автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и компьютерный анализ жидких металлических систем

003483868

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи

Крылов Андрей Серджевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ЖИДКИХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

19 [-:оя

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2009

003483868

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

чл.-корр. РАН, Тыртышников Евгений Евгеньевич

доктор физико-математических наук, Кочиков Игорь Викторович

доктор физико-математических наук, Кулешов Андрей Александрович

Ведущая организация: Институт металлургии и материаловедения

им. А. А. Байкова РАН

Защита состоится 9 декабря 2009 г. в 1530 на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова но адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор

Захаров Евгений Владимирович

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Жидкие и аморфные металлы и их сплавы давно привлекали внимание исследователей. Однако в последние годы интерес к структуре и физико-химическим свойствам некристаллических систем значительно вырос. Это явилось следствием их широкого применения в новых отраслях науки и техники. Жидкие металлы широко используются в качестве теплоносителей в атомных реакторах и рабочих тел в МГД-преобразователях. Исключительные перспективы практического применения имеют жидкие полупроводники. Их возможности определяются большим температурным диапазоном устойчивости и отличным сочетанием термоэлектрических характеристик, что делает их практически незаменимыми при решении проблемы прямого преобразования тепловой энергии в электрическую с использованием таких источников как атомная и солнечная энергия. Закалкой расплавов получают металлические стекла (аморфные системы) - новый класс перспективных материалов, строение которых близко к строению исходных расплавов, а служебные характеристики (прочность, коррозионная стойкость, магнитные и другие свойства) часто превосходят соответствующие характеристики этих материалов в кристаллическом состоянии.

Разработка новых технологий и материалов требует информации о качественных и количественных характеристиках расплавов в широких температурных и концентрационных интервалах. При этом, весь необходимый объем информации о структуре, термодинамике, поверхностном натяжении, зависимости изменения концентраций различных компонент и других параметрах систем не может быть получен экспериментально. В связи с этим, необходимо развитие методов математического моделирования и компьютерного анализа жидких металлических систем, позволяющих обрабатывать, интерпретировать и объединять разнородные экспериментальные данные, а также осуществлять компьютерное прогнозирование свойств систем для областей параметров, в которых эксперименты являются крайне

ресурсоемкими или неосуществимыми. Важно также отметить, что задачи возникающие при математическом моделировании и компьютерном анализе жидких металлических систем являются некорректными. Для их решения необходимо разрабатывать регуляризирующие методы.

Таким образом, развитие методов математического моделирования и компьютерного анализа для исследовании структуры внутренних и поверхностных областей жидких металлических систем, при изучении термодинамики, поверхностного натяжения расплавов и процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах представляет собой важную и актуальную задачу.

Цель работы. Целью работы является создание математических моделей и численных методов для исследования и компьютерного анализа структуры и физико-химических свойств жидких металлических систем, их программная реализация и применение разработанного программного обеспечения для исследования металлических расплавов.

Методы исследования. В качестве основного аппарата решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы аналитические и численные методы теории некорректных задач, теории ортогональных многочленов, обыкновенных дифференциальных уравнений и вычислительные эксперименты с помощью программных средств.

Научная новизна, основные результаты. В диссертации впервые получены следующие основные результаты:

1. Предложен и обоснован проекционный метод нахождения функций радиального распределения некристаллических систем по дифракционным данным. На его основе разработан метод компьютерного анализа расплавов и нахождения структурных переходов в жидкой фазе.

2. Создан проекционный метод определения функции цилиндрического распределения атомов поверхностных слоев жидких металлических систем.

3. Созданы бинарные и многокомпонентные математические модели квазиидеальных ассоциированных растворов для описания термодинамики жидких металлических систем с сильным межчастичным взаимодействием.

4. Разработан метод определения поверхностного натяжения расплавов методом лежащей капли, основанный на алгоритмах выделения контуров с помощью метода регуляризации Тихонова и на численном решении уравнения Юнга-Лапласа.

5. Созданы методы обработки результатов фракционного газового ана,-лиза жидких металлических систем, базирующиеся на предложенных математических моделях, учитывающих процесс выделения окиси углерода при восстановлении оксидного включения в образце.

6. Разработано программное обеспечение для проведения комплексных исследований структуры и физико-химических свойств металлических расплавов. Программный комплекс применен для анализа широкого круга металлических расплавов и использован для разработки металлургических технологий.

Достоверность результатов диссертации. Достоверность теоретических результатов обеспечивается использованием апробированного математического аппарата, проведением аналитического и компьютерного тестирования. Практические результаты, полученные в работе, подтверждены проведенным анализом результатов расчетов для модельных систем и для систем с известными физико-химическими и структурными свойствами. Для проверки достоверности практических результатов также использовано сравнение результатов математического моделирования и компьютерного ана-

лиза экспериментальных данных с данными, получаемыми в других видах экспериментов.

Практическое значение полученных результатов. Работа НОСИТ фундаментально-прикладной характер. Ее результаты могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по математическому моделированию жидких и аморфных металлических систем, так и для решения практических задач разработки и совершенствования металлургических процессов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международной конференции «Fourier Analysis and Applications» (Kuwait, 1998 г.); Международных конференциях «Liquid and Amorphous Metals» ( Wien, Austria, 1992 г., Metz, Prance 2004 г., Екатеринбург, 2007 г.); Международной конференции «Тихонов и современная математика » (Москва, 2006 г.); Российских конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995 г., 1996 г., 1998-2001 гг.); Международной конференции «Special Functions 2000» (USA, Arizona State University, 2000 г.); Российских и Всесоюзных конференциях «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов» (Свердловск, 1986 г., Челябинск, 1990 г., Екатеринбург, 1994 г., Екатеринбург, 2001 г.); Международных конференциях «Графиков» (Москва, 2000 г., 2002-2008 гг.); Международной конференции по обработке изображений «ICIP2008» (San-Diego, 2008 г.); Международной конференции по анализу и распознаванию изображений «ICIAR2006» (Porto, 2006 г.); Международном семинаре «Электрофизические свойства веществ (жидкие металлы и сплавы)» (Нальчик, 2001 г.); Всесоюзной конференции «Химия и технология редких, цветных металлов и солей» (Фрунзе, 1986 г.); IV Всесоюзной конференции по тепло- и массообменным процессам в ваннах сталеплавильных агрегатов (Жданов, 1986 г.); III Всесоюзном совещании по химии и технологии халькогенов и халькогенидов (Караганда, 1986 г.); Всесоюзных совеща-

ниях «Металлургия марганца» (Тбилиси, 1986 г., Москва, 1991 г.); Шестой Всесоюзной научной конференции по современным проблемам электрометаллургии стали (Челябинск, 1987 г.); Всесоюзной конференции «Проблемы исследования структуры аморфных металлических сплавов» (Москва, 1988 г.); XII Всесоюзной конференции по химической термодинамике и калориметрии (Горький, 1988 г.); VI Всесоюзной школе-семинаре «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989 г.); I Советско-чехословацком симпозиуме по теории металлургических процессов (Москва, 1989 г.); Втором всесоюзном совещании «Применение ЭВМ в научных исследованиях и разработках» (Москва, 1989 г.); Втором Всесоюзном совещании «Базы физико-химических и технологических данных для оптимизации металлургических технологий» (Курган, 1990 г.); Шестом международном конгрессе «Iron and Steel» (Nagoya, Japan 1990 г.); Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации» (Москва, 1991 г.); Десятой Всесоюзной конференции «Физико-химические основы металлургических процессов» (Москва, 1991 г.); Всесоюзном совещании «Моделирование физико-химических систем и технологических процессов в металлургии» (Новокузнецк, 1991 г.); Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 1991 г.); 6-й Международной конференции «Structure of Non-Crystalline Materials» (Praha, Czech Republic, 1994 г.); Пятой Международной конференции «Progress in Analytical Chemistry in the Steel and Metals Industry» (EC, Luxembourg, 1995 г.); Ежегодном Весеннем Собрании Британской Кристаллографической Ассоциации (Leeds, UK 1997 г.); Национальной конференции по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов ( Дубна, 1997 г.); Международном Конгрессе по аналитической химии (Москва, 1997 г.); 50th Chemists Conference, British Steel (UK, 1999 г.); Научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 50 печатных работах. Из них 21 статья опубликована в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Список литературы включает 208 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, ставятся цели диссертационного исследования, а также кратко излагается содержание диссертации по главам.

Целью первых двух глав диссертационной работы является построение и исследование проекционных методов для определения структурных характеристик внутренних (глава 1) и поверхностных (глава 2) слоев жидких металлических систем по экспериментально полученному структурному фактору, программная реализация проекционных методов и применение разработанного программного обеспечения для расчета функций радиального и цилиндрического распределения атомов ряда некристаллических систем.

Первый параграф главы 1 диссертации посвящен постановке задачи нахождения функции радиального распределения по данным дифракционных экспериментов и обзору методов ее решения. Функция радиального распределения описывает плотность числа частиц, локальную по отношению к некоторому, выбранному в качестве начала координат, атому. Она не измеряется экспериментально, однако может быть найдена из структурного фактора, получаемого в результате дифракционного эксперимента. Связь между функцией радиального распределения и структурным фактором задается уравнением Цернике-Принса. С формальной точки зрения, решение

этого уравнения сводится к задаче обращения синус-преобразования Фурье на полупрямой.

Однако на практике экспериментальный структурный фактор может быть получен только на конечном отрезке и притом с погрешностью. Это приводит к некорректности задачи нахождения функции радиального распределения. Продолжение экспериментального структурного фактора, измеренного на конечном отрезке, на всю полупрямую не позволяет правильно интерпретировать структуру исследуемых систем.

В данном параграфе разрабатывается проекционный регуляризирую-щий метод задачи нахождения функции радиального распределения. Решение задачи ищется в виде линейной комбинации нечетных функций Эрми-та (собственных функций синус-преобразования Фурье), локализованных на отрезке, на котором задана экспериментальная информация. Доказаны свойства функций Эрмита, применяемые далее для обоснования предложенных проекционных методов.

Во втором параграфе главы 1 проводится теоретический анализ применяемых в работе проекционных алгоритмов решения задач, возникающих при анализе структуры жидких металлических систем. Эти алгоритмы базируются на использовании собственных функций синус-преобразования Фурье и преобразования Ганкеля. Доказана сходимость приближенных решений соответствующих интегральных уравнений при стремлении длины отрезка задания структурного фактора к бесконечности и нормы ошибки данных - к нулю.

В третьем параграфе на основе общих результатов второго параграфа разработан метод нахождения функции радиального распределения атомов. Приведены результаты вычислительных экспериментов, показывающие эффективность предложенного метода.

В четвертом параграфе главы 1 предложен и обоснован проекционный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, возникающего при решении уравнения дифракции некристаллических систем. Соответствующий оператор А рассматривается действующим из ¿2 [0, а] в

¿2[0, а], а < оо. Применение в этой задаче проекционного метода, основанного на разложении решения по собственным функциям оператора А*А, приводит к вычислительным проблемам, связанным с наличием большого числа близких по величине собственных значений. В связи с этим, возникает вычислительная проблема выбора собственных функций. Теоретически обосновано, что эта проблема может быть решена на основе использования в разложении решения функций Эрмита. В ряде вычислительных экспериментов показано, что применение функций Эрмита позволяет значительно сократить количество функций, используемых для достижения заданной точности и получить более гладкое решение.

Пятый параграф главы 1 содержит описания алгоритмов, использованных при реализации проекционных методов, и созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем. В нем приведены результаты расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем.

В шестом параграфе главы 1 для задачи расчета характеристик внутренних областей расплава предлагается и исследуется метод анализа структурных зависимостей, использующий дополнительную информацию об области локализации функции радиального распределения атомов системы. Приведены примеры эффективного применения метода для анализа температурной зависимости структуры металлов. С помощью данного метода подтверждено наличие фазового перехода второго рода в жидком цезии при температуре 590 К. Показана перспективность использования метода при обработке данных экспериментов, основанных на обработке протяженной тонкой структуры (Extended X-ray Absorption Fine Structure, сокращенно EXAFS), наблюдаемой в рентгеновских спектрах поглощения. Показана возможность получения оценки снизу нормы структурного фактора. Описан программный пакет, реализующий предложенный метод.

Вторая глава посвящена математическому моделированию и компьютерному анализу поверхностных слоев металлических систем, принципиально важных для исследования структуры расплавов. Практический ин-

терес к изучению поверхностных слоев продиктован тем, что многие металлы получают в расплавленном состоянии. Состав и строение исходных фаз оказывают влияние на свойства и служебные характеристики затвердевшего материала. При этом, наиболее важными для целого ряда технологий являются характеристики поверхности металла.

В первом параграфе главы 2 приводится постановка задачи компьютерного анализа поверхностных слоев металлических систем. Описан электро-нографический метод структурного анализа, позволяющий выделить составляющую дифракционной картины, относящуюся к поверхностным слоям вещества. Приведено обоснование математической модели, используемой при описании структуры расплавов. Показано, что вблизи поверхности можно ввести функцию цилиндрического распределения атомов и получить аналог уравнения Цернике-Принса в цилиндрической системе координат.

При интерпретации результатов дифракционных экспериментов для исследования поверхностных слоев металлических систем возникает задача расчета функции цилиндрического распределения атомов, которая осложняется тем, что исходные данные известны не на всем отрезке. Существующие методы не учитывают в полной мере специфику задачи, что также приводит к необходимости создания специализированного метода. В качестве такого специального метода предложен проекционный метод, основанный на разложении решения в ряд по функциям Лагерра - собственным функциям преобразования Ганкеля нулевого порядка. Обоснование предложенного проекционного метода численного решения задачи расчета функции цилиндрического распределения атомов на основе общих результатов параграфа 2 главы 1 приведено в параграфе 2 главы 2.

В третьем параграфе главы 2 описана общая схема проекционного алгоритма расчета функции цилиндрического распределения атомов и показана применимость проекционного метода анализа структурных зависимостей, использующего оценку длины интервала локализации функции цилиндрического распределения атомов системы.

Использование проекционного метода в практических задачах исследо-

вания жидких металлических систем и при разработке металлургических процессов требует многократных расчетов функций распределения. Это, в свою очередь, требует разработки быстрого варианта проекционного метода. В параграфе 4 главы 2 предложен и обоснован метод быстрого вычисления интегралов, определяющих коэффициенты разложения проекционного метода, использующего собственные функции преобразования Ганкеля нулевого порядка, на основе квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Исследованы вычислительные проблемы, возникающие при использовании квадратуры Гаусса-Лагерра, и предложен эффективный метод их решения. Проведены оценка ускорения вычисления коэффициентов проекционного метода и расчет реального ускорения для ряда тестовых задач. Предложен и исследован быстрый проекционный метод на основе квадратуры Гаусса-Эрмита для алгоритма, использующего собственные функции синус-преобразования Фурье.

В пятом параграфе главы 2 приведены примеры расчета функции цилиндрического распределения поверхностных слоев медно-германиевых расплавов на основе проекционного метода. Проведено сравнение полученных характеристик структуры поверхностных областей расплавов с характеристиками внутренних областей, рассчитанных по независимо найденным функциям радиального распределения.

Шестой параграф главы 2 содержит описание численной реализации предлагаемого проекционного метода нахождения функции цилиндрического распределения атомов и созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем.

Целью третьей и четвертой глав диссертационной работы является разработка математических моделей и методов компьютерного анализа термодинамики и поверхностного натяжения металлических расплавов, а также процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах при фракционном газовом анализе.

В третьей главе рассматриваются задачи моделирования термодинамических свойств жидких металлических систем.

В первом параграфе главы 3 разработана математическая модель квазиидеальных ассоциированных растворов для описания термодинамики жидких металлических систем с сильным межчастичным взаимодействием. Показана единственность решения задачи нахождения мольной доли ассоци-ата в растворе. Описан численный метод решения обратной задачи по нахождению параметров модели.

Во втором параграфе главы 3 рассмотрена задача нахождения термодинамических характеристик многокомпонентных растворов по данным о бинарных системах. Разработан метод ее решения, основанный на использовании модели квазиидеальных ассоциированных растворов. Описано применение метода для анализа термодинамики жидкой полупроводниковой системы ¡п-БЬ-Бл.

В третьем параграфе главы 3 даны примеры применения разработанных бинарной и многокомпонентной моделей ассоциированных растворов для компьютерного анализа термодинамических свойств расплавов систем А1-№-Сг, Ре-С и систем на основе марганца. Рассмотрено применение модели квазиидеальных ассоциированных растворов для моделирования квазиравновесных процессов в расплавах. Поставлена и исследована обратная задача для модели процесса испарения бинарного расплава. Приведены примеры ее решения для нахождения относительных потерь испарения расплавов. Разработан метод компьютерного анализа процесса рафинирования расплавов железа от меди.

В четвертом параграфе главы 3 описан созданный пакет программ для расчета термодинамики расплавов.

В пятом параграфе главы 3 на основе анализа реакции взаимодействия оксида с углеродом тигля разработана модель для расчета температуры начала восстановления оксидных включений. Проведен анализ процесса восстановления для ряда оксидов, важных с практической точки зрения.

В шестом параграфе главы 3 описаны интерфейс и структура программ-

ного модуля, разработанного для расчета температур восстановления оксидных включений. Его использование позволяет эффективно анализировать результаты обработки данных фракционного газового анализа, описанного в главе 4.

Глава 4 посвящена компьютерному анализу поверхностного натяжения металлических расплавов и процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах.

Первая часть главы 4 посвящена задаче определения поверхностного натяжения методом "лежащей капли". Поверхностное натяжение является одной из наиболее важных характеристик металлических расплавов, используемой при разработке современных металлургических технологий. Как правило, необходимы экспрессные методы его определения, позволяющие в режиме реального времени влиять на качество выпускаемой продукции. При этом, основным используемым методом является метод "лежащей капли". В данном методе капля помещается на горизонтальную подложку или в специальную чашку с острыми краями, образующую строгую окружность и затем изучается ее меридиональное сечение. Метод "лежащей кап-ли"позволяет определять капиллярную постоянную и плотность расплава. В настоящее время в металлургии особое внимание уделяется использованию современных компьютеров для обработки данных таких экспериментов.

В первом параграфе главы 4 рассмотрена общая задача выделения контуров на изображении. Решение этой задачи необходимо для выделения границ капли металла на фотографии. Проведен анализ существующих алгоритмов выделения границ и методов подавления шума для повышения качества нахождения границ.

Во втором параграфе главы 4 разработаны методы сглаживания одномерных сигналов и подавления шума на фотографиях, ориентированные на выделение контуров объектов. В одномерном случае рассматриваются задачи восстановления неизвестной исходной функции й € ■1,1]) (п = 1,2) по ее приближению щ е 1,1]. В качестве решения этой зада-

чи используется функция иа(¿) £ И^—1,1], минимизирующая функционал Тихонова:

Получены аналитические представления для функций, реализующих минимум функционала Тихонова при п = 1 и п — 2. Эти представления позволяют в явном виде записать производные от сглаженных функций, используемые в дальнейшем для нахождения контуров объектов.

Проведен анализ применения данных регуляризирующих методов для выделения контуров объектов на изображении. Показано, что для задачи выделения контуров метод регуляризации Тихонова с п = 2 дает лучшие результаты, чем метод при п = 1.

В третьем параграфе главы 4 разработан численный метод решения обратной задачи, состоящей в определении поверхностного натяжения. Метод основан на разработанных алгоритмах выделения контуров изображений и численном решении нелинейного дифференциального уравнения Юнга-Лапласа. Также предложен и реализован численный метод нахождения поверхностного натяжения на основе приближенной формулы Дорсея.

В четвертом параграфе главы 4 дано описание созданного программного комплекса для компьютерной обработки данных метода "лежащей капли". Приведены результаты тестирования программ и результаты компьютерного анализа металлических систем. На примере системы А1-Ш проведен расчет адсорбции системы с использованием разработанного пакета и программ главы 3.

Вторая часть главы 4 посвящена созданию методов обработки результатов фракционного газового анализа жидких металлических систем, основанных на предложенных математических моделях, описывающих процесс выделения окиси углерода при восстановлении оксидного включения в образце.

В пятом параграфе главы 4 рассмотрена постановка задачи неизотермического восстановления в жидких металлических системах, разработана математическая модель процессов, протекающих в аппарате. Разработан

численный метод определения функции изменения концентрации СО до прохождения газодинамической системы аппарата по измеренному сигналу-

В шестом параграфе главы 4 предложены и исследованы математические модели выделения СО при восстановлении оксидного включения в образце (выделение кислорода из объема образца; выделение кислорода с поверхности образца с учетом и без учета термодинамики расплава), Проведено качественное сравнение моделей при описании экспериментальных данных.

В седьмом параграфе главы 4 приведены алгоритмы обработки и анализа экспериментальных кривых фракционного газового анализа. Описан разработанный пакет программ, позволяющий производить определение типов оксидных включений и их количественного содержания в образце. Даны примеры практического применения программного комплекса.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту.

Список литературы

[1] Крылов А. С., Кацнелъсон А. М., Кашин В. И. Модель квазиидеальных ассоциированных растворов // Взаимодействие металлических расплавов с газами и шлаками. — М.: Наука, 1986. — С. 57-63.

[2] Физико-химические закономерности взаимодействия меди и серы в расплавах железа при обработке сульфидным шлаком / А. М. Кацнельсон, Л. М. Сойфер, А. С. Крылов, В. И. Кашин // Сталъ. - 1986. - № 3. -С. 29-32.

[3] Термодинамические свойства расплавов системы Ыа23 - Си2Э - РеЭ / А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов, Л. М. Сойфер, В. И. Кашин // Расплавы. - 1987. - № 1. - С. 48-54.

[4] Крылов А. С. О численном нахождении функции радиального распределения жидкого ва по структурному фактору // Некоторые вопросы

вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения ЭВМ, — М.: Изд-во МГУ, 1987.

[5] Термодинамика расплавов сульфидов меди, железа и натрия / А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов, JI. М. Сойфер, В. И. Кашин // Цветные металлы. — 1988. — № 5. — С. 28-30.

[6] Термодинамика расплавов и область аморфизации системы марганец-фосфор / В. Дашевский, К. В. Григорович, А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов // Расплавы.- 1988,- № 4,- С. 3-7.

[7] О связи строения известково-железистых расплавов и кинетики их восстановления / Л. М. Сойфер, И. Ф. Лопушинский, Н. М. Воронин, А. С. Крылов // Расплавы. — 1989. — № 1,- С. 10-15.

[8] Крылов А. С., Щедрин Б. М. Численный метод нахождения функции радиального распределения // Кристаллография. — 1989. — Т. 34, №5.-С. 1088-1092.

[9] Кацнельсон А. М., Крылов А. С., Кашин В. И. Модель для прогнозирования термодинамических свойств растворов по данным о бинарных системах // ДАН СССР. - 1989. - Т. 308, № 5. - С. 1173-1076.

[10] Kashin V. I., Katsnelson А. М., Krylov А. S. А Model of Quasiideal Associated Solutions to Describe Thermodynamics of Binary Melts // International Journal of Materials Research (Zeitschrift für Metallkunde).- 1990.- № 7.- C. 516-520.

[11] Denisov А. M., Krylov A. S. Numerical Solution of integral equations of the first kind // Computational Mathematics and Modeling.— 1990. — Vol. 1, no. 2. - Pp. 137-142.

[12] Применение методов термодинамического анализа и математического моделирования для разработки процесса рафинирования расплавов железа от меди / В. И. Кашин, А. М. Кацнельсон, А. М. Денисов,

А. С. Крылов // Фундаментальные науки - народному хозяйству,— М.: Наука, 1990,- С. 208-211.

[13] Термодинамические свойства расплавов марганец-фосфор и марганец-кремний / В. Дашевский, А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов и др. // Теория и практика металлургии марганца. — М.: Наука, 1990. — С. 918.

[14] Совершенствование методики расчета плотности и поверхностного натяжения металлических расплавов по данным, полученным методом лежащей капли / А. В. Введенский, А. С. Крылов, А. М. Кацнельсон, В. И. Кашин // Современные проблемы порошковой металлургии, керамики и композиционных материалов. — Киев: Инст. пробл. материаловедения АН УССР, 1990. - С. 19-22.

[15] О вычислении термодинамических характеристик четырехкомпонент-ных расплавов по данным о бинарных системах / А. С. Крылов, В. Ми-рюк, А. М. Кацнельсон, В. И. Кашин // Тезисы докладов второго Всесоюзного совещания Базы физико-химических и технологических данных для оптимизации металлургических технологий. — Курган: Полиграфист, 1990. - С. 179.

[16] Глазов М. В., Палий Н. А., Крылов А. С. Использование различных модификаций метода регуляризации при обработке данных дифракционного эксперимента // Физика металлов и металловедение. —1991. — №2.-С. 134-140.

[17] Крылов А. С. Численный метод определения функций радиального и цилиндрического распределения жидких и аморфных металлов // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тезисы докладов Международной конференции . — М.: Изд-во ИПМ АН СССР, 1991.-С. 178.

[18] Denisov A. M., Dolotov A. Y., Krylov A. S. Inverse problem for the model of evaporation of a binary alloy // Computational Mathematics and Modeling. - 1992. - Vol. 3, no. 2. - Pp. 128-131.

[19] Krylov A. S. On a new approach to calculation of liquid and amorphous metals structure // Abstracts of the 8 International Conference on Liquid and Amorphous Metals. — 1992.— P. 94.

[20] Крылов А. С., Спиридонов M. А. Компактное представление структурных зависимостей поверхностного слоя жидкой меди // Расплавы,— 1993,-№4.-С. 81-84.

[21] Software package for determination of surface tension of liquid metals / A. S. Krylov, A. V. Vvedensky, A. M. Katsnelson, A. E. Tugovikov // J. Non-Cryst. Solids. - 1993. - Vol. 156-158. - Pp. 845-848.

[22] Krylov A. S., Katsnelson A. M. The Application of the Model of Quasiideal Associated Solutions to the Calculation of the Thermodynamics of Ternary Melts // International Journal of Materials Research ( Zeitschrift fur Metallkunde ). - 1993. - Vol. 84, no. 3. - Pp. 641-644.

[23] Krylov A. S., Vvedenskii A. V. Software Package for Radial Distribution Function Calculation // Journal of Non-Crystalline Solids. — 1995. —Vol. 192-193.-Pp. 683-687.

[24] Крылов А. С. Об одном проекционном методе обращения интегральных преобразований // Тезисы докладов конференции Обратные и некорректно поставленные задачи. — МГУ: 1995. — С. 29.

[25] New Approach to the Fractional Gas Analysis Application in Metallurgy and Material Control Using Oxide Separation Software Developed / К. V. Grigorovitch, A. M. Katsnelson, A. S. Krylov, A. V. Vvedenskii // Proceedings of the Fifth International Conference on Progress in Analytical Chemistry in the Steel and Metals Industry. — 1995.— Pp. 527-532.

[26] Krylov A. S. Projectional method for inverse Fourier type transforms: application for diffraction data treatment // Тезисы докладов международной конференции Обратные и некорректно поставленные задачи. — М.: Диалог-МГУ, 1996.-С. 111.

[27] Крылов А. С., Ишмаее С. Н. Метод расчета парциальных корреляционных функций по данным комбинации дифракционных экспериментов // Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов. — Дубна: 1997. — С. 95.

[28] Grigorovitch К. V., Krylov A. S. Thermodynamics of liquid Al-Ni alloys // Thermochimica Acta. - 1998. - Vol. 314. — Pp. 255-263.

[29] Григорович К. В., Красовский П. В., Крылов А. С. Экспериментальное исследование и математическое моделирование термодинамических свойств расплавов систем Ni-Cr и Ni-Cr-О // Институту металлургии и материаловедения им. А.А.Байкова 60 лет. — М.: Элиз, 1998. — С. 147159.

[30] Крылов А. С., Лякишев А. В. Неравенство для норм функций Эрми-та на конечном интервале // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15, еычисл. матем. и киберн. — 1999. — № 1. — С. 17-19.

[31] Phase transition in liquid cesium near 590K / L. A. Blagonravov, S. N. Skovorod'ko, A. S. Krylov et al. // Journal of Non-Crystalline Solids. - 2000. - Vol. 277, no. 2/3. - Pp. 182-187.

[32] Krylov A. S., Liakishev A. V. Numerical Projection Method for Inverse Fourier Transform and Its Application // Numerical Functional Analysis and Optimization.- 2000. —Vol. 21, no. 1-2.- Pp. 205-216.

[33] Krylov A. S., Poliakoff J. F., Stockenhuber M. An Hermite expansion method for EXAFS data treatment and its application to Fe K-edge spectra // Phys. Chem. Chem. Phys. — 2000. — Vol. 2, no. 24. - Pp. 57435749.

[34] Krylov A. S., Liakishev A. V. A Modification of the Projection Method for Integral Equation of the First Kind // Computational Mathematics and Modeling. - 2001. - Vol. 12, no. 3. - Pp. 271-278.

[35] Krylov A. S., Kortchagine D. N. Projection filtering in image processing // Proceedings Int. Conference Graphicon 2000. — 2000. — Pp. 42-45.

[36] Обработка и интерпретация результатов фракционного газового анализа / К. В. Григорович, П. В. Красовский, С. А. Исаков, А. С. Крылов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов.— 2002. — Т. 68, №9.-С. 3-9.

[37] Григорович К. В., Крылов А. С. Экспериментальные исследования и согласованное описание термодинамических свойств металлических расплавов на основе никеля // Фундаментальные исследования физико-химии металлических расплавов.— М.: ИКЦ Академкнига, 2002. - С. 78-97.

[38] Computational Diagnosis of Temperature Dependence of the Structure of Liquid Metals / A. A. Gorokhov, A. S. Krylov, L. A. Blagonravov, S. N. Skovorod'ko //' Computational Mathematics and Modeling. — 2003. — Vol. 14, no. 4. - Pp. 360-368.

[39] Kortchagine D. N., Krylov A. S. Image database retrieval by fast Hermite projection method // Proceedings of Graphicon. — 2005,— Pp. 137-140.

[40] Fractional gas analysis method for non-metallic inclusion control / К. V. Grigorovitch, P. V. Krasovskii, S. S. Shibaev, A. S. Krylov // Journal Guangdong Non-Ferrous Metals. - 2005. - Vol. 15, no. 2. - Pp. 213-215.

[41] Krylov A. S., Korchagin D. N. Fast Hermite Projection Method 11 Lecture Notes in Computer Science. - 2006. - Vol. 4141. - Pp. 329-338.

[42] Krylov A. S., Mizotin M. M., Glazoff M. V. Numerical differentiation by Hermite projection method // International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics". — 2006. — P. 106.

[43] Крылов А. С., Нафжафи М. A Projection Method for Edge Detection in Images // Computational Mathematics and Modeling, — 2007. — no. 1. — Pp. 87-94.

[44] The short-range order in the surface layers of melts Cu-Au (Ge) by electron diffraction / M. A. Spiridonov, S. I. Popel, A. S. Krylov, M. M. Mizotin // Journal of Physics: Conference Series.— 2008,— Vol. 98.— Pp. 53-56 (012014).-part 1.

[45] Krylov A. S., Tsibanov V. N., Denisov A. M. Image Enhancement by Total Variantion Quasi Solution Method // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2008. - Vol. 18, no. 2. - Pp. 285-288.

[46] Цибанов В. H., Крылов А. С. Применение метода регуляризации Тихонова для выделения контуров изображений // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. — 2008,— № 2.— С. 11-16.

[47] Сглаживание данных атомно-эмиссионной спектроскопии / Г. С. Спры-гин, К. В. Григорович, М. М. Мизотин, А. С. Крылов // Заводская лаборатория. — 2008. — Т. 74, № 2. — С. 3-7.

[48] Влияние структурного фазового перехода на электросопротивление жидкого цезия / Л. А. Благонравов, А. С. Крылов, М. М. Мизотин и др. // Теплофизика высоких температур,— 2008.— Т. 46, № 2.— С. 225-229.

[49] Борисенко Г. В., Денисов А. М., Крылов А. С. Об одном диффузионном методе фильтрации и повышения резкости изображений // Программирование. - 2008. - Т. 34, № 5. - С. 32-36.

[50] Grigorovich К. V., Krylov A. S. Experimental investigation and joint description of the thermodynamic properties of Ni-Cr-Al melts // Journal of Physics: Conference Series. - 2008. - Vol. 98. - Pp. 45-48 (032011). -part 3.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 26.10.2009 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 580. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1 Методы определения структуры внутренних слоев жидких металлических систем на основе данных дифракции

1.1 Математические задачи, возникающие при анализе данных дифракции расплавов

1.1.1 Уравнение Цернике-Принса дифракции расплавов

1.1.2 Задача нахождения функции радиального распределения и методы ее решения.

1.1.3 Свойства собственных функций оператора дифракции некристаллических систем.

1.2 Проекционный метод решения задачи обращения интегральных преобразований, описывающих дифракцию металлических расплавов.

1.3 Проекционный метод нахождения функции радиального распределения атомов по экспериментальным данным

1.4 Проекционный метод решения уравнения дифракции некристаллических систем с вполне непрерывным оператором

1.4.1 Проекционный метод решения уравнения 1-го рода

1.4.2 Результаты вычислительных экспериментов.

1.5 Программный комплекс для исследования структуры некристаллических систем и его применения.

1.5.1 Вычислительные аспекты реализации проекционных алгоритмов.

1.5.2 Описание классов и программного комплекса

1.5.3 Результаты вычислений функции радиального распределения некристаллических систем.

1.6 Вычислительная диагностика температурных зависимостей структуры жидких металлов.

1.6.1 Проекционный метод анализа зависимостей структуры некристаллических систем.

1.6.2 Анализ температурных зависимостей структуры жидких металлов.

1.6.3 Реализация метода анализа температурных зависимостей

2 Нахождение функции цилиндрического распределения атомов поверхностных слоев жидких металлических систем

2.1 Постановка задачи.

2.2 Расчет функции цилиндрического распределения атомов на основе проекционного метода для преобразования Ганкеля

2.3 Использование дополнительной физической информации при нахождении функции цилиндрического распределения атомов.

2.4 Быстрый проекционный алгоритм структурных расчетов

2.5 Расчет функций цилиндрического распределения атомов жидких металлических систем.

2.6 Программный комплекс компьютерной диагностики структуры поверхностных свойств расплавов.

3 Математическое моделирование термодинамики жидких металлических систем с сильным межчастичным взаимодействием

3.1 Модель квазиидеальных ассоциированных растворов для бинарных систем.

3.2 Модель квазиидеальных ассоциированных растворов для многокомпонентных систем.

3.3 Описание свойств расплавов с сильным межчастичным взаимодействием на основе модели квазиидеальных ассоциированных растворов.

3.3.1 Расчет термодинамических свойств металлических расплавов системы Al — Ni — Сг.

3.3.2 Расчет термодинамических свойств расплавов системы Fe — С и расплавов на основе марганца

3.3.3 Применение модели квазиидеальных ассоциированных растворов для моделирования квазиравиовес-ных процессов в расплавах.

3.4 Пакет программ для расчета термодинамики расплавов

3.5 Термодинамические процессы фракционного газового анализа

3.6 Программный модуль для расчета температур восстановления оксидных включений.

3.6.1 Интерфейс программного модуля.

3.6.2 Внутренняя структура программного модуля

4 Компьютерный анализ физико-химических свойств металлических расплавов и процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах

4.1 Задача определения поверхностного натяжения методом лежащей капли.

4.1.1 Общая задача выделения контуров на изображении

4.1.2 Фильтрация и выделение контуров объектов на основе метода регуляризации Тихонова.

4.1.3 Численный метод решения уравнения Юнга-Лапласа

4.1.4 Программный комплекс для расчета поверхностного натяжения и его применения.

4.2 Моделирование и обработка данных фракционного газового анализа металлов.

4.2.1 Постановка задачи анализа кривых газовыделения

4.2.2 Модели выделения СО

4.2.3 Аппроксимация экспериментальных данных

4.2.4 Пакет программ для обработки результатов ФГА

Жидкие и аморфные металлы и их сплавы давно привлекали внимание исследователей. Однако в последние годы интерес к структуре и физико-химическим свойствам некристаллических систем значительно вырос. Это явилось следствием их широкого применения в ряде новых отраслей науки и техники.

Жидкие металлы широко используются в качестве теплоносителей в атомных реакторах и рабочих тел в МГД-преобразователях. Исключительные перспективы практического применения имеют жидкие полупроводники. Их возможности определяются большим температурным диапазоном устойчивости и отличным сочетанием термоэлектрических характеристик, что делает их практически незаменимыми при решении проблемы прямого преобразования тепловой энергии в электрическую с использованием таких источников, как атомная и солнечная энергия. Закалкой расплавов получают металлические стекла (аморфные системы) - новый класс перспективных материалов, строение которых близко к строению исходных расплавов, а служебные характеристики (прочность, коррозионная стойкость, магнитные и другие свойства) иногда многократно превосходят соответствующие характеристики этих материалов в кристаллическом состоянии.

Разработка новых технологий и материалов требует информации о качественных и количественных характеристиках расплавов в широких температурных и концентрационных интервалах. При этом, весь необходимый объем информации о структуре, термодинамике, поверхностном натяжении, зависимости изменения концентраций различных компонент и других параметрах систем не может быть получен экспериментально. В связи с этим, необходимо развитие методов математического моделирования и компьютерного анализа жидких металлических систем, позволяющих обрабатывать, интерпретировать и объединять разнородные экспериментальные данные, а также осуществлять компьютерное прогнозирование свойств систем для областей параметров, в которых эксперименты являются крайне ресурсоемкими или неосуществимыми. Важно также отметить, что задачи возникающие при математическом моделировании и компьютерном анализе жидких металлических систем, являются некорректными. Для их решения необходимо разрабатывать регуляризирующие методы.

Таким образом, развитие методов математического моделирования и компьютерного анализа для исследования структуры внутренних и поверхностных областей жидких металлических систем, при изучении термодинамики, поверхностного натяжения расплавов и процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах представляет собой важную и актуальную задачу.

Целью первых двух глав диссертационной работы является построение и исследование проекционных методов для определения структурных характеристик внутренних (глава 1) и поверхностных (глава 2) слоев жидких металлических систем но экспериментально полученному структурному фактору, программная реализация проекционных методов и применение разработанного программного обеспечения для расчета функций радиального и цилиндрического распределения атомов ряда некристаллических систем.

В Главе 1 диссертации рассмотрены задачи определения функции радиального распределения атомов внутренних слоев жидких металлических систем на основе данных дифракции.

Сведения о строении некристаллических систем получают либо косвенными методами по измерению различных структурно-чувствительных свойств (электропроводность, вязкость, плотность, поверхностное натяжение, магнитная восприимчивость и др.) [1,2], либо прямыми дифракционными методами (рентгенография, электронография, нейтронография) [3-5], позволяющими экспериментально определять структурные параметры (равновесные межатомные расстояния, число ближайших соседей и т.д.) и, тем самым, количественно характеризовать их структуру В последние годы значительно возрос интерес к исследованию строения некристаллических систем дифракционными методами. Это обусловлено успехами теории жидкого состояния, возможностью расчета по структурному фактору и функции радиального распределения атомов потенциала межионпого взаимодействия, термодинамических и транспортных свойств металла [6-10]. При этом наиболее плодотворными в раскрытии природы жидкого состояния оказались теории, основанные на изучении функции радиального распределения.

Функция радиального распределения описывает плотность числа частиц, локальную по отношению к некоторому, произвольно выбранному в качестве начала координат, атому. Она не измеряется экспериментально, однако может быть найдена из структурного фактора, получаемого в результате дифракционного эксперимента. Интегральное уравнение (Цернике-Принса), связывающее функцию радиального распределения вещества и его структурный фактор, имеет вид: оо (ф) - 1) = J Rvr Сд(г) - 1) sin(sr) dr, (1) о где s — угловое расстояние, a(s) — структурный фактор, д(г) = ^^ -функция радиального распределения, R(r) - количество частиц вещества на расстоянии г, Rq — средняя плотность частиц в веществе.

На практике экспериментальный структурный фактор может быть получен только на конечном отрезке и притом с погрешностью. Это приводит к некорректности задачи нахождения функции радиального распределения. Как следствие, результаты обработки экспериментальных данных во многих работах (например, [11,12]) оказываются довольно противоречивыми и до сих пор не позволяют провести анализ функции радиального распределения целого ряда систем достаточно надежно.

Появление вычислительной техники способствовало распространению методов определения функции радиального распределения, основанных на применении формулы обращения интегрального преобразования Фурье. Однако ограниченность интервала, на котором доступны экспериментальные данные о структурном факторе, обуславливает появление на функции радиального распределения эффектов обрыва. Как показано в работах [13-17], обрыв кривой интенсивности приводит к появлению ложных максимумов и размыванию реальных пиков функции радиального распределения, что не позволяет однозначно интерпретировать структуру исследуемых систем.

Развитие математической теории решения некорректных задач позволило использовать для определения функции радиального распределения более общие методы. Наибольшее распространение среди них получил метод регуляризации Тихонова [18,19]. При этом задача нахождения функции радиального распределения сводится к минимизации регуляри-зирующсго функционала. Для выбора параметра регуляризации обычно применяют принцип невязки [18,20,21], использующий информацию о погрешности экспериментальных данных. Как показано в [21], при различных уровнях погрешности получаемые решения могут различаться между собой достаточно сильно. Повышение точности может быть достигнуто за счет учета априорной информации о функции радиального распределения и последующего применения итерационного процесса, что требует значительных вычислительных затрат.

В последнее время особое внимание исследователей привлекают проекционные методы, соединяющие в себе регуляризацию и сохраняющие важные характеристики исходной задачи. Они основаны на представлении решения в виде линейной комбинации некоторой системы фуикций. При этом различный выбор системы базисных функций, разные способы вычисления коэффициентов и определения количества слагаемых привели к появлению различных методов.

В работе [22] в качестве базисных функций предлагается использовать функции Лагерра. Однако, как показано в работах [23-27], использование функций Эрмита является более предпочтительным вследствие их инвариантности относительно преобразования Фурье. В качестве коэффициентов используют либо коэффициенты Фурье, либо коэффициенты, полученные в результате решения задачи о наилучшем равномерном приближении. Последняя задача в случае неортогонализованной системы является плохо обусловленной, и для ее решения необходимо применять специальные методы [24].

До настоящего времени основным критерием выбора количества слагаемых в проекционных методах является достижение экспериментальной точности, что приводит к появлению высокочастотных возмущений в приближенном решении. Для улучшения свойств решения в диссертационной работе предлагается использовать информацию о длине отрезка, на котором заданы экспериментальные данные [25,27-32].

В первом параграфе главы 1 разрабатывается проекционный регуля-ризирующий метод задачи нахождения функции радиального распределения. Решение задачи ищется в виде линейной комбинации нечетных фуикций Эрмита (собственных функций синус-преобразования Фурье), локализованных на отрезке, на котором задана экспериментальная информация. Доказаны свойства функций Эрмита, применяемые далее для обоснования предложенных проекционных методов.

Во втором параграфе главы 1 проводится теоретический анализ применяемых в работе проекционных алгоритмов решения задач, возникающих при анализе структуры жидких металлических систем. Эти алгоритмы базируются на использовании собственных функций синуспреобразования Фурье и преобразования Ганкеля. Доказана сходимость приближенных решений соответствующих интегральных уравнений при стремлении длины отрезка задания структурного фактора к бесконечности и нормы ошибки данных - к нулю.

В третьем параграфе на основе общих результатов второго параграфа разработан метод нахождения функции радиального распределения атомов. Приведены результаты вычислительных экспериментов, показывающие эффективность предложенного метода.

В четвертом параграфе главы 1 предложен и обоснован проекционный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, возникающего при решении уравнения дифракции некристаллических систем. Соответствующий оператор А рассматривается действующим из Z/2[0,a] в Z/2[0, a], a < оо. Применение в этой задаче проекционного метода, основанного на разложении решения по собственным функциям оператора А*А, приводит к вычислительным проблемам, связанным с наличием большого числа близких но величине собственных значений. В связи с этим, возникает вычислительная проблема выбора собственных функций. Теоретически обосновано, что эта проблема может быть решена на основе использования в разложении решения функций Эрмита. В ряде вычислительных экспериментов показано, что применение функций Эрмита позволяет значительно сократить количество функций, используемых для достижения заданной точности и получить более гладкое решение.

Пятый параграф главы 1 содержит, описания алгоритмов, использованных при реализации проекционных методов, и созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем. В нем приведены результаты расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем.

В шестом параграфе главы 1 для задачи расчета характеристик внутренних областей расплава предлагается и исследуется метод анализа структурных зависимостей, использующий дополнительную информацию об области локализации функции радиального распределения атомов системы. Приведены примеры эффективного применения метода для анализа температурной зависимости структуры металлов. С помощью данного метода подтверждено наличие фазового перехода второго рода в жидком цезии при температуре 590 К. Показана перспективность использования метода при обработке данных экспериментов, основанных на обработке протяженной тонкой структуры (Extended X-ray Absorption Fine Structure, сокращенно EXAFS), наблюдаемой в рентгеновских спектрах поглощения. Показана возможность получения оценки снизу нормы структурного фактора. Описан программный пакет, реализующий предложенный метод.

Вторая глава посвящена математическому моделированию и компьютерному анализу поверхностных слоев металлических систем принципиально важных для исследования структуры расплавов.

Практический интерес к изучению поверхностных слоев продиктован тем, что многие металлы получают в расплавленном состоянии. Состав и строение исходных фаз оказывают влияние на свойства и служебные характеристики затвердевшего материала. При этом, наиболее важными для целого ряда технологий являются характеристики поверхности металла.

Недавние успехи в электронографических методах структурного анализа позволили выделить составляющую дифракционной картины, относящуюся к поверхностным слоям вещества [33]. Однако при дифракции от поверхностного слоя обычное Фурье-преобразование неприменимо, поскольку уравнение Цернике-Прниса получено в предположении об удаленности центрального атома от межфазной границы. В работе [34] авторами было показано, что вблизи поверхности можно ввести функцию цилиидрическую распределения атомов и получить аналог уравнения Цернике-Принса в цилиндрической системе координат: гоо аш(з) - 1 = 2тг / \ff{r) - рш0] J0(sr)rdr. J о

Данное уравнение позволяет определить функцию распределения атомов поверхностного слоя, и, тем самым, выявить изменения структуры и свойств в пограничных слоях.

Существуют и другие методы анализа поверхностных свойств, такие как эллипсометрический метод [35], метод дифракции медленных электронов [8], малоугловая дифракция рентгеновских лучей [36], электронная Оже-спектроскопия [37], рентгеновский фотоэмиссионный спектральный анализ [38] и др. Однако только дифракционные методы позволяют раскрыть атомное упорядочение в поверхностных слоях.

В первом параграфе главы 2 приводится постановка задачи компьютерного анализа поверхностных слоев металлических систем. Описан электронографический метод структурного анализа, позволяющий выделить составляющую дифракционной картины, относящуюся к поверхностным слоям вещества. Приведено обоснование математической модели, используемой при описании структуры расплавов. Показано, что вблизи поверхности можно ввести функцию цилиндрического распределения атомов и получить аналог уравнения Цернике-Принса в цилиндрической системе координат.

При интерпретации результатов дифракционных экспериментов для исследования поверхностных слоев металлических систем возникает задача расчета функции цилиндрического распределения атомов, которая осложняется тем, что исходные данные известны не на всем отрезке. Существующие методы не учитывают в полной мере специфику задачи, что также приводит к необходимости создания специализированного метода. В качестве такого специального метода предложен проекционный метод, основанный на разложении решения в ряд по функциям Лагер-ра - собственным функциям преобразования Ганкеля нулевого порядка.

Обоснование предложенного проекционного метода численного решения задачи расчета функции цилиндрического распределения атомов па основе общих результатов параграфа 2 главы 1 приведено в параграфе 2 главы 2.

В третьем параграфе главы 2 описана общая схема проекционного алгоритма расчета функции цилиндрического распределения атомов и показана применимость проекционного метода анализа структурных зависимостей, использующего оценку длины интервала локализации функции цилиндрического распределения атомов системы.

Использование проекционного метода в практических задачах исследования жидких металлических систем и при разработке металлургических процессов требует многократных расчетов функций распределения. Это, в свою очередь, требует разработки быстрого варианта проекционного метода. В параграфе 4 главы 2 предложен и обоснован метод быстрого вычисления интегралов, определяющих коэффициенты разложения проекционного метода, использующего собственные функции преобразования Ганкеля нулевого порядка, на основе квадратуры наивысшей алгебраической степени точности. Исследованы вычислительные проблемы, возникающие при использовании квадратуры Гаусса-Лагерра, и предложен эффективный метод их решения. Проведены оценка ускорения вычисления коэффициентов проекционного метода и расчет реального ускорения для ряда тестовых задач. Предложен и исследован быстрый проекционный метод на основе квадратуры Гаусса-Эрмита для алгоритма, использующего собственные функции синус-преобразования Фурье.

В пятом параграфе главы 2 приведены примеры расчета функции цилиндрического распределения поверхностных слоев медно-германиевых расплавов на основе проекционного метода. Проведено сравнение полученных характеристик структуры поверхностных областей расплавов с характеристиками внутренних областей, рассчитанных по независимо найденным функциям радиального распределения.

Шестой параграф главы 2 содержит описание численной реализации предлагаемого проекционного метода нахождения функции цилиндрического распределения атомов и созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем.

Целью третьей и четвертой глав диссертационной работы является разработка математических моделей и методов компьютерного анализа термодинамики и поверхностного натяжения металлических расплавов, а также процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах при фракционном газовом анализе.

В третьей главе рассматриваются задачи моделирования термодинамических свойств жидких металлических систем.

В первом параграфе главы 3 разработана математическая модель квазиидеальных ассоциированных растворов для описания термодинамики жидких металлических систем с сильным межчастичным взаимодействием. Показана единственность решения задачи нахождения мольной доли ассоциата в растворе. Описан численный метод решения обратной задачи по нахождению параметров модели.

Во втором параграфе главы 3 рассмотрена задача нахождения термодинамических характеристик многокомпонентных растворов по данным о бинарных системах. Разработан метод ее решения, основанный на использовании модели квазиидеальных ассоциированных растворов. Описано применение метода для анализа термодинамики жидкой полупроводниковой системы In-Sb-Sn.

В третьем параграфе главы 3 даны примеры применения разработанных бинарной и многокомпонентной моделей ассоциированных растворов для компьютерного анализа термодинамических свойств расплавов систем Al-Ni-Cr, Fe-C и систем на основе марганца. Рассмотрено применение модели квазиидеальных ассоциированных растворов для моделирования квазиравновесных процессов в расплавах. Поставлена и исследована обратная задача для модели процесса испарения бинарного расплава. Приведены примеры ее решения для нахождения относительных потерь испарения расплавов. Разработан метод компьютерного анализа процесса рафинирования расплавов железа от меди.

В четвертом параграфе главы 3 описан созданный пакет программ для расчета термодинамики расплавов.

В пятом параграфе главы 3 на основе анализа реакции взаимодействия оксида с углеродом тигля разработана модель для расчета температуры начала восстановления оксидных включений. Проведен анализ процесса восстановления для ряда оксидов, важных с практической точки зрения.

В шестом параграфе главы 3 описаны интерфейс и структура программного модуля, разработанного для расчета температур восстановления оксидных включений. Его использование позволяет эффективно анализировать результаты обработки данных фракционного газового анализа, описанного в главе 4.

Глава 4 посвящена компьютерному анализу поверхностного натяжения металлических расплавов и процессов неизотермического восстановления в жидких металлических системах.

Первая часть главы 4 посвящена задаче определения поверхностного натяжения методом "лежащей капли". Поверхностное натяжение является одной из наиболее важных характеристик металлических расплавов, используемой при разработке современных металлургических технологий. Как правило, необходимы экспрессные методы его определения, позволяющие в режиме реального времени влиять на качество выпускаемой продукции. При этом, основным используемым методом является метод "лежащей капли" [39-42]. В данном методе капля помещается на горизонтальную подложку или в специальную чашку с острыми краями, образующую строгую окружность и затем изучается ее меридиональное сечение. При этом предполагается, что поверхность капли обладает симметрией вращения. Метод "лежащей капли "позволяет определять капиллярную постоянную и плотность расплава. В настоящее время в металлургии особое внимание уделяется использованию современных компьютеров для обработки данных таких экспериментов. Существует ряд компьютерных программ для обработки данных полученных методом лежащей капли [43-45]. В то же время, остается открытым вопрос анализа надежности полученных результатов.

В первом параграфе главы 4 рассмотрена общая задача выделения контуров на изображении. Решение этой задачи необходимо для выделения границ капли металла на фотографии. Проведен анализ существующих алгоритмов выделения границ и методов подавления шума для повышения качества нахождения границ.

Во втором параграфе главы 4 разработаны методы сглаживания одномерных сигналов и подавления шума на фотографиях, ориентированные на выделение контуров объектов. В одномерном случае рассматриваются задачи восстановления неизвестной исходной функции й 6 W^f—1,1]> (n = 1, 2) по ее приближению щ 6 L2[—1) !]• В качестве решения этой задачи используется функция иа($) £ 1]э минимизирующая функционал Тихонова:

Получены аналитические представления для функций, реализующих минимум функционала Тихонова при п = 1 и п = 2. Эти представления позволяют в явном виде записать производные от сглаженных функций, используемые в дальнейшем для нахождения контуров объектов.

Проведен анализ применения данных регуляризирующих методов для выделения контуров объектов на изображении. Показано, что для задачи выделения контуров метод регуляризации Тихонова с п = 2 дает лучшие результаты, чем метод при п = 1.

В третьем параграфе главы 4 разработан численный метод решения обратной задачи, состоящей в определении поверхностного натяжения. Метод основан на разработанных алгоритмах выделения контуров изображений и численном решении нелинейного дифференциального уравнения Юнга-Лапласа. Также предложен и реализован численный метод нахождения поверхностного натяжения на основе приближенной формулы Дорсея.

В четвертом параграфе главы 4 дано описание созданного программного комплекса для компьютерной обработки данных метода "лежащей капли". Приведены результаты тестирования программ и результаты компьютерного анализа металлических систем. На примере системы А1-Ni проведен расчет адсорбции системы с использованием разработанного пакета и программ главы 3.

Вторая часть главы 4 посвящена созданию методов обработки результатов фракционного газового анализа жидких металлических систем, основанных на предложенных математических моделях, описывающих процесс выделения окиси углерода при восстановлении оксидного включения в образце.

В пятом параграфе главы 4 рассмотрена постановка задачи неизотермического восстановления в жидких металлических системах, разработана математическая модель процессов, протекающих в аппарате. Разработан численный метод определения функции изменения концентрации СО до прохождения газодинамической системы аппарата по измеренному сигналу.

В шестом параграфе главы 4 предложены и исследованы математические модели выделения СО при восстановлении оксидного включения в образце (выделение кислорода из объема образца; выделение кислорода с поверхности образца с учетом и без учета термодинамики расплава). Проведено качественное сравнение моделей при описании экспериментальных данных.

В седьмом параграфе главы 4 приведены алгоритмы обработки и анализа экспериментальных кривых фракционного газового анализа. Описан разработанный пакет программ, позволяющий производить определение типов оксидных включений и их количественного содержания в образце. Даны примеры практического применения программного комплекса.

В Заключении приведены основные результаты, выносимые на защиту и список международных и российских конференций на которых были представлены результаты работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международной конференции «Fourier Analysis and Applications» (Kuwait, 1998 г.); Международных конференциях «Liquid and Amorphous Metals» ( Wien, Austria, 1992 г., Metz, France 2004 г., Екатеринбург, 2007 г.); Международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006 г.); Российских конференциях «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1995 г., 1996 г., 19982001 гг.); Международной конференции «Special Functions 2000» (USA, Arizona State University, 2000 г.); Российских и Всесоюзных конференциях «Строение и свойства металлических и шлаковых расплавов» (Свердловск, 1986 г., Челябинск, 1990 г., Екатеринбург, 1994 г., Екатеринбург, 2001 г.); Международных конференциях «Графикон» (Москва, 2000 г., 2002-2008 гг.); Международной конференции по обработке изображений «1С1Р2008» (San-Diego, 2008 г.); Международной конференции по анализу и распознаванию изображений «ICIAR2006» (Porto, 2006 г.); Международном семинаре «Электрофизические свойства веществ (жидкие металлы и сплавы)» (Нальчик, 2001 г.); Всесоюзной конференция «Химия и технология редких, цветных металлов и солей» (Фрунзе, 1986 г.); IV Всесоюзной конференции по тепло- и массообменным процессам в ваннах сталеплавильных агрегатов (Жданов, 1986 г.); III Всесоюзном совещании по химии и технологии халькогенов и халькогенидов (Караганда, 1986 г.); Всесоюзных совещаниях «Металлургия марганца» (Тбилиси, 1986 г., Москва, 1991 г.); Шестой Всесоюзной научной конференции по современным проблемам электрометаллургии стали (Челябинск, 1987 г.); Всесоюзной конференции «Проблемы исследования структуры аморфных металлических сплавов» (Москва, 1988 г.); XII Всесоюзной конференции по химической термодинамике и калориметрии (Горький, 1988 г.); VI Всесоюзной школе-семинаре «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989 г.); I Советско-чехословацком симпозиуме по теории металлургических процессов (Москва, 1989 г.); Втором всесоюзном совещании «Применение ЭВМ в научных исследованиях и разработках» (Москва, 1989 г.); Втором Всесоюзном совещании «Базы физико-химических и технологических данных для оптимизации металлургических технологий» (Курган, 1990 г.); Шестом международном конгрессе «Iron and Steel» (Nagoya, Japan 1990 г.); Всесоюзной конференции «Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации» (Москва, 1991 г.); Десятой Всесоюзной конференции «Физико-химические основы металлургических процессов» (Москва, 1991 г.); Всесоюзном совещании «Моделирование физико-химических систем и технологических процессов в металлургии» (Новокузнецк, 1991 г.); Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках» (Москва, 1991 г.); б-й Международной конференции «Structure of Non-Crystalline Materials» (Praha, Czech Republic, 1994 г.); Пятой Международной конференции «Progress in Analytical Chemistry in the Steel and Metals' Industry» (EC, Luxembourg, 1995 г.); Ежегодном Весеннем Собрании Британской Кристаллографической Ассоциации (Leeds, UK 1997 г.); Национальной конференции по применению рентгеновского, син-хротронного излучений, нейтронов и электронов ( Дубна, 1997 г.); Международном Конгрессе по аналитической химии (Москва, 1997 г.); 50th Chemists Conference, British Steel (UK, 1999 г.); Научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009 г.

Заключение

1. Вилсон Д. Р. Структура жидких металлов и сплавов.— М.: Металлургия, 1972. — 247 с.

2. Арсентьев П. П., Коледов Я. А. Металлические расплавы и их свойства. — М.: Металлургия, 1976. — 376 с.

3. Китайгородский А. И. Рентгеноструктурный анализ мелкокристаллических и аморфных тел. — J1.: ГИТЛ, 1952. — 588 с.

4. Скрышевский А. Ф. Структурный анализ жидкостей. — М.: Высшая школа, 1971.— 256 с.

5. Эндерби Д. Физика простых жидкостей. — М.: Мир, 1973. — Т. 2. — С. 67-96.

6. Фишер И. 3. Статистическая теория жидкостей.— М.: Физматгиз, 1961.- 280 с.

7. Марч Н. Г. Жидкие металлы. — М.: Металлургия, 1972.— 128 с.

8. Крокстон К. Физика жидкого состояния. — М.: Мир, 1978. — 400 с.

9. Ватолин Н. А., Пастухов Э. А. Дифракционные исследования строения высокотемпературных расплавов.— М.: Наука, 1980.— 188 с.

10. Хрущев Б. И. Структура жидких металлов.— Ташкент: ФАН, 1970.- 112 с.

11. Enderby I. Е., March N. Н. Interatomic forces and the structure of liquids // Adv. Phys. 1965. - Vol. 14. — Pp. 453-477.

12. Н. А. Ватолип, Б. Р. Гельчинский, В. А. Полухин и др. // ДАН СССР. 1975. - Т. 222, № 6. - С. 1323-1327.

13. Kaplow R., Strong S. L., Averbach В. L. Radial density functions for liquid mercury and lead // Phys. Rev. — 1965.— Vol. 138, no. 5A.— Pp. 1336-1352.

14. Waser I., Shomaker V. The fourier inversion of diffraction data // Rev. Mod. Phys. 1953. - Vol. 25, no. 3. - Pp. 671-701.

15. Herre F., Richter H. Calculation of atomic distribution curve of different structure models // Z. Phys. 1958. - Vol. 150. — Pp. 149-161.

16. Hosemann R., Lemm K., Krebs H. The termination effect and its influence on the atomic distribution curves of amorphous materials and liquids // Z. Phys. Chem. 1964. - Vol. 41.— Pp. 121-132.

17. Becherer P., Weber S. Der abbrucheffekt in der rontgenstrukturanalyse einatomiger flussigkeiten // Ann. Phys. — 1970. — Vol. 25, no. 4. — Pp. 368-392.

18. Тихонов A. H., Арсении В. . Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 288 с.

19. Глазов М. В., Палий Н. А., Крылов А. С. Использование различных модификаций метода регуляризации при обработке данных дифракционного эксперимента // Физика металлов и металловедение. — 1991.- № 2.- С. 134-140.

20. Межчастичное взаимодействие в жидких металлах / В. Ф. Ухов, Н. А. Ватолин, Б. Р. Гельчинский и др. — М.: Наука, 1979. — 195 с.

21. Васин В. В., Агеев A. JJ. Некорректные задачи с априорной информацией. — Екатеринбург: Наука, 1993. — 262 с.

22. Использование метода сглаживания экспериментальных данных для решения обратных задач математической физики / В. Г. Самойлов, И. Л. Батаронов, С. А. Рощупкин, Ю. В. Бармин // Известия Академии Наук. Серия физическая. — 1995. — Т. 59, № 10. — С. 103-107.

23. Hossfeld F. The correction of resolution errors in small angle scattering using Hermite functions // Acta. Cryst. A. — 1968. — Vol. 24. — Pp. 643-650.

24. Svergun D. I. A direct indirect method of small-angle scattering data treatment // J. Appl. Cryst — 1993, —Vol. 26. —Pp. 258-267.

25. Krylov A. S., Poliakoff J. F., Stockenhuber M. An Hermite expansion method for EXAFS data treatment and its application to Fe K-edge spectra // Phys. Chem. Chem. Phys.— 2000.— Vol. 2, no. 24.— Pp. 5743-5749.

26. Phase transition in liquid cesium near 590K / L. A. Blagonravov, S. N. Skovorod'ko, A. S. Krylov et al. // Journal of N on-Crystalline Solids. 2000. - Vol. 277, no. 2/3. - Pp. 182-187.

27. Krylov A. S., VvedenskiiA. V. Software Package for Radial Distribution Function Calculation // Journal of N on-Crystalline Solids. — 1995.— Vol. 192-193. Pp. 683-687.

28. Крылов А. С. О численном нахождении функции радиального распределения жидкого Ga по структурному фактору // Некоторые вопросы вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения ЭВМ. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— С. 42-44.

29. Крылов А. С., Щедрин Б. М. Численный метод нахождения функции радиального распределения // Кристаллография. — 1989. — Т. 34, № 5. С. 1088-1092.

30. Krylov A. S., Liakishev А. V. Numerical Projection Method for Inverse Fourier Transform and Its Application // Numerical Functional Analysis and Optimization. — 2000. —Vol. 21, no. 1-2.— Pp. 205-216.

31. Krylov A. S., Korchagin D. N. Fast Hermite Projection Method // Lecture Notes in Computer Science.— 2006.— Vol. 4141.— Pp. 91101.

32. Лавров А. В., Спиридонов M. А., Попель С. И. А. с. №1323931. Устройство для исследования структуры расплавов. — 1987. — Опубл в Б. И. №26. МКИ 4. G 01. с.ЗО № 23/30.

33. Акашев Л. А., Кононенко В. И. Эллипсометрия и электронная структура жидких металлов // Спектроскопические методы в исследовании поверхности аморфных и жидких металлов: Тематич. сб. научн. тр. — Челябинск: Челяб. политехи, ин-т, 1990. — С. 62-76.

34. Scottw В., Britten Т., Frank N. Distribution of atoms on the surface of liquid mercury // Nature. — 1986. Vol. 321, no. 6071.- Pp. 685-687.

35. Ашхотов О. Г., Шебзухов А. А., Хоконов X. Б. Исследование поверхности жидких металлов и сплавов методом электронной Оже-спектроскопии // ДАН СССР. 1984. - Т. 274, № 6. - С. 1349-1352.

36. Трапезников В. А., Шабанова И. Н. Рентгеноэлектронная спектроскопия сверхтонких поверхностных слоев конденсированных систем.— М.: Наука, 1988. — 200 с.

37. Попель С. И. Поверхностные явления в расплавах. — М.: Металлургия, 1994. 432 с.

38. Семенченко В. К. Поверхностные явления в металлах и сплавах. — М.: ГИТТЛ, 1957.-491 с.

39. Физическая химия неорганических материалов. Т.2. Поверхностное натяжение и термодинамика металлических расплавов / Под ред. В. Н. Еременко.— Киев: Наукова Думка, 1988.

40. Глазов В. М., Вобст М., Тимошенко В. И. Методы исследования свойств жидких металлов и полупроводников.— М.: Металлургия, 1989.

41. Maze С., Burnet G. A Non-linear Regression Method for Calculating the Surface Tension and Contact Angle from the Shape of a Sessile Drop // Surf. Sci. — 1969. Vol. 13. - P. 451.

42. Rotenberg Y., Boruvka L., Neumann A. W. Determination of Surface Tension and Contact Angle from the Shape of a Sessile Drop // J. Colloid Interface Sci. 1983. - Vol. 93. — P. 169.

43. Software package for determination of surface tension of liquid metals / A. S. Krylov, A. V. Vvedensky, A. M. Katsnelson, A. E. Tugovikov // J. Non-Cryst. Solids. — 1993. — Vol. 156-158,- Pp. 845-848.

44. Elliot S. R. The structure of amorphous materials // Properties and Applications of Amorphous Materials / Ed. by M. F. Thorpe, L. Tichy. — Kluwer Academic Publishers, 2001. — Pp. 1-11.

45. Zernike F., Prinse J. A. X-ray diffraction from liquids // Zeitschrift fur Physik. ~ 1927. — Vol. 41. Pp. 184-194.

46. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.— М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. — 479 с.

47. Рентгено-спектральный метод изучения структуры аморфных тел. EXAFS-спектроскопия / Под ред. Г. М. Жидомиров. — Новосибирск: Наука, 1988.

48. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. Т1.:Основные принципы и классические методы. — М.: Мир, 1983.- 311 с.

49. Gurman S. Interpretation of EXAFS data //J. Synchrotron Rad.— 1995.-Vol. 2.—Pp. 56-63.

50. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.— М.: Наука, 1966. — 295 с.

51. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — второе изд. — М.: Наука, 1979. — 415 с.

52. Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: ГИФМЛ, 1962. — 500 с.

53. Крылов А. С., Лякишев А. В. Неравенство для норм функций Эрмита на конечном интервале // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15, вы-числ. матем. и киберн.— 1999.— № 1.— С. 17—19.

54. Денисов А. М. Введение в теорию решения обратных задач. — М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

55. Denisov А. М., Krylov A. S. Numerical solution of integral equations of the first kind // Computational Mathematics and Modeling. — 1990. — Vol. 1, no. 2.-Pp. 137-142.

56. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7 изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с.

57. Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970.-564 с.

58. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа, — М.: Издательский центр "Академия", 2007. — 320 с.

59. Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1977. — 552 с.

60. Krylov A. S., Liakishev А. V. A Modification of the Projection Method for Integral Equation of the First Kind // Computational Mathematics and Modeling. — 2001. Vol. 12, no. 3. — Pp. 271-278.

61. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. 500 с.

62. Крылов В. И., Кругликова JI. Г. Справочная книга по численному гармоническому анализу. — Минск: Наука и техника, 1968. — 165 с.

63. Бахвалов Н. С. Численные методы.— М.: Наука, 1973. — 631 с.

64. Krogh-Moe I. A method for converting experimental X-ray intensities to an absolute scale // Acta crystallogr. — 1956. — Vol. 9. — Pp. 951-953.

65. Вайнштейн Б. К. К теории метода радиального распределения // Кристаллография. — 1957. — Т. 2, № 1. — С. 29-37.

66. Rahman A. Normalization of Diffraction Data from Liquids //J. Chem. Phys. 1965. - Vol. 42. - Pp. 3540-3552.

67. Гелъчинский Б. P., Бескачко В. П., Ухов В. Ф.— Обзоры по тепло-физическим свойствам веществ № 2.— М.: ИВТ АН СССР, 1978.— С. 1-103.

68. Филиппович В. Н. // ЖТФ. — 1955. Т. 25, № 3.- С. 1604-1613.

69. Pfannenschmid О. Atomic distribution in liquid Hg, molten Ag, and Au // Z. Naturf. — 1960. — Vol. 15a.—Pp. 603-612.

70. Isakov S. L., Ishmaev S. N., Alekseev P. A. // Sov. Phys. Solid State.— 1986. Vol. 28, no. 4. — Pp. 1240-1243.

71. High-resolution atomic functions of disordered materials by high-energy X-ray diffraction / V. Petkov, S. J. L. Billinge, S. D. Shastri, B. Himmel // Journal of Non-Crystalline Solids.— 2001.— Vol. 293295. Pp. 726-730.

72. Computational Diagnosis of Temperature Dependence of the Structure of Liquid Metals / A. A. Gorokhov, A. S. Krylov, L. A. Blagonravov, S. N. Skovorod'ko // Computational Mathematics and Modeling. — 2003. Vol. 14, no. 4. — Pp. 360-368.

73. Wagner C. N. J., Ocken H., Joshi M. L. Interference and radial distribution functions of liquid copper, silver, tin, and mercury // Z. Naturf. — 1965. Vol. 20a. - Pp. 325-335.

74. Waseda Y., Suzuki K. // Phys. Stat. Sol. 1970.- Vol. 40.- P. 183.

75. A versatile automatic X-ray diffractometer for the study of high vapour pressure liquids / R. Causer, S. P. Isherwood, B. R. Orton, R. I. T. Street // J. Phys. E. (Sci. Instruments). — 1971. Vol. 4. — Pp. 354-358.

76. Bosio L., Cortes R., Segaud C. X-ray diffraction study of liquid mercury over temperature range 173 to 473 К // J.Chem.Phys.— 1979.— Vol. 71, no. 9.- Pp. 3595-3600.

77. Tamura K., Hosokawa S. Structural studies of expanded fluid mercury up to the liquid-vapor critical region // Phys.Rev.B. — 1998. — Vol. 58, no. 14. Pp. 9030-9038.

78. Филиппов E. Строение, физика и химия металлургических расплавов. — М.: Металлургия, 1995. — 304 с.

79. Нейтронографическое исслеование структуры жидкого цезия / Ю. И. Шарыкин, В. П. Глазков, С. Н. Сковородько и др. // ДАН. — 1979. Т. 244, № 1. - С. 78-82.

80. Gingrich N. S., Heaton L. Structure of Alkali Metals in Liquid State // Journal of Chemical Physics. — 1961. — Vol. 34. — Pp. 873-878.

81. Huijben M., van der Lugt W. The Static Structure Factor of Liquid Caesium // J. Phys. 1976. - Vol. F6, no. 8. - Pp. L225-L229.

82. The Static Structure Factor of Cesium over the Whole Liquid Range up to the Critical Point / R. Winter, F. Hensel, T. Bodensteiner, W. Glaser // Ber. Bunsenges. Phys. Chem.— 1987.— Vol. 91, no. 8.— Pp. 1327-1330.

83. Structure and Density of Gold-Caesium Melts / W. Martin, W. Freyland, P. Lamparter, S. Steeb // Phys. Chem. Liq. — 1980. — Vol. 10. P. 49.

84. Влияние структурного фазового перехода на электросопротивление жидкого цезия / JI. А. Благонравов, А. С. Крылов, М. М. Мизотин и др. // Теплофизика высоких температур. — 2008. — Т. 46, № 2. — С. 225-229.

85. Рентгеноспектральный метод изучения структуры аморфных тел (EXAFS-спектроскопия) / Д. И. Кочубей, Ю. А. Бабанов, К. И. За-мараев и др. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988. — 303 с.

86. SERC Daresbury EXCURV92 program / N. Binsted, J. W. Campbell, S. J. Gurman, P. C. Stephenson. — Daresbury: SERC, 1991.

87. Каханер Д., Моулер К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение, — М.: Мир, 1998.— 509 с.

88. Крылов А. С., Спиридонов М. А. Компактное представление структурных зависимостей поверхностного слоя жидкой меди // Расплавы. 1993. - № 4. — С. 81-84.

89. The short-range order in the surface layers of melts Cu-Au (Ge) by electron diffraction / M. A. Spiridonov, S. I. Popel, A. S. Krylov, M. M. Mizotin // Journal of Physics: Conference Series.— 2008.— Vol. 98. — Pp. 53-56 (012014).- part 1.

90. Попелъ С. И., Спиридонов М. А., Жукова JI. А. Атомное упорядочение в расплавленных и аморфных металлах. — Екатеринбург: УГТУ, 1997. 384 с.

91. Спиридонов М. А., Лавров А. В., Попелъ С. И. Атомное упорядочение в поверхностных слоях медно-германиевых расплавов // Металлы. — 1990. Т. 2, № 3. - С. 49-53.

92. Таблицы интегральных преобразований, т. 2: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций / Под ред. Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- М.: Наука, 1966. — 296 с.

93. Eberlein W. F. A new method for numerical evaluation of the Fourier transform // Journal of Mathematical AnaLysis and Application. — 1978. Vol. 65. - Pp. 80-84.

94. Popel S., Spiridonov M., Lavrov A. Technique of electron diffraction study of the surface of metallic melts // Industrial Laboratory. — 1990. — Vol. 2, no. 56. Pp. 183-186.

95. Popel S., Spiridonov M., Lavrov A. Electronographic investigation of short-range order in the surface layers of melts // Czech. J. Physics. — 1997. Vol. 47, no. 4. - Pp. 455-460.

96. Waseda Y. The Structure of Non-Crystalline Materials: Liquids and Amorphous Solids. — McGraw-Hill, 1980. — 325 pp.

97. Krylov A. S., Kortchagine D. N. Projection filtering in image processing // Proceedings Int. Conference Graphicon 2000. — 2000. — Pp. 42-45.

98. Aberth 0. Iteration methods for finding all zeros of a polynomial simultaneously // Mathematics of computation.— 1973.— Vol. 27, no. 122. Pp. 339-344.

99. Jordan A. S. A theory of regular associated solutions applied to the liquidus curves of the Zn-Te and Cd-Te systems // Metallurgical and Materials Transactions B. — 1970. — Vol. 1, no. 1, — Pp. 239-249.

100. Osamura K., Predel B. Association in Metallic Solution // Trans. Jpn. Inst. Met. — 1977. — Vol. 18, no. 1,- Pp. 765-774.

101. Lele S., Ramachandrarao P. Estimation of complex concentration in a regular associated solution // Metallurgical and Materials Transactions B. — 1981. Vol. 12, no. 4. - Pp. 659-666.

102. Sharma R. C., Chang Y. A. A thermodynamic analysis of the copper-sulfur system // Metallurgical and Materials Transactions B. — 1980. — Vol. 11, no. 4,- Pp. 575-583.

103. Пригоэ/син И., Дефей P. Химическая термодинамика.— Новосибирск: Наука, 1966. — 509 с.

104. Lele S., Sastry G. V. S., Ramachandrarao P. On the Evaluation of Interchange Energies and the Equilibrium Constant From Mixing Enthalpies of a Regular Associated Solution // Z. Metallkd. — 1984. — Vol. 75, no. 6. Pp. 446-448.

105. Bhatia А. В., Hargrove W. H., Thornton D. E. Concentration fluctuations and partial structure factors of compound-forming binary molten alloys // Phys. Rev. B. — 1974. — Vol. 9, no. 2. — Pp. 435-444.

106. Крылов А. С., Кацнельсон A. M., Кашин В. И. Модель квазиидеальных ассоциированных растворов // Взаимодействие металлических расплавов с газами и шлаками. — М.: Наука, 1986. — С. 57-63.

107. Kashin V. /., Katsnelson А. М., Krylov A. S. A Model of Quasi-Ideal Associated Solutions to Describe Thermodynamics of Binary Melts // International Journal of Materials Research (Zeitschrift fur Metallkunde). 1990. — № 7. - C. 516-520.

108. Морачевский А. Г. Термодинамика расплавленных металлических и солевых систем.— М.: Металлургия, 1987.— 240 с.

109. Соммер Ф. Модель ассоциатов в теории жидких сплавов // Диаграммы фаз в сплавах. — М.: Мир, 1986.— С. 128-141.

110. Кацнельсон А. М., Крылов А. С., Кашин В. И. Модель для прогнозирования термодинамических свойств растворов по данным о бинарных системах // ДАН СССР. 1989. - Т. 308, № 5. - С. 11731076.

111. Selected values of the thermodynamic properties of binary alloys / R. Hultgren, P. D. Desai, D. T. Hawkins et al. — American Society for Metals, 1973. — 453 pp.

112. Predel В., Oehme G. Calorimetric Investigation of Liquid In-Sb Alloys Prom the Standpoint of an Equilibrium of Associated Regions // Z. Metallkd. 1976. - Vol. 67, no. 12. — Pp. 826-834.

113. Gather В., Schroter P., Blachnik R. Enthalpies of Mixing of Ternary Systems. IV.-The System In-Sb-Sn // Z. Metallkd.- 1985,-Vol. 76, no. 8. — Pp. 523-527.

114. Grigorovich К. V., Krylov A. S. Experimental investigation and joint description of the thermodynamic properties of Ni-Cr-Al melts // Journal of Physics: Conference Series. — 2008. — Vol. 98. — Pp. 4548 (032011).- part 3.

115. Сандаков В. M., Есин Ю. 0.; Гелъд П. В. Энтальпия образования жидких сплавов системы Ni-Al при 1650 С // Журнал физической химии. — 1971. Т. 45. - С. 1798-1799.

116. Теплоты растворения алюминия в расплавах железо-никель-алюминий / О. И. Островский, В. В. Мясников, В. В. Плюшкин и др. // Изв. вузов, Ж — 1976. — № 11.- С. 51-55.

117. Bonnet М., Roge J., Castanet R. EMF Investigation of Al-Si, Al-Fe-Si and Al-Ni-Si Liquid Alloys // Thermochimica Acta. — 1989.— Vol. 155. Pp. 39-56.

118. Schaefer S. C., Gokcen N. A. Thermodynamic Properties of Liquid Al-Ni and Al-Si Systems // High Temperature Science. — 1979. — Vol. 11. — Pp. 31-39.

119. Thermodynamic Study of the Liquid and Solid Alloys of the Nickel -Rich Part of the Al-Ni Phase Diagramm Including the AINi Phase / K. Hilpert, M. Miller, H. Gerads, H. Nickel // Ber. Bunsenges Phys. Chem. — 1990. — Vol. 94. Pp. 40-46.

120. Vachet F., Desre P., Bonnier E. Determination de 1 activite de ,1 aluminium dans les alliages liquides(Al,Fe), (Al,Co), (Al,Ni) at 1600 С // C.R.Acad.Scie. — 1965. — Vol. 260.-Pp. 453-456.

121. Lee J. J., Sommer F. The Determination of the Partial Enthalpies of Mixing of Aluminium rich Alloy Melts by Solution Calorimetry // Z.Metallkunde. 1985. - Vol. 76. - Pp. 750-754.

122. Grigorovitch К. V., Krylov A. S. Thermodynamics of liquid Al-Ni alloys // Thermochimica Acta. — 1998. — Vol. 314. — Pp. 255-263.

123. Чистяков Л., Стомахин А., Григорович К. Исследование энтальпий образования растворов Fe-Si и Ni-Cr с помощью нового высокотемпературного калориметра // Изв. АН РФ Металлы. — 1993. — № 4. С. 27-37.

124. Дюбанов В., Стомахин А., Филиппов А. Исследование энтальпий образования расплавленных растворов на основе железа, кобальта и никеля // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия. — 1975. — № 3. — С. 5-7.

125. Gilby S. W., Pierre G. R. Equilibrium Vapor Compositions and Activities of Components for Fe-Cr-Ni Alloys at 1600 К // Trans. AIME. 1969. - Vol. 245. - Pp. 1749-1760.

126. Судовцева В. С., Шувалов А. В., Шархина Н. О. Термохимические свойства жидких двойных сплавов систем Al-(Cr,Ni) // Расплавы. — 1990. № 4. - С. 97-98.

127. Sigworth G. К., Elliott J. F. The thermodynamics of liquid dilute iron alloys // Metal Science. 1974. - Vol. 8. — Pp. 298-310.

128. Сюй-Цзен-Цзи, Поляков А. Ю., Самарин A. M. Исследование активности компонентов в жидких бинарных сплавах Fe-Si // Изв. ВУЗов, Черная металлургия. — 1959. — № 11. — С. 3-12.

129. Григорян В., Велянчиков Л., Стомахин А. Теоретические основы сталеплавильных процессов. — М.: Металлургия, 1979. — 272 с.

130. Study of thermodynamic and kinetic parameters of solid materials in ferrocarbonic melts / V. S. Shumikhin, A. K. Biletsky, G. I. Batalin, V. P. Anishin // Arch. Eisenhuttenwes.— 1981.— Vol. 52, no. 4.— Pp. 143-146.

131. Григорович В. К. Электронное строение и термодинамика сплавов железа. — М.: Наука, 1970. — 292 с.

132. Chipman J. Thermodynamics and phase diagram of the Fe-C system // Metallurgical Transactions. — 1972. — Vol. 3. — Pp. 55-64.

133. El-Kaddah N., Robertson G. Equilibria in reactions of CO and CO2 with dissolved oxygen and carbon in iron // Metallurgical Transactions

134. B. 1977. - Vol. 8B. - P. 596.

135. Билецкий А. К., Витусевич В. Т., Шумихин В. С. Энтальпия растворения графита в жидком железе // Металлы. — 1984. — № 6. —1. C. 40-46.

136. Теплота растворения фосфора в марганце / Н. Н. Цикаридзе, О. И. Островский, И. Б. Бараташвили и др. // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия. — 1977. — № 9. — С. 51-53.

137. Berak I., Heumann T. Uber das System Mangan-Phosphor // Z. Metallkd. — 1950. Vol. 41, no. 1. - Pp. 19-23.

138. Термодинамика расплавов и область аморфизации системы марганец-фосфор / В. Дашевский, К. В. Григорович, А. М. Кац-нельсон, А. С. Крылов // Расплавы. — 1988. — № 4. — С. 3-7.

139. Термодинамические свойства расплавов марганец-фосфор и марганец-кремний / В. . Дашевский, А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов и др. // Теория и практика металлургии марганца.— М.: Наука, 1990,- С. 9-18.

140. Баталии Г. И., Судовцева В. С. Термодинамические свойства жидких сплавов марганца с кремнием // Укр. Хим. Жури. — 1974. — Т. 40, № 5. С. 542-543.

141. Gee R., Rosenqvist Т. The vapor pressure of liquid manganese and activities in liquid Mn-Si and carbon -saturated Mn-Si alloys // Scand. J. Met. 1976. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 57-62.

142. Гертман Ю. M., Гелъд П. В. К термохимии силикомарганца // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия. — 1959. — № 9. — С. 15-27.

143. Langmuir I. The vapor pressure of metallic tungsten // Phys. Rev. — 1913. Vol. 2, no. 5. - Pp. 329-342.

144. Физико-химические основы металлургических процессов / А. А. Жуховицкий, Д. К. Белащенко, Б. С. Бокштейн и др.— М.: Металлургия, 1973. — 392 с.

145. Рафинирование феррованадия от марганца методом вакуумирова-ния / В. А. Григорян, Р. А. Алеев, Ю. В. Валковой и др. // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия.— 1982.— № 11.— С. 45-48.

146. Denisov A. M., Dolotov A. Y., Krylov A. S. Inverse problem for the model of evaporation of a binary alloy // Computational Mathematics and Modeling. — 1992. — Vol. 3, no. 2. — Pp. 128-131.

147. Ohno R., Ishida T. Rate of Evaporation of Manganese, Copper, Tin, Chromium, and Sulphur from Molten Iron under Vacuum // </. Iron Steel Inst. 1968. — Vol. 297. - Pp. 904-908.

148. Morris J. P., Zellars G. R. Vapor Pressure of Liquid Cooper and Activities in Liquid Fe-Cu Alloys // J. Met. AIME Trans. — 1956.— Vol. 206. Pp. 1086-1090.

149. Jacob К. T. Activity of manganese in liquid Ni-Mn alloys // Metallurgical and Materials Transactions B. — 1982. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 283-285.

150. Olette M. Elimination of Trace Elements from Ferrous Alloys by Vacuum Treatment // Mem. Sci. Rev. Met. — 1960. — Vol. 57. Pp. 467-480.

151. Термодинамические характеристики вакуумной обработки никель-марганцевых расплавов / Ю. В. Валковой, Р. А. Алеев, В. А. Григорян, В. К. Баканов // Изв. вузов. Сер. Черная металлургия.— 1985. № 3. - С. 43-47.

152. Термодинамические свойства расплавов системы Na2S Cu2S - FeS / А. М. Кацнельсон, А. С. Крылов, JI. М. Сойфер, В. И. Кашин // Расплавы. - 1987. — № 1. — С. 48-54.

153. Копылов Н. И., Новоселов С. Исследование диаграммы плавкости системы FeS — Na2S // Металлургическая и химическая промышленность Казахстана. — Т. 1. — Алма-Ата: ЦИНТИ, 1962. — С. 53-58.

154. Морачевский А. Г., Сладкое И. Б. Термодинамические расчеты в металлургии. — М.: Металлургия, 1985.— 137 с.

155. Физико-химические закономерности взаимодействия меди и серы в расплавах железа при обработке сульфидным шлаком / А. М. Кац-нельсон, JI. М. Сойфер, А. С. Крылов, В. И. Кашин // Сталь,— 1986. № 3. - С. 29-32.

156. Термодинамика расплавов сульфидов меди, железа и натрия /

157. A. М. Кацнельсон, А. С. Крылов, JI. М. Сойфер, В. И. Кашип // Цветные металлы. — 1988. — № 5. — С. 28-30.

158. Kashin V. I., Katsnelson А. М., Krylov A. S. Cooper removal from iron melts with sodium sulphide slags // Proceedings of the Sixth International Iron and Steel Congress. —■ Vol. 1. — Nagoya: ISIJ, 1990. — Pp. 358-365.

159. Пригожий И., Дэфэй Р. Химическая термодинамика.— М.: Наука, 1966.- 509 с.

160. Термодинамические свойства индивидуальных веществ / Под ред.

161. B. Глушко,- М.: Наука, 1979,- Т. 1-4.

162. Роджерсон Д. Основы СОМ. — М.: Русская Редакция, 2000. — 400 с.

163. Baker S., Nayar S. К., Murase Н. Parametric feature detection j j International Journal of Computer Vision.— 1998.— Vol. 27, no. 1.— Pp. 27-50.

164. Konishi S., Yuille A. L., Coughlan J. M. A Statistical Approach to MultiScale Edge Detection // Proc. Workshop Generative-Model-Based Vision: GMBV '02.- 2002.

165. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир, 2005. — 671 с.

166. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 735 с.

167. Weickert J. Anisotropic Diffusion in Image Processing. — Stuttgart: Teubner-Verlag, 1998.— 184 pp.

168. Борисенко Г. В., Денисов А. М., Крылов А. С. Об одном диффузионном методе фильтрации и повышения резкости изображений // Программирование. — 2008. — Т. 34, № 5. — С. 32-36.

169. Гончарский А. В., Кочиков И. В., Матвиенко А. Н. Реконструктивная обработка и анализ изображений в задачах вычислительной диагностики. — Изд-во МГУ, 1993. — 140 с.

170. Scherzer О., Weickert J. Relations between regularization and diffusion filtering // Journal of Mathematical Imaging and Vision. — 2000. — no. 12. — Pp. 43-63.

171. Pratt W. K. Digital Image Processing: PIKS Scientific Inside. — John Wiley & Sons, Inc., 2007.- 820 pp.

172. Canny J. A computational approach to edge detection // IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence.— 1986.— Vol. 8, no. 6,- Pp. 679-698.

173. Haralick R. Digital step edges from zero-crossings of second directional derivatives // IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1984, — no. 6. — Pp. 132-151.

174. Marr D., Hildreth E. Theory of edge detection // Proceedings of the Royal society of London, Series B.~ 1980. — Vol. 207. — Pp. 187-217.

175. Ziou D., Tabbone S. Edge detection techniques-an overview // Int. J. of Pattern Recognition and Image Analysis. — 1998.— Vol. 8.— Pp. 537559.

176. Meer P., Weiss I. Smoothed differentiation filters for images // Journal of Visual Communication and Image Representation.— 1992. — Vol. 1, no. 3. —Pp. 58-72.

177. Крылов А. С., Нафжафи M. A Projection Method for Edge Detection in Images // Computational Mathematics and Modeling. — 2007. — no. 1. — Pp. 87-94.

178. Krylov A. S., Tsibanov V. N., Denisov A. M. Image Enhancement by Total Variantion Quasi Solution Method // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2008. Vol. 18, no. 2. — Pp. 285-288.

179. Цибанов В. И., Крылов А. С. Применение метода регуляризации Тихонова для выделения контуров изображений // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и киберн.— 2008.— № 2.— С. 11— 16.

180. Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Изд-во Иностранной литературы, 1953. — Т. 1. — 346 с.

181. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

182. Banham М. R., Katsaggelos А. К. Digital image restoration // IEEE Signal Processing Magazine. — 1997. — Vol. 14, no. 2. — Pp. 24-41.

183. Young T. An essay on the cohesion of fluids // Philos. Trans. Roy. Soc. London. 1805. - Vol. 95. - Pp. 55-87.

184. Laplace P. Traite de mecanigue celeste; supplements au livre x // CEuvres Complete / Ed. by G. Peacock. — Paris: Gauthier-Villars, 1805, 1806. Vol. 4.

185. Young T. An essay on the cohesion of fluids // Miscellaneous Works / Ed. by G. Peacock. — London: John Murray, 1855. — Vol. 1. Pp. 418453.

186. Gauss С. Principia Generalia Theoriae Figurae Fludorum // Comment. Soc. Regiae Scient. Gottingensis. — 1830. — no. 7. — Pp. 55-87.

187. Поверхностное натяжение жидких сплавов двойных металлических систем с максимумом на кривых ликвидуса / В. Н. Еременко, В. И. Ниженко, Н. И. Леви, Б. Б. Богатыренко // Украинский Химический журнал. — 1962. — № 4. — С. 500-505.

188. Аюшина Г. Д., Левин Е. С., Гельд П. В. Влияние температуры и состава на плотность и поверхностную энергию жидких сплавов алюминия с кобальтом и никелем // Украинский химический журнал. ~ 1969. Т. 43, № 11. - С. 2756-2760.

189. Вассерман К. Н., Кунин Л. Л., Суровой Ю. Н. Определение газов в металлах. — М.: Наука, 1976.

190. Vorgthmann R. // Mikrochimica Acta.— 1980.— Vol. 1, no. 5/6. — P. 393.

191. Grallath E. Contribution to the Analysis of Oxygen, Nitrogen and Carbon in Metals // Fresenius Z. anal. Chem. — 1980. — Vol. 300, no. 2. Pp. 97-106.

192. Kawamura K., Ohtsubo Т., Mori T. // Trans, of the Iron and Steel Inst, of Japan. — 1970. — Vol. 14, no. 5. — P. 347.

193. Шмелев Б. А. Изучение поведения газометаллических соединений в стали в условиях вакуум-плавления // Заводская лаборатория. — 1951. Т. XVII, № 6. - С. 671-678.

194. Orths К., Weis W. Determination of silica and other oxides in cast iron, pt. 3 // Giessereiforschung. — 1973. — Vol. 25, no. 2. — Pp. 61-72.

195. Sommer D., Ohls K. Rapid determination of small oxygen contents and aluminium-bound oxygen in steels // Z. Fresenius Anal. Chem. — 1982.- Vol. 313, no. 1.- Pp. 28-33.

196. Ortner H. M., Schede H. // Gases in Metals. — 1984. — P. 372.

197. Hocquaux И., Mieland R. Analyse des oxydes et des nitrures par decomposition thermique fractionnee // Revue de metallurgie CIT. — 1992. - February. — Pp. 193-199.

198. Determination of Oxygen in Steel as an Indication of Steel Cleanliness / A. Jungereithmeier, A. Viertauer, H. Preslinger, K. Antlinger // Radex-Rundschau. 1993. — no. 3/4. — Pp. 369-387.

199. Изучение диссоциации оксидов методом фракционного восстановительного плавления / Е. Е. Третьякова, Е. Е. Барышев, Б. А. Баум и др. // Расплавы. — 1995. — № 5. С. 31-36.

200. New approach to the fractional gas analysis application in metallurgy and material control using oxide separation software / К. V. Grigorovitch, A. M. Katsnelson, A. S. Krylov, A. V. Vvedenskii //

201. Ргос. of The 4 Int. Conf. Analyt. Chem. in the Steel and Metal Industr. — Luxembourg: 1994. Pp. 527-532.

202. Круглински Д. Д., Уингоу С., Шеферд Д. Программирование на Microsoft Visual С++ 6.0. СПб: Питер, 2004. — 861 с.

203. Обработка и интерпретация результатов фракционного газового анализа / К. В. Григорович, П. В. Красовский, А. С. Крылов и др. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — 2002. — Т. 68, № 9.-С. 3-9.