Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел

Минаева, Надежда Витальевна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел

доктора физико-математических наук: Минаева, Надежда Витальевна
город: Воронеж
год: 2010
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел"

003493324

На правах рукописи

Минаева Надежда Витальевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 1 ШР 2010

Самара - 2010

003493324

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО «Воронежская государственная технологическая академия»

Научный консультант: Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Чернышев Александр Данилович

Доктор физико-математических наук, профессор

Блатов Игорь Анатольевич,

Доктор физико-математических наук, профессор

Ковалев Владимир Александрович,

Доктор физико-математических наук, профессор

Сапронов Юрий Иванович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный горный университет»

Защита состоится 31 марта 2010 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ГОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ Автореферат разослан «¿У » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08

Зайцев В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При теоретическом рассмотрении различных процессов задаются параметры и функции, определяющие свойства изучаемого объекта, а также характер внешних и внутренних воздействий. Если исследование проводится на основе некоторой математической модели, то предполагается, что полученное решение приближенно описывает поведение реального объекта, т.е. имеет место непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта и внешнего воздействия на него.

Фундаментальные основы для исследования данной проблемы содержатся в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры. К работам по этому направлению можно отнести труды на основе статических критериев (В.В. Болотин, A.C. Вольмир, А.Н. Гузь, Д.Д. Ивлев, А.Ю. Ишлинский и др.), в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы. Исследованиям непрерывной зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале посвящены известные труды A.M. Ляпунова, И.Г. Малкина, О. Перрона. К.П. Персидского, Н.Г. Четаева и др., в которых изучаются дифференциальные уравнения, и анализируется устойчивость их решения по Ляпунову. В работах по теории катастроф (Р. Гилмор, М.Голубицкий и др.) непрерывная зависимость от исходных данных рассматривается для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции. К трудам по данному направлению можно отнести исследования по математической теории управления (Л.С. Понтря-гин, Ж.-Л. Лионе, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев и др.), в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф. Из анализа работ следует, что при рассмотрении стационарных состояний механических систем вопрос о непрерывной зависимости решения от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.

В связи с этим дальнейшее развитие методов исследования непрерывной зависимости от исходных данных решений математических задач, описывающих квазистационарное состояние систем с распределенными параметрами, является актуальной проблемой.

В случаях, когда необходимо получить более точные решения, как правило, учитывают различного рода нелинейности изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений, который нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. Ю. Ишлинский, Д.Д, Ивлев и др.). При решении задач этим методом вопрос об оценке погрешности рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М.В. Келдыш, Ф.И. Франкль, И.Г. Малки н и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л.А. Галин и др.), поэтому дальнейшее изучение данной проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.

Цель работы. Развитие метода исследования математических моделей стационарных состояний упругопластических тел и метода возмущений. Построение математической модели и определение условий непрерывной зависимости решения от исходных данных для пространственных, плоских и осесимметричных начально-краевых задач. Применение полученных результатов в задачах моделирования квазистационарных состояний упругопластических тел при консервативных нагрузках.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

• построить новые математические модели квазистационарных состояний упруг опластических тел при комбинированном нагружении с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;

в разработать условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;

• построить новую математическую модель линеаризованных граничных условий в напряжениях, заданных на подвижной границе;

• разработать критерии аналитичности по независимым малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;

• применить полученные условия для исследования математических моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упру-гопластических тел при комбинированном внешнем воздействии;

• создать численные схемы решения задачи, описывающей состояние тела при плоской деформации.

Методы исследования. В данной работе для решения поставленных задач были использованы основные методы математического моделирования, функционального и математического анализа, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории упругости, пластичности и метод возмущений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

• построены математические модели квазкстационарных состояний некоторых упруголластических тел, учитывающие отклонения характеристик тела от осредненных значений;

• получены новые условия непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, вариационной задачи для функционала интегрального вида от исходных данных;

• показано, что если в математическую модель, на основе которой предполагается проводить исследования непрерывной зависимости, входят граничные условия в напряжениях, то они должны быть заданы на деформированной границе;

• в пространстве описывающих параметров найдены области, за пределами которых анализируемое решение уже не будет описывать поведение упругопластического тела при комбинированном нагру-жении. В некоторых случаях они также будут и областями применимости рассматриваемой модели;

• на основе критериев непрерывной зависимости получены критерии аналитичности по независимым малым параметрам решений обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных, позволяющие находить границу области сходимости метода возмущений;

• разработан метод построения аналитической функции, приближенно описывающей границу тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат;

• создан комплекс программ для нахождения решения, описывающего поведение упругопластической трубы из несжимаемого материала при комбинированном нагружении;

• с точностью до величин первого порядка малости найдены решения задач, описывающих напряженно-деформированное состояние упругих идеально пластических твердых тел, с учетом начальных несовершенств.

Практическая значимость. Полученные новые критерии позволяют проводить качественный, а в некоторых случаях и количественный анализ найденного решения, описывающего квазистатическое состояние упругопластических тел при комбинированном нагружении. Достигнутые в работе результаты могут быть использованы заинтересованными учреждениями, предприятиями и научными коллективами соответствующих отраслей науки и производства в своей практической деятельности. Их можно рекомендовать распространить в НИИ авиационной, автомобильной, строительной отраслей промышленности, при рассмотрении стержневых и пластинчатых конструкций в машиностроении, при определении прочностных характеристик горных выработок и т.д.

На защиту выносятся:

• математическая модель квазистационарного состояния упругопла-стического тела при комбинированном нагружении, используемая для исследования непрерывной зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред;

• условия непрерывной зависимости решений, определенных в ограниченной области, обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной;

• критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений, определенных на ограниченной области, вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от одной или нескольких переменных;

• критерий аналитичности по малым параметрам решений дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;

• метод нахождения приближенных аналитических решений краевых задач с оценкой погрешности.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и сим-

позиумах: 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999; 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999; Воронежской весенней математической школе, 1999: '7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003; математической школе «Понтрягинские чтения-ХН», Воронеж, 2001, 2007; И международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002, 2006, 2008; X международной конференции «Математика. Экономика. Образование». Пущино, 2003, 2005; международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». СПб. 2003; всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008; международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2009; всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008; международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 2009; региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008; ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2009.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 48 работ. Основные результаты отражены в 2 монографиях и 20 статьях, опубликованных в научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Личный вклад заключается в разработке новых критериев и условий для исследования некоторых математических моделей, постановке задач и их решении. Автором построены математические модели [1,2,11,16,18,19,22], получены условия непрерывной зависимости решения некоторого iuiacca дифференциальных уравнений [3-8,10,13,15,20, 21] и вариационной задачи [9,14,17] от исходных данных, критерии аналитичности решений дифференциальных уравнений [1,2,8], а также предложен метод нахождения приближенного решения с оценкой погрешности [1,8,12,21]. Отдельные элементы доказательств теорем и применение полученных условий при анализе математических моделей

квазистационарных состояний уиругопластических тел выполнены в соавторстве при непосредственном участии соискателя.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 293 страницах, состоит из введения, шести глав, приложения и списка литературы из 201 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведена общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, изложено ее краткое содержание.

В первой главе рассматривается проблема исследования непрерывной зависимости решения задачи, соответствующей некоторым видам математических моделей, от исходных данных. Проведен анализ различных условий, на основе которых возможно изучение этой зависимости. В общем виде они содержатся в важнейшей теореме функционального анализа - теореме о неявных функциях:

пусть Л, U, Z - банаховы пространства, Y - окрестность точки

(к0,и0)<Е AxU и F - отображение Y в Z, обладающее следующими свойствами:

1 .Fнепрерывно в точке , и0);

2. F(Xq,u0) = 0;

3. и) 3 в 7и непрерывно в точке (Х0, г<0), а оператор F¿(X0, н0) имеет ограниченный обратный.

Тогда уравнение F(X,u)~0 разрешимо в некоторой окрестности точки (Х0,и(>), т.е. 3 8 > 0, s > 0 и и = и(Х), определенное при |Х.-Х0| < 6 и непрерывное в точке А,0, что для V (к, и): |Х-л0|<5 и и ~и(Х) будет выполняться F(X,u) = 0 и обратно каждая пара (и,Х), удовлетворяющая уравнению F(X,u) = 0 и условиям ||А,-Х.0|<5,

|м - ы01 < е , удовлетворяет и и = и(Х).

В данной работе рассматриваются следующие виды математических моделей, которые обычно применяются при исследовании поведения механических систем: дифференциальные уравнения и вариационные задачи. В дальнейшем будем считать, что F: Y -» Z , где Y - область банахова пространства U (U ,Z ~ банаховы пространства), является не-

линейным фредгольмовым отображением нулевого индекса, и наряду с этим выполнены условия:

а) С/с2сЯ - тройка непрерывно вложенных пространств (Н- гильбертово пространство).

б) и плотно в Н (это означает, что любой элемент из Н может быть представлен как предел последовательности из Ц). Кроме того, из плотности и в Н следует, что X тоже плотно в Н.

Будем рассматривать только те банаховы пространства, в которых производная Фреше отображения Р является изоморфизмом. Эти пространства с соответствующими нормами обычно используются при решении задач механики сплошных сред, например, пространства Гельде-ра, гильбертово пространство, С2([а,6],1Г), С4([я,6]Дм), С4+а и др.

Во второй главе рассматривается математическая модель в Енде обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной:

ф(/{х),х,и,и',и\...,и{"))=0, х е [а,ь] (1)

с граничными (начальными) условиями вида:

Р,(/(а),ДЬ),а,Ь, А,...,/>„;?„...,$0 = 0, (/= 1, .... п), (2) где и(х) описывает поведение изучаемого объекта, pJ=l¿J~I>(a); =и'-у">>ф) (/, у -1,2,...,«) , Дх) характеризует объект или внешнее воздействие. Предположим, что при /(х) - /0 (х) задача (1), (2) допускает решение:

и(х) = и0 (х).

Тогда условие непрерывной зависимости решения и(х) от функции Дх) при /(х) = /0(х) заключается в выполнении критерия:

Теорема 1. Пусть функции Ф и в задаче (1), (2) обладают следующими свойствами:

1) непрерывны при /=/0; и=щ; /(а)=/0(а); /ф)=/$); PJ

(п)/тл т дР,

q (Ь) вместе со своими частными производными -—г-, ———

Ш дР)

дФ

(/,; = 1 ,...,п) и функция

2) задача (3), (4) имеет только тривиальное решение

^0 прихе[а,6].

И="0

ди' » м S

= 0,

Ф, Ф„ Ф, Ф„

/=/о

(3)

(4)

О',; = 1,2,...,и)

Тогда существуют 8 > 0, 5 > 0 и ср('/, х) такие, что

при ||/-/0||<5, |(р-м0|<б, т.е. решение уравнения (1) и= ср(/,х) непрерывно зависит от Дх) при /(х) = /0(х).

В частности, для задачи Коши требование 2) принимает вид ограничений на начальные условия: &Qt\dF. Idq \ 1^0; (i,j = l,...,n).

В качестве иллюстрационного примера рассмотрены линейные дифференциальные уравнения второго порядка с однородными граничными условиями, решения которых описывают ось изогнутого консольного стержня под действием двух сил (рис. 1) в линейной постановке. Подобные стержни используются, например, как элементы опор мостов, покрытий, купольных конструкций:

и"(х)-f"(x)+aln(x)cosXl +a,xsinX., =0, xe[0,a]; и"(х) - fix) + (a, cos X, + a 2 cos + (a, sinXj +a2 sm/k2)x-a2u(a)cos%2-a2flsin X2 =0, xe[o,l];

m(0)=M'(1)=0, (6)

где u=u/£;x=x/£:J=f/£;a=£J£;al=P//EI;az=E/2/EI, функция /(30 характеризует форму оси стержня в свободном состоянии.

К граничным условиям (12) следует добавить условия сопряжения решений уравнений (5) при х^а.

Рис. 1

В результате проведенных исследований получены следующие соотношения:

1) («1>0; а2>0); (а]>0; а2>0; а, сс^А,, +а2 созХ2 >0)

|л^(|х,йМц2(1-а))=|л2; (7)

2) (а!>0; а2<0; а, соз^ +а2 созХ2 <0)

3) («1<0; а2>0; а, соэХ,, +а2 созХ,2 >0)

(9)

4)(а]<0; а2>(); а, созХ,, +а2 созА,2 <0), (а]<0; а2<0)

цДе"*" -е^-^ща) = цДе"*" (10)

В исходной модели (5)-(6) на диапазон изменения параметров нагрузки а! и а2 до сих пор никаких ограничений не накладывалось. Однако при а! и а2, принадлежащих кривой (7)-(10). непрерывность зависимости решения и(х) от /(х) при /(х) - /0 (х) нарушается. В подобных случаях математическая модель (5)-(б) и ее решение не будзт адекватно описывать изгиб рассматриваемого стержня (рис. 1). Таким образом, линия (7)-(10) является ограничением возможных значений параметров внешних сил а, и а2 . Область за пределам допустимых значений отмечена штриховкой. На рис. 2 представлены частные случаи линии (7)-(10) в пространстве параметров внешних воздействий аг и а2, где цифрой 1 обозначен график, соответствующий Х,1=Я^=0, а=0,7, его асимптота а1-25к2/49, а цифрой 2 - ?ц=л/4, Х2=л:/3, а=0,7, его асимпто-

В третьей главе рассматривается математическая модель квазистационарного состояния механической системы с распределенными параметрами в виде уравнения в частных производных:

Ф(Л*,>^00,г10,г01,ги,...,гот) = О, {х,у)ей, (И) где /=/(у) - функция, характеризующая рассматриваемый объект и

внешнее воздействие на него, а г„ =—:—г, (/,7=0,1,2,...,«).

" дс'ду1

Граничные условия запишем в следующем виде:

F, (У. Лт)Л, ,Ра, Рп v - , Рт) = 0 "> Pj, = ~

д'^и

6х'Аду

•'А,./-'

(12)

где у е Г; Г - граница области D.

Предположим, что при f(x,y) = /0 (х, >■) задача (11)-(12) допускает решение

и = и0(х,у).

Критерий непрерывной зависимости решения задачи (11)—(12), согласно теореме о неявных функциях, заключается в выполнении условий теоремы:

Теорема 2. Пусть функции Ф и 1\ из (11)-(12) обладают свойствами:

1) непрерывны при / = /0, и = и0, г.. = rlj0, /(7)=/0(Д р,, = рт (к,ij = <5Ф 6Ft . оФ

= 1,... ja) вместе с ; —и функция

дги дРи

д:

Ф0 прите D;

Мъ

и=иц

2) задача (13) имеет только тривиальное решение:

у. дФ

(¿Ъ

^дК

/"/о °Pij

U-llQ

f-/d M-«0

(13)

дх'ду-'

.v =

, (k=\, 2, ...,/1).

Тогда существуют s > 0, § > 0 и ф(/. x, у) такие, что

при ||/-/o¡|<5, |J(p-«0||<s. т.е. решение уравнения (11) и- ср(/, х, у) непрерывно зависит от fix,у) при f(x, у) = /0 (х, у).

В основном граничные условия в задачах МСС формулируются в перемещениях или (и) в напряжениях. Прежде, чем рассматривать подобные задачи, проведем анализ математической модели, описывающей поведение деформируемого твердого тела, записанной в операторной форме

Ht(u,a,F) = 0;

Я2(и,ст,ц) = 0; (14)

H3(u\ro,f,P) = 0.

Оператор Я, соответствует уравнениям равновесия, Нг - реологическим соотношениям, Н} - граничным условиям в напряжениях, заданных на деформированной границе, ц - характеристика физических свойств материала тела,/- характеристика границы тела в ненагружен-ном состоянии, и - вектор перемещений, n\f - вектор перемещений точек границы тела, о - тензор напряжений, FnP- объемные (массовые) и поверхностные внешние силы.

Во втором параграфе третьей главы было показано, что при построении математической модели (14), на основе которой планируется проводить исследования непрерывной зависимости, граничные условия должны ставиться на подвижной границе. В противном случае либо задача исследования непрерывной зависимости решения поставлена противоречиво - предполагается непрерывность зависимости на границе, либо получаем, что граница не деформируется, что противоречит постановке самой задачи.

Согласно требованиям из теорем 1, 2, необходимо рассмотреть линеаризованную вспомогательную задачу. Основной проблемой здесь является построение математической модели линеаризованных краевых условий, поставленных на подвижной границе.

Пусть краевые условия заданы в декартовой системе координат: <ух cosa +tsina = РХ;

a^sina + tcosa-Ру, ^ '

где a - угол наклона нормали к оси Ох .

В результате были получены следующие линеаризованные граничные условия при у = g°(x):

а0 уп +торуп

ст.

(^Т

ск

йI

ск

ду

-т ск с1х

ш: а'

¿¿с

ск ¿V

с/х

=0.

Здесь £°(х) - функция, описывающая границ)7 идеализированного тела в деформированном состоянии; - вспомогательные функции, которые согласно теореме 2, определяются следующим образом

Л'=(0+Vе(г,(0)+(0,

ск

(16)

где ф(х) - функция, обратная функции ф°(0 = (+и°(1,/°(()); -

решение задачи (14) при /(х,у) - /0(х,у).

2. Аналогично проведена линеаризация граничного условия, заданного в интегральной форме

}ф(9ЛУ),У)<Ь> = а VI)

Уг

В результате получено условие (17) в следующем виде

1Ц

П2

ар\ч1У),

дх

1Ч0/,_0/_0\ „о

Рис. 3

9,0) = Ф (?) (л2Хл2К2(^лъ)-

где 0;);

Я.ОУг)

Л« = /Д,); = /,(п,-) 0' = 1,2), Ф° = ф0(</,0(.у);.}'). Граница рассматриваемого тела в деформированном состоянии описывается функциями (рис. 3): >>=й(х);>'=£2(л:); х - д1 (у), а в ненагруженном -

у=А(х); у=А(х); *=/30)-

В качестве иллюстрационного примера рассмотрена система дифференциальных уравнений первого порядка, описывающая поведение упругой полосы в случае плоской деформации. По кромкам х = , х = д2 полоса нагружена сжимающим давлением р, а по кромкам V = (х), ,у = £2(х) упруго подкреплена с коэффициентом жесткости основания к.

а(ад-(от) [ <3(т-а>а,) = 0. ф + юа,) [ +

& ду ' дх ду

ди дv . 1 + —= 0; © = -

ди Эу

■а = т = С

(ди ду

дх ду ' 2 [ду дх/ х } дх' ^ду дх ^ Граничные условия сформулированы в следующем виде Тя| =0; р \ - -/с[я,(х)- /,(х)1

( р \ = [ р | с&=-2рЬ

А,В, С,1>, (19)

1 ** = I ** = ! "Ц * = 1 VI..,, Л = о

.4,5, С,£>, ЛВ СО

Показано, что решение, соответствующее однородному напряженно-деформированному состоянию

ах=а°х=-р; ау=с°у = -кЬвп}- т = т°=0; у = у°=6>; и = и° =-г°ух (20)

имеет физический смысл, если точка, определяемая параметрами кх и у, не выходит за пределы области, ограниченной графиком функции, заданной в неявном виде 2(а22а14 -а24а12Ха2,а33 -а3]а23)+2(сх22а34 -

а24а32Ха11а23 а2!а13

) = 0(21)

где а,, = а,р,(У°у,И) ■

Близость формы поперечного сечения полосы к прямоугольнику в этом случае сохраняется и в процессе деформирования.

Далее рассмотрено построение математической модели линеаризованных граничных условий для вспомогательной задачи, в случае,

когда краевые условия заданы в полярной системе координат на подвижной границе г = ¿»(9)

а¥=Р¥; т = Рх. (22)

В результате получены следующие соотношения

да

дг

О V аО \2

дг

-2т

о g

8°

4« /

И2

N (»л 2

а о

) У)

о^з-

дК

дг

1 +

г6«\

■о / -о

№

т0

о, ~ой

( -0 \ - 0 ~ /

С Ьб о ■зб

V ё 8 Л

+ 2

„о-о

* г

и ,

"''б / „И Ч

+ 2

х Я

—2-е

4 'а.»

И!

-Се +Сз

5Рг |У1 2"

1- __ Т 1 + о

И ] ~~д7

Сб+2Рг

к0)2

Сб гГ^гб

! Ьб

где сг°, Од, -с0, и\ V0 - решение задачи (14) при / = /°(9), ¿¡. - вспомогательные функции, определяющиеся аналогично (16).

В качестве примера приведен частный случай математической модели, состоящей из системы линейных дифференциальных уравнений и граничных условий. Решение задачи описывает поведение упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействием внутреннего рх и внешнего рг давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов и т.д. В результате проведенных исследований на плоскости параметров внешних воздействий, получена граница области непрерывной зависимости решения задачи от функции, описывающей форму сечения трубы. В пределах этой границы напряженно-деформированное состояние трубы бу-16

дет близко осесимметричному. Вне найденной области следует исследовать другое решение исходной задачи, соответствующее уже неосе-симметричному состоянию.

Далее рассмотрен пример применения теоремы 2 для исследования решения плоской задачи. Были проанализированы два частных слу-

р чая математи-

/¿W^V^V/^V,//./ * ческих моделей,

на основе которых можно проводить исследования продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины в линейной и нелинейной постановке соответственно. Подобные пластины входят в состав многих конструкций, например, крыльев и корпусов самолетов, ракет, днищ, палуб, стенок цельнометаллических вагонов и т.д. Пластина (рис. 4) с начальным прогибом, описываемым функцией fix,у), шарнирно закреплена по всем краям и находится под действием поперечной нагрузки интенсивности г(х,у), а на краях - продольными распределенными усилиями интенсивности q и р.

В результате получено соотношение:

{кгт2+пг)г=акгтг+$п\ (23)

b2hq п b2hp , b , p.

где а - —В = ——к = —. п - толщина пластины, и - цилиндри-

п2D к D а ' ческая жесткость, а - ширина пластины, b -длина, т, п - целые числа.

Для линейной постановки условие (23) будут ограничивать область в пространстве параметров сжимающих нагрузок а и Р, за пределами которой используемая математическая модель непригодна.

Показано, что равенство (23) определяет границу, в пределах которой тривиальное решение, описывающее поведение рассматриваемой пластины в нелинейной постановке при г(х,у)= 0, непрерывно зависит от fix,у) при fix,y)~-Q, т.е. форма пластины остается близкой к плоской. За этой границей лри Дх,_у)=0 следует изучать другие решения нелинейной задачи.

| \| ^ { ¡1

q { I A J; { J Д- q

I } I ♦ \ \<

у/

7 Р

Рис. 4

В четвертой главе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида, также часто встречающаяся в приложениях

Щи{х)) = Ь$Ф(х,Дх),и,и';...,и{"))с1х = 0 (24)

с граничными условиями

= (/=1,2,...,т; т< 2п\ (25) где Р] =и(])(а), д^и^ф) (/'=0,1,...,и), функция /(х) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него.

Пусть при /(х) = /0(х) задача (24), (25) допускает решение

и(х) = и0(х).

Используя условия теоремы 1, получен критерий непрерывной зависимости решения вариационной задачи от исходных данных:

Теорема 3. Пусть функции Ф и Р] в задаче (24), (25) обладают следующими свойствами

1) непрерывны при / = /„; и =и0; Да) =/0(о); /ф) =/0(6); р} qJ = и,к,1~ 0,...,«) вместе со своими частными производными Ф^)((), №. дГ

Ф7' "д^ И ФуНКЦИЯ /-Л *° при / = /0; и = ив; хе[а,6];

2) вариационная задача

[С(х)]=5} ¿Ф^,,, \^£кХ'!)с1х = 0;

„ к,!' 0 и="°

(«) + «(6)] = о, 0=1,2,...,«); (26)

9-Чп

имеет только тривиальное решение;

Тогда существуют е > 0, б > 0 и функция ср(/,х), являющаяся

решением вариационной задачи (24), (25) при ||/-/0|<5, |ф-гг0|<8, т.е. решение г/=ф(/,х) непрерывно зависит от/(х) при

В качестве иллюстративного примера рассмотрим вариационную задачу, решение которой описывает продольно-поперечный изгиб упругого стержня переменного сечсния длиной ■£, шарнирно закрепленного на концах, нагруженного продольной силой Р и распределенной поперечной нагрузкой переменной интенсивности.

В результате для однородного стержня постоянного сечения получено ограничение на параметр сосредоточенной силы. Если величина продольной силы Р превышает найденное значение, то при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Далее рассматривается математическая модель квазистационарного состояния механической системы с распределенными параметрами в виде вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных. Пусть поведение исследуемого объекта описывается решением вариационной задачи:

= (27)

где функция Ах,у) характеризует рассматриваемый объект и внешнее воздействие на него, с граничными условиями

РХъ/Ь\Ри>Рп>Рп>->Р*.) = Ъ, (/=1 т<2п), (28)

ды'К

, (к,!- 1,...,п; /=1 т< п), уеГ, Г - граница

(*,.»)6Г

где ра

дх^ду1'1 области I).

Пусть при /(х,у) = /0(х,>') задача (27), (28) допускает решение

и(х,у) = и0(х,у).

На основе условий теоремы 2, получен критерий непрерывной зависимости решения вариационной задачи (27), (28) от исходных данных:

Теорема 4. Пусть функции Фи ^ в задаче (27), (28) обладают следующими свойствами

1) непрерывны при / = /0; и = и0; Ау)=Л(гУЛу=^'>Р»=Р»о вместе со своими частными производными - и функция

при (х,у)еО;

2) вариационная задача (29) имеет только тривиальное решение.

5»2[С(Х3>')]=5{| Z (\fiu f - f/iMxdy = 0,

¿.Фи

/=/о P=Po

hi =

Л.'О =

дх^ду14

(ДУОСГ

(г=Т,2,...,т; m< 2n)

(*.У)бТ

Тогда существуют s > 0,5 > О и функция (р(/,х,_у) , являющаяся решением вариационной задачи (27), (28) при |/-/0||<8, |j(p-?/0j|<s, т.е. решение n=(\{f,xyy) непрерывно зависит от fix,у) при f(x,y) = f0{x,y).

В качестве иллюстрационного примера рассмотрим частный случай функционала интегрального вида

бШ^иУ-а-цЩи)]-^/0] -2/1и|(&ф = 0, (30)

„-, д2и дги n Eh3 /, ,, . ч т, . „

= + Д = --27l1 + /2(^W Ц") = 2

дх ду 12(1-ц )

с граничными условиями

и(0, у) = и (а, у) = и(х, 0) = и(х,Ь) = 0;

ди

З'и д'и

а?" эу5"

_ди

У=о Ф' I у=Ь

д и кскду/

= 0.(31)

-у ,, ♦, I * 11Г11'т ^

у j у у | | у

I I I I I I

Рис. 5

Вариационная задача (30), (31) описывает состояние упругой прямоугольной пластины (рис. 5) с шарнирно закрепленными нагруженными кромками и жестко - ненагруженными, находящейся под действием поперечной распределенной нагрузки f\{x,y). Функция f2{x,y) характеризует цилиндрическую жесткость пластины.

Пусть при Мх,у) = fi0(x,y) и /2(х,у) = /.л(х,у) задача (30), (31) допускает решение щ{х,у). При проведении исследования непрерывной зависимости и{х,у) отfix,у) при f (х, у) - fw(x,y) (/=1,2) было получено условие существования нетривиального решения линеаризованной задачи (28) относительно вспомогательной функции С,(х.у) в виде:

ст. =■

а о

Яд

о о

тюс

sin-

пщ> j

Ь У

..( . ттас . гпщ/ ■ (1 - \i)Ij. sm—— sm —-У a b ,

jxdy

2 2 а Ь

m л - -

71 л гг . ,

" 0 0

. nwc

■ А ПКУл Л

sin —--axqy а Ъ

(32)

Например, при /20(х,у) = 0, т.е. для однородной пластины постоянной толщины, получаем при и=1 из (32), что

а*Ь2И у = ——-~т~

n2Dn

JL - ]JL—

7 + 3+ 3 т2

у 20

т — 5

т-4

Рис. б

где v = alb.

На рис. 6 представлены графики зависимости у от а 1b для разных значений величины т.

Если значения параметров v, у таковы, что точка, соответст-УШШШУ/ ВУЮЩ'Ш находится в заштрихованной области плоскости на графике рис. 6, то ре--^■шение вариационной задачи (30), (31) не

имеет физического смысла, т.е. при исследовании напряженно-деформированного состояния пластины вариационным методом при построении функционала следует учесть величины более высокого порядка малости.

Если в результате исследования возникла необходимость использовать более сложную математическую модель или нужно найти решение с заданной точностью, то во всех этих случаях требуется решить достаточно сложные уравнения.

Часто при изучении явлений используется математическая модель в виде дифференциальных уравнений. Одним из методов нахождения решения является метод возмущений. С его помощью исходная задача сводится к последовательному решению более простых задач и можно получить результат, удовлетворяющий практику.

В пятой главе рассматривается применение метода малого параметра для нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения

Ф(в1,е2,х,и,и',и",...,им) = 0 ,хе[а,Ь) (33)

с граничными (начальными) условиями

На основе условий из теоремы 1 и требования аналитичности формулировки задачи (33)-(34) по малым параметрам, получен критерий аналитичности решения обыкновенного дифференциального уравнения (33), неразрешенного относительно старшей производной, по малым параметрам в окрестности нуля:

Теорема 5. Пусть функции Ф и ^ в (33), (34) обладают следующими свойствами: 1) непрерывны при б, =е2 =0 :и=щ; р^ =ъ^'Х)(а); £/; вместе с

й» ЛР ЯР . . , . дф

(/,/ = \,...,П) И фуНКЦИЯ

с2=0 »=«0

£ 0 прихе[а,Ь].

а/»'

2) аналитические в окрестности Е,=%=0при и=и0: р} =г(/Ч!(а); ^

¿=о ди

д^ дР, 8рк дд

61=0 Г?

<?=9о е,=0

Рк =ы{кЛ\ау, qk =?/'-"(£); гк =с{*~1)(Ь), (С~ вспомогательная

функция). Задача (35) имеет только тривиальное решение.

Тогда в окрестности точки 5) -г2 = 0 существует однозначная, аналитическая функция и = и{£х,в2,х) хб[а,А], являющаяся решением задачи (33), (34) и и(0,0,х) -и0(х).

Если все условия критерия выполняются, то решение можно искать, например, методом малых параметров в виде степенного сходящегося ряда по е,, е2 (ряда Тейлора):

и = ЛиЛх'У^1ег' ■ (36)

Поскольку ряд (36) при достаточно малых е, и г2 сходится, то, следовательно, к метод малых параметров в этом случае, также будет сходящимся. В качестве оценки погрешности найденного решения можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

Используя полученные выше результаты, при помощи метода возмущений найдено решение нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами Е) и в2

г Н' г/-г £'Г -р/ +о.2(ц(х)~ц(1))-агЕг =0 (37)

[Щи'УТ []+(в 1/')2Р2

ы(0)=7/(0)=0.

Функция и(х) описывает изгиб упругого консольного стержня длины £, нагруженного на свободном конце продольной силой Р. приложенной с некоторым эксцентриситетом е2 (рис. 7).

Рис. 7

где х = и = / = //£;ег=Щ/1,а2 =Р£2 /(Е1);и*=с12и/а?г Е1 = =сопз( - жесткость стержня, 5, характеризует начальный прогиб. Задача (37) при г1=Е2=0 допускает решение:

"и = и0(х)а 0. (38)

При проверке условий критерия аналитичности было получено, что при а<тс/2 решение (38) имеет физический смысл, и, следовательно, его можно брать в качестве нулевого приближения. Для частного случая начального прогиба (Дх)=1/2^хг-fl/GOjX3) найдено решение поставленной задачи с точностью до величин первого порядка малости, так как остаточный член будет величиной не менее второго порядка малости

tí(x) = £iWio(x) + s2 2/0l(х),

u¡0 = —-(а. +а2 - —sina)(i - cosax) - (sinx - ax),

a cosa a a"

1 - cosax

cosa

В шестой главе рассматривается применение метода малого параметра для нахождения решения уравнения в частных производных.

Ф(е1,82)*,^и,г11?г12,...,г(И) = 0, (xj-)e D, (39)

где г, =--, {hj =1,2,...,«), а параметры е, и е2 характеризуют рас' дх'д}1'

сматриваемый объект и внешнее воздействие на него. Граничные условия запишем в виде:

FMMPwPn'Pn'-'PJ = 0> (4°)

где п.. = и ^ дх'-1ду'-1

Пусть при si=s2 =0 задача (39), (40) допускает решение

и = и0{х,у).

На основе условий из теоремы 2 и требования аналитичности формулировки самой задачи по малым параметрам, получен критерий аналитичности по малым параметрам в окрестности нуля решения краевой задачи (39), (40):

Теорема 6. Пусть функции Ф и Fk из (39)-(40) обладают следующими свойствами:

1) непрерывны при s, = s, =0, и = и0, гц =r!j0, /(у)=/0(у),#,

^0 при хе D;

, (k, ij~ 1,2,... ,ri), Г - граница области D.

(Х,>>£ г

дФдФдРк ч , дФ

вместе с —; —; —-, (к,i,]-1,...,«) и функция — ди дгп 5рИ ' ат

Е,=0 &,=0 mu„

2) аналитические в окрестности е, =^=0 при и-г^: д. =г^(а): -г^'НЬ).

^■=0, (41)

3) V ^

^ Г>Г

¡.1=0сгв

Е,=о

е2=0 и=и„

е,=0

а'+>с I

задача (41) имеет только тривиальное решение.

Тогда в окрестности точки б, = &2 = 0 существует однозначная, аналитическая функция и г,у) хе Д являющаяся решением задачи (39), (40) и и(0,0,х,у) = щ(х,у).

Если все условия теоремы 6 выполняются, то можно искать и (х, у) в виде сходящегося ряда по степеням 813 б2 , например, методом возмущений, а в качестве оценки погрешности также можно брать один из видов оценок ряда Тейлора.

Используя результаты третьей главы, предложен один из способов разложения граничных условий в ряды по малым параметрам в декартовой системе координат, а также, получен способ нахождения функции, описывающей подвижную границу, основанный на методе малого параметра.

Пусть граница тела, находящегося в ненагруженном состоянии, харахстеризующей функцией, заданной в декартовой системе координат:

7 = Дх) = /(0)(X) + 8/°>(х), х-6 [-£;£],

где е - малый параметр.

В деформированном состоянии эта граница описывается еле-

со

дующей функцией=£(х,е). Будем искать ее в виде g(x,s) =JГlg('')(x)s".

В результате разложения в ряд по в левых и правых частей всех соотношений и приравнивания выражений при одинаковых степенях параметра б, получены коэффициенты g(")

*(0) (х) = Г0) [ф(0) (X)] я ® (*) = ¥«> [ф(0-' (X)]- ^М ф0) [ф(0) (х)]

£<=>(х) = [ф^(х)]- [ф №(X)}2 -

I ах"

где ф'°Чл:) - функция, обратная функции ф(0)(0 - решение исходной задачи при / = /0, Ф0> = ф<0(ф(0), /(0>,/(1),/г0,и(0),

У^Чф^/^Г'УУ0).

Для плоской задачи найдено разложение в степенной ряд по малому параметру функции, описывающей подвижную границу, и разложение самих граничных условий до второго приближения.

Аналогично том}', как это было сделано для декартовой системы, проведено разложение граничных условий в ряд по малым параметрам в полярной системе координат и получена функция, характеризующая подвижную границу.

В качестве примера рассмотрена задача определения напряженно-деформированного состояния упругопластической трубы (рис. 8) и из несжимаемого материала, находящейся под воздействием внутреннего давления р1 и внешнего рг. Подобные трубы находят применение в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок.

Первая система соответствует пластической области:

др р дЭ р Эр р дв р

^ + (42,

к -<>!)■■

с граничными условиями

р-^(в)

- О, (43)

где р = г/6; дг. = /С; все величины, имеющие размерность напряжений, отнесены к модулю упругости С, функция Т,(Э) описывает внутренний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии.

В упругой области напряженно-деформированное состояние будет характеризоваться решением второй системы:

да; \дхе <-а; дге 1 8с1 . 2хе

• ~г

др р дв р др р дв р

"т1-^—'-* <44>

др дв

. . ,ди\ _ дм< 1 ди\ Vе

с -ае=4-, х ----ч-----

ф др р 59 р

с граничными условиями

"Им«) 12

= 0, (45)

(0)

здесь функция '-К, (б) описывает внешний контур поперечного сечения трубы в деформированном состоянии. В недеформированном состоянии контуры сечения характеризуются - г = а + /(в) и г-Ь + /2(б) соответственно, где /. = в(ср,., е2 - малые параметры.

К (42)-(45) следует добавить условия сопряжения решений на контуре р = р;(б), отделяющем пластическую зону от упругой.

Выражения в (42)-(45) являются аналитическими по всем своим аргументам. При проверке условий непрерывной зависимости решения задачи (42)-(45) от (б) при /1 (б) = 0 была полнена область в пространстве параметров внешних воздействий (<5^, q2), ограниченная линиями

?1-?2=?« Ч1-Яг = ?«• Если значения q^, не выходят за пределы этой области, то решение будет аналитическими функциями параметров е( в окрестности точки е( = 0. Тогда в качестве нулевого приближения при решении поставленной задачи методом возмущений можно брать осесимметричное решение. Для таких у д2 и ср, (в) = созО (/-1,2) было построено решение с точностью до величин первого порядка малости с помощью разработанного программного комплекса на основе пакета Мар1е 13 о; = +81о»' +*2о?';...-у +в2У01%

где в качестве нулевого приближения взято осесимметричное решение.

В приложении приведена реализация алгоритма для нахождения решения в виде сходящихся степенных рядов по двум малым параметрам рассмотренной выше задачи в условиях, когда параметры задачи удовлетворяют критерию аналитичности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построены новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом их физических и геометрических неоднородностей, использование которых возможно при проведении исследования непрерывной зависимости решений от исходных данных. Показано, что если рассматриваются граничные условия в напряжениях, то их нужно задавать только на границе тела в деформированном состоянии.

2.На основе теоремы о неявных функциях получены критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной. Показано, что для задачи Коши эти условия принимают вид требования разрешимости начальных условий относительно производных, входящих в них.

3.Используя условия для дифференциальных уравнений, доказаны критерии, позволяющие исследовать непрерывную зависимость решений вариационных, задач для функционалов интегрального вида, зависящих от функции одной и нескольких переменных.

4. Разработан метод нахождения функции, приближенно описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.

5.Проведено исследование непрерывной зависимости решений, описывающих поведение одно- и двумерных тел при комбинированном внешнем воздействии, от функций, задающих их геометрические формы и физические свойства. Определены области, за пределами которых анализируемые решения, а в некоторых случаях и сама математическая модель, уже не будут приближенно описывать напряженно-деформированное состояние рассматриваемых тел.

6.Получен критерий аналитичности по независимым малым параметрам решений дифференциальных уравнений, позволяющий находить решения с требуемой погрешностью. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых параметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.

7. Созданы численные схемы решения задачи, описывающей состояние упругопластической тела, форма сечения которого близка к канонической.

8.Найдены решения с точностью до величин первого порядка малости, описывающие напряженно-деформированное состояние идеально уп-ругопластических тел при комбинированном нагружении.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ: Монографии:

1. Минаева Н.В. Метод возмущений в механике деформируемых тел. М.: Научная книга, 2002. 156 с.

2. Минаева Н.В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М.: Научная книга, 2006. 236 с.

Статьи, опубликованные в научных журналах, рекомендованных

ВАК для диссертаций на соискание ученой степени догсгора наук:

3. Минаева Н.В., Барчснкова Н.А. О существовании состояния упругого консольного стержня, соответствующего решению дифференциального уравнения //Изв. РАН МТТ. 2000. № 5. С. 375-178.

4. Минаева Н.В. О напряженно-деформированном состоянии толстостенной трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТГ. 2002. № 3. С.72-77.

5. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упруго-пластической трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТГ. 2004. № 1. С. 167-173.

6. Минаева КВ., Костырин Н.Б., Мяснянкин Ю.М. О напряженно-деформированном состоянии упругопластических тел, близких к однородным // Изв. РАН МТГ. 2004. № 5. С. 150-159.

7. Минаева Н. В. О напряженно-деформируемом состоянии полосы, близком к однородному И Изв. РАН МТТ. 2006. № 5. С. 61-67.

8. Минаева Н.В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел // Изв. РАН МТГ. 2008. № 1. С. 37-39.

9. Минаева Н.В. О математической модели в виде вариационной задачи и продольно-поперечном изгибе упругой пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 1. С. 24-29.

10. Минаева Н.В. Продольный изгиб прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 7. С. 28-30.

11. Минаева Н.В. О формулировке граничных условий при изучении влияния учета несовершенств на напряженно-деформированное состояние твердых тел // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 5. С. 31-34.

12. Минаева Н.В., Костырин Н.Б. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной толстостенной трубы, близком к осесимметричному// Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 3-11.

13. Минаева Н.В., Костырин Н.Б. Об изгибе составного консольного упругого стержня//Изб. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 8. С. 7477.

14. Минаева Н.В. Об исследовании продольно-поперечного изгиба упругого стержня на основе решения вариационной задачи // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 11-16.

15. Минаева Н. В., Чернышов А. Д. О поперечном изгибе упругой пластины, форма которой близка к эллиптической // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 11. С. 13-16.

16. Костин В.А., Минаева Н.В. О необходимом условии адекватности математических моделей механических систем И Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 2. С. 5-8.

17. Минаева Н.В., Соколов С.А. Адекватность решения вариационной задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упруго подкрепленной прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 3. С. 3-5.

18. Сафронов B.C., Барченкова H.A., Минаева Н.В. Об адекватности математических моделей механических систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 5. С. 17-23.

19. Минаева Н.В. О критерии адекватности математических моделей консервативных и неконсервативных систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 1. С. 10-14.

20. Минаева Н.В., Ю.Г. Морозов Исследование напряженно-деформированного состояния упругой полосы при сжатии // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2007. № 7. С. 23-26.

21. Минаева Н.В., Шашкин А.И. О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. № 5. С. 25-28.

22. Минаева Н.В., Шашкин А.И., Гриценко A.B. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватности решений уравнений статики // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2009. №3. С.17-21.

Подписано в печать 2.11.2009. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,8. Тираж 100 экз. Заказ №432

Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГУ «Объединение «Росинформресурс» Минэнерго России 394730, г. Воронеж, пр. Революции, 30

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Минаева, Надежда Витальевна

Введение.

Глава I. Анализ качественных и количественных оценок решений задач, соответствующих некоторым математическим моделям исследуемых тел.

1.1. Условия непрерывной зависимости от исходных данных решений задач, соответствующих некоторым математическим моделям систем с распределенными параметрами.

1.2. Метод возмущений.

1.3. Цели и задачи исследования.

Глава II. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

2.1. Критерий непрерывной зависимости решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, от исходных данных

2.2. Продольно-поперечный изгиб упругих стержней при комбинированном нагружении.

2.3. Выводы.

Глава III. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде дифференциального уравнения в частных производных.

3.1. Критерий непрерывной зависимости решения уравнения в частных производных от исходных данных.

3.2. Анализ математических моделей, описывающих поведение деформируемых твердых тел, в которых граничные условия заданы на подвижной границе.

3.3. Построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой системе координат.

3.4. Построение математической модели линеаризованных граничных условий, заданных на подвижной границе, в полярной системе координат.

3.5. Нахождения области непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи, описывающего изгиб упругой пластины.

3.6. Выводы.

Глава IV. Исследование квазистационарного состояния упругопластического тела на основе математической модели в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида.

4.1. Критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции одного переменного

4.2. Построение области непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упругого стержня.

4.3. Критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных.

4.4. Исследование решения задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб прямоугольной пластины

4.5. Выводы.

Глава V. Нахождение решения обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего квазистационарное состояние упругопластического тела, методом возмущений с оценкой погрешности.

5.1. Критерий аналитичности по малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения.

5.2. Применение метода малых параметров при решении задач, описывающих изгиб стержней при комбинированном нагружении.

5.3. Выводы.

Глава VI. Нахождение решения дифференциального уравнения в частных производных, описывающего квазистационарное состояние упругопластического тела, методом возмущений с оценкой погрешности.

6.1. Критерий аналитичности по малым параметрам решения уравнения в частных производных.

6.2. Разложение в ряд по малым параметрам граничных условий, заданных на подвижной границе, в декартовой системе координат.

6.3. Исследование поведения упругой полосы при сжатии.

6.4. Разложение в ряд по малым параметрам граничных условий, заданных на подвижной границе, в полярной системе координат.

6.5. Напряженно-деформированное состояние упруго-пластической толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений.

6.6. Выводы.

Введение 2010 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Минаева, Надежда Витальевна

Актуальность темы. При изучении поведения рассматриваемого объекта, находящегося под заданным внешним воздействием, обычно выбирают некоторые характеристики (величины, функции), описывающие это воздействие и поведение самого объекта. Осуществление исследований возможно проводить двумя путями: экспериментально и на основе некоторой математической модели. При этом предполагается, что полученное решение с удовлетворяющей практику точностью описывает поведение реального объекта, т.е. тем самым предполагается непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта или внешнего воздействия на него.

Необходимость выполнения этого требования отмечается во многих работах как технического, так и теоретического характера [15, 16, 24, 155, 172, 189 и др.]:

Идеализированная конструкция, проектируемая инженером, отличается от осуществляемой затем по этому проекту реальной конструкции. Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими отклонениями, дефектами и несовершенствами. Инженеру необходима уверенность в том, что конструкция будет работать примерно так, как и соответствующая ей идеализированная конструкция» [16].

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать изучаемое явление» [189].

В связи с этим очевидна актуальность изучения непрерывной зависимости решения полученной математической задачи от геометрических и физических характеристик реального объекта.

К работам по этому направлению можно отнести известные труды A.M. Ляпунова [91], А. ГТуанкаре[154], Э. Шмидт, А.И. Некрасова, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, О.Перрона, И.Г. Малкина [93], К.П. Персидского, Н.Г. Четаева и др., в которых рассматривается математическая модель в виде дифференциальных уравнений и анализируется устойчивость по Ляпунову решения дифференциального уравнения, т.е. непрерывная зависимость решения от исходных данных на бесконечном интервале.

Условия, при которых решение, определенное на ограниченной области, будет непрерывно зависеть от исходных данных, сформулированы в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа [74]. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры [72, 85, 149, 179, 189 и др.]. Сложность практической применимости теорем в задачах, описывающих квазистационарное состояние упругопластических тел, не позволила широко проводить изучение проблемы непрерывной зависимости решения от исходных данных. В связи с этим работ по этому направлению немного. К ним можно отнести труды на основе статических критериев, в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы [24, 35, 44, 62, 141]. А также работы по теории катастроф, например, [29, 32], в которых исследование непрерывной зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции, и работы по математической теории управления [62, 89, 149], в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф.

Из анализа работ следует, что при рассмотрении стационарных состояний механических систем вопрос о непрерывной зависимости решения от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.

Из анализа работ следует, что при решении задач МСС методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался только в некоторых частных случаях или путем сравнения с известными точными решениями, поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.

Цель работы. Развитие метода исследования математических моделей стационарных состояний упругопластических тел и метода возмущений. Построение математической модели и определение условий непрерывной зависимости решения от исходных данных для пространственных, плоских и осесимметричных начально-краевых задач. Применение полученных результатов в задачах моделирования квазистационарных состояний упруго-пластических тел при консервативных нагрузках.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

• построить новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел при комбинированном нагружен и и с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;

• разработать условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;

• применить полученные условия для исследования математических моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упругопластических тел при комбинированном внешнем воздействии;

• создать численные схемы решения задачи, описывающей состояние тела при плоской деформации.

Методы исследования. В данной работе для решения поставленных задач были использованы основные методы математического моделирования, функционального и математического анализов, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, теории упругости, пластичности и метод возмущений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

• построены математические модели квазистационарных состояний некоторых упругопластических тел, учитывающие отклонения характеристик тела от осредненных значений;

• в пространстве описывающих параметров найдены области, за пределами которых анализируемое решение уже не будет описывать поведение упругопластического тела при комбинированном нагружении. В некоторых случаях они также будут и областями применимости рассматриваемой модели; и

• разработан метод построения аналитической функции, приближенно описывающей границу тела в деформированном состоянии в декартовой и полярной системах координат;

Практическая значимость. Полученные новые критерии позволяют проводить качественный, а в некоторых случаях и количественный анализ найденного решения, описывающего квазистатическое состояние упруго-пластических тел при комбинированном нагружении. Достигнутые в работе результаты могут быть использованы заинтересованными учреждениями, предприятиями и научными коллективами соответствующих отраслей науки и производства в своей практической деятельности. Их можно рекомендовать распространить в НИИ авиационной, автомобильной, строительной отраслей промышленности, при рассмотрении стержневых и пластинчатых конструкций в машиностроении, при определении прочностных характеристик горных выработок и т.д.

На защиту выносятся:

• математическая модель квазистационарного состояния упругопластиче-ского тела при комбинированном нагружении, используемая для исследования непрерывной зависимости от исходных данных решения задач механики сплошных сред;

• метод нахождения приближенных аналитических решений краевых задач с оценкой погрешности.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, школах-семинарах и симпозиумах:

53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999;

12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999;

Воронежской весенней математической школе, 1999;

7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000, 2003; математической школе «Понтрягинские чтения-ХП», Воронеж, 2001,2007;

II международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Ростов н/Д, 2002, 2006, 2008;

X международной конференции «Математика. Экономика. Образование». Пущино, 2003, 2005; международной научно-технической конференции «Современное состояние и перспективы развития гидромашиностроения в XXI веке». С-Пб. 2003; всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 2003; международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2004, 2008; международной школе-семинаре по современным проблемам МСС. Воронеж, 2004, 2005, 2007, 2009; всероссийской научной конференции «Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкции». Самара, 2007, 2008; международной конференции по математической теории управления и механике. Суздаль, 2009; региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования в режим развития». Воронеж, 2007, 2008; ежегодных научно-технических конференциях ВГТА. Воронеж, 2001-2009;

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 48 работ. Основные результаты отражены в монографиях [95, 96] и 20 статьях [75,97-102, 104, 106-113, 116, 117, 119, 122, 161], изданных в научных журналах, рекомендованных ВАК для диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Кратко остановимся на вопросах, рассматриваемых в диссертационной работе и ее структуре.

В первой главе анализируются необходимость проведения исследований непрерывной зависимости решения задачи, соответствующей выбранной математической модели, от исходных данных, а также условия для изучения этой проблемы. Сформулированы основные определения и представлены теоремы, используемые при решении данной проблемы. Рассматривается метод возмущений, как один из способов получения решения задачи, соответствующей математической модели, учитывающей отклонение характеристик изучаемого объекта от осредненных значений.

Во второй главе рассматривается математическая модель в виде обыкновенного дифференциального уравнения.

В первом параграфе на основе теоремы о неявных функциях получен критерий непрерывной зависимости решения от исходных данных обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, в виде требования существования только тривиального решения у вспомогательного линейного дифференциального уравнения.

Для задачи Коши этот критерий принимает вид ограничений на начальные условия. В качестве иллюстративного примера рассмотрена задача Коши, решение которой описывает изгиб упругого консольного стержня, нагруженного сосредоточенными моментами. Такие стержни используются, например, как элементы ферм в мостах, покрытиях, эстакадных конструкциях и т.д. В результате проведенного исследования получено, что решение будет непрерывно зависеть от двух функций, описывающих форму оси в ненагруженном состоянии и изменение жесткости в стержне, при любом значении параметров, характеризующих нагрузки.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрены линейные неоднородные уравнения второго порядка, решение которых описывает ось изогнутого консольного стержня под действием двух сосредоточенных сил в линейной постановке. Подобные стержни используются, например, как элементы опор мостов, покрытий, купольных конструкций. В результате проведенных исследований получено, что решение непрерывно зависит от функции, описывающей начальный прогиб стержня, если значения параметров удовлетворяют найденным условиям. Граница области в пространстве параметров, полученная на основе этих условий, будет и границей применимости самой модели.

Далее рассмотрено линейное уравнение четвертого порядка с неоднородными граничными условиями. Его решение может описывать, например, продольно-поперечный изгиб стержня на упругом основании в линейной постановке. Стержни на упругом основании широко применяются при моделировании понтонных мостов, фундаментов высотных зданий (ленточный фундамент), сооружений в сейсмически опасных зонах и т.п. В пространстве параметров, характеризующих величину продольной нагрузки и жесткости основания, найдена граница области непрерывной зависимости решения рассматриваемой задачи от функции, описывающей начальное отклонение оси стержня от прямолинейной. И в этом случае эта граница является также границей применимости рассматриваемой математической модели.

В третьей главе рассматривается математическая модель квазистационарного состояния упруго пластического тела в виде уравнения в частных производных.

В первом параграфе критерий непрерывной зависимости решения краевой задачи от исходных данных получен в виде требования существования только тривиального решения у вспомогательной линейной однородной краевой задачи.

Во втором параграфе третьей главы проведен анализ различных математических моделей, описывающих поведение деформируемых твердых тел. Показано, что при построении математической модели, на основе которой планируется проводить исследования непрерывной зависимости, граничные условия в напряжениях должны ставиться на подвижной границе.

В третьем параграфе проведено построение математической модели линеаризованных краевых условий для вспомогательной задачи. Рассмотрен случай, когда краевые условия заданы в напряжениях и в интегральном виде на подвижной границе в декартовой системе координат.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрена система дифференциальных уравнений первого порядка, которая описывает напряженно-деформированное состояние упруго подкрепленной полосы при сжатии. Полосы такого рода используются, например, в опорных ребрах с металлическими балками, ребрах жесткости и т.д. Показано, что решение, соответствующее однородному напряженно-деформированному состоянию, имеет физический смысл, если параметры внешнего воздействия и жесткости основания таковы, что соответствующая им точка принадлежит найденной области непрерывной зависимости. Близость формы поперечного сечения полосы к прямоугольнику в этом случае сохраняется и в процессе деформирования.

В четвертом параграфе проведено построение математической модели линеаризованных граничных условий в полярной системе координат для вспомогательной задачи. Рассмотрен случай, когда краевые условия заданы на границе тела в деформированном состоянии.

В качестве примера приведен частный случай математической модели, состоящей из системы линейных дифференциальных уравнений. Решение этой задачи описывает поведение упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействием внутреннего и внешнего давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок и т.д. На плоскости параметров, соответствующим внешним воздействиям, найдена граница области непрерывной зависимости решения от функции, описывающей форму сечения трубы. В ее пределах напряженно-деформированное состояние трубы будет близко осесимметричному. За пределами этой границы следует исследовать другое решение исходной геометрически нелинейной задачи, соответствующее уже неосесиммет-ричному состоянию.

В пятом параграфе проанализированы два частных случая математических моделей, на основе которых проводятся исследования продольно-поперечного изгиба прямоугольной упругой пластины в линейной и нелинейной постановке соответственно. Пластины входят в состав многих конструкций, например, крыльев, корпусов самолетов, ракет, днищ, палуб, бортовых стенок кораблей, стенок цельнометаллических вагонов, орто-тропных плит, используемых для укрепления конструкций, и т.д. В результате анализа найдена граница области непрерывной зависимости решения в пространстве параметров, характеризующих внешнее воздействие, в пределах которой решение первой задачи имеет физический смысл. Эта граница является также границей области практической пригодности самой математической модели. Далее было получено, что граница области непрерывной зависимости решения второй, нелинейной задачи, в пределах которой тривиальное решение практически пригодно (форма пластины остается близкой к плоской), совпадает с границей, полученной в предыдущем случае.

В четвертой главе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида.

В первом параграфе получен критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала, зависящего от функции одного переменного, в виде условия существования только тривиального решения у вариационной задачи для вспомогательного квадратичного функционала.

В качестве иллюстративного примера во втором параграфе приведена вариационная задача для частного случая функционала интегрального вида с тривиальными граничными условиями. Ее решение описывает продольно-поперечного изгиб упругого стержня. Такой стержень можно рассматривать, например, как элемент фермы покрытия, моста при комбинированном нагружении. Найдено условие непрерывной зависимости решения от двух функций в виде ограничения на параметр продольной нагрузки. Одна из функций характеризует жесткость стержня, а другая — интенсивность распределенной нагрузки.

В третьем параграфе рассматривается математическая модель в виде вариационной задачи для функционала, зависящего от функции нескольких переменных.

Получен критерий непрерывной зависимости от исходных данных решения вариационной задачи для функционала интегрального вида в виде требования существования только тривиального решения у вариационной задачи для вспомогательного квадратичного функционала.

В качестве примера рассмотрен частный случай функционала интегрального вида с тривиальными граничными условиями. Эта задача описывает продольно-поперечный изгиб прямоугольной упругой пластины. На плоскости параметров, соответствующих внешнему воздействию и линейным размерам пластины, получена граница области непрерывной зависимости решения от двух функций, характеризующих интенсивность распределенной нагрузки и жесткость материала пластины. Эта же граница является и границей области, в пределах которой выбранная модель практически пригодна.

В пятой главе рассматривается применение метода возмущений к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения.

В первом параграфе этой главы получен критерий аналитичности решения обыкновенного дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной, по малым параметрам в окрестности нуля в виде условий критерия из первой главы и требования аналитичности формулировки самой задачи.

Во втором параграфе пятой главы при помощи метода возмущений найдено решение дифференциального уравнения второго порядка с двумя малыми параметрами с точностью до величин первого порядка малости. Оно может, описывать продольный изгиб консольного стержня с начальным несовершенством, к которому приложена продольная нагрузка с эксцентриситетом по отношению к оси стержня. Такие стержни используются как элементы ферм мостов, покрытий, опорных столбах купольных покрытий и т.д.

Здесь же получено решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с одним малым параметром в виде степенного ряда по этому параметру с точностью до величин первого порядка малости. Оно может описывать продольно-поперечный изгиб неоднородного упругого стержня в линейной постановке. Подобная стержневая модель используется, например, в фермах мостов, покрытий, эстакадных конструкциях. Решение найдено для параметра, характеризующего продольную нагрузку, не выходящего за границу области непрерывной зависимости, и конкретного вида функции, характеризующей неоднородность стержня.

В шестой главе рассматривается применение метода возмущений для нахождения решения уравнения в частных производных.

В первом параграфе этой главы получен критерий аналитичности решения краевой задачи для уравнения в частных производных по малым параметрам в окрестности нуля в виде условий из второй главы и требования аналитичности формулировки самой задачи.

Далее рассмотрена проблема разложения в ряд по малому параметру граничных условий в декартовой системе координат. Для плоской задачи найдено разложение функции, описывающей подвижную границу, в степенной ряд по малому параметру и разложение самих граничных условий до второго приближения.

В третьем параграфе шестой главы, используя результаты предыдущего параграфа, получено решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в виде степенного ряда по малому параметру с точностью до величин первого порядка малости. Оно описывает напряженно-деформированное состояние упругой полосы, поперечное сечение которой близко к прямоугольнику. Полосы такого рода используются в опорных ребрах с металлическими балками, ребрах жесткости. Решение было найдено при значении параметра, характеризующего внешнее воздействие, не выходящего за границу области непрерывной зависимости, и для конкретного вида функции, характеризующей отклонение поперечного сечения полосы от прямоугольного.

В четвертом параграфе рассмотрено разложение граничных условий в ряд по малым параметрам в полярной системе координат. Для плоской задачи найдено разложение функции, описывающей подвижную границу тела, в степенной ряд по малым параметрам, а также проведено разложение граничных условий до второго приближения.

В пятом параграфе шестой главы найдены решения систем уравнений в виде степенных рядов по двум малым параметрам с точностью до величин первого порядка. Они описывают напряженно-деформированное состояние упругопластической толстостенной трубы, поперечное сечение которой близко к круговому кольцу, находящейся под действием внутреннего и внешнего давлений. Подобные трубы находят применение в сваях-оболочках, компенсаторах магистральных трубопроводов, в моделировании креплений шахтных стволов, при проведении прочностных исследований горных выработок. Малые параметры характеризуют величины отклонений внутреннего и внешнего контуров поперечного сечений трубы от окружностей. Решения были получены для значений параметров, характеризующих внешнее и внутреннее давления, не выходящих за границу области непрерывной зависимости, и конкретных видов функций, описывающих искажение контуров поперечного сечения трубы. Для нахождения приближений использовался комплекс программ, созданный на основе пакета Мар1е.

I. АНАЛИЗ КАЧЕСТВЕННЫХ И КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОЦЕНОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ ИССЛЕДУЕМЫХ ТЕЛ

Выбранные характеристики, описывающие поведение исследуемого объекта, обозначим через и, а характеристики, описывающие сам объект -через X.

Т.к. исследование поведения изучаемого объекта, т.е. нахождение значения характеристики и для некоторого значения характеристики X, экспериментальным путем часто бывает весьма затруднительным, а то и невозможным, то возникает необходимость построения математической модели. В результате получается математическая задача, которую запишем в следующей операторной форме: 0. (1.1)

Поскольку значения характеристик объекта X берут из экспериментов, то исследование производится для объекта со среднестатистическими характеристиками Х=Х0.

Исходя из того, что значение характеристики X для реального (конкретного) объекта мало отличается от Х0, то обычно считают, что полученное решение задачи (1.1) при Х=Хо приближенно (с достаточной точностью) описывает поведение изучаемого (реального) объекта.

Следовательно, для того чтобы решение задачи (1.1) щ, полученное при Х=Хо, приближенно описывало бы поведение изучаемого (реального) объекта, необходимо, чтобы решение этой задачи (1.1) непрерывно зависело от X при Х=Х(). О необходимости проведения анализа непрерывной зависимости решения задачи (1.1) от исходных данных утверждается во многих работах [7,23,24,30, 34,40,52,85-92,134-138,145,146,163,170,173,188,190].

Изучению этой проблемы посвящена первая часть данной работы.

Очевидно, что решение щ описывает поведение реального объекта с некоторой погрешностью. На практике часто возникают необходимость получения более точного решения, учитывающего отклонения X от Х0, т.е. решения более сложных задач. Для решения таких задач созданы различные приближенные методы. Одним из них является метод возмущений. При решении задач этим методом возникает математическая проблема аналитичности зависимости решения задачи (1.1) от малых параметров. Изучения применения метода возмущений при решении некоторых задач посвящена вторая часть данной работы.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел"

6.6. Выводы

В шестой главе получены следующие основные результаты:

1. Сформулирован критерий аналитичности решения уравнения в частных производных по малым параметрам.

2. Разработан метод нахождения функции в виде ряда по малым параметрам, приближенно описывающей границу твердого тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат.

3. Проведено разложение в ряд по малым параметрам граничных условий в напряжениях, заданных на границе тела в деформированном состоянии, в декартовой и полярной системах координат, а также в интегральной форме в декартовой системе.

4. Для заданной функции, характеризующей отклонение верхней и нижней кромок полосы от прямых линий, найдено решение с точностью до величин первого порядка малости, которое описывает напряженно-деформированное состояние полосы при параметре внешнего воздействия, удовлетворяющем условию аналитичности.

5. С точностью до величин первого порядка малости получено решение, описывающее напряженно-деформированное состояние упругопласти-ческой трубы при характеристиках внешних воздействий, удовлетворяющих условию аналитичности, при осесимметричном нулевом приближении и данной функции, характеризующей отклонение поперечного сечения трубы от кругового кольца.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с проведенными исследованиями получены следующие основные результаты:

2. На основе теоремы о неявных функциях получены критерии непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной. Показано, что для задачи Коши эти условия принимают вид требования разрешимости начальных условий относительно производных, входящих в них.

3. Используя условия для дифференциальных уравнений, доказаны критерии, позволяющие исследовать непрерывную зависимость решений вариационных задач для функционалов интегрального вида, зависящих от функции одной и нескольких переменных.

5. Проведено исследование непрерывной зависимости решений, описывающих поведение одно- и двумерных тел при комбинированном внешнем воздействии, от функций, задающих их геометрические формы и физические свойства. Определены области, за пределами которых анализируемые решения, а в некоторых случаях и сама математическая модель, уже не будут приближенно описывать напряженно-деформированное состояние рассматриваемых тел.

6. Получен критерий аналитичности по независимым малым параметрам решений дифференциальных уравнений, позволяющий находить решения с требуемой погрешностью. Используя эти условия, решения поставленных задач можно искать в виде степенных рядов по любому количеству независимых малых параметров с необходимой точностью, т.к. оценка погрешности совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.

8. Найдены решения с точностью до величин первого порядка малости, описывающие напряженно-деформированное состояние идеально уп-ругопластических тел при комбинированном нагружении.

Библиография Минаева, Надежда Витальевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Абгарян К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. 431 с.

2. Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 542 с.

3. Алимжанов М. Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики // Успехи механики. 1990. Т. 13. №3. С. 21-57.

4. Алимжанов М. Т., Саньков В. FC. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления // Диф. ур. и их при л. 1981. С. 16-26.

5. Анин БД. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием близким к круговому // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №1.С. 4547.

6. Анин Б.Д., Черепанов Г.П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983. 238 с.

7. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 432 с.

8. Артемов М.А., Баулин И.В., Минаева Н.В. Об исследовании поведения упругой пластины на основе решения вариационной задачи / Сб. «Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике». Минск, 2001. С. 31-33.

9. Барченкова H.A., Минаева Н.В. Анализ состояний консольного стержня, описываемого линейной моделью / Сб.: Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Воронеж : ВГА-СА, 2000. Вып.5. С.42-47.

10. Баулин И.В., Минаева Н.В. О напряженно-деформированном состоянии сжатой полосы, близком к однородному // Мат. междунар. шк.-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж, 2000. 4.1. С. 12-20.

11. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высш. школа, 1961. 244 с.

12. Бицено К.Б., Граммелъ Р. Техническая динамика. Л.: Гостехиздат, 1950. 256 с.13 .Блейх Ф. Устойчивость металлических конструкций. М.: Физматгиз, 1959. 544 с.

13. Блехман Н.И. Метод малого параметра // Механика. 1957. №2(42).

14. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: ГИФМЛ, 1961. 339 с.

15. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Изд-во «Литература по строительству», 1965. 279 с.

16. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упругопла-стической плоскости, ослабленной отверстием // ПММ. 1987. Т. 51. №5. С. 314-322.

17. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней // ПММ. 1961. Т. 45. №5. С. 932939.

18. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.527 с.

19. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с.

20. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

21. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

22. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 376 с.

23. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнений Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147. № 2. С. 13-16.

24. Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

25. Вулъман С.А. Приближенные решения упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической // Изв. АНСССР. МТТ. 1971. №3. С. 119-122.

26. Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача // ПММ. 1946. Т. 6. Вып.З. С. 367-386.

27. Галин JT.A. Упругопластические задачи. М.: Наука, 1984.

28. Геккелер И.В. Статика упругого тела. М.: Гостехтеориздат, 1934. 287 с.

29. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т. 1,2. 635 с.

30. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 284 с.

31. Горбенко О.Д., Минаева Н.В. О состояниях системы с распределенными параметрами / М.: Деп. в ВИНИТИ 08.12.99, № 3638-В99. 1999. 8с.

32. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

33. Гузъ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Нау-кова думка, 1971. 276 с.

34. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения границы в механике сплошной среды (обзор) // Приклад, механика. 1978. Т.23. №9. С. 3-29.

35. Ъб.Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. Киев: Выща школа, 1989. 352 с.

36. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Выща школа, 1982. 352 с.

37. Гузъ, А.Н., Чернышенко И. С., Шнеренко К.Л. Сферические днища, ослабленные отверстиями. Киев: Наукова думка, 1970.

38. Горькое Ю.П., Емельянов К.В. Дифференциальные уравнения с малым параметром: сб. статей. Свердловск: У1ГЦ АН СССР, 1984. 184 с.

39. Джеффрис Г., Сеирлс Б. Методы математической физики. М.: Мир, 1970. 256 с.

40. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Изв. АНСССР, ОТН. 1960. №6.

41. Ермаков С.М., Михайлов А.П. Статистическое моделирование. М. : Наука, 1982. 296 с.

42. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука. 1978.

43. Ершов Л.В. Приближенное решение осесимметричных упругопластиче-ских задач // Изв. АНСССР, Механика и машиностроение. 1959. №3.

44. Ершов Л.В., Ивлев ДД. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления // Изв. АНСССР, ОТН. 1957. №8. С. 149-152.

45. Ершов Л.В., Ивлев ДД. Об устойчивости полосы при сжатии // ДАН СССР. 1961. Т.138. № 5. С. 1047-1049.

46. AI. Ершов Л.В., Калужин A.A. Об устойчивости полосы при сжатии // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 4. С. 104-110.

47. Жалнин, В.А. К теории нелинейных вязкоупругих сред // Изв. АНСССР, Механика. 1965. №4.

48. Зачепа В.Р., Сапронов Ю.И. Локальный анализ фредгольмовых уравнений. Воронеж: Изд-во Воронежск. госунивер., 2002. 185 с.

49. Зебриков В.П. Напряженное состояние концентрической трубы при упру-гопластическом деформировании под действием давления // ПМТФ. 1983. №3. С. 152-59.

50. Зельдович Я.Б., Мыилкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 351 с.

51. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М. : ИЛ, 1948. 264 с.

52. Ибрагимов В.А., Нифачин В.А. О сходимости метода разложения по параметру нагружения в задаче об упругопластическом изгибе кольцевой пластины // Минск : Белорус, политехи, ин-т. Деп. в ВИНИТИ 02.06.87, №3880-В87. 1987. 20 с.

53. Ибрагимов В.А. Сходимости метода разложений по параметру нагружения в задачах упругопластического деформирования стержней // Минск : Теор. и прикл. механика. 1988. №15. С. 50-58.

54. ИвлевД. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

55. Ивлев Д. Д. Приближённое решение задач теории малых упругопласти-ческих деформаций // Докл. АН СССР. 1957. т.113. № 3.

56. Ивлев Д. Д. Выпучивание эксцентричной трубы // Изв. АН СССР, ОТН. 1956. № 10. С. 121-124.

57. Ивлев Д. Д. Механика пластических сред. М. : Физматлит, 2001. Т. 1,2. 448 с.

58. Ивлев Д. Д. Приближённое решение задач теории идеальной пластичности//Докл. АН СССР. 1957. т.113. №2.

59. Ивлев Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности. Воронеж: Вор. гос. ун-т, 2005. 357 с.

60. Ивлев Д. Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций. М. : Наука, 1978. 208 с.

61. Ильин А.И. Согласованные асимптотические разложения решений краевых задач. М. : Наука, 1989. 336 с.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

63. Игилинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. №2. С. 140-146.

64. Игилинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.

65. Каменков Г.В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова // Труды ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1966. Т. XII. С. 3-35.

66. Каудерер Г. Нелинейная механика М.: ИЛ, 1961.

67. Качанов Л.М. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра// ПММ. 1948. Т. 12. Вып. 4.

68. Качанов Л.М. Ползучесть овальных и равностенных труб // Изв. АНСССР, ОТН. 1956. №9.

69. Каюк Я.Ф. Некоторые вопросы разложения по параметру. Киев: Наукова думка, 1980.

70. Х.Келдыш М.В., Франклъ Ф.И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе // Изв. АНСССР. 1934.

71. Коддшгтон Э.А,. Левынсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 476 с.

72. Койтер В. Общие теоремы в теории упругопластических сред. М.: ИЛ, 1961.

73. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1976. 542 с.

74. Костин В. А., Минаева Н. В. О необходимом условии адекватности математических моделей механических систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 2. С. 5-8.

75. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

76. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. школа, 1970. 392 с.

77. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

78. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: изд-во МГУ, 1983. 264 с.

79. Кузнецов В.В. Об определении деформированного состояния упругопла-стической плиты с эллиптическим отверстием // Прикладная механика. 1973. Т.9. №9. С. 133-137.

80. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра в регулярно возмущенной задаче Коши. М.: МГУ, 1991.

81. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 292 с.

82. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостехиз-дат, 1951. Т. 1,2. 644 с.

83. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. 408 с.

84. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. М.: Изд-во «Радио и связь», 1989. 223 с.

85. Лейбензон Л.С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. Собрание трудов. Изд-во АН СССР, 1951. Т. 1. 468 с.

86. Линдстедт А. Мемуары С-Петербургской академии наук 1883. Т. XXXI. №4.

87. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

88. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

89. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. 1892.

90. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1938. 674 с.

91. Малкнн КГ. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.

92. Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра // ПММ. 1978. Т. 12. №2. С. 126-130.

93. Минаева Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел. М. : Научная книга, 2002. 156 с.

94. Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. М. : Научная книга, 2006. 236 с.

95. Минаева Н. В., Барченкова Н. А. О существовании состояния упругого консольного стержня, соответствующего решению дифференциального уравнения // Изв. РАН МТТ. 2000. № 5. С. 175-178.

96. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии толстостенной трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТТ. 2002. № 3. С.7277.

97. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругопла-стической трубы, близком к осесимметричному // Изв. РАН МТТ. 2004. № 1.С. 167-173.

98. Минаева Н. В., Костырин Н. Б., Мяснянкин Ю. М. О напряженно-деформированном состоянии упругопластических тел, близких к однородным // Изв. РАН МТТ. 2004. № 5. С. 150-159.

99. Минаева Н. В. О напряженно-деформируемом состоянии полосы, близком к однородному // Изв. РАН МТТ. 2006. № 5. С. 61-67.

100. Минаева Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемых тел // Изв. РАН МТТ. 2008. № 1. С. 37-39.

101. Минаева И. В. Напряженно-деформированное состояние упругой неоднородной толстостенной трубы, близкое к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 9. С. 17-20.

102. Минаева Н. В. О математической модели в виде вариационной задачи и продольно-поперечном изгибе упругой пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 1. С. 24-29.

103. Минаева H. В. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругопластической трубы, близком к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 4. С. 18-24.

104. Минаева Н. В. Продольный изгиб прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 7. С. 28-30.

105. Минаева Н. В. О формулировке граничных условий при изучении влияния учета несовершенств на напряженно-деформированное состояние твердых тел // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2004. № 5. С.31-34.

106. Минаева Н. В., Костырин Н. Б. О напряженно-деформированном состоянии упруго подкрепленной толстостенной трубы, близком к осесимметричному // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 3-11.

107. Минаева Н. В., Костырин Н. Б. Об изгибе составного консольного упругого стержня // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 8. С. 74-77.

108. Минаева Н. В. Об исследовании продольно-поперечного изгиба упругого стержня на основе решения вариационной задачи // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 4. С. 11-16.

109. Минаева Н. В., Чернышов А. Д. О поперечном изгибе упругой пластины, форма которой близка к эллиптической // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2003. № 11. С. 13-16.

110. Минаева Н. В., Соколов С.А. Адекватность решения вариационной задачи, описывающей продольно-поперечный изгиб упруго подкрепленной прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 3. С. 3-5.

111. ИЗ. Минаева Н. В. О применении метода возмущений в механике деформируемого твердого тела // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 8. С. 14-17.

112. Минаева Н. В. Об адекватности-математической модели в виде дифференциальных уравнений и продольно-поперечном изгибе балки на упругом основании // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 7. С. 19-24.

113. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г. Исследование адекватности математической модели статики стержневой системы при действии следящей силы // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 4. С. 7-11.

114. Минаева Н. В. О критерии адекватности математических моделей консервативных и неконсервативных систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2006. № 1.С. 10-14.

115. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г. Исследование напряженно-деформированного состояния упругой полосы при сжатии // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2007. № 7. С. 23-26.

116. Минаева Н. В., Морозов Ю.Г Исследование продольно-поперечного изгиба упругой прямоугольной пластины // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2007. №5. С. 19-22.

117. Минаева Н. В., Шашкин А. И. О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. № 5. С. 25-28.

118. Минаева Н. В., Шашкина С. А. Исследование адекватности математической модели консольной балки при продольном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. №1. С. 13-15.

119. Минаева Н. В., Шашкин А. И., Гриценко A.B. Квазистатическое деформирование упругого стержня при продольном изгибе // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2008. №12. С. 21-25.

120. Минаева Н. В., Шашкин А. И., Гриценко A.B. Об исследовании квазистатического поведения деформируемых систем и адекватностирешений уравнений статики // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2009. №3. С.17-21.

121. Минаева Н. В. О существовании состояний // Изв. ИТА 4P. 1997. №1. С. 103-120.

122. Минаева Н. В. О напряженно-деформированном состоянии упругой толстостенной трубы, близком к осесимметричному //Изв. ИТА 4P. 2001. №1-4. С. 189-198.

123. Минаева Н. В. О границе применимости линейной модели при исследовании изгиба шарнирно закрепленного стержня / Вестник ф-та ПММ ВГУ. 2000. №2. С. 63-67.

124. Минаева Н. В. О линеаризации граничных условий, заданных на границе деформированного тела / Вестник ф-та ПММ ВГУ, Воронеж: ВГУ. 2002. №3. С. 153-160.

125. Минаева Н. В. О непрерывности зависимости решения задачи Коши от функции, входящей в уравнение / Труды молодых ученых ВГУ. 1999. Вып.1. С.46-47.

126. Минаева Н. В. Об исследовании напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы методом малого параметра М. 2000. Деп в ВИНИТИ 14.07.00, №1941-В00 9 с.

127. Минаева Н. В. Об исследовании поведения идеально пластических тел, близких к однородным / Сб. докладов Всероссийск. Школы-семинара по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 2003.

128. Минаева Н. В., А.Д. Чернышов О течении вязкой неоднородной жидкости в трубе треугольного сечения / Вестник ф-та ПММ ВГУ. Воронеж: ВГУ, 2005. Вып. 5. С. 180-185.

129. Минаева Н. В., Мяснянкин Ю.М., Шашкин А. И. О напряженно-деформированном состоянии неоднородной упругой толстостенной трубы / Сб. трудов XXXI Уральского семинара «Механика и процессы управления». Екатеринбург. 2001. С. 115-120.

130. Минаева Н. В., Шашкин А. И. О проблеме сохранности деформируемым телом своей формы / Материалы междунар. школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. 2000. 4.2. С. 302-308.

131. Минаева Н. В. Математическое моделирование квазистатических процессов / Сб. тр. междунар. школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики». Воронеж. 2005. 4.2. С. 52-54.

132. Минаева Н. В., Шашкин А. И. Квазистатическое поведение консольного стержня с частично распределенными параметрами / Сб. тезисов Международной конференции по Математической теории управления и механике Суздаль. 2009. С. 164.

133. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977. 344 с.

134. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

135. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1968. 526 с.

136. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 526 с.

137. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

138. Немиш Ю.Н. Метод возмущений формы границы в пространственных задачах механики деформируемых сред // Изв. АНСССР, МТТ. 1975. №1. С. 17-26.

139. Николаи Е.А. Труды по механике М.: Гостехиздат, 1955. 536 с.

140. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. 370 с.

141. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца / Механика. Сб. перев. и обзоров иностр. литературы. М: ИЛ. 1955. №4. с. 93-97.

142. ХАЪ.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.

143. Перлнн П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач / Инж. сб. 1960. Т. 28. С. 145-150.

144. AI. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. 244 с.

145. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. школа, 1964. 264 с.

146. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Наука, 1974. 332 с.

147. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.: ОГИЗ, 1948. 172 с.

148. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: ИЛ, 1956. 398 с.

149. Проскуряков А.П. Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний / Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и приклад, механике. М.: Наука, 1965. Т.2.

150. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 256 с.

151. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды в 3-х томах. М.: Наука, 1971. Т.1. 772с.

152. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

153. Ревуженко А.Ф., Чанышев А.И., Шемякин Е.И. Математические модели упругопластических тел / Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука, 1985.

154. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

155. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.

156. Савин Г.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущений упругих свойств в механике твердых деформируемых тел // Докл. АН СССР. 1974. 216. №1. С. SS-SS.

157. Самарский A.A. Математическое моделирование Текст. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Наука, 1997. - 316 с.

158. Сафронов, В. С., Барченкова Н. А., Минаева Н. В. Об адекватности математических моделей механических систем // Изв. ВУЗОВ. Машиностроение. 2005. № 5. С. 17-23.

159. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981. 448 с.

160. Седов Л.И. Механика сплошных сред. Т. 1,2. М.: Наука, 1983. 680 с.

161. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АНСССР, Механика и машиностроение. 1963. №1. С. 17-21.

162. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 376 с.

163. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки // Докл. АНСССР. 1948. Т. 10. №1. С. 33-36.

164. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах устойчивости сложных сред. Воронеж, 1997. 360 с.

165. Сысоев В.В., Матвеев М.Г., Бугаев Ю.В., Ряжских В.И. Математическое моделирование детерминированных технологических и технических систем. Воронеж. Изд-во Ворон, технол. ин-та, 1994. 84 с.

166. Тарасъев Г.С., Толоконников Л.С. Конечные плоские деформации сжимаемого материала // ПММ. 1962. Т.2. №2. С. 1-13.

167. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов. М: Гос-техтеориздат, 1957. 536 с.

168. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. 190 с.

169. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 476 с.

170. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979.

171. Толоконников Л.А., Яковлев С.П., Кузин В.Ф. Плоская деформация со слабой пластической анизотропией // Прикладная механика. 1969. Т.5. №8. С. 71-76.

172. Томпсон А. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике М. : ИЛ, 1975. 156 с.

173. Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1965. 256 с.

174. Феппелъ А., Феппель Л. Сила и деформация // М.: ОНТИ. 1936. Т. 2. 408с.

175. Фшоненко-Бородич М.М. Теория упругости М.: Физматгиз, 1959. 364 с.

176. Фихтенголъц Г.М. Основы математического анализа. М.: Изд-во техн.-теор. лит., 1956. Т. 1,2. 464 с.

177. Ходж Ф., Гудъер Д. Упругость и пластичность. М.: ИЛ, 1960.

178. Христиан о еич С. А., Михлин С.Г., Девинсон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М.: Изд. АНСССР, 1938.

179. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. 192 с.

180. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев: Техшка, 1976.

181. Цянь Сюэ-Сэнъ. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го // Проблемы механики. М. : ИЛ. 1959. Вып. II. С. 7-62.

182. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 428-436.

183. Шварц Л. Математические методы для физических наук. М: Мир, 1965. 348 с.

184. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем // ПММ. 1954. Т. 18. Вып. 2.

185. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности // ПММ. 1957. Т.21. Вып. 2.

186. Элъсголъц Н.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука, 1969. 424 с.

187. Эндрюс Дж., Мак-Лоун Р. Математическое моделирование. М.: Мир, 1979. 277 с.

188. Кио Y.O. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds number // J. Math and Phys. 32. 1953. P. 83.

189. Lighthill M.J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid // Philos. Mag. 7. 40. 1949. P. 1179.

190. Lin C.C. On a perturbation theory based on the method of characteristics // J. Math, and Phys. 33. P. 117-134.

191. Olsak W., Rychlewski J. Geometric properties of stress fields in plastically non-homogeneous bodies under condition of plain strain // IUTAN Sym-pozium. Haifa. 1962.

192. Poincare H. Sur le problème des trois corps et les equations de la dynamiques. Acta Mathematica. t. 13 1890.

193. Poincare H. Sur methodes nouvelles de la mecanique celeste . Vol. I. ch. 3. Dover, New York. 1892.

194. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. I. Plane strain of non-homogeneity plastic solids // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 9. №4. P.279-278.

195. Spense, A.J.M. Perturbation method in plasticity. II. Plane strain of slightly irregular bodies // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 10. №1. P.17-26.

196. Spenser A.J.M. Perturbation method in plasticity. III. Plane strain solids with body forces // J. Mech. and Phys. Solid. 1962. Vol. 10. №1. P.165-177.

197. Van der Pol B. On relaxation oscillations // Philos. Mag. 7. 2. №11. 1926. P. 978-992.

198. Whitham G.B. The proportion of spherical blast // Proc. Roy. Soc. A. 2036. 1950. 571 p.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00