автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы моделирования гармонических электромагнитных полей

На правах рукописи

Бутюгин Дмитрий Сергеевич

Методы моделирования гармонических электромагнитных полей

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 * МАП 2013

Новосибирск — 2013

005059097

005059097

Работа выполнена на кафедре Вычислительной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет"

(Новосибирский государственный университет, НГУ).

Научный доктор физико-математических наук, профессор

руководитель: Ильин Валерий Павлович

Официальные Мацокин Александр Михайлович,

оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН), заведующий лабораторией

Кудрявцев Алексей Николаевич,

кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук, старший научный сотрудник

Ведущая Федеральное государственное бюджетное образова-

организация: тельное учреждение высшего профессионального образования "Новосибирский государственный технический университет"

Защита состоится 30 апреля 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук (ИВМиМГ СО РАН), расположенном по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 29 марта 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Сергей Борисович Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Проблема моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени возникает при исследовании излучения электромагнитных волн в многочисленных электрофизических устройствах: мобильные телефоны, микроволновые печи, различные антенные устройства, а также в ряде задач геоэлектроразведки. Высокие требования к точности расчетов вызваны необходимостью обработки сложной геометрии расчетной области в присутствии разномасштабных объектов и наличии сред с высококонтрастными физическими параметрами. При этом естественным оказывается желание построить единообразный подход к решению всех указанных выше задач, учитывая в то же время их специфику.

Решение данной проблемы требует построения трехмерных адаптивных неструктурированных сеток с большим (10е 107) числом узлов, что делает задачу вычислительно сложной. Аппроксимация непрерывных постановок с использованием метода векторных конечных элементов (МКЭ) высоких порядков приводит к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с большим числом степеней свободы. Матрицы получаемых систем являются комплексными, пеэрмитовыми, знаконеопределенными и плохо обусловленными. Решение таких СЛАУ часто оказывается невозможным без использования современных многопроцессорных вычислительных систем (МВС), а также эффективных и экономичных параллельных иредобусловлепных итерационных методов, поскольку прямые алгоритмы требовательны к вычислительным ресурсам и потребляют большое количество памяти.

Важным этапом построения и апробации вычислительных моделей является проведение численного эксперимента, причем обработка полученных результатов может оказаться довольно нетривиальной задачей. Необходимость постобработки решения, представленного в виде коэффициентов разложения по базисным функциям и распределенного по разным процессам, а также вычисления различных целевых функционалов может приводить к отдельным сложным вычислительным проблемам. В связи с этим большую роль приобретает автоматизация процесса построения конечно-элементных аппроксимаций. Не менее важным является н наглядное представление решения в графическом виде. Здесь можно отметить проблему визуализации и построения различных срезов сложных разномасштабных электромагнитных полей, нестационарных по своей природе. Данная задача является алгоритмически сложной и может потребовать использования существенных вычислительных мощностей, включая графические ускорители.

Актуальность задачи подтверждена большим количеством исследований отечественных и зарубежных авторов, посвященных данной тематике. В работах Монка, Алонсо, Хиптмаера, Альбанезе, Дикци-Эдлингера, Хабера, Грейфа, Григорьева А. Д., Урева М. В., Кремера И. А., Соловейчика Ю. Г., Персовой М. Г., Шуриной Э.П. и многих других рассматриваются подходы, связанные с решением задач в пространствах Соболева, использованием конечно-объемных аппроксимаций, переформулировкой задачи нахождения электрического поля Е на проблему поиска ряда других вспомогательных функций, построением различных предобуславливателей, а также различными вариантами регуляризации задачи. Здесь можно отметить подходы, связанные с калибровкой на основе деревьев и кодеревьеви регуляризацией при помощи вспомогательных членов.

В настоящее время имеется ряд зарубежных и отечественных пакетов прикладных программ (ППП), таких как Ansoft HFSS, CST Microwave Studio, SPEAG SEMCAD, Radio Frequency Simulator и ряда других, предназначенных для расчета электромагнитных полей высокой и низкой частоты. Тем не менее, многие из перечисленных методов и программных реализаций имеют определенные недостатки либо ограничения на область применимости. Можно отметить также и высокую стоимость лицензии на многие из данных продуктов, достигающую 100000 долларов в год. Поэтому разработка новых экономичных, надежных и эффективных вычислительных методов и программных технологий моделирования гармонических электромагнитных полей является актуальной научной и практической проблемой.

Цель диссертационной работы состоит в комплексном исследовании методов моделирования электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени, включающих оригинальные формулировки задач, построение и исследование конечно-элементных аппроксимаций с высоким разрешением, разработку итерационных методов решения СЛАУ и постобработки полученных решений.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• Построение обобщенных формулировок классических, смешанных и регуляризованных задач для полей с гармонической зависимостью от времени, исследование вопросов их разрешимости, а также конструирование оптимальных по порядку предобуславли-вающих операторов.

• Построение и теоретическое и численное обоснование сходимости схем для аппроксимации рассматриваемых постановок задач ко-

нечными элементами Неделека высоких порядков, в том числе при наличии сингулярностей в решениях.

• Разработка эффективных параллельных предобусловленных итерационных методов для МВС с общей и распределенной памятью, ориентированных на решение больших СЛАУ, возникающих в результате аппроксимации вариационных формулировок иерархическими векторными базисными функциями.

• Разработка концепции и реализация параллельного пакета прикладных программ ПЫгпЬоНг.'Ш, решение методических и практических задач геоэлекроразведки и моделирования СВЧ устройств.

Научная новизна

1. Построены обобщения смешанных и регуляризованных постановок задач электромагнетизма для случая комплексной диэлектрической проницаемости при ненулевой проводимости среды, предложены эффективные спектрально эквивалентные предобуслав-ливающие операторы.

2. Проведено исследование сходимости конечно-элементных решений при использовании элементов Неделека 1-го и 2-го рода высоких порядков и апостериорного анализа ошибки с локальным сгущением неструктурированных тетраэдральных сеток в окрестности сингулярностей. Предложены подходы к автоматизации построения алгоритмов для МКЭ аппроксимаций с применением символьных вычислений и технологий оптимизаций выражений.

3. Предложены эффективные многоуровневые параллельные итерационные методы в подпространствах Крылова для решения больших распределенных СЛАУ, возникающих при дискретизации краевых задач электромагнетизма, ориентированные на вычислительные системы с общей и распределенной памятью. Построенные предобуславливатели включают в себя параллельные алгебраические мультисеточные методы и грубосеточную коррекцию с использованием блочной структуры СЛАУ при аппроксимации вариационных постановок иерархическими базисными функциями высоких порядков.

4. Разработана концепция и программная реализация расширяемого пакета Не1т1ю11гЗО, проанализированы и выбраны наиболее

подходящие для построения такого пакета вычислительные технологии и предложен подход к отображению вычислительных алгоритмов на МВС с распределенной и общей памятью.

Практическая значимость. В рамках работы реализован пакет параллельных прикладных программ Не1тЬоН2.'Ю, предназначенный для расчетов гармонических электромагнитных полей в устройствах СВЧ, а также для решения прямых задач геоэлектроразведки.

Исследования были поддержаны грантами РФФИ №11-01-205 и Президиума РАН №2.5, а также ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики" в рамках контракта №11.034.31.0019.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Непрерывные и дискретные математические модели электромагнетизма в классической, смешанной и регуляризованной вариационных постановках для решения смешанных краевых задач электромагнетизма с гармонической зависимостью полей от времени, включал построенные оптимальные по порядку предобуславлива-ющие операторы.

2. Методы автоматизированного построения аппроксимаций векторными конечными элементами Неделека первого и второго рода высоких порядков на адаптивных неструктурированных тетраэдральных сетках, учитывающих особенности решений.

3. Алгоритмы декомпозиции области и решения разреженных конечно-элементных СЛАУ электромагнетизма, возникающих как результат аппроксимации вариационных формулировок задач, на МВС с общей и распределенной памятью.

4. Открытый расширяемый пакет прикладных программ Не1тЬоигЗВ для решения прямых задач геоэлектроразведки и моделирования различных СВЧ устройств, таких как антенны мобильных телефонов, микроволновые печи и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях: объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН и кафедры вычислительной математики НГУ, декабрь 2012; семинаре кафедры прикладной математики НГТУ, январь 2013; семинаре по геоэлектрике ИНГГ СО РАН, январь 2013; международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, 2008); международной научной студенческой конференции

"Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2009, 2010, 2012); international conference "Progress in Electromagnetics Research Symposium" (PIERS-2009, Москва, 2009); конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 2009, 2010, 2012); сибирской конференции по параллельным и высокопроизводительным вычислениям (Томск, 2009, 2011); Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики" (Абрау-Дюрсо, 2010, 2012); международной школе-конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 2011); международной научной конференции "Параллельные вычислительные технологии" (Москва, 2011; Новосибирск, 2012); международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика" (Новосибирск, 2011); Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011 (Новосибирск, 2011); international Young Scientists Conference "High Performance Computing and Simulation" (Амстердам, 2012); Всероссийской научно-технической конференции "Микроэлектроника СВЧ" (Санкт-Петербург, 2012); Всероссийской конференции "Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования" (Новосибирск, 2012); Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 20 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1-4], 7 статей в сборниках трудов конференций и 9 тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работах [5—8] автору принадлежит разработка подходов к решению комплексного уравнения Гельмгольца векторными методами конечных элементов, а также итерационных решателей для СЛАУ электромагнетизма и проведение численных экспериментов с использованием МКЭ. В работах [3, 9] автором исследованы вопросы проектирования модульных алгоритмов и отображения их на существующие аппаратные платформы. В [3] автору дополнительно принадлежит разработка алгоритмов экономичной декомпозиции, получение оценок эффективности разработанных алгоритмов, а также проведение численных экспериментов для СЛАУ электромагнетизма.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации 173 страницы, включая 19 рисунков и 14 таблиц.

Библиография включает 101 наименование на 12 страницах.

Содержание работы

Во введении кратко обоснована практическая и теоретическая актуальность проблемы, сделан обзор подходов к решению задач электромагнетизма, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе содержится исследование трехмерных математических моделей электромагнетизма. Рассматривается полная система дифференциальных уравнений Максвелла и векторное комплексное уравнение Гельмгольца

V х х Ёа) - к1егЁа = 1к0го/а, (1)

для амплитуд напряженности электрического поля Еа в случае гармонической зависимости от времени. Решения соответствующих краевых задач ищутся в ограниченной односвязной области О с липшицевой границей 9П = ГуЕ, на каждой из частей которой поставлены условия

пх Ёа = п х Е0, пх Йа = п х Н0, (2)

1Г 1Е

где п — внешняя нормаль к границе, а Е0, Щ — заданные функции координат. После введения стандартных соболевских пространств II1 (П) и НгЫ'(0.), а также их подпространств V и 5 для учета краевого условия на Г, записывается вариационная постановка задачи. Приводится обоснование существования и единственности решения данной задачи [15], а также доказывается оценка

||-^||нгп1(П) < С1 (||Л||(£,2(П))3 + ||Я0||(Я1/2(Е))3 + ||Яг||я«*(П)) • (3)

Построены обобщения вариационных формулировок для смешанной задачи с множителем Лагранжа

а(Ё,ф) + Ъ-(р,ф) = Щ,), ЩеУ, Ъ{Ё,д) = 1(д), Уд ев,

и постановки задачи с регуляризирующим параметром

а(Ё,ф)+рЬ*(С-1ВЕ,ф) = Ь{ф) + Ъ*{р,ф),

с(р,д) = (/3 - к1)1{4) - ЦЧд),

(4)

Р е С, р фк%

в случае комплексного èr при наличии проводимости. Здесь L и I — непрерывные линейные функционалы, а решения для В и р и ищутся в пространствах V и S соответственно. Билинейные формы a, b, Ь* и с определены как

a(û, v) = s(iï, v) — кдт(и, v), b(iï, q) = т(й, Vç), и, v € HTOt, . . b*(p,v) = m(Vp,v), c(p, g) = m(Vp, Vg), p,q&Hl,

a билинейные формы s, m : HTOt x //rot —» С заданы соотношениями

s(u,v) =

Air1(V x u) ■ (V x m(u, v) = Jéru • vdfi. (7)

Î7

Найдены достаточные условия разрешимости данных задач, доказана непрерывная зависимость их решений от правой части, а также установлено равенство решений для Е в обоих постановках задачи.

Для данных формулировок предложены оптимальные по порядку предобуславливающие операторы. Показано, что спектр предобу-словленной регуляризованной задачи отделен от нуля и состоит из собственных значений

А+ = 1, Л<= (8)

где Кг — максвелловские собственные числа, связанные с резонансными частотами и являющиеся ненулевыми решениями собственной проблемы для Е € V и к € С:

ф) = кт(Е, ф), Уфе V. (9)

В случае смешанной задачи спектр состоит из значений А+, А^ и А_ = —/3/(/3 — А-,-,). При достаточно малом шаге сетки К число обусловленности соответствующих предобусловленных дискретных задач не зависит от /г, и в случае ¡3 € К, /3 > 2/сд может быть оценено как

к<1 + Р/ск, ск=тт\кг-к%\ - 3, ¿>0. (10)

Помимо этого, доказана возможность использования предобусловленных постановок для поиска резонансных частот системы.

Описано построение дискретных аналогов вариационных краевых задач на основе Н1- и //^'-конформных конечных элементов высоких порядков и приведено обоснование квази-оптимальной сходимости данных методов для используемых в работе иерархических базисных функции порядка I = 1,..., 4.

Доказано выполнение теорем об оптимальном предобуславли-вании смешанной и регуляризованной задач на конечно-элементном уровне. Для предоубсловленных матриц получены оценки числа обусловленности. Кроме этого, предложен подход для поиска резонансных частот с использованием обобщенных задач на собственные числа для регуляризованной и смешанной формулировок задач.

Результаты первой главы опубликованы в работах [5, 7, 10, 11].

Во второй главе обсуждаются предобусловленные итерационные алгоритмы, предлагаемые для решения больших СЛАУ вида

Au = /, (11)

возникающих в результате аппроксимации вариационных краевых задач. Приводится описание ряда итерационных методов в подпространствах Крылова [16], подходящих для решения комплексных симметричных неэрмитовых СЛАУ со знаконеопределенным спектром. Для решения задач на MB С с общей памятью построены параллельные алгебраические мультисеточные предобуславливатели (algebraic multigrid methods, AMG) на иерархических базисах, использующие рекурсивные итерационные Крыловские процессы. В качестве оператора сглаживания используется итерация симметричной последовательной верхней релаксации (SSOR), для которой предложены подходы к распараллеливанию [1, 12].

Для решения задач па МВС с распределенной памятью необходимо провести разделение задачи на подзадачи. Предложено два метода — геометрической и алгебраической — экономичной декомпозиции области, приведены оценки их трудоемкости. Для метода геометрической декомпозиции с использованием упрощенных BSP-деревьев доказано существование и единственность решения при выполнении некоторых естественных условий [2].

В качестве распределенных методов решения СЛАУ используется итерационный процесс FGMRES (Flexible GMRES) совместно с аддитивным методом Шварца в качестве предобуславливателя. При использовании алгоритма FGMRES допускается приближенное обращение предобуславливателей, за счет чего существенно повышается эффективность алгоритма. Построен алгебраический метод грубосеточ-ной коррекции (coarse grid correction, CGC) для ускорения внешних итераций по подобластям, а также рассмотрено его введение в качестве предобуславливателя [4]. Для грубосеточиой коррекции предлагается использовать итерации в подпространстве следов, что позволяет снизить коммуникационные потери алгоритма.

Рис. 1. Архитектура пакета Helmholtz3D

Третья глава содержит описание разработанных и активно используемых в работе вычислительных и программных технологий. На рис. 1 схематично представлена архитектура расширяемого ППП Helmholtz3D. В главе обсуждаются аспекты его проектирования и реализации, а также возможность интеграции со сторонними модулями. Предложена и реализована методология автоматизации построения конечно-элементных аппроксимаций высоких порядков с применением символьных вычислений. В главе проанализированы различные алгоритмические оптимизации и оптимизации кода итерационных методов для повышения их быстродействия на современных МВС, в частности, подходы к реорганизации обращений к памяти, повышению быстродействия решателей на NUMA-системах (non-uniform memory access), а также пути снижения коммуникационных потерь.

Помимо этого, исследуются технологические аспекты постобработки и визуализации геометрических объектов расчетной области. Обсуждаются вопросы динамической визуализации электромагнитных полей, нестационарных по своей природе. Приводится описание методов и используемых технологий визуализации пакета Helmholtz3D.

Результаты третьей главы опубликованы в работах [1, 9, 13].

В четвертой главе обсуждаются результаты проведенных численных экспериментов по моделированию электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени в модельных и практических задачах геоэлектроразведки и проектирования СВЧ устройств.

Представлены результаты исследования сходимости конечно-элементных решений на последовательности сгущающихся сеток, в том числе для областей, содержащих входящие ребра, когда решение имеет особенности. Предложенный способ апостериорной оценки локальной ошибки в тетраэдрах и методика адаптивного сгущения сетки иозво-

ляет уменьшить глобальную интегральную ошибку и обеспечить оптимальный порядок сходимости О (И1) в норме #гЫ(П), включая случай решений с сингулярностями на ребрах расчетной области. Сходимость конечно-элементных решений, в сравнении с численным решением для I = 3 на самой мелкой сетке, а также результат адаптивного сгущения сетки для задачи с волноводом и резонатором с диэлектрической пластиной изображен на рис. 2.

Рис. 2. Волновод с резонатором и диэлектриком: а) сетка после адаптивного сгущения и б) относительная ошибка конечно-элементных решений

Экспериментально подтверждена возможность использования предобусловленных постановок задач для поиска резонансов. Проведенные численные расчеты подтверждают установленный теоретически порядок сходимости резонансных частот О (к21).

В главе также приводится сравнительных анализ эффективности предложенных итерационных алгоритмов на представительном наборе задач. Результаты исследования производительности и масштабируемости предобусловленных параллельных итерационных методов для систем с общей (параллелизм ОреиМР) и распределенной (МР1) памятью при решении задачи электромагнитного каротажа представлены в табл. 1 и 2 соответственно. В расчетной области используется сетка с 490282 тетраэдрами, число неизвестных СЛАУ при аппроксимации базисными функциями порядка I = 3 равно 8946864, максимальное количество построенных во время декомпозиции подобластей для параллельного решения решения задачи равно 512.

В таблицах приведены значения п — количество внешних итераций распределенного решателя, % и пг - общее количество внешних и внутренних (в предобуславливателе АМв) итераций ОрепМР реша-

Таблица 1. Результаты тестирования параллельного метода FGMR.ES с А МО для задачи электромагнитного каротажа

Количество ОрепМР потоков

1 2 4 8 16 32

m 14 14 14 14 14 14

п2 33 33 33 33 33 33

t 7.5еЗ 4.1еЗ 2.2еЗ 1.3е3 8.8е2 6.1е2

Таблица 2. Результаты тестирования кластерного метода FGMRES с AMG и CGC для задачи электромагнитного каротажа

Количество подобластей (MPI процессов)

4 8 16 32 64 128* 256* 512*

п 14 19 19 36 35 36 38 42

пс 86 131 148 310 310 341 383 445

пл 49 61 61 111 109 113 123 126

t 8.8е2 4.9е2 2.3е2 1.9е2 9.2е1 6.2е1 5.5е1 4.9е1

теля, пс — общее количество итераций грубосеточной коррекции, п\ — максимальное количество внешних итераций метода FGMRES в подобластях, t — время решения СЛАУ в секундах. При числе MPI процессов больше 64 запускалось более одного процесса на узел с пропорциональным уменьшением числа используемых ОрепМР потоков, так как всего в распоряжении имелось 64 узла кластера. Результат решения данной задачи показал хорошее соответствие с данными других авторов, полученных методом выделения поля источника, при этом расхождение вычисленной разности фаз ЭДС в приемниках составило 1.8%.

Предлагаемые в работе алгоритмы решения СЛАУ показывают высокую абсолютную эффективность и масштабируемость, позволяя решать системы уравнений из 200 миллионов неизвестных за 15 минут на 512 MPI процессах, и обгоняют прямые методы на примере кластерного пакета MUMPS более чем на порядок как по времени решения задач, так и по максимальному размеру решаемых СЛАУ.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [4, 8, 14].

В заключении подводятся итоги и обсуждаются результаты диссертационной работы, а также рассматриваются перспективные пути дальнейших исследований. В приложении А содержатся копии свидетельств о регистрации программного кода итерационных методов.

Основные результаты работы

• Исследованы вариационные постановки классических, смешанных и регулязриованных задач для полей с гармонической зависимостью от времени. Построены и обоснованы обобщения смешанных и регулязриованных формулировок на случай комплексной диэлектрической проницаемости вещества с ненулевой проводимостью среды и найдены достаточные условия их разрешимости. На непрерывном и дискретном уровне построены оптимальные по

. порядку предобуславливающие операторы.

• Обоснована сходимость решений дискретных постановок вариационных задач при использовании Н1- и Н1оЪ-конформных конечных элементов для аппроксимации скалярных и векторных функций соответственно. Показана зависимость скорости сходимости от регулярности решений в соболевских пространствах и предложены подходы к адаптивному сгущению сеток к их особенностям для обеспечения высоких порядков сходимости. Разработана технология автоматизации построения конечно-элементных аппроксимаций задач гармонического электромагнетизма.

• Разработаны эффективные параллельные предобусловленные итерационные методы решения разреженных комплексных неэрмитовых СЛАУ высоких порядков для МВС с общей и распределенной памятью. Предлагаемые алгоритмы включают в себя спектрально-эквивалентные предобуславливатели для смешанной и регуляризованной постановок задач, алгебраические мультисеточ-ные предобуславливатели, построенные с использованием особенностей аппроксимации задач иерархическими векторными базисными функциями высоких порядков, а также методы алгебраической грубосеточной коррекции.

• Представлены концепция и технологии разработки ППП Не1тЬо11,730 для моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей, распространяющихся в областях со сложной геометрией и различными контрастными средами. Разработанные вычислительные и программные технологии позволили создать открытый расширяемый пакет, с помощью которого решен ряд модельных и практических задач геоэлектроразведки и расчета устройств СВЧ, демонстрирующих высокую эффективность и производительность предложенных методов, а также их параллельных реализаций.

Список публикаций в рецензируемых журналах

1. Бутюгин Д. С. Параллельный предобуславливатель SSOR для решения задач электромагнетизма в частотной области // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12, № 1. С. 110-117.

2. Бутюгин Д. С. Алгоритмы решения СЛАУ на системах с распределенной памятью в применении к задачам электромагнетизма // Вестник ЮУрГУ. Серия "Вычислительная математика и информатика". 2012. Т. 46, № 305. С. 5-18.

3. Бутюгин Д. С., Ильин В. П., Перевозкин Д. В. Методы параллельного решения СЛАУ на системах с распределенной памятью в библиотеке Krylov // Вестник ЮУрГУ. Серия "Вычислительная математика и информатика". 2012. Т. 47, № 306. С. 5-19.

4. Butyugin D. S. Efficient iterative solvers for time-harmonic Maxwell equations using domain decomposition and algebraic multigrid // Journal of Computational Science. 2012. Vol. 3, no. 6. P. 480-485.

Список публикаций в других изданиях

5. Butyugin D. S., Il'in V. P., Petukhov A. V. Comparative analysis of approaches for high frequency electromagnetic simulation // PIERS 2009 Moscow Proceedings. The Electromagnetics Academy, 2009. P. 1483-1487.

6. Бутюгин Д. С., Петухов А. В. Экспериментальный сравнительный анализ МКЭ и МКО для моделирования трехмерных электромагнитных полей // Пятая Сибирская конференция по параллельным и высокопроизводительным вычислениям / Под ред. п. А. Старчен-ко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2010. С. 56-60.

7. Бутюгин Д. С., Ильин В. П. Конечно-элементные решения различных порядков точности трехмерных задач электромагнетизма // Тезисы докладов XVIII Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики". М: Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша, 2010. С. 16.

8. Бутюгин Д. С., Ильин В. П. Параллельные методы и технологии моделирования электромагнитных полей // Микроэлектроника СВЧ, сборник трудов конференции. СПБГЭУ "ЛЭТИ", 2012. С. 223-227.

9. Бутюгин Д. С., Ильин В. П., Ицкович Е. А. и др. Krylov: библиотека алгоритмов и программ для решения СЛАУ // Современные проблемы математического моделирования. Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Сборник трудов Всероссийских научных молодежных школ. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2009. С. 110-128.

10. Бутюгин Д. С. О решении комплексного уравнения Гельмгольца в смешанной поставноке для задач электромагнетизма // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2009. С. 22-33.

11. Бутюгин Д. С. Предобуславливание систем линейных уравнений в задачах электромагнетизма в постановке с множителями Лагран-жа // Труды конференции молодых ученых. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2010. С. 32-44.

12. Бутюгин Д. С. О параллельном решении СЛАУ задач моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей в частотной области // Шестая Сибирская конференция по параллельным и высокопро- изводительным вычислениям / Под ред. п. А. Стар-ченко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. С. 49-55.

13. Бутюгин Д. С. Об автоматизации построения алгоритмов моделирования трехмерных электромагнитных полей в частотной области // Математика. Компьютер. Образование. Сборник научных тезисов. Пущино: 2011. С. 163.

14. Бутюгин Д. С. О генерации нерегулярных адаптивных сеток и их декомпозиции для задач трехмерного электромагнетизма // Тезисы докладов VI Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики". Екатеринбург: УрО РАН, 2012. С. 18-19.

Цитированная литература

15. Monk Р. Finite Element Methods for Maxwell's Equations. Oxford University Press, 2003.

16. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, second edition. Philadelphia: SIAM, 2003.

Подписано в печать 21.03.2013 Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 1 Объем 16 стр. Тираж 100 экз. Заказ №49 Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6 email: omegap@yandex.ru

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" (Новосибирский государственный университет, НГУ)

На правах рукописи

04201356710

Бутюгин Дмитрий Сергеевич

Методы моделирования гармонических электромагнитных полей

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Ильин Валерий Павлович

Новосибирск - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Непрерывные и дискретные модели трехмерного электромагнетизма ..............................19

1.1. Система уравнений Максвелла для задач электромагнетизма . 19

1.2. Вариационные постановки краевых задач для гармонических электромагнитных полей......................24

1.3. Регуляризованные и смешанные формулировки задач......34

1.4. Дискретные постановки задач для Нг0г'- ко 11формиых конечных элементов Недслска ......................... 43

Глава 2. Параллельные методы итерационного решения СЛАУ электромагнетизма...........................68

2.1. Предобусловленные итерационнвю методы в подпространствах Крылова для комплексных симметричных СЛАУ........69

2.2. Параллельные нредобуславливатели с неполным LU разложением матрицы СЛАУ........................85

2.3. Алгебраические мультиссточныс методы на Hrot - ко 11 форм 11 ых иерархических базисах.......................92

2.4. Методы декомпозиции области для вычислительных систем с распределенной памятью......................95

2.5. Алгоритмы Шварца и грубосеточной коррекции.........104

Глава 3. Вычислительные и программные технологии моделирования трехмерных электромагнитных полей.........109

3.1. Общая архитектура программного комплекса Helmholtz3D . . .111

3.2. Автоматизация построения конечно-элементных аппроксима-пионных алгоритмов ........................121

3.3. Технологии параллельного программирования и оптимизации кода для МВС с раепределенной и общей памятью.......123

3.4. Технологии постобработки и визуализации трехмерных электромагнитных полей в ППП Helmholtz3D.............129

Глава 4. Примеры решения задач электромагнетизма.....135

4.1. Исследование сходимости конечно-элементных решений и сравнительной эффективности итерационных методов........135

4.2. Решение задач геоэлектроразведки итерационными методами

для МВС с общей и распределенной памятью..........148

4.3. Использование адаптивных сгущающихся сеток в задачах моделирования волновых устройств.................152

Заключение..................................156

Литература..................................158

Приложение А. Свидетельства о регистрации разработки . . .170

Введение

В настоящее время актуальной является проблема моделирования электромагнитных волн с гармонической зависимостью от времени, распространяющихся в трехмерных областях со сложной конфигурацией и различными материальными свойствами среды. Задачи такого типа часто встречаются в геоэлектроразведке, а также при моделировании высокочастотных устройств. При этом требуется моделирование электромагнитного излучения в широком спектре частот — от десятков гигагерц для устройств сверхвысокой частоты (СВЧ) [89], десятков мегагерц для задач индукционного каротажа [100], и до нескольких герц и долей герца в задачах магнитотеллурического зондирования [101]. В таком случае использование высокочастотных приближений для полей вдали от источников, а также низкочастотных индукционных аппроксимаций без учета токов смещения оказывается недопустимым и требуется использование моделей, эквивалентных исходным уравнениям Максвелла. При этом естественным оказывается желание построить единообразный подход к решению всех указанных выше задач, учитывая в то же время их специфику.

Проблема моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей в устройствах СВЧ возникает, например, при разработке и оптимизации параметров мобильных телефонов, микроволновых печей, а также различных антенных устройств. При этом часто требуется исследование взаимодействия излучений от различных высокочастотных элементов монтажных плат таких устройств. Высокие требования к точности полученного решения вызваны необходимостью обработки сложной геометрии расчетной области с разномасштабными объектами и наличием сред с высококонтрастными физическими параметрами.

К задачам расчета гармонических электромагнитных полей в гсоэлск-троразведке относятся задачи индукционного каротажа и магнитотеллуриче-

ского зондирования. В первом случае исследование геологических структур проводится при помощи измерительного прибора, опущенного в скважину, который генерирует высокочастотное поле (до десятков мегагерц) и измеряет отклик среды на него. Во втором случае источником гармонических электромагнитных полей являются токи ионизованных частиц в ионосфере Земли. Частота таких полей варьируется от десятков и сотен герц до долей герца. В таких задачах также часто возникает необходимость учета разномасштабной геометрии, поскольку размеры расчетной области для магнитотеллурическо-го зондирования могут достигать сотен километров, при этом требуется учет геологических объектов размером в несколько десятков метров. Дополнительную сложность при решении таких задач добавляет высококонтрастная проводимость сред, которая, как правило, меняется в очень широких пределах.

Проблема моделирования трехмерных электромагнитных полей в частотной области является комплексной, поскольку для ее эффективного решения требуется как генерация отвечающей особенностям расчетной области адаптивной сетки с построением подходящей дискретной аппроксимации, так и решение полученной большой плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Здесь можно отметить большую важность по—»

строения "бездивергентной" аппроксимации ((Ну И = 0 в случае отсутствия пространственных зарядов), так как в противном случае возможно появление ложных решений, не соответствующих физическому явлению (см. например [39], [68], [91]).

Задача генерации сеток является очень важной, так как сама сетка оказывает большое влияние на точность полученного решения. Данной проблеме посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов, однако эта проблема выходит за рамки данной работы. В дальнейшем мы для простоты ограничимся неструктурированными сетками из тетраэдров.

Электромагнитные волны в частотной области могут быть описаны ком-

плсксным уравнением Гсльмгольца вида

V х V х Ё - яЁ = I. (1)

Для его аппроксимации широко используется метод векторных конечных элементов ([56], [57]), в котором в простейшем случае используются векторные базисные функции первого порядка, а само поле Е в каждом элементе сетки строится как линейная комбинация таких функций. Для каждого ребра сетки существует ровно одна базисная функция, проекция которой на данное ребро не равна нулю, и наоборот, в связи с чем такие функции часто называют реберными базисными функциями. К особенностям данных функций можно отнести то, что при переходе из одного тетраэдра в другой непрерывными остаются только касательные составляющие базисных функций, а их нормальные компоненты терпят разрыв. Это позволяет векторным базисным функциям естественным образом аппроксимировать скачки нормальных компонент электрического и магнитного полей на границе раздела двух сред с разными характеристиками. Кроме того, векторные реберные элементы не порождают численных неустойчивостсй, характерных для скалярных конечных элементов [23].

Стоит отметить, что при достаточно высокой частоте излучения и безди-вергентности источника сторонних токов (divJ = 0) условие бездивергентно-сти электрического поля оказывается автоматически выполненным. Тем не менее, в ряде случаев этого оказывается недостаточно, поскольку, например, аппроксимация источника токов может не удовлетворять этому условию. В таких случаях полезной оказывается смешанная постановка задачи в форме с множителем Лагранжа [35]. Такая формулировка позволяет решить указанную проблему, однако требует специальных методов для решения получаемых СЛАУ седлового типа.

Помимо метода векторных конечных элементов, в настоящее время ис-

пользуются и другие подходы, например конечно-объемная аппроксимация [36], [43]. Достоинством данного метода по сравнению с векторным МКЭ является лучшая спектральная характеристика получаемой системы уравнений а также большая разреженность матрицы. Однако этот метод плохо подходит для сложных областей в связи с необходимостью специальной обработки границ разделов сред и входящих углов расчетной области.

Следующей проблемой при решении задач электромагнетизма является выбор эффективного алгоритма решения получающейся СЛАУ. Конкретный способ решения полученной системы уравнений во многом зависит от метода аппроксимации, тем не менее можно выделить 2 широких класса алгоритмов, применяющихся на практике.

В первый класс включаются разнообразные прямые методы решения. В настоящее время такие подходы с успехом используются при решении задач трехмерного электромагнетизма на средних сетках (с числом степеней свободы порядка 105). Однако дальнейшее сгущение сетки приводит у алгоритмов данного вида к проблемам с памятью. В [93] приведены следующие оценки для метода Гаусса при решении трехмерного уравнения Лапласа на кубической решётке с числом узлов А3: время работы есть 0(А7), используемая память — 0(7V5), где N — число шагов сетки по каждому из измерений.

Ко второму классу относятся итерационные алгоритмы. К достоинствам методов данного типа можно отнести низкое потребление памяти: при решении трёхмерных дифференциальных уравнений используемая память в большинстве случаев оказывается равной 0(N3). Кроме того, на определённых классах задач они показывают более высокое быстродействие, чем прямые методы. Для уже упомянутого трёхмерного уравнения Лапласа время работы методов пространства Крылова с предобуславливателем оказывается равным 0(N2 log А). Однако для задач электромагнетизма, особенно в сочетании с аппроксимацией векторными конечными элементами, итерационные методы

показывают довольно плохую сходимость. Это связано с тем, что оператор rot rot имеет ядро большой размерности [42] (rot Ё определён с точностью до градиента произвольной скалярной функции). Это приводит к тому, что при Re(>r) > 0 в спектре матрицы результирующей системы появляется много собственных чисел с отрицательной действительной частью, что делает матрицу знаконеопределённой [17]. Однако большинство эффективных итерационных алгоритмов построено для положительно определённых матриц. Поэтому такие алгоритмы в данном случае либо вообще не работают, либо показывают очень плохую сходимость. В связи с этим актуальна проблема разработки методик улучшения работы итерационных методов с данным типом уравнений. В настоящее время предложен ряд методов по некоторому улучшению работы итерационных алгоритмов, например, несколько специализированных методов предобуславливания системы ([33], [3-5]).

Одной из многообещающих методик на сегодняшний день является использование мультисеточных методов, которые также можно использовать в качестве предобуславливателей. Однако применение мультисеточных методов геометрического типа может быть сопряжено со сложностью построения последовательности огрубленных сеток для сложной расчетной области. В этом случае полезными оказываются алгебраические мультиссточные методы, которые не требуют построения последовательности сеток, а основаны на алгебраическом исключении части неизвестных системы и построении соответствующих операторов сужения и продолжения [40]. Отдельный интерес представляют алгебраические методы, основанные на использовании иерархических базисов. В таком случае матрицы пониженных порядков, а также операторы сужения и продолжения имеют тривиальный вид [44], что позволяет реализовать эффективные и экономичные алгоритмы.

Следующей проблемой при построении алгоритмов является отображение вычислительных алгоритмов на компьютерные архитектуры. В насто-

ящсс время широко доступны многопроцессорные вычислительные системы (МВС) с распределенной памятью, состоящие из большого числа автономных вычислительных узлов, связанных между собой через высокоскоростную систему связи. При этом имеются МВС как с узлами, состоящими из одного или нескольких вычислительных процессоров общего назначения с симметричным доступом к памяти, так и гетерогенные узлы, имеющие специализированные вычислительные модули, например, графические ускорители. В настоящее время предпринимаются усилия по построению общей методологии отображения алгоритмов на архитектуры МВС [95], однако полного решения данной проблемы еще не существует, в связи с чем необходим анализ конкретных вычислительных алгоритмов с целью оптимальной реализации для конкретного класса вычислительной системы.

При построении программных реализаций вычислительных алгоритмов важно учитывать, что для решения конкретных задач потребителя такие пакеты прикладных программ (ППП) должны обладать возможностью адаптации и быть легко встраиваемыми в уже имеющиеся программные среды. Дополнительную ценность представляют ППП с открытым исходным кодом, предоставляющие возможность расширения сторонними разработчиками и построенные на основе популярных индустриальных стандартов. Последний аспект особенно важен, поскольку на рынке имеется много коммерческих пакетов, ориентированных на решение широкого спектра задач, включая задачи электромагнетизма, например, ANSYS HFSS [11] и CST Microwave Studio [26]. Однако такие пакеты в большинстве случаев имеют весьма ограниченные возможности по расширению, в связи с чем их возможности по адаптации для решения новых инженерных и научных задач невысоки. Поэтому разработка новых систем моделирования, открытых для расширения, имеет большую практическую ценность.

Важным этапом построения и апробации вычислительных моделей явля-

стоя проведение численного эксперимента. Однако на сегодняшний день компьютерный эксперимент является не просто средством верификации моделей. Можно сказать, что мы имеем третий путь познания, помимо теоретических и экспериментальных исследований, и роль математического моделирования в таком качестве с течением времени будет только расти. Соответственно, повышение доступности вычислительных инструментариев для инженеров и исследователей является приоритетной задачей разработчиков прикладного программного обеспечения.

Стоит отметить, что обработка результатов численных экспериментов является довольно нетривиальной задачей. Необходимость постобработки решения, представленного в виде коэффициентов разложения по базисным функциям, а также вычисления различных целевых функционалов может приводить к отдельным сложным вычислительным проблемам. В связи с этим большую роль приобретает автоматизация процесса построения конечно-элементных аппроксимаций. Не менее важным является наглядное представление решения в графическом виде. Здесь можно отметить проблему визуализации и построения различных срезов сложных разномасштабных электромагнитных полей, нестационарных по своей природе. Данная проблема является алгоритмически сложной и может потребовать использования существенных вычислительных мощностей, включая применение графических ускорителей.

В целом, рассмотренные выше проблемы связаны с общей задачей построения эффективных алгоритмов моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармонической зависимостью от времени. Данная диссертационная работа посвящена разностороннему исследованию данных аспектов с целью построения экономичных, надежных и эффективных вычислительных методов и программных технологий моделирования таких полей.

Цель диссертационной работы состоит в комплексном исследовании методов моделирования электромагнитных полей с гармонической зависимо-

стью от времени, включающих оригинальные формулировки задач, построение и исследование конечно-элементных аппроксимаций с высоким разрешением, разработку итерационных методов решения СЛАУ и постобработки полученных решений.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• Построение обобщенных формулировок классических, смешанных и ре-гуляризованных задач для полей с гармонической зависимостью от времени, исследование вопросов их разрешимости, а также конструирование оптимальных по порядку предобуславливающих операторов.

• Построение и теоретическое и численное обоснование сходимости схем для аппроксимации рассматриваемых постановок задач конечными эл