Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости

Попов, Дмитрий Иванович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости

кандидата физико-математических наук: Попов, Дмитрий Иванович
город: Барнаул
год: 2007
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости"

На правах рукописи

Попов Дмитрий Иванович

Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул - 2007

003054010

Работа выполнена на кафедре экспериментальной физики ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Сагалаков Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук,

профессор

Ведущая организация - Институт теплофизики СО РАН.

Защита состоится 2 марта 2007 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 в Алтайском государственном университете по адресу: 656049, г.Барнаул, пр. Ленина, 61. Конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского госу-дар-ственного университета по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина,

Родионов Евгений Дмитриевич

доктор физико-математических

наук,

с.н.с.

Федорук Михаил Петрович

61.

Автореферат разослан « 3 О » января 2007г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

могут быть средством качественного исследования влияния параметров модели на структуру спектра малых возмущений. О необходимости развития спектральной теории говорит тот факт, что строгий результат об абсолютной устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе не получен по сей день. Сравнительно недавними явились результаты зарубежных авторов (ТгеГеЛеп (Я. а1.) по применению теории псевдоспектров для исследования устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе. Количественное исследование спектра линеаризованных уравнений, как правило, сопряжено с решением задачи на собственные значения для уравнений с малым параметром при старшей производной. Данное обстоятельство накладывает определенные ограничения и требования на численные методы, исследование сходимости которых необходимо проводить отдельно. Изучение бифуркаций и возникновения турбулентности течений гидродинамических систем сопряжено с огромным объемом вычислительной работы. При этом даже в случае, когда существует строгая теория (например, движений системы на аттракторе), нет возможности проверить строгую выполнимость условий теорем, поэтому многие результаты проверяются посредством численного эксперимента. Наиболее распространен при исследовании бифуркации метод Ляпунова-Шмидта, позволяющий свести задачу ветвления к аналогичной проблеме для системы малой размерности и получать вторичные режимы в виде ряда по степеням малого параметра. В вычислительном плане наиболее эффективными являются спектральные методы конечномерной дискретизации гидродинамических уравнений. Прямое численное моделирование ламинарно-турбулентного перехода остается основным средством исследователя даже в отсутствии глобальной теоремы существования.

Цель работы. Исследование возможности моделирования ламинарно-турбулентного перехода для монодисперсных смесей. Разработка библиотеки процедур для автоматизации отыскания собственных значений линеаризованной задачи. Исследование применимости спектральных методов для моделирования колебательной неустойчивости параллельных течений смеси. Качественный и количественный анализ спектра линеаризованных уравнений движения монодисперсной смеси в окрестности некоторого стационарного параллельного течения.

Решаемые задачи:

1. Возможность математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Примени-

мость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.

2. Разработка библиотек, позволяющих автоматизировать решение задачи на собственные значения, с использованием метода дифференциальной прогонки. Исследование условий применимости спектральных методов Галеркина с использованием глобально ортогональных базисов в линейном и нелинейном случаях.

3. Исследование влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.

Научная новизна и значимость работы.

1. Показано, что уравнения для монодисперсной смеси могут быть включены в общую теорию математической гидродинамики, изложенную в известной монографии Юдовича "Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости", и на них распространяются результаты соответствующих теорем (в частности, обоснование законности линеаризации). Установлена дискретность спектра и полнота собственных и присоединенных векторов в некотором банаховом пространстве, а оператор задачи порождает аналитическую полугруппу.

2.Установлено, что линеаризованные уравнения для дисперсной фазы и слагаемое, описывающее межфазное взаимодействие в смеси, обусловливают существование отображения поля скоростей дисперсной фазы на поле скоростей дисперсионной фазы, осуществляемое пучком линейных обратимых операторов. При этом спектральная задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для голоморфного семейства замкнутых операторов с вполне непрерывной резольвентой. Обобщение теорем о неявных аналитических функциях и применение следствий теоремы Като дает представление о поведении характеристических чисел пучка операторов, как ветвей голоморфной функции. Установлено преобразование комплексной плоскости, переводящее сходственные точки спектра друг в друга при фиксированных значениях параметров, определяющих задачу. Для спектра двумерных возмущений данным обстоятельством качественно можно разъяснить сложную структуру параметрических зависимостей для критического числа Рейнольдса и спектральных зависимостей, а так же повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок.

3.Установлено, что качественная картина устойчивости определяется величиной степени дисперсности примеси, а геометрия течения и форма основного профиля в определенном смысле отвечают за изменение количественных характеристик. Замкнутые подобласти у нейтральных кривых и ветви у параметрических зависимостей для трехмерных возмущений могут наблюдаться как в узко щелевом приближении, когда напорное течение в кольцевом зазоре вырождается в плоскопараллельное течение Пуазейля, так и при различных значениях радиуса внутреннего цилиндра. При этом характер распределения энергии пульсаций в сечении канала определяется величиною степени дисперсности.

Научная и практическая значимость работы. Разработанная библиотека процедур для решения спектральной задачи позволяет существенно автоматизировать процесс вычислений и минимизировать подготовительный этап. В частности, для начала расчетов необходимо иметь лишь приближенное представление о локализации спектра на комплексной плоскости. Исследована применимость и сходимость спектрального метода Галеркина с использованием полиномов Чебы-шева для линеаризованных уравнений, описывающих монодисперсную смесь. Приведен пример расчета плоских автоколебаний для монодисперсной смеси. Предложен способ дискретизации сильно нелинейного слагаемого, основанный на свойствах глобальной ортогональности и рекуррентных соотношениях для полиномов Чебыше-ва.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования возможности математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Применимость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.

2. Разработка библиотеки процедур, позволяющих автоматизировать решение задачи на собственные значения, с использованием метода дифференциальной прогонки. Численная схема для исследования бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного течения Пуазейля монодисперсной смеси.

3.Результаты исследования влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.

Достоверность результатов. Возможность использования процесса Бубнова-Галеркина в задаче об отыскании собственных чисел изучена, когда оператор представим в виде суммы самосопряженного, симметричного оператора Т и оператора К, который вполне непрерывен в энергетическом пространстве первого. В этом случае Н.И. Польским показано, что собственные элементы задачи могут быть построены как пределы собственных элементов, получаемых процессом Бубнова-Галеркина, если резольвента оператора Т"'К имеет простые полюсы. При этом приближенные решения сходятся по энергии оператора Т. Однако, как установлено Ладыженской и Юдовичем, обобщенные решения будут решениями в исходном гильбертовом пространстве. В случае исследования автоколебаний применимость методов Галерки-на хорошо изучена для параллельных течений. Важным моментом как для линейной задачи, так и при исследовании автоколебаний оказывается вопрос о существовании и единственности обобщенного решения в соответствующих пространствах. Эта проблема решается работами В.И. Юдовича и O.A. Ладыженской. Сходимость метода дифференциальной прогонки оценивается апостериорно (контрольными вычислениями и сравнением с уже известными результатами). Поскольку в методе дифференциальной прогонки решается система конечных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то применимы соответствующие теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра и начальных данных. При этом коэффициенты матрицы дисперсионного определителя являются аналитическими, однозначными функциями собственного значения.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на следующих конференциях: VH-VIII-й Всероссийских конференциях молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002-04 гг.), доклады на которых дважды были отмечены дипломом третьей степени, Всероссийская конференция "Теория и приложения задач со свободными границами" (Бийск, 2002г.), Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), Международная конференция "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2004г.), 28-й сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005 г.).

Личный вклад автора. Описанное в диссертации исследование было проведено автором самостоятельно, в том числе разработана библиотека процедур для автоматизации решения задачи на собственные значения. На основе сравнительного анализа спектральных методов (в частности, методов, использующих глобально ортогональные функции) построена схема, использующая Чебышев-Фурье дискретизацию уравнений автоколебаний, для исследования бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа плоскопараллельного течения Пуазейля монодисперсной смеси. Автором самостоятельно проведен качественный анализ спектральной задачи на основе известных результатов теории линейных операторов. Установлено, что пучок операторов, соответствующий линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси, удовлетворяет требованиям теорем, доказанных В.И. Юдовичем и обосновывающим первый метод Ляпунова в гидродинамике.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 50 рисунков, 10 таблиц, библиография насчитывает 170 наименований. Общий объем диссертации- 128 страниц.

Публикации, Автором по теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 2 статьи в журналах по списку ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, определена научная новизна и практическая ценность исследований. Перечислены положения, выносимые на защиту, обсуждается достоверность полученных результатов, описаны личный вклад автора и апробация работы. В разделе 1.1 первой главы ("Возможности математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в многофазных системах") приводится краткое обсуждение двухскоростных гидродинамических модельных уравнений в области О с регулярной границей дП, которые записываются в следующем обезразмеренном виде:

сЩ/д1 + (V, У)У, =-Ур+АУ,Л1+(//Ж)(У2 -V,),

ау2/Э1+(у2у)у2 =(У,-У2 )/(ж), (1)

УУ,=0 ,5//Э1+У(/У2)=0 , у,|га=0, УД^О.

Здесь величина т=Ж- безразмерное время скоростной релаксации, R=U0Lp, /р- число Рейнольдса и S=2/9(a/L)2p2/p, - параметр, определяющий степень дисперсности примеси; |i=^i(l+5cp/2)- кажущаяся вязкость смеси, а- радиус частицы, L- характерный пространственный масштаб, Uo- среднерасходная скорость, /=ш/р, -п2- безразмерная массовая плотность континуума частиц, т=4/Зл;я3-р2-масса частицы, р,,р2 - плотность материала компонентов смеси.

Линеаризуя систему (1) в окрестности V01=V02 =U(x,y,z) (в нашем случае U=U(y)), получим спектральную задачу (по однородным координатам операторы дифференцирования заменяются соответствующими Фурье-трансформантами) *.V,+ (V, V)u + (и v)v, =-Vp+A V,/R+ (У/т) (V2 -V,),

XV2+(V2V)U+(UV)V2=(V-V2)/T, (2)

VV,=0 ,df/dt+lin{V(fV2)}=Q , V,|^=0, v2l,|M=o.

Решение ищется на классе функций W® (р>1). Область Q является

ограниченной прямоугольной частью Е3, причем периодические граничные условия позволяют рассматривать О. как прямое произведение Q=[-1,1]XT, где Т- двумерный тор. В общем случае известно,

что функция класса W2", заданная на границе, может быть продолжена во всей области с сохранением гладкости на каждой гиперплоскости. Таким образом, условие Vn|^=0 не ограничивает общности.

Показано, что уравнения (2) при условии VV2=0 могут быть включены в общую теоршо математической гидродинамики. В первую очередь, могут быть включены результаты доказанных A.M. Ляпуновым теорем о законности линеаризации, применимость которых в гидродинамике показана В.И. Юдовичем на основе полугрупповых трактовок уравнений Навье-Стокса, теории вложения функциональных пространств и методик оценок интегральных операторов. Показано, что пучок линейных операторов D, определяемых системой (2), удовлетворяет требованиям теорем общей теории устойчивости (вопрос о существовании и единственности для задачи Коши и применимости первого метода Ляпунова), исследованных Юдовичем для уравнений-Навье-Стокса. Другим важным результатом оказывается

возможность применения методов спектральной теории линейных операторов. На основе результатов, которые подробно обсуждаются В.И. Юдовичем для уравнений Навье-Стокса, показано, что спектр пучка линейных операторов Б дискретен, а так же применима теорема М.В. Келдыша об п-кратной полноте собственных и присоединенных векторов в некотором банаховом пространстве. Система собственных и присоединенных векторов образует фундаментальное подмножество в подпространстве Б (соленоидальных векторных полей с исчезающей вблизи границы нормалью) пространства Ьр=8рФ(5р в смысле

метрики У/®. Более того, установлено, что в общем случае резольвента оператора О может быть представлена ветвями голоморфной операторнозначной функции резольвенты Я(Х,Н) оператора N Навье-Стокса и вполне непрерывна., как произведение вполне непрерывного и ограниченного операторов.

Оператор, осуществляющий взаимно однозначное отображение поля скоростей в смеси, можно записать следующим образом:

1В(а)Г,=-Я<г(1-В(оЖ<г)-,[1-(1-В(а)Я(ГГ,Г1 •

Для решения неоднородной краевой задачи (2) выполняется равномерная по с из некоторого сектора комплексной плоскости оценка

¡^¡¿[ар^С+О^а^Д)]]?!!.

Обощенное решение задачи (2) будет описываться нелинейным пучком вполне непрерывных операторов, для которых выполняются условия теоремы Гохберга и теоремы Келдыша. Используя свойства резольвенты и спектра задачи (2), проводится проверка выполнимости условий теорем, приведенных в монографии В.И. Юдовича.

Таким образом, спектральная задача для двухкомпонентной смеси может быть сформулирована как обобщенная нелинейная задача на собственные значения для пучка замкнутых операторов в пространстве Б2. Условие УУ2=0 в некоторых случаях физически не противоречиво в виду малости локальных чисел Рейнольдса. Однако рассматривая уравнения в подпространстве, определяемом идеальной связью УУ=0, получаем замкнутую систему для соленоидальных полей. Такая постановка задачи является примером общего метода ортогональных проекций. Применимость проекционных методов накладывает некоторые ограничения на базисные функции.

В разделе 1.2 приводится краткое обсуждение и сравнение методов Галеркина (псевдоспектральные методы, методы с конечными эле-

ментами, спектральные методы с глобально ортогональными рациональными полиномами и т.д.). Особое внимание уделено возможностям прямого численного моделирования ламинарно-турбулентного перехода и использованию модельных представлений при численном моделировании (например, моделирование крупномасштабных структур, вихрей- Large Eddy Simulation). Дан обзор современного состояния спектральных методов в теории ламинарно-турбулентного перехода. Приведен пример для расчета плоских автоколебаний и бифуркации Хопфа для течения Пуазейля монодисперсной смеси. Для этого используется так называемая Чебышев-Фурье дискретизация уравнений, описывающих поведение малых двумерных конечно-амплитудных периодических возмущений. Как известно, сильно нелинейное слагаемое в уравнениях Навье-Стокса существенно осложняет непосредственное применение глобально ортогональных функций для дискретизации уравнений по неоднородным координатам. Для вычислений нелинейных членов Орзагом был предложен метод, который позволяет добиться существенной экономии при расчетах. Основная идея Орзага заключается в том, чтобы нелинейные члены рассчитывались в физическом пространстве, где их можно учитывать локально, и затем осуществлять преобразование к пространству коэффициентов (например, при помощи быстрых преобразований Фурье). Орзагом было предложено быстрое преобразование при расчете нелинейных членов с использованием ортогональных пробных функций. При этом достигается ускорение вычислений на много порядков. Для полиномов Чебышева хорошо известны быстрые преобразования между физическим пространством и пространством коэффициентов и быстрое преобразование Фурье.

Для вычисления нелинейных членов при расчете автоколебаний можно использовать следующие свойства полиномов Чебышева:

п-1 п-1

T^=2n^Tk , п-четное, T,j=2n^Tk+nT0 п-нечетное;

t=l k=2

Таким образом, для Фурье-трансформанты нелинейного слагаемого

TnTp=(Tn+p+1|ll.p|)/2;(Ti,Tk)0ie=5i

например, в случае четных п получим

п-1

вычисления произведений матриц и

сумм следует использовать алгоритмы факторизации и быстрых преобразований Фурье.

Спектральные методы оказываются одним из мощных инструментов в руках не только вычислителей, но и тех, кто занимается аналитическими исследованиями. С одной стороны, свойства спектра оператора для линеаризованных уравнений гидродинамики таковы, что позволяют использовать результаты о разложении оператора на прямую сумму подпространств, определяемых разбиением спектра (причем по крайней мере одно из подпространств конечномерно), спектрального представления операторов с дискретным спектром и соответствующие спектральные теоремы. С другой стороны справедлива теорема о центральном многообразии бесконечномерной динамической системы, независимо доказанная Ладыженской и Марсденом. Результатом Ладыженской явилось утверждение, гарантирующее, что многообразие М, определяемое некоторой динамической системой, может быть вложено в подпространство X размерности N некоторого банахова пространства В=Х®У таким образом, что часть М в У МуСЩО, е)с¥ , как только №> <1Г (с!г- размерность Хаусдорфа многообразия). Для уравнений Навье-Стокса установлена аналитическая оценка числа N величиной аЯ. Можно провести некоторую аналогию между результатом теоремы Ладыженской и тем фактом, что для задачи на собственные значения погрешность спектральных методов, построенных на глобально ортогональных функциях, с ростом количества базисных элементов скачком уменьшается на много порядков. При этом после "скачка" точность вычислений определяется только числами обусловленности матриц (результат конечномерной дискретизации уравнений) и вычислительными качествами алгоритмов линейной алгебры. В случае прямого моделирования ламинарно-турбулентного перехода изменением количества базисных функций устанавливается сходимость метода, а уменьшение погрешности (или величины, характеризующей точность) служит критерием сходимости.

В разделе 1.3 обсуждается метод прогонки в дифференциальной форме для конечной системы линейных уравнений г'-Мг (штрих обозначает дифференцирование по у). На основе афинных свойств конечномерных векторных пространств Е показано, что выполнение условия типа Аг=с1 для каждого у, где А- вырожденный линейный оператор в конечномерном пространстве, дает следующие уравнения для определения А(у), записанные в инвариантной форме:

А'=МА-АМ, если геАЕ; А'=-АМ , если геЕ\АЕ . В координатном представлении условие типа Аг=с1 может быть использовано для понижения порядка системы г'-Мг, что дает другое важное уравнение для определения прогоночных коэффициентов. Например, в случае геЕ\АЕ уравнение может быть записано в виде А'=М,А+М2-А(М3А+М4), где А,Мк - матрицы соответствующих размерностей и

, г={г1,г2}т = {Аг2,22}т.

Целесообразность интегрирования не исходной линейной системы, а системы уравнений более высокого порядка или даже нелинейных уравнений, как в случае координатного представления, заключается в том, чтобы избежать сходимости к сильнорастущим и быстроосцил-лирующим по обе стороны от критического слоя решениям, которые всегда присутствуют в системе фундаментальных решений уравнений Орра-Зоммерфельда. Избежать сходимости к подобным "паразитным" решениям можно всегда выбором соответствующего вырожденного линейного оператора А такого, что "нужные" решения будут принадлежать ядру или образу оператора. Условия непрерывности г в каждой точке у дают дисперсионное соотношение для отыскания собственного значения.

Таким образом, уравнения для определения прогоночных коэффициентов, записанные в инвариантной и координатной формах, предоставляют значительную свободу при выборе прогоночных соотношений и схем, что в свою очередь обусловливает универсальность и гибкость соответствующих алгоритмов.

В разделе 2.1 второй главы ("Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта-Пуазейля бесстолкновительной монодисперсной смеси") приведен вывод уравнения, аналогичного уравнению Орра-Зоммерфельда, описывающего изменение амплитуд малых двумерных возмущений, для однородного и неоднородного распределения взвеси в сечении канала. Показано, что спектральная задача сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения для голоморфного семейства замкнутых линейных операторов Т(г) с вполне непрерывной резольвентой. При этом семейство операторов будет удовлетворять общим теоремам для случая нелинейной задачи на собственные значения, доказанным Секефальви-Надем, Вольфом и Т.Като. Важным следствием этих теорем являются следующие факты: во-первых.

М =

М, М2 М3 М4

дискретность спектра и полнота собственных и присоединенных векторов; во-вторых, утверждение о том, что любая конечная система собственных значений представляется ветвями одной или нескольких аналитических функций, имеющих самое большее алгебраические особенности в нуле. Распространение утверждения, известного в теории функций комплексного переменного под названием "подготовительная теорема Веерштрасса", на голоморфную операторнозначную функцию Р(г,\у)=Т(2)-\у1 позволяет в явном виде описать поведение нулей функции Р(г,\у) конечной системой функций 2к(\у) в некоторой окрестности точки (г0,0) такой, что Р( га ,0)=0. Для нашего случая приведенные теоремы показывают следующее: если при определенном значении параметров резольвента семейства операторов Т(г) имеет особую точку 0 при г=20, то найдется чу, определяемое теми же значениями параметров, такое, что парой (гк(у/) будут определяться соответствующие "сходственные" особые точки резольвенты. Для течения Куэтта-Пуазейля монодисперсной смеси в качестве таких параметров могут выступать величины А,Б. При этом получен явный вид уравнения, которому должны удовлетворять точки х=г0,{ 2:к(\у) } (г- -¡аБЮ-) для некоторого Таким образом, качественно разъяснено, например, поведение кривых, описывающих параметрические зависимости для критического числа Рейнольдса (см. рис. 1). Из рисунка 1 видно, что при фиксированных значениях А,5 в спектре одновременно могут наблюдаться несколько точек на мнимой оси (см. кривую 3 на рис. 1а).

В разделе 2.2 исследована устойчивость течения Куэтта-Пуазейля при однородном распределении взвеси. Детальный анализ устойчивости показал, что при определенных значениях параметров могут наблюдаться "окна устойчивости". Так, например, для определенных величин А наблюдаются диапазоны значений параметра 5, для которых неустойчивых мод в спектре малых возмущений не обнаружено (см. кривую 4 на рис. 1). Аналогичная картина характерна и для зависимостей А (К). Наблюдаются диапазоны значений параметров, для которых порог устойчивости может повышаться практически на порядок. При этом кривые нейтральной устойчивости могут иметь сложную структуру (см. рис. 2). Так, например, наблюдаются замкнутые подобласти, ограничивающие множество точек плоскости (а,Я), которым соответствует неустойчивость (см., например, криЬую 2 на рис. 2а), а вне областей, состоящих из нейтральной, кривой и ограниченных ею

точек, неустойчивых мод в спектре возмущений не наблюдается. В частности, кривой 2 на рис. 2а проиллюстрирован тот факт, что при

11>3 • 107 течение устойчиво при всех значениях а. Подобные эффекты наблюдаются и для нейтральных кривых, построенных для различных значений А при фиксированной величине 5. Вообще говоря, на множестве пар значений (А,5) существует область М такая, что изменение величины А и изменение величины 5 внутри такой области сходным образом сказываются на характере спектра возмущений. Например, появление замкнутых подобластей нейтральной кривой может быть обусловлено как изменением величины А, так и изменением величины б1. Причем эти изменения непрерывным образом зависят от параметров А,Б.

Однако качественная картина устойчивости определяется величиной степени дисперсности примеси, а форма основного профиля в определенном смысле отвечает за изменение количественных характеристик. При этом необходимо помнить, что структура линейного оператора включает в себя функцию, описывающую вид основного профиля, и соответствующие производные, что сказывается на свойствах собственных и присоединенных векторов (например, симметричность) и количестве точек спектра на мнимой оси. Имеет место некоторая (возможно, нетривиальная) суперпозиция эффектов, обусловленных различными физическими характеристиками (степенью дисперсности примеси и формой основного профиля). Но уравнение для точек г=г0, {гк(\у) } при некотором о котором говорится в разделе 2.1, явным образом содержит как величину Л, так и величину 5. Поэтому количество точек спектра на мнимой оси одинаковым образом может зависеть от обоих параметров. Хотя определяющее влияние необходимо отдать степени дисперсности, поскольку именно наличие дисперсной фазы обусловливает нелинейность задачи на собственные значения.

Рисунком 3 проиллюстрирован характер изменения спектра при увеличении концентрации взвеси и значения степени дисперсности. Из рисунка видно, что точки г0, {гк(у/) } на мнимой оси появляются при некоторой величине концентрации.

В разделе 2.3 исследованы поведение собственных функций и характер распределения энергии пульсаций по сечению канала. Уравнение для энергии можно представить в виде

(а/4я)Ё=-Яеа!{у;хУ1у}и'-(1/Ю[а2|у,|2+|у;х|2+|у;у|2]-

Т>

-/Кеа1{у;хУ2у}и'-(//Ж)[|у1|2+|у2[2] + 2(//Ж)Яеа1{у;хУ2х+у1>2у}.

Здесь хк - характеризуют обмен энергией между основным течением и возмущениями для компонентов смеси, Б- вязкая диссипация, 05=0, +02 - работа силы Стокса, Р=т,+13 - локальный избыток генерации энергии над диссипацией для первой компоненты смеси. Слагаемое не случайно представлено в виде суммы двух членов, выделяющих диссипативный и пульсационный механизмы изменения импульса в смеси. Во-первых, величиной иллюстрируется дополнительное локальное отклонение разности фаз возмущений для компонентов смеси от нуля. Во-вторых, даже в узкой окрестности критического слоя несовпадение скоростей компонентов обусловливает дополнительную передачу энергии основному течению.

На рисунке 4 представлены кривые нормированных распределений энергии в плоском пуазейлевом потоке при 11=5788.125, /Ю.15 для

5=10^. Для случая ^Ю"4 характерно существенное повышение порога устойчивости (К,=84554.40). Из рисунка видно, что производство энергии пульсаций осуществляется лишь в достаточно малой окрестности критического слоя, а передача энергии пульсаций основному потоку происходит как в узкой пристенной области (за счет вязкой диссипации), так и в основной толще канала (см. кривую 0 на рис. 4а,Ь). Поведение функции т2(у), описывающей производство энергии пульсаций во второй компоненте смеси, непосредственно определяется функцией т,(у) и распределением величины

¿ЧШ'2|у1у|2(у). Так, связка экстремумов в диапазоне у=(0.4,0.9) обусловлена поведением функции т,(у), а величиной 5ТШ'2|у,у| (у)

определяется положительное смещение кривой 2 в верхнюю полуплоскость и максимум, локализованный вблизи критического слоя (у~0.85). Расчеты показывают, что слагаемое т2(у) отвечает за производство энергии пульсаций при различных значениях степени дисперсности.

Из рисунка 4 видно, что эффекты диссипации пульсационной энергии, обусловленные второй компонентой смеси, проявляются в при-

осевой и пристенной областях, а локальная генерация энергии в дисперсной фазе происходит в окрестности критического слоя и примыкающей к ней части канала (см. кривую 5 на рис. 4). При этом поведение кривых 0,2,5 на участке _у=(0,0.7) указывает на взаимную компенсацию эффектов производства и диссипации пульсационной энергии для компонентов смеси.

Расчеты показывают, что характер производства и диссипации энергии пульсаций в значительной степени определяется величиной степени дисперсности примеси. Так при малых значениях Ж«1 характер распределения энергии аналогичен случаю однокомпонент-ной среды, но при больших значениях числа Рейнольдса. Для величин 5 из диапазона, которому соответствует повышение порога устойчивости и появление точек кратности у зависимости Я(5), характерное распределение энергии в канале проиллюстрировано на рис. 4а,Ь. Однако при 5< 10~4 величина первого максимума функции т2(у) заметно меньше аналогичной величины максимума, локализованного вблизи критического слоя, а у функции т,(у) в окрестности у~0.65 наблюдается точка перегиба. Постепенное увеличение значения 5 обусловливает следующие трансформации кривых 1,3 на рис. 4: функция т,(у) заметно отличается от нуля в диапазоне у~(0.6,1), причем выраженный минимум сменяется максимумом типа максимума у кривой 1 на рис. 4с; поведение же функции т2(у) будет определяться локальной дополнительной разностью фаз возмущений компонентов смеси (об этом свидетельствует взаимное расположение экстремумов кривых 1,3), однако при больших 5 начинают существенно сказываться эффекты, обусловленные модулированием функции т2(у) функцией |.г[2(у)=|1/(Ша5Т1(и(у)-С))|2, которая имеет максимум в критическом слое. Следует отдельно выделить случай Ж»1. Функции т2(у) и 05(у) практически финитны. Поведение функций т,(у) и Р(у) вне приосевой области аналогично случаю однокомпонентной среды. Однако в приосевой области функция Р(у) резко изменяется (возникает внутренний пограничный слой), а у функции т, (у) наблюдается связка минимума и максимума. Такое поведение функций обусловлено тем обстоятельством, что в основной физической области (за исключением критических слоев) движение смеси может быть описано уравнением Навье-Стокса со слагаемым, определяющим сопротивление, пропорциональное амплитуде скорости. Таким слагаемым, в

частности, обусловлено и смещение спектра на так называемую поправку "пучка".

В разделе 3.1 третьей главы ("Исследование устойчивости течений в канале для цилиндрической геометрии") приведена постановка задачи на собственные значения для уравнений Орра-Зоммерфельда в цилиндрической геометрии в случае монодисперсной смеси. Показано, что структура линеаризованных уравнений для второй компоненты смеси такова, что система линеаризованных уравнений для трехмерных возмущений в смеси допускает понижение порядка. При этом спектральная задача сводится к некоторой нелинейной задаче на собственные значения для уравнений Орра-Зоммерфельда в цилиндрической геометрии. Таким образом, для различных типов геометрии и основных профилей проиллюстрирован общий случай, описанный в разделе 1.1 первой главы.

Проанализирован спектр малых трехмерных возмущений. Рассчитаны кривые нейтральной устойчивости, параметрические зависимости для критического числа Рейнольдса, зависимости спектральных мод возмущений от значений параметров задачи для широкого диапазона значений радиуса внутреннего цилиндра с и степени дисперсности для различных азимутальных мод. Оказалось, что замкнутые подобласти у нейтральных кривых и точки кратности у параметрических зависимостей для трехмерных возмущений могут наблюдаться как в цилиндрическом канале с узким зазором, когда напорное течение вырождается в плоскопараллельное течение Пуазейля, так и при различных значениях радиуса внутреннего цилиндра (см. рис. 5). При этом для различных азимутальных мод обнаружено значительное Повышение порога устойчивости для определенных диапазонов значений степени дисперсности и концентрации дисперсной фазы.

Наиболее сильное влияние геометрии течения проявляется в области 0.5<^<3.5, где происходит стабилизация практически всех высших азимутальных мод. При этом наиболее опасными возмущениями становятся моды т=1,2,3.

В разделе 3.2 проанализированы распределение энергии пульсаций в сечении канала и собственные функции для различных азимутальных мод. В частности, в приближении узкого зазора рассмотрены собственные функции и характер генерации и диссипации пульсационной энергии в практически плоском пуазейлевом потоке для трехмерных возмущений. Для расчета собственных функций использовались два метода. Первый способ заключается в сочетании метода исключений,

с помощью которого отыскивается достаточно гладкое решение, и метода дифференциальной прогонки в координатной форме и инвариантном представлении с матрицей правых частей, полученной для уже найденного гладкого решения. Сама формулировка метода дифференциальной прогонки подразумевает отыскание не самого решения, а некоторого подпространства решений, удовлетворяющих граничным условиям. Причем подпространство являете^ ядром или образом определенного вырожденного оператора. Таким образом, отыскав на первой стадии произвольное гладкое решение, можно получить собственную функцию, подействовав на найденный вектор в каждой точке нужным оператором, матричное представление которого отыскивается на второй стадии. В методе исключений использовалась полунеявная схема Кранка-Николсона второго порядка относительно шага интегрирования по пространственной координате, а прогоноч-ные соотношения в координатном представлении интегрировались методом Дормана-Принса.

Второй способ заключается в сочетании метода Петрова-Галеркина и спектрального метода, использующего глобальные и ортогональные пробные и поверочные функции, для следующей системы уравнений:

Л.ю,=УхН|+Д(о1/К+(//х)(ш2-(о1), ^ю^УхНз+Дю^К+О/тХо^-гаг)

о-УхУ,, Н,=У,хш,, /¡'пН, =ие2хю, хе^и',

с однородными граничными условиями. Условия прилипания для второй компоненты смеси следуют из обратимости оператора В (см. раздел 1.1). Преобразованием физической области в диапазон [-1,1] стало возможным применение полиномов Чебышева для конструирования пробных и поверочных функций, которые для к=0,Ы могут быть записаны в виде

^(хН1-х2)2Тк(х) , Фк(х)=Тк(х)-^^Тк+2(х)+^Тк+4(х).

(к+3) (к+3)

Ортогональность и ряд свойств, следующих из рекуррентных соотношений, полиномов Чебышева приводят к задаче на собственные значения для ленточных матриц, обладающих хорошими свойствами (например, относительно небольшим значением числа обусловленности). Однако наличие в соотношении, определяющем форму основного профиля, слагаемого типа 1п(х+С) не позволяет в полной мере использовать ортогональность полиномов Чебышева. При этом элементы соответствующей матрицы приходится определять численно, а сама матрица является плотно заполненной (именно в этом смысле использовалось выражение сочетание методов).

Отличительной особенностью полученных решений оказывается локальность эффектов, обусловленных изменением первой производной. В сечении канала можно выделить три подобласти, где решения меняют знак. Во-первых, характерной областью являются окрестности критических слоев; во-вторых, окрестность максимума основного профиля. При различных значениях степени дисперсности определяющим для поведения функций оказывается не только локальная дополнительная разность фаз решений для компонентов смеси, но и геометрические особенности задачи. Однако качественный характер взаимодействия компонентов смеси остается таким же, как и в случае, описанным в разделе 2.3 для плоскопараллельных течений.

В разделе 3.3 исследована устойчивость течения Гагена-Пуазейля монодисперсной смеси в круглой трубе. Проанализированы зависимости величин собственных значений от параметров, определяющих движение смеси, и собственные функции для различных спектральных мод. В случае дифференциальной прогонки области интегрирования соответствовал диапазон [0,1]. Однако применимость метода была осложнена тем" обстоятельством, что уравнения для амплитуд возмущений имеют сингулярный характер в нуле. Подобная сложность преодолевается следующим образом: процесс интегрирования стартует в некоторой точке х0=е>0 (с«1 ), где ставятся граничные условия, соответствующие аналитическому поведению собственных функций в нуле для различных азимутальных мод.

Для метода Галеркина базисные функции выбираются в виде

(1)-Фк (0=Тк (Ч) -Тк+2 (г), к=0,М-2, а решение, например, уравнений (2) отыскивается в слабом смысле. Преобразование координат г=(1+1)/2, где 1е1=(-1,1), позволяет эффективно использовать свойства полиномов Чебышева для конечномерной аппроксимации уравнений (2). Необходимо уточнить свойства, которым должны удовлетворять решения и(ш) для различных азимутальных мод ш в такой формулировке спектрального метода. Неизвестное решение 0)е Нц(1) и и(0)е Н'(1), и(гп=0)=0 при 1?=1. Причем базисные функции являются элементами пространств Нои(1) при т ^ 0 и Н',(1) при т=0 соответственно, где со- весовая функция. В теореме Приймака-Миядзаки утверждается, что радиальная, азимутальная и аксиальная компоненты возмущений поля скорости в некоторой окрестности нуля должны удовлетворять следующим условиям:

Рисунок 1 (а) Кривые зависимостей критического числа Рейнольдса от степени дисперсности примеси приА=: 1- 0.01; 2- 0.025; 3- 0.045; 4- 0.2. (Ь) Зависимости А(Я,) для различных значений степени дисперсности при_/=0.1 для следующих значения 1-

Рисунок 2 Нейтральные кривые для/=0.2 и Л--0.02(К.е=Я); цифрами обозначены следующие значения 5: 1-1.Н-6; 2- З.Е-6; 3- 5.Е-6; 4- 1.Е-5; 5- 1.Е-4; 6- 1.Е-3; 7- 1.Е-2.

тах(У)}10у |\ ¡¿•-З Ю-З, /1-0.02:

: !

^Т ^—:-Г 4 : ! (

Рисунок 3 Зависимости максимума величины У=1т(С) для первой моды спектра от значения числа Рейнольдса при/-. 0-чистая жидкость; 1- 0.1; 2- 0.15; 3- 0.17; 4- 0.2

Epen i А \

1 i ;

1 !

............ / ......-t—: ^ 1 чМ! 0 i : ......i......"Ш1 У \ "J

/ : ------^ i :

0 0.2 0.4 У 0.6 0.8 1 (а)

Epert Чъ \ /• ' \ V /'■■ ' \ >

..............утгг Г\...... к-—: »' V4

\ v\ / » Ч \ \ / 1 4 / 4

t j \ Af ^ / 1 \ / \ / : \ / (

Epert 3 / / / \ ! ' ^

/ / О ....... f

/ 5/ < ! V 1 А

/ У ^ ___^.......

(С) (с!)

Рисунок 4 Распределение энергии пульсаций поссчению канала при_/=0.15 для

_4 -з

профиля Пуазейля. (а)-5= 210 3 ; (Ь)- 5*= 10 ; (с),(<1)- 5= 10 , 0-суммарная энергия; 1-Т1(у); 2-?(у)\ 3- т2(у); 4- 05(у); 5- 05(у)+т2(у).

4 5 1Е(Яе) 6 7 3 5 1в(Ке) 9

Рисунок 5 Изменение формы кривой нейтральной устойчивости при уменьшении

-6

радиуса внутреннего цилиндра при/=0.3 и Б= 1.56 • 10 . (а) мода «г=10: 1- Е, =50, 2— £=10,3- 4 =5. (Ь) модаяг-0: 1- 4=50,2- 4=2.5,3-4=1,4- 4=0.9, 5- 4=0.8.

уг=гЛ£(г), уе=гЯ£(г) (ш=0); у^гН-'Л^г), Уе=гН-^,(г) (т*0);

у2=г'т'с/£(г) ( V т), где д.г , , кЕ - четные аналитические функции. Тем самым решается задача постановки граничных условий в центре канала. Таким образом, уравнения (2) в цилиндрической геометрии при т Ф 0 в конечномерном случае могут быть представлены комбинацией ленточных матриц и верхней матрицы Хессенберга. Выбор

базисных функций в виде 0)=Фк (Ч)=(1 -12 )Тк (1) приводит к задаче для ленточных матриц.

Следует отметить метод, предложенный зарубежными авторами (ТгеГе^еп ¿кМеяе^ег),- соленоидальный спектральный метод Петро-ва-Галеркина, который основан на спектральном представлении уравнений Навье-Стокса в подпространстве соленоидальных векторов. Подобная формулировка проекционного метода автоматически исключает необходимость рассматривать градиенты скалярных функций. Данный метод обеспечивает достаточно высокую точность вычислений при больших числах Рейнольдса даже с плотно заполненными матрицами. Один из очевидных и простых способов построения соленоидальных пробных и поверочных функций в методе Галеркина заключается в использовании уравнения несжимаемости для исключения одного неизвестного. Далее необходимо сконструировать такие функции, которые будут удовлетворять условиям на стенке и требованиям теоремы Приймака-Миядзаки.

В приложениях приводится исходный код библиотек для решения задачи на собственные значения и анализ двумерных автоколебаний.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Результатом проведенных исследований явились следующие краткие выводы:

1. Разработаны и реализованы численные алгоритмы на основе метода дифференциальной прогонки и спектральных методов Галеркина для модели монодисперсной смеси. Вычислительные алгоритмы, основанные на методе дифференциальной прогонки, реализованы в виде универсального и удобного для исследователя средства- разработанного на языке РОИТКАЫ95 пакета библиотек для решения спектральной задачи, которые позволяют полностью проанализировать спектр малых возмущений параллельных течений монодисперсной смеси и существенно автоматизировать процесс вычислений. Характеристики устойчивости могут быть рассчитаны для больших чисел Рейнольдса. При этом несложная модификация

исходного кода по заданным правилам позволяет использовать библиотеки для решения целого ряда задач на собственные значения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в том числе и так называемую нелинейную задачу на собственные значения). Алгоритмы, основанные на спектральных методах, использовались для верификации результатов и расчета собственных функций для различных спектральных мод. Для монодисперсной смеси приведен пример расчета плоских автоколебаний на основе Чебышев-Фурье дискретизации уравнений двумерных возмущений.

2. Проанализирован спектр линеаризованного оператора для течения Куэтга-Пуазейля в случае двумерных возмущений при однородном распределении дисперсной фазы. При этом оказывается, что в общем случае спектральная задача для монодисперсной смеси может быть сведена к некоторой нелинейной задаче на собственные значения для пучка линейных операторов 7(г) (г= - /а Ж. А.). Оказывается, что при фиксированных значениях параметров, определяющих форму основного профиля и свойства дисперсной фазы, мнимая ось может содержать несколько точек спектра (п <4). Произведены массовые расчеты в широких диапазонах изменения параметров. В результате построены кривые нейтральной устойчивости, параметрические зависимости для критических чисел Рейнольдса, кривые, описывающие зависимости поведения различных спектральных мод от значений параметров, и исследован характер поведения собственных функций и распределения производства и диссипации энергии пульсаций по сечению канала. Установлено, что характер стабилизации и дестабилизации основного профиля во многом определяется параметром, описывающим степень дисперсности примеси. В частности, при определенной концентрации взвеси наблюдаются области значений параметров, которым соответствует повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок, и области, для которых неустойчивых мод в спектре возмущений не обнаружено ("окна устойчивости"). При этом нейтральные кривые и кривые, описывающие критические зависимости, имеют сложную структуру (нейтральные кривые могут состоять из нескольких подобластей).

3. Проанализирован спектр малых трехмерных возмущений осесим-метричных течений в случае течения Пуазейля в трубе и напорного течения между концентрическими круговыми цилиндрами. Построены кривые нейтральной устойчивости, параметрические зависимости для критического числа Рейнольдса, зависимости понеде-

ния спектральных мод возмущений от значения параметров и распределения пульсационной энергии в сечении канала для широкого диапазона значений радиуса внутреннего цилиндра и степени дисперсности для различных азимутальных мод. Для течения Пуазейля в трубе построены кривые зависимостей собственных значений возмущений от величин параметров. На мнимой оси содержатся несколько точек спектра при фиксированных величинах параметров, а зависимости для критических чисел Рейнольдса могут быть представлены различными ветвями непрерывной функции при определенных концентрациях взвеси в относительно узких диапазонах значений степени дисперсности. При этом значения критического числа Рейнольдса при определенных значениях степени дисперсности могут увеличиваться практически на порядок для различных азимутальных мод. Установлено, что течение Пуазейля в круглой трубе остается устойчивым к малым трехмерным возмущениям и для случая монодисперсной смеси.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

[1] Попов Д.И., Проскурин А.В. Применение методов функций комплексного переменного для численного анализа гидродинамической устойчивости // Физика, радиофизика - новое поколение в науке : Сборник работ аспирантов и студентов. Вып. 2- Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2001 - С. 89-93.

[2] Попов Д.И., Проскурин А.В., Сагалаков А.М. Эволюция волн Толлмина-Шлихтинга в кольцевом зазоре // Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2002- С. 78-80.

[3] Кожуховская Т.А., Попов Д.И., Сагалаков А.М. Устойчивость двухфазных параллельных течений между коаксиальными цилиндрами // Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. - С. 47-49.

[4] Кожуховская Т.А., Крюков А.А., Попов Д.И. Устойчивость напорного течения монодисперсной смеси в канале кольцевого сечения // Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики: Тез. докл. VII Всероссийской конференции молодых ученых - Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2002,- С. 54-56.

[5] Kozhukhovskaya Т.А., Sagalakov А.М., Popov D.I. Neutral relations for the parallel flow of a two-phase fluid between coaxial cylinders// Transport Phenomena in two-phase Flow: 7lh workshop.-Varna 2002 - P. 31-38.

[6] Кожуховская T.A., Крюков A.A., Попов Д.И. Нейтральные зависимости для параллельных течений двухфазной жидкости между коаксиальными цилиндрами // Физика, радиофизика - новое поколение в науке: Сборник работ аспирантов и студентов. Вып. 3- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002.-С. 28-29.

[7] Kozhukhovskaya T.A., KryukovA.A., Sagalakov A.M. and Popov D.I. The linear stability with respect to three-dimensional perturbations of a parallel flow between coaxial cylinders of two-phase incompressible liquid// Russian J. Eng. Thermophys. Institute of Thermophysics SB RAS.- 2002- Vol. 11-No.4.-P. 299-310.

[8] Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Нейтральные зависимости течений двухфазной жидкости между коаксиальными цилиндрами // Известия АлтГУ, Вып. 1- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003 - С. 72-77.

[9] Kozhukhovskaya Т.А., Sagalakov А.М., Popov D.I. The Stability of Couette-Poiseuille Flow of Two-Phase Liquid// Transport Phenomena in two-phase Flow: 8th workshop.- Varna 2003. - P. 30-37.

[10] Попов Д.И., Сагалаков A.M. Влияние степени дисперсности примеси на устойчивость параллельных течений монодисперсной смеси // Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: тез. докл. Мсждунар. конф. Вып.9 / под ред. В.В. Козлова. - Новосибирск: Нонпарель, 2004 - С. 116-118.

[11] Сагалаков A.M., Попов Д.И. Влияние степени дисперсности примеси на устойчивость параллельных течений монодисперсной среды // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации, №24, апрель - Томск: Изд-во ТГУ, 2004.- С. 114-118.

[12] Kozhukhovskaya Т.А., Sagalakov A.M., Popov D.I. Spectral curves of Cou-ette-Poiseuille flow of two-phase mixture// Transport Phenomena in two-phase Flow: 9th workshop - Varna 2004 - P. 35-41.

[13] Попов Д.И. Устойчивость течения Куэтта-Пуазейля двухфазной монодисперсной смеси // Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики: тез. докл. VIII Всероссийской конференции молодых ученых.- Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2004- С. 24-25.

[14] Попов Д.И., Сагалаков A.M. Влияние формы профиля скорости на характеристики устойчивости течения монодисперсной бесстолкновительной смеси // Известия АлтГУ, Вып. 1.-Барнаул : Изд-во ун-та, 2005. - С. 148— 152.

[15] Sagalakov A.M., Popov D.I. Influence of interphase interaction on stability of two-phase Couette-Poiseuille flow// Transport Phenomena in two-phase Flow: 10th workshop - Varna 2005 - P.38-44.

[16] Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Критические зависимости для течения Куэтта-Пуазейля монодисперсной смеси // Вестник Томского государственного университета. Бюллетень оперативной научной информации, №44, апрель - Томск: Изд-во ТГУ, 2005 - С. 7-12.

[17] Кожуховская Т.А., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Линейная устойчивость некоторых течений двухфазной жидкости // 28 сибирский теплофизиче-ский семинар: тезисы докладов / под ред. С.В. Апексеенко - Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2005.

[18] Попов Д.И. Моделирование ламинарно-турбулентного перехода двухфазных течений в кольцевом зазоре // Труды Междунар. конф. молодых ученых по .мат. моделир. и информ. техн-ям,- Новосибирск. 2002. - С. 36-37.

Подписано к печати 22.01.07 Усл.-изд. л. 1.0 Тираж 100 экз.

Печать офсетная Формат 60x84/16 Заказ

Типография Алтайского государственного университета, 656049, Барнаул, Димитрова, 66

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Попов, Дмитрий Иванович

Введение.

Глава I. Возможности математического моделирования ламинарнотурбулентного перехода в многофазных системах.

Раздел

1. Модель монодисперсной смеси.

2. Оценки решения линеаризованных уравнений.

3. Спектр линейной задачи.

Раздел

1. Спектральные методы Галеркина и приближенные методы.

2. Численная схема для исследования автоколебаний.

Раздел

1. Метод дифференциальной прогонки.

Глава 2. Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта-Пуазейля бесстолкновительной монодисперсной смеси.

Раздел

1. Уравнения малых возмущений.

2. Некоторые сведения из теории аналитических возмущений.

3. Свойства спектра для монодисперсной смеси.

Раздел

1. Спектральные зависимости.

Раздел

1. Распределение энергии в сечении канала.

2. Собственные функции.

Глава 3. Исследование устойчивости течений в канале для цилиндрической геометрии.

Раздел

1. Уравнения малых возмущений.

2. Спектральные зависимости.

Раздел

1. Конструирование соленоидального базиса.

2. Распределение энергии в сечении канала.

Раздел

1. Конструирование соленоидального базиса.

2. Спектр течения Гагена-Пуазейля монодисперсной смеси.

3. Собственные функции.

Введение 2007 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Попов, Дмитрий Иванович

Актуальность темы. Математическая гидродинамика по-прежнему остается одним из актуальных направлений современной науки и науки будущего. Нет необходимости перечислять все направления современной гидродинамики, описывать связанные с ними задачи и сложность их решения (в том числе математическую). Укажем лишь те вопросы, которые рассматриваются в работе. Основной задачей данной работы является математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода в параллельных течениях некоторых простых двухфазных систем. Модельные уравнения, описывающие движение таких сред (монодисперсная смесь), хорошо известны в литературе, где обсуждаются как феноменологические, так статистические аспекты движения и характера межфазного обмена импульсом. Однако относительная простота модели позволяет выделить и проанализировать моменты, возникающие при исследовании более сложно устроенных систем гидродинамического типа. Многофазные системы широко распространены в природе. Только с середины прошлого столетия механика многокомпонентных систем стала приобретать современный вид. При этом в виду своего прикладного значения наиболее изученными оказались такие направления, как, например, ударно-волновые процессы в неоднофазных средах, обтекание тел двухфазными потоками, пленочные течения, вибрационные и фильтрационные движения, движение газо-жидкостных смесей и т.д. При этом имеющиеся модели гидродинамического типа, допускающие существование стационарных или периодических решений, являются основой для распространения результатов и ставят новые задачи для теории устойчивости. Обобщение подходов, развитых Ляпуновым, для уравнений гидродинамического типа и бесконечномерных динамических систем позволяет в ряде случаях ответить на вопрос об устойчивости (по Ляпунову). Наибольшие успехи достигнуты в решении вопроса о законности линеаризации (первый метод Ляпунова), который подробно изучен для уравнений параболического типа и уравнений Навье-Стокса. При этом оказывается, что некоторые выводы об устойчивости или неустойчивости, полученные для линеаризованных уравнений, переносятся и на нелинейные уравнения. Применение методов спектральной теории линейных операторов в гидродинамической теории устойчивости и бифуркаций остается и будет наиболее плодотворным и развивающимся направлением при изучении вопросов устойчивости течений жидкости. При этом спектральные методы могут быть средством качественного исследования влияния параметров модели на структуру спектра малых возмущений. О необходимости развития спектральной теории говорит тот факт, что строгий результат об абсолютной устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе не получен по сей день. Сравнительно недавними явились результаты зарубежных авторов [151-153] по применению теории псевдоспектров для исследования устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе. Количественное исследование спектра линеаризованных уравнений, как правило, сопряжено с решением задачи на собственные значения для уравнений с малым параметром при старшей производной. Данное обстоятельство накладывает определенные ограничения и требования на численные методы, исследование сходимости которых необходимо проводить отдельно. Изучение бифуркаций и возникновения турбулентности течений гидродинамических систем сопряжено с огромным объемом вычислительной работы. При этом даже в случае, когда существует строгая теория (например, движений системы на аттракторе), нет возможности проверить строгую выполнимость условий теорем, поэтому многие результаты проверяются посредством численного эксперимента. Наиболее распространен при исследовании бифуркации метод Ляпунова-Шмидга [24, 45, 87, 114-116, 120], позволяющий свести задачу ветвления к аналогичной проблеме для системы малой размерности и получать вторичные режимы в виде ряда по степеням малого параметра. В вычислительном плане наиболее эффективными являются спектральные методы конечномерной дискретизации гидродинамических уравнений. Прямое численное моделирование ламинарно-турбулентнОго перехода остается основным средством исследователя даже в отсутствии глобальной теоремы существования.

Решаемые задачи:

1. Возможность математического моделирования ламинарно-турбулентного перехода в случае монодисперсной смеси. Применимость первого метода Ляпунова. Качественный анализ спектра пучка операторов, соответствующих линеаризованным уравнениям для монодисперсной смеси.

Научная новизна и значимость работы.

1. Показано, что уравнения для монодисперсной смеси могут быть включены в общую теорию математической гидродинамики [147], изложенную в известной монографии Юдовича "Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости" [117], и на них распространяются результаты соответствующих теорем (в частности, обоснование законности линеаризации). Установлена дискретность спектра и полнота собственных и присоединенных векторов в некотором банаховом пространстве, а оператор задачи порождает аналитическую полугруппу.

2. Установлено, что линеаризованные уравнения для дисперсной фазы и слагаемое, описывающее межфазное взаимодействие в смеси, обусловливают существование отображения поля скоростей дисперсной фазы на поле скоростей дисперсионной фазы, осуществляемое пучком линейных обратимых операторов. При этом спектральная задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для голоморфного семейства замкнутых операторов с вполне непрерывной резольвентой. Обобщение теорем о неявных аналитических функциях и применение следствий теоремы Като дает представление о поведении характеристических чисел пучка операторов, как ветвей голоморфной функции. Установлено преобразование комплексной плоскости, переводящее сходственные точки спектра друг в друга при фиксированных значениях параметров, определяющих задачу. Для спектра двумерных возмущений данным обстоятельством качественно можно разъяснить сложную структуру параметрических зависимостей для критического числа Рейнольдса и спектральных зависимостей, а так же повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок.

3. Установлено, что качественная картина устойчивости определяется величиной степени дисперсности примеси, а геометрия течения и форма основного профиля в определенном смысле отвечают за изменение количественных характеристик. Замкнутые подобласти у нейтральных кривых и ветви у параметрических зависимостей для трехмерных возмущений могут наблюдаться как в узко щелевом приближении, когда напорное течение в кольцевом зазоре вырождается в плоскопараллельное течение Пуазейля, так и при различных значениях радиуса внутреннего цилиндра. При этом характер распределения энергии пульсаций в сечении канала определяется величиною степени дисперсности.

Научная и практическая значимость работы. Разработанная библиотека процедур для решения спектральной задачи позволяет существенно автоматизировать процесс вычислений и минимизировать подготовительный этап. В частности, для начала расчетов необходимо иметь лишь приближенное представление о локализации спектра на комплексной плоскости. Исследована применимость и сходимость спектрального метода Галеркина с использованием полиномов Чебышева для линеаризованных уравнений, описывающих монодисперсную смесь. Приведен пример расчета плоских автоколебаний для монодисперсной смеси. Предложен способ дискретизации сильно нелинейного слагаемого, основанный на свойствах глобальной ортогональности и рекуррентных соотношениях для полиномов Чебышева.

На защиту выносятся:

3. Результаты исследования влияния формы основного профиля, геометрии течения на характер спектра для параллельных течений монодисперсной смеси. Численное подтверждение качественных результатов, относящихся к спектру линейной задачи.

Достоверность результатов. Возможность использования процесса Бубнова-Галеркина в задаче об отыскании собственных чисел изучена, когда оператор представим в виде суммы самосопряженного, симметричного оператора Т и оператора К, который вполне непрерывен в энергетическом пространстве первого. В этом случае Н.И. Польским показано [67], что собственные элементы задачи могут быть построены как пределы собственных элементов, получаемых процессом Бубнова-Галеркина, если резольвента оператора Т~'К имеет простые полюсы. При этом приближенные решения сходятся по энергии оператора Т. Однако, как установлено Ладыженской и Юдовичем, обобщенные решения будут решениями в исходном гильбертовом пространстве. В случае исследования автоколебаний применимость методов Галеркина хорошо изучена для параллельных течений. Важным моментом как для линейной задачи, так и при исследовании автоколебаний оказывается вопрос о существовании и ед инственности обобщенного решения в соответствующих пространствах. Эта проблема решается работами В.И. Юдовича и О.А. Ладыженской [117, 147]. Сходимость метода дифференциальной прогонки оценивается апостериорно (контрольными вычислениями и сравнением с уже известными результатами). Поскольку в методе дифференциальной прогонки решается система конечных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то применимы соответствующие теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра и начальных данных. При этом коэффициенты матрицы дисперсионного определителя являются аналитическими, однозначными функциями собственного значения.

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на следующих конференциях: УП-УШ-й Всероссийских конференциях молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002-04 гг.), доклады на которых дважды были отмечены дипломом третьей степени, Всероссийская конференция "Теория и приложения задач со свободными границами" (Бийск, 2002г.), Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002г.), Международная конференция "Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей" (Новосибирск, 2004г.), 28-й сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005г.).

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование ламинарно-турбулентного перехода для параллельных течений двухфазной жидкости"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом проведенных исследований явились следующие краткие выводы:

1. Для модели монодисперсной смеси разработаны и реализованы численные алгоритмы решения задачи на собственные значения, основанные на методе дифференциальной прогонки и спектральных методов Галеркина. Вычислительные алгоритмы, основанные на методе дифференциальной прогонки, реализованы в виде универсального и удобного для исследователя средства - разработанного на языке FORTRAN95 библиотеки программных модулей для решения спектральной задачи, которые позволяют полностью проанализировать спектр малых возмущений параллельных течений монодисперсной смеси и существенно автоматизировать процесс вычислений. Характеристики устойчивости могут быть рассчитаны для больших чисел Рейнольдса. При этом несложная модификация исходного кода по заданным правилам позволяет использовать библиотеку для решения целого ряда задач на собственные значения для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (в том числе и так называемую нелинейную задачу на собственные значения). Алгоритмы, основанные на спектральных методах, использовались для верификации результатов и рассчета собственных функций для различных спектральных мод. Предложена схема спектральной аппроксимации сильно нелинейного слагаемого в уравнениях монодисперсной смеси. Для этого используются свойства полиномов Чебышева и специальным образом сконструированные базисы, свойства которых хорошо освещены в литературе.

2. Установлена ограниченность и единственность решения линеаризованных уравнений. Показано, что соответствующие оператор, резольвента и спектр удовлетворяют требованиям известных теорем, позволяющих сделать заключение об устойчивости или неустойчивости движения бесконечномерной динамической системы. Проанализирован спектр линеаризованного оператора для течения Куэтта-Пуазейля в случае двумерных возмущений при однородном распределении дисперсной фазы. При этом оказывается, что в общем случае спектральная задача для монодисперсной смеси может быть сведена к некоторой нелинейной задаче на собственные значения для пучка линейных операторов, зависящего полиномиально от характеристического числа. Оказывается, что при фиксированных значениях параметров, определяющих форму основного профиля, характеристический пучок допускает такое преобразование, что на мнимой оси могут одновременно обнаруживать себя несколько характеристических чисел. Это обстоятельство во многом разъясняет эффект смыкания ветвей нейтральной кривой. Произведены массовые расчеты в широких диапазонах изменения параметров. В результате построены кривые нейтральной устойчивости, параметрические зависимости для критических чисел Рейнольдса, кривые, описывающие зависимости поведения различных спектральных мод от значений параметров, и исследован характер поведения собственных функций и распределения производства и диссипации энергии пульсаций по сечению канала. Установлено, что характер стабилизации и дестабилизации основного профиля во многом определяется параметром, описывающим степень дисперсности примеси. В частности, при определенной концентрации взвеси наблюдаются области значений параметров, которым соответствует повышение значения критического числа Рейнольдса практически на порядок, и области, для которых неустойчивых мод в спектре возмущений не обнаружено ("окна устойчивости"). При этом нейтральные кривые и кривые, описывающие критические зависимости, имеют сложную структуру (нейтральные кривые могут состоять из нескольких подобластей).

3. Проанализирован спектр малых трехмерных возмущений осесимметричных течений в случае течения Пуазейля в трубе и напорного течения между концентрическими круговыми цилиндрами. Значения критического числа Рейнольдса при определенных значениях степени дисперсности могут увеличиваться практически на порядок для различных азимутальных мод. Построены кривые нейтральной устойчивости, зависимости поведения спектральных мод возмущений от значения параметров и распределения пульсационной энергии в сечении канала для различных азимутальных мод. Для течения Пуазейля в трубе исследован спектр возмущений для различных азимутальных мод. Установлено, что спектр течения Пуазейля в круглой трубе при определенных значениях степени дисперсности может располагаться внутри замкнутой жордановой кривой, что указывает на ограниченность оператора задачи на соответствующем классе функций.

Библиография Попов, Дмитрий Иванович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. - М.: Изд-во МГУ, 1988. - С. 112.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.-С. 544.

3. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002.-С. 848.

4. Белоцерковский О. М., Яницкий В. Е. Статистический метод частиц в ячейках для решения задач динамики разреженного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 15, № 5, 1975. С. 1195 - 1208.

5. Березанский Ю. М., Кондратьев Ю. Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев: Наук, думка, 1988.-С. 680.

6. Бетчев Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971. - 352 с.

7. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука, 1968. - С. 272.

8. Бурбаки Н. Общая топология. (Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства). М.: Наука, 1969. - С. 392.

9. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.

10. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. М.: И. Л., 1959.

11. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969,-527 С.

12. Васильева Н. J1., Черный JI. Т. Электрогидродинамика двухфазных сред при электризации частиц дисперсной фазы под влиянием электрического поля // ПММ, Т. 46, вып. 1, 1982. С. 107 - 115.

13. Волков П. К. Модель ячейки для описания двухфазных сред // ПМТФ, Т. 38, № 2, 1997. С. 115124.

14. Гаврилюк С. Л., Перепечко Ю. В. Вариационный подход к построению гиперболических моделей двухскоростных сред // ПМТФ, Т. 39, № 5, 1998. С. 39 - 54.

15. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, - 576 С.

17. Гельфанд И. М., Райков Д. А. Коммутативные нормированные кольца М.: Физматгиз, I960. - С. 420.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А., Устойчивость конвективных течений.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989

19. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н. И.Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. - С. 336.

20. Гольдштик, М.А., Штерн, В.Н., Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Нов-ск: Наука, 1977.

21. Гординг А. Задача Коши для гиперболических уравнений. -М.: И.Л., 1961.

22. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: И.Л., 1963.

23. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных опереторов- М.: Наука, 1965,-448 С.

24. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970, - 534 С.

25. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М., 1962 - 895 с.

26. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральная теория. М., 1966 - 1063 с.

27. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Спектральные операторы. М., 1973.

28. Даугавет И. К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. Л.: Изд-во Jle-нингр. ун-та, 1985. - С. 224.

29. Джозеф Д., Устойчивость движения жидкости.-М., 1981,-638 с.

30. Евграфов М. А. Аналитические функции.-М.: Наука, 1991. С. 448.

31. Жигулев В. Н., Тумин А. М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. Новосибирск: Наука, 1987.

32. Зубарев Н. М. Вариационные принципы построения маломодовых моделей ламинарно-турбулентного перехода//ЖТФ, Т. 67, № 5,1997. С. 1 - 5.

33. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991. - С. 368.

34. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

35. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. - С. 752.

36. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. М.: Мир, 1972.

37. Клебанов Л. А., Крошилин А. Е., Нигматулин Б. И., Нигматулин Р. И. О гиперболичности, устойчивости и корректности задачи Коши для системы уравнений двухскоростного движения двухфазных сред // ПММ, Т. 46, вып. 1,1982. С. 83 - 95.

38. Клемент Ф., Хейманс X. и др. Однопараметрические полугруппы. М.: Мир, 1992. - С. 352.

39. Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Линейная устойчивость некоторых течений двухфазной жидкости // 28 сибирский теплофизический семинар: тезисы докладов / под ред. С.В. Алек-сеенко Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2005.

40. Кожуховская Т.А., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Нейтральные зависимости течений двухфазной жидкости между коаксиальными цилиндрами И Известия АлтГУ, Вып.1- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2003.-С. 72-77.

41. Кожуховская T.A., Попов Д.И., Сагалаков A.M. Устойчивость двухфазных параллельных течений между коаксиальными цилиндрами У/ Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл.- Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. С. 47^19.

42. Колесов В. В., Юдович В. И. Расчет колебательных режимов в течении Куэтта вблизи точки пересечения бифуркации возникновения вихрей Тейлора и азимутальных волн // Изв. РАН, МЖГ, № 4, -1998.-С. 81 -93.

43. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. -С. 264.

44. Крайко А. Н. К двухжидкостной модели течений газа и диспергированных в нем частиц // ПММ, Т. 46, вып. 1, 1982.-С. 96-106.

45. Крайко А. Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течения смеси газа с частицами // ПММ, Т. 46, вып. 3, 1982. С. 420-428

46. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966,-331 с.

47. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: государственное изд- во технико-теоретической лит., 1956.

48. Красносельский М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975.

49. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М., 1966, -499 с.

50. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. - С. 400.

51. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 608.

52. Куратовский К. Топология: том 2. М.: Мир, 1969.

53. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, - 736 С.

54. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973,-576 С.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретеческая физика: учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. -3-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 736 с.

56. Леонов Г. А. Оценка аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // ПММ, Т. 65, вып. 1,2001.-С. 21-35.

57. Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. - С. 208.

58. Линь Ц. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: И.Л., 1958. - 194 с.

59. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Гл. ред. физ.-мат. лит., Изд. 3-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1970.

60. Мамаев В. А., Одишария Г. Э. и др. Гидродинамика газо-жидкостных смесей в трубах. М.: изд-во Недра, 1969.-С. 208.

61. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М., 1950.

62. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М., 1980, - 367 С.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., 1977. - С. 456.

64. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970. - С. 512.

65. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962, 254 С.

66. Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Наука, 1965, - 639 с.

67. Монин А. С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 2. М.: Наука, 1967, - 720 с.

68. Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. - С. 528.

69. Наймарк М. А., Нормированные кольца. М.: Наука, 1968. - С. 664.

70. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. М.: гос. изд-во технико-теоретической лит., 1949.

71. Нигматулин, Р.И., Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

72. Нигматулин, Р.И., Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

73. Никитин Н. В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах // Докл. РАН, Т. 343, №6, 1995. - С. 767 - 770.

74. Никитин Н. В. Спетрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 34, №6,- 1994. С. 909 -925.

75. Никитин Н. В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений // Изв. РАН, МЖГ, №2, 2001. - С. 42 - 55.

76. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. М.: Радио и связь, 1985.-С. 248.

77. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. М.: Мир, 1983. -С. 384.

78. Попов Д.И. Моделирование ламинарно-турбулентного перехода двухфазных течений в кольцевом зазоре // Труды Междунар. конф. молодых ученых по мат. моделир. и информ. техн-ям,- Новосибирск, 2002. С. 36-37.

79. Попов Д.И. Устойчивость течения Куэтта-Пуазейля двухфазной монодисперсной смеси // Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики: тез. докл. VIII Всероссийской конференции молодых ученых,- Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2004 С. 24-25.

80. Попов Д.И., Проскурин А.В., Сагалаков A.M. Эволюция волн Толлмина-Шлихтинга в кольцевом зазоре // Теория и приложения задач со свободными границами: тез. докл. Барнаул : Изд-во Алт. унта, 2002-С. 78-80.

81. Попов Д.И., Сагалаков A.M. Влияние формы профиля скорости на характеристики устойчивости течения монодисперсной бесстолкновительной смеси // Известия АлтГУ, Вып. 1 -Барнаул : Изд-во унта, 2005.-С. 148-152.

82. Ревина С. В., Юдович В. И. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических трехмерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Изв. РАН, МЖГ, №2, 2001. - С. 29 - 41.

83. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: том 2. М.: Мир, 1978.

84. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: том 4. М.: Мир, 1982. - С. 428.

85. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

86. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б., Борд Е. Г. Неустойчивость плоского течения Куэтта двухфазных жидкостей //Письма в ЖТФ, Т. 24, № 5, 1998. -С. 16- 80.

87. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц. ПМТФ. 1996, т.37, №1.

88. Рудяк В.Я., Исаков Е.Б.,Борд Е.Г., Устойчивость струйных течений двухфазной жидкости // Теплофизика и Аэромеханика, T.5, № 1, 1998. С. 59 - 66.

89. Руев Г. А., Рождественский Б. Л., Фомин В. М., Яненко Н. Н. Законы сохранения систем уравнений двухфазных сред// Докл. АН СССР, Т. 254, № 2, 1980. С. 288-293.

90. Сапожников В.А. Решение задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки // Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Нов-ск, 1969. - С. 212-219.

91. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.-С. 336.

92. Coy, С.Л., Гидродинамика многофазных систем. М.: Мир, 1975.

93. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

94. Струминский В. В. Влияние диффузионной скорости на течение газовых смесей // ПММ, Т. 38, вып. 2,1974.-С. 203 -210.

95. Треногин В. А. Функциональный анализ. М,: Наука, 1980.

96. Устинов М. В. Взаимодействие волны Толлмина-Шлихтинга с локальной неоднородностью течения //ПМТФ, Т. 39,№ 1, 1998.-С. 75 -83.

97. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Наука, 1960.

98. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: T.I, Т.2 -М.: Мир, 1991.

99. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - С. 352.

100. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - С. 224.

101. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: Физматгиз, 1962.-С. 420.

102. X. Суинни и Дж. Голлаб Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984.

103. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений : нежесткие задачи.-М.: Мир, 1990.-С. 512.

104. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: объед. научно-техническое изд-во НКТП СССР, 1937.

105. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. М.: И.Л., 1962. - 201 с.

106. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости. ПММ, 1971, Т. 35,4, - С. 638 - 655

107. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима. ПММ, 1972, Т. 36,3, - С. 450-459

108. Юдович В. И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых периодических возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ, №1,- 1973.-С. 32-35.

109. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Изд. Рост, ун-та, 1984.

110. Яницкий В. Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики, Т. 13, № 2, 1973. С. 505 -510.

111. Allen М. P., Tildesley D. J. Computer simulation of liquids. Oxford University Press, 1989.

112. Arnold V. I., Khesin B. A. Topological methods in hydrodynamics: Applied mathematical science. Springer-Verlag, New York, 1998.

113. Bender С. M., Orszag S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, Inc., 1978.

114. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. DOVER Publications, Inc., 2000.

115. Canuto C., Hussaini M. Y., Quarterni A. & Zang T. A. Spectral methods in fluid dynamics / Springer series in computational physics. Berlin New York: Springer-Verlag, 1988.

116. Cerutti S., Meneveau Ch., and Knio О. M. Spectral and hyper eddy viscosity in high-Reinolds-number turbulence // J. Fluid Mech., Vol. 421,2000. PP. 307 - 338.

117. Chorin A. J. Vorticity and turbulence. Applied mathematical sciences. V. 103. Springer-Verlag, New York, 1994.

118. Chorin A. J., Marsden J. E. A mathematical introduction to fluid mechanics. Texts in applied mathematics. Springer-Verlag, New York, 1993.

119. Davies C., and Carpenter P. W. Numerical simulation of Tollmien-Schlichting waves over finite complient panels // J. Fluid Mech., Vol. 335,1997. PP. 361 - 392.

120. Drazin P. G. & Reid W. R. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1981.

121. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Springer,2002.

122. FischerP. F., Kruse G. W., and Loth F. Spectral elements methods for transitional flows in complex geometries // Journal of science computing, V.17, N. 1-3,2002. -P. 87 106.

123. Gottlieb D., Orszag S. A. Numerical analysis of spectral methods: theory and applications. SIAM, Philadelphia, 1977.

124. Guermond J.-L., Prudhomme S. On the construction of suitable solutions to the Navier-Stokes equations and questions regarding the definition of large eddy simulation // Physica D, 207, Elsevier, 2005. PP. 64 -78.

125. Hairer E. Numeric geometric integration. Department of Mathematics, Geneva University, 1999.

126. Holmes P. J., Lumley J. L. et al. Low-dimensional models of coherent structures in turbulence // Physics Reports, 287. Elsevier, 1997. - P. 337 - 384.

127. Holmes P., Lumley J. L. and Berkooz G. Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry. Cambridge University Press, 1996.

128. Huang W., Ma H., and Sun W. Convergence analysis of spectral collocation methods for a singular differential equation // SIAM J. Numer. Anal., Vol. 41, No. 6. PP. 2333 -2349.

129. Kaheda Y., and Ishihara T. High-resolution direct numerical simulation of turbulence // J. Of Turbulence, Vol. 7, No. 20,2006.

130. Kassam A.-K. And Trefethen L. N. Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 26, No. 4,2005. PP. 1214 - 1233.

131. Komminaho J. Direct numerical simulation of turbulent flow in plane'and cylindrical geometries: doctoral thesis 11 Royal Institute of Technology, Department of Mechanics. Stockholm, 2000.

132. Kamran Mohseni and Tim Colonius Numerical Treatment of Polar Coordinate Singularities // J. Сотр. Physics 157. Academic Press - 2000. - PP. 787 - 795.

133. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. Neutral relations for the parallel flow of a two-phase fluid between coaxial cylinders // Transport Phenomena in two-phase Flow: 7th workshop-Varna 2002.

134. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. Spectral curves of Couette-Poiseuille flow of two-phase mixture // Transport Phenomena in two-phase Flow: 9th workshop Varna 2004 - P. 35-41.

135. Kozhukhovskaya T.A., Sagalakov A.M., Popov D.I. The Stability of Couette-Poiseuille Flow of Two-Phase Liquid // Transport Phenomena in two-phase Flow: 8lb workshop Varna 2003. - P. 30-37.

136. Kozhukhovskaya,T.A., Kryukov,A.A., Sagalakov,A.M., Yudintsev,A.Yu., Stability of parallel flow of a two-phase liquid between coaxial cylinders // Russian J. Eng. Thermophys. 2000. - Vol. 10. № 2.

137. Kraichnan R. H. and Montgomery D. Two-dimensional turbulence. Rep. Prog. Phys., Vol. 43, 1980.

138. Ladyzhenskaya O.A. The mathematical theory of viscous incompressible flow. New York, Gordon and Breach, 1963.

139. Lopez J. M., Marques F., Shen J. An efficient spectral-projection method for the Navier-Stockes equations in cylindrical geometries И J. Сотр. Physics 176 (2002). PP. 384 - 401.

140. Ma X. And Karniadakis A low-dimensional model for simulating three-dimensional cylinder flow // J. Fluid Mech., Vol. 458, 2002. PP. 181 - 190.

141. Majda A. I., Bertozzi A. L. Vorticity and incompressible flow: Cambridge texts in applied mathematics. -Cambridge University Press, 2002.

142. Meseguer A., Trefethen L.N. A spectral Petrov-Galerkin formulation for pipe flow I: Nonlinear transitional stages // Oxford University Computing Laboratory , Numerical analysis group, technical report no. 00/18, September, 2000.

143. Meseguer A., Trefethen L.N. Linearized pipe flow to Reinolds number l.E+7 // J. Сотр. Physics 186 (2003).-PP. 178- 197.

144. Meseguer A., Trefethen L.N. Stability analisys of perturbed plane Couette flow // Physics of Fluids, Vol 11, No. 5, 1999

145. Mittal R. A Fourier-Chebyshev spectral collocation method for simulating flow past spheres and spheroids // Int. J. Numer. Meth. Fluids 30: 921 937 (1999).

146. Mohnseni K. and Colonius T. Numerical treatment of polar coordinate singularities // J. Сотр. Physics. 157,2000.-PP. 787-795.

147. Noack B. R. and Eckelmann A low-dimensional Galerkin method for three-dimensional flow around a circular cylinder//Phys. Fluids 6(1), 1994.

148. Orszag S. A. Lectures on the statistical theory of turbulence. Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology. P. 235 - 347.

149. Quarteroni A., Sacco R., Saleri F. Numerical mathematics. Springer-Verlag, New York, 2000.

150. Saffman, P.G., On the stability of laminar flow of a dusty gas, J. Fluid Mech., 13, Pt 1, P. 120-128, 1962.

151. Sagalakov A.M., Popov D.I. Influence of interphase interaction on stability of two-phase Couette-Poiseuille flow // Transport Phenomena in two-phase Flow: 10th workshop. Varna 2005. - P.38-44.

152. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods II. Direct solvers of second and fourth order equations by using Chebyshev polinomials // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 16, No. 1,1995. PP. 74 - 87.

153. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods III: polar and cylindrical geometries // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 18, No. 6, 1997. PP. 1583 - 1604.

154. Shen J. Efficient spectral-Galerkin methods IV. Spherical geometries // SIAM J. Sci. Comput., Vol. 20, No. 4, 1999.-PP. 1438- 1455.

155. Shen J. On error estimates of the projection methods for the Navier-Stockes equations: second-order schemes // Mathematics of computations, Vol. 65, No. 215,1996. PP. 1039 - 1065.

156. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Springer, New York, 1988.

157. Trefethen L.N. Computation of pseudospectra. Acta Numerica, Cambridge University Press, 1999.

158. Trefethen N. Finite difference and spectral methods for ordinary and partial differential equations. Cornell University, 1996.

159. Wang C. and Liu J.-G. Convergence of gauge method for incompressible flow // Math, of Comput., Vol 69, No. 232, 2000. PP. 1385 - 1407.

160. Wesseling P. Principles of computational fluid dynamics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2001.

161. Wilcox D. C. Turbulence modelling for CFD. DCW Industries, 1994.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00