автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование гармонических по времени электромагнитных полей с использованием векторного метода конечных элементов

На правахрукописи

Гельбер Мария Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: д.т.н., профессор, Э.П. Шурина.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор, Ю.М. Лаевский,

д.ф.-м.н., профессор М.П. Федорук.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

РАН им. М.В. Келдыша, 125047, г. Москва, Миусская площадь, 4.

Защита состоится "30"июня 2004 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН (проспект Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь специализирован- СБ. Сорокин

ного Совета, д.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие вычислительной техники в последние десятилетия привело к возможности построения эффективных вычислительных алгоритмов моделирования векторных полей в неоднородных областях. Результаты моделирования электромагнитных полей широко используются при интерпретации данных физических экспериментов и разработке приборов. В связи с этим, выбор адекватных математических моделей и разработка алгоритмов численного моделирования гармонических по времени электромагнитных полей является актуальной задачей математической физики и , вычислительной математики.

В физических приложениях часто возникают задачи, которые характеризуются наличием геометрических и физических неодно-родностей по трем координатным направлениям. Промышленные устройства могут иметь сложные конфигурации, которые невозможно свести к одномерным или двумерным моделям. Широкий спектр трехмерных моделей используется в геофизических приложениях. Моделирование трехмерных векторных полей в неоднородных областях - сложная задача, требующая поиска новых подходов к ее решению.

В 80-е годы 20-го века предложен новый подход к численному моделированию трехмерных векторных полей - векторный метод конечных элементов (ВМКЭ) [Кеёе1ес, 1980; Кеёе1ес, 1986]. Этот метод основан на использовании специально организованных векторных базисов, использование которых позволяет строить аппроксимации математических моделей в терминах естественных векторных переменных. Основным преимуществом ВМКЭ по сравнению с сеточными методами, работающими в терминах скалярных переменных, является возможность корректного моделирования поведения векторных полей на границах областей с различными физическими свойствами. При этом, в большинстве случаев не требуется введение дополнительных процедур, необходимых при использовании классических сеточных методов при решении задач в неоднородных областях. Кроме того, использование ВМКЭ исключает возможность возникновения ложных мод при решении задачи на собственные значения (при поиске резонансных частот), позволяет корректно аппроксимировать поля вблизи острых углов и ребер конструкций, а также

естественным образом учитывать краевые условия, накладываемые на компоненты векторных полей.

Несмотря на интерес, проявляемый к ВМКЭ в последние годы, для него еще не создано единой вычислительной технологии, и исследование аспектов, связанных с применением метода для решения различных классов задач остается актуальной задачей.

Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем на базе ВМКЭ для моделирования гармонических по времени векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях. Теоретическое и численное исследование свойств векторных конечных элементов различных типов и постановок, ориентированных на ВМКЭ.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям.

Защищаемые положения и научная новизна:

1. Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов.

2. Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических векторных элементов Неделека 1-го типа k-того порядка. В результате вычислительных экспериментов подтверждены теоретические оценки интерполяционных свойств векторных конечных элементов Неделека Ьго типа 1-го порядка для различных типов геометрических элементов.

3. Построены дискретные аналоги постановок в форме Галерки-на, ориентированных на ВМКЭ, для моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработаны и программно реализованы алгоритмы моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях с использованием векторного и скалярного МКЭ.

4. Численно показано, что необходимость введения смешанных и потенциальных постановок при моделировании гармонических по времени полей с использованием ВМКЭ зависит от частоты гармонического воздействия, а также от структуры области моделирования.

Значимость работы. В работе исследован новый подход к моделированию векторных гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов. Теоретически и численно исследованы интерполяционные свойства векторных конечных элементов. Предложенные в диссертации подходы могут служить основой алгоритмов решения реальных задач электромагнетизма в различных физических приложениях. Эти аппроксимации могут быть применены при разработке вычислительных схем для решения задач с использованием методов пространственной декомпозиции, которые обеспечивают построение эффективных параллельных алгоритмов.

Личный вклад. Все результаты, изложенные в диссертации без ссылок на работы других авторов, принадлежат лично автору.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: ХХХУТХ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001); Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001); Региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2001); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002 (Новосибирск, 2002); III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002); региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2002); Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003); Междуна-

родной конференции «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003); объединенном семинаре Института вычислительных технологий СО РАН, кафедры математического моделирования Новосибирского государственного университета и кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2004); семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2004); объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета (Новосибирск, 2004); семинарах кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета-Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (168 наименований). Работа изложена на 145 страницах, включая 28 иллюстраций.

Основное содержание работы

Введение. Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цели и методы исследований, представлены научная новизна и значимость работы. Кратко описаны структура и основное содержание диссертации

Глава 1. Современное состояние исследований. Первая глава посвящена обзору математических моделей и современных подходов к построению вычислительных схем для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей.

В п. 1.1 рассматриваются основные классы задач, в которых возникает необходимость моделирования гармонических по времени полей и соответствующие им математические модели.

Математическое моделирование электромагнитных процессов является важным звеном при проектировании новых устройств и ин-

терпретации данных физических исследований. Успех моделирования во многом определяется корректностью постановки задачи, поэтому при ее выборе необходимо учитывать множество факторов, таких, как течение процесса во времени, структура области, наличие источников, зарядов, цели моделирования.

В п. 1.2 дан обзор современных подходов к решению задач электромагнетизма в различных постановках.

Для многих задач электромагнетизма существуют аналитические решения уравнений Максвелла, при моделировании физических процессов в неоднородных областях наилучшие результаты дает сочетание аналитических и численных методов. Метод конечных разностей (МКР) предложен первым из распространенных на данный момент численных методов решения уравнений математической физики. МКР получили распространение для решения задач электромагнетизма [Kunze, 1999; Newman, 1995; Wang 1993; Weiland, 1985; Yee, 1966]. В последнее десятилетие метод конечных объемов (МКО) получил широкое распространение, предложено множество его модификаций, в том числе и для моделирования электромагнитных полей [Haber et al., 2000; Hermeline, 1993; Riley, 1997]. Мегод конечных элементов (МКЭ) [Лаевский, 1999; Стренг, Фикс, 1977; Сьярле, 1980; Braess, 2001; Brenner, Scott, 2002; Jin, 1993] в настоящее время стал наиболее популярным методом решения задач элетромагнетиз-ма [Leonard, 1988; Silvester, Ferrari, 1990; Zienkievicz, Taylor, 1989].

Отметим, что при решении задач, где искомые величины - векторные, использование классического скалярного МКЭ связано с рядом проблем, среди которых возникновение «паразитных»мод, неустойчивость решения, неудобство учета краевых условий и условий на границах материалов с контрастными физическими свойствами [Bossavit, 1990; Cendes, 1991; Lee, Madsen 1990; Lynch, Paulsen 1991].Эти недостатки стандартных аппроксимаций привели к поиску новых, более эффективных вариантов МКЭ. Одним из них является векторный метод конечных элементов (ВМКЭ) [Nedelec, 1980; Nedelec, 1986; Raviart, Thomas, 1977; Whitney, 1957].

Характерное свойство ВМКЭ - использование векторных базисов. В отличие от скалярных конечных элементов, векторные элементы обеспечивают непрерывность только одной из компонент искомой величины (тангенциальной или нормальной компоненты к границе сред с различными физическими свойствами), другая компонента

может быть разрывной. В связи с этим, ВМКЭ-аппроксимация позволяет корректно моделировать скачкообразное поведение полей на границах различных материалов.

Математические основания ВМКЭ заложены в [BofB, 2001; Bossavit, 1982; Girault, Raviart, 1986; Kikuchi, 1987; Monk, 1992; Monk, 1993; Nedelec, 1980; Nedelec, 1986; Perugia, 1999; Rapetti, Toselli, 2001]. Вопросы применения ВМКЭ для решения задач электромагнетизма рассмотрены в [Albanese, Rubinacci, 1993; Chen, Du, Zhou, 2000; Kanayama, 1993; Kanayama, 1999; Kanayama, Kikuchi, 1997; White, 2000] Исследование вопросов, связанных с реализацией ВМКЭ представлено в [Webb, 1993; Wu, Lee, 1993]. Ряд исследований посвящен проблемам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), соответствующих ВМКЭ-аппроксимациям [Honma, 2002; Igarashi, 2001; Perugia, 1999]. На данном этапе проводятся исследования многосеточных алгоритмов предобусловливания для ВМКЭ [Beck et al., 1997; Polstyanko, Lee, 1998].

Глава» 2. Постановка задачи. Во второй главе формулируются основные постановки задач для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях. На основе этих математических моделей построены вариационные формулировки, ориентированные на ВМКЭ.

В п. 2.1 показан переход от уравнений Максвелла в классической форме к постановкам в частотной области и к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка. С использованием уравнений второго порядка

сформулированы краевые задачи для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях (проводящих и в отсутствие в области проводящих объектов).

В п. 2.2 введены функциональные пространства #(grad; ÍÍ), Н(rot; П) и описаны их основные свойства. Использование пространства Я (rot; fi) в вариационных постановках, ориентированных на ВМКЭ, позволяет на шаге дискретизации перейти к векторным конечным элементам, конформным в этом пространстве, которые позволяют корректно моделировать скачкообразное поведение моделируемых полей на границах материалов.

Важным критерием эффективности вычислительных схем для моделирования электромагнитных процессов в неоднородных областях является точность учета условий, накладываемых на дивергенцию аппроксимируемых полей [Alotto et al., 1998; Assous et al., 1993; Couliette, Koch, 1993]. В связи с этим требуется введение специальных формулировок, таких как задачи с ограничениями, для которых в уравнения вводят аналоги множителей Лагранжа р

V х (¿i-1 V х Е) — iucrЕ — iuä Vp = iw Jo,

или потенциальных постановок

V x д-1 V x А-гы<х(А + Чф) = гыЛ0,

(здесь А - аналог векторного потенциала, ф - скалярный потенциал) полученных с использованием декомпозиции Гельмгольца [Assous et al., 2000; Dyczij-Edlinger, 1998; Haber et al., 2000]. Такие постановки позволяют корректно моделировать дивергентные условия и препятствуют возникновению «паразитных» решений. Функциональные пространства в вариационных формулировках для задач с ограничениями и потенциальных постановок необходимо выбирать в соответствии с условием Ладыженской-Бабушки-Бреззи [Assous et al., 1993; Brezzi, Fortin, 1991; Chen, Du, Zhou, 2000; Kikuchi, 1987], которое является одним из необходимых условий существования и единственности решения вариационной задачи:

где - билинейная форма, соответствующая вариационному аналогу дивергентных ограничений в слабой форме, и предполагается, что при построении вариационной задачи векторные величины (векторный потенциал либо напряженности электрического или магнитного полей) принадлежат пространству W, а скалярные величины (множители Лагранжа или скалярный потенциал) - пространству V.

В [Boffi, Gastaldi, 2002; Chen, Du, Zhou, 2000] показано, что пара пространств (ff(rot; П), Н1(П)) соответствуют условию Ладыженской-Бабушки-Бреззи.

Таким образом, для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей введены классические вариационные формулировки, ориентированные на ВМКЭ. Для корректного учета дивергентных условий используются смешанные и потенциальные постановки и соответствующие им вариационные задачи.

Глава 3. Векторный метод конечных элементов. Построение дискретных аналогов вариационных постановок. Глава 3 посвящена построению дискретных аналогов постановок в форме Галеркина и теоретическому исследованию свойств векторных конечных элементов.

В п. 3.1 даны основные определения тетраэдральных, парал-лелепипеидальных и призматических векторных конечных элементов Неделека 1-го типа [Nid61ec, 1980], конформных в пространстве и результаты, касающиеся их интерполяционных свойств. Для призматических конечных элементов Неделека I-го типа доказано утверждение о порядке интерполяции:

Утверждение. Пусть П - интерполяционный оператор для векторного конечного элемента на призмах, заданного в [Nedelec, 1980], тогда

Описаны основные свойства векторных конечных элементов с точки зрения теории дифференциальных форм [Whitney, 1957].

В п. 3.2 введены базисы для тетраэдральных, параллелепипе-идальных, призматических, треугольных и прямоугольных векторных #(го^)-конформных элементов Неделека I-го типа 1-го порядка. Построены интерполяционные функции для аппроксимации скалярных величин

ufc(x) = ]pQi(tt)tBl(x), a,(u) = тх(х<), ieQ, (2)

где сч - соответствующие степени свободы, Q - множество индексов вершин конечного элемента, wt - скалярные базисные функции.

Для векторных величии и определены векторные интерполяционные функции uh на элементе К в виде

где S - множество индексов ребер элемента, w» - векторные базисные функции, tj - единичный тангенциальный вектор на ребре е^.

С учетом построенных интерполяционных функций построены дискретные аналоги вариационных задач, введенных в п. 2.2. Необходимо отметить, что в соответствии с дискретным условием Ладыженской-Бабушки-Бреззи, в связи с тем, что в качестве конечномерного подпространства Wh С H(vot] П) выбрано пространство векторных Н (rot)-конформных конечных элементов Неделека 1-го типа 1-го порядка, в качестве подпространства Vh С ii(grad; Q) выбрано пространство скалярных конечных элементов 1-го порядка.

Глава 4. Особенности реализации ВМКЭ. Результаты вычислительных экспериментов.. Четвертая глава посвящена

анализу особенностей реализации ВМКЭ, описанию вычислительных экспериментов и обсуждению их результатов.

В п. 4.1 исследованы особенности построения конечно-элементного разбиения и хранения информации о нем, предложена структура данных, ориентированная на ВМКЭ. Проведено сравнение размерности дискретных задач и заполненности глобальных матриц СЛАУ для ВМКЭ и скалярного МКЭ. Исследована структура глобальных матриц и методы решения СЛАУ. Дано описание реализованного комплекса программ.

В п. 4.2 представлены результаты численного исследования интерполяционных свойств треугольных, прямоугольных, тетраэдральных, параллелепипеидальных и призматических векторных И(го1)-конформных конечных элементов Неделека I-го типа 1-го порядка. В результате проведенного вычислительного эксперимента подтвержден теоретический порядок интерполяции.

В п. 4.3 представлены результаты исследования построенных вычислительных схем при моделировании гармонических по времени полей в составных средах при различных типах неоднородностей. Проведено сравнение решений, полученных с использованием ВМ-

КЭ без дополнительного учета дивергентных ограничений, с исполь-зоанисм смешанных постановок, потенциальных постановок и скалярного МКЭ. В результате может быть сделан вывод о том, что использование смешанных и потенциальных постановок для В МКЭ необходимо в случае низких частот (до 100 кГц). При более высоких частотах различи? в решениях задачи, полученных с использованием классического В МКЭ. смешанных и потенциальных постановок не превышает 1% на достаточно грубой сетке, и введение более затратных постановок с ограничениями и потенциальных постановок не оправдано. Отметим, что скалярный МКЭ без введения дополнительных процедур не позволяет учитывать скачкообразное поведение компонент электрического поля, нормальных к границе материалов даже при

высоких частотах, несмотря на большие, по сравнению с ВМ-КЭ затраты, что на практике подтверждает преимущества ВМ-КЭ. Корректность разработанных схем верифицирована на ряде модельных задач. Проведена проверка выполнения принципа взаимности в неоднородных проводящих и непроводящих средах. В п. 4.4 представлены результаты моделирования работы высокочастотного каротажного зонда (р = ро, а = О,

в однородной среде /го, сг = 1/р, £ = £о)- Цель исследования - построение калибровочной кривой разности фаз э.д.с. в измерительных катушках зонда, разработанного в Институте геофизики СО РАИ, в зависимости от удельного сопротивления вмещающей среды. Сравнение результатов моделирования с калибровочной кривой, полученной по известному аналитическому решению, полученному в Институте геофизики СО РАН [Эпов, Антонов, 2000], показало хорошее согласование, погрешность не превысила 10% на достаточно грубой сетке (см. рисунок).

Рис. Калибровочные кривые разности э.д.с. в измерительных контурах зонда

Основные результаты работы

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие результаты.

1. Сформулированы постановки задач для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях. Для корректного учета дивергентных условий на границах материалов предложены задачи с ограничениями и потенциальные постановки. Построены специальные постановки в форме Галеркина, ориентированные на ВМКЭ.

2. Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических (-конформных конечных элементов Неделе-ка 1-го типа k-того порядка. Введены базисы конечномерных подпространств для векторных элементов Неделека 1-го порядка и скалярных Лагранжс-вых элементов первого порядка на тетраэдральных, паралле-лепипеидальных, призматических, треугольных и прямоугольных конечных элементах. Построены дискретные аналоги постановок в форме Галеркина.

3. Предложена технология реализации ВМКЭ. Проведено исследование особенностей построения конечно-элементного разбиения и сеточной структуры данных, выполнено сравнение размерности и заполненности матриц дискретных аналогов для ВМКЭ и скалярного МКЭ. На базе предложенных аппроксимаций реализован комплекс программ на языке С.

4. Разработанные вычислительные схемы реализованы и проведена их верификация на ряде модельных задач. В результате численного исследования интерполяционных свойств параллсле-пипеидальных, тетраэдральных, призматических, прямоугольных и треугольных векторных конечных элементов Неделека I-го типа 1-го порядка подтверждены теоретические оценки порядка интерполяции.

5. Проведена серия вычислительных экспериментов по расчету гармонических по времени электромагнитных полей в областях с различными типами неоднородностей. Подтверждена

высокая эффективность ВМКЭ для решения таких задач. Показано, что введение потенциальных и смешанных постановок в случае низких частот гармонического сигнала (до 100 кГц) позволяет учитывать дивергентные условия на границах сред. Введение таких постановок при более высоких частотах не оправдано. Сравнение ВМКЭ со скалярным МКЭ подтвердило экономичность векторных аппроксимаций.

Проведенные исследования подтвердили высокую эффективность предложенных в данной работе вычислительных схем и их программных реализаций для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах.

Достоверность полученных результатов подтверждена результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнением с аналитическими решениями.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проект №03-05-64795), Минобразования России (проект №А.03-2.8-94), совместного международного проекта РФФИ (проект №04-01-89003) и N^0 (проект №047.016.003).

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НППГА «Луч» и лично д.т.н., чл.-корр. РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах

1. ГЕЛЬБЕР М.А. Исследование МКЭ-аппроксимаций с использованием векторных элементов // Материалы XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. — Новосиб. ун-т. — Новосибирск. - 2001. - с. 85.

2. ШУРИНА Э.П., ГЕЛЬБЕР М.А., ГЕЛЬБЕР А.В. Математическое моделирование векторных полей в неоднородных средах. // Тезисы докл. Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» - 2001. - Доступ по адресу http://www.ict.nsc.ru/ws/NikNik/

3. ГЕЛЬБЕР М.А., ШУРИНА Э.П. Об использовании векторного метода конечных элементов для решения уравнений Гельм-гольца // НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ. - Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Тез. докладов в 5 частях. Часть 1. - Новосибирск: Изд-во НГ-ТУ, 2001. - с. 56-57.

4. ГЕЛЬБЕР М.А. Применение векторного метода конечных элементов для решения задач электромагнетизма // Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям: программа и тезисы докладов. - Институт вычислительных технологий. - Новосибирск, 2002. - с. 22.

5. ШУРИНА Э.П., ГЕЛЬБЕР А.В., ГЕЛЬБЕР М.А. Математическое моделирование электромагнитных процессов для дефектоскопии газовых и нефтегазовых скважин // Информационные технологии в экономике, промышленности и образовании: Сб. науч. трудов. Вып. №5. - М.: «Электрика> . - Новокузнецк: НФИ КемГУ. - 2002. - с. 24-25.

6. GELBER M.A., SHURINA E.P. Analysis of vector finite element computational scheme for solving electromagnetic problems // Proceedings of the international conference on computational mathematics ICCM-2002. - Novosibirsk, 2002 - P. 421-426.

7. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн / Шурина Э.П., Гельбер А.В., Гельбер М.А., Эпов М.И. // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 7; №6. - С. 114-129.

8. ГЕЛЬБЕР М.А. Решение задач электромагнетизма с использованием векторного метода конечных элементов // НАУКА.

ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ. - Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых: Тез. Докладов в 5 частях. Часть 1. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002. - с. 111-112.

9. ГЕЛЬБЕР М. А. Об особенностях моделирования гармонических электромагнитных нолей в областях с разрывными коэффициентами с использованием векторного метода конечных элементов //IV Всероссийская конференция молодых ученых по ма-

' тематическому моделированию и информационным технологиям. Программа и тезисы докладов. - Институт вычислительных технологий СО РАН. - 2003. - с. 18-19.

10. ШУРИНА Э.П. ГЕЛЬБЕР М.А. Моделирование трехмерных гармонических полей в областях с разрывными свойствами с использованием векторного метода конечных элементов // Вычислительные технологии (2003, Т. 7), Региональный вестник Востока (2003, Т. 3). - Совместный выпуск по материалам Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании». Ч. III. — Новосибирск - Алматы - Усть-Каменогорск. - 2003. - с. 331-338.

11. ШУРИНА Э.П., Эпов М.И., ГЕЛЬБЕР М.А. Расчет электромагнитных гармонических полей в геофизических приложениях векторным методом конечных элементов // Труды Международной конференции «Математические методы в геофизике». Ч. I. - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2003. - с. 282-287.

12. SHURINA Е.Р., GELBER М.А. On numerical implementation of the vector finite element method for electromagnetic problems // Bulletin of Novosibirsk Computing Center: Numerical Analysis. -2003. - №12. - с 77-88.

13. ШУРИНА Э.П., ГЕЛЬБЕР М.А. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма // Сибирский журнал вычислительной математики / РАН. Сиб. Отделение - Новосибирск, 2004. - Т. 7, №1. - с. 79-95.

Подписано в печать 25.05.2004 г. Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ.л. 1,25. Заказ №338

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20

»12445

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1. Классы задач и математические модели.

1.2. Методы решения.

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННЫЕ

ФОРМУЛИРОВКИ

2.1. Уравнения Максвелла.

2.1.1. Уравнения Максвелла в частотной области

2.1.2. Переход к ДУЧП второго порядка.

2.1.3. Уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм.

2.2. Функциональные пространства и вариационные формулировки.

2.2.1. Вариационные формулировки, ориентированные наВМКЭ.

2.2.2. Задачи с ограничениями и смешанные вариационные формулировки, ориентированные наВМКЭ.

2.2.3. Потенциальные А</>-постановки и соответствующие вариационные формулировки

Глава 3. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГОВ ВАРИАЦИОННЫХ

ФОРМУЛИРОВОК

3.1. Векторные конечные элементы.

3.1.1. Векторные конечные элементы на тетраэдрах

3.1.2. Векторные конечные элементы на параллелепипедах.

3.1.3. Векторные конечные элементы на призмах

3.1.4. Интерполяционные свойства векторных конечных элементов

3.1.5. Векторные конечные элементы с точки зрения теории дифференциальных форм.

3.2. Построение базисов конечномерных пространств.

3.2.1. Скалярный и векторный базисы на тетраэдрах

3.2.2. Скалярный и векторный базисы на параллелепипедах.

3.2.3. Скалярный и векторный базисы на призмах

3.2.4. Скалярные и векторные базисы в двумерном случае

3.3. Дискретные аналоги вариационных задач.

Глава 4. ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ВМКЭ. РЕЗУЛЬТАТЫ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Особенности реализации ВМКЭ.

4.1.1. Конечно-элементное разбиение и сеточные структуры данных.

4.1.2. Размерность дискретных аналогов.

4.1.3. Структура глобальных матриц и решение СЛАУ

4.1.4. Описание комплекса программ.

4.2. Исследование интерполяционных свойств векторных конечных элементов.

4.2.1. Двумерный тест.

4.2.2. Трехмерный тест.

4.3. Моделирование электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам областях.

4.3.1. Случай разрывного е в непроводящей области

4.3.2. Случай разрывного а.

4.3.3. Проверка выполнения принципа взаимности

4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зонда в однородной среде.

Развитие вычислительной техники в последние десятилетия привело к возможности построения эффективных вычислительных алгоритмов моделирования векторных полей в неоднородных областях. Результаты моделирования электромагнитных полей широко используются при интерпретации данных физических экспериментов и разработке приборов. В связи с этим, выбор адекватных математических моделей и разработка алгоритмов численного моделирования гармонических по времени электромагнитных полей является актуальной задачей математической физики и вычислительной математики.

В физических приложениях часто возникают задачи, которые характеризуются наличием геометрических и физических неодыородно-стей по трем координатным направлениям. Промышленные устройства могут иметь сложные конфигурации, которые невозможно свести к одномерным или двумерным моделям. Широкий спектр трехмерных моделей используется в геофизических приложениях. Моделирование трехмерных векторных полей в неоднородных областях -сложная задача, требующая поиска новых подходов к ее решению.

В 80-е годы 20-го века предложен новый подход к численному моделированию трехмерных векторных полей - векторный метод конечных элементов (ВМКЭ) [122, 123]. Этот метод основан на использовании специально организованных векторных базисов, использование которых позволяет строить аппроксимации математических моделей в терминах естественных векторных переменных. Основным преимуществом ВМКЭ по сравнению с сеточными методами, работающими в терминах скалярных переменных, является возможность корректного моделирования поведения векторных полей на границах областей с различными физическими свойствами. При этом, в большинстве случаев не требуется введение дополнительных процедур, необходимых при использовании классических сеточных методов при решении задач в неоднородных областях. Кроме того, использование ВМКЭ исключает возможность возникновения ложных мод при решении задачи на собственные значения (при поиске резонансных частот), позволяет корректно аппроксимировать поля вблизи острых углов и ребер конструкций, а также естественным образом учитывать краевые условия, накладываемые на компоненты векторных полей.

Несмотря на интерес, проявляемый к ВМКЭ в последние годы, для него еще не создано единой вычислительной технологии, и исследование аспектов, связанных с применением метода для решения различных классов задач остается актуальной задачей.

Цель работы. Разработка и реализация алгоритмов на базе ВМКЭ для моделирования гармонических по времени векторных электромагнитных полей в трехмерных неоднородных областях. Теоретическое и численное исследование свойств векторных конечных элементов различных типов и постановок, ориентированных на ВМКЭ.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям.

Защищаемые положения и научная новизна:

1. Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов.

2. Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических векторных элементов Неделека 1-го типа fc-того порядка. В результате вычислительных экспериментов подтверждены теоретические оценки интерполяционных свойств векторных конечных элементов Неделека 1-го типа 1-го порядка для различных типов геометрических элементов.

3. Построены дискретные аналоги постановок в форме Галеркина, ориентированных на ВМКЭ, для моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработаны и программно реализованы алгоритмы моделирования гармонических по времени полей в неоднородных областях с использованием векторного и скалярного МКЭ.

4. Численно показано, что необходимость введения смешанных и потенциальных постановок при моделировании гармонических по времени полей с использованием ВМКЭ зависит от частоты гармонического воздействия, а также от структуры области моделирования.

Значимость работы. В работе исследован новый подход к моделированию векторных гармонических по времени полей в неоднородных областях. Разработана технология реализации ВМКЭ для геометрических элементов различных типов. Теоретически и численно исследованы интерполяционные свойства векторного метода конечных элементов. Предложенные в диссертационной работе подходы могут служить основой алгоритмов решения реальных задач электромагнетизма в различных физических приложениях. Эти аппроксимации могут быть применены при разработке вычислительных схем для решения задач с использованием методов пространственной декомпозиции, которые обеспечивают построение эффективных параллельных алгоритмов.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на:

• XXXVIX Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001),

• Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001),

• региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2001),

• Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2002 (Новосибирск, 2002),

• III Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002),

• региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых «НАУКА. ТЕХНИКА. ИННОВАЦИИ» (Новосибирск, 2002),

• Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003),

• Международной конференции «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003),

• объединенном семинаре Института вычислительных технологий СО РАН, кафедры математического моделирования Новосибирского государственного университета и кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2004),

• семинаре им. К.И.Бабенко Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2004),

• семинаре кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета (Новосибирск, 2004),

• объединенном семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. (Новосибирск, 2004).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 13 работ [2] -[6], [17], [29], [30], [32], [33], [35], [79], [146].

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (168 наименований). Работа изложена на 145 страницах, включая 28 иллюстраций.

Выводы. Построена и исследована технология реализации ВМКЭ. На базе предложенных аппроксимаций реализован комплекс программ на языке С.

Проведена верификация реализованных вычислительных схем на ряде модельных задач. В результате экспериментального исследования интерполяционных свойств параллелепипеидальных, тетраэдральных и призматических векторных конечных элементов Неделе-ка 1-го порядка подтверждены теоретические оценки интерполяционных свойств.

Серия расчетов электромагнитных полей в областях с различными типами неоднородностей подтвердила высокую эффективность ВМКЭ для решения таких задач. Показано, что введение более затратных потенциальных и смешанных постановок необходимо в случае низких частот (до 100 кГц). Для более высоких частот введение таких постановок не оправдано. Сравнение ВМКЭ со скалярным МКЭ подтвердило экономичность векторных аппроксимаций.

Проведенные исследования подтвердили высокую эффективность предложенных в данной работе вычислительных схем и их программных реализаций для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная работа посвящена разработке вычислительной технологии, базирующейся на ВМКЭ, предназначенной для для аппроксимации трехмерных гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях.

В диссертационной работе сформулированы постановки задач для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных областях. Для корректного учета дивергентных условий на границах материалов предложены задачи с ограничениями и потенциальные постановки. Построены специальные постановки в форме Галеркина, ориентированные на ВМКЭ.

Даны теоретические оценки интерполяционных свойств призматических Я (rot)-конформных конечных элементов Неделека 1-го типа к-того порядка. Введены базисы конечномерных подпространств Wlot С Я (rot; fi) и Wl С Hq(Q) для векторных элементов Неделека 1-го порядка и скалярных Лагранжевых элементов первого порядка на тетраэдральных, параллелепипеидальных, призматических, треугольных и прямоугольных конечных элементах. Построены дискретные аналоги постановок в форме Галеркина.

Предложена технология реализации ВМКЭ. Проведено исследование особенностей построения конечно-элементного разбиения и сеточной структуры данных, выполнено сравнение размерности и заполненности матриц дискретных аналогов для ВМКЭ и скалярного МКЭ. На базе предложенных аппроксимаций реализован комплекс программ на языке С.

Разработанные вычислительные схемы реализованы и проведена их верификация на ряде модельных задач. В результате численного исследования интерполяционных свойств параллелепипеидальных, тетраэдральных и призматических векторных конечных элементов

Неделека 1-го типа 1-го порядка подтверждены теоретические оценки порядка интерполяции.

Проведена серия вычислительных экспериментов по расчету гармонических по времени электромагнитных полей в областях с различными типами неоднородностей. Подтверждена высокая эффективность ВМКЭ для решения таких задач. Показано, что введение потенциальных и смешанных постановок в случае низких частот гармонического сигнала (до 100 кГц) позволяет учитывать дивергентные условия на границах сред. Введение таких постановок при более высоких частотах не оправдано. Сравнение ВМКЭ со скалярным МКЭ подтвердило экономичность векторных аппроксимаций.

Таким образом, проведенные исследования подтвердили высокую эффективность предложенных в данной работе вычислительных схем и их программных реализаций для моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по физическим свойствам средах.

Предложенные в диссертационной работе подходы могут быть использованы в качестве основы алгоритмов решения реальных задач электромагнетизма в различных физических приложениях. Разработанная технология реализации ВМКЭ может быть применена при построении вычислительных схем для решения задач с использованием методов пространственной декомпозиции, которые обеспечивают построение эффективных параллельных алгоритмов.

1. Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

2. Гельбер М.А. Исследование МКЭ-аппроксимаций с использованием векторных элементов // Материалы XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосиб. ун-т. - Новосибирск. - 2001. - с. 85.

3. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. -439 с.

4. Давыдычева С.Н., Друскин B.JI. Прямая задача расчета электромагнитного поля на оси наклонной скважины в анизотропной слоистой среде // Труды Международной Конференции «Горногеологической службе России 300 лет». С.-Петербургю -2000.-С. 19-31.

5. Дворецкий П.И., Ярмахов И.Г. Электромагнитные и гидродинамические методы при освоении нефтегазовых месторождений. М.: Недра, 1998. - 318 с.

6. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

7. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. Итерационый метод для конечно-элементных схем высокого порядка. Часть 1 Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, № 7, 2003. - 32 с.

8. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, - 2000. - 345 с.

9. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1999. - 166 с.

10. Лаевский Ю.М. О некоторых итогах развития современной вычислительной математики // Вычислительные технологии. -2002. Т. 7; № 2. - С. 74-83.

11. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений Новосибирск: Наука, 1969. - 67 с.

12. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточ-ные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

13. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн / Шурина Э.П., Гельбер А.В., Гельбер М.А., Эпов М.И. // Вычислительные технологии. 2002. -Т. 7; №6. -С. 114-129.

14. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 512 с.

15. Потапов А.П., Кнеллер Л.Е. Численное решение задачи становления магнитного диполя в скважинах много колонной конструкции // НТВ «Каротажник». Тверь, 1999. - Вып. 52. -С.76-83.

16. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

17. Сидоров В.А. Скважинные дефектоскопы-толщиномеры для исследования многоколонных скважин // НТВ «Каротажник».- Тверь, 1996. Вып. 24. - С. 83-94.

18. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 349 с.

19. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма. ОГИЗ.- Москва, Ленинград, 1948. - 539 с.

20. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

21. Табаровский Л.А., Дашевский Ю.А., Антонов Е.Ю. Квазитрехмерное моделирование гармонических электромагнитных полей // Геол. и геофиз. 1988. - №12. - С. 140-147.

22. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИ-КИЗ. Методическое руководство / Ред. Эпов М.И., Антонов Ю.Н.- Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, Издательство СО РАН, 2000. 121 с.

23. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 735 с.

24. Шурина Э.П., Гельбер М.А. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма // Сибирский журнал вычислительной математики / РАН. Сиб. Отделение -Новосибирск, 2004. Т. 7, №1. - с. 79-95.

25. Шурина Э.П., Гельбер М.А. Применение векторного метода конечных элементов для моделирования гармонических электромагнитных полей в неоднородных областях // Вестник НГУ. Новосибирск, 2004.

26. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов: Препринт 1070. ВЦ СО РАН, 1996. - 26 с.

27. A mixed face-edge finite element formulation for the 3D magne-tostatic problems / Alotto P., Delfino F., Molfino P., Nervi M., Perugia I. // IEEE Trans. Magn. 1998. - Vol. 34. - P. 2445-2448.

28. A nonlinear inversion method for 3D electromagnetic imaging using ajoint fields / Dorn O., Bertete-Aguirre H., Berryman J.G., Papanicolaou G.C. // Inverse Problems. 1999. - Vol. 15. - P. 1523-1558.

29. Adaptive multilevel methods for edge element discretization of Maxwell's equations / Beck R., Deuflhard P., Hiptmair R., Wohl-muth B. ; Preprint SC-97 66. Conrad-Zuse-Centrum, Berlin, 1997.-45 p.

30. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements // J. Comput. Phys. -1993. -Vol. 108.-P. 236-245.

31. An application of edge elements to three-dimensional nonlinear magnetostatic problems / Kanayama H., Ikeguchi S., Endo K., Kikuchi F. // GAKUTO Int. Series. 1993. - Vol. 1. - P. 149-157.

32. Arnold D. An interior penalty finite element method with discontinuous elements // SLAM J. Numer. Anal. 1982. - Vol. 19. - P. 742-760.

33. Assous F., Ciarlet P., Segre J. Numerical solution to the time-dependent Maxwell equations in two-dimensional singular domains: the singular complement method //J. Comput. Phys. -2000. Vol. 161. - P. 218-250.

34. Babuska I., Szabo B.A., Kats I.N. The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Analysis. 1981. - Vol. 18; №3.-P. 515-545.

35. Babuska I., Rheinboldt W.C. A-posteriori error estimates for the finite element method // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1978. -Vol. 12.-P. 1597-1615.

36. Barton M.L., Cendes Z.J. New vector finite elements for three dimensional magnetic field computation // J. Applied Phys. -1987. Vol. 61. - P. 3919-3921.

37. Beilenhoff K., Heinrich W. Treatment of field singularities in the finite difference approximation //Int. Micriwave Symp. Dig. -1993. Vol. 2. - P. 979-982.

38. Bermudes A., Pedreira D.G. Mathematical analysis of a finite element method without spurious solutions for computation of dielectric waveguides // Numer. Mathematik 1992. - Vol. 61. -P. 39-57.

39. Bernardi C., Maday Y., Patera A. A new nonconforming approach to domain decomposition: the mortar element method //Publications du laboratoire d*Analyse Numerique de Paris VI. -1990. 28 p.

40. Biro O., Preis K. On the use of the magnetic vector potential in the finite element analysis of three-dimensional eddy currents // IEEE Trans. Magn. 1989. - Vol. 25. - P. 3145-3159.

41. BluckM.J., WalkerS.P., PocockM.D. The extension of time-domain integral equation analysis to scattering from imperfectly conducting bodies // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. -Vol. 49.-P. 875-879.

42. Boffi D. A note on the de Rham complex and a discrete compactness property // Appl. Math. Letters. 2001. - Vol. 14. - P. 33-38.

43. Boffi D., Gastaldi L. Edge finite elements for the approximation of Maxwell resolvent operator // M2AN. 2002. - Vol. 36; № 2. -P.293-305.

44. Bokil V.A., Buksas M.W. A 2D mixed finite element formulation of the unaxial perfectly matching layer // Prepr. CP-16778-02, University of Houston. 2002. - 18 p.

45. Bossavit A. Computational electromagnetism. Academic Press, San Diego, 1998. - 324 p.

46. Bossavit A. Solving Maxwell equation in a closed cavity, and the question of spurious modes // IEEE Trans. Magn. 1990. - Vol. 26; №2.-P. 702-707.

47. Bossavit A., Verite J.C. A mixed FEM-BIEM method for solve 3D eddy current problems // IEEE Trans. Magn. 1982. - MAG-18.-P. 431-435.

48. Bourgeois В., Suignard K., Perrusson G. Electric and magnetic dipoles for geometric interpretation of three-component electromagnetic data in geophysics // Inverse problems. 2000. - Vol. 16.-P. 1225-1261.

49. Braess D. Finite elements. Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. Cambridge University Press, 2001. - 370 p.

50. Brandt A. Guide to multigrid development. // Multigrid Methods. Springer- Verlag, 1982. - P. 220-312.

51. Brenner S.C., Scott L.R. The mathematical theory of finite elements methods. Springer-Verlag, New York, 2002. - 361 p.

52. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. -Springer-Ver lag, New York, 1991.-351p.

53. Caorsi S., Fernandes P., Raffetto M. On the converges of Galerkin finite element approximations of electromagnetic eigen-problems // SIAM J. Numer. Anal. 2000. - Vol. 38. - P. 580-607.

54. Cendes Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 39583966.

55. Chen Z., Du Q., Zou J. Finite element methods with matching and nonmatching meshes for Maxwell equations with discontinuous coefficients // SIAM J. Numer. Anal. 2000. - Vol. 37; № 5. - P. 1542-1570.

56. Cioni J.-P., Fezoui L., Issautier D. High order upwind schemes for solving time-domain Maxwell equation // La Recherche Aerospatiale. 1994, №5. - P. 319-328.

57. Computation of 3D current driven skin effect using current vector potential / Biro O., Preis K., Reinhart W., Vrisk G., Richter F. // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29. - P. 1325-1332.

58. Computation of optical modes inside axisimmetric open cavity resonators / Chinellato O., Arbenz P., Streiff M., Geus R.; Preprint: FGSC. Zurich, 2003. - 20 p.

59. Cooray F., Costache G. An overview of the absorbing boundary conditions // J. Electromagn. Waves Appl. 1991. - Vol. 5; №10. -P. 1041-1055.

60. Couliette D.L., Koch M. On the difficulties and remedies in enforcing the div=0 condition in the finite element analysis ofthermal plumes with strongly temperature-dependent viscosity // Int. j. numer. methods fuids. 1994. - Vol. 18. - P. 189-214.

61. Deuflhard P., Friese Т., Schmidt F. A nonlinear multigrid eigenproblem solver for the complex Helmholtz equation // Preprint SC-97 55. Conrad-Zuse-Centrum, Berlin, 1997. - 26 p.

62. Di Barba P., Savini A., Perugia I. Mixed finite elements for the simulation of fields and forces in electromagnetic devices // IEEE Trans. Magn. 1998. - Vol. 34. - P. 3572-3575.

63. Dyczij-Edlinger R., Peng G., Lee J.-F. A fast vector potential method using tangentially continuous vector finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. P. 863-868.

64. Eddy current computations using adaptive grids and edge elements / Liu Y.Q., Bondeson R., R. Bergstrom, Johnson C., Larson M.G., Samuelson K. // IEEE Trans. Magn. 2002. - Vol. 38; №2. - P. 449-452.

65. Electromagnetics via the Taylor-Galerkin finite element method on unstructured grids / Ambrosiano J., Brandon S. Lohner R., DeVore C.R. // J. Comput. Phys. 1994. №. 110. - P. 546-569.

66. V. Cingoski, H. Yamashita An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements // J. Applied Phys. 1994. - Vol.75; №10. - P. 60426044

67. EngquIST В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Math. Comput. 1977. - Vol. 31. -P. 629—651.

68. Fast simulation of 3D electromagnetic problems using potentials / Haber E., Ascher U.M., Aruliah D.A., Oldenburg D.W. // J. Comput. Phys. 2000. - Vol. 163. - P. 150-171.

69. Finite element model for MOI applications using AV formulation / Xuan L., Shanker B., Udpa L., Shin W., Fitzpatrick G. // Review of progress in quantitative nondestructive evaluation. 2001. - Vol. 20.-P. 385-391.

70. GelbeR M.A., Shurina E.P. Analysis of vector finite element computational scheme for solving electromagnetic problems // Proceedings of the international conference on computational mathematics ICCM-2002. Novosibirsk, 2002 - P. 421-426.

71. Givoli D. Numerical methods for problems in infinite domains. -Elsevier, Amsterdam, 1992. 293 p.

72. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Springer-Verlag, Berlin, 1986. - 376 p.

73. Gradinaru V., Hiptmair R. Whitney elements on pyramids // Electronic Trans. Numer. Analysis. 1999. - Vol. 8. - P. 151-168.

74. GreenBaum A. Iterative methods for solving linear system. -SLAM, 1997. 220 p.

75. Hackbusch W. Multi-Grid methods and Applications. Springer-Verlag, 1985. - 220 p.

76. Heise В., Kuhn M., Langer U. A mixed variational formulation for 3D linear and nonlinear magnetostatics in the space #o(rot) n #o(div) // HEJ Manuscript no.: ANM-981030-A. 1998. - 16 p.

77. Hermeline F. Two coupled particle-finite volume methods using Delaunay-Voronoi meshes for the approximation of Vlasov

78. Maxwell equations // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 106 - P. 118.

79. Hiptmair R. Canonical construction of finite elements // Math. Сотр. 1999. - Vol. 68. - P. 1325-1346.

80. Hiptmair R. Finite elements in computational electromagnetism //Acta Numerica. Cambridge, 2002. - P. 237-339.

81. Hjelt S.-E., Pirttijarvi M. Some characteristics of the conducting plate model in the inversion of geophysical electromagnetic data // Inverse Problem. 2000. - Vol. 16. - P. 1209-1216.

82. Hybrid time domain solvers for the Maxwell equations in 2D / Arbenius E., Andersson U., Edelvik F., Eriksson L., Ledfeld G. // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002. - Vol. 53. - P. 2185-2199.

83. Igarashi H. On the property of the curl-curl matrix in finite element analysis with edge elements // IEEE Trans. Magn. 2001. - Vol. 37; № 5. - P. 3129-3132.

84. Igarashi H., Honma T. On convergence of ICCG applied to finite-element equation for quasy-static fields // IEEE Trans. Magn. -2002. Vol. 38; №2. - P. 565-568.

85. Igataki M., Brebbia C.A. Generation of higher order fundamental solutions to the two-dimensional modified Helmholtz equation // Eng. Analysis with Bound. Elem. 1993. - Vol. 11; № 1. -P.87-90.

86. Iwashita Y. PISCESII: 2.5D RF cavity code with high accuracy: Proc. of ЮАР*98. Monrerray, 1998. - P.136-138.

87. Jackson J. Classical electrodinamics. New York, Wiley, 1962. -839 p.

88. Jiang B.N., Wu J., Povinelli L.A. The origin of spurious solutions in computational electromagnetics // J. Comput. Phys. -1996. Vol. 125. - P. 104-123.

89. Jin J. The finite element method in electrodynamics. Wiley, New York, 1993. - 464 p.

90. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Block-iterative frequency-domain methods for Maxwell's equations in a plainwave basis // Optics express. 2000. - Vol. 8; №3. - P. 173-190.

91. Kanayama H. Large-scale magnetic field analysis // Annual Report ADV-99-1. 1999. - 12 p.

92. Kanayama H., Kikuchi F. 3-D eddy current analysis using the Nedelec elements // Proceedings of ICES'97. 1997. - P. 277-282.

93. Kikuchi F. Mixed and penalty formulations for finite element analysis of an eigenvalue problem in electromagnetism // Comput. Meth. Applied. Mech. Engin. 1987. - Vol. 64. - P. 509-521.

94. Kunze M., Heinrich W. Efficient FD formulation for lossy waveguide analysis based on quasy-static field characteristics // IEEE Microwave and Guid. Wave Lett. 1999. - Vol. 9; №12. - P. 499501.

95. Lacoste P. Solution of Maxwell equation in axisymmetric geometry by Fourier series decomposition and by use of Я (rot) conforming finite element // Numer. Math. 2000. - Vol. 84. - P. 577-609.

96. Lacour C. Iterative solution preconditioners for the mortar finite element method // Proceedings of Ninth International Conference on Domain Decomposition Methods. 48,1998. - P. 759-769.

97. Lakhtakia A., Weiglhofer W.S. Time-harmonic electromagnetic fields in source regions in a simple uniaxial bianisotropic medium // Int. J. Applied Electromagnetics in Materials. 1994. -№5.-P. 101-108.

98. Lee J.-F. Finite element analysis of lossy dielectric waveguides // IEEE Trans. Micr. Theor. Tech. 1992. -MTT-42. - P. 1025-1031.

99. Lee J.-F., Lee R., Cangellaris A. Time domain finite elements method // IEEE Ant. Prop. 1997. - Vol. 45. - P. 430-441.

100. Lee S.-C., Lee J.-F., Lee R. Hierarchical vector finite elements for analyzing wave guiding structures // IEEE Trans. Magn. -2003. Vol. 51; №8. - P. 1272-1298.

101. Lee R.L., Madsen N.K. A mixed finite element formulation for Maxwell's equations in the time domains //J. Comput. Phys. -1990. Vol. 88. - P. 284-304.

102. Lee J.-F., Sun D.K., Cendes Z.J. Full-wave analysis of dielectric waveguides using tangential vector finite element method // IEEE Trans. Microwave Theor. Tech. 1991. - Vol. 39; № 8. - P. 12621271.

103. Leonard P., Rodger D. Finite element scheme for transient 3D eddy currents // IEEE Trans. Magn. 1988. - Vol. 24. - P. 90-93.

104. Lynch D.R., Paulsen K.D. Origin of vector parasites in numerical Maxwell solutions // IEEE Trans. Microwave Theor. Tech. 1991. - Vol. 39; №3. - P. 383-394.

105. Madsen N., Ziolkowski R. A 3 dimensional modified finite volume technique for Maxwell's equations // Electromagnetics. -1990. Vol. 10; № 1. - P. 147-161.

106. Mahadevan К., Mittra R. Radar cross section computation of inhomogeneous scatteres using edge based finite element method in time and frequency domains // Radio Science. 1993. - Vol. 8; №6.-P. 1181-1193.

107. Maxwell C. A treatise on electricity and magnetism. Clarendon Press, England, 1904. - 255 p.

108. Mayergoyz I.D., D'Angelo J. A new point of view on tpe mathematical structure of Maxwell's equations // IEEE Trans. Magn. -1993. Vol. 29; №2. - P. 1315-1320.

109. Methods for eddy current computations in three dimensions / Bid-dlecomb C., Heighway E., Simkin J., Trowbridge C. // IEEE Trans. Magn. 1982. - Vol. 18. - P. 492-497.

110. MONK P. An analysis of Nedelec's method for spatial discretization of Maxwell's equations // J. Comput. and Applied Math. 1993. -Vol. 47.-P. 101-121.

111. Monk P. Analysis of a finite element method for Maxwell's equations // SIAM J. Numer. Anal. 1992. - Vol. 29. - P. 714-729.

112. Monk P., Demcowicz L., Vardapetyan L. Discrete compactness and the approximation of Maxwell's equations in K3 // Mathematics of Computation. 2001. - Vol. 70. - P. 507-523.

113. Munz C.-D., Schneider R., Voss U. A finite-volume method for the Maxwell equations in the time domain // SIAM J. Sci. Comput. 2000. - Vol. 22; № 2. - P. 449-475.

114. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 // Numer. Math. -1980. -Vol. 35.-P. 315-341.

115. Nedelec J.С. A new family of mixed finite elements in r3 // Numer. Math. 1986. - Vol. 50. - P. 57-81.

116. Newman G.A., Alumbaugh D.L. Frequency-domain modelling of air-borne electromagnetic responses using staggered finite differences // Geophys. Prospecting 1995. - Vol. 43. - P. 1021-1042.

117. Newman G.A., Hoversten G.M. Solution strategies for two-and three-dimensional electromagnetic inverse problems // Inverse Problems. 2000. - Vol. 16. - P. 1357-1366.

118. Oden J. Т., BabuskaI., Baumann C.E. A discontinuous hp finite element method for diffusion problems // J. Comput. Phys. 1998. -Vol. 146.-P. 491-519.

119. On a finite-element method for solving the three-dimensional Maxwell equations / Assous F., Degond P., Heintze E., Raviart P.A., Segre J. // J. Comput. Phys. 1993. - Vol. 109. - P. 222-237.

120. PaulsenK.D., Lynch D.R., Strobehn J.W. Three-dimensional finite, boundary and hybrid element solutions of the Maxwell equations for lossy dielectric media // IEEE Trans. Microw. Theory Tech. 1998. - Vol. 36. - P. 27-42.

121. Pekel U., Mittra R. A finite element method frequency domain application of the PML concept // Microwave and Optical Tech. Lett. 1995. - Vol. 9; №3. - P. 117-122.

122. Perugia I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation // Numer. Math. 1999. - Vol. 84. - P. 305-326.

123. Perugia I., Schotzau D. The hp-local discontinuous Galerkin method for low-frequency time-harmonic Maxwell equations // Math. Сотр. 2003. - Vol. 72. - P. 1179-1214.

124. Polsyanko S.V., Lee J.-F. Two-level hierarchical FEM method for modeling passive microwave devices // J. Comput. Phys. -1998. Vol. 140. - P. 400-420.

125. Quarteroni A., Valli A. Domain decomposition methods for partial differential equations. Springer-Verlag, 1999. - 390 p.

126. Quasi-static conductor loss calculations in transmission lines using a new conforming mapping technique / Tuncer E., Lee B.-T., Islam M.S., Neikirk D.P. // IEEE Trans. Microwave Theor. Tech. -1994. Vol. 42. - P. 1807-1815.

127. Rapetti F., Toselli A. A FETI preconditioner for two dimensional edge element approximations of Maxwell's equations on non-matching grids // SIAM J. on Scient. Сотр. 2001. - Vol. 23; № 1. -P. 92-108.

128. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems // Lecture Notes in Math. Springer, 1977. - Vol. 606. - P. 292-315.

129. Riley D.J., Turner C.D. VOLMAX: A solid-model-based, transient volumetric Maxwell solver using hybrid grids // IEEE Antennas Propagat. 1997. - Vol. 39; № 1. - P. 20-33.

130. Rodrigue G., White D. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexa-hedral grids // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; №3. -P.683-706.

131. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996. - 493 p.

132. Scales J.A., Snieder A. The anatomy of inverse problems // Geophysics. 2000. - Vol. 65; №6. - P. 1708-1710.

133. Shankar V., Hall W., Mohammadian H. A CFD-based finite volume procedure for computational electromagnetics interdisciplinary applications of CFD methods // AIAA Report. -1989.-P. 551-564.

134. Sheen D. Approximation of elecrtomagnetic fields: part I. Continuous problems // SIAM J. Appl. Math. 1997. - Vol. 57; №6. - P. 1716-1736.

135. Shen J. Computational electromagnetics using boundary elements. Computational mechanics publications, Boston. - 1994. -P. 58-112.

136. Shurina E.P., Gelber M.A. On numerical implementation of the vector finite element method for electromagnetic problems // Bulletin of Novosibirsk Computing Center: Numerical Analysis. -2003. -№12.- c. 77-88.

137. Shurina E.P., Solonenko O.P., Voitovich T.V. Technologies of finite volume-finite element method for the solution of convection-diffusion problems on unstructured grids //Вычислительные технологии. 2002 - Т. 7; № 3. - C.98-120.

138. Silvester P.P., Ferrari R.L. Finite elements for electrical engineers. Cambrige University Press, Cambridge, 1990. - 425 p.

139. Stabilization techniques for domain decomposition methods with non-matching grids / Brezzi F., Franca L.P., Marini L.D., Russo A. //Proceedings of Ninth International Conference on Domain Decomposition Methods. 37, 1998. - P. 29-38.

140. Taflove A. Review of the formulation and applications of the finite-difference time-domain method for numerical modeling of electromagnetic wave interactions with arbitrary structures // Wave Motion. 1988. - Vol. 10; №. 6. - P. 547-582.

141. Taflove A., Umashankar K. Radar cross-section of general three-dimensional scatterers // IEEE Trans. Electromagn. Compat.- 1983. Vol. EMC-25. - P. 433-440.

142. The mortar edge element methods in three dimensions: application to magnetostatics / Bouillault F., Buff a A., Maday Y., Rapetti F. // SIAM J. Sci. Comput. 2002. - Vol. 24. - P. 1303-1327.

143. TOSELLI A. Overlapping Schwartz methods for Maxwell*s equations in three dimensions // Electron. Trans. Numer. Anal. 2000.- Vol. 86; № 4. P. 733-752.

144. TSAI H.P., Wang Y., Itoh T. An unconditionally stable extended (USE) finite-element time-domain solution of active nonlinear microwave circuits using perfectly matching layers // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2002. - Vol. 50; №10. - P. 2226-2232.

145. Wang T., Hohmann G. W. A finite-difference time-domain method for three-dimensional electromagnetic modelling // Geophysics.- 1993. Vol. 58. - P. 797-809.

146. Warnick K.F., Arnold D.V., Selfridge R.H. Differential forms in electromagnetic field theory // Proceedings of IEEE Antenna Propagation Symposium. -1996. P. 1474-1477.

147. Webb J.P. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29; № 2. - P. 1460-1465.

148. Webb J.P., Forghani B. Hierarchal scalar and vector tetrahedra // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29. - P. 1495-1498.

149. Weil and T. On the unique numerical solution of Maxwellian eigenvalue problems in three dimensions // Part Accel. 1985. - Vol. 17.-P. 227-242.

150. White D. Numerical modeling of optical gradient traps using the vector finite element method //J. Comput. Phys. 2000. - Vol. 159.-P. 13-37.

151. Whitney H. Geometric integration theory. Princeton University Press, 1957. - 387 p.

152. Winslow A.M. Numerical solution of quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangular mesh // J. Comput. Phys. 1967. -Vol. 2.-P. 149-172.

153. Wojcik G., Mould J., West L.C. Time-domain finite element modeling of 3D integrated optical devices // Optical Society of America: technical digest series (integrated photonic research). -1993. Vol. 10. - P. 112-115.

154. Wu J.-Y., Lee R. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1997. - Vol. 45; № 9. -P. 1431-1437.

155. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1966. - Vol. 14. - P. 302-307.

156. Yioultsis T.V., Tsiboukis T.D. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media // IEEE Trans. Magn. 1995. - Vol. 31; №3. - P. 1550-1553.

157. Zhou X. Physical spline finite element (PSFEM) solutions to one-dimensional electromagnetic problems // Progress in electromagnetic research. 2003. - Vol. 40. - P. 271-294.

158. Zienkievicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Basic formulation and linear problems. Vol. 1. - McGraw-Hill, London, 1989. - 398 p.