автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса

На правах рукописи

Слетков Денис Викторович /

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РОСТА КОЛОНИЙ БИОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

сиУВЭ

Елец - 2007

003070369

Работа выполнена на кафедре компьютерного и математического моделирования Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Тамбовский государственный университет им ГР Державина»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Арзамасцев Александр Анатольевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Шашкин Александр Иванович

доктор технических наук, профессор Туголуков Евгений Николаевич

Ведущая организация Институт прикладных математических

исследований Карельского Научного Центра РАН

Защита диссертации состоится 28 мая 2007 г в 13 00 на заседании диссертационного совета К 212 059 01 при Елецком государственном университете им И А Бунина в конференц-зале по адресу 399770, Липецкая обл , г Елец, ул Коммунаров, 28

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Елецкого государственного университета им И А Бунина

Автореферат разослан « слО » апреля 2007 г

»1

Ученый секретарь диссертационного совета (7Щербатых В Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность При анализе изображений объектов в различных областях знаний часто возникает проблема нахождения соответствующей числовой характеристики, которая комплексно определяла бы его морфологические и другие особенности Такие задачи возникают, например, при распознавании образов, в физике твердого тела, когда по изображению объекта делаются выводы о его текущем состоянии и возможных сценариях развития

Другим примером являются растущие на плоскости колонии биологических объектов В этом случае числовая оценка изображений может дать информацию не только об их морфологических особенностях, но и о значениях некоторых скрытых факторов, коррелирующих с ними

По этой причине разработка алгоритмов и программ, предназначенных для анализа морфологических особенностей объектов и математических моделей, пригодных для исследования связи морфологических, кинетических и других параметров, представляет собой актуальную научную проблему

Решение таких задач имеет большое значение для распознавания образов и управления биотехнологическими процессами, т к по цифровым фотографиям объектов с помощью компьютерных технологий можно судить о состоянии популяции и принимать решения о соответствующих управляющих воздействиях

Существующие методы анализа изображений пригодны для решения указанных задач не в полной мере, а отсутствие соответствующих математических моделей и программного обеспечения не позволяет делать выводы о существовании корреляций морфологических и иных факторов

Возможным методом комплексной оценки морфологии объекта является подсчет фрактальной размерности его изображения, предложенный Ман-дельбротом Этот метод позволяет оценивать фрактальную размерность для математических объектов Однако для растровых изображений, соответствующих представлению графической информации на компьютерах или в цифровых камерах, указанные алгоритмы не могут быть непосредственно применены вследствие того, что в данном случае по существу имеет место не математический объект, а его приближение на дискретной сетке При этом возникает необходимость в адаптации существующих алгоритмов вычисления фрактальной размерности для растровых изображений

Цель работы. Разработка математических моделей, алгоритмов и комплекса программ, предназначенных для проведения вычислительных экспериментов по изучению связи морфологических, кинетических и иных параметров в процессе роста колоний биологических объектов на плоскости, а также для оценки фрактальной размерности полученных изображений

Данная цель потребовала решения следующих задач

1) проведение анализа существующих алгоритмов определения фрактальной размерности, их адаптация к растровым изображениям, определение оптимальных алгоритмов для различных классов изображений, разработка комплекса программ для их реализации,

2) разработка математической модели роста колонии биологических объектов на плоскости, учитывающей особенности биообъектов и ее программная реализация,

3) проведение вычислительных экспериментов с целью исследования влияния параметров роста, начального расположения объектов и их морфологических и кинетических характеристик,

4) сравнение модельных расчетов с данными реальных экспериментов и выявление морфологического соответствия между изображениями,

5) разработка алгоритмов, программ и методик их использования в практических целях

Научная новизна:

- разработана новая имитационная математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, позволяющая связать морфологические и кинетические характеристики и моделирующая этот процесс на дискретной сетке,

- определены оптимальные алгоритмы вычисления фрактальной размерности для различных классов растровых изображений,

- выявлены в ходе вычислительных экспериментов связь морфологических и кинетических характеристик моделируемого объекта, позволяющая на основе фотографических изображений реальных колоний делать выводы об их кинетических параметрах, определены области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов), выявлена бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъектов на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов),

- программный комплекс для имитационного моделирования роста колонии на плоскости и анализа фрактальной размерности изображений,

- корреляции между морфологическими и кинетическими и внутренними параметрами роста, которые могут быть использованы для организации систем мониторинга подобных процессов

На защиту выносятся следующие основные положения:

- математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, рассматривающая каждый объект как отдельную структурную единицу со свойственным ей набором параметров и имитирующая процесс роста на дискретной сетке,

- определение оптимальных алгоритмов вычисления фрактальной размерности,

- результаты вычислительных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными

Практическая ценность:

- разработанные методы оценки фрактальной размерности и выявленные корреляционные зависимости позволяют сократить время и расходы на оценку параметров биотехнологических процессов на основе компьютерного анализа полученных цифровых изображений,

- программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне осуществлять мониторинг технологических процессов

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов основана на корректности постановок задач и используемого математического аппарата, соответствии результатов вычислительных экспериментов реальным данным и общим закономерностям и представлениям

Апробация работы. Основные теоретические и экспериментальные результаты работы обсуждались на XV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2002), Международной научно-практической конференции «Интеллектуализация обработки информации ИОИ» (Симферополь, 2004), III Международной научной конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений (MPFP)» (Тамбов, 2003), Межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (Тамбов, 2004), VI Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2002), VIII, IX, X, XI, XII научных конференциях преподавателей и аспирантов ТГУ им ГР Державина «Держа-винские чтения» (Тамбов, 2003-2007 гг) Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет по адресу http //zhurnal аре relarn ru/articles/2003/178 pdf

Публикации. По результатам исследования опубликовано 13 печатных работ (в том числе 6 опубликованы в изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций, ВАК 2006 г), в которых отражены основные положения диссертации

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, библиографии из 161 наименования и 2 приложений Основное содержание диссертации изложено на 138 страницах, включает 67 рисунков, 2 таблицы

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении сформулированы актуальность темы исследования, научная новизна и практическая значимость работы Приведены цели и поставлены задачи диссертации

В первой главе проведен краткий обзор литературы по проблемам фрактальной геометрии, использованию этого аппарата для моделирования объектов в естественных науках и моделирования роста колоний биологических объектов Произведен сравнительный обзор различных методов вычисления фрактальной размерности для растровых изображений точечный метод (метод 1), метод оптимальных клеток (метод 2) и метод Грасс-бергера-Прокаччиа (метод 3) В ходе анализа выявлено, что метод 3 можно использовать только для оценки нижней границы фрактальной размерности, а методы 1 и 2 необходимо использовать непосредственно для вычисления фрактальной размерности при условии, что максимальный размер покрытия не превышает характеристический параметр данного изображения В результате сравнения различных указанных методов выяснены области их применения, что позволяет оптимизировать вычисление фрактальной размерности изображений, получаемых как в ходе экспериментов, так и в процессе моделирования

Произведена оптимизация определения минимального числа множеств, необходимых для покрытия изображения в клеточном методе вычисления фрактальной размерности

Фрактальная размерность растровых изображений может коррелировать с различными внутренними параметрами биообъектов, поэтому разработка алгоритма ее вычисления выбрана в качестве одной из задач диссертации

В результате анализа литературных источников показано, что для моделирования роста биологических популяций используются в основном детерминированные математические модели, которые не учитывают свойства отдельных биообъектов и оперируют лишь статистическими показателями Главным недостатком таких моделей является идентичность кинетических кривых (например, роста) при одинаковых начальных условиях, что не всегда наблюдается в реальных экспериментах Поэтому для реализации целей и задач диссертации необходимо построение стохастической математической модели, позволяющей получать различные кинетические кривые в идентичных начальных условиях, оценивать вероятность различных событий и т д Поэтому построение и исследование имитационной математической модели роста колонии на дискретной сетке плоскости, учитывающей индивидуальные характеристики биообъекта, выбраны в качестве одной из основных задач диссертации

Вторая глава диссертации посвящена построению и анализу имитационной модели роста колонии биологических объектов на плоскости

Особенностью математической модели является представление каждого биообъекта в популяции как отдельной структуры моделирования, со

свойственным ему набором параметров (время жизни, время удвоения, скорость потребления питательного вещества) При этом моделируется его поведение в зависимости от собственных характеристик, распределения питательного вещества и расположения ближайших к нему объектов

Выбор в качестве модели дискретного представления объекта обусловлен следующими причинами

- вид реальной популяции, растущей на плоскости, представляет собой дискретную картину, состоящую из отдельных объектов, поэтому дискретное представление в большей степени адекватно реальному объекту, чем непрерывное,

- при таком представлении возможно рассмотрение процессов для каждого объекта, в то время как в непрерывной модели можно говорить лишь об осредненных характеристиках колонии или ее части,

- дискретное представление объекта существенно упрощает процедуру расчета фрактальной размерности изображения, поскольку одной из задач данной диссертации является получение связи между морфологическими характеристиками колонии и фрактальной размерностью изображения, дискретное представление упрощает решение данной проблемы,

- такой подход позволяет глубже понять статистические закономерности роста колонии микроорганизмов

Основные допущения, принятые при разработке математической модели, имеют следующий вид

1 Область распространения объектов представляет ограниченную часть плоскости с нанесенной дискретной сеткой Ее можно представить в виде квадратной матрицы, состоящей из ячеек размером ЛгхЛ'

2 Единицей времени в модели является одна итерация, все временные параметры в модели задаются в количестве итераций Отсчет времени начинается с нуля итераций

3 Среда (питательное вещество) распределено по ячейкам области распространения, количество питательного вещества в начальный момент времени может быть задано как различным для каждой ячейки (задается распределением QoЛ, где (;1/) - координаты ячейки), так и одинаковым для всех ячеек £?0

4 Объект потребляет питательное вещество, которое находится в его ячейке, потреблять питательное вещество из других ячеек он не может За одну итерацию объект потребляет питательного вещества

5 Диффузия питательного вещества в системе задается посредством массопереноса из соседних ячеек, который происходит на каждой итерации Таким образом, диффузия в различных средах будет происходить с различной скоростью, этой скорости в модели соответствует коэффициент диффузии г] Диффузионный массоперенос осуществляется согласно уравнениям

= (йг-а)|7. л01-(Я\-0г)Ч>

где а(2\ и ¿,02 - количество питательного вещества, перенесенного из ячейки 2 в 1 и 1 в 2 соответственно Для каждой ячейки диффузионный массо-перенос осуществляется только в четыре (две по вертикали и две по горизонтали) ближайшие ячейки Если ячейка находится на границе области распространения или является угловой, то таких ячеек может быть две или три Это объясняется тем, что для массопереноса необходимо взаимосоприкосновение ячеек

6 Количество питательного вещества в ячейках может быть восполнено извне, что позволяет моделировать открытую систему Поступление питательного вещества из внешней среды в одну ячейку за одну итерацию задается распределением дО/'^, где (у) — координаты ячейки, в которую поступает питательное вещество Если данный параметр одинаков для всех ячеек, то он обозначается как д2+. Восполнение питательного вещества происходит с первой итерации

7 Уравнение материального баланса для ячейки для итерации / задается уравнением

яг = - 8(ч) л-+д0+м + ,

где 5(1,}) - функция наличия объекта в ячейке (ц), она равняется 1, если в ячейке (лу) имеется объект, 0, если его там нет, ¿Я!1 - диффузионный поток

8 Один объект занимает одну ячейку области распространения Пока данный объект жив, данную ячейку другой объект занять не может Объект неподвижен в течение своей жизни

9 Изменение формы колонии происходит только за счет деления объектов В процессе деления дочерний объект занимает одну из 4-х ближайших ячеек, если он располагается по внутренней ячейке, одну из трех или одну из двух ячеек, если он находится на границе области распространения или в угловой ячейке Ячейка может быть занята дочерним объектом лишь при условии, что в ней нет другого объекта Поскольку для образования дочернего объекта необходим контакт двух ячеек, процесс деления возможен только для ячеек, соприкасающихся по горизонтали или по вертикали При наличии нескольких свободных ячеек вероятность выбора места дочерним объектом зависит от количества питательного вещества, находящегося в ячейке Если рядом с родительским объектом нет свободной ячейки, деление объекта не происходит. Размножение осуществляется за одну итерацию Возраст дочернего объекта считается с момента деления Деление на возрасте родительского объекта не сказывается

Промежуток времени между делениями объекта задается распределением вероятности Р(т^ со средним значением г</ Время следующего деления объекта высчитывается в начальный момент времени и после каждого процесса деления Если объект готов к делению, а рядом с ней нет свободных ячеек, то на следующей итерации объект сохраняет способность к делению

10 Максимальная продолжительность жизни объекта задается распределением вероятности со средним значением т/ Этот параметр определяется при создании объекта Объект может погибнуть и раньше, если на какой-либо итерации количество питательного вещества в его ячейке станет равным нулю

11 В начальный момент времени объекты создаются в и ячейках области распространения Их положение может быть как случайным, так и задаваться координатами объектов, в которых они расположены Возраст объектов, находящихся в системе в начальный момент времени, задается распределением со средним значением т*

Математическая модель, построенная с учетом принятых допущений,

имеет следующий вид

В начальный момент времени имеется набор объектов

с _ //^('|./|) пЬг.Ь) пЬ„,1„)\ — > 2 ' п I

где С - множество объектов системы, п - общее количество объектов в начальный момент времени, Ок^к) - индексы к-го объекта Для каждого объекта должно выполняться неравенство

VI,т СьСт £ С Ыт |/,-¡т| + \^I-Jm\ > 0, (2)

которое означает, что каждый объект в системе имеет отдельную ячейку

Выбор параметров объектов в начальный момент времени осуществляется в соответствии с выражениями

/-('. Л) , ,

* № ,4 ,хк,хк } хк = тк = 0, т/ е Р(тЦ, т/ е Р(Т4>.0 <1<K0<J<N, (3)

где тк - возраст к-го объекта, тк" - время, прошедшее с последнего деления к-го объекта, г/ — максимально возможная продолжительность жизни к-го объекта, определяемая как число из множества случайных чисел, принадлежащих распределению Р(т{), хк - время до следующего деления к-го объекта, определяемое как число из множества случайных чисел, принадлежащих распределению Р(х^), Р(х/) - распределение времен максимальной продолжительности жизни объекта, Р(х^ - распределение времен между последовательными делениями объектов, М - линейные размеры системы

Пусть Qo'J) — количество питательного вещества в ячейке в начальный момент времени, ¿<2_, - количество питательного вещества, потребляемого объектом из ячейки и получаемого ячейкой из внешней среды за единицу времени Введем функции

(',У)= 1 ЭС'">

I'. З^т (4)

= 1 - 8(и) (5)

нш = ш а!ы> (6)

НМ = Н(, - ш + НО + 1о,1) + Н0и -1,1) + Н(и + 1,0 (7)

Уравнение (4) будем использовать для определения существования объекта в ячейке с индексами / иу Тогда отсутствие объекта в ячейке с индексами / и у определяется уравнением (5), а количество питательного вещества в свободной ячейке определяется по уравнению (6) Уравнение (7) характеризует количество питательного вещества в ближайших к ячейке с индексами < и у четырех свободных ячейках

Материальный баланс для питательного вещества в ячейке может быть записан в следующем виде (8) У;,у 0<¡<N,Q<J<N

дМ = дн0М _ §(ч)лд + М + ^ (8)

¿0/ = Сй-/"^ + QJЧJ> + + - 4<2,->"л) ч . (9)

где т/ - коэффициент диффузии, ¿<2^ - вклад в массоперенос питательного вещества за счет процессов диффузии

Выражение (10) определяет изменение возраста объекта и времени, прошедшего с момента его последнего деления

(с<" "'),-, ->(сГ' "'1 «О, = (г,),_,+!, (г/), =(г1"),.,+1} (10)

Будем считать, что объект погибает, если выполняются условия (11) или (12)

(Т0, > т/=>С = С-{Ск} (11)

й"'Л)<;0 ^>С = С-{С() (12)

Выражения (11) и (12) позволяют исключить объект из множества объектов системы, если отведенный ему максимальный срок жизни уже истек или в соответствующей ему ячейке не осталось питательного вещества

При делении объекта время последнего деления материнского объекта обнуляется и определяется новое значение времени деления из множества случайных чисел, соответствующих распределению Р(т^)

('/Ь «■/=>(»■/),= 0, г/е Жг,,) (]3)

Если объект, расположенный в ячейке /, у делится, то дочерний объект занимает одну из соседних ячеек (14) При этом определение параметров нового объекта происходит в соответствии с выражением (15)

С"'

'— А

с» л>

и

(14)

Ы, п?, Т/,, гл"} гл= ту,"=0, Г// е Я^. ^ е /Ут^ (15)

Соседние ячейки занимаются дочерним объектом в соответствии с вероятностями, определяемыми формулами (16) - (19)

р0и=1к- 1,}ь=]д = ¡¿ьО/Л^/льУа О (16)

рОь = 'k + l, jh =jk) = ¡¡Ok + i,jk,t) / Hz(ihjk,t) pOh = 'k.jh =jk-1) = H(ihjk-It)/ HzOkjht)

pOh = Ikjh =Jk + l) = HObJk + 1,1)/HzOkjbt)

(17)

(18) (19)

Вероятности, определяемые этими уравнениями, равны нулю, если в соответствующей ячейке находится объект или в ней отсутствует питательное вещество

Система уравнений (1) - (19) является замкнутой и позволяет, задавшись начальными условиями расположением объектов, распределением питательного вещества по области распространения, а также параметрами системы скоростью потребления и восполнения питательного вещества, распределениями максимальной продолжительности жизни и времени между делениями объектов, коэффициентом диффузии, вычислить кинетические и морфологические характеристики роста колонии

Программный комплекс для имитационного моделирования роста популяции и определения фрактальной размерности изображений реализован в визуальной среде Borland Delphi Он может работать в операционных системах Windows 98/Ме/2000/ХР/2003

На рис 1 показано семейство кинетических кривых, а на рис 2 соответствующие им зависимости фрактальной размерности изображения от модельного времени для 636 вычислительных экспериментов, отличающихся начальным расположением объектов (4 случайные ячейки) и их возрастом (равномерное распределение от 0 до среднего значения максимальной продолжительности жизни)

Из рис 1 и 2 видно, что кинетические зависимости N(t) различаются весьма существенно, в то время как графики зависимостей морфологических параметров от модельного времени имеют близкую форму Различные формы кинетических кривых объясняются взаимодействием отдельных развивающихся центров популяции Кинетические кривые только в самом начале ведут себя одинаково, впоследствии их форма определяется в значительной степени морфологией отдельной колонии

Поскольку при проведении реальных экспериментов по кинетике роста популяции на плоскости ни положение клеток, ни их начальный возраст не являются хорошо контролируемыми факторами, это может быть причинной значительного разброса наблюдаемых кинетических кривых

В ходе вычислительных экспериментов была обнаружена следующая особенность Оказалось, что при фиксированном начальном расположении объектов (в вершинах квадрата) наблюдалось разделение кинетических кривых на четко выраженные семейства (рис 3), что позволило говорить о наличии бифуркации в системе

Рис, 1, Зависимость количества о&ьсктов в популяции от модельного време-ш для 636 популяций, различающихся начальным положением и возрастом. Значения начальных условий и параметров: О0 = 100; ¿О = 1: 60. = 0; 7 = 0.05; п=100,ь= 10

Рис, 2. Зависимость фрактальной размерности изображения популяции от модельного времени для 636 популяции, различающихся начальным положением н возрастом объектов, Значения начальных условий и параметров: Оо= 100: = 1; &0. =0; 1) = 0,05;

/00; ъ- 10

На рис. 3 показана бифуркация кинетических кривых на три группы. Каждая из этих групп, несмотря на одинаковые начальные условия, отличается различной морфологией. В каждой из этих групп различное число выживших кластеров (четыре - для первой группы, три - для второй группы и два - для первой группы). Важно отметить, что должна иметь место еще одна группа с одним выжившим кластером. Однако вероятность этого пренебрежимо мала, и данное событие не наблюдалось в вычислительном эксперименте.

в популяции от молельного времени для |юг0 времени для 100 популяций при ¡00 популяций при О0 = 100; 40 = 1; л,, = 100■ Ю = 1; дО. =0; и = 0,05;

,0.-0, 4=0,05; ТГ т У" !0 Щ /00; г,= 10

Наблюдая морфологию, количество выживших кластеров можно предсказать уже на 20-й итерации, притом, что разделение кинетических кривых, принадлежащих различным семействам, происходит значительно позже В данной системе можно наблюдать бифуркации, то есть система с одинаковыми начальными условиями разделяется на несколько различных, хорошо отделимых друг от друга семейств кинетических кривых Из рис 4 видно, что бифуркации не наблюдается для фрактальной размерности

Были проведены эксперименты с колонией, для которой было задано небольшое начальное количество питательного вещества, поэтому практически сразу после начала развития популяции ей приходится сталкиваться с нехваткой необходимого ей ресурса Из рис 5 видно, что после кратковременной фазы экспоненциального роста (до 100-й итерации) наблюдается переход к линейному росту колонии

Было выяснено, что это связано с образованием пустот (т е областей, в которых отсутствует питательное вещество или его концентрация недостаточна, и соответственно развитие колонии в этих зонах невозможно) внутри развивающейся колонии Таким образом, линейный рост колонии в

данных условиях можно связать с тем, что ее развитие происходит только за счет движения популя-ционного фронта по части плоскости, где имеется достаточное количество питательного вещества, а на уже освоенной популяцией части плоскости оно быстро закачивается

Продолжительность фазы линейного роста зависит от начальной концентрации питательного вещества и от начального расположения объектов Это согласуется с данными работ (Арзамасцев, 1996)

На начальном этапе развития фрактальная размерность популяции, также как и ее численность, увеличивается, поэтому мы поставили себе цель связать численность популяции и фрактальную размерность на данном этапе развития популяции Следует учесть, что фрактальную размерность и численность популяции нельзя связать линейным или полиноминальным соотношением Это следует из того факта, что фрактальная размерность ограничена (она может принимать значения от 0 до 2 для случая роста на плоскости), и факта, что после некоторого периода времени в модели фрактальная размерность не изменяется, т е происходит насыще-

Рнс 5 Зависимость количества объектов в популяции от модельного времени для 3-х популяций при = 40, = I, д£?» = О, 4 = 02,т,= 100,4= Ю

ние кривой, что должно учитываться в виде зависимости. Мы использовали зависимость следующего вида: N = с х ехр[1/(М+Ь% где N - количество живых объектов в популяции. с1 - фрактальная размерность изображения популяции, с, к, Ь - коэффициенты пропорциональности. Для определения коэффициентов к и Ь мы используем линейную регрессию 1/1п(Щ от В дальнейшем коэффициенты к и Ь определяем для всего семейства экспериментов с помощью усреднения коэффициентов линейной регрессии для каждого отдельного вычислительного эксперимента. Коэффициент с выбирается отдельно для каждого вычислительного эксперимента. Высокое значение коэффициента корреляции (0,95-0,98) между данными вычислительного эксперимента и их аппроксимацией говорит о возможности использования фрактальной размерности для определения численности популяции на ее начальном этапе развития.

Рис. 6. Сравнение форм колоний полученных в эксперименте и по модели в случае взаимодействия объектов типа 1-1 и 1-2: а - исходное изображение, Ь - дополнительная обработка (очистка фона); с - дополнительная обработка (удаление внутренних малоактивных областей), 4 - вычислительным эксперимент при Он = 100: дО. = /; ¿0 = О, 7 = т,= 100: 10

Из сравнения рис. 6с и 6с1 хорошо видно, что форма колонии, которая получилась в модельном эксперименте, качественно соответствует форме колонии, растущей на плоскости. Соответствия наблюдаются в размере характерных неровностей на границе области распространения. Как в экспериментальной, так и в модельной популяции имеются «усы» на стыке трех областей распространения. Столкновения областей распространения имеют много общего для экспериментальной и модельной популяции. Разницу в размерах отдельных областей распространения в экспериментальной и модельной популяции можно объяснить тем, что в реальной популяции засев мог осуществляться в различные периоды времени, в то время как в модели все засевы происходят одновременно. Также внутри областей распространения в эксперименте имеются темные пятна, связанные с малоактивными областями, эти же области хорошо заметны и в модели.

Третья глава диссертации посвящена практическому использованию полученной информации, выявлению корреляций между фрактальной размерностью и внутренними параметрами популяции.

Получены зависимости фрактальной размерности от основных показателей (концентрация клеток, скорость выделения С02, концентрация сухих веществ питательной среды, концентрация этанола), наблюдаемы); в процессе культивирования дрожжей. Значения коэффициентов корреляции с фрактальной размерностью изображений в этом случае составляют от 0,7 до 0,9.

Существование подобных зависимостей имеет значительную практическую ценность, так как некоторые физиологические характеристики популяции (концентрация клеток и связанные с ней скорости роста биомассы, потребления субстратов, дыхания и выделения метаболитов; распределение клеток по размерам и связанный с этим показателем средний биологический возраст культуры) можно вычислить из анализа их изображеиий.

♦ ♦ 0* ш

а) Ь) с) <]) е) Рис. 7. Внешний вил популяции при (10 = 200: ¡¡О = !; - 0, >/ = 0,05\ т;= 100, гу- 10 в различные моменты времени: а)-2, Ь)- 135, с) - 211, (1) -296, е) — 355 итераций. Одна итерация равняется 852 с

ЩКШшШ ■ ...

а) Ь) с) (1) с)

Рис 8. Форма колонии, полученной в "эксперименте в различные моменты времени: а) - 0, Ь) - 32, с) - 50, сГ) - 70, с) - 84 часа после засева. Размер области 3x3 см

Из сравнения рис. 7 и 8 хорошо видно, что форма популяции, которая получилась в модельном эксперименте, качественно соответствует форме популяции, растущей на плоскости. Соответствия наблюдаются как в размерах, так и в форме популяции, небольшие отклонения от округлых форм в модельной популяции объясняются дискретностью сетки и учетом взаимодействия только с четырьмя ближайшими ячейками. Столкновения областей распространения рис. 7 и 8 имеют много общего для экспериментальной и модельной популяции, и имеют одинаковую динамику. Внутри областей распространения в эксперименте имеются темные пятна, связанные с малоактивными областями, также эти области хорошо заметны и в модели и развиваются похожим образом. Из сравнения заметно, чго дина-

мика экспериментальной и модельной популяции имеет много общего и происходит с одинаковой скоростью

Таким образом, можно утверждать, что математическая модель роста колоний на плоскости позволяет описывать различные процессы роста реальных колоний на плоскости и исследовать их динамику.

В списке литературы приведены основные источники по теме диссертации, а также работы самого автора

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Выполнен обзор и анализ литературных данных, посвященных росту популяций и применению фрактальной размерности для моделирования объектов в естественных науках Показаны основные трудности, возникающие при моделировании данных явлений Поставлены задачи исследований

2 Произведено сравнение различных методов (точечный метод, метод оптимальных клеток, метод Грассбергера-Прокаччиа) вычисления фрактальной размерности растровых изображений и выявлены оптимальные методы вычисления для различных классов растровых изображений Произведена оптимизация клеточного метода вычисления фрактальной размерности

3 Разработана новая имитационная математическая модель роста колонии на плоскости, учитывающая индивидуальные характеристики биообъекта (время деления, время жизни, скорость потребления питательного вещества) и моделирующая этот процесс на дискретной сетке

4 Реализован программный комплекс, позволяющий производить имитационное моделирование роста колонии на плоскости и анализ фрактальной размерности изображений

5 Произведены вычислительные эксперименты по имитационной математической модели роста колоний и получены следующие области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов) и бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъетков на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов)

6 Произведено сравнение результатов моделирования с реальными данными, получаемыми при росте микроорганизмов на плоскости Получено морфологическое соответствие форм колоний, наблюдаемых в вычислительном эксперименте и реальном эксперименте как для фиксированного момента времени, так и в процессе их роста

7 Показано существование зависимости вычисленной фрактальной размерности изображений культуры дрожжей от основных показателей ее роста Поскольку подсчет фрактальной размерности цифрового изображения занимает незначительное время, указанная технология может быть использована для управления процессом культивирования микроорганизмов

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Позиции 1, 6, 8, 11-13 опубликованы в изданиях, входящих в Перечень

ведущих рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций, ВАК 2006 г

1 Слетков, Д В Компьютерное моделирование алгебраических фракталов / Д В Слетков // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки - Тамбов, 2001 -Т 6, вып 4 - С 451-453

2 Слетков, Д В Использование фрактальной геометрии для моделирования формообразования природных объектов / А А Арзамасцев, Д В Слетков, Е В Ушакова // Математические методы в техники и технологиях сб тр XV Междунар науч конф - Тамбов, 2002 - Т 6 -Секция И -С 192-194

3 Слетков, Д В О существовании зависимости фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических характеристик / А А Арзамасцев, Е В Ушакова, Д В Слетков, И Ю Исаева // Компьютерное моделирование в естественных и технических науках материалы IV Всероссийской науч internet-конф (апрель-май 2002 г) -Тамбов, 2002 - С 9-11

4 Слетков, Д В Зависимость фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических и физиологических характеристик / А А Арзамасцев, Е В Ушакова, Д В Слетков, И Ю Исаева // Актуальные проблемы информатики и информационных технологий материалы Российской (VI Тамб межвуз ) науч -практ конф - Тамбов, 2002 - С 6-9

5 Слетков, Д В Связь морфологического параметра с основными характеристиками роста популяции микроорганизмов / А А Арзамасцев, Д В Слетков, И В Исаева // Электронный журнал «Исследовано в России» - 2003 - 178 - С 2150-2156 - Режим доступа http //zhumal аре relarn ru/articles/2003/178 pdf

6 Слетков, Д В О существовании зависимости фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических характеристик / А А Арзамасцев, Д В Слетков, Е В Ушакова, И В Исаева // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки - Тамбов, 2003 - Т 8, вып 1 -С 189-190

7 Слетков, Д В Сравнение алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д В Слетков, А А Арзамасцев // III Междунар. конф «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (MPFP) на базе XLI Междунар семинара «Актуальные проблемы прочности» сб тез докл - Тамбов, 2003 - С 202-203

8 Слетков, Д В Сравнение различных алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д В Слетков, А А Арзамасцев // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств итехн науки - Тамбов, 2003. - Т 8, вып 2 - С 282-285

9 Слетков, Д В Зависимость морфологического параметра от основных характеристик роста колонии микроорганизмов / А А Арзамасцев, Д В Слетков II Интеллектуализация обработки информации ИОИ-2004 тез докл. междунар. науч конф - Симферополь, 2004 - С 17

10 Слетков, Д В Связь морфологического параметра с основными характеристиками роста популяции микроорганизмов / Д В Слетков // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки IX Державинские чтения материалы науч конф преподавателей и аспирантов - Тамбов, 2004 -Т 9 вып 1 -С 157-158

11 Слетков, Д В Дискретная математическая модель формообразования колонии микроорганизмов, растущих на плоскости / Д В Слетков, А А Арзамасцев // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки -Тамбов, 2005 -Т 10, вып 2 -С 193-195

12 Слетков, Д В Дискретная модель роста популяции микроорганизмов на плоскости / Д В Слетков, А А Арзамасцев // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки X Державинские чтения материалы науч конф преподавателей и аспирантов. - Тамбов, 2005 -Т 10, вып 1 -С. 112.

13 Слетков, Д В Морфология и кинетика роста колоний микроорганизмов на плоскости Результаты вычислительного эксперимента / Д В Слетков, А А Арзамасцев // Вестн Тамб Ун-та Сер Естеств и техн науки -Тамбов, 2005 -Т 10, вып 3 -С 277-291

Подписано в печать 25 04 2007 г Формат 60x84/16 Объем 1,0 уел печ л Тираж ЮОэкз Заказ 1140

Издательство Тамбовского государственного университета им Г Р Державина 392008, г Тамбов, Советская, 190г

Введение.

ГЛАВА 1. Использование фрактальной геометрии и фрактального анализа в естественных науках.

1.1. Фрактальная геометрия и ее возможности.

1.2. Сравнительный анализ методов вычисления фрактальной размерности растровых изображений.

1.3. Практическое использование фрактальной геометрии в естественных науках.

Выводы по главе 1 и постановка основных задач диссертации.

ГЛАВА 2. Моделирование и фрактальный анализ морфологических характеристик роста колонии на плоскости.

2.1. Математическая модель роста колонии, учитывающая морфологические характеристики популяции.

2.2. Комплекс программ для моделирования роста колонии и фрактального анализа изображений.

2.3. Исследование и моделирование процессов роста колоний на плоскости.

2.4. Соответствие результатов моделирования экспериментальным данным.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. Использование фрактальной размерности и разработанной математической модели для мониторинга реальных процессов развития популяций.

3.1. Расчет фрактальной размерности в процессе роста популяции.

3.2. Соответствие формы и динамики развития колоний, полученных на модели и в эксперименте.

Выводы по главе 3.

Выводы по диссертации.

При анализе изображений различных объектов в естественных науках часто возникает проблема нахождения соответствующей числовой характеристики, которая комплексно характеризует его морфологические и другие особенности. Такие задачи возникают, например, в физике твердого тела, когда по изображению объекта делают выводы о его текущем состоянии и возможных сценариях развития. Другим примером являются биологические объекты - растущие колонии. В этом случае числовая оценка изображений может дать информацию не только об их морфологических особенностях, но и о значениях некоторых скрытых факторов, коррелирующих с морфологическими характеристиками объекта.

Решение такой задачи могло бы иметь большое значение, например, для управления различными биотехнологическими процессами, т.к. по цифровым фотографиям объектов с помощью компьютерных технологий можно было бы судить о состоянии популяции и принимать соответствующие управляющие воздействия.

Однако существующие методы анализа изображений пригодны для решения указанных задач не в полной мере (Сойфер, 2003), а отсутствие соответствующих математических моделей и программного обеспечения не позволяет делать выводы о существовании корреляций морфологических и иных факторов.

Возможным методом комплексной оценки морфологии объекта является подсчет фрактальной размерности его изображения, предложенный Мандельб-ротом {Mandelbrot 1982). Этот метод позволяет оценивать фрактальную размерность для математических объектов. Однако, для растровых изображений, соответствующих представлению графической информации на компьютерах или в цифровых камерах, указанные алгоритмы не могут быть непосредственно применены вследствие того, что мы имеем по существу не математический 4 объект, а его приближение на дискретной сетке. По этой причине возникает необходимость в адаптации существующих алгоритмов вычисления фрактальной размерности для растровых изображений.

Кроме того, для решения указанных задач должна быть разработана имитационная модель роста биологической популяции на плоскости, имеющая следующие особенности: 1) она должна позволить выявить связь морфологических показателей с другими параметрами, изменяющимися в ходе процесса; 2) модель должна формировать растровое изображение, пригодное для подсчета фрактальной размерности.

По имеющимся у нас данным, существующие в настоящее время математические модели не пригодны для решения указанных задач. По этой причине тему диссертации «Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса» следует считать актуальной.

Целью данной диссертации является разработка математических моделей, алгоритмов и комплекса программ, предназначенных для проведения вычислительных экспериментов по изучению связи морфологических, кинетических и иных параметров в процессе роста колоний биологических объектов на плоскости, а также для оценки фрактальной размерности полученных изображений.

Реализация указанной цели предполагает решение следующих задач:

- проведение анализа существующих алгоритмов определения фрактальной размерности, их адаптация к растровым изображениям; определение оптимальных алгоритмов для различных классов изображений; разработка комплекса программ для их реализации;

- разработка математической модели роста колонии биологических объектов на плоскости, учитывающей особенности биообъектов и ее программная реализация;

- проведение вычислительных экспериментов с целью исследования влияния параметров роста, начального расположения объектов и их морфологических и кинетических характеристик;

- сравнение модельных расчетов с данными реальных экспериментов и выявление морфологического соответствия между изображениями;

- разработка алгоритмов, программ и методик их использования в практических целях.

Научная новизна:

- разработана новая имитационная математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, позволяющая связать морфологические и кинетические характеристики и моделирующая этот процесс на дискретной сетке;

- определены оптимальные алгоритмы вычисления фрактальной размерности для различных классов растровых изображений;

- выявлены в ходе вычислительных экспериментов: связь морфологических и кинетических характеристик моделируемого объекта, позволяющая на основе фотографических изображений реальных колоний делать выводы об их кинетических параметрах; определены области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов); выявлена бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъектов на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов);

- программный комплекс для имитационного моделирования роста колонии на плоскости и анализа фрактальной размерности изображений;

- корреляции между морфологическими и кинетическими и внутренними параметрами роста, которые могут быть использованы для организации систем мониторинга подобных процессов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- математическая модель роста колоний биологических объектов на плоскости, рассматривающая каждый объект как отдельную структурную единицу со свойственным ей набором параметров и имитирующая процесс роста на дискретной сетке;

- определение оптимальных алгоритмов вычисления фрактальной размерности;

- результаты вычислительных экспериментов и их сравнение с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы:

- разработанные методы оценки фрактальной размерности и выявленные корреляционные зависимости позволяют сократить время и расходы на оценку параметров биотехнологических процессов на основе компьютерного анализа полученных цифровых изображений;

- программный комплекс, реализующий разработанные методы и алгоритмы, позволяет на современном уровне осуществлять мониторинг технологических процессов.

Апробация работы. Основные теоретические и экспериментальные результаты работы обсуждались на XV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2002); Международной научно-практической конференции «Интеллектуализация обработки информации ИОИ» (Симферополь, 2004); III Международной научной конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений (MPFP)» (Тамбов, 2003); Межвузовской научно-практической конференции «Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» (Тамбов, 2004); VI Всероссийской научной internet-конференции «Компьютерное моделирование в естественных и технических науках» (Тамбов, 2002); VIII, IX, X, XI, XII научных конференциях преподавателей и аспирантов ТГУ им. Г.Р. Державина «Державинские чтения» (Тамбов, 2003-2007 гг.). Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет по адресу http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/178.pdf.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы. Она содержит 138 страниц текста, 2 таблицы и 67 иллюстраций. Материал дополнен приложениями.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

Выполнен обзор и анализ литературных данных, посвященных росту популяций и применению фрактальной размерности для моделирования объектов в естественных науках. Показаны основные трудности, возникающие при моделировании данных явлений. Поставлены задачи исследований.

Произведено сравнение различных методов (точечный метод, метод оптимальных клеток, метод Грассбергера-Прокаччиа) вычисления фрактальной размерности растровых изображений и выявлены оптимальные методы вычисления для различных классов растровых изображений. Произведена оптимизация клеточного метода вычисления фрактальной размерности.

Впервые разработана имитационная математическая модель роста колонии на плоскости, учитывающая индивидуальные характеристики биообъекта (время деления, время жизни, скорость потребления питательного вещества) и моделирующая этот процесс на дискретной сетке.

Реализован программный комплекс, позволяющий производить имитационное моделирование роста колонии на плоскости и анализ фрактальной размерности изображений.

Произведены вычислительные эксперименты по имитационной математической модели роста колоний и получены следующие области допустимых значений кинетических кривых популяционного роста для идентичных начальных условий для случайного начального расположения биообъектов (по результатам 600 вычислительных экспериментов) и бифуркация кинетических кривых роста для идентичных начальных условий в случае заданного начального расположения биообъетков на плоскости (по результатам 100 вычислительных экспериментов).

Произведено сравнение результатов моделирования с реальными данными получаемыми при росте микроорганизмов на плоскости. Получено морфологическое соответствие форм колоний наблюдаемых в вычислительном эксперименте и реальном эксперименте, как для фиксированного момента времени так и в процессе их роста.

Показано существование зависимости вычисленной фрактальной размерности изображений культуры дрожжей от основных показателей ее роста. Поскольку подсчет фрактальной размерности цифрового изображения занимает незначительное время, указанная технология может быть использована для управления процессом культивирования микроорганизмов.

1. Александров, П.С. Введение в общую теорию множеств и функций: Учебное пособие для вузов. Ч. 1. Введение в теорию множеств и теорию функций / П.С. Александров, А.Н. Колмогоров; М-во высшего образования СССР. -M.-JL: Гостехиздат, 1948. - 411 с.

2. Арзамасцев, А.А. Компьютерное моделирование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов. Сообщение 1: периодический процесс / А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Тамбов, 1996. - Т. 1, вып. 1.-С. 71-77.

3. Арзамасцев, А.А. О возможности использования различных моделей кинетики биосинтеза / А.А. Арзамасцев, А.А. Андреев // Биофизика. 2001. - Т. 46, вып. 6.-С. 1048-1061.

4. Арзамасцев, А.А. О существовании зависимости фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических характеристик / А.А. Арзамасцев, Д.В. Слетков, Е.В. Ушакова, И.В. Исаева // Вестн.

5. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. - Т.8, вып.1. - С. 189-190.

6. Божокин, С.В. Математическая модель морфологического строения грибов. / С.В. Божокин // Биофизика. 1996. - Вып. 6. - С. 1298-1300.

7. Гаузе, Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование / Г.Ф. Гаузе //Зоол. журн. 1933.-Т. 12,№3.-С. 170-177.

8. Запивалов, Н.П. Фрактальная геофлюидодинамика нефтенасыщенных систем / Н.П. Запивалов // Труды Всерос. науч. конф. "Фундаментальныепроб-лемы нефти и газа". М.: Изд. РАЕН, 1996. - Т. 4. - С. 21-30.

9. Запивалов, Н.П. О фрактальной структуренефтегазовых месторождений / Н.П. Запивалов,Г.И. Смирнов//ДАН.- 1995.-Т. 341,№ 1.-С. 110-112.

10. Иваницкий, Г.Р. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике / Г.Р. Иваницкий, А.Б. Медвинский, М.А. Цыганков // УФН. 1994. - Т. 164, № 10. - С. 1041-1072.

11. Инструкция по технологическому контролю спиртового производства / М.: Пищевая промышленность, 1967. 348 с.

12. Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер. -М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

13. Мальтус, Т.Р. Опыт о законе народонаселения / Т.Р. Мальтус. СПб., 1895.

14. Николаев, П.П. В поисках формулы красоты / П.П. Николаев // Взор. -2003.-№ 10.-С. 90-97.

15. Николаев, П.П. Парадоксы зрения, или Морис Эшер — предтеча кибер-арта / П.П. Николаев // Взор. 2003. - № 12. - С. 92-100.

16. Николаев, П.П. Формализмы в искусстве модерна. Пути экспликации «гармонии» из «алгебры» / П.П. Николаев // Труды IV Международной конференции «Языки науки — языки искусства» (Суздаль, 7-12 июня 1999 г.). -М.: «Прогресс-Традиция», 2000. С. 104-111.

17. Ораевский, А.П. Мазеры, лазеры и странные аттракторы / А.П. Ораевский // Квантовая электроника. 1981. - Т. 8, № 1. - С. 130-142.

18. Пайтген, Х.-О. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. / Х.-О. Пайтген, П.Х. Рихтер. М.: Мир, 1993. - 176 с.

19. Печуркин, Н.С. Явление аутостабилизации факторов, ограничивающих рост микробных популяций в открытых системах / Н.С. Печуркин, А.Н. Шкидченко // Доклады АН СССР. 1976. - Т. 227, № 3. - С. 719-722.

20. Рылкин, С.С. Эффект аутотермостатирования микробных популяций и его влияние на рост и газообмен микроорганизмов / С.С. Рылкин, А.Н. Шкидченко, В.А. Стеркин, А.В. Баев // Микробиология. 1973. - Т. 42. - С. 445451.

21. Слетков, Д.В. Компьютерное моделирование алгебраических фракталов / Д.В. Слетков // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2001. - Т. 6, вып. 4. - С. 451-453.

22. Слетков, Д.В. Дискретная математическая модель формообразования колонии микроорганизмов, растущих на плоскости / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. - Т. 10, вып. 2. - С. 193-195.

23. Слетков, Д.В. Морфология и кинетика роста колоний микроорганизмов на плоскости. Результаты вычислительного эксперимента / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005.-Т. 10, вып. 3.-С. 277-291.

24. Слетков, Д.В. Сравнение различных алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. - Т. 8, вып. 2. - С. 282-285.

25. Слетков, Д.В. Сравнение алгоритмов вычисления фрактальной размерности / Д.В. Слетков, А.А. Арзамасцев // III Междунар. конф. «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (MPFP) на базе

26. XLI Междунар. семинара «Актуальные проблемы прочности»: сб. тез. докл. Тамбов, 2003. - С. 202-203.

27. Сойфер, В.А. Методы компьютерной обработки изображений (2-е изд.) /

28. B.А. Сойфер. М.: Физматлит, 2003. - 317 с.

29. Федер, Е. Фракталы. Пер. с англ. / Е. Федер. М.: Мир, 1991. - 254 с.

30. Шарковский, А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя / А.Н. Шарковский // Укр. мат. журн. 1964 - Т. 16, № 1.1. C. 61-71.

31. Abraham, F.D. A Visual Introduction to Dynamical Systems Theory for Psychology. The Science frontier express series / F.D. Abraham, R. Abraham, C. D. Shaw. Santa Cruz: Aerial Press, 1990. - 426 p.

32. Adler, J. Chemoreceptors in Bacteria / J. Adler // Science. 1969. - V. 166. -P. 1588-1597.

33. Arzamastsev, A. Computer simulation of temperature autostabilization: an analysis of the phenomenon / A. Arzamastsev, M. Kristapsons // Appl. Microbiol, and Biotech. 1993. - V. 40. - P. 77-81.

34. Bartoli, F. Structure and self-similarity in silty and sandy soils: the fractal approach / F. Bartoli, R. Phillipy, M. Doirisse, S. Niquet, M. Dubuit // J. Soil Sci. -1991.-V. 42.-P. 167-185.

35. Bian, L. Scale dependencies of vegetation and topography in a mountainous environment of Montana / L. Bian, S.J. Walsh // Prof. Geogr. 1993. - V. 45. -P. 1-11.

36. Bolton, R.G. Characterization of the spatial aspects of foraging mycelial cord systems using fractal geometry / R.G. Bolton, L. Boddy // Mycol. Res. 1993. -V. 97.-P. 762-768.

37. Burrough, P. A. Fractal dimensions of landscapes and other environmental data / P.A. Burrough // Nature. 1981. - V. 294. - P. 240-242.

38. Cayley, A. The Newton-Fourier Imaginary Problem / A. Cayley // Am. J. Math. 1879.-V. 2.-P. 97.

39. Chen, S.G. A fractal-based Populus canopy structure model for the calculation of light interception / S.G. Chen, R. Ceulemans, I. Impens // For. Ecol. Manage. -1994.-V. 69.-P. 97-102.

40. Corbit, J.D. Fractal dimension as a quantitative measure of complexity in plant development / J.D. Corbit, D.J. Garbary // Proc. R. Soc. bond. 1995. - V. B262. -P. 1-6.

41. Czaran, T. Coexistence of competing populations along environmental gradients: a simulation study / T. Czaran // Coenoses. 1989. - V. 4. - P. 113-120.

42. De Cola, L. Fractal analysis of a classified Landsat scene / L. De Cola // Photo-gram. Eng. Remote Sens. 1989. - V. 55. - P. 601-610.

43. Deering, W. Fractal physiology / W. Deering,, B.J. West // IEEE Engin. Med. Biol.-1992.-V. 11.-P. 40-46.

44. Dicke, M. Using fractal dimensions for characterizing tortuosity of animal trails / M. Dicke, P.A. Burrough // Physiol. Entom. 1988. - V. 13. - P. 393-398.

45. Eghball, B. Fractal description of soil fragmentation for various tillage methods and crop sequences / B. Eghball, L.N. Mielke, G.A. Calvo, W.W. Wilhelm // Soil Sci. Soc. Am. J. 1993. - V. 57. - P. 1337-1341.

46. Ellner, S. Chaos in a noisy world: new methods and evidence from time-series analysis / S. Ellner, P. Turchin // Amer. Nat. 1995. - V. 145. - P. 343-375.

47. Escos, J.M. Fractal structures and fractal functions as disease indicators / J.M. Escos, C.L. Alados, J.M. Emlen // Oikos. 1995. - V. 74. - P. 310-314.

48. Fatou, P. Sur les equations fonctionnelles / P. Fatou // Bull. Soc. Math. France. -1919.-V. 47.-P. 161-271.

49. Fatou, P. Sur les solutions uniformes de certaines equations fonctionnelle / P. Fatou // C. R. Acad. Sci. 1906. - V. 143. - P. 546-548.

50. Feigenbaum, M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformation / M.J. Feigenbaum // J. of Stat. Phys. 1978. - V. 19, № 1. - P. 25-52.

51. Feigenbaum, M.J. The universal metric properties of nonlinear transformation / M.J. Feigenbaum // J. of Stat. Phys. 1979. - V. 21, № 6. - P. 669-706.

52. Feigenbaum, M.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis / M.J. Feigenbaum, L.P. Kadanoff, S.J. Shenker // Physica. 1982. -V. D5.-P.370.

53. Fitter, A.H. Fractal characterization of root system architecture / A.H. Fitter, T.R. Strickland // Funct. Ecol. 1992. - V. 6. - P. 632-635.

54. Frontier, S. Applications of fractal theory to ecology / S. Frontier // Developments in numerical ecology / editors P. Legendre and L. Legendre. Berlin : Springer, 1987. - P. 335-378.

55. Gause G.F. The struggle for existence / G.F. Gause. Baltimore : Williams and Wilkins, 1934.- 163 p.

56. Glazier, J.A. Reconstructing phylogeny from the multifractal spectrum of mitochondrial DNA / J.A. Glazier, S. Raghavachari, C.L. Berthlesen, M.H. Skolnick // Phys. Rev. 1995. -V. E51.-P. 2665-2668.

57. Glenny, R.W. Applications of fractal analysis to physiology / R.W. Glenny, H.T. Robertson, S. Yamashiro, J.B. Bassingthwaighte // J. Appl. Physiol. 1991. -V. 70.-P. 2351-2367.

58. Godfray, H.C.J. The continuing quest for chaos / H.C.J. Godfray, B.T. Grenfell // Trends Ecol. Evol. 1993. - V. 8. - P. 43-44.

59. Goldberger, A.L. Fractal mechanisms in the electrophysiology of the heart / A.L. Goldberger // IEEE Eng. Medicine Biol. 1992. - V. 11. - P. 47-52.

60. Goldberger, A.L. Chaos and fractals in human physiology / A.L. Goldberger, D.G. Rigney, B.J. West // Sci. Am. 1990. - V. 262 (2). - P. 42-49.

61. Goodchild, M.F. The fractal nature of geographic phenomena / M.F. Goodchild, D.M. Mark // Ann. Assoc. Amer. Geogr. 1987. - V. 77. - P. 265-278.

62. Grassberger, P. Generalized dimensions of strange attractors / P. Grassberger // Phys. Lett. 1983. - V. A97. - P. 227-230.

63. Grassberger, P. Measuring of strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Physica. 1983. - V. 9D. - P. 189-208.

64. Gunnarsson, B. Fractal dimension of plants and body size distribution in spiders / B. Gunnarsson // Funct. Ecol. 1992. - V. 6. - P. 636-641.

65. Hahn, G.L. Characterizing animal stress through fractal analysis of thermoregulatory responses / G.L. Hahn, Y.R. Chen, J.A. Nienaber, R.A. Eigenberg, A.M. Parkhurst // J. Therm. Biol. 1992. - V. 17. - P. 115-120.

66. Hargrove, W.W. A fractal landscape realizer for generating synthetic maps / W.W. Hargrove, F.M. Hoffman, P.M. Schwartz // Conservation Ecology. 2002. -V. 6.-P. 2.

67. Haslett, J.R. Community structure and the fractal dimensions of mountains habitats / J.R. Haslett // J. Theor. Biol. 1994. - V. 167. - P. 407-411.

68. Hastings, A. Chaos in ecology: is mother nature a strange attractor? / A. Hastings, C.L. Horn, S. Ellner, P. Turchin, H.C.J. Godfray // Ann. Rev. Ecol. Syst. -1993.-V. 34.-P. 1-33.

69. Hastings, H.M. Fractals: a user's guide for the natural sciences / H.M. Hastings, G. Sugihara. Oxford : Oxford University Press, 1993. - 248 p.

70. Hausdorff, F. Dimension und Ausseres Mass / F. Hausdorff // Mathematische Annalen.-1919.-V. 79.-P. 157-179.

71. Henon, M. The applicability of the third integral of motion: Some numerical experiments / M. Henon, C. Heiles // Aston. J. 1964. - V. 69. - P. 73-79.

72. Hentschel, H.G.E. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors / H.G.E. Hentschel, I. Procaccia // Physica. 1983. - V. D8. -P. 435-444.

73. Jeffries, M. Invertebrate colonization of artificial pondweeds of differing fractal dimension / M. Jeffries // Oikos. 1993. - V. 67. - P. 142-148.

74. Johnson, A.R. Diffusion in fractal landscapes: simulations and experimental studies of tenebrionid beetle movements / A.R. Johnson, B.T. Milne, J.A. Wiens // Ecology. 1992.-V. 73.-P. 1968-1983.

75. Johnson, A.R. Animal movements and population dynamics in heterogeneous landscapes / A.R. Johnson, J.A. Wiens, B.T. Milne, Т.О. Crist // Land. Ecol. -1992.-V. 7.-P. 63-75.

76. Julia, G. Memoire sur iteration des functions rationelles / G. Julia // J. Math. Pure. Appl. 1918. -V. 8. - P. 47-245.

77. Keller, E. Model for Chemotaxis / E. Keller, L. Segel // J. Theor. Biol. — 1971. — V.30.-P. 225-234.

78. Krummel, J.R. Landscape patterns in a disturbed environment / J.R. Krummel, R.H. Gardner, G. Sugihara, R.V. O'Neill, P.R. Coleman // Oikos. 1987. - V. 48. -P. 321-324.

79. Lam, N.S. Description and measurement of Landsat TM images using fractals / N.S. Lam // Photogram. Eng. Remote Sens. 1990. - V. 56. - P. 187-195.

80. Lam, N.S. On the issues of scale, resolution, and fractal analysis in the mapping sciences / N.S. Lam, D.A. Quattrochi // Prof. Geogr. 1992. - V. 44. - P. 88-98.

81. Lewis, M. Fractal surfaces of proteins / M. Lewis, D.C. Rees. // Science. 1985. -V. 230.-P. 1163-1165.

82. Li, T.Y. Period three implies chaos / T.Y. Li, J.A. Yorke // Am. Math. Month. -1975.-V. 82.-P. 985-992.

83. Liebovitch, L.S. Ion channel kinetics: a model based on fractal scaling rather than multistate Markov processes / L.S. Liebovitch, J. Fischbargand, J.P. Koniarek // Math. Biosci. 1987. - V. 84. - P. 37-68.

84. Liebovitch, L.S. Ion channel kinetics. Protein switching between conformational states is fractal in time / L.S. Liebovitch, J.P. Koniarek // IEEE Eng. Medicine Biol.- 1992.-V. 11.-P. 53-56.

85. Lipsitz, L.A. Loss of'complexity' and aging / L.A. Lipsitz, A.L. Goldberger // J. Am. Med. Assoc. 1992. - V. 267. - P. 1806-1809.

86. Long, C.A. Leonardo da Vinci's rule and fractal complexity in dichotomous trees /С.А. Long//J.Theor. Biol.-1994.-V. 167.-P. 107-113.

87. Lopez-Quintela, M.A. Revision of the methodology in enzyme kinetics: a fractal approach / M.A. Lopez-Quintela, J. Casado // J. Theor. Biol. 1989. - V. 139. -P. 129-139.

88. Lorenz, E.N. Deterministic nonperiodic flow / E.N. Lorenz // J. Atm. Sci. -1963.-V. 20.-P. 130-141.

89. Lotka, A.J. Elements of mathematical biology / A.J. Lotka. New York : Dover, 1956.-465 p.

90. Lotka, A.J. Elements of physical biology / A.J. Lotka Baltimore : Williams and Wilkins, 1925.-457 p.

91. Malthus, T.R. An essay of the principle of population / T.R. Malthus. London : Johnson, 1798.

92. Mandelbrot, B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. San Francisco : Freeman, 1982. - 480 p.

93. Matsuyama, T. Self-similar colony morphogenesis by gram-negative rods as the experimental model of fractal growth by a cell population / T. Matsuyama, M. Matsushita // Appl. and Env. Microbiol. 1993. - V. 58. - P. 1227-1232.

94. ЮЗ.Маигег, J. Rayleigh-Benard experiment in liquid helium; frequency locking and the onset of turbulence / J. Maurer, A. Libchaber // J. de Phys. Lett. 1979. -V. 40.-P. 419-423.

95. May, R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics / R.M. May // Nature. 1976. - V. 261. - P. 459-467.

96. McGarigal, K. FRAGSTATS: spatial pattern analysis program for quantifying landscape structure / K. McGarigal, B. Marks // U.S. Forest Service General Technical Report PNW-GTR-351. 1995.

97. Milne, B.T. Spatial aggregation and neutral models in fractal landscapes / B.T. Milne // Am. Nat. 1992. - V. 139. - P. 32-57.

98. Milne, B.T. Interactions between the fractal geometry of landscapes and allomet-ric herbivory / B.T. Milne, M.G. Turner, J.A. Wiens, A.R. Johnson // Theor. Pop. Biol. 1992. - V. 41. - P. 337-353.

99. Morse, D.R. Fractal dimension of vegetation and the distribution of arthopod body lengths / D.R. Morse, J.H. Lawton, M.M. Dodson, M.H. Williamson // Nature. 1985. - V. 314. - P. 731-733.

100. Nelson, T.R. The fractal lung: universal and species-related scaling patterns / T.R. Nelson, B.J. West, A.L. Goldberger // Experimentia. 1990. - V. 46. -P. 251-254

101. Nonnenmacher, T.F. Fractals in biology and medicine / T.F. Nonnenmacher, G.A. Losa, E.R. Weibel. Cambridge : Birkhauser, 1994. - 369 p.

102. Obert, M. Microbial growth patterns described by fractal geometry / M. Obert, P. Pfeifer, M. Sernetz // J. Bacteriol. 1990. - V. 172. - P. 1180-1185.

103. O'Neill, R.V. Indices oflandscape pattern / R.V. O'Neill, J.R. Krummel, R.H. Gardner, G. Sugihara, B. Jackson, D.L. DeAngelis, B.T. Milne, M.G. Turner, B. Zygmunt, S.W. Christensen, V.H. Dale, R.L. Graham // Land. Ecol. 1988. -V. l.-P. 153-162.

104. Osawa, A. Inverse relationshipof crown fractal dimension to self-thinning exponent of tree populations: a hypothesis / A. Osawa // Can. J. For Res. 1995. -V. 25.-P. 1608-1617.

105. Ostlund, S. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems / S. Ostlund, D. Rand, J. Sethna, E.D. Siggia // Physica. -1983.-V.D8.-P. 303-342.

106. Palmer, M.W. Fractal geometry: a tool for describing spatial patterns of plant communities / M.W. Palmer // Vegetatio. 1988. - V. 75. - P. 91-102.

107. Palmer, M.W. The coexistenceof species in fractal landscapes / M.W. Palmer // Am. Nat. 1992. - V. 139. - P. 375-397.

108. Pearl, R. The biology of population growth / R. Pearl. New York: A. A. Knopf, 1930.-260 p.

109. Pearl, R. The growth of populations / R. Pearl // Quart. Rev. Biol. 1927. -V.2.-P. 532.

110. Peitgen, H.-O. The science of fractal images / H.-O. Peitgen, D. Saupe. New York : Springer-Verlag, 1988. -312p.

111. Perfect, E. Fractal theory applied to soil aggregation / E. Perfect, B.D. Kay // Soil Sci. Soc. Am. J. 1991. -V. 55. -P. 1552-1558.

112. Perfect, E. Multifractal model for soil aggregate fragmentation / E. Perfect, B.D. Kay, V. Rasiah // Soil Sci. Soc.Am. J. 1993. - V. 57. - P. 896-900.

113. Phillips, J.D. Measuring complexity of environmental gradients / J.D. Phillips // Vegetatio. 1985. -V. 64. - P. 95-102.

114. Poincare H. Les Methods Nouvelles de la Mechanique Celeste / H. Poincare. -Paris : Gautheir-Villars, 1892.

115. Pomeau, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P.Manneville // Comm. in Math. Phys. 1980. - V. 74. -P. 189.

116. Rand, D. Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems / D. Rand, S. Ostlund, J. Sethna, E.D. Siggia // Physical Review Letters. -1982.-V. 49, №2.-P. 132-135.

117. Ritz, K. Quantification of the fractal nature of colonies of Trichoderma viride / K. Ritz, J. Crawford // Mycol. Res. 1990. - V. 94. - P. 1138-1152.

118. Rivero, M.A. Transport Models for Chemotactic Cell Populations Based on Individual Cell Behavior / M.A. Rivero, R.T. Tranquillo, H.M. Buettner, D.A. Lauf-fenburger //Chem. Engng. Sci. 1989. - V. 44. - P. 2881-2897.

119. Schaffer, W.M. Chaos in ecological systems: the coals that Newcastle forgot / W.M. Schaffer, M. Kot // Trends Ecol. Evol. 1986. - V. 1. - P. 58-63.

120. Scheuring, I. The fractal nature of vegetation and the species-area relation /1. Scheuring // Theor. Popul. Biol. 1991. - V. 39. - P. 170-177.

121. Shenker, S.J. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results / S.J. Shenker//Physica. 1982. -V. D5. -P.405-411.

122. Shorrocks, В. The fractal dimension of lichens and the distribution of arthropod body lengths / B. Shorrocks, J. Marsters, I. Ward, PJ. Evennett // Funct. Ecol. -1991.-V. 5.-P. 457-460.

123. Smith, T.G. A fractal analysis of cell images / T.G. Smith, W.B. Marks, G.D. Lange, W.H.Sheriff, E.A. Neale // J.Neurosci. Meth. 1989. - V. 27. - P. 173180.

124. Stanley, H.E. Fractal landscapes in physics and biology / H.E. Stanley // Physica. 1992. - V. A186. - P. 1-32.

125. Stone, L. Chaos, cycles and spatiotemporal dynamics in plant ecology / L. Stone, S. Ezrati // J. Ecol. 1996. - V. 84. - P. 279-291.

126. Sugihara, G. Nonlinear forecasting for the classification of natural time series / G. Sugihara // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1994. - V. A. - P. 477-495.

127. Sugihara, G. Distinguishing error from chaos in ecological time series / G. Sugihara, B. Grenfell, R.M. May // Phil. Trans. R. Soc. London. 1990. - V. ВЗЗО. -P. 235-251.

128. Sugihara, G. Applications of fractals in ecology / G. Sugihara, R.M. May // Trends Ecol. Evol. 1990. - V. 5. - P. 79-86.

129. Takahashi, M. A fractal model of chromosomes and chromosomal DNA replication / M. Takahashi // J. Theor. Biol. 1989. - V. 141. - P. 117-136.

130. Tatsumi, J. Fractal analysis of plant root systems / J. Tatsumi, A. Yamauchi, Y. Kono // Ann. Bot. 1989. - V. 64. - P. 499-503.

131. Teich, M.C. Fractal patterns in auditory nerve-spike trains / M.C. Teich, S.B. Lowen // IEEE Eng. Med. Biol. 1994. - V. 13. - P. 197-202.

132. Turcotte, D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics / D.L. Turcotte. -Cambridge : Cambridge University Press, 1992. 231 p.

133. Turner, M.G. Changes in landscape patterns in Georgia, USA / M.G. Turner, C.L. Ruscher // Land. Ecol. 1988. - V. 1. - P. 241-251.

134. Tyler, S.W. Application of fractal mathematics to soil water retention estimation / S.W. Tyler, S.W. Wheatcraft // Soil Sci. Soc. Amer. J. 1989. - V. 53. - P. 987996.

135. Ulam, S.M. On combination of stochastic and deterministic process / S.M. Ulam, J. von Neumann // Bull. Amer. Math. Soc. 1947. - V. 53, № 11. -P. 1120.

136. Van Hees, W.W.S. A fractal model of vegetation complexity in Alaska / W.W.S. Van Hees // Land. Ecol. 1994. - V. 9. - P. 271-278.

137. Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P.F. Verhulst // Corr. Math, at Phys. 1838. - V. 10. - P. 113-121.

138. Vlcek, J. Fractal analysis of leaf shapes / J. Vlcek, E. Cheung // Can. J. For. Res. 1986. -V. 16.-P. 124-127.

139. Volterra V. Leconssurla theorie mathematique de la lutte pour la vie / V. Volterra. Paris : Gauthiers-Villars, 1931.

140. Volterra, V. Variazone e fluttuazini del numero d'individui in specie animali conviventi / V. Volterra // Mem. Accad. naz. Lincei. Ser. 1926. - V. 2. - P. 31113.

141. Voss, R.F. Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenomena in Disordered Systems / R.F. Voss. New York : Plenum Press, 1985. -320 p.

142. Wagner, G.C. Fractal models of protein structure, dynamics and magnetic relaxation / G.C. Wagner, J.T. Colvin, J.P. Allen, H.J. Stapleton // J. Am. Chem. Soc. 1985. - V. 107. - P. 5589-5594.

143. West, B.J. Physiology in fractal dimensions / B.J. West, A.L. Goldberger// Am. Sci. 1987. - V. 75. - P. 354-365.

144. Wiens, J.A. Spatial scaling in ecology. / J.A. Wiens // Funct. Ecol. 1989. -V.3.-P. 385-397.

145. Wiens, J.A. Fractal patterns of insect movement in microlandscape mosaics / J.A. Wiens, Т.О. Crist, K.A. With, B.T. Milne // Ecology. 1995. - V. 76. -P. 663-666.

146. Wiens, J.A. Scaling of 'landscapes' in landscape ecology, or landscape ecology from a beetle's perspective / J.A. Wiens, B.T. Milne // Land. Ecol. 1989. - V. 3. -P. 87-96.

147. With, K.A. Using fractal analysis to assess how species perceive landscape structure / K.A. With // Land. Ecol. 1994. - V. 9. - P. 25-36.

148. With, K.A. Ontogenetic shifts in how grasshoppers interact with landscape structure: an analysis of movement patterns / K.A. With // Funct. Ecol. 1994. - V. 8. -P. 477-485.

149. Xiao, Y. Fractal dimension of exon and intron sequence / Y. Xiao, R. Chen, R. Shen, J. Sun, J. Xu // J. Theor. Biol. 1995. - V. 175. - P. 23-26.

150. Xu, J. Fractal geometry study of DNA binding proteins / J. Xu, Y. Chao, R. Chen. // J. Theor. Biol. 1994. - V. 171. - P. 239-249.

151. Zeide, B. Fractal dimensions of tree crowns in three loblolly pine plantations of coastal South Carolina / B. Zeide, C.A. Gresham // Can. J. For. Res. 1991. -V. 21. - P. 1208-1212.