автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гидродинамических процессов на основе решеточных уравнений Больцмана

На правах рукописи ^_

Сидоренко Борис Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАГАНРОГ-2012

005046507

005046507

Работа выполнена на кафедре высшей математики Таганрогского технологического института Южного федерального университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Сухинов Александр Иванович

Официальные оппоненты: Жорник Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор, Таганрогский государственный педагогический институт им. А.П. Чехова, г. Таганрог, профессор кафедры «Теоретической, общей физики и технологии»

Павлов Игорь Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор, Ростовский государственный строительный университет, г. Ростов-на-Дону, зав. кафедрой высшей математики

Ведущая организация: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша

Российской академии наук (Москва)

Защита диссертации состоится «21» июня 2012 г. в 10 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, Ростовская обл., г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математические модели вычислительной гидродинамики (англоязычная аббревиатура - CFD) в настоящее время являются базой для исследования большого класса природных явлений: от движения воздуха вблизи нагретой солнцем пылинки до циркуляции воздуха в атмосфере, от движения жидкости в капиллярах, крови в кровеносных сосудах до океанических течений и т.п. Основой традиционных моделей CFD являются законы сохранения массы, импульса, энергии в виде систем дифференциальных уравнений, которые адаптируются к различным прикладным задачам путем постановки соответствующих граничных и начальных условий.

В настоящей работе применяется решеточный метод Больцмана - далее LBM (Lattice Boltzmann method). Причины, по которым был выбран именно этот метод вместо "прямого" решения уравнений Навье-Стокса (например, методом конечных разностей, конечных объемов или спектральным методом), кроются в простоте и эффективности вычислительного метода.

Есть два основных отличия LBM и традиционных CFD методов, которые следует считать преимуществами LBM:

• конвективный оператор в LBM (шаг распространения) линейный в пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный. Тем не менее, используя разложение Чепмена-Энскога, с помощью LBM можно раскрыть это нелинейное конвективное поведение;

• существенно различаются процедуры расчета давления: в LBM, оно получается из уравнения состояния, т.е. неявно на основе локальной плотности, в то время как в традиционных CFD методах, давление рассчитывается из уравнения Пуассона. Последний подход сталкивается с вычислительными трудностями в областях со сложной геометрией. Эти две особенности дают LBM его первое преимущество: он приводит к простым явным вычислительным процедурам.

Другим преимущественным аспектом LBM является его численная эффективность. Разные авторы работали над этим аспектом (S.Succi1, Chen2 и др.) и сделали сравнение с традиционными методами. Их исследование показало, что LBM практически в 2,5 раза быстрее для двумерного течения, которое они изучали, имевшее около 16000 узлов сетки. В данной работе проведено аналогичное исследование относительно времени расчета трехмерной задачи обтекания выступа в форме прямоугольного параллелепипеда при различных входных параметрах. В итоге для числа узлов порядка 2-Ю5 LBM быстрее в 4-6 раз в зависимости от точности, чем классический метод поправки к давлению.

Некоторые другие преимущества LBM возникают в силу его происхождения из кинетической теории. Задание различных граничных условий осуществляется по явным схемам. Благодаря своей локальности, метод прост в распараллеливании (нет необходимости в спектральном разложение или в решении уравнения для давления).

Одно из его главных приложений в области вычислительной гидродинамики, где он себя хорошо зарекомендовал - это решение слабо сжимаемых уравнений Навье-Стокса (см. Wolf-Gladrow3, Succi4, Chen и Doolen5, Dellar67), а также в более сложных задачах, связанных

1 Succi, S., Benzi, R., and Vergassola, M. (1991). Phys. Rev. 43A, 4521.

2 H. Chen, S. Chen, and W.H. Matthaeus, Recovery of the Navier-Stokes equations using a lattice-gas Boltzmann method, Phys. Rev. A 45, pp. R5339- R5342, 1992.

3 D.A. Wolf-Gladrow, Lattice Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models: an Introduction, Springer-Verlag, Heidelberg, 2000.

* S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford University Press, 2001.

5 S. Chen and G. D. Doolen, Lattice Boltzmann method for fluid flows, Ann. Rev. Fluid Mech. 30, pp. 329-364, 1998.

6 P. J. Dellar. Bulk and shear viscosities in lattice Boltzmann equations. Phys. Rev. E, 64(3):031203, Aug 2001. doi: 10.1103/PhysRevE,64. 031203.

с многофазными и многокомпонентными течениями (смотрите например Shan и Chen8, Reis

и Phillips ^^ R J Dipemaj р _L Lions10 доказали теорему существования решения

уравнения Больцмана в целом и его устойчивость. Поэтому, при использовании решеточных моделей Больцмана, решения дискретных уравнений, аппроксимирующих уравнение Больцмана и являющихся вычислительно устойчивыми, будут сходиться к решению этого уравнения с точностью, соответствующей порядку аппроксимации.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей, основанных на кинетическом уравнении Больцмана, описывающих гидродинамические процессы, а также созданию программного комплекса, реализующего эти модели для конкретных входных данных.

Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:

1) Разработка трехмерной математической модели на основе кинетического уравнения Больцмана для расчета полей: функции распределения частиц по скоростям плотности и скорости жидкости, учитывающих внешние силы (силу Кориолиса, ветер), сложную геометрию исследуемой области, турбулентную вязкость, источники и стоки,

различный тип граничных условий.

2) Численное исследование устойчивости Lattice Boltzmann методов с помощью

анализа Неймана. .

3) Построение последовательного и параллельного алгоритмов Lattice Boltzmann

метода, а также расчет оценок ускорения и эффективности для супервычислительнои

системы ТТИ ЮФУ. г

4) Программная реализация построенных алгоритмов на языке С++ при поддержке: ОрепМР для многоядерных компьютерных систем и MPI для кластера распределенных вычислений с возможностью графической визуализации результатов при помощи OpenGL.

Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики производилось на основе уравнения Больцмана, для решения которого использовались дискретные аналоги в виде Single Relaxation Time и Multiple Relaxation Time Lattice Boltzmann моделей (далее SRT и MRT LBM) В данных моделях применяются явные схемы для расчета частичной функции распределения на каждом временном слое, а затем по функции распределения вычисляется давление (плотность) и скорость жидкости. Данные дискретные модели были эффективно

распараллелены для:

1) кластерных систем декомпозицией по двум пространственным переменным;

2) многоядерных компьютеров с использованием равномерного распределения

вычислений в узлах трехмерной сетки между ядрами.

Численные расчеты были реализованы на языке программирования С++ с использованием открытых библиотек параллельного программирования ОрепМР и MPI. Результаты визуализировались при помощи открытой библиотеки OpenGL и анализировались в одной из написанных автором программ. Научная новизна.

1 Развитие LB моделей ориентированных на математическое моделирование гидродинамических процессов, обеспечивающих выполнение основных законов сохранения на дискретном уровне.

7 P. J. Dellar. Incompressible limits of lattice Boltzmann equations using multiple relaxation times. J. Comp. Phys.,

" X.ShlmYnd R Chen. Lattice Boltzmann model for simulating flows with multiple phases and components. Phys. Rev. E, 47:1815-1819, 1993. doi: 10.1103/PhysRevE.47.1815.

* T Reis and T. N. Phillips. Lattice Boltzmann model for simulating immiscible two-phase flows. J. Phys. A: Math.

Theor.,40(14):4033-4053, 2007. URL http://stacb.iop.org/1751- 121/40/4033. v„k;i;.„

10 R. J. DiPerna, P.-L. Lions, On the Cauchy problem for Boltzmann equations: Global existence and weak stability, Ann. Math., 130, No 2 (1989), 321-366.

2. Определение областей устойчивости LB моделей, гарантирующих сходимость вычислительных процедур для численного решения задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от областей изменения входных параметров.

3. Эффективные параллельные алгоритмы численной реализации решеточного уравнения Больцмана для кластерных систем с распределенной памятью и для многоядерных систем с общей памятью и их теоретическое обоснование. Достоверность научных положений и выводов обусловлена корректным

построением и исследованием моделей и проведением численных экспериментов, а также сравнением результатов с известными тестовыми решениями и классическими решениями на основе уравнений Навье-Стокса.

Научная и практическая значимость работы.

Практическое применение полученной математической модели связано с моделированием экологических проблем, возникающих в реальных водоемах, а также прогнозирования их последствий. Комплекс программ, основанный на построенных математических моделях, позволяет производить расчет гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в исследуемых трехмерных областях произвольной геометрии, при заданных начальных и граничных условиях, внешнем воздействии для всевозможных параметров жидкости. Во время расчета одна из программ выполняет онлайн визуализацию картин течений в режимах 2D и 3D отображения, что помогает в принятии решений и мгновенной оценке состояния в исследуемой области. Проведенное сравнение на примере тестовых задач результатов расчетов и эффективностей алгоритмов, полученных с помощью LBM и классических методов CFD, показало: разницу в 5% между полями скорости течения жидкости по одной из оцениваемых норм; превосходство LBM в быстродействии в 4-6 раз и более в зависимости от параметров задачи.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий для методов класса LBM, обладающих свойством консервативности и обеспечивающих возможность проведения численного решения задач вязкой несжимаемой жидкости с погрешностью не более 2%.

2. Области устойчивости LBM, зависящие от компонент вектора скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана на основе: MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью; ОрепМР технологии для многоядерных ПЭВМ с общей памятью и их теоретические оценки ускорения и эффективности.

4. Комплекс программ, предназначенный как для персональных многоядерных ЭВМ, так и для супервычислительных систем (например, кластер ТТИ ЮФУ), реализующий параллельный алгоритм расчета течений в заданной трехмерной области с помощью LBM и позволяющий отслеживать в режиме онлайн картины течений.

Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:

1. VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19-20 октября 2006.

2. Международная научно-техническая конференция. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы (24-29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия).

3. V Всероссийская научная конференция «Экология 2009 - море и человек» (1618 сентября, 2009, Таганрог, Россия).

4. V Международная конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для

изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1-5 июня 2009, Ростов-на-Дону).

5. III Международная научная конференция. СППМиММ-09. (2 — 7 февраля 2009 , Воронеж).

6. IX Всероссийская научная конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление». ТТИ ЮФУ. (Геленджик, 2-4 ноября 2011).

7. Научные семинары кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ в 2008-2011 гг.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 4 статьи

в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК. Зарегистрирован программный продукт «Lattice Boltzmann method 3D for Basins (LBM 3D for Basins)» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611337 от 16.02.2010 г.) в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 147 страницах, включает в себя 95 иллюстрации, 9 таблиц; состоит из введения, 5 глав, заключения и списка используемой литературы из 93 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется основная цель и задачи диссертационного исследования, новизна работы, раскрывается практическая и научная значимость, а также перечисляются положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена обзору современных математических моделей гидродинамики, которые в основном используются в описании динамики сплошных сред (газы, жидкости). В 1 пункте идет общее описание подходов в моделировании гидродинамики. В п. 2 большое внимание уделено традиционным методам газо- и гидродинамики, основанным на численном решении системы уравнений Навье-Стокса. Далее описываются методы затрагивающие динамику частиц или групп частиц. В п. 3 приводятся необходимые сведения о методе молекулярной динамики, описывающем динамику каждой отдельной частицы (молекулы) на основе второго закона Ньютона. Следующий за ним п.4 кратко повествует об уравнении Больцмана, используемом в диссертационной работе. Оно имеет вид

/+(^i)/+(^)/ = /(/,/) (1) и описывает эволюцию одночастичной функции распределения / = Здесь

скорость отдельной частицы, которую будем рассматривать как атом-шарик массой т0, F -действующая на частицы внешняя сила, отнесенная к единице массы. Функция / нормирована так, чтобы равенство maäN = определяло вероятное (ожидаемое)

число частиц dN в элементе объема dxd^ около точки фазового пространства

координат и скоростей в фиксированный момент времени t.

Интеграл столкновений /(/,/) есть нелинейный функционал, определяющий изменение функции распределения в результате парных столкновений. Конкретный вид этого интеграла можно найти у Берда"1 , Ланфорда13.

Важным свойством интеграла столкновений является его ортогональность любому из так называемых столкновительных (сумматорных) инвариантов = ¡2 , т.е.

11 Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Clarendon press, 1994.

,2 Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1981

13 Ланфорд О.Э., Гринберг У., Полевчак Я. и др. Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: 1986.

IА (|)/(/,= о (2)

Это соотношение выражает законы сохранения массы, импульса и энергии частиц при их парном столкновении. Здесь и далее интегрирование выполняется по всему пространству скоростей частиц (от -оо до +оо).

Зная функцию распределения / можно определить гидродинамические величины плотность р, скорость й, давление р, температуру Т, удельную внутреннюю энергию £, тензор вязких напряжений П и тепловой поток д с помощью выражений:

р = |/</|, рй = \sfdt, Р = |у ,

_ •>

С"

/-

т (3)

Здесь с = £ — й - скорость хаотического движения частиц газа, или тепловая скорость, с, = ЗД/2 - удельная теплоемкость при постоянном объеме для одноатомного газа.

Затем проводится детальное описание равновесной функции распределения, которая имеет вид

' МГ

(2лЯТ)

гехр

2 ДГ

(4)

и для нее справедливо соотношение /(/( \/( ) = 0, и она связана с/соотношениями

р= , = = / , Рс,.г== = . (5)

Функция /'"' называется также локально-равновесной функцией распределения.

Уравнения Эйлера, получаются из уравнения Больцмана при подстановке равновесной функции в уравнение Больцмана и последующего осреднения. В п. 6 рассмотрено получение уравнений Навье-Стокса из уравнения Больцмана посредством определенной модификации равновесной функции распределения частиц. Наконец, в заключительной части главы приводится наиболее простая аппроксимация уравнения Больцмана, а именно аппроксимация сложного интеграла столкновений частиц и замена его более простым выражением, так называемое уравнение Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК),

/•(0) _ г

Положительный параметр г в правой части равенства (6) интерпретируется как характерное время релаксации функции / к локально-максвелловскому распределению /<0) , определяемому формулой (4), и считается заданной функцией плотности, скорости и температуры. Величина т совпадает по порядку величины со средним временем свободного пробега молекул в газе.

Для модели БГК справедлив аналог //-теоремы Больцмана. То есть уравнение БГК также является диссипативным.

Вторая глава посвящена моделям гидродинамики, основанным на кинетических уравнениях Больцмана и клеточных автоматах. В начале главы приводится историческая справка о клеточных газовых автоматах и о том, как от них перешли к ЬВМ. После чего идет описание наиболее простой и часто используемой разновидности ЬВМ одновременной релаксационной модели (БИТ), использующей интеграл столкновения в форме БГК. Полностью дискретная форма ЭЯТ модели имеет вид:

где т=ЛЛ5г - безразмерное время релаксации, /а'сч' - распределение равновесия может быть записано в следующей форме:

/а^ = PW*

3 9 3

1 + —е„ и +—-(е„ и)"---и и

с: " 2с'к ' ' 2с-

где wa - весовой коэффициент, с = 5х / 5t - скорость на решетке, - дискретное множество скоростей, 8х и 5t - шаг сетки и шаг по времени, соответственно и и - макроскопическая скорость. В математических расчетах модели D2Q9 и D3Q19 показали лучшую производительность, чем другие модели14, используемые для вычислений двумерных и трехмерных течений. Весовые коэффициенты и дискретный набор скоростей для этих двух моделей даются ниже. D2Q9:

[ (0,0), а = 0 [ 4/9, а = 0

е„ = j(±l,0)c,(0,±l)c, а = 1-4, wa = j 1 /9, а = 1-4 (9)

[ (±1,±1)с, а = 5-8 [1/36, а = 5-8

D3Q19:

[ (0,0,0), а = 0 f 1/3, а = 0

е„=| (±1,0,0)с,(0,±1,0)с,(0,0,±1)с,а = 1-6 ,w„ =| 1/18, а = 1-6 (10)

[(±1,±1,0)с,(±1,0,±1)с,(0,±1,±1)с, а = 7-18 [1/36, а = 7-18

После дискретизации в пространстве импульса, локальная массовая плотность р и локальный импульс ри могут быть вычислены таким образом:

Ы N

„-0 „.о (11)

ри=£/л=1/гч

а=0 а=О

Скорость звука в модели D2Q9 и в D3Q19 - с, =с/-73 и уравнение состояния для обеих моделей идеального газа: р = рс]. (12)

Вышеупомянутое уравнение - дискретное Lattice Boltzmann уравнение в приближении BGK и известное как модель LBGK. После этого приводится наиболее устойчивая к изменению числа Рейнольдса обобщенная (мульти-релаксационная (MRT)) модель LBM.

Обобщенное Lattice Boltzmann уравнение (GLBE) состоит из эволюционного уравнения для функции распределения ансамбля частиц, описывающее как они двигаются и сталкиваются на решетке, смотрите d'Humieres15

/. {^eaS„t + $,)-fa (*,/) = (fß + ~{K«ß)Sß5. ■ <13>

Матрица Aaß задает степень релаксации fß к своему равновесному значению f'ß"'). GLBE имеет общий вид матрицы столкновений с множеством времен релаксации, которые соответствуют основным физическим параметрам, таким как плотность, импульс и тензор напряжений. Они в свою очередь представляют собой различные кинетические моменты функции распределения. Например, столкновение не изменяет плотности р и импульса j = рй, в то время как тензор напряжений релаксирует во время столкновения в той степени, которой определяется вязкость среды. Элементы матрицы столкновений Aaß в GLBE

ld D. Kandhai, A. Koponen, A. Hoekstra, M. Kataja, J. Timonen, and P.M.A. Sloot, Implementation aspects of 3D lattice-BGK: boundaries, accuracy, and a new fast relaxation method, J. Comput. Phys., 150, pp. 482-501, 1999.

15 D. d'Humieres, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand, and L.-S. Luo, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 360, 437 (2002).

8

выведены для отражения основ физики столкновения, как релаксационного процесса. Второй член в правой части уравнения (13) вносит изменения в развитие функции распределения обусловленное полями внешних сил F , через источник

(е -и )F

S -У-!-Гм(рЛ). (14)

рс:

laf - элементы единичной матрицы, а " - локальное Максвелловское распределение. Локальная макроскопическая плотность и скорость вычисляются следующим образом

а давление р может быть найдено р- рс]. В заключительном пункте главы описывается процедура разложения Чепмена-Энскога, на основе которой оценивается погрешность аппроксимации уравнений Навье-Стокса LBE. Согласно этой процедуре функцию распределения можно разложить следующим образом

/ = /,0)+£/") + £2/,:)+... (17)

Величину s часто используют в двух случаях:

1. С одной стороны разложение в ряд по малому параметру, т.е. £ « 1 . В случае Чепмена-Энскога число Кнудсена К„ можно рассматривать как малый параметр разложения.

2. Формальный параметр е в разложениях позволяет следить за относительным порядком различных членов. Он может рассматриваться только в качестве метки и будет опущен в конечных результатах, полагая е = 1.

Подставляя данное разложение в уравнение БГК, и приравнивая выражения при равных степенях е и используя всего два первых члена в разложении, приходим к уравнениям Навье-Стокса после процедуры осреднения по скоростям частиц.

Третья глава посвящена описанию и анализу различных методов постановки граничных условий для частичной функции распределения. Эта тема имеет ключевое значение в численном моделировании, так как вычислительная устойчивость и точность определяется, как правило, качеством задания граничных условий. Камнем преткновения в численном решении решеточных уравнений Больцмана является недоопределенность некоторых используемых функции на границах. В связи с этим, может быть предложено множество способов устранения этой некорректности на основе задания неизвестных функции с использованием известных. Вначале описывается наиболее простой класс открытых граничных условий.

Самой популярной постановкой граничных условий можно признать метод отскока (Bounce-Back ВС), в котором все скорости частиц, сталкивающихся со стенками, инвертируются. Если профиль скорости известен в граничном узле, стандартная схема отскока для неизвестной функции распределения имеет вид:

с

где wa - весовой коэффициент, еа и е- обозначение противоположных направлений: е =-е5 . Также приводятся периодические граничные условия и экстраполяционный подход. Затем следует очень подробное общее описание проблемы постановки граничных условий для скорости в LBM и решения этих проблем различными подходами. Первый разработан во главе с Inamuro 16 и происходит из кинетической теории газов. Это

16 T. Inamuro, M. Yoshina, and F. Ogino. A non-slip boundary condition for lattice Boltzmann simulations. Phys. Fluids, 7:2928-2930, 1995.

предполагает, что отсутствующие распределения находятся в локальном термодинамическом равновесии и, как результат, имеют дискретный аналог распределения Максвелла-Больцмана. Это распределение как бы центрируется вокруг фиктивной плотности р' и скорости и', оба из^ которых отличны от макроскопических значений плотности р и скорости и. В то время как р' является свободной переменной, и' отличается от и только на скорость скольжения 5и, которая является касательной к стенке: и' = и + 5и. Эти предположения дают множество из 2 неизвестных в 2Э, и 3 неизвестных в ЗБ. Рассмотрим на примере верхнюю границу решетки 0209, имеем

й<,=/„(0'(р'.",+<4>",) для а = 3'4'5, (19)

где - равновесное распределение. Значение скорости и должно быть учтено на границе через уравнения для первых моментов (11). Эта система из двух уравнений с двумя неизвестными может быть решена относительно р' и 5их. Недостающие распределения вычисляются при помощи уравнения (19), а другие распределения остаются неизменными:

й„=/„ для а = 0,1,2,6,7,8. (20)

В трехмерном случае неизвестных становится 3, и столько же уравнений представленных в (И). Для трехмерных задач решаем эти уравнения численно в каждом граничном узле на каждом временном шаге при помощи многомерного метода Ньютона-Рафсона. Второй метод предложен гои и Не17 и основан на идеи авторов, заключающейся в применении правила отскока для неравновесных частей функции распределения. Это можно понимать, как свойство симметричности переменной =/згде 3 " противоположное направление.

В третьем методе регуляризации, предложенном ЬаИ и СЬорагс! , заменяются все частичные распределения в граничном узле. Во-первых, вычисляем Ра), основываясь на знании известных частичных распределений, а все остальные неизвестные принимают значения в соответствии с отскоком неравновесных частей. Таким образом, их значения описываются так /„ =/Г(Р.") + /а-/Г • Однако это соотношение не может использоваться для определения граничного условия, потому что оно не обеспечивает точного выполнение равенства для скорости в (11). Поэтому оно используется только временно, для вычисления значения Р"> посредством уравнения Р™ = £ , где

Нт =£■ £„ -8 „ . После этого используется уравнение для связи Р"' и неравновесных частей распределения для построения всех частичных распределений:

2с,

Четвертый подход опубликован в статье Зког<Зо519 схож с третьим, но тензор напряжений Б вычисляется на основе конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая обращается к значениям скорости в соседних узлах. Алгоритм ВС4, подводя итог, описывается следующим уравнением:

(22)

С1

(23)

17 Q. Zou and X. He. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model. Phys. Fluids, 9:1592-1598, 1997.

" J. Latt and B. Chopard. Lattice Boltzmann method with regularized non-equilibrium distribution functions. Math. Comp. Sim., 72:165-168, 2006.

13 P. A. Skordos. Initial and boundary conditions for the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 48:4823^1842, 1993.

10

Далее в главе проводилось сравнение описанных методов задания г.у. для неизвестных ч.ф.р. с точки зрения консервативности системы в целом для трехмерного течения в канале прямоугольного сечения(анапог течения Пуазейля). Вычислительные эксперименты проводились для SRT и MRT моделей для пяти различных методов постановки граничных условия для скорости на входной границе (это ВСО - ВС4, описанные подробно ранее). Вычислялись абсолютные значения дефекта потока скорости AQu = Quln - Quout и потока массы AQm = Qmjn - Qmout в расчетной области моделирования, а также относительные дефекты 5Qu = AQu/Quin, 6Qm = AQm/Qmin. Ниже в таблице №1 сведены результаты искомых относительных дефектов SQu и <5Qm в зависимости от метода моделирования SRT(iuih MRT) и от метода постановки граничного условия (ВСО - ВС4) для числа Re = 500.

Метод 6Qu 60m

SRT MRT SRT MRT

Метод отскока (ВСО) 0,68 0,63 2,42 2,39

Inamuro (ВС1) 12,88 72,77 4,53 72,13

Zou/He (ВС2) 0,56 0,48 2,81 2,73

Latt/Chopard (ВСЗ) 32,19 30,84 27,43 26,29

Skordos (ВС4) 31,77 36,70 26,95 32,95

Как видно из таблицы постановка граничных условий для данной тестовой задачи с помощью методов ВСО и ВС2 является более предпочтительной, так как она имеет погрешность меньше 1 % для скорости и меньше 3 % для массы, в то время как другие методы дают большие погрешности.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости решеточных моделей уравнения Больцмана методом Неймана. В первом пункте проводится численный анализ устойчивости SRT LB схемы, исследуются области устойчивости, а именно находятся интервалы для набора входных параметров, обеспечивающие устойчивость схемы.

Анализ фон Неймана можно применить к любым lattice Boltzmann моделям. Мы исследуем, только модель D3Q19. Стандартная форма LBE-BGK модели дается уравнением (7) с равновесной функцией распределения из уравнения(8).

Первый шаг заключается в линеаризации LBE (7). Функция распределения fa выражается как сумма средней составляющей /j"1 и небольшой флуктуационной составляющей f'a (х,<) • Усредненное течение должно быть равномерным и устойчивым. Нелинейные члены LBE вводятся произведением макроскопических величин в равновесной функции (8). Эта функция может быть линеаризована, используя разложение Тейлора:

°jß

f.-А"'

/>о((/:)2).

(24)

Линеаризованное ЬВЕ получается подстановкой выражения (24) в (7) и удалением средней

составляющей. Анализ фон Неймана состоит в поиске гармонического решения, в виде плоской волны, линеаризованного уравнения:

/Д*,/)^-""- (25>

При таком предположении, линеаризованное иЗЕ-ВбК уравнение примет вид:

е"'"1| = МЪ , (26)

Г

с матрицей М = М

определяются так:

-- |I + G

т А

, где I - единичная матрица, А и О

е о.

aß'

G" =

df? 8fß

G? = й>.

(27)

(28)

Коэффициенты матрицы М1" зависят от трех параметров: времени релаксации г, волновых чисел к(.к„,ку,к.) и осредненной скорости течения ио[С/„С/,.,{/,]. Вычисления и

упрощения матрицы МВ0К выполняются с помощью математического программного пакета МаЛаЬ. Для устойчивости схемы необходимо, чтоб все собственные значения матрицы М по модулю были не больше 1. Значения параметров соответствующие данному требованию образуют область устойчивости ЬВМ.

Область устойчивости ищется для параметров ис = ио/с и х общую для всех

диапазонов изменения волновых чисел 0<кх,ку,к. <2л . Рассматривались следующие диапазоны входных параметров: г изменяется от 0.501 до 1.001 с шагом 0.01 и от 1.01 до 10.01 сшагом 1 ;1/с от 0 до 0.35 с шагом <}и = 0.01; все диапазоны для волновых чисел от 0 до 2ж разбиваем на № = 100 или 50 отрезков длиной с!к = я-/50 или л-/25. На рис.1, представлены графики рассчитанной области устойчивости БЯТ ЬВМ для данного набора параметров. Ось абсцисс соответствует значениям т, ось ординат - Ус.

Рис. [.Области устойчивости для Nk= 50(сплошная), ЮО(пунктирная) на отрезке [0.5, 10] (слева) и [0.5, 1.0] (справа) по т расположенные под графиками.

Во 2-м пункте приводится анализ MRT модели. Устойчивость этой модели рассматривается в работах Lallemand 20 и Niu21. В этой модели, единственное время релаксации в уравнении (26) заменено диагональной матрицей S содержащей множество времен релаксации:

, 1 1

S = diag

J

и MRT уравнение имеет вид:

/(x + c,f+ l) = / (x,i)- P"1s[m(x,i)-me' (*,*)] _

(29)

(30)

20 P. Lallemand, L.-S. Luo, Theory of the lattice Boltzmann method: dispersion, dissipation, isotropy, Galilean invariance and stability, Phys. Rev. E 61 (2000) 6546-6562.

X.D. Niu, C. Shu, Y.T. Chew, T.G. Wang, Investigation of stability and hydrodynamics of different lattice Boltzmann models, J. Stat. Phys. 117 (3-4) (2004) 665-680.

12

В классической MRT модели функция равновесных моментов т"1 выводится из модифицированной равновесной функции, которая определяется в целях уменьшения сжимаемого поведения LBM. Полностью сжимаемая равновесная функция распределения дается в уравнении (8) используется в нашей MRT модели вместо несжимаемой:

m14 = РГ4.

В этом случае, линеаризованный MRT оператор столкновения может быть выражен прямо, используя линеаризованный оператор столкновения LBE-BGK модели NBGK . Мы имеем:

nmt = pnBC,K p-i (31)

С этим выражением, матрица М уравнения (26) становится:

мшг = A-i _ p-tspNBaK j _ (32)

nbgk =1_С'Я

В работе рассматривалось множество различных наборов параметров диагональной матрицы S релаксационных коэффициентов и выявлены предпочтительные интервалы для них, обеспечивающие максимальную площадь области устойчивости. Пример одного найденного набора параметров приведем ниже и отобразим области устойчивости на рис.2.

Параметры, совпадающие с SRT, моделью рассматривались в тех же диапазонах изменения, а параметры для диагональной матрицы имели такой вид:

S0 — — 5т — — — — 1.1 _

Рис. 2. Области устойчивости 5ЯТ(сплошная) и МКТ(пупктирная) моделей на отрезке [0.5, 1.0] по т.

Рассмотрев множество наборов релаксационных коэффициентов диагональной матрицы S, был сделан вывод, что оптимальным диапазоном значений, обеспечивающим наибольшую площадь области устойчивости, расположенной под графиком, является: 1.0<{j,, s2, st,sw,stt} <1.2 .

Пятая глава посвящена проведению численных расчетов и программной реализации построенных математических моделей решеточного уравнения Больцмана. В первом параграфе приводятся примеры численных экспериментов для некоторых хорошо известных в гидродинамике тестовых задач, для установления, насколько точно построенные математические модели аппроксимируют известные решения этих задач. Первой модельной задачей являлось течение в каверне с подвижной крышкой. Она была рассмотрена для множества различных входных параметров, один из примеров набора входных параметров: Сетка 51x51x51, dx = dy = dz =1.0, С = 1, Le = 50, Не = 50, Ma =0.1, Re = 1000, SRT, D3Q19, turbulent, BB ВС, Ut0p = 0.1, соответствующая картина течения представлена на рис.3. Далее были рассмотрены течения в канале с препятствиями: 1) обтекание прямоугольной стенки; 2) обтекание выступа в форме прямоугольного параллелепипеда; 3) обтекание выступа с последующим за ним углублением. Вычисления проводились для следующих изменяемых

параметров: 1) SRT и MRT моделей; 2) нескольких значений чисел Рейнольдса; 3) с учетом турбулентной модели Смагоринского и без; 4) различных методов задания граничных условий(ВС0-ВС4).

Проводилось сравнение полей компонент вектора скорости, полученные классическим решателем уравнений Навье-Стокса - методом поправки к давлению с SRT и MRT LBM. В таблице ниже приводим результаты сравнения для каждой компоненты вектора скорости u = u(U,V,W) , а также для модуля |и| по относительным сеточным

нормам определяемые таким образом 8к(Fct,р,FLш) = ^ "и"—, где ||/

VcfdM

Таблица №2. Сравнение результатов расчетов CFD и LB методов для Re = 50.

1L = IK,*I >

Относительные разности CFD и LBM по норме и V W |u|

SRT LBM MRT LBM SRT LBM MRT LBM SRT LBM MRT LBM SRT LBM MRT LBM

(FCFD' ^LBM ) 0.072 0.071 0.166 0.163 0.065 0.064 0.051 0.051

i^CFD' ^LBM ) 0.088 0.089 0.209 0.214 0.108 0.106 0.077 0.077

s. (FcFD ' FLBM ) 0.231 0.244 1.249 1.411 0.444 0.447 0.214 0.234

Во втором параграфе проводится сравнение эффективности классических СРБ методов с ЬВМ. Основными критериями для сравнения классических СИО методов с ЬВМ были:

1) время счета для заданного интервала времени;

2) разность полученных решений (визуальное сравнение, сравнение результатов по норме)

В качестве классической реализации решения уравнений Навье-Стокса использовался метод поправки к давлению. Для нахождения компонент вектора скорости использовались неявные разностные схемы. СЛАУ для компонент вектора скорости решались методом симметричной верхней релаксации(55(Ж), а система уравнений для давления - методом сопряженных градиентов(СОМ). Расчеты проводились в задаче обтекания выступа в форме прямоугольного параллелепипеда для следующего набора параметров: 1) средних чисел

14

Рейнольдса (100, 250); 2) расчетных сетках (60x60x30, 100x100x20); 3) невязок (1е-3, 1е-4) в решении уравнения Пуассона для давления; 3)итераций по времени 2000. Если говорить о визуальном сравнении, то LBM течениям соответствуют классические течения, но при больших числах Рейнольдса (смотрите пример расчета для Re = 250 на рис.4,5). Сведем все данные о расчетном времени для каждого набора входных параметров в таблицу 3.

Таблица 3. Время счета в секундах в зависимости от метода и набора параметров задачи._

Метод (Re=100,N~105) (Re=250,N~105) (Re= 100,N~2* 105) (Re=250,N~2* 105)

SRTLBM 461 488 889 872

MRT LBM 557 581 1079 1113

CFD(f = 10~!) 868 1384 2962 2964

CFD(£ = 10^) 1390 2292 3857 5120

Как видно из таблицы время счета классических схем уступает ЬВМ. Причем с ростом размерности и увеличением чисел Рейнольдса вычисления с помощью ЬВМ выполняются в разы быстрей.

Рис. 4. Линии тока в трех плоскостях полученные с помощью ЗЭСЖ-ССМ.

ill ■

ж

Рис. 5. Линии тока в трех плоскостях полученные с помощью MRT LBM. В третьем параграфе строится параллельный алгоритм для построенного метода, делаются оценки его ускорения и эффективности на многоядерных, кластерных и гибридных

системах и сравниваются с реально полученными значениями на кластере распределенных вычислений НРС Cluster TSURE.

Lattice Boltzmann метод обладает тем свойством, что большую часть вычислений можно легко распараллелить, не используя даже пересылки данных между вычислительными узлами. В данной работе используются два инструмента для распараллеливания MPI и ОрепМР. На первом этапе для трехмерных массивов проводилась декомпозиции по двум пространственным переменным. Пересылки данных между узлами осуществлены с помощью MPI. Второй этап состоял в распараллеливании вычислений для распределенных массивов при помощи технологии ОрепМР. Проводился подсчет предполагаемых значений ускорения и эффективности параллельного алгоритма LB метода на кластере с применением технологии MPI и ОрепМР.

Время работы программы на одном узле и на одном ядре f = Nt ■ N2 ■ N, ■ T ■ , где ta -

время выполнения арифметических операций для одного ядра, N,,N2,N} - число узлов расчетной сетки по каждому координатному направлению, Т - количество итерации по времени. Расчетная область разбивается в зависимости от количества вычислительных узлов N = л, • л, на л, частей по х и на и, по у, а по z остается прежней. Время работы параллельной программы на N вычислительных узлах и M ядрах,

' /„

fv

■■Г-

л. л,

(33)

где - время латентности, !в - время пересылки (приема) одного байта, В - количество байт данных необходимых для вычислений в одном расчетном узле сетки, к = 2, 3 или 4 в зависимости от того какой вычислительный узел берется (для узла, находящегося в углу к=2, на грани к=3, внутри области прямоугольника к=4). Итоговое ускорение и эффективность гибридной программы, пренебрегая малым слагаемым í,UtuN]N2N; I, получаем

-V:, , .-^-—(34)

"[l + M(ts/t<l+2kB-(n,/Nl+n2/N2)-tB/til)Y

_1_

" [ 1 + M (/s //„ + 2к ■ В ■ ( Л, /TV, + п2/N2 ) • tB/ta )] '

(35)

Приведем пример на рис. 6 графика получившегося ускорения программы LBM_MPI ОМР для одной из решенных задач на НРС Cluster TSURE.

81,00

—200x200x50 ~*-100х100х100 -♦-100x100x20 -■-60x60x30

Рис. 6. Графики ускорений для разных размерностей в зависимости от числа узлов.

В заключительной части главы проводится описание комплекса из двух программ(ЬВМ_МР1_ОМР, ЬВМ_ОМР_ОЬ) и приводятся результаты работы программ.

Автор выражает свою искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Сухииову Александру Ивановичу за его ценные советы, помощь и руководство.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей вычислительной гидродинамики, основанных на решеточном уравнении Больцмана, а также разработке комплекса программ, реализующего параллельные вычислительные алгоритмы используемых подходов и позволяющего визуализировать результаты расчетов.

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий в LBM, обладающих свойством консервативности. Метод отскока (Bounce-Back) и метод Zou-He оказались наиболее подходящими для проведения расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, т.к. решения, полученные с их помощью, сохраняют поток массы в моделируемой области с

погрешностью не более 2% .

2. Области устойчивости SRT и MRT подходов LBM, зависящие от компонент скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана: 1) при помощи декомпозиции расчетной области по двум пространственным направлениям на основе MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью; 2) при помощи равномерного распределения вычислений на основе ОрепМР технологии для многоядерных систем с общей памятью. Для этих алгоритмов получены теоретические оценки ускорения и эффективности. Проведенные численные эксперименты на супер-вычислительной системе ТТИ ЮФУ для 128 узлов показали максимальное ускорение алгоритма 69,2 на сетке 200x200x50.

4. Комплекс программ, позволяющий рассчитывать с помощью LBM и визуализировать в режиме онлайн гидродинамику в задаваемой пользователем трехмерной области для различных входных параметров задачи. Этот комплекс применялся как на персональных многоядерных ЭВМ, так и на супервычислительной системе с распределенной памятью.

5. Численные эксперименты с помощью SRT и MRT подходов для нескольких известных тестовых задач при различных числах Рейнольдса, размерностях задачи, а также с возможностью учета турбулентной модели Смагоринского для вязкости. Данные эксперименты показали преимущества в сходимости разностной схемы MRT подхода над SRT при числах Рейнольдса свыше 1000, а также преимущества применения турбулентной модели для вязкости в SRT подходе.

Работы, опубликованные в научных журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ:

1. Сидоренко Б. В. MRT Lattice Boltzmann метод в моделировании гидродинамики мелководных водоемов // Известия ЮФУ. Технические науки. №7 2009, Таганрог. - С. 186192.

2 Сидоренко Б. В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе SRT Lattice Boltzmann метода // Известия ЮФУ. Технические науки, №8 2009, Таганрог. - С.

18-24. „ „

3. Алексеенко Е. В., Сидоренко Б. В., Колгунова О.В., Чистяков А. Е. Сравнительный анализ классических и неклассических моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом // Известия ЮФУ. Технические науки, №8 2009, Таганрог. - С. 6-18. 4 Сидоренко Б.В., Сухинов А.И. Построение дискретной модели гидродинамики мелководного водоема Lattice Boltzmann методом // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. Т.12, №2 2010. - С. 104-110.

17

Прочие работы:

5. Сидоренко Б.В. Моделирование задач гидродинамики с помощью КСРС // Сборник трудов VIII Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Таганрог: ТРТУ, 2006. - С. 225-227.

6. Сидоренко Б.В. Расчет течений в областях со сложной геометрией на основе квазигидродинамической системы уравнений // Материалы Международной научно-технической конференции «Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы». 24-29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия. - С. 317-321.

7. Сидоренко Б.В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann метода // Материалы III Международной научной конференции «СППМиММ-09». Воронеж, 2-7 февраля 2009. том 1. - С. 113-117.

8. Сидоренко Б.В. Математическое моделирование задач гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann уравнения // Сборник трудов V Международной конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России. Ростов-на-Дону, 1-5 июня, 2009. - С. 79.

9. A I. Sukhinov, E.V. Alexeenko, B.V. Sidorenko, A.E. Chistyakov, F. Dumas, S. Theetten. Comparative analysis of classical models (Mars3D, Azov3D) and Lattice Boltzmann models for shallow water hydrodynamics computations // 19-ème Congrès Français de Mécanique. Marseille, 24-28 août 2009.

10. Сидоренко Б.В. Исследование устойчивости метода решеточных уравнений Больцмана для мелководных водоемов // Сборник материалов IX Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление». Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - Т.2. - С. 187-189.

В работах, опубликованных в соавторстве, Сидоренко Б.В. принадлежат следующие научные и практические результаты:

[7] - применение решеточного метода Больцмана в проведение расчетов гидродинамики водоемов; [8] - получение результатов моделирования гидродинамики водоемов ЕВ методом; [9] - построение ЕВ метода в непрямоугольной системе координат.

Основные результаты получены автором самостоятельно и опубликованы без соавторства в работах [1-6, 10]. ^—

Соискатель ¿21 Б.В. Сидоренко

Подписано в печать «18» мая 2012г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Усл. п.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 161. Отпечатано в типографии Технологического института Южного федерального университета в г. Таганроге. Адрес типографии: 347928, Ростовская обл., г.Таганрог, ул. Энгельса, 1.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ ВОДОЕМОВ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ КЛАССИЧЕСКИЕ И КИНЕТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ.

1.1. Описание подходов в моделировании жидкости

1.2. Традиционные вычислительные методы газо- и гидродинамики

1.3. Метод молекулярной динамики (MD method)

1.4. Уравнение Больцмана

1.5. Равновесная функция распределения и уравнения Эйлера

1.6. Уравнения Навье-Стокса

1.7. Уравнение Бхатнагара - Гросса - Крука

1.8. Выводы

ГЛАВА И. МОДЕЛИ ГИДРОДИНАМИКИ ВОДОЕМОВ ОСНОВАННЫЕ НА КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ БОЛЬЦМАНА И КЛЕТОЧНЫХ АВТОМАТАХ (LATTICE GAS AUTOMATA И LATTICE BOLTZMANN МЕТОДЫ - LG А И LBM).

2.1. Методы LG и LBE

2.2. Метод SRT LBM зо

2.3. Преобразование непрерывного уравнения Больцмана в модель LBE

2.4. Описание обобщенного Lattice Boltzmaisn метода или MRT LBM.

2.5. Описание процедуры разложения Чепмена-Энскога

2.6. Выводы

ГЛАВА III. ЗАДАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В МЕТОДЕ LBE.

3.1. Описание проблемы постановки граничных условий

3.2. Периодические граничные условия

3.3. Граничные условия на выходе

3.4. Граничные условия на входе для скорости в LBM

3.5. Граничные условия на твердых стенках

3.6. Граничные условия на свободной поверхности и на дне для реальных морских водоемов

3.7. Сравнение методов постановки граничных условий на предмет консервативности

3.8. Выводы

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ LBM.

4.1. Применение анализа фон Неймана к LBE-BGK модели

4.2. Исследование ¡устойчивости MRT D3Q19 модели

4.3. Выводы

ГЛАВА V. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ НА СУПЕРВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ.

5.1. Постановка и численные результаты модельных (тестовых) задач

5.2. Сравнение классических CFD методов с LBM Ю

5.3. Параллельная реализация LBM на НРС кластере но

5.3.1. Теоретические оценки ускорения и эффективности LBM на НРС кластере

5.3.2. Расчет ускорения и эффективности LBM на НРС кластере

5.4. Описание разработанных программ

5.5. Выводы

Актуальность темы. Математические модели вычислительной гидродинамики в настоящее время являются базой для исследования большого количества самых разнообразных природных явлений, технологических процессов и экологических проблем. Масштабы изучаемых явлений самые разнообразные: от движения воздуха вблизи нагретой солнцем пылинки до циркуляции воздуха в атмосфере, от движения жидкости в капиллярах, крови в кровеносных сосудах до океанических течений, от распространения примесей малой концентрации в замкнутых малых объемах до распространения выбросов промышленных предприятий в атмосферу и т.п. Такие задачи привели к созданию большого научного направления, называемого вычислительной гидродинамикой (англоязычная аббревиатура - CFD - Computational Fluid Dynamics), которое инициировало создание вычислительных систем высокой производительности - суперкомпьютеров.

Основой традиционных моделей вычислительной гидродинамики являются законы сохранения массы, импульса, энергии. Эти законы записываются в виде системы дифференциальных уравнений, которая адаптируется к различным прикладным задачам путем постановки соответствующих граничных и начальных условий и, если возможно, путем упрощения этих уравнений. Спецификой этих уравнений является то, что они в частных производных, нелинейные и с малым параметром при старшей производной. Технология решения этих задач на компьютерах включает в себя:

1. дискретизацию уравнений - замена дифференциальных уравнений разностными уравнениями, изучение свойств разностных схем, численное решение алгебраических систем уравнений большой размерности;

2. разработку алгоритмов, ориентированных на различные компьютеры: скалярные, многопроцессорные, векторно-конвейерные;

3. создание программ для реализации численных методов, построения сеток, визуализации результатов расчетов (компьютерная графика);

4. проведение расчетов, анализ результатов и их интерпретация.

В последнее время широко применяются схемы и подходы, основанные на кинетическом уравнении Больцмана, например: кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), квазигазодинамические и квазигидродинамические (КГД) системы уравнений (см. Б.Н. Четверушкин[90], Ю.В. Шеретов[91], Т.Г. Елизарова[92]) и Lattice Boltzmann метод (LBM).

Кратко рассмотрим несколько различных моделей для численного решения задач гидродинамики. Различные вычислительные методы зависят от дискретизации основных уравнений, которые описывают основополагающие физические законы. Эти описания можно сделать на различных уровнях. В одном из таких подходов, руководствуются физикой на молекулярном уровне, где отслеживают большое количество "частиц", как в случае подхода Ньютона-Гамильтона, а в других подходах, описывают жидкость непосредственно в макроскопических пределах, как и в случае уравнений Навье-Стокса. Выделяют четыре основных уровня описания моделей, основанных на уравнениях: Гамильтона, Лиувилля, Больцмана и Навье-Стокса. Наиболее подробное описание, учитывающее индивидуальную динамику частиц, использует уравнения Гамильтона, затем уравнение Лиувилля, далее модель Больцмана мезоскопических взаимодействий функций распределения частиц, и, наконец, макроскопические уравнения Навье-Стокса, описывающие механику сплошных сред.

На основе выше описанных уравнений применяются соответствующие различные численные подходы: Lattice Gas, Lattice Liouville, Lattice Boltzmann и традиционные CFD методы. Первые три численных метода включают в себя более подробную информацию о физике жидкости, чем тот метод, который необходим для прогнозирования на уровне механики сплошных сред, соответствующий большинству (инженерных) приложений. Они, как правило, называются методами "снизу-вверх" и основаны на дискретизации микроскопических и мезоскопических кинетических уравнений. В каждом из этих подходов для восстановления макроскопического поведения жидкости применяется мульти-масштабное разложение (multi-scale expansion). С другой стороны в традиционных CFD методах, например в методе конечных объемов, конечных разностей и спектральном методе, для уравнения Навье-Стокса непосредственно строятся конечноразностные схемы, поэтому такие методы называются методами "сверху-вниз".

Очевидно, что более подробную информацию о жидкости дают первые три уравнения. Таким образом, когда мелкомасштабность не имеет большого значения для решения задач, численные методы, основанные на дискретизации уравнений Навье-Стокса, являются на сегодняшний день наиболее простыми, обеспечивающими тем самым оптимальный подход в решении. Неудивительно, что они нашли широкое применение во многих областях.

Для детального моделирования очень сложных течений с мелкомасштабной структурой, таких как горение и турбулентность, следует преимущественно использовать мезоскопические методы. В настоящей работе применяется решеточный метод Больцмана - далее LBM (Lattice Boltzmann method). Причины, по которым был выбран именно этот метод вместо "прямого" решения уравнений Навье-Стокса (например, методом конечных разностей, конечных объемов или спектральным методом), кроются в простоте и эффективности вычислительного метода.

Есть два основных отличия LBM и традиционных CFD методов, которые следует считать преимуществами LBM:

• конвективный оператор в LBM (шаг распространения) линейный в пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный. Тем не менее, используя разложение Чепмена-Энскога, с помощью LBM можно раскрыть это нелинейное конвективное поведение;

• существенно различаются процедуры расчета давления: в LBM, оно получается из уравнения состояния, т.е. неявно на основе локальной плотности, в то время как в традиционных СББ методах, давление рассчитывается из уравнения Пуассона. Последний подход сталкивается с вычислительными трудностями в областях со сложной геометрией. Эти две особенности дают ЬВМ его первое преимущество: он приводит к простым явным вычислительным процедурам.

Другим преимущественным аспектом ЬВМ является его численная эффективность. Разные авторы работали над этим аспектом и сделали сравнение с традиционными методами. 8исс1 и др. (1991 )[89] изучали развитую двумерную турбулентность и сделали сравнение кода, основанного на псевдоспектральном метод и на ЬВМ на сетке 128 х 128. Они пришли к выводу, что потребуется 150№ операций с плавающей точкой для ЬВМ кода и (25 ^2М)№ для спектрального кода, где N - число точек решетки и О является размерность задачи.

Это исследование имеет большое значение, потому что, во-первых, оно обеспечивает прямое сравнение между двумя методами для приложения, решение которого псевдо-спектральным методом было признано наилучшим. Он показал также, что общее число операций (№) для ЬВМ увеличивается на константу, в то время как для спектрального метода на логарифм от количества точек. Их исследование показало, что ЬВМ практически в 2,5 раза быстрее, чем для двумерного течения, которое они изучали. Аналогичное исследование было выполнено в работе Чена и др. (1992)[21] для изотропной турбулентности в трехмерном случае и привело к аналогичному выводу: ЬВМ в 2,5 раза быстрее, чем спектральный метод. Очевидно, что при использовании большего количества узлов сетки, разница в эффективности между двумя методами увеличивается в пользу ЬВМ.

В данной работе проведено аналогичное исследование относительно времени счета трехмерной задачи обтекания выступа в форме прямоугольного параллелепипеда при различных входных параметрах и различной размерности. В итоге для числа узлов порядка 200000 ЬВМ быстрее в 4-6 раз в зависимости от точности, чем классический метод поправки к давлению. Исследование проводилось по фиксированному числу итераций по времени, а так как число итерации всегда было больше, чем для установления процесса, отсюда следует, что на самом деле выигрыш LBM еще больше (в 6-8 раз).

Некоторые другие преимущества LBM возникают в силу его происхождения из кинетической теории. Он имеет преимущества молекулярной динамики (например, есть возможность получения четкого понимания физики процесса и легкость в реализации сложных сил). Задание различных граничных условий осуществляется прямо (по явным схемам). Это очень привлекательное свойство LBM, поскольку применение условия прилипания на границе требует очень мало времени для вычислений. Это имеет ключевое значение при работе с твердыми границами, где так необходим подход эффективного взаимодействия между стенками и жидкостью, как и в настоящей работе (стенки задаются как препятствия в расчетной области). Благодаря своей локальности, метод прост в распараллеливании (нет необходимости в спектральном разложение или в решении уравнения для давления).

Наконец, LBM применим и надежен в различных сложных приложениях, которые себя хорошо зарекомендовали.

Одно из его главных приложений в области вычислительной гидродинамики, где он себя хорошо зарекомендовал - это решение слабо сжимаемых уравнений Навье-Стокса (смотрите Wolf-Gladrow [4], Succi [38], Chen и Doolen [36], Dellar [69, 80]), а также в более сложных задачах, связанных с многофазными и многокомпонентными течениями (смотрите например ShannChen [79], Reis and Phillips [81]).

В 1989 году R. J. DiPerna, P.-L. Lions[93] доказали теорему существования решения уравнения Больцмана в целом и его устойчивость. Поэтому, при использовании решеточных моделей Больцмана, решения дискретных уравнений, аппроксимирующих уравнение Больцмана и являющихся вычислительно устойчивыми, будут сходиться к решению этого уравнения с точностью, соответствующей порядку аппроксимации.

Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей, основанных на кинетическом уравнении Больцмана, правдоподобно описывающих гидродинамические процессы в водоемах, а также написание программного комплекса, реализующего эти модели для конкретных входных данных.

Основные усилия сосредоточены на исследовании следующих важных задач:

1) Разработка трехмерной математической модели на основе кинетического уравнения Больцмана для расчета полей функции распределения частиц по скоростям, плотности и компонент скорости жидкости в водоеме, учитывающих внешние силы (силу Кориолиса, ветер), сложную геометрию водоема, вязкость, источники и стоки, различный тип граничных условий.

2) Численное исследование устойчивости Lattice Boltzmann методов с помощью анализа Неймана.

3) Построение последовательного и параллельного алгоритмов Lattice Boltzmann метода, а также расчет оценок для ускорения и эффективности для супервычислительной системы ТТИ ЮФУ.

4) Программная реализация построенных алгоритмов на языке С++ при поддержке ОрепМР для многоядерных компьютерных систем и MPI для кластера распределенных вычислений с возможностью графической визуализации результатов при помощи OpenGL.

Материалы и методы исследования. Описание гидродинамики мелководных водоемов производилось на основе уравнения Больцмана, для которого построены дискретные аналоги в виде Single Relaxation Time и Multiple Relaxation Time Lattice Boltzmann моделей (далее SRT и MRT LBM). В полученных моделях явные схемы для расчета частичной функции распределения на каждом временном слое, а затем по функции распределения вычислялись плотность (аналог давления в LBM) и скорость жидкости. Данные дискретные модели были эффективно распараллелены для:

1) кластерных систем декомпозицией по двум пространственным переменным;

2) многоядерных компьютеров с использованием равномерного распределения вычислений во всех узлах трехмерной сетки между ядрами.

Численные расчеты были реализованы на языке программирования С++ с использованием открытых библиотек параллельного программирования ОрепМР и MPI. Результаты визуализировались и анализировались в одной из написанных автором программ при помощи открытой библиотеки OpenGL.

Научная новизна.

Развитие LB моделей ориентированных на математическое моделирование гидродинамических процессов, обеспечивающих выполнение основных законов сохранения.

Определение областей устойчивости LB моделей, гарантирующих сходимость вычислительных процедур для численного решения задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в зависимости от областей изменения входных параметров.

Эффективные параллельные алгоритмы численной реализации решеточного уравнения Больцмана для кластерных систем с распределенной памятью и для многоядерных систем с общей памятью и их теоретическое обоснование.

Достоверность научных положений и выводов обусловлена корректным построением и исследованием моделей и проведением численных экспериментов, а также сравнением результатов с известными тестовыми решениями и классическими решениями на основе уравнений Навье-Стокса.

Научная и практическая значимость работы.

Практическое применение полученной математической модели связано с моделированием экологических проблем, возникающих в реальных водоемах, а также прогнозирования их последствий. Комплекс программ, основанный на построенных математических моделях, позволяет производить расчет гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости в исследуемых трехмерных областях произвольной геометрии, при заданных начальных и граничных условиях, внешнем воздействии для всевозможных параметров жидкости. Во время расчета одна из программ выполняет онлайн визуализацию картин течений в режимах 2D и 3D отображения, что помогает в принятии решений и мгновенной оценке состояния в исследуемой области. Проведенное сравнение на примере тестовых задач результатов расчетов и эффективностей алгоритмов, полученных с помощью LBM и классических методов CFD, показало: разницу в 5% между полями скорости течения жидкости по одной из оцениваемых норм; превосходство LBM в быстродействии в 4-6 раз и более в зависимости от параметров задачи.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий для методов класса LBM, обладающих свойством консервативности и обеспечивающих возможность проведения численного решения задач вязкой несжшчаемой жидкости с погрешностью не более 2%.

2. Области устойчивости LBM, зависящие от компонент вектора скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана на основе: MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью; ОрепМР технологии для многоядерных ПЭВМ с общей памятью и их теоретические оценки ускорения и эффективности.

4. Комплекс программ, предназначенный как для персональных многоядерных ЭВМ, так и для супервычислительных систем (например, кластер ТТИ ЮФУ), реализующий параллельный алгоритм расчета течений в заданной трехмерной области с помощью LBM и позволяющий отслеживать в режиме онлайн картины течений.

Апробация работы.

Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах:

1. VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19-20 октября 2006.

2. Международная научно-техническая конференция. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы (24-29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия).

3. V Всероссийская научная конференция «Экология 2009 - море и человек» (16-18 сентября, 2009, Таганрог, Россия).

4. V Международная конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (1-5 июня 2009, Ростов-на-Дону).

5. III Международная научная конференция. СППМиММ-09. (2-7 февраля 2009 , Воронеж).

6. IX Всероссийская научная конференция молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и у правление». (2 - 4 Ноября 2011, Геленджик).

7. Научные семинары кафедры высшей математики ТТИ ЮФУ в 2008-2011 гг.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, из них 4 статьи в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендованный ВАК:

1. Сидоренко Б. В. MRT Lattice Boltzmann метод в моделировании гидродинамики мелководных водоемов. Известия ЮФУ. Технические науки, №7 2009. Экология 2009 - море и человек. Таганрог, 16-18 сентября 2009, 186192 стр.

2. Сидоренко Б. В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе SRT Lattice Boltzmann метода. Известия ЮФУ. Технические науки, №8 2009. Таганрог, 2009, 18-24 стр.

3. Алексеенко Е. В., Сидоренко Б. В., Колгунова О.В., Чистяков А. Е. Сравнительный анализ классических и неклассических моделей гидродинамики водоемов с турбулентным обменом. Известия ЮФУ. Технические науки, №8 2009. Таганрог, 2009, 6- 18 стр.

4. Сидоренко Б.В., Сухинов А.И. Построение дискретной модели гидродинамики мелководного водоема Lattice Boltzmann методом. Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. Т. 12, №2, 104110 стр.

В других изданиях:

5. Сидоренко Б.В. Моделирование задач гидродинамики с помощью КСРС. Тезисы доклада. VIII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов, Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления. ТРТУ, Таганрог, 19-20 октября 2006, 225 -227 стр.

6. Сидоренко Б.В. Расчет течений в областях со сложной геометрией на основе квазигидродинамической системы уравнений. Материалы Международной научно-технической конференции. Многопроцессорные вычислительные и управляющие системы. 24-29 сентября 2007, пос. Дивноморское, Геленджик, Россия, 317-321стр.

7. Сидоренко Б.В. Моделирование гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann метода. Тезисы доклада. СППМиММ-09. Материалы III Международной научной конференции. Воронеж, 2-7 февраля 2009 г. Том 1. 113-117 стр.

8. A.I. Sukhinov, E.V. Alexeenko, B.V. Sidorenko, A.E. Chistyakov, F. Dumas, S. Theetten. Comparative analysis of classical models (Mars3d, Azov3d) and Lattice Boltzmann models for shallow water hydrodynamics computations. 19ème Congrès Français de Mécanique. Marseille, 24-28 août 2009.

9. Сидоренко Б.В. «Математическое моделирование задач гидродинамики мелководных водоемов на основе Lattice Boltzmann уравнения». Тезисы доклада. V Международной конференция по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды, включая секции молодых ученых Научно-образовательных центров России (Россия, Ростов-на-Дону, 1-5 июня, 2009).

10. Сидоренко Б.В. Исследование устойчивости метода решеточных уравнений Больцмана для мелководных водоемов. Тезисы доклада. IX Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Информационные технологии, системный анализ и управление»: Сборник материалов. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. - Т.2, 187-189 стр.

Зарегистрирован программный продукт «Lattice Boltzmann method 3D for Basins (LBM 3D for Basins)» (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010611337 от 16.02.2010 г.) в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Краткое содержание и структура работы.

Диссертация изложена на 147 страницах, включает в себя 95 иллюстрации, 13 таблиц; состоит из введения, 5 глав, заключения, приложения и списка используемой литературы из 93 наименований.

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Анализ и выбор граничных условий в LBM, обладающих свойством консервативности. Метод отскока (Bounce-Back) и метод Zou-He оказались наиболее подходящими для проведения расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, т.к. решения, полученные с их помощью, сохраняют поток массы в моделируемой области с погрешностью не более 2%.

2. Области устойчивости SRT и MRT подходов LBM, зависящие от компонент скорости и множества времен релаксации дискретной модели построенного алгоритма, гарантирующие сходимость вычислительных процедур при проведении расчетов гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости.

3. Параллельные алгоритмы решеточного метода Больцмана: 1) при помощи декомпозиции расчетной области по двум пространственным направлениям на основе MPI технологии для кластерных систем с распределенной памятью; 2) при помощи равномерного распределения вычислений на основе ОрепМР технологии для многоядерных систем с общей памятью. Для этих алгоритмов получены теоретические оценки ускорения и эффективности. Проведенные численные эксперименты на супервычислительной системе ТТИ ЮФУ для 128 узлов показали максимальное ускорение алгоритма 69,2 на сетке 200x200x50.

4. Комплекс программ, позволяющий рассчитывать с помощью LBM и визуализировать в режиме онлайн гидродинамику в задаваемой пользователем трехмерной области для различных входных параметров задачи. Этот комплекс применялся как на персональных многоядерных ЭВМ, так и на супервычислительной системе с распределенной памятью.

5. Численные эксперименты с помощью SRT и MRT подходов для нескольких известных тестовых задач при различных числах Рейнольдса, размерностях задачи, а также с возможностью учета турбулентной модели Смагоринского для вязкости. Данные эксперименты показали преимущества в сходимости разностной схемы MRT подхода над SRT при числах Рейнольдса свыше 1000, а также преимущества применения турбулентной модели для вязкости в SRT подходе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена построению и исследованию математических моделей вычислительной гидродинамики, основанных на решеточном уравнении Больцмана, а также разработке комплекса программ, реализующего параллельные вычислительные алгоритмы используемых подходов и позволяющего визуализировать результаты расчетов. Проведенное исследование показало, что LBM имеет несколько преимуществ над традиционными CFD методами: 1) конвективный оператор в LBM линейный в t> пространстве скоростей, в то время как в решателях Навье-Стокса он квадратично нелинейный; 2) процедура расчета давления в LBM существенно проще - нет необходимости решать уравнение Пуассона как в традиционных CFD методах; 3) показатели вычислительной эффективности и степени параллелизма LBM выше, чем у классических CFD методов.

1. К. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, New York, 1987.

2. R. Peyret, and T.D. Taylor, Computational Methods for Fluid Flow, Springer-Verlag, New York, 1983.

3. J.C. Tannehill, D.A. Anderson, and R.H. Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2nd edition, Taylor and Francis, 1997.

4. D.A. Wolf-Gladrow, Lattice Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models: an Introduction, Springer-Verlag, Heidelberg, 2000.

5. D.J. Evans, and G.P. Morris. Non-equilibrium molecular-dynamics simulation of couette flow in two-dimensional fluids, Phys. Rev. E, 51(19), pp. 1776-1779, 1983.

6. J. Goodfellow. Molecular Dynamics, Macmillan Press, 1991.

7. D.C. Rapaport. The Art of Molecular Dynamics Simulation, Cambridge University Press, 1995.

8. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. M.: 1982.

9. Bird G.A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Clarendon press, 1994.

10. Берд Г.А. Молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1981.

11. О.Э. Ланфорд, У. Гринберг, Я. Полевчак и др. Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: 1986.

12. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: 1967.

13. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems. Phys.Rev., 1954, V.94, pp. 511 524.

14. Шахов E.M. Метод исследования движений разреженного газа. М.:Наука, 1974.

15. U. Frisch, В. Hasslacher, and Y. Pomeau, Lattice-Gas automata for the Navier-Stokes equation, Phys. Rev. Lett. 56, pp. 1505-1508, 1986.

16. U. Frisch, D. d'Humieres, B. Hasslacher, P. Lallemand, Y. Pomeau, and J.-P. Rivet, Lattice gas hydrodynamics in two and three dimensions, Complex Systems 1, pp. 649- 707, 1987.

17. O. van Genabeek, and D. H. Rothman, Macroscopic manifestations of microscopic flows through porous media: Phenomenology from simulation, Ann. Rev. of Earth and Planetary Sciences, 24, pp. 63-87, 1996.

18. S. Wolfram, Cellular automation fluids. 1: Basic Theory, J. Stat. Phys., 45, pp. 471-526, 1986.

19. D.H. Rothman, and S. Zaleski, Lattice Gas Cellular Automata, Cambridge University Press. Cambridge. 1997.

20. G.R. McNamara, and G. Zanetti, Use of the Boltzmann equation to simulate lattice-gas automata, Phys. Rev. Lett. 61, pp. 2332-2335, 1988.

21. H. Chen, S. Chen, and W.H. Matthaeus, Recovery of the Navier-Stokes equations using a lattice-gas Boltzmann method, Phys. Rev. A 45, pp. R5339- R5342, 1992.

22. Y.H. Qian, D. d'Humieres, and P. Lallemand, Lattice BGK models for Navier-Stokes equation. Europhys. Lett. 17, pp. 479-484, 1992.

23. J.A. Somers, Direct Simulation of fluid flow with cellular automata and the lattice Boltzmann equation, Appli. Sci. Res. 51, 127, 1993.

24. V. Sofonea, Lattice Boltzmann approach to collective-particle interaction in magnetic fluids. Europhysics Letters 25, pp. 385-390, 1994.

25. H. Fang, Z. Lin, and Z. Wang, Lattice Boltzmann simulation of viscous fluid systems with elastic boundaries, Phys. Rev. E 57, pp. R25-R29, 1998.

26. C.M. Teixeira, Incorporating turbulence models into the lattice-Boltzmann method, International Journal of Modern Physics C 9, pp. 1159-1175, 1998.

27. B. Chopard, and P.O. Luthi, Lattice Boltzmann computations and applications to physics, Theoretical Computer Science 217, pp. 115-130, 1999.

28. A.D. Fox, and S.J. Maskell, Two-way interactive nesting of primitive equation ocean models with topography, Journal of Physics in Oceanography 25, pp. 2977-2996, 1995.

29. A.D. Fox, and S.J. Maskell, A nested primitive equation model of the iceland-faeroe front. Journal of Geophysics Research 101, pp. 18259-18278, 1996.

30. N.S. Martys, and H. Chen, Simulation of multicomponent fluids in complex three dimensional geometries by the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E 53. pp. 743-750, 1996.

31. A.J.C. Ladd, Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation: Part 1. Theoretical foundation, J. Fluid Mech. 271 pp. 285-309, 1994.

32. A.J.C. Ladd, Numerical simulations of particulate suspensions via a discretized Boltzmann equation: Part 2. Numerical results, J. Fluid Mech. 271, pp. 311-339, 1994.

33. L. Giraud, D. d'Humieres, and P. Lallemand, A lattice Boltzmann model for viscoelasticity. Int. J. Mod. Phys. C, 8, pp. 805-815, 1997.

34. L. Giraud, D. d'Humieres, and P. Lallemand, A lattice Boltzmann model for Jeffreys viscoelastic fluid, Europhys. Lett., 42, pp. 625-630, 1998.

35. J.-P. Boon, D. Dab, R. Kapral, and A. Lawniczak, Lattice gas automata for reactive systems, Phys. Rep. 273, pp. 55-148. 1996.

36. S. Chen and G. D. Doolen, Lattice Boltzmann method for fluid flows. Ann. Rev. Fluid Mech. 30, pp. 329-364. 1998.

37. L.-S. Luo, The lattice-gas and lattice Boltzmann methods: Past, Present, and Future, Proceedings of the International Conference on Applied Computational Fluid Dynamics, Beijing, China, pp. 52-83, 2000.

38. S. Succi, The Lattice Boltzmann Equation for Fluid Dynamics and Beyond, Oxford University Press, 2001.

39. D. Kandhai, A. Koponen, A. Hoekstra, M. Kataja, J. Timonen, and P.M.A. Sloot, Implementation aspects of 3D lattice-BGK: boundaries, accuracy, and a new fast relaxation method, J. Comput. Phys., 150, pp. 482-501, 1999.

40. X. He and L.-S. Luo, A priori derivation of the lattice Boltzmann equation, Phys. Rev. E, 55, pp. R6333-R6336, 1997.

41. X. He and L.-S. Luo, Theory of the lattice Boltzmann equation: from the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation, Phys. Rev. E, 56, pp. 6811-6817, 1997.

42. P. J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic, New York, 1984.

43. F. Higuera, S. Succi, and R. Benzi, Europhys. Lett. 9, 345 (1989).

44. P. Lallemand, L.-S. Luo, Theory of the lattice Boltzmann method: dispersion, dissipation, isotropy, Galilean invariance and stability, Phys. Rev. E 61 (2000) 6546-6562.

45. D. d'Humieres, I. Ginzburg, M. Krafczyk, P. Lallemand, and L.-S. Luo, Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 360, 437 (2002).

46. P. Resibois and M. D. Leener, Classical Kinetic Theory of Fluids (John Wiley and Sons, New York, 1977).

47. K. N. Premnath and J. Abraham, J. Comput. Phys. 224, 539 (2007).

48. X. He, X. Shan, and G. Doolen, Phys. Rev. E 57, R13 (1998).

49. S. Chapman and T. Cowling, Mathematical Theory of Non-Uniform Gases (Cambridge University Press, London, 1964).

50. J. Smagorinsky, Monthly Weather Rev. 91, 99 (1963).

51. P. MoinandJ. Kim, J. Fluid Mech. 118,341 (1982).

52. E. van Driest, J. Aero. Sci. 23, 1007 (1956).

53. R. S. Maier, R.S. Bernard, and D.W. Grunau, Boundary conditions for the lattice Boltzmann method, Phys. Fluids, 8 (7), pp. 1788-1801, 1996.

54. P. Ziegler, Boundary conditions for lattice Boltzmann simulations, J. Stat. Phys., 71, pp. 11711177, 1993.

55. I. Ginzbourg, and D. d'Humieres, Local second-order boundary methods for lattice Boltzmann models, J. Stat. Phys., 84, pp. 927-971, 1995

56. J. Latt, B. Chopard, O. Malaspinas, M. Deville, and A. Michler. Straight velocity boundaries in the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 77(5):056703-+, May 2008. doi: 10.1103/PhysRevE. 77.056703.

57. M. Bouzidi, M. Firdaouss, and P. Lallemand. Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries. Phys. Fluids, 13(11):3452- 3459, 2001. doi: 10.1063/1.1399290.

58. I. Ginzburg and D. d'Humi'eres. Multireflection boundary conditions for lattice Boltzmann models. Phys. Rev. E, 68(6):066614, Dec 2003. doi: 10.1103/PhysRevE.68.066614.

59. M. Junk and Z. Yang. One-point boundary condition for the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 72(6):066701, Dec 2005. doi: 10. 1103/PhysRevE.72.066701.

60. S. Ansumali and I. V. Karlin. Kinetic boundary conditions in the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 66(2):026311, Aug 2002. doi: 10.1103/PhysRevE.66.026311.

61. I. Halliday, L. A. Hammond, and C. M. Care. Enhanced closure scheme for lattice Boltzmann equation hydrodynamics. J. Phys. A: Math. Gen., 35:L157-L166, 2002.

62. T. Inamuro, M. Yoshina, and F. Ogino. A non-slip boundary condition for lattice Boltzmann simulations. Phys. Fluids, 7:2928-2930, 1995.

63. Q. Zou and X. He. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model. Phys. Fluids, 9:1592-1598, 1997.

64. J. Latt and B. Chopard. Lattice Boltzmann method with regularized non-equilibrium distribution functions. Math. Comp. Sim., 72:165-168, 2006.

65. P. A. Skordos. Initial and boundary conditions for the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 48:4823-4842, 1993.

66. W. Press, S. Teukolsky, W. Vetterling, and B. Flannery. Numerical Recipes in C++: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

67. D. H"anel. Einfuerung in die kinetische Theorie der Case und Lattice- Boltzmann-Methoden. Springer Verlag, Berlin, 2004.

68. B. Chopard and A. Dupuis. A mass conserving boundary condition for lattice boltzmann models. Int. J. Mod. Phys. B, 17(1/2): 103-108, 2003.

69. P. J. Dellar. Bulk and shear viscosities in lattice Boltzmann equations. Phys. Rev. E, 64(3):031203, Aug 2001. doi: 10.1103/PhysRevE.64. 031203.

70. Z. Guo, C. Zheng, and B. Shi. Discrete lattice effects on the forcing term in the lattice Boltzmann method. Phys. Rev. E, 65:046308, 2002.

71. J. Latt. Hydrodynamic limit of lattice Boltzmann equations. PhD dissertation, University of Geneva, Geneva, Switzerland, 2007. URL http: //www.unige.ch/cyberdocuments/theses2007/LattJ/meta.html.

72. T. Inamuro, M. Yoshino, and F. Ogino, A non-slip boundary condition for lattice Boltzmann simulations, Phys. Fluids, 7, pp. 2928-2930, 1995.

73. R. Mei, and W. Shyy, On the finite difference-based lattice Boltzmann method in curvilinear coordinates, J. Compu. Phys. 143, pp. 426-448, 1998.

74. C.K. Aidun, Y. Lu, Lattice Boltzmann simulations of solid particles suspended in fluid, J. Stat. Phys., 81, pp. 49-61, 1995.

75. R. Mei, L.-S. Luo and W. Shyy. An accurate curved boundary treatment in the lattice Boltzmann method, J. Compu. Phys. 155, pp. 307-329, 1999.

76. R. Mei, W. Shyy, D. Yu, and L.-S. Luo, Lattice Boltzmann method for 3-D flows with curved boundary, J. Comp. Phys. 161, pp. 680-699, 2000.

77. S. Chen, D. Martinez, and R. Mei, On boundary conditions in lattice Boltzmann method, Phys. Fluids 8, pp. 2527-2536, 1996.

78. Q. Zou and X. He, On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Boltzmann BGK model, Phys. Fluids 9, pp. 1591-1598, 1997.

79. X. Shan and H. Chen. Lattice Boltzmann model for simulating flows with multiple phases and components. Phys. Rev. E, 47:1815-1819,1993. doi: 10.1103/PhysRevE.47.1815.

80. P. J. Dellar. Incompressible limits of lattice Boltzmann equations using multiple relaxationtimes. J. Comp. Phys., 190:351-370, 2003.

81. T. Reis and T. N. Phillips. Lattice Boltzmann model for simulating immiscible two-phase flows. J. Phys. A: Math. Theor., 40(14):4033-4053, 2007. URL http://stacks.iop.org/1751- 121/40/4033.

82. Orestis Pileas Malaspinas. Lattice Boltzmann Method for the Simulation of Viscoelastic Fluid

83. Flows. THÈSE NO 4505 (2009).

84. X.D. Niu, C. Shu, Y.T. Chew, T.G. Wang, Investigation of stability and hydrodynamics of different lattice Boltzmann models, J. Stat. Phys. 117 (3-4) (2004) 665-680.

85. D. d'Humières, Generalized lattice Boltzmann equations, in: B.D. Shizgal, D.P. Weaver (Eds.), Rarified Gas Dynamics: Theory and Simulations, Prog. Aeronaut. Astronaut. 159 (1992) 450-458.

86. J.D. Sterling, S. Chen, Stability analysis of lattice Boltzmann methods, J. Comput. Phys. 123 (1996)196-206.

87. R.A. Worthing, J. Mozer, G. Seeley, Stability of lattice Boltzmann methods in hydrodynamic regimes, Phys. Rev. E 56 (1997) 2243-2253.

88. L.-S. Luo, Lattice-gas automata and lattice Boltzmann equations for two-dimensional hydrodynamics, Ph.D. Thesis, Georgia Institute of Technology, 1993.

89. X. He, L.-S. Luo, Lattice Boltzmann Model for the incompressible Navier-Stokes equation, J. Stat. Phys. 88 (1997) 927-944.

90. Succi, S., Benzi, R, and Vergassola, M. (1991). Phys. Rev. 43A, 4521.

91. M.: МАКС Пресс, 2004,- 332с.

92. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2000.

93. Елизарова Т.Г. Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Физический факультет МГУ, 2005.

94. R. J. DiPerna, P.-L. Lions, On the Cauchy problem for Boltzmann equations: Global existence and weak stability, Ann. Math., 130, No 2 (1989), 321-366.