автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и численное исследование в диагностике закреплений и нагруженности механических систем

На правах рукописи

АХТЯМОВ Азамат Мухтарович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ДИАГНОСТИКЕ ЗАКРЕПЛЕНИИ И НАГРУЖЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Уфа - 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Султанаев Яудат Талгатович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Юрко Вячеслав Анатольевич;

доктор технических наук, профессор Якупов Радик Гиззатович;

доктор физико-математических наук, профессор Спивак Семен Израилевич.

Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН.

Защита диссертации состоится ¿Т октября 2004 г. в ■/■^ ^ на заседании диссертационного совета Д 212.013.02 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет, ауд. 511.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

2004 г.

Болотнов А. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В последнее время обществом стали предъявляться большие требования к диагностике технических систем. Каждая новая модель автомобиля, авиалайнера или какой-либо технической системы оснащается современными системами диагностики. Ученые создают все новые и новые модели диагностики в целях обеспечения большей безопасности людей и быстрого обнаружения неисправности. Возникающие техногенные катастрофы и опасности, связанные с изношенностью основных фондов, потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики технического состояния строительных, и других объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций.

В настоящее время учеными достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета. Быстрыми темпами развивается и электронная диагностика технических систем. Однако вплоть до недавнего времени задачи по диагностике состояния закреплений и нагруженности строительных объектов акустическими и статическими методами оставались вне поле зрения ученых. И специалисты МЧС при оценке состояния надежности закреплений и нагруженности объектов вынуждены были пользоваться преимущественно визуальными методами, близко приближаясь к объекту и подвергая свою жизнь опасности. Аналогичная ситуация сложилась и в диагностике закреплений и нагруженности технических систем. Для выявления неисправности или проверки надежности закрепления элементов системы специалисты вынуждены были прибегать к ее разборке, увеличивая затраты на диагностику, нарушая приработку деталей и долговечность системы. Развитие и взаимопроникновение методов механики, математической физики, спектральной теории операторов, теории функций, алгебраической геометрии и современных компьютер-

ных технологий привели к новым возможностям в диагностике, что позволило ставить и решать новые задачи. В частности, новые перспективы возникли в диагностике закреплений и нагру-женности объектов, которая, как оказалось, находится на стыке этих наук. Стало ясно, например, что математические модели в акустической диагностике закреплений следует разрабатывать с помощью механики, затем формулировать как обратные задачи математической - физики и спектральной теории операторов, которые уже решаются с помощью последовательного применения методов дифференциальных уравнений, теории целых функций, математического анализа, грассмановой и линейной алгебры и современными численными методами. Такой комплексный подход позволил изучить эти и другие математические модели, ответить на важные теоретические вопросы и создать на их основе пакеты программ для пользователей. Именно этой теме — разработке математических моделей акустической и статической диагностики закреплений и нагруженности объектов, а также их исследованию — и посвящена настоящая диссертация.

Цели исследования. Основными целями исследования являются: 1) создание и исследование математических моделей акустической диагностики закреплений и нагруженности пластин и стержней; 2) разработка математических моделей для определения недоступных для визуального осмотра закреплений пластин и балок по их видимым прогибам в нескольких точках; аналитическое и численное исследование этих моделей статической диагностики; 3) доказательство корректности постановок математических задач, возникающих в соответствующих моделях; создание на их основе пакетов программ для пользователей; 4) решение задачи о продольных колебаниях стержня, оба конца которого испытывают, сопротивление, пропорциональное скорости; получение формулы вычисления коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для широких классов спектральных задач, возникающих в механике:

Научная; новизна полученных результатов. Впервые

сформулированы математические модели диагностирования вида закрепления мембран, стержней и пластин по собственным частотам, их изгибных колебаний, показана корректность соответствующих задач, разработаны методы. и пакеты программ для их решения. В результате проведенных исследований обнаружено, что закрепления круговых и кольцевых мембран и пластин можно однозначно идентифицировать по собственным частотам, их колебаний. Сформулированы математические модели диагностирования вида закрепления балок и пластин по значениям их прогибов в нескольких точках. Доказана корректность постановок соответствующих задач. Найдены точные и численные методы их решения. Впервые поставлены и решены проблемы идентификации нераспадающихся краевых условий по спектру краевой задачи. На основе некоторых из этих результатов разработаны методы диагностирования сложных видов закреплений механических систем. Получены новые результаты в классической теории обратных спектральных задач. В частности, найдены аналитические и численные решения обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями.

Практическая значимость результатов. Разработанные математические модели и методы становятся основой акустической и статической диагностики недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций. Найденные формулы могут дать экономический эффект, связанный с оценкой опасности объекта без приближения к нему и без дорогостоящей его разборки. В некоторых чрезвычайных ситуациях правильное использование этих методов поможет сохранить человеческие жизни. Предложены также методы, с помощью которых можно судить о величине сосредоточенных масс стержня или вала по собственным частотам изгибных или крутильных колебаний. Поскольку изменения величин масс могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание инородных предметов и т. п., то найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической

системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

О практической значимости исследований свидетельствуют и победы в конкурсах проектов по целевой программе "Интеграция" (этапы 2001 и 2004 годов), РФФИ (2000-2003 годы, проекты 00-0100068, 01-01-00996) и Министерства образования РФ (2003-2004 годы, проект Е02-1.0-77). Результаты работы внедрены в научные исследования лаборатории "Механика твердого тела" Института механики УНЦ РАН и в учебный процесс кафедры дифференциальных уравнений Башгосуниверситета.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на многих семинарах и конференциях, из которых можно выделить следующие. Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (Уфа, 1996); II и III Международные конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1996, 1998); Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти А- Ф Леонтьева (Н. Новгород, 1997); Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Л. С. Понтряги-на (Москва, 1998); Международная научная конференция "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (Стерлитамак, 1998); Международная научная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999); Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999); Международная научная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000); Международный семинар-совещание "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики" (Уфа, 2000); Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 2000); International Conference on Multiphase Systems, held on occasion of the 60th Birthday of Robert Nigmatulin (Ufa, 2000); Symposium "Theory of partial differential equations and special topics of theory of ordinary differential equations,

dedicated to 150th anniversary of birthday of Sofia Kovalevskaya" (St. Peterburg, 2000); International Conference "Differential Equations and Related Topics", dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan G. Petrovskii (Moscow, 2001); Всероссийские симпозиумы по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001, Сочи, 2002, Ростов-на-Дону, 2002); Научный семинар Института механики УНЦ РАН (Уфа, 2001, 2003); Международная научная конференция "Асимптотики дифференциальных уравнений", посвященная 70-летию А. М. Ильина (Уфа, 2002); Международная Школа-конференция "Обратные задачи: Теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002); Международная научная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002); Межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002); VI Научная конференция "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Новгород, 2002); XX Международная конференция по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 2002); Объединенный научный семинар кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа БашГУ (Уфа, 2003, 2004); II Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященная 80-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2003); Научная школа "Математические модели, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2003); Объединенный научный семинар кафедр математического моделирования и вычислительной математики БашГУ (Уфа, 2004); Научный семинар Института механики и машиностроения КНЦ РАН (Казань, 2004); Международная научная конференция, посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2004); Международная школа по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004).

Достоверность результатов и обоснованность предложенных в диссертации математических моделей подтверждена доказательством корректности поставленных задач и результатами численных экспериментов.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 40 работах, 25 из которых — в рецензируемых научных журналах.

Личный вклад автора. Научные результаты, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно. В совместных работах ему принадлежат постановки и анализ задач, разработка численных методов и алгоритмов решения, создание комплекса программ.

Структурами объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 345 страниц текста, 7 рисунков, 1 таблицу, список литературы из 268 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели исследования, отмечается научная новизна и практическая значимость результатов, приводятся положения, выносимые на защиту.

В главе 1 впервые рассмотрены задачи акустической диагностики закрепления упругих тел и соответствующие математические модели.

В параграфе 1.1 рассмотрена задача отыскания вида закрепления круговой пластины, недоступного для визуального осмотра, по собственным частотам ее симметричных изгибных колебаний. Результаты параграфа и всей главы получены на основе классической теории пластин, в основе которой лежит совокупность допу- • щений, называемая гипотезами Кирхгофа-Лява. В рамках этой теории круглая однородная пластина толщины /г, отнесенная к полярной системе координат подчиняется уравнению

п I _Ё. 1ЁЛ {д2™ I 1 дМ , д2ги _

+ Г дг + Т-2 дв2 Д дг* + Г дг + Г2 902 )+РЛ ~

где — цилиндрическая жесткость пластины, — нор-

мальная нагрузка, действующая на пластину.

При свободных колебаниях пластины q = 0 и задача о симметричных колебаниях тонкой круговой пластины заменой w = w(r, в, t) = y(r) cosfat — х) сводится к следующей спектральной задаче

d4y 2 d3y 1 сРу 1 dy 4

+ + Гя.ЗГ ~ Л У = О,

г 6 [0, о], (1) ЫУ) = 0, (2)

¿г4 г ¿г3 г2 йг2 Г3'¿г у ограничено при г = 0, £Л(у) = О,

где [/¿(у) = (Ь,у)г=а (г = 1, 2) — линейные формы,

характеризующие закрепление пластины, причем Ь\ у (г) — у (г), Ь2У(г) = ^ЗУ(Г) = +

¿4У(г) = £ + 1 л = а - радиус пла-

стины, а/ — частотный параметр, И — цилиндрическая жесткость пластины, и — отношение Пуассона, К — толщина, р — плотность.

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов ау форм {/х(у) и С/г(у)» через А, а ее миноры — через Мц\

А =

оц а\2 oi3 он 021 022 «23 а24

М0 =

au aij 02i 02j

В механике известны различные случаи закрепления круговой пластины (См. рис. 1). Во всех случаях закрепления

Ми = О, М23 = 0.

(3)

Эти условия имеют вполне объяснимый физический смысл. Дело в том, что первое краевое условие 11\(у) = 0 связывает прогиб пластины и перерезывающую силу, а второе [/г (у) = 0 — угол поворота и изгибающий момент. Следовательно, более точный вид матрицы А — следующий:

Оц 0 0 <314

0 Ü22 а 23 0

Вид эакрегглсиия Схсмо

Заделка Г-

О пи р анна л—

Свободный край --

Упругое закреплен иг I—

Рис. 1: Виды закрепления круговой пластины

Задача, состоящая в поиске собственных частот колебаний пластины с известными параметрами и условиями закрепления, сводится к поиску ненулевых собственных значений Л^ задачи (1)-(2). Эта задача хорошо изучена. В параграфе 1.1 рассматривается обратная к ней задача, состоящая в следующем: Пусть известны параметры круглой однородной пластины (радиус, толщина и цилиндрическая, жесткость), известны также собственные частоты изгибных симметричных колебаний, но неизвестны условия закрепления пластины. Требуется определить эти неизвестные условия закрепления по набору собственных частот симметричных колебаний пластины и ее известным параметрам.

Отыскание неизвестных условий закрепления круговой пластины по ее собственным, частотам равносильно поиску краевых условий (2) или же линейных форм спектральной

задачи (1)-(2) по ее ненулевым собственным значениям. Отыскание же форм 11\ (у), С/г (у) равносильно нахождению линейной оболочки , построенной на векторах

а = 1, 2).

Таким образом, в терминах спектральной задачи (1)-(2) обратная задача нахождения вида закрепления пластины может быть сформулирована следующим образом: коэффициенты ац форм 171 (у) и {/г(у) задачи (1)-(2) — неизвестны; ранг матрицы А, составленной из этих коэффициентов, равен двум, миноры, М^ и Мгз этой матрицы равны нулю; известны отличные от нуля собственные значения Хк задачи (1). Требуется восстановить линейную оболочку (ах, аг) векторов щ — (а^, <^¿2, од, а,4)т (г = 1, 2).

В параграфе 1.1 доказаны две теоремы единственности и теорема устойчивости решения обратной задачи. Сформулируем их.

Наряду с задачей (1)-(2) рассмотрим следующую спектральную задачу

у ограничено при.г = 0, II\(у) = 0, Щ{у) = 0. (6)

Здесь Щу) = £}=1 Ьц (£,• у(г))р=в_ (г = 1, 2) — линейные формы, характеризующие закрепление пластины. Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов Ьу форм Х1\{у) и С/г (у), через В, а ее миноры — через М^:

Ьц Ьц ¿>2» Ь^]

Через (Ьх, Ьг) обозначим линейную оболочку векторов Ьг = (Ьа, Ь»2, Ь^з, 6^4)Т (» = 1, 2).

Теорема 1 (о единственности,решения). Пусть выполненыследующиеусловия: ___

Если отличные от нуля собственные значения задач (1), (2) и (5), (6) совпадают с учетом их кратностей, то совпадают и линейныеоболочки{а.\, аг) и (Ьх, Ьг).

Пусть А* (г = 1,2,3) — ненулевые собственные значения задачи (1)-(2). Рассмотрим систему трех уравнений от четырех неизвестных М\2, Л/13, М24, М34:

м12 Л(Л|) + Мп /2(А*) + М24 МХг) + М34 /4(А4) = 0, » = 1,2,3.

(7)

Здесь /х(А) = (Ьх )(Ь210)-(Ь2 /0), Л(А) = (¿1 /о)--(ЬзЛ>)(Ь1-Го), /з(А) = {Ь2 ^)(Ь410) - (Ь^о)(Ь21о), /4(А) = = (Ьз 7о)(¿4 /о) — (¿4 Л)(£3 /о), где символом 7о обозначена функция 7о(оА), а символом /о — функция /о(а А).

Теорема 2 (о единственности решения). Если матрица системы (7) имеет ранг 3, то решение обратной задачи отыскания краевых условий (2) по собственным значениям (г = 1,2,3) задачи (1)-(2) существует и единственно.

Замечание. Теорема 2 сильнее теоремы 1, поскольку в теореме 2 для восстановления краевых условий используются только три, а не все собственные частоты как в теореме 1. Однако теорема 1 также необходима. Дело в том, что теорема 2 не утверждает, что для произвольных трех собственных частот ранг системы (7) равен трем. При выборе некоторых трех собственных частот может оказаться, что ранг системы (7) не равен трем и тогда теорема 2 неприменима и мы не можем утверждать, что решение задачи отыскания краевых условий (2) единственно. А теорема 1 гарантирует, что по всем собственным частотам краевые условия (2) найдутся однозначно. Приведем пример, подтверждающий это. Как известно, собственные значения А^ для круговой однородной пластинки со свободным краем при больших к и симметричных колебаниях асимптотически равны числам а собствен-

ные значения задачи Л^ для пластинки заделанной по контуру при больших, к и симметричных колебаниях асимптотически равны числам Хк = {к + 1) я". Если пренебречь порядком следования собственных значений, то они, начиная с восьмого, практически совпадают на множестве чисел {/гя-}. Следовательно, бесконечному набору собственных значений соответствуют совершенно разные граничные условия (ранг системы (7)

меньше трех) и теорема 2 для трех далеких собственных частот неприменима. А из теоремы 1 тем не менее вытекает, что краевые условия (2) могут быть найдены по всем собственным частотам однозначно.

При реальных измерениях с помощью частотомера собственные частоты определяются не точно, а с некоторой погрешностью. Поэтому важной является доказательство устойчивости полученного решения, т. е. доказательство непрерывной зависимости восстанавливаемых краевых условий (2) от

В диссертации доказана следующая

Теорема 3 (об устойчивости решения). Если один из определителей третьего порядка матрицы ||Д(Л{)||зх4 существенно отличен от нуля и | А» — < 6 << 1, то краевые условия задач (1)-(2) и (5)-(6) близки.

Основная трудность доказательства этой теоремы и получения приближенного решения задачи состоит в следующем: при решении обратной краевой задачи возникает промежуточная задача определения линейной оболочки (ах, аг) по псевдоминорам Мц матрицы Л, которая является некорректной. Дело в том, что если по матрице А всегда можно найти ее миноры Мц, то обратное, вообще говоря, не верно: произвольные числа не всегда являются минорами матрицы А. Для того чтобы набор чисел Мц являлся набором миноров для матрицы А, требуется, чтобы выполнялись соотношения Плюккера

М12М34 - М13М24 + М14М23 = о. (8)

Решив систему уравнений (7), можем получить числа, которые не являются минорами матрицы А. Поэтому методом наименьших квадратов отыскиваем миноры, которые минимально отличаются от найденных чисел. Задача построения линейной оболочки (ах, аг) по минорам матрицы А является уже корректной. Используя это показываем, что построенное таким образом решение задачи нахождения линейной оболочки по трем собствен-

ным частотам является устойчивым.

Из теорем 2 и 3, а также из приведенных выше рассуждений следует, что обратная задача определения краевых условий по трем собственным частотам корректна.

В параграфе 1.1 приводится также алгоритм точного и приближенного решения задачи отыскания краевых условий (2) по трем первым собственным частотам.

На основе найденного алгоритма составлен пакет программ KRUG-PL, который состоит из трех процедур-функций

Eigenvals_kr_pl(i/,г,011,022,023,014,а,Ь),

Процедура Eigenvals_kr_pl(i/,г, оц, 022,023,^14, о,Ь) вычисляет

собственное значение из интервала [а£] спектральной задачи (1),(2), описывающей колебания однородной круговой пластины радиуса г без отверстия в центре с отношением Пуассона v.

Процедура krug_plastina(o, г/, Ai, А2, A3) вычисляет неизвестные псевдоминоры М13, Мц, М34 матрицы А по трем собственным значениям А1,А2,Аз задачи (1),(2), описывающей колебания однородной круговой пластины радиуса без отверстия в центре с отношением Пуассона и:

Процедура plucker_pl(yi, j/2, уз, У4) вычисляет миноры = Р12, Х2 = Р34, хз = Р13, Х4 = —Р24 матрицы А по найденным ее псевдоминорам ух = М12, У2 = Л/34, Уз — Л/хз, У4 = —М24. Ответ дается в виде вектора PP=[Pi2, -Рз4, -Р13, При необходимости можно

вывести также выражения (которое должно быть близко нулю).

В конце параграфа рассмотрены четыре конкретных примера восстановления различных случаев закрепления пластины (свободное опирание, упругая заделка, плавающая заделка, свободный край).

В параграфе 1.2 получены результаты для диска переменой толщины, аналогичные результатам параграфа 1.1 для однородной пластины.

В параграфе 1.3 решена задача распознания закрепления

кольцевой мембраны на внешнем и внутреннем контурах по собственным частотам ее радиальных колебаний. Доказана соответствующая теорема единственности, найден метод решения задачи распознания закрепления кольцевой мембраны по трем собственным частотам. Приведен пример. Составлен пакет программ KOLCEV-MEMBR для решения подобных задач.

В параграфе 1.4 обоснована возможность однозначного распознания закрепления на внутреннем и внешнем контурах кольцевой пластины по собственным частотам ее симметричных колебаний. В отличие от предыдущих параграфов здесь требуется определить не два, а четыре неизвестных краевых условия. Доказана единственность решения соответствующей обратной задачи и найден метод диагностирования краевых условий по 15 первым собственным частотам изгибных колебаний пластины. Приведены также алгоритмы решения обратной задачи диагностирования закрепления пластины только на одном из ее контуров по трем собственным частотам.

В параграфе 1.5 рассмотрена математическая модель акустической диагностики закрепления кольцевой пластины, отличная от предложенной в предыдущем параграфе. В отличие от предыдущей модели, она учитывает то, что колебания реальных пластинок не всегда можно описать лишь симметричными колебаниями. Вместе с уточнением модели, подвергнут модернизации и сам метод решения соответствующей обратной задачи.

В параграфе 1.6 рассмотрена математическая модель акустической диагностики закрепления одного из концов струны. Задача о колебаниях гладкой струны с вязким трением на правом конце и жестко закрепленным левым концом приводится с помощью преобразования Лиувилля к следующей спектральной задаче:

-у"(х)+д(х)у(х) = А 2у(х), у(0) = О,

у'(1) + (<*о + <*1А)у(1) = 0.

О) (10)

(И)

Если же правый конец колеблющейся гладкой струны несет еще и сосредоточенную массу, то краевое условие (11) заменяют на следующее: у'(1) + + А+ <¿2 А2) у(1) = 0. Таким образом, подобные задачи о колебаниях моделируются спектральными задачами с полиномом в краевом условии. Поэтому задача восстановления краевого условия для задачи о колебаниях струны сводится к поиску полинома.

В случае когда коэффициент д(ж) в уравнении (9) является известным, для отыскания квадратичной функции «¿о + А + ¿2 А2 достаточно знать лишь три собственных значения соответствующей спектральной задачи. Это означает, что величина сосредоточенной массы на правом конце струны, а также параметры вязкого трения при движении конца струны могут быть однозначно идентифицированы по трем собственным частотам.

В диссертации этот и более общие результаты сформулированы в виде двух теорем для спектральных задач, моделирующих задачи о колебаниях. Показана однозначность отыскания к коэффициентов краевого условия по к собственным частотам. Более точно: рассмотрена следующая спектральная задача

где х € [0,1], А — спектральный параметр, коэффициенты а(А) и Ь(А), а также с(А) и ¿(X) не обращаются в нуль одновременно. Пусть функция ¿(А) является многочленом следующего вида:

тпеМ). Требуется найти к (к <тп) из тпкоэффициентов «¿о> ¿ъ <^2, с?т_ 1 многочлена А), если остальные ш — к коэффициентов известны. Функции рг(х, А), А), а(А), 6(А), с(А) являются заданными. Известны также к ненулевых попарно различных собственных значений задачи (12)—(14). Доказана следующая

Теорема 1 (о корректности задачи).1 Если Р1(х, Л), р2(х, А) — непрерывно дифференцируемые функции пох и по А, а(А), Ь(А), с(А) — непрерывно дифференцируемые функции А, толюбые к ненулевых попарно различных собственных значений (г = 1, 2, ... , к) задачи (12)-(14'), для которых с(А,) ф О, однозначно определяют к последовательных коэффициентов ^ (3 = в +- 1, 5 + 2, ... , в 4- к, 5 6 М,) краевогоусловия (14)- Причем эти ^ непрерывно зависят от A¿.

В диссертации приведены общие формулы вычисления неизвестных коэффициентов. В частности, если д(х) = 0 и известны два собственных значения А1 = —Аг = ^ краевой задачи (9)-(11), то из этих формул вытекает,- что ¿о = 0, = 1.

Приводятся также и примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым с(А^) ф 0 и А^ ф 0.

В параграфе 1.6 доказана еще одна теорема о восстановлении-коэффициентов краевого условия.

Пусть функция с(А) является многочленом следующего вида:

т £ 1^). Требуется найти к (к <тп) из т коэффициентов со, с\, сг, Ст-1 многочлена с(А), если остальные т — к коэффициентов 0° известны. Функции А), рг(х, А), а(А), Ь(А), ¿(А) являются заданными. Известны также к ненулевых попарно различных собственных значений задачи (12)—(14).

Теорема 2 (о корректности задачи). Если Р1(х, А), Р2(х, А) —непрерывно дифференцируемые функции пох и по А, а(А), Ь(Л), ¿(А) —непрерывно дифференцируемые функции А, то любые к ненулевых попарно различных собственных значений A¿ (» = 1, 2, ... , А:) задачи (12)-(14). для которых (1(А,) ф 0, однозначно определяют к последовательных коэффициентов с^ 0 = 5 + 1, в + 2, ... , 5 + к, з € краевого условия (14). Причем эти с3 непрерывно зависят от А,.

Приведены примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым

'Нумерация теорем для каждого параграфа своя.

Доказанные теоремы 1 и 2 имеют практическое значение. Они позволяют по собственным частотам находить концевую сосредоточенную массу, коэффициент жесткости пружинки при упругом закреплении струны, параметры вязкого трения и т. п.

В параграфе 1.7 рассматривается обратная задача отыскания характера закрепления одного из концов стержня, недоступного для визуального осмотра, по собственным частотам. Доказывается теорема единственности решения этой обратной задачи и указывается метод отыскания неизвестных краевых условий. Получена приближенная формула для определения краевых условий по конечному набору собственных частот.

Как и в предыдущем параграфе задача о колебаниях стержня моделируется краевой задачей с полиномами от спектрального параметра. В связи со спецификой задачи предложен новый метод приближенного отыскания краевых условий. Он использует понятие полиномиальной независимости функций и основан на возможности восстановления целых функций по всем своим нулям с помощью функции Вейерштрасса.

Отметим, что формулировка теоремы единственности, доказанная в параграфе 1.7, содержит ограничение, подобное равенству (3). Выше уже было объяснено, что это ограничение обусловлено физическими причинами. Здесь ограничение оказывается необходимым и с математической точки зрения. В диссертации показано, что характеристические определители для двух спектральных задач с одинаковым уравнением, но разными краевыми условиями у(0) = 0, у'"( 0) = 0 (Ми = 1^0) и

совпадают. Отсюда следует, что абстрактные краевые условия (т. е. краевые условия, на которые не накладываются дополнительные условия типа (3)) восстанавливаются по отличным от нуля собственным значениям соответствующей спектральной задачи неоднозначно. Физически обусловленные краевые условия в случае стержня оказываются необходимыми и для единственности решения соответствующей математической задачи.

В главе 2 рассмотрены задачи статической диагностики закрепления и нагруженности стержней, пластин и оболочек переменной жесткости по значениям их прогибов, а также некоторые другие задачи диагностики.

В параграфе 2.1 изучается обратная статическая задача опознания закрепления стержней, пластин и оболочек. Интересно, что, в отличие от первой главы, закрепления упругих тел удобно выражать математической моделью в виде нормированных краевых условий, а не в виде линейных оболочек, построенных на некоторых векторах. Перед математической постановкой соответствующей обратной статической задачи напомним, что прямые статические задачи механики о прогибах балок, пластин и оболочек сводятся к изучению краевых задач для дифференциальных уравнений. При этом, как правило, каждое краевое условие связывает лишь две механические величины, например, перерезывающую силу и значение прогиба, или же угловой момент и угол поворота. Поэтому прямая статическая задача сводится к решению краевой задачи следующего вида:

Здесь 1(у) = 0 — линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с неизвестной функцией прогибов — действительные числа; — линейно однородные формы от значений прогибов и их производных на краях (или на границе).

В параграфе 2.1 решается обратная статическая задача распознания всех краевых условий и некоторых параметров уравнения задачи (15) по значениям прогибов уг в нескольких точках. Решение этой задачи важно для проверки правильности закрепления.

В диссертации доказана

Теорема (о корректности задачи). Обратная задача восстановления краевых условий задачи (15) по известному уравнению 1(у) = 0 и значениям прогибов у,- (г = = 1, 2, ..., п) является корректной, то есть имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от значений прогибов.

После доказательства теоремы рассмотрены примеры точного и приближенного решения обратной статической задачи.

Наряду с краевыми условиями по значениям прогибов могут быть восстановлены также и нагрузки и другие параметры, присутствующие в дифференциальном уравнении! В качестве примера в диссертации решена обратная задача определения нагрузки и закрепления кольцевого диска переменной жесткости.

В параграфе 2.2 впервые рассмотрены задачи диагностирования нераспадающихся краевых условий граничной задачи, в которых в качестве данных восстановления берется лишь один спектр и не используются другие спектральные характеристики. Рассмотрим две краевые спектральные задачи, порожденные одним общим-уравнением

и различными краевыми условиями:

Uj(y) = a.j,i у(0) + ajt2 у(1) + ajt 3 у'(0) + aJA у'( 1) = 0, j = 1,^2, Щу) = âj, 1 у(0) + âJt2 у(1) + âj,3 у'(0) + âjA у'( 1) = 0, j = 12

где А— спектральный параметр, х G [0,1], pi(x,A) = Арю + рц(ж), Р2 (®,А) = A2p20 + Ap2i(a:) +Р22(®),

В параграфе доказано несколько теорем, среди которых.

Теорема 2 (о единственности решения). &ли собственные значения краевых задач (16), (17) и (16), (18) совпадают с учетом их кратностей, и, кроме того, если выполнены следующие триусловия:

1) PÍO - 4P20 ф o, 2) pío Ф O, 3) p20 ф 0,

то совпадают и сами краевые задачи.

Все три условия этой теоремы существенны. В диссертации приводятся примеры, подтверждающие существенность каждого из них. В случае отсутствия только одного из условий 1), 2), 3) теоремы единственность восстановления краевых условий нарушается.

В параграфе рассмотрены также обобщения приведенной теоремы и приведен метод ее решения.

В параграфе 2.3 впервые рассмотрены задачи о двойственности решений задач акустического диагностирования закреплений и нагруженности механических систем, а также задачи о двойственности решения диагностирования краевых условий спектральных задач.

Если pía — 0 в уравнении. (16), т.е. условие 2) теоремы 2 из предыдущего параграфа не выполняется, то, вообще говоря, решение задачи диагностирования краевых условий неединственно. Возникает вопрос, сколько же решений имеет задача: два, три, бесконечно много? В диссертации доказана теорема о коэффициентной альтернативе, из которой следует, что эта задача имеет либо одно, либо два решения.

Рассмотрим две краевые спектральные задачи, порожденные одним общим уравнением

и различными краевыми условиями: где

Р2(х, А) = Л2Р20 + Ap2i(x) +Р22{х), J>20 = COnst,

Pi(s),P2i(x) 6 Cl[0,1], P22(x) 6 C[O,1], fc = 1,2, 3, 4.

В параграфе 2.3 доказана следующая

Теорема 1 (о коэффициентной альтернативе). Если выполнены следующие два ¡урлофя: 2^обствен-ныезначения краевыхзадач (19), (20) и (19), (21) совпадают с учетом их кратностей, то либо h — h, Н — Н, либо h = h, Н = Н или h = Н + А, Н = h — А, где А — некоторое число.

В качестве примеров поясняющих значение теоремы можно привести следующие: если закрепление на внутреннем и внешнем контурах кольцевой мембраны определяется по собственным частотам единственным образом, то коэффициенты жесткости пружинок при упругом закреплении струны находятся по собственным частотам не единственным образом, а с точностью до перестановок их местами. Как известно, концы струны равноправны. Поэтому звучание ее не изменяется, если пружинки на ее концах поменять местами. Если же поменять местами параметры упругого закрепления на внешнем и внутреннем контурах кольцевой мембраны, то звучание изменится, так как внешний и внутренний контуры неравноправны. Теорема о коэффициентной альтернативе утверждает большее. Из нее следует, что если взять две пружинки с коэффициентами жесткости 1 и 2 и закрепить с помощью них струну, то другая такая же струна, закрепленная упруго уже с пружинками, имеющими другие коэффициенты жесткости, скажем 1,5 и 1,5 или 2,5 и 0,5, никогда не прозвучит также. Теорема дает хорошие возможности для акустического диагностирования закреплений, что очень важно для проверки надежности работы соответствующей механической системы, поскольку казалось бы постоянные жесткости пружинок со временем могут менять свое значение в связи с усталостью материалов или температурных изменений.

В параграфе 2.3 рассмотрены также другие задачи. Например, изучена возможность акустического диагностирования надежно -сти системы, состоящей из вала с концевыми дисками. Показано, что моменты инерции концевых дисков относительно оси вала на-

Ш| ВЦ

<-Х\-Ц

ч-хг-»

" У

Балка, нагруженная двумя массами

Рис. 2: Диагностирование нагруженности стержня

ходятся по первым двум собственным частотам крутильных колебаний однозначно с точностью до перестановок дисков местами. Найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Далее предложены методы, с помощью которых можно судить о величине сосредоточенных масс стержня или вала по двум собственным частотам изгибных колебаний или крутильных колебаний. Рассмотрены различные случаи: 1) обе сосредоточенные массы являются концевыми; 2) одна сосредоточенная масса является концевой; 3) обе сосредоточенные массы не являются концевыми (см. рис. 2). Поскольку изменения величин масс могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание инородных предметов и т. п., то найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

В конце параграфа рассмотрена механическая система, состо-

г

ллллллл

4

к,

1(1)

кг

-ллллллл

Рис. 3: Механическая система, состоящая из упруго закрепленного стержня и каната с пружинами, соединяющего концы стержня

ящая из стержня с упруго закрепленными концами, которые связаны между собой (канатом с пружинами'(см. рис. 3). Такое закрепление описывается нераспадающимися условиями закрепления, т. е. такими условиями, при которых состояние закрепления на одном из концов стержня влияет на состояние закрепления на другом его конце. В диссертации найдена формула, позволяющая правильно диагностировать коэффициенты жесткости пружинок ко, к\,к2в механической системе, состоящей из упруго закрепленного стержня и каната с пружинами, соединяющего концы этого стержня.

В параграфе 2.4 рассмотрены применения найденных новых методов акустической диагностики к классическим обратным задачам Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. Доказано несколько теорем единственности и устойчивости решений этих обратных задач. Приведены аналитические и численные методы их решения.

Напомним, что первой работой, посвященной изучению обратных спектральных задач была статья В. А. Амбарцумяна, вышедшая в 1929 году. В. А. Амбарцумян рассмотрел краевую задачу

и показал, что если д(х) <1х = 0, а собственные значения суть числа I2, 22, ..., то д(х) должна тождественно равняться нулю. Эта работа показывала, что краевая задача может быть восстановлена по одному набору собственных значений. Однако в 1946 году Г. Борг установил, что задание одного набора собственных значений, вообще говоря, не определяет дифференциального оператора. К настоящему времени решению обратной задачи с распадающимися граничными условиями посвящено значительное число работ. Исследованиями в этом направлении занимались Н. Ле-винсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, 3. Л. Лейбен-зон, В.А. Юрко и другие. Первой работой, посвященной изучению обратной задачи с нераспадающимися краевыми условиями, была статья И. В. Станкевича (1970). В ней рассматривался вопрос о восстановлении функции для самосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с периодическими или антипериодическими краевыми условиями. Впоследствии обратная задача Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах В. А. Садовничего (1972), В. А. Юрко (1974), В. А. Марченко (1977). В каждой из работ авторов применялись свои подходы к решению обратной задачи. В статье В. А. Садовничего было доказано, что в случае уравнения вида —у" + д(х)у = Ху для однозначного восстановления функции и коэффициентов нераспадающихся краевых условий требуется использовать набор собственных значений самой задачи, собственные значения двух вспомогательных задач и другие дополнительные спектральные данные, а именно три набора весовых чисел и вычетов определенных функций. Было показано также, что требование совпадения дополнительных спектральных данных является существенным. Хотя этот результат В. А. Садовничего является неулучшаемым,

однако он может быть дополнен. В параграфе 2.4 доказаны теоремы 1, 2 и 3, суть которых состоит в том, что если в качестве двух вспомогательных спектральных задач выбрать не те задачи, которые были выбраны в статье В. А. Садовничего (1972), а некоторые другие, то для получения единственности решения обратной задачи достаточно использовать только два или три спектра задач Штурма-Лиувилля без использования дополнительных спектральных данных. Доказанные теоремы позволяют находить переменный коэффициент упругости неоднородной среды по собственным частотам колебаний струн, взаимодействующих с этой средой.

Доказана также теорема 4 об устойчивости решения исследуемой задачи. Хотя впервые проблема устойчивости решения обратных задач была поставлена еще в 1943 году А. Н. Тихоновым, изучение устойчивости обратной задачи с нераспадающимися краевыми условиями началось сравнительно недавно. Теорема 4 дополняет одну из теорем об устойчивости В. А. Юрко (2000). Доказанная теорема обосновывает возможность нахождения переменного коэффициента упругости среды по собственным частотам колебаний струн, найденных с некоторой погрешностью. Конкретный численный пример в диссертации также приведен.

В параграфе 2.5 доказана теорема о единственности решения задачи восстановления коэффициента упругости однородной среды по собственным частотам колебаний стержня, взаимодействующего с этой средой.

В главе 3 рассмотрены модели математической физики и связанная с ними коэффициентная проблема. Коэффициентная проблема возникает в связи решением начально-краевых задач математической физики методом разделения переменных. После разделения переменных возникает вопрос о разложениях функций из пространства 1*2 х Ь^ х • • • х Ьч по производным цепочкам Келдыша для соответствующей спектральной задачи. Для широкого класса случаев вопрос о разложимости в такие ряды и вычислении коэффициентов разложений хорошо изучен и описан в клас-

сических учебниках математической физики. Однако для некоторых начально-краевых задач математической физики приходится рассматривать разложения в ряды по производным цепочкам Келдыша в нормах других пространств, для многих из которых неизвестно как находить коэффициенты разложений. Проблема отыскания этих коэффициентов и составляет суть коэффициентной проблемы. Без ее решения невозможно предъявить точное или приближенное решение в виде ряда, поскольку в этом случае каждый член ряда будет содержать неизвестный коэффициент. В диссертации коэффициентная проблема решена для некоторых классов задач математической физики.

В параграфе 3.1 решена задача о продольных колебаниях однородного упругого стержня, оба конца которого испытывают сопротивление, пропорциональное скорости. Эта задача моделируется следующей краевой задачей

|(У, А) = 1/ + (р0 + Р1 А) у' + (до + 51А + д2 А2) у = 0, (22)

Здесь аь а2, Ьи Ь, <72 € С; ах, Ьх, <?2 ф 0; ро = Ро(*)> од = Яо{х), Р1 = Р1(а;)> 91 = 91 (х) — непрерывно дифференцируемые ком-плекснозначные функции. Чтобы не осложнять существо дела, предполагается, что все собственные значения задачи (22)-(24) — простые.

Задача (22)-(24) содержит параметр в краевых условиях и не тривиальна для аналитического и численного решения. Основная трудность решения связана с нарушением минимальности производных цепочек Келдыша в пространстве Ь2 х Ь2. Система производных цепочек Келдыша оказывается "переполненной" в пространстве Ь2 х Ь2. В результате чего соответствующие ряды сходятся в пространстве но не к тем функциям, которые требуется разложить в ряды.

Один из методов преодоления этой трудности состоит в том, чтобы проводить разложения в ряды по цепочкам Келдыша не в

норме пространства а в нормах других пространств, в

которых соответствующие цепочки были бы не только полны, но и образовывали базис.

Задача (22)-(24) допускает линеаризацию по параметру в пространстве У\?2 = И^ X ¿2. Линеаризатор Н задачи (22)-(24) задается следующими равенствами:

Н{у0> VI} = {VI, К' +Р0«0 + Р1 ^ + 91VI)},

Линейная спектральная задача имеет те же собствен-

ные значения, что и задача (22)-(24), а собственные функции оператора Н, соответствующие собственным значениям А*, имеют вид V* = {у к, А к У к}, где у к — собственные функции задачи (22)-(24), отвечающие тем же собственным значениям

А. А. Шкаликовым (1983) при условии усиленной регулярности задачи (22)-(24) была доказана теорема о базисности производных цепочек лгк в гильбертовом пространстве х ¿г-

Пусть лгк ~ собственная функция оператора Н, соответствующая собственному значению А&, а — собственная функция оператора Н*\ соответствующая собственному значению А^-. Тогда справедливы соотношения биортогональности

Из этих соотношений получается формула для вычисления коэффициентов разложения элемента V = {го, г^} из пространства в ряд по собственным функциям

Таким образом, задача вычисления коэффициентов сводится к поиску сопряженного оператора и его собственных функций. Метод

построения сопряженного дифференциального оператора в пространстве ¿2 X ¿2 хорошо известен. Однако он не может быть применен для построения оператора Н*. Отличие в нашем случае в том, что в "краевых условиях" (точнее, в условиях на область определения оператора Н) содержится шесть переменных (это переменные ио(0), г>о(1), г»о(0), Уо(1)> VI (0), г>1(0)), а в форме проинтегрированных членов — лишь четыре («¿(О), ^(1), «1(0), «1(0)). В классическом случае — обратная ситуация. Там количество переменных в краевых условиях не больше числа переменных, содержащихся в билинейной форме проинтегрированных членов. Поэтому известные методы непосредственно не применимы в нашем случае. Тем не менее эти трудности удается преодолеть и найти сопряженный оператор (теорема 1). В формуле действия найденного сопряженного оператора, помимо производных, содержатся также интегралы и функционалы вида В этом

проявляется отличие от вида сопряженного оператора к оператору, порожденного обыкновенным дифференциальным выражением в пространстве С помощью теоремы 1 доказывается

Теорема 2 (о вычислении коэффициентов). Коэффициенты разложения произвольной функции V изпростран-ства УУ2 по элементам имеют вид Ск = Рк/Як, где

Як = (У к, ~"Хк Як + '- 2к(х))')}'+ (А* у 1к) Ьз +

Таким образом, коэффициенты найдены с помощью явного по-

строения сопряженного оператора Н*.

В параграфе 3.2 решена коэффициентная проблема для спектральной задачи

«(У, А) = ¿о(у) + А гг(у) + • • • + Ап 1п(у) = 0, (25)

Щу, А) = и?(у) + А С// (у) + • • • + ир (у) = 0, (26)

3 = 1, 2, ... , п.

п

Здесь ¿1/(у) = Р1/»(®) У(п_я)» у = 0, 1, ... , п,

3=1/ •

п-1 п-1

= + " = о,1, ...

к=0; к=0

Коэффициенты а^*, являются комплексными числами, которые, в частности, могут быть равны нулю,

р„3(х) — достаточно гладкие функции, а а;ь(А), bjk(X) — произвольные полиномы от

Изучению краевых задач (25)-(2б) были посвящены работы Дж. Биркгофа (1908), Я. Д. Тамаркина (1917), М. В. Келдыша (1951, 1971), А. А'. Шпаликова (1983) и другие. В частности А. А. Шкаликовым при условии усиленной регулярности задачи (25)-(26) была доказана теорема о базисности производных цепочек в гильбертовом пространстве УУ^ц, являющимся подпространством в произведении пространств \¥£+г~1 х ■ • • х (г > го = тах(0, р — п 4- 1), где И^ — пространства Соболева, а р — максимальный из порядков краевых условий спектральной задачи (25)-(26)). Доказанная теорема означала, что любой элемент гильбертова пространства может быть разложен в сходящийся ряд:

Однако цель вычисления коэффициентов из разложения (27) в этой работе не ставилась.

Если краевые условия (26) полиномиально зависят от Аг то область определения пучка операторов также зависит от Л и известные ранее методы вычисления коэффициентов разложений применены быть не могут. Как и в параграфе 3.1 неизвестные коэффициенты можно вычислить по формуле Скы = (у, §£), где {§£} — система функций биортогональная к {у£} и представляет собой собственные и присоединенные функции сопряженного оператора Н*. Однако оператор Н*, ввиду структуры пространства оказывается не просто дифференциальным или интегро-дифференциальным, а функционально-дифференциальным, имеющим непростое представление. Применение метода сопряженного оператора позволяет вычислять неизвестные коэффициенты в конкретных случаях, однако в общем случае метод оказывается весьма трудоемким и неэффективным. К тому же, он не дает класса краевых задач (25)-(2б), для которых формула вычисления коэффициентов выписывалась бы в терминах коэффициентов уравнения и краевых условий.

В параграфе 3.2 применен другой метод вычисления коэффициентов. Метод основан на изучении свойств соответствующего пучка неограниченных операторов в расширенном гильбертовом пространстве. Применение этого метода позволило получить не просто алгоритм вычисления коэффициентов, но и, что важно для приложений, эффективную общую формулу, выписанную в терминах коэффициентов уравнения (25) и краевых условий (26) для широкого класса спектральных задач.

Доказательства теорем, содержащиеся в трех из четырнадцати параграфов диссертации, получены в соавторстве с академиком В. А. Садовничим и профессором Я. Т. Султанаевым (параграф 2.4), профессором И. Ш. Ахатовым (параграф 1.7), А. В. Муфта-ховым (параграф 1.2).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Впервые созданы математические модели диагностирования вида и числовых параметров закрепления струн, мембран, стержней и пластин по конечному набору собственных частот их изгибных колебаний, установлена корректность соответствующих задач, выработаны методы для их точного и приближенного решений. Составлены пакеты программ, позволяющие диагностировать вид закрепления круговой пластины и кольцевой мембраны, по трем первым собственным частотам изгибных колебаний. Получены результаты численных расчетов идентификации закреплений однородной и неоднородной круговых пластин, кольцевых мембраны и пластины.

2. Разработаны математические модели диагностирования величины сосредоточенной концевой массы и параметров вязкого трения при движении конца струны или стержня по собственным частотам его колебаний. Диагностирование искомых физических величин сведено к задаче идентификации полинома от спектрального параметра. Показана корректность этой задачи и приведены результаты численных исследований.

3. Предложены математические модели диагностирования вида закрепления балок и пластин по значениям их прогибов в нескольких точках. Показана корректность постановок соответствующих задач и найдены методы их решения. Разработаны методы диагностирования недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций. Показана эффективность найденных методов.

4. Доказаны теоремы единственности и двойственности решений задач отыскания краевых условий по всему спектру. Найдены точные и приближенные методы их решения. Полученные методы применены для проверки надежности упругих закреплений механических систем. Созданы методы отыскания величин двух сосредоточенных масс механической системы по спектру ее собственных частот. Установлена двойственность решения задач акустиче-

ского диагностирования: 1) величин двух сосредоточенных масс, которыми нагружена балка; 2) жесткости пружинок при упругом закреплении обоих концов неоднородной струны; 3) сложного вида закрепления, выражаемого нераспадающимися краевыми условиями. Представлены соответствующие формулы диагностирования, которые позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

5. Получены новые результаты в теории обратных задач Штурма-Лиувилля. В частности, доказаны теоремы о единственности и устойчивости решения задачи идентификации переменного коэффициента упругости среды по собственным частотам колебаний струн, взаимодействующих с этой средой. Приведен пример численного решения этой обратной задачи.

6. Решена задача о продольных колебаниях стержня, оба конца которого испытывают сопротивление, пропорциональное скорости. При моделировании такого рода задач возникают краевые задачи со сложным вхождением спектрального параметра в краевые условия. В случае, когда спектральный параметр входит в краевые условия полиномиально, возникает проблема вычисления коэффициентов в ряды по производным цепочкам Келдыша. В диссертации найдены общие формулы для вычисления этих коэффициентов.

Основные публикации по теме диссертации

1. Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Математические заметки. 1992. Т. 51. № 6. С. 137-139.

2. Ахтямов А. М. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. 1996. № 3(1). С. 12-15.

3. Ахтямов А. М. Единственность восстановления коэффициента дифференциального уравнения 4-го порядка по спектру краевой задачи // Вестник Башкирского университета. 1998. № 3(1). С. 38-40.

4. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий // Доклады Академии наук. 1999. Т. 367. № 6. С. 739-741.

5. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1127-1128.

6. Ахтямов А. М. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. 1999. № 1. С. 13-17."

7. Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С. 13-18.

8. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. № 3. С. 6.

9. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-1006.

10. Ахтямов А. М., Николаенко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

11. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 2001. Т. 5. № 3. С. 103-110.

12. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных коле-

баний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

13. Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи с параметром в граничном условии // Математические заметки. 2001. Т. 69. Вып. 4. С. 622-624.

14. Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики.

2002. Т. 9. Вып. 1. С. 154-155.

15. Ахтямов А. М. Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9. Вып. 3. С. 584-585.

16. Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества.

2003. Т. 5. № 1. С. 214-221.

17. Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8.С. 1011-1015.

18. Ахтямов A.M. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал "Исследовано в России". 2003. 49. С. 567-573 (http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf).

19. Ахтямов А. М. Диагностирование нагруженности механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

20. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

21. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137-147.

22. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспада-

ющимися краевыми условиями // Доклады Академии наук. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

23. Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

24. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся условий закрепления // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С. 51-52.

25. Akhtyamov A.M., Mouftakhov A.V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // Inverse Problems in Science and Engineering. 2004. Vol. 12. No. 4. P. 393-408:

Ахтямов Азамат Мухтарович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ДИАГНОСТИКЕ ЗАКРЕПЛЕНИЙ И НАГРУЖЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 18.08.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 537.

Редакционно-издательскийотдел Башкирского государственногоуниверситета. 450074, РБ, г. Уфа,ул.Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственногоуниверситета 450074, РБ, г. Уфа,ул.Фрунзе, 32.

' 115517

0 ВВЕДЕНИЕ 2

0.1 Актуальность темы диссертации.2

0.2 Цели исследования.4

0.3 Научная новизна полученных результатов.5

0.4 Практическая значимость результатов.6

0.5 Положения диссертации, выносимые на защиту . 7

1 АКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЗАКРЕПЛЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ 8

1.1 Акустическая диагностика закрепления круговой пластины .8

1.1.1 Исторические замечания.8

1.1.2 Прямая задача.11

1.1.3 Постановка обратной задачи .16

1.1.4 Единственность решения обратной задачи . 17

1.1.5 Точное решение.21

1.1.6 Приближенное решение.24

1.1.7 Устойчивость решения.28

1.1.8 Пакет программ KRUG-PL.33

1.1.9 Примеры .39

1.2 Идентификация условий закрепления диска переменной толщины . .46

1.2.1 Предварительные сведения.46

1.2.2 Прямая задача.47

1.2.3 Формулировка обратной задачи.51

1.2.4 Единственность решения .52

1.2.5 Точное решение.55

1.2.6 Приближенное решение.57

1.2.7 Устойчивость решения.61

1.2.8 Примеры .65

1.2.9 Заключительные замечания.68

1.3 Акустическая диагностика закрепления кольцевой мембраны .69

1.3.1 Постановка обратной задачи .69

1.3.2 Единственность решения обратной задачи . 70

1.3.3 Метод распознавания краевых условий . 73

1.3.4 Пакет программ КОЬСЕУ-МЕМВ11.75

1.3.5 Пример.80

1.4 Диагностика закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний.82

1.4.1 Постановка обратной задачи .82

1.4.2 Единственность решения обратной задачи. . . 87

1.4.3 Метод распознавания краевых условий . 93

1.4.4 Примеры .95

1.5 Другая математическая модель акустической диагностики .102

1.5.1 Введение.102

1.5.2 Постановка обратной задачи .103

1.5.3 Метод распознавания краевых условий . 108

1.6 Отыскание к коэффициентов краевого условия по к собственным значениям.113

1.7 Акустическая диагностика одного из концов стержня 121

1.7.1 Постановка обратной задачи.121

1.7.2 Единственность решения обратной задачи . . . 125

1.7.3 Алгоритм определения краевых условий по собственным частотам.129

СТАТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЗАКРЕПЛЕНИЙ

И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ 138

2.1 Статическая диагностика закреплений.138

2.1.1 Введение.138

2.1.2 Математическая постановка задачи восстановления краевых условий и ее корректность. . . 140

2.1.3 Опознание закрепления и нагрузки кольцевой пластины по значениям прогибов.146

2.2 Единственность восстановления общих краевых условий150

2.2.1 Введение.150

2.2.2 Теорема единственности.152

2.2.3 Контрпримеры.158

2.2.4 Алгоритм восстановления краевых условий . . 162

2.2.5 Случай, когда корни характеристического уравнения — константы.168

2.2.6 Случай, когда корни характеристического уравнения являются переменными.179

2.2.7 Другие результаты.182

Коэффициентная альтернатива.188

2.3.1 Общие теоремы.188

2.3.2 Акустическая диагностика концевых дисков вала202

2.3.3 Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси вала.209

2.3.4 Диагностирование нагруженности механической системы с двумя степенями свободы.211

2.3.5 Акустическая диагностика нераспадающихся условий закрепления.214

Обратная задача Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями.219

2.4.1 Предварительные сведения.219

2.4.2 Пример, показывающий существенность условий теоремы Садовничего.225

2.4.3 Аналоги теорем единственности Борга для дифференциальных уравнений второго порядка с нераспадающимися краевыми условиями . . . 228

2.4.4 О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями . . 232

2.5 Обратная спектральная задача для уравнения четвертого порядка. 245

3 МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯДЫ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ 250

3.1 Два метода вычисления коэффициентов.250

3.1.1 Задачи, приводящие к коэффициентной проблеме250

3.1.2 Обозначения . 254

3.1.3 Вычисление коэффициентов с помощью сопряженного оператора. 255

3.1.4 Вычисление коэффициентов с помощью сведения задачи к квадратичному пучку операторов 261

3.2 К решению одного класса спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. 265

3.2.1 Введение. 265

3.2.2 Обозначения . 271

3.2.3 Определения. 272

3.2.4 Описание используемых пространств. 278

3.2.5 Сопряженный пучок операторов. 287

3.2.6 Основной результат и его доказательство . . . 294

Рассмотрен вопрос о правильной постановке задачи акустической диагностики закрепления кольцевой пластины. Найден метод идентификации закрепления пластины по конечному набору ее первых собственных частот

В предыдущем параграфе была обоснована возможность однозначного распознания закрепления на внутреннем и внешнем контурах кольцевой пластины по собственным частотам ее осесимметри-ческих колебаний. Была доказана единственность решения соответствующей обратной задачи и найден метод диагностирования краевых условий по конечному набору первых собственных частот.

Однако модель, предложенная там, не совсем точно описывает действительную картину. Дело в том, что колебания реальных пластинок не описываются лишь осесимметрическими колебаниями, а в предыдущем параграфе вид закрепления пластины находился по первым собственным частотам лишь осесимметрических колебаний. Поэтому в рассматриваемую модель требуется внести уточнения, связанные с тем, что вторая, третья и последующие собственные частоты, улавливаемые слухом или специальными приборами, соответствуют не случаю узловых окружностей, а случаю узловых диаметров (см. [147]). Именно эти уточнения и сделаны в настоящем параграфе. Вместе с уточнением модели, подвергнут модернизации и сам метод решения соответствующей обратной задачи.

1.5.2 Постановка обратной задачиКак известно [147], уравнение собственных колебаний круглой пластинки в полярных координатах г, (р имеет видп 4 д2ш ( Ек3 \.

Здесь Е — модуль упругости материала пластинки, и — коэффициент поперечного сжатия, /г — толщина пластинки, т — масса единицы площади пластинки.

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов а^ форм и\{у) и и2(у), через А, а матрицу, составленную из коэффициентов форм и3(у) и 1/4(у), через В:А =а\\ а\2 ап а,14а2\ а22 023 а2АВ =Ьп Ь\2 &1з Ь\4 Ь21 Ъ22 &23 &24Миноры второго порядка матриц А и В будем для краткости обозначать через А^ и В^:Ац —аи } , Вц — ЬЦ Ьц 02г а2] &2г г, з = 1, 2, 3, 4.

Случаи закрепления кольцевой пластины на внешнем контуре исоответствующие матрицы такие же как и на внутренем контуре. Единственное различие состоит в том, что знаки перед коэффициентами с\ и с2 в матрицах А и В имеют противоположные знаки.

Таким образом, имеем 9 видов краевых условий на внутреннем контуре и 9 на внешнем. Количество их возможных комбинаций 92 = 81.

Поэтому обратная задача состоит в том, чтобы правильно распознать одну из 81 комбинации краевых условий и в случае упругого закрепления найти соответствующий коэффициент с\ или с2.

Поэтому задачей настоящего параграфа не является точное распознавание всех коэффициентов а^ и bij. Цель — отыскание краевых условий, что равносильно нахождению линейных оболочек (ai, а2) и (bi, b2), построенных на векторахт т= (Oil» Gi2, «гЗ> «гч) > Ьг = (Ьц, 6j2, 6г3, Ь{4)(г = 1, 2).

Таким образом, в терминах краевых условий (3)-(4) поставленная обратная задача формулируется следующим образом: коэффициенты Ojj и b(j форм Ui(y), С/2(г/), С/з(у), С/3(у) краевых условий (3)-(4) — неизвестны; ранги матриц А и В, составленных из этих коэффициентов, равны двум, миноры Л14, Л23, В14, В23 этих матриц равны нулю; известны отличные от нуля собственные значения А& задачи (1)-(4). Требуется восстановить линейные оболочки (ai, а2), (bi, b2), построенные на векторахт та* = («гЬ ai2, ОгЗ, «¿4) Ь; = (Ьц, bi2, 6i3, 6г-4) (г = 1, 2).

1.5.3 Метод распознавания краевых условийВ дальнейшем для компактности изложения необходимы новые обозначения.

Метод распознания краевых условий по собственным частотам осесимметрических колебаний, предложенный в работе [49], был основан на подстановке первых найденных прибором пятнадцати собственных значений А^- = 0,14) вместо А в уравнениеДо(А) = 0и решении соответствующей алгебраической системы 15 линейных уравнений от 16 неизвестных определителей четвертого порядка матрицы С. При этом использовалась доказанная в [49] теорема единственности, согласно которой такая система должна иметь единственное с точностью до константы решение. При доказательстве этой теоремы существенным было то, что До (А) является целой функцией класса Картрайт, поэтому может быть найдена с точностью до константы по своим нулям Xj.

В нашем случае первые найденные прибором пятнадцать собственных значений А^ являются нулями не одной только функции До(А), а представляют собой первые положительные корни пятнадцати различных функций [137]Д,(А), 7 = 0714.

Поэтому доказанная в предыдущем параграфе теорема единственности напрямую не может быть использована. Однако, поскольку частоты осесимметрических колебаний являются частью всего спектра частот, то из доказанной в предыдущем параграфе теоремы единственности вытекает, что по всему спектру частот вектор, составленный из 16 неизвестных определителей четвертого порядка матрицы С, должен находится однозначно с точностью до константы. Это дает косвенное доказательство того, что система• ' Вк3-4,¿4-4 • ¡кх к2 кз к*,,] (А;) = 0, 3 = 0, 14 (8)1 < к1 < к3 < 45 < кз < ¿4 < 8от 16 неизвестных определителей А^ик2'Вк3-4,к4-4 четвертого порядка матрицы С, должна иметь единственное с точностью до постоянного множителя решение. Вычисления для конкретных закреплений, проделанные автором, подтверждают этот вывод.

Таким образом, 4-векторы, составленные из определителей( 1 2 3 4 \С^ кг к2 к3 к4 Iмогут быть найдены с точностью до константы следующим способом: первые найденные прибором пятнадцать собственных значений подставляются в (8). Если ранг матрицы полученной системы уравнений равен 15 (это легко проверяется на компьютере), то 16 неизвестных определителей Акик2 ' Вк3-4,к4-4 четвертого порядка матрицы С находятся единственным образом с точностью до постоянного множителя.

Установление же линейной оболочки (сх, с2, Сз, С4) и соответствующих краевых условий по найденным с точностью до константы 4-векторам основано на известных методах восстановления линейной оболочки по внешнему произведению векторов (см. [245]) и на том, что что между классами пропорциональных, отличных от нуля4-векторов и четырехмерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие (см. [137]). В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение Сх Л с2 Л Сз Л с4 векторов произвольного его базиса Сх, с2, Сз, с4, а каждому 4-вектору Сх Л с2 Л Сз Л с4 — подпространство (сх, с2, с3, с4).

1.6 Отыскание к коэффициентов краевого условия по к собственным значениямРассматривается отыскание к коэффициентов краевого условия по к собственным значениям. В отличие от предыдущих параграфов, в этом и последующем параграфах предполагается, что краевые условия соответствующих спектральных задач могут зависеть от спектрального параметра.

Обратные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями, зависящими от спектрального параметра рассматривались А. И. Бенедиком и Р. Панзоне [204], В. А. Юрко [180], Г. М. Губреевым и В. Н. Пивоварчиком [80]. А. И. Бенедик и Р. Панзоне для спектральных задач с линейным вхождением параметра в краевое условие восстанавливали коэффициент в уравнении. В. А. Юрко были получены теоремы единственности восстановления коэффициентов уравнения и общих краевых условий по некоторым спектральным характеристикам. В статье Г. М. Губреева и В. Н. Пи-воварчика была получена конструктивная формула восстановления коэффициентов с?о и <Л 1 и потенциала д(х) по всему спектру задачи(1)-(з).

Нетрудно показать однако, что в случае когда коэффициент в уравнении (1) является известным, для отыскания коэффициента с?(А) = А достаточно знания лишь двух собственных значенийзадачи (1)-(3). В отличие от результатов работ [180, 80], где помимо краевого условия отыскивался также коэффициент в уравнении, здесь знания всего набора собственных значений не требуется.

Аналогично, если коэффициент в уравнении (1) является известным, то для отыскания в краевом условии квадратичной функции с?(А) = с?о + А + й2 А2 достаточно знать лишь три собственных значения соответствующей спектральной задачи. Так же как впредыдущем случае знания всего набора собственных значений не требуется.

Таким образом, вполне естественно возникает проблема отыскания коэффициента-полинома краевого условия по конечному набору собственных значений спектральной задачи. Эту проблему по всем признакам можно считать обратной задачей.

Сформулируем ее в общем виде для широкого класса спектральных задач.

Рассмотрим спектральную задачугде х 6 [0,1], Л — спектральный параметр, коэффициенты а(А) и 6(Л), а также с(А) и с?(А) не обращаются в нуль одновременно.

Сформулируем первую обратную задачу.

Пусть функция с?(А) является многочленом следующего вида: с?(А) с?о + А + с?2А2 + • • • + с?т1 Ат1 (¿1 е С, г = 0, 1,. т- 1, 7п 6 К). Требуется найти к (к < т) из т коэффициентов с?о, ¿ъ с?2, • • • > с?т-1 многочлена с?(А), если остальные т — к коэффициентов с^- известны. Функции р\{х, А), р2(х, А), а(А), 6(А), с(А) являются заданными. Известны также к ненулевых попарно различных собственных значений задачи (4)-(6).

Замечание. В случае, если среди неизвестных коэффициентов с^-краевого условия (6) имеется коэффициент (¿о, то условие теоремы, требующее выбора ненулевых собственных значений, является лишним. Это следует из того, что в этом случае минор к-го порядка определителя Вандермонда отличен от нуля при любых попарно различных собственных значениях (даже если одно из собственных значений является нулевым).

Приведем примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым с(Аг) ф 0 и Аг- ф 0.

Пусть функция с(А) является многочленом следующего вида: с(А) со + сх А + с2 А2 + • • • + Ст—1 Ат1 (а е С, г = 0, 1,. т - 1, т € К). Требуется найти к (к < т) из т коэффициентов со, сх, С2} • • •} Ст-1 многочлена с(А), если остальные т — к коэффициентов с;- известны. Функции р\{х, А), р2(х, А), а(А), 6(А), А) являются заданными. Известны также к ненулевых попарно различных собственных значений задачи (4)-(6).

Приведем примеры, показывающие существенность условий теоремы, согласно которым ¿?(Аг) ф 0 и Аг- ф 0.

Из представлений (12), (13) следует, что обе рассмотренные обратные задачи восстановления к коэффициентов многочлена с(А) или с?(А) по к ненулевым попарно различным собственным значениям задачи (4)-(6) являются корректными, так как их решения существуют, единственны и непрерывно зависят от Аг-.

1.7 Акустическая диагностика одного из концов стержня1.7.1 Постановка обратной задачи.

Поставим к этой спектральной задаче обратную: по собственным частотам изгибных колебаний стержня найти неизвестные линейные формы иг{у,ш), и2{у,ш).

Переформулируем теперь обратную задачу в другой, более точной форме, считая а, р и Р1 постоянными. Обозначим р Р1 ш2 / а через Л4. В новых обозначениях задача (1) записывается следующим образом:у<4» = А4у, и1(у,Х)=0, и2(у, А) = 0, г/(1) = 0, у'(1) = О(2)где и^у, Л) = = 1» 2)> а коэффициенты а^ =а,ц(\) полиномиально зависят от Л.

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов а^ форм и\(у, Л) и и2(у,Х), через А, а ее миноры — через Мц :А =<2ц <212 <213 <214«21 <^22 а23 <^24Мц =аи ац 0,2]Отыскание форм и\(у, Л), С/2(г/, Л) равносильно нахождению линейной оболочки (ах, аг), построенной на векторахта* = (ац, щ2, Огз, «¿4) (г = 1, 2).

Условия (3) не ограничивают физическую постановку задачи, но они необходимы, поскольку без них нарушается единственность решения рассматриваемой обратной задачи (одному и тому же набору собственных значений в этом случае могут соответствовать различные линейные оболочки).

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов Ь^ форм {/1(2/, Л) и {/2(у, А), через В, а ее миноры — через М.^ :в = Ьп Ъ\2 Ьгз 614 Mij = b\i b\j ь2\ Ь22 &23 624 b2i b2jЧерез (bi, b2) обозначим линейную оболочку векторов тbj = (6а, bi2, 6i3, 6i4) (г = 1, 2).

Теорема (единственности решения обратной задачи). Пусть выполнены следующие условия:rank А = rank В = 2 (5)Ми = М23 = Ми = М23 (6)Если отличные от нуля собственные значения {А^} задачи (2) и отличные от нуля собственные значения {А&} задачи (4) совпадают с учетом их кратностей, то совпадают и линейные оболочки (аь а2) и (Ьь b2).

Применяя теорему Лапласа для вычисления определителей и используя тригонометрические формулы и равенства (7), а также условие (6) теоремы, получаемД(А) = Mu gg- + Mu + Mu + Мм Ф£±(А) = 1 ± cos Л chA, ?7±(А) = — sin A chA ± cos Ash AОтличные от нуля собственные значения задач (2), (4) являются корнями целой функции Д(А) (см. [129]).

Характеристический определитель Д(А) помимо корней, совпадающих с отличными от нуля собственными значениями задачи, может иметь также корень А = 0 конечной кратности.

Так как Д(А) ф 0, то из факторизационной теоремы Адамара (см. [111]) следует, что характеристические определители Д(А) задачи (2) и Д(А) задачи (4) связаны соотношениемД(А) = С Хк еаЛД(А)где а — некоторое действительное число, к — некоторое целое неотрицательное число, а С — некоторая отличная от нуля постоянная.

Отсюда следует, что правая часть соотношения (10) при замене Mij на Mij — СХк eaXMij тождественно равна нулю (тождество А).

Таким образом, а = 0. Отсюда и из тождества А в силу полиномиальной независимости соответствующих функций получаем(Мх2, М13, М14, М23, М24, М34)Т == СХк (л?12, М\з, Мы, Л?23, М24, М34)Т что равносильно пропорциональности бивекторов ах Л а2 и Ьх Л Ъ2.

Известно [137], что между классами пропорциональных, отличных от нуля бивекторов и двумерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие. В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение Хх Л Х2 векторов произвольного его базиса Хх, Х2, а каждому бивектору хх Лх2 — подпространство (хх, Х2). Поэтому из последнего тождества следует (ах, а2) = (Ьх, Ь2), что и требовалось доказать.

Условия (3), как было отмечено выше, не ограничивает физическую постановку задачи, но являются существенными для единственности восстановления краевых условий. Действительно, краевые условия у(0) = 0, /'(0) = 0 (Ми = 1^0) и у'(0) = О» у"{®) = 0 (Л/23 = 1^0) не эквивалентны, но характеристические определители соответствующих спектральных задач (2) и (4) совпадают. Отсюда следует, что абстрактные краевые условия восстанавливаются по отличным от нуля собственным значениям соответствующей спектральной задачи неоднозначно.

1.7.3 Алгоритм определения краевых условий по собственным частотамВыше было показано, что задача отыскания неизвестных линейных форм и^у, А), п0 собственным частотам изгибных колебаний стержня имеет единственное решение (в том смысле, что линейные оболочки составленные из коэффициентов этих линейных форм определяются однозначно). Следующий вопрос — как построить это решение.

Далее, поскольку приборы измерения собственных частот (спектрометры) не могут зафиксировать бесконечный набор частот системы и, кроме того, при измерении собственных частот возможны небольшие погрешности, то возникает также задача нахождения алгоритма приближенного определения вида закрепления стержня по конечному набору первых собственных частот, найденных с некоторой погрешностью.

Решению этих задач, построению точного и приближенного решений, и посвящен настоящий раздел.

Алгоритм определения линейных форм краевых условий поясняется при естественных физических предположениях, что коэффициенты с\ и С2 матрицы А являются неотрицательными. (В этом случае решение упрощается ввиду того, что Л = 0 не является собственным значением.) Кроме того, для простоты далее будем считать, что коэффициенты матрицы А являются числами, а не полиномами спектрального параметра.

Поскольку линейная оболочка (а^ а2) находится по всем минорам второго порядка матрицы А с помощью известных методов линейной алгебры [137], то остается пояснить как определяются неизвестные минорыИз представления (10) следует, что Д(А) — четная целая функция первого порядка, причем если значение Aj > 0 корень этой функции, то значения —A у, —z Ay, i A j — также корни этой функции.

Отсюда и из факторизационной теоремы Адамара [111] следует, что характеристический определитель Д(А) задачи (2) допускает представлениегде К — произвольная отличная от нуля постоянная, а Xj — положительные собственные значения задачи (2).

Таким образом, если известны все положительные собственные значения Ау задачи (2), то из представлений (10), (12) следует тожMi2, Mi3, М24, М34(11)(12)дество(13)Идея метода приближенного определения вида краевых условий задачи о колебаниях стержня по первым й собственным значениям ц^ состоит в замене бесконечного произведения К източной формулы (13) конечным произведением К ППри этом собственные значения могут совпадать с точными собственными значениями лишь приближенно.

Таким образом, вместо тождества (13) можно записать приближенное тождествоИз соотношения (14) (или из (13), если ищется точное решение) с точностью до коэффициента могут быть найдены миноры (11), причем разными способами. Например, они могут быть найдены с помощью сопряженно биортогональной системы функций к системе функцийв пространстве Ь2.

Однако более простым в реализации оказывается метод, основанный на получении из приближенного тождества (14) системы линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленной матрицей (понятие плохо и хорошо обусловленной матрицы см. [171]).•7/ (14)Г(А) т/+(А) „-(А) Г(А)2А4 ' 2А3 ' 2А ' 2Придавая параметру Л четыре различных конкретных значения Zk (к = 1, 2, 3, 4) получим систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех неизвестных (11). Эта система может оказаться неопределенной или же плохо обусловленной. Такая ситуация возникает, в частности, если в качестве значений Zk выбрать сами собственные значения А к (соответствующий пример рассмотрен ниже в замечании).

Однако, числа Zf¡ (к = 1, 2, 3, 4) могут быть подобраны так, что соответствующая матрица системы будет хорошо обусловленной. Напомним понятие хорошо обусловленной матрицы.

Мы будем называть обратную матрицу устойчивой, если малым изменениям в элементах матрицы будут соответствовать малые изменения в элементах обратной матрицы. [171, Гл. II, par. 15, с. 146]Будем называть матрицу плохо обусловленной, если соответствующая ей обратная матрица будет неустойчивой.

Кроме того, по условию задачи М\4 = 0, М23 = 0.

Найдем линейную оболочку, соответствующую этим минорам. Пусть тх = (а?!, х2, я3, х4) — произвольный вектор искомой линейной оболочки (ах, а2). Тогда координаты вектора х удовлетворяют условию:rangац а\2 au а\4 «21 «22 «23 «24= 2.(17)XI Х2 Хз Х4Поскольку«И «12 «21 «22то условие (17) эквивалентно выполнению следующих равенств:Mi2 == 6,0031126 ф 0,«11 «12 «13 «21 «22 «23 Xi Х2 Хз= 0,ап ai2 «и «21 «22 «24 Х\ Х2 Х4= 0.(18)(Все окаймляющие М\2 миноры должны быть равны нулю.) Разлагая определители (18) по третьей строке, получаем:х\ • М23 - х2 • М\з + хз • М12 = 0, xi- М24 - х2 • Ми + • Mi2 = 0.

Подставляя соответствующие значения M¿j, имеем-®2 • 0,0005466 + • 6,0031126 = 0,xi • (-0,0000100) + х4 • 6,0031126 = 0.

Значения 0,0005466 и —0,0000100 можно считать равными нулю (степень точности равна 0,001, т.е. довольно высока). Поэтому можно считать, что хз = 0 и х4 = 0, а произвольный вектор искомойтлинейной оболочки имеет вид: х = (#1, 0, 0).

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можноТ / \Твыбрать, например, векторы ai = (1, 0, 0, 0) и а2 = (0, 1, 0, 0).

Следовательно искомые краевые условия имеют вид: у(0) = О, у'(0) = 0. Это означает, что недоступный для непосредственного наблюдения левый конец стержня жестко защемлен (заделан).

Заметим, что закрепление конца стержня определено верно. Числа щ (г = 1,2,3,4,5), приведенные выше, приближенно совпадают с первыми пятью корнями уравнения 1 — сЬЛ соэ Л = 0. Точность приближения равна Ю-7.

Просчитаны различные виды закреплений левого конца стержня. Обобщая полученные данные можно сказать, что для всех видов закрепления стержня при выборе чисел (к = 1, 2, 3, 4) в виде (15), если й = 50, а точность выбранных значений составляет е =107 то бивектор М находится в самом худшем случае с точностью 102; если же я = 100 точность вычисления каждой компоненты бивектора в самом худшем случае составляет 103.

Насколько существенно для приближенного восстановления краевых условий использование именно первых отличных от нуля собственных значений? Может для восстановления краевых условий достаточно использовать произвольный конечный набор собственных значений (собственных частот)? Приведем пример, который показывает, что даже использование в качестве данных восстановления бесконечного набора отличных от нуля собственных значений еще не гарантирует единственности восстановления краевых условий.

Множества {А^} и {А*;} (с большой степенью точности) совпадают на бесконечном множестве чисел. Однако соответствующие краевые условия существенно различны.

Таким образом, для единственности восстановления краевых условий существенным является использование именно первых отличных от нуля собственных значений.

Глава 2СТАТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА ЗАКРЕПЛЕНИЙ И ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ2.1 Статическая диагностика закрепленийВ этой главе изучается возможность однозначного распознания закрепления стержней, пластин и оболочек переменной жесткости по значениям их прогибов. Показана корректность решения этой задачи и найден метод диагностирования краевых условий по конечному набору значений прогибов. Рассмотрены также другие обратные задачи.

2.1.1 ВведениеДиагностированию закрепления стержней, пластин и оболочек посвящено значительное число работ. Так, в работе [220] решается задача идентификации краевых условий трубопроводных систем на входе и выходе. В работах [б, 52] опознаются условия закреплений стержней и пластин по собственным частотам их колебаний. Работы [69], [208] и некоторые другие посвящены восстановлению краевых условий по различным спектральным характеристикам. Однако все обратные задачи, рассмотренные в подобных работах, носят динамический характер и возникают из эволюционных уравнений. Настоящий параграф посвящен обратной статической задаче опознания закрепления стержней, пластин и оболочек. Ранее подобная задача не ставилась.

Перед математической постановкой соответствующей обратной статической задачи напомним, что прямые статические задачи механики о прогибах балок, пластин и оболочек сводятся к изучению краевых задач для дифференциальных уравнений. При этом, как правило, каждое краевое условие связывает лишь две механические величины, например, перерезывающие силы и значения прогибов, или же угловой момент и угол поворота. То есть прямая статическая задача сводится к решению краевой задачи следующего вида:%) = 0, сцЬгу + Ъ{М{у = 0, (г = 1, 2,.,п). (1)Здесь 1(у) — 0 — линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с неизвестной функцией прогибов у\ щ, Ъ\ — действительные числа; Ь^у, М^у — линейно однородные формы от значений прогибов и их производных на краях (или на границе).

В настоящем параграфе решается обратная статическая задачараспознания всех краевых условий и некоторых параметров уравнения задачи (1) по значениям прогибов у{ в нескольких точках. Решение этой задачи важно для проверки соответствия действительной реализации края, заложенной в проекте.

2.1.2 Математическая постановка задачи восстановления краевых условий и ее корректность.

Суть задачи восстановления краевых условий по значениям прогибов поясним на примере стержня. Пусть закрепление стержня на обоих концах неизвестно (концы стержня недоступны для визуального осмотра). Известна длина стержня и интенсивность распределенной нагрузки д. Известны также прогибы стержня в нескольких его точках. Требуется определить вид и параметры закрепления стержня на обоих его концах.

В [144, см. пример 21.3] рассмотрено уравнение, описывающее прогиб бруса переменного сечения, лежащего на упругом основании и находящегося под вертикальной нагрузкой. Заменим в [144, Пример 21.3] нагрузку 5000 (х — х2) на 150 (х — х2), чтобы значения прогибов в обезразмеренных величинах были более реалистичными. Получим уравнениекоторое и будет модельным для постановки обратной задачи.

Заметим, что краевые условия задачи (1) могут быть представлены в следующей нормированной форме:Т сое ^ у + вт у?,-М,-у = 0, (3)где — некоторый угол из сегмента [0, 7г/2].

Для нагруженного стержня в форме (3) могут быть представлены все однородные краевые условия, описанные в справочниках [71, 138]: заделка, свободное опирание, свободный конец, плавающая заделка, все пять видов упругого закрепления.

Представление (3) позволяет найти углы щ по функции прогиба у с помощью следующей формулы:Ьё<Рг = ±Ьгу/ МгУ. (4)Нахождение же углов из сегмента [0, 7г/2] равносильно нахождению вида закрепления (заделка, упругое закрепление и т. п.) и коэффициентов жесткости пружинок при упругом закреплении.

С помощью таких нормированных краевых условий обратная статическая задача может быть сформулирована следующим образом: требуется восстановить нормированные краевые условия (5)-(8) задачи (2), (5)-(8), если известны значения прогибов у(хк) в четырех точках хц (к = 1, 2, 3, 4).

Эта задача эквивалентна следующей: найти углы^ч, (г = 1, 2, 3, 4) из (5)-(8), если известны значения прогибов стержня у{х^) в четырех точках Хк (к = 1, 2, 3, 4).

Решим поставленную задачу в одном из конкретных случаев.

162337 9090872 9090872 ^ >Подставив найденную функцию в (5)-(8), получим:2/(0) = 0, у"(0) = 0, 2/(1) = 0, у"(1) = 0.

Заметим, что краевые условия определены верно. Именно по ним и были выбраны соответствующие значения прогибов.

Очевидно, что изложенные выше рассуждения легко обобщаются и из них вытекает следующаяТеорема. Обратная задача восстановления краевых условий задачи (1) по известному уравнению 1(у) = 0 и значениям прогибов у\ (г = 1, 2,., п) является корректной, то есть имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от значений прогибов.

Из этой теоремы вытекает, что если значения прогибов изменятся незначительно, то и краевые условия также не изменятся очень сильно. Это дает хорошие возможности для практического диагностирования закреплений.

Подставив найденную функцию в (5)-(8), получим:= 0, ф2 = 1,45, (р3 = 0, щ = 1,49.

Эти значения приближенно совпадают с найденными в примере 1. Соответствующие краевые условия также оказываются близкимиу(0) = 0, —8,27г/'(0)+?///(0) = 0, 2/(1) = 0, 12,2у"(1)+ут(1) = 0Они соответствуют упругому опиранию на обоих концах.

Наряду с краевыми условиями по значениям прогибов могут быть восстановлены также и нагрузки и другие параметры, присутствующие в дифференциальном уравнении. Рассмотрим обратную задачу определения нагрузки и закрепления кольцевого диска переменной жесткости. Решение такой задачи распадается на две — хорошо изученную задачу определения правой части (свободного члена) линейного дифференциального уравнения (см. [82]) и задачу определения краевых условий, уже рассмотренную выше.

2.1.3 Опознание закрепления и нагрузки кольцевой пластины по значениям прогибов.

Пример 3. Пусть а = 0,4 и известны прогибы пластины в пяти точках:2/(0,5) = 0,003539640896, у(0,6) = 0,01209937896, 2/(0,7) = 0,02091847307, у(0,8) = 0,0239294932, 2/(0,9) = 0,0164521768.

Подставив (17) в последние пять равенств и решив соответствующую систему линейных алгебраических уравнений, получимCi = -1,539019394, С2 = 0,01105570849, С3 = 0,8783197222, С4 = -0,09109676258, q = 0,009999999801 (неизвестная нагрузка найдена).

После подстановки найденного у(г) в (18)—(21), получимЬё щ = 0,3 • Ю"10, = 0,8- 10"9,tg <Рз = -0,2- Ю-10, tg у?4 = 0,5000001.

С достаточно большой степенью точности можно считать, что 0, ^ (р2 0, tgv?з«0, tgy4 « 0,5, д«0,01.

Таким образом, искомая нагрузка равна 0,01, а краевые условия имеют вид:2/(0,4) = 0, у'(0,4) = 0, 2/(1) = 0, 2 7/(1)+ (Ь22/)г=1 = 0.

Они означают, что внутрений контур защемлен, а на внешнем контуре реализуется упругое защемление. Заметим, что найденные краевые условия и нагрузка определены верно. Именно по ним и были выбраны соответствующие значения прогибов.

Как видим, хотя искомые параметры непрерывно зависят от значений прогибов, ошибка при нахождении краевых условий может бытьзначительной. Однако эта ошибка тем меньше, чем точнее вычисляются значения прогибов. Поэтому для измерения значений прогибов следует использовать очень точную измерительную аппаратуру.

Описанным выше методом могут быть решены и другие обратные статические задачи. Например, этот метод годится для решения обратной статической задачи гидроупругости, состоящей в отыскании высоты уровня жидкости Н в цилиндрическом резервуаре и вида закрепления кругового днища по известным значениям его прогибов. Следует лишь заменить соответствующие дифференциальные выражения согласно подобающих в этих случаях формулам (см., например, [232]). При этом, если в пункте 3 искомый свободный член д в дифференциальном уравнении представляет нагрузку, то искомыйсвободный член в уравнении изгиба круговой пластины под весом>жидкости характеризует высоту уровня жидкости Н от краев пластины.

Изложенный метод распространяется и для отыскания краевых условий в нелинейных задачах механики. При этом, решения соответствующих уравнений следует искать не с помощью группового подхода, который носит локальных характер, а в виде общих рядов, которых можно удовлетворить произвольным граничным условиям (например, как в работе [84]).

2.2 Единственность восстановления общих краевых условий2.2.1 ВведениеВ параграфе изучается единственность решения одной обратной спектральной задачи.

Первой работой, посвященной изучению обратных спектральных задач, была статья В.А. Амбарцумяна [201], вышедшая в 1929 году. В.А. Амбарцумян рассмотрел краевую задачуу" + {А + q(x)} у = 0, у'(0) = у'(тг) = Ои показал, что если q(x) dx = 0, а собственные значения суть числа I2, 22,., то q{x) должна тождественно равняться нулю. Эта работа показывала, что краевая задача может быть восстановлена по одному набору собственных значений. Однако, В 1946 году Г. Борг установил (см. [208]), что задание одного набора собственных значений, вообще говоря, не определяет дифференциального оператора.

Начиная с этого времени для восстановления дифференциальных операторов стали использоваться только те спектральные данные, которые несли в себе информацию большую, чем один набор собственных значений. В качестве спектральных данных, в частности, использовались:1) два, три и ббльшее число спектров,2) спектральная функция,3) спектр и весовые числа,4) функция Вей ля.

Исследованиями в этом направлении занимались Н. Левинсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юр ко и другие (подробнее см. [115, 181]).

Интерес к первоначальной постановке обратных спектральных задач — восстановлению краевой задачи по одному спектру — возродился сравнительно недавно. Выяснилось (см. [16, 80]), что если параметр входит в краевую задачу не линейно, а полиномиально, то краевую задачу во многих случаях удается восстановить, используя для этого лишь один набор собственных значений. Случай, рассмотренный В.А. Амбарцумяном, как оказалось, не является исключением.

Цель этого пункта — показать однозначность восстановления нераспадающихся краевых условий задачи по ее спектру.

Первой работой, посвященной изучению обратной задачи с нераспадающимися краевыми условиями была работа В.А. Садовничего [149]. В этой работе было показано, что в случае уравнения вида-у" + д(х)у = А удля однозначности восстановления функции д(х) и коэффициентов нераспадающихся краевых условий требуется три спектра связанных между собой задач и другие дополнительные спектральные данные. Было также отмечено, что требование совпадения дополнительных спектральных данных, а именно весовых чисел и вычетов определенных функций, является существенным.

Покажем, что даже в случае если функция д(х) равна нулю тождественно, то трех спектров для восстановления только краевыхусловий еще недостаточно.

Здесь Лиг — параметры.

Нетрудно проверить (см. следующий параграф, где этот пример рассматривается более подробно), что собственные значения пар задач Ь и Ь} Ьо и ¿о, Ь\ и Ь\ совпадают. При этом граничные условия задач ¿и ¿не эквивалентны.

Этот пример наводит на мысль, что для однозначности восстановления краевых условий любой спектральной задачи одного спектра еще недостаточно. Однако, оказывется, что это не так. Ниже показано, что существует целый класс дифференциальных уравнений с параметром, для которых можно показать однозначность восстановления самых общих краевых условий, причем для этого достаточно использовать только один спектр.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:1) Ъ2 — Ас ф 0;2) Ъ ф 0;3)сф 0;Тогда если собственные значения краевых задач (1)-(3) и (4)-(6) совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то краевые условия этих задач эквивалентны (т. е. линейные формы иМ, и2(у) линейно выражаются через формы и\(у), и2(у) ).

Доказательство. Пусть ш2 — корни характеристического уравнения си2 + Ъш + с = 0 (согласно условию теоремы ф ш2).

ТогдаккУ\{х,Х) =• еШ1Лх -. еШ2Лх) о;2 —у2(а;, Л) = лЛ 1 ч + е^)(7)(8)Х(и)2 — ш{)являются линейно независимыми решениями уравнения (1), удовлетворяющими условиям:1/Г1)(0,А) =С учетом (7)-(8) имеем0, при зфг,1, при з = г,3, г = 1, 2.

Поэтому функции /х(А), /2(А), /3(А), /4(А), /5(А), /б(А) линейно независимы как функции от А. Последнее проверяется непосредственно по определению линейной независимости функций. Следовательно,Д(А) ф 0.(Иначе бы имели М\2 = Мц = Mi4 = М2з = М24 = М34 = 0, что противоречит условию теоремы, согласно которому ранг матрицы (o-ij)2x4 равен двум.)По теореме об аналитической зависимости решений от параметра функции ?/1 (я, А), У2(х, А) являются целыми. Поэтому характеристический определительиг(у 1(*,А)) иг(у2(х,\)) ЪЫъУ) и2(у2(х,\)) также является целой функцией.

Поскольку А(А) ф 0, то из теорем Вейерштрасса о представлении целой функции с помощью своих нулей следует, что функция А (А) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя С • где д(А) — произвольная целая функция.

Поскольку функции у\(х, А), у2(х,Х) являются целыми функциями первого порядка, то характеристический определитель также является целой функцией первого порядка. Отсюда, используя теорему Адамара, получаем, что функция А(А) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя С-еаХ, где а — произвольное число.

Известно (см. [129, с. 27-29]), что нули определителя А(А) являются собственными значениями задачи (1)-(3), причем кратность нуля функции А (А) совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (1)-(3).

Поскольку собственные значения задач (1)-(3) и (4)-(6) совпадают с учетом их алгебраической кратности, то характеристический определитель А (А) задачи (1)-(3) и характеристический определитель А (А) задачи (4)-(6) связаны тождеством:Д(А) = С • еаА А(А).

2.2.3 КонтрпримерыЗдесь показано, что все условия теоремы существенны. Первые три примера, приводимые ниже, показывают, что в случае отсутствия только одного из условий 1), 2), 3), теоремы единственность восстановления краевых условий нарушается. Четвертый пример показывает, что для восстановления краевых условий следует использовать весь набор собственных значений. Исключение из набора лишь одного собственного значения уже приводит к нарушению однозначности восстановления краевых условий.

Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

У\ =У 2 =еХх — \хеХх, при Л ф О,ПоэтомуА(Л) = Д(Л) =2, при Л = О,(2 - Л) еА, при Л ф О,Как видим характеристические определители совпадают, следовательно совпадают и собственные значения соответствующих спектральных задач с учетом их алгебраических кратностей (обе задачи имеют лишь одно собственное значение Л = 2, алгебраическая кратность которого равна единице).

Пример 3 (отсутствует только второе условие теоремы: 6 = 0,не являются эквивалентными (линейные формы и\(у) и ^(у) не выражаются через формы и\(у) и £/2(2/))Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

Действительно, фундаментальная система решений уравнения ¿(у, Л) = у" — А2 у = 0, удовлетворяющая условиюб2-4с т^О, сфО).

УГ1}( о,А) = <0, при 1 Ф г,1, при.г = г,3, г = 1, 2,У1 =1, при Л = О,созЬ(Ая), при Л ф О,У2 =х, при А = О,^ этЦАа;), при Л ф 0.

ПоэтомуД(А) = А(А) =при А = 0,2 созЬ(А) — т 8шЬ(А), при А ф О,Как видим характеристические определители совпадают, следовательно совпадают и собственные значения соответствующих спектральных задач с учетом их алгебраических кратностей.

Пример 4 (отсутствует только второе условие теоремы: с = 0,не являются эквивалентными (линейные формы 11\{у) и Щ(у) не выражаются через формы и\{у) и и2{у))Тем не менее множества собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей (оба множества являются пустыми).

ПоэтомуД(А) = Д(А) = -1.

Как видим характеристические определители совпадают и спектры обеих спектральных задач образуют пустое множество.

Пример 5 (Неполный набор собственных значений). Спектральные задачи%,А) = /-ЗАу' + 2А2</ = 0, %,А) = у"-ЗАт/ + 2А2у = 0,не являются эквивалентными.

Множества отличных от нуля собственных значений за этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

2.2.4 Алгоритм восстановления краевых условийВыше было показано, что задача отыскания неизвестных линейных форм и\(у)} и2(у) по собственным значениям имеет единственное решение (в том смысле, что линейные оболочки составленные из коэффициентов этих линейных форм определяются однозначно). Следующий вопрос состоит в том — как по набору собственных значений построить эти линейные формы.

Второй этап. Получение по этим минорам линейной оболочки (аь а2).

Задача получения всех миноров второго порядка матрицы А сводится к задаче нахождения коэффициентов разложения характеристического определителя по известным функциям, которые образуют линейно независимую систему.

Вторая задача получения линейной оболочки (ах, а2) по всем минорам второго порядка матрицы А может быть решена методами линейной алгебры, исходя из того, что любой вектор х, принадлежащий линейной оболочке векторов (ах, а2) должен удовлетворять условию гапкЦах а2х|| = 2.

Заметим, что задача получения линейной оболочки (ах, а2) по всем минорам второго порядка матрицы А эквивалентна задаче линейной алгебры — отысканию рангового подпространства по своему направляющему бивектору (см. [137]). Ее можно также интерпретировать в терминах проективной геометрии, как отыскание проективной прямой по координатам Плюккера (см. [121]). Второй этап доказательства теоремы единственности можно было провести, например, с помощью понятия бивектора, основываясь на том (см. [137, следствие на с. 83]), что между классами пропорциональных, отличных от нуля бивекторов и двумерными подпространствами векторного пространства имеется естественное биективное соответствие. В этом соответствии каждому подпространству отвечает внешнее произведение а.1 А а2 векторов произвольного его базиса ах, а2, а каждому бивектору ах А а2 — подпространство (ах, а2). Второй этапдоказательства теоремы единственности можно было провести также и с помощью понятия координат Плюккера, основываясь на том (см. [121, следствие на с. 240]), что координаты Плюккера однозначно определяют проективную прямую.

Однако нам представляется более правильным не прибегать к дополнительной терминологии. Поэтому мы не использовали при доказательстве теоремы единственности понятия поливектора и координат Плюккера нами использоваться не будет. Дальнейшее изложение результатов и соответствующие доказательства также будут проведены без использования этих понятий.

Алгоритм построения линейных форм краевых условий лучше поясним на примере.

Собственные значения спектральной задачи есть множество {2тк} (к € Щ. Алгебраическая кратность отличных от нуля собственных равна единице, а алгебраическая кратность нулевого собственного значения равна двум. Известно (см. [129, с. 27-29]), чтонули определителя А (Л) являются собственными значениями задачи (12)—(14), причем кратность нуля функции Д(А) совпадает с алгебраической кратностью соответствующего собственного значения задачи (12)—(14). Поэтому характеристический определитель А (А) задачи (12)—(14) имеет корни в точках 2тк [к е 2), причем кратность нулей 2тк [к 6 Ъ \ {0}) равна единице, а кратность корня А = 0 равна двум.

Из теоремы Вейерштрасса следует, что целая функция, имеющая нули в точках {2тк} (к 6 Ъ) представляется следующим образом:/(А) — С (еЛ — 1),где д(Х) — произвольная целая функция.

Найдем ту из этих функций /(А), которая может быть характеристическим определителем Д(А) задачи (12)—(14). Поскольку линейно независимые решения уравнения (12) являются целыми функциями первого порядка, то характеристический определитель также является целой функцией первого порядка. Отсюда и из теоремы Адамара следует, что должно быть справедливо следующее тождествоД(А) = С А еаА (еА — 1), где а — произвольное число.

Таким образом,Д(А) = М12 + М13 \ (-еА 4- е2А) ++ М14 (еА — 2 • е2А) + М23 (-2 еА + е2 А)4- М242А (еА-е2А) + М34еЗА= С \еаХ (еА — 1).

Таким образом, а = 1. Отсюда и из линейной независимости функций^е2А, 1, е\ е2А, еЗА, Ае\ Ае2А Л Аследуют равенства Ми = М\$ = Ми = М>з = М34 = О, М24 = -С/2.

Откуда следует, что х\ = 0 и х3 = 0, а произвольный вектор искомой линейной оболочки имеет вид: х = {0, Х2, 0, я4}.

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можно выбрать, например, векторы ах = {0, 1, 0, 0} и а.2 = {0, 0, 0, 1}.

Следовательно искомые краевые условия имеют вид: у'{0) = 0, 2/(1) = 0.

Теорема 2. Если собственные значения краевых задач (17), (18) и (17), (19) совпадают с учетом их кратностей, и, кроме того, если выполнены следующие три условия:1- Pío - 4Р20 Ф 0,2. Рю ф 0,3. Р20 Ф 0,то совпадают и сами краевые задачи.

Покажем сначала, что система функций {/¿(А)}®=1 при выполнении условий теоремы образует линейно независимую систему, то есть, что тождествоб^«¿/¿(А) = 0 (22)2 = 1выполняется только в случае, если щ = 0 (г = 1, 2,. 6).

Пусть: 2:1(0:, Л), А) — линейно независимые решения уравнения (17), удовлетворяющие условиями¿1(0,А) = 1, ^(0,А) = 0, 22(0, А) = 0, 4(0,А) = 1; (24)А (А) — характеристический определитель задачи (17), (18); Д(А) — характеристический определитель задачи (17), (19).

Из линейной независимости функций у\(х, А), у2(х, А) и равенства (24) следует, что решения х\(х, А), г2(х, А) линейно выражаются через у\(х, А), у2(х,Х) по следующим формулам= (25)А) = У1{х'А) + У-ШУ2{х'А)- (26)где £>(А) = й(0, А) у'2{0, А) - ^(0, А) й(0, А).

По теореме об аналитической зависимости решений от параметрафункции (х, А), г2(х, Л) являются целыми. Поэтому характеристический определительД(А) =игМ^Х)) игЫ^Х)) и2Ых,\)) и2(г2(х, А))также является целой функцией. Рассмотрим краевую задачу%, А) - О,Й(у) = о,ед{Х)(и2(у)) = О,(27)(28)где д(Х) — некоторая целая функция, выбор которой будет осуществлен позже.

Характеристическим определителем этой краевой задачи является следующая функция А:Из (29) следует, что собственные значения спектральных задач (17), (19) и (17), (27), (28) совпадают. Поэтому, согласно условию теоремы, совпадают и собственные значения задач (17), (18) и (17), (27), (28).

Собственные значения задачи (17), (18) являются (см. [?, с.27]) корнями целой функцииДх(А) =йЫя.А)) игЫх, А)) ед^и2(г\(х, А)) е®<А>б"2(г2(*, А))= ез{хЩХ). (29)Д(А) =С/х^^А)) иг(г2(х,Х)) ЪЫх, А)) и2(г2(х, А))Так как Д(А) ф 0, то из формулы Вейерштрасса (о представлении целой функции с помощью ее нулей) следует, чтоД,(А) = е/'Л)Д(А),(30)где /(А) — некоторая целая функция. Выберем в (28) функцию д{А) тождественно равной /(А). Тогда из тождеств (29) и (30) получим:Д(А) = А(А).

Поскольку функции {/¿(А)} г = 1, 2,. 6 линейно независимы, тоМ12 = Л?12, М13 = М13, М14 = М14, М23 = М23, М24 = М24, М34 = М34.

Из этих равенств следует, что любой минор третьего порядка матрицыА =а 11 «12 ^13 «14«23 «24 а23 «24«13 ^14 а\3 014023 а24 а23 «24равен нулю. То есть ранг матрицы А равен двум. Следовательно формы и\(у), и2(у) линейно выражаются через формы и^у), и2(у). Что и требовалось доказать.

Замечание 1. В частном случае, когда рп(х) = р2\(х) = Р22(х) = О теорема 1 доказана в работе автора [16]. В той же работе приведены примеры, показывающие существенность условий 1, 2, 3 теоремы.

Замечание 2. Согласно утверждению теоремы для однозначности восстановления краевых условий вполне достаточно собственных значений спектральной задачи. При этом не возникает необходимости использования дополнительно нормировочных или весовых чисел. Условия теоремы 1 менее ограничительны, чем условия теорем о восстановлении коэффициентов уравнения из задачи Штурма-Лиувилля. Тем не менее может возникнуть вопрос: не является ли требование совпадения всех собственных значений также ограничительным? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Ниже приводится пример, который показывает, что для восстановления краевых условий следует использовать весь набор собственных значений. Исключение из набора лишь одного собственного значения уже приводит к нарушению однозначности восстановления краевых условий.

Множества отличных от нуля собственных значений этих спектральных задач совпадают с учетом их алгебраических кратностей.

Действительно, фундаментальная система решений уравнения выражается следующими равенствами:II, при А = О,2еХх-е2Хх при Л ф О,|х, при Л = О,j (—еАх + е2Ах), при Л фО.

ПоэтомуII, при Л = О,j (—еАх + е2Ах), при Л ф О, 0, при Л = О,А(А) = <I 2 Л (—е х + е2Ах), при Л фО. Следовательно отличные от нуля собственные значения обеих спектральных задач совпадают с множеством {2-7Г-i-k} (к 6 Z\{0}. Алгебраические кратности их для обеих задачи также идентичны (они равны единице). Единственное различие в спектрах соответствующих задач состоит в том, что вторая спектральная задача имеет нулевое собственное значение, а первая — нет.

Итак, для однозначности восстановления обоих краевых условий необходимо использовать все собственные значения. Исключение из набора лишь одного собственного значения уже приводит к нарушению однозначности восстановления краевых условий.

2.2.6 Случай, когда корни характеристического уравнения являются переменнымиУтверждение теоремы 1 сохраняет свою силу и в случае, когда в уравнении содержатся дополнительные коэффициенты Рц(х)\3, г = 2,., а коэффициенты рю>Р20 не обязательно являются константами.

Рассмотрим две краевые задачи с одним и тем же уравнением:(31)3 = 1,2, (32)¿ = 1,2, (33) (34)в области : |А| > Л и по крайней мере одна из функций рм(х) г = 1,2 не равна тождественно 0 в промежутке (0,1).

Доказательство. Согласно работе [158] дифференциальное уравнение (31), коэффициенты которого удовлетворяют условиям а), б), в), г), допускают в области фундаментальную систему решений видаук(х, А) = еЛ Х (щ0(х) + л-1 иф) + л-2щ2(х) + 0(Л3)),(35)к = 1,2,причем выражения можно дифференцировать по х с точностью до первых двух членов.

В этой последней формуле функции ико(х), к = 1,2 отличны от нуля при любых значениях х € [0,1].

Здесь функции /г(А), г = 1,2,.,6 определены так же как вдоказательстве теоремы 1.

Итак, функции {/г(А)}®=1 линейно независимы. Следовательно ранг матрицы А, определенной при доказательстве теоремы 1, равен двум. Что и требовалось доказать.

2.2.7 Другие результатыПример 4 показывает, что отсутствие информации о том является ли нуль собственным значением или нет не дает возможности однозначно восстановить краевые условия.

Однако, если восстанавливаются краевые условия определенного порядка, то информация о том является ли нуль собственным значением или нет оказывается лишней. Это то и доказывается в настоящем пункте.

Теорема 4. Пусть краевые условия задач (1)-(3) и (4)(6) нормированы и пусть выполнены следующие условия:1) Ь2 — Ас ф 0;2) Ь ф 0;3)сф 0;4) краевые условия задач (1)-(3) и (4)-(6) имеют одинаковые приведенные суммарные порядки.

Тогда если отличные от нуля собственные значения краевых задач (1)-(3) и (4)(6) совпадают с учетом их алгебраических крат-ностей, то краевые условия этих задач эквивалентны (т. е. линейные формы и^у), [/2(2/) линейно выражаются через формы 11\{у), и2{у))•Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Отличие состоит в том, что из теоремы Вейёр-штрасса следует, что характеристический определительСМу1(я,А)) СМуй(*,А))и2(У1(х,Х)) и2(у2(х,Х)) по отличным от нуля собственным значениям определяется с точностью до множителя С Хк, а не с точностью до множителя С.

Но показатель степени к легко определяется с помощью приведенного суммарного порядка краевых условий:Если приведенный суммарный порядок краевых условий равен нулю, то краевые условия имеют следующий вид: 2/(0) = 0, у( 1) = 0.

Если приведенный суммарный порядок краевых условий равен единице, то порядок старшей степени Хк, присутствующей в разложении (9) равен нулю, а функция с этой степенью есть линеиная комбинация функций /х(А), /з(А), /4(А). Поскольку функции /г(А), /з(А), /4(А) образуют линейно независимую систему, то коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно. Функции /5(А) в разложении (9) не будет (соответствующий определитель второго порядка равен нулю). Функция /2(А) будет содержать степень на А-1.

Если приведенный суммарный порядок краевых условий равенА(А) =двум, то порядок старшей степени Хк, присутствующей в разложении (9) равен единице, а функция с этой степенью есть функция /5(Л). Остальные функции /¿(Л), а значит и соответствующие определители легко могут быть выявлены из равенств (10) и тождества (9) как в предыдущем случае к = 0.

Таким образом, при восстановлении краевых условий отсутствие информации о нулевом собственном значении компенсируется информацией о приведенном суммарном порядке краевых условий.

Пример 6 (восстановление краевых условий определенного порядка).

Из теоремы Вейерштрасса и теоремы Адамара следует, что целая функция, имеющая отличные от нуля корни в точках {27гг&} (к £ Ъ \ {0}) представляется следующим образом:Здесь к — произвольное целое число, а а — произвольное действительное число.

Найдем ту из этих функций /(А), которая может быть характеристическим определителем Д(А) задачи (37)—(39). Как уже было доказано характеристический определитель отыскивается однозначногде/(А) = С Хк еаХ (еА - 1).с точностью до множителя. Поэтому справедливо следующее тождествоД(А) = С Хк еаЛ (еА — 1).

Таким образом,Д(А) = М12 + М13 ^ (-еА + е2А)+ Мы (еА — 2 • е2А) + М23 (-2 еА + е2 А)+ М242А (еА-е2А)+М34еЗА= С Хк еаХ (еА — 1).

Так как приведенный суммарный порядок искомых краевых условий равен двум, то порядок старшей степени, присутствующей в разложении характеристического определителя равен единице, а определитель второго порядка, являющийся множителем функции/2(Л) = 2Л (еА-е2А)отличен от нуля. Откуда следует, что к = 1, а = 1, М\2 = М\$ = Ми = М23 = М34 = О, М24 ф 0.

Найдем теперь соответствующую линейную оболочку. Пусть х = х2, ^3) — произвольный вектор искомой линейной оболочки (ах, а2). Тогда координаты вектора х удовлетворяют условию:ац ап «13 о>и а2х а22 а2з а24^зrank= 2.(40)Условие (40) эквивалентно выполнению следующих равенств:ац ап «14 а21 а22 а24 Жх Ж2 Ж4= 0,ахг а13 ах4 а22 ^23 а24Ж2 Жз Ж4= 0.(Все окаймляющие Мх2 миноры должны быть равны нулю.)Разлагая определители (41) по третьей строке, получаем: х\ = 0 и хз = 0, а произвольный вектор искомой линейной оболочки имеет вид: х = {0, Х2, 0, х4}.

В качестве базисных векторов этой линейной оболочки можно выбрать, например, векторы ах = {0, 1, 0, 0} и а2 = {0, 0, 0, 1}. Следовательно искомые краевые условия имеют вид: у'(0) = 0,3/(1) = о.

2.3 Коэффициентная альтернатива2.3.1 Общие теоремыНастоящая работа посвящена единственности восстановления краевых условий задачи о колебаниях струны по спектру частот. Эта задача может быть отнесена как к классу обратных Штурма-Лиу-вилля, так и и к классу обратных задач для уравнения колебаний струны. Исследованиям обратной задачи Штурма-Лиувилля посвящена обширная литература. Этими задачами занимались В.А. Ам-барцумян, Г. Борг, Н. Левинсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юрко и другие (подробнее см. [208]-[181]). Значительное число работ посвящено также и изучению обратных задач граничного управления колебательными процессами (см., например, [85]-[174]). Вместе со сходством с обычными обратными задачами Штурма-Лиувилля и задачами граничного управления, настоящее исследование отличается от них. В отличие от обычных постановок обратных задач Штурма-Лиувилля, потенциал (коэффициент в дифференциальном уравнении) считается заданным. Различие с задачами граничного управления состоит в том, что в задачах граничного управления фигурирует временная переменная, а в настоящем исследовании она отсутствует.

В работе [24] автором было показано, что коэффициенты Н и Н задачи-у" = А2у, у'(0)-ку(0) = 0, у'(1) + Яу(1) = 0 (1)находятся по ее спектру с точностью до перестановок их местами.

Покажем, что этот случай — случай восстановления коэффициентов с точностью до перестановок — реализуется не всегда. Ниже приводятся два примера. В первом примере коэффициенты находятся единственным образом. Во втором примере решение обратной задачи отыскания коэффициентов краевых условий задачи Штурма-Лиувилля неединственно, но коэффициенты находятся не с точностью до перестановок как в [24].

Общим решением уравнения (2) является функцияу(х) = у(аг, А) = С\ 70(А (яг + 1)) + С2 У0(А {х + 1)),где использованы стандартные обозначения для цилиндрических функций.

Собственные значения задачи (2), (3) совпадают с нулями характеристического определителя(см. [129]).

Приведенные примеры показывают, что восстановление коэффициентов краевых условий с точностью до перестановок их местами не является типичным. Могут возникать совершенно различные зависимости между коэффициентами. Такое разнообразие случаев решений задачи отыскания коэффициентов h и Н наводит на мысль о существовании бесчисленного множества решений этой задачи.

Ниже этот результат о единственности или двойственности решения задачи нахождения коэффициентов /г и Я по спектру сформулирован в виде теоремы для общего дифференциального уравнения.

Пусть ^х(а;,Л), г2(х, Л) — линейно независимые решения уравнения (8), удовлетворяющие условиям^(0, А) = 1, ¿¡(О, Л) = 0, г2{0, Л) = 0, 4(0, Л) = 1. (13)Обозначим характеристический определитель задачи (8), (9) через А (Л), а характеристический определитель задачи (8), (10) — чеИз линейной независимости функций у\(х, Л), у2(х, Л) и равенства (13) следует, что решения ^(ж, А), г2(х, Л) линейно выражаются че(12)рез Д(Л).

Д(А) =рез у\(ж, Л), у2(х,Х) по следующим формулам= (14)= + (15)где В(А) = у\(О, А) <¿(0, А) - у'^О, А) й(0, А).

Из теоремы об аналитической зависимости решений от параметра следует, что функции Л), г2(х,Х) являются целыми. Поэтому характеристический определительиМ(х,Х)) ЪЫх,*)) и2Ых,\)) и2Ых,\)) также является целой функцией. Поскольку корни характеристического уравнения = — р и = р являются чисто мнимыми, то функция А (Л) ограничена на вещественной оси, и, следовательно, является целой функцией класса С (класса Картрайт). Функция Д(А) принадлежит тому же классу. Следовательно (см. [111]), эти функции связаны тождествомД(А) = ^Д(А),где К — некоторая константа.

Воспользовавшись (11), (12), (14), (15) и тем что 1/1)(А) ф 0, из последнего тождества получаем(-кН + кЪй) ¿(А)+ #л) /2(А)++ (-Я + кн) /з(А) + (1 - К) /4(А) = 0.

Так как ф О, г/2о(#) Ф О, то cti ф О и а2 Ф О и уравнения(20), (21) эквивалентны уравнениюh + H = h + H. (22)Уравнение (22) эквивалентно уравнению■ h-h = H-H.

Еслиh-h = H-H = О,тоh = h, Я = Я, (23)причем эти значения h и Я удовлетворяют уравнениям (18)—(19), а значит и всей системе уравнний (18)—(21). Таким образом, значенияh-h=H-H=0являются решениями системы.

Эквивалентность систем уравнений (32), (33) и (36)-(37) доказывается аналогично доказательству эквивалентности систем уравнений (31), (33) и (34), (35).

Итак, система уравнний (31)-(33) эквивалентна системе уравнений (34)-(37). Если(А - Ъ)Р/<*1 ф-(02- 72)РЛ*2, (41)то система уравнений (34)-(37) несовместна, и поэтому система уравнений (18)—(21) эквивалентна (23). Если же — 71)^/0:1 = —(/02 — 7г)р/а2, то система уравнений (18)—(21) эквивалентна (23) или (34)-(35).

Таким образом, если (А — 71)^/0:1 ф —(02 — 72)рЛ*2, то решение задачи определения коэффициентов Ни Н единственно (Н = Н, Н = Н). Если же (01 — ^\)р/оц = — (02 — 72) р/= А, то решение задачи определения коэффициентов /г и Н двойственно (/г = /г, Н = Н или К = Н+А, Я = /г—Л) или единственно (единственность в последнем случае может возникнуть из-за того, что равенства (34)-(35) могут противоречить равенствам, получающимся за счет приравнивания соответствующих коэффициентов последущих членов разложения е"1Х0(А-1) + еш*хО(А"1) в тождестве (16)). Теорема доказана.

Таким образом, решение обратной задачи отыскания коэффициентов краевых условий задачи Штурма-Лиувилля либо единственно, либо двойственно. В случаях двойственности второе решение часто не удовлетворяет физическому смыслу задачи (например, положительная физическая константа оказывается отрицательной). Поэтому в таких случаях решение задачи отыскания краевых условий задачи Штурма-Лиувилля можно считать практически единственным. Это дает хорошие возможности для акустического диагностирования закреплений струн, мембран и валов. Доказанная теорема обосновывает возможность распознания закреплений струн, мембран и валов по звучанию их колебаний.

Полученный результат дополняет исследования работы [36], в которой показана единственность решения обратной задачи восстановления краевых условий задачи Штурма-Лиувилля для случая, когда сумма корней характеристического уравнения о^+о^ не равна нулю.

2.3.2 Акустическая диагностика концевых дисков валаВ этом пункте изучается возможность акустического диагностирования надежности системы, состоящей из вала с концевыми дисками. Показано, что моменты инерции концевых дисков относительно оси вала находятся по первым двум собственным частотам крутильных колебаний однозначно с точностью до перестановок дисков местами. Найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Процедура разборки деталей машин часто является дорогостоящей, нарушает приработку узлов и сокращает срок безаварийной службы. Поэтому актуальной является задача оперативного контроля технических конструкций без их разборки. В решении этой задачи особую роль играет направление, возникшее на стыке теории механизмов и машин с акустикой [5]. Методы акустической диагностики позволяют не только выявить уже развившуюся неисправность и предотвратить катастрофические разрушения, но и обнаружить развивающийся дефект на очень ранней стадии, что дает возможность прогнозировать аварийную ситуацию и обоснованно планировать сроки и объем ремонта оборудования, позволяет сэкономить рабочее время и трудовые затраты [76].

Изучается возможность акустической диагностики вала с концевыми массами. Устройства подобного рода (см. рис. 2.1) очень часто встречаются в конструкциях машин. Большая практическая важРис. 2.1: Вал с двумя концевыми дискаминость крутильных колебаний вала с концевыми дисками была отмечена С.П.Тимошенко (см. [160, с. 17]). Он указывал на то, что именно в этом случае инженеры впервые установили практическую важность тщательного исследования колебаний.

Концевые диски вала как правило являются недоступными для визуального осмотра. Поэтому единственным источником обнаружения неисправности или технического неблагополучия {налипания инородных предметов, изношенности дисков и т. п.) являются собственные частоты крутильных колебаний. И вполне естественной является следующая задача: определить моменты инерции концевых дисков относительно оси вала по собственным частотам крутильных колебаний.

Рассмотрим частотное уравнение задачи о крутильных колебаниях круглого вала с двумя концевыми дисками ([160, С. 311]):ье = ^Ц, (42)тпр1 - 1где (3 - параметр, связанный с частотным параметром и длиной вала т = п = 72/7о ; А- момент инерции вала относительно203его оси, «/1,Зч - искомые моменты инерции концевых дисков относительно оси вала.

Поставленная нами задача определения моментов инерции сводится к определению положительных чисел тип по положительным корням (Зк уравнения (42).

Из (42) следует, что если момент инерции одного из дисков относительно вала известен, то момент инерции другого диска относительно вала определяется по первой собственной частоте однозначно. Кроме того, по изменению первой собственной частоты можно судить и о неблагополучии на обоих дисках. Если значительно изменилась первая собственная частота по сравнению с первоначально замеренной, то это свидетельствует об изменении параметров тип, что требует прекратить эксплуатацию системы и преступить к разборке и ремонту. Однако, неблагополучие на обоих дисках не может быть определено только по первой собственной частоте. Нетруднопривести примеры, показывающие, что изменения в системе могут не привести к изменению первой частоты. Например, если первоначально для системы имеем т = 2.99899 и п = 10.0095, а в последующем - т = 3.67522 и п = 6.58187 (налипания инородных предметов на первый диск и изношенность второго диска), то это изменение нельзя обнаружить с помощью первой собственной частоты, которая осталась неизменой (Pi = 0.63743 ). Кроме того, по изменению лишь первой собственной частоты нельзя судить о степени неблагополучия в системе. Таким образом, для надежного диагностирования требуется знание двух собственных частот.

Знание всех собственных частот не дает большей информации, чем знание только первых двух. По всему спектру частот моменты инерции концевых дисков вала также определяются с точностью до перестановок дисков местами. Поэтому даже опытный специалист не сможет по шуму работающего вала с концевыми дисками сказать больше, чем частотомер, способный определить две первые собственные частоты.

2.3.3 Определение моментов инерции вращающихся дисков относительно оси валаВ этом параграфе изучается возможность акустического диагностирования надежности механической системы, состоящей из вала с двумя дисками, один из которых является концевым, а другой — нет.

Как видим, в отличие от предыдущей работы один из дисков не является концевым. Кроме того, есть еще два аспекта, которые отличают этот параграф от предыдущего. Во-первых, настоящем параграфе используются методы лагранжевой механики, а не методы технической теории, как в предыдущем параграфе. Во-вторых, здесь рассматриваются собственные частоты крутильных, а не изгибных колебаний.

В лагранжевой механике частотное уравнение механической системы, состоящей из вала с двумя дисками, один из которых является концевым, а другой — нет, имеет вид [71, с. 65-66]3Х 32 - (Л С2 + С\ + 32 С2) и}2 + (С1 + С2) с2 = 0.

Здесь 32 — момент инерции концевого диска, а 3\ — момент инерции диска равноотстоящего от концевого диска и крепления вала; сх, с2 — соответствующие псевдоупругие коэффициенты.

Из теоремы Виета следует, что корни этого уравнения и о;2, являющиеся собственными частотами, удовлетворяют системе(31С2 + 32С1+32С2)/(31 32), = (с1+с2)с2/(Л 72).

Отсюда«Л 32 = (сх + с2) с2/(а>1 ш2),3\ с2 + 32 (сх + с2) = (ш2 + ш1) (С1 + с2) С2/СО2).

Из последней системы уравнений величины х\ = 3\ с2 и ж2 = /2 (сх + с2) находятся по обратной теореме Виета однозначно с точностью до перестановки х\ и гс2 местами.

Найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

2.3.4 Диагностирование нагруженности механической системы с двумя степенями свободыВ настоящем параграфе предлагается метод, с помощью которого можно судить о величине сосредоточенных масс в системе с двумя степенями свободы по двум собственным частотам изгибных колебаний. В отличие от предыдущих параграфов обе сосредоточенные массы не являются концевыми. Поскольку изменения величин масс могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание инородных предметов и т.п., то найденные формулы позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

Процедура разборки механических систем часто является дорогостоящей, нарушает приработку узлов и сокращает срок безаварийной службы. Поэтому актуальной является задача оперативного контроля технических конструкций без их разборки. В решении этой задачи особую роль играет направление, возникшее на стыке теории механизмов и машин с акустикой [5, 76]. Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [6], где изучалось акустическое диагностирование балок. В отличие от [6], в настоящем пункте восстанавливаются не краевые условия, а сосредоточенные массы, и в качестве данных диагностирования берется не весь спектр частот, а<-Х\->ч-ЛГз->" УБалка, нагруженная двумя массамиРис. 2.4: Диагностирование нагруженности стержня лишь две первые собственные частоты.

Рассмотрим балку длины I, нагруженную в точках, отстоящих от левой опоры на расстояниях хх х2, сосредоточенными массами ть т2 (см. рис. 2.4). Оба конца балки шарнирно оперты. Примем, что массой балки по сравнению с массами т\, т2 можно пренебречь. Будем учитывать только жесткость на изгиб балки ЕЗ. Нагрузка Р в точке ж,- вызывает в точке хк прогиб ук = Р а^к. Для шарнирноопертой на обоих концах балки при постоянной жесткости на изгиб ЕЗ.азк = х2з (1 - хз? [2Хк/Хз + хк/(1 - Х-) - 4/(1 х) - яг|)] /(6ЕЛ),хк Ху.

Частотное уравнение для малых изгибных колебаний имеет вид (см. [99, с. 279] или [71, с. 66]):йе^АМ — рЕ) = 0, р = 1/ш2. (47)Здесь А = ||ад || — квадратная матрица второго порядка; М — диагональная матрица с элементами т\, т2 соответственно; Е — единичная матрица; ш — частотный параметр.

Сосредоточенные массы, как правило, представляют собой детали конструкций, недоступных для визуального осмотра. Поэтому для обнаружения неисправности или ненадежности в системе (налипания инородных предметов, изношенности и т. п.) можно использовать собственные частоты изгибных колебаний, вызванные постукиванием по балке. Численные значения частот, найденные с помощьючастотомера, позволяют с помощью формул (50)—(51) оценить необходимость немедленного ремонта, его объем и сроки.

2.3.5 Акустическая диагностика нераспадающихся условий закрепленияНастоящий пункт продолжает исследования, начатые в главе 1, где изучались возможности акустического диагностирования закреплений струн, мембран, балок и пластин. В отличие от главы 1, рассматривается механическая система с нераспадающимися условиями закрепления, т. е. такими условиями, при которых состояние закрепления на одном из концов стержня влияет на состояние закрепления на другом его конце. Задача состоит в том, чтобы правильно диагностировать коэффициенты жесткости пружинок ко, к2 в механической системе, состоящей из упруго закрепленного стержня и каната с пружинами, соединяющего концы этого стержня (см. рис. 2.5) и описанной в [99]. Диагностирование жесткостей пружинок важно для проверки надежности работы соответствующей механической системы, поскольку казалось бы постоянные жесткости пружинок со временем могут менять свое значение в связи с усталостью материалов, температурных изменений, или же частом адиабатическом нагружении.

Заключение

Подводя итоги можно сказать, что в диссертации заложены основы нового научного направления в диагностике механических систем — диагностики вида и параметров закреплений упругих тел.

По каждой из глав получены следующие новые результаты:

Глава 1. Акустическая диагностика закрепления упругих тел.

1. Впервые созданы математические модели диагностирования вида и числовых параметров закрепления струн, мембран, стержней и пластин по конечному набору собственных частот их изгиб-ных колебаний, установлена корректность соответствующих задач, выработаны методы для их аналитического и приближенного решений. Составлены пакеты программ, позволяющие диагностировать вид закрепления круговой пластины и кольцевой мембраны по трем первым собственным частотам изгибных колебаний. Получены результаты численных расчетов идентификации закреплений однородной и неоднородной круговых пластин, кольцевых мембраны и пластины.

2. Разработаны математические модели диагностирования величины сосредоточенной концевой массы и параметров вязкого трения при движении конца струны или стержня по собственным частотам его колебаний. Диагностирование искомых физических величин сведено к задаче идентификации полинома от спектрального параметра. Показана корректность этой задачи и приведены результаты численных экспериментов.

Глава 2. Статическая диагностика закреплений и другие задачи идентификации.

1. Предложены математические модели диагностирования вида закрепления балок и пластин по значениям их прогибов в нескольких точках. Показана корректность постановок соответствующих задач и найдены методы их решения. Разработаны методы диагностирования недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем и строительных конструкций. Показана эффективность найденных методов.

2. Доказаны теоремы единственности и двойственности решений задач отыскания краевых условий по всему спектру. Найдены аналитические и точные методы их решения. Полученные методы применены для проверки надежности упругих закреплений механических систем. Созданы методы отыскания величин двух сосредоточенных масс механической системы по спектру ее собственным частот. Установлена двойственность решения задач акустического диагностирования: 1) величин двух сосредоточеных масс, которыми нагружена балка; 2) жесткости пружинок при упругом закреплении обоих концов неоднородной струны; 3) сложного вида закрепления, выражаемого нераспадающимися краевыми условиями. Представлены соответствующие формулы диагностирования, которые позволяют выявлять необходимость ремонта соответствующей механической системы, его объема и сроков проведения, не прибегая к разборке.

3. Получены новые результаты в классической теории обратных задач Штурма-Лиувилля: доказаны теоремы о единственности и устойчивости решения задачи восстановления коэффициента уравнения и нераспадающихся краевых условий и приведен пример численного ее решения.

Глава 3. Модели математической физики и коэффициенты разложений в ряды по собственным функциям.

Решена задача о продольных колебаниях стержня, оба конца которого испытывают сопротивление, пропорциональное скорости. При моделировании такого рода задач возникают краевые задачи со сложным вхождением спектрального параметра в краевые условия. В случае, когда спектральный параметр входит в краевые условия полиномиально, возникает проблема вычисления коэффициентов в ряды по производным цепочкам Келдыша. В диссертации найдены общие формулы для вычисления этих коэффициентов.

Отметим, что результаты, содержащиеся в трех из четырнадцати параграфов диссертации, получены в соавторстве с академиком В. А. Садовничим и профессором Я. Т. Султанаевым (параграф 2.4), профессором И. Ш. Ахатовым (параграф 1.7), А. В. Муф-таховым (параграф 1.2).

1. Агранович М. С., Дынин А. С. Общие краевые задачи для эллиптических систем в многомерной области // ДАН СССР, 1964. Т. 146. С. 511-514.

2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи // УМН. Т. 19. Вып. 3. 1964. С. 53-161.

3. Айнола Л. Я. Обратная задача о собственных колебаниях упругих оболочек // ПММ. 1971. № 2, С. 358-364.

4. Алесеев А. А. Устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля для конечного интервала // ДАН СССР. 1986. Т. 287. N 1. С. 11-13.

5. Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 295 с.

6. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

7. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1966.

8. Ахтямов А. М. Спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных операторов и соответствующие эволюционные уравнения: Дис. канд. физико-матем. наук. М., 1992. 135 с.

9. Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам одной спектральной задачи // Матем. заметки. 1992. Т. 51. № 6. С. 137-139.

10. Ахтямов А. М. О совпадении краевых условий двух спектральных задач второго порядка. // Деп. в ВИНИТИ 26.11.92 N 3375 В 92. С. 1-12.

11. Ахтямов А. М. Об эквивалентности краевых условий спектральных задач, имеющих общее уравнение. // Деп. в ВИНИТИ 30.12.92 N 3707 В 92. С. 1-13.

12. Ахтямов А. М. О совпадении спектральных задач, имеющих одинаковые собственные значения // Тезисы докладов 102 научной конференции профессорско-преподовательского состава, научных сотрудников и аспирантов. Часть 5. Уфа: БГАУ. 1993. С. 31.

13. Ахтямов А. М. К теоремам единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля // Деп. в ВИНИТИ 04.10.95 N 2677 В 95. С. 1-8.

14. Ахтямов А. М. Применение асимптотических методов для решения обратных задач // Тезисы докладов 2-ой международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск: Изд-во НИИ регионологии. 1996. С. 43.

15. Ахтямов А. М. О совпадении краевых условий спектральных задач, имеющих общее уравнение // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 4. Дифференциальные уравнения. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН. 1996. С. 15-21.

16. Ахтямов А. М. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. Уфа: Изд-е БашГУ. 1996. N 3(1). С. 12-15.

17. Ахтямов А. М. Эллиптические задачи с параметром в граничных условиях // Научная конференция по научно-техническим программам Минобразования России: Сборник статей. Уфа: Изд-е Башкирск. ун-та, 1997. С. 109-111.

18. Ахтямов А. М. Об однозначности восстановления по спектру коэффициента в уравнении четвертого порядка // Труды Третьей Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск: Крас. Окт., 1998. С. 100.

19. Ахтямов А. М. Единственность восстановления коэффициента дифференциального уравнения 4-го порядка по спектру краевой задачи // Вестник Башкирского университета. Уфа: Изд-е БашГУ. 1998. N 3(1). С. 38-40.

20. Ахтямов А. М. О восстановлении краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Вестник Башкирского университета. Уфа: Изд-е БашГУ. 1999. N 1. С. 13-17.

21. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. научн. конф. 22-26 июня 1999. Г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999. С. 18.

22. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. N 8. С. 1127-1128.

23. Ахтямов А. М. Об однозначности определения моментов инерции концевых дисков вала по собственным частотам крутильных колебаний // Ученые записки: Сб. научн. тр. / БашГПИ. Уфа, 1999. С. 3-7.

24. Ахтямов А. М. Об определении безопасности работающей технической системы по ее шуму // Математические модели и методы их исследования: Тез. докл. Междунар. конф. / Крас-нояр. гос. ун-т. Красноярск, 1999. С. 27.

25. Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевой задачи со спектральным параметром в граничных условиях // Известия вузов. Математика. 2000. № 2. С. 13-18.

26. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру // Математическое моделирование, т. 12, № 3, 2000 г. С. 6.

27. Ахтямов А. М. О сопряженной системе к производным цепочкам Келдыша одной эллиптической задачи // Дифференщаль-Hi та штегральт р1вняння. М1жнар. конф., Одеса, 12-14 верес., 2000. Одеса. 2000, с. 16-17.

28. Ахтямов А. М. Об однозначности восстановления закрепления струны по ее собственным частотам // Нелинейное моделирование и управление. Материалы международного семинара. Самара: Офорт, 2000. С. 8-9.

29. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, Вып. 4. С. 995-1006.

30. Ахтямов А. М. О вычислении коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша для одной эллиптической задачи с параметром в граничном условии // Математические заметки. 2001. Том 69. Вып. 4. С. 622-624.

31. Ахтямов А. М. Об одной теореме единственности // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Тезисы докладов. Ч. 1. Математика / Издание Башкирского университета. Уфа. 2001. С. 20.

32. Ахтямов А. М., Николаенко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Том 8. Вып. 1. С. 92-93.

33. Ахтямов А. М. Полиномиальная альтернатива // Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. научн. тр. Вып. 2. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2001. С. 50.

34. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. МММИУ. 2001. Т. 5. № 3, с. 103-110.

35. Ахтямов А. М. О единствености решения обратной задачи определения полиномов в краевых условиях // Межд. научн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (тезисы). Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 13.

36. Ахтямов А. М. Идентификация краевых условий спектральных задач // Межд. научн. конф. посвященная 70-летию академика А. М. Ильина "Асимптотики дифференциальных уравнений" (тезисы). Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2002. С. 7.

37. Ахтямов А. М., Федорова А. С. Юртова М. А. Распознание краевого условия задачи по ее спектру // Труды двенадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" Ч. 3. Самара: СГТУ, 2002. С. 13-14.

38. Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Том 9. Вып. 1. С. 154-155.

39. Ахтямов А. М. Акустическая диагностика закреплений кольцевых пластин // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин. Н. Новгрод: Изд-во ННГУ им. Лобачевского, 2002. С. 101-104.

40. Ахтямов А. М. К решению обратной статической задачи // Электронный журнал "Исследовано в России", 49, с. 567-573, 2003: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/049.pdf

41. Ахтямов А.М. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

42. Ахтямов А. М. Диагностирование нагружености механической системы // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 6. С. 60.

43. Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5. т. С. 214-221.

44. Ахтямов А. М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференциальные уравнения. 2003. № 8. С. 1011-1015.

45. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137-147.

46. Ахтямов А. М. Коэффициенты разложений в ряд по производным цепочкам для одного класса элиптических задач // Международная конференция, посвященная 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского: Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 9.

47. Ахтямов А. М. О коэффициентах разложений по собственным функциям краевых задач с параметром в граничных условиях // Математические заметки. 2004. Т. 75. Вып. 4. С. 493-506.

48. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С 51-52.

49. Баранова Е. А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по системе их спектров // ДАН СССР. 1972. Т. 205. № 6. С. 1271-1273.

50. Баркарь С. М. О собственных значениях одной краевой задачи в открытой правой полуплоскости // Математические заметки. 1990. 48. № 5. С. 138-140.

51. Биргер И.А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

52. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. Т. 2. СПБ, 1914.

53. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике: Учебное пособие, 3-е изд. М.: Наука. 1980. 688 с.

54. Бухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

55. Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск. 1968. Вып. 4. С. 378-879.

56. Вайнберг Д. В. Аналогия между задачами о плоском напряженном состоянии и об изгибе круглой пластины переменной толщины при несимметричной нагрузке // ПММ. 1952. Т. 16. С. 749-752.

57. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36. № 4. С.74-77.

58. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акуст. журн. 2000. Т. 46. № 3. С. 424-426.

59. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

60. Вибродиагностика качества механизмов приборов. JL: ЛИАП, 1987. 144 с.

61. Ворович И.И., Ковальчук В.Е. О базисных свойствах одной системы однородных решений // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 5. С. 861-869.

62. Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ, 2000. 317 с.

63. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15. № 4. С. 309-360.

64. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

65. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек Киев: Наукова думка, 1964. 288 с.

66. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965.

67. Губреев Г. М., Пивоварчик В. Н. Спектральный анализ задачи Редже с параметрами // Функц. анализ и его приложения. 1997. № 1. С. 70-74.

68. Гусейнов И. М. Решение одного класса обратных краевых задач Штурма-Лиувилля // Матем. сб. 1995. Т. 186. № 5. С. 3548.

69. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд.-во МГУ, 1994. 206 с.

70. Диагностика автотракторных двигателей. Под ред. Н. С. Жда-новского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

71. Дружинин Г. В., Бодунов Н. М. Закиров И. М. Численно-аналитический метод в краевых задачах механики сплошной среды // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. 2001. Вып. 2(14). Т. 7. С. 95-104.

72. Егоров А.И. // Докл. АН УССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. 1986. №5. С. 60-63.

73. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэродинамики. М.: Наука, 1994. 440 с.

74. Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

75. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 200 с.

76. Ильгамов М. А. Статические задачи гидроупругости. Казань: ИММ РАН. 1994. 208 с.

77. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач гиперболического и параболического уравнений // УМН. 1960. Т. 15. № 2. С. 97-154.

78. Ильин В. А. // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 12. С. 1640-1659.

79. Ильин В. А. // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 12. С. 1670-1686.

80. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

81. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

82. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральной задаче из теории параболо-гиперболического уравнения теплопроводности // ДАН. 1997. Т. 352. № 4. С. 451-454.

83. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // ДАН СССР. 1951. Т. 77, № 1. С.11-14.

84. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных операторов // УМН. 1971. Т. 26, N 4. С. 15-41.

85. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

86. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

87. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А. К теории самосопряженных квадратичных пучков операторов // Вестник Моск. ун-та. Сер. Математика, механика. 1983. № 6. С. 40-51.

88. Кошляков Н. С., Глинер Э. В., Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

89. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля ДАН СССР. 1951. Т. 76. N 1. С. 21-24

90. Крейн М. Г., Лангер Г. К теории квадратичных пучков самосопряженных операторов // ДАН СССР, 1964. Т. 154, № 6. С. 1258-1261.

91. Крылов А. Н. Некоторые замечания о крешерах и индикаторах. Известия Академии наук. С.-Петербург. 1909. 6 серия. Т. 3. № 15. С. 623-654.

92. Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

93. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

94. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука. 1982. 272 с.

95. Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 277-280.

96. Левин А. В. Расчет на статический изгиб и на вибрацию дисков гиперболического профиля // ЖТФ. 1937. Т. 7, № 17. С. 17541767.

97. Левин А. В. Вибрация дисков // ЖТФ. 1937. Т. 7, № 17. С. 1739-1753.

98. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Госте-хиздат, 1956. 632 с.

99. Левитан Б. М. Операторы обобщенного сдвига и некоторые их применения. М.: Физматгиз, 1962. 323 с.

100. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19. № 2(116). С. 3-63.

101. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию (Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1970. 672 с.

102. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 с.

103. Левитан Б. М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака М.: Наука. 1988.

104. Лейбензон 3. Л. Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР. 1962. Т. 142. 3. С. 534-537.

105. Лейбензон 3. Л. Обратная задача спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Тр. Моск. матем. о-ва. 1966. 15. С. 70-145.

106. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения систем краевых задач // Тр. Моск. матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15-58.

107. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Некоторые граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

108. Мамфорд Д.Б. Алгебраическая геометрия. 1. Комплексные многообразия. М.: Мир. 1979.

109. Мавлютов Р. Р., Хакимов А. Г. Большие перемещения упругих и упругопластических тел. Уфа: Изд-е Башкир, ун-та. 1995. 268 с.

110. Марченко В. А., Маслов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Матем. сб. 1960. 52(94), N 2. С. 739-788.

111. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. 1972. 220 с.

112. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла // Матем. сб. 1975. 97. С. 540-606.

113. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения Киев: Наукова думка. 1977.

114. Мелешко С. В., Покорный Ю. В. Об одной вибрационной краевой задаче // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 8. С. 14661467.

115. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 526 с.

116. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

117. Никифоров А. В., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Изд-е 2-е. М.: Наука, 1984. 344 с.

118. Оразов М. Б., Шкаликов А. А. Об п-кратной базисности собственных функций некоторых регулярных краевых задач // Сибирский математический журнал. 1976. Т. 17. № 3. С. 626639.

119. Павлов Б.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971. 223 с.

120. Папкович П. Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Докл. АН СССР. 1940. Т. 27. N 4.

121. Папкович П. Ф. Строительная механика коробля, ч. 2. Л., Суд-промгиз, 1941.

122. Перес М. Е., Чечкин Г. А., Яблокова (Доронина) Е. И. О собственных колебаниях тела с "легкими" концентрированными массами на поверхности // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 6. С. 195— 196.

123. Плаксина О. А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Матем. сб. 1986. Т. 131. № 1. С. 3-26.

124. Постников М. М. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1979. 312 с.

125. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 1. 831 с.

126. Радзиевский Г. В. Задача о полноте корневых векторов в спектральной теории оператор-функций // УМН. 1982. Т. 37. Вып. 2. С. 81-145.

127. Расулов М. Л. Метод контурного интеграла. М.: Наука, 1964.

128. Расулов М. Л. Применение вычетного метода к решению задач дифференциальных уравнений. Баку: Элм, 1989. 328 с.

129. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

130. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Спецкурс для студентов НГУ, НГУ, 1973.

131. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 589 с.

132. Рудицин М. Н., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по сопротивлению материалов. Минск: Вышейш. школа, 1970. 630 с.

133. Рябушко Т.И. Устойчивость восстановления оператора Штурма-Лиувилля // Теория функций, функц. анализ и их прилож. Харьков. 1972, № 16. С. 186-198.

134. Сахаров И. Е. Частоты собственных колебаний кольцевых пластинок // Известия АН СССР, ОТН, 1957, № 5, С. 107-110.

135. Садовничий В. А. Единственность решения обратной задачи для уравнения второго порядка с нераспадающимися краевыми краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1974. № 1. С. 143-151.

136. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий // Доклады Академии наук. 1999. Т. 367. № 6. С. 739-741.

137. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. Аналоги теоремы единственности Борга в случае нераспадающихся краевых условий // Избранные вопросы математики, механики и их приложений: Сб. научных трудов. М.: Изд-во МГУ, 1999. С. 113-117.

138. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады Академии наук. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

139. Сахнович JI.A. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Матем. сб. 1958. Т. 46(88), № 1. С. 61-76.

140. Станкевич И. В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 34-37.

141. Страхов В.А. О некоторых вопросах теории обратных задач для дифференциальных операторов // Матем. заметки. 1977. Т. 21, № 2. С. 151-160.

142. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

143. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука, т. 1,- М.,Л.: Госте-хиздат, 1940.

144. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.

145. Темирбулатов Н.С. Спектральная задача, связанная с приближением по сферическим гармоникам для нестационарного односкоростного уравнения переноса // Матем. заметки. 1996. Т. 59. Вып. 3. С. 472-476.

146. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

147. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М., Л.: Гостехиздат. 1948. 460 с.

148. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. № 5. С. 195-198.

149. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 230 с.

150. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.

151. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Ч. 1. М.: ИЛ, 1960. 278 с.

152. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

153. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. 333 с.

154. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. № 1. С. 62-67.

155. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133.

156. Фаддеев Д. К. Об обусловленности матриц // Тр. матем. ин-та АН СССР, 1959, 53, 387-391.

157. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 734 с.

158. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния // УМН. 1959. Т. 14. № 4. С. 57-119.

159. Хачатрян И.Г. О восстановлении дифференциального уравнения по спектру // Функц. анализ и его приложения. 1976. Т. 10, 1. С. 93-94.

160. Чабакаури Г.Д. // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 12. С. 1655-1663.

161. Шкаликов A.A. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1983. N 9. С. 190-229.

162. Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1989. N 14. С. 140-224.

163. Шкред А. В. О линеаризации спектральных задач с параметром в граничном условии и свойствах производных цепочек М.В. Келдыша. Матем. заметки. Т. 46. Вып. 4. 1989. С. 99-109.

164. Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями. // Матем. заметки. 1975. Т. 18. N 4, 569-576.

165. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН АрмССР. Мат. 1984. 19. № 5. С. 398-409.

166. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения,-Саратов: Изд-во Сарат. педагогич. ин-та, 2001. 499 с.

167. Якубов С.Я. Кратная полнота по М.В. Келдышу корневых функций эллиптических краевых задач с полиномиальным спектральным параметром // Изв. АН СССР. Серия матем. Т. 50. №, 1986. С. 425-432.

168. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (Формулы, графики, таблицы).- М.: Наука,1968.

169. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Comm. pure appl. Math. 1962. V. 15. P. 119-147.

170. Akhatov I. Sh., Akhtyamov A. M. Determination of the form of attachment of a rod using the natural frequencies of its flexural oscillations // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2001. Vol. 65. No. 2. P. 283-290.

171. Akhtyamov A. M. Calculation of coefficients of expansions in derived chains of a spectral problem // Mathematical Notes. 1992. Vol. 51. No. 5-6. P. 618-619.

172. Akhtyamov A. M. On a new inverse problem. // LANL Electronic Archive. 1998. Math. SP/9807056. P. 1-8.

173. Akhtyamov A. M. A note on the inverse spectral problem // LANL Electronic Archive. 1998. Math. SP/9812090. P. 1-3.

174. Akhtyamov A. M. An analogue of Borg's uniqueness theorem in the case of indecomposable boundary conditions // LANL Electronic Archive. 1998. Math. SP/9812091, P. 1-5.

175. Akhtyamov A. M. Determination of the Boundary Condition on the Basis of a Finite Set of Eigenvalues // Differential equations. 1999. Vol. 35. Part 8. pp. 1141-1143.

176. Akhtyamov A. M., Akhatov I. Sh. (2000) Calculation of the boundary conditions at the pivot endpoint. In: Dynamics of Multiphase Systems (editors M. Ilgamov, I. Akhatov and S. Urmancheev) P. 377-379. Gilem Publisher & Pol Publisher. Ufa. Russia.

177. Akhtyamov A. M. On elliptic problems with an eigenvalue parameter in boundary conditions // International Conference dedicated to 150th birthday of Sofia Kovalevskaya. St. Peterburg: EIMI, 2000. P. 5-6.

178. Akhtyamov A. M. On the coefficients of expansions in eigenfunctions of a boundary value problem with a spectral parameter in the boundary conditions // Russian Math. 2000. Vol. 44. №. 2. P. 11-16.

179. Akhtyamov A. M. Calculating the Coefficients of Expansion in Derived Keldysh Chains for an Elliptic Problem with Parameter in the Boundary Condition // Mathematical Notes. 2001. Vol. 69. Issu 3-4. P. 567-570.

180. Akhtyamov A. M. Is it possible to determine the type of fastening of a vibrating plate from its sounding? // Acoustical Physics. Vol. 49. No. 3. 2003. P. 269-275.

181. Akhtyamov A. M. On coefficients of Keldish chains expansions for the elliptic problems with eigenvalue parameter in boundary conditions // Kolmogorov and contemporary mathematics. International conference. Abstracts. Moscow: MSU, 2003. P. 128— 129.

182. Akhtyamov A. M., Mouftakhov A. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // ll-Nov-2003, MPS: Applied mathematics/0311002.

183. Akhtyamov A.M., Mouftakhov A.V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // Inverse Problems in Science and Engineering. 2004. Vol 12. No. 4. P. 393-408.

184. Akhtyamov A. M. On coefficients of eigenfunction expansions for boundary-value problems with parameter in boundary conditions // Mathematical Notes. 2001. Vol. 75. Issu 3. P. 362374.

185. Ambarzumijan V. A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeitshrift fur Physik. 1929. N 53. S. 690-695

186. Atkinson F. V. Diskrete and continuous boundary value problems. Academic Press. 1963.

187. Beals R. The inverse problem for ordinary differential operators on the line // Amer. J. Math. 1985. Vol. 107, №2. P.281-366.

188. Benedek A., Panzone R. On inverse eigenvalue problems for a second-order differential equations with parameter contained in the boundary conditions // Notas algebra y anal. 1980. No. 9. 13 pp.

189. Benedek A. I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones diferenciales ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro espectral // Trab. mat. Inst, argent, mat. 1983. No. 53. P. 1-21.

190. Birhoff G. D. Boundary value and expantion problems of ordinary linear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Vol. 9. P. 373-395.

191. Birhoff G. D. On the asymptotic character of the certain linear differential equations containg parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. Vol. 9. P. 219-231.

192. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertanfgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwarte // Acta Math. 1946. V. 78. №1. S. 1-96.

193. Campbell W., The protection of steam-turbine disk wheels from axial vibration // Transactions of ASME. 1924. V. 46. P. 31-160.

194. Cannon J. R. Determination of certain parameters in heat condition problems //J. Math. Analysis and Applic. 1964. 8, №2, P. 1988-201.

195. Caudrey P.J. The universe problem for the third order equation //Phys. Left. 1980. Vol. N79A. P.264-268.

196. Collatz L. Eigenwertaufgaben mit techneschen Anwendungen. Leipzig: Akad. Verlagsgesellschaft Geest and Porting K.- G, 1963.

197. Coddington E. A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. New York, Toronto, London: McGraw-hill book company. 1955.

198. Conway H.D. Some special solutions for flexurel vibrations of discs of varying thickness // Ing. Arch. 26, No. 6, P. 408-410.

199. Crisvard P. Caracterisation de quelques espaces d'interrparpdation // Arch. Rat. Mech. Anal. 1967. V. 25. P. 40-63.

200. Dunford N., Schwartz J. Linear Operators, II. Spectral Theory. New York: Interscience Publishers. 1963.

201. Deift P., Tomei C., Trubowitz E. Inverse Scattering and Boussinesq Equation // Comm. Pure Appl. Math. 1982. Vol. 35. P.567-628.

202. Eisner E. Inverse design for flexural vibrations //J. Acoust. Soc. America. 1966. V. 40. № 4. P. 773-775.

203. Dowell E. H., Ilgamov M. A. Studies in Nonlinear Aeroelasticity. New York Tokyo: Springer Verlag, 1988. 456 pp.

204. Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion // J. Sound and Vib. 2000. V. 233. No. 3. P. 495-514.

205. Frikha S., Gaudin M., Coffignal G. Boundary condition error for parametric updeting of In-operation systems application to piping systems // J. Sound and Vib. 2001. V. 241. No. 3. P. 373-399.

206. Gel'fand I. M. and Levitan B. M. On the determination of a differential equation from its spectral function. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 15 (1951). 309-360; English trasl., Amer. Math. Soc. Transl. (2) 1 (1955), 253-304 . MR 13,558; 17,489.

207. A. A. Gol'dberg, B/ Ya. Levin, and I. V. Ostrovskii, Entire and meromorphic functions, Itogi Nauki i Tekhniki: Sovremennye Problemy Mat.: Fundamental'nye Napravleniya, vol. 85, VINITI,

208. Moscow, 1991, pp. 5-185; English transl. in Encyclopedia of Math. Sci. V. 85 One Complex Variable, 1. Springer-Verlag. Berlin.

209. Gubreev G. M., Pivovarchik V. N. Spectral Analysis of the Regge Problem with Parameter // Functional Analysis and its Applications. 1997, V. 31; No. 1, PP. 54-57.

210. Hinton D. B. An expantion theorem for an eigenvalue parameter in boundary condition // Quart. J. Math. Oxford. 1979. V. 30, № 2. P. 33-42.

211. Hodge W. V. D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1994. viii+440 pp.

212. Hochstadt H. The inverse Sturm-Lioville problem // Comm. Pure Appl. Math. 1973. V. 26. №5-6. P. 715-729

213. Hochstadt H. Well-posed inverse spectral problems // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1975. 72. № 7, P. 2496-2497

214. Hochstadt H. On inverse problems associated with Sturm-Liouville operators // J. Diff. Equations. 1975. V. 17, №. 1. P. 220-235.

215. Hochstadt H. On the well-posedness of the inverse Sturm-Liouville problem // J. Diff. Equations. 1977. V. 23, №. 3. P. 403-423.

216. Ilgamov M. A. Introduction to Nonlinerar Hydroelasticity. M.: Nauka, 1991. p. 200.

217. Ilgamov M. A. Static Problems of Hydroelasticity. Moscow: Nauka. Fizmatlit, 1998. 208 p.

218. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73, №. P. 1-23.

219. Kamke E., "Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen," 9. Auflage, 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Stuttgrt, 1977.

220. Lankaster P. Theory of matrices. New York-London: Academic Press, 1969.

221. Levin A. V., Vibration of disks // Journal of technical physics, V. 7, No. 17, 1739-1753 (1937).

222. Levin B. Ya. Distribution of Zeros of Entire Functions. American Mathematical Society. Providence. 1980. 524 P.

223. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. Ser.B. 1949. V. 13. P. 25-30.

224. B. M. Levitan, Inverse Sturm-Liouville Problems, Nauka, Moscow, 1984, p. 240; English transl., VNU Science Press, Zeist, 1987, x+240 pp.

225. Leibenzon Z. L.: An Inverse Problem of Spectral Analysis of Ordinary Differential Operators of Higher Order Trudy. Moskov. Mat. Obshch. 1966. V. 15. P. 70-144 = English transl. Moscow Math. Soc. 15 (1966), 78-163. MR 34

226. Lions J.-L. // SIAM Rev. 1988. V. 30, №2. P. 1-68.

227. Marchenko V. A. Sturm-Liouville Operators and their Applications. Kiev: Naukova Dumka. 1977; English transl., Birkhauser, Basel, 1986. xii+367 pp.

228. McLaughlin J.R. An universe eigenvalue problems of order four // Siam J. Math. Anal. 1976. Vol. N5. P.646-661.

229. Mizutani A., On the inverse Sturm-Liouville problem //J. Fac. Sci Univ. Tokio, Sect.IA, Math. 1984. 31. P. 319-350.

230. Mouftakhov A. V. On the reconstruction of the matrix from its minors // 31-Mar-2003, MPS: Pure mathematics/03040001 (2003).

231. Naimark M. A. Linear Differential Operators. 2nd ed., Nauka, Moscow, 1969 (English translation of 1st ed:, Parts I, II: Ungar. New York, 1967, 1968).

232. Niordson F. J. A method for solving inverse eigenvalue problems // Pecent Progress in Applied Mechanics. The Folk Odquist Volume. Stockkholm, 1967. P. 373-382.

233. Poshel J., Trubowitz E. // Inverse Spectral Theory, Academic Press, Boston, MA, 1987, x+192 pp.

234. Postnikov M. M., Linear Algebra and Differential Geometry. Moscow: MIR, 1982. p. 319.

235. W. U. Qunli, F. Fricke, Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral, 1990. No. 9, P. 329-333.

236. Richtmyer R. D. Principles of advanced mathematical physics. Vol. 1. New York, Heidelerg, Berlin: Spring-Verlag. 1978. 488 pp.

237. Sadovnichii V. A., Sultanaev Y. T., Akhtyamov A. M. Analogues of Borg's Uniqueness Theorem in the Case of Nonseparated Boundary Conditions // Doklady Mathematics. 1999. Vol. 60, No. 1, pp. 115-117.

238. Sadovnichii V. A., Sultanaev Y. T., Akhtyamov A. M. Well-Posedness of the Inverse Sturm-Liouville Problem with Indecomposable Boundary Conditions // Doklady Mathematical Sciences. 2004. Vol. 69. No. 2. P. 105-107.

239. Seeley R. Interpolation in LP with boundary conditions // Studia Math. 1972. V. 44. P. 47-60.

240. Oh S., Kim H., Park Y. Active control of road booming noise in automotive interiors //J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. №1. P. 180-188.

241. Strutt W. (Lord Rayleigh) The theory of sound. 2d ed. Dover Publications, New York, N.Y., 1945, V. 1, p. xlii+480.

242. Tamarkin J. D. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansions of an arbitrary function in series of fundamental functions // Math. Z. 1928. Vol. 27. P. 1-54.

243. Timoshenko S. Vibration Problems in Engineering. Toronto, etc.: D. Van Nostrand Company, New York, 1937, p. ix+470.

244. Timoshenko S., Theory of Plates and Shells, D. Van Nostrand Company, New York, 1940, p. 283.

245. Todd J. The condition of certain matrices. I, Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1949, 2, 469-472.

246. Tolstov G. P. Forier series. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962.

247. Turing A. M. Rounding-off errors in matrix processes, Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1948, Vol. 1. P. 287-308.

248. Watson G. N., Treatise on the Theory of Bessel Functions. Cambridge: Univ. Press. Cambridge. UK. 1995. vii+804 pp.

249. Walter J. Regular eigenvalue problems with eigenvalue parameter in the boundary conditions // Math. Z. 1973. V. 133, № 4. P. 301312.

250. Janke E., Emde F., Lösch F. Tafeln höherer funktionen. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Stuttgart. 1960.

251. Yurko V. A. Inverse Spectral Problems for Linear Differential Operators and their Applications. Gordon and Breach. New York. 2000. 253 pp.

252. Yurko V. A. The Inverse Spectral Problems for Differential Operators with Nonseparated Boundary Conditions // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2000. V. 250. P. 266289.