автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарных процессов в гидродинамических подшипниках скольжения

На правах рукописи

НАГАЙЦЕВА Наталия Анатольевна

Математическое моделирование нестационарных процессов

в гидродинамических подшипниках скольжения

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Красноярском государственном техническом университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор,

Еркаев Николай Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Слабко Виталий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор, Вогульский Игорь Олегович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт систем управления, волновых процессов и технологий Министерства образования и науки Российской Федерации (г. Красноярск)

Защита состоится 14 апреля 2006 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.098.04 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: ул. академика Киренского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (КГТУ, для каф. САПР)

E-mail: sovet@front.ru

Телефон: (3912) 91-22-95 (КГТУ, каф. САПР)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан Vi oaxx\v>-v\x\ 2006 года. Учёный секретарь

диссертационного совета _____

д.т.н. С. А. Бронов

Общая характеристика работы

Актуальность. Подшипники скольжения нашли широкое применение в технике благодаря их известным качествам: простоте конструктивного исполнения, долговечности в работе, незначительным габаритам в радиальном направлении, стойкости к ударным и временным перегрузкам. При кажущейся внешней простоте конструкции подшипник скольжения представляет собой сложный и ответственный узел, в котором необходимо создать условия, обеспечивающие гидродинамический режим смазки на всех периодах работы (пуск, установившееся движение, остановка). В подшипнике скольжения при работе возникают нестационарные вибрационные процессы, влияющие на его работоспособность и долговечность. Движение вала приобретает неустойчивый характер, выражающийся в малых колебаниях, которые могут либо затухать, либо возрастать, переходя в определенных условиях в автоколебания.

Таким образом, существует народно-хозяйственная проблема обеспечения высокой надежности работы и продления сроков службы подшипниковых узлов. Для решения этой проблемы требуется дальнейшее развитие гидродинамической теории смазки, разработка математических моделей и их последующий анализ, позволяющих изучать работу подшипников скольжения в различных режимах.

Научная проблема. Разработка математической модели нестационарных процессов в подшипниках скольжения с учетом переменной вязкости смазочного слоя и упругих деформаций контактирующей поверхности.

Объект исследований - гидродинамический подшипник скольжения, важными элементами которого являются слой движущего смазочного материала и упругий вкладыш.

Предмет исследований - нестационарные процессы, наблюдающиеся в подшипнике скольжения.

Целью исследований является построение математической модели и анализ нестационарных движений вала в подшипнике скольжения с учетом упругих свойств вкладыша для различных внешних нагрузок.

Задачи исследований.

- разработать математическую модель нестационарных процессов в подшипниках скольжения, учитывающую реологические свойства смазочного материала, а также упругие характеристики контактирующих поверхностей деталей подшипника;

-на основе математической модели создать комплекс программ для расчета рабочих характеристик подшипника скольжения: распределения давления в смазочном слое, толщины и несущей способности слоя, коэффициентов жесткости и демпфирования;

- используя комплекс программ, выполнить исследования:

а) закономерностей изменений толщины зазора и давления в смазочном слое в зависимости от относительного эксцентриситета вала, коэффициента

рос национальная!

библиотека | СПтИЬрг Л ¡Г ,

•» тьюеМР :

податливости и волнистости вкладыша, а также пьезокоэффициента вязкости;

б) траекторий перемещения вала к равновесному положению при различных нагрузках, начальных условиях и коэффициентах податливости упругого вкладыша;

в) частот и декрементов затухания колебаний вала в неустановившихся режимах работы подшипника в зависимости от коэффициента податливости и величины нагрузки.

Основная идея диссертации. Применение асимптотического подхода основанного на выделении сингулярно малого параметра (параметра инерционности), выделении быстрых и медленных процессов и разбиение задачи на отдельные блоки: расчет распределения давления в смазочном слое, определение коэффициентов жесткости и демпфирования, расчет движения вала и релаксации начальных скоростей.

Методы исследований. Использовались аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, а также асимптотические методы разложения по сингулярным малым параметрам.

Основные результаты:

— разработана математическая модель нестационарных процессов в подшипниках скольжения, учитывающая реологические свойства смазочного материала, а также упругие характеристики контактирующих поверхностей деталей подшипника;

-на основе математической модели создан комплекс программ для расчета рабочих характеристик подшипника скольжения: распределения давления в смазочном слое, толщины и несущей способности слоя, коэффициентов жесткости и демпфирования;

- используя комплекс программ, выполнены исследования:

а) закономерностей изменений толщины зазора и давления в смазочном слое в зависимости от относительного эксцентриситета вала, коэффициента податливости и волнистости вкладыша, а также пьезокоэффициента вязкости;

б) траекторий перемещения вала к равновесному положению при различных нагрузках, начальных условиях и коэффициентах податливости упругого вкладыша;

в) частот и декрементов затухания колебаний вала в неустановившихся режимах работы подшипника в зависимости от коэффициента податливости и величины нагрузки

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана математическая модель, позволяющая исследовать нестационарные процессы в подшипнике с учетом упругих характеристик контактирующих поверхностей;

- разработаны методы и алгоритмы расчета нестационарного течения смазочного слоя, а также движений вала подшипника скольжения;

-определены коэффициенты жесткости и демпфирования на основе решения стационарной задачи;

- получено аналитическое решение задачи нестационарного движения вала в подшипнике с использованием коэффициентов жесткостей и демпфирования для различных нагрузок и коэффициентов податливости вкладыша;

- определены декременты затухания и собственные частоты колебаний при различных постоянных нагрузках и коэффициентах податливости упругого вкладыша;

- определен параметр, характеризующий эффекты инерционности вала и время релаксации начальных скоростей. Найдено асимптотическое решение, описывающее этот процесс релаксации.

Значение для теории заключается в том, что разработанная математическая модель и полученные на ее основе результаты дают новые представления о закономерностях работы подшипников, таких как: влияние коэффициента податливости вкладыша на декремент колебаний вала при выходе на стационарный режим; влияние нормированного пьезокоэффициента вязкости и волнистости рабочей поверхности на несущую способность подшипника.

Значение для практики заключается в том, что разработанные методы математического и численного моделирования динамики работы подшипников скольжения позволяет на стадии проектирования вырабатывать обоснованные рекомендации по выбору смазочного материала, оптимального режима нагружения, конструктивных размеров подшипника скольжения. Практическая значимость работы также определяется повышением работоспособности и долговечности работы подшипникового узла. Разработанный комплекс программ может быть использован в дальнейших исследованиях.

Достоверность полученных результатов исследований обеспечивается тщательным тестированием программ на точное решение, при разных шагах сетки, сравнением с точными аналитическими решениями.

Личный вклад автора состоит в участии постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

Результаты диссертационного исследования могут быть

использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Красноярском государственном техническом университете, Красноярском государственном аграрном университете, Череповецком государственном университете. Кроме того, материалы диссертации используются в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных проектов по специальности «Триботехника», что подтверждается актами.

Апробация работы. Основные положения работы рассмотрены на региональной научной конференции «Красноярский край: освоение, развитие, перспективы» (Красноярск, 2003г.), на всероссийской конференции

молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 2004г.), на всесибирском конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2006г.) и на научных семинарах КГТУ с 2002 по 2006гг. Работа выполнена при поддержке гранта 14G ККФН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них:; 3— статьи в изданиях по списку ВАК; 4— статей в сборниках; 3 — работы, опубликованные в материалах межрегиональных конференций; 1 —работа, опубликована в материалах всероссийской конференции.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 145 страницах, включая 118 иллюстрации, 1 таблица, приложения на 2 страницах, список использованной литературы из 135 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, поставлены цели и задачи исследований. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первом разделе выполнен анализ работ, касающихся обоснования гидродинамического режима смазки ПС, как непременного условия их успешной работы Проблемами теории гидродинамической смазки занимались Н. Е. Жуковский, А. Зоммерфельд, Н. П. Петров, О. Рейнольде, С. А. Чаплыгин и др., которыми в результате ряда допущений была рассмотрена линейная задача. В последующем они были развиты в нелинейных задачах работами Е. М. Гутъяра, М. В. Коровчинского, Л. С. Лейбензона, Н. И. Мерцалова, А. К. Никитина.

Результаты многочисленных исследований показали, что дальнейшее развитие гидродинамической теории смазки требует учета упругих характеристик состояния поверхностей деталей ПС. В этом направлении можно отметить работы К. С. Ахвердиева, А. Г. Бургвица, М. А. Г ал ахова, А. М. Гуткина, А. К. Дьячкова, М. В. Коровчинского, В. Н. Константинеску, И. В. Сайчука, И. Я. Токаря. П. П. Усова, С. А. Чернавского и др.

Во втором разделе рассмотрены математические модели течения вязкой жидкости, реология смазочных материалов, существующие эмпирические зависимости коэффициента вязкости от температуры и давления, а также общие уравнения движения вязкой неразрывной жидкости и уравнение теплового баланса. В связи с тем, что вязкие силы в слое смазочного материала компенсируются главным образом градиентом давления, удобно принять нормировку давления в виде

Используя условие прилипания, выводим приближенное уравнение Рейнольдса, применяемое для расчета течений смазочного слоя

----- +--1 =—(V Н) +—(и Н) +-, т

3.5^12/2 35 ) д1\\2^д1) ' 8Г ' Ы

где и* = («1 + и0)/2, v* = (VI + уо)/2; Н=МА А = Л0 - Ль предполагая А/Л0 «1; уI — /ли]1 М1 и0 и V,, у0 — тангенциальные компоненты скоростей поверхностей, граничащих со смазочным слоем, Р и А - давление и толщина смазочного слоя; q и Н— безразмерное давление и толщина смазочного слоя; А - параметр размерности длины, характеризующий зазор между поверхностями; {I - нормированный коэффициент вязкости; Цо - вязкость при атмосферном давлении; Л - радиус кривизны подшипника, используемый для нормировки; /ив — координаты вдоль поверхности подшипника; г — время.

В третьем разделе сформулирована постановка задачи гидродинамического контакта и рассмотрен стационарный режим работы подшипника скольжения при постоянной вязкости смазочного материала с учетом упругого вкладыша. Изучено влияние переменной вязкости и волнистости поверхности на рабочие характеристики слоя подшипника скольжения.

Введем неподвижную декартову систему координат ХУ, в которой ось

У противоположна вектору постоянной внешней силы Р, а также подвижную систему XV, в которой ось У в каждый момент времени ориентирована противоположно направлению

смещения вала. Введем, кроме того, полярные углы <р и <р\ начало и направление отсчета которых показано на рисунке 1. Вал вращается по часовой стрелки с угловой скоростью а> и близок по форме к круговому цилиндру радиуса Я). Также использовались следующие предположения:

а) применяется несжимаемая жидкость постоянной плотности у.\ б) вал подшипника и его опора - абсолютно жесткие; в) вкладыш представляет собой тонкий упругий слой, характеризуемый постоянной толщиной <ти заданным радиусом кривизны До его внутренней поверхности.

Учитывая смещение вала т} и упругую деформацию 0 вкладыша, толщина зазора между цилиндрическими поверхностями равна

А = Л0 - г + <?(<*>') = Д0 - Л, - п™*(<Р') + ¿И . (2) где £(<?/) = С-Р(<р') -переменная величина, характеризующая радиальные упругие перемещения поверхности вкладыша С = сг(1 + - 2у) / Е{\ - у) ;

V

Рисунок 1 - Поперечный разрез

гидродинамического ПС: 1 — вал; 2 - слой жидкой смазки; 3 -упругий вкладыш

г - расстояние от точки пересечения осей ХУ; у и Е - коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала вкладыша.

Безразмерная толщина слоя, нормированная к параметру А, имеет вид

Н((р',д)= /г/Л =1 -Я-со&((р') + а , (З)

где Х=т)/ Д - относительный эксцентриситет; СХ = 6/иа СО Я* С / Д' -коэффициент податливости вкладыша, выражающий связь между давлением в смазочном слое и деформацией вкладыша. Зависит он от конструктивных размеров и свойств материала упругого вкладыша, принимая малые значение меньше единицы.

Нестационарное уравнение Рейнольдса в подвижной системе Х'У' координат принимает следующую форму

д дер'

1 ЭП dH{<p',q)

+ 2

у dt'

ц д<р' J д(р'

в котором явным образом учтены реологические свойства смазочного материала, упругие характеристики вкладыша подшипника, конструктивные размеры. Далее уравнение, которое было преобразовано к виду

м

Н1 1 = - A sin(<?') - Л cos(p') + Я 5 sinii»') + a f ^ - ^

(4)

, V- , _______ , _______ , __________ , . ,

дср\ ]йд<р') д<р')

Это дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Решается такое уравнение численным моделированием методом установления по времени с использованием неявной конечно-разностной схемы. Критерием установления к стационарному состоянию является сохранение расхода жидкости в сечении. Пересчет на каждый новый временной слой осуществляется методом прогонки. При интегрировании уравнения (4) используются условия неотрицательности ц и периодичности по <р'. Был создан комплекс программ для расчета рабочих характеристик подшипника скольжения: распределения давления в смазочном слое, толщины и несущей способности слоя, коэффициентов жесткости и демпфирования, зависящих от относительного эксцентриситета А и коэффициента податливости вкладыша а.

На рисунках 2 и 3 представлены результаты численного решения по определению безразмерного давления д и толщины слоя Н при относительном смещении вала, коэффициенте податливости вкладыша а= 0,05 и 0,1. Начало отсчета берется от точки нулевого давления <р1~ !р'+(р0. В таблице 1 приведены значения (р0. Следует отметить, что увеличение коэффициента податливости вкладыша а снижает давление в слое, с увеличением смещения оси вала максимум давления существенно возрастает, а распределение давления вдоль слоя становится все более асимметричным. Толщина слоя носит переменный характер, достигая критических величин.

Таблица 1 - Значения точек нулевого давления

а =0,05 а=0,1

Х.=0,3 А.=0,5 Х= 0,7 >,=0,9 А.=0,1 Х=0,3 Х=0,5 А.=0,7 Ы),9

<р0 84,3 68,1 53,7 42,5 37,5 87,2 71,4 58,4 48,6 44,7

На рисунке 4 показаны результирующие значения несущей способности слоя IV от относительного смещения вала при коэффициенте податливости вкладыша а = 0,05 и ОД. С увеличением эксцентриситета X несущая способность возрастает. Однако ее значения уменьшаются при увеличении коэффициента податливости вкладыша а.

Рисунок 2 — Распределение безразмерного давления в слое смазочного материала при коэффициентах податливости а=0,05 и а=0,1

Рисунок 3 - Безразмерная толщина слоя смазочного материала при коэффициентах податливости а=0,05 и а=0,1

Рисунок 4 - Зависимости несущей

способности от относительного смещения оси вала для различных значений коэффициентов податливости

С* С6

0 0.2 0.4 Об 0.8 1

X

Рисунок 5 - Зависимости коэффициентов жесткости от относительного смещения оси вала для различных значений коэффициентов податливости

100

¿6

1

0 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X

Рисунок 6 — Зависимости коэффициентов демпфирования от относительного смещения центра вала для различных значений коэффициентов податливости

— а=0 а=0.05 Сх / У.

С8 \

7

— а=Ю а=0.05 Ьх /

"8

Численное интегрирование стационарной задачи позволяет

определить коэффициенты: а) жесткости, определяющие частоту собственных колебаний вала, и б) демпфирования, характеризующие ширину и максимум амплитудно-частотной характеристики. Коэффициенты жесткости с и демпфирования Ь, с1 монотонно возрастают по модулю при увеличении параметра тхарактеризующего уменьшение толщины смазочного слоя. Графики вариаций этих коэффициентов, зависящих от относительного смещения центра вала, представлены на рисунках 5 и 6. Эти зависимости апроксимировались с помощью сплайновой интерполяции для последующего решения нестационарных движений вала подшипника.

Так как в рабочей зоне давление жидкости в слое значительно

увеличивается, то рассмотрим задачу, учитывающую зависимость вязкости от давления, используя известную формулу Баруса

М(Р)= ^„ехР (гР),

где //о - вязкость при атмосферном давлении; у -пьезокоэффициент вяз-

кости смазочного материала. При переходе к получаем

м(ч)= /"о ехр(у9 д),

безразмерным величинам

(5)

где /) = у-6 /10 -ео-Яц21А1 - нормированный пьезо-коэффидиент вязкости, оказывающий влияние на рабочие характеристики подшипника скольжения такие как: несущая способность, давление в смазочном слое.

О 0 1 0.2 0.3 0.4 0 5 0.6 0.7 0.8 0.9 А.

Рисунок 7 - Зависимость несущей способности от относительного эксцентриситета для коэффициента податливости а=0,05

а)-/и0=1О

I 1>- 1 21- /гми /№=0,2

3)- 4)- /»=0,3 /0=0,4 4 3

0 0.1 0 б )-т0= .2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0. X 20

1)-2)- /0=0,] /0=0,2

ЗЬ 4)- /0=0,2

-"Г

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 X

Рисунок 8 - Зависимости несущей способности от смещения вала при а=0.05

На

показаны рующие несущей смазочного относительного щения вала для

рисунке 7 результи-значения способности слоя ¡У от сме-трех

значений нормированного пьезокоэффициента вязкости при коэффициенте податливости вкладыша а=0.05. С увеличением нормированного пьезокоэффициента вязкости несущая способность возрастает. Следует отметить, что нормированный пьезоко-эффициент вязкости ведет к существенному росту максимума

давления

Рассмотрим далее задачу о влиянии волнистости поверхности на характеристики смазочного слоя подшипников скольжения. Волнистость является элементарным отклонением поверхности любой формы. Она

представляет собой совокупность периодически повторяющихся отклонений окружности на поверхности. Профиль волнистости - измеренный профиль, в котором исключены шероховатость поверхности.

Функция х(ф) описывающая малые отличия формы поверхности вала от кругового цилиндра определяется как х(/Р')= /о • сое {т0 ■ <р'). Здесь /0 - неточность изготовления детали, т0 - отклонение формы, представляющее собой отклонение поверхности от правильной геометрической формы.

Тогда безразмерная толщина смазочного слоя принимает вид

1-Я сое(<?>')+а д + /0 . (6)

Графики на рисунке 8 показывают, что волнистая поверхность существенно увеличивает несущую способность смазочного материала

В четвертом разделе получены асимптотические уравнения движения вала в зазоре цилиндрического подшипника и представлены результаты расчёта траекторий его центра с учетом тонкого упругого вкладыша при постоянной внешней нагрузке и различных начальных условиях. Дифференциальные уравнения движения оси вала в проекциях на оси X, У имеют вид

Я^Т- = К С08(<5) + 5Ш(<5), яп(<5) + Р соз(<5) - Ь\, (7)

<Н аХ

где т и ^о - масса вала и постоянная внешняя сила, отнесенные к единице длины вала.

В окрестности каждой точки поверхности вала действует сила давления, направленная к оси вала. Удается установить компоненты результирующей силы в подвижной системе координат (X', У). Переходя к безразмерному давлению ¿7, получаем выражения:

-V -г

Компоненты результирующей силы Рх\ Ру' зависят от параметров, характеризующих положение вала Л, 5, а также от скоростей сШЛг и йЫйг. Линеаризуя зависимости коэффициентов от скоростей, можно записать

А ^ хсН ъ Лг) у А ^ х <Н ^ аг) к '

Коэффициенты в правых частях равенств (9) определяются из стационарного решения уравнений Рейнольдса. Расчеты показывают, что коэффициенты Ь& и малы по сравнению с коэффициентами демпфирования Ь\ и <1Ъ.

Выполнив ряд математических преобразований, имеем зависимости, позволяющие определить радиальное и азимутальное ускорение оси вала:

zj-fc Íf) = - ^ - db^ ~ sin (5).

Здесь F — безразмерная внешняя сила, связанная с размерной силой F0 соотношением нормировки: F0 = б-ц^оуКп F/ А2; в- безразмерный малый параметр, е=т-А 3 со/ 6-¡j.0R03 <<1

Уравнения (10) содержат сингулярный малый параметр е« 1 при старших производных, характеризующий инерционность вала. Существенен лишь на начальном этапе работы подшипника, когда происходит релаксация начальных скоростей к квазнравновесным значениям, которые определяются балансом сил давления смазочного слоя и внешней нагрузки.

Согласно известному методу Васильева - Бутусова решение такой системы можно представить в виде суммы двух асимптотических рядов, где первые слагаемые представляют собой регулярные части асимптотики, а вторые содержат пограничные функции:

\ = \r(t,s) + \,№,s), 5 = 5r(í,e) + 8i(í/e)e), (11)

Пограничные функции описывают релаксацию начальных скоростей и определяются аналитически:

d bf . . , , Л? _ ... —= Л exp (-dB0x), = В ехр(-ЬХ0 т), a i ах

А В (12)

5™ = -—-ехрМ50т), = -exp(-Ьхох),

"S0

где постоянные А и В определяются по начальным данным для скоростей.

Регулярные части асимптотики описывают траекторию движения оси вала. В нулевом приближении после преобразований удается получить систему уравнений по определению коэффициентов асимптотических рядов, из которых после приведения системы к нормальному виду и исключения времени следует уравнение, определяющее траекторию движения оси вала:

at

dW (13)

Заметим, что возмущения компонент скоростей, связанные с пограничными функциями, имеют нулевой порядок по £

Ее решение производится численным моделирование с помощью метода Рунге-Кутта.

Результаты численного решения приведены на рисунках 9 - 11, где показаны траектории движения оси вала для различных начальных

условий Уо — О, Х0~ -0,1; -0,3; -0,5 при постоянных внешних силах Р=2 и F=5 и коэффициентах податливости а~0; 0.05; 0.1. Координаты нормированы к параметру Д равному разности радиусов цилиндров.

При а = 0 (см. рисунок 9) траектории представляют собой замкнутые эллипсоподобные кривые, соответствующие незатухающим колебаниям вала в окрестности положения равновесия. С ростом нагрузки увеличивается амплитуда смещений оси вала в направлении внешней силы (вдоль оси У) и происходит качественное изменение траекторий движения, приобретающих серповидную форму. С увеличением коэффициента податливости а (см. рисунки 10 и 11) траектории приобретают вид спиралей, сходящихся к точке равновесия. Шаг спирали также возрастает с увеличением коэффициента податливости вкладыша а. Видно также, что возрастание нагрузки приводит к увеличению шага спирали траектории и к более быстрому затуханию колебаний.

Переход к стационарному состоянию происходит в режиме колебаний с затуханием. Для определения периода колебаний нужно обратиться к рисункам 12 и 13, где представлены графики зависимости от времени координаты X оси вала для трех различных начальных условий (У0 = О, Х0 = -0,1;-0,3; -0,5), для трех значений коэффициента податливости вкладыша. Панели а, б, в, соответствуют значениям а = 0; 0,05; 0,1. На рисунках 14 и 15 показаны графики зависимости от времени координаты У оси вала при параметрах, аналогичных рисункам 12 и 13. При я=0 зависимости смещений от времени в осях координат, близки к гармоническим и имеют безразмерный период Т= 1,2. При этом размерный период равен Та = 2,4/со. С увеличением нагрузки проявляются отличия от гармонического закона. Период колебаний одинаков для траекторий, соответствующих различным начальным положениям центра вала Из рисунков видно, что с возрастанием параметра а декремент колебаний увеличивается, и переходной процесс становится все более апериодическими. Следовательно, уменьшение жесткости вкладыша является стабилизирующим фактором. Определить время затухания и период колебаний можно известными методами теории колебаний.

Рисунок 9 - Траектории перемещения оси вала в случае отсутствия вкладыша а = 0 при различных постоянных нагрузках 2 и = 5

Рисунок 10 - Траектории перемещения оси вала в случае упругого вкладыша а = 0.05 при различных постоянных нагрузках ■= 2 и .Г = 5

Рисунок 11 - Траектории перемещения оси вала в случае упругого вкладыша а = 0.1 при различных постоянных нагрузках ^ = 2 и .Р = 5

-0.2

X

а) а=0

\ Л г

\ А } \

А Г

г \ V

0 5 10 15 2

б) а=0.05

Рисунок 12 - Зависимости от времени смещений вала вдоль оси X при постоянной внешней силе Р-1 в случаях без вкладыша и с вкладышем. УЬ=0 1) -Х0 = - 0,1; 2) -Х0 = - 0,3; 3)-Х0=~0,5

0, а)а=0

б) а=0.05

Рисунок 13 - Зависимости от времени смещений вала вдоль оси X при постоянной внешней силе ^=5 в случаях без вкладыша и с вкладышем. У0=0

1) -Х„ =-0.1; 2) -Хо=-0,3; 3)-Хп= — 0.5

0«

-0.51

в)а=0.1

ю

ю

15

20

1 /

15

20

а) а=0

б) а=0.05

у о

-0 5

Рисунок 14 - Зависимости от времени смещений вала в вдоль оси У при постоянной внешней силе Р=2 в случаях без вкладыша и с вкладышем. У0=0

1)-Х0 = - 0,1; 2) —Х0 ~ - 0,3;

3) —Хд = - 0,5

|\з/ 1 "I

А

10

15

20

Рисунок 15 - Зависимости от времени смещений вала вдоль оси 0 5 У при постоянной внешней силе F= 5 в случаях без вкладыша и с у -1 вкладышем. Уо=0 1)-Х„=-0,1; 2) ~Х„ = - 0,3; 1.5 3)-Х0=-0,5

~2 0 5 10 15 20

I

\Ч3 - —

Заключение

Непременным условием успешной работы подшипников скольжения является обеспечение режима гидродинамической смазки, теоретическое обоснование и объяснение которой продолжается до настоящего времени.

Представленный в работе обзор современных методов построения математических моделей гидродинамического смазывания показывает, что в уравнениях движения жидкости отбрасываются все инерционные члены, пренебрегается кривизна поверхности, не учитываются члены, связанные с силами вязкости.

Разработанная новая математическая модель нестационарных процессов подшипников скольжения позволяет выполнить анализ стационарных и нестационарных движений вала, с учетом реологии смазочного материала, упругих деформаций и волнистости поверхности вкладыша подшипника скольжения. Применяя метод установления по времени с использованием неявной конечно-разностной схемы, удается рассчитать закономерности изменений толщины зазора и давления в смазочном слое в зависимости от относительного эксцентриситета вала, коэффициента податливости и волнистости вкладыша, а также пьезокоэффициента вязкости.

Аппроксимация зависимостей коэффициентов жесткости и демпфирования от смещения вала с помощью сплайновой интерполяции, найденных при решении стационарной задачи, позволило построить траектории нестационарных движений вала подшипников скольжения при различных нагрузках, начальных условиях и коэффициентах податливости упругого вкладыша Эти коэффициенты определяют зависимости реакций смазочного слоя от смещений и мгновенных скоростей оси вала.

В результате исследования нестационарной задачи установлен безразмерно малый параметр е, характеризуемый инерционность вала. Существенен лишь на начальном этапе работы подшипника, когда происходит релаксация начальных скоростей к квазиравновесным значениям.

Разработанная модель реализована в комплексе программ, которые используются для широкого круга гидродинамических задач

Изложенные в работе материалы свидетельствуют о решении поставленных перед исследованиями задач и обоснованности положений, защищаемых автором.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Нагайцева, Н. А. Математическая модель нестационарных движений вала в гидродинамическом подшипнике / Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т. 44. № 5. - С. 118-127.

2. Nagaitseva N. A. Mathematical model of the unsteady motion of a shaft in a hydrodynamic plain bearing / Nagaitseva N. A., Erkaev N.V. // AMTP. - 2003. - Vol. 44. № 5. - P. 699-707.

3. Нагайцева, Н. А. Нестационарные движения оси вала в подшипниковом узле скольжения / В. Ф. Терентьев, Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева, // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 11. - С. 3-11.

4. Нагайцева, Н. А. Моделирование работы подшипников скольжения в условии гидродинамического смазывания / Н. А. Нагайцева // Веста. Ассоц. выпуски. Вып. 12. - Красноярск, 2001. - С. 56-58.

5. Нагайцева, Н. А. Исследование стационарной математической модели подшипника скольжения в режиме гидродинамического смазывания / Н. А. Нагайцева, О. И. Глазкова II Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Вып. 29: Машиностроение. - Красноярск, 2002. - С. 64-71.

6. Нагайцева, Н. А. Математическая модель нестационарных движений вала подшипника скольжения в условиях гидродинамической смазки / Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева // Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Вып. 29: Машиностроение. - Красноярск, 2002. - С. 128-139.

7. Нагайцева, Н. А. Влияние пьезокоэффициента вязкости на характеристики подшипника скольжения / Н. А Нагайцева, О. И. Глазкова // Труды, опубликованные в материалах межрег. конф. с участием «Красноярский край- освоение, развитие, перспективы». - Красноярск, 2003. - С. 127-128.

8. Нагайцева, Н. А. Математическое моделирование нестационарных режимов гидродинамических подшипников скольжения / Н. А. Нагайцева // Материалы V Всерос. конф. молодых ученых по мат. моделир. и информ. технол. ИВТ СО РАН. - Новосибирск,. 2004. - С. 25

9. Нагайцева, Н. А. Математическое моделирование гидродинамических подшипников скольжения / Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева // Труды, опубликованные в материалах межрегиональной конференции «Достижения ученых в развитии машиностроительного комплекса» -Красноярск, 2001. - С. 61-63.

Ю.Нагайцева, Н. А. Влияние волнистости вала на рабочие характеристики подшипника скольжения / Н. А. Нагайцева, О. И. Глазкова // Вестн. Краснояр. гос. техн ун-та. Вып. 32: Машиностроение. - Красноярск, 2003. - С. 73-78.

11 .Нагайцева, Н. А. Математическое моделирование нестационарных режимов гидродинамических подшипников скольжения // Материалы IV Всесибирского конгресса женщин-математиков. СибГТУ- Красноярск, 2006,- С.58-59.

Нагайцева Наталия Анатольевна Математическое моделирование нестационарных процессов в гидродинамических подшипниках скольжения. Автореф. дисс. на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук. Подписано в печать .2006. Заказ № З^/Г. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Типография Красноярского государственного технического университета

glT-G

да-53 76

!

i

)

I

I

I

Введение

1 Гидродинамическая теория смазки в подшипниках скольжения

1.1 Постановки задач гидродинамической теории смазки

1.2 Модели упруго-гидродинамического контакта

1.3 Зависимость вязкости от термодинамических параметров

1.4 Нестационарные режимы работы подшипников скольжения

1.5 Выводы

2 Математические модели течения вязкой жидкости

2.1 Реология смазочных материалов

2.2 Уравнения движения смазочного материала и баланс тепловой энергии

2.3 Выводы 41 ф 3 Моделирование течения смазочного материала в подшипниках скольжения

3.1 Постановка задачи гидродинамического контакта с учетом упругого вкладыша

3.2 Стационарный режим работы подшипника скольжения при постоянной вязкости смазочного материала

3.3 Стационарный режим работы подшипников скольжения при переменной вязкости смазочного материала

3.4 Влияние волнистости поверхностей на рабочие характеристики подшипника скольжения

3.5 Выводы 92 4 Математическая модель нестационарных движений вала

4.1 Система уравнений нестационарных движений вала

4.2 Схема решения задачи

4.3 Результаты численного моделирования

4.4 Выводы 128 Заключение

Актуальность. Подшипники скольжения нашли широкое применение в технике благодаря их известным качествам: простоте конструктивного исполнения, долговечности в работе, незначительным габаритам в радиальном направлении, стойкости к ударным и временным перегрузкам. При кажущейся внешней простоте конструкции подшипник скольжения представляет собой сложный и ответственный узел, в котором необходимо создать условия, обеспечивающие гидродинамический режим смазки на всех периодах работы (пуск, установившееся движение, остановка). В подшипнике скольжения при работе возникают нестационарные вибрационные процессы, влияющие на его работоспособность и долговечность. Движение вала приобретает неустойчивый характер, выражающийся в малых колебаниях, которые могут либо затухать, либо возрастать, переходя в определенных условиях в автоколебания.

Таким образом, существует народно-хозяйственная проблема обеспечения высокой надежности работы и продления сроков службы подшипниковых узлов. Для решения этой проблемы требуется дальнейшее развитие гидродинамической теории смазки, разработка математических моделей и их последующий анализ, позволяющих изучать работу подшипников скольжения в различных режимах.

Научная проблема. Разработка математической модели нестационарных процессов в подшипниках скольжения с учетом переменной вязкости смазочного слоя и упругих деформаций контактирующей поверхности.

Объект исследований - гидродинамический подшипник скольжения, важными элементами которого являются слой движущего смазочного материала и упругий вкладыш.

Предмет исследований - нестационарные процессы, наблюдающиеся в подшипнике скольжения.

Целью исследований является построение математической модели и анализ нестационарных движений вала в подшипнике скольжения с учетом упругих свойств вкладыша для различных внешних нагрузок.

Задачи исследований.

-разработать математическую модель нестационарных процессов в подшипниках скольжения, учитывающую реологические свойства смазочного материала, а также упругие характеристики контактирующих поверхностей деталей подшипника;

- на основе математической модели создать комплекс программ для расчета рабочих характеристик подшипника скольжения: распределения давления в смазочном слое, толщины и несущей способности слоя, коэффициентов жесткости и демпфирования;

- используя комплекс программ, выполнить исследования: а) закономерностей изменений толщины зазора и давления в смазочном слое в зависимости от относительного эксцентриситета вала, коэффициента податливости и волнистости вкладыша, а также пьезокоэффициента вязкости; б) траекторий перемещения вала к равновесному положению при различных нагрузках, начальных условиях и коэффициентах податливости упругого вкладыша; в) частот и декрементов затухания колебаний вала в неустановившихся режимах работы подшипника в зависимости от коэффициента податливости и величины нагрузки.

Основная идея диссертации. Применение асимптотического подхода основанного на выделении сингулярно малого параметра (параметра инерционности), выделении быстрых и медленных процессов и разбиение задачи на отдельные блоки: расчет распределения давления в смазочном слое, определение коэффициентов жесткости и демпфирования, расчет движения вала и релаксации начальных скоростей.

Методы исследований. Использовались аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, а также асимптотические методы разложения по сингулярным малым параметрам. Основные результаты:

- разработана математическая модель нестационарных процессов в подшипниках скольжения, учитывающая реологические свойства смазочного материала, а также упругие характеристики контактирующих поверхностей деталей подшипника;

-на основе математической модели создан комплекс программ для расчета рабочих характеристик подшипника скольжения: распределения давления в смазочном слое, толщины и несущей способности слоя, коэффициентов жесткости и демпфирования;

- выполнены исследования: а) закономерностей изменений толщины зазора и давления в смазочном слое в зависимости от относительного эксцентриситета вала, коэффициента податливости и волнистости вкладыша, а также пьезокоэффициента вязкости; б) траекторий перемещения вала к равновесному положению при различных нагрузках, начальных условиях и коэффициентах податливости упругого вкладыша; в) частот и декрементов затухания колебаний вала в неустановившихся режимах работы подшипника в зависимости от коэффициента податливости и величины нагрузки

Научная новизна работы заключается в следующем: - разработана математическая модель, позволяющая исследовать нестационарные процессы в подшипнике с учетом упругих характеристик контактирующих поверхностей;

-разработаны методы и алгоритмы расчета нестационарного течения смазочного слоя, а также движений вала подшипника скольжения;

-определены коэффициенты жесткости и демпфирования на основе решения стационарной задачи;

- получено аналитическое решение задачи нестационарного движения вала в подшипнике с использованием коэффициентов жесткостей и демпфирования для различных нагрузок и коэффициентов податливости вкладыша;

- определены декременты затухания и собственные частоты колебаний при различных постоянных нагрузках и коэффициентах податливости упругого вкладыша;

- определен параметр, характеризующий эффекты инерционности вала и время релаксации начальных скоростей. Найдено асимптотическое решение, описывающее этот процесс релаксации.

Значение для теории заключается в том, что разработанная математическая модель и полученные на ее основе результаты дают новые представления о закономерностях работы подшипников, таких как: влияние коэффициента податливости вкладыша на декремент колебаний вала при выходе на стационарный режим; влияние нормированного пьезокоэффициента вязкости и волнистости рабочей поверхности на несущую способность подшипника.

Значение для практики заключается в том, что разработанные методы математического и численного моделирования динамики работы подшипников скольжения позволяет на стадии проектирования вырабатывать обоснованные рекомендации по выбору смазочного материала, оптимального режима нагружения, конструктивных размеров подшипника скольжения. Практическая значимость работы также определяется повышением работоспособности и долговечности работы подшипникового узла. Разработанный комплекс программ может быть использован в дальнейших исследованиях.

Достоверность полученных результатов исследований обеспечивается тщательным тестированием программ на точное решение, при разных шагах сетки, сравнением с точными аналитическими решениями.

Личный вклад автора состоит в участии постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.

Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Красноярском государственном техническом университете, Красноярском государственном аграрном университете, Череповецком государственном университете. Кроме того, материалы диссертации используются в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных проектов по специальности «Триботехника», что подтверждается актами.

Апробация работы. Основные положения работы рассмотрены на региональной научной конференции «Красноярский край: освоение, развитие, перспективы» (Красноярск, 2003г.), на всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (г. Новосибирск, 2004г.), на всесибирском конгрессе женщин-математиков (г. Красноярск, 2006г.) и на научных семинарах КГТУ с 2002 по 2006гг. Работа выполнена при поддержке гранта 14G ККФН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из них:; 3 — статьи в изданиях по списку ВАК; 4 — статей в сборниках; 3 — работы, опубликованные в материалах межрегиональных конференций; 1 —работа, опубликована в материалах всероссийской конференции.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 145 страницах, включая 118 иллюстрации, 1 таблица, приложения на 2 страницах, список использованной литературы из 135 наименований.

4.4 Выводы

1. Рассмотрены взаимосвязанные математические модели стационарных и нестационарных режимов течения смазочного материала между цилиндрическими поверхностями. На основе решений стационарных задач определяются коэффициенты жесткости и демпфирования движущегося смазочного слоя, которые очень важны для нестационарной модели (они определяют зависимости реакций смазочного слоя от смещений и мгновенных скоростей оси вала).

2. В результате исследования нестационарной задачи установлено: инерционность вала, характеризуемая безразмерным малым параметром т А3 со

6ц Д3 существенна лишь на начальном этапе работы подшипника, когда происходит релаксация начальных скоростей к квазиравновесным значениям, которые определяются балансом сил давления смазочного слоя и внешней нагрузки. Время релаксации начальных скоростей составляет ~ £ /©.

3. Изучение режима движения оси вала, описываемого системой уравнений в безынерционном приближении, показало, что

• в идеальных условиях жестких поверхностей и полного заполнения зазора движение оси вала носит незатухающий периодический характер. При этом он движется по замкнутой траектории, зависящей от начальных условий. Период колебаний при действии нормированной силы равен = 2,4/со и слабо растет с ее увеличением.

4. При наличии упругого вкладыша колебания становятся затухающими с декрементом, зависящим от коэффициента жесткости вкладыша. При этом траектории движения центра вала приобретают вид спиралей с фокусом в точке равновесия.

1. Абдул-Вахед, Устойчивость подшипников крупных турбомашин и их колебания, вызываемые дисбалансом / Абдул-Вахед, Николас, Паскаль // Пробл. трения и смазки. 1982. № 1. С. 70 - 80.

2. Аппельдорн, И. О современном состоянии теории смазки и ее связи с реологией / И. Аппельдорн // Пробл. трения и смазки: Тр. амер. об-ва инж. механиков. 1968. № 3. С. 3 - 7.

3. Архангельский, Е. П. Тангенциальная протяженность несущей части слоя смазки конечного опорного подшипника / Е. П. Архангельский М.: Машиноведение, 1975. № 2. С. 67-71.

4. Ахвердиев, К. С. Нелинейные эффекты воздействия вязкопластичной смазки на устойчивость движения шипа в подшипнике / К. С. Ахвердиев // Вести. МГУ. М.: МГУ. 1978. № 5. С. 86-92.

5. Ахвердиев, К. С. Гидродинамический расчет упорных подшипников скольжения с псевдокруговым контуром опорной поверхности при экспоненциальной зависимости вязкости от давления / К. С. Ахвердиев, М. К. Ахеджак // Вестн. РГУПС. 2000. № 1. С. 5-9.

6. Ахвердиев, К. С. Об устойчивости радиального подшипника с квазикруговым контуром опорной поверхности / К. С. Ахвердиев, В. М. Приходько // Трение и износ. 2002. Т. 23. № 6. С. 607-610.

7. Ахвердиев, К. С. Гидродинамический расчет подшипников скольжения с учетом сил инерции смазочной жидкости, обладающей вязкоупругими свойствами / К. С. Ахвердиев, М. В. Яковлев, И. А. Журба // Трение и износ. 2003. Т. 24. № 2. С. 121-126.

8. Баткис, Г. С. Исследование упорных высокоскоростных подшипников скольжения с самоустанавливающимися подушками центробежных компрессорных машин (ЦКМ) // Автореферат дис. Баткиса Г.С. канд. техн. наук. Казань: КХТИ. 1978. 231 с.

9. Баткис, Г.С. Опорные подшипники скольжения с самоустанавливающимися колодками для высокоскоростных ЦКМ / Г. С. Баткис, В. А. Максимов // Энергомашиностроение. 1976. № 11. С. 4 6.

10. Бенджамин, К. Теоретическое исследование радиальных подшипников с податливой поверхностью / К. Бенджамин // Пробл. трения и смазки. 1971. № 1.С. 183-193.

11. Бургвиц, А. Г. К вопросу о колебании валов, опирающихся на подшипники скользящего трения / А. Г. Бургвиц // Тр. семинара по теории машин и механизмов. Т. XII. Вып. 50. М.: Изд-во АН СССР, 1953. С. 73-82.

12. Бургвиц, А. Г. Устойчивость движения шипа в подшипнике с учетом гибкости вала и сопротивления смазочного слоя / А. Г. Бургвиц // Расчет и конструирование машин. Дополнение к вып. 10. Свердловск: Машгиз, 1957. С. 112-117.

13. Бургвиц, А. Г. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения / А. Г. Бургвиц, Г. А. Завьялов. М.: Машиностроение, 1964. 148 с.

14. Бурков, М. С. Вибрация валов в подшипниках скольжения высокоскоростных машин / М. С. Бурков // Развитие гидродинамической теории смазки подшипников быстроходных машин. М.: Изд-во АН СССР. 1962. С. 15-24.

15. Васильева, А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Высш. шк., 1990. 208 с.

16. Галахов, М. А. Расчет подшипников качения и подшипников трения / М. А. Галахов, А. Н. Бурмистров, В. П. Ковалев. М.: Машиностроение, 1984. 48 с.

17. Галахов, М. А. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения / М. А. Галахов, П. П. Усов. М.: Наука, 1990. 280 с.

18. Галин, JI. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. М.: Наука, 1980. 304 с.

19. Гидродинамическая теория смазки / Под ред. JI. С. Лейбензона. М.; Л.: Гостехиздат, 1934. 562 с.

20. Гоксем, Влияние нагрева в результате выделения теплоты трения на толщину пленки и трение качение в линейном УГД-контакте. Ч. I Условие обильной смазки / Гоксем, Харгривс // Пробл. трения и смазки. 1978. № 3. С. 37-44

21. Гоксем, Влияние нагрева в результате выделения теплоты трения на толщину пленки и трение качение в линейном УГД-контакте. Ч. II. Условие масляного голодания / Гоксем, Харгривс // Пробл. трения и смазки. 1978. №3. С. 44-50.

22. Грубин, А. Н. Основы гидродинамической теории смазки тяжелонагруженных цилиндрических поверхностей / А. Н. Грубин // Исследование контакта деталей машин. М.: Машгиз. 1949. вып. 30.

23. Гуткин, А. М. Расчет цилиндрического подшипника скольжения в случае применения вязкопластичной смазки / А. М. Гуткин // Трение и износ в машинах. 1947. Т. 1. С. 53-65.

24. Далмаз, Формирование и разделение тонкой вязкой пленки в герцевском линейном контакте / Далмаз // Пробл. трения и смазки. 1980. № 4. С. 57-67.

25. Дональдсон, К. Минимальная толщина сдавливаемой пленки смазки в радиальном подшипнике с периодически изменяющейся нагрузкой / К. Дональдсон // Пробл. трения и смазки. 1971. № 1. С. 123-126.

26. Дьячков, А. К. Оптимальная величина тангенциального эксцентриситета самоустанавливающихся подушек упорного подшипника / А. К. Дьячков Машиноведение, 1974. № 2. С. 64-73.

27. Дьячков А. К. Некоторые выводы теории смазки упорных подшипников при переменной вязкости масляного слоя / А. К. Дьячков

28. Машиноведение, 1956. № 3. С. 79-90.

29. Жуковский, H. Е. О гидродинамической теории трения хорошосмазанных твердых тел / H. Е. Жуковский // Журн. рус. физ-хим. о-ва. 1886. T. XVIII. Отд. 1. Собр. соч. 1949. С. 106-124.

30. Жуковский, H. Е. О движении вязкой жидкости, заключенной между двумя вращающимися эксцентрическими цилиндрическими поверхностями / H. Е. Жуковский // Сооб. мат. о-ва при Харьк. ун-те. 1887. Вып. 1. 1949. С. 67-81.

31. Жуковский, H. Е., О трении смазочного слоя между шипом и подшипником / H. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин // Собр. соч. 1937. Т. 4. С. 279-298.

32. Завьялов, О. Г. Исследование динамики качения шара, контактирующего с поверхностью с учетом нестационарного слоя вязкой жидкости / О. Г. Завьялов, Ю. Г. Марков // Трение и износ. 2002. Т. 23. № 2. С. 120-129.

33. Захаров, С. М. Компьютерная трибология / С. М. Захаров // Трение и износ. 1993. Т. 14. № 1. С. 98-106.

34. Захаров, С. М. Гидродинамический и тепловой расчет подшипников коленчатого вала поршневого двигателя / С. М. Захаров, В. Ф. Эрдман // Вестн. машиностроения. 1978. № 5. С. 24-28.

35. Захаров, С. М. К расчету нестационарно нагруженных подшипников на ЭВМ / С. М. Захаров, В. Ф. Эрдман // Вестн. машиностроения. 1976. № 7. С. 31-36.

36. Захаров, С. М. Подшипники коленчатых валов тепловозных двигателей / С. М. Захаров, Ю. А. Загоронский, А. П. Никитин. М., 1981. 202 с.

37. Квитницкий, Е. И. Расчет опорных подшипников скольжения / Е. И. Квитницкий, Н. Ф. Киркач, Ю. Д. Полтавский М.: Машиностроение, 1979. 70 с.

38. Каратышкин, С. Г. Динамически нагруженные подшипники судовых двигателей внутреннего сгорания / С. Г. Каратышкин Л.: Судостроение, 1968. 136 с.

39. Коднир, Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин / Д. С. Коднир. М.: Машиностроение, 1976. 304 с.

40. Коднир, Д. С. Определение расчетной температуры в линейном контакте качения со скольжением / Д. С. Коднир, В. Н. Васин // Трение и износ. 1985. Т. 6. № 1. С. 81-85.

41. Коднир, Д. С. Эластогидродинамический расчет деталей машин / Д. С. Коднир, Е. П. Жильников, Ю. И. Байбородов. М.: Машиностроение, 1988. 159 с.

42. Койн, Н. Условия разрыва смазочной пленки. Ч. I. Теоретическая модель / Н. Койн, Г. Элрод // Пробл. трения и смазки. 1970. № 3. С. 79

43. Койн, Н. Условия разрыва смазочной пленки. Ч. II. Новые граничные условия для уравнения Рейнольдса / Н. Койн, Г. Элрод // Пробл. трения и смазки. 1971. № 1. С. 149- 160

44. Конвей, Ли. Смазка коротких УГД радиальных подшипников / Ли Конвей // Пробл. трения и смазки. 1977. № 3. С. 71-73.

45. Константинеску, В. Н. Теория турбулентной смазки и ее обобщение с учетом тепловых эффектов / В. Н. Константинеску // Пробл. трения и смазки. 1973. № 2. С. 35-43.

46. Коровчинский, М. В. Тепловой режим смазочного слоя в опорах скольжения / М. В. Коровчинский // Тр. III Всесоюз. конф. по трению и износу в машинах. 1960. Т. 3. С. 78-84.

47. Коровчинский, М. В. Теоретические основы работы подшипников скольжения / М. В. Коровчинский. М.: Машгиз, 1959. 403 с.

48. Коровчинский, М. В. Устойчивость равновесия положения шипа на смазочном слое / М. В. Коровчинский // Трение и износ в машинах. Т. XI. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 83-89.

49. Крагельский, И. В. Трение и износ / И. В. Крагельский. М.: Машиностроение, 1968. 480 с.

50. Крагельский, И. В. Основы расчетов на трение и износ / И. В. Крагельский, М. Н. Добычин, В. С. Камбалов. М.: Машиностроение, 1977. 528 с.

51. Крагельский, И. В. Узлы трения: Справочник / И. В. Крагельский, Н. М. Михин. М.: Машиностроение, 1984. 277 с.

52. Кристенсен, Т. Гидродинамическая смазка подшипника конечной ширины с шероховатыми поверхностями / Т. Кристенсен, Тондер // Пробл. трения и смазки. 1971. № 3. С. 9 16.

53. Кристенсен, Т. Гидродинамическая смазка подшипника конечной ширины с шероховатыми поверхностями / Т. Кристенсен, Тондер // Пробл. трения и смазки. 1973. № 2. С. 53 60.

54. Кристенсен, Т. Гидродинамическая смазка подшипника конечной ширины с шероховатыми поверхностями Т. Кристенсен // Пробл. трения и смазки. 1977. № 3. С. 12-22.

55. Кудиш, И. И. К исследованию плоских контактных задач при наличии вязкопластичной смазки / И. И. Кудиш // Трение и износ. 1983. Т 4. № 3. С. 449-457.

56. Кыозэно, Смазка пористых радиальных подшипников / Кьюзэно // Пробл. трения и смазки. 1972. № 1. С. 66 72.

57. Лебек, Гидродинамическая смазка и износ в контактных торцевых уплотнениях с волнистой поверхностью / Лебек, Тил, Пирс // Пробл. трения и смазки. 1978. № 1. С. 87 99.

58. Лейбензон, Л. С. Границы приложимости гидродинамической теории смазки / Л. С. Лейбензон // Гидродинамическая теория смазки. Добавление 1. М.; Л.: Гостехиздат, 1934. С. 187-202.

59. Лейбензон, Л. С. К вопросу о гидродинамической теории смазки / Л. С. Лейбензон // Трение и износ в машинах. Тр. 1-й Всесоюз. конф. М.: Изд-во АН СССР, 1940. Т. 2. С. 117-126.

60. Максимов, В. А. Плавающие уплотнения валов высокоскоростных центробежных компрессорных машин / В. А. Максимов М.: ЦИНТИХИМНЕФТЕМАШ, 1977. 52 с.

61. Мурти, Распределение давления в коротких пористых подшипниках / Мурти // Пробл. трения и смазки. 1974. № 2. С. 14 18.

62. Ника, А. Тепловые характеристики и трение в радиальных подшипниках / А. Ника // Пробл. трения и смазки. 1970. № 3. С. 3-7.

63. Никитин, А. К. Гидродинамическая теория смазки и расчет подшипников скольжения, работающих в стационарном режиме / А. К. Никитин, К. С. Ахвердиев, Б. И. Остроухов. М.: Наука, 1981. 318 с.

64. Пань-Тянь, К. О влиянии однородной Рейнольдсовской шероховатости на характеристики двумерного плоского подшипника с экспоненциальным распределением толщины пленки / К. Пань-Тянь, Ф. Аткинсон // Пробл. трения и смазки. 1982. № 2. С. 66-73.

65. Патир, Ч. Модель усредненного течения для определения влияния трехмерной шероховатости на частичную гидродинамическую смазку / Ч. Патир // Пробл. трения и смазки. 1978. № 1. С. 10-15.

66. Петров, Н. П. Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости / Н. П. Петров // Инж. журн. 1883; Гидродин. теория смазки, 1934. 102 с.

67. Петрусевич, А. И. Роль гидродинамической масляной пленки в стойкости и долговечности контакта машин / А. И. Петрусевич // Вестн. Машиностроения, 1963. № 1. С. 33-45.

68. Пикус, Ю. М. Гидростатическая смазка вязкопластичными и вязкими жидкостями / Ю. М. Пикус. Минск: Вышейш. шк., 1981. 192 с.

69. Подольский, М. Е. Упорные подшипники скольжения / М.Е. Подольский Л.: Машиностроение, 1981. 261 с.

70. Позняк, Э. Л. Демпфирование самовозбуждающихся колебаний роторов на подшипниках скольжения / Э. Л. Позняк // Изв. АН СССР. ОТН. Сер. Механика. 1965. № 3. С. 68-76.

71. Приходько, В. М. Нелинейные эффекты воздействия вязкопластичной смазки на шип радиального подшипника скольжения с оптимальным профилем опорной поверхности / В. М. Приходько // Трение и износ. 2001. Т. 22. № 5. С. 483-486.

72. Приходько, О. Б. Проектирование и расчет высокоскоростных тяжело нагруженных гидродинамических упорных подшипников скольжения / О. Б. Приходько, А. С. Столбовой // Вестн. Машиностроения. 1978. № 3. С. 39-42.

73. Пэн, И. Кавитация в коротком подшипнике с подачей смазки под давлением/И. Пэн//Пробл. трения и смазки. 1978. № 3. С. 61-71; 1981. №3. С. 13-27.

74. Райтмайр, Экспериментальное исследование упорного подшипника с качающимися колодками и податливой поверхностью / Райтмайр, Костелли, Фуллер //Пробл. трения и смазки. 1976. №1. С. 100 112.

75. Расчет опорных подшипников скольжения / Квитницкий Е.И., Киркач Н.Ф., Полтавский Ю.Д. М.; Машиностроение, 1979.

76. Расчет потерь мощности в упорных гидродинамических подшипниках скольжения турбокомпрессорных машин / Баткин Г.С., Галеев А.М., Максимов В.А., Сидоров В.П. // Труды КХТИ им. С.М. Кирова. Сер. мех. наук, 1971. С.161 166.

77. Свит, Подшипники со сдавливанием пленки для устранения масляного биения / Свит, Дженин // Пробл. трения и смазки. 1971. №2. С. 42-52.

78. Сергеев, С. И. Демпфирование механических колебаний / С. И. Сергеев М.: Физматгиз, 1959. 408 с.

79. Слезкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. М.: Гостехиздат, 1955. 519 с.

80. Слезкин H.A. К вопросу об уточнении решения уравнения Рейнольдса. / Н. А. Слезкин. ДАН СССР, 1964. №2. 310 с.

81. Снеговский, Ф. П. Опоры скольжения тяжелых машин / Ф. П. Снеговский. М.: Машиностроение, 1969. 223 с.

82. Сорокатый, Р. В. Анализ работоспособности подшипников скольжения при возвратно-вращательном движении / Р. В. Сорокатый // Трение и износ. 2003. Т. 24. № 2. С. 136-143.

83. Тарг, С. М. Основные задачи теории ламинарных течений / С. М. Тарг. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. 238 с.

84. Типей, Н. Подшипники скольжения: Расчет, проектирование, смазка / Н. Типей, В. Н. Константинеску, О. Ника. Бухарест: Акад. наук PHP, 1964. 457 с.

85. Типей, Н. О поле температур в пленках смазки / Н. Типей, О. Ника // Теорет. основы инж. расчетов. 1967. № 4. С. 51-54.

86. Тодер, И. А. Исследование напряжений и деформаций во втулке-вкладыше гидродинамического подшипника прокатного валка / И. А. Тодер // Труды ВНИИМЕТМАШ. 1972. № 31. С. 130 139.

87. Токарь, И. Я., Решение задачи об ограниченной смазке / И. Я. Токарь, Г. Р. Городищева // Машиноведение. 1982. № 4. С. 86-91.

88. Токарь, И. Я. Проектирование и расчет опор трения / И. Я. Токарь. М.: Машиностроение, 1971. 168 с.

89. Токарь, И. Я. Расчет упорных подшипников реверсивных машин / И. Я. Токарь, И. В. Сайчук // Вест, машиностроения. 1972. №9. С. 18-21.

90. Тондл, А. Динамика ротора турбогенераторов / А. Тондл М.: Энергия, 1971. 387 с.

91. Трифонов, Е. В. Исследование работы быстроходных упорных подшипников / Е. В. Трифонов // Развитие гидродинамической теории смазки применительно к упорным подшипникам скольжения. 1959. С. 116-131.

92. Тейлор, Исследование и расчет сегментированных демпферов для ограничения колебаний валов / Тейлор, Фер // Пробл. трения и смазки. 1982. №1. С. 89-96.

93. Уилкок, Влияние шероховатости поверхностей на процессы смазки: Обзор докл., представленных на IV Лидс-Лионский симпоз. (Лион, Франция 13-16 сент. 1977)/Уилкок//Пробл. трения и смазки. 1978. №1. С. 4-15.

94. Усков, М. К. Гидродинамическая теория смазки / М. К. Усков, В. А. Максимов. М.: Наука, 1985. 143 с.

95. Усов, П. П. Гидродинамическая смазка подшипника при наличии шероховатости / П. П. Усов // Трение и износ. 1963. № 6. С. 1025-1037.

96. Усов, П. П. Контактные задачи с учетом износа для сферического и цилиндрического подшипников скольжения с тонким вкладышем / П. П. Усов, М. А. Галахов // Машиноведение. 1986. № 3. С. 82-88.

97. Фройштетер, Г. Б. Реологические и теплофизические свойства смазок / Г. Б. Фройштетер, Ю. Л. Ищук. М.: Химия, 1980. 175 с.

98. Хадиев, М. Б. Исследование и расчет гидродинамических упорных подшипников с подвижными подушками / М. Б. Хадиев // Автореф. дис. Хадиева М. Б, канд. техн. наук. Казань: КХТИ, 1979. 29 с.

99. Ханович, М. Г. К вопросу о расчете упорных подшипников скольжения / М. Г. Ханович // Тр. III Всесоюзн.конф. по трению и износу в машинах. 1960. Т. 3. С. 146-154.

100. Ханович, М. Г. Опоры жидкостного трения и комбинированные / М. Г. Ханович. М., 1960. 272 с.

101. Хори, Сдавливаемая пленка на поверхности резины / Хори, Като, Нарумия // Пробл. трения и смазки. 1981. № 1. С. 74 80.

102. Чернавский, С. А. Подшипники скольжения / С. А. Чернавский. М.: Машгиз, 1963. 244 с.

103. Чжоу, О влиянии шероховатости при гидродинамической смазке / Чжоу, Сейбел // Пробл. трения и смазки. 1978. №2. С. 34 38.

104. Экспериментальный стенд для испытания высокоскоростных упорных подшипников скольжения центробежных компрессорных машин / Г. С. Баткис, В. А. Максимов, В. П. Сидоров, М Б. Хадиев // Труды КХТИ, Сер. мех. наук. 1971. Вып. 49. С. 35 39.

105. Элрод, Общая теория ламинарной смазки при наличии рейнольдсовой шероховатости / Элрод // Пробл. трения и смазки. 1979. Т. 10. №1. С. 8-16.

106. Элрод, Алгоритм расчета кавитации / Элрод // Пробл. трения и смазки. 1973. №4. С. 91-96; 1974, №4, С. 31 -40; 1981 №3 с. 28-32.

107. Этсион, Исследования гидродинамического упорного подшипника с неполной пленкой / Этсион, Барков // Пробл. трения и смазки. 1981. № 3. С. 32-39.

108. Этсион, Анализ узких радиальных подшипников при новых граничных условиях на входном участке пленки смазки / Этсион, Пинкус //Пробл. трения и смазки. 1974. № 3. С. 210-216. 1975. № 1.С. 86-91.

109. Эттлз, Анализ поперечного течения в канавке подшипника / Эттлз, Камерон // Пробл. трения и смазки. 1968. №4. С. 332 343. 1980. №2.1. C. 49-62.

110. Ямпольский, С. JI. О расчете и снижении потерь мощности в упорных гидродинамических подшипниках / С. JI. Ямпольский // Энергомашиностроение. 1970. №12. С. 40-41.

111. Яновский, М. И. Конструирование и расчет на прочность деталей паровых турбин / М. И. Яновский М.; Д.: Изд-во АН СССР, 1947. 240 с.

112. Birkhoff, G. Free boundaries in partial, lubrication / G. Birkhoff,

113. D. F. Hays // J. Math and Phys. 1932. 42. №2. P. 126 138.

114. Boswall, R. О. The theory of film lubrication / Boswall R. O. L., 1928.149 p.

115. Charnes, A. On the solution of the Reinolds equations for slider-bearing lubrication. IV. Effect of temperature on viscosity / A. Charnes, F. Asterle, E. Saibel // Trans. ASME. 1953. 75. №6. P. 231 242.

116. Christensen, H. Failure by collapse of hydrodynamics oil films / H. Christensen // Wear. 1972. №9. P. 9 12.

117. Duffing, G. Beitrag zur Theorie der Flussigkeitsbewegung von kuzzshen Zapfen und Lager / Duffing G. // Ztschr. Angew. Math, und Mech. 1924. 4. №4. P. 54-60.

118. Duffing, G. Die Smiermittelreibung bei Gleitflächen von endlicher Breite / G. Duffing // Handb. Phys. und techn. Mech. 1931. 5. P. 13 27.

119. Hunter, W. B. Effect of temperatures variations across the lubricant films in the theory of hydrodynamic lubrication / W. B. Hunter, О. C. Zienkiewicz // J. Mech. Eng. Sei. 1960. P. 75 81.

120. Kahlert, W. Der Einfluss der Trägheitskräfte bei der hydrodynamischen Schmiermitteitheorie / W. Kahlert // Ing. Arch. 1948. 16. P. 321 342.

121. Motosh N. Der Wärmeaustausch Olschicht und Metallflächen in einem gleitlager unter berücksichtigung der Veränderlichkeit der Olviscisität / Motosh N // Ing. Arch. 1964. 33. №3. P. 111 119.

122. Neal Р. В. Analysis of the taper-land bearing pad / P. B. Neal // J. Mech. Eng. Sei. 1970.

123. Pinkus O., Etsion I. Analysis of Doubly-Stepped Gas Journal Bearings // Israel J. of Technology. 1974 (12). P. 169-176.

124. Нагайцева, H. А. Математическая модель нестационарных движений вала в гидродинамическом подшипнике / Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева // ПТМФ. 2003. Т. 44. № 5. С. 118-127.

125. Nagaitseva N. A. Mathematical model of the unsteady motion of a shaft in a hydrodynamic plain bearing / Nagaitseva N. A., Erkaev N.V. // AMTP. 2003. Vol. 44. № 5. P. 699-707.

126. Нагайцева, H. А. Нестационарные движения оси вала в подшипниковом узле скольжения / В. Ф. Терентьев, Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева, // Изв. вузов. Машиностроение, 2003. № U.C. 3-11.

127. Нагайцева, Н. А. Моделирование работы подшипников скольжения в условии гидродинамического смазывания / Н. А. Нагайцева И Вестн. Ассоц. выпуски. Вып. 12. 2001. С. 56-58.

128. Нагайцева, Н. А. Исследование стационарной математической модели подшипника скольжения в режиме гидродинамического смазывания / Н. А. Нагайцева, О. И. Глазкова // Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Вып. 29. Машиностроение. 2002. С. 64-71.

129. Нагайцева, Н. А. Математическая модель нестационарных движений вала подшипника скольжения в условиях гидродинамической смазки / Н. В. Еркаев, Н. А. Нагайцева // Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Вып. 29. Машиностроение. 2002. С. 128-139.

130. Нагайцева, Н. А. Математическое моделирование нестационарных режимов гидродинамических подшипников скольжения / Н. А. Нагайцева // Материалы V Всерос. конф молодых ученых по мат. моделир. и информ. технол. ИВТ СО РАН г. Новосиб. 2004. С. 25

131. Нагайцева, Н. А. Влияние волнистости вала на рабочие характеристики подшипника скольжения / Н. А. Нагайцева, О. И. Глазкова // Вестн. Краснояр. гос. техн. ун-та. Вып. 32. Машиностроение. 2003. С. 73-78.