автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК: 519.713

Мымрин Вячеслав Валерьевич

Москва-2009

003476624

Работа выполнена в Институте математического моделирования РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Кулешов Андрей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Галкин Валерий Алексеевич,

ко. заседании Диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. МЛ.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В .Ломоносова, 2-ой учебный корпус, факультет ВМиК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова

Автореферат разослан « ^ »_ _ 2009г.

доктор физико-математических наук, профессор Гулин Алексей Владимирович

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(Технический университет)

Защита диссертации состоится

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, ,

профессор ¿Ь^Х-г-''!

ЕБ.Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассмотренная в диссертации задача малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, описываемая двумерным нестационарным дифференциальным уравнением второго порядка по времени и четвертого порядка по пространственным переменным, представляет большой интерес как с точки зрения развития теоретических аспектов математического моделирования - разработки численных методов и их обоснования, так и с точки зрения практических приложений. В рассматриваемой задаче все коэффициенты в уравнении являются либо бесконечно дифференцируемыми функциями, либо постоянными, однако, правая часть уравнения, описывающая действие сил на поверхности пластины, может быть разрывной функцией, например, во многих прикладных задачах нагрузка на поверхности пластины действует локально. В силу этого, решения исходной задачи рассматриваются как обобщенные решения из соответствующих функциональных пространств.

Говоря о разработке численных методов для решения уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин, следует отметить, что до недавнего времени были разработаны численные методы решения лишь для стационарной задачи с краевыми условиями первого и второго рода. Разностные аппроксимации для стационарных уравнений четвертого порядка рассмотрены, например, в монографиях А.А.Самарского, В.БЛндреева [1] и А.А.Самарского, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова [2]. В последнее время А.А.Кулешовым [3,4] был разработан новый разностный метод решения нестационарной задачи для уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин с переменными коэффициентами и с общими граничными условиями на контуре пластины. Этот разностный метод и был применен в настоящей работе.

Одними из самых трудных задач при обосновании численных методов решения задач математической физики являются доказательство устойчивости построенных аппроксимаций и доказательство их сходимости к обобщенному решению исходной задачи с оценкой скорости сходимости. Устойчивости разностных схем посвящены работы А.А.Самарского и его учеников В.Б.Андреева, А.В.Гулина [2,5-7] и других. Для применяемого в настоящей работе разностного метода ранее [3,4] была доказана устойчивость разностной схемы относительно прогиба пластины и его разностных производных первого порядка по времени и до второго порядка по пространственным переменным и слабая сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи, однако, сильная сходимость не была доказана. Дальнейшему обоснованию этого метода и посвящена первая часть настоящей работы.

К области практических приложений математической модели малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, лежащих на упругом основании, следует прежде всего отнести широкий круг задач о распространении поперечных колебаний в плавающем на поверхности воды ледяном покрове, например, при воздействии на ледяной покров различных техногенных нагрузок: движущегося автотранспорта, приземляющегося самолета и так далее. Актуальным в этих задачах является, как изучение волновой динамики, так и исследование прочности льда на растяжение и сжатие. Изучению волновой динамики сплошного ледяного покрова на поверхности воды под действием динамической техногенной нагрузки на основе математической модели тонкой упругой пластины в отечественной и зарубежной литературе посвящен ряд работ. В качестве математического аппарата исследования в этих работах применялся аналитический метод решения и изучались в основном полученные дисперсионные соотношения, характер зависимости волновой

амплитуды от скорости движения техногенной нагрузки и вопрос существования критических скоростей. Лишь в некоторых из этих работ полученное аналитически решение в виде интегралов затем аппроксимировалось квадратурными формулами и рассчитывалось численно. На основании изученной научной литературы можно сделать вывод о том, что численные методы с непосредственной аппроксимацией уравненм поперечных колебаний тонких упругих пластин для решения рассмотренных выше прикладных задач не применялись. Численному моделированию волновой динамики в плавающем на поверхности воды ледяном покрове при воздействии на него различных техногенных нагрузок и посвящена вторая часть настоящей работы.

Таким образом, тема диссертации является актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Целью работы является математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, включая исследование устойчивости и сходимости применяемого в работе разностного метода решения начально-краевой задачи и численное моделирование прикладных задач о колебаниях ледяного покрова на поверхности воды под действием различных техногенных динамических нагрузок.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение

В диссертации доказаны устойчивость применяемого разностного метода относительно скорости колебаний и ее производных и сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи с оценкой скорости сходимости.

В диссертации проведено численное моделирование прикладных задач о колебаниях ледяного покрова на поверхности воды под действием различных техногенных динамических нагрузок. Тем самым, продемонстрирована применимость использованного в работе численного

метода и созданного программного обеспечения для решения практических задач, описываемых рассматриваемой математической моделью малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

Апробация диссертации

Результаты работ по диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах: Института математического моделирования РАН, кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова, на международном конгрессе: 8th World Congress on Computational Mechanics - 5th Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, June 30 - July 5, 2008, Venice, Italy, на IV международной конференции «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 14-18 мая 2008г., на IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», пос. Дюрсо, 15-21 сентября 2008г., на международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва 19-25 июня 2006г., на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования», пос. Дюрсо, 5-10 сентября 2005г.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 113 наименований. Полный объем диссертации составляет 131 страницу.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, обоснованы актуальность темы и научная новизна, кратко описано содержание работы.

Первая глава посвящена обоснованию применяемого в работе разностного метода решения задачи малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

В §1 главы 1 приведена постановка начально-краевой задачи малых поперечных колебаний тонких упругих пластин. Уравнение поперечных колебаний тонкой упругой пластины, лежащей на упругом винклеровском основании, имеет вид [8,9]

рА~+Д(М(Г) - (1 - ст)(/укн - + 0,,^,,) + а\У = F, (х,у) е О,

где IV - поперечный прогиб пластины, отсчитываемый по оси ОХ, направленной вниз от срединной плоскости, совмещенной с плоскостью ЛТи разделяющей толщину пластины Л = И(х,у) пополам, р - плотность

материала пластины, £> = £/73/[12(1-с2)] - цилиндрическая жесткость пластины, су - коэффициент Пуассона, 0 < а < 1, Е- модуль упругости.

Граничные условия В{№= Мг, (х,у)еГ, В2К = 1УГ> (х,у)еГ,

где дифференциальный оператор В^Р описывает изгибающий момент, а дифференциальный оператор В21У - перерезывающую силу на криволинейном контуре пластины.

Начальные условия 1¥\1=0 = ф(х, у), = •

Далее в §1 описан разностный метод [3,4], примененный для решения поставленной задачи. С помощью известного приема с заменой переменных вместо исходного дифференциального уравнения, записанного в виде моментов

д2Мг

, дг1Г д2Мх .

ря—=-¡Г--2-

Ыг дх дхду

+ -

д2Му ду2

-а1Г + Г,

Мг=-В

дх1

- + ст-

дУ

ду2

му=-о

'аУ

ду2

- + ст-

дV

ск2

Мг

= (1 -о)С

д2\у

дхду'

была получена система уравнений с производными первого порядка по / для естественных переменных механики: прогиба пластины, скорости прогиба и изгибающих моментов

рй

55 д2Мг ^гмху г? и

д1 дх2

дхду О2 5

ЗУ*

д1

дМу

а

д\У &

дх1 ду2

= -0£>—г— £>—5-,

3.x2 Зу2

= 5,

для которой была построена разностная схема с полусуммой по времени. Двумерная область с криволинейным контуром, в которой рассматривается исходная краевая задача, была аппроксимирована ступенчатой областью, состоящей из прямоугольных ячеек четырех типов (внутренняя, краевая, угловая и внутренняя угловая), и была введена сетка с узлами в центрах этих ячеек. Разностная аппроксимация полученной системы уравнений была построена балансным методом с помощью интегрирования каждого из уравнений системы по площади ячеек. В результате была получена

неявная двухслойная разностная схема. Приведем для примера аппроксимацию для одной ячейки каждого из четырех типов:

- внутренняя ячейка

„[ „и . и+1/2 о„п+1/2 , ,.л+1/2 ,п+1/2 . гп+1/2

'.!/ улххд 0 уу.и ' „п _ _п п „я+1/2

и = и+1/2.

>

- краевая левая ячейка

м"+и2

1 2 „"+1/2 ,„"+1/2 11+т. ' Г») . /-И+1/2

-угловая верхняя левая ячейка

1 , дгл+1/2 \гп+И2

пи „Я _ 1 „я-И/2 , 1 „я+1/2 -.,.«+1/2 , ^ГтЛ ■ , уя+1/2

_ _ _ „я+1/2.

"V. = МЛЛ' VI Л/<"»'1 • ^=^ >

- внутренняя угловая верхняя левая ячейка

л^л+1/2 дрп+1/2

,+У2 _±гг,+У2 ,+ ¡/2 »+1/2 + + ¿»+1/2

Н";;0! и "хх,н л 0 л ° ЗУ. В У ч л ла Ч

^ Ах у,м/2,/ Ау х,/,/+1/2 2Ах 2Ау

(остальные уравнения для этой ячейки такие же, как для внутренней), где используются стандартные обозначения разностных производных [10],

хП+1 , 1«

[], [5," ], ], [V," ], [/;" ] - разностные аналоги функций Д' 5, Мх, Му, Мху. Эта разностная схема и была использована в настоящей работе.

Как было сказано выше, решения исходной задачи рассматриваются как обобщенные решения из соответствующих функциональных пространств. В §2 главы 1 приведены условия гладкости входных данных и условия согласования граничных и начальных значений, обеспечивающие, согласно [11], существование и единственность обобщенного решения исходной дифференциальной задачи из класса ¿2 (О, Т; Н4(П)) г> Н2 (О, Т; (П)) и приведен вывод этой оценки.

В §3 главы 1 доказана теорема об устойчивости по входным данным решения разностной задачи относительно скорости колебаний и ее производных с оценкой

В §4 главы 3 доказана теорема о сильной сходимости разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи для уравнения колебания тонких упругих пластин с оценкой скорости сходимости

1Я202 (А))

+

¡Я2(ой)

ТЛ\ +Ы-Щ1 г 5

'¿2 (Я2 К))

+

где IV" - дискретизация решения IV исходной задачи на сетке сок, [()(ВкИ')"], А=1,2 - дискретизация значений граничных операторов на

границе ступенчатой области, аппроксимирующей область О.

Доказательство основано на методике, примененной в работе [3] при доказательстве слабой сходимости разностных аппроксимаций для рассматриваемой задачи. Эта методика в свою очередь основана на работах А.А.Самарского, Р.ДЛазарова, В.Л.Макарова (см. [2]).

Вторая глава посвящена численному моделированию с помощью созданного автором программного комплекса на языке С++ ряда прикладных задач о колебаниях ледяного покрова на поверхности воды под действием различных техногенных динамических нагрузок.

В §1 главы 2 приведен метод расщепления по пространственным переменным, примененный для решения рассмотренной выше системы разностных уравнений, и методы решения возникающих при расщеплении подсистем линейных алгебраических уравнений.

В §2 главы 2 приведено уравнение, описывающее малые поперечные колебаний ледяного покрова на поверхности воды под действием динамической нагрузки

РЬ~+А (ПА1Г)-(1-о)(0>у1Гхх-2/у^, +Охх1¥>у) = Р-Рв§Ж,

где член р<£1¥ описывает действие выталкивающей архимедовой силы на нижнюю поверхность ледяного покрова.

Приведен метод определения прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие, основанный на вычислении компонент тензора плоских напряжений на каждом временном шаге работы компьютерной программы. При достижении растягивающих или сжимающих напряжений экспериментально установленных предельных значений прочности льда на растяжение или сжатие соответственно, можно сделать вывод о том, что

на н-ом временном шаге произойдет необратимая деформация и лед будет разрушаться.

Далее в этом параграфе приведены результаты численного моделирования движения по ледяному покрову на поверхности воды одного автомобиля (см. рис.1) и двух автомобилей одновременно (см. рис.2). При первом эксперименте разрушения ледяного покрова толщиной 0.26м не происходит. Во втором эксперименте при одновременном движении двух автомобилей друг за другом, после того как волна от движения первого автомобиля достигает второго автомобиля, наблюдается увеличение амплитуды колебаний (см. рис.2с), рассчитываемые в программе максимальные напряжения превышают минимальное значение прочности льда на растяжение (0.5 МПа) и происходит разрушение ледяного покрова толщиной 0.29м.

В §3 главы 2 приведены результаты численных экспериментов, моделирующих посадку тяжелых транспортных самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде. В ходе этих экспериментов было проведено исследование предельной толщины ледяного покрова, при которой не происходит его разрушения. Для самолета ИЛ-76 массой 151,5т минимальная толщина льда, при которой минимальные значения прочности льда на растяжение и сжатие не достигались, равна 4,2м. Для самолета С-130 «Геркулес» массой 50т минимальная толщина льда, при которой минимальные значения прочности льда на растяжение и сжатие не достигались, равна 1,7м. На рис.3 представлены результаты численного моделирования посадки самолета С130 «Геркулес» массой 50т со скоростью 50 м/с на ледовый аэродром McMurdo Sound в Антарктиде с толщиной льда 2.5 м. Результаты расчета по максимальным значениям величины прогиба сопоставимы с результатами моделирования посадки самолета С130, полученными в работе канадских ученых [12] на основе

а) 11 =1000

Ь)п =10000

20 «

■0.02 ■0.01

с) п =32000 а% 20 « ю 80

X

Рис.1. Значения величины поперечных прогибов при движении одного автомобиля по ледяному покрову на поверхности воды. Параметры эксперимента: масса автомобиля - 2,2т; скорость - 15м/с; толщина льда -0,26м.

00 100

а) п =1000

Ь)п=3000

-0.03-

Ш

■0.01

3 о!

~<ю

/'30 0.01

20 0.0!

У п

с) П =6000

Рис.2. Значения величины поперечных прогибов при движении двух автомобилей по ледяному покрову на поверхности воды. Параметры эксперимента: масса каждого автомобиля - 2,2т; скорость - 15м/с; толщина льда - 0,29м; расстояние между автомобилями - 20м.

0.05

0.1

0 100 200 300 400 500

а) п =2000

-0.15-

Ь) п=20000

-015-0.1'

0 100 200 300 400 500

с)п=40000

Рис.3. Значения поперечных прогибов при посадке самолета С130 на плавающий лед. Параметры эксперимента: масса самолета -50т; начальная скорость - 50м/с; толщина льда - 2.5м.

аналитического метода решения с последующей аппроксимацией полученного решения.

Таким образом, с помощью созданного программного комплекса можно не только изучать распространение поперечных колебаний в ледяном покрове на поверхности воды под действием техногенных динамических нагрузок, но и делать вывод о возможности его разрушения, что имеет практическую ценность при прокладке автомобильных дорог по льду или устройстве ледовых аэродромов. Созданный программный комплекс может быть применен и к решению других важных прикладных задач: для моделирования крупных плавучих структур понтонного типа, моделирования различных технических платформ и ряда других задач.

Основные результаты работы

1. Для применяемого в работе численного метода решения задачи о малых поперечных колебаниях тонких упругих пластин доказана устойчивость разностной схемы относительно скорости колебаний и ее производных.

2. Доказана сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи о поперечных колебаниях тонких упругих пластин и получена оценка скорости сходимости.

3. Создан программный комплекс и проведено численное моделирование колебаний ледяного покрова под действием различных техногенных динамических нагрузок с определением пределов прочности ледяного покрова на растяжение и изгиб, в том числе проведено моделирование важной прикладной задачи о посадке тяжелых транспортных самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде.

Публикации по теме диссертации

1. Кулешов А.А., Мымрин В.В., Разгулин А.В. О сильной сходимости разностных аппроксимаций в задаче поперечных колебаний тонких упругих пластин//ЖВМ и МФ, 2009, т.49, №1, с.152-177.

2. Кулешов А.А., Мымрин В.В. Моделирование колебаний плавающего льда в приближении тонкой упругой пластины // Матем. моделирование, 2009, т.21, №6, с.28-40.

3. Kuleshov А.А., Mymrin V.V. Numerical method for the problem bending vibration of a thin elastic plate and its application in the problem of a floating ice vibration // In CDrom proceeding 8th World Congress on Computational Mechanics - 5th Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, June 30 - July 5,2008, Venice, Italy.

4. Кулешов A.A., Мымрин B.B., Разгулин А.В. Сходимость разностных аппроксимаций в задаче поперечных колебаний тонких упругих пластин // Тезисы докладов IV международной конференции «Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания», Обнинск, 14-18 мая 2008г., 2с.

5. Кулешов А.А., Мымрин В.В., Разгулин А.В. Сходимость разностных аппроксимаций начально-краевой задачи для уравнения тонкой упругой пластины // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», пос. Дюрсо, 15-21 сентября 2008г. Изд-во ИММ УрО РАН, 2008. 2с.

6. Кулешов А.А., Кулешов Ал.А., Мымрин В.В. Математическое моделирование в задачах экологии, описываемых моделью поперечных колебаний тонких упругих пластин // Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва 19-25 июня 2006г. Москва, 2006,2с.

7. Кулешов А.А., Кулешов Ал.А., Мымрин В.В. Математическое моделирование колебаний ледяного покрова под действием техногенных динамических нагрузок // Сб. трудов XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», пос. Дюрсо, 5-10 сентября 2005г. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. гос. ун-та, 2005, с.236-241.

Список цитированной литературы

1. Самарский A.A., АндреевВ.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

2. Самарский A.A., Назаров Р.Д., Макаров B.JÏ. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.

3. Кулешов A.A. О разностной аппроксимации задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // ЖВМ и МФ, 2005, т.45, №4, С.718-740.

4. Кулешов A.A. О численном методе решения задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // Матем. моделирование, 2005, т. 17, №4, с.10-26.

5. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

6. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений по граничным условиям Дирихле // ЖВМ и МФ, 1972, т.12, №3, с.598-611.

7. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка в прямоугольнике по граничным условиям первого рода // Сб. работ НИВЦ МГУ "Вычислительные методы и программирование" М.:Изд. Моск. ун-та, 1977, с.116-166.

8. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматлит, 1963.

9. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М. Наука, 1987.

10. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

11. Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications, v.2. Springer-Verlag, 1972.

12. Milinazzo F., Shinbrot M., Evans N.W. A mathematical analysis of the steady response of floating ice to the uniform motion of a rectangular load // J. Fluid Mech., 1995, v.287, pp.173-197.

МЫМРИН Вячеслав Валерьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАЛЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛИЦЕНЗИЯ ПД N° 00608 Формат 60x84/16 1,2 усл. пл. Бумага офсетная 80 гр. Тираж 100 экз. Заказ № 83

Отпечатано с готовых о/и в типографии ООО •«Медина-Принт» ул. Новослободская д. 14/19 стр. 5 тел./факс: 787-62-21

Введение

Глава 1. Устойчивость разностной задачи и сильная сходимость разностных аппроксимаций.

§1. Математическая модель задачи и ее разностная аппроксимация.1.

§2. Оценка обобщенных решений исходной дифференциальной задачи

§3. Устойчивость разностной задачи относительно скорости колебаний

§4. Сильная сходимость разностных аппроксимаций.

Глава 2. Математическое моделирование колебаний ледяного покрова на поверхности воды под действием техногенных динамических нагрузок.

§1. Метод решения систем разностных уравнений

§2. Моделирование колебаний ледяного покрова при движении автомобилей

§3. Моделирование колебаний ледяного покрова при приземлении самолетов

Целью работы является математическое моделирование малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, включая исследование устойчивости и сходимости применяемого в работе разностного метода решения начально-краевой задачи и численное моделирование прикладных задач о колебаниях ледяного покрова на поверхности воды под действием различных техногенных динамических нагрузок.

Рассмотренная в диссертации задача малых поперечных колебаний тонких упругих пластин [1-4], описываемая двумерным нестационарным дифференциальным уравнением второго порядка по времени и четвертого порядка по пространственным переменным, представляет большой интерес как с точки зрения развития теоретических аспектов математического моделирования — разработки численных методов и их обоснования, так и с точки зрения практических приложений. Говоря о разработке численных методов для решения уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин, следует отметить, что до недавнего времени были разработаны численные методы решения лишь для стационарной задачи, с краевыми условиями первого и второго рода. Разностные аппроксимации для стационарных уравнений четвертого порядка рассмотрены, например, в монографиях А.А.Самарского, В.Б.Андреева [5] и А.А.Самарского, Р.Д Назарова, В.Л.Макарова [6]. Для аппроксимации стационарных задач применялись также методы конечных элементов. В последнее время А.А.Кулешовым [7,8] был разработан новый разностный метод решения нестационарной задачи для уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин с переменными коэффициентами и с общими граничными условиями на контуре пластины. При построении этой аппроксимации, вместо аппроксимации исходного уравнения, имеющего второй порядок по времени, строится аппроксимация системы уравнений с производными первого порядка по времени, неизвестными в которой являются естественные переменные механики: прогиб пластины, скорость прогиба и изгибающие моменты по осям ОХ и OY, и эта система аппроксимируется двухслойной неявной разностной схемой на прямоугольной регулярной сетке. При этом заданные на контуре пластины изгибающие моменты и перерезывающая сила учитываются естественным образом. Полученная разностная схема значительно проще для численной реализации, чем громоздкая трехслойная разностная схема, которая получилась бы при непосредственной разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения. Этот разностный метод и был применен в настоящей работе.

В рассматриваемой задаче все коэффициенты в уравнении являются либо бесконечно дифференцируемыми функциями (толщина и цилиндрическая жесткость пластины), либо постоянными, однако, правая часть уравнения, описывающая действие сил на поверхности пластины, а также изгибающие моменты и перерезывающая сила на контуре пластины могут быть разрывными функциями. В силу этого, решения исходной задачи рассматриваются как обобщенные решения из соответствующих функциональных пространств [18-21] . Одними из самых трудных задач при обосновании численных методов решения задач математической физики являются доказательство устойчивости построенных аппроксимаций и доказательство их сходимости к обобщенному решению1 исходной задачи с оценкой скорости сходимости. Устойчивости разностных схем посвящены работы А.А.Самарского и его учеников В.Б.Андреева, А.В.Гулина, П.Н.Вабищевича, Ю.И.Мокина, Р.Д.Назарова, В.Л.Макарова и других [9-17]. В частности, устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка по граничным условиям первого рода посвящены работы В.Б.Андреева [13,14]. Сходимости разностных схем на обобщенных решениях посвящены работы А.А.Самарского, Р.Д.Лазарова, В.Л.Макарова [6,23-25]. Отметим также работы Л.С.Франка [26] и А.А.Кулешова [27]. Среди работ в этой-области следует отметить работы А.А.Злотника [28-30], в которых доказывается сходимость метода конечных элементов к обобщенному решению-краевых задач, и работы зарубежных авторов [31,32]. Отметим также работы, в которых, доказывается сходимость метода Галеркина к обобщенным решениям для различных задач [33-41]. Что же касается конечно-разностного метода для уравнений четвертого порядка, то вопрос о сходимости разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной краевой задачи до недавнего времени был исследован для стационарного бигармонического уравнения с однородными краевыми условиями [6]. Для применяемого в настоящей работе разностного метода А.А.Кулешовым [7,8] была доказана устойчивость разностной схемы относительно отклонения: пластины и ее разностных производных первого порядка по времени и до второго порядка по пространственным переменным и слабая сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи. В настоящей работе доказывается устойчивость этой разностной схемы относительно скорости колебаний и ее производных и сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи.

К области практических приложений математической модели малых поперечных колебаний тонких упругих пластин, лежащих на упругом основании, следует прежде всего отнести широкий круг задач о распространении поперечных колебаний в плавающем на поверхности воды ледяном покрове, как в естественных природных условиях, так и при воздействии на ледяной покров различных техногенных нагрузок, например, движущегося автотранспорта, приземляющегося самолета, всплывающего из-подо льда подводного аппарата. Актуальным в этих задачах является, как изучение волновой динамики, так и исследование прочности льда на растяжение и сжатие. Задача о распространении волн в плавающем на поверхности воды ледяном покрове была впервые рассмотрена в 1887 году в работе A.G.Greenhill [42]. В дальнейшем, до 50-х годов прошлого века в этой области проводились лишь экспериментальные исследования. Изучение этой задачи с использованием математических методов продлжилось с 50-х годов A.S.Peters [43], J.B.Keller, M.Weitz [44,45]. Большой вклад в эти исследования внес советский ученый Д.Е.Хейсин [46-53]. Начиная с 90-х годов исследования в этой области начинают бурно развиваться. Особенно интенсивно развиваются исследования в области математического моделирования взаимодействия в естественных природных экосистемах лед — вода для морского льда, без учета каких-либо антропогенных факторов [54-86]. В этих работах в качестве методов исследования применялись в основном математические методы с использованием функции Грина, интегральных уравнений, преобразования Фурье. Исследования волновой динамики в плавающем на поверхности воды ледяном покрове под действием техногенных нагрузок начались с упомянутой выше работы A.G.Greenhill [42], в которой впервые было получено дисперсионное соотношение. После значительного перерыва исследования в этой области были продолжены в 60-х годах прошлого века Д.Е.Хейсиным [46,50] и в последующие годы получили развитие в работах зарубежных авторов [87-97]. При изучении волновой динамики сплошного ледяного покрова на поверхности воды в упомянутых работах [46,50,87-97] в качестве математической модели ледяного покрова использовалось уравнение колебаний тонкой упругой пластины. В качестве математического аппарата исследования в этих работах применялся аналитический метод решения: перемещение по льду плоского фронта давления задавалось в правой части уравнения (5-функцией вида P5(x-\t), где Р — сила, действующая на поверхность ледяного покрова, ^-функция представлялась в виде интеграла Фурье, и решение задачи для прогиба пластины и потенциала течения жидкости подо льдом получалось также в виде интегралов. При этом изучались в основном полученные дисперсионные соотношения, характер зависимости волновой амплитуды от скорости движения техногенной нагрузки и вопрос существования критических скоростей, при которых частота колебаний ледяного покрова под действием нагрузки совпадает с частотой собственных колебаний льда на поверхности воды, в системе возникает резонанс, и решение может неограниченно возрастать. В работах [96,97] полученное аналитически решение в виде интеграла затем аппроксимировалось квадратурной формулой и рассчитывалось численно.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что численные методы с непосредственной аппроксимацией уравнения поперечных колебаний тонких упругих пластин для решения рассмотренных выше прикладных задач не применялись. Численному моделированию волновой динамики в плавающем на поверхности воды ледяном покрове при воздействии на него различных техногенных нагрузок и посвящена вторая часть настоящей работы. В работе также исследован вопрос о прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие при воздействии1 техногенной нагрузки. В упомянутых вьппе работах [46,50,87-97] в рамках аналитического подхода не было получено выражений для нормальных компонент тензора напряжений, поэтому этот вопрос не рассматривался. Вопрос о прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие рассматривался в работах В.И.Одинокова, А.М.Сергеевой, Е.А.Захаровой [98,99] в рамках модели малых упругих деформаций для практической задачи моделирования движущейся подо льдом ледокольной приставки.

В качестве важных практических приложений задачи о малых поперечных колебаниях тонких упругих пластин в работах [89,96] исследовалась задача о посадке грузовых самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде. Также представляет практический интерес задача об определении возможности всплытия подводного аппарата на поверхность моря из-под ледяного покрова. Математическая модель подобной задачи с радиальной симметрией, в которой ледяной покров рассматривался в приближении тонкой упругой одномерной пластины, а нагрузка описывалась выдвигающимся из-подо льда цилиндром, была рассмотрена в работе [93]. Среди других возможных практических приложений рассматриваемой модели могут быть задачи моделирования для крупных плавучих структур понтонного типа, таких как Megafloat — плавучий аэропорт в заливе Иокосука, Япония, и супертанкеров, а также задачи моделирования технических платформ с различным закреплением по краям, или лежащих на упругом основании, которые описываются моделью тонкой упругой пластины. Еще одним интересным приложением в области геофизики может быть задача о поперечных колебаниях океанических литосферных плит, в которой тонкую, по сравнению с континентальной, океаническую литосферу, состоящую из относительно однородной породы (базальта), можно рассматривать в приближении тонкой упругой пластины [101-104].

Таким образом, тема диссертации является актуальной, как с точки зрения развития численных методов решения рассматриваемой задачи, так и с точки зрения ее практических приложений.

Работа состоит из двух глав. Первая глава посвящена теоретическому обоснованию применяемого для численного решения задачи разностного метода — доказательству устойчивости решения разностной задачи относительно скорости колебаний и ее производных и доказательству сильной сходимости разностных аппроксимаций.

В §1 главы 1 приводится математическая постановка рассматриваемой задачи о малых поперечных колебаниях тонкой упругой изотропной пластины переменной толщины, лежащей на упругом винклеровском основании, с общими условиями на криволинейном контуре. Далее в этом параграфе приводится разностный метод решения задачи, разработанный ранее в работах А.А.Кулешова [7,8], который применяется в настоящей работе.

В §2 главы 1 рассматриваются функциональные пространства обобщенных решений исходной начально-краевой задачи, приводятся условия гладкости входных данных и условия согласования граничных и начальных значений, при которых, согласно [19], существует единственное решение задачи из класса Z2(0,7T;i74(Q))n//2(0,7';Z<2(Q)), а также приводится вывод соответствующей оценки обобщенных решений.

В §3 главы 1 вводятся сеточные аналоги рассматриваемых в §2 функциональных пространств с соответствующими сеточными нормами и доказывается устойчивость разностной задачи относительно скорости колебаний и ее производных, получена соответствующая оценка решения разностной задачи через нормы входных данных этой задачи.

В §4 главы 1 доказывается теорема о сильной сходимости решений разностной задачи к обобщенным решениям исходной дифференциальной начально-краевой задачи и выводится оценка скорости сходимости. Доказательство основано на методике работы [7], в которой, в свою очередь, были использованы подходы, разработанные в работах А.А.Самарского и его учеников [6,23-25].

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию поперечных колебаний ледяного покрова на поверхности воды под действием техногенных динамических нагрузок с определением прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие.

В §1 главы 2 приведен метод решения полученной при аппроксимации задачи системы разностных уравнений. Метод основан на расщеплении системы разностных уравнений по пространственным переменным и решении полученных при этом подсистем методом прогонки. Был создан программный комплекс на языке С++ , Эффективность разработанного численного метода была проверена путем сравнения результатов расчета с точным решением задачи о цилиндрическом изгибе прямоугольной пластины постоянной толщины под действием гармонической силы, заданной в виде плоской волны давления. Результаты расчетов показали высокое быстродействие алгоритма и хорошую точность.

С помощью созданного программного комплекса было проведено численное моделирование нескольких прикладных задач, описываемых математической моделью малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

В §2 главы 2 описана методика численного определения прочности ледяного покрова на растяжение и сжатие. Вычисляя на каждом шаге работы программы нормальные компоненты тензора напряжений по закону Гука через изгибающие моменты, находим их максимальные по модулю значения. При достижении этой величиной предельных значений прочности льда на растяжение или сжатие можно сделать вывод о том, что на рассматриваемом временном шаге произойдет необратимая деформация, и лед будет разрушаться. Далее в этом параграфе приведены результаты численного моделирования распространения поперечных колебаний ледяного покрова на поверхности воды при движении по нему одного автомобиля и двух автомобилей одновременно. В эксперименте с одним автомобилем разрушения льда при заданных параметрах эксперимента не происходило. При одновременном движении двух автомобилей друг за другом с одинаковой скоростью, в зависимости от расстояний между ними, наблюдалось либо гашение волн, либо их наложение с увеличением амплитуды. В последнем случае при той же толщине льда, что и в эксперименте с одним автомобилем, рассчитываемые в программе нормальные напряжения превышали минимальное значение прочности льда на растяжение, и происходило разрушение ледяного покрова.

В §3 главы 2 приведены результаты численного моделирования в задаче о посадке самолетов на ледяной покров, плавающий на поверхности воды. Представлены графики амплитуды поперечных колебаний и значений нормальных напряжений и результаты исследований предельной толщины ледяного покрова, при которой не происходит его разрушения. Было проведено сравнение результатов расчетов значений поперечных прогибов ледяного покрова при моделировании посадки грузовых самолетов С-130 «Геркулес» с результатами, полученными в работе канадских ученых [96], и отмечена близость полученных результатов.

Таким образом, продемонстрирована применимость использованного в работе численного метода и созданного программного обеспечения для решения практических задач, описываемых рассматриваемой математической моделью малых поперечных колебаний тонких упругих пластин.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [107-113].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю А.А.Кулешову за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе

Заключение

В заключение работы сформулируем кратко основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Для применяемого в работе численного метода решения задачи о малых поперечных колебаниях тонких упругих пластин доказана устойчивость разностной схемы относительно скорости колебаний и ее производных.

2. Доказана сильная сходимость разностных аппроксимаций к обобщенному решению исходной начально-краевой задачи о поперечных колебаниях тонких упругих пластин и получена оценка скорости сходимости.

3. Создан программный комплекс и проведено численное моделирование колебаний ледяного покрова под действием различных техногенных динамических нагрузок с определением пределов прочности ледяного покрова на растяжение и изгиб, в том числе проведено моделирование важной прикладной задачи о посадке тяжелых транспортных самолетов на ледовые аэродромы в Антарктиде.

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматлит, 1963.-636с.

2. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 559с.

3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. М. Наука, 1987. 248с.

4. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1958.-385с.

5. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.-352с.

6. Самарский А.А., ЛазаровР.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высшая школа, 1987.-296с.

7. Кулешов А.А. О разностной аппроксимации задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // ЖВМ и МФ, 2005, т.45, №4, с.718-740.

8. Кулешов А.А. О численном методе решения задачи поперечных колебаний тонких упругих пластин // Матем. моделирование, 2005, т. 17, №4, с. 10-26.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 61 бе.

10. Самарский А.А. Классы устойчивых разностных схем // ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №5, с. 1096-1133.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. -416с.

12. Гулин А.В., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Устойчивость нелокальных разностных схем. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 380с.

13. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений по граничным условиям Дирихле//ЖВМ и МФ, 1972, т.12,№3, с.598-611.

14. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка в прямоугольнике по граничным условиям первого рода // Сб. работ НИВЦ МГУ "Вычислительные методы и программирование". М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977, с. 116-166.

15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Гулин А.В. Устойчивость операторно-разностных схем. // Дифф. уравнения, 1999, т.35, №2, с. 152-187.

16. Самарский А. А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск, 1998. —442с.

17. Мокин Ю.И., Лазаров Р.Д. Устойчивость эллиптических разностных схем в метриках Lpj, II Сб. "Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений". М.: Изд-во Моек ун-та, 1973.

18. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.-372 с.

19. Lions J.L., Magenes Е. Non-homogeneous boundary value problems and applications. v.2. Springer-Verlag, 1972. 242p.

20. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

21. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999. — 238с.

22. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536с.

23. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л., Самарский А.А. Применение точных разностных схем для построения и исследования разностных схем на обобщенных решениях // Матем. сборник, 1982, т.117, №4, с.469-480.

24. Лазаров Р.Д. К вопросу о сходимости разностных схем для обобщенных решений уравнения Пуассона. Препринт 11-80-807 ОИЯИ. Дубна, 1980. 16с.

25. Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Сходимость метода сеток и метода прямых для многомерных задач математической физики в классах обобщенных решений // ДАН СССР, 1981, т.259, №2, с.282-286.

26. Франк Л.С. Коэрцитивные краевые задачи для разностных операторов // ДАН СССР, 1970, т. 192, №1, с.42-45.

27. Кулешов А.А. Разностная аппроксимация и регуляризация одной задачи оптимального управления процессом, описываемым эллиптическим уравнением // ДАН СССР, 1983, т.269, №4, с.809-813.

28. Злотник А.А.Оценка скорости сходимости проекционно-сеточных методов для гиперболических уравнений второго порядка // Сб. Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып.8, с.116-167.

29. Злотник А.А. О скорости сходимости в Wj1 й вариационно-разностного метода для эллиптических уравнений // ДАН СССР, 1983, т.271, №4, с.784-788.

30. Злотник А.А., Киреева О.И. Проекционно-сеточпые методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных // Матем. заметки, 1996, т.60, вып.1, с. 138-143.

31. Geveci Т. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations in energy and negative norms // Math, of Comput., 1984, v.42, №166, pp.393-415.

32. Kok В., Geveci T. On the convergence of Galerkin approximation schemes for second-order hyperbolic equations with dissipation // Math, of Comput., 1985, v.44, №170, pp.379-390.

33. Железовский C.E., Ляшко А.Д. Оценки погрешности метода Галеркина для квазилинейных гиперболических уравнений // Дифф. уравнения, 2001, т.37, №7, с.941-949.

34. Железовский С.Е., Букесова Н.Н. Оценки погрешности проекционного метода для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения // Изв. вузов. Математика, 1999, №5, с.94-96.

35. Железовский С.Е. Метод Бубнова-Галеркина для абстрактной квазилинейной задачи о стационарном действии // Дифф. уравнения, 1995, т.31, №7, с. 12221231.

36. Железовский С.Е. О существовании и единственности решения и о скорости сходимости метода Бубнова-Галеркина для одной квазилинейной эволюционной задачи в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика, 1998, №10, с.37-45.

37. Зарубин А.Г. Исследование проекционной процедуры Галеркина-Петрова методом дробных степеней // ДАН СССР, 1987, т.297, №4, с.780-784.

38. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Фаэдо-Галеркина для квазилинейных нестационарных операторных уравнений // Дифф. уравнения, 1990, т.26, №12, с.2051-2059.

39. Смагин В.В. Оценки погрешности полудискретных приближений по Галеркину для параболических уравнений с краевым условием типа Неймана // Изв. вузов. Математика, 1996, №3, с.50-57.

40. Смагин В.В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений // Матем. сборник, 1997, т. 188, №3, с. 143-160.41