автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарных процессов в упругом полом цилиндре под действием двустороннего переменного давления

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ.

§1 Уравнения теории упругости в цилиндрической системе координат.

§2 Математическая постановка плоской осесимметричной задачи для упругой трубы.

§3 Групповые свойства основного уравнения.

ГЛАВА 2. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА.

§4 Класс Хг+аХд инвариантных решений.

§5 Класс Хз+аХд инвариантных решений.

§6 Класс X 3 + аХ4 инвариантных решений.

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

§7 Исследование расположения собственных значений на комплексной плоскости и нахождение частных решений.

§8 Сведение к системе интегральных уравнений.

§9 Сведение к одному интегральному однородному уравнению

Фредгольма второго рода.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА.

§10 Алгоритм численного решения задачи на собственное значение.

§11 Нахождение численного значения перемещений и напряжений плоской осесимметричной задачи со свободной границей для упругого полого цилиндра.

§12 Численное нахождение зависимости внешнего и внутреннего радиусов полого цилиндра от переменного давления.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Нестационарные процессы в полом цилиндре (трубе) могут быть рассмотрены с различных точек зрения. Одна из них - изучение движения жидкости или газа и изменения давления при этом внутри трубы. Первые работы, посвященные исследованию нестационарного движения жидкости в трубах, относятся к концу прошлого века. Фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес Н.Е. Жуковский. Его теория распространения ударных волн в трубах с учетом сжимаемости жидкости и упругости стенок трубопровода опубликована в 1898 году в работе[13]. Развитие нефтяной промышленности, строительство нефтепроводов значительной протяженности поставило многочисленные задачи, решение которых потребовало дальнейшего развития теории. Периодические колебания давления в длинных трубопроводах поршневых насосных установок впервые были рассмотрены с учетом сжимаемости жидкости академиком Л.С.Лейбензоном. Работу [43] профессора И.А.Парного можно расценивать как развитие исследований вышеназванных ученых. Им рассмотрены вопросы неустановившегося движения вязкой жидкости и газа в трубах. Дан вывод уравнений движения и исследованы методы их интегрирования в случае, когда на одном конце задано давление, а на другом линейная комбинация скорости и ее производной по направлению как функции времени. Показано, что к такому типу граничных условий приводит широкий класс движений жидкости по трубопроводу. Полученные И.А.Чарным точные решения используются для рассмотрения ряда практических вопросов, например, гидравлического удара, колебаний давления в трубопроводах, акустического наддува поршневых компрессоров и др.

Другой взгляд на обсуждаемую проблему - это изучение процессов в теле самой трубы. Напряженное состояние в полом цилиндре при взрыве рассмотрено В.Н.Ионовым и П.М.Огибаловым [14]. Стационарная задача о распределении перемещений и напряжений в теле упругого полого цилиндра (трубы) под действием постоянных внутреннего и внешнего давлений с исследованием напряженного состояния стенки трубы для различных вариантов задания давлений поставлена и решена в книге Л.И.Седова [37].

В реальных трубах маловероятно постоянное давление. При движении жидкости в трубе и вне нее происходит взаимное силовое влияние. В теле трубы под действием давления жидкости возникают перемещения, вызывающие смещение поверхности трубы. Смещение стенок трубы, в свою очередь, влияет на течение жидкости, изменяя давление. Колебания упругих цилиндрических оболочек, содержащих жидкость и газ, изучались М.А. Иль-гамовым в работе [17]. В работах [15], [16] М.А.Ильгамова, В.А.Иванова, Б.В.Гулина исследована динамика цилиндрических оболочек с упругим заполнителем. В работе [15], наряду с другими вопросами, рассмотрены вынужденные колебания цилиндрической системы оболочка-заполнитель при гармоническом изменении во времени давления во внутреннем канале заполнителя. Решение задачи численно-аналитическое. В работе [16] исследованы волновые процессы деформации полого упругого толстостенного цилиндра конечной длины, жестко или свободно вставленного в жесткую оболочку. Рассмотрены динамические реакции цилиндра на резкое изменение внутреннего давления. Решение задач численное. В диссертации впервые для решения задачи о распространении перемещений и напряжений в теле полого цилиндра под действием переменных внутреннего и внешнего давлений использован метод инвариантных решений.

Таким образом, тема работы представляется актуальной и требующей активной разработки.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является нахождение перемещений и напряжений в упругой трубе под действием переменных внутреннего и внешнего давлений. Задача ставится в общем виде, решается простейший случай - плоская осесимметричная задача для упругого кольца. В точной постановке получается задача со свободными границами.

Основные методы исследования. Математическая постановка реальной физической задачи осуществлена с помощью соотношений теории упругости. Далее использован групповой анализ дифференциальных уравнений: найдены частные решения задачи, зависящие от бесконечного числа постоянных, с помощью группы преобразований, допускаемых уравнением. Для перехода от исходной краевой задачи к задаче на собственное значение использованы: теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений. Для решения полученной задачи на собственное значение применены численные методы и ЭВМ.

Научная новизна работы, по мнению автора, состоит в том, что впервые в точной постановке исследована плоская осесимметричная задача для полого цилиндра под действием переменных внутреннего и внешнего давлений, в отличие от предыдущих постановок, это задача нестационарная, со свободными границами. Впервые для поставленной задачи применен групповой анализ дифференциальных уравнений.

Практическая и теоретическая ценность работы заключается в том, что доказано существование и предложен численный алгоритм нахождения класса новых инвариантных решений поставленной задачи. Полученные результаты могут быть использованы, например, при проектировании транспортных трубопроводов, при исследовании поведения колонны труб в скважине при бурении, для организации передачи сигналов вдоль тела трубы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: на Международной научной конференции « Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы» г. Стерлитамак, 1998); на Международной научной конференции «Математические модели и методы их исследования» (г. Красноярск, 1999); на Международной научной конференции « MOGRAN 2000. Modern group analysis for the new millennium. » (г. Уфа, 2000); на семинарах лаборатории дифференциальных уравнений механики Института механики УНЦ РАН, научный руководитель, профессор С.В. Хабиров; на заседании семинара кафедры вычислительной математики и кибернетики УГАТУ, научный руководитель, профессор Н.И. Юсупова; на заседании совместного семинара кафедры дифференциальных уравнений и кафедры математического моделирования Башкирского государственного университета, руководитель профессор Я.Т. Султанаев; на заседании семинара отдела вычислительной математики института математики УНЦ РАН, руководитель профессор М.Д. Рамазанов; на Ученом совете Института механики УНЦ РАН; на семинаре кафедры математического моделирования УГНТУ, руководитель профессор Р.Н. Бахтизин; на семинаре кафедры математики УГАТУ, руководитель профессор В.А. Байков.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы [1-4].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих в сумме 12 параграфов, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации - 105 страниц, библиография содержит 45 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для поставленной задачи о теоретическом обосновании нового метода инвариантных решений в задаче со свободными границами, которые моделируют эту физическую задачу о распространении перемещений и напряжений в теле упругой трубы:

1. Проведен групповой анализ уравнений для упругих перемещений толстостенной трубы в плоском осесимметричном случае.

2.Теоретически обоснована возможность существования класса новых инвариантных решений задачи о перемещениях и напряжениях в упругом кольце со свободными границами под действием внутреннего и внешнего переменного давления.

3. Предложен алгоритм численной реализации новых инвариантных решений краевой задачи со свободными границами.

Результаты диссертации могут быть использованы, например, при проектировании транспортных трубопроводов, при исследовании поведения колонны труб в скважине при бурении, для организации передачи сигналов вдоль тела трубы и в теоретических центрах, где изучаются краевые задачи математической физики: ИМ СО РАН, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИПСМ УНЦ РАН, ИГ СО РАН.

1. Абдрахманова Р.П. Инвариантные решения плоской осесим-метричной задачи со свободной границей для упругой трубы// Математические заметки ЯГУ, 1998. Т.5, Вып.З.с.З-10.

2. Абдрахманова Р.П. Численная реализация плоской осесим-метричной задачи со свободной границей для упругой трубы// Принятие решений в условиях неопределенности: Межвузовский научный сборник, Уфа, УГАТУ, 1999, с.284-288.

3. Абдрахманова Р.П., Хабиров С.В. Перемещения в упругой трубе под действием давления //Сибирский журнал индустриальной математики.Новосибирск, 2000. Том 3, 1(5), С.7-15.

4. Айне Э.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков. 1939,- 719 с.

5. Амензаде Ю.А. Теория упругости. -М.: Высшая школа, 1976.279 с.

6. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.-М.: Высшая школа, 1961,- 537 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции.-М: Наука, 1974,-295 с.

8. Борисенко А.И.,Таранов И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления,- Харьков, 1959,- 237 с.

9. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем.-М.: Физматгиз,1962,-400 с.

10. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики,- М.: Наука, 1970 .- 664 с.

11. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: ИЛ, 1948,-260 с.

12. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах,- «Бюллетени политехнического общества», 1899, №5

13. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. М.: Высшая школа, 1975,- 440 с.

14. Ильгамов М.А.,Иванов В.А.,Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем.-М: Наука, 1977.-331 с.

15. Ильгамов М.А.,Иванов В.А.,Гулин Б.В. Расчет оболочек с упругим заполнителем. М: Наука, 1987.-260 с.

16. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ.- М.: Наука, 1969, 184 с.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,- М.: ГИФМЛ, 1961,- 576 с.

18. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов, УМН 26 (1971), №4(160), 15-41.

19. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений// Докл. АН СССР. 77 (1951), №1, С.11-14.

20. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т.2.- ОГИЗ. Гостехиздат, 1948,-583 с.

21. Кратцлер А., Франц В. Трансцендентные функции.-М: ИЛ,1963. -466 с.

22. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа,1965,-423 с.

23. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. T.I.-Гостехиздат, 1951.- 476 с.

24. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М: Физматгиз,1965. 716 с.

25. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М.: ГИТТЛ. 1953.-788 с.

26. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения.-М: Физматгиз,1963,- 370 с.

27. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков,- Кишинев : Штинница, 1986,- 260 с.

28. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз. 1959,- 232 с.

29. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. -М.: Наука, 1969,- 526 с.

30. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 399 с.

31. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики,- М.: Наука, 1981. -368 с.

32. Писаренко Г. С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов,- Наукова думка , 1988. 734 с.

33. Поляков Д.В., Круглов И.Ю. Программирование в среде Турбо Паскаль.- М.: Издательство МАИ, 1992,- 575 с.

34. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука,1977.-656 с.

35. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. т.2,- М.: Ин.литература, 1953,- 415 с.

36. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1979,- 576 с.

37. Смирнов В.И. Курс высшей математики , Т.3.,ч.2,- М.: Гос-техиздат, 1956,- 676 с.

38. Тихонов А.Н., Самарский А.Н. Уравнения математической физики,- М.: Наука,1972. 735 с.

39. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Ч 1.-М: Физматгиз, 1962.-343 с.

40. Хабиров С.В. Приближенно-инвариантные решения уравнения Чаплыгина// Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи математической физики сплошных сред,- Ленинград: ЛИИА АН СССР, 1990. С.40-46.

41. Хабиров С.В. Теория поля. Уравнения механики сплошной среды,-Уфа, 1994. -42 с.

42. Чарный И.А. Неустановившиеся движения реальной жидкости в трубах. М. Недра. 1975,- 296 с.

43. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции .- М.: Наука, 1977.-342 с.

44. Якупов Р.Г., Жернаков B.C. Динамика конструкций, взаимодействующих со средой,- М.: Изд. МАИ, 1995,- 217 с.