автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Самосборка линейных цепей

На правах рукописи

ГРОМИК АННА СЕРГЕЕВНА САМОСБОРКА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Специальность: 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2008

003451306

Работа выполнена на кафедре «Теории управления и динамики машин» Нижегородского государственного университета имени Н.И. Лобачевского

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Тай Макс Лазаревич

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Хентов Анатолий Аронович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Шалфеев Владимир Дмитриевич,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Леонтович Андрей Михайлович

Ведущая организация Институт прикладной физики

Российской Академии Наук

Защита состоится « j3 » 2008 г. в часов

на заседании Диссертационного Совета Д 212.166.13 при Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, пр.Гагарина, д.23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского Государственного Университета им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан « -//» 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математичерких наук,

доцент / 1-у Савельев Владимир Петрович

Общая характеристика работы Цели л задачи исследования. Объектом исследования диссертационной работы являлось исследование многокомпонентных динамических систем, описывающих различные процессы самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями.

В соответствии с поставленной целью, предметом рассмотрения в диссертационной работе являлись:

• математическое описание марковского процесса самосборки линейных цепей при наличии двух типов ограничителей роста цепей;

• математическое описание процессов самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл»;

• исследование соответствующих математических моделей, являющихся нелинейными системами дифференциальных уравнений первого порядка, с помощью методов теории устойчивости и теории нелинейных колебаний;

• разделение моделей самосборки линейных цепей на классы устойчивых и неустойчивых и определение «природы» возникающей неустойчивости состояний равновесия;

• связь моделей самосборки линейных цепей с реальными процессами в развивающихся системах, с целью определения механизмов, порождающих характерные особенности в этих процессах.

Краткая история развития объекта исследования.

Математическая модель процессов самосборки была предложена в 1975 году Леонтовичем A.M. в связи с анализом процессов самосборки вирусов, обнаруженной экспериментально. В основе предложенной им модели использовался кинетический подход, широко применяемый в химической кинетике. Далее, в 1979 году, на основе того же кинетического подхода Таем M.JI. была предложена и исследована стохастическая модель марковского процесса самосборки линейных цепей. Под «марковским процессом» понимается, процесс, в котором все взаимодействия между элементами происходят независимо от состояния процесса. Затем, Иржаком В.И. и Таем М.Л., была исследована модель самосборки линейных цепей из элементов одного типа и найден аттрактор соответствующей динамической системы.

\1>

В 1989 году Таем М.Л. была предложена модель самосборки с объемными взаимодействиями, в частности, исследовалась модель самосборки отрезков с объемными взаимодействиями. Такие процессы самосборки построены для того, чтобы понять роль достаточно сложных взаимных влияний между компонентами, при которых элементы самосборки способны реагировать на состояние процесса и оказывать воздействие на другие элементы и компоненты. Были получены условия устойчивости и единственности состояния равновесия на интегральном многообразии, а также условия возникновения неустойчивости состояния равновесия и концентрационных автоколебаний.

Актуальность темы исследования обусловлена применимостью математической модели самосборки линейных цепей для описания процессов сополимеризации в химии. Результаты, полученные в ходе исследования динамики многомерных нелинейных динамических систем, также могут иметь самостоятельное значение и быть использованы при анализе других многокомпонентных систем.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые исследован марковский процесс самосборки линейных цепей из п элементов с новым видом элементов, предложенных и названных автором «ограничителями роста». Для динамической системы, описывающей процесс самосборки линейных цепей с ограничителями роста, впервые доказано существование п(п+2)- мерного интегрального многообразия и приведена его статистическая интерпретация.

Впервые исследованы процессы самосборки линейных цепей из двух типов элементов с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл». Для соответствующих динамических систем были найдены условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия.

Общие методы исследования. Методическую и теоретическую базу диссертационной работы составляют подходы и принципы синергетики, методы теории устойчивости и теории нелинейных колебаний, а также ряд ранее выполненных работ, связанных с моделированием процессов самоорганизации.

При выполнении исследования автор опирался на теоретические результаты отечественных и зарубежных ученых. Здесь, прежде всего, следует отметить работы Иржака В.И., Кучанова С.И., Леонтовича

A.M., Николиса Г., Пригожина И.Р., Тая M.JI., Эйгена М., Шустера П., Флори П. и др.

Достоверность полученных результатов обеспечивается теоретическими положениями, результатами численных экспериментов на ЭВМ, привлечением широкого круга научных работ отечественных и зарубежных исследователей. Все научные положения и выводы диссертационной работы сформулированы в виде теорем и строго математически обоснованны.

Теоретическая и практическая ценность работы. Построенные модели самосборки линейных цепей могут быть использованы в химии как математические модели процессов сополимеризации и процессов с ограничением роста полимерной цепи. Полученные условия устойчивости и единственности состояний равновесия и условия возникновения неустойчивости могут помочь понять закономерности наличия гомеостазиса (условия сохранения устойчивости) и появления неустойчивости в развивающихся системах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах (в том числе 3 статьях, 1 из которых опубликована в научных журналах, рекомендованных ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2000 г.), X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2003 г.), VII Нижегородской сессии молодых ученых (Саров, 2002 г.).

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы разбиты на пункты и подпункты. Объем диссертации составляет 112 страниц (не включая списка литературы и приложения). Библиографический список включает 100 наименований.

Содержание и основные результаты диссертации

Во введении описывается краткая история объекта исследования и современное состояние проблемы, определяются цели и задачи исследования, обосновывается их актуальность.

Первая глава носит вспомогательный характер: !•> ней изложены сведения, необходимые в ходе дальнейшего исследования. Здесь изложено общее представление о самосборке, а также описывается общий кинетический подход для построения математических моделей процессов самосборки. Также кратко излагаются основные результаты, известные для самосборки линейных цепей.

Процесс самосборки линейных цепей предполагает наличие «достаточного» числа копий элемента одного или нескольких типов, способных образовывать две связи с любыми двумя другими элементами данных типов, включая элементы того же типа. Будем предполагать, что у нас есть п типов элементов, участвующих в самосборке. После образования связи между элементами появляются компоненты или линейные цепи из двух звеньев, составленные из этих элементов. Эти цепи, в дальнейшем при взаимодействии с другими элементами, могут расти до сколь угодно длинных цепей. Последнее предположение о возможности образования бесконечно длинных цепей противоречит тому, что общее число копий элементов всегда ограниченно, хотя и может быть очень большим. Зато это предположение упрощает описание и анализ модели, т.к. позволяет рассматривать соединения цепей независимо от того, сколько в них элементов. Кроме того, предельный переход от конечного к бесконечно большому является известным математическим приемом, широко используемом в различных прикладных задачах.

Будем предполагать, что образовавшиеся связи между элементами цепи не являются «вечными», и при самосборке возможны разрывы в цепях. Это предположение недопустимо для биополимеров таких как ДНК и РНК, но является справедливым для химических полимеров. Однако, если в полученной для химических полимеров модели принять параметры, описывающие разрывы в цепях, равными нулю, то получившаяся модель будет актуальна и для описания биополимеров.

Образования и разрывы связей между элементами в цепях будем считать единственными взаимодействиями, возможными при самосборке линейных цепей, и будем описывать их с помощью интенсивностей образования и разрыва связей. Интенсивности образования и разрыва связей являются неким аналогом скоростей реакций в химических моделях.

Вторая, третья и четвертая глава содержат основные результаты диссертация.

Во второй главе исследуется динамика марковского процесса самосборки линейных цепей из элементов 1, 2, ..., н типов при наличии ограничителей роста двух типов.

В пункте 2.1 дается представление об ограничителях роста. Под «ограничителями роста» понимаются элементы, способные «закрыть» линейную цепь с левого или с правого конца, таким образом, делая её неактивным к дальнейшему образованию связей на этом конце. В реальных процессах гомо и сополимеризации ограничителями могут выступать молекулы, с одновалентными или «неисправными», в силу каких-то обстоятельств, связями.

В исследуемой модели самосборки предполагается, что ограничители бывают двух типов: элементы первого п+1 типа могут образовывать одну связь с любым элементом из первых п типов справа, а элементы п+2 типа - слева. Элементы п+1 и п+2 типа будем называть ограничителями цепи слева и справа соответственно

В пункте 2.2 с помощью кинетического подхода, описанного в 1 главе, строится математическая модель процесса самосборки, которая представляет собой счетную систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Переменными такой системы являются концентра\\ии всевозможных компонент, которые могут образовываться при самосборке из элементов 1,2, ..., п типов.

- Р)р{1, ) а[,..., а ■ ) ]

хЦ,у)= I [x(t,aj,...,aj,y)q(t,aj,y)-а[ ■

- л-(/, а{,..., а ■ )р(1, а ■, у)хЦ, /)]

СО

аг,-) = I I {М',А,...,а/) + х{1,а-х_к,...,«;))#,,щ)-

к-1 а. ,,.. .

1-к 1-Х

- (л(г, а^«/_]) + х(1. /?, а^,..., а,_ \))/;(/, а/_ ], а/ )л(/,«/)} +

оо

+ Z X {(x(t,ah...,aj+m) + x(t,ah...,aj+m,y) )q(t, aha¡+])-m=1 a a

-x(t,a¡)p(t,ahai+i)( x(t,al+h...,ai+m) + x(t,aj+h...,ai+m,y))} + + Ж A МЛ /?, ) - x(t, ß)p{t, /?, а, ).г(/, or; ) + x(t, o£j, y)q(t, a¡, у) --x(t,aj)p(t,ahy)x(t,y)

00

x(t,aj,...,aj)= I £ { 0(7,/?, -

a. , .

/-1

+ x(t, ß, a¡_k,..., cci_\) )p(t, «/-i, a i )x(t, a¡,...,aj)} + + x(t, Да/,...,aj)q(t,ß,a¡) - x(t,ß)p(t,ß,a¡)x(t,a¡,...,aj) +

00

+ I S {(x(t,ai,...,aj+m) + x(t,ai,...,ccj+m,y) )*

«7=1 a . , ,...,a . , j +1 j+.m

*q(t,aj,aj+])-x(t,ai,...,cij)p(tiaj,aj+i)( +

+aj +i,...,aj +m,y))} + x(t, ah...,aj,y)q(t,a¡,y)-x(t,ah...,ccj)* 7-1

* PÜ, ocj, y)x(t, /)+]£{ ah...,as )p{t, as,as+\) x(t, as+b...,aj)-s=i

-x(t,ah...,aj)q{t,as,as+x)} x(t, ß,ai,...,aj) = x(t, ß)p(t, ß, cc¡)x(t, ah...,ccj)-

00

-x(t,ß,ai,...,aj)q(t,ß,cci)+ £ £ {(x(Y,/?

m=0 aH,...,arm

+ x(t,ß,ai,...,aj+m,y))q{aj,aj+x)-x{t,ß,ai,...,aj)* *p{t,aj,aJ+])(x{t,aj+h...,aj+m) + x{t,aJ+h...,aj+m,y))} +

+ а],у)д(1,а],у) -х{1,Да1,...,а]),/)х(7,+

У-1

оо

+х(/, Д ,...,а],у) агм ,«,•)-( х(/, ,..., ) + + х(/, Д ,..ам) )р0, ам, щ )х(1, щ,..., а},/)} + +х(7, а,-,..., а] )р{1, а], /)х(/, - а,-,..., агу, у)дЦ, а], /) + + х(/, Д а,, Д ОС}) - х(1, Р)р(1, р, щ )х(1, аь...,а],у) + 7-1

¿=1

- х(7, щ,..., Оу, У)ц(1, а$, )}

х(7, Д аа]-, у) = х(7, Д)р(/,Д щ )х(7, а{,...,а},у)-

- х(1. Да,-,..., а]-, р, а]) + х(/, р

7-1

- Р,щ,..., а], «у,/) + ]£{ х(7, р

* х(/, х(7, Р,аь..., «у, , )}

=\,...,п /,у = 1,2,3,... (1.1),

п п п

где ^ обозначает кратное суммирование ^ ^ • • • ^ . Аналогично, расшифровывается обозначение ^

Система (3.1) определяет оператор динамической системы, который действует на фазовом пространстве:

Ф - > л-( /.а,), х( t,ß ), х( t, у), л"( /.¿7, ), х( t.

ßMi,...,aj). х( t, (Zi,...Mj,y), х( t, ß.a,- ,...,а j,y) :x(t,a,),

x(t,ß),x(t, y), x(t,aj ,...,(Xj), x(t, ß,ah...,aj),x(t, а(,...,а j,y),

x(t, ß,ah...,aj,y)>0, ak= 1,2,..,n,i<k<j} (1.2).

Условие неотрицательности вытекает из физического смысла концентраций цепей. При t = О это требование накладывает ограничение на необходимые для решения системы (1.1) начальные условия:

х(0, ai,...,aJ) = r(ai,...,aJ)>0,

0 , Д0Г/,...,0Гу) = г( ß,cci,...,aj)>0, х(0, ah...,aj,y) = r(af,...,aj,y)>0, х( О, ß,a,- ,...,aj,y) = r(ß,aj ,...,ccj,y)>0, x(0, a,) = r(«,)>0, x(0,ß) = x{ß)>0, x(0 , y) = r{y)>V ak= 1,2,.. ,n,i<k<J (1.3).

В пункте 2.3 для полученной динамической системы (1.1) доказываются два утверждения.

Утверждение 1.1. Все решения системы уравнений (1), удовлетворяющие начальным условиям (1.3), неотрицательны при всех t > О .

Это утверждение описывает свойство переменных динамической системы, которым должны обладать «реальные» концентрации линейных цепей.

Утверждение 1.2. Система (1.1) имеет систему (п + 2) первых интегралов:

СО

x(1,ß)+ S X {x(t,ß,ah...,ai+m)+x{t,ß,ah...,ai+m,y)} = D(ß) Н!=0 ah...,ai+m

00

k=0 аг,-

X X X X ..,ai+m) +

+ а,-,..ai+m, у) + x(t, ß, а,_к ,...,ai+m, у)} = Д а,-),

ОТ/ =1,...,и (1.4),

где

00

Д/?) = х(0, ß)+Yu Z{ А «/>■•■ > а/+1н) ß^,..., ai+m, /)} '"=0 .....

00

Ду) = А-(0, у) + £ £ {«/-* .•■■.«/»/)+*(0, ß, а ¡-к, •.., а,-, у)}

к=О

00 00 к=0 ai_t,...,ai_l т=0

+ х(0, ß,ai_k,...,ai+m) + х(0, ,...,«/+,„, у) + (1.5)

+ х(0 ,ß,ai_k,...,ai+m,y)}

являются общими концентрациями элементов каждого типа 1,2,..,/? + + 2 во всех цепях в начальный момент времени.

Это утверждение также имеет ясный физический смысл и выражает сохранение концентраций каждого элемента в процессе самосборки.

В пункте 2.4 в качестве новых переменных вводятся концентрации блоков связей, которые представляют собой общую концентрацию всевозможных цепей, содержащих связанные между собой элементы , ам ,...,<Zj в момент времени /.

00 00

y(t,ai,...Mj)='Yd X X Yd№>ai-k>-><Xj+m) +

k=0 а,, ...a!_l т=О arj+1 +х(/, ß,a,_k,..., аJ+m) + х(/, cxj_k ,...,aj +,„, у)+x(t, ß, ,...Mj +т, у)}

yitjMi,.. .,CCj)= Y, •Mj+m,y)}

m-0 « ^ ...aj Im

00

¿=0 or/Ht...aM

y(t,p,ah...,aj,Y) = x(t,p,ai...aj ,?0

ak=\,2,..,n, i<k<j (1.6).

Утверждение 1.3. Состояния процесса самосборки цепей X (t), описанного с помощью концентраций компонент, и процесса изменения связей между элементами Y (t) взаимооднозначно определяют друг друга при всех t > О .

В пункте 2.5 при помощи введенных переменных строится новая математическая модель, также представляющая собой счетную нелинейную систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема 1.1. Процесс изменения концентраций связей между элементами в процессе самосборки линейных цепей с двумя ограничителями описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Н

y{t, аь..aj ) = £{jv (t, ah..as )p(as, as+l )yl (t, as+h...,aj)-

s=i

-g(as,as+l)yit,ah...,aj)}

n

y(t,/3,ah...,aj) = (D{(3) - £y{t,/3,at))p(j3,щ)уг(t,аь...,а

a=\

j-1

- q(J3, at )y(t, p,ah...,<Xj)+Y,{yr fi,ah...,as )p(as, as+i) *

s=i

*yi(t> ois+i,...,aj)-q(as,as+, )y(t, P,ah...,a ¡))

y(t, ah...,aj,y) = yr(t,ai,..„ a ¡ )p(a¡, y)(D(y) - a¡, y) ) -

a=\

Я

- qißi, 7)y(t, «/, • • •, aj, y) + Y,{У#• С > a¡,..., as )p{as, as+x ) *

s=i

* У l(t,as+a j ,y)-q(as, as+l )y(t, ah...,a j,y)}

n

y(t,ß,ah...,(Xj,y) = (Diß)- J^yQ,Дa¡))p(ß,a¡)y¡(,t,ah...,aj,y)-

a=\

- q(ß, a¡ )y(t, Да,-,..., ccj ,y)+yr (/, ß,ah..., a¡ )p(aj, y)(D(y) -n j-1

a i,Y))~ q(a¡, Y)y(.t, ß,ai,...,aj,y)+YJ{yr (Л ß,ah...,as)'

a~\ s=i

* PÍas • as+1 )>7 С» «i+l » • ••»«;» /) - > «5+1 M'» ß,cch...,aj,y)}

ah...,aj =1,...,и /,у = 1,2,3,... (1.7), где

n

y¡( и a¡ V, «,) = X t, 04 V, - X «M ,---,aj)-y(t,ß,al,.., a,)

,=1 «

>V(í, a/,», ccj) = y(U Cd,.., а]) - ^ Я'.«/.....«y, /)

«v+i=i

>'/( t,ß, a,,.., a¡) =>'(/,ß, a,,.., aj)

n

yr ( /, ß, a,,.., cç) = X t, Д or,,.., cç) - 2 ,y(ß> ai >■ ■ • » ) - X f, ß, a,

aJ+1=1

V, «у, Г)

n

y{ t, а,, ;/) = X t, a,,.., ap у) - £ ,...,ctj ,y)-y{t, ß, a¡

агм = 1

V, О,, Г)

>v( t, a,,.., ap y) = y(t,a¡,.., ap y) (1.8).

Концентрации у,( t, а,,.., а;■), y¡( t, Д a,,.., a), у>\ U а,,.., а,, у) и yr ( t, а, ,.., a¡), y,{t, p,a¡ ,.., a¡). y,{ t, a¡ ,.., <x, у) выражают общие концентрации последовательно связанных элементов, находящихся соответственно на левом или на правом конце линейных цепей в момент времени t.

Система (1.7) существенно отличается от (1.1) тем, что в правых частях каждого ее уравнения содержится только конечное число слагаемых. Кроме того, введенные в качестве переменных концентрации связей и блоков связей не только упрощают запись системы, но и позволяют «наглядно» описать структуру возникновения связей между элементами в процессе самосборки линейных цепей.

Теорема 1.2. Решения системы (1.7) представляются в квадратурах через решения системы

п

y(t,a¡,ai+]) = (D(a¡)~ ^y(t,a¡,ai+l)-y(í,ai,y))p(aha¡+l)x

«i+1=1

n

x (D(a¡+1) - ) - Ж A a,)) - q(aj,ai+l )y(t,ahai+l)

a¡ =1

y(t,ß,ai) = (D{ß)-fjy{t,ß,ai))p{ß,ai){D{ai)- ¿ Ж aM, a,) -a,=1 Q,,-i=1

- y(t, Д a¡)) - q(ß, a¡ )y(t, Д a¡)

n

y(t,a¡, y) = (D(a¡) - £ y(t, a¿, aM) - y(t, a¡,y))p(a¡, y)(D(y) -aIM =1

n

- Y, y(t, a¡, y)) - q(a¡, y)y(t, a¡, y) a,= 1

11 n

y(t,ß,ahy) = (D(ß)- £y(t,ß,a¡))p(ß,a¡)(y(t,a¡,/)- £y(t,arM,a¡,y)-

a= 1 a,.,=l

n

- y(t, ß, a ¡,/)) + (y(t, ß, ai)- £ >>(/, Д a,, aí+1) ■- Ж Д , 7) )p(a¡, Г) *

H

* (Д?') - 2>(A Щ. у) ) - (q(ß, а, ) + q(ai, y))y{t, Д at,

or =1

«/.«,■+1=1,...,»» / = 1,2,3,... (1.9).

В пункте 2.6 для системы (1.7), описывающей изменение концентрации блоков связей, доказывается существование н(н + 2)-мерного интегрального многообразия.

Теорема 1.3. Динамическая система, оператор которой определяется системой уравнений (7), имеет п(п + 2) мерное интегральное многообразие

y(t,ah...,ai+k) = Wn^^r0

y(t,a„...,al+k,y)=y{t,ai+k,y) Д nf ,

t=7 D(as)

y(t,ß,ait...,ai+k,y) = a

= y(t,ß,<Xi)y(f,ai+k'ß) 'гт'

Ж«**) Ц Ж«,)

ai'—>ai+k =h—,n i,k = 1,2, 3,... (1.10)

в фазовом пространстве (1.2).

В пункте 2.1 дается статистическая интерпретация найденного интегрального многообразия, а именно: вид найденного многообразия выражает условие независимости связей между взаимодействующими в самосборке элементами, и эта независимость будет сохраняться, если она имеет место в начальный момент времени.

В третьей главе исследуются процессы самосборки линейных направленных и ненаправленных цепей из элементов двух типов с «конкуренцией» между концентрациями связей.

В пункте 3.1 дается представление о конкуренции в линейных цепях и рассматриваются ее типы в самосборке линейных цепей.

15

Под конкуренцией в линейных цепях, будем понимать такой тип взаимодействий между элементами самосборки, при котором:

- интенсивность разрыва связей между элементами одной или нескольких компонент линейно зависит от концентрации других компонент

и/или

- интенсивность образования одной или нескольких компонент линейно зависит от концентрации этой (этих) компонент.

Термин конкуренция был введен из-за схожести процесса самосборки с рассмотренным выше типом взаимодействий - с математическими моделями естественного отбора. Действительно, если рассматривать компоненты самосборки как плотность различных видов популяций, а общую концентрацию элементов самосборки - как пищу этих популяций, тогда процесс самосборки с • конкуренцией между компонентами будет описывать модель сосуществования нескольких видов, проживающих в одном замкнутом ареале и питающихся одним типом пищи.

Отметим также, что второе условие существования конкуренции в самосборке сродни условию автокатализа, которое заключается в том, что константа скорости появления некоторого вещества увеличивается при увеличении концентрации этого вещества в химической реакции.

Два различных условия существования конкуренции в самосборке дает два различных способа ее моделирования - через интенсивности разрыва и через интенсивности образования связей между элементами.

Отметим, что конкуренция является одним из видов объемных взаимодействий, но отдельное ее исследование позволяет наглядно интерпретировать получаемее результаты.

В пункте 3.2 исследуется влияние конкуренции между гомо и гетеросвязями на самосборку ненаправленных линейных цепей из двух компонент.

Под самосборкой ненаправленных линейных цепей понимают такой процесс самосборки цепей, при исследовании которого не важно в какую сторону направлена связь. Иными словами, компоненты вида (1, 2) и вида (2,1) считаются одинаковыми. Если направление связи

важно для исследования, то тогда процесс самосборки цепей называют процессом самосборки с направленными линейными цепями.

Гомосвязью будем называть связь между элементами одного и того же типа, а связь между элементами разных типов будем называть - гетеросвязыо. Подобная терминология используется и в химии: например, связи между одинаково и разноименно заряженными ионами, называют гомо и гетерополярными.

Модель марковского процесса самосборки линейных цепей, как было сказано выше, была предложена и исследована Таем М.Л. Им же было найдено интегральное многообразие. В диссертационной работе рассматривается модель самосборки линейных цепей уже с объемными взаимодействиями, но для моделирования таких взаимодействий в рамках уже существующей математической модели достаточно лишь изменить вид интенсивностей образования и разрывов связей. Поэтому, дальнейшее исследование динамики этого процесса будем проводить на найденном для этой модели интегральном многообразии.

В этом случае процесс самосборки линейных цепей в фазовом пространстве

ф= {(ЛЬЛ2»>22):°< УП +У12 < А>0<Л 2 +^22 < 5 (2Л)

будет описываться с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:

УП =(А ~УП ~Уи)2Р\\^ + а\\У\\)-с1\\0' + Р\2У\2)У\\ У12 =(П\-У\\-У\2)(02-У\2-У22)Р\2(1 + аПУ\2)-

-4120 + А1Л1 +Р22У22)У\2 У22 <В2 ~У\2-У22)2 Р22(1 + а22У22)~<122(1 + Р\2У\2)У22

где константы рп, рп, р22, «1Ь «12 > а22 >0> 9ц» <1и> #22'

Р\\> Р\2 > Рп >0-

Теорема 2.1: Если выполняются равенства

/?р

А ап = а12 =а22 =а, /?п = -^ = Р22 = Р>

Р\\ =Р\2 =Р22 =Р> Ч\\=Я\2=Ч22=Я

то у системы (2.2) в фазовом пространстве (1.2) существует

--------л - О

симметричное состояние равновесия (У, У, У), где 0 < < —,

которое будет устойчивым, если

и неустойчивым при нарушении условия (2.4).

Условия (2.4) автоматически выполнятся при а = О или Р = О, и, следовательно, в случае, когда выполнено лишь одно из условий конкуренции. При выполнении обоих условий конкуренции возможно нарушение устойчивости состояния равновесия в том случае, когда коэффициенты а и {3 достаточно велики.

Итак, аналитически получили, что для возникновения неустойчивости в процессе соперничества между гомо и гетерополимерными структурами необходима достаточно «сильная» конкуренция, выраженная и через интенсивности образования и через интенсивности разрыва связей.

В пункте 3.3 исследуется влияние конкуренции между гомо и гетеросвязями на самосборку направленных линейных цепей из двух компонент и получены схожие с предыдущей моделью результаты.

В этом случае процесс самосборки линейных цепей в фазовом пространстве

(л ь У\ЪУ2ЬУ22)-0 < У\ 1 + л 2' У\ 1 +У2\ < А.0 < Уп +^22;

описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

ар <

(2-4),

У21+У22 <02)

(2.5)

У\ 1 = С- у\ 1 - У\2 X А -у\\-У2\)Р\\(1+а\\Уи)-

+ Р\2У\2+ Р2\У2\)У\\ У\2 =(А -У\\-У\г)(1>1-У\2-У22)Р\2^ + а\2У\2)--912(1 + Р\\У\\+ Р22У22)У\2

у2\ = (А> ->'21 ~У22)(°1 ->'11 -У2\)Р2\^+а2\У2\)~ -#^0 + /?!1>'П +Р22>'22)У2\

(2.6),

У22 = (А> ~У2\ ->'22X^2 ~У\2 ~У22)Р22^ + а22У22)~ -422^- + Р\2У\2 +Р2\У2\)У22

где константы ри, рп, Р2\, Р22> «1 1 > «12' «21» «22 >0' #11'

#12' #21' #22' Р\Ь Р\2' /?2Ь Р22 >0-

Теорема 2.2: Если выполняются равенства

£\=1)2=А «п =«12 =«21 =«22 =«' Р\\=Р\2=Р2\=Р22=Р>

Р1\=Р\2 = Р22 =Р2\ =Р> Яп=Я\2 = #22 =^21 = 4

(2.7),

то у системы (2.6) в фазовом пространстве (2.5) существует симметричное состояние равновесия (у, у, у, у), где 0 <у< — , которое будет устойчивым, если

аР < (2-8),

2.У

и неустойчивым при нарушении условия (2.8). Теорема 2.3: Если выполняются равенства

А = 1)2 =£>, ап =а22 =«!, «12 =«21 = «2' Рп =Р22 =«1> /?12 = /?21 =02>

Р\\ =Р21 =Р\> Р\2 =Р21 ~ Р2' #11 =#22 =#1' #12 =#21 =#2

(2.9),

то у системы (2.6) в фазовом пространстве (2.5) существует квазисимметричное состояние равновесия , у-,, у2 , У\), где

0 < V, + у2 <Э.

В пункте 3.4 исследуется влияние конкуренции за направление на динамику самосборки направленных линейных цепей из элементов двух типов.

Под «конкуренцией за направление» будем понимать конкуренцию между концентрациями гетеросвязей уп{/) и уц(0. Образно еще можно назвать конкуренцией между «правшами» и «левшами».

В этом случае процесс самосборки линейных цепей в фазовом пространстве (2.5) описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

- ¿11 =(А -УП-УиХ^-Уи -У2\)Р\\~Ч\\У\\ ¿12 =(А~У\ 1 ~У\2)^2 ~У\2 -У22)Р\2^ + а\2У\2)~

-<1\2У\2^ + Р2\У2\) ¿21 <П2-У2\-У22)(В\-У\\-У2\)Р2\(Х + а2\У2\)-

-Ч2\У2\^ + Р\2У\2) У22 =(&2 -У21 -У22)(В2~У\2 ~ У22)Р22 ~ Я22У~22 где константы рп, Р\2> Р2\> Р22> а\2-> а2Ь Ч\Ь Я\2> 021' #22>

Р\ъР2\ >0-

Теорема 2.4: Если выполняются равенства £)1=£)2=£)> ап=а2{=а, рп=/32Х=р,

Рп =Р22 =Р\> Р\2 =Р2\ =Р2> (2Л1)>

Яи=Ч22=Яи Яп=Я21=Я2 то у системы (2.10) в фазовом пространстве (2.5) существует

квазисимметричное состояние равновесия (у^, у2 , у2 , У\), где 0 < + у2 </), которое будет устойчивым при

а Р < (2.12) и неустойчивым при

(Уг)2

1 ар(у2)2-\ 2 2 ар> _ . и =---_ - >— (2.13).

(у2) . У2^аУ2^1+РУ2) Ф-У1-У2) в

Видим, что, как и для предыдущих двух моделей, для возникновения неустойчивости в самосборке линейных цепей

необходима достаточно «сильная» конкуренция за направление между компонентами самосборки .

Полученные результаты могут послужить отправной точкой для объяснения преобладания правой ассимметрии в природе, в двойной спирали ДНК и а-спиралях глобулярных белков.

Четвертая глава посвящена изучению математических моделей гиперциклов взаимодействий между компонентами в самосборке линейных направленных и ненаправленных цепей из элементов двух типов.

В пункте 4.1 дается представление о гиперцикле взаимодействий в самосборке линейных цепей. Термин гиперцикл был предложен Эйгеном М., для обозначения циклических взаимодействий в самопроизводящих системах.

Гиперцикл предполагает наличие конечного числа компонент (не менее трех) взаимодействующих между собой. В рассмотренных в данной работе моделях гиперциклов, в качестве таких компонент выступают концентрации блоков связей линейных цепей. К сожалению, из-за допущения, что длина линейной цепи неограниченна, концентрации компонент и концентрации связей не могут выступить в качестве составляющих цикла.

В пункте 4.2 исследуется влияние гиперциклов взаимодействий на динамику процесса самосборки ненаправленных линейных цепей из элементов двух типов. При этом предполагается, что гиперциклы бывают двух типов: гиперцикл конкуренции и гиперцикл содружества.

Будем говорить, что в самосборке присутствует гиперцикл конкуренции, если между концентрациями всех блоков связей существуют циклические взаимодействия, выраженные через интенсивности разрыва связей. А именно: рост концентраций .Уи(0 приводит к увеличению разрыва связей (1, 2), а рост концентраций ^12(0 увеличивает разрыв связей (2, 2), рост концентрации которых в свою очередь приводит к увеличению разрыва связей (1, 1).

Отметим, что гиперцикл конкуренции имеет существенное отличие от «классического» гиперцикла Эйгена. В «классическом» гиперцикле компоненты гиперцикла участвуют в синтезе друг друга, а гиперцикл конкуренции заключается в обратном - компоненты гиперцикла участвуют в «разрушении» друг друга. То есть, в самосборке устанавливаются конкурирующие взаимодействия между

концентрациями связей, только эти взаимодействия имеют замкнутую (циклическую) структуру.

Рассмотрим в самосборке ненаправленных линейных цепей «классический» гиперцикл между концентрации всех блоков связей. А именно: пусть рост концентраций >'ц(0 приводит к росту концентраций У\г(<), а рост концентраций упО) ведет к росту концентраций уи^), рост концентрации которых в свою очередь приводит к увеличению концентраций связей УпМ • Назовем такие взаимодействия гиперциклом содружества, по аналогии с теми взаимодействиями, которые он устанавливает, и чтобы различать их с гиперциклом конкуренции.

В случае, когда в самосборке ненаправленных линейных цепей присутствуют и гиперцикл конкуренции, и гиперцикл содружества, в фазовом пространстве (1) процесс самосборки будет описываться с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:

>'11 =(А -У\\-У\г)2Рф + а22У22)-Ч\\(]- + Р2?У22)У\\

У\2 =(А-У\ 1 -У\г№>1 -У\2-У22)Р\2(1+а\ \У] \)-Яп(1 + РиУ\ \)У\2

У22 =(А ~У\2 -У22?Р22^+а\2У\2)-Ч2Т^Л-Р\2У\2)У22

(3.1),

где константы рп, рп, Р22> а\\ > а12> «22 > <?12' <722'

Р\ 1' Р\2> Рп >0-

Теорема 3.1: Если выполняются

А =Щ =0, ап =ап =«22 =«. Рп = Р\2 = Ргг =Р>

-------- (3.2),

Р\\ =Р 12 = Р22 =Р> ЯП =Я\2 =122 =Я

то у системы (3.1) в фазовом пространстве (2.1) существует

симметричное состояние равновесия (У,У,У), где 0 <у<~^,

которое будет устойчивым при любых а, /3>0 .

Этот результат сохранится и случае, когда гиперцикл конкуренции и гиперцикл содружества не совпадают по направлению, а именно для системы

>п =(А -Уц-Уп)2Ри(1+а22У22)-4и(1+Р12У12')У11 У12 =(А ~>11 ->12ХА ->'12-Уи)Р\2^+а 11>'11)-^/|2(1 + /?22>22)>12

>'22 =С°2 ~>12 ->22)2^22(1 + а12>12)-922(1 +А1>11)>22

(3.3)

и будет справедлива следующая

Теорема 3.2: Если выполняются равенства (3.2), то у системы (3.3) в фазовом пространстве (2.1) существует симметричное

состояние равновесия (у, у, у ), где 0 <у<~, которое будет

устойчивым при любых а, /3>О .

Когда в самосборке присутствует только гиперцикл конкуренции (а= 0, /3> 0), в отличие от обычной конкуренции, при росте параметров взаимодействий не происходит смены устойчивости состояния равновесия. Таким образом, в самосборке линейных ненаправленных цепей с помощью гиперцикла удается поддерживать «оптимальную» конкуренцию между концентрациями связей, когда «преимущество одних не идет в ущерб другим».

В пункте 4.3 исследуется влияние гиперциклов взаимодействий на динамику процесса самосборки направленных линейных цепей из элементов двух типов и получены схожие с предыдущей моделью результаты.

В этом случае процесс самосборки линейных цепей в фазовом пространстве (2.5) описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

>11 =(А ->11->12)(А ->11->21)Рц(1+«22>22)-^11(1 + /?22>22)>11 >12 =(А ->11 ">12)(А ">12-У22)Р\2$ + а\ 1>11> "М1 + А 1>11)>12 >21 = (А> ~ >21 ~ >22XА " >11 ~ >21 )Р210 + 2>12 ) - 4210 + А 2>12 )>21 >22 =(А ~>21 ~>22)(А> ->12->22)Р22(1 + а21>21)-?22(1 + А21>21)>22

(3.4),

где константы рп, рп, Рч\' Рц* а11> а12' а2Ь а22 >0'

Я\2 - ^21' ^22' Р\1> Р\ 2' Рг\> Рп >0-

Теорема 3.3: Если выполняются равенства

23

Д=£>2=Д «11 =«'12 = «21 =а22 = «' Р\\= Р\1= Рг\= Рц = Р ^

Р\\ =Р\2 =Р22=Р21 =Р> Яи=Ч\2=Я22=:Я2] =Я

(3.5),

то у системы (3.4) в фазовом пространстве (2.5) существует симметричное состояние равновесия (у, у, у, у), где 0 <у<^-,

которое будет устойчивым при всех а, /3>0 .

Аналогичный результат получен для различающихся по направлению циклических взаимодействий:

У\ 1 =(А -У\ 1 -УпШ -У\\-Уг\)рф+«22У22)-Ч\ 10 + Р\гУ\г)У\\ У\г=^-У\\-У\г)Фг-У\2-У22)Р\2$+а\\Уп)-9\г<У + Р2]Уг\)У\2 У21 ">'21 ->'22)(А 'УН ~У21)Р21(1 + а12У12)-Ч2\(1 + Р22У22)У21

У22 <В2 ~У21 ~ У 22^2 ->12-У22)Р22^ + а21У2\)~Я22^+РпУ1\)У22

(3.6)

Теорема 3.4: Если выполняются равенства (3.5),то у системы (3.6) в фазовом пространстве (2.5) существует симметричное

состояние равновесия (у, у, у, у), где 0 < у < —, которое будет

устойчивым при всех а, /М).

Результаты доказанных в пунктах 4.2 и 4.3 теорем перекликаются с результатами, полученных Эйгеным М. и Шустером П. для общих моделей гиперциклов. Так же как и в работах этих авторов, в случае гиперцикла у системы существует только одно устойчивое состояние равновесия.

В заключение работы вынесены общие выводы по результатам диссертации.

В приложение вынесены графики фазовых портретов, исследуемых в работе динамических систем, построенных с помощью ЭВМ в программном пакете \№1п8е1 V. 3.0.2.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

• математическое описание марковского процесса самосборки линейных цепей при наличии двух типов ограничителей роста цепей;

• математическое описание процессов самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл»;

• доказательство существования п(п+2)- мерного интегрального многообразия для динамической системы, описывающей марковский процесс самосборки линейных цепей с двумя типами ограничителей роста

• полученные аналитически условия устойчивости и единственности состояний равновесия и условия возникновения неустойчивости состояний равновесия для динамических систем, описывающих процессы самосборки линейных цепей с объёмными взаимодействиями видов «конкуренция» и гиперцикл»;

• результаты, полученные в ходе численных экспериментов на ЭВМ.

Публикации. По теме диссертации опубликованы следующие статьи и материалы, в том числе в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Мартынова (Громик) A.C. Конкуренция в самосборке линейных цепей // Вестник ИНГУ, 2007. Выпуск 2. Стр. 186-191.

в других изданиях:

2. Мартынова (Громик) A.C., Тай M.JI. Математическая модель процесса самосборки однородных цепей с одним ограничителем. // Сб. трудов VII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2000. Том 2. Стр.490-497.

3. Мартынова (Громик) A.C. Конкуренция в самосборке линейных цепей // Сб. трудов XI международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Под общ. редакц. Г.Ю. Ризниченко, Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. Том 2. Стр. 837-843.

4. Мартынова (Громик) A.C., Тай M.JI. Математическая модель процесса самосборки однородных цепей с одним ограничителем. //Тезисы VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва, 1999. С. 224.

5. Мартынова С Гром и к) A.C., Тай M.J1. Самосборка линейных цепей с ограничителями роста. // Тезисы семинара «Нелинейное моделирование и управление». Самара, 2000. Стр. 82-83.

6. Мартынова (Громик) A.C. Динамика самосборки линейных цепей при наличии ограничителей роста. // «Вычислительная математика и кибернетика 2000»: Тез. докл. конф., посвященной 80-летию Ю.И. Неймарка. Н.Новгород, ННГУ, 2000. С. 57.

7. Мартынова (Громик) A.C. Процесс самосборки линейных цепей при наличии ограничителей роста // Тезисы докладов VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - Москва, 2001. С. 221.

8. Мартынова (Громик) A.C. Динамика процессов самосборки с объёмными взаимодействиями. //Тезисы докладов VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки). -Саров, 2002. Стр. 57-58.

9. Мартынова (Громик) A.C. Динамика процессов самосборки с объемными взаимодействиями. //Тезисы докладов X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - Пущино, 2003. С.216.

* В приведенном списке работ автор публикуется под девичьей фамилией Мартынова.

* В работах [2] [4], [5] Таю M.JI. принадлежит формулировка и постановка задачи, а Громик (Мартыновой) A.C. - полученные в ходе исследования результаты.

Подписано в печать 02.10.08. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч. -изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 601.

Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева. Типография НГТУ. 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. САМОСБОРКА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ: ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ, ОПИСАНИЕ И ДИНАМИКА ПРОЦЕССА.

1.1. Представление о самосборке.

1.2. Общий подход к построению математических моделей процессов самосборки линейных структур.

1.3. Математическая модель процесса самосборки линейных цепей.

1.3.1 .Описание процесса самосборки линейных цепей.

1.3.2.Свойства динамической системы, описывающей изменения концентраций линейных цепей.

1.3.3.Концентрации связей и блоков связей.

1.3.4.Многомерное интегральное многообразие динамической системы, описывающей самосборку линейных цепей.

ГЛАВА 2. САМОСБОРКА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ С «ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ РОСТА».?.

2.1. Представление об «ограничителе роста» линейной цепи.

2.2. Динамика марковского процесса самосборки линейных цепей при наличии двух типов ограничителей роста.

2.2.1 .Описание процесса самосборки линейных цепей при наличии ограничителей роста.

2.2.2.Математическая модель самосборки линейных цепей с двумя типами ограничителей роста.

2.2.3.Свойства динамической системы, описывающей изменения концентраций линейных цепей при наличии ограничителей роста.

2.2.4.Динамическая система, описывающая поведение концентраций связей

2.2.5.Многомерное интегральное многообразие, описывающее самосборку линейных цепей при наличии ограничителей роста.

2.2.6.Статистическая природа интегрального многообразия.

ГЛАВА 3. КОНКУРЕНЦИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.

3.1. Представление о «конкуренции» и ее видах в самосборке линейных цепей.

3.2. Конкуренция между гомо и гетеросвязями в самосборке ненаправленных линейных цепей из элементов двух типов.

3.2.1.Моделирование конкуренции через взаимное влияние интенсивностей разрывов связей.

3.2.2.Моделирование конкуренции через взаимное влияние интенсивностей образования связей.

3.2.3.Моделирование конкуренции через интенсивности образования и разрывов связей.

3.3. Конкуренция между гомо и гетеросвязями в самосборке направленных линейных цепей из элементов двух типов.

3.3.1.Моделирование конкуренции через взаимное влияние интенсивностей разрывов связей.

3.3.2.Моделирование конкуренции через взаимное влияние интенсивностей образования связей.

3.3.3.Моделирование конкуренции через интенсивности образования и разрывов связей.

3.4. «Конкуренция за направление» в самосборке линейных цепей из элементов двух типов.

3.4.1.Моделирование конкуренции за направление через взаимное влияние интенсивностей разрывов связей.;.

3.4.2.Моделирование конкуренции за направление через взаимное влияние интенсивностей образования связей.

3.4.3.Моделирование конкуренции за направление через интенсивности образования и разрывов связей.

ГЛАВА 4. ГИПЕРЦИКЛЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.

4.1. Представление о гиперцикле взаимодействий.

4.2. Гиперциклы в самосборке линейных ненаправленных цепей из элементов двух типов.

4.2.1.Гиперцикл конкуренции.

4.2.1.Гиперцикл содружества.

4.2.3.Взаимное влияние гиперциклов содружества и конкуренции.

4.2.4.Гиперцикл содружества и гиперцикл конкуренции, не совпадающие по направлению.

4.3. Гиперциклы в самосборке линейных направленных цепей из элементов двух типов.

4.3.1.Гиперцикл конкуренции.

4.3.2.Гиперцикл содружества.

4.3.3.Взаимное влияние гиперциклов содружества и конкуренции.

4.3.4.Гиперцикл содружества и гиперцикл конкуренции, не совпадающие по направлению.

Цели и задачи исследования. Объекюм исследования диссертационной работы являлось исследование многокомпонентных динамических систем, описывающих различные процессы самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями.

В соответствии с поставленной целью, предметом рассмотрения в диссертационной работе являлись: математическое описание марковского процесса самосборки линейных цепей при наличии двух типов ограничителей роста цепей; в математическое описание процессов самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл»; о исследование соответствующих математических моделей, являющихся нелинейными системами дифференциальных уравнений первого порядка, с помощью методов теории устойчивости и теории нелинейных колебаний; о разделение моделей самосборки линейных цепей на классы устойчивых и неустойчивых и определение «природы» возникающей неустойчивости состояний равновесия; о связь моделей самосборки линейных цепей с реальными процессами в развивающихся системах, с целью определения механизмов, порождающих характерные особенности в этих процессах.

Краткая история развития объекта исследования. Математическая модель процессов самосборки была предложена в 1975 году Леонтовичем A.M. в связи с анализом процессов самосборки вирусов, обнаруженной экспериментально. В основе предложенной им модели использовался кинетический подход, широко применяемый в химической кинетике [2. 84].

Далее, в 1979 году, на основе того же кинетического подхода Таем M.JL была предложена и исследована стохастическая модель марковского процесса самосборки линейных цепей. Под «марковским процессом» понимается, процесс, в котором все взаимодействия между элементами происходят независимо от состояния процесса. Затем, Иржаком В.И. и Таем M.JL, была исследована модель самосборки линейных цепей из элементов одного типа и найден аттрактор соответствующей динамической системы.

В 1989 году Таем М.Л. была предложена модель самосборки с объемными взаимодействиями, в частности, исследовалась модель самосборки отрезков с объемными взаимодействиями. Такие процессы самосборки построены для того, чтобы понять роль достаточно сложных взаимных влияний между компонентами, при которых элементы самосборки способны реагировать на состояние процесса и оказывать воздействие на другие элементы и компоненты. Были получены условия устойчивости и единственности состояния равновесия на интегральном многообразии, а также условия возникновения неустойчивости состояния равновесия и концентрационных автоколебаний.

Современное состояние проблемы. В настоящее время в научном мире активно ведется поиск новой парадигмы, на основе которой должна формироваться новая общенаучная картина мира. В качестве базовой концепции новой парадигмы рассматривается эволюция, как основная форма движения в природе и обществе [8 - 9, 11, 16, 23, 26, 32, 45, 55 - 56, 61 - 62, 68, 71, 82, 84 - 86]. В этих работах, с разных точек зрения, обоснована и исследована необходимость и универсальность новой парадигмы.

Центральный момент формирования парадигмы - эго выбор ее ядра, в качестве которого рассматриваются метатеории, которые должны реально или потенциально отвечать требованиям основной концепции парадигмы - эволюционному описанию.

Научному мировоззрению, по крайней мере, с XIX века была присуща идея эволюции - как саморазвития материи. Но после открытия Кельвином и Клаузиусом второго начала термодинамики господствовало достаточно пессимистическое представление, что базовым состоянием материи является состояние термодинамического равновесия - самого простого из всех возможных состояний системы, не обменивающейся энергией и веществом с окружающей средой. Господствующей тенденцией материи считалось стремление к разрушению спонтанно возникшей упорядоченности (в результате случайной маловероятной флуктуации) и возвращению к исходному хаосу. Следовательно, упорядоченное состояние вещества, которое наблюдается в доступной части Вселенной, возникло случайно, жизнь, как самая высокая из всех известных науке форм упорядоченности, тем более случайна и противоестественна. Так возникла модель стационарной! Вселенной. Но появившаяся модель развивающейся Вселенной заставила изменить этот, казалось бы, незыблемый взгляд на развитие, и прийти к идее самоорганизации материи, которая внедрилась в научное мировоззрение во второй половине XX века.

Прежние представления о развитии сформировались в XIX веке под влиянием двух классических физических дисциплин - статистической механики и равновесной термодинамики. Обе научные дисциплины описывают поведение изолированных макросистем, не обменивающихся ни энергией, ни веществом с окружающей средой. Вселенная, как самая крупная из всех известных систем, также считалась замкнутой. Но сегодня наука считает все известные системы от самых малых до самых больших -открытыми, обменивающимися энергией! и (или) веществом с окружающей средой. Развитие таких систем, как стало известно, протекает путем образования нарастающей упорядоченности. На этом основании и возникло представление о самоорганизации вещеелвенных систем. Это послужило толчком к изучению динамики процессов взаимного влияния структур с помощью кинетического подхода и привело к понятию диссипативных структур [50 - 51] и появлению синергетики [27, 75].

Термин «синергетика» (термин Германа Хакена) происходит от греческого «синергена» - содействие, сотрудничество, «вместедействие». По Хакену, синергетика занимается изучением систем, состоящих из большого числа частей, компонент или подсистем, одним словом, деталей, сложным образом взаимодействующих между собой. Слово «синергетика» и означает «совместное действие», подчеркивая согласованность функционирования частей, отражающуюся в поведении системы как целого [75]. В настоящее время синергетика представляет собой междисциплинарное научное направление, которое занимается исследованием общих принципов самоорганизации открытых систем любой природы.

В основе кибернетического подхода [68] лежит понимание процессов развития -как постоянного взаимодействия подсистем, отдельных компонент и структур, возникающих и совершенствующихся в соответствии с различными механизмами природы. При этом детальное строение систем, как правило, не известно и не имеет значения для выяснения общих закономерностей. Связи между подсистемами, изменения их состояний и состояния системы в целом, обусловленные взаимным влиянием и взаимодействием подсистем, приводят к изменениям этих подсистем (или хотя бы некоторых из них).

Следует отметить что, эффекты самосборки не являются исключительным свойством биологических и химических объектов, и наблюдаются (пусть в более просюй форме) и в экономических, и социальных системах [7], [32], [63], [71], [73], но при переходе от природных систем к социальным не следует механически переносить на них закономерности, присущие первым. Это связано, прежде всего, «с особым статусом социальных систем, в которых самоорганизация может и должна сочетаться с организацией путем сознательной деятельности ее индивидов» [63].

Актуальность темы исследования обусловлена применимостью математической модели самосборки линейных цепей для описания процессов сополимеризации в химии. Результаты, полученные в ходе исследования динамики многомерных нелинейных динамических систем, также могут иметь самостоятельное значение и быть использованы при анализе других многокомпонентных систем.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые исследован марковский процесс самосборки линейных цепей из п элементов с новым видом элементов, предложенных и названных автором «ограничителями роста». Для динамической системы, описывающей процесс самосборки линейных цепей с ограничителями роста, впервые доказано существование п(п+2)~ мерного интегрального многообразия и приведена его статистическая интерпретация.

Впервые исследованы процессы самосборки линейных цепей из двух типов элементов с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл». Для соответствующих динамических систем были найдены условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия.

Общие методы исследования. Методическую и теоретическую базу диссертационной работы составляют подходы и принципы синергетики, методы теории устойчивости и теории нелинейных колебаний, а также ряд ранее выполненных работ, связанных с моделированием процессов самоорганизации.

При выполнении исследования автор опирался на теоретические результаты отечественных и зарубежных ученых. Здесь, прежде всего, следует отметить работы Иржака В.И., Кучанова С.И., Леонтовича A.M., Николиса Г., Пригожина И.Р., Тая М.Л., Эйгена М., Шустера П., Флори П. и др.

Достоверность полученных результатов обеспечивается теоретическими положениями, результатами численных экспериментов на ЭВМ, привлечением широкого круга научных работ отечественных и зарубежных исследователей. Все научные положения и выводы диссертационной работы сформулированы в виде теорем и строго математически обоснованны.

Теоретическая и практическая ценность работы. Построенные модели самосборки линейных цепей могут быть использованы в химии как математические модели процессов сополимеризации и процессов с ограничением роста полимерной цепи.

Полученные условия устойчивости и единственности состояний равновесия и условия возникновения неустойчивости могут помочь понять закономерности наличия гомеостазиса (условия сохранения устойчивости) и появления неустойчивости в развивающихся системах.

Структура и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка ли 1ературы и приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе представлены результаты проведенных исследований по построению и изучению математических1 моделей самосборки линейных цепей с ограничителями и с объемными типами взаимодействий.

Построенные модели самосборки линейных цепей могут быть использованы в химии как математические модели процессов сополимеризации и процессов с ограничением роста полимерной цепи.

Полученные условия устойчивости и единственности состояния равновесия и условия возникновения неустойчивости могут помочь понять закономерности наличия гомсостазиса (условия сохранения устойчивости) и появления неустойчивости в развивающихся системах. Кроме этого, результаты, полученные в ходе исследования динамики многомерных нелинейных динамических систем, могут иметь самостоятельное значение, а также быть использованы при анализе других, сходных, многокомпонентных систем.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту: о математическое описание марковского процесса самосборки линейных цепей при наличии двух типов ограничителей роста цепей; о математическое описание процессов самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями вида «конкуренция» и «гиперцикл»; доказательство существования п(п+2)~ мерного интегрального многообразия для динамической системы, описывающей марковский процесс самосборки линейных цепей с двумя типами ограничителей роста о полученные аналитически условия устойчивости и единственности состояний равновесия и условия возникновения неустойчивости состояний равновесия для динамических систем, описывающих процессы самосборки линейных цепей с объемными взаимодействиями видов «конкуренция» и гиперцикл»; о результаты, полученные в ходе численных экспериментов на ЭВМ.

1. Андронов A.A., Внтт A.A., Хайкнн С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959.

2. Берлин Ал .Ал., Вольфсон С.А. Кинетический метод в синтезе полимеров. М.: Химия, 1973.

3. Берлин Ал.Ал., Вольфсон С.А., Ениколопян Н.С. Кинетика полимеризационных процессов. М.: Химия, 1978.

4. Блюменфельд JI.A. Проблемы биологической физики. М.: Наука, 1977.

5. Вант-Гофф Я.Г. Очерки по химической динамике, Избранные труды по химии. М.: Наука, 1984. С.10-135.

6. Вейль Г. Дополнения. Прикладная комбинаторная математика. М.: Мир, 1968. С.309-360.

7. Винер Н. Кибернетика и общество. М.: изд-во иностр. лит., 1958.

8. Власов A.A. Нелокальная статистическая физика. М.: Наука, 1978.

9. Волькенштейн М.В. Общая биофизика. М.: Наука, 1978.

10. В. Вольтерра Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.1.. Глушков В.М., Иванов В.В., Ясенко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

11. Горбань А.Н. Быков В.И., Яблонский Г.С. Очерки о химической релаксации. Новосибирск: Наука, 1986.

12. Горбань А.Н. Обход равновесия. Уравнения химической кинетики и их термодинамический анализ. Новосибирск: Наука, 1984.

13. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Физика в мире полимеров. М: Наука, 1989.

14. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М: Паука, 1989.

15. Данилов Ю. А., Кадомцев Б. Б. Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983.

16. Иржак В.И. Тай M.JI. О статистическом подходе для описания процессов неравномерной поликонденсации. // Докл. АН СССР. 1981. Т.259. №4. С. 856 -859.

17. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997.

18. Каст и Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

19. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965.

20. Кац М. Несколько вероятностных задач физики и математики. М.: Наука, 1967.

21. Кимура М. Молекулярная эволюция: теория нейтральности. М.: Мир, 1985.

22. Князева E.H., Курдюмов С.П. Законы эволюции и самоорганизация сложных систем. М.: Наука, 1994.

23. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. // Проблемы кибернетики. М.: Наука., 1972. С. 100-106.

24. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / Авт. пред. A.A. Самарский. М.: Наука, 1988.

25. Клуг А. От макромолекул к биологическим ансамблям. //Успехи физических наук. 1984. Т. 142. №1. С.3-30.

26. Курдюмов С.П. Князева E.H. У истоков синергегического видения мира. М.: Самоорганизация и наука, 1994.

27. Кучанов С.И. Методы кинетических расчетов в химии полимеров. М.: Химия, 1978.

28. Ленинджер Г. Биохимия. М.: Мир, 1974.

29. Леонгович A.M. Одна задача о самосборке отрезков. // Проблема передачи информации. 1975. №15. С. 97 106.

30. Леонтович A.M., Тай М.Л. Теоретические и математические аспекты морфогенеза, М.: Наука, 1987. С. 198 208.

31. Лима-де-Фариа А. Эволюция без отбора. Автоэволюция формы и функции. М.: Мир, 1991.

32. Лоскутов А.Ю., Михайлов A.C. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

33. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

34. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

35. Мартынова (Громик) A.C. Динамика самосборки линейных цепей при наличии ограничителей роста. // «Вычислительная математика и кибернетика 2000»: Тез. докл. конф., посвященной 80-летию Ю.И. Неймарка. Н.Новгород, ННГУ. 2000. С. 57.

36. Мартынова (Громик) A.C. Процесс самосборки линейных цепей при наличии ограничителей роста // Тезисы докладов VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Москва, 2001. С. 221.

37. Мартынова (Громик) A.C. Динамика процессов самосборки с объёмными взаимодействиями. // Тезисы докладов VII Нижегородской сессии молодых ученых (математические науки). Саров, 2002. Стр. 57-58.

38. Мартынова (Громик) A.C. Динамика процессов самосборки с объемными взаимодействиями. // Тезисы докладов X Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». -Пущино, 2003. С. 216.

39. Мартынова (Громик) A.C. Конкуренция в самосборке линейных цепей // Вестник ННГУ, 2007. Выпуск 2. Стр. 186-191.

40. Мартынова (Громик) A.C., Тай М.Л. Математическая модель процесса самосборки однородных цепей с одним ограничителем. // Тезисы VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». -Москва, 1999. С. 224

41. Мартынова (Громик) A.C., Тай M.JI. Математическая модель процесса самосборки однородных цепей с одним ограничителем. // Сборник науч. статей VII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». > Дубна, 2000. Том 2. С. 490 - 497

42. Мартынова (Громик) A.C., Тай М.Л. Самосборка линейных цепей с ограничителями роста.// Тезисы семинара «Нелинейное моделирование и управление». Самара, 2000. С. 82-83.

43. Моисеев Н. Человек и ноосфера. М.: Молодая гвардия, 1990.

44. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. JL: JIK ВВИА, 1949.

45. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

46. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

47. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления. М.: Наука, 1985.

48. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

49. Николис Г. Пригожин И. Познание сложного. М.: Мнр, 1990.

50. Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. / Пер. с англ. Колокольцова В.Н. М.: Мир, 1986.

51. Поглазов Б.Ф. Сборка биологических структур. М.: Наука, 1970.

52. Престон К. Гиббсовские состояния на счетных множествах. М.: Мир, 1977.

53. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

54. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., 1986.

55. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983.со

56. Рагнер В.А., Шамин В.В. Сайзеры: моделирование фундаментальных особенностей молекулярно-биологической организации. Соответствие общих свойств и конструктивных особенностей коллективов макромолекул // Журн. общ. биологии. 1983. Т.44. N.1. С. 51-61.

57. Рашевски Н. Модели и математические принципы в биологии.// Теоретическая математическая биология-М.: Мир, 1968. С. 48-64

58. Розенберг Б.А., Иржак В.И., Ениколопян Н.С. Межцепной обмен в полимерах. М.: Наука, 1975.

59. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.

60. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.

61. Рузавин Г. И. Самоорганизация и организация в развитии общества // Вопросы философии. 1995. № 8. С. 66.

62. Тай М.Л. Динамика процессов самосборки: Уч. пособие. Н.Новгород, 2000. 176 с.

63. Тай М.Л. Исследование стохастической модели самосборки линейных цепей // Проблема передачи информации. 1979. Т. 15. №4. С.40 52.

64. Тай МЛ. Процессы самосборки с объемными взаимодействиями. // Докл. АН СССР. 1990. 314, 1. С. 189- 193.

65. ТрилорЛ. Введение в науку о полимерах. M.: Мир, 1973.

66. Турчин В.Ф. Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции. М.: Наука, 1993.

67. Файстель Р., Романовский Ю.М., Васильев В.А. Эволюция гиперциклов Эйгена, протекающих в коацерватах // Биофизика. 1980. Т.25. N.5. С. 882-887.

68. ФлориП. Статистическая механика цепных молекул. М.: Мир, 1971.

69. Фокс Р. Энергия и эволюция жизни на Земле. М.: Мир. 1992.

70. Франк Каменецкий М.Д. Самая главная молекула. М.: Наука, 1968.

71. Фромм Э. Анатомия человеческой деструктивное™. М., 1994.

72. Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука, 1986.

73. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

74. Хидиров Б.Н. Регуляторика живых систем: основные уравнения.// Доклады АН Руз, 1998, №3, С.26-29.

75. Хидиров Б.Н. Механизмы управления генов: моделирование ассоциативных молекулярпо-генетичсских систем.// Проблемы информатики и энергетики, 1998, №2, С.9-13.

76. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963.

77. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Знание, 1990.

78. Чернавский Д.С. Проблема происхождения жизни и мышления с точки зрения современной физики. //Успехи физических наук. 2000. Т. 170. №2. С. 157-183.

79. Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики? М.: Изд-во иностр. лит., 1947.

80. Шноль С.Э. Физико-химические факторы биологической эволюции. М.: Наука. 1979.

81. Эмануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая школа, 1984.

82. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. М.: Мир, 1982.

83. Эйген М. Винклер Р. Игра жизни. М.: Наука, 1979.

84. Эйген М. Шустер П. Гиперцикл. Принципы самоорганизации макромолекул. М.: Мир, 1982.

85. Энгельгард В.Л. Иерархии взаимодействия в биологических системах. // Природа. 1994. №12. С.36-44.

86. Яблонский Г.С., Спивак С.И. Математические модели химической кинетики. М.: Знание. 1977.

87. Caspar D.L.D. Assembly and stability of the tobacco mosaic virus partical // Adv. Protein Chem. 1963. V. 18. P. 1-35.

88. Caspar D.L.D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1-24.

89. Flory P.J. Molecular Size Distribution in Linear Condensation Polymers. // J. American Chem. Soc. 1936. №58. P.1877-1885.

90. Fraenkel-Conrat II., Williams R.S. // Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1955. 41, 10. P. 690 -698.

91. Fraenkel-Conrat H. Design and Function at the Threshold of Life: The Viruses, Academ Press, N. Y. 1962. P. 1-117.

92. Gezhi Weng, Upinder S. Bhalla, Ravi Iyengar Complexity in biological signaling systems. // SCIENCE, V. 284. P.92-95

93. Nauta K., Miller R.E. Nonequilibrium self-assembly of long chains of polar molecules in superfluid helium. // SCIENCE, V. 283. P. 1895 1897

94. Nicolis S. Dinamics of hierarchical systems. Springer, Berlin, 1986.

95. Svedberg T. The Ultra-Centrifuge and the study of High-Molecular Components // Nature, 1937. V. 139. P. 1051 1062.

96. Svedberg T. The Ultracentrifuge and Its Field of Research // Industrial and Engineering chemistry/ Analytical Edition. V. 10. 3. 1938. P. 113 128.

97. Whitesides G.M., Ismailov R.F. Complexity in chemistry. // SCIENCE, V. 284. H.89 -92

98. Zimmer C. Life after chaos. // SCIENCE, V. 284. P.83 86