автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейной динамики открытой системы гиперцикла

005001857

ВОЛОСОВА Александра Константиновна

Математическое моделирование нелинейной динамики открытой системы гиперцикла

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 НОЯ 2011

Москва - 2011 г.

005001857

Диссертация выполнена на кафедре "Прикладная математика 1" в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования « Московский государственный университет путей сообщения » (МИИТ)

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Братусь A.C.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор Мартинсон JI.K.

- кандидат физико-математических наук, доцент Гасников A.B.

Ведущая организация: - Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) (МИЭМ), г. Москва

Защита состоится " о УКбря 2011 г. в 4Q часов 00 минут в аудЛ22>5"на заседании диссертационного совета Д 218.005.10 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ) по адресу: 127994, Москва, ГСП-4, ул. Образцова, д. 9, стр. 9.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим выслать по адресу университета, ученому секретарю совета Д 218.005.10.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования « Московский государственный университет путей сообщения» (МИИТ) .

1--JL

Автореферат разослан " V " ' 1 ■ 2011 г. Ученый секретарь

диссертационного совета к.т.н., профессор / УУ^^ Соловьев В.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.Статистика числа работ в направлении математического моделирования синтеза сложных макромолекул показывает интерес научного сообщества к этой теме. Прежде всего, это связано с развитием эволюционной теории образования сложных самовоспроизводящихся макромолекул, предложенной М. Эйгеном1. С этой темой также связаны проблемы синтеза современных лекарств, исследование синтеза молекул во внешних природных водоемах и внутри организмов. Ряд важных задач связанных с теорий распределенного гиперцикла решен в работах А.С.Братуся, A.C. Новожилова, В.П. Посвянского. Развитию этой теории посвящена данная рабоТа' Цель работы. Целью настоящей работы является разработка метода исследования задачи распределенного открытого гиперцикла размерности два Это исследование является расширением и добавлением к комплексному подходу состоящего из аналитических и численных методов, служащих для математического моделирования и разностороннего анализа моделей а*то-вочн волн разряжения, волн перепада, открытой модели гиперциклической репликации, других моделей спира^ных волн и связанных с ними эффектов.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, вклкь ченные в диссертацию, получены впервые. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит Волосовой А.К. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1 Построена сопутствующая матрица системы функциональных линейных ' алгебраических уравнений (СФЛАУ) к параболическому квазилинейному уравнению с частными производными второго порядка в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы - СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.

Вычислены собственные числа сопутствующей матрицы - СФЛАУ в полярной системе координат для задачи с двумя пространственными переменными для параболического уравнения второго порядка. Выведены формулы метода нефиксированной констр))Стивной замены переменных

1цсе ссылки приведены в диссертации

Dl

(МНФКЗП) в полярной системе координат.

2. Построены семейства точных решений распределенной системы открытого гиперцикла — из двух параболических уравнений с квадратичной нелинейностью функцией источника - методом МНФКЗП.

Построены примеры точных решений параболических полулинейных уравнений в неявной, параметрической форме, с функций источника, который моделируется кубическими или квадратичными полиномами.

Сформулирована гипотеза об альтернативной классификации решений смешанных задач для квазилинейных и полулинейных параболических уравнений в случае одной временной и одной пространственной переменной на основе анализа большого количества примеров. Указана связь собственных чисел сопутствующей матрицы -СФЛАУ с характером эволюции решения. Сформулирована гипотеза - найдены необходимые условия эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению по собственным числам сопутствующей матрицы.

3. Показано, на основе анализа точных решений, что во вращающейся полярной системе координат, при математическом моделировании и построении решений, возникают структуры близкие к спиральным волнам. Предложено аналитическое описание эффекта локального вращения структуры вокруг местного ведущего центра при малых временах. Построены алгоритмы программ в символьном виде в системе «Математика» на базе точного метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) в декартовой и полярной системе координат. Распечатки разработанных программ приведены в приложении к диссертации.

Методы исследований. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы теории численных методов. Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, строгостью применения математического аппарата;

сравнением вычислений по полученным аналитическим формулам с результатами численного моделирования, которые получены другими различными авторами при тех же значениях параметров;

использованием модельных задач при численном моделировании и сравнением результатов с данными, полученными другими авторами независи-

мыми методами исследования подобных задач.

Практическая ценность работы. В диссертации рассмотрены некоторые актуальные модели автоволн и структур спиральных волн. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных аналогичных задач, к которым ранее не применялась техника метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП). Кроме того, представленные результаты могут служить эталоном для апробации новых методов в математической физике и теории процессов переноса. Рассмотрены решения уравнений с квадратичной и кубической нелинейностью. В работе исследована задача, имеющая практическое значение в других областях приложений, например, задача о « волне разрежения» для модифицированного уравнения Колмогорова — Петровского— Пискунова-Фишера. Построены новые решения моделирующие спиральные волны и т.п. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при анализе, предсказании эффектов и объяснении результатов численных расчетов структур типа спиральных волн. Разработанная в диссертации методика исследования поведения решений нелинейных уравнений по точному решению дополняет известные в настоящее время другие методы исследований. Полученные аналитические результаты могут использоваться в учебном процессе при изложении теории уравнений с частными производными, устойчивости решений и динамики нелинейных систем. Основные положения теории МНФКЗП и новые точные решения вошли в учебные пособия и в справочники. Материалы диссертации также выставлены на сайтах в Интернете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры «Прикладная математика 1», Московского государственного университета путей сообщения (руководитель д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь);

на семинаре на кафедры «Кибернетика», Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ) (руководитель д.ф-м.н, проф. В.Н.Афанасьев);

на семинаре кафедры «Прикладная математика», Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ); (руководитель лауреат государственной премии России, д.ф-м.н, проф. М.В. Карасев);

на семинаре отдела Математического моделирования экономических систем ВЦ РАН, Центрального экономико- математического института РАН.

(руководители д.ф-м.н, проф. Г. М. Хенкин, д.ф-м.н, проф. Р. Г. Новиков, д.ф-м.н, проф. A.A. Шананин.);

на семинаре кафедры «Системный анализ», факультета ВМК, Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководитель

д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь);

Представленные результаты докладывались на международных конференциях:

1. « Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», IV Всероссийская конфереренция (13-18 05.2008), СГУТКД, Сочи.

2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология» посвященная 100 летию со дня рождения Портрягина Л.С. 17-22 июня 2008.

3 «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Санкт-Петерб. педагогический университет 13-15 04.2009.

4.« Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», V Всероссийская конфереренция, 10-15 05.2009, СГУТКД, Сочи.

5.Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященная 70-летию ректора МГУ

В.А.Садовничего.ЗО 03.-02 04. 2009.

6 XVI Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.

X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике,

19-24 05. 2009. С-Петербург.

7 Восьмая международная конференция. Eighth International Conference

«Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics», Киев, Украина, 21-27 06. 2009.

' 8 VI Всесоюзная научная конференция. «Математическое моделирование и краевые задачи.» Самарский гос. технический университет. 1-4 06. 2009.

Самара. v

9. XVII Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам, л

Всероссийский симпозиум по прикладной и пром. математике. 9-14 10. 2009. Сочи-Догомыс.

10 VII - международная научно - практическая конференция, Irans - Mech - Art - Chem. c.59 - 60. М.:МИИТ. 2010.

11 Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Матем.' институт им.В.А.Стеклова, МГУ им

М В.Ломоносова, Владимирский гос. университет. Суздаль, 2-7 0/. 2010.

12 Третья международная конференция по нелинейной динамике. Национальный технический университет «Харьковский политехнический ин-

в

статут». 21-24 09. 2010.

13. V международная конференция РАСО 2010. Институт управления

им. В.А.Трапезникова. Москва. 26-28 10. 2010.

14. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Санкт-Петерб. педагогический университет. 11-15 04.2011, С-Петербург.

15. 53 научная конференция МФТИ. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Москва - Долгопрудный. 26-28 11. 2010.

Публикации. По теме диссертации опубликовано в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК 6 научных труда. Разные аспекты работы опубликованы в сборниках докладов 15 конференций.

В 2008 году Волосовой А.К. за участие в XVI конкурсе студенческих работ образовательного математического сайта Exponenta.ru выдан памятный сертификат.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 137 страниц, включая 34 рисунков и списка литературы состоящего из 150 наименований.

Содержание работы

Во введении нроведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования. Приведены основные положения выносимые на защиту, и данные о структуре и объеме работы.

В главе 1 в параграфе 1.1 приведены постановки смешанных задач для одного линейного параболического уравнения с переменными коэффициентами и для квазилинейного параболического уравнения, которые рассмотрены в диссертации.

В параграфе 1.2 приведены постановки смешанных задач для системы полулинейных параболических уравнений и в частности распределенной системы открытого гиперцикла. Кроме других приведем постановки наиболее важных задач, решения которых построены в диссертации:

Задача 1.3

Найти решение системы двух уравнений в декартовой системе координат

здесь А — оператор Лапласа в декартовой системе координат,

Q(x, у t), S(x, у, t) — дважды непрерывно дифференцируемые функции по всем аргументам,

Fi{Q,S), i = 1,2 — некоторые непрерывно дифференцируемые функции, (обычно полиномы переменных Q, 5), — примеры приведены в книгах Дж. Марри под редакцией А.Д. Мышкиса и Ю.М. Романовского, Н.В. Степановой, Д.С. Чернавского.

В работах A.C. Братуся с сотрудниками накладываются дополнительное условия обусловленные физическим смыслом задачи

Q > О, S > 0. (2)

В этих работах используется условие нормировки

00 оо

J J (Q{x,y,t) + S(x,y,t))dxdy =1. (3)

—оо —оо

Условия (2),(3) используются и в данной работе.

Система дополняется краевыми условиями второго рода и начальными данными.

Пусть заданы краевые условия второго рода на круге радиуса ri

Q гIТ-=Г1 = 0)

S'r|r=ri+Co = 0. (4)

Здесь г\- некоторая константа большая чем характерный размер р0, со— константа.

Начальные условия имеют специальный вид.

Q(v»r.i)|i=o = Qo(<P,r),

S(<p,r,t)\t=o = S0(<p,r). (5)

В данном случае предполагается, что в начальный момент времени уже сформирована структура спиральной волны, связанная с построенным решением. Вид функций Fi(Q, S), F2(Q, S) будет уточнен ниже. Задача 1.4

Построить решение и исследовать систему полулинейных параболических уравнений в полярной системе координат. Надо найти функции S(t,<p,r)),Q(t,<p,r) —это решение системы параболического типа с перемен-

ными коэффициентами

Q\ - d.Q'rr - ~ + К №>« r)' r)) =

_ d2s"Tr - hs'r - + F2 (S(t, <p, r),Q(t, <pt r)) = 0. (6) г T

Здесь w, dj, j — 1,2 константы, a S(<f, r, f), Q(<P, r, t) -дважды непрерывно дифференцируемые функции трех переменных.

Коэффициенты диффузии имеют размерность [Dj] [м2/с]. Следовательно, dj = Dj Txap/Lxap2, где Тмр, Llap- характерные время «жизни» и характерный размер двухмерной структуры.

Предположим, что система координат равномерно вращается с постоянной угловой скоростью ш относительно начала координат в плоскости г, у.

Запишем уравнения (6) в вращающейся с постоянной угловой скоростью ш полярной системе координат г, вокруг начала координат, где Q — ip — uit.

Сделаем здесь замену переменных

W{ß, г) = Q(fp-u t, г), Н{9,г) = S(<p-u t, г).

Эта задача изучена в четвертой главе диссертации.

В главе 2 в параграфе 2.1 построена сопутствующая матрица к уравнению с частными производными второго порядка.

В диссертации продолжается изучение квазилинейного параболического уравнения с одной пространственной переменной

Z't-(K(Z)Z'x)x + F(Z) = 0. (7)

Данное уравнение известно в приложениях как уравнение нелинейной диффузии и теплопроводности. Ссылки приведены в обзоре во введении. Поскольку система открытая, то взаимодействие в внешней средой осуществляется через обмен энергией и описывается в данном случае краевыми условиями и объемными источниками и стоками, которые моделируются функцией

В цитируемых работах предполагается, что все используемые функции имеют две непрерывно дифференцируемые производные. Функции Z(x,t) €

С2 (R1 х [0,t0]), t0 > 0.

Следуя работам К. А.Волосова сделана произвольная замена переменных

" Z{x,t)\x=xii, 6), t=t(i,ä) = U(£,ö). (8)

Далее устанавливаются дифференциальные связи

К(г)—\х=х^ I), М€.«) = 5)• (9)

Таким образом введены три дважды непрерывно дифференцируемые функции 11 (£,5), У(£,<5), Т(£,5)которые принадлежат С2 (Л1 х Л1).

Уравнение (7) эквивалентно системе четырех уравнений с частными производными

г^/гг/- г\ч / ¿М7дидх\ „,,, „г / / , , , . , +^г) = (10)

+К{и)Р(и) = 0. (11)

аяУ + а* ^(с/)у А ( т \ ОН. ( т \ - п

В цитируемых работах К.А.Волосова доказано, что вся система (10)—(12) является СФЛАУ и этот факт лежит в основе метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП), который используется в данной диссертации.

Теорема 2.1

Пусть дана система четырех уравнений с частными производными первого порядка (10)-(12) и справедливо утверждение сформулированное в теореме В.1 в ведении диссертации.

Тогда система (10)-(12) эквивалентна уравнению (7) и может быть записана как СФЛАУ А]Х = Ь. Эта система имеет вид

-УС/с ти\ -ти'л /х'А /0\

а21 <222 «23 «24 I _ 0

о 0 азз «34 о

\ о о 0 а44 / \?6/ \Ь4/

Здесь вектор

X = (х'4, х'г, 1;'?! (13)

а вектор

Ь = (0,0,0А)т, (14)

где2

64 - Щ-УУ\ + РКЦ1, + Ти'6}\и'6У'( - ¥'6и'(). (15)

Сопутствующая матрица Ах приведена выше, где

ап = Уи'б, ой = ~Уи'0 ои = Ти'ц, а14 = ~Т1/(

021 = ~К(и)У\ + ^(С/)^, а22 - - УК'(и)и'ь

а23 - -К(С/)Г'{ + ТК^и^б, а24 = К - ТК\и)и'ь

озз = -УУ^ + (Р{и)К{и) + Т)и'г,

«31 = УУ^ - (Р(и)К(и) + Т)и\,

о44 = /Ж, = - Т\У)и\ + (УТ'6 - ТУ\)и\\ +

+ГУ[-С/>'? + + у2[у'д^ - Т'гу'?] +

Собственные числа сопутствующей матрицы А1 имеют вид

\1 = -УУ'б + РКи'6 + Ти'6,

А2 = Р1 = У2[Т'6У'( - У\Т\} - Т^К + т\\и\у\ - у'5и'() + +У[РК + т\1и'6т\-т<6и\}>

Аз = ^{М - у/О], А4 = 1-[М + у/Л), (17)

где

м = ку\ + у{и18-к'{и)и,1),

В. = 4УК{У\и\ - и'6У\) + [КУ\ + У(и'г - К'(и)и'()}2. (18)

□

Далее в главе вычислены собственные вектора в символьном виде. В параграфе 2.2 Построены примеры точных решений уравнений с квадратичной и кубической нелинейностью. Среди этих решений имеются как новые, так и решения которые были получены ранее другими авторами групповыми методами. Эти решения построены с целью продемонстрировать достоверность результатов полученных МНФКЗП.

2Знак т означает транспонирование.

В параграфе 2.3 приведены примеры расчета собственных чисел для важных в приложении решений смешанных задач. На основе анализа вычислений большого количества примеров проведена гипотеза об альтернативной классификации решений смешанных задач для параболических квазилинейных и полулинейных уравнений в случае одной временной и одной пространственной координаты по собственным числам сопутствующей матрицы СФЛАУ. Сформулирована гипотеза о необходимых условиях эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению в случае одной временной и одной пространственной переменной. Доказана Лемма о свойствах собственных числах вычисленных в теореме 2.1.

Лемма 2.1

Собственное число Аг = — (А1)2 всегда отрицательное.

Собственное число Аз < 0, если М < О и

если М > 0, то должно быть выполнено неравенство

к{г)ъг'х^ > о. (19)

Подводя итог большому количеству просчитанных по данной методике примеров (порядка ста), приводим гипотезу — утверждение о необходимых условиях эволюции решения уравнения с частными производными к «предельному притягивающему» решению.

Утверждение 2.6

Пусть вычислены собственные числа матрицы СФЛАУ эквивалентной уравнению (7) с одной пространственной переменной в теореме 2.1. Пусть 0,(х,£) известное или неизвестное3 решение квазилинейного или полулинейного (К(Я) = 1) параболического уравнения (7), которое является «предельным притягивающим» решением, оно может быть и тождественным нулем. Пусть сделана замена переменных (8) и установлены дифференциальные связи (9), и в окончательных формулах собственных чисел теоремы 2.1 эта замена принимает конкретный тривиальный вид

Тогда, с необходимостью, реальная часть двух собственных чисел матрицы А, Де(Аг) < 0, йе(А3) < 0 в некоторой области и(х,Ь), а вещественная часть следа матрицы ТгА меняет зкак в некоторой области, то выполнен в некотором смысле, конкретном для каждой задачи предел Z(x,t) —> П(х,4) для любого значения х в некоторой области

3то есть описанных формулами в какой либо виде

w{x,t), при t --> oo, то есть решение стремится в некоторой норме ||Z(x,t) - fi(z,i)|| 0 к «предельному притягивающему» решению.

О

Установлена связь и совпадение результатов с работами А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова, Я.Б. Зельдовича ,Г.И. Баренблатта, Я.И. Канеля, P.O. Кершнера, В.В. Жикова, В.Н. Денисова и других.

Замечание 2.9.

В нашей работе разделены два вопроса

А. Каковы необходимые условия существования «предельного притягивающего» решения?

Б. Как осуществляется предельный переход к «предельному притягивающему» решению?

Ответ только на первый вопрос дается нами в виде гипотезы.

В параграфе 2.4 построены примеры точных решений в неявной, параметрической форме модифицированной задачи Колмогорова — Петровского — Пискунова — Фишера с источником, который моделируется кубическим полиномом.

В главе 3 в параграфе 3.1 Во вращающейся полярной системе координат построено ограниченное, дважды непрерывно дифференцируемое решение в некоторой области, которое может моделировать спиральную структуры. Вычислены коэффициенты сопутствующей матрицы для одного уравнения с двумя пространственными переменными во вращающейся системе полярных координат. Вычислены собственные числа в символьной форме. Показано, что исследование спиральных волн в работе Димовной С.Н. с коллегами полностью переносится на распределенную систему открытого гиперцикла.

Вычислены собственные числа, изучена их структура и установлена связь неустойчивых вторичных структур с собственными числами СФЛАУ. Установлена пространственная структура точных решений и предсказано место возникновения вторичных структур при численном моделировании задачи.

Выявлены важные закономерности в пространственном распределении собственных значений. Они объясняют появление двух вторичных структур и их положение при дальнейшей эволюции структуры. Проведено сравнение результатов.

Приведем основные формулы параграфа 3.2.

Рассмотрена смешанная задача со специальными начальными условиями для полулинейного дифференциального уравнения с частными производны-

ми в полярной системе координат с тремя независимыми переменными t, <р, т.

- ¿1 Я"гт - ¿1\я'т - ¿1 + д;, д, г, <р, í) = о, (20)

где ¿1- заданная константа, ^(<3',., <5, г, р, г) дважды непрерывно дифференцируемая функция по переменным г, уз.

Краевые и начальные условия имеют вид аналогичный (4), (5). В системе координат равномерно вращающейся с угловой скоростью ш уравнение (20) записывается в виде

-¿1 - ы у'о + Рх(У'г, /в, V, г, $) = 0. (21)

А оператор Лапласа записанный в полярной системе координат в, г. Делаем нефиксированную конструктивную замену переменных

= (22)

Далее установим дифференциальные связи, которые для уравнения (21) имеют вид

<*). «=0(4, <5) = ¥{£>&)> ж1г=г«, 6), в=в((, 6} = Т(£,6). По схеме МНФКЗП получим систему четырех уравнений с частными производными первого порядка

(ди дв ди двл , . . ,

( ди дг ди дг\ гчг, . ,,

/&Г дг _ 9Т дг\ 2 [дв&У_двдУ\_

д£ дб) ^ д£ д£ дб)~ \-Г\е'6 + 9\ г>(е,<*)#

¥ + ит(и) Т-г&б) Т, в(£,5), г«,й))]М. (24)

_дгдУ д&дТ_

85 + 85 д5 + д£ 85 ~ Система четырёх уравнений (23)-(25) на первый взгляд кажется системой нелинейных уравнений. В диссертации проведено доказательство, что вся система является СФЛАУ относительно производных г ¡, В' Теорема 3.2.

Пусть дана система уравнений с частными производными первого порядка (23)—(25).

Тогда система (23)-(25) приводится к СФЛАУ. которая имеет единственное решение

дг дг

дв , дв

(26) (27)

Это новая система, относительно функций х(£,6), t{U) с вычисленной

правой частью, приведена в диссертации □

Теорема 3.3.

Пусть выполнены условия теоремы 3.2.

Тогда система уравнений (23)-(25) в матричной форме А X = Ь имеет

вид:

/Т'5 ~Т\ ~r\U)Y\ 5) У'Л /г'\

У> -П г

U's -U' ? 4

\0

i

о

о

-U's

-Ts о

V(

w

/bi\

h h

V

вид

Здесь матрица А выписана в матричном уравнении, вектор X имеет

х = (г'е, г'ц, в'(, е\у,

а вектор Ь = (Ьи Ь2, Ь3, 64)г, где Ьх = -деи/[г (<е,6) (Ы + шгТ- Гг г) с1х1 Ь2~ О Ь3=Т йеМ, 64 = У ¿ей. 4

Набор собственных чисел для системы АХ = Ь определяются из уравнения

А4 + Х% + А 2Л2 + Л/г, + ha = О. Четыре корня уравнения выписываются явно.

(28)

Ах = -Л3/4 - (1/2)y/D3- (\/2)\jDA - (-8^ + 4h2h3 -

Л2 = -h3/4 - (1/2) \J~D3 + (1 /2) \Jd4 - (~8h1+4h2h3 - (Л3)3)/(4у^),

Аз = -Аз/4 + (1/2) VA - (1/2)у^А + (-8At + 4h2h3 - (А3)3)/(4у^),

Д4 = -Л3/4 + (1/2) V^ + (1/2) у/Б< + (-8h + 4h2h3 - (h3f)/(4^Щ).

(29)

* Зна к

т означает транспонирование.

Имеет место четыре выражения из которых вычисляются квадратные корпи

= 1,2,3,4.

А = -4 (12А„ + Л22-ЗЛ1Лз)3 +

(27ЛХ2 - 72/и2 + 2Л23 - Э/цЛ^з + 27/10Л32)2,

М = (27ЛХ2 - 72М2 + 2Л23 - 9^^/гз + 27Л0Л33 + д/Ш1/3

о3 =

2

Х)4 =

(-|Ла + Л32/2 - (^(Ш, + Л22 - ЗАхАз)) /(3Mi) + Ailyi ~\h2 + Лз2/4 + ((г)1/»^ + л22 _ /(3Mi) + Ml/(3{2)W)^ .

= (-5Л2 + Лз2/2 - ((2)^(12^ + Л22 _ /(3Mi) _ Ml/(3(2)i/3^ ;

(30)

Коэффициенты hk, к = 0,1,2,3 имеют вид h0 = ((Г',)2 + (г(£, ¿)Уг)2) (f/'î)2 _ 2 и'¡и\{Т'+ г2У'гУ<) +

+ + Y'(lf6) + T'S(U'6T\ + U\{Y\ - c/4)),

Л2 = r2U\Y\ + Y\T\ + 2 T\U\ - T\Y't -Ы = -T'î - + y'f.

(31)

□ Таким образом, в параграфах 3.2, 3.3 проведены конкретные вычисления собственных чисел, изучена их структура и установлена связь неустойчивых вторичных структур с собственными числами СФЛАУ. Установлена пространственная структура точных решений. Выявлены важные закономерности в пространственном распределении собственных значений. Они объясняют появление двух вторичных структур и их положение при дальнейшей эволюции структуры при численном моделировании. Проведено сравнение наших результатов с результатами расчетов С.Н. Димовой с сотрудниками

Рис. 1: Начальное условие специального вида (Рис 1 а,Ь.с) эволюционирует в области, где собственное число А3 отрицательное в окрестности нуля (Рис 1 е). После разрушения спиральной волны образуются вторичные структуры (Рис 1 ¡3) в областях, где собственные числа Ах и Аз неположительны. (Рис, 1 е.,Г). Имеет место периодичность гю углу, с периодом 7Г на окружностях соответствующих областям, где локализуются вторичные структуры. Масштаб рисунка увеличен.

Обнаружено их хорошее соответствие.

В главе 4 в параграфе 4.1 изучено семейство точных решений открытой распределенной системы (6) — уравнений открытого гиперцикла с квадратичной нелинейностью функции источника, в частном случае равенства коэффициентов диффузии с1\ = е^.

-(¿2ДИ/ - + (1-кг Н)\¥ = О,

-<г2ДЯ - шН'о + (/ - А* I¥)Н = 0. (32)

Система (6) записана в вращающейся постоянной угловой скоростью ш полярной системе координат г, <р вокруг начала координат, где 9 = (р — ш Величина функционала / определена в работах А.С.Братуся. Она может быть вычислена после построения решения с помощью подбор значений свободных параметров и констант в организованном итерационном процессе. Эта процедура выходит за рамки данной диссертации, так как относится к изучению динамики закрытого распределенного гиперцикла. Это отдельная нелокальная сложная задача. Построено МНФКЗП новое решение описывающие спиральные структуры:

Теорема 4-3.

Пусть дана система (32) для функций

W{9, г) = W(6, x), Н(в, г) = Я (0, х). (33)

где х = In (г), di=d2 и даны два краевых условия второго рода, аналогичные

(4)-Ь

Тогда существует точное решение, где функция W(6, х) определена в неявной, параметрической форме равенством:

8 d2 и ? + 2 (6 Cxd2 - и ехр(2 Х)) ЩО, х) + + (2 € ш(А Ci2d2 - (/ + Ci ш) ехр(2Х))) W2(6, Х) + + (2 + (2 f + а>(—2 CJ + 2ko£-Сг2 ш)) ехр(2 Х)) W3{0, х) + +2*2(-/ + <71ы)ехр(2х)^4(в,х) = 0,

(34)

где

i = -СгЩв, Х)/2Т ___

Т (1 /2) ехр(—Cix/2) ^2 ехр(Сгб) - C12W2(0,x)exp(C1 х), а функция Н(в, х) определяется явно

н(е, х) = //fei - ClW/(2 fei) ± ___

±(w exp{-Cix/2)) / (2k1W(e,X)) fi exp(Ci0)-C12W2(0,x)exp(C1x).

(35)

Здесь Cj- константа. □

В параграфе 4.2 ставится задача описать эффект «локального вращения» множества спиральных структур. Эта задача решена при малых значениях времени. Построено новое семейство асимптотических решений описывающие структуры типа спиральных волн с двумя пространственными переменными по малому параметру ш < 1.

Пусть безразмерные коэффициенты d\ - d2 равны и введена дважды непрерывно дифференцируемая функция Z(ßtr) = klH(6,r)-k2W(etr).

Тогда из нелинейной системы (32) следует линейное эллиптическое уравнение

-ckAZ-ujZ'e + fZ = 0, (36)

50Ш1 приведены в дигг.пртации

Сделаем промежуточную замену переменных в уравнении (33)

Z(9, г) = В(в, si In (г)) exp(ßM, (37)

где si = ±1.

Предполагаем, что асимптотическое решение имеет вид

В(9,Х) = В0(9,х, и)+шВ1($,х, ш) + 0 (^).

Уравнение для главного члена асимптотического решения В0(9, х) имеет

вид

d2 Bq хх + 2d2f ^Bo'e + d2 B0"00 + d2 fB0/u? = 0 (38) Теорема 4-7

Пусть главный член асимптотического решения по малому параметру ш удовлетворяет уравнению (38)с краевым условием второго рода

в0х\х=х1 = 0 (39)

и существует окружность радиуса п, на которой выполнено краевое условие второго рода (39). И выполнено неравенство п > р0, где р0 — характерный размер. Тогда функция

ехр((-аг0 - ßlX + С2(в - х))/(2 <«;))[(!+CW) cos(A2(X + в)¡(2 и)) -~А2 sin{А2(х + в)/(2 ш))]/(А2у/р + C2ui(2 + С2ш)),

(40)

где

X = silnr, А2 = д/ —1 + 2 /2 + 2 С2 и> + С22 ш2,

ах = 2 / + С2 w ± А2, ßi = -С2 ш ± А2, si = ±1. (41)

является главным членом асимптотического решения. Форма спирали вычисляется по формуле в = Л21пг/(2/ + А2). □

В параграфе 4.3 Из функций вычисленных в параграфе 4.2 построена сумма приближенных решений, как приближенное асимптотическое решение задачи в декартовой системе координат. Предложено объяснение эффекта локального вращения структуры вокруг местного ведущего центра.

Тригонометрические функции в (40) можно записать по известной формуле

Бт((р + 7) = Бт^Соэ^) + вт^Сов^), где_

Ч> = Мх + 0)/(2 5ш(7) = (1 + Сг + (1 + С2 ш)2,

Со5(7) = -А2/у/А*2 + (1 + С2 ш)2.

Таким образом, данная формула объясняет эффект локального вращения. Время г входит в аргумент функции синус. В теореме 4.8 приведены сдвинутые на константы формулы (40) в исходных неременных х, у, Ь в декартовой системе координат.

Теорема 4■ 9.

Пусть верны формулы теоремы 4.8 и справедливо уравнение (36).

Тогда линейное параболическое уравнение (36) имеет приближенное асимптотическое решение при малых значениях времени Ь ш, главный член в исходных переменных х, у, £ имеет вид суммы к

У- = £ Ш х^Х^цу^ +

7=0 1

(42)

где Ко = В0 при ] = 0, а константы сдвига х^, у$ не равны нулю одновременно.

Здесь и/ формальный параметр- масштаб времени, все константы сдвига по модулю | больше характерного размера.

□ В параграфе 4.4 указаны различные пути развития дальнейших возможных исследований распределенной системы уравнений открытого гиперцикла с точки зрения автора диссертации. На базе теоремы 4.3 построено точное решение нелинейного уравнения с частными производными четвертого порядка, которое следует из системы (32). Это утверждение сформулировано в теореме 4.10.

В параграфе 4.5 кратко описан алгоритм по которому проводятся вычисления МНФКЗП в декартовой и полярной системе координат в символьном виде в системе "Математика".

Основные выводы и результаты работы

Построена сопутствующая матрица СФЛАУ к квазилинейному уравнению с частными производными второго порядка в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы — СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.

Приведены примеры точных решений с квадратичной и кубической нелинейностью.

Рис. 2: На рисунке показана тенденция возникновения локального вращения вокруг местного ведущего центра, в которой присутствует особенность функции (40) и (42).

На основе анализа сотни примеров приведена гипотеза о альтернативной классификации решений по собственным числам сопутствующей матрицы вычисленных на точном решении. Эта гипотеза о необходимых условиях эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению в случае одной временной и одной пространственной координаты.

Вычислены коэффициенты сопутствующей матрицы СФЛАУ и ее собственные числа в символьном виде для одного параболического уравнения с частными производными второго порядка с двумя пространственными переменными во вращающейся системе полярных координат.

Изучена их структура и установлена связь, геометрия и места появления вторичных структур при численном моделировании задачи, с собственными числами СФЛАУ.

Построено и изучено семейство точных решений распределенной системы уравнений открытого гиперцикла размерности два, в частном случае равенства коэффициентов диффузии.

Построено новое семейство асимптотических решений описывающие структуры типа спиральных волн с двумя пространственными переменными в полярной системе координат.

Из функций вычисленных асимптотических решений построена сумма приближенных решений, как приближенное асимптотическое решение задачи. Предложено объяснение эффекта возникновения локального вращения

структуры вокруг местного «ведущего центра» при малых временах.

Кратко описан алгоритм по которому проводятся вычисления МНФК-ЗП в декартовой и полярной системе координат в символьном виде в системе "Математика". Распечатки разработанных программ приведены в приложении к диссертации.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Волосова А.К., Волосов К.А. Конструирование решений уравнений с частными производными. Международный журнал Математики и Матемаг тических HayK.International Journal of Mathematics and Mathematical Siences. //V.2009,Article ID, 319268,17 p.

http:www.hindawi.com journals ijmms 2009 319269.html. doi:10.1155.2009 319269. Math- Net.Ru, Google Scholar, ZentralBlatt.

2. Волосова A.K. К теории нелинейной диффузии и теплопроводности. Труды МФТИ.т.З,н.1(9) 2011. Math- Net.Ru, Google Scholar, ZentralBlatt.

http://mipt.ru/nauka/53conf/Matetialy+53+konferenzii/07-FUPMl-view-arpggxyjmcg.pdf

3. Волосова A.K., Волосов К.А. СЛАУ вместо уравнения с частными производными. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009,т. 16, в.6, с. 1042-1043.

4. Волосова А.К. Необходимые условия существования решения типа спиральных волн. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т.16, в.З, с.458-459.

5. Волосова А.К. Математическое моделирование спиральных волн. Шестая Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2-4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.85-87. Math- Net.Ru, Google Scholar, ZentralBlatt,

6. Волосова А.К. Об одном семействе решений модифицированного уравнения Колмогорова- Петровского - Пискунова - Фишера. Шестая всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2-4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.87-92. Math- Net.Ru, Google Scholar, ZentralBlatt.

ВОЛОСОВА Александра Константиновна

Математическое моделирование нелинейной динамики открытой системы гиперцикла

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

УПЦ ГИ МИИТ, Москва, 127994, ул. Образцова, д. 9, стр. 9.

Подписано к печати: /¿? /О ¿¿О// Формат бумаги 60x84 1/16 Заказ N¿£3

Объем 1,5 печ. л. Тираж - 80 экз.

Введение

1 Глава 1. Постановки задач

1.1 Математические модели которые связаны с одним уравнением с частными производными с двумя и одной пространственной переменной.

1.2 Математические модели описываемые системами полулинейных параболических уравнений.

2 Глава 2. Точные решения краевых задач для математических моделей описываемых одним уравнением с одной пространственной переменной.

2.1 Вычисления элементов сопутствующей матрицы СФЛАУ эквивалентной уравнению с частными производными второго порядка.

2.2 Точные решения с квадратичной и кубической нелинейностью построенные МНФКЗП.

2.3 Необходимые условия эволюции решения к «предельному притягивающему» решению - гипотеза.

2.4 Новые решения модифицированного уравнения Колмогорова - - Петровского - Пискунова - Фишера с кубической нелинейностью, построенные методом МНФКЗП.

3 ГЛАВА 3. Точные решения краевых задач с двумя пространственными переменными.

3.1 Спиральные волны как результат решения линейного параболического или эллиптического уравнения с объемными стоками и источниками.

3.2 Вычисление коэффициентов матрицы СФЛАУ и собственных чисел в полярной системе координат для полулинейного параболического уравнения.

3.3 Неустойчивые решения и вторичные структуры. Примеры расчета собственных чисел сопутствующей матрицы.

4 ГЛАВА 4. Исследование распределенной системы гиперциклической репликации

4.1 Случай одинаковых коэффициентов диффузии.

4.2 Новые решения системы из двух полулинейных параболических уравнений, которые описывают спиральные волны построенные

МНФКЗП.

4.3 Возможность моделирования коллективного поведения совокупности спиральных волн.

4.4 Возможные направления дальнейших исследований распределенной системы открытого гиперцикла.

4.5 Алгоритм программы вычисления условий разрешимости, построения решения МНФКЗП и собственных чисел в системе Mathematica.

В настоящее время общепризнанным является тот факт, что без применения математических методов исследования и последующего вычислительного эксперимента, практически невозможно провести исчерпывающее исследование и расчет сложного процесса. При этом, сложные модели расщепляются на более простые, как на физршеском, так и на математическом уровне. Такой подход дает ряд преимуществ: уменьшение затрат, металлоемкости, времени анализа, что особенно важно при анализе крупногабаритных объектов; возможность анализа критических режимов, которые в реальности привели бы к разрушению объекта, к большим материальным потерям и жертвам, экологической катастрофе и т.д.» [89], [1], [48], [76], [97].

Такой подход, с моей точки зрения, можно перенести на изучение сложнейших процессов в биологическом живом микромире.

Свойства нелинейных моделей изложены, в частности, в книгах и статьях И.В. Андрианова, Р.Г. Баранцева, Л.И. Маневича [1], A.C. Братуся, A.C. Новожилова, А. П. Платонова, В. П. Посвянского [8] — [10], JI. М. Берковича [12], Я. Б. Зельдовича, Г. И. Баренблатта, В. В. Либровича, Г. М. Махвилад-зе [59], В. И. Кринского, А. С. Михайлова, А. Ю. Лоскутова, Л*. С. Полака [63], [68], [137], Дж. Марри под редакцией А. Д. Мышкиса [69], В. П. Мас-лова, М.В. Карасева, В.М. Хаметова, В.Г. Данилова, К. А. Волосова [70], [71], [113], [114], Л. К. Мартинсона, Ю. И. Малова [72]— [74], Ю. И. Неймарка, П. С. Ланды [75], О. В. Капцева [60], Ю. М. Романовского, Н. В. Степанова, Д. С. Чернавский [84], A.A. Самарского, Т. А. Ахромеевой, С. П. Курдюмова, Г. Г. Малинецкого, В. А. Галактионов [88], [89], Ю. М. Свиржева [90], Э. Скотта [93], Р. Буллафа, Ф. Кодри, Б. А. Дубровина, И. М. Кричевера, под редакцией С. П. Новикова [94], А. П. Шапиро, С. П. Луппов,[95], Г. Хакена [96], [97], Г. Николиса, И. Пригожина [76], М. Эйгена [98], [117], М. J. Ablowitz, A. Zeppetella [100], D. G. Aronson, H.F. Weinberger [102]— [104], V. N. Biktashev (Бикташев B.H.), G. V. Aslanidi (Г.В. Асланиди) , A. Baylay, R.H. Clayton, A.V. Holden, Y.E. Elkin (Елькин Ю.Е.), S.F. Mironov, A.M. Pertsov, A.V. Zaitsev [106]-[109], P.M. Чернига, (R. Cherniha), O. Pliukhin, M. Seruv, I. Rassokha [111], M.B. Crouhijrt, M.C. Boerlijst [112], P.S. Hagan [120], J. Hofbauer, 1С Sigmund [121]—[124], Y. Kuramoto [129], [130], S. Koga [131], [132], J. Murray [135], S.V. Petrovskii, B.L. Li [140], A. T. Winfree [147]. Ниже в диссертации не раз будут процитированы эти работы.

Далее проведем краткий обзор результатов имеющих отношение к диссертации, а именно работ в порядке возрастания их сложности, в нашем понимании этих проблем.

Цепочки сложных химических соединений образуют образуют замкнутые циклы сложных взаимных превращений. Существует математическая запись законов сохранения массы и энергии для этих реакций. Такие математические модели были предложены М.Эйгеном, Р.Шустером и носят название модели гиперциклов [98],[117].

Распределенная открытая модель гиперцикла описана А. С. Братусем с сотрудниками в [8], [10]. Высказана некоторая гипотеза о устойчивости решений связанная с сравнением минимального собственного числа оператора с малым параметром задачи.

M.B. Crouhijrt, М. С. Boerlujst, Р. Hogeweg исследовали эту же модель с помощью метода «клеточных автоматов» [110], [112]. Используя большие вычислительные мощности суперкомпьютеров и современные численные методы они обнаружили в математической модели свойство локального вращения спиральных структур вокруг ведущих центров и множественность таких структур. Это свойство хорошо известное из экспериментальных данных.

Конкуренция гиперциклов описана Hofbauer J. в [123]. Вопрос о том какие виды гиперциклов исчезнут, а какие «выживут» в рамках данной модели является важным в математической модели эволюции. На все эти вопросы отвечает теория разработанная Hofbaner J., Sigmund К. в [121]. В рамках этой теории также решены некоторые вопросы устойчивости циклов.

Исторически исследования складывались таким образом, что модели усложнялись поэтапно. Широко известна пространственно неоднородная полулинейная модель, сначала с одной пространственной переменной и одним уравнением с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами, независящими от независимых переменных.

Модели с одним уравнением типа Колмогорова - Петровского - Писку-нова - Фишера [62], [118], и локализованные решения модели с нелинейной диффузией интенсивно исследовались в двадцатом веке не только выше перечисленных работах, но и в работах Л. К. Мартинсона [72] — [74], А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Н. С. Пискунова [62], P.A. Фишера [118], Я. И. Канеля [61], В. Г. Данилова, П.Ю. Субычева [53], [54], Е.М. Воробьёва [46], [145], [146], К. А. Волосова [16]— [20], В. В. Пухначева [82], Г.А. Рудных, Э.И. Семенова [87], R.O. Kershner [128], В.Н. Разже-вайкина1. Полученные в этих работах результаты приведены в справочниках А. Д. Полянина, А. И. Журова. В.Ф. Зайцева с сотрудниками [79] — [81], [139]. Интересны связанные с параболическими уравнениями исследования А. М. Ильина, О. А. Олейник, Г. М. Хенкина, А. А. Шананина, ссылки на большое количество работ которых приведены в книге А. В. Гасникова,

1Подробные ссылки на его работы приведены в [41],[50]

С. Л. Кленова , Е. А. Нурминского, Я. А. Холодова, Н. Б. Шамрай [50].

В этих работах были исследованы вопросы устойчивости решения задачи методом Ляпунова, использовался метод априорных оценок для оценки нормы, разности решения и «предельного притягивающего» решения в различных пространствах, были исследованы групповые свойства и были исследованы соответствующие динамические системы и т.д.

В работах В. И. Кринского, А. С. Михайлова, А. Ю. Лоскутова, [63], [68], [141] приведены подробные ссылки на другие работы по тематике спиральных волн, которые мы не можем привести полностью в диссертации, так как объем квалификационной работы ограничен. В этих работах описаны волньг и структуры в активных средах. В частности, в них приведены исследования спиральных волн в возбудимых: средах с распределенными параметрами и в автоколебательных активных средах.

Отдельно мы выделим большой цикл работ авторов V. N. Biktashev (Бик-ташев В.Н.), G. V. Asianidi (F.B. Асланиди) , A. Baylay, R. П. Clayton, А. V. Holden, Y. Е. Elkin (Елькин Ю. Е.), S. F. Mironov, A. M. Pertsov, A. V. Zaitsev [106]—[109] в которых рассмотрено много различных ситуаций возникновения вихрей— они трактуются как спиральные волны. Среди.этих случаев следует выделить любопытный,, по мнению автора вариант, когда спиральная волна вращается неравномерно. В этом случае особая точка описывает траектории в виде розеток. Такое движение называется «меандром» [106]—[109]. В этом цикле работ построена и изучена математическая модель соответствующая такой ситуации. Эта теория применяется в реалистичных моделях сердечной-ткани. ' ;

В вышеупомянутых, только что перечисленных исследованиях: были построены не только точные. и асимптотические решения,' но и исследованы вопросы устойчивости, проведены численные расчеты. То есть, был проведен достаточно полный анализ этих моделей.

В истории науки в России выражение "дифференциальная связь "впервые использовал Мещерский И.В. в 1887 году. Его работа «Дифференциальные связи в случае одной материальной точки» опубликована в журнале "Сообщения Харьковского Математического Общества". В> двадцатом веке интерес к «дифференциальным связям» возобновился после ряда работ Яненко H.H. [149] и книги Сидорова А.Ф., Шапеева В.П. [150].

Произвольную замену переменных математики использовали давно для классификации линейных уравнений в частных производных, см., например,

71, [14].

Однако использование нового свойства уравнений в частных производных обнаруженного в работах [21]— [25] К. А. Волосовым позволило по другому взглянуть на прием замены переменных. Этим способом можно выявить и использовать для решения задачи сложные дифференциальные связи, которые вытекают из «внутренней» логики самой задачи.

В диссертации построены некоторые новые решения с помощью техники метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП). В цикле работ [21]— [25] можно выделить несколько новых моментов: во— первых, доказано, что уравнение с частными производными второго порядка с одной временной и одной пространственной переменной эквивалентно системе уравнений с частными производными первого порядка. Эта система приводится к системе линейных функциональных алгебраических уравнений относительно производных старых переменных по новым (введено сокращение СФЛАУ); во— вторых, появляется сопутствующая матрица СФЛАУ уравнения с частными производными второго порядка; в— третьих, в данных работах, обнаружено новое тождество, которое позволяет строить новые решения, используя общую, не фиксированную замену переменных, так и не уточняя до конца алгоритма вид функции;

В работах [21]— [25] изучалось квазилинейное параболическое уравнение - {К{г)г'х)х + р{г) = о. (0.1)

Данное уравнение известно в приложениях как уравнение нелинейной диффузии и теплопроводности. Поскольку система открытая, то взаимодействие в внешней средой осуществляется через обмен энергией и описывается в данном случае краевыми условиями и объемными источниками и стоками, которые моделируются функцией ^(.2).

В цитируемых работах предполагается, что все используемые функции имеют две непрерывно дифференцируемые производные. Таким образом функции г{х,€) £ С2 {Я1 х [0, ¿о]) , ¿о > 0.

В [21]— [25] работах сделана произвольная замена переменных

Обратная замена, восстанавливает решение уравнения (0.1) по функции и (£,5) г{х,1) = и^{х,1),5{х,1)) (0.3)

Здесь следует иметь сделать подстановку £ = 5 = 5{х,€). в точках где якобиан (определитель матрицы Якоби) замены переменных — х ¿Ь 5 — I ^х а ф 0 не равен нулю. Сама матрица Якоби имеет вид

Тогда, в точках где якобиан не равен нулю существует обратное преобразование £ = = 5(х, £).

В цитируемых работах используются формулы пересчёта производных старых переменных :г,£ по новым переменным £,5: дх . гдб дЬ . , тд5 аё = её = дх ^д эг , й = • аг = шзд~х

0.4)

Далее в [21]— [25] устанавливаются дифференциальные связи 7

Таким образом, введены три дважды непрерывно дифференцируемые функции

У(£,5), Т(£,6) принадлежат С2 (Я1 х Я1). Далее дифференцируют сложную функцию и пересчитывают с помощью формулы (0.2),(0.4) связь «старых» переменных по «новым». Из первой дифференциальной связи (0.5) следует к(г)г'х\х=х& = к(у)и'Жх,ь),5{х,1)) = К(и& 5)) + и'5б'х) = К (и) (Л'¿6 - /ёеи. Тогда следует первое соотношение (0.6). Аналогично в цитируемых работах преобразуется вторая дифференциальная связь (0.5). Тогда следует второе соотношение (0.6). кт'5» {Ш - Ш)=щщт += - их5]. (о.б)

Уравнение (0.1) принимает вид

ЛГ./Л гч г.гттл [дУд1 дУдЬ\ „ , , , , л

К{у)Р{и) = 0. (0.7)

Кроме того, дифференциальные связи — соотношения (0.5) можно переписать в виде [т(^5)/к(и)} б=6М.

Отсюда с необходимостью должно быть выполнено соотношение

У- - У* ^ равенства смешанных производных в переменных 5. Другими словами, это условие следует из непрерывности функции двух переменных.

Тогда это соотношение, с учетом (0.2), (0.4) можно записать в виде дхд ( У \ дхд ( У \ д5д£ \К{Ц)) + д£д5 \КЩ)) ~

-Х-Л + —— (ЛЛ - 0. (0.9) д5д£ \К(и)) + д£д5 \К(и))

Замечание О.В.О

Если функция Z{x,t) явно задана, то действительно, для неё справедлива теорема Шварца и равенство смешанных производных выполняется тождественно. Но в данном случае функция Z(x,t) — неизвестная и это - решение уравнения (0.1), поэтому равенство (0.8) является условием, а не тождеством. Подробное аналогичное доказательство приведено в данной диссертации в

параграфе 3.1 в вращающейся полярной системе координат.

В цитируемых работах [21]—[26] доказано, что вся система (0.6),(0.7),(0.9) является СФЛАУ.

Анализ системы (0.6),(0.7),(0.9) проводится в два этапа. На первом этапе система (0.6),(0.7),(0.9) рассматривается как СФЛАУ относительно производных X х t £ 6-Теорема В.1

Пусть дана система уравнений с частными производными первого порядка (0.6),(0.7),(0.9).

Тогда система функциональных алгебраических уравнений (СФЛАУ) к которой приводится система (0.6),(0.7),(0.9) относительно производных х х £ имеет единственное решение

Щ = «!({, 5), ^ = (0.10)

Л = 2 = (о.п)

Это новая система относительно двух функций х(£:5), t(£,6), где правые части «известны»— явно вычислены: {К[-Рки\(у'5т\ - т'8и\) -(-ти'6У/ - тт'8и\2 + ти'8т\и\ - уу'8т\и\ +

Т¥'5У\и\ + ¥Т'8и\¥\)])/Р1{^5), (0.12)

Ф2К, 5) = К[-РКи'5[и'8т\ - т'5и\] -тт\и'82 + уу'5т\и\ +

ТТ'5и\и'5 - ¥Т6¥\и'5 +

ТУ'8¥\и'5 - ТУ'/^/ДК, <5), (0.13)

Фзй. 5) = + ^кс/'е + ти\)[и'8¥\

У^и'^/Р^б), (0.14)

Ф4Й, 6) = К[-¥У'5 + рки'ь + ти\\\и\¥\

6и,£}/Р1^5). (0.15)

Здесь обозначено

Р^б) = - Т'еУ)г7'5 + (УГ'5 - Т¥'8)и\] + и'{г'8\ + - т'^] +

Т2[и'8¥\-¥'8и\]. (0.16)

В работах [21]—[25] доказательство этих утверждений проведено в сжатой форме. В данной диссертации впервые вычислены коэффициенты так называемой « сопутствующей» матрицы. Вычислены собственные числа этой матрицы. Подробнее это описано в разделе «Научная новизна полученных результатов».

Эта техника в данной диссертации позволила сформулировать гипотезу-альтернативную классификацию решений по собственным числам новой сопутствующей матрицы СФЛАУ связанной с исходной задачей. С помощью этого метода в диссертации получены новые результаты, что существенно расширяет выше упомянутые результаты других авторов. На основе новой техники вычислений можно строить новые точные решения не традиционным способом, как в двухмерном, так и многомерном случае. В диссертации рассмотрены задачи с двумя пространственными переменными.

Известно, что задача построения функции Грина для линейных уравнений с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами и с двумя пространственными переменными, в которых присутствуют младшие производные вызывает серьезные трудности. Поэтому решения таких уравнений в круге с краевым условием второго рода, отсутствуют в справочниках и учебниках. Построенные в данной диссертации решения отчасти заполняют этот пробел.

Отдельно надо выделить работы в которых эффективно использовались геометрические методы и техника исследования особых точек на фазовой плоскости. Это работы А. И. Арнольда [3]—[6], A.C. Братуся, С. А. Новожилова, В. В. Андреева [9], [10], [2], Г. П. Карева, Ф. Б. Березовского [60], Ю. Одума [77], Г.Ю. Ризниченко, А. Б. Рубина [83], А. П. Шапиро, С. П. Лупова [95], К. Т. Alligood, Т. D. Sauer, J. A. Yorke [99], Дж. Марри под редакцией А. Д. Мышкиса [69], [135], J. Sandanyes, R. V. Sole [142]. В дан-'* ной диссертации учитывалась информация о характере поведения решения в окрестности устойчивых и неустойчивых особых точек. Сравнение полученных новых результатов с большим количеством известных результатов других авторов даёт нам уверенность в достоверности наших материалов.

Сделаем замечание о роли квазилинейных и полулинейных параболических уравнений в теории моделирования процессов тепло-массопереноса. Такие уравнения начали исследовать в 50-х годах XX века с целью использовать'" их решения при расчётах цепных ядерных реакций, а также реакций горения веществ. Однако интерес к ним не угас, а наоборот значительно увеличился после того как они стали применяться в моделях математической биологии. При этом проявилось много их свойств, которые ранее оставались в тени. Аналогия между процессами в биологических активных средах pi явлениями горения в средах с восстановлением отмечалась в работах В. И. Крииского, А.С.Михайлова [63], Дж. Марри [69], [135], В. П. Маслова, В. Г. Данилова, К. А. Волосова [71], [114], Э. Скотта [93] и других.

В представленной диссертации мы хотим подчеркнуть различное влияние «характерного размера » на необходимые условия эволюции решения в случае одной и двух пространственных перельенных в математической модели.

В работе В. И. Кринского, А. С. Михайлова [63] рассмотрена модель в которой процесс горения в среде подавляется за счет выделения ингибитора при повышении температуры. Модель состоит из системы двух уравнений,

Рис. 1: Профиль температуры (а) и концентрации ингибитора (б). [63], с. 17. краевых и начальных условий. Одно из уравнений является полулинейным параболическим уравнением. Второе уравнение в этой модели является уравнением первого порядка с частными производными. Во втором уравнении отсутствует вторая производная, которая моделирует диффузию ингибитора. То есть в модели предполагается, что скорость диффузии ингибитора гораздо меньше теплопроводности — то есть скорости распространения тепловой волны. Из Рис. 1а видно, что распределение температуры имеет две узкие области (два пограничных слоя) в которых функция резко изменяется. Размер, ширина пограничного слоя — это характерный размер области в которой функция сильно меняется в моделях с одной пространственной переменной. То есть имеет место «жесткая» задача — задача в которой присутствует малый параметр. Такой термин обычно используется в численных методах связанных с задачами в которых изучаются дифференциальные уравнения и неразрывно связан с наличием в задаче малого параметра. Эти проблемы описаны в работах И.В.Андрианов, Р. Г. Баранцев, Л. И. Маневич [1], В.И.Арнольд [3], [4], В.Г.Данилов, В. П. Маслов [52]—[54], [113], [114], А. А. Самарский [88]. Из рис. 16 следует, что концентрация ингибитора подстраивается к изменениям температуры и не совершает быстрых изменений. Такие характерные свойства решения переносятся и на многомерные модели. Современная история исследования автоволн началась с 1946 года с работы Н. Винера и А. Розенблюта [63], с. 10. Известна трагическая история открытия в

Рис. 2: Спиральные волны в тонком слое раствора с реакцией Белоусова — Жаботинского [63], с. 30.

1951 году автоколебательной химической реакции Б. П. Белоусовым [148]. В статье Жаботинского A.M. [148] подробно описана вся история наблюдений колебательных процессов начиная с 18-го века. Спиральные волны в реакции Белоусова — Жаботинского иллюстрируются на Рис.2. Это фотография эксперимента проведенного в простых условиях, а именно тонкий слой раствора находился в круглой чашке диаметром 90 мм. Светлоголубой цвет светлых областей чередуется с темными — оранжевыми областями. На фотографии приведена только центральная часть структуры. Существует характерный размер и у края чашки спирали рвутся и наступает процесс разрушения и уничтожения — диссипации структуры. Образуются вторичные структуры, а затем разрушаются и они.

Рассмотрим еще один пример.

Коллективные амебы Dictyostelium discoideum при наличии достаточного питания живут в виде одноклеточных организмов. Однако при голодании они сползаются и образуют многоклеточный организм, который впоследствии дает споры, способные пережить неблагоприятный период. Установлено, что движение амеб управляется распределением в среде некоторого сложного органического вещества.» [63]. Таким образом колония амеб — это пример активной среды, Рис.3. Мы приводим, этот важный для наших моделей пример, так как спирали медленно равномерно вращаются, совершая один оборот за У х

Рис. 3: Популяция коллективных амеб 01^уо81е1шт сНасо1с1еит [63], с. 30. пять минут. В данном случае характерное время ЗООсек, угловая скорость и = 0,02 рад/сек.

Существует характерный размер и у края колонии спирали рвутся и деградируют. Спиральная структура совершает 3- 4 оборота, далее идет взаимодействие с соседними структурами. Обозначим характерный размер через ро- Характерный размер это такой минимальный размер области, в которой происходит эволюция структуры, когда краевые условия не влияют существенно на развитие структуры, структура предоставлена сама себе. Можно сделать вывод: на краю области диаметр которой больше чем характерный размер можно ставить краевые условия второго или третьего рода. В центральной области спирали «живут» большее время, чем на краю. Важность исследований в данном направлении для практики иллюстрирует следующий пример. Спиральные волны экспериментально обнаружены в ткани сердечной мышцы. [63], с. 61. Шаг такой спирали велик и сравним с размерами предсердия. Поэтому спиральная волна выглядит, как искривленная волна возбуждения, вращающаяся вокруг некоторой точки. На Рис. 4 показаны несколько последовательных положений фронта такой волны. Имеются также экспериментальные данные о существовании таких волн в коре головного мозга и сетчатке глаза млекопитающихся животных и человека. Существуют устойчивые структуры с различным топологическим зарядом (Так называют количество спиральных рукавов в структуре.). См. [63], с. 30, [101], [141].

Рис. 4: Спиральная волна в полоске, взятой из сердца кролика. [63], с. 31.

Интересен эффект синхронизации. Все спиральные волны с одинаковым топологическим зарядом имеют в активной среде строго равную частоту равномерного вращения и не подавляют друг друга. Анализируя эти данные можно заметить, что рукав спиральной волны может совершать 3 — 4 полных оборота. На Рис.5 все волны вращаются вокруг одной особой точки. Но в цитируемых выше работах имеется много данных о том, что таких особых точек может быть несколько. Такие волны показаны на Рис.6.

Отметим, что на Рис. 2,3,5,6, приведены фотографии экспериментальных данных. У

-------р, X

Рис. 5: Спиральные волны с топологическим зарядом 1,2,3,4 в среде с реакцией Белоусова — Жаботинского [63], с. 36, [99], [128].

В работах А. С. Братуся, В. П. Посвянского [8]—[11] были изучены важные вопросы устойчивости волн, а именно, в них она связывается с минимальным собственным числом оператора.

В работе Pan — Jun Kirn, Hawoong Jeong Spatio [138], M., С. Boerlujst, P. Hogeweg [110], Z. Vespalcova, A.V. Holden, J. Brindley [144], J. Hofbauer [123], J. Sandanyes, R. V. Sole [142] изучались вопросы конкуренции циклов, взаимодействия спиральных волн и переход к хаосу. Результаты относятся к

Рис. 6: Взаимодействие спиральных волн [63], с. 61, [99], [132]. изучению открытой и нелокальной модели гиперциклической репликации.

На Рис 7 показаны фазы перехода от «правильных» спиралей близких к описываемым элементарными функциями к распаду и уничтожению структуры. Картина эволюции сильно усложняется. Спирали разваливаются, взаимодействуют, дробятся. Картина диссипативной структуры усложняется. В некоторый момент времени состояние структуры видно на окраинах Рис.2,3.

В работе Y. Kuramoto [130] проведены численные расчеты показывающие неустойчивость спиральных волн при некоторых значениях параметров, что согласуется с результатами работы [89] и [8] и результатами данной диссертации.

В работе S. Koga [131] численными методами построены примеры функций для одновитковой и многовитковой спиральных волн и высказаны соображения относительно их устойчивости. Численными методами выявлены области устойчивости решений в « некотором смысле» и их зависимость от параметров.

В работе S. Koga [132] рассмотрены осреднённые уравнения для характеристик таких волн в различных системах. В работах [129]—[132] фигурируют соображения о важности роли характерного минимального размера связанного с параметрами задачи. В работе Marcus R. Garvie, James F.Biowey [133] в условиях устойчивости также фигурирует характерный размер. Вопросы перехода к хаосу и существования диссипативных структур изучаются также в цикле работ С. Е. Курушиной, Ю. В. Иванова, Ю. В. Желнова, с соавторами [65], [66].

Спиральные волны широко распространены в природе- ещё одним ярким примером являются рукава галактик в космосе.

Отдельно отметим большой цикл работ из которых здесь перечислим лишь некоторые. В работах A.B. Романова [85]. [86], Baek и других [105],

Рис. 7: Распад, развал сложных, «правильных» спиралей близких к описываемым элементарными функциями. [134].

Д. А. Камаева [126], Mallet - Paret [134] изучались конечномерность динамики на аттракторе для нелинейных диссииативных параболических уравнений и предельная динамика решений таких уравнений. Методами функционального анализа в этих работах выясняется каким образом осуществляется предельный переход от начальных данных к аттрактору. Ссылки на эти работы есть также в [21], [96].

Вопросы обсуждаемые в работах [85], [86], [105], [126], [134] тесно связанные с изучаемыми в данной диссертации и в работах [21]— [26]. Но в данной диссертации выясняются только необходимые условия существования решения, которое называется— «предельным притягивающим» решением [26], [41], [42], [44]. Эти условия формулируются как гипотеза.

Другим направлением исследований, широко представленным в [95] циклом работ А. А. Шестакова, является теория локализации предельных множеств в динамических системах посредством функционалов Ляпунова. В этих работах предложена единая методика исследования устойчивоподобных свойств решений динамических процессов, основанная на теоремах о локализации предельного множества.

Просматривая работы других авторов, с целью найти аргументы в пользу достоверности наших результатов, была найдена работа [65]. В данной диссертации выяснено, что прямое отношение к распределенной системе гиперцикла имеет широкое, многогранное исследование, которое различными численными методами приведено в цикле работ С. Н. Димовой, М. С. Кас-чиева, М.И. Колева, Д. П. Васильевой [65].

В [65], среди прочих задач рассмотрено линейное параболическое уравнение типа в безразмерном виде с двумя независимыми переменными. Заметим, что фактически это уравнение в вращающейся полярной системе координат, то есть была ранее сделана замена переменных в — <р — а>£, г.

Отсюда следует эллиптическое уравнение

1 / 1 /Г I /

Z"rr + -Z'r + -¿Z"ев + wZ'e + г Z'r (1 + о- - /3)/2 + +(/3-1) Z(0,r) = 0, (0.17), где /3, а — безразмерные критерии подобия принятые в [65], /3 — 1— заданная константы характеризующая диссипацию. Z{9, г) — неизвестная дважды непрерывно дифференцируемая функция. В цитируемой работе построено решение

Z(0, г) = Rk{r) ехр(гкв). (0.18)

Здесь к— целое число. График вещественной части этой функции приведен на Рис 8. В силу линейности задачи, можно отделить вещественную часть решения, которая имеет физический смысл.

От знака угловой скорости и; зависит направление вращения структуры решения по часовой стрелке или в противоположном направлении.

В данном случае в начальный момент времени уже сформирована структура похожая на спиральную волну.

Точное решение уравнения (0.17), с краевым условием второго рода в круге Z r\r=rQ = 0, го = const [65] имеет вид (0.18) и справедливо уравнение для функции Я}-(г)

К(Г) + (1/г ■+ (1 + а - 0)г/2)Дк(г) + (-/с2/г2 +

4-а; Ы + (3-- 1)Кк = 0, (0:19) где в двух случаях: в первом случае .

I.

3 — сг + 1, Як{г) = С\ гл/а +г к и) + С2 г у/ а + г к о;)—здесь функции Бесселя и модифицированная функция Бесселя (функция Неймана) , Су, ^ = 1,2 — константы; Во-втором случае

II.

3 = а + 1, Щг):= (ф)-кг-к(Р - 1 - ау-^С, 1Р1{а, 60, *)+ . ,, (г)^(2)-^(Д - 1 - (а, Ь±,г).

Здесь 1^1 (а, 61, г) вырожденная гипергеометрическая функция, а = (1 - (3 -гкш)/((3 - 1 - а) + к/2, Ь0 = 1 - /с, Ьг = X" Ч = (/?. 1 - (Т)г2/4. В [65] обоснована возможность, без ограничений общности, использовать в расчетах только вещественную часть

Z{вrr) — \В,ь;(г)\со8(агд(Щ(г) + к 0)) частных решений линейного уравнения (0.18).

В [65] установлен факт, что линии уровня при больших значениях г близки к логарифмическим спиралям с параметром 5 = (/3 — 1 — сг)/(2ш). Найдена асимптотика • * \ г{г, 0) ~ сг^-1^тСоз{к{в + (1/я) 1п(г))), г -> ос, с = с(к,а, (3,и>). На Рис. 8 показана эволюция структуры типа спиральной волны. Построенные решения, в цитируемых работах по желанию авторов [65] называются метаустойчивымщ но это неустойчивые структуры. В этот термин авторы цитируемых работ вкладывают следующий смысл: Структура существует в окрестности начального условия, которое задано точным решением некоторое конечное время То — в течении которого она перестраивается в радиалъносимметричную. » Затем, основная структура: распадается и перестраивается во вторичные структуры. См. Рис 8 с1. Однако почему это происходит, и предсказать этот факт «априори»—до численного эксперимента авторы [65] не могут. Именно такое предсказание и объяснение результатов численных расчетов можно осуществить используя технику метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) для уравнений с частными производными предлагаем в данной диссертации по результатам анализа собственных чисел сопутствующей матрицы. Кроме того, на осно

Рис. 8: Зависимость реальной части построенной функции от радиуса и угла. С\ = 1, /3 = 2.4, со = 1, к = 2. На двух рукавах вложенной спирали выделен «хребет», то есть линия, проекция которой на плоскость является спиралью. На внешней нормали к данной кривой производная по направлении к нормали обращается в нуль. После разрушения спиралей образуются вторичные структуры. ве решения (0.18) нет возможности объяснить эффект локального вращения описанный выше.

Замечание О.В.1.

Коротко остановимся на численных методах которые, используются для решения класса задач описанных в цикле работ [65]. Особенно подробно использующиеся численные методы и сопутствующие трудности изложены в первой главе докторской диссертации Димовой С. Н. (2004 год). Коротко можно перечислить их: итерационные схемы, основанные на непрерывном аналоге метода Ньютона (НАМН) для решения нелинейных функциональных уравнений, который имеет большую, по сравнению с классическим методом Ньютона, область сходимости; метод конечных элементов (МКЭ) разного порядка точности на квазиравномерных сетках, для решения линейного уравнения методом (НАМН) на каждом шаге итерационного процесса; метод конечных элементов (МКЭ) основанный на несимметричном методе Галеркина, для сингулярных в центре симметрии задач. □

Одним из преимуществ подхода изложенного в данной диссертации, является возможность провести все вычисления в комплексе программ построенных с использованием символьных и численных методов с использованием в будущем принципов параллельных символьных вычислений.

В данной диссертации показано, что исследование [65] имеет прямое отношение к модели открытой распределённой системе гиперцикла и переносится на неё при некоторых значениях параметров.

Замечание О.В.2"

Функции Грина для наиболее близкого к уравнению (0.17) при значении параметров ß = 1, сг = 0, о> — 0 уравнения Гельмгольца построены в книгах Бутковского А.Г. [13], Будака Б.М., Самарского A.A., Тихонова А.Н.■ [14], Г.Карслоу, Д.Егера в прямоугольнике, круге или кольце. Все эти решения собраны и систематизированы в справочнике Полянина А. Д. [79]. Кроме того в справочниках Зайцева В.Ф., Полянина А.Д'., Вязьмина A.B., Журова А. И., Казенина Д. А. [57], [58],[79]—[81] приведены точные решения многих задач связанных с параболическими уравнениями. Однако, там нет решений соответствующих задач с краевым условием (1.6) в неограниченной или ограниченной области. Там нет функций Грина для уравнений содержащих дополнительные первые производные в замкнутых областях.

Цель работы. Целью настоящей работы является разработка метода исследования задачи распределенного открытого гиперцикла. Это исследование является расширением и добавлением к комплексному подходу, состоящего из аналитических и численных методов, служащих для математического моделирования и разностороннего анализа моделей автоволн, волн разряжения, волн перепада, открытой модели гиперциклической репликации, других моделей спиральных волн и связанных с ними эффектов.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты, включенные в диссертацию, получены впервые. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит Волосовой А.К., заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построена сопутствующая матрица СФЛАУ к уравнению с частными производными в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы — СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.

Вычислены собственные числа сопутствующей матрицы - СФЛАУ в полярной системе координат для двух пространственных переменных. Выведены формулы метода нефиксированной конструктивной замены переменных (МНФКЗП) в полярной системе координат.

2. Построены семейства точных решений распределенной системы открытого гиперцикла размерности два—из двух уравнений с квадратичной нелинейностью функции источника - методом МНФКЗП.

Построен пример точного решения модифицированной задачи Колмогорова — Петровского — Пискунова — Фишера в неявной, параметрче-ской форме, с функций источника, который моделируется кубическим полиномом.

Проведена гипотеза - альтернативная классификация решений смешанных задач для параболических уравнений в случае одной временной и одной пространственной переменной. Указана связь собственных чисел сопутствующей матрицы - СФЛАУ с характером эволюции решений. Сформулирована гипотеза- необходимые условия эволюции решения смешанной задачи к « предельному притягивающему» решению.

3. Показано, что во вращающейся полярной системе координат возникают структуры близкие к спиральным волнам. Сформулирована гипотеза — установлена связь неустойчивых вторичных структур с собственными числами сопутствующей матрицы СФЛАУ.

Предложено аналитическое описание и объяснение эффекта локального вращения структур вокруг местного «ведущего» центра.

Построены алгоритмы программ в символьном виде в системе "Математика" на базе точного МНФКЗП в декартовой и полярной системе координат.

Методы исследований. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений, теории численных методов.

Обоснованность выводов диссертации. Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором апробированных исходных моделей, строгостью применения математического аппарата; сравнением аналитических результатов с результатами численного моделирования полученных другими различными авторами при тех же значениях параметров;

Практическая ценность работы. В диссертации рассмотрены некоторые актуальные модели автоволн и структур спиральных волн. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при решении многочисленных аналогичных задач, к которым ранее не применялась техника (МНФК-ЗП). Кроме того, представленные результаты могут служить эталоном для апробации новых методов в математической физике и теории процессов переноса. Рассмотрены решения уравнения с квадратичной и кубической нелинейностью. В работе исследована задача, имеющая практическое значение и в других областях приложений, например, задача о « волне разрежения» для модифицированного уравнения Колмогорова — Петровского— Пискунова-Фишера, построены новые решения моделирующие спиральные волны и т.п. Кроме того результаты работы быть использованы при анализе и объяснении результатов численных расчетов структур спиральных волн. Разработанная в диссертации методика исследования поведения решений нелинейных уравнений по точному решению дополняет известные в настоящее время другие методы таких исследований. Полученные аналитические результаты могут использоваться в учебном процессе при изложении теории уравнений с частными производными, устойчивости решений и динамики нелинейных систем. Основные положения теории МНФКЗП и новые точные решеиия вошли в учебные пособия [41] и в справочники. Различные части материалов диссертации также выставлены на сайтах в Интернете.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Прикладная математика 1", Московского государственного университета путей сообщения (руководитель д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь); на семинаре на кафедры "Кибернетика",Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ) (руководите д.ф-м.н, проф. В.Н.Афанасьев); на семинаре кафедры Прикладная математика, Московского государственного института электроники и математики (технический университет МИЭМ.) руководитель лауреат государственной премии России, д.ф-м.н, проф. М.В.Карасев.). на семинаре отдела Математического моделирования экономических систем ВЦ РАН, Центрального экономике»- математического института РАН. руководители д.ф-м.н, проф. Г. М. Хенкин, д.ф-м.н, проф. Р. Г. Новиков, д.ф-м.н, проф. A.A. Шананин.) на семинаре кафедры «Системный анализ», факультета ВМК, Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова (руководитель д.ф-м.н, проф. А.С.Братусь);

Представленные результаты докладывались на международных конференциях:

1. « Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», IV Всероссийская научно-практическая кон-фереренция (13-18 05.2008), СГУТКД, Сочи - 2008.

2. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология» посвященная 100 летию со дня рождения Портрягина Л.С. 17-22 июня 2008.

3. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Петербургский педагогический университет (13-15 04.2009), С-Петербург,-2009,

4.« Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», V Всероссийская научно-практическая кон-фереренция (10-15 05.2009), СГУТКД, Сочи - 2009.

5.Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего.ЗО марта-02 апреля 2009.

6. XVI Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.

X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, 1924 мая 2009. Санкт-Петербург, 2009.

7. Восьмая международная конференция «Симметрии в нелинейной математической физике». Eighth International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics», Киев, Украина, 21-27 июня 2009 г.;

8. VI Всесоюзная научная конференция с международным участием. «Математическое моделирование и краевые задачи.» Самарский государственный технический университет. 1-4 июня 2009. Самара.

9. XVII Всероссийская школа-семинар по стохастическим методам.

X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике.9-14 октября 2009. Сочи-Догомыс. 2009.

10. VII — международная научно — практическая конференция. Trans - Mech - Art - Chem.c.59 - 60. М.гМИИТ. 2010.

11. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Математический институт им.В.А. Стеклова, Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, Владимирский государственный университет. Суздаль, 2-7 июля, 2010.

12. Третья международная конференция по нелинейной динамике. Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», при поддержке Института механики национальной Академии наук Украины, Национальный комитет управления по теоретической и прикладной механике. 21-24 сентября 2010.

13. V международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО 2010. Институт управления им. В.А.Трапезникова, при поддержке Отделения энергетики, машиностроения, механики, проблем управления РАН, Российского национального комитета по автоматическому управлению и Национального совета РАН по теории управляемых процессов и автоматизации. Москва.26-28 октября 2010.

14. «Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования», Герценовские чтения, Петербургский педагогический университет (11-15 04.2011), С-Петербург-2011, с.45-51.

15.53 научная конференция Московский физико - технический институт. «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» Москва — Долгопрудный. 26-28 ноября 2010.

Публикации. По теме диссертации опубликовано в центральных, рецензируемых научных журналах по списку ВАК 6 научных труда.

1. Волосова А.К., Волосов К.А. Конструирование решений уравнений с частными производными. Международный журнал Математики и Математических HayK.International Journal of Mathematics and Mathematical Siences. //V.2009,Article ID, 319268,17 p. http:www.hindawi.com journals ijmms 2009 319269.html. doi:10.1155.2009 319269

2. Волосова A.K. К теории нелинейной диффузии и теплопроводности. Труды МФТИ.т.З,н.1(9) 2011. http: //mipt.ru/nauka/53conf/MatetiaIy-l-53-l-konferenzii/07-FUPM1-view-arpggxyjmcg.pdf

3. Волосова А.К., Волосов К.А. СЛАУ вместо уравнения с частными производными. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009,т. 16, в.6, с. 1042-1043.

4. Волосова А.К. Необходимые условия существования решения типа спиральных волн. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, в.З, с.458-459.

5. Волосова А.К. Математическое моделирование спиральных волн. Шестая Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2-4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.85-87.

6. Волосова А.К. Об одном семействе решений модифицированного уравнения Колмогорова- Петровского - Пискунова - Фишера. Шестая Всероссийская конференция. Дифференциальные уравнения. Математическое моделирование и краевые задачи (ММ-2009)2-4 июня 2009. Самара. частьЗ, с.87-92.

В 2008 году Волосовой А.К. за участие в XVI конкурсе студенческих работ образовательного математического сайта Exponenta.ru выдан памятный сертификат.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Работа содержит 140 страниц, включая 33 рисунков и список литературы состоящий из 150 наименований.

Заключение

Построена сопутствующая матрица СФЛАУ к квазилинейному уравнению с частными производными второго порядка в декартовой системе координат. Вычислены собственные числа и собственные вектора сопутствующей матрицы — СФЛАУ в декартовой системе координат для одной временной и одной пространственной переменной.

Приведены примеры точных решений с квадратичной и кубической нелинейностью.

На основе анализа сотни примеров проведена гипотеза о альтернативной классификации решений по собственным числам сопутствующей матрицы вычисленных на точном решении. Эта гипотеза о необходимых условиях эволюции решения смешанной задачи к «предельному притягивающему» решению в случае одной временной и одной пространственной координаты.

Вычислены коэффициенты сопутствующей матрицы СФЛАУ и ее собственные числа в символьном виде для одного параболического уравнения с частными производными второго порядка с двумя пространственными переменными во вращающейся системе полярных координат.

Изучена их структура и установлена связь, геометрия и места появления вторичных структур при численном моделировании задачи, с собственными числами СФЛАУ.

Построено и изучено семейство точных решений распределенной системы уравнений открытого гиперцикла размерности два, в частном случае равенства коэффициентов диффузии.

Построено новое семейство асимптотических решений описывающие структуры типа спиральных волн с двумя пространственными переменными в полярной системе координат.

Из функций вычисленных асимптотических решений построена сумма приближенных решений, как приближенное асимптотическое решение задачи. Предложено объяснение эффекта возникновения локального вращения структуры вокруг местного «ведущего центра» при малых временах.

Кратко описан алгоритм по которому проводятся вычисления МНФКЗП в декартовой и полярной системе координат в символьном виде в системе "Математика". Распечатки разработанных программ приведены в приложении к диссертации.

1. Андрианов И.В.,Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика. -М.,Изд.Едиториал УРСС,2004.-300 с.

2. Андреев В.В. Исследование дискретной динамической системы « хищник — жертва » с учетом эффекта Олли. Сборник статей молодых уче-ных.М.:МГУ, фак.ВМК.2005;ii.2,с.5-23.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.М.: Наука,1975.

4. В.И.Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография,2000.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978, 274 с.

6. В.И.Арнольд.Что такое математика. -М.,Изд.МЦНМ0,2008.-103 с

7. Бабич В.М., Капелевич М.Б., Михлин С.Б. и др. Линейные уравнения математической физики. М.:Наука. 1964.

8. Братусь А.С.,Посвянский В.П. Стационарные решения в замкнутой распределенной системе эволюции Эйген-Шустер.// Диффер.урав.-2006.-Т.42- №.12.-С.13-17.

9. Братусь A.C., Новожилов A.C., Платонов А.П. Динамические системы и модели биологии. М.: Наука, 2010.

10. Братусь A.C., Новожилов A.C. Математические модели экологии и динамические системы с непрерывным временем. М.:Издательский факультет ВМК им. М.В.Ломоносова. 2004.

11. Братусь A.C., Посвянский В.П.,Новожилов A.C. Replicator equation and explicit space: The case of global regulation., Mathematical Biosciences and Engineering, 2011. 8(3), P. 659- 676.

12. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения.М.:НИЦ« Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 464 с.

13. Бутковский А.Г. Характеристика систем с расперделенными параметрами, (справочное пособие) -М.:Наука, 1979.-224с.

14. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. 4 изд. -М.: Наука, 1980. 688с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.М.:Наука. 1971

16. Волосов К.А., Данилов В.Г., Логинов A.M. Точные самоподобные двухфазные решения системы полулинейных параболических уравнений. // Теор. и математ. физика.- 1994.- Т.101.- №2.- С.189-199. http://arXiv.org/find/math-ph/0103014/au:+VolosovK. (Engl).

17. Волосова А.К., Волосов K.A., Юрченко Д.В. Новое свойство уравнений с частными производными и точные решения в параметрической форме. VIII Международная конференция "Симметрии в нелинейной математической физике". Киев, июнь 21-27, 2009.

18. Волосов К.А. Диссертация на соискание уч.ст. д.ф-м.н., "Методика анализа эволюционных систем с распределенными параметрами 2007, МИЭМ. Диссертация выставлена на сайте "Мир дифференциальных уравнений http:// eqworld.ipmnet.ru, www.apsmath.ru

19. Волосов К.А. Новый способ построения решений квазилинейных параболических уравнений в параметрическом виде.// Диф. урав.- 2007-Т.43- Ш.- С.492-497. English transi. Differential Equations. 2007.-Vol.43.-No. 4.-P.507-512.

20. Волосов К.А. Новый путь построения решений уравнений с частными производными. Нелинейный динамический анализ-2007.4-8 июня 2007, Конгресс посвященный 150 летсо дня рождения А.М.Ляпунова,Санкт-Петербург,с.213.

21. Волосов К.А. Формулы для точных решений квазилинейных уравнений с частными производными в неявной форме. Доклады АН 2008,т.77, н.1,С.1-4. Dokludy Akademii Nauk. 2008, V.418, No.l, pp.11-14.

22. Волосов К.А Конструирование решений квазилинейных уравнений с частными производными. Сибирский журнал индустриальной математики 2008,т.11, н 2(34),С.29-39.English transl.in J. of Applied and Industrial Math. 2009,V.3,No.4,P.519-527.

23. Волосов А.К. Квазилинейное параболическое уравнение и уравнение Bioprepca.IV Всероссийская научно-практическая конференция 13-18 мая, СГУТКД, Сочи, 2008, с.48-50.

24. Волосова А.К., Волосов К.А. Конструкция решений уравнений с частными производными в параметрической форме. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология "посвященная 100 летию со дня рождения Портрягина Л.С. 17-22 июня 2008, с.82.

25. Волосова А.К., Волосов К.А. СЛАУ вместо уравнения с частными производными. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009,т. 16, в.6, с. 1042-1043.

26. Волосова А.К., Волосов К.А., Братусь А.С.Решение уравнения КППФ в параметрической форме. Изд.С-Петербургский педагогический университет., Материалы научной конфер.Герценовские чтения, (13-18 04.2009), С-Петербург,-2009- с.41-46.

27. Волосова А.К., Синицин С.О., Волосов К.А. Уравнения Колмогорова-Фоккера- Планка для стохастических полумаятников. Изд.С-Петербургский педагогический университет., Материалы научной конфер.Герценовские чтения,(12-17 04.2010), С-Петербург,-2010-с.87-94.

28. Волосова А.К. Необходимые условия существования решения типа спиральных волн. X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. 1-8 октября 2009. Сочи-Догомые.

29. Волосова А.К. Необходимые условия существования решения типа спиральных волн. Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009, т. 16, в.З, с.458-459.

30. Волосова А.К., Волосов К.А. Альтернативная классификация решений уравнений с частными производными. Изд.С-Петербургский педагогический университет., Материалы научной конфер.Герценовские чтения,(11-16 04.2011), С-Пстербург,-2011- с.45-51.

31. Волосов К.А., Вдовина Е.К., Волосова А.К. Новые точные решения уравнений с частными производными параболического типа. М.: МИ-ИТ, 2010. \\гут.ар18гпаШ,ги,http://sites.google.com/site/invproblems/project ирс^ез/2010

32. Волосова А.К. К теории нелинейной диффузии и теплопроводности. Труды МФТИ.т.3,н.1(9) 2011.http://mipt.ru/nauka/53conf/Matetialy-b53+konferenzii/07-FUPMl-view-arpggxyjmcg.pdf

33. Воробьев Е.М. Редукция дифференциальных уравнений с симметрия-ми. // Известия АН СССР. Сер.матем., 1980.,Т.44., №.4.-С.806-820.

34. Воробьев Е.М. Введение в систему "Математика". М.: Финансы и статистика,1998.-261 с.

35. Данилов В.Г. Лукашев Е.А. Асимптотическое решение типа спиральных волн для уравнений модели нелинейного ревербератора малой амплитуды.// Биофизика.-1990.- Т. 35.-Ж 5,- С. 859-863.

36. Данилов В.Г. Лукашев Е.А. Математическая модель нелинейного ревербератора малой амплитуды.// Биофизика.- 1990.- Т.35.-№ 5.-С. 855858.

37. Данилов В.Г., Субычев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений.// Преринт МИ им. Стеклова.,АН СССР, 1988.-46 с.

38. Данилов В.Г., Субычев П.Ю. Точные однофазные и двухфазные решения полулинейных параболических уравнений.// ТМФ- 1991.-Т.89.-№ 1.-С.25-47.I

39. Дьяконов В.П. Mathematica в математических и научно-технических расчетах,- М. Солон-Пресс.2004.- 696 с.

40. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения М.:Физматлит,2001.-560.

41. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными: Точные решения М.: Между народная программа образования, 1996.-496 с.

42. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.В., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва.М.:Наука, 1980.

43. Капцев О.В. Методы интегрирования уравнений с чатными производными. М.: Физматлит, 2009.

44. Канель Я.И. О стабилизации решений уравнений теории горения при финитных начальных функциях. Мат. сбор.,1964,т.65,н.3,с.398-413.

45. Колмогоров А.Н., Петровский PI.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение в одной биологической проблеме.//Белютень МГУ.сек.А.-1937 Т.1.-№.~ С.1-25.

46. Кринский В.И., Михайлов A.C. Автоволны, серия ФизикаМ.: Из д. Знание, 1984 № 10 - с.64.

47. Комплексные технологии виртуального моделирования и инженерного дела. MSC. Software Coorporation, www.mscsoftware.ru, www.mscsoftware.com

48. Курдюмов С.П. Режимы с обострением. Эволюция идей. Под ред. Г.Г. Малинецкого. М.: Физматлит, 2006, 312.

49. Статья Димова С. Н., Касчиев М.С., Колева М.И., Васильева Д. П. Численное исследование радиалыю- несимметричных структур в нелинейной теплопроводной среде, с. 157 165.

50. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Основы теории сложных систем. ISBN 5-93972-558-9, РХД, 2007.-612 с.

51. Марри Дж. Под ред. А. Д. Мышкиса. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях.-М.:Мир,1983 400 с.

52. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование технологических процессов изготовления БИС.МИЭМ- М.: ВИНИТИ, 1984.-132 с.

53. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А., Математическое моделирование процессов тепломассопереноса (эволюция диссипативных структур). М.,Наука, 1987.

54. Мартинсон Л.К. Локализованные тепловые структуры в среде с объемным поглащением тепла.// ПМТФ- 1981 2- С.70-73.

55. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики М.:Изд. МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2002 - 376с.

56. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.:Наука. Глав, редакция физ-мат.лит. 1987,423.

57. Николис Г.,Пригожин И. Познание сложного:введение./Пер. с нагл. -М.:Мир, 1990,-342 с.

58. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы, решение дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

59. Пиковский A.C. Хаотические автоволны.Письма в ЖТФ. 1985.Т.11.вып.11.С.672-675.

60. Полянин А.Д., Справочник. Линейные уравнения математической физики.// М.:Физматлит-2001.- 576 С.

61. Полянин А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям тепло и массопереноса- М.гФакториал, 1998.-386 С.

62. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики (Учебная физико-математическая литер ату р а) -М.: Ф из м атл ит, 2005.-448.

63. В.В.Пухначев Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений. //Док. АН СССР 1987 - Т.294.-№ 3.-С.535-538.

64. Ридзеченко Г.Ю., Рубин A.B. Математические модели биологических процессов. М.: МГУ, 1993.

65. Романовский Ю.М. Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика.М.-Наука,1984.400 с.

66. Романов A.B. Конечномерная предельная динамика диссипативных параболических уравнений. Матем.сб., 2000, Т.191, В.З, 99 — 112.

67. Романов A.B. О предельной динамике эволюционных уравнений. УМН., 1996, Т.51.Т.2, (308), С. 173 174.

68. Рудных Г.А., Семенов Э.И. Существование и построение анизотропных решений многомерного уравнения нелинейной диффузии.// Сиб. Ма-тем. жур.2000.-Т.41.-С. 1141-1166.

69. Свищевский С.Р., Галактионов В.А. Точные решения и ивариантые многообразия нелинейных уравнений с частными производными.-Нью-Йорк. :Chapman and Hall, 2007.-493 с.

70. Свиржев Ю.М. Нелинейные волны, диссинативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987, 368 с.

71. Синицын С.О., Волосова А.К., Волосов К.А., Братусь А.С.Решение уравнения КППФ в параметрической форме. Изд.С-Петербургский педагогический университет., Материалы научной конфер.Герценовские чтения,(13-15 04.2009), С-Петербург,-2009- с.35-40.

72. Синицын С.О.,Волосова А.К., Волосов К.А. Уравнения Колмогорова Фоккера Планка для стохастических полумаятников. Конференция Герценовские чтения. Санкт-Петербург. 12-17 апр. 2010.

73. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике пер.с англ. М.:Сов. радио, 1977.-368с. Scot A. Active and Nonlinear Wave Propagation Media in Electronics, Wiley Interscience, New York.- 1970.

74. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. перевод с англ. Б.А.Дубровина, И.М.Кричевер, под ред. С.П.Новикова. М.:Мир,1983.-408с.

75. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными парамерами. М.:КомКнига, 2007.-316 с.

76. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекурентные уравнения в теории популя-ционной биологии. М.: Наука, 1983/

77. Хакен Г. Информация и самоорганизация./ Пер. с англ.- М.:Мир,1991,-300 с.

78. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. / Пер. с англ.- М.:Мир,1973,-216 с.

79. Alligood К.Т., Sauer T.D., Yorke J.A., Chaos. An introduction to dynamical systems. New- York: Springer — Verlag, 1996.

80. Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit Solutions of Fisher"s equation for Special Wave Speed.// Bellitin of Math.Biology. 1979. Vol.41. P.835 -840.

81. Agladze K.I., Krinsky V.I. Multi — armed vortices in an active chemical medium. Nuture. 1982., V. 296, N. 1, p.425 427.

82. Aronson D.G., Weinberger H.F. Nolinear diffusion in population genetics. Ed. J.A. Goldstein. //Lecture Notes to Mathematics N.Y.,Springer-Vol. 449 - 1975.

83. Aronson D.G. The porous medium equation, in "Nomlinear Diffusion problems".(A. Fasano and M. Primicerio , Eds.) P. 1-46, Lecture Notes in Mathematics,// Springer-Verlad, Berlin, 1986.-P.1224,

84. Baek, Jeongseon; Ju, Hyeong — Kwan; Kwak, Minkyu. Invariant manifolds and inertal forms for parabolic partial differential equations. Indiana Univ. Math.J. 1993, 42, No.3, P. 721 —731.

85. Biktashev V.N. Dissipation of the excitation wavefronts. Phys. Rev. Lett., 89 (16), 168102,2002.

86. Biktashev V.N., Aslanidi O.V., Baylay A., Clayton R.H., Holden A.V. Enhanced self-termination of re-entrant arrhythmias as a pharmacological strategy for anti-arrhythmic action. Chaos Solutions and Fractals, 12(3), 2002,P. 843-851.

87. Elkin Y.E., Biktashev V.N., Holden A.V. Waves of constant shape and the structure of the rotors boundary in excitable media.Chaos Solutions and Fractals, 14, 2002, P. 385-395.

88. Biktashev V.N., Holden A.V., Mironov S.F., Pertsov A.M., Zaitsev A.V. Three— dimansional organisation of re-entrant propagation during experimental ventriculur fibrilation. Chaos Solutions and Fractals, 13(8), 2002, P. 1713-1733.

89. Danilov V.G., Maslov V.P., Volosov K.A. Mathematical Models in Computer-component Technology: Asymptotle Methods of Solution, in Mathematical Aspects of Computer Engineering. Edited by V.P. Maslov, K.A. Volosov.M.:MIR,1988.-P.238-383.

90. Danilov V.G.,Maslov V.P. and Volosov K.A. Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes. Kluver Academic publishers.Dordrecht/Boston/London 1995.-316 p.

91. Dunbar S.R. Travelling Wave Solution of Duffusive Lotka- Voltera Equation. J. of Math. Biology. 1983, c.11-32.

92. Dunbar S.R. Travelling Wave Solutions of Diffusive Lotka- Voltera Equation. A Geteroclinic Counection in R4. Transtlatons of American Math. Socity. 286, 1984, c.557 594.

93. Eigen M., Schuster P. The Ilypercycle: A principal of natural selforganization. Berlin, Heidelberg - 1979 - 264 c.

94. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes. Ann.Eugenics 7, p.355-369.

95. Fife P.C. Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems/ lect. Notes in Biomath. No.29, Berlin: Springer, 1979.

96. Hagan P.S. Spiral waves in reaction -diffusion equations. SIAM J. appl. Math., 1982, vol. 42,N 4,p.762-786.

97. Hofbauer J., Sigmund K. The theory of Evolution and Dynamical Systems. New York, Cambridge University Press. 1988, второе издание Evolutienary games and population dynamics. 1998.

98. Hofbauer J., Sigmund K. The theory of Evolution and Dynamical Systems. New York, Cambridge University Press. 1988, второе издание Evolutienary games and population dynamics. 1998.

99. Hofbauer J. Competitive Exclusion of Disjoint Hypercycles. Z.Phys. Chem. 2002, V. 216, p. 35 39.125126127128129130131132133134

100. Hofbauer J. A Difference eouation model for the hypercycle. Siam J. Appl. Math. 1984, V. 44, N.4, p.762 —772.

101. Horstmann D. Remarks on some Lotka — Volterra type cross — diffusion models. Nonlinear Analysis: Real World Applications 2008, V. 8, p.90 — 117.

102. Kamaev D.A. On the Hopf conjecture for a class of equations of chemical kinetics. Zap.Nauchn.Sem.Leningrad.Otdel.Mat.Inst.Steklov. (LOMI) 110, 1981, 5773, 242.

103. T.Kawahara, M.Tanaka Interaction of traveling fronts on exact solution of nonlinear diffusion equations. //Phys lett.A 97 -1983 P.311-330.

104. Kershner R.O. Oncertain properties of generalized solutions of quasilinear degenerate parabolic equations,// Acta Math. Acad.Sci. Hungaricae. 1978. Vol.32. No.3. P.301 — 330.

105. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the Formation of Dissipative Structres in Reaction. Diffusion Systems. Progr. Theor. Phys.japan. 1975.V/54,No.3, p.687-699.

106. Kuramoto Y.A. ,Yamada T.Reduced Model Showing Chemical Turbulennce. Progr.Theor. Phys.Rev.Lett.l980, V.45.,No.l6.,P.13221324.

107. Koga S. Rotating spiral waves in reaction-diffusion systems.-Progr.Theor.Phys., 1982, vol.67,Nl,p.l64-178.

108. Koga S. Schrodinger equation approach to rotating spiral waves in reaction-diffusion systems.- Progr.Theor.Phys.,1982, vol.67,N 2,p.454-463.

109. Marcus R. Garvie, James F.Blowey A reaction— diffusion of A — to type. Part II. Numerical analysis. Euro. Jnl of Applied Mathematics (2005), vol. 16,pp.621-646.

110. Mallet Paret, John, Sell,George R. Intertial manifolds for reaction diffusion equatons in higher space dimensions. J.Amer.math.Soc. 1., 1988,No.4, P.805866.

111. Яненко H.H. О инвариантных дифференциальных связях для гиперболических систем квазилинейных уравнений, Изв. вузов. Метемат., 1961, н. 3, 186-194.

112. Яненко H.H., Сидоров А.Ф., Шапеев В.П. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск. 1984., 272 с.