автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование контактных напряжений с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании

На правах рукописи

Сакало Алексей Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

~ 3 ДЕК 2

Брянск 2009

003487064

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Брянский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

В.В. Кобищанов

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

И.Н. Серпик,

кандидат технических наук, доцент Г.В. Малинин

Ведущая организация: ОАО «Научно-исследовательский

и конструкторско-технологический институт подвижного состава», г. Коломна.

Защита состоится 15 декабря 2009 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д212.021.03 ГОУ ВПО «Брянский государственный технический университет» по адресу: 241035, г. Брянск, бульвар 50-летия Октября, д.7, ауд.220, ГОУ ВПО «Брянский государственный технический университет».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Брянский государственный технический университет».

Автореферат разослан 14 ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент {/ ' В.А. Шкаберин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. При моделировании движения подвижного состава железных дорог, процессов изнашивания деталей машин и механизмов возникает необходимость в решении контактных задач. Круг задач, поддающихся решению аналитическими методами, ограничен. Чаще всего контактирующие тела представляются полупространствами, что не позволяет ввести в расчет конструктивные формы тел. Получены решения для случаев, когда поверхности контакта тел имеют правильные геометрические формы сфер, цилиндров, эллипсоидов, торов. В процессе изнашивания тел их поверхности приобретают сложные формы, что затрудняет введение их в расчеты.

Значительно большими возможностями обладают численные методы. Широкое применение для решения контактных задач получили методы, использующие конечноэлементные расчетные схемы. Они позволяют учесть конструктивные формы деталей, детерминированно задать геометрию поверхностей контакта, полученную в результате изнашивания. Однако они требуют высокой точности задания координат точек, расположенных на этих поверхностях, использования измельченных конечноэлементных сеток в области контакта. Так, погрешность 2...3 мкм, допускаемая при задании координат точек поверхностей колеса и рельса, приводит к значительным погрешностям в распределениях контактных давлений. Даже при включении в расчетную схему сравнительно небольших фрагментов тел, прилегающих к потенциальной области контакта, они содержат большое количество конечных элементов, что предопределяет большие затраты машинного времени на решение задач. Применение способов уменьшения размерности расчетных схем, таких как метод редуцирования узлов, метод суперэлементов, приводит к громоздким разрешающим уравнениям и при определенных условиях к увеличению затрат машинного времени на решение. В то же время при моделировании движения подвижного состава железных дорог, процессов изнашивания, контактные задачи приходится решать многократно на каждом шаге или итерации. Для этого не могут быть использованы большие конечноэлементные расчетные схемы.

При моделировании движения железнодорожного транспорта для решения задач контакта колес и рельсов нашли применение быстрые алгоритмы. Они строятся на базе расчетных схем в виде полупространств с введением ряда допущений, касающихся определения формы и размеров пятен контакта, законов распределения давлений. Получаемое при этом решение имеет весьма приближенный характер и не всегда может использоваться при моделировании процессов изнашивания.

В связи с этим проблема разработки методов решения контактных задач, базирующихся на использовании простых расчетных схем, обеспечивающих малые затраты машинного времени на определение параметров, характеризующих условия в контакте, при достаточной для инженерных расчетов точности, является актуальной.

Целью работы является разработка метода моделирования контактных напряжений в твердых телах, в том числе в телах качения, обеспечивающего значительное снижение затрат машинного времени при достаточной для инженерных расчетов точности.

Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

1. Выбор и обоснование типа конечноэлементных расчётных схем на основе анализа методов уменьшения их размерности.

2. Разработка метода решения контактных задач с использованием конечно-элементных схем фрагментов тел на упругом основании.

3. Выработка рекомендаций для назначения жёсткости упругих связей, моделирующих упругое основание.

4. Разработка способа детерминированного описания геометрических форм изношенных поверхностей контакта тел и сглаживания их профилей.

5. Разработка алгоритмов и программ, реализующих метод решения контактных задач с использованием конечноэлементных фрагментов тел на упругом основании.

Методологии и методы исследования. При разработке метода моделирования контактных напряжений, алгоритмов и программ для его реализации использованы методы теории упругости, конечных элементов, суперэлементов, численного анализа и математической обработки результатов опытов, программирования на языке С++ в среде операционной системы Windows.

Научные положения диссертации, выносимые на защиту, и их научная новизна:

1. Разработан метод моделирования напряжённого состояния в контакте твердых тел с использованием конечноэлементных расчётных схем их фрагментов, позволяющий снизить размерность расчётных схем, уменьшить затраты времени на подготовку исходных данных и на решение задач, обеспечивающий достаточную для инженерных расчётов точность результатов.

2. Получены зависимости для определения рекомендуемой жёсткости упругих связей, моделирующих упругое основание.

3. Исследовано влияние размеров конечноэлементных фрагментов на точность моделирования напряжённого состояния в области контакта твердых тел.

Практическая значимость результатов работы:

1. Разработаны алгоритмы и программы, реализующие предложенный метод моделирования напряжённого состояния в контакте твердых тел с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании.

2. Исследованы профили колёс подвижного состава и рельсов с различной степенью износа. Представленная в табличной форме информация о координатах точек профилей может быть использована при решении контактных задач.

3. Исследовано напряжённое состояние в контактах колёс подвижного состава железных дорог и рельсов.

4. Исследовано напряжённое состояние в контакте трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой и роликовой опоры.

5. Разработан способ аппроксимации профилей поверхностей тел качения с использованием информации, полученной экспериментальными методами, обеспечивающий корректное решение контактных задач для тел с изношенными поверхностями.

Обоснованность и достоверность полученных научных выводов и рекомендаций подтверждается корректным использованием апробированных методов теории упругости, конечных элементов, суперэлементов, достаточно хорошей сходимостью результатов, полученных аналитическими и численными методами, результатов, полученных другими авторами.

Реализация результатов работы. Результаты использованы при выполнении работ по гранту 06-08-01105-а и в учебном процессе в Брянском государственном техническом университете для выполнения курсовых работ по теории упругости и вычислительной технике.

Апробация работы. Основные научные и практические результаты работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития вагоностроения» г. Брянск, октябрь 2008 г.; на научно-техническом семинаре «Компьютерное моделирование в железнодорожном транспорте: вопросы динамики, прочности и износа» г. Брянск, февраль 2009 г.; на международной научно-практической конференции «Наука и производство - 2009» г. Брянск, март 2009 г.; на расширенном заседании кафедры «Мехатроника и международный инжиниринг» в Орловском государственном техническом университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ в виде статей и тезисов докладов, в том числе 2 публикации в журналах, входящих в перечень рекомендованных изданий ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём работы - 143 страницы машинописного текста, 61 рисунок, 10 таблиц и список литературы из 55 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации.

В первой главе даётся обзор работ, посвященных решению контактных задач и математическому моделированию напряжений в области контакта. Аналитические методы решения контактных задач начали развиваться с появлением работы Г. Герца, опубликованной в 1882 г. Значительную роль в их развитии сыграли работы Д. Буссинеска и Фламана. Ими были получены решения задач

для сил, приложенных на границах полупространства и полуплоскости. Модели полупространства и полуплоскости широко используются при решении пространственных и плоских контактных задач. Вначале внимание исследователей было направлено на рассмотрение стороны задачи, связанной с получением закона распределения контактных давлений. Позже появились работы, посвященные анализу напряжённого состояния в области контакта.

А.Н. Динником получено решение для напряжений в области кругового контакта, а Н.М. Беляевым - в области эллиптического. Л.М. Кир и М.Д. Браянт исследовали напряжения в области эллиптического контакта при приложении к телам нормальной и касательной сил. Решение ряда задач для несимметричного контакта, клиньев, плит со скруглёнными краями, цилиндров, конусов получено в работах И.Я. Штаермана, Б.С. Ковальского, Б.Л. Ромалиса, В.М. Александрова. Задачи контакта неупругих тел, тел с шероховатыми поверхностями рассмотрены в работах Л.А. Галина, К. Джонсона, И Г. Горячевой.

Возможности аналитических методов ограничены. С их использованием не решаются задачи в случаях, когда распределение контактных давлений зависит не только от уравнений поверхностей контакта, но и от конструктивных форм тел, когда геометрические формы контактирующих поверхностей заданы де-терминированно.

В численных методах решения контактных задач чаще всего используются конечноэлементные расчётные схемы. В работе O.K. Зенкевича, А. Френкевиллы для решения плоской задачи предложен метод сил. Алгоритм, разработанный С.К. Чаном и И.С. Тьюбой, построен на последовательном введении в контакт пар узлов. Разработанный Ю.П. Подлесновым, Г.А. Неклюдовой, В.И. Сакало алгоритм базируется на методе поузловых итераций, посредством которого решается задача МКЭ. В работе 3. Бейя, 3. Зу для решения задач с нелинейностями, в том числе контактной, использованы зазорные конечные элементы. В разработанных Д.Д. Калкером программах DUVO-ROL и CONTACT поверхности контакта представлены двумерными сетками. При определении перемещений их узлов используется решение Д. Буссинеска либо трёхмерные конечноэлементные расчётные схемы.

Решение контактных задач для колёс и рельсов при моделировании движения подвижного состава железных дорог ведётся с использованием быстрых алгоритмов. Быстрые алгоритмы разработаны В. Киком и И. Пиотровским, используются также в программных комплексах UM, MEDINA. Они построены на введении ряда допущений и упрощений и не используются для последующего анализа напряжённого состояния в области контакта.

В главе рассмотрены методы уменьшения затрат машинного времени на решение контактных задач. На основе анализа состояния вопроса сформулированы цели и задачи исследования, допущения, принимаемые в работе.

Вторая глава посвящена выбору и обоснованию метода решения нормальной контактной задачи. Использование конечного элемента первого порядка семейства Сирендипа обосновано двумя соображениями. Простейшим элементом является тетраэдр, компоненты его матрицы жёсткости вычисляются с использованием аналитических выражений. Он предоставляет хорошие воз-

можности изменения густоты конечноэлементной сетки, однако напряжения во всех его точках одинаковы, их относят к центру тяжести тетраэдра. При решении контактной задачи необходимо обеспечить высокую точность определения напряжений для узлов, расположенных на поверхности контакта, в связи с чем тетраэдр использовать нецелесообразно. Точность решения контактной задачи в значительной степени определяется количеством узлов, попадающих в пятно контакта. Поэтому использование простых элементов предпочтительнее использования элементов высокой точности.

Особенность контактных задач состоит в том, что, как правило, размеры контактных пятен малы по сравнению с размерами контактирующих тел. Они требуют использования измельчённых конечноэлементных моделей в областях контакта. Для снижения размерности моделей в расчётную схему включают фрагменты тел, прилегающие к области контакта, размеры которых выбираются так, чтобы напряжения и деформации у поверхностей выделения фрагментов были пренебрежимо малыми. Тем не менее, получаемые ори этом конечноэле-ментные сетки содержат десятки тысяч узлов, а степень их свободы исчисляется сотнями тысяч. Исследовано применение методов редуцирования и конденсации (метода суперэлементов) узлов для уменьшения степени свободы расчетных схем. Трудности реализации этих методов объясняются двумя обстоятельствами. При редуцировании узлов с укрупнением элементов по направлению от поверхности контакта процедура поддается алгоритмизации. При редуцировании по нескольким направлениям она затруднена. Второе обстоятельство состоит в том, что при исключении узлов методом редуцирования или конденсации количество уравнений МКЭ уменьшается, но они становятся настолько громоздкими, что с некоторых пор время, затрачиваемое на решение задачи, увеличивается.

На основе выполненного исследования предложен метод, в котором в качестве расчетных схем используются конечноэлементные фрагменты тел, прилегающие к области контакта, опирающиеся на упругое основание. Такой подход имеет ряд преимуществ: благодаря наличию в модели слоев конечных элементов, прилегающих к поверхностям контакта, для решения контактной зада-

чи может быть использован алгоритм, базирующийся на методе поузловых итераций; толщина фрагментов может быть выбрана такой, чтобы замена отброшенной части конечноэлементной

у схемы упругим основанием не привела ~~ к заметной погрешности решения; значительно упрощается процедура построения конечноэлементной схемы; уменьшаются затраты времени на решение.

Рис. 1. Связь, представляющая упругое основание

Схема наложения на узел ; упругой связи жесткости сх по оси х показана на рис. 1. Кроме нее на узел нало-

жена жесткая связь. При определении компоненты матрицы жесткости, соответствующей усилию, возникающему в ней, рассматривается единичное смещение по оси х основания, к которому крепится эта связь, а основание, с которым соединена упругая связь, считается неподвижным. Тогда компоненты матрицы жесткости с учетом упругой связи равна аи + сх. Если на узел наложены связи по трем осям, при выполнении итерации для него система уравнений для определения приращений перемещений A//, Av, Aw при смещении в равновесное положение имеет вид

(«п + t'JA», + «12<Ч + öi3Alvi = + с,(>'к - ",■); а21Дн, + {а22 + су)Av, + a23Au',. = Ву + cy(vk - v,-); аъхДм,- + а32Av,. + (а33 + cz )Aw,. = 5Z + cz(wk - и-,.), где cx, cy, с, - жёсткости упругих связей, наложенных на узел по осям у, z; Яп... ац - компоненты матрицы жёсткости ансамбля конечных элементов, прилегающих к узлу /';

Вх, Ву, Bz - правые части, представляющие собой суммы составляющих узловой внешней силы по осям х, у, z и сил, опосредствованных перемещениями узлов конечных элементов, прилегающих к узлу /'; Щ, vh v>k - компоненты перемещения основания, к которому прикреплены упругие связи;

"/> vb - компоненты перемещения узла /'.

Тестирование предложенного метода проведено на примере растяжения бруса.

В третьей главе изложены основные положения метода моделирования условий в контакте твёрдых тел с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании. Особенностью вычислительной стороны при моделировании контактных напряжений является высокая чувствительность решения к точности задания координат точек, расположенных на поверхностях контакта. Для стальных деталей погрешность в 2...3 мкм приводит к значительным неточностям при определении законов распределения давлений. Для повышения точности описания профилей поверхностей контакта тел в работе использовались следующие способы. С колёс и рельсов снимались гипсовые слепки. Приспособление для снятия слепков поверхности колеса показано на рис. 2а. Оно состоит из двух щёк 1, 2 и прокладок 3, 4 между ними. Поверхностью А приспособление базируется на торцевую поверхность колеса и фиксируется на нём с помощью винта 5. Раствор гипса заливается в свободное пространство между щеками. Аналогично устроено приспособление для снятия слепков поверхности рельсов (рис.2б). Слепок сканировался с высоким разрешением, и получалось его изображение на экране монитора. С использованием программы CorelDraw определялись координаты точек, расположенных с шагом 1 мм на контуре профиля с точностью до трёх знаков после запятой.

Выполнена оцифровка координат точек профилей вагонных колёс с прокатом 1... 5 мм, рельса Р-65, уложенного в прямые и кривые участки пути, с боковыми износами 1,8 и 8,8 мм. Несмотря на высокую точность детерминированного задания координат точек, выполнялось сглаживание профилей. Рассмот-

рена возможность применения в качестве аппроксимирующих функций полиномов 2-5-й степени. Профиль поверхности делился на 3-5 участков. Коэффициенты полинома /0(х) для первого участка определялись методом наименьших квадратов. С его использованием вычислялась ордината /¿(ли), первая производная /0'(х01) и вторая производная /0*(х01) в точке с координатой л-оь расположенной на конце участка, которые могли использоваться для построения аппроксимирующей функции на следующем участке. Рассмотрены варианты стыковки участков по ординате и первой производной и по ординате, первой и второй производным. Количество определяемых методом наименьших квадратов коэффициентов функции для следующего участка зависит от условий стыковки. При определении одного коэффициента аппроксимация получается неприемлемой. Вариант с определением двух коэффициентов не имеет решения. Хо-

Рис. 2. Приспособления для снятия слепков поверхностей: а - колеса; б - рельса

рошее качество аппроксимации получается при определении трёх коэффициентов.

В работе использован полином 4-й степени со стыковкой участков по ординате и первой производной. При этом для каждого последующего участка профиля методом наименьших квадратов определяются три коэффициента. Выбор полинома 4-й степени обусловлен тем, что он позволяет решать задачи тесного несимметричного контакта, характерного для тел качения с изношенными поверхностями. Аппроксимирующая функция, использующая полином 5-й степени, проявляет большую склонность к осцилляции.

В главе определена жесткость упругой связи, моделирующей упругое основание. Приближенная оценка строилась на локальном характере напряжений в области контакта. В точках, расположенных на оси 2 на расстоянии /?, превышающем размер большой полуоси а эллипса контакта, напряжения ах и <ту пренебрежимо малы (рис.3). Жесткость упругой связи с определялась из условия, чтобы перемещение точки /', в которой расположен узел конечноэлемент-ной сетки, под действием силы <т2 (И)АхАу, где Ах, Ау - размеры ребер конечных элементов, прилегающих к узлу /, равнялась перемещению, найденному из аналитического решения контактной задачи. В случае кругового контакта же-

сткость составила 0,54ЕАхАу1а, где Е -модуль упругости материалов тел. Для случая, когда эллипс контакта сильно вытянут, получен близкий результат 0,6ЕАхАу/а.

Численным методом исследована зависимость рекомендуемой жесткости упругих связей от толщины конечноэле-ментного фрагмента, эксцентриситета эллипса контакта и значения нормальной силы в контакте. Использованы восьмиуз-ловые конечные элементы с размером ребер, расположенных на поверхности контакта, равным 1 мм. Характеристики упругости для материалов тел принимались равными: модуль упругости £'=2-10пМПа, коэффициент Пуассона ¡1 = 0,25. Моделировался контакт двух цилиндрических тел с радиусами наружных поверхностей 367 мм со взаимно перпендикулярными скрещивающимися осями. Расчеты показали, что рекомендуемая жесткость упругой связи зависит от толщины фрагмента и с уменьшением ее от 10 до 1 мм уменьшается от 1,27-10 до 0,925-107 Н/м. Значение нагрузки на контакт проявляется для фрагмента толщиной 1 мм: при ее росте от 40 до 156 кН рекомендуемая жесткость уменьшается от 1,3-107 до 0,75-107 Н/м. Близкие по значению результаты получены для варианта, когда эллиптическое пятно контакта сильно вытянуто. При толщине фрагментов 5... 10 мм рекомендуемая жесткость составила (1,0... 0,9) 107 Н/м.

На основе выполненных исследований для определения жесткости упругой связи, моделирующей упругое основание, рекомендована зависимость

п

1=1

где с0 = 1013 Н/м3,

Р1 - площадь грани /-го конечного элемента, прилегающего к узлу; п -количество прилегающих элементов.

В главе приведено краткое описание метода решения контактных задач, основные зависимости, используемые для обработки результатов решения.

Тестирование предложенного метода выполнено на задаче о контакте двух стальных цилиндров радиусов 0,2 м со взаимно перпендикулярными скрещивающимися осями, сжатыми силой 100 кН. Аналитическое решение дает радиус контактного пятна а = 5,2 мм, максимальное давление ро = 1766 МПа. Задача решалась с использованием большой конечноэлементной расчетной схемы, содержащей 59582 узла и 54000 конечных элементов, и фрагментов на упругом основании с 10, 5 и 1 слоем конечных элементов с размерами ребер 1 мм. Результаты расчетов приведены в табл.1. Использование фрагментов на упругом

Рис.3. К приближенному

определению жесткости упругой связи

основании позволяет существенно сократить затраты машинного времени при достаточной точности определения параметров, характеризующих условия в контакте. Так, при использовании фрагмента, содержащего один слой конечных элементов, затраты машинного времени уменьшились в 48 раз. Погрешность определения максимального давления составила 9,2%.

Таблица 1

Результаты решения контактной задачи с использованием

конечноэлементньгх фрагментов на упругом основании (погрешность, %)

Расчетная схема Количество конечных элементов Радиус контакта, мм Максимальное давление, МПа Затраты машинного времени, с

Большая конечно-элементная схема без упругого основания 54000 5,2 (0,38) 1758 (0,45) 670

10 слоев на упругом основании 18000 5,17(0,58) 1779 (0,74) 102

5 слоев на упругом основании 9000 5,16(0,77) 1745 (1,2) 46

1 слой на упругом основании 1800 5,51 (5,96) 1603 (9,2) 7

Распределение контактных давлений и напряжений ег.''.в для рассмотренных вариантов расчетных схем представлены на рис. 4. Даже фрагмент из пяти

Рис. 4. Распределение контактных давлений р и изолинии эквивалентных напряжений <7Э|ШП в области контакта (МПа): а - большая конечно-элементная схема; б - пять слоев на упругом основании; в - один слой на упругом основании

слоев элементов позволяет достаточно точно оценить напряженное состояние в подконтактном слое. Для наибольшего напряжения, возникающего в точке,

расположенной на глубине 2 мм, большая расчетная схема дает значение 1155 МПа, а схема из пяти слоев -1147 МПа.

В четвертой главе дано описание комплекса программ, реализующих предложенный метод. Работа комплекса начинается со считывания информации о геометрии поверхностей контактирующих тел (рис. 5). Для ряда объектов она содержится в базе данных: описание профилей вагонного и локомотивного колес, рельса Р-65, вагонных колес с прокатами 1... 5 мм, рельса с боковыми износами 1,8; 5; 8,8; 12 мм. Она задана в виде координат точек, расположенных на контуре профиля с определенным шагом. Если профиль задан детерминированно, следует обращение к функции сглаживания. Затем строятся конеч-ноэлементные модели фрагментов. Этот модуль содержит две программы. Обе программы предполагают построение трехмерных конеч-ноэлементных сеток методом «драги» и различаются способами создания плоских матриц из четырехугольных элементов.

Рис. 5. Структурная схема программного

комплекса, реализующего метод решения контактных задач с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании

Первая из них предназначена для построения конечноэлементных моделей областей произвольного типа. Для создания плоских матриц поперечное сечение тела разделяется на подобласти, задаются опорные точки, с их использованием строятся ребра, которые разбиваются на линейные конечные элементы с шагом, меняющимся по закону геометрической прогрессии. Внутренние узлы подобласти получаются либо на пересечении отрезков прямых, соединяющих

внутренние узлы ребер, либо с использованием функций формы. При построении трехмерной конечноэлементной модели плоская матрица протягивается вдоль генератрисы - отрезка прямой или дуги окружности. Новые узлы сетке генерируются на базе узлов плоской матрицы при ее фиксации в положениях, определяемых заданными шагами. Для построения восьмиузлового конечного элемента используются четырёхугольные элементы плоской матрицы, зафиксированной в двух соседних положениях. Интерфейс программы, реализующей общий алгоритм построения конечноэлементной схемы, представлен на рис.6.

Рис. 6. Интерфейс программы, реализующей общий алгоритм построения конечноэлементной схемы

Вторая программа предназначена для полностью автоматизированного построения конечноэлементных фрагментов тел качения. Алгоритм начинает работу с создания массива узлов в безразмерных координатах /,_/', к (рис. 7). Плоская матрица образуется двумя семействами координатных линий. Одно семейство представляет собой нормали, проведенные из узлов, расположенных на профиле поверхности, либо отрезки прямых, проведенных из этих узлов, сходящиеся в одной точке. На этих линиях располагаются узлы с заданным шагом. Линии, соединяющие полученные узлы, образуют второе семейство. Узлами, расположенными на профиле поверхности, задаётся эталонная кривая. Трёхмерная модель строится с использованием метода «драги». При решении контактных задач нагрузка инициируется путём задания смещений активному телу. При повороте его относительно пассивного тела пересчитываются координаты

Начало

Создание массива узлов в координатах 1, к

Создание эталонной кривой для профиля рельса

БД

Массивы координат точек профилей __ ХьУ, ___

/у=0\ Нет —► Поворот колеса относительно

Да* рельса на угол у

Определение потенциальной области контакта

Усечение расчетной схемы

Присвоение номеров узлам *

Формирование конечных элементов

Щ

Наложение связей на узлы схемы

Задание начальных перемещений

Формирование массива пар контактных узлов

Конец ^

Массивы: номеров узлов; координат узлов; конечных элементов; связей; перемещений; номеров контактных пар узлов

Рис. 7. Структурная схема специализированного алгоритма построения ко-нечноэлементных фрагментов тел качения

узлов конечноэлементной схемы активного тела. Определяется потенциальная область контакта, которая представляет собой совокупность узлов активного тела, внедрившихся в поверхность контакта пассивного тела. После определения её размеров проводится усечение расчётной схемы. Толщина фрагмента определяется заданием числа слоёв конечных элементов, а два других размера превышают размеры потенциальной области контакта на заданное число элементов. Затем проводится адаптация сетки пассивного тела. Контактные узлы, соответствующие узлам активного тела, находятся как точки, расположенные на гранях конечных элементов на нормалях, проведенных из активных узлов. С использованием эталонной кривой их координаты уточняются так, чтобы они располагались на контактной поверхности. Расстояние между точками, в которых располагался узел до и после адаптации сетки, рассматривается как его смещение. Для получения хорошей формы элементов задаются смещения и всем узлам, попадающим в область, прилегающую к пятну контакта. Они имеют затухающий характер при удалении от потенциальной области контакта. Построение сетки завершается присвоением номеров узлам фрагментов и формированием конечных элементов. Для решения контактной задачи создаётся массив, содержащий номера активного, пассивного узлов и четвёрки узлов, соседних с пассивным. Пример конечноэлементной схемы фрагментов колеса и рельса приведен на рис. 8. На все узлы, расположенные на поверхностях выделения фрагмента, накладываются упругие связи.

чу,.. ■•»-■• ■■т-г-~иииии^ммии—ни »»щи" .............-ига

>1*1 з\ ЮИТс а|с|а.| чМ»|с-|и|г-|»Н шМаНП» зМ*'! -НЯ»! с| »151 «I

Рис. 8. Конечноэлементная схема фрагментов колеса и рельса

Алгоритм моделирования условий контактного взаимодействия узлов базируется на использовании для решения задачи метода поузловых итераций и условия попарного соответствия узлов поверхностей контакта. Структурная схема алгоритма решения контактной задачи для пары узлов представлена на рис. 9. В процессе выполнения итераций устанавливается, внедрился ли активный узел в поверхность пассивного тела. Если произошло внедрение, активный и пассивный узлы выводятся на общую поверхность контакта, и определяются нормальная касательная составляющая силы взаимодействия между узлами. Алгоритм позволяет решать задачи с трением.

Рис. 9. Структурная схема алгоритма решения контактной задачи

В пятой главе приведены результаты решения прикладных контактных задач. Смоделировано напряжённое состояние в контактах новых и изношенных колёс вагонов и рельсов. В качестве изношенного рассматривалось колесо с прокатом 1 мм и рельс Р-65 с боковым износом 8,8 мм и прокатом 2,5 мм. Нагрузка от колеса на рельс принималась равной 11 7 кН, боковая сила между гребнем колеса и боковой гранью рельса - 18 или 60 кН. Угол набегания колеса на рельс варьировался в пределах от 0 до 1,87°. Использованы расчётные схемы, содержащие фрагменты с пятью и одним слоем конечных элементов.

Выполнены расчёты для различных сочетаний изношенных и неизношенных поверхностей контакта. Для случая контакта колеса и рельса с неизношенными поверхностями получены значения параметров, характеризующих условия в контакте: размеров пятна контакта, максимального давления, глубины касания и забега гребневого контакта, хорошо согласующиеся с результатами аналитических решений и полученными другими авторами. Если контактная поверхность одного из тел изношена, условия в контакте, расположенном на дорожке качения, более неблагоприятны, чем для неизношенных профилей. Если поверхности контакта обоих тел изношены, с выбором зазора между гребнем колеса и рельсом проявляется тенденция образования конформного контакта (рис. 10).

Решена контактная задача для роликовой опоры и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой. В расчётной схеме использован фрагмент с толщиной, равной толщине стенки. Рассмотрен вариант ролика с двумя коническими поверхностями катания. Угол между образующими конических поверхностей принят 100°, а нагрузка на ролик - 3 кН. Использованная расчётная схема адекватно отражает работу стенки трубы как оболочки. Под пятном контакта на внутренней поверхности стенки получены растягивающие напряжения, действующие вдоль её образующей и в окружном направлении (рис. 11).

Рис. 10. Эпюры давлений в

Рис. 11. Нормальные напряжения,

контактах колеса и рельса с изношенными поверхностями

действующие вдоль образующих стенки трубчатой направляющей

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод моделирования контактных напряжений в твердых телах с использованием конечноэлементных схем их фрагментов, опирающихся на упругое основание, позволяющий в 30... 50 раз снизить затраты времени на решение задач при достаточной для инженерных расчетов точности.

2. Аналитическими и численными методами определена жесткость упругих связей, моделирующих упругое основание, обеспечивающая корректное решение контактных задач при использовании конечноэлементных фрагментов различной толщины.

3. Разработаны методика получения информации о профилях контактных поверхностей тел путем снятия гипсовых слепков и метод сглаживания профилей с использованием в качестве аппроксимирующих функций полиномов 4-й степени.

4. Разработан комплекс программ, реализующих предложенный метод моделирования контактных напряжений, включающий базу данных, модули построения конечноэлементных расчетных схем фрагментов, их адаптации для решения контактных задач, определения потенциальных областей контакта, решения контактной задачи, обработки результатов решения, визуализации расчетных схем и результатов решения.

5. Тестирование предложенного метода показало, что использование фрагментов из пяти слоев конечных элементов позволяет с достаточной точностью оценить напряженное состояние в подконтактном слое, а однослойного фрагмента - получение закона распределения контактных давлений с погрешностью, не превышающей 10%.

6. Создана база данных, позволяющая решать контактные задачи для рельсов и колес подвижного состава железных дорог с различной степенью износа.

7. Решены прикладные задачи, связанные с моделированием контактных напряжений в колесах подвижного состава и рельсах, при некоторых сочетаниях изношенных и неизношенных поверхностей контакта. Если поверхность одного из тел является изношенной, условия контакта получаются более неблагоприятными, чем в случае неизношенных поверхностей. Максимальные давления в контакте повышаются с 1075 до 1800 МПа. Если обе контактирующие поверхности являются изношенными, проявляется тенденция к конформному контакту.

8. Результаты решения контактной задачи для роликовой опоры и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой разработанным методом хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях.

1. Сакало, A.B. Математическое моделирование профилей изношенных поверхностей тел качения / A.B. Сакало // Вестник БГТУ. - Брянск: БГТУ, 2009.-№3(23).-С. 78-83.

2. Сакало, A.B. Метод моделирования контактных напряжений с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании / A.B. Сакало // Вестник ВГТУ. - Воронеж: ВГТУ, 2009. -№9. - С. 71-76.

3. Сакало, A.B. Решение контактных задач для колеса и рельса с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании / A.B. Сакало // Материалы научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития вагоностроения» / Под ред. В.В.Кобищанова. - Брянск: БГТУ, 2008. - С. 93-96.

4. Сакало, В.И. Контактная задача в связи с вопросами динамики, прочности и износа на железнодорожном транспорте / В.И. Сакало, A.B. Сакало, С.Б. Томашевский // Тезисы докладов научно-технического семинара «Компьютерное моделирование в железнодорожном транспорте: вопросы динамики, прочности и износа». - Брянск: БГТУ, 2009. - С. 47-48.

5. Сакало, A.B. Использование фрагментов конечноэлементных схем на упругом основании для построения быстрого алгоритма решения контактных задач / A.B. Сакало // Материалы междунар. науч.-практ. конф. «Наука и производство - 2009» в 2 ч. / Под ред. С.П. Сазонова, П.В. Новикова. -Брянск: БГТУ, 2009. - Ч. 1. - С. 350-352.

6. Сакало, В.И. Контактные напряжения в пятниковом узле грузового вагона / В.И. Сакало, A.B. Сакало // Материалы междунар. науч.-практ. конф. «Наука и производство - 2009» в 2 ч. / Под ред. С П. Сазонова, П.В. Новикова. -Брянск: БГТУ, 2009. -4.1.-С. 352-354.

Сакало Алексей Владимирович

Математическое моделирование контактных напряжений с использованием конечноэлементных фрагментов на упругом основании

Автореферат

Лицензия №020381 от 24.04.97. Подписано в печать 10.11.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага типографическая Х°2. Офсетная печать. Печ. л. 1 Уч. изд. л., 1. Т. 100 экз. Бесплатно.

ГОУВПО «Брянский государственный технический университет»,

241035, г. Брянск, бульвар 50-летия Октября, д. 7. Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ РЕШЕНИЮ

КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ И МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МОДЕЛИРОВАНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ

В ОБЛАСТИ КОНТАКТА.

1.1. Аналитические решения нормальной контактной задачи.

1.2. Решение нормальной контактной задачи численными методами.

1.3. Быстрые алгоритмы решения контактных задач.

1.4. Методы уменьшения затрат машинного времени на решение контактных задач.

1.5. Способы описания геометрии контактирующих поверхностей.

1.6. Выводы к главе 1.

1.7. Постановка цели и задач исследования.

1.8. Допущения.

ГЛАВА 2. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА УМЕНЬШЕНИЯ

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ.

2.1. Выбор типа конечного элемента.

2.2. Использование расчетных схем с редуцированными узлами.

2.3. Использование суперэлементов.

2.4. Метод выделения фрагмента, опирающегося на упругое основание.

2.5. Тестирование зависимостей для задачи с упругими связями.

2.6. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ.

3.1. Способы аппроксимации профилей поверхностей контактирующих тел.

3.2. Способ получения информации о геометрии поверхностей изношенных тел.

3.3. Выбор и обоснование аппроксимирующего полинома для сглаживания профилей поверхностей изношенных тел.

3.4. Аппроксимация профилей поверхностей изношенных колес железнодорожного подвижного состава и рельсов.

3.5. Приближённое определение жёсткости упругого основания.

3.6. Численное определение жёсткости упругого основания для конечноэлементных фрагментов различной толщины.

3.7. Решение контактной задачи методом поузловых итераций.

3.8. Математическая обработка результатов решения.

3.9. Тестирование.

3.10. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ, РЕАЛИЗУЮЩИХ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ.

4.1. Общая структурная схема комплекса.

4.2. База данных.

4.3. Функции для сглаживания профилей поверхностей изношенных тел.

4.4. Программа построения конечноэлементной схемы фрагмента.

4.5. Функция определения потенциальной области контакта.

4.6. Функция адаптации конечноэлементной схемы к решению контактной задачи.

4.7. Алгоритм решения контактной задачи.

4.8. Визуализация расчетных схем и результатов расчетов.

4.9. Выводы к главе 4.

ГЛАВА 5. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ

ФРАГМЕНТОВ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ.

5.1. Контакт железнодорожного колеса с рельсом.

5.2. Контакт роликовой опоры и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой.

5.3. Выводы к главе 5.

Многие эксплуатационные свойства деталей машин, такие как контактная прочность, износостойкость, электрическое и термическое сопротивление поверхностных слоёв, герметичность соединений определяются условиями их контактного взаимодействия. Этим объясняется то, что контактная задача на протяжении двух столетий привлекает внимание специалистов. Она занимает ключевое положение при рассмотрении ряда прикладных задач. Потребность в её решении была вызвана необходимостью оценки контактной прочности колёс железнодорожного подвижного состава и рельсов, ходовых колёс кранов, зубьев зубчатых колёс, деталей подшипников качения, звеньев цепей и многих других деталей машин.

Контактная задача представляет собой один из разделов теории упругости. Толчок для развития методов ее решения дали работы Г. Герца. В 1882 г. он получил первое решение задачи о контакте длинного цилиндра и полупространства, а в 1895 году опубликовал решение для контактной задачи с первоначальным касанием в точке, которое позволяло определить форму и размеры контактного пятна и закон распределения контактных давлений [1].

В минувшем столетии сформировались три основные направления:

- определение размеров и формы контактного пятна, распределения по его поверхности нормальных и касательных нагрузок;

- анализ напряжённого состояния в области контакта с целью оценки контактной прочности материала;

- получение зависимостей, связывающих между собой продольные и поперечные крипы, спин с продольной и поперечной силой, моментом спина, возникающими в контакте качения.

Аналитические методы решения имеют ограниченные возможности учёта геометрических форм тел, в том числе их поверхностей контакта. Развитие методов математического моделирования, в частности, с использованием конеч-ноэлементных расчётных схем, позволило значительно расширить круг решаемых задач. Но для достижения достаточной точности решения в области контакта тел необходимо использовать измельчённые сетки. При применении методов измельчения не всегда удаётся достичь этого в связи с тем, что размеры контактного пятна, как правило, малы по сравнению с размерами контактирующих тел. Поэтому даже при включении в расчётную схему сравнительно небольших подобластей, прилегающих к контакту, их конечноэлементные схемы содержат большое количество элементов. При этом затраты машинного времени на решение задачи получаются значительными. Особую актуальность эта проблема приобретает при решении оптимизационных задач, моделировании изнашивания тел, движения сложных механических систем, где требуется многократное решение контактных задач и предъявляются особо жёсткие условия по затратам машинного времени.

Особо важную роль играет контактная задача в расчётах динамики и прочности железнодорожного подвижного состава. Нагрузки от колеса на рельс постоянно увеличиваются и к настоящему времени достигли 117 кН, а в США, например, 150 кН. При движении экипажей эти нагрузки ещё более возрастают в связи с тем, что они совершают колебания. Динамические добавки определяются коэффициентом динамики, который может достигать значений 0,35. При вписывании экипажей в кривые участки пути усилия взаимодействия между гребнем колеса и боковой гранью рельса могут достигать 60 кН и более. При столь значительных усилиях взаимодействия в материалах колёс и рельсов возникают высокие контактные напряжения. Максимальное давление в контакте может достигать 2000 МПа. В связи с этим особую важность приобретает задача анализа напряжённого состояния в областях, прилегающих к контактам, и оценка прочности материалов колеса и рельса.

Контактная задача играет также большую роль при моделировании движения железнодорожного экипажа. Экипаж представляет собой многомассовую систему, элементы которой соединены между собой различного типа связями, а связь её с рельсами осуществляется через контакты колёс с рельсами. Качение колёс по рельсам сопровождается скольжениями в продольном и поперечном направлениях, которые носят названия крипов, и верчением, называемом спином. Связь между силами, действующими в контакте, и этими скольжениями даёт решение контактной задачи качения.

Наконец, колесо и рельс интенсивно изнашиваются, взаимодействуя между собой в условиях сухого трения, при наличии масляных плёнок, в зависимости от погодных условий. На участках особо интенсивной эксплуатации, в кривых, боковой износ рельса за 8 лет может достигать 15 мм, а по достижении износа 15-20 мм рельс необходимо заменять, что приводит к большим экономическим затратам. Интенсивно изнашиваются гребни и поверхности катания колёс. По достижении проката 5 мм колесо подвергается переточке с целью восстановления первоначального профиля поверхности катания. Это также приводит к большим материальным затратам, так как связано с выкаткой колёсной пары и проведением работ в цеховых условиях. Решение задач прогнозирования характера износа колёс и рельсов, моделирования процессов их изнашивания, поиска оптимальных форм поверхностей катания, приводящих к минимальному износу и сохранению формы поверхности в процессе изнашивания, невозможно без решения контактной задачи.

При моделировании движения железнодорожного подвижного состава нашли применение быстрые алгоритмы [2,3,4]. Они построены на использовании упрощённых расчётных схем и ряда допущений. Считают, что при моделировании движения они обеспечивают достаточную точность определения крипов и сил крипа. При моделировании процессов изнашивания контактирующих тел точность решения контактных задач с их использованием может оказаться недостаточной. Этим определяется актуальность разработки методов моделирования условий в контакте твёрдых тел, позволяющих существенно сократить затраты машинного времени.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Конечноэлементные схемы, используемые для моделирования контактных напряжений, имеют большую размерность, что предопределяет большие затраты времени на решение задач. При моделировании движения подвижного состава железных дорог, процессов изнашивания деталей машин и механизмов возникает необходимость многократного решения контактных задач на каждой итерации или шаге по времени, в связи с чем проблема снижения затрат времени очень актуальна. Один из способов ее решения — уменьшение размерности конечноэлементных моделей. Применение для этого методов редуцирования или конденсации узлов приводит к громоздким разрешающим уравнениям и трудностям при их реализации. Предложен метод, использующий конечноэлементные модели фрагментов тел, опирающиеся на упругое основание, отличающийся простотой реализации.

2. Разработан и программно реализован алгоритм моделирования контактных напряжений в твердых телах с использованием конечноэлементных фрагментов, опирающихся на упругое основание.

3. В результате взаимодействия тела изнашиваются и их поверхности контакта приобретают сложные геометрические формы, которые описываются де-терминированно координатами расположенных на них точек. При решении контактных задач с детерминированно заданной геометрией поверхностей контакта применяются численные методы. Наибольшее распространение получили методы, использующие конечноэлементные расчетные схемы. В предложенном методе они имеют минимальную размерность. Наличие в расчетной схеме конечноэлементных фрагментов позволяет применить для решения контактных задач алгоритм, базирующийся на методе поузловых итераций, без введения каких либо допущений о законах распределения контактных давлений. Требуемая точность решения может быть достигнута выбором количества слоев конечных элементов фрагмента. Метод позволяет в 30-50 раз сократить затраты времени на решение задач.

4. Аналитическими и численными методами определена жесткость упругих связей, моделирующих упругое основание, обеспечивающая корректное решение контактных задач при использовании конечноэлементных фрагментов различной толщины.

5. Разработаны методика получения информации о профилях контактных поверхностей тел путем снятия гипсовых слепков и метод сглаживания профилей с использованием в качестве аппроксимирующих функций полиномов 4-й степени.

6. Разработан комплекс программ, реализующих предложенный метод моделирования контактных напряжений, включающий базу данных, модули построения конечноэлементных расчетных схем фрагментов, их адаптации для решения контактных задач, определения потенциальных областей контакта, решения контактной задачи, обработки результатов решения, визуализации расчетных схем и результатов решения.

7. Тестирование предложенного метода показало, что использование фрагментов из пяти слоев конечных элементов позволяет с достаточной точностью оценить напряженное состояние в подконтактном слое, а однослойного фрагмента — получение закона распределения контактных давлений.

8. Создана база данных, позволяющая решать контактные задачи для рельсов и колес подвижного состава железных дорог с различной степенью износа.

9. Решены прикладные задачи, связанные с моделированием контактных напряжений в колесах подвижного состава и рельсах, при некоторых сочетаниях изношенных и неизношенных поверхностей контакта. Если поверхность одного из тел является изношенной, условия контакта получаются более неблагоприятными, чем в случае неизношенных поверхностей. Максимальные давления в контакте повышаются с 1075 до 1800 МПа. Если обе контактирующие поверхности являются изношенными, проявляется тенденция к конформному контакту.

10. Результаты решения контактной задачи для роликовой опоры и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой разработанным методом хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами.

1. Hertz, Н. Gesammelte Werke / Н. Hertz // Leipzig. 1895. - Bd.l. - S. 155-196.

2. Kalker, JJ. A Fast Algorithm for the Simplified Theory of Rolling Contact / J.J. Kalker // Vehicle system dynamics. 1982. - V.l 1. - P. 1-13.

3. Kik, W. A fast, approximate method to calculate normal load at contact betweenwheel and rail and creep forces during rolling / W. Kik, J. Piotrowski //j

4. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Д. Гудьер. — М.: Наука, 1975.-575 с.

5. Boussinesq, J. Application des Potentiels a I'Etude de I'Equilibre et du Mouvement des Solides Elastiques / J. Boussinesq. Paris: Gauthier-Villars, 1885.-P. 92.

6. Штаерман, И.Я. Контактная задача теории упругости / И .Я. Штаерман. -M.;JI.: ГИТТЛ, 1949. 270 с.

7. Ковальский, Б.С. Расчет деталей на местное сжатие / Б.С. Ковальский. -Харьков: ХВКИУ, 1967. 222 с.

8. Александров, В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис. -М.: Машиностроение, 1986. — 176 с.

9. Динник, А.Н. Удар и сжатие упругих тел: Избр. тр. / А.Н. Динник. -Киев: АН УССР, 1952.-Т. 1.-152 с.

10. Беляев, Н.М. К вопросу о местных напряжениях в связи с сопротивлением рельсов смятию / Труды по теории упругости и пластичности / Н.М. Беляев. -М.: ГИТТЛ, 1957. С. 215-260.

11. Bryant, M.D. Rough contact between elastically and geometrically identical curved bodies / M.D. Bryant, L.M. Keer // Trans. ASME. ser.E, J. Appl. Mech. -1982.-V.49.-P. 345-352.

12. Галин, JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л.А. Галин. М.: Наука, 1980. - 304 с.

13. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. М.: Мир, 1989.-510 с.

14. Горячева, И.Г. Механика контактного взаимодействия / И.Г. Горячева. -М.: Наука, 2001.-478 с.

15. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике. / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.-541с.

16. Francavilla, A. A note on numerical computation of elastic contact problems /

17. A. Francavilla, O.C. Zienkiewicz // Journal for Num. Math. In Engineering. -1975.-V.9.-P. 913-924.

18. Александров, А.И. Определение контактных напряжений в зоне боковой выкружки головки рельса / А.И. Александров, В.Ф. Грачев // Вестн. ВНИИЖТ. 1984. - №4. - С. 44-46.

19. Chan, S.K. A finite element method for contact problems of solid bodies. -Part 1. Theory and validation / S.K. Chan, I.S. Tuba // International Journal of Mechanical Sciences. 1971. - V. 13. - P. 615-625.

20. Bai, X. Analysis of large deformation elastoplastic contact through finite gap elements / X. Bai, X. Zhoo // Computers & Structures. 1988. - V.30. - №4. -P. 975-978.

21. Сакало, В.И. Контактные задачи железнодорожного транспорта /

22. B.И. Сакало, B.C. Коссов. — М.: Машиностроение, 2004. — 496 с.

23. Ольшевский, А.А. Методика решения контактных задач для тел произвольной формы с учетом шероховатости поверхности методомконечных элементов: дис. канд. техн. наук / A.A. Ольшевский. Брянск: БГТУ, 2003.-121с.

24. Бурцев, A.A. Использование расчетных схем с редуцированными узлами при измельчении конечноэлементных сеток / A.A. Бурцев, Д.В. Титарев // Динамика и прочность транспортных машин: сб. науч. тр. Брянск: БГТУ, 2000. - С.44-49.

25. Новиков, С.П., Сакало В.И. Применение суперэлементов для решения задач МКЭ с использованием релаксационной схемы деформирования / С.П. Новиков, В.И. Сакало // Динамика и прочность транспортных машин: сб. науч. тр. Брянск: БГТУ, 2003. - С.43-48.

26. Голубенко, A.JI. Сцепление колеса с рельсом / A.J1. Голубенко. Луганск:

27. Издательство ВУГУ, 1999. 476 с.

28. Царёв, И.В. Исследование влияния геометрии профиля бандажа и характеристик упруго-диссипативных связей на горизонтальную динамику тепловоза: дис. канд. техн. наук / И.В. Царёв. — Ворошиловград: 1982. — 233с.

29. Шевченко, К.В. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния железнодорожных колес для оценки их работоспособности: дис. канд. техн. наук / К.В. Шевченко. Брянск: БГТУ, 2001.-145с.

30. Постнов, В.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / В.А. Постнов, С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, A.A. Родионов. -Д.: Судостроение, 1979. —288 с.

31. Гутер, P.C. Элементы численного анализа и математической обработки результатов опыта / P.C. Гутер, Б.В. Овчинский. М.: Наука, 1970. - 432 с.

32. Подлеснов, Ю.П. Применение МКЭ к решению плоских прикладных контактных задач: дис. канд. техн. наук / Ю.П. Подлеснов. — Коломна: 1980.-141с.

33. Sakalo, V.l. A direct finite element method for solving the rolling contact problems / V.l. Sakalo, A.A. Olshevsky, K.V. Shevchenko, L.V. Vinnik // Proc.of the 5th Int. conf. on Railway Bogies and Running Gears. Budapest. 2001. -P. 139-148.

34. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 592 с.

35. Филин, А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела: Сопротивление материалов с элементами теории сплошных сред и строительной механики / А.П. Филин. -М.: Наука, 1975. Т.1. - 832 с.

36. Малинин, H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести / H.H. Малинин. -М.: Машиностроение, 1968. 400 с.

37. Баженова, И.Ю. Visual С++ 5.0 / И.Ю. Баженова. М.: Диалог-МИФИ, 1998.-272 с.

38. Белицкий, Я. Энциклопедия языка СИ: Пер. с пол. / Я. Белицкий. М.: Мир, 1992.-686 с.

39. Грегори, К. Использование Visual С++ 6. Специальное издание: Пер. с англ. / К. Грегори. М.: ВИЛЬЯМС, 1999. - 849 с.

40. Мешков, A.B. Visual С++ и MFC. Программирование для Windows NT и Windows 95: В 3 т. / A.B. Мешков, Ю.В. Тихомиров. СПб.: BHV-Санкт-Петербург, 1997.-Т. 1-3.

41. Пол, И. Объектно-ориентированное программирование с использованием С++: Пер. с англ. / И. Пол. Киев: НИПФ "ДиаСофт Лтд.", 1995. - 480 с.

42. Роджерс, Д. Алгоритмические основы машинной графики / Д. Роджерс. -М.: Мир, 1989.-512 с.

43. Скляров, В.А. Язык С++ и объектно-ориентированное программирование /

44. В.А. Скляров. Мн.: Выш. шк., 1997. - 478 с.j

45. Топп, У. Структуры данных в С++: Пер. с англ. / У. Топп, У. Форд. М.: БИНОМ, 1999.-815 с.

46. Фролов, А. В. Microsoft Visual С++ и MFC. Программирование для Windows 95 и Windows NT. Библиотека системного программиста; Т.28 / A.B. Фролов, Г.В. Фролов. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.-272 с.

47. Фролов, А. В. Microsoft Visual С++ и MFC. Программирование для Windows 95 и Windows NT. Библиотека системного программиста; Т.24 / A.B. Фролов, Г.В. Фролов. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 288 с.

48. Холзнер, С. VISUAL С++ 6: Учеб. курс / С. Холзнер. СПб: ПИТЕР: СПБ. и др., 1999.-569 с.

49. Шилдт, Г. MFC: основы программирования: Пер. с англ. / Г. Шилдт. -Киев: Издательская группа BHV, 1997. 560 с.

50. Шикин, Е.В. Начала компьютерной графики / Е.В. Шикин, A.B. Боресков, A.A. Зайцев. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.

51. Шикин, Е.В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения / Е.В. Шикин, A.B. Боресков. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. -288 с.

52. Гайдуков, С.А. OpenGL. Профессиональное программирование трёхмерной графики на С++ / С.А. Гайдуков. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 736 с.

53. Гаврилов, В.М. Об определении положения геометрической точки контакта колеса и рельса / В.М. Гаврилов // Вестн. ВНИИЖТ. 1993. - №7. - С. 45-48.

54. Трофимов, А.Н. О забеге гребня стандартных колёс / А.Н. Трофимов // Вестн. ВНИИЖТ. 1993. - №7. - С. 36-39.

55. Ивченко, В.Н. Обоснование рациональных параметров и разработка конструкции несущих элементов конвейера с подвесной лентой: дис. канд. техн. наук / В.Н. Ивченко. Брянск: 2009. - 178 с.

56. Новиков, С.П. Анализ напряженно-деформированного состояния в роликовой опоре ленточного конвейера / С.П. Новиков, В.Н. Ивченко и др. // Динамика и прочность транспортных машин: сб. науч. тр. — Брянск: БГТУ, 2000. С.79-86.