автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода

На правах рукописи

Науменко Ян Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и программные

комплексы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новочеркасск 2005

Работа выполнена на кафедре "Прикладная математика" ЮжноРоссийского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Астахов В. И.

доктор технических наук, профессор Сипливый Б, Н.

доктор технических наук, профессор Руденок И. П.

Ведущая организация: Ростовский государственный университет.

Защита состоится « 29 » июня 2005 г. в 10 часов на заседании совета К.212.029.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, г. Волгоград, Университетский проспект, 100.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан « 27 » мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Затрудина Р. Ш.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Существует обширный класс задач, в которых необходимо математическое моделирование и расчет стационарных и квазистационарных магнитных полей в присутствии идеально проводящих тел. В настоящее время устройства на основе сверхпроводящих элементов находят все более широкое применение в технике, особенно в связи со значительными успехами в проблеме получения высокотемпературных сверхпроводников. Более того, имеется значительный круг задач моделирования технических устройств, в которых некоторые элементы хотя и не являются сверхпроводниками, но могут считаться таковыми в технических приближениях.

Задачи, связанные с численными расчетами магнитнвгх полей в присутствии массивнвгх идеальнвгх проводников достаточно хорошо изучены. Для их численного моделирования применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода. Возможно и применение обычного метода конечный элементов (МКЭ). Хотя применение МКЭ для внешних краеввгх задач (к которым, как правило, сводится моделирование рассматриваемого класса устройств) и затруднено, тем не менее, эти трудности являются преодолимыми. Однако при рассмотрении магнитного поля в присутствии тонкослойный идеально-проводящих тел ситуация коренным образом меняется.

К задаче построения математической модели магнитного поля в присутствии разомкнутых идеально-проводящих поверхностей сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование устройств на основе сверхпроводящих пленок, моделирование крейсерского режима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода теряют силу на разомкнутых поверхностях. Попытки же использования МКЭ приводят к системам линейнвгх

алгебраических уравнений (СЛАУ), неприемлемым по своим свойствам для численного решения в силу колоссальной размерности и весьма плохой обусловленности. Вообще говоря, существующие в настоящее время математические модели неприменимы для моделирования магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников.

Важность практических задач, в которых необходимо моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников, а также отсутствие в настоящее время корректного математического и программного аппаратов для решения таких задач обусловливают актуальность выбранной темы диссертационного исследования.

Цели и задачи исследования. Целью работы является разработка математической модели магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей с краем, а также построение пакета прикладных программ, численно реализующего созданную математическую модель и позволяющего решать задачи прикладного характера.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

1. Получение обобщенного векторного интегрального уравнения первого рода для плотности поверхностных токов.

2. Построение эквивалентной уравнению вариационной задачи.

3. Доказательство существования и единственности решения вариационной задачи, а также его устойчивости.

4. Обоснование численного метода приближенного решения вариационной задачи, а также изыскание методик повышения его эффективности.

5. Реализация предложенного численного метода в виде пакета прикладных программ.

Научная новизна. Путем выбора подходящей пары гильбертовых пространств теоретически показано существование, единственность и устойчивость решения векторного интегрального уравнения первого рода, которое классическая теория относит к некорректным задачам.

Построен эффективный численный метод приближенного решения указанного уравнения. Показано, что при использовании базисных полей специального вида вычислительная сложность метода эквивалентна скалярной постановке. Таким образом, использование векторного уравнения не увеличивает вычислительную размерность задачи, при этом векторная постановка имеет ряд преимуществ. Четырехкратные интегралы (в общем случае имеющие особенности у подынтегральной функции), возникающие при численном нахождении элементов основной матрицы СЛАУ, аналитическим интегрированием сведены к однократным, без особенностей. Для ускорения формирования матрицы СЛАУ предложена простая асимптотическая формула, а также эффективный критерий ее применимости. Данная теория и численный метод сохраняют силу и для замкнутых поверхностей, являясь привлекательной альтернативой известным интегральным уравнениям второго рода, в силу простоты ядра интегрального оператора.

С помощью созданного на основе численного метода программного пакета исследован ряд практических задач моделирования электродинамического подвеса (ЭДП) высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ), адекватный анализ которых был невозможен при помощи известных методов.

Практическая значимость полученных результатов. Построенная теория применима для моделирования широкого класса устройств, включающих в себя идеально-проводящие элементы. Элементы могут быть как тонкослойными, так и массивными. К таким устройствам относятся системы на основе сверхпроводящих пленок, ЭДП ВСНТ, экраны для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д.

Реализация полученных результатов. Созданный прикладной программный пакет применен для исследования ряда практических задач моделирования ЭДП ВСНТ.

Основные положения, выносимые на защиту-

1. Векторное интегральное уравнение первого рода для плотности поверхностных токов является корректным в естественной для задач

энергетики и электротехники паре гильбертовых пространств, при этом поверхность (носитель плотности) может быть как с краем, так и без него.

2. Введенный в работе базис из кусочно-постоянных соленоидальных векторных полей является полным в энергетическом пространстве интегрального оператора в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца.

3. Ряд методик ускорения формирования основной матрицы СЛАУ в методе Ритца.

4. Предложенный в работе итерационный метод численного решения СЛАУ на основе метода Гаусса-Зейделя всегда сходится.

5. Созданный программный пакет пригоден для анализа реальных технических задач.

Апробация результатов диссертации. Основные положения диссертационной работы доложены и обсуждены на конференциях студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) 2002, 2003, 2004 и 2005 годов; «48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2003 г., г. Ильменау, Германия; «4th European Congress of Mathematics» («4-м Европейском математическом конгрессе»), 27.06-2.07.2004, г. Стокгольм, Швеция; Всероссийской научно-практическая конференции «Транспорт-2004», г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г.; Выездной сессии секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН «Альтернативные естественновозобновяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов», г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.; Первой ежегодной научной конференции базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 121 апреля 2005 г.; семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва); семинаре кафедры «Прикладная математика», ЮРГТУ(НПИ).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 12 статьях и материалах научно-технических конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения. Содержит 77 страниц машинописного текста, 28 иллюстраций, одно приложение. Библиографический список включает 53 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обоснована актуальность темы диссертационной работы. Приведены данные об апробации работы. Вкратце описано содержание и структура диссертации. Выполнен обзор работ, в которых в той или иной форме рассмотрена задача моделирования магнитного поля в присутствии идеальных проводников. Также приведен обзор текущего состояния теории интегральных уравнений первого рода. В частности, отмечено следующее.

Методы аналитического решения интегральных уравнений первого рода (для простых конфигураций поверхностей и контуров) развиты Г.А. Гринбергом, Н.Н. Лебедевым, ЮЛ. Иосселем, Л.Э. Цырлиным и др. Содержательная теория уравнений первого рода как неорректных задач математической физики, а также методы их регуляризации разработаны А.Н. Тихоновым, В Л. Арсени-ным, В.К. Ивановым, В.В. Васиным, В.П. Тананой, В.И. Дмитриевым, Е.В. Захаровым, И.П. Стадником, С.Н. Кадниковым, О.С. Ильенко и др. Систематическое исследование интегральных и интегро-дифференциальных уравнений первого рода теории потенциалов в парах функциональных пространств проведено В.И. Астаховым. Активно использованы уравнения первого рода при компьютерном решении электротехнических задач О.В. Гримальским, В Л. Ивановым, Е.С. Колечицким, А.А. Филлиповым и многими другими исследователями. В последние годы активизировались публикации, посвященные интегральным уравнениям первого рода в зарубежных изданиях. Примером могут служить работы Agarwal Ravi Р., О'Regan Donal, Zhao Xinquan, Li Yunzhang, Dai Xinrong.

Изложенное выше относится к скалярным уравнениям, а также к уравнениям для одкокомпонентных векторов (однонаправленных или имеющих кольцевую симметрию), легко сводимым к скалярному виду. Во многих инженер-

ных задачах электротехники и электроэнергетики такие условия не выполняются, поэтому рассмотрение векторных уравнений относительно полей, имеющих в указанных задачах естественную физическую интерпретацию, актуально.

Первая глава. Исследовано векторное интегральное уравнение первого рода, показано существование, единственность и устойчивость его решения.

Рассмотрим стационарное или квазистационарное магнитное поле индукции в присутствии конечной идеально проводящей поверхности (см. рис.1). Как известно, магнитное поле в идеальный проводник не проникает, по. этому условие идеальной проводимости можно запи-i к сать в виде:

где - единичный вектор нормали к

В терминах классического векторного потенциала выглядит как rot„ Л = 0 на 5,то есть

где С - некоторое поле, такое что rotnC = 0. Оператор Ру обнуляет компоненту поля, определенного на S, ортогональную поверхности S.

Для линейной однородной среды можно записать

где - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных)

источников; - магнитная проницаемость; - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между точками N, М. Из (2) следует

?s±^ds^_?sZiM)+m,Mes, о)

4*J/ rsu ц И

т.е. расчет результирующего поля сведется к решению уравнения (3) для (Г.

Неизвестное поле С подчиним требованию разрешимости уравнения (3) в классе соленоидальных полей, замыкающихся в пределах то есть

- край поверхности - единичный вектор внешней нормали к лежащий в касательной к плоскости. В случае, когда является многосвязной, необходимо добавить условие

где /,- - граница 1-го отверстия; т - число отверстий. Это условие означает отсутствие магнитного потока через отверстия.

Исследование уравнения (3), нагруженного условиями (4,5) выполнено вариационным методом. Будем полагать, что I удовлетворяет условиям Липшица, - условиям Липшица и Римана, а магнитное поле реакции обладает конечной энергией. Также в работе предполагается, что энергия невозмущенного магнитного поля конечна. Если данное условие не выполняется, то, как показано в диссертационной работе, для такого поля может быть получено эквивалентное ему в смысле реакции идеального проводника поле с конечной энергией.

Согласно результатам, полученным Вейлем для плоских множеств и развитых Фридрихсом для римановых поверхностей, векторное пространство квадратично-суммируемых полей допускает на разложение в прямую сумму

трех ортогональных подпространств: ^(5) = Дл)(5) © © ¿^(б1), где

состоит из обобщенных по Вейлю потенциальных, - соленои-

дальных, а ¿^ - гармонических полей. При этом, пространство ¿^ является конечномерным, размерность которого на единицу меньше связности поверхности Введем обозначение В соответствии с (4) роль исходного пространства для вариационного метода следует отвести

Обозначим через оператор ортогонального проектирования на

Существование такого оператора следует из его определения. Далее подействуем им на обе части равенства в (3) и результат запишем в виде

а также учтено, что согласно условию (55) и что Р£ всякое потен-

циальное поле аннулирует, то есть Рд g = 0 для Vg е ¿^(Х).

В диссертационной работе показывается, что уравнения (3) и (6) — эквивалентны.

Очевидно, Т - линейный оператор, а £ может служить областью его определения. В диссертации доказывается, что он также самосопряжен и положителен в £. Согласно Михлину, этих свойств достаточно, чтобы уравнение (6) и вариационная задача

были эквивалентны в энергетическом пространстве оператора Т в £. Обозначим это пространство через , тогда

а поскольку в рамках вариационного метода получается у нас замыканием по норме (9) пространства £, то эквивалентность уравнения (6) и задачи (3-5) сохраняется в £г. Отметим еще, что входящий в Т оргопроектор Р£ при вычислении скалярных произведений в (8,9) можно опустить, то есть использовать представления

более удобные для численной реализации.

В диссертационной работе показано, что условием ограниченности функционала является продолжимость свободного члена во

все пространство как элемента из И^ (£2). В случае, когда внешнее магнитное поле задано во всем пространстве (например, своими источниками), выполнение условия продолжимости очевидно. На основании теоремы Рисса норма функционала З(о') оценивается через энергию, заключенную в магнитном поле стационарных источников. Поэтому решение вариационной задачи (8), а значит, и уравнения (6) не только существует и единственно в но также

Последнее означает, в частности, что погрешность в

энергии магнитного поля реакции не превысит аналогичной погрешности поля сторонних источников, вызвавшей нарушение свободного члена уравнения (6). В этом смысле решение уравнения (6) устойчиво. Отметим, что все описанные выше теоретические результаты двух последних параграфов остаются в силе, когда 5 является замкнутой поверхностью. Это имеет место, например, когда сверхпроводник является массивным односвязным телом. В отличие от ситуации, когда разомкнутая, для этого случая применимы хорошо известные и изученные уравнения второго рода. Однако относительно простая форма ядра интегрального уравнения первого рода является привлекательной альтернативой уравнениям второго рода при численной реализации.

Рассмотрим подробнее условие (5). С физической точки зрения оно означает, что сверхпроводник попал в магнитное поле после своего перехода в сверхпроводящее состояние. Условие (5) нарушается, если многосвязная сверхпроводящая поверхность находится в режиме сверхпроводящего соленоида, т.е. сама используется в качестве источника магнитного поля. В этом случае условие (5) заменяется на

С^Са? = Ф,, /=£»», (12)

I,

где - заданный магнитный поток через отверстие в поверхности

Для простоты изложения, считаем, что внешнее магнитное поле отсутствует. Для того, чтобы свести уравнение (3) с условиями (4,12) к уже исследо-

ванному обобщенному уравнению (6), рассмотрим А*- векторный потенциал трубки с магнитным полем такого диаметра, что ока полностью помещается в отверстие / и, следовательно, не пересекает и при этом поток в трубке =-Ф,. Замыкаться она может в том числе и на бесконечности. Возьмем систему контуров проходящих через соответствующие отверстия в

поверхности Я и замыкающиеся вне ее (см. рис 1). Тогда одним из возможных аналитических представлений окажется следующее:

Используя введенные потенциалы А*, мы получим вместо уравнения (3) с условиями (4,12) эквивалентное ему уравнение

с дополнительными условиями

сИусг = 0 на 5, (ГУ = 0 на 1, (14)

= (15)

Уравнение (13) с условиями (14,15), является частным случаем уравнения (3) с условиями (4,5), и, следовательно, обладает в энергетическом пространстве теми же свойствами: разрешимостью, единственностью и устойчивостью.

Вторая глава. Решение вариационной задачи (8), а следовательно, и уравнения (6) дает последовательность Ритца где

- базис, состоящий из линейно-независимых функций, принадлежащих ¿£(3)', {с^"*} - решение СЛАУ

с<"> = --(^Д, /=12..м. (16)

При выборе базиса учтем, что операция векторного умножения на нормаль п К 5 превращает всякое соленоидальное поле на Б в потенциальное поле, а всякое потенциальное, напротив, - в соленоидальное. Поэтому, если в качестве Ък взять повернутый на 90° в плоскости 5 градиент кусочно-линейной функции с локальным носителем, широко применяемой в методе конечных элементов для

аппроксимации слабых решений краевых задач, то будем иметь

Рис. 2

соленоидальную кусочно-постоянную функцию, изображенную с фрагментом триангуляции на рис. 2. В диссертационной работе показывается,

что что построенный указанным способом базис обладает в

полнотой в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца. Рассмотрим множество Д£ треугольников разбиения, имеющих общие точки с границей отверстия. С каждым из треугольников связана вектор-константа, таким образом, что она параллельна той стороне треугольника, которая совпадает с границей множества ДЕ. Вектор-константы откалиброваны таким образом, чтобы полученное базисное поле являлось соленоидальным. С каждым из отверстий связывается такое базисное поле. Пополненный этими полями базис является полным в Построенный базис обладает полнотой и в пространстве , так как пространство является в плотным множеством.

Обозначим носитель 1-го базисного поля как 5,-. При формировании на ЭВМ СЛАУ (16) наибольшее время тратится на нахождение значений элементов основной матрицы, так как оно сопряжено с вычислением четырехкратного интеграла. При интегрировании имеют место особенности в каждой точке множества При использовании выбранных базисных полей нахож-

дение элементов основной матрицы СЛАУ (16) сводится к последовательному

взятию интегралов следующего вида:

Здесь под понимается А-Й и р-Й треугольники некоторой триангуляции

поверхности Б соответственно. В случае, когда треугольники И ,!>* лежат в

одной плоскости, кратность интеграла (17) можно снизить путем аналитического интегрирования. В работе показывается, что интеграл (17) сводится к интегралам следующего вида:

(18)

Н

Здесь 1х,1г - отрезки прямых. После преобразования системы координат на плоскости при помощи поворота и сдвига интеграл (18) сводится к следующему представлению означает длину отрезка

к 1

Дальнейшие преобразования нецелесообразны и численное значение интеграла (19) получается с помощью шеститочечной квадратуры Гаусса.

Формула, определяющий величину скалярного произведения между базисными полями в обладает выраженной асимптотикой при условии, что диаметр носителей базисных полей много меньше расстояния между центрами носителей. Начиная с некоторого расстояния элементы матрицы рассчитываются по упрощенным (асимптотическим) формулам. В качестве критерия применимости упрощенной формулы используется длина пути по графу между узлами. Если кратчайший путь между двумя узлами триангуляции не превышает м звеньев, то расчет ведется по полной формуле, в противном случае - по упрощенной. Предлагаемый подход имеет еще и то преимущество, что при измельчении триангуляции можно считать, что величина м не меняется, так как она в приближенной форме задает на поверхности расстояние в относительных единицах. При построении матрицы необходимо для каждого узла графа, за исключением граничных, найти вершины, лежащие от текущего узла на расстоянии не более м звеньев. Для этого нами применяется модификация хорошо из-

(19)

вестного алгоритма обхода графа «поиск в ширину». Асимптотическая формула имеет вид:

Здесь М1 - магнитный момент /-Г0 базисного тока. Магнитный момент находится по формуле:

Здесь 11 - суммарный ток, текущий по базисному элементу (приближенно считаем, что он весь сосредоточен на границе элемента, т.е. имеет место классический виток с током); тга(5{) - площадь носителя ¿-ГО базисного поля; и,-единичная нормаль к плоскости базисного элемента, связанная с направлением тока 11 правым винтом. Практические вычисления показывают, что относительная погрешность е формулы (20) быстро падает с ростом номера слоя и при V/ = 15 сравнима с вычислительной погрешностью для формулы (19). В силу простоты асимтотической формулы (20) оказывается целесообразным отказаться от хранения в оперативной памяти элементов матрицы СЛАУ, вычисляемых по упрощенной формуле. Уменьшение используемого объема оперативной памяти и вызванное этим сокращение дискового кэширования компенсируют увеличение вычислительных затрат.

Для численного решения СЛАУ (16) был выбран итерационный метод Гаусса-Зейделя. Напомним, что оператор Т в уравнении (6) является положительным. Этого достаточно, чтобы основная матрица системы (16) являлась положительно-определенной. Для таких матриц численный метод Гаусса-Зейделя всегда сходится. Важным с практической точки зрения свойством матрицы СЛАУ (16) является доминирование главной диагонали. Это свойство определяется наличием у подынтегральной функции в формуле (17) особенностей, возникающих при условии . Благодаря этому метод Гаусса-Зейделя

быстро сходится (на практике для достижения относительной точности требуется не более 30 итераций).

Третья глава. В начале главы приводится краткое описание программного пакета и внешний вид программных модулей. Далее описывается ряд модельных задач, которые послужили для отладки и контроля программного пакета и метода. В качестве первого, простого контрольного примера, предназначенного для отладки программного пакета, использовалась плоская квадратная область с магнит-«• 1 П" ным диполем, висящим над ее центром на высоте, много меньшей длины стороны квадрата. В такой системе можно считать, что диполь висит над идеально проводящим полупространством. Плотность вихревых токов на поверхности полупространства была найдена аналитически методом зеркальных отображений. На рис. 3 приведен найденный численно график плотности тока в срединном сечении пластины в сравнении с аналитической

кривой(высота подвеса диполя равна длины стороны квадратной пластины). Погрешность расчета столь мала, что кривые

Рис.3

на ряс. 3 слились в одну. Недостатком описанного контрольного примера является невозможность проанализировать качество работы пакета при наличии краевого эффекта. Для проверки адекватности результатов, получаемых программой в этом случае, была сформулирована модельная задача,

0.2 0.4 ».»

Рис. 4

аналитическое решение которой возможно в плоскопараллельном приближении. Подобная постановка возможна, в частности, в случае сверхпроводящей полосы (прямоугольной пластины, длина которой много больше ее ширины), а источником магнитного поля являются два тонких бесконечно длинных провода Распределение плотности поверхностных токов может быть найдено на основе аналитического решения методом Фурье внешней краевой задачи для

уравнения Лапласа в эллиптических координатах. Плотность токов на эллиптической координатной кривой задается двумя 3-функциями: токами проводов. При численном расчете использовалась длинная полоса, а контрольные значения (Тх брались посередине длины полосы. Данные контроля приведены на рис. 4, где кривая 1 - аналитический расчет, кривая 2 - результат работы программы. Как видно из рис. 4, решения близки даже локально. Отметим, что для достижения приемлемой относительной погрешности (4%) при расчете силы достаточно весьма грубого разбиения, с количеством узлов, в десятки раз меньшим, чем потребовалось для получения рис. 3.

Расчет плотности токов на криволинейной многосвязной поверхности 5 сложной формы приведен на рис. 5. Невозмущенное магнитное поле однородно и параллельно оси

Примером практического применения построенной теории и программного пакета явля-

/у

ется задача моделирования ЭДП ВСНТ. Эта за-

Рис.5

дача сводится изучению силового взаимодействия движущейся бесконечно длинной проводящей полосы (рельса) и стационарного магнитного поля. Для основного скоростного режима ЭДП ВСНТ оправдано высокоскоростное приближение где V - скорость ЭДП ВСНТ, Г - проводимость материала, - толщина полосы, так как достаточная подъемная сила развивается только при больших скоростях движения экипажа. В указанной ситуации подъемная сила является лишь функцией геометрии

системы. Подобная картина наблюдается и при не-(

подвижном экипаже, если полотно обладает сверх-о I 5 в 4 проводимостью. Поэтому к моделированию описан-

ной задачи применима теория и численный метод,

Рис.6

разработанные в настоящей работе. Существенно, что при их использовании не предполагается однородность рельса, т.е. существует возможность анализа поведения ЭДП при наличии тех или иных нерегулярностей в проводящей полосе. Одной из таких задач является моделирование поведения силы левитации FL при наличии разрыва рельса. Попытки построить адекватную модель такой ситуации с использованием известного математического аппарата предпринимались, но успеха не имели. Наш расчет силы левитации токонесущей рамки приведен в относительных единицах на рис. 6 (кривая 1 - разрыв с шириной 0,6 м, кривая 2 - разрыв с шириной 0,3 м, кривая 3 - 0,01 м). Рамка 3x0,5м, h = 0,3 м; / = 0,5 M. d - смещение середины рамки относительно центра щели. Пунктирной линией на рис. 6 изображена известная нормированная зависимость для бесконечно широкого рельса и бесконечно длинной и бесконечно широкой рамки (выродившейся в уединенный провод), полученная Marin L. и Lee К. для геометрических параметров, соответствующих кривой 1. Как видно, воздействие щели даже малой ширины существенно.

Еще одним применением созданного математического и программного обеспечения является анализ поведения силы сталкивания действующей на

вертикально расположенную рамку с током при приближении к краю рельса (рис. 7). Анализ этой задачи в "0'2 случае проводящей полуплоскости известен. При конечной ширине рельса наблюдаемая картина существенно изменяется. Данные расчетов для сравнения приведены на рис. 8 (рамка кривая 1 соответствует кривая 2

- то же для полубесконечного рельса). - смещение рамки в сторону края рельса относительно начального положения. Как видно, в случае рельса конечной ширины сила сталкивания меняет знак.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

На основе выполненных в диссертационной работе исследований можно сделать следующие выводы:

1. Векторное интегральное уравнение первого рода для плотности поверхностных токов на разомкнутой многосвязной поверхности-носителе является корректным в естественной для задач энергетики и электротехники паре гильбертовых векторных пространств. Все полученные результаты остаются в силе и для замкнутых поверхностей. И в этом случае, в силу простой формы ядра интегрального уравнения первого рода оно является привлекательной для численной реализации альтернативой известным интегральным уравнениям второго рода.

2. На основе ортогональных разложений Вейля векторного пространства Ьг для части плоскости, разложений Фридрихса для римановых поверхностей с краем и триангуляции поверхности-носителя построен базис из кусочно-постоянных соленоидальных векторных полей. Показано, что полученный базис является полным в энергетическом пространстве интегрального оператора £г в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца. Использование указанного базиса обеспечивает размерность СЛАУ, совпадающую с таковой для скалярной постановки задачи, т.е. использование векторного уравнения не приводит к увеличению вычислительной сложности.

3. Четырехкратные интегралы с особенностями, вычисление которых необходимо при нахождении элементов основной матрицы СЛАУ, приводятся к однократным с помощью аналитического интегрирования. При этом получаемая подынтегральная функция особенностей не имеет. Для скалярного произведения базисных полей, диаметр носителя которых много меньше расстояния между их геометрическими центрами получена приближенная асимптотическая формула. Построен эффективный критерий применимости асимптотической формулы, не требующий вычислений с плавающей точкой. Предложенный в работе итерационный алгоритм численного решения СЛАУ на основе метода Гаусса-Зейделя сходится.

4. Создан эффективный программный пакет для численного решения интегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах.

5. Созданный программный пакет пригоден для анализа реальных технических задач. С его помощью исследована техническая задача расчета силовых параметров ЭДП ВСНТ при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при небольших боковых отклонениях.

Круг применения практических результатов диссертационной работы не ограничивается моделированием электродинамического подвеса ВСНТ. На основе созданного программного пакета можно моделировать широкий класс устройств, содержащих в себе идеально-проводящие элементы (идеальная проводимость может быть некоторым приближением, как, например, в расчетах экранов для защиты персонала и чувствительного оборудования от переменного магнитного поля).

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численное решение интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Материалы 51-й науч.-техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 173-175

2. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численный метод решения интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки, 2002, Спец. выпуск. - С. 106-107.

3. Науменко Я. А., Астахов В.И. Некоторые вычислительные аспекты решения векторного интегрального уравнения первого рода // Материалы 52-й науч.-техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 110-111.

4. Науменко Я. А., Астахов В.И. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально-проводящей пластины с краем // Известия вузов. Электромеханика, 2003. №5. - С. 11-16.

5. Науменко Я. А., Астахов В.И. The numerical method for magnetic field Computing in presence of ideal conductor by using of the integral equation of the first kind // 48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, 22-25. 09.2003. Ilmenau, 2003.-P. 615-616.

6. Науменко Я. А., Астахов В.И. Ускорение формирования матрицы Грама энергетического пространства интегрального оператора // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2004, Спец. выпуск. - С. 116-117.

7. Науменко Я. А., Астахов В.И. Интегральные уравнения первого рода в задачах моделирования электродинамического подвеса // Студенческая научная весна - 2004: Материалы 53-й науч.-техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ) / Юж, - Рос. гос. техн. ун-т. - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004. -Ч.1.-С. 13-15.

8. Науменко Я. А., Астахов В.И. Экстраполяция предельного значения силы левитации электродинамического подвеса в зону конечных крейсерских скоростей // Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы IV Международной научно-практической конференции, 9 апреля 2004 г., г. Новочеркасск / Южно-Российский государственный технический университет (НПИ). -Новочеркасск: ЮРГТУ, 2004.-Ч.1. -С. 13-15.

9. Науменко Я. А., Астахов В.И. Моделирование электродинамического подвеса высокоскоростного наземного транспорта методом интегральных уравнений первого рода // Материалы Всероссийской научно -практической конференции «Транспорт-2004» г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г. / Рост. гос. ун-т, путей сообщения - г. Ростов-на-Дону , 2004 - Ч . 1. - С, 21-22.

10.Науменко Я. А. Ускорение сходимости итерационного процесса решения СЛАУ специального вида // Южно-Российский государственный техниче-

ский университет (НПИ). Новочеркасск. Редакция журнала Изв. вузов. Электромеханика. - 2004. - С. 40-42.

П.Науменко Я. А., Астахов В.И. Моделирование крейсерского режима движения электродинамического подвеса методом интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Электромеханика. - 2005. - № 1. - С. 3-4.

12.Астахов В.И., Науменко Я. А. О корректности и методе решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений первого рода в задачах расчета статических и стационарных полей // Материалы выездной сессии секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г. / г. Ессентуки, 2005. - 4.2. - С. 133-139.

Науменко Ян Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

Автореферат

Подписано в печать 25.05.0S. Формат 60x84 '/ю. Бумага офсетная. Плоская печать (ризограф). Печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 715.

Типография ЮРГТУ (НПИ) 346428, г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132 Тел., факс (863-52) 5-53-03. E-mail: lvpograpliv@novoch.ru

1181

Введение.

Глава 1. Математическая модель.

1.1 Обобщенная постановка.

1.2. Исследование уравнения.

1.3. Случай «вмороженных потоков».

Выводы по главе 1.

Глава 2. Численная реализация.

2.1. Численный метод.

2.2. Особенности реализации.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Программный пакет, примеры его практического применения.

3.1. Краткое описание пакета.

3.2. Контрольные задачи.

3.3. Примеры практического применения.

Выводы по главе 3.

Существует обширный класс задач, в которых необходимо математическое моделирование и расчет стационарных и квазистационарных магнитных полей в присутствии идеально проводящих тел. В настоящее время устройства на основе сверхпроводящих элементов находят все более широкое применение в технике, особенно в связи со значительными успехами в проблеме получения высокотемпературных сверхпроводников. Более того, имеется значительный круг задач моделирования технических устройств, в которых некоторые элементы хотя и не являются сверхпроводниками, но, тем не менее, могут считаться таковыми в технических приближениях.

Задачи, связанные с численными расчетами магнитных полей в присутствии массивных идеальных проводников достаточно хорошо изучены. Для их численного моделирования применимы известные интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода (исследование таких уравнений на ляпуновских поверхностях в классах Гельдера и в классах квадратично-суммируемых функций сделано в [1, 2], на кусочно-гладких липшицевых поверхностях и контурах в классах функций с энергетической метрикой - в [3]). Возможно и применение обычного метода конечных элементов (МКЭ). Хотя применение МКЭ для внешних краевых задач (к которым, как правило, сводится моделирование рассматриваемого класса устройств) и затруднено, тем не менее эти трудности являются преодолимыми.

Значительно большие трудности вызывает моделирование магнитного поля в присутствии тонкослойных идеальных проводников (пленок) с краем (случай тонких замкнутых оболочек также охватывается работой [3]). Их толщина обычно столь мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, что естественно считать их бесконечно тонкими, то есть сверхпроводящими поверхностями. Более того, попытка учитывать при моделировании их толщину приводит к численно неустойчивым задачам. К указанной задаче сводится обширный класс технических проблем, например, моделирование устройств на основе сверхпроводящих пленок, моделирование крейсерского режима движения высокоскоростного наземного транспорта, проектирование экранов для защиты персонала и высокочувствительного оборудования и т.д. Имеется достаточно много работ, в которых предприняты попытки построить модель описываемой задачи, хотя бы и в частных случаях. Укажем лишь некоторые из них. Для простых цилиндрических оболочек в работе [4] предложен метод аналитического решения. В работе [5] рассмотрен вариант, когда формулировка задачи допускает плоскопараллельное приближение. Трехмерная модель для источников поля и тонкослойного проводника специальных геометрических форм получена в [6]. Более общие результаты, полученные для задачи экранирования персонала, имеются в [7], однако, применимость использованной математической модели достаточно спорна. Более того, сами авторы работы [7] отмечают значительную численную погрешность получаемого решения (порядка 40% по невязке свободного члена).

Основной трудностью численного моделирования магнитного поля в присутствии идеально-проводящих поверхностей произвольной формы с краем является то, что известные интегральные уравнения второго рода теряют смысл на разомкнутых поверхностях. Попытки же использования МКЭ для таких задач приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) колоссальной размерности, являющимся к тому же плохо обусловленными.

В данной диссертационной работе предлагается математическая модель на основе векторного интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов. Классическая теория указывает на численную неустойчивость таких уравнений [8]. Однако имеются многочисленные примеры применения интегральных уравнений первого рода к задаче расчета электростатических емкостей систем проводников [9]. Отмечено, что ожидаемая численная неустойчивость не наблюдается, что было принято истолковывать проявлением так называемой саморегуляризации. До появления работы [30], удовлетворительной теории, объясняющей обнаруженную экспериментально численную устойчивость скалярных интегральных уравнений электростатики первого рода не было. Напротив, попыток применения векторных интегральных уравнений первого рода к расчетам магнитных полей в литературе почти не имеется. В упоминавшейся работе [6] для расчета магнитного поля в присутствии идеального проводника специальной формы применяется скалярное интегральное уравнение первого рода с весьма сложным ядром. К сожалению, в статье [6] отсутствует какое-либо обоснование применимости используемой математической модели и лишь отмечается численная устойчивость уравнения, выявленная в процессе численных экспериментов. Такое отсутствие интереса в литературе связано, видимо, с тем, что от векторной постановки задачи ожидается высокая вычислительная размерность. Однако, в настоящей работе показано, что при применении базисных полей специального вида вычислительная размерность модели не возрастает по сравнению со скалярными постановками (например в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода для функции потока), и при этом имеет по сравнению со скалярными постановками ряд преимуществ. Теоретические вопросы существования и единственности решений интегральных уравнений первого рода различных специальных типов можно найти, например, в [10-18]. Однако вопрос корректности таких уравнений ни в одной из указанных работ практически не затрагивается.

В главе первой настоящей работы рассматриваются теоретические аспекты математической модели в виде интегрального уравнения для поверхностных токов. Для указанного уравнения строится вариационное обобщение и показывается, что при подходящем выборе пары гильбертовых пространств, в которых действует оператор уравнения, интегральное уравнение первого рода разрешимо единственным образом и притом устойчиво. Здесь же отмечается, что теория остается справедливой и для замкнутых поверхностей, причем простой вид ядра уравнения первого рода делает его привлекательной альтернативой для численной реализации по сравнению с интегральными уравнениями первого рода.

Во второй главе предлагается и обосновывается численный метод решения уравнения и различные методы его эффективизации.

В третьей главе описывается созданный на основе построенной теории программный пакет, приводятся результаты многочисленных контрольных расчетов. Также в этой главе рассмотрены примеры моделирования реальных технических задач с использованием созданного программного пакета.

В приложении приводится краткое описание использовавшихся в первой главе гильбертовых пространств.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [19-30]. Она была апробирована на следующих конференциях:

1. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) 2002, 2003, 2004 и 2005 годов.

2. «48. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь 2003 г., г. Ильменау, Германия.

3. «4th European Congress of Mathematics» («4-й Европейский математический конгресс»), 27.06-2.07.2004, г. Стокгольм, Швеция.

4. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2004», г. Ростов-на-Дону, 25-27 мая 2004 г.

5. Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобно-вяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, 12-15 апреля 2005 г.

6. Первая ежегодная научная конференция базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 1-21 апреля 2005 г.

По основным результатам диссертационной работы был сделан доклад на семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва), который заслужил похвальную оценку.

Выводы по главе 3

1. Создан эффективный программный пакет для численного решения интегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотности поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе.

2. При помощи созданного пакета исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса ВСНТ при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения.

3. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при не слишком больших боковых отклонениях.

64

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе выполненных в диссертационной работе исследований векторного интегрального уравнения первого рода для плотности поверхностных токов в идеальном проводнике можно сделать следующие выводы:

1. Интегральное уравнение

471 S rNM М- Мс условиями diver = 0 на S, crv = 0 на/, jCdl = Ot, i = l,m, U является корректным в естественной для задач энергетики и электротехники паре векторных функциональных пространств (здесь А°{м) - потенциал невозмущенного магнитного поля внешних (заданных) источников; /л - магнитная проницаемость; <т - плотность поверхностных токов; гш - расстояние между точками N, М; С - некоторое поле, такое что rotn С = 0; оператор Р5 обнуляет компоненту поля, определенного на S, ортогональную поверхности S; / - край поверхности S, v - единичный вектор внешней нормали к /, лежащий в касательной к S плоскости; Ф/ - заданный магнитный поток через отверстие i в поверхности S; Ц - граница отверстия i\ m - число отверстий). Все полученные результаты остаются в силе и для замкнутых поверхностей. Однако и в этом случае, в силу простой формы ядра интегрального уравнения первого рода оно является привлекательной для численной реализации альтернативой известным интегральным уравнениям второго рода.

2. На основе ортогональных разложений Вейля [37] векторного пространства L2 для части плоскости, разложений Фридрихса [38] для римановых поверхностей с краем и триангуляции поверхности-носителя построен базис из кусочно-постоянных соленоидальных векторных полей. Согласно теории аппроксимации пространств Соболева W\ полученный базис является полным в пространстве £г в смысле сходимости аппроксимативной последовательности Ритца (пространство £г введено в главе 1). Использование указанного базиса обеспечивает размерность СЛАУ, совпадающую с таковой для скалярной постановки задачи, т.е. использование векторного уравнения не приводит к увеличению вычислительной сложности.

3. Четырехкратные интегралы с особенностями, вычисление которых необходимо при нахождении элементов основной матрицы СЛАУ, приводятся к однократным с помощью аналитического интегрирования. При этом получаемая подынтегральная функция особенностей не имеет. На основе полученной формулы и шеститочечной квадратуры Гаусса построена численно-эффективная высокоточная процедура вычисления элементов матрицы СЛАУ. Для скалярного произведения базисных полей, диаметр носителя которых много меньше расстояния между их геометрическими центрами получена приближенная асимптотическая формула. Опираясь на метод поиска в графе в ширину, построен эффективный критерий применимости асимптотической формулы, применение которого не требует выполнения вычислений с плавающей точкой. Скалярное произведение базисных полей быстро стремится к нулю при росте расстояния между геометрическими центрами носителей, поэтому на основании описанного выше критерия получена эмпирическая зависимость, указывающая, когда можно положить значение скалярного произведения равным нулю без потери точности численного решения. Предложенный в работе итерационный алгоритм численного решения СЛАУ на основе метода Гаусса-Зейделя сходится.

4. Создан эффективный программный пакет для численного решения ин-» тегрального уравнения на плоских и криволинейных поверхностях с отверстиями и без них. Правильность работы программного продукта проконтролирована на нескольких различных тестовых задачах. В процессе аналитического решения одной из контрольных задач проанализирована асимптотика плотности поверхностных токов при приближении к прямолинейной границе.

5. Созданный программный пакет пригоден для анализа реальных технических задач. С его помощью исследована техническая задача расчета силовых параметров электродинамического подвеса высокоскоростного наземного транспорта (ВСНТ) при прохождении над разрывом рельса в крейсерском режиме движения. Также проанализирован вопрос боковой устойчивости вертикально расположенной над рельсом движущейся токовой рамки. Выявлено, что в случае рельса конечной ширины положение вертикальной рамки устойчиво при небольших боковых отклонениях.

Круг применения практических результатов диссертационной работы не ограничивается моделированием электродинамического подвеса ВСНТ. На основе созданного программного пакета можно моделировать широкий класс устройств, содержащих в себе идеально-проводящие элементы (идеальная проводимость может быть и некоторым допустимым инженерным приближением, как это, например, имеет место в расчетах экранов для защиты персонала и чувствительного оборудования от переменного магнитного поля).

1. Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: Гостехтеориздат, 1953.

2. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычислительные методы и программирование. -М.: Изд-во МГУ, 1968. -Вып. 10. -С. 49-54.

3. Астахов В. И. Поверхностные потенциалы и операторы теории потенциала в пространствах Дирихле // Известия вузов. Электромеханика. 2000, №2.-С. 3-18.

4. Ковбасенко Ю. П. Расчет вихревых токов в тонкостенных оболочках // Электричество. 1992, №14. С. 45-47.

5. Некрасов Н. Н., Смирнов С. А. К расчету вихревых токов в тонкой пластине // Электричество. 1998, №10. С. 61-65.

6. Михайлов В. М. Функции Грина и интегральные уравнения плоскомеридиональных полей устройств с длинными цилиндрами // Электричество. 1991,№10.-С. 38-42.

7. Рудаков М. Л. Расчет незамкнутых электромагнитных экранов методом интегральных уравнений // Изв. Академии наук. Энергетика. 2000, №3. -С. 53-61.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224 с.

9. Кадников С. Н., Полумисков М. А. Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярных интегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек // Электричество. 1989, №1. С. 66-70.

10. Agarwal Ravi P., O'Regan Donal Fredholm and Volterra integral equations with integrable singularities // Hokkaido Math. J. 2004. 33, #2. P. 443-456.

11. Abdou M.A., Salama F.A. Integral equations and contact problem // Appl. Math, and Comput., 2004. 149, #3. P. 735-746.

12. Dobner H.-J. A method for estimating the solution of integral equations encountered in potential theory // Appl. Math, and Comput., 2000. 109, #2-3. P. 199-204.

13. Zhao Xinquan The steepest descent solution for Fredholm integral equation // Acta Math. Sci., 2000. 20. P. 658-662.

14. Li Yunzhang, Dai Xinrong A note on continous refinement equations // Chin. J. Eng. Math., 2000. 17, #2. P. 48-52.

15. Natroshvili David, Arens Tilo, Chandler-Wilbe Simon Uniqueness, existence, and integral equation formulations for interface scattering problems // Mem. Differ. Equat. and Math. Phys. 2003, 30. P. 105-146.

16. Валеева P.T., Габдулхаев Б.Г. Об обращении многомерных сингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Математика 2003, №Ю.-С. 13-25.

17. Денисов A.M. Существование и единственность решения систем интегральных уравнений первого рода // Дифф. ур-я 2003. 39, №9. С. 12011208,1294.

18. Jin Jian-Ming On wavelet function solutions for first kind integral equations // J. Northw. Norm. Univ. Nabur Sci., 2000. 36, #4. P. 1-6.

19. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численное решение интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Материалы 51-й науч. техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "На-бла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 173-175

20. Науменко Я. А., Астахов В.И. Численный метод решения интегрального уравнения первого рода для плотности тока // Известия вузов. СевероКавказский регион. Технические науки. 2002, Спец. выпуск. С. 106-107.

21. Науменко Я. А., Астахов В.И. Некоторые вычислительные аспекты решения векторного интегрального уравнения первого рода // Материалы 52-й науч. техн. конф. студентов и аспирантов ЮРГТУ (НПИ). - Новочеркасск: УПЦ "Набла" ЮРГТУ (НПИ), 2003. - С. 110-111.

22. Науменко Я. А., Астахов В.И. Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально-проводящей пластины с краем // Известия вузов. Электромеханика, 2003. №5. С. 11-16.

23. Науменко Я. А., Астахов В.И. Ускорение формирования матрицы Грама энергетического пространства интегрального оператора // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2004, Спец. выпуск. С. 116-117.

24. Науменко Я. А. Ускорение сходимости итерационного процесса решения СЛАУ специального вида // Южно-Российский государственный технический университет (НПИ). Новочеркасск. Редакция журнала Изв. вузов. Электромеханика. 2004. - С. 40-42.

25. Науменко Я. А., Астахов В.И. Моделирование крейсерского режима движения электродинамического подвеса методом интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Электромеханика. 2005. - №1. - С. 3-4.

26. Тозони О. В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975.

27. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977.

28. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1965.

29. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

30. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

31. Ладыженская О. А., Солонников В. А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики вязкой жидкости // Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. 59 (1960). С. 115-173.

32. Weyl. Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. Journal, 7 (1940). P. 411-444.

33. Friedrichs К. O. Differential forms on Riemannian manifolds // Comm. on Pure and Appl. Math., 1955, Vol. VIII. P. 551-590.39