автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование микромагнитных структур

ПО и

21' да

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи УДК 518.538.13

ОСИПОВ Сергей Григорьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОМАГНИТНЫХ СТРУКТУР

Специальность 05.13.16 -

применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов для научных исследований

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском государственном университете на кафедре нелинейных динамических систем факультета Вычислительной математики и кибернетики

Официальные оппоненты:

• доктор физико-математических наук, профессор Гулин A.B.

• доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Ходенков Г.Е.

• доктор физико-математических наук, доцент Четвериков В.М.

Ведущая организация: Институт Математического Моделирования РАН

Защита состоится 30 марта 1994 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании специализированного Совета N Д 053.03.37 при МГУ им. М.В.Ломоносова в ауд. 685 (119899, Москва, МГУ, факультет Вычислительной математики и кибернетики).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК

МГУ.

Автореферат разослан "_"_ 199 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физико-математических наук /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Исследования магнитных явлений всегда представляли большой теоретический интерес, а в последние десятилетия они стимулируются в значительной степени технологическими проблемами, возникающими в микроэлектронике и некоторых других областях техники.

Принцип записи информации на основе свойства сохранения ориентации магнитоупорядоченной среды используется достаточно широко и давно: электромеханические запоминающие устройства (ЗУ) (магнитные диски, магнитные ленты) в настоящее время господствуют на рынке внешних ЗУ. Однако в последние годы все большую силу набирают тенденции электронизации ВЗУ. Под электронизацией ЗУ здесь мы понимаем процесс создания таких ЗУ, которые функционируют без механических перемещений носителя информации. Магнитоэлектронные внешние запоминающие устройства на цилиндрических магнитных доменах (ЦМД) и вертикальных блоховских линиях в настоящее время являются одними из наиболее перспективных типов, причем с последними связывают надежды на достижение рекордных информационных плотностей.

В области микроэлектроники мы сейчас видим, как сглаживаются противоречия между технологией и фундаментальной физикой. Прогресс в этой области столь быстр, что исследователи все время сталкиваются с новыми физическими явлениями и пределами, из которых иные скоро будут достигнуты. Цель исследований крайне проста: максимальное число

логических операций при максимальной надежности в минимальном объеме. В этой безудержной гонке главное слово принадлежит миниатюризации, так как уменьшение размеров электронных компонент является необходимым и достаточным для достижения данной цели.

Такое развитие событий приводит к тому, что разработка новой микросхемы превращаается в целую научную программу, стоимость которой превышает возможные прибыли от продаж. В этих условиях резко возрастает роль математического моделирования, которое позволяет сэкономить значительные средства и выбрать наиболее подходящие значения параметров будущего изделия.

Ничто так не продвигает экспериментальную науку, как изобретение новых приборов и создание новых методов наблюдения. В этом смысле вычислительные машины не имеют себе равных среди других изобретений -они позволяют создавать универсальные "экспериментальные приборы" с заранее заданными характеристиками.

В последние 35 лет мощность компьютеров растет, а их стоимость падает по крутой экспоненте, и конца этому процессу не видно. В то же время мощность и разрешающая способность физических приборов -телескопов, аэродинамических труб, ускорителей заряженных частиц - если и возрастает, то далеко не с такой скоростью, а их стоимость не падает а наоборот значительно растет и грозит довести научные бюджеты до банкротства.

В этих условиях ЭВМ становится главнейшим инструментом фундаментальных наук и высоких технологий. В таких областях, как самолетостроение, авиакосмическая техника, микроэлектроника и некоторых других, сейчас становится практикой проводить эксперименты для выверения

вычислительной модели, или же для получения новых данных, когда расчетные модели становятся неадекватными.

В тонких магнитных пленках, которые используются в магнитоэлектронных ЗУ носителями информации служат либо магнитные домены, либо структуры доменных стенок. Отметим, что доменные границы играют определяющую роль во многих динамических процессах в магнитных пленках, а прямое наблюдение структуры доменных границ представляет значительные трудности из-за ограниченной разрешающей способности приборов.

Подходящей математической моделью для описания явлений, происходящих в ферромагнитных пленках, является теория микромагнетизма. Микромагнетизм - это классическая феноменологическая макроскопическая теория, которая оперирует с непрерывным распределением намагниченности и позволяет исследовать не только "крупную" (доменную) структуру магнитоупорядоченных сред, но также и достаточно тонкие структурные особенности доменных границ. В силу этих качеств микромагнитные уравнения в настоящее время представляют не только конкретную задачу математической физики, но целую исследовательскую программу для описания огромного множества статических и динамических магнитных явлений. Микромагнетизм не ставит своей целью объяснение природы спонтанной намагниченности, магнитной анизотропии и других эффектов, присущих магнитоупорядоченным веществам. Такое объяснение можно дать только на микроскопическом квантовомеханическом уровне. В теории микромагнетизма эти эффекты постулируются и учитываются соответствующим образом записанными выражениями для свободной энергии. Эта теория ставит своей задачей найти, исходя только из выражения

свободной энергии и общих уравнений равновесия и движения намагниченности, действительные зависимости от координат и времени.

Основные математические проблемы, возникающие при решении микромагнитных задач - нелинейность уравнений и наличие нелокального размагничивающего поля. Применение в этом случае аналитических методов крайне ограничено и поэтому основным методом исследования становится прямое численное решение микромагнитных задач.

Исследованию микромагнитных задач посвящено очень много работ как физиков, так и математиков, среди которых отметим Ф.Блоха, Л.Нееля, Л.Д.Ландау, У.Ф.Брауна (мл.), В.П.Маслова, В.Г.Барьяхтара, С.Кониши, М.Я.Широбокова, Дж. Слончевского, А.Хуберта, Й.Хайаши, Э.Шлемана, А.Висинтина, Е.Фельдкеллера, С.Шира, Ф.Хамфри, Б.Н.Филиппова, Г.Е.Ходенкова, В.М.Четверикова.

Цепью работы являлось

• разработка и обоснование эффективных численных методов решения двумерных и трехмерных статических вариационных микромагнитных задач;

• разработка и обоснование эффективных численных методов решения двумерных и трехмерных динамических микромагнитных задач;

• создание систем моделирования двумерных и трехмерных микромагнитных задач на платформе персональной ЭВМ;

• решение с помощью созданных систем моделирования ряда актуальных задач теории микромагнетизма.

Научная новизна и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты представляют как математический, так и практический интерес. Доказанные в работе теоремы позволяют точнее сформулировать математические модели для исследования изолированных доменных стенок. Построенные эффективные численные методы позволяют рассчитывать двумерные и трехмерные статические и динамические микромагнитные структуры на персональных ЭВМ типа IBM PC с процессором типа Intel 80386/80486.

Систематически исследованы численными методами двумерные статические структуры в ЦМД материалах и слабоанизотропных ферромагнитных пленках.

Впервые детально исследована микромагнитная динамика двумерной доменной границы. Полученная информация позволяет лучше понять механизмы функционирования и облегчить проектирование магнитоэлектронных запоминающих устройств.

Создана программная система MicroMAG.2D предназначенная, для физиков магнетологов - теоретиков и экспериментаторов, не специалистов в области численного моделирования. Система позволяет провести полный цикл исследования микромагнитной динамики доменной границы - от постановки задачи до создания анимационного ролика динамического поведения решения.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. М.М.Хапаева на факультете ВМиК МГУ, на семинаре проф.

А.Г.Шишкова на физическом факультете МГУ, на семинаре проф. Филиппова Б.Н. в Екатеринбурге в институте Физики Металлов и Металловедения; на семинаре проф. В.К.Раева в Институте Электронных Управляющих Машин, а также;

- на X,XII,XIII Всесоюзных школах-семинарах "Новые магнитные материалы для микроэлектроники, Рига 1986, Новгород 1990, Астрахань 1992;

- на международной конференции Magnetism and Magnetic Materials, Houston 1992;

- на международной конференции lntermag-93 Stockholm 1993;

- на международной конференции Magnetism and Magnetic Materials, Minneapolis 1993;

Публикации

Содержание работы достаточно полно отражено в статьях в научных журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, приложения и списка литературы из 144 наименований. Общий объем диссертации 364 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, приведены краткие схемотехнические описания запоминающего устройства на цилиндрических магнитных доменах и запоминающего устройства на вертикальных блоховских линиях. Там же приведена физическая постановка микомагнитной задачи и приводится простейшая классификация доменных границ. Во введении также дан обзор литературы и современного состояния проблемы микромагнитных расчетов.

В первой главе диссертации исследуются математические аспекты общей вариационной микромагнитной задачи.

В первом параграфе первой главы приведены основные, используемые в дальнейшем, определения функциональных пространств и операторов.

• В параграфе 2 приведены математические постановки статической вариационной задачи микромагнетизма и соответствующей динамической задачи. Основная задача микромагнетизма заключается в следующем: в ограниченной области Г2 С К3 с непрерывной по Липшицу границей необходимо минимизировать функционал свободной энергии

Меи

С(М) = (М) + Св (М) + ся( М) + О0 (М),

где Ш{х1,х2,хг) - распределение вектора намагниченности в , 11(11) -множество допустимых распределений, о котором будет сказано ниже. Компоненты свободной энергии обычно представлены в следующей форме.

Энергия анизотропии Сга (М).

о

где Р.К2 такая функция, что функционал Об(М) непрерывен на

Ь2(П). Р- определяется кристаллической структурой магнитного материала.

Обменная энергия Сез, (М).

^ /»/гч V-' г дМ. дШ ,

к1 Й к ах1

где {я^;} " симметричная положительно определенная квадратичная форма.

Вид обменной энергии определяется квантовомеханическим взаимодействием ближайших атомов - соседей по кристаллической решетке.

Энергия размагничивающего поля Ст(М)

где Нт(х) - размагничивающее поле, которое определяется с 'помощью статической системы уравнений Максвелла

У-(Ни + 4л-М)=0 V х Н = 0

т

хеЯ3 хеЛ3

где

v =

f д д д

- оператор Гамильтона. Отметим, что для

дхх' дхг' дхг j

нахождения (jm(M) интегрирование производится по всему пространству. Энергия внешнего магнитного поля G0(M)

1 Q

где Н0(х) - магнитное поле, созданное внешними по отношению к П источниками.

Вариационная задача должна быть дополнена условием

+ М\ + М; = const

так как известно, что вдали от температуры Кюри модуль вектора намагниченности постоянен. Таким образом множество допустимых распределений U(£2) для микромагнитной задачи задачи может быть

представлено в виде

U(D) = {М(ж): М(лг) £ Hg(Q), |М| = const}

где НС(П) - подходящее энергетическое пространство, в котором существует решение вариационной задачи, обладающее свойствами полноты и корректно определенное для всех функций сравнения.

В силу нелинейного ограничения на модуль вектора намагниченности необходимое условие минимума для функционала свободной энергии имеет вид

М(*)хН(М)=0, Н(М) = -^.

В параграфе два доказана теорема существования микромагнитной задачи. Показано, что функционал свободной энергии порождает гильбертово пространство и билинейную форму, которая является скалярным произведением в этом пространстве. Доказано, что энергетическое пространство эквивалентно пространству Соболева Н1 (£2). Доказана теорема о внутренней гладкости решения микромагнитной задачи.

Третий параграф первой главы посвящен особым решениям микромагнитной задачи, так называемым Блоховским точкам. Основной моделью для исследования Блоховских точек в микромагнетизме являются функции вида

т(х) = Кт0(х),

то(Д!Г)= (х |(х -хо)|' х>х0еа,

где К - действительное унитарное преобразование.

Приведены и проанализированы различные подходы к рассмотрению особенности: топологический и решеточный. Показано, что они приводят к существенно различным результатам, особенно в случае динамических процессов. Проведен анализ основных предпосылок вывода микромагнитных уравнений и показано, что для исследования поведения намагниченности в окрестности блоховских точек требуется переход к более точной модели Гайзенберга. Сформулирована комбинированная математическая модель для исследования динамики Блоховских точек.

Вторая глава диссертации посвящена построению численных методов для решения статических задач микромагнетизма.

В параграфе 1 сформулирован принцип локализации микромагнитной особенности, позволяющий строить эффективные вычислительные алгоритмы для решения задач статики и динамики. Он основан на следующем, хорошо известном экспериментальном факте: изменение доменной структуры в широком диапазоне параметров происходит посредством смещения доменной границы и таким образом можно произвести декомпозицию исходной задачи на область достаточного медленного изменения параметров и область типа фазового перехода. Принцип локализации особенности позволяет корректно формулировать граничные условия микромагнитных задач для исследования изолированных микромагнитных структур. Применение принципа локализации ограничено рамками таких магнитных явлений, в которых наблюдается четкая доменная структура и размеры доменов значительно превышают размеры доменох стенок.

В параграфе 2 излагается метод установления для решения статических микромагнитных задач, основанный на интегрировании уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта с искуственно увеличенным затуханием. Применение динамического уравнения основывается на том факте, что движение в силу этого уравнения происходит с диссипацией полной энергии.

Для уравнения Ландау - Лифшица - Гильберта исследованы явные и полунеявные разностные схемы. Найдены эмпирические формулы выбора шага интегрирования. Рассмотрены различные критерии окончания счета.

В третьем параграфе излагаются методы аппроксимации размагничивающего эффективного поля - представляющего для вычислителя

наибольшие трудности. Для метода неконформных кусочно - пстоянных конечных элементов разработан алгоритм скользящих матриц размагничивающих коэффициентов. Для сеточных методов решения микромагнитных задач предложен эффективный метод нахождения размагничивающего поля, основанный на решении дифференциальных уравнений системы магнитостатики. В этом случае удается свести задачу для прямоугольных областей к решению двух задач Дирихле для уравнения Пуассона. Для случая периодического распределения намагниченности приведен вариант вычисления размагничивающего поля с помощью быстрого преобразования Фурье и его модификации для случая протяженных доменов.

В третьей главе диссертации рассматриваются численные методы дляэрешния динамических микромагнитных задач.

В параграфе 1 приведен метод слежения для интегрирования уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта в случае изолированной доменной границы в ЦМД-материале. Основная динамическая задача в этом случае имеет вид

2

(1 + а )—•= Ь х V- а(х х(у х Ь)) д1

/ > 0, хеП, у(х,у,2,0 ) = у0(х,у,г) у = ±к при х ед0.х,

ду

— =0 при хеЖ,, дх\.

где - единичный вектор намагниченности, Ь(у) - эффективное

поле, ±к - направление намагниченности в соседних доменах.

Метод слежения предназначен для исследования внутренней динамики доменной границы. Сущность метода слежения заключается в динамической подстройке сетки к движущейся доменной границе и удержании ядра ДГ в центре расчетной области.

В параграфе 2 предлагается эффективный вариант метода Галеркина для уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта, позволяющий применять конформные методы конечных элементов для пространственной аппроксимации и снизить порядок гладкости для вычисления размагничивающего и обменного полей.

В третьем параграфе рассматриваются проблемы, возникающие при численном исследовании существенно нелинейных режимов динамики доменных границ - генерации и прорывов горизонтальных блоховских линий. Горизонтальные блоховские линии представляют собой участки сильной скрученности доменной границы, на которах могут значительно ухудшатся аппроксимационные свойства численного метода. В этом праграфе приведен адаптивный численный метод, позволяющий экономично генерировать пространственную сетку в области локализации горизонтальных блоховских линий.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию внутренней структуры двумерных доменных границ в ЦМД - материалах и в слабоанизотропных ферромагнитных пленках. В настоящее время, на основе большого числа косвенных данных и некоторых прямых наблюдений, известно лишь качественное поведение намагниченности в доменной границе

в ЦМД-материалах. Теоретическое описание структуры доменной границы опирается на модельные уравнения.

В параграфе 1 приведены результаты систематического численного исследования доменных границ для широкого спектра материальных параметров. Вводятся величины, описывающие структуру двумерной доменной стенки и изучается их поведение в зависимости от толщины и фактора качества магнитного материала. Показано, что используемый обычно для изучения угла скрученности ср подход, основанный на уравнении Слончевского, приводит к значительным ошибкам для величины угла скрученности на поверхности пленки.

Во втором параграфе ' приведены результаты численного исследования фазовых переходов типа "скрученная доменная граница (СДГ) ■ неелевская доменная граница (НДГ) и обратно (НДГ)-(СДГ) во внешнем магнитном поле, лежащем в плоскости пленки, перпендикулярно доменной границе. Этот случай практически важен, так как во многих магнитоэлектронных устройствах возникают плоскостные компоненты управляющего магнитного поля. Показано, что переход СДГ-НДГ происходит по типу фазового перехода второго рода, а обратный - по типу 0 (возможнс 1) рода.

В третьем параграфе приведены результаты исследования доменньо стенок в слабоанизотропных ферромагнитных пленках. Метод установлена применялся для поиска новых микромагнитных структур в доменных стенках Принимая за начальное распределение различные типы распределений, былс получено и исследовано три типа решений: вихревая симметричная (La Bonté) вихревая асимметричная (La Bonte-Hubert) и вихревая симметричная <

особенностью в центре стенки. Симметричная с особенностью стенка рассмотрена впервые.

В пятой главе диссертации исследуется динамика двумерных доменных границ при различных значениях продвигающего внешнего магнитного поля.

В параграфе 1 приведены результаты численного исследования динамики изолированной доменной границы в ЦМД-материале методом установления. Особо изучался, так называемый, нелинейный участок кривой скорости доменной границы в зависимости от внешнего магнитного поля. Показано, что при одной и той же скорости участка насыщения могут быть реализованы различные механизмы внутренней динамики доменной границы. Разработаны методы визуализации и создана библиотека компьютерных фильмов, показывающих внутренние процессы, происходящие в движущейся доменной границе. Найдены новые механизмы, связанные с непрерывной генерацией 4 Л"- и 2 Л"-горизонтальных блоховских линий. Получены графики скорости доменной границы в зависимости от внешнего продвигающего магнитного поля.

В параграфе 2 исследуется механизм генерации движущейся доменной границей волновых возмущений. Приведены результаты численных численных экспериментов в которых волновые возмущения распространяются как в сторон у движения доменной границы, так и против движения. Показано, что волновые возмущения возникают в широком диапазоне параметров материала и являются неотъемлемой частью динамических решений.

В третьем параграфе исследована динамика доменной границы в сильных магнитных полях. Из экспериментов известно, что в сильом магнитном поле (поядка 100 М5) доменная граница при движении начинает

сильно уширяться. Однако в рамках аналитических теорийобъяснение эти: эффектов встречает существенные трудности. Прямое численное иследовани' уравнения Ландау - Лифшица - Гильберта показывает, что возможен новьи механизм зарождения диффузной доменной границы. А именно, чт< спиновые волны, генерируемые движущейся доменной границей, могу служить "зародышами" опрокидывающей моды возмущения.

В шестой главе диссертации исследованы трехмерные модел! вертикальных блоховских линий в доменных границах.

В первом параграфе рассматриваются различные способ* визуализации трехмерных распределений намагниченности с помощьи дисплеев с адаптером типа VGA для персональных ЭВМ типа IBM PC. Предлагается "динамическая проволочная модель" векторного поля, котора: позволяет в условиях ограничений стандарта VGA составить реально' представление о структуре векторного поля.

Во втором параграфе приведены результаты численног< исследования двухпериодической трехмерной структуры вертикально! блоховской линии в ЦМД-материале. Показано, что при малых толщина: пленки вертикальная блоховская линия не содержит сингулярной блоховско! точки. В этом случае происходит непрерывное изменение полярносп доменной границы и неелевский участок проникает до нижней границ! пленки, на котором происходит разворот вектора намагничнности на угол h, Найдено пороговое значение толщины пленки, начиная с которого появляетс: блоховская точка в центре блоховской линии.

В третьем параграфе исследуется задача о динамике изолированно! трехмерной вертикальной блоховской линии. Построена математическа; модель и предложен эффективный численный метод решения

представляющий собой обобщение метода слежения. В этом случае трехмерная сетка перемещается по плоскости, отслеживая перемещения ядра доменной стенки. Размагничивающее поле в области вычислений находится с помощью решения двух задач Дирихле для уравнения Пуассона. Приведены результаты расчетов трехмерной динамики вертикальной блоховской линии, не содержащей блоховскую точку под воздействием продвигающего внешнего поля.

Основные результаты диссертации

В работе исследованы математические аспекты основной задачи микомагетизма: доказаны теоремы существования и гладкости.

Разработаны, исследованы и протестированы эффективные численные методы решения двумерных и трехмерных статических и динамических микромагнитных задач с учетом нелокального размагничивающего поля.

Исследована статическая структура доменных границ в ЦМД матералах и слабоанизотропных ферромагнитных пленках.

Найдены новые механизмы и исследована двумерная динамика доменной границы в ЦМД-материалах в продвигающем внешнем магнитном поле.

Исследована трехмерная структура статической вертикальной блоховской линии.

Разработан эффективный численный метод для исследования трехмерной динамики вертикальной блоховской линии.

Создана моделирующая система для персональной ЭВМ

М1сгоМАС.2Р, позволяющая исследовать механизмы внутренней динамики

доменной граицы.

Материалы, составляющие содержание диссертации опубликованы в

следующих работах:

1. Осипов С.Г. О структуре доменных стенок в сла6оанизотропны> ферромагнитных пленках. ФММ, 1984, т.58, вып.З, с.421-426.

2. Осипов С.Г. Расчет доменной стенки модифицированным методог. конечных элементов. Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Выч. мат. > кибернетика, 1983, №4, с.33-37.

3. Антонов Л.И., Осипов С.Г., Хапаев М.М. Численное исследовани« структуры доменных стенок в ЦМД-материалах. ФММ, 1984, т.57 вып.5, с.892-896.

4. Хапаев М.М., Осипов С.Г. О численном интегрировании уравнени) Ландау-Лифшица-Гильберта. В кн. Методы математическое моделирования, автоматизация обработки наблюдений и и; применения. Изд-во МГУ, 1986, с.155-159.

5. Осипов С.Г. О существовании решения. микромагнитной задачи Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Выч. мат. и кибернетика, 1986, №1, с.81 83.

6. Антонов Л.И., Осипов С.Г., Терновский В.В., Хапаев М.М. ( сингулярных решениях задачи микромагнетизма. ФММ, 1987, т.6* вып.2, с.254-259.

7. Осипов С.Г., Терновский В.В., Хапаев М.М. О свойствах решения одной нелинейной вариационной задачи. Диф.уравнения. 1988, т.24, №7, с.1274-1276.

8. Осипов С.Г., Терновский В.В., Хапаев М.М. Моделирование трехмерных периодических структур в ферромагнитных пленках. ДАН СССР, 1989, т.305, №4, с.831-834.

9. Осипов С.Г., Терновский В.В. Численное моделирование трехмерных периодических самосогласованных микромагнитных структур. ФММ, 1990, №5, с.181-184.

10. Osipov S.G., Ternovski V.V., Khapaev М.М. Computer modelling of three-dimensional periodical magnetic structures with magnetostatic interaction. JMMM, 1990, v.88, p.389-393.

11. Осипов С.Г. Исследование перехода скрученной доменной границы в неелевскую в ферромагнитных пленках с одноосной анизотропией. ФММ, 1990, №5, с.39-44.

12. Осипов С.Г., Хапаев М.М. О нелинейной динамике доменной границы. ДАН СССР, 1990, №5, т.311, N»6, с.1351-1355.

13. Осипов С.Г., Хапаев М.М. О внутренней динамике движущейся доменной границы. Письма в ЖЭТФ, 1989, т.50. вып.9, с.385-387.

14. Осипов С.Г., Филиппов Б.Н., Хапаев М.М Динамика двумерной доменной границы в ферромагнитной пленке с одноосной анизотропией. ЖЭТФ, 1990, т.90, вып.4(10), с. 1354-1363.

15. Осипов С.Г., Хапаев М.М. Моделирование микромагнитных структур. Математическое моделирование, 1991, т.З, №11, с.12-38.

16. Осипов С.Г. О динамике доменной границы в сильных магнитных полях. Микроэлектроника, 1991, т.20, вып.б, с.590-596.

17. Osipov S.G., Korchagin M.L., Achkasov V.V. MicroMAG.2D system foi domain wall dynamics simulation. J.Appl.Phys., May 1993.