с локальным, 'диффузионным и ззуковым.механизмаtu установления нелинейности, а также в средах с ионизационной нелинейность». В численных расчетах получены новые типы нелинейной эволк§дии волн: динамическое сакоканалирование, характеризующееся сжатием пучка в однородную нить; образование движущихся в пространстве локальных сгустков типа фокусов. Показана возможность реализации нестационарных режимов с захватом произвольного потока энергии в канал.

В п. 3.4 сформулированы основные результаты и выводы по третьей глвье.

В заключении приведены основные результата диссертационной работы.

1. Разработана методика построения схем численного интегрирования для обыкновению: дифференциальных уравнений второго порядка вида X = § (~t, х) . Согласно данной методике сконструирован быстрый и высокого порядка точности вычислительный алгоритм для уравнения движения частиц (обобщенное уравнение маятника).

2. Разработаны схемы повышенного порядка точности численного интегрирования систем самосогласованных уравнений, описывавцих нестационарные электронно-Еолновые.

взаимодействия в генераторах со сверхразмерными электродинамическими системами (ЛСЭ, гиротроны). Численное исследование нестационарных режимов генерации в электронных генераторах показало, что при умеренна превышениях тока пучка над стартовым значением устанавливается одночастот-ный режим автоколебаний вне зависимости от числа мод, попадающих в полосу усиления. При значительных превышениях тока пучка реализуются режимы периодической и стохастической автомодуляции.

3. На основе операторного компактного неявного метода получены новые разностные аппроксимации операторов второго порядка с особенностями в коэффициентах (типа оператора Лапласа в полярной системе координат).

4. Проведено численное исследование процесса образования ускоренных электронов при адиабатическом магнитном сжатии плазмы с учетом кулоновских столкновений (двумерное по пространственным переменным уравнение Фоккора-Планка) . Получены количественные характеристики процесса установления стационарного анизотропного распределения

по питч-углам.

5. Разработана и программно реализована методика численного инт грирования нелинейной системы уравнений, описывающей одномерную турбулентность плазменных волн (квазигидродинамическое приближение с учетом изменения функции распределения электронов). Универсальность программы, заключающаяся в возможности модификации уравнений, позволяет использовать ее для широкого класса задач физики плазмы.

6. Проведено исследование на ЭШ бесстолкновительных

механизмов диссипации ленгмаровских волн, возбуждаемых пучком электронов или внешним высокочастотным полем. Показано, что"учет взаимодействия электронов с ленгмврсвс-кими волнами приводит к расширению области сильного затухания Ландау и влечет за собой увеличение потока энергии, поглощаемого плазмой.

7. Разработаны схеш численного интегрирования нелинейных систем уравнений, описывающих многомерную динамик; процессов нестационарного самовоздействия пучков электромагнитных волн в нелинейных средах. В численных расчетах обнаружены новы]5 типы нелинейной эволюци : волн: динамическое самоканалирование; дви ущиеся в пространстве локальные сгус .'•ки типа фокусов. Показана возможность регли зацик нестационарна режимов с захватом произвольного по тока энергии в канал.

В приложении изложена методика построения явных схем численного интегрирована для обыкновенных дифферен циальных уравнений второго порядка Еида X - Ос-

новываясь на неявных соотношениях и используя высшие прс кзводные функции ¡Ь, X) , методика позволяет получить ЯБНые схемы интегрирования. В качестве основного примерг приведено построение вычислительного алгоритма для обобщенного уравнения маятника ДГ= НеШфхрих)], описывавшего движение электронов в переменных электромагнитных г лях. Рассмотрен вопрос построения схем, сохраняющих инк ральные инварианты для уравнений второго порядка. Провес но исследование точности, (¿Г - устойчивости и лиувилдев! ти для двухточечных схем, т.е. схем, использующих инфор нацию только в вух узлах вычислительной сетки: исходно!

1 рассчитызаемом. Введено также понятие ^ -устойчивости ¡етодов численного интегрирования.

ОСНОВННЕ ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Разработана методика построения схем численного ;нтегрирования с использованием высших производных для быкновенных дифференциальнпх уравнений второго порядка ида Согласно данной методике сконструирован ыстрый и высокого порядка точности вычислительный алго-итм для уравнения движения заряженных частиц в электро-агнитных полях. Использование данного алгоритма в схе-ах численного интегрирования систем самосогласованных равнений, описывающих нестационарные процессы в СВЧ-ге-ератсрах оо сверхразиерными электродинамическими систе-ами, позеолило исследовать периодические и стохастичес-ие режимы автоколебаний.

2. Предложены модификации операторного компактного зявного метода для операторов второго порядка с ососен-остями в коэффициентах (типа оператора Лапласа в полярой системе координат), которые позволили эффективно ис-педовать двумерное по пространственным переменном ура;.?-зние Фоккера-Планка, описывающее эволюцию функции расп-гделения заряженных частиц в магнитном по.-«-.-.

3. На основе спектрального и операторного компактно неявного методов разработана и программно реализова-1 методика численного интегрирования нелинейной системы эавнений, описывающей одномерную турбулентность плазмен-к еолн (квазигидродинамическое приближение с учетом пиитических эффектов). Универсальность программы, заключаю- 15 -

шаяся в возможности модификации рассматриваемых уровне- 1 кий, позволяет использовать ее для широкого класса задач физики плазмы..

4. На основе спектрального метода разработана методика численного интегрирования нелинейных многомерных систем, включающих в себя уравнение Ыредингера и эволюционное уравнение для параметров среды. Применение методики к задачам распространения сильных электромагнитных волн в плазме позволило обнаружить и исследовать эффекты динамического самоканглирования излучения.

СПИСОК РАБОТ ПО TEL1E ДИССЕРТАЦИИ

1. Богомолов Л.Л., Братман В.Л., Гинзб;_я" К.С., Петелин Ü.H., Юнаковский А.Д. Автомодуляционные режимы в электронных генераторах электромагнитных колебаний // X Всесоюз. конф. по нелинейной и когерентной оптике: Тез. докл.-Ч. П. - Киев, I960. - С. 298-299.

2. bopmotov УаМ.,Ьхйтп V-L^blmbuif h/.S.jPetdintí.l VuHakovsky R.D. MonstcitLoHûiy ^гиехаНои ¿n free dutxoK Castts Ц Opt. Сонтш,.- iâSi. - VoL SS, Уо.ъ,- р.гов-гп.

3. bo^oMctoY %M.,Litvak H.<r.,Sevjjeev

human, В.И., imkwsky iï.D. tirona Рмутшъ tua-iicitML ¿h i&t externat ki^k-jxefuBUcy -ÇuU// PiûCCidihûs of Ш XV Int. сои$. phenomena Lu Mit i $nses. - P. I- Minsk; 49H-P.2H-2H¿.

4. focjonctov Уй.к} Kot'chuflwa.'l. d.jbitviik ñ.(r.;Sn¿cev Й. M tun-s on il sotitohs // Phys. Lïtt.

1982. - Vo?. Si й, Л/о. 9- Р. W~ hso.

5. Богомолов Я.1., ЮнакоЕСкий А.Д. Численное моделирование нестационарных процессов в лазерах на свободных электронах. - Горький, 1983. - 28 с. - (Препринт /ИШ АН СССР; № 71).

6. Богомолов Я.Л., ГинзбургН.С., Сергеев A.C. Численное моделирование нестациснар-шх процессов в лазерах на свободных электронах с распределенной обратной сеязью. - Горький, 1983. - 25 с. - (Препринт / ИП5 АН СССР;

№ 82).

7. Богомолов Я.Л., Гинзбург Н.С., Сергеев A.C. Моделирование нестационарных процессов в ЛСЭ с распределенной обратной связью // X Всесоюз. конф. по электронике СВЧ: Тс-, докл. - Минск, 1983. - С. 2С0.

8. Богомолов Я.Л., шаковский А.Д. Численное моделирование нестационарных многомодоеых процессов в МЦР с квазиоптическими резонаторами // Мощные генераторы и усилители на релятивистских электронных потоках: Тез. докл. 1У Всесоюз- семинара по релятиЕистской высокочастотной электронике. - Ы., 1984. - С. 39.

э. Ьоцом&т )l().L.tyun<ikovsky fi.®. MmtxicaC • im. -Ution, of honstxtionaiu pxoc&sses in- free. eitcttoH, ÍCLSiis. {/ У. lowput. °k. - У$85. -VoL5S,i/o.l-p.S0-35.

0. Богомолов Я.Л., Сергеев A.C., Юнаковский А.Д. Построение схем численного интегрирования для обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида. - Горький, 1985. - 16 с. - (Препринт/ ИШ АН СССР; И 125).

1. Богомолов Я.Л., Енаковский А.Д. Метод построения яв-

кых разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений ьторого порядка // X Всесоюз. школа "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики": Тез. докл. - Рига, 1985. - С. 163-184.

12. Богомолов Я.Л., Демехов А.Г., Трахтенгерц B.C., ILep 3.11., Енаковский А.Д. Численное моделирование эволюции двумерной функции распределения при адиабатическом магнитном сжатии плазмы // Там же. - С. 182-183.

13. Богомолов Я.Д., Гинзбург Н.С., Сергеев A.C. Динамика лазеров на свободных электронах с распределенной со-ратной связькз // Радиотехника и электроника. - 1986. - Г. 31, -эд. I. - С. 102-107.

14. Богомолов Я.Л., Юнаковский А.Д. Построение явных разностных схем с интегральной корректировкой для задач с пограничным слоем // Четвертая Мекд. конф. по пограничным и внутренним слоям: Тез. докл. - Новосибирск, 1986. - С. 26.

15. Богомолов Я.Л., Пянькина Е.А., Юнаковский А.Д. Использование быстрых преобразовании Фурье и Ханкеля при численном моделировании распространения пучков электромагнитных волн // У1 Всесовз. школа "Теоретически« основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики": Тез. докл. -Горький, 1986. -С.27.

16. bo^omotov Vа.^ЫЖи^м&Т.в Litvak ß.6.,HLmovV, Sixoruj famßftiuit iui&uünce excited

г fiction, ьшл // Pzcuedl^s cwttiiutgdpapt ißt. Tut соя£. onp£asM& physics.- VoL

Км: Уликой Уипка,, МП,-Р. МЗЧ9&.

7. Богомолов Я.Л., Лирин С.5., Семенов В.Е., Сергеев А.М. Ионизационное самоканалирование сверхсильных электромагнитных волн в плазме // Письма в ЮТФ. - 1987. -Т. 45, вып. II. - С. 532-535.

.8. Богомолов Я.Л., Демехов А.Г., Трахтенгерц В.Е)., Шер Э.М., Юнаковский А.Д. Об эффекте "убегания" при адиабатическом магнитном сжатии плазмы // Зизика плазмы.-1988. - Т. 14, вып. 5. ~ С. 539-546.