автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование инновационных процессов на основе автономных динамических систем

На правах рукописи

Билаль Наваф Елиан Сулейман

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИННОВАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ АВТОНОМНЫХДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 6 ИЮЛ 2012

Белгород - 2012

005046500

Работа выполнена в ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» на кафедре информатики и вычислительной техники

Научный руководитель Чеканов Николай Александрович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Почетный работник высшего профессионального образования РФ, Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова, заведующий кафедрой высшей математики

Брусенцев Александр Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и информационныхтехнологий Белгородской государственной сельскохозяйственной академии им. В.Я. Горина

Ломазов Вадим Александрович

Ведущая организация Федеральное государственное

бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет -учебно-научно-производственный комплекс»

Защита диссертации состоится «13» сентября 2012 г. в. ауд. 261 на заседании диссертационного совета Д 212.015.04 при ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет», 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГАОУ «Белгородский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85.

Автореферат разослан И июля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

В.А. Беленко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальность темы исследования

Одной из перспективных и быстро развивающихся областей применения математического моделирования является динамика инновационных процессов. Ее роль всё более возрастает в связи с усложнением протекания реальных инновационных процессов, которые, очевидно, представляют собой движущую силу любой страны. Исследования в этой области показывают, что кризисные явления имеют не случайный, а систематический характер, определяемый детерминированными механизмами. Поэтому многие особенности поведения инновационных процессов могут описываться в рамках детерминированных систем дифференциальных уравнений. Сложное поведение этих систем, включая процессы самоорганизации, поддается описанию благодаря учёту нелинейных членов, присутствующих в математических моделях динамических систем.

Обычно инновационные процессы изучаются с позиции оптимизации и теории игр, с введением целевой функции. Однако в последние два десятилетия получила распространение другая точка зрения на законы общественного развития, связанная с новым синтетическим (синергетическим) направлением в естественных и общественных науках, которая не предполагает целеполагания в явном виде. Под синергетикой понимают науку о кооперативных (коллективных) процессах и явлениях самоорганизации в открытых и неравновесных системах произвольной природы. Аналогами целей в ней являются различные аттракторы, к которым стремятся фазовые траектории открытых нелинейных систем, попадая в их область притяжения. Такое задание целей является общим подходом, когда цели неявно встроены в модель и изменяются в зависимости от общей динамики модели, в том числе испытывая влияние за счёт механизма обратных связей в зависимости от поведения системы, а не только влияют на это поведение. Отметим, что нелинейные механизмы в инновационных системах могут обосновываться как механизмы конкурентных, кооперационных и других взаимодействий.

Кроме того, следует отметить, что в эволюции инновационных систем, где основное внимание уделяется процессам развития, используется математический аппарат теории нелинейных динамических систем и синергетики, который до сих пор успешно используется при анализе развития биологических, экологических, химических и физических систем. В этом смысле эволюционные инновации и математические методы их описания и анализа тесно связаны с естественными и физико-математическими науками. Таким образом, происходит очень важный процесс вовлечения в научные исследования инновационных процессов методов естественных и физико-математических наук. В связи с этим в данной диссертационной работе ставится одна из задач инновационных процессов, которая анализируется методами теории нелинейных динамических систем, что является чрезвычайно актуальной проблемой.

Большой интерес представляет исследование математических моделей инновационных процессов в научно-образовательных областях. Современные проблемы повышения качества образования, увеличения объемов услуг, реорганизации деятельности управления вузом с целью превращение вуза в коммерческо-финансово-научно-образовательную структуру, а также многие другие стоят на повестке дня в перестройке научно — образовательных процессов не только в России, но и во всем мире.

Специфика многих диссертационных исследований при моделировании инноваций в научно-образовательных областях заключается в использовании классического подхода. Ограниченность такого подхода проявляется в невозможности строить долгосрочные прогнозы и проигрывать различные сценарии поведения рассматриваемых систем. В последние годы всё большую поддержку находит идея о необходимости разработки более совершенных методов изучения инновационных процессов, основанных на методах теории автономных динамических систем и принципах синергетики, приводящих к построению математических моделей во многом аналогичным тем, которые уже получили широкое распространение в естественных науках.

В рамках этого подхода актуальной задачей является изучение базовых моделей инновационных процессов в области научно-образовательных систем, таких как, макромодели развития, модели среднего уровня, микромодели развития, некоторые из которых получили дальнейшее развитие в данном диссертационном исследовании.

В связи с этим особенно важную роль приобретает проведение математического моделирования, для чего требуется разработка эффективных вычислительных схем и алгоритмов, а также проведение достаточно трудоемких вычислительных экспериментов. Этот путь намного выгоднее, чем проведение длительных натурных экспериментов.

В диссертации развит метод математического моделирования инновационных и образовательных процессов на основе автономных и динамических систем. Исследованы комплексы моделей в рамках и линейной, и нелинейной концепций инноваций, а также модели подготовки научных кадров и формирования вузовских контин-гентов с учетом процесса спроса и предложения на рынке образовательных услуг. Эти модели объединены в диссертации объектом аналитического и численного исследования, которым являются нелинейные задачи для систем дифференциальных уравнений, получивших в литературе название эволюционных уравнений. Для анализа параметрических моделей и решения эволюционных уравнений применены и развиты качественные, аналитические и численные методы, на основе которых разработаны новые эффективные алгоритмы и комплексы программ.

Цель работы. Целью данного исследования являлось построение математических моделей инновационных процессов, усовершенствование ранее построенных моделей и их изучение аналитическими и численными методами.

В рамках этой цели были поставлены следующие задачи:

1) развить методы моделирования для ряда математических моделей, формализующих линейную и нелинейную концепции инноваций;

2) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования исследовать математические модели инновационных процессов: а) подготовки научных кадров, б) взаимодействие результатов НИОКР, в) конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, г) взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

3) на основе математического моделирования провести комплексное исследование задачи повышения эффективности рассмотренных инновационных процессов;

4) разработать алгоритмы и составить программы для ЭВМ на языке Python и провести численное моделирование исследуемых задач инновационной динамики.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории динамических систем, методы математического моделирования, пакеты компьютерных прикладных программ, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Научная новизна исследования состоит в следующем:

1) на основе теории автономных динамических систем предложены математические модели и методы их решения, которые описывают инновационные процессы;

2) разработаны и исследованы трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров;

3) введена линейная функция влияния вместо известных более сложных функций, выраженных через гиперболические тангенсы, и методами качественной теории динамических систем исследована математическая модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, дана постановка этой задачи для многомерного случая;

4) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования проведено исследование нелинейной динамической системы третьего порядка, которая описывает взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

5) разработаны алгоритмы и составлены программы для ЭВМ на языке Python, с помощью которых проведено численное моделирование задач инновационной динамики.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для нахождения решений и их анализа в различных отраслях науки, где применяются математические модели в виде нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты данного исследования могут быть внедрены в специальные учебные курсы по математическим методам и математическому моделированию инновационных процессов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов. Полученные в диссертации результаты обоснованы корректным использованием методов качественной теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений, методов вычислительной математики и пакетов компьютерных прикладных программ, а также контролируемой точностью численных расчетов при помощи разработанных программ.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были представлены на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, экономике и образовании» Бийск, 16-17 апреля 2009 г., 3-й Международной конференции по квантовой электродинамики и статистической физики, Харьков, 29 августа - 2 сентября 2011 г., конференции Российской академии естествознания: Математическое моделирование социально-экономических процессов». ОАЭ, Дубай, 16-23 октября 2011 г.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки) по следующим областям исследований:

п 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод моделирования инновационных процессов на основе автономных динамических систем.

2. Качественные методы исследования предложенных математических моделей.

3. Результаты комплексных исследований на основе математического моделирования задач для повышения эффективности инновационных процессов.

4. Программно-алгоритмическая реализация метода моделирования на основе автономных динамических систем.

Личное участие автора. Личное участие автора заключается в постановке задач и их исследовании аналитическими (качественными) и численными методами. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии в постанове задач, проведение аналитических и численных исследований. Вклад автора в проведении исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ, из них 3 работы из списка ВАК РФ, список которых приведен в конце автореферата. Получены два свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и содержит 181 страниц машинного текста, включая 5 таблиц, 13 рисунков и список литературных источников из 189 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая ценность работы, излагается краткое содержание каждой главы диссертационной работы.

В первой главе приведено детальное обоснование возможности математического моделирования инновационных процессов на основе теории автономных динамических систем. Показано, что при таком рассмотрении большое значение имеют аналогии с уравнениями популяционной динамики и биофизико-химической кинетики, основу которых заложили Ферхульст, Вольтерра, Лотка и другие учёные. Рассмотрена также роль современного синергетического подхода, заложенного работами Хакена, Пригожина и других при математическом моделировании таких систем, где, помимо теории динамических систем, используются идеи неравновесной термодинамики.

Анализ литературных источников позволил идентифицировать пять постсоветских научных школ и два кластера научных публикаций в области математического моделирования инновационных процессов на основе теории динамических систем и синергетического подхода.

Показано, что все они, в той или иной степени, соприкасаются с моделированием инновационных систем. Наибольший акцент на такое моделирование делается представителями научной школы В.П. Милованова по синергетическому моделированию неравновесных систем, московской научной школы нелинейной динамики при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша, а также в рабо-

тах, входящих в екатеринбургский кластер научных публикаций по синергетиче-скому моделированию этих систем. Также показана специфика российских диссертационных исследований при моделировании инновационных процессов в научно-образовательных областях, которая далека ещё от использования аппарата теории динамических систем и идей из области синергетики.

Ограниченность классического подхода в моделировании инновационных процессов в этих областях науки связана с невозможностью делать долгосрочные прогнозы и проигрывать различные сценарии поведения. Поэтому в последние годы среди учёных, изучающих долгосрочные тенденции в развитии инновационных систем, всё большую под держку находит идея о необходимости разработки более совершенных методов их изучения, основанных на методах теории автономных динамических систем и принципах синергетики. Причём, возникающие отсюда математические модели во многом аналогичны тем, которые уже получили широкое распространение в естественных и физико-математических науках. Комплекс этих методов в настоящее время рассматривается в рамках эволюционного (синергетического) подхода, в отличие от классического подхода.

В рамках этого подхода рассмотрены базовые модели инновационных процессов в таких системах, известные из литературы: макромодели развития, модели среднего уровня, микромодели развития, некоторые из которых нашли дальнейшее развитие в нашем исследовании.

Во второй главе построен комплекс математических нелинейных моделей динамики инноваций в рамках линейной (рис. 1) и нелинейной (рис. 2) концепции инноваций, записанных в терминах уравнений популяционной динамики.

ФП

пп

ОКР

II

Рис. 1. Схема линейной концепции инноваций, ФИ — фундаментальные исследования, ПИ — прикладные исследования, ОКР - опытно-конструкторские работы, И - инновации

Рис. 2. Схема нелинейной концепции инноваций

Ими моделировались процессы кооперационного взаимодействия в инновационной системе: фундаментальные исследования - прикладные исследования - опытно-конструкторские работы - инновации. В рамках линейной концепции инноваций при попарных взаимодействиях на вышеуказанных этапах инновационного процесса были получены два типа динамических систем четвертого порядка: 1) развитие на каждом этапе инновационного процесса зависит только от развития на предыдущем этапе; 2) учитываются все смежные попарные кооперационные взаимодействия между этапами инновационного процесса. Процесс саморазвития на каждом этапе описывается стандартными логистическими членами. Для первого типа динамических систем была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка в виде (1)

¿X, 2

(Н

¿хг п 2

—1- = а2х2 - р2х2 +Г2,х1х2 я/

с1х} _ _ 2

— а 3х3 р 3х3 +у}2хгхъ

сН

п г ,

—~= «4*4 - Д,*4 + ^43*3*4

<н

где «¡>0, Д>0, /,7 > 0, х, - количество НИОКР разных видов

согласно схеме на рис. 1.

Для обоих типов динамических систем в явном виде были получены 16 особых точек динамических систем четвертого порядка (нулевая особая точка, четыре особые точки с тремя нулевыми координатами, шесть особых точек с двумя нулевыми координатами, четыре особые точки с одной нулевой координатой, нетривиальная особая точка со всеми ненулевыми координатами). Для первого типа динамических систем координаты всех особых точек были положительными, для второго - возникали особые точки с отрицательными координатами. Линейный анализ устойчивости этих особых точек для обоих типов динамических систем, показал, что нулевая особая точка является неустойчивым узлом, а все остальные 14 особых точек с наличием, по крайней мере, одной нулевой координаты, являются седловыми. Особая точка называется устойчивой, если существуют замкнутые интегральные кривые произвольно малого диаметра, окружающие особую точку, во всех остальных случаях особая точка называется неустойчивой (В.В. Немыцкий, В.В. Степанов). Показано, что нетривиальная особая точка со всеми ненулевыми координатами динамической системы (1) всегда является устойчивым узлом.

Подразумевая под фазовыми переменными динамической системы (1) количество фундаментальных исследований, прикладных исследований, опытно-конструкторских работ и инноваций, при достаточно разумных предположениях, когда коэффициент межсекторальной кооперации не меньше соответствующего коэффициента внутрисекторальной конкуренции и при условии наличия по крайней мере одной фундаментальной разработки в стационарном случае (х,, >1), получено последовательное возрастающее количество научно-технических разработок разного уровня - от фундаментальных исследований до инноваций (х4, > х3. > х2, > х,.).

При наличии, как попарных, так и тройственных кооперационных взаимодействий, в рамках линейной концепции инноваций, была получена динамическая система четвертого порядка с кубическими нелинейностями. В целом, количество, структура и устойчивость особых точек этой динамической системы близка к таковым для динамической системы (1), но их полное аналитическое представление является очень громоздким и практически невыполнимым.

Построена и исследована трёхмерная модель взаимодействия результатов НИОКР разных видов, причём в отличие от предыдущих моделей введены постоянные коэффициенты, отвечающие за устаревание результатов НИОКР. Эта модель записана в терминах уравнений популяционной динамики и линейной концепции инноваций:

ск т

§= /зОО*"*,*".Р.21

где х— количество опубликованных фундаментальных статей, у - количество опубликованных прикладных статей, 2 - количество выданных патентов на изобретения, к, - коэффициент устаревания результатов НИОКР разного вида, Д - коэффициенты внутривидовой конкуренции результатов НИОКР разного вида, fi - переменные коэффициенты роста в члене, отвечающие за генерирование результатов НИОКР разного вида.

Предполагается, что в рассматриваемой научно-исследовательской системе ведутся НИОКР естественнонаучного и технического характера, результаты которых хорошо описываются последовательной цепочкой: фундаментальные статьи -прикладные статьи - патенты на изобретения.

Первый коэффициент роста /¡(у) говорит о том, что скорость генерирования

фундаментальных статей зависит от количества прикладных статей. Действительно, при проведении фундаментальных исследований и написании соответствующих статей исследователи учитывают наработанное прикладное знание и ссылаются в своих работах на прикладные статьи. Например, ученый на основе ранее написанных фундаментальных статей (им и другими учеными) встречает прикладную статью (или серию таких статей) и на основе всех этих работ готовит и публикует серию новых фундаментальных статей. Здесь прикладное знание обогащает фундаментальное. То же самое отражается во втором уравнении динамической системы, когда, наоборот, фундаментальное знание обогащает прикладное. Всё это выражается тем, что в фундаментальных статьях имеются ссылки на прикладные работы, а в прикладных - на фундаментальные статьи.

Положим также, что наличие патентов на изобретения не влияет на рост прикладных статей. Действительно, в прикладных статьях немного ссылок на патенты. Если в некоторых областях исследований это не так, то следует ввести функцию /2 (у). При написании третьего уравнении было учтено, что на генерирование

патентов на изобретения влияет исключительно прикладное знание. Действительно, в описаниях патентов на изобретения практически нет ссылок на фундаментальные статьи. В простейшем случае, как это делается, например, в уравнениях популяционной динамики, естественно задать линейный вид функции /¡(и) = а, + Ь,и , где и зависит от переменных х,у,2. В этом случае для системы

уравнений (2) получены 8 особых точек, первые 7 из которых с наличием нулевых координат были неустойчивыми. Для восьмой нетривиальной особой точки получены условия для ее устойчивости.

Учитывая, что при нормальном процессе генерирования результатов разных видов НИОКР имеет место неравенство а(. — к1 > 0, то из выражений для нетривиальной собой точки следует, что выполняется >5,^-6,6, >0 (условие положитель-

ности ее координат). Из этих выражений в зависимости от соотношений параметров модели можно получать различные соотношения для её координат. Например, из условий /?, > 6,, 6, > следует неравенство х, > у, (т.е. в стационарном случае количество фундаментальных статей превышает количество прикладных статей).

Учитывая, что г.=Ь,//З3-у,+ (о3 -к,)/ Д, то из неравенства Ь, > рз сразу же получим х, > у,. Ясно, что с некоторого критического значения Ьъ, зависящего от отношения (а3-Аг3)/Д и удовлетворяющего неравенству 63</З3, будет выполняться противоположное неравенство х, < у, (количество прикладных статей превышает количество патентов на изобретения). Решения рассматриваемой динамической системы для устойчивой нетривиальной точки ведут себя по типу логистической кривой (рис. 3)

В работе рассмотрен ряд математических нелинейных моделей в рамках нелинейной концепции инноваций, но для простоты дальнейшего анализа рассматривались трехмерные аналоги динамических систем четвертого порядка. В частности, исследована модель генерирования знаний в системе: наука - промышленность - правительство (при развитии двусторонних попарных и трехсторонних связей) и модель генерирования знаний в системе: исследования (наука) - образование - инновации (при абстрагировании от двусторонних попарных связей и учете тройственных кооперационных связей).

В первом случае в явном виде получены координаты всех 8 особых точек, первые семь из которых были неустойчивыми. В одном частном случае получены условия на положительность и устойчивость нетривиальной особой точки без учета трехсторонних кооперационных связей.

Во втором случае выполнено детальное качественное и численное исследование модели, которое в одном частном случае позволило наиболее полно изучить характер поведения решения в окрестности нетривиальной особой точки, а также получить асимптотическое аналитическое решение.

Рис. 3. Результаты численных расчетов решений х(<), у(1), г(г) системы уравнений (2) для линейных функций / (м) = + 6, и с параметрами: а1 =0,2; аг = 0,2 ; а3 = 0,2 ; 6, = 0,0008; Ь2 =0,001; ¿3 =0,0006; к, =0,1; к2 =0,1; к3 = 0,1; /?, =0,0007; Д, =0,002; Д =0,0005; х(0)=0.001; у(0)=0.001; г(0)=0.001; х, =476; у.= 283; 2, =540

В этой же главе для одной частной нелинейной динамической системы второго порядка была применена более сложная математическая техника, связанная с введением малого параметра и использованием методов нормальных форм и центрального многообразия, что позволило доказать наличие бифуркации в этой системе.

В третьей главе развиты трёхмерные математические модели подготовки научных кадров, конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов и взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг.

Первая модель в терминах уравнений автономной динамики представлена в виде

^ г> 2

ш

<^ = -а2у-у2у + Р,ху + у,хг-Р2уг-е2у2, (3)

^ = -а3г + /32уг + у2у - £} г2

Модель описывает процессы воспроизводства научных кадров, их безвозвратного выбытия, а также переходы из одной категории в другую. В ней введены следующие обозначения:

ахх — воспроизводство научных кадров без учёной степени (разность между

их подготовкой и выбытием, что не связано с переходом в категорию кандидатов наук в единицу времени);

Рхху - интенсивность подготовки кандидатов наук из числа неостепененных научных кадров (х ) кандидатами наук (у)',

уххг - интенсивность подготовки кандидатов наук из числа неостепененных научных кадров (х) докторами наук (г);

а2 у - интенсивность выбытия кандидатов наук из научных кадров без перехода в категорию докторов наук (выбытие за счёт смертности, интеллектуальной миграции, перехода в другую сферу деятельности);

у2 у - интенсивность самоподготовки кандидатов наук до уровня докторов наук; Р2уг - интенсивность подготовки докторов наук из числа кандидатов наук ( у ) докторами наук (г);

а}г — интенсивность выбытия докторов наук из научных кадров; £,х2, е2у2, £}г2 - члены, описывающие внутригрупповую конкуренцию в своих категориях (члены, отвечающие за самоограничение роста);

а1,а2,а3,Р1,Р2,у1,у2,£х,£2,£3 - положительные параметры модели. Для случая, когда у2 = 0 (что соответствует современной практике, когда докторов наук готовят исключительно с участием научных консультантов, являющихся докторами наук) и £) =0, (/=1,2,3) (т.е. отсутствие внутригрупповой конкуренции), исследуются на устойчивость следующие особые точки этой модели: 1) х. = у, = 2. = 0; 2) х.= а2/рх, у. = ах/Рх, г. = 0;

3) х.=аъ{ахР2-аъР,+а2у^1ахР2ух,у,=аъ1Р2, г, =(а,Р2-а3Р1)/Р2у1.

С учетом условий Рауса-Гурвица (первые три неравенства в формуле (4)) и неравенств х, > у, > г, (последние два неравенства в формуле (4)) получены компактные ограничения на устойчивость нетривиальной особой точки:

(а./^-азДКаД + азД-ЯзГО + а^А^О ■ Г1-(«2А-«,А)+А-(«1А-«зА)>о • (4)

а\Рг~аъР\ +агУ\~а\7\ >0

аъУ\~а\Р1 +агР\

Численные эксперименты, проведённые с моделью (3), показали на соблюдение полученных нами конкретных критериев Рауса - Гурвица (рис. 4).

Рис. 4. Результаты численных расчетов решений х(1), >■(/), 2(7) системы уравнений (3) с параметрами: а, =0,4; а2= 0,24; а3=0,13; Д =0,01; рг =0,006; /,=0,0025; /2=0,02; е1 = 0,0047; ¿г, =0,004; е3 =0,004; х(0)=0.1; у(0)=0.1; г(0)=0.1;л =35,9; у.= 20,75;

г. =9,52.

В развитие модели конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, предложенной ранее Л.А. Серковым, в работе получена следующая модифицированная модель:

сЬс _ 2

— = а1х-рхх —ухху + ехх2 Л

Ц- = а1у-Р1у1 -г2ху + е2уг (5)

т

& п 2 -= а,2 — р,1 — Е.Х2 — Е-,У2

ж 3 1 2

где х - количество студентов в первом вузе, у - количество студентов во втором вузе, г - количество абитуриентов, желающих поступать в эти два вуза,

а,> О - коэффициенты роста, Д > 0 - коэффициенты внутриконтингентной (внутривузовской) конкуренции, у, >0 - коэффициенты межконтингентной (межвузовской) конкуренции, > 0 - коэффициенты студенческой (вузовской) абитуриентской кооперации, (г = 1,2,3).

Получены в явном виде координаты всех восьми особых точек, первые четыре из которых оказались неустойчивыми. Для восьмой нетривиальной особой точки при аг., = а, р.,= р, у. = у, £.=е с помощью достаточно громоздких условий

Рауса-Гурвица получена область изменения параметров модели, в которой эта особая точка является устойчивым узлом или устойчивым фокусом:

2yl Р + (у2 - р1) / s2 - \> В ! А

' у <Р<1у , (6)

2е-у<0

где

afi(-f+rfi + er-sfi)

' ръ +2рег -lys1 -у2р ' в= z _ар{-р2+у2+2рЕ-2еу) ръ +2р£2-2уе2-у2р

Таким образом, качественный анализ динамической системы (5) показывает, что существуют 1) два режима ее поведения с полным подавлением одного вуза другим при полном исчерпании стационарного резерва абитуриентов (две особые точки); 2) два аналогичных режима при наличии стационарного резерва абитуриентов (две особые точки); 3) два режима взаимного сосуществования вузов при наличии (одна особая точка) и исчерпании (еще одна особая точка) стационарного резерва абитуриентов и 4) два неустойчивых режима поведения образовательной системы (две особые точки). При этом следует отметить, что при наличии стационарного резерва абитуриентов возможны ситуации, когда третья координата особой точки равняется нулю, z. = 0 (исчерпание стационарного резерва абитуриентов). Примеры численных расчетов решений в математической модели (5) приведены на рис. 5.

Численные эксперименты показывают, что в этих двух а) и б) случаях поведение системы происходит по типу устойчивого фокуса, и оно соответствует ограничениям (6).

Динамическая система (5) может быть легко распространена на п+\-мерный случай (и вузов, конкурирующих за ограниченный контингент абитуриентов). Общее количество особых точек с различными сочетаниями нулевых и ненулевых координат равняется 2"+1 . По аналогии с анализом трехмерной динамической системы здесь имеют место различные режимы подавления одних вузов другими, и могут возникать различные коалиции вузов, которые со временем подавляют другие. Допустим, на рынке образовательных услуг конкурируют между собой пять однопрофильных вузов, тогда, например, коалицией из трех вузов можно будет создать в количестве трех сочетаний из пяти.

а)

б)

Рис. 5. Результаты численных расчетов решений , , г(/) системы уравнений (5): а) с параметрами: а, = 0,2; а2= 4,0; аъ = 8,0; Д =4,0; /?2=2,1; /?3 = 0,4; у, =2,1;

/2 = 0,2 ; =4,0; е2 = 0,2; х(0)=0.1; у(0)=0.1; г(0)=0.1; координаты нетривиальной особой точки: х. = 1,64; у, =2,0; г, = 2,64; б) с параметрами: а, = 4,0; а, = 4,0; а3 = 2,1; Д=0,2; /?,=4,0; Д = 0,06; /,=5,9; /2=0,2; £,=1,0; ¿г2 =0,2; х(0)=0.1; у(0)=0.1; г(0)=0.1; координаты нетривиальной особой точки: х, =1,74; >>,=1,04; = 2,46

Третья модель - взаимодействие спроса и предложения на рынке образовательных услуг, предложенная первоначально Л.А. Серковым, была модифицирована нами путем введения в третье уравнение динамической системы логистического члена и записана в виде: [<Ю

л -а^ + а^ Л

— = аи-ви1-с18В Л

(7)

В этой системе уравнений: Б - объем спроса со стороны внешних потребителей, 5 - объём продукта образовательной системы, V - некоторый управляющий параметр.

Её особые точки запишем в виде: 1) (А, £,£/.) = (0, 0, 0);

3) (А,Б.,и.) =

М

Ъ2с2

1-и.

р

2) (А,&,[/,) = (0, 0,а/Р)-

, ис

аЛЪ2с2\Р

где 11с =а1Ь1/а2Ь2, а//3>1/с.

Первая особая точка оказалась неустойчивым узлом, вторая при условии ис>— — устойчивым узлом или неустойчивым фокусом, а при условии ис < ^ —

седловой точкой. Для третьей особой точки с учетом условий Рауса-Гурвица получены следующие условия на ее устойчивость:

2а, 6, + рис (2а, + 36,) - а (а, + 26,) > О

а, +6, —а + 2рис >0 (8)

(а, + 6, - а + 2/Зис )[2а, 6, + (2а, + 36,) - а (а, + 26,)] - 2а, 6, (а - /?[/с) > 0 Численные эксперименты по модели (7) приведены на рис. 6, которые под-

твердили результаты ее теоретического анализа.

20 40

б)

В)

Г)

Рис. 6. Результаты численных расчетов решений £>(/), 5(0, С/(/) системы уравнений (7):

а) с параметрами: а, = 4; а2 = 2 ; 6, =4,4; Ь2 =0,03; с2 = 0,002 ; а = 3 ; ,5 = 0,006;

координаты особой точки: Д =301,57; 5. =602,95; и. =293,16;

б) с параметрами: а, = 4; о2 = 2 ; 6, = 6,5 ; Ь2 =0,03; с2 = 0,001; а = 2,4; ^ = 0,005;

координаты особой точки: Д =224,85; = 449,69; и, =433,33;

в) с параметрами: о, =4; о2 = 2; 6, =6,5; 6, =0,03; с2 =0,001; а = 2,4; /? = 0,004;

координаты особой точки: £>,=380,06; 5. = 760,12; С. = 433,33;

г) с параметрами: а, = 4; о2 = 2 ; Ь, = 6,5 ; 62 =0,03; с2 =0,001; а = 2,0; /? = 0,004;

координаты особой точки: А =240,37; 5, =480,74; С/. = 433,33; для всех вариантов: 0(0)=0.1; Э(0)=0.1; и(0)=0.1.

Рис. 6 а) и 6 в) соответствуют возникновению устойчивого фокуса, а остальные два - возникновению устойчивого узла. Для фазовой переменной 17 характерны скачки с одного стационарного уровня на другой.

В этой главе диссертационной работы показано, что количество особых точек п -мерной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра при положительности их коэффициентов в общем стационарном

случае равно 2", а их структура в отношении сочетания нулевых и ненулевых координат совпадает с биномиальными коэффициентами.

В заключительном параграфе третьей главы представлены разработанные алгоритмы для интегрирования систем дифференциальных уравнений в среде программирования Python, на основе которых проводились численные расчеты исследуемых математических моделей.

В Заключении изложены основные полученные результаты.

В Приложение приведены тексты двух программ для ЭВМ на Python для численного расчета и анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, которые описывают исследуемые инновационные процессы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе систем уравнений автономных динамических систем предложен метод математического моделирования инновационных процессов.

2. В рамках линейной и нелинейной концепции инноваций построен и исследован ряд динамических систем 4-го порядка. В частности, показано, что в случае, когда коэффициент кооперации не меньше соответствующего коэффициента конкуренции, то количество научно-технических разработок растет от фундаментальных исследований до инноваций.

3. Разработаны трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров, качественными и численными методами выполнено их исследование.

4. В рамках нелинейной концепции инноваций и динамических систем 4-го порядка предложены две трехмерные модели: 1) модель генерирования знаний в системе: наука-промышленность-правительство и 2) модель генерирования знаний в системе: наука - образование - инновации. Проведено качественное и численное исследование методом математического моделирования инновационных процессов на основе теории автономных динамических систем.

5. Модифицирована трехмерная модель подготовки научных кадров без степени, кандидатов и докторов наук. Качественными и численными методами выполнено ее исследование, в частности, получены компактные ограничения на параметры модели, которые приводят к устойчивости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Модифицирована и детально исследована трехмерная модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов. Получены все режимы взаимного подавления одного вуза другим и взаимного их сосуществования.

7. Развита трехмерная модель взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг за счет введения в третье уравнение этой модели логистического члена. Найдены и качественно исследованы особые точки этой модели. С помощью численных экспериментов показано наличие резких переходов с одного стационарного уровня на другой для третьей фазовой переменной.

8. В среде прикладных пакетов программ на Python разработаны алгоритмы и программы для нахождения и анализа особых точек автономных динамических систем с численным вычислением их решений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

Статьи в журналах из перечня ВАК РФ

1. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическая модель "треугольника знаний". // Нелинейный мир. - М., 2010. №1. - С.29- 35.

2. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков Н.А. Математическая модель взаимодействия результатов различных видов НИОКР. // Научно-техническая информация, Сер. 2. Информационные процессы и системы. 2011. № 2. - С.13-17.

3. Билаль Н.Е. Сулейман. Математическая модель подготовки и динамики научных кадров // Вестник ТвГУ. Серия Прикладная математика. Выпуск 1 (24), 2012. С.155-163.

Статьи в других рецензируемых изданиях

4. В.М. Московкин, Билаль Н.Е. Сулейман, А. Емельянова. Математическое моделирование формирования иностранных студенческо-аспирантских континген-тов и доходов от их подготовки для постсоветских условий. // Новий Колепум. -Харюв, 2010. № 1-2. - С.36-43.

5. В.М. Московкин, Билаль H. Е. Сулейман, Н.Д. Кондратенко. Математическое моделирование инновационных и научно-образовательных систем уравнениями популяционной динамики. // Исследовано в России : электрон, многопред-мет. науч. журн. / Моск. физико-техн. ин-т. 2010. Т. 13. - С.724-761.

6. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Моделирование формирования вузовских контингентов на основе уравнений популяционной динамики. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2011. №3. - С.51-61.

7. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическое моделирование спроса и предложения на рынке образовательных услуг. // Современные наукоёмкие технологии. 2011. № 1. - С.34-41.

8. V.M. Moskovkin, Bilal N.E. Suleiman, N.A. Golikov. A Mathematical Model of Interaction of the Results of Différent R&D Types. // Automatic Documentation and Mathematical Linguistics. 2011. Vol. 45, № 1. - P.33-38.

9. Билаль Н.Е. Сулейман. Математическое моделирование подготовки и динамики научных кадров. // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. №11. 2011. - С. 57-59.

Статьи в материалах и сборниках трудов научных конференций

10. В.М. Московкин, Билаль Н.Е. Сулейман, С. Е. Савотченко. Математическое моделирование процессов в «треугольнике знаний» // Информационные технологии в науке, экономике и образовании: материалы всерос. науч. конф., 16-17 апр. 2009 г. : в 2 ч. / Бийск. технолог, ин-т (фил.) Алтай, гос. техн. ун-та им. И. И. Ползунова и др. под ред. О.Б. Кудряшовой. - Бийск, 2009. Ч. 2. С.ЗЗ.

11. V.M. Moskovkin, Bilal N.E. Suleiman. Theorem about the number and structure of singular points in n-dimensional dynamical system of Lotka-Volterra population dynamics, 3rd International Conférence on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics, August 29-September2, 2001, Kharkov. - p. 228.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

12. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613707 «Построение в численном виде решения параметризованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений », Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков H.A. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 13 мая 2011 г.

13. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012610002 «Вычисление и исследование нетривиальной особой точки параметризованной системы обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида », Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Голиков H.A. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 10 января 2012 г.

Подписано в печать 5.07.2012. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 191. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в ИД «Белгород» 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Теоретико-методологические основы математического моделирования инновационных процессов.

1.1. Предпосылки и основные подходы к моделированию инновационных процессов на основе автономных динамических систем.

1.2. Основные направления исследований в области математического моделирования инновационных процессов.

ГЛАВА 2. Математическое моделирование инновационных процессов уравнениями популяционной динамики.

2.1. Математическое моделирование инновационных процессов в рамках линейной концепции инноваций.

2.1.1. Математические нелинейные модели в рамках линейной концепции инноваций.

2.1.2. Математическая модель взаимодействия результатов разных видов НИОКР.

2.1.3. Пример использования методов центрального многообразия и нормальных форм для качественного исследования нелинейных динамических систем.

2.2. Математические нелинейные модели в рамках нелинейной концепции инноваций.

2.2.1. Модель генерирования знаний в системе: наука - промышленность - правительство.

2.2.2. Математическая модель «треугольника знаний».

ГЛАВА 3. Математическое моделирование образовательных процессов.

3.1. Математическая модель подготовки научных кадров.

3.2. Моделирование формирования вузовских контингентов на основе уравнений популяционной динамики.

3.3. Математическое моделирование процесса спроса и предложения на рынке образовательных услуг.

3.4. Количество и структура особых точек n-мерной модели Лотки-Вольтерра.

3.5. Алгоритмы численного решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Важной особенностью диссертации является то, что в ней одновременно выполнены исследования в трех областях: математического моделирования, численных методов и комплексов программ двух сложных процессов, инновационного и образовательного. Рассмотрены комплексы моделей в рамках и линейной, и нелинейной концепций инноваций, а также модели подготовки научных кадров и формирования вузовских контингентов с учетом процесса спроса и предложения на рынке образовательных услуг.

Эти модели объединены в диссертации объектом аналитического и численного исследования, которым являются нелинейные задачи для систем дифференциальных уравнений, получивших в литературе название эволюционных.

Одной из перспективных и быстро развивающихся областей применения математического моделирования является динамика инновационных процессов. Ее роль всё более возрастает в связи с усложнением протекания реальных инновационных процессов, которые, очевидно, представляют собой движущую силу любой страны. Исследования в этой области показывают, что кризисные явления имеют не случайный, а систематический характер, определяемый детерминированными механизмами. Поэтому многие особенности поведения инновационных процессов могут описываться в рамках детерминированных систем дифференциальных уравнений. Сложное поведение этих систем, включая процессы самоорганизации, поддается описанию благодаря учёту нелинейных членов, присутствующих в математических моделях динамических систем.

Обычно инновационные процессы изучаются с позиции оптимизации и теории игр, с введением целевой функции. Однако в последние два десятилетия получила распространение другая точка зрения на законы общественного развития, связанная с новым синтетическим (синергетическим) направлением в естественных и общественных науках, которая не предполагает целеполагания в явном виде. Под синергетикой понимают науку о кооперативных (коллективных) процессах и явлениях самоорганизации в открытых и неравновесных системах произвольной природы. Аналогами целей в ней являются различные аттракторы, к которым стремятся фазовые траектории открытых нелинейных систем, попадая в их область притяжения. Такое задание целей является общим подходом, когда цели неявно встроены в модель и изменяются в зависимости от общей динамики модели, в том числе испытывая влияние за счёт механизма обратных связей в зависимости от поведения системы, а не только влияют на это поведение. Отметим, что нелинейные механизмы в инновационных системах могут обосновываться как механизмы конкурентных, кооперационных и других взаимодействий.

Кроме того, следует отметить, что в эволюции инновационных систем, где основное внимание уделяется процессам развития, используется математический аппарат теории нелинейных динамических систем и синергетики, который до сих пор успешно используется при анализе развития биологических, экологических, химических и физических систем. В этом смысле эволюционные инновации и математические методы их описания и анализа тесно связаны с естественными и физико-математическими науками. Таким образом, происходит очень важный процесс вовлечения в научные исследования инновационных процессов методов естественных и физико-математических наук. В связи с этим в данной диссертационной работе ставится одна из задач инновационных процессов, которая анализируется методами теории нелинейных динамических систем, что является чрезвычайно актуальным.

Большой интерес представляет исследование математических моделей инновационных процессов в научно-образовательных областях. Современные проблемы повышения качества образования, увеличения объемов услуг, реорганизации деятельности управления вузом с целью превращение вуза в коммерческо-финансово-научно-образовательную структуру, а также многие другие стоят на повестке дня в перестройке научно - образовательных процессов не только в России, но и во всем мире.

Специфика многих диссертационных исследований при моделировании инноваций в научно-образовательных областях заключается в использовании классического подхода. Ограниченность такого подхода проявляется в невозможности строить долгосрочные прогнозы и проигрывать различные сценарии поведения рассматриваемых систем. В последние годы всё большую поддержку находит идея о необходимости разработки более совершенных методов изучения, основанных на методах теории автономных динамических систем и принципах синергетики, причём возникающие отсюда математические модели во многом аналогичны тем, которые уже получили широкое распространение в естественных науках.

В рамках этого подхода актуальной задачей является изучение базовых моделей инновационных процессов в области научно-образовательных систем, таких как, макромодели развития, модели среднего уровня, микромодели развития, некоторые из которых нашли дальнейшее развитие в данном диссертационном исследовании.

В связи с этим особенно важную роль приобретает проведение математического моделирования, для чего требуется разработка эффективных вычислительных схем и алгоритмов, а также проведение достаточно трудоемких вычислительных экспериментов. Этот путь намного выгоднее, чем проведение длительных натурных экспериментов. Действительно, многие особенности поведения указанных выше процессов, в частности исследуемых в диссертационной работе могут быть описаны в рамках детерминированных нелинейных систем дифференциальных уравнений. Один из ведущих учёных в области популяционной динамики Р. Мэй ещё в 1976 году писал, что «самые простейшие нелинейные дифференциальные уравнения могут иметь необычайно богатый спектр динамического поведения, от устойчивых предельных циклов до режима, в котором поведение (с полностью детерминированным механизмом) является во многих отношениях хаотичным или неотличимым от вероятностной функции случайного процесса» [180].

В этой связи, по словам другого ведущего западного учёного Д. Баттена, «.простые нелинейные системы не всегда приводят к простым динамическим особенностям» [165]. Ясно, что эти особенности не могут быть прослежены в рамках линейных моделей и статистических методов.

Отметим, что нелинейные механизмы в инновационных могут обосновываться как механизмы конкурентных, кооперационных и других взаимодействий. Таким образом, эволюционный или синергетический подход в социальных науках, который пришёл в них из естественных наук, начинает теснить классические математические модели и методы в анализе инновационных систем. В эволюционных системах основное внимание уделяется процессам развития [14, 28, 50, 53, 54, 56, 58, 59, 64, 65, 68, 77, 91, 129 - 131, 134, 138, 144, 146, 147, 165, 166, 172, 178], а не поискам стационарного (равновесного) состояния, как при классическом подходе

2, 7, 57, 62, 69, 138, 145, 151, 160, 178]. Для этой цели используется математический аппарат теории нелинейных динамических систем [3 - 5, 9, 12, 26, 31, 51, 72, 126, 132, 133, 154, 158] и синергетики [32, 52-54, 56, 116, 117, 127, 128, 144, 148150, 155], который ранее успешно использовался и сейчас широко используется при анализе развития биологических, экологических, химических и физических систем [13,27,71,72, 116, 117, 126- 128, 132, 134- 137, 140, 149, 150, 154, 158, 167, 168, 170, 171, 173 - 177, 179 - 185]. В этом смысле эволюционная динамика с её математическими методами анализа инновационных систем тесно связана с естественными науками [138].

Важно отметить, что в настоящее время нелинейная динамика представляет собой одно из наиболее значимых и перспективных направлений развития во всех науках. Как отмечается в предисловии книги А.В. Воронина [28], «мощный современный аппарат качественной теории дифференциальных уравнений и смежных разделов математической топологии предоставляет широкие возможности для получения содержательных результатов, прежде всего качественного характера».

Анализ современного состояния исследований в области математического моделирования инновационных систем методами автономных нелинейных динамических систем позволил в первой главе диссертационной работы идентифицировать семь постсоветских кластеров таких исследований (кластеров публикаций), четыре из которых представляли собой крупные школы по нелинейной динамике и синер-гетическому моделированию. Во всех этих кластерах публикаций, естественно, учитывался и западный опыт в этой области исследований. В каждом из них были выделены ключевые исследования в области математического моделирования инновационных и научно-образовательных систем, в результате чего стало ясно, в каких направлениях этих исследований могут быть получены новые результаты.

Во второй главе диссертации построен ряд математических моделей динамических систем 3-4 порядков в рамках линейной и нелинейной концепции инноваций, которые были качественно исследованы с помощью линейного анализа устойчивости особых точек и с помощью численных экспериментов. В одном из частных случаев показан пример использования более сложного математического аппарата, основанного на введении малого параметра и методов нормальных форм и центрального многообразия.

В третьей главе была более полно исследована и развита математическая модель подготовки научных кадров, предложенная в работе [94]. В этой же главе, посвященной математическому моделированию образовательных систем, были развиты два результата J1.A. Серкова [138], касающиеся конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов и взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных систем. Все три задачи рассматривались в рамках нелинейных динамических систем третьего порядка.

Ввиду того, что ряд ключевых задач во второй и третьей главах сводились к п-мерной модели взаимодействия популяций Лотки-Вольтерра [26], то в третьей главы установлено количество и структура особых точек этой многомерной модели.

В заключительном параграфе третьей главы представлены разработанные алгоритмы для интегрирования систем дифференциальных уравнений в среде программирования Python, на основе которых проводились численные расчеты исследуемых математических моделей.

Цель работы. Целью данного исследования являлось построение математических моделей инновационных процессов, усовершенствование ранее построенных моделей и их изучение аналитическими и численными методами.

В рамках этой цели были поставлены следующие задачи:

1) развить метод моделирования для ряда математических моделей, формализующих линейную и нелинейную концепции инноваций;

2) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования исследовать математические модели инновационных процессов 1) в подготовке научных кадров, 2) в конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, 3) во взаимодействии спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

3) на основе математического моделирования провести комплексные исследования задачи повышения эффективности рассмотренных инновационных процессов;

4) разработать алгоритмы и составить программы для ЭВМ на языке Python и провести численное моделирование исследуемых задач инновационной динамики.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории динамических систем, методы математического моделирования, пакеты компьютерных прикладных программ, методы вычислительной математики.

Научная новизна работы. Научная новизна исследования состоит в следующем:

1) на основе теории автономных динамических систем предложены математические модели, описывающие инновационные процессы;

2) разработаны и исследованы трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров;

3) введена линейная функция влияния вместо известных более сложных функций, выраженных через гиперболические тангенсы, и методами качественной теории динамических систем исследована математическая модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов, дана постановка этой задачи для многомерного случая;

4) методами качественной теории динамических систем и численного моделирования проведено исследование нелинейной динамической системы третьего порядка, которая описывает взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг;

5) разработаны алгоритмы и составлены программы для ЭВМ на языке Python, с помощью которых проведено численное моделирование задач инновационной динамики.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для нахождения решений и их анализа в различных отраслях науки, где применяются математические модели в виде нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты данного исследования могут быть внедрены в специальные учебные курсы по математическим методам и математическому моделированию инновационных процессов.

Обоснованность и достоверность полученных результатов. Полученные в диссертации результаты обоснованы корректным использованием методов качественной теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений, методов вычислительной математики и пакетов компьютерных прикладных программ, а также контролируемой точностью численных расчетов при помощи разработанных программ.

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации были представлены на Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в науке, экономике и образовании» Бийск, 16-17 апреля 2009 г., 3-й Международной конференции по квантовой электродинамики и статистической физики, Харьков, 29 августа - 2 сентября 2011 г., конференции Российской академии естествознания: Математическое моделирование социально-экономических процессов». ОАЭ, Дубай, 16-23 октября 2011 г.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико-математические науки) по следующим областям исследований: п 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений. п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей. п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.

Основные положения, выносимые на защиту.

1). Метод моделирования инновационных процессов на основе автономных динамических систем.

2). Качественные методы исследования предложенных математических моделей.

3). Результаты комплексных исследований на основе математического моделирования задач для повышения эффективности инновационных процессов.

4). Программно-алгоритмическая реализация метода моделирования на основе автономных динамических систем.

Личное участие автора. Личное участие автора заключается в постановке задач и их исследовании аналитическими (качественными) и численными методами. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии в постанове задач, проведение аналитических и численных исследований. Вклад автора в проведении исследований и получение результатов является определяющим.

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. По материалам диссертации опубликовано 11 печатных работ, из них 3 работы из списка ВАК РФ, список которых приведен в конце автореферата. Получены два свидетельства Роспатента РФ о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, одного приложения и содержит 181 страниц машинного текста, включая 5 таблиц, 13 рисунков и список литературных источников из 189 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе

1. На основе систем уравнений автономных динамических систем предложен метод математического моделирования инновационных процессов.

2. В рамках линейной и нелинейной концепции инноваций построен и исследован ряд динамических систем 4-го порядка. В частности, показано, что в случае, когда коэффициент кооперации не меньше соответствующего коэффициента конкуренции, то количество научно-технических разработок растет от фундаментальных исследований до инноваций.

3. Разработаны трехмерная модель взаимодействия результатов НИОКР (фундаментальных статьей, прикладных статьей, патентов на изобретения) и модель подготовки научных кадров, качественными и численными методами выполнено их исследование.

4. В рамках нелинейной концепции инноваций и динамических систем 4-го порядка предложены две трехмерные модели: 1) модель генерирования знаний в системе: наука-промышленность-правительство и 2) модель генерирования знаний в системе: наука - образование - инновации. Проведено качественное и численное исследование методом математического моделирования инновационных процессов на основе теории автономных динамических систем.

5. Модифицирована трехмерная модель подготовки научных кадров без степени, кандидатов и докторов наук. Качественными и численными методами выполнено ее исследование, в частности, получены компактные ограничения на параметры модели, которые приводят к устойчивости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

6. Модифицирована и детально исследована трехмерная модель конкуренции двух вузов за ограниченный контингент абитуриентов.

Получены все режимы взаимного подавления одного вуза другим и взаимного их сосуществования.

7. Развита трехмерная модель взаимодействия спроса и предложения на рынке образовательных услуг за счет введения в третье уравнение этой модели логистического члена. Найдены и качественно исследованы особые точки этой модели. С помощью численных экспериментов показано наличие резких переходов с одного стационарного уровня на другой для третьей фазовой переменной.

8. В среде прикладных пакетов программ на Python разработаны алгоритмы и программы для нахождения и анализа особых точек автономных динамических систем с численным вычислением их решений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Агаркова, Е. И. Моделирование системы повышения профессионально-педагогической компетентности специалиста в условиях ИПКРО. Дис. . канд. пед. наук: 13.00.08. Тамбов, 2004. - 238 с.

2. Аллен Р.Г.Д. Математическая экономия. М.: Издательство иностранной литературы. 1963. - 666 с.

3. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-460 с.

4. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1996. - 568 с.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 487 с.

6. Арженовский C.B. Управление университетскими комплексами: математические модели и методы. Дис. . д-ра экон. наук: 08.00.13. Ростов-на-Дону, 2002.-310 с.

7. Арженовский С.В.Управление университетскими комплексами: математические модели и методы. Ростов на Дону.: Изд-во СКНЦ ВШ, 2002.

8. Арженовский С.В.Экономико-математическое моделирование системы динамики университетского комплекса // Известия вузов. Сев.- Кавк. региона. Технические Науки, 2002. Спецвыпуск. - С. 120-125.

9. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: МГУ, 1983. - 80 с.

10. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. М.: Финансы и статистка, 1985.

11. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. - 184 с.

12. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496 с.

13. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. М.: Мир, 1970. - 326 с.

14. Белоцерковский О.М., Быстрай Г.П., Цибульский В.Р. Экономическая синергетика. Вопросы устойчивости. Новосибирск: Наука, 2006. - 116 с.

15. Буланичев В.А., Серков Л.А. Синергетический подход к управлению качеством образования // Качество. Инновации. Образование. 2005. - № 3. -С. 53 -57.

16. Буланичев В.А., Серков Л.А. Функционирование предприятий как самоорганизующихся систем // Государство и рынок: VI Междунар. рос.-кит. симп. Екатеринбург, 2005. Т. 2 - С. 61 - 63.

17. Буланичев В. А., Серков Л.А. Математическое моделирование образовательных процессов // Междунар. науч. конф. «Информ.-мат. технологии в экономике, технике и образовании». 9-11 ноября 2006 г. Екатеринбург: УГТУ, 2006. С. 51 - 52.

18. Буланичев В. А., Серков Л.А. Математическое моделирование экономических систем с детерминированным хаосом // Междунар. науч. конф. «Информ.-мат. технологии в экономике, технике и образовании». 9 -11 ноября 2006 г. Екатеринбург: УГТУ, 2006. С. 49 - 50.

19. Буланичев В.А., Серков Л.А. Модельный подход к функционированию вузов как самоорганизующихся систем // Информационные технологии. -2006. № 3. - С. 68-73.

20. Буланичев В.А., Серков Л.А. Модельный подход к самоорганизующимся системам с детерминированным хаосом // Информационные технологии. -2006,-№7.-С. 48-53.

21. Буланичев В.А., Серков Л.А. Модельный подход к управлению вузами как самоорганизующимися системами // Нелинейный мир. 2006. - № 3. - С. 137- 143.

22. Буланичев В. А., Серков J1.A. Синергетическое моделирование образовательных процессов. Екатеринбург: ИЭ УрО РАН. Изд-во АМБ, 2007.-232 с.

23. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. -М.: Синтег, 1999.

24. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

25. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-286 с.

26. Воронин A.B. Циклы в задачах нелинейной макроэкономики. Харьков: ИД «ИНЖЭК», 2006. - 136 с.

27. Воронин А., Евтушенко С., Московкин В., Эллис С. Бифуркации в модели Вальрасса-Маршалла // Бизнес Информ. Харьков, 2002. - № 1-2. -С. 51-53.

28. Воронина JI., Московкин В. Предельные циклы инновационных процессов с последействием // Бизнес Информ. Харьков, 1999. - № 15-16. -С. 48-51.

29. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2-х книгах. М.: Мир, 1984. -350 с.

30. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации. М.: Мир, 1973. - 280 с.

31. Голицин Г.А. Информация и творчество: на пути к интегральной культуре. М.: Русский мир, 1997. - 341 с.

32. Грибова JI.H. Моделирование образовательной деятельности колледжа в структуре инженерно-педагогического вуза. Дис. . канд. пед. наук: 13.00.08.- Н. Новгород, 2002. 205 с.

33. Гумилев JI.H. Этногенез и биосфера Земли. М.: Танаис ДИ-ДИК, 1994.- 544 с.

34. Гуц А.К. Глобальная этносоциология. Омск: Омск. гос. ун-т, 1997. -212 с.

35. Гуц A.K. Математическая модель этногенеза // Ученый совет мат.фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 20.07.1994, № 1885-В94. - 18 с.

36. Гуц А.К., Коробицын В.В. Компьютерное моделирование этногенетических процессов // Ученый совет мат.фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 24.09.1997, № 2903-В97. - 23 с.

37. Гуц А.К., Ланин Д.А., Никитин С.Н. Математическое моделирование этногенетических процессов // Ученый совет мат.фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 21.10.1996, № 3100-В96. - 15 с.

38. Гуц А.К., Коробицын В.В., Лаптев A.A., Паутова Л.А., Фролова Ю.В. Социальные системы. Формализация и компьютерное моделирование: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. - 160 с.

39. Гуц А.К., Коробицын В.В., Лаптев A.A., Паутова Л.А., Фролова Ю.В. Математические модели социальных систем: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. - 256 с.

40. Довыдова М.В. Моделирование индивидуальных образовательных маршрутов как фактор повышения эффективности подготовки учителя технологии. Дис. . канд. пед. наук: 13.00.08. Новокузнецк, 2004. - 188 с.

41. Журавка A.B., Московкин В.М. Математическая модель роста количества инновационно ориентированных фирм // Науковий вюник буд1вництва. - Харьков, 2001. - № 15. - С.286 - 289.

42. Журавка A.B., Московкин В.М. Моделирование потоков рабочей силы на общем рынке труда двух территориальных образований // Вестник Национального технического университета «ХПИ». № 11.- 2002. - С. 31 -35.

43. Журавка A.B., Михайлов B.C., Московкин В.М. Моделирование процесса конкуренции за инвестиции (на примере СРИД г. Харькова) // Бизнес Информ. Харьков, 2004. - № 5-6. - С. 42 - 48.

44. Журавка A.B., Московкин В.М., Брук В.В. Двумерная модель конкурентных взаимодействий в экономике: теория и численные эксперименты // Автоматические системы управления и приборыавтоматики. Харьков, 2001. - № 115. - С. 98 - 103.

45. Журавка A.B., Московкин В.М., Брук В.В Двумерная модель кооперационных взаимодействий в экономике // Радиоэлектроника и информатика. Харьков, 2002. - № 1. - С. 138 - 140.

46. Зайцев B.J1. Моделирование системы управления качеством образовательного процесса в условиях инновационного образовательного учреждения. Дис. . канд. пед. наук: 13.00.08. Тамбов, 2001. - 242 с.

47. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. -М.: Мир, 1999. 336 с.

48. Иосс Ж., Джосеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. -М.: Мир, 1983.-304 с.

49. Исида К. Неравновесная термодинамика гиперциклов // Термодинамика и регуляция биологических процессов. М., 1984. - 238 с.

50. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 288 с.

51. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997. - 283 с.

52. Князева E.H., Курдюмов С.П. Основание синергетики. Синергетическое мировидение. М.: Комкнига, 2005. - 414 с.

53. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 2002. - 400 с.

54. Кондратьев Н.Д. Проблемы экономической динамики. М.: Экономика, 1989.-528 с.

55. Кузнецов Б.Л. Введение в экономическую синергетику. Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 1999. - 326 с.

56. Куклин В.Ж. Системный анализ, моделирование и управление в системе высшего профессионального образования. Дис. . д-ра. техн. наук: 05.13.14. Йошкар-Ола, 2000. - 329 с.

57. Милованов В.П. Кооперативные явления и самоорганизация в производственных и социальных коллективах // Моделирование социально-экономических процессов. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1991. - С.38 - 56.

58. Милованов В.П. Кооперативные явления и самоорганизация в ценообразовании // Вестник МГУ. Сер.6. Экономика. 1993. - № 6. - С.77 -80.

59. Милованов В.П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 264 с.

60. Милованов В.П., Пупков К.А. Качественный анализ экономического развития // Некоторые проблемы теории кибернетических систем. Труды МИЭМ. Вып.36. - М., 1973. - С.69 - 80.

61. Милованов В.П., Пупков К.А. Динамическая модель возрастающего числа научных публикаций // Тр. Всесоюзной школы-семинара по управлению большими системами (Тбилиси, 1973). Тбилиси: Мецнириеба, 1974.-С.230-237.

62. Милованов В.П., Пупков К.А. Качественный анализ динамики научных публикаций // Некоторые проблемы теории кибернетических систем. Труды МИЭМ. Вып.46. - М., 1974. - С.240 - 255.

63. Милованов В.П., Пупков К.А. Динамическая модель торговой системы // Автоматическое регулирование и управление. Под ред. Рязанова Ю.А. -Вып. 10. М., 1977. - С.64 - 67.

64. Милованов В.П., Пупков К.А. Кинетический подход к ценообразованию // Всесоюзная научно-техническая конференция «Теория систем и разработка АСУ». Тезисы докладов, Дилижан, 5-7 октября, 1979. -М., 1979. С.64 -65.

65. Милованов В.П., Пупков К.А. Динамическая модель развивающейся экономики // Материалы Всесоюзной научно-технической конференции

66. Динамическое моделирование сложных систем», 15 17 марта, 1982. -Тбилиси. -С.110- 111.

67. Милованов В.П., Пупков К.А. Интуиция как фазовый переход к решению проблемы // Автоматическое регулирование и управление. Под ред. Рязанова Ю.А. М.: ВЗМИ, 1983. - С.42 - 45.

68. Милованов В.П., Пупков К.А. Динамическая модель процесса обучения // Автоматическое регулирование и управление. Межвузовский сборник научных трудов. -М.: ВЗМИ, 1984. С.89 - 91.

69. Милованов В.П., Пупков К.А. Моделирование экономического развития // Кибернетика. 1984. - № 2. - С.87 - 92.

70. Милованов В.П., Пупков К.А., Синько В.И. Моделирование развития науки // Науковедение и информатика. Вып.23. - К.: Наукова думка, 1983. -С.34 - 42.

71. Михайлов В., Московкин В. Использование логистической кривой при оценке эффективности инновационной деятельности: фармацевтические предприятия // Бизнес Информ. Харьков, 2002. - № 9-10. - С. 50 - 52.

72. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.-487 с.

73. Московкин В.М. Моделирование процесса самоорганизации экономического пространства в условиях социально-экономического кризиса // Экономика, общество, рынок : науч. записки Харьков, ин-та упр.

74. Харьков, 1998. Вып. 3. - С. 65-67.

75. Московкин В.М. Основы концепции диффузии инноваций // Бизнес Информ. Харьков, 1998. -№ 17-18. - С. 41-48.

76. Московкин В.М. Рост национального капитала и кривая Лаффера // Бизнес Информ. Харьков, 1998. - № 13-14. - С. 25-26.

77. Московкин В.М. Конкурентные взаимодействия в стратифицированном обществе: математическое моделирование // Бизнес Информ. Харьков, 2000.-№2.-С. 36-39.

78. Московкин В.М. Математическое моделирование межэтнических конкурентных взаимодействий // Бизнес Информ. Харьков, 2000. - № 4. -С. 11 - 13.

79. Московкин В.М. Математическое моделирование динамики научных кадров // Бизнес Информ. Харьков, 2000. - № 6. - С. 9 - 10.

80. Московкин В.М. К анализу двухстрановой модели экономического роста Дирдорфа // Бизнес Информ. Харьков, 2000. - № 9-10. - С. 26 - 28.

81. Московкин В.М. Моделирование отношений мутуализма и паразитизма в общественных системах // Бизнес Информ. Харьков, 2002. - № 11-12. - С. 44-46.

82. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическая модель «треугольника знаний» // Нелинейный мир.- 2010.- № 1.- С. 29-35.

83. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Математическое моделирование спроса и предложения на рынке образовательных услуг (в печати).

84. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман. Моделирование формирования вузовских контингентов на основе уравнений популяционной динамики (в печати).

85. Московкин В.М., Билаль Н.Е. Сулейман, Кондратенко Н.Д. Математическое моделирование инновационных и научно-образовательных систем уравнениями популяционной динамики // Исследовано в России (в печати).

86. Лебедев B.B. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф, 1997.

87. Малинецкий Г.Г. Высшая школа глазами математиков // Знание сила, 1995. -№10. - С.16 - 24.

88. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997. - 322 с.

89. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

90. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А. и др. Математическое моделирование системы образования: препринт // ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1995. -№100.

91. Малинецкий Г.Г., Кащенко С.А., Потапов А.Б., Ахромеева Т.С. и др. Математическое моделирование системы образования // Синергетика и методы науки. Спб.: СпбГУ, 1998. - С.311 -355.

92. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов A.B. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. М.: КомКнига, 2006. - 280 с.

93. Малыхин В.В. Математическое моделирование экономики. М.: УРАО, 1998.- 160 с.

94. Малышенко A.B. Моделирование научно-инновационного развития вузов. Дис. . канд. экон. наук: 08.00.13. Ставрополь, 2005. - 204 с.

95. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. - 397 с.

96. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. -М.: Мир, 1983.

97. Милованов В.П. Обменные процессы: обощение понятия цены, взаимная

98. Московкин В.М., Журавка A.B. Математическое моделирование конкурентно-кооперационных взаимодействий в общественных науках // Экономическая кибернетика. Донецк, 2001. - № 3-4. - С. 46 - 51

99. Московкин В.М., Журавка A.B. Периодические решения в динамической системе третьего порядка, описывающей конкуренцию между социальными группами // Экономическая кибернетика. Донецк, 2002. -№3-4. - С. 5766.

100. Московкин В.М., Журавка A.B. Моделирование конкурентно-кооперационных взаимодействий: (контекст уравнений популяционной динамики в социально-экономических системах) // Бизнес Информ. -Харьков, 2002. № 5-6. -С. 21- 34.

101. Московкин В.М., Журавка A.B. Трехмерная модель когерентных кооперационных взаимодействий в социально-экономических системах // Економша: проблеми теорп та практики. Дншропетровськ, 2002. - Вып. 145.-С. 50-53.

102. Московкин В.М., Журавка A.B. Концептуальные проблемы социально-экономической динамики // Экономическая кибернетика. Донецк, 2003. -№ 1-2.-С. 4-7.

103. Московкин В.М., Журавка A.B. Пьер-Франсуа Верхульст забытый первооткрыватель закона логистического роста и один из основателей экономической динамики // Наука та наукознавство. - Khib, 2003. - № 2. - С. 75 - 84.

104. Московкин В.М., Журавка A.B. Связь между конкурентными моделями Курно и Стакельберга и конкурентными моделями популяционной динамики, адаптированными к рыночной экономике // Экономическая кибернетика. Донецк, 2003. - № 5-6. - С. 25 - 29.

105. Московкин В., Михайлов В. Математические основы концепции жизненного цикла в( экономике // Бизнес Информ. Харьков, 2002. - № 11-12.-С. 36-40.

106. Московкин В.М., Воронин A.B., Евтушенко С.А. Опасные режимы вдинамической модели производственно-экономической системы // Экономическая кибернетика. Донецк, 2002. - № 1-2. - С. 47 - 51.

107. Московкин В., Журавка А., Брук В. Распределение конкурентов в пространственных бизнес-системах // Бизнес Информ. Харьков, 2002. - № 9-10.-С. 52-54

108. Московкин В., Журавка А., Брук В. Модель совместной динамики занятого населения и капитала // Модели управления в рыночной экономике : сб. науч. тр. / Донецкий нац. ун-т. Донецк, 2004. - Т. 1, вып. 7. - С. 112122.

109. Московкин В., Михайлов B.C., Журавка А. Моделирование инвестиционной привлекательности секторов экономики // Бизнес Информ. -Харьков, 2004. № 9-10. - С. 24 - 27.

110. Московкин В.М., Шевченко Л.П., Журавка A.B. Математическое моделирование конкурентных взаимодействий на общих рынках труда и капитала // Экономическая кибернетика. Донецк, 2001. - № 5-6. - С. 31 -36.

111. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

112. Наумова C.B. Модели и методы автоматизированного синтеза учебных планов высшего образования. Дис. . канд. техн. наук: 05.13.18., 05.11.16 -Саратов, 2005.- 125 с.

113. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979.-512 с.

114. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного: Введение. М., 1990. -342 с.

115. Одум Ю. Экология: в 2-х томах. Т.2. М.: Мир, 1986. - 376 с.

116. Парсонс Т. Функциональная теория изменения // Американская социологическая мысль. М.: Изд-во МГУ, 1994. - С.464 - 480.

117. Парсонс Т. Система координат действия и общая теория систем действия: культура, личность и место социальных систем // Американская социологическая мысль. М.: Изд-во МГУ, 1994. - С.448 - 464.

118. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. -М.: Логос, 1998.

119. Повещенко Г., Чеховий Ю. Про модель еволюци продуктивних сил суспшьства // I Укра'шська конференщя з автоматичного керування «Автоматика-94». К., 1994. - С. 312.

120. Повещенко Г., Чеховий Ю. Моделювання динамки спшьних процес1в // Сучасш шформацшш технологй' та системний анал1з шлях до шформацшного суспшьства. - К., 1998. - С. 63 - 70.

121. Повещенко Г., Чеховой Ю. Математическая модель структурной эволюции общественных производительных сил // Социология: теория, методы, маркетинг. К., 2001. - № 3 - С. 41 - 59.

122. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.-607 с.

123. Прасолов A.B. Математическая модель взаимодействия фирм как инструмент корпоративного управления // Известия С.-Пб. Университета экономики и финансов. 2001. - № 2. - С. 32-47.

124. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. - 127 с.

125. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986. - 431 с.

126. Присняков В.Ф. Нестационарная макроэкономика: Учебное пособие. -Донецк: ДонНУ, 2000. 209 с.

127. Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики / отв. Ред. A.A. Акаев, A.B. Коратаев, Г.Г. Малинецкий. М. : Изд-во ЛКИ, 2010.-352 с.

128. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. М., Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. - 198 с.

129. Пугачева Е.Г., Соловьенко К.Н. Самоорганизация социально-экономических систем: учеб. пособие. Иркутск: БГУЭП, 2003. - 172 с.

130. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М: Наука, 1984.-432 с.

131. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974. - 318 с.

132. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в эконофизику. Статистические и динамические модели. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. - 280 с.

133. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Что такое математическая биофизика (Кинетические модели в биофизике). М.: Просвещение, 1971. - 136 с.

134. Самарский А. А., Курдюмов С.П. Парадоксы многовариантного нелинейного мира вокруг нас // Гипотезы. Прогнозы. Будущее науки. Международный ежедневник. 1989. № 22 - С.8 - 29.

135. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. - 368 с.

136. Серков Л.А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург: ИЭУрО РАН; Изд-во АМБ, 2008. -216с.

137. Синько В.И., Милованов В.П., Пупков К.А. Динамика материально-технического снабжения и качество продукции // Оптимальные решения в снабжении. ЦЭМП АН СССР М., 1979. - С.86 - 100.

138. Смит Дж. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. - 184 с.

139. Солодова Е.А. Математическая модель интуиции // НТИ. Сер.2. Информационные процессы и системы. 1999. - № 4 - С.28 - 32.

140. Солодова Е.А., Антонов Ю.П. Нелинейные модели в образовании // Нелинейный мир. 2005. - № 3 - С. 193 - 201.

141. Стриханов М.Н., Трубецков Д.И. и др. Высшая школа с позиций нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2007. - 192 с.

142. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 240 с.

143. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2000. - 391 с.

144. Форрестер Дж. Динамика развития городов.- М.: Прогресс, 1974.

145. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.:Наука,1978.

146. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: КомКнига, 2005. - 248 с.

147. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 404 с.

148. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах М.: Мир, 1985. - 419 с.

149. Хейр П. Концептуальные вопросы в анализе высшего образования применительно к России // Экономика и математические методы. 1997. -Т.ЗЗ, Вып. 1.-С.92- 111.

150. Хмелько В. Концептуальная модель структуры и динамики процессов общественного производства жизни // Математическое моделирование социальных процессов. -М., 1989.

151. Хмелько В. Общественное производство жизни: структура процессов и ее динамика // Общественные науки. 1987. - № 2.

152. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985. 284 с.

153. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. М.: Эдиториал УРСС, 2004. - 288 с.

154. Чернова Н.Ю. Моделирование системы довузовской подготовки в профессионально-педагогическом вузе. Дис. . канд. пед. наук: 13.00.08. -Н. Новгород, 2004.- 173 с.

155. Шильке Я. Л. Математические и программные средства для стратегического позиционирования образовательных объектов. Дис. . канд. техн. наук: 05.13.18. Иркутск, 2002.- 163 с.

156. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с ее приложениями. М.: Мир, 1986. - 243 с.

157. Яблонский А.И. Математические модели в исследовании науки. М.: Мысль, 1986.

158. Arrow К. J., Intriligator M.D. Handbook of Mathematical Economics (Vol. 1). North Holland, Amsterdam. - 1981.

159. Bartholomew D.J. // Can. J. Statistics. 1984. - Vol. 12. - P. 39.

160. Bartholomew D.J. // J. Math. Sociol. 1976. - Vol. 4. - P. 187.

161. Bartholomew D.J. Stochastic models for social processes. Chichester: Wiley (third edition), 1982.

162. Bartholomew D.J, Forbes A.F, Mellean S.I. Statistical Techniques for Manpower Planning. Chichester: Wiley (second edition), 1991.

163. Batten D.F. Introduction. Economic Dynamics // New mathematical advances in economic dynamics / By edition Batten D.F., Lesse P.F. New York University Press, 1985.-P. 1 - 12.

164. Baumol W.J. Economic Dynamics. London: Macmillan, 1970.

165. Gause G.F. Experimental studies of the struggle for existence // J. Exp. Biol. -1932. Vol. 9, № 4. - P. 389 - 402.

166. Gause G.F. The struggle for existence. Baltimore: Williams and Wilkins, 1934.- 163 p.

167. Gilpin M.E., Justice K.E. Reinterpretation of the invalidation of the principle of competitive exclusion // Nature. 1972. - Vol. 236. - P. 273 - 301.

168. Goh B.S. Stability in models of mutualism // The American Naturalist. -1979. Vol. 113, № 2. - P. 261 - 274.

169. Gondolfo G. Economic Dynamics. Berlin, New-York: Springer-Verlag. -1997.-599 p.

170. Hardin G. The competitive exclusion principle // Science. 1960. - Vol. 131. -P. 1292- 1297.

171. Lack D. Darwin's Finches. London: Cambridge University Press, 1947.

172. Lorenz E.N. Deterministic Non-periodic Flow // Journal of the Atmospheric

173. Sciences. 1963. - Vol. 20. - P. 130.

174. Lotka A.J. Elements of Physical Biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925.

175. Lu Z., Takeuchi Y. Qualitative Stability and Global Stability for Lotka-Volterra Systems // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1994. - Vol. 182, № l.-P. 260-268.

176. Makarov V.L., Rubinov A.M. Mathematical Theory of Economic Dynamics and Equilibria. New York: Springer - Verlag, 1977.

177. May R.M. Model Ecosystems. Princeton: U.P. - 1973.

178. May R.M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics // Nature. 1976. - Vol. 261. - P. 459 - 467.

179. Medio A. Nonlinear dynamics. A Primer. Cambridge: Cambridge University Press. - 2001. - 300 p.

180. Takeuchi Yasuhiro, Karmeshu. Dynamic model of three competing social groups // Int. J. Systems Sei. 1989. - Vol. 20, № 11. - P. 2125 - 2137.

181. Verthulst P.-F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement // Correspondence Mathématique et Physique. Bruxelles, 1838. - Tome 10. - P. 113-121.

182. Verthulst P.-F. Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population // Nouveaux Momoires de l'Academie Royale des Sciences et Belles Lettres de Bruxelles, 1845. № 18. - P. 1 - 38.

183. Vollterra V. Variazioni e fluttuazioni del numéro d'individui in specie animali conviventi. «Men. Acad. Lincei», 1926. -1. 2.

184. Vollterra V. Leçons sur la theorie mathématique de la lutte pour la vie. Paris, 1931.

185. Weidlich W. The Statistical Description of Polarization Phenomena in Society // British Journal of Mathematical and Statistical Psychology. 1971. - V. 24.

186. Weidlich W. Stability and cyclity in social systems // Behavioral Science. -1988.-№. 33.-P. 241.