автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование функционирования экосистемы реки Енисея

На правах рукописи

ОД

Гайденок Николай Дмитриевич '

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОШ1РОВАНИЯ ЭКОСИСТЕМЫ РЕКИ ЕНИСЕЯ

Специальность 05.13.18-«Теоретческие основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ»

АВ ТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степенл доктора технических наук

Красноярск-2000

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете

Научный консультант:: доктор технических наук, профессор Б. П. Соустин

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор А. В. Лашсо

Ведущая организация: Институт Биофизики СО РАН.

Защита диссертации состоится « 29 » июня 2000 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 064.54.01 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Краснощек, ул. Киренского, 26, корпусД ауд501.

С диссертацией можно ознаиэмится в научной библиотеке Красноярского государственного технического университета

Автореферат разослан « 26 » мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

доктор физико-математических наук, профессор А. Ф. Терпугов

доктор технических наук, профессор О. Ю. Троицкий

профессор

А. Н.Ловчпков

Еощ.тьЦ) о

ВоП> ишт ,¿¿11,0

)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие производственной и социальной сфер деятельности человечества, сопровождающееся усложнением промышленных технологий и ростом антропогенного воздействия на окружающую среду, в настоящее время достигло таких масштабов, когда остро встает проблема дефицита пищевых ресурсов и усиливается степень эксплуатации ресурсов биосферы. Практика решения ее традиционными вербальными методами экспертов показала ограниченность данной методологии и необходимость использования математического аппарата и вычислительной техники. Однако, уже первые попытки непосредственной трансмиссии существующего формального аппарата точных наук показали не столько скромные результаты, сколько открыли множество неожиданных препятствий и ограничений на пути его применения, причины которых обусловлены свойствами экосистем: феноменами запаздывания, нелинейными механизмами и дискретностью процессов. В связи с вышеизложенным требуется дополнительная разработка теоретического аппарата математического моделирования экологических объектов.

Все вышеизложенное в полной мере относится и к проблеме моделирования водных экосистем, являющейся частной задачей оптимального использования ресурсов биосферы. Перспектива подобных проблем становится достаточно очевидной и в отношении реки Енисея. Действительно, существующие каскады водохранилищ на Ангаре и Енисее, строительство Богучанской ГЭС; горно-химический комбинат, водозабор на Пеляткин-ском газовом месторождении (этот список можно только продолжать) крайне отрицательно влияют на функционирование экосистемы реки Енисея. В связи с этим актуальность данной работы не вызывает сомнений.

Цели и задачи. Целью работы является: создание теоретических основ синтеза и алгоритмов реализации математических моделей водных экосистем; построение и исследование математической модели функционирования экосистемы реки Енисея на базе аналитических и численных методов, включая прогноз состояния рассматриваемой экосистемы по отношению к антропогенному воздействию; разработка программного обеспечения, реализующего эти модели и алгоритмы. В ходе работы решаются следующие задачи:

1. Создание теоретических основ синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач, включая задачи оптимального управления и задачи распределения ресурсов открытого типа, описывающей процесс трофических взаимодействии1 сообщества популяций.

2. Использование формализмов Лагранжа и Остроградского для разработки общих методов формирования математических- моделей водных экосистем.

3. Создание математических моделей водных экосистем и динамики популяций. Разработка точного и «жадного» алгоритмов энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов, а также алгоритма решения экстремальной задачи, описывающей функционирование экосистемы реки Енисея.

4. Построение и исследование формальных свойств математической модели функционирования экосистемы реки Енисея.

5. Моделирование и проведение вычислительного эксперимента функционирования экосистемы реки Енисея на основе построенной математической модели.

6. Разработка программного обеспечения, реализующего построенные модели и алгоритмы.

Научная новизна и теоретическая ценность. В диссертационной работе предложены и получены результаты:

1. Созданы теоретические основы синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач.

2. Разработан общий метод формирования математических моделей водных экосистем на основе формализмов Лагранжа и Остроградского.

3. Разработан метод представления агрегированной математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления.

4. Построены точный и «жадный» алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

5. Построена математическая модель функционирования экосистемы реки Енисея и математические модели прогнозирования состояния промысловых объектов: ихтиофауна и морские млекопитающие.

6. Доказанные условия эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей.

Практическая ценность работы состоит в применении математических моделей динамики популяций водных экосистем в исследовании и выработке вариантов стратегий оптимальной эксплуатации экосистемы реки Енисея. В результате вычислительного эксперимента получены ранее отсутствующие параметры функционирования и объяснение существования эндогенных циклов динамики элементов биоценоза экосистемы реки Енисея, что позволит более адекватно обосновать систему мониторинга и использовать эту информацию при осуществлении контроля и получения научно-обоснованного прогною состояния экосистемы и квоты изъятия промысловых объектов.

Реализация результатов работы. Алгоритм расчета скоростей течения гидравлическим методом и база данных гидрографической и гидроло-

гической информации переданы в лабораторию численных методов гидрофизики ИВМ СО РАН, где она используется при проведении научных исследований.

Модели, алгоритмы и информационное обеспечение используются в учебном процессе.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Созданные теоретические основы синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач.

2. Разработанный общий метод формирования математических моделей водных экосистем на основе формализмов Лагранжа и Остроградского.

3. Разработанный метод представления математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления.

4. Построенные точный и «жадный» алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

5. Построенную математическую модель экосистемы реки Енисея и математические модели промысловых объектов (ихтиофауна и морские млекопитающие), включая методы прогнозирования состояния экосистемы и промысловых объектов.

6. Доказанные условия эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей.

7. Построенное программное обеспечение, реализующее разработанные модели и алгоритмы.

Апробация работы. Основные результаты, отдельные положения, а также результаты конкретных исследований и разработок регулярно докладывались на всесоюзных научных семинарах и конференциях (19822000): 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1982; Зональной НП конф. мол. уч. мелиораторов, Ставрополь, 1983; 2 конф. мол .уч. ИГБ АН УССР, Киев, 1986; 3 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР, Аппатнты, 1986 г.; конф., "Проблемы информатизации города ", Красноярск, 1993 г.; межд. конф. "Механика реагирующих сред", ТГУ, Томск, 1994.; 7 всероссийской конф. по промысловому прогнозированию г. Мурманск 1998 г.; межд. Конф. «Симметрия и законы сохранения», Красноярск, 1998 г.; межд. конф. Современные проблемы развития АПК и подготовки кадров, КрасГАУ, 1998.; н.п. конф. " Лесной комплекс и химические производства", Красноярск, 1998 г.; всероссийской научно - практической конференции с международным участием «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов», Красноярск: КГТУ, 1999 г.; семинарах в ИБФ СО РАН, ИВМ СО РАН, Красноярск, 1999 г.; научном семинаре биологического ф-та КГУ, Красноярск, 2000 г.

Методы исследований: теория нелинейных отображений; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; математическая экология, включая теорию динамики популяций, сообществ и экосистем; методы решения экстремальных задач, в том числе: энтропийные методы решения открытой задачи распределения ресурсов и методы теории оптимального управления; экспериментальные методы анализа характеристик экосистемы реки Енисей.

Повышение эффективности применения вышеперечисленных методов исследований достигалось на базе: ППП Maple V R4 и программного обеспечения, реализованного в виде ПП в среде Borland С++ Builder v3.0 на базе OS Windows 95.

Публикации и личный вклад в решение проблемы. Диссертация основана на теоретических, методологических и экспериментальных исследованиях, выполненных как самим автором, так и другими организациями. Теоретические и экспериментальные результаты, представленные в главах 2'-4, ч. 1. и 1,4, 5 и частично 1 и ч. 2 получены самим автором. По результатам исследований автором опубликовано 38 работ и 1 монография.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, из двух частей, включающих 8 глав основного текста, заключения, списка использованных источников, 3 приложений и актов о внедрении. Работа содержит страниц машинописного текста, рисунков, таблиц. Список использованных источников включает наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение представляет цели и задачи диссертационной работы, раскрывает ее актуальность, новизну полученных результатов, практическую значимость и апробированность, методологию исследований. Во введении сформулированы положения выдвигаемые на защиту. Определен непосредственный вклад автора в решаемые задачи.

Часть 1. Формальный аппарат математического моделирования водных экосистем

Глава 1 -обзор основных направлений математического моделирования водных экосистем (ВЭС). Агрегированной моделью ВЭС служит система уравнений в частных производных параболического типа, условно называемая «диффузия-конвекция-реакция», следующего вида:

v o\/ri=r(al(t,l)c'XI/fl)rl-(:(c,U,l)X,)/cll+f(b(t,t),X) (I)

Х,(0,0)=Х"„ X,(0,l)=X',(l), Х,(0,Е)=Хе„ le[0,E], te[0, T],

где Хи, 1)=(Х,(1,1))-5номассы или численности экологически однородных группировок, а(и). с(с,1), Ь(1,1)-матрицы коэффициентов дифузии, конвекции и реакции соответственно, экологический смысл приведенных которых рассматривается в (гл. 3, ч. I). Согласно феноменологической идеологии, положенной а основу (1) в моделировании ВЭС выделяется два аспекта: моделирование абиотических свойств ВЭС и моделирование состояния сообщества популяций (ЭОГ). В содержание задач первого аспекта отражает феномены "физической дифузии и конвекции", второго аспекта-реакции, или (используя экологическую терминологию)-«продукции-потресления».

Это классическая точка зрения, основанная на результатах исследования относительно мало проточных водоемов. При исследовании таких водных объектов, как река Енисей, который имеет на протяжении 2/3 течения скорости 1-2 м/с, становится достаточно очевидным роль биологического фактора в образовании обратной связи, ответственной за перенос минерального, органического и живого вещества из низовий реки в ее верхнее течение. Без данного потока вся вышеупомянутая субстанция физически исчезла из акватории данной реки. В связи с этим, необходимо представить матрицы коэффициентов а(и), с(М) в следующем виде:

а(1,1)=а(1,1, X), с^, 1)=с(1,1, X) (2)

Учет феноменологии, выражаемой в виде (2) переводит классическую систему (1)в систему нелинейной диффузии, которая описывает динамику такого класса объектов, как диссипативные структуры. Векторная форма синтеза (!) и (2) может быть представлена как

ЭХ/й:=й(а(1,1,Х)ЗХ/51)51-а(с(1,1,Х)Х)/с1+Я;Ь(Г,1),Х) (3)

Х(0,0)=Х°, Х(0,1)=Х'(1), Х(0,Е)=Хс, 1е[0,Е], 1е[0, Т].

Дальнейшее обсуждение свойств (1), (2) и (3) целесообразно продолжить после исследования «функции продукции-потребления», которое приводится в следующем разделе.

Математическое моделировании динамики биологического сообщества. Направление Лотки-Вольтерра. позволяет получить довольно агрегированное описание динамики экосистем и является удобным аппаратом для проведения аналитических исследований. Основная литература, отражающая исследование экосистем, посвящена эт^му направлению и касается вопросов устойчивости квазнреальныч сообществ. Основными здесь являются следующие результаты: 1. Логистическое уравнение

с!Х/Ж=гХ( 1-Х/К)

(4)

где Х-обилие популяция, г-бнотический потенциал, К-емкость среды. В зависимости от величин параметров г и К происходит разбиение комплекса видов на две группы: г-стратеги обладающие высокой скоростью роста (как правило, микроорганизмы) и К-стратеги имеющие низкую скорость роста, но зато достигающие высоких значений X. Стоит уломянуть, что в каждой ЭОГ присутствуют обе категории. И более того, длительная изоляция одной из групп приводит к дифференциации ее на две вышеупомянутые.

Уравнение (4) в силу своей логистической природы имеет ряд предметных поправок. Так в ряде работ предлагаются следующие модификации

¿Х/ск=гХ-( 1-Х/К) (5)

аХ/Л=гХ(1-Х2/К)

2. Система Лотки-Вольтерра (СЛВ)

6Х,/й1=Х,{Ь -1г1]Хд, Х;(0)=Х°, (6)

.1

где А=(а„)-матрица конкуренции. Для повышения адекватности СЛВ рядом авторов предлагается следующая модификация СЛВ

а„->а,1Х)/(Х1+к), (6)

что, представляет уравнение Михаэлиса-Ментен, по сути дела, являющегося аппроксимацией решения (4). В ряде работ показано, что система (5)-(6) при определенных значениях параметров имеет решение, обладающее странным аттрактором.

3. При учете механизмов запаздывания, используются модификации (4) или (5), путем включения соответствующих членов. Например

ёХ/ск=ЬХ(1-аХ,_,) (7)

или

¿Х/ск=ЬХ(1-аХ2)+сХ№

которое в большей степени адекватно действительности.

4. Демографические модели. Классическими моделями, применяемыми для описания возрастной структуры популяций, являются уравнения в частных производных первого порядка Ферстнера - Мак - Кендрика (8)

dXIcl + dXIcz = Xd X(t,0) = jX(t, X)P(t, X)d).

где т,-возраст, d-смертность, P(t, т)-плодовнтость т-ro возрастного класса (ВК). Дискретным аналогом является классическая модель, именуемая «матрица Лессли»

i Po Pi............Рп 1

I (l-do)PbB 0........... О !

(Х,'+,)=| 0 (l-d,)Pbi... О I (X') (9)

i ......................... I

lo 0 (l-dn)Pb. J

где pi, dj, Рь„ Х—плодовитость Pb'g, d,-смертность, Рь-коэффициент i - го возрастного класса. В моделях (8) и (9) предполагается независимость параметров модели от экзогенных и эндогенных факторов (плотность, наличие корма).

5. Синтез аналитических и демографических моделей в условиях неполной информации. При моделировании реальных объектов, в виду отсутствия данных, производится перенос динамики изменения параметров ВК из демографической модели в агрегированную модель, сопровождающейся изменением ее типа: переходом от_ модели с постоянными коэффициентами в модель с переменными коэффициентами.

6. Имитационное моделирование, возникшее после работ Форресте-ра, тонет в чрезмерной детализации сугубо практических сторон дела и в особенностях компьютерной реачизации решения поставленной задачи.

Методология Ивлева-Меншуткина. На основании исследований вышеупомянутых авторов, переоткрывших или заимствовавших некоторые идеи математической экономики, возникло новое направление, открывающие широкие перспективы для синтеза аналитической и имитационной методологии. Их главная заслуга состоит в построении (хотя и некорректного) теоретического базиса, открывающего путь к экспериментальному определению элементов матрицы конкуренции СЛВ (6). Ключевым пунктом здесь является классическое уравнение B.C. Ивлева

С=Сч(1-еЛ (10)

или его модификация, предложенная Винбергом и Анисимовым, н<) ранее предвосхищенная Холдингом

C=CV'( 1 -ехр(- к( В-Вир)) )=СЧ|( 1 -ехр(-к мах(0, В-В|ф))) (11)

где Сч'-максимальный рацион, к-const, В-запас корма, В„р-уровень корма с которого начинается его потребление. С" зависит от веса организма W следующим образом

CM=aWb (12)

где a- const, be[0.67, 0.82]. Учет влияния температуры на См осуществляется с помощью множителя Q, для которого предлагается уравнение

Q=Q.o*YV'10 (13)

где^Окг conste[2, 4].

Меншуткин для описания процессов трофического взаимодействия (Cjj) N популяций предложил следующую систему нелинейных уравнений, являющуюся обобщением (10)

cs=ciim (I -expC-ByZcu), (14)

где Су111, сц-максимальный и реальный частные рационы. В качестве алгоритма решения (14) предложен метод итераций, при

с,/О)=с0т= crs.jB/ZBiStj, (15)

где (^'"-вычисляется по (12), а s.j-элемент матрицы селективности сообщества S=(s„).

После получения значений с,,, на основе констант трансформации (экологических эффективностей, получаемых на основе эксперимента) потребленной субстанции находят реальный прирост биомассы i-го элемента биоценоза. Схема потоков трансформации составляющих ко^ма представлена на рис. I. Дйя расчета вышеупомянутых потоков используют следующую систему отношений:

N = Q(1 -К»), R = K«Q, V = R( 1 -К.,), А = К,R, (16)

R = А(1-КД Р:= К2А, Рь= Р.; (1-КС|П), Рсга= Р,Кет„

= Р„(1-КСЧ),Р,Ч= PbKcv P,„m= SB = Р0Д1-К,СТ), Pscn= PUI*Kgc„.

Обозначим величины, стоящие в левых частях системы (16) через К,. Они при анализе сообществ представляются в виде совокупности векторов К,=(«.,'). или матрицы «составляющих трансформации» Т=(Т,,)=(К/), эле-

менты которой удовлетворяют условию Т,,сг[0, !]. В данной постановке проведение расчета потоков в рамках сообщества реализуется в виде матричной модели, которая в известной степени эквивалента методу межотраслевого баланса в экономике. Константы Т^ играют ключевую роль в эволюции, являясь ее продуктом, и эволюционная стратегия экосистемы с трофоэнергетичеекой точки зрения сводится к соответствующему регламенту ик значений.

Ко

К]

К2

к«*

К,

О I в.

1 Р?

Рь

Т

и

Рис.1. Схема потоков трансформации потребленной субстанции: 9 - отчужденная пища; N - незаглоченная пища; Я -рацион; I) - не усвоенная пища; А -ассимилированная пища; Т -траты на обмен веществ; Рг-суммарная продукция; Рет -выделение экзометаболитов; Рь-продукция тела; Реч-экзувиальная продукция; Репродукция особи; Р8СП-генерагивная (потомство); Р5и1П- соматическая продукция (реальный прирост биомассы).

Классическое описание экосистемы. Выше рассмотрено описание трофических взаимодействий в сообществе. Однако, функционирование полной экосистемы требует дополнительного обзора. Эволюцию экосферы можно представить как непрерывное взаимодействие физиологических, генетических, репродуктивных и многих других процессов. Для того, чтобы иметь возможность исследовать функционирование полной экосистемы, необходимо регламентировать ее минимальный состав - фрейм. Согласно Одуму, в качестве такого фрейма предлагается следующая совокупность элементов: биоценоз, в составе которого необходимо присутствуют следующие три элемента - продуцент, консумент (эврифаг, хищник), редуцент; мертвое структурное органическое вещество (детрит, опад) ; мертвое деструктурированное органическое вещество (РОВ, гумус) ; минеральные элементы питания - биогенные элементы - азот, фосфор, кремний. ^

Таким образом, имеем следующий фрейм: продуцент - Р, консумент - С, редуцент- Я, детрит- О, РОВ -Ь, биогены- N рис. 2. Если рассматривать круговороты нескольких элементов, то блок - схема , изображенная на рис. 2., предстанет в виде совокупности схем, соответствующих числу биоген-

н

ных элементов. Кроме того, каждая из составляющих биоценоза, как правило, разбивается на то или иное число экологически однородных группировок (ЭОГ). которые, в дальнейшем, используются в качестве аналога отдельного организма, популяционной фракции, целой популяции и, даже комплекса популяций. В основу такого разбиения могут быть положены особенности питания, температурный режим и т.д.

Рис. 2. Блок-схема фрейма экосистемы.

4. Дискретные модели. Выше рассматривались только непрерывные модели (линейные ЛНМ и нелинейные НИМ) ВЭС. Однако, развитие глубины и детальности экологических исследований, повлекшее за собой соответствующее повышение уровня сложности моделей из-за учета широкого круга нетрадиционных феноменов-запаздывания, нелинейных и дискретных (сезонных)-и, как следствие, необходимость их численной реализации, генерировало новый тип моделей - дискретные (ДМ). Если в случае линейных механизмов - матрица Лессли (9) - вопросы эквивалентности ДМ непрерывным автоматически вытекают из условий устойчивости соответствующей разностной схемы, то для случая нелинейных феноменов отсутствуют формальные критерии, позволяющие дифференцировать вычислительные артефакты и реальные режимы динамики.

Одной из первых экологических нелинейных моделей дискретного типа (НДМ) была модель Бивертона-Холта, в которой рассматривалось описание динамики популяции тихоокеанских лососей

К=аЫе_ы\ (17)

где N - численность популяции, а - число потомков, приходящееся на одну особь, Ь - полуабстрактный коэффициент, отражающий влияние плотности популяции. В ряде работ используется модель, являющаяся разностным аналогом (4) - логистическое отображение

^аМ(1-М). (18)

Определенное время, основной областью приложения ДМ было исследование коротко-циклических популяций (популяции с не перекрывающими поколениями): насекомые, рыбы с жизненным циклом в 2-4 года. Здесь рассматривались в основном агрегированные модели. Затем началось описание и длиноциклических популяций. Параллельно экологическим исследованиям возникла и чисто формальная область знаний, получившая наименование «исследования детерминированного хаоса», объектом изучения которой являются одномерные и многомерные нелинейные дискретные отображения. Однако, если по отношению к насекомыми, живущим один сезон, применение НДМ не вызывает возражений, то исследование популяции с многомерной демографией, даже если рассматривается ее агрегированная модель, требует, либо детштьных экспериментальных данных для верификации, либо сравнения с результатами другого вида НДМ. Положение усугубляется статистическим характером биологических закономерностей, положенных в основу модели.

Формальные свойства одномерных отображений. Ситуация в области исследования отображений данного типа исторически сложилась таким образом, что исходным объектом было логистическое отображение (18), которое определило целый класс одномерных квадратичных отображений (ОКО). Исследования (17), принадлежащего ОКО, произведены после появления в ихтиологической литературе. Иллюстрация особенностей режимов решений (17) при Ь=1 приводится в таблице № 1.

Таблица№ I.

А Режим

[ 1, е') X -> const

е" Цикл периода 2

> 14.82 Комплекс хаотических

(15.942, 16.035) Цикл периода 6

(17.33, 17.59) Цикл периода 5

(21.5, 22.33) Цикл периода 3

(22.33, 24.23) Цикл периода 6

Глава 2 посвящена синтезу имитационных и аналитических моделей.

Синтез агрегированной модели на основе объединения трофоэнерге-тической и демографической теории. Восст&новление среднегодовой динамики запаса ихтиомассы X. в случае отсутствия ее экспериментальных оценок, возможно только в виде некоторого соотношения, связывающего объем кормовой базы К, скоростей прироста биомассы Р|„ отмирания О и

вылова V. В этом случае, балансовое отношение, связывающее вышеперечисленные величины, имеет вид:

AX=AtXf(X, Pb(K), d, V) (19)

В (19) количество корма К входит неявным образом. Однако скорость прироста биомассы Рь связана с К функциональной зависимостью, которая следует из (10) и (16) при использовании в качестве В удельного уровня корма, приходящегося на единицу биомассы популяции и последующей аппроксимации полученного соотношения с помощью:

MinMax(X, а, Ь) = Min(a, Мах(0, Х-Ь)) (20)

Bell(X, A, N) = XN/(XN+AN) (21)

где а=См , Ь=Клр, N-степень и Bell(A, A, N) = 0.5.

В результате получим выражение, связывающее Pb, X и К:

Р„=Мт(РЛ Max(0, K/X-R))=Min(uK:Cm, Мах(0, К/Х - R)) (22)

Теперь (19) можно переписать в форме

AX==AtX(Min(Pbm, Max(0, K/X-R))-d-V) (23)

или в дискретном виде (при At=l год)

X=X(l+Min(Pb'\ Мах(0, A/X-R))-d-V)=X( 1 +g(X))=F(X). (24)

Для практических расчетов в ряде случаев вместо (19) используется его аппроксимация с помощью (21):.

P„=Pbm( 1- Bell(X, A, N))=Pb'W(aN+XN) (25)

где а находится аналитически а « K/(R+0.5PMb).

Оценка Pbm производится на основании процента вылова отдельных видов в общей массе и их популяционных Рь'", определяемых по возрастным рядам. Величина d определяется с помощью эмпирических зависимостей Паули или Рихтера - Ефанова.

Если сравнивать экологическую корректность (18), (16) и (24), то последние два обеспечивают положительность функции F(X) из (24) и используются в исследовании агрегированных моделей реальных популяций. Однако, как показала серия сравнительных вычислительных экспериментов. проведенная автором на детальных моделях (28), использование зави-

u

еимостей типа (18) или (24) не является полностью экологически корректным. Для популяций рыб, населяющих арктические акватории, и, вследствие температурных условий, обладающих более низкими скоростями роста. необходимо использовать вместо (18) или (24) функции с более ограниченной вариацией для генерации долгопериодных колебаний. Иначе говоря, необходима экологически обоснованная зависимость Р(Х), занимающая промежуточное положение между (18) и (24) и правой частью (25) . Для восстановления конкретного вида требующейся зависимости ; .. вспомним особенности трансформации потребленной пищи (16). Здесь все дело в том, что соотношение вида Р(Х)=РЬХАМ/(АЫ+(£ХЛ(1-<3) отражает функционирование популяции в квазиравновесных условиях, когда имеется степень лимитирования по кормовым или экотопическим условиям не достигает экстремальных значений. Более общей моделью для описания всей широты спектра лимитирования является следующая:

Р(Х)=Х(1-с1) (к+(1-к-+Рь)/(1+(1Х,/А)*)); к=е-Л (26)

где Я - значение величины трат энергии поддержания жизнеобеспечения за временной шаг I. Для видов рыб умеренных и тропических широт величины К в соответствии с темпами роста обуславливают низкие значения к (к « 1) и, как следствие, справедливость (18)-(25). В случае бореальных и арктических акваторий (низких скоростей жизнедеятельности) величины к уже не являются исчезающе малыми и в данном случае более справедливыми будут зависимости вида Р(Х)~Х(1-^(Х')).

Таблица № 2.

■А Режим

(0.4, 1.5] X —> const

(1.5, 2.82 *е] Цикл периода 2

(2.82, 3.4] Цикл периода 4

(3.5, 6.7] Хаотизация

(6.8, 9.7) Цикл периода 4

[9.7, 14) Неустойчивые циклы

14 Цикл периода 19

15 Цикл периода 8

Г(23,26) Цикл периода 4

'>26 Цикл периода 2

Рассмотрение вышеизложенного материала определило конкретный тип одномерного отооражения-(26): оно принадлежит классу (17). Отображения данного типа являются классическим объектом анализа в работах, посвященных нелинейной динамике и стохастическим свойствам динами-

ческих систем (детерминированный хаос). Будучи вполне детерминированными, одномерные отображения типа (26) описывают процессы, которые могут обладать рядом стохастических свойств. Что подтверждает следующее исследование, которое проводилось численным образом в виду близости его к (18). Здесь регламентировались только конкретные отличия. Полученные факты представлены в табл. № 2. РЪр-26 определяет цикл-2.

Очень интересным является тот факт, что этому значению Рь* отвечает популяционный Р|К горбуши. Объяснение этому заключается в том, что при наличии феномена неустойчивости во время низкой биомассы популяции происходит естественная мелиорация нерестилищ (большие количества органики стимулируют развитие грибковых заболеваний). В силу этого эволюционно сложилась стратегия: "отсутствие стационарного режима и устойчивость колебаний численности популяции - дань существованию самой популяции".

Моделирование отдельных видов ихтиоценоза. Имея алгоритм описания динамики общей биомассы ихтиоценоза и реализовав его с помощью того или иного численного метода в виде компьютерной программы, можно получить оценку ОЗИ. С помощью этой оценки и сведении о долях участия каждого вида в общем вылове находятся стартовые оценки биомасс конкретных видов. Затем на основании сведений о показателях временных рядов, плодовитости, частном вылове, можно получить коррекции стартовых биомасс конкретных видов и изменить оценки ОЗИ. Однако, для этих целей необходимо использовать более детальную модель, нежели (24).

Классическими моделями, применяемыми для описания возрастной структуры популяций, являются уравнения в частных производных первого порядка Ферстнера - Мак - Кендрика (8) или Матрица Лессли (9). В (8) предполагается независимость параметров модели от количества корма А. Для снятия этого ограничения вводится зависимость, аналогичная (22) или (25). В этом случае (9) предстает в следующей форме

В качестве зависимости плодовитости от общей биомассы популяции используются несколько иные соотношения. В работах, где рассматриваются особенности генерации потомства, обнаруживается феномен существования не нулевой асимптоты у правой части кривой (17). Здесь предлагается воспользоваться следующей зависимостью

Х„=АЧ/(АЧ(1Х^)1РЛ,Х,

1 -сЫРьмХ,.,

(27)

, X > С;

Р(Х) = {

(28)

I аХе.хр! -ЬХ), Х<С

Параметры и формальные свойства многомерного отображения. Системы, аналогичные (27), также как и ОКО являются традиционным объектом формальных экологических исследований. В ряде публикаций рассматривается модель вида

Хи,"=а,ехр(-с,1ЕХ1)1ЬХ (29)

I I

ХГ1 =а;ехр(-с,1Х0Х!.,1 1

где а,, Ь,, с, - некоторые комбинации параметров, входящих в систему (27). Указанные три вектора - А, В, С - отражают "модальные" свойства динамики исходной системы. В виду достаточно детального исследования в литературе и опосредованного характера параметров в данной работе из всего комплекса результатов используется только факт существования всего того многообразия типов решений, которое существует у ОКО. Основное внимание в данном разделе уделяется регламентации количества и природы фактических параметров, определяющих динамику (27).

(27) или эквивалентный комплекс (8), (9) и (25) не смотря на известную аналогию с (24) или (2<?) имеет достаточную свободу в вариации параметров. Причина этого заключается в том, что при исследовании общей (суммарной) биомассы или численности популяции основное внимание уделяется соматической продукции популяции. В то время, как генеративная продукция (РЬ'8) и демографические особенности (&,). используемые на уровне общих оценок в исследованиях динамики возрастной структуры популяции играют ключевую роль.

Как показывают исследования генеративных аспектов функционирования популяции, показатель РЬ'ц также является комплексной величиной и определяется посредством трех векторов: М^ - доля половозрелых особей в 1 - том возрастном классе (ВК); кратность генерации потомства (нереста); ОБ!-гопадо-соматический индекс, представляющий оценку генеративной продушин особи из 1 - того ВК. Для вектора параметров поло-возрелости существует следующая оценка М, а [0, 1]. Кратность генерации потомства (нереста) является величиной, обратной средней длине перерыва между последовательными генерациями. Типичным интервалом генераций в умеренных регионах является 1-2 года. В бореальных и арктических 2—4 года. Таким образом, для ^ справедлива подобная оценка Kg.cf0.25, 1]. Кроме того, имеет определенную возрастную динамику, которая представлена на следующем рис. 3. Из этого рисунка следует определенная цикличность нереста (4 года), являющаяся атрибутом ихтиоце-ноза ЭСЕ (гл. 3, ч. 2.). В естественных условиях на эндогенную динамику популяции накладываются гидроклиматические циклы с периодом в 2 и 22 (11) года.

Величина СБ! наиболее определенная из рассматриваемой тройки векторов параметров и имеет оценку С51, с [0.1, 0.3] и РЬ\, = 031, К^, Мс,. Оценка РЬе для всей популяции при равенстве доли биомассы нерестового стада 0.5 имеет величину РЬ'„ с [0.01, 0.1]. Для популяций арктических районов РЬ° имеет среднее значение 0.04. Крайнюю оценку 0.1 имеет популяция горбуши.

П И П,П 1:',п П.м.н

1+5 1+6 ¡+7

Рис. 3. Динамика интенсивности нереста.

Итак, рассмотрено достаточное число факторов, определяющих динамику возрастной структуры популяции. Для учета влияния вылова необходимо ввести показатель степени доступности вылову или степени эксплуатации ВК - V;. Он подобно К^, или М.1, измеряется в долях единицы. Теперь, возможно подсчитать число параметров, необходимое для описания динамики возрастной структуры популяции. Действительно, каждый возрастной класс характеризуется: и„ РЬз„ Pbg¡, И,, с1и М^, 081,, У;. Это означает, что для описания динамики популяции, состоящей из N ВК необходимо 91^1 параметров. Некоторые параметры - РЬз; и с!, являются сугубо индивидуальными для каждого ВК. М^ V - в основном 0 или 1. и, б[0.3, 0.8]- привязывается к составу среднего рациона.

Способы оценки параметров также разные. РЬэ, - определяется по весам ВК. Мк, ОБ! - из эксперимента, и - литературные данные - и представляет довольно исследованную величину. V - по промстатистике вылова. Самым трудоемким является величина с1,. Для корректного её определения безусловно необходимы конкретные сведения по динамике каждого ВК. Особенно трудоемким является оценка смертности ВК 0+. Ориентирами здесь являются с1, с (0, 1) и (1-ф,)е [0.0005, 0.008]~0.001.

Синтез моделей экосистем и сообществ. С формальных позиций главной идеей методологии Ивлева-Меншуткина (раздел 1.3), не прозвучавшей в работах авторов в явном виде, является представление основного механизма функционирования экосистемы в квазитензорной фо[^ме: одном из вариантов транспортной задачи (ТЗ(-задачи распределения ресурсов (ЗРР). По мимо формальной постановки в рамках данного направления

разработан алгоритм решения рассматриваемой постановки ЗРР открытого типа, относящейся к классу энтропийных алгоритмов решения ТЗ.

Отдавая должное основополагающему характеру данных исследований, стоит упомянуть о неполноте данной методологии. Основной недоработкой является отсутствие симметрии алгоритма и, как следствие, самой теории, приводящее к нарушению закона сохранения вещества. Это обусловлено простой модификацией уравнения Ивлева, описывающего случай преобладания запаса ресурса над потребностями потребителя, являющегося для реальных условий скорее исключением. Кроме того, в рамках данной постановки задачи остаются полностью незатронутыми вопросы моделирования таких феноменов, как: стратегии трофического поведения, эволюционные и иные принципы. Формальным образом это значит, что необходимо дальнейшее развитие теории и методологии моделирования в том направлении, которое бы позволило логическим образом оперировать с конструкциями, общий вид которых F(X)-> extr, где Р(Х)-некоторый функционал, определенный на множестве объектов ВЭС-Х.

Проблема симметричности алгоритма. Как легко заметить (10) или (11) адекватны логике закона сохранения количества вещества (пищи) только в том случае, если В>Сча\ Адекватное описание процесса потребления пищи, количество которой А, потребителем с рационом (потребностью) В требует выполнения следующего условия Cjj=min(A,B). Для случая взаимодействия двух и более популяций процесс трофических взаимодействий в биоценозе следует описать как:

Zc.jSBj ;jc[l,N], (30.1)

Zc,j<Cm„ ic[ 1, Nj. (30.2)

i

(30.1) отражает тот факт, суммарное выедание отдельной ЭОГ (и других элементов экосистемы) не может превышать ее наличного запаса; (30.2) -суммарный рацион не может превышать максимального рациона независимо от количества доступной пищи. Просуммировав (30.1) по i , а (30.2) по j, получим общее условие

EZc^miniSC"1., ZBj), (31)

M I I

которое соответствует ЗРР открытого типа, где к условиям (30) и (31) добавлена целевая функция стандартного вид a ZZc„—ипах. Характер алгоритма решения в общей постановке ЗРР открытого типа определяет следующая теорема.

Теорема 1. Решением ЗРР, определяемой условиями (30)-(31) является система

ск,/ск= С'11; - 1с1|ХВ|-1с„); Су(0)=0, (32)

| .1

где с,; - частный рацион 1-го потребителя при потреблении им ]-го ресурса, 5,, - матрица селективности, BJ- доступное количество ]-го ресурса.

Выше рассмотрен случай, когда запас ресурса В! может полностью потребляться каждым потребителем. Однако, данный случай является в экологии скорее исключением, типичной ситуацией. Для любой ЭОГ (из состава биоценоза) справе дива следующая зависимость В„р (11) от среднего веса \У ее представителей В^сс^У11, где а и Р-сом. В этом случае дополнительные условия потребления ресурса описываются с помощью матрицы В*

ВМВ\)=1пах(0,ВгВ'^) (33)

В классической постановке ОЗРР условие (33) соответствует дополнительным ограничениям на величину потока потребления ресурса. В этом случае решение определяет следующая теорема.

Теорема 2, Решение ОЗРР определяемой условиями (30), (31) и (33) является система

ёс,/с(г=51)(ст1-1с,1)тт{(в;гс-1))(вг1си)},су(0)=0 (34)

1 ] .

Объем вычислений, выполняемых на основе (32) и (34) можно значительно понизить, если использовать в качестве начального приближения для с^(О) следующее выражение

ГС'^В/А, ,(32)

с,|(0)= \ (35)

1пип(В\ С'",В/А),<(34)

А=ггйп(1С"\, 1В,),ис:[ I, N ]

J

Выражение (35.1) является точным решением ТЗ закрытого вида при матрице расстояний О=(с1.|)=£10=сопз £С™=ХВ,=А.

Жадный алгоритм. Дальнейшим сокращением объема вычислений, связанных с получением решения с„. является использование чисто «жадного» алгоритмаЧЖА). Хотя при этом получаются несколько заниженные оценки с,;, объемы вычислений .1, производимые по ЖА алгоритму и по одному из алгоритмов (32) или (34) Т, имеют следующие величины: ЗМ и соответственно, где ке[3, 6], а Иначе говоря ^Т/.1с [0.5,2].

Главным отличием ЖА от алгоритмов (32) или (34) является замена условия (30.2) на следующее Р^с^С1")—>1, ¡с[1, Ы], означающее вероятность выполнения вышеуказанного неравенства. Содержание ЖА определяется теоремой 3.

Теорема 3. Приближенное решение (с,)) задачи (32) и (34) получается в результате следующей последовательности действий:

Г и;,=С/\ВД3,В,, 1с,^

I 11

^=В/1ич, Еич>В, (32) (36)

I 1

I ^=1ШП|В+,, ВДи,|), 1иу*В, (34)

Итак, произведено обобщение описания парных взаимодействий посредством операции симметризации. Дальнейшим развитием третьего направления (гл. 1) является построение связи между физиолого-демографическими параметрами и их динамикой или дрейфом, обусловленной эволюционными принципами, определяющими процесс эволюции. Данная задача вовсе не является данью чисто научных интересов, а представляет собой ответ на те жесткие требования, которые диктует реальное положение дел в экологии. Действительно, методология Ивлева-Меншуткина-Холлинга, хорошо справляющаяся с "сезонными и квазисе-зокными " задачами, при попытке обобщения сравнительно легко позволяет учитывать и различные эволюционные нотации (теории, законы, закономерности, принципы, гипотезы ) , а также представить ее в виде задачи оптимального управления, к которому она и подошла чисто эмпирическим путем.

Моделирование динамики биоценоза и экосистемы. Получив в свое распоряжение алгоритм расчета фактического прироста биомассы из знания величины потребленной пищи, можно перейти к описанию N - видового сообщества организмов, представленного в виде точечной модели. Для этих целей традиционно используется следующая система уравнений, являющаяся отражением балансовой схемы:

ак/с11=1а11г,г1г„-с1,Х„ Х,(0)=Х°, (37)

I )

где х,(1:), сЗ, - биомасса и смертность I - го вида. Величины гу получают с помощью системы (32), (34) и (35), а„ -(16). V.

В случае моделирования пространственной динамики в пространстве з левой части первого соотношения системы (37), подобно (1), необхо-

димо записать полную или субстанционную производную DX,/Dt, дополнительно краевые и граничные условия:

DX/Dt=cXyA+a1cXi/cl,+b1cX,/cl2+c,cX1/c1!3==Iai/,J-Ir1,-d1Xi; (38)

i j

где L = (li, Ь, !j) - пространственные координаты, принадлежащие параллелепипеду [ОхА, ОхВ, ОхС]; а„ b„ Cj - функции, представляющие собой комбинацию аэро - или гидродинамического переноса и миграций различного типа, выработанных в процессе эволюции:

а; = a,g(L,t) + ai'(L,t) + a,d(N,t) + е(а); (39)

b; = ЬДЦО + b,'(L,t) + ЬДЫд) + e(b);

с; = c,g(L,t) + c,'(L,t) + Cid(N,t) + s(c);

где верхние индексы g, 1 и d указывают на аэро - или гидродинамическую составляющую; миграцию, обусловленную жизненным циклом (размножение - нагул) ; динамику возрастных и трофических переходов - N - множество ЭОГ биоценоза; е(*) - случайную составляющую, обусловленную гидро- и метеофакторами. Определение функций а,, Ь„ с, происходит, как правило, табличным образом и только при описании аэро - или гидродинамической составляющей используются те или иные динамические модели. Например, аналоги или сами уравнения Сен-Венана или Навье - Стокса (гл. 4., ч. 2.).

В соответствии с фреймом экосистемы мы можем привести систему уравнений, описывающую ее функционирование:

DXi(t)/Dt=Xa,1r„-ZrJrdiX,; i с [Р, С. Rj; (40)

j j

DXj(t)/Dt=-VjrXj+XXP,j( 1 -a,j )r„-Ir,J+IdiX1;

i j i '

ОХ,(1)Ю1=-УтХг+УЛ+11у,( 1 -Рк|)( 1 -оц )r,flrir;

1 j >

DX„(t)/Dt= V„,Xr+SI( 1 -y.K 1 -M( 1 -а„)г„-1гт;

1 i 1

X,(0,1)= X",(l). X,(î, 0)=Q,(Î), X,(t, E)=Xc,(t)

где d, -коэффициент смертности; - доля детрита(незаглоченная (N) + he усвоенная пища (U) + экзувиальная продукция (Рсч); Vjr- скорость трансформации детрита в РОВ; V,„ - скорость трансформации РОВ в биогены; - доля РОВ в U и Р„„. На основании систем (16), (32), (34), (35) и (37) авто-

ром данной работы проведено моделирование функционирования ряда реальных экосистем.

Оптимальное управление и эволюционные принципы. Все трехзначное число эволюционных нотаций можно разбить на три большие группы: вещественной субстанции - биогеохнмия; энергетической субстанции -трофоэнергетика: информационной субстанции - энтропия, устойчивость, разнообразие. Общим свойством, отражающим содержание большинства законов, является максимизация определенного биосферного свойства или процесса. Например, принцип Вернадского: «Максимизация биологической миграции атомов». Некоторые нотации сочетают в себе атрибуты различных групп.

Процесс совместного решения систем (16), (32), (34), (35) и (40) можно интерпретировать как типичную задачу оптимального управления (38). В соответствии с вышеизложенными экологическими принципами («волчий закон»: максимизация рациона на каждом временном шаге), обеспечивающими аддитивность (41.1), справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Модель функционирования ВДЭС эквивалентна экстремальной задаче следующего вида:

DX,(t)/Dt = fi(X(t), U(t), t); (41)

Z= Jf0(X(t), U(t), t) dt min;

X,(0,1,)=P,(1,), X,(t, 0)=Q,(t), X;(t, L)=R;(t)

где X,(t) - биомасса i-го элемента экосистемы, U(t) = (r<j) - величины частных рационов, Z- целевая функция. Условие замкнутости системы.

В качестве f0(X(t), U(t), t) можно взять квадрат или сумму абсолютных величин правой или левой частей системы (32). Используя в качестве прототипа функции f»(X(t), U(t), t) систему (32), мы опираемся на стандартный прием многокритериальной оптимизации, переводя ограничения в совокупный критерий. Конечно, можно поступить и обратным путем -перевести фрагмент целевой функции в ограничения, но тогда для построения целевого функционала необходимо привлекать дополнительные теоретические положения о природе функционирования, как отдельных элементов экосистемы, так и экосистемы в целом. Здесь можно использовать определенные эволюционные критерии развития популяций, биоценозов и экосистем.

Не проводя анализ всего множества этих принципов, сделаем необходимые комментарии относительно конкретной связи параметров системы (41) с некоторыми из них. Например, принцип минимума производства энтропии Пригожина или принцип оптимизации (максимизации) средней продуктивности популяции Эйгена. Стоит заметить, что последний прин-

цип является более чем ярким подтверждением идеологии, положенной в основу построения системы (32). В этом случае оптимизационная задача принимает вид:

Z=JIIr„dt -» max; (42)

| j

DX,(t)/Dt = f,(X(t), U(t), t);

(Rm, - X s„ *г„)*(В>Х stJ *r„) = 0; i=l,N; j = 1,N;

Xi(0,l1)=Pi(l1), X,(t, 0)=Q,(t), X,(t, L)=R,(t)

В задаче (42), в отличие от задачи (41) появляются дополнительные ограничения (42.3), ранее представлявшие критерий оптимизации, и изменяется сам оптимизационный критерий. В качестве метода решения (42) оптимизационной задачи в силу аддитивности (42.1) используется алгоритм разд. 3 настоящей главы.

Если мы детально рассмотрим принципы Вернадского, то необходимо постулировать новые формальные критерии, обеспечивающие существование ни одного, а сразу всех элементов экосистемы. В качестве такого критерия можно предложить максимизацию энтропии Е, построенной на строках матрицы селективностей S,j :

E=-ZSsijLn(l/s,j),

i j

отражающему факт равномерности, или, по крайней мере, стремления к ней всего множества потоков между элементами экосистемы. Кроме того, согласно ряду исследований максимальная устойчивость экосистемы, описываемой CJ1B наблюдается при максимальном значении Е.

Существуют критерии, использующие также показатели, относящиеся к вектору составляющих трансформации потребленной энергии или вещества - система (16). Например, в литературе приводится тезис о том, что в процессе эволюции выигрывает тот вид, у которого наблюдается максимальный базальный обмен или низкое значение физиологической константы К: . Этот факт означает большие траты на обмен и низкие значения продукционных показателей, что свойственно высшим эволюционным звеньям. Выбирая тот или иной экстремальный принцип, можно исследовать различные стратегии эволюции экосистем, биоценозов, популяций. И это происходит по сути дела в биосфере. Ответным ходом , направленным на преодоление вышеупомянутых препятствий являются механизмы генетического отбора и конкуренции, как между отдельными популяциями, так даже и между отдельными экосистемами. Стоит заметить, что данная эволюционная стратегия нашла свое применение в виде теории генетических

2-1

алгоритмов при решении многокритериальных оптимизационных NP - задач. Действительно, классическое положение звучит: "С динамической точки зрения "естественный подбор" означает изменение структуры по линии наименьшего сопротивления. Размножение какого - ни будь вида растений или животных в благоприятных для него местностях - это рост в том месте, где противодействующие силы менее интенсивны, чем в других местах. Сохранение разновидностей, которые больше других имеют успе-* хи в борьбе с окружающими обстоятельствами, означает продолжение жизненного движения по тем направлениям, в которых оно наилучше уклоняется от препятствия."

Применительно к решаемой задаче это означает изменение переменных а и b в соотношении (12); t0 - в соотношении (13); s,j - в соотношении (35); Врог - в соотношении (33); К, - в соотношении (16); сц - в соотношении (14) ; a1 ¡, b' ¡, с', - в соотношении (39). Их изменение определяется теми или иными эволюционными принципами.

Рассматриваемым критериям можно также придать и механическую трактовку. Квадрат левой части (32) представляет собой полную кинетическую энергию "удовлетворения желания", которая в процессе минимизации, достигая нулевых значений, обеспечивает максимум прироста биомассы (потенциальной энергии). Здесь, в отличии от механики, где сохраняется сумма энергий, наблюдается равенство значений скоростей изменения обеих форм энергий (стационарное состояние). Далее, в организме генетическим способом заложены принципы Пригожина, Эйгена или вовсе нам не известные. Знание подобных экстремальных принципов или соответствующая интерпретация уже известных вариационных принципов механики, физики, химии имеет неоспоримую значимость для решения самых актуальных практических задач.

Глава 3 содержит следующие виды исследования моделей функционирования ВЭС: формализмы Лагранжа и Остроградского; анализ уравнения «нелинейная диффузия-коквекция-реакция»; доказательство условий эквивалентности НИМ и НДМ.

Лагранжев формализм. Если подставить (12) в (10) и ограничиться только первыми членами разложения, то получится (случай сообщества) соотношение, которое при замене B¡=X¡ и С'"=Х"1, обнаруживает, как структурное, так феноменологическое сходство между j-ым членом, стоящим в i-ом уравнении СЛВ-(6), а нменно:

с||=кВ,С",,<->а„Х,Х|,

ч

означающее тот факт, что СЛВ.-представляет собой агрегированный аналог описания истинной картины трофических взаимодействий между элементами сообщества и поэтому может сравнительно успешно использоваться лишь для качественных, аналитических исследований. Аналогия

правой части рассматриваемого соотношения закону Кулона, системе уравнений химической кинетики второго порядка и некоторым объектам макроэкономики позволяет выдвинуть гипотезу о том, что в основе CJIB лежат некоторые общие, «макро» принципы. Еще один из создателей CJ1B - Вито Вольтерра - предложил вариант обобщения своей системы к уравнениям Лагранжа, получаемых на основе механического принципа наи» меньшего действия (ПНД), путем введения новых переменных, а именно: он заменяет переменные, входящие в состав СЛВ на их производные по времени, формально получая при этом систему ОДУ второго порядка. Кернеру в результате оригинального подхода удалось идентифицировать конкретный вид лагранжеана и гамильтониана для СЛВ при условии антисимметрии коэффициентов ач=-а|,

dV/dt^Ia^G/dVj, 2L=ZEa"'ijV1clV/dt-G, G^Eq^eVVO^onst

где q,-решение стационарных уравнений системы (6) и V,=X,/qi. Возможность представления СЛВ в градиентном виде существует при симметрии коэффициентов аи=а(1. Синтезом этих условий является равенство

На основе идеи Вольтерра автором данной работы получено представление СЛВ (для случая трех переменных) в виде системы экстремалей уравнения Эйлера - Лагранжа, которое выражается с помощью следующей теоремы

Теорема 5. СЛВ представима в виде системы экстремалей уравнения Эйлера - Лагранжа

d/dt(cL/ax',)-dL/5X, = -cR/cX',; X^dX/dt ¡=1,3; (43)

L=F(x,y)z)XX+G(x,y,z)Y'Y+H(x,y,z)Z'Z=S(e4A,xl+Bix2+ciX3)X'iX'„

t

2R(X ,Y, Z)=GvX'Y Y +H,Z'Z'X+F,X'X Y+HlZZ'Y + +РД X Z +G/Y Y Z .

{F,G, Н!~е*|;,х''ЬГтс/л

где a, b, с - const, умноженные на 2 или 1/2 в зависимости от соответствующего множителя в следующей системе

d-X/dr=-X'(F4/(2F)X^2(F>/F)Y+2(F//F)Z),

d~Y/dr=-Y (2(G4/g)X +G>/(2G)Y +2(G//G)Z),

d2Z/dr=-Z(2(H4/H)X+2(H>/H)Y+H//(2H)Z).

Появление дисснпативной функции ЩХ,У , Z) подтверждает соответствующий характер СЛВ. Однако, данное обстоятельство является простым следствием механизмов трансформации субстанции (16).

Выражение (43.2) можно использовать для определения характера устойчивости СЛВ. Согласно положениям тензорного анализа, (43.2) определяет выражение линейного элемента (ЛЕ) некоторого неевклидова пространства:

с!52= I е('2а'-'х,)с1Х|,

которое в соответствии с аналогией, указанной С. Ли, является критерием ламинарного я турбулентного течений жидкости (характера решений СЛВ), Исходя из конкретного вида рассматриваемого выражения, условие ламинарного течения выполняется только при а^=соп51 V у, представляющем некую прямую в соответствующем пространстве параметров. Данное условие является частным случаем и общая картина процессов в реальных системах, описываемых СЛВ, в соответствующей степени изоморфна турбулентному течению жидкости, отражающим их нелинейную природу функционирования, выражающееся в наличии странных аттракторов у СЛВ. Помимо С. Ли аналогия между (1) и описанием турбулентных процессов отмечается также Ландау.

Формализм Остроградского. Как уже говорилось в предыдущем разделе. в общем случае для систем типа (6) не удается получить консервативную форму закона сохранения энергии в виде уравнения Лагранжа 2 -го рода (уравнения Эйлера - Лагранжа (УЭЛ)): с1Х,/(11=<5\751, У= У(Х;). Однако. для системы (2) довольно легко установить справедливость закона сохранения следующего вида ¿ХД^ = с^У/оХ2;. Функция V = У(Х) получается по алгоритму

V = ШХ)с1Х; аХ| (44)

где ^(ХУ-суть функции, стоящие в правой части (6). Идея двукратного интегрирования вытекает из свойств симметрии (6), проявляющейся в следующем виде г"Г,(Х) /А", = | сопэс, \ = .¡; О, I * Л, которое в матричном виде представляет собой чисто диагональную матрицу, где диагональ содержит коэффициенты а,-,.

Помимо формального определения функция V имеет также вполне конкретный физический смысл: доставляет экстремум функционалу,

][у] = ЦУ\+У\)с1Хс1У (45)

представляющему потенциальную энергию мембраны, описываемую уравнении Лапласа:

при некоторых краевых условиях: V = g, на границе Э. Отсюда легко перейти к решению вопроса о регламентации вариационной задачи и, как следствие, вариационного принципа (ВП) для (6). В ряде работ показано, что в соответствии с теоремой о минимуме энергии решение задачи Дирихле (46) эквивалентно минимизации (45). В данном случае УЭЛ представляет собой уравнение Эйлера - Остроградского (УЭО) для (45). Ректо-рис подробнейшим образом рассмотрел условия, обеспечивающие эквивалентность (45), с одной стороны, и (46). При наличии гладкости и существования решения у (46), наблюдающихся в рассматриваемом случае, указанная эквивалентность полностью выполняется. Таким образом доказана теорема:

Теорема 6. Система Лотки - Вольтерра является системой типа

где функция V доставляет экстремум функционалу потенциальной энергии

Итак, в виде вышеизложенной теоремы получена связь между СЛВ и ВП, заключающимся в минимизации потенциальной энергии. Другими словами, динамика системы (6) конкретным образом (45) связана с поверхностью, обладающей минимальной потенциальной энергией. Однако, в число переменных, участвующих в УЭЛ, не входит время и сфера действия происходит в стационарном случае. Указанное обстоятельство существенным образом ограничивает область приложения ВП к исследованию конкретных процессов. В связи с этим доказывается теорема:

Теорема 7. СЛВ представляет собой систему экстремалей УЭО следующего вида

(46)

<1х/а1=з2у/дх\

(45).

¿Щди5Х\Уд115Хг(д11/дХ2й=0<* «-^Х/аг-с^/ст^О

(47)

(48)

для функционала

(49)

^=-1Ш11<"т,(Х )/гх, г,(Х) ах, ах, ах, ах, (50)

Идея доказательства основана на дифференциации (6) по I и возможности варьирования кратности интегрирования в (50) необходимое число раз, которое требуется для соответствия уравнению Эйлера-Остроградского и отвечающему ему ВП.

Полученное соотношение (46) для случая, условно называемого стационарным; и (48) для динамического. Их формальная и механическая интерпретация существенным образом отличается от Лзгранжевой механики. Здесь исчезают привычные ранее первые производные: поиск функций -аналогов лагранжеанов производится в более общих семействах. Механическим аналогом (48) является задача малых колебаний пластинки или системы стержней. Феноменологическим отличием пластинки (стержня) от мембраны является тот факт, что деформация мембраны представляет собой растяжение (первую производную), а пластинки (стержня) - изгиб (вторую производную). Представление энергии через вторые производные и использование УЭО дают четвертую производную в уравнении - аналоге (48).

Агрегированные пространственные модели ВЭС. Как показано в гл. 1., ч. 1, агрегированной моделью ВЭС служит

ах/с1=с(а(1,1,х)ах/б1)с1-а(с(1,1,х)ху51+{(Ь(1Л),х) (51)

Х(0,0)=Х", Х(0,!)=Х'(1), Х(0,Е)=Хс, 1е[0,Е], Т].

Согласно экологической теории функция С(Ь(и),Х), отражающая прирост биомассы, в первом приближении эквивалентна логистическому уравнению (4). Однако, для более детального исследования особенностей качественного поведения агрегированной динамики ВЭС необходимо использовать иное уравнение. Действительно, основной прирост биомассы определяется, в конечном итоге, функционированием фитопланктона РЬ(Х): остальные элементы биоценоза осуществляют его трансформацию Об(Х). Поэтом) Г(Ь(и),Х)~Р11(Х) Оэ(Х). Далее. РЬ(Х) можно представить как аХ, а Оэ(Х) является результатом синтеза (4), (16) и (10) или (33). При Сч=а\У|,~аХь, В'~Х2 и отбрасывании нелинейных членов в (10) получим:

Г(Ь(д),Х)~аХ(1-Х1,Х>аХ(1-Х:,ь) (52)

Однако, в первом приближении В"~Х. Тогда (52) можно записать, как

1( Ь( 1.1), X )~аХ( 1 -Х"Х ЬаХ( 1 -X 1>аХ( 1 -Хг) (53)

Далее, биологическая составляющая коэффициента диффузии в (51) соответствует тратам на обмен Т на рис. 1. и пропорциональна Х2+ь или Х'~ь. Тогда (51) предстанет, как

5Х/сг=с(а(1,1)а(Х)сХ/с1)е1-е(с(1,1,Х)Х)/о1+Ь(1,1)Х( 1 -"(Х)) (54)

где §(Х) - Х2тЬ или Хьь (X5 или Х:). Однако, в силу известного произвола, положенного в основу конструирования ДЬ(1,1),Х), (54) может быть представлено в более общем виде

оХ/а=с(а(1,1)Ь(Х)аХ/а1)51-5(с(1,1,Х)Х)/Э1+Ь(1,1)Х(1^(Х))

Если в (54) в качестве §(Х) принять Х"и коэффициенты а(1,1), ЬОД) и с(1,1) считать постоянными, то можно получить аналитическое решение, которое в общем случае выражается через эллиптические функции. Покажем это при а5(Ь(Х)ЭХ/<?1)с^=ас(ХЭХ/Э1)Э1 и g(X)=X2. Сделаем замену Х(и)=и(1-к1)=и(г). Тогда из (5а) получим:

-ки'=аи'2+аии"-си'+ЬЬ'(1-и:!)->аи'2+аии"+(к-с)и,+Ьи(1-и2)=0. (55)

Без потери общности можно положить к=с и, вводя переменную Р(11)=и'(г), из (55) получим

Р' +РЛ_!>Ь/а( 1 -и! )/Р=0

которое представляет уравнение Вернули. Используя стандартную замену q=P2, (ц'=2РР'), перейдем к

Ч'+2/ич+2Ь/а(1-и2)=0.

Решая его получим

Ч:и4а/2+2Ь(и5/5-и7/7)=С, (56)

С=А-Уа/2+2Ь(е5/5-е7/7), ч(е)=А, е*0. Вспоминая замены ц=Р(и)"! и Р(и)=1Р(2), получим

4____

и'(г)= ± 2V (С-Ь(и5/5+и7/7))/и4а ,

которое уже не интегрируется аналитически. Для У(г) получено численное решение, представляющее бег>щую волну, определяемую биодиффузией.

X

Рис. 4. Решение (55).

При постоянных коэффициетах, (54) можно представить в виде уравнения Эйлера-Лагранжа. Для этого воспользуемся (55), которое представим, как

'/2а(и2)"-си'+Ьи(1-и2)=0, (57)

которое соответствует

л/Мсигиуеиди = -гя/а/, и »¿шг, (58)

Я=1/2с(и,)г, Ь=у2(а(и')2-ь1и(1-иг)аи)

Если при замене Х(1,1)=и(1-к0=и(2) положить к=с, то (58) представляется полностью в консервативной форме.

Непрерывный аналог дискретных моделей. Соотношения (20) и (21), полученные на основе одного и того же комплекса экологических предпосылок при использовании их в дискретной модели х1+,=Г(х') генерируют различные последовательности итераций.'Осцилляцгаг истационарное решение. В силу трендового характера экологических законов для идентификации корректных моделей необходим формальный критерий. В качестве последнего может выступать аналитическое решение экологически обоснованного непрерывного аналога дискретной модели, генерирующего, если не псевдослучайные осцилляции, то, по крайней мере, периодические колебания. Данным объектом служит ОДУ первого порядка с разрывной правой частью, представляющее обобщение (4)-. \

ёХ/Л=Х(Ьч1-М(Ь-с1 )Н(Х-К))=Х(а-ЫаН(Х-К)) (59)

где Ь - скорость прироста биомассы популяции, ¿-фоновая смертность, К-емкость среды, Н(х)-функция Хевисайда, Ы-параметр, определяющий увеличение скорости отмирания. Феноменологический смысл (59) довольно стандартен: при достижении переменной х значения К происходит уменьшение скорости прироста аддитивным образом в отличии от мультипликативного в логическом уравнении. (59) при произвольно выбранных К=3 и N'=2 имеет аналитическое решенпе-Х-2Н(Х-2)Х+4Н(Х-2)=С-1 или

[1,1<2

Х(1)= 4 (60)

Ьтоска), 02,

Здесь справедлива следующая теорема, определяющая условие адекватно-ности НИМ и НДМ.

Теорема. 8. Если НДМ представима в форме

с1Х/Л=1-аН(Х-с),

то решения НИМ и НДМ эквивалентны.

Часть 2. Математическое моделирование экосистемы реки Енисея. В главе 1 посредством анализа литературного фонда исследований, являющегося яркой иллюстрацией неполноты информации, описывается состав и особенности функционирования основных сообществ экосистемы реки Енисея (ЭСЕ). Регламентируется их значимость в общей схеме потоков субстанции. Привлекая результаты по гидрологии Карского моря и реки Енисея, произведена декомпозиция всей акватории на основные эколого-акваториальные подсистемы, регламент внешних границ-рис. 12.-й запасов различных видов субстанции в ЭСЕ.

В главах 2 и 3 рассматриваются характеристики экотопа и биоценоза ЭСЕ.

Глава 4 посвящена построению матаматической модели функционирования ЭСЕ.

Таблица №3.

Вр 1_т Нт ! РЬ ! вс Рг Е X I Мм

Пелагиадь + + ; + 1 + 1 + 4. + + + +

Бенталь + + + ¡© + + + 4- +

Вход с тер. бассейна + + + - ; + | \ ; ©

Вынос + + + + 1 + 1 +- 1- + I

Модель функционирования ЭСЕ. Рассматривается модель функционирования ЭСЕ, построенная в соответствии с результатами предыдущих пунктов и содержания гл. 1. и гл. 2., ч. 1. Номенклатура состава и распределение по блокам, представленное в табл. № 3, имеет следующий экологический смысл: Вц-биоген, Ет-лабильное ОВ, Нт-стойкое ОВ, Бьдетрит, РЬ-продуцент. Вс-бактерпи, Рг-простейшие, Е-эврифаги, Х-хищники, I-ихтиофауна, Мм - морские млекопитающие, "+"-зиачимое присутствие и действие, "©"-теоретически возможное, но не реализованное в виду неполноты данных.

В таблице № 3 не отражен феномен хищничества 2-го порядка: он реализуется непосредственно в модели.

Рис. 5. Границы и подсистемы ЭСЕ. I-центральные районы Карского моря; 2-омулево-нерповый регион ЭСЕ; 3-муксуно-сиговый регион; ' 4-припайно-мелнководная область Карского моря; 5-район заприпайной полыньи Карского моря; 6-бассейн ЭСЕ; 7-территории бассейна водохранилищ.

Процессе моделирования функционирования ЭСЕ строился в виде двух этапов. На первом этапе разработана линейная модель всей акватории ЭСЕ. соответствующая системам (37)-(38). Уравнения переноса (38) реализуются в виде явной разностной схемы со следующими порядками аппроксимации: ! по t, 2-х. Стандартные условия устойчивости выполнены. В целях повышения порядка аппроксимации использовалась разностная схема, эквивалентная методу Рунге-Кутты четвертого порядка. Однако, не было получено существенного повышения результатов по сравнению со вторым порядком. Для оценки скоростей течения использовалась система уравнений Сен - Венана.

Недостаточность экспериментальной информации не позволяет использовать линейную модель для практических расчетов. На ее основе произведена серия модельных экспериментов по исследованию полей динамики отдельных показателей (температура, взвесь, биогены и фито- и зоопланктон т.д.). С помощью полученных результатов выполнена идентификация параметров ядра ЭСЕ, для которого уже имеются достаточные объемы информационного обеспечения натурными данными.

На втором этапе моделирования реализован точечный (агрегированный) вариант расчета функционирования ядра ЭСЕ, с достаточной степенью соответствия эквивалентного устьевой области. Дальнейшие исследования производились для этого варианта.

Верификация модели проводилась на основе имеющихся экспериментальных данных, характеризующих состояние ЭСЕ. В случае отсутствия необходимых измерений использовались результаты полевых исследований по водоемам-аналогам и лабораторных по видам-аналогам. Учитывая наличие статистической составляющей в природе экспериментальных данных и особенности методологии сравнительного анализа в естественных науках, критерий верификации модели строился на основе комбинации следующих показателей: интегральных величин продукций ЭОГ или объемов поступления-выноса и величины коэффициента корреляции, отражающего степень подобия динамики.

В качестве дискриминационных значений интегральной составляющей совокупного критерия использовались следующие оценки допустимых погрешностей: гидрохимия-10 %; гидробиология-25 %; ихтиология и учет морских млекопнтающих-ЗО % (идеальная), 50 %-приемлемая. В соответствии с номенклатурой ЭСЕ средневзвешенная ошибка находится в пределах 20-30 %.

Глава 5. На основании вычислительного эксперимента, воплощенного в виде комплекса программ, реализованных в среде Borland С++ Builder 3.0 j.T«\Vindovvs 95, были получены оценки всей совокупности потоков субстанции между ЭОГ. Верифицирована оценка объема кормовой базы ихтиоценоча. Исследованы особенности динамики отдельных элемен-

тов. Выявлено наличие многолетних циклов для ЭОГ, обладающих низкими показателями функционирования.

Моделирование динамики отдельных видов: прогнозные задачи. В виду пирамиды биомасс ЭОГ ЭСЕ и неполноты данных детальное исследование динамики демографической структуры популяций ихтиоценоза и сообщества морских млекопитающих целесообразно проводить в рамках дискретных моделей, описанных в гл. 2., ч. 1.

Рис. 6. Динамика вылова и общего запаса ихтиомассы ЭСЕ.

Рис. 7. Динамика вылова и общей биомассы популяции муксуна.

о гч о ч- 1Л со га а>

1Л г- '"О ГГ| о Г-( (О

сп от О) 07 <т> О) о о о

т— г— т— т— •Л С 4 Г-1 (Ч

Рис. 8. Динамика возрастной структуры популяции омуля.

Проведены прогнозные исследования динамики общего запаса биомассы ихтпоценоза ЭСЕ (рис. 6) и ряда видов, обуславливающих значимую долю в структуре вылова, динамика некоторых из них показана на рис. 7. и рис. 8. Главным фактором, определяющим динамику рассматриваемых ЭОГ. является величина промвоздействия (вылова). Путем вычислительного эксперимента разработан прогноз эксплуатации, определена стационарная стратегия, соответствующая экономическим требованиям. , Не вдаваясь в детали эксплуатации отдельных видов, приведем величины обшей квоты вылова. Она составляет 5 Кт/год, что в пересчете на население г. Красноярска дает 5 кг/чел/год.

Приложение I. Приведены результаты гидрографических и гидрологических ЭСЕ и сопредельных водоемов.

Приложение 2. Приведены результаты экологических исследований ЭСЕ, сопредельных объектов и водоемов-аналогов

Заключение

В диссертационной работе получены и теоретически исследованы следующие результаты:

1. Созданы теоретические основы синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач.

2. Разработан общий метод формирования математических моделей водных экосистем на основе формализмов Лагранжа и Остроградского.

3. Разработан метод представления математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления.

4. Построены точный и «жадный» алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

5. Построена математическая модель экосистемы реки Енисея и математические модели промысловых объектов (ихтиофауна и морские млекопитающие), включая методы прогнозирования состояния экосистемы и промысловых объектов.

6. Доказаны- условия эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей.

7. Построено программное обеспечение, реализующее разработанные модели и алгоритмы.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: Монография:

1 Гайденок Н. Д. Моделирование функционирования экосистемы реки Енисея. - .Красноярск: КГТУ, 2000 г. -170 с

Статьи:

2 Гайденок Н. Д. Опыт построения автоматизированной системы анализа экологических данных АСАЭД. Тр. 12 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва. 1981. с.25-30

3 Гайденок Н. Д., Щеглов А.. И., Цветова Л. М. Свойства почв и продуктивность рисовых посевов на примере АРОС. Тр. краевой НП конф. мол. уч. мелиораторов, Ставрополь, 1943. с.36-42

4 Гайденок Н. Д. Формализованное описание информационной модели некоторых типов экосистем. Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1984. с. 71-77

5 Гайденок Н. Д. Экологический показатель. Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1984. с 43-48

6 Гайденок Н. Д. Подход к построению комплексной информационной модели некоторых типов экосистем. Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 1984. с 127-132

7 Федоров В.Д., Гайденок Н. Д. Исследование некоторых свойств планктонного сообщества Кандалашского залива Белого моря методом математического моделирования. Ресурсы Белого моря. Аппатиты, 1986 . с 76-98

8 Гайденок И. Д. Исследование функционирования планктонного сообщества Кандалашского залива Белого моря методом математического моделирования. На правах рукописи. Диссертация на соискание уч.ст. к.б.н., Москва, 1986 г. 140 с

9 Гайденок Н. Д. Исследование функционирования планктонного сообщества Кандалашского залива Белого моря методом математического моделирования. Автореферат диссертации на соискание уч.ст. к.б.н., Москва, 1986 г. 20 с

10 Гайденок Н. Д. Об одной математической модели водной экосистемы. Тр. 2 конф.мол.уч. ИГБ АН УССР, Киев, 1986 г. с. 91-117

1 1 Бобров ¡O.A., Гайденок Н. Д. Балансовая модель потока энергии в экосистеме Баренцева моря. Тр. 3 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР, Аппатиты, 1986 г. с. 24-28

12 Гайденок Н. Д. Об одной модификации метода расчета рационов питания гидробионтов. Тр. 3 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР, Аппатиты, 1986 г. с. 114-118

13 Гайденок Н. Д.. Косгылев В.А. Определение популяционных параметров баренцевоморской популяции Mythiiis Edulis методом матрицы Лесли. Тр. 4 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР, Аппатиты, 1987 г. с. 171-175

14 Гайденок Н. Д., Гудимов A.C. Исследование цикличности дыхания Mythiiis Edulis на основе гармонического анализа. Тр. 5 конф.мол.уч. ММБИ 1СФ АН СССР. Аппатиты, 1988 г. с. 128-132.

15 Гайденок Н. Д. К определению коэффициента турбулентного перемешивания в акватории Баренцева моря методом машинной имитации. Тр. МрФ. ДАНИИ АН СССР, Мурманск. 1988 г. с. 127-130

16 Гайденок Н. Д. Исследование функционирования экосистемы Баренцева моря методом математического моделирования// Тр. ММБИ КФ АН СССР, Аппатиты, 1988 г. с. 67-94с

17 Гайденок Н. Д. К проблеме лингвистического обеспечения системы экологического моделирования региона. Тр. конф., "Проблемы информатизации города". Красноярск, 1993 г. с. 141-143

18 Гайденок Н. Д. Автоматизированный комплекс моделирования города и региона. Тр. конф., "Проблемы информатизации города Красноярск, 1993 г. с. 144-146

19 Гайденок Н. Д. Геометрические основания некоторых экологических уравнений. Тр. межд. конф. "Механика реагирующих сред", ТГУ, Томск, 1994. с. 73-75

20 Гайденок Н. Д. К численной реализации одного варианта математической модели " Промышленность - экология". Тр. Н.П. конф. " Лесной комплекс и химические производства", Красноярск, 1994 г. с. 85-87

21 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Вариационные принципы в исследовании одной математической модели. Вестник КрасГАУ, 1996, № 1, с 1728.

22 Гайденок Н. Д., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. К исследованию устойчивости одной математической модели как следствия ее геометрических свойств. Вестник КрасГАУ, 1996, № 2, с. 55-68

23 Гайденок Н. Д., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. Описание динамики некоторых типов систем в рамках модели Лотки - Вольтерра. Вестник КрасГАУ, 1996, № 2, с. 43-54.

24 Сазонова В.Е., Гайденок Н. Д. Процесс потребления азота в симбиоти-ческой системе зоохлорелла - простейшие.//Экология, 1996, № 5, с. 2630

25 Гайденок Н. Д., Марк И.А., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. Методы регрессионного анализа и восстановления зависимостей при определении параметров производственных функций(методические указания для студентов экономических и инженерных специальностей). Информационно - издательская служба КрасГАУ, Красноярск, 1997 г. 29 с.

26 Гайденок Н. Д., Андриенко А. И., Куклин A.A., Чмаркова Г.М. Некоторые показатели ихтиоценоза р.Енисей. Тр. Седьмой всероссийской конф. по промысловому прогнозированию, Мурманск, 1998. с. 32-34

27 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Об о^ном фрагменте математического обеспечения ГИС «Енисей». Тр. Н.П. конф. " Лесной комплекс и химические производства". Красноярск, 1998 г. с. 173-175

28 Гайденок H. Д., Чмаркова Г.М. Экологический анаше одногс крупномасштабного эксперимента// Тр. Н.П. конф. " Лесной комплекс i химические производства", Красноярск, 1998 г. с. 176-178

29 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Методы теории катастроф в исследовании реальных систем// Тр. Межд. Н.М. конф. КрасГАУ, 1998 г. с. 49-51

30 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Нелинейная динамика в исследовании колебаний реальных систем// Тр. Межд. Н.М. конф. КрасГАУ, 1998. с. 52-54

31 Гайденок Н. Д. Об однем законе сохранения// Вестник КрасГАУ, 1998, № 3. с. 47-59.

32 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Лагранзгева механика экосистем// Вестник КГТУ, 1998, № 5, с. 58-64

33 Гайденок Н. Д. Моделирование функционирования экосистемы как задача оппагального упргзлелия// Вестник КГТУ, посвященный 65-летпю проф. Б.П. Соустина, 1998. с. 252-261

34 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Лагргнже® формализм в исследования системы Лотки - Вольтерра^/ Тр. Межд. Конф. «Симметрия я законы сохранения», Красноярск, 1998 г. с. 211-213.

35 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Опыт исследования одной задачи экологического моделирования// Вестник КГТУ, 1999, № 6, с.215-230

36 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. К оценке реального вклада экосистемы реки Енисея в решение продовольственной проблемы// Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов: Тезисы докладов Всероссийской научно -практической конференции с международным участием, ч. 3. - Красноярск: КГТУ, 1999 г. с. 271-273

37 Гайденок Н. Д., Чмаркова Г.М. Продовольственная проблема и OLAP -технология// Достижения науки л техники - развитию сибирских регионов Тезисы докладов Всероссийской научно - практической конференции < международным участием, ч. 3. - Красноярск: КГТУ, 1999 г. с. 274-276

38 Гайденок Н. Д, Чмаркова Г.М. Циклы: практика, гносеология, формализм// Вестник КГТУ, 1999, № 6, с. 231-242.

Подписано кпечагк 22.05.00. Формат 60x84x16. Бумага писчая № 2. Уч. изд. л. 2.5. Тираж 100 экз. Заказ №

Р ото принт КГТУ

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ 1. ФОРМАЛЬНЫЙ АППАРАТ СИНТЕЗА И АНАЛИЗА ВОДНЫХ ЭКОСИСТЕМ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОДНЫХ ЭКОСИСТЕМ.

1.1. Аналитические и имитационные модели.

1.2. Направление Лотки - Вольтерра.

1.3. Методология Ивлева-Меншуткина.

1.4. Классическое описание экосистемы.

1.5. Дискретные модели.

1.6. Формальные свойства одномерных отображений.

Выводы.

ГЛАВА 2. МЕТОДОЛОГИЯ СИНТЕЗА ИМИТАЦИОННЫХ И

АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЭС.

2.1. Синтез математических моделей ВЭС на базе объединения трофоэнергетической и популяционной теории.

2.2. Синтез моделей экосистем и сообществ.

2.3. Практическое моделирование биоценоза.

2.4. Оптимальное управление и эволюционные принципы.

Выводы.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЭС.

3.1. Лагранжев формализм.

3.2. Формализм Остроградского.

3.3. Агрегированные пространственные модели водных экосистем.

3.4. Непрерывный аналог дискретных моделей.

Выводы.

ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭКОСИСТЕМЫ РЕКИ ЕНИСЕЙ.

ГЛАВА 4. Общая характеристика экосистемы реки Енисея (ЭСЕ).

4.1. Краткая характеристика биоценоза ЭСЕ.

4.2. Анализ рыбопродуктивности ЭСЕ.

4.3. Анализ гидрографических условий и регламент водоема - аналога. 81 Выводы.

ГЛАВА 5. Характеристика экотопа ЭСЕ.

5.1. Гидрология и гидрография.

5.2. Грунты.

5.3 Гидрохимия водной толщи и грунта.

5.4.Поступление биогенных элементов (азота).

5.5. Органическое вещество в грунтах ЭСЕ.

5.6. Климат территории бассейна ЭСЕ.

5.7. Геологические процессы.

Выводы.

ГЛАВА 6. Характеристика биоценоза ЭСЕ.

6.1. Характеристика планктона ЭСЕ.

6.2. Характеристика бентоса ЭСЕ.

6.3. Характеристика ихтиоценоза ЭСЕ.

6.4. Характеристика сообщества морских млекопитающих ЭСЕ.

Выводы.

ГЛАВА 7, Математическая модель функционирования ЭСЕ.

7.1. Пороговая концентрация потребления корма.

7.2. Линейная модель функционирования ЭСЕ.

7.3. Описание элементов и структуры агрегированной модели.

Выводы

ГЛАВА 8. Вычислительный эксперимент.

8.1. Результаты моделирования распространения вещества по акватории ЭСЕ.

8.2. Моделирование функционирования ЭСЕ.

8.3. Моделирование динамики возрастной структуры популяций биоценоза ЭСЕ.

Выводы.

Развитие производственной и социальной сфер деятельности человечества, сопровождающееся усложнением промышленных технологий и ростом антропогенного воздействия на окружающую среду, в настоящее время достигло таких масштабов, когда остро встает проблема о дальнейшем существовании человечества. Решение ее традиционными умозрительными методами экспертов оказывается просто невозможным: здесь требуются математические модели и вычислительная техника. Однако уже первые попытки непосредственной трансмиссии существующего формального аппарата точных наук показали не столько скромные результаты, сколько открыли множество неожиданных препятствий и ограничений на пути его применения, причины которых обусловлены свойствами экосферы. Феномены запаздывания, нелинейные механизмы и дискретные процессы составляют перечень ее характерных атрибутов. В связи с этим применение формальных методов, ставших классическими в точных науках, к реальным объектам требует разработки соответствующего теоретического багажа, связанного, как с обоснованием возможности применения, так и с формализацией объекта исследования.

Все вышеизложенное в полной мере относится и к проблеме моделирования ВЭС, являющейся частной задачей оптимального использования ресурсов биосферы.

Перспектива подобных проблем становится достаточно очевидной и в отношении всего бассейна реки Енисея. Действительно, существующие каскады водохранилищ на р. Ангаре и Енисее, строительство Богучанской ГЭС, горно-химический комбинат, водозабор на Пеляткинском газовом месторождении только усугубляют напряженную экологическую обстановку. В связи с этим актуальность данной работы не вызывает сомнений.

Проведение процесса математического моделирования экосистемы реки Енисея по сути дела требует реализации ряда направлений научных исследований и их обеспечения. Отправляясь от существующего уровня развития математического моделирования, необходимо произвести:

1. Предметную привязку имеющегося множества моделей и необходимую трансформацию его в соответствии с конкретными условиями и масштабами объекта;

2. Обобщение модельного арсенала на базе симметрии законов сохранения вещества, энергии и ее аналогов.

Первый процесс производит необходимую детализацию, создание уникальности разрабатываемого множества моделей, ориентацию на решение конкретной практической задачи. Формальным результатом этого направления является некоторая система УЧП с переменными по времени и пространству коэффициентами, имеющая квазиимитационный характер. Ее реализация и исследование возможно в виде вычислительного эксперимента.

Естественным дополнением данного процесса является проведение аналитических исследований, ориентированных на изучение общих свойств агрегированных моделей уже являющихся объектами данного вида исследований. В соответствии с потенциальной неустойчивостью природных экосистем и их элементов основным аппаратом здесь служат законы сохранения вещества, энергии и ее аналогов и генерирующие эти законы вариационные (эволюционные) принципы. Использование вариационных принципов позволяет не только строить математические модели на некоторой единой основе, но и эффективные алгоритмы программной реализации данных моделей. Главной идеей использования данной методологии является максимальное заимствование, перенос тех механизмов, на основании которых происходит функционирование экосистем и их элементов. В качестве практических результатов могут служить корректные математические модели, имеющие высокоэффективные алгоритмы получения решения. Сюда относятся: энтропийные и жадные алгоритмы решения открытой задачи распределения ресурсов; популяционные алгоритмы решения задач оптимального управления.

Реализации вышеуказанных направлений генерирует следующие цели: создание теоретических основ синтеза и алгоритмов реализации математических моделей водных экосистем (ВЭС); построение и исследование математической модели функционирования экосистемы реки Енисея (ЭСЕ) на базе аналитических и численных методов, включая прогноз состояния рассматриваемой экосистемы по отношению к антропогенному воздействию; разработка программного обеспечения, реализующего эти модели и алгоритмы. Под синтезом в данной работе понимается: «Соединение различных элементов объекта в единое целое, обладающее новыми свойствами, отличными у исходных объектов». В ходе работы решаются следующие задачи:

1. Создание теоретических основ синтеза математических моделей ВЭС и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач, включая задачи оптимального управления и задачи распределения ресурсов открытого типа, описывающей процесс трофических взаимодействий сообщества популяций.

2. Создание алгоритмов реализации математических моделей ВЭС и динамики популяций, включая: точный и жадный алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов; алгоритм решения задачи оптимального управления.

3. Создание базы знаний моделирования функционирования экосистемы реки Енисея.

4. Построение математической модели функционирования экосистемы реки Енисей

5. Анализ математической модели функционирования ВЭС, включая: формализм Лагранжа и Остроградского, вычислительный эксперимент, анализ условий эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей. Анализ агрегированной модели функционирования ЭСЕ

6. Разработка программного обеспечения, реализующего вышеупомянутые модели и алгоритмы, в среде Borland С++ Builder v3.0 на базе OS Windows 95.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Созданы теоретические основы синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач.

2. Разработан общий метод формирования математических моделей водных экосистем на основе формализмов Лагранжа и Остроградского.

3. Разработан метод представления математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления.

4. Построены точный и «жадный» алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

5. Построена математическая модель экосистемы реки Енисея и математические модели промысловых объектов (ихтиофауна и морские млекопитающие), включая методы прогнозирования состояния экосистемы и промысловых объектов.

6. Доказаны условия эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей.

7. Построено программное обеспечение, реализующее разработанные модели и алгоритмы.

Помимо рассматриваемой области применения точный и жадный алгоритмы энтропийного типа имеют самостоятельное применение в решении задач теории расписаний, экономики для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

Методы исследований: теория нелинейных отображений; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных; математическая экология, включая теорию динамики популяций, сообществ и экосистем; методы решения экстремальных задач, в том числе: энтропийные методы решения открытой задачи распределения ресурсов и методы теории оптимального управления; экспериментальные методы анализа характеристик ЭСЕ.

Повышение эффективности применения вышеперечисленных методов исследований достигалось на базе: ППП Maple V R4 и программного обеспечения, реализованное в виде ПП в среде Borland С++ Builder v3.0 на базе OS Windows 95.

Практическая ценность работы состоит в применении математических моделей динамики популяций ВЭС, в исследовании и выработке вариантов стратегий оптимальной эксплуатации ЭСЕ. В результате вычислительного эксперимента получено ранее отсутствующее объяснение существования эндогенных циклов динамики элементов биоценоза ЭСЕ, что позволит более адекватно обосновать систему мониторинга и использовать эту информацию при осуществлении контроля и получения научно обоснованного прогноза состояния экосистемы и квоты изъятия промысловых объектов.

Диссертационная работа состоит из введения, двух частей, заключения, списка литературы, актов о внедрении и 2 приложений.

Выводы

Данная глава является итоговой в настоящей работе. Здесь приводятся результаты верификации или испытания созданных теоретических основ функционирования ВЭС и динамики популяций и, как следствие, математических моделей, построенных на базе разработанного теоретического аппарата.

На основании содержания данной главы можно сделать следующие выводы:

1. Построена математическая модель реального объекта - ЭСЕ обеспечивающая совпадение в пределах ошибки опыта результатов расчета и экспериментальных данных.

2. Математические модели для ряда промысловых популяций дают теоретически обоснованные квоты добычи, совпадающие с оценками квот, полученных традиционными методами.

3. Модельное исследование влияния промысловых квот добычи популяции белухи является иллюстрацией хищнической эксплуатации данного вида.

Заключение

В диссертационной работе получены и теоретически исследованы следующие результаты:

1. Созданы теоретические основы синтеза математических моделей водных экосистем и динамики популяций посредством объединения демографической и трофоэнергетической теории на базе экстремальных задач.

2. Разработан общий метод формирования математических моделей водных экосистем на основе формализмов Лагранжа и Остроградского.

3. Разработан метод представления математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления.

4. Построены точный и «жадный» алгоритмы энтропийного типа для получения решения открытой задачи распределения ресурсов.

5. Построена математическая модель экосистемы реки Енисея и математические модели промысловых объектов (ихтиофауна и морские млекопитающие), включая методы прогнозирования состояния экосистемы и промысловых объектов.

6. Доказаны условия эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей.

7. Построено программное обеспечение, реализующее разработанные модели и алгоритмы.

Рассмотрим каждый пункт более подробно. Создание теоретических основ математического моделирования функционирования ВЭС вызвано необходимостью построения корректных математических моделей, позволяющих в условиях неполноты информации использовать результаты натурных исследований, проведенных на водоемах аналогах. Именно такая ситуация сложилась в отношении ЭСЕ.

В тех случаях, когда присутствует неполнота результатов экспериментальных исследований и имеющиеся данные носят «реперный» характер, процесс математического моделирования фактически сводятся к построению фрейма объекта исследования, с помощью которого будет восстановлена пусть агрегированная, но все же адекватная картина его поведения. Одним из способов получения искомого фрейма является использование вариационных принципов, позволяющих на единой основе описывать целый класс объектов. Это становится возможным в силу существования у экосистем определенных свойств симметрии движения, которая рассмотрена в работах [102 - 104, 111 - 114]. Данная методология имеет широкое применение в аналитической динамике [359, 337], где на основе понятия энергии с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа, отражающих принцип наименьшего действия, производится анализ механических объектов.

Представление математической модели водных экосистем в виде задачи оптимального управления вызвано необходимостью учета особенностей функционирования элементов ВЭС, которые формализуются не только в виде балансовых соотношений, но и в виде некоторых экстремальных принципов. В настоящей работе показано использование принципа максимизации рациона для описания динамики ВЭС. Также приведен алгоритм, позволяющий учитывать дополнительные критерии, определяющие функционирование ВЭС.

Эффективное описание динамики ВЭС достигается том случае, когда задача оптимального управления в соответствии с аддитивными свойствами целевой функции представляется в виде многоэтапной задачи нелинейного программирования. В этом случае на каждом шаге необходимо решета открытую задачу распределения ресурсов. Для эффективного ее решения разработаны точный и жадный алгоритмы. Причем сокращение объемов вычислений при использовании жадного

3 5 алгоритма определяется величинами 10 - 10 .

Построенная математическая модель экосистемы реки Енисея и математические модели промысловых объектов (ихтиофауна и морские млекопитающие) описаны в главах 6 и 7. В главе 4 производится формализация объекта исследования путем регламента номенклатуры видов, обеспечивающих реальный вклад в функционирование ЭСЕ. Полученный регламент обеспечивает определение физических границ ЭСЕ. В главе 8 на основе моделирования возрастной структуры ряда промысловых популяций производится прогнозирование состояния промысловых объектов. В результате последнего получаются квоты вылова.

Необходимость доказательства условий эквивалентности дискретных и непрерывных нелинейных моделей вызвана потребностью дифференциации «тонких» механизмов функционирования популяций и собственно формальных артефактов. Положение дел заключается в том, что расплывчатые формулировки биологических законов обеспечивают возможность появления формальных артефактов, вызванных стремлением повысить эффективность вычислительной работы в процессе моделирования.

Для компьютерной реализации разработанных моделей и алгоритмов автором было построено программное обеспечение. Для этого использовалась среда Builder С++ 3.1 и OS Windows 95. Выходные документы работы программ ориентированы на повышения эффективности использования их другими видами стандартного ПО.

1. Абакумов А.И., Кольев Н.В., Максименко В.П., и др. Матричный метод оценки запаса и прогнозирования вылова популяций морских ор-ганизмов//Вопр. Ихт.-1994.- Т. 34,- С. 400-407.

2. Айзерман М.А., Алексеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории.-М.: Наука, 1990.-240 с.

3. Алексеев В.В. Биофизика сообществ живых организмов//УФН.-1976.-Т. 120.-Вып. 4.-С. 647-677.

4. Алексеев В.В., Лоскутов А.Ю. О возможности управления системой со странным аттрактором//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л., 1985.-Т. 8.-С. 175-189.

5. Алексеев В.Р. Диапауза ракообразных: Эколого-физиологические аспекты. М., 1990.-144 с.

6. Алексеенко В.А., Кудрявцева Н.А., Марунич С.В. Водная миграция биогенных элементов и органических веществ на лесном полигоне северо-запада ЕТС//Тр. ГХИ.-Л. 1988.-Т. 103.-С. 17-34.

7. Алексюк А.П., Шульга Е.Л. Некоторые данные о зоопланктоне Путо-ранских озер//Путоранская озерная провинция: Тр. ЛИН.- Новосибирск, 1975.-Т. 20(40).-С. 194-199.

8. Алимов А.Ф. Введение в продукционную гидробиологию. -Л.: Гидро-метеоиздат, 1989. 151 с.

9. Алимов А.Ф. Продукция пресноводных двустворчатых моллю-сков//Общие основы изучения водных экосистем. Л., 1979.-С. 177 -179.

10. Алимов А.Ф., Финогенова Н.П., Балушкина Е.В., Аракелова Е.С. Продуктивность зообентоса//Исследование взаимосвязи кормовой базы и рыбопродуктивности.- Л., 1986.-С. 87 119.

11. Алимов А.Ф. Сезонные и многолетние изменения биомассы зообенто-са континентальных водоемов// Гидробиологический журн.-1991.-Т. 27. -№ 2.- С. 3-8.

12. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнений в приложениях. Наука, 1987.-158 с.

13. Амиргалиев Н.А., Лопарева Т.Я., Накупбеков С. Биогенные вещества в воде водохранилищ Верхнего Тобола//Тр. ГХИ.- Л., 1986.- Т. 96.- С. 49-69.

14. Андриенко А.И., Куклин А.А., Михалев Ю.В. Сырьевая база водоемов Красноярского края//Продуктивность водоемов разных климатических зон РСФСР и перспективы их рыбохозяйственного использования. Красноярск, 1978.-Ч. 2.- С. 140-147.

15. Андриенко Е.К. Условия обитания ряпушки в Обской губе//Изв. Гос-НИИОРРХ. Л., 1978.-С. 91-109.

16. Андрияшкин Ю. Г., Козлова И. В., Шилкова Е. В. Степень выедания планктонных рачков молодью пеляди в озере// Трофические связи и их роль в продуктивности природных водоемов : Тр. Симп. ЗИН -Востсибрыбниипроект. Л. 1983.- С. 150-154.

17. Андроникова И.Н., Драбкова В.Г. Биотический баланс озера Красно-го//Биологическая продуктивность озера Красного и условия ее формирования. Л., 1976,- С. 192 - 198.

18. Андроникова И.Н. Структурно функциональная организация зоопланктона озерных экосистем. -Спб.: Наука, 1996. -189 с.

19. Антонов B.C. Возможные изменения гидрологического режима низовьев Енисея при зарегулировании стока//Тр. ААНИИ.- Л., 1972.- Т. 297.- С. 5-20.

20. Антонов B.C. Енисей: гидролого навигационный очерк// Тр. АА-НИИ,- Л.: Морской транспорт, 1962.- Т. 245.- 99 с.

21. Аппель И.Л., Гудкович З.М. Исследование возможных изменений средней солености верхнего слоя Карского моря, вызванных устойчивыми аномалиями речного стока/УПроблемы Арктики и Антарктики. -Л., 1984.- Выи 58.-С. 5-14.

22. Арефьев Д.Б., Каменских Н.М., Черняков А.П. Биологическое состояние и эксплуатация запаса промысловых видов рыб в бассейне р. Под-каменная Тунгуска/УЭкология Прибайкалья. Иркутск, 1988.- С. 96-96.

23. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. и др. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992.- 544 с.

24. Бабенко К.И. Основы численного анализа М.: Наука, 1986. - 744 с.

25. Базилевич Н.И., Вилкова Л.П., Тарко A.M. Модель биосферных процессов с учетом пространственного распределения экосистем су-ши//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л., 1982.- Т. 5.- С. 181-199.

26. Базилевич Н.И., Гильманов Т.Г. Концептуально-балансовые модели экосистем как этап обобщения экологической информации при построении математических моделей/УПроблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. -Л., 1985.- Т. 7,- С. 152-177.

27. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985. -180 с.

28. Балушкина Е.В. Энергетический баланс личинок хирономид и некоторые закономерности процесса продуцирования//Продукция популяций и сообществ водных организмов и методы ее изучения. Свердловск, 1985.-С. 76-88.

29. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. -М.: Наука, 1976.- 496 с.

30. Бахтин Н.П. Оценка изменения гидрологического режима Енисея в результате антропогенного воздействия//Природа Арктики в условиях межзонального перераспределения водных ресурсов. Л., I960.- С. 4547.

31. Бахтин Н.П. Прогноз гидрологических условий Красноярского водохранилища// Тр. КрО СибНИИРХ. -Красноярск, 1967.- С. 387-409.

32. Бахтин Н.П. Река Енисей. -Л.: ГИМИЗ, 1961.-122 с.

33. Башарова Н.И., Кожова О.М. Энергетический баланс зоопланктона и первичная продукция Братского водохранилища (Балагановское расширение)// Круговорот вещества и энергии в озерах и водохранилищах. Листвиничное на Байкале, 1973.- С. 110 - 112.

34. Башкин В.Н. Агрогеохимия азота. -Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1987.-270 С.

35. Белов М.И., Овсяников О.В., Старков В.Ф. Мангазея. Мангазейский морской ход. Л.: Гидрометеоиздат, 1980.-163 с.

36. Белов Н. А. Гранулометрический и вещественный состав взвеси моря Лаптевых//Тр. ААНИИ.-Л., 1967.- Т. 278.- С. 142-144.

37. Белов Н.А. Осаждение взвешенного материала в морях сибирского шельфа//Тр. ААНИИ.-Л., 1976. -Т. 319.- С. 95-100 с.

38. Белов Н.А. Оценка влияния речного стока на образование донных отложений арктических морей//Тр. ААНИИ.-Л., 1976.- Т. 323.- С. 178187.

39. Белов Н.А., Лапина Н.Н. Донные отложения арктического бассейна. -Л.: Морской Транспорт, 1961.- 152 с.

40. Белолипецкий В.М., Генова С.Н., Туговиков В.Б., и др. Численное моделирование задач гидроледотермики водотоков. Новосибирск, 1994,- 135 с.

41. Беляев Г.М. Распределение биомассы бентоса//Биологические ресурсы океана. М., 1985.-С. 112-121.

42. Бикбулатов Э.С., Бикбулатов Е.М. Скорость распада органического вещества фитопланктона в //Микробиологические и химические процессы деструкции органического вещества в водоемах. Л., 1979.-С. 213-224.

43. Биогеохимия органического вещества арктических морей/Под ред. Романкевич А.Е. М.:Наука, 1982.-239 с.

44. Биологическая продуктивность северных озер. 2. Озера Зеленецкое и Акулькино//Тр. ЗИН.- Л.: Наука, 1975.- Т. 8. -182 с.

45. Бицадзе. А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. -295 с.

46. Боброва Н.Н. Сибирская ряпушка// Изв. ВНИОРХ.-Л., 1958.- Т. 44,- С. 183-189.

47. Бобырев А.Е., Криксунов Е.А. Математическое моделирование динамики популяций рыб с переменным темпом пополнения. -М., 1996.129 с.

48. Богатырев Л.Г. Перенос растительного опада в тундровых биогеоце-нозах//Вестник МГУ. Сер. 6. Биология, Почвоведение. 1975.-№ 2. -С. 91-94.

49. Богданов В.Т. Гидрохимическая характеристика Путоранских озер// Путоранская озерная провинция: Тр. ЛИН.- Новосибирск, 1975.-Т. 20(40).- С. 57-63.

50. Богоров В.Г. Продуктивные районы океана//Природа. 1967.- № 10.-С. 40-46.

51. Богоров В.Г. Особенности сезонных явлений в планктоне полярных морей и их значимость для ледовых прогнозов//Зоол. Журн. 1945.-№ 5.-С: 26 - 35.

52. Богоров В.Г. Биомасса зоопланктона южной части Карского мо-ря//Проблемы Арктики. Л., 1945.-№ 1.- С: 65 - 70.

53. Бордовский O.K. Состав органического вещества современных осадков Берингова моря.//Докл. АН СССР.- 1957.- Т. 116.- № 3. С. 443447.

54. Будыко М.И. Глобальная экология. М.: Мысль, 1977. -327 с.

55. Будыко М.И. Климат в прошлом и будущем. Л., 1980.- 350 с.

56. Бульон В.В. Некоторые закономерности первичной продукции озерных экосистем//Продукция популяций и сообществ водных организмов и методы ее изучения. Свердловск, 1985.- С. 19-29.

57. Бурдыкина А.П. Особенности вскрытия устья и низовьев Енисея//Тр. ААНИИ.- Л., 1970,- Т. 290. -С. 34-56.

58. Бурдыкина А.П. Твердый сток рек Арктики//Фонды Аркт. Инст. Л., 1949,- 261 с.

59. Бурмакин Е.В. Кормовые ресурсы Гыданского залива и близлежащих водоемов// Рыбы и рыболовство в бассейне Гыданского залива: Тр. НИИПЗЖПХ.- Л М., 1941.-Вып. 15.- С. 159-178

60. Бурмакин Е.В. Некоторые малопромысловые рыбы из системы Гыданского залива (осетр, омуль, щука, ерш, рогатка и корюшка)// Рыбы и рыболовство в бассейне Гыданского залива: Тр. НИИПЗЖПХ. -Л.-М., 1941,-Вып. 15,- С. 149-158

61. Бурмакин Е.В. О вероятных границах ареала океанической сельди у северных берегов Азии//Проблемы Арктики. Л.-М., 1946.- № 4.- С. 102-106.

62. Бурмакин Е.В. Рыболовство в системе Гыданского залива//Тр. НИИПЗЖПХ: Рыбы и рыболовство в бассейне Гыданского залива. Л.-М., 1941,-Вып. 15.- С.159-178

63. Бурмакин Е.В. Рыбы островов советской Арктики// Позвоночные Арктики: Тр. ААНИИ.-Л., 1957.- Т. 205.-С. 127-151.

64. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.- 382 с.

65. Буторин Н.В., Зиминова Н.А., Курдин В.П. Донные отложения верхневолжских водохранилищ. Л.: Наука, 1975 - 157 с

66. Буторин С. В., Подлесный А. В. Белуха Delphinopterus luecas Pall Енисейского залива и прилегающих участков Карского моря// Рыбы и кормовые ресурсы бассейнов рек и водохранилищ Восточной Сибири: Тр. КрО СибНИИРХ. Красноярск, 1967.- Т. 9. -С. 362 376.

67. Варпаховский Н.А. Рыболовство в бассейне реки Оби. II. Рыбы р. Оби. Спб, 1902.-251 с.

68. Ведрова Э.Ф., Корсунов В.М. Состав лизиметрических вод в дерново -палево глубокоподзолистых почвах Южной тайги Западной Сиби-ри//Почвоведение. - 1985.- № 6,- С. 49-54.

69. Венглинский Д.Л., Лабутина Т.М., Огай Р.И. И др. Особенности экологии гидробионтов Нижней Лены. Якутск, 1987. -184 с.

70. Вершинин В.Н. Эколого-биологическая характеристика и продуктивность личинок хирономид Красноярского водохранилища// Круговорот вещества и энергии в озерах и водохранилищах. Листвиничное на Байкале, 1973.-С. 132 - 135.

71. Вершинин Н.В. Кормовые ресурсы Средней Ангары до зарегулирования стока (донная фауна)//Тр. КрФ. СибНИИРХ. Красноярск, 1967.Т. 9. -С. 261-290.

72. Винберг Г.Г. Интенсивность обмена и пищевые потребности роста рыб. Минск, 1956. -241 с.

73. Винберг Г.Г., Анисимов С. И. Опыт исследования математической модели водной экосистемы // Тр. ВНИИРО. -М, 1969.-Т. 67. -С. 49-75.

74. Воробьев В.И. Карское море. Л.: Изд-во Главсевморпути, 1940. -128 с.

75. Воробьев В.Н., Дмитриев А.А. Экстремальные колебания уровня на баре реки Колымы и возможности их долгосрочного прогнозирова-ния//Тр. ААНИИ.-Л., 1976.- Т. 319. -С. 137-144.

76. Вотинцев К. К. Гидрохимия озера Байкал//Тр. Байкальской Лимн. Стан. М.: Наука, 1961.- Т. 20. -312 с.

77. Вотинцев К. К., Глазунов И.В., Толмачева А.П. Гидрохимия рек бассейна озераБайкал//Тр. ЛИН. М.: Наука, 1965,- Т. 8(28).- 496 с.

78. Гайденок Н.Д. Автоматизированный комплекс моделирования города и региона// Проблемы информатизации города :Тр. конф.- Красноярск, 1993 г. С. 15 -17.

79. Гайденок Н.Д. Геометрические основания некоторых экологических уравнений//Механика реагирующих сред: Тр. межд. конф.- Томск: ТГУ, 94.-С. 22-23.

80. Гайденок Н.Д. Исследование функционирования планктонного сообщества Кандалашского залива Белого моря методом математического моделирования. Автореферат диссертации на соискание уч.ст. к.б.н.-Москва, 1986 г. 21 с.

81. Гайденок Н.Д. Исследование функционирования планктонного сообщества Кандалашского залива Белого моря методом математического моделирования. На правах рукописи. Диссертация на соискание уч.ст. к.б.н.- Москва, 1986 г. 171 с

82. Гайденок Н.Д. Исследование функционирования экосистемы Баренцева моря методом математического моделирования//Тр. ММБИ КФ АН СССР.- Аппатиты, 1988 г. С. 141-168.

83. Гайденок Н.Д. К определению коэффициента турбулентного перемешивания в акватории Баренцева моря методом машинной имитации// Тр. МрФ. ААНИИ АН СССР,- Мурманск, 1988 г. С. 35-40.

84. Гайденок Н.Д. К проблеме лингвистического обеспечения системы экологического моделирования региона//Проблемы информатизации города : Тр. конф.- Красноярск, 1993 г. С. 27-29.

85. Гайденок Н.Д. К численной реализации одного варианта математической модели " Промышленность экология'У/Лесной комплекс и химические производства: Тр. Н.П. конф.- Красноярск, 1994 г. - С. 15-17.

86. Гайденок Н.Д. Моделирование функционирования экосистемы как задача оптимального управления//Вестник КГТУ, посвященный 65-летию проф. Б.П.Соустина. Красноярск, 1998.-С. 252-261.

87. Гайденок Н.Д. Моделирование функционирования экосистемы реки Енисея. -Красноярск: КГТУ, 2000. -180 с

88. Гайденок Н.Д. Об одной математической модели водной экосистемы/Яр. 2 конф .мол .уч. ИГБ АН УССР.- Киев, 1986 г. С. 17-34.

89. Гайденок Н.Д. Об одной модификации метода расчета рационов питания гидробионтов//Тр. 7 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР.- Аппатиты, 1986 г.-С.64-68.

90. Гайденок Н.Д. Об одном законе сохранения// Вестник КрасГАУ.-1998.- № З.-С. 71-78.

91. Гайденок Н.Д. Опыт построения автоматизированной системы анализа экологических данных АСАЭД//Тр. 12 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 1981.-С. 51-56.

92. Гайденок Н.Д. Подход к построению комплексной информационной модели некоторых типов экосистем//Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 1984.-С. 40-45 с

93. Гайденок Н.Д. Формализованное описание информационной модели некоторых типов экосистем//Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 1984. -С. 45-50.

94. Гайденок Н.Д. Экологический показатель//Тр. 16 конф. мол. уч. Биол. Ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 1984.-С. 50-55.

95. Гайденок Н.Д., Андриенко А.И., Куклин А.А., и др. Некоторые показатели ихтиоценоза экосистемы р.Енисей// Тез. Докл. Всероссийской конференции по рыбопродуктивноси. Мурманск: Изд - во Пинро, 1998, С. 75-77.

96. Гайденок Н.Д., Бобров Ю.А. Балансовая модель потока энергии в экосистеме Баренцева моря.//Тр. 3 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР.-Аппатиты, 1986. -С. 42-45.

97. Гайденок Н.Д., Гудимов А.С. Исследование цикличности дыхания Mythilis Edulis на основе гармонического анализа//Тр. 5 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР. Аппатиты, 1988. -С. 74-78.

98. Гайденок Н.Д., Костылев В.А. Определение популяционных параметров баренцевоморской популяции Mythilis Edulis методом матрицы Лесли// Тр. 4 конф.мол.уч. ММБИ КФ АН СССР,- Аппатиты, 1987.-С. 94-98.

99. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Вариационные принципы в исследовании моделей немеханических систем//Вестник КГТУ. Красноярск, 1999.-№ 6. -С. 173-184.

100. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Лагранжев формализм в исследовании системы Лотки Вольтерра//Тр. Межд. Конф. Симметрия и законы сохранения Красноярск, 1998.-С.85-87.

101. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Лагранжева механика одного типа сис-тем//Вестник КГТУ. Красноярск: Изд. КГТУ, 1998.-С. 173 - 181.

102. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Методы теории катастроф в исследовании реальных систем//Тр. Межд. Н.М. конф. КрасГАУ. Красноярск, 1998.-С. 23-25.

103. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Нелинейная динамика в исследовании колебаний реальных систем// Тр. межд. научно-методической, конф. КрасГАУ. С. 25-27

104. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Об одном фрагменте математического обеспечения ГИС «Енисей»//Лесной комплекс и химические производства: Тр. Н.П. конф. Красноярск, 1998.-С.152-154.

105. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Опыт исследования одной задачи экологического моделирования// Вестник КГТУ. Красноярск, 1999.- № 6.-С. 215-230.

106. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Экологический анализ одного крупномасштабного эксперимента//Лесной комплекс и химические производства: Тр. Н.П. конф. Красноярск, 1998.-С. 154-156.

107. Гайденок Н.Д., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. Вариационные принципы исследования одной математической модели. Вестник КрасГАУ. -Красноярск, 1997.-№ 1.-С. 21 -27.

108. Гайденок Н.Д., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. К исследованию устойчивости одной математической модели как следствия ее геометрических свойств// Вестник КрасГАУ. Красноярск, 1996.- № 2.-С. 41-54.

109. Гайденок Н.Д., Шадрин В.К., Чмаркова Г.М. Описание динамики некоторых типов систем в рамках модели Лотки Вольтерра// Вестник КрасГАУ. - Красноярск, 1996.- № 2.-С. 55-66.

110. Гайденок Н.Д., Чмаркова Г.М. Вариационные принципы в исследовании систем немеханической природы//Вестник КГТУ. Красноярск, 1999.-№ 6.-С.181-198.

111. Гаркалина Н.Н. Особенности распределения и биология морского таракана Mesidotea entomon в Амурском заливе//Тез. Докл. 2 Всесоюз. Конф. По морской биологии. Владивосток, 1982.-Т. 1.- С. 13-14.

112. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961.-228 с.

113. Гидрология и промысел Енисейского залива//Тр. Красноярского отд. СибНИИРХ/ Рук. работ Горский Н.Н.-1948.- Т. 105.- 96 с.

114. Гидрохимические и гидробиологические исследования Хантайского водохранилища/Дрюккер В.В., Домышева В.М., Шевелева Н.Г. и др. -Новосибирск: Наука, 1986 120 с.

115. Гилл А. Динамика атмосферы и океана: В 2-х томах. Т. 1. Пер. с англ. М.: Мир, 1986. -396 с.

116. Гиляров A.M. Популяционная экология.-М., 1990 192 с.

117. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флюктуации. М.: Наука, 1973.-217 с.

118. Годунов С.К. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1971.416 с.

119. Голиков А. Н., Скарлато О.А., Аверинцев В.Г., и др. Экосистемы Новосибирского мелководья и некоторые закономерности их распределения и функционирования/УИсслед. фауны морей: Тр. Зин.- Л., 1990Т. 37 (45).-С. 4 79.

120. Гольд З.Г., Скопцова Г.Н., Аннинский Б.Е. Продукционные характеристики бентоса и самоочищение вод Красноярского водохранили-ща//Биологические процессы и самоочищение Красноярского водохранилища. Красноярск, 1980. -С. 144-161.

121. Горбань А.Н., Охонин В.А.,Хлебопрос Р.Г., и др. Условия применимости простейшего уравнения динамики численности популя-ции//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экоси-стем.-Л., 1985,- Т. 8.-С. 190-196.

122. Горстко А.Б., Домбровский Ю.А., Матвеев А.А. И др. Имитационное моделирование инструмент исследования экосистемы крупных во-доемов//Тр. ГХИ,- Л., 1984,- Т. 92.- С. 123-127.

123. Горшков С.П. Экзодинамические процессы освоенных территорий.-М.: Недра, 1982.-286 с.

124. Горшкова Т.И. Осадки Карского моря//Тр. ВГБО. М., 1957. -Т. 8.- С. 68-99.

125. Граевский А.П., Котрехов Е.П., Матвеев А.А., и др. Результаты исследований течений на устьевом учаске Енисея в летне-осенний пери-од//Тр. ААНИИ.- Л., 1980.- Т. 358,- С. 55-74.

126. Граевский А.П.,Савченко Е.П., Уфимцев А.В. Результаты полевых исследований скоростного поля потока под ледяным покровом в устьевой области Енисея//Тр. ААНИИ.- Л., 1984,- Т. 394. -С. 30-50.

127. Грезе В.Н. Кормовые ресурсы рыб реки Енисея и их использова-ние//Изв. ВНИИОРРХ. М.: Пищепромиздат, 1957.-Т. XLV (41) .-236 с.

128. Грезе В.Н. Неводные пески Енисея и их промысловое использова-ние//Изв. ВНИИОРХ. М.: Пищепромиздат, 1958.-Т. XLIY (44).-С: 215 -239 .

129. Грезе В.Н. Продуктивность реки Енисея и возможности ее повыше-ния//Биологические основы рыбного хозяйства. Томск, 1959.-С. 243248.

130. Грезе В.Н. Продукция Pontoporeia affinis и метод ее определения// Тр. ВГБО.М, 1951.- Т. 3.- С. 33-43.

131. Грезе В.Н.Биологическая продуктивность реки Енисея и ее рыбохо-зяйст-венное значение// Мат. III науч. Конф. Исследования водоемов Сибири, IV Томск: ТГУ, 1959.-Т.125.-С. 55 -62.

132. Грушевский М.С. Неустановившееся движение воды в реках и кана-лах.-Л., 1982.-288 с.

133. Гудкович З.М., Карклин В.П., Романцова И.Ф., и др. Применение статистического анализа для оценки зависимости ледовых условий Карского моря от речного стока//Тр. ААНИИ.Л., 1981.- Т. 384.- С. 53-60.

134. Гурова Л. А., Пастухов В. Д. Питание и пищевые взаимоотношения пелагических рыб и нерпы Байкала// Тр. ЛИН.- Новосибирск: Наука, 1974.-185 с.

135. Гутельмахер Б. JI. Метаболизм планктона как единного целого.^Трофометаболическне взаимодействия зоо- и фитопланктона // Тр. ЗИН АН СССР. -Л., 1986,- Т. 133.- 155 с.

136. Гутельмахер Б.Л. Энергетический баланс доминирующих видов рачков фильтраторов//Биологическая продуктивность озера Красного и условия ее формирования.- Л., 1976.- С. 178 - 180.

137. Гутельмахер Б.Л., Садчиков А.П., Филипова Т.Г. Питание зоопланк-тона//Итоги науки и техники. Общая экология. Биоценология. Гидробиология.- М., 1988.- Т. 6,- 155 с.

138. Джилер П. Структура сообществ и экологическая ниша. Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.- 184 с.

139. Динамика биологических популяций //Межвузовский сборник.- Горький: ГГУ, 1985,- 173 с.

140. Динамика биологических популяций //Межвузовский сборник.- Горький: ГГУ, 1986. -147 с.

141. Динамика биологических популяций //Межвузовский сборник. -Горький: ГГУ, 1989.-139 с.

142. Динамическая теория биологических популяций / Под ред Полуэктова Р.А.-М.: Наука, 1974.- 456 с.

143. Доманицкий А.П., Дубровина Р.Г., Исаева А.И. Реки и озера Советского Союза.-Л.: Гидрометеоиздат, 1971.- 104 с.

144. Дормидонтов А.С. Распределение ленских сиговых на местах их нагу-ла//Вопр. Ихт-гии.- 1961,- Т. 1.- Вып. 3. -С. 453-461.

145. Доронина Н.А. Особенности температурного режима воды в устьевой области р. Енисея в осений период//Тр. ААНИИ.- Л., 1976.- Т. 314.- С. 112-119.

146. Доронина Н.А., Жадринская Н.Г. Новая Земля и Вайгач//Советская Арктика. Природные условия и естественные ресурсы СССР.- М., 1970.-С. 363-387.

147. Драбкова В.Г. Зональное изменение интенсивности микробиологических процессов в озерах.-JI., 1981.-212 с.

148. Драбкова В.Г., Сорокин И.Н. Озеро и его водосбор единая природная система.- Л.: Наука. 1979.-196 с.

149. Дре Ф. Экология. Пер. с франц.-М., 1976. -168 с.

150. Дриц А. В. Особенности питания представителей различных трофических групп зоопланктона: Автореф. дисс. канд биол. наук.- М., 1982.-24 с.

151. Дрюккер В.В., Корнакова Э.Ф., Кузьмина А.Е. и др. Осенний планктон Нижнего Енисея//Биологические проблемы Севера: Тез. Докл. К VI Всесоюз. Симпоз.-Якутск, 1974.- Вып. 2. -С. 98 103.

152. Дрюккер В.В., Петрова В.И. Бактериопланктон реки Енисей.- Новосибирск, 1988. 95 с.

153. Дубовская О.Н., Абрамова Л.А., Артюшкина С.В. Гидробиологический режим Подкаменной Тунгуски//Проблемы экологии Прибайкалья: Тез. Докл. К. III Всесоюз. Науч. Конф. -Иркутск, 1988. -С. 12 14.

154. Егоров В.А., Каллистов Ю.Н., Митрофанов В.Б., и др. Математические модели глобального развития. Критический анализ моделей природопользования. Л., 1980.- 193 с.

155. Ежегодные данные о качестве поверхностных вод суши. Красноярский край//Тр. Красноярского Тер. Управл. ГМС России, Т. 1(22).-Красноярск, 1986.-227 с.

156. Еныпина С.А. О размножении среднеобской стерляди//Тр. ГосНИИ-ОРРХ.-Л., 1989.- Вып. 305,- С. 130 139.

157. Есипов В.К. Рыбы Карского моря. Л. Наука, 1955.-145 с.

158. Жаков Л.А. Формирование и структура рыбного населения озер Северо-Запада СССР.-М.: Наука, 1984.-143 с.

159. Желтенкова М.Б., Коган А.В. Об изучении использования рыбами кормовой базы//Вопр. Ихт.- 1985.- Т. 25.- № 2.- С. 256-263.

160. Животовский JI.А., Храмцов В.В., Глубоковский М.К. Модель динамики численности горбуши Oncorhinchus Gorbuscha//Bonp. Ихт.-1996.-Т. 36,- С. 369-385.

161. Житенева Т. С. Вопросы методики учета OLIGOCHAETA в содержимом кишечников леща ABRAMIS BRAMA ORIENTALIS BERG (CYPRINIDAE) Рыбинского водохранилища // Вопр. Ихт,- 1983. -Т. 23,-Вып. 1.-С. 74-78.

162. Заика В.Е. Сравнительная продуктивность гидробионтов- Киев, 1983.- 206 с.

163. Залогин Б.С., Родионов Н.А. Устьевые области рек СССР.-М.: Мысль, 1969. -С. 245-255.

164. Зенкевич Л.А. Биология морей СССР.-М.: Наука, 1963,- 740 с.

165. Зыков B.C. Моделирование волновых процесов в возбудимых средах.-М.: Наука, 1984,- 168 с.

166. Иванов В.В. Основные принципы гидроморфологического районирования устьевых областей крупных рек.//Тр. ААНИИ.- Л., 1974.- Т. 308.-С. 4-13.

167. Иванов В.В., Осипова И.В. Сток в устьевой области Енисея и его многолетняя изменчивость//Тр. ААНИИ.- Л., 1974,- Т. 308,- С. 35-41.

168. Иванова Е.И. Ихтиофауна и рыбный промысел Карской губы (по материалам Карской экспедиции 1945-1946 гг.)//Проблемы Севера.-Л., 1959.-Вып. З.-С. 78-90.

169. Иванова М.Б. Продукция коловраток/Юбщие основы изучения водных экосистем.-Л., 1979.-С. 141 148.

170. Иванова М.Б. Продукция планктонных ракообразных//Общие основы изучения водных экосистем.-Л., 1979.-С. 155 168.

171. Ивашин М.В., Попов Л.А., Цапко А.С. Морские млекопитающие. -М. 1972,-304 с.

172. Ивлев B.C. Питание рыб. М.: Агропромиздат, 1955.- 250 с.

173. Исаченко Б.JI. Микробиологическая характеристика грунтов и воды Карского моря//Тр. ААНИИ.-Л., 1937.- Т. 82. -С. 7-46.

174. Исследования по математической популяционной биологии. Владивосток: ДВНЦ, 1986,- 173 с.

175. Йоргенсен С. Э. Управление озерными системами. Пер, с англ. М.: Агропромиздат, 1985,- 160 с.

176. Калиткин Н.Н. Численные методы.-М., 1978.- 512 с.

177. Каплин П.А., Леонтьев O.K., Лукьянова С.А., и др. Берега. М.: Мысль, 1991.- 479 с.

178. Карамушко Л.И., Шатуновский М.И. Энергетика питания трески Gadus Morhua Morhua, полосатой зубатки Anarhichas Lupus и морской камбалы Pleuronectes Platessa//Bonp. Ихт,- 1994. -№> 2. -С. 260-265.

179. Карта реки Енисей. От устья реки Подкаменная Тунгуска до порта Игарка// Тр. Енисейского бассейнового управления пути Мин. реч. флота РСФСР.- Л.: Изд-во Главводпути, 1985,- 64 с.

180. Кастли Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. Пер. с англ.-М.: Мир, 1982.-216 с.

181. Кини Р., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: Предпочтения и замещения.-М.: Радио и связь, 1987.-560 с.

182. Киселева б. В. Сайка (Boreogadus saida (Lepechin)) из обском гу-бы//Рыбы северной части Обской губы и их промысел / Тр. НИ-ИПЗЖПХ.- Л. -М., 1940. -С. 36-52.

183. Кислов А.В. Теория климата.-М.: МГУ, 1989.- 148 с.

184. Китаев С.П. Экологические основы биопродуктивности озер разных природных зон.-М., 1984,- 207 с.

185. Клейнберг С.Е., Яблоков А.В., Белькович В.М. и др. Белуха. Опыт монографического исследования вида.-М.: Наука, 1964.- 456 с.

186. Клумов С.К. Распределение белухи (Delphinaptrus leucas Pall) на евро-пейско азиатском севере// Тр. Полярной комиссии.- М- Л.: Наука, 1936.-71 с.

187. Клумов С.К. Белуха Советского Севера (сырьевая база и промы-сел)//Тр. ВНИИРО.- М.-Л., 1939.- 137 с.

188. Клумов С.К. Сайка (Boreogadus saida Lepechin) и ее значение для некоторых жизненных процессов//Изв. АН СССР, сер. Биол.- 1937.- № 1. -С. 175-178.

189. Кобленц-Мишке О.И. Фотосинтетическая первичная продук-ция//Биологические ресурсы океана.- М., 1985.- С. 48-61.

190. Ковалев Е.Г., Николаев Ю.В. Применение дискриминантного анализа для долгосрочного прогноза ледовости арктических морей//Тр. АА-НИИ: Исследование ледяного покрова арктических морей и методы прогнозов и расчетов.- Л., 1976.- Т. 320.- С. 4-26.

191. Ковалев К.В. Миграции и промысел белухи в Енисейском и Гусинском заливах//Тр. Аркт. Инс.-та.- Л., 1938.- Т. 123,- С. 71-120.

192. Ковда В.А. Основы учения о почвах. В 2 т.- М.: Наука, 1973.- Т.1. -448 с.

193. Кожова О.М., Мучкина Е.Я. Динамика численности микроорганизмов Красноярского водохранилища и их роль в самоочищении вод//Биологические процессы и самоочищение Красноярского водохранилища.- Красноярск, 1980.- С. 104-113.

194. Коленкина Л.В. Питание личинок некоторых ручейников// Тр. ВГБО. -М.,1951.- Т. З.-С. 44-57.

195. Колчинский Э.И. Эволюция биосферы: Историко критические очерки исследований в СССР. - Л.: Наука, 1990, - 236 с.

196. Кольцова Т.И., Ильяш JI.B. Распределение фитопланктона в прибрежье полуострова Таймыр в зависимости от гидрологических усло-вий//Водные ресурсы.- 1984.- № 4. -С. 158-165.

197. Комлев В.Г. Количественные изменения зообентоса р. Енисей на участке г. Красноярск устье р. Ангары//Круговорот вещества и энергии в водоемах.- Иркутск, 1981.- Вып. 2 - С. 138-139.

198. Константинов Ю.М. Гидравлика.-Киев: Выща школа, 1988. -396 с.

199. Конторин В.В. Математическое моделирование популяции байкальского омуля.-Новосибирск: Наука, 1980.- 208 с.

200. Коротаев В. Н., Чалов Р. С. Современные процессы дельт образования в устьевой области рек Пура и Таз// Гидрология устьевых областей рек Сибири: Тр. ААНИИ.- Л.: ГДМТ, 1976.-Т. 314.-С. 162-172.

201. Корытный Л.М. Реки Красноярского края.-Красноярск, 1991.- 156 с.

202. Кравчук В.А. Корюшка азиатская (зубатка, огуречник) Osmerus Eperlanus Dentex Steindachner// Изв. ВНИОРХ.-Л., 1958.- Т. 44.- С. 197-206.

203. Кравчук В.А. Полярная треска, сайка-Boreogadus saida (Lepechin) // Изв. ВНИОРХ.-Л., 1958.- Т. 44.- С. 207-213.

204. Крапивин В.Ф., Свирежев Ю.М., Тарко A.M. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов. М.: Наука, 1982. -272 с.

205. Криксунов Е.А. Теория пополнения и интерпретация динамики популяций рыб//Вопр. Ихт. 1995.- Т. 35,- С. 302-321.

206. Криницын B.C. Особенности биологии и распределения промысловых рыб Енисейского залива//Тр. ГосНИИОРХ.- Л., 1989,- С. 130 -141.

207. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управле-ния.-М.: Наука, 1973.- 446 о.

208. Кузикова В.Б. Донные зооценозы Обской губы//Тр. ГосНИИОРХ. -Л.,1989.- Вып. 305.- С. 66 74.

209. Кузнецов С. И. Микрофлора озер и ее геохимическая деятельность.-Л.: Наука, 1970,- 440 с.

210. Кузнецов С.И., Саралов А.И., Назина Т.Н. Микробиологические процессы круговорота углерода и азота в озерах. М.: Наука, 1985. -214 с.

211. Кузьменко К.Н. Продукция зообентоса//Биологическая продуктивность озера Красного и условия ее формирования. -Л., 1976.- С. 181 -192.

212. Кузьмина А.Е. Сезонные изменения состава и биомассы донных водорослей реки Енисея ниже Красноярской ГЭС//Продуктивность водоемов разных климатических зон РСФСР и перспективы их рыбохозяй-ственного использования. -Красноярск, 1978.-Т. 2.- С. 305-308.

213. Кузьмина А.Е. Состав и распределение фитопланктона реки Ени-сея//Продуктивность водоемов разных климатических зон РСФСР и перспективы их рыбохозяйственного использования.- Красноярск, 1978.-Т. 2,-С. 305-308.

214. Кузьмина А.Е., Леонова Г.А. К характеристике фитопланктона среднего Енисея//Комплексное исследование экосистем бассейна р. Енисей.-Красноярск: КГУ, 1985.-С. 125-128.

215. Куклин А. А. Биологическая характеристика муксуна р. Енисей и перспективы его рыбохозяйственного использования: Дисс. . канд. биол. наук.- Л., 1982.- 158 с.

216. Куклин А.А. Особенности и перспективы промыслового использования популяции енисейского муксуна//Продуктивность водоемов разных климатических зон РСФСР и перспективы их рыбохозяйственного использования.- Красноярск, 1978. -Т. 2.- С. 150-152.

217. Куликов А.С. Физиологическая активность разных структурных групп бактериопланктона в некоторых пресноводных водоемах: Автореф. Дис. . канд биол. наук.- М., 1987. -20 с.

218. Купецкий В.Н. Ледяной покров//Советская Арктика. Природные условия и естественные ресурсы СССР. -М., 1970.- С. 200-214.

219. Кухарчук С. П., Левковская Л. В. Условия питания личинок омуля при садковом подращивании в озерах Западного Прибайкалья // Динамика продуцирования рыб Байкала / Волерман И. Б., Косторнов С. Н., Коряков Е. А. и др.- Новосибирск, 1983.-С. 152-169.

220. Кухарчук С.П. О скорости роста и потенциальной продуктивности рыб в естественных водоемахЮкология Прибайкалья.- Иркутск, 1988. -С. 128-129.

221. Кучмент Л.С. Модели процессов формирования речного стока.-Л.: Гидрометиздат, 1980. -142 с.

222. Кушинг Д.Г. Моделирование продукционного цикла в мо-ре//Основные проблемы океанологии.-М., 1968-С. 122-137.

223. Кушинг Д.Г. Морская экология и рыболовство.-М., 1979. -286 с.

224. Лапина Н.Н., Куликов Н.Н., Семенов Ю.П. И др. Органическое вещество в современных осадках Северного Ледовитого океана//Геология и перспективы нефтегазоносности Советской Арктики.- Л., 1972.- С. 110-112.

225. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения.-М.: Наука, 1987.-143 с.

226. Лебедева Л.П. К расчету рационов планктонных живот-ных//Океанология.- 1984.- Т. 24.- Вып. 5.- С. 296-300.

227. Левадная Г.Д. Микрофитобентос реки Енисей. Н.: Наука, 1986.-283 с.

228. Лещинская А.С. Зоопланктон и бентос Обской губы как кормовая база рыб// Тр. Салехардского стационара. -Свердловск, 1962.- Вып. 2. -75 с.

229. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. Пер. с англ.-М.: Мир, 1984. -528 с.

230. Логофет Д.О., Свирежев Ю.М. Экологическая стабильность и лагран-жева устойчивость. Новый взгляд на проблему//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. -Л., 1985.- Т. 7. -С. 253-258.

231. Ломаченков В. С. К вопросу о питании морей Советской Арктики осадочным материалом на примере исследования дельты реки Индигирки // Современные осадки морей и океанов.- М., 1961.- С. 58-64.

232. Лопатин Г.В. Наносы рек СССР// Зап. ВГО.- М.: Географгиз, 1952.366 с.

233. Макрушин А.В. Продукция пресноводных амфипод/Юбщие основы изучения водных экосистем. -Л., 1979.- С. 172 176.

234. Мальцева А.В., Тарасов М.Н., Смирнов М.П. Сток органических веществ с территории СССР //Тр. ПСИ.- Л., 1987,- Т. 102.- 118 с.

235. Мальцева А.В., Тарасов М.Н., Смирнов М.П. Отношения между величиной перманганатной окисляемостии содержанием органического углерода в речных водах СССР//Тр. ГХИ. -Л., 1977. -Т. 66.- С. 56-61.

236. Мандель С.З. Уровень воды в Баренцбурге как показатель поступления атлантических вод в арктический бассейн//Тр. ААНИИ: Вопросы полярной океанологии.- Л., 1976 Т. 319. -С. 129-136.

237. Мантейфель Б.П. Сайка и ее промысел Архангельск: ОТИЗ, 1943.- 32 с.

238. Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. Пер. с англ.-М.: Мир, 1983.- 398 с.

239. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.-М.: Наука, 1989.608 с.

240. Матвеев Л.Т. Теория общей циркуляции атмосферы и климата Земли.-Л.: Гидрометеоиздат, 1991 296 с.

241. Математические исследования в популяционной биологии. Владивосток: ДВНЦ, 1988.- 173 с.

242. Математическое моделирование природных систем. Владивосток: ДВНЦ, 1981,- 159 с.

243. Математическое моделирование. Процессы в сложных экономических и экологических системах.-М.: Наука, 1986.- 296 с.

244. Материалы к отчету наблюдательного пункта Сиб. Отд.-ния ВНИОРХ в Енисейском заливе в 1942-43 гг.//Отчет Красноярского отд.-ния СибрыбНИИпроекта. Рук. Работ Боброва Н.Н.- 1943,- Т. 5.- С. 63-98.

245. Меншуткин В.В. Имитационное моделирование водных экологических систем.-Спб.:Наука, 1993. -160 с.

246. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных.-Л., 19977.- 194 с.

247. Михайлов В.В., Решетников Ю.С., Смол ей А. И., и др. Имитационная модель популяции севанского сига Cjregonus Lavaretus (L.) (Salmonidae)//Bonp. Ихт.- 1985.- Т. 25.-Вып. 3.- С. 3-25.

248. Михалев Ю. В. К биологии и регулированию промысла проходного осетра р. Енисей// Рыбы и кормовые ресурсы бассейнов рек и водохранилищ Восточной Сибири / Тр. КрО СибНИИРХ.- Красноярск, 1967.-Т. 9.- С. 343 361.

249. Михеев А.В., Джансеитов К.К., Михалев Ю.В., и др. Анализ динамики вылова рыб в бассейне р. Енисей методами реляционной математики.-Красноярск, 1999. -50 с.

250. Михеева Т.М. Оценка продукционных возможностей единицы биомассы фитопланктона//Биологическая продуктивность эвтрофного озера. -М., 1970.-С. 50-70.

251. Михлин С.Г., Смолицкий X.JL Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 383 с.

252. Мишин B.J1. Рацион кормления кольчатой нерпы в неволе// Экология, биологическая продуктивность и проблемы марикультуры Баренцева моря/ Тез. Докл. 2 всесоюз. Конф. -Мурманск, 1988.-е. 204 205.

253. Младова Т.А. Микроорганизмы донных отложений//Тр. ЛИН.: Лимнология придельтовых пространств Байкала.- Л., 1971.- Т. 12 (32).- С. 90-94.

254. Модели управления природными ресурсами. Под ред. Гурмана В.И.-М.: Наука. 1981.- 264 с.

255. Моделирование элементов лесных биогеоценозов / Под ред. Бузыкина А.И.-Красноярск: ИЛид, 1985.- 166 с.

256. Моисеев Н.Н. Биота как регулятор и проблема sustainability/OKBMHMO. -1994. -Т. 34,- № 4.- С. 533-544.

257. Москаленко Б. К. Биологические основы эксплуатации и воспроизводства сиговых рыб Обского бассейна//Труды Обь-Тазовского отд-ния ВНИОРРХ (новая сер.).-Салехард, 1958.-Т.1.- 250 с.

258. Москаленко Б. К. Сиговые рыбы Сибири.- М.: Пищепромиздат, 1971.182 с.

259. Москаленко Б.К. Материалы к биологии сиговых рыб Обской губы и Гыданского залива// Изв. ВНИИОРРХ.-М.: Пищепромиздат, 1958.- Т. XLIV (44).- С. 74 96.

260. Москаленко Б.К. О биологии полярной треки (сайки) Boreogadus saida (Lepechin)//Bonp. Ихт.- 1964,- Т. 4.- № 3(32). -С. 433-443.

261. Мун Ф. Хаотические колебания. Пер. с англ.-М.: Мир, 1990.- 312 с.

262. Наймарк Е.Б., Фролов С.Б. Моделирование популяций беломорской сельди Clupea pallasi marisalbi//Bonp. Ихт. -1993.- № 3. -С. 359-366.

263. Наумов С.П. Млекопитающие и птицы// Тр. Поляр. Комисс.- Л.: Наука, 1931.-№.4.- 106 с.

264. Некрашевич Н.Г. К познанию муксуна Coregonus muksun (Pallas) p. Енисея//Тр. Биол. Ин-та ТГУ.- Томск, 1940.- Т. 7. -С. 178-197.

265. Николаева А.Я. Результаты расчета зон льда различного возраста в арктических морях//Тр. ААНИИ: Исследование ледяного покрова арктических морей и методы прогнозов и расчетов. -JL, 1976.- Т. 320.- С. 121-142.

266. Никольский Г.В. Теория динамики стада рыб.-М.:Наука, 1965.- 381 с.

267. Никольский Г.В. Экология рыб.-М.: Высшая школа, 1974.- 364 с.

268. Новиков Ю.Ф. Коэффициент биоконверсии.-М.: Агропромиздат, 1989,- 191 с.

269. Новые области применения математики. Пер. с англ. / Под ред. Лайт-хилла Дж.-Минск:Высэйшая школа, 1981.- 494 с.

270. Огородников В.И., Белов Н.А. Голоцен шельфа Чукотского моря// Вопросы гидрохимии Северного Ледовитого океана: Тр.ААНИИ, 1984.Т. 368.- С. 58-63

271. Одум Ю. Основы экологии. Пер. с англ.- М., 1975.- 562 с.

272. Ольшанская О. Л. Пойма Нижнего Енисея и ее рыбопромысловое значение// Рыбное хозяйство Восточной Сибири: Тр. Сиб. Отд. ГосНИ-ОРХ.- Красноярск, 1964,- Т. 8,- С. 111 140.

273. Ольшанская О. Л. Ряпушка системы р. Пясина// Рыбы и кор-мовые ресурсы бассейнов рек и водохранилищ Восточной Сибири: Тр. КрО СибНИИРХ,- Красноярск, 1967.- Т. 9. -С. 94 214.

274. Опойцев В.И. Нелинейная системостатика.-М.: Наука, 1986.- 248 с.

275. Определение запаса промысловых млекопитающих Севера Красноярского края// Отчет Енисейрыбвода / Рук работ Мартынюк Е.Г.- Красноярск, 1986,- С. 5-45.

276. Орлова В.В. Западная Сибирь//Климат СССР. -Л. ,1962.- Вып.4. -360 с.

277. Особенности структуры экосистем озер Крайнего Севера. Спб.: Наука, 1994.- 260 с.

278. Остроумов Н. А. К изучению белухи и промысла ее в Енисейском заливе/Яр. Сибир. Научн. Рыбхоз. Ст.-Красноярск, 1929.-Т.4.- Вып. 1.-С. 12-33.

279. Остроумов Н.А. Рыбы и рыбный промысел р. Пясины.-М.-JI.: Изд-во АН СССР, 1937,-Вып. 30.- 115 с.

280. Перельман А.И. Геохимия ландшафта. М.: Выс.Шк.,1975.- 340 с.

281. Перри Р. Мир моржа. Пер. с англ.-Л. 1976.-112 с.

282. Петкевич А.Н. Биологические основы рационального рыбного хозяйства в обь-Иртышском бассейне/Шроблемы рыбного хозяйства водоемов Сибири.- Тюмень, 1971. -С. 3-60.

283. Петров А.А. , Шананин А.А. Системный анализ экономики: проблема агрегированно-го описания экономических отношений. В кн.: Математическое моделирование: Ме-тоды описания и исследования сложных систем. - М.: Наука, 1989.-С. 121 - 156.

284. Печуркин Н.С. Энергетические аспекты развития надорганизменных систем. Новосибирск: Наука, 1982.- 113 с.

285. Пирожников П. Л. Полупроходные рыбы и речной сток//Изв. ТИН-РО.-Владивосток, 1949.-Т. 29.- С. 56-78.

286. Пирожников П.Л. Зоопланктон реки Енисея и Енисейской губы и его роль в питании рыб//Труды Арктического института.-Л., 1937.- Т. 98.141 с.

287. Пирожников П.Л. О распределении и численности сиговых в реках и эстуарных районах Сибири//Изв. ГосНИИОРРХ.Л., 1967.- Т. 62.- С. 615.

288. Пирожников П.Л. Основные черты донного населения низовьев Енисея и Енисейской губы//Тр. Астраханского ин-та рыбн. Пром-ти, 1941,-Вып. 1,- С. 140-146.

289. Поддубный А.Г., Малинин Л.К. Миграции рыб во внутренних водо-емах.-М., 1988.-224 с.

290. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач.-М.: Наука, 1982.-256 с.

291. Подлесный А. В. Рыбы р. Енисея, условия их обитания и использование // Изв. ВНИОРХ.-М., 1958.- Т. 44.- С. 97-179.

292. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем.- JL, 1980.- 286 с.

293. Попов JI.H. Промысловые млекопитающие восточного побережья Таймыр-ского полуострова//Тр. НИИ ПЗЖПХ.- Л., 1939.- Вып. 8.- С. 87- 123.

294. Попова Н.М. Продуктивность дна Карского моря и пути ее использо-вания//Проблемы Арктики.-Л., 1948.- № 2.- С. 27-35.

295. Применение методов имитационного моделирования в пресноводной экологии и в рыбохозяйственных исследованиях на внутренних водо-емах//Сбор. Науч. Тр.- Л., 1989.- Вып. 302.- 168 с.

296. Природа Хантайской гидросистемы/Под ред. Иоганзена Б.Г., Мало-летко А.М.-Томск: ТГУ, 1988.- 336 с.

297. Проблемы экологии полярных областей. М.: Наука, 1991. - 124 с.

298. Продукционно гидробиологические исследования Ени-сея/Приймаченко А.Д., Шевелева Н.Г., Покатилова Т.Н. И др. - Новосибирск, 1993. - 197 с.

299. Проворов А.И. К вопросу биологии и промысла беломорской белухи в Кандалакшском заливе Белого моря//Тр. АНИИ: Позвоночные Арктики. Л., 1957.- Т. 205.- С. 73 86.

300. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.-М.: Наука, 1984. -432 с.

301. Резанова З.А., Стариков Г.В. К изучению сезонных миграций и влияния кольчатой нерпы Гыданского залива на запасы промысловых рыб//Ресурсы животного мира Сибири. -Новосибирск, 1990.- С. 167169.

302. Реймерс Н.Ф. Экология (теории, законы, правила, принципы и гипотезы) М.: Жур-нал "Россия Молодая", 1994. - 367 с.

303. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: Пер. с англ. М.: Мир, - 590 с.

304. Ресурсы поверхностных вод СССР. Ангарско Енисейский район.-JI.: Гидрометеоиздат. 1973. -Т. 16. Вып. 1. - 724 С.

305. Ривьер И.К. Состав и экология зимних зоопланктонных сообществ.-Л., 1986.-160.

306. Риклевс Р. Основы экологии.- М., 1979. -424 с.

307. Ройс В.Ф. Введение в рыбохозяйственную науку. Пер. с англ. М.: Пищевая промышленность, 1975. -272 с.

308. Романенко В.И. Микробиологические процессы продукции и деструкции органического вещества во внутренних водоемах.-Л., 1985.296 с.

309. Романова Г.П. Питание рыб в Нижнем Енисее// Тр. СО ВНИОРХ.= Красноярск, 1948. -Т. 7,- Вып. 2,- С. 151 202.

310. Романовский Ю.Н., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике.-М.: Наука, 1976.- 257 с.

311. Руденко Г.П. Методы определения ихтиомассы, прироста рыб и ры-бопродукция//Продукция популяций и сообществ водных организмов и методы ее изучения. -Свердловск, 1985.- С. 111-138.

312. Русанов В.П., Яковлев Н.И., Буйневич А.Г. Гидрохимический режим Северного Ледовитого океана//Тр. ААНИИ.- Л., 1979.- Т. 355.- 144 с.

313. Рутилевский Г.Л. Промысловые млекопитающие полуострова Челюскина и пролива Вилькицкого// Промысловые млекопитающие побережья Таймырского полуострова: Тр. НИИ ПЗЖПХ Л.:Изд. Глав-севморпути, 1939.-Вып. 8.- С: 7 - 60.

314. Рыбы и рыболовство в бассейне Гыданского залива//Тр. НИ-ИПЗЖПХ.- Л.-М, 1941.- 204 с.

315. Сазонова В.Е., Гайденок Н.Д. Процесс потребления азота в симбио-тиче-ской системе зоохлорелла простейшие.//Экология.- 1996.- № 5.-С. 41-47.

316. Сакс В.Н. Геологический очерк района города Игарки//Тр. НИИГА.-Л.-М., 1951.-Т. 19.- Вып. 2,- С. 3-48.

317. Сакс В.Н. Условия образования донных осадков в арктических морях СССР//Тр. НИИГА. -Л.-М., 1952.- 140 с.

318. Сакс В.Н., Антонов К.В. Четвертичные отложения и геоморфология района Усть-Енисейского порта//Тр. ГГУ.- М.-Л., 1945.- Вып. 16.- С. 65-117

319. Сальдау М. П. Питание рыб Обь-Иртышскогобассейна.-Изв. ВНИ-ОРХ, 1949.- Т. 28.- С. 175-216.

320. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1989.- 616 с.

321. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.-М.: Наука, 1989.-432 с.

322. Свирежев Ю.М. О математических моделях биологических сообществ и связанных с ними задачах управления и оптимиза-ции//Математическое моделирование в биологии. М., 1975.- С. 30 -52.

323. Свирежев Ю.М., Абакумов А.И., Тимофеев Н.Н. Некоторые задачи экодинамики эксплуатируемых популяций и сообществ//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. -Л., 1985.Т. 8.- С. 246-256.

324. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. О математических моделях оптимальной продуктивности биогеоценозов//Биосфера и ее ресурсы,- М., 1971.-С. 265-285.

325. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость экологических сообществ. М.: Наука, 1978.- 241 с.

326. Селютин Е.Т. Математическое моделирование продукционных процессов водных экосистем//Математическое моделирование водных экосистем.- Иркутск, 1978 С. 77-93.

327. Скопцова Г.Н. Структура донных сообществ Красноярского водохранилища и их изменения в связи с загрязнением//Биологические процессы и самоочищение Красноярского водохранилища.- Красноярск, 1980.-С. 120-143.

328. Смирнов В.И. Курс высшей математики. -М.: Наука, 1974.- Т. 2.- 628 с.

329. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974.- Т.4.- 4.1. -336 с.

330. Смит Дж. М. Модели в экологии,- М.: Мир, 1977. -184 с.

331. Сорокин Ю.И. Микропланктон реки Енисей и его роль как фактора самоочищения/Юбщая биология.-1987.-Т. XLVIII.- № З.-С. 350 367.

332. Сорокин Ю.И. Продукция бактерий и микрозоопланкто-на//Биологические ресурсы океана.-М., 1985.- С. 71-85.

333. Спенсер Г. Основные начала Спб., 1897.- 199 с.

334. Спесивцев А.В. Жадные алгоритмы распределения ресурсов. М.: Малип, 1993.-288 с.

335. Справочник по охране геологической среды / Под ред. Войткевича Г.В. В 2-х томах.-Ростов-на-Дону, 1996. -Т. 1.- 448 с.

336. Стариков Г.В., Украинцев Н.П., Резанова З.А. Распределение и численность кольчатой нерпы Гыданского залива в летний пери-од//Ресурсы животного мира Сибири.- Новосибирск, 1990.- С. 176178.

337. Стариков Г.В., Шумилов В.Ф., Резанова З.А. Структура стада и питание омуля в Гыданском заливе Карского моря//Круговорот вещества и энергии в водоемах.- Иркутск, 1985.- Вып. 2.- С. 140-141.

338. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1958.468 с.

339. Стрелков С.А. История ландшафтов низовьев Енисея в четвертичный период. Л. - М.: Изд. ГСМП, 1951. - 150 с.

340. Суетов С.В. Потребление рыбами личинок хирономид в аквариальных условиях//Тр. ВГБО.-М., 1951.-Т. З.-С. 72-91.

341. Сущеня Л.М. Количественные закономерности питания ракообраз-ных.-Минск:Наука и техника, 1975 214 с.

342. Тарасенков Г.Н. Туруханский край. Экономический обзор с историческим очерком. С предисловие Косованова В.П.-Красноярск: изд во Туруханского РИКА, 1930.- 504 с.

343. Тарасов М.Н., Мальцева А.В., Смирнов М.П. Сток органических веществ с территории СССР в моря Северного Ледовитого океа-на//Основные направления работ в области гидрохимии / Тр. ГХИ. -Л., 1984,- Т. 66.- С. 62-67.

344. Теплинская Н.Г. Процессы бактериальной продукции и деструкцииорганического вещества в северных морях.-Апатиты, 1990.- 105 с.

345. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1985. - 472 с.

346. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир, 1984. - 264 с.

347. Трифонова И.С. Фитопланктон и его продукдия//Биологическая продуктивность озера Красного и условия ее формирования. -JL, 1976.- С. 69- 103.

348. Тучкова E.J1. Бактериобентос//Антропогенное эвтрофирование Ладожского озера.- Л., 1982.- С.163-172.

349. Тюльпанов М.А. Анализ состояния запасов и реорганизация промысла ценных рыб в низовьях Енисея//Проблемы рыбного хозяйства водоемов Сибири.- Тюмень, 1971. -С. 102-127.

350. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. Количественный подход. Пер. с англ.-М., 1971.- 460 с.

351. Углерод в экосистема лесов и болот России / Под ред. В.А. Алексеева и Р.А. Бердси.-Красноярск, 1995. -170 с.

352. Уиттекер Е. Аналитическая динамика. Пер. с англ.-М.: ОНТИ, 1937.528 с.

353. Уиттекер Р. Сообщества и экосистемы.- М.: Прогресс, 1980.- 326 с.

354. Уланенкова B.C., Курникова Т.А. Гидрохимическая характеристика и продуктивность малых озер мурманской области//Тр. ГХИ. -Л., 1987.Т. 99,- С. 47-56.

355. Уморин Н.П. Оценка интенсивности выедания инфузориями водорослей и бактерий//Зоол. Журн. -1983.- Т. 52,- Вып. 3.- С. 325-330.

356. Усачев П.И. Фитопланктон Карского моря//Планктон Тихого океана.-М., 1968,-С. 6-28.

357. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 383 с.

358. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология.-М.: МГУ, 1980.- 389 с.

359. Филатова З.А., Зенкевич Л.А. Количественное распределение донной фауны Карского моря//Тр. ВГБО.-М., 1957.- Вып. 2.- С. 3-58.

360. Фомин O.K., Петров B.C. Роль природных факторов в распределении биомассы планктона в Карском море//Природа и хозяйство Севера. Мурманск, 1985.- Вып. 13.- С. 35-45.

361. Харкевич Н.С. О роли атмосферных осадков в формировании химического состава воды малых озер Южной Карелии//Тр. ГХИ.- Л., 1986.Т. 96,- С. 3-22.

362. Хлебович Т.В. Количественные показатели питания инфузо-рий//Общие основы изучения водных экосистем.- Л., 1979. -С. 100 -106.

363. Хмелева Н.Н. Закономерности размножения и генеративная продукция ракообразных: Автореф. Дис.докт. Биол. Наук.- Киев, 1985.- 51 с.

364. Хоар У., Рендолл Д., Бретт Дж. Биоэнергетика и рост рыб. Пер. с англ.-М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983.-407 с.

365. Цейтлин В.Б. Генеративная и соматическая продукция рыб//Вопр. Ихт.- 1989. -Т. 29,-С. 112-119.

366. Чапский К.К. Морж Карского моря//Тр.Аркт. Инст.-Л.,1936.- Т. 17. -124 с.

367. Чапский К.К. Морские звери Советской Арктики.-Л.:ГСМП, 1941.186 с.

368. Чапский К.К. Морской заяц (Erignathus barbatus Farb.) Карского и Баренцева морей. (Биология и промысел)//Тр. Аркт. Инст. Л., 1938.- Т. 123.-С. 7-70.

369. Черкасов А.Е. Гидрологические районы бассейна Ени-сея//Красноярский край/Изв. КрО Геогр. Об-ва СССР.- 1962. -Вып. 2. -С. 180-185.

370. Численко Л.А. Видовой состав и распределение экологичевких комплексов зоопланктона в Енисейском заливе //Исл. Фауны морей: Тр. ЗИН,- Л, 1972.- Т. 12(20).- С. 239-260.

371. Численко Л.А. Зоопланктон бухты Диксон (Карское море)//Исл. Фауны морей.: Тр. ЗИН,- Л., 1972. -Т. 12(20).- С. 228-238.

372. Шапиро С.Н. Гидрологическая характеристика Енисейского залива: Отчет по теме "Рыбопромысловое изучение Енисейского залива поматериалам 1942-1943 гг." руководитель работ Вовк Ф.И./Красноярское отд-ние СибНИИРХ.- 1945.- Т. 20.- С. 1-20.

373. Шевелева Н.Г. Зоопланктон//Природа Хантайской гидросистемы.-Томск, 1988.- С. 183-191.

374. Шевелева Н.Г., Шишкин Б.А. Зоопланктон//Гидрохимические и гидробиологические исследования Хантайского водохранилища.-Новосибирск. 1986.- С. 81-100.

375. Шушкина Э.А., Виноградов М.Е., Лебедева Л.П., Умнов А.А. Энергетика и структурно функциональная характеристика планктонных сообществ Черного моря (осений период 1978 г.)//Экосистемы пелагиа-ли Черного моря.- М. 1980. -С. 223 - 243.

376. Шушкина Э.А., Виноградов ME., Лебедева Л.П., Умнов А.А. Энергетика и структурно функциональная характеристика планктонных сообществ Черного моря (осений период 1978 г.)//Экосистемы пелагиа-ли Черного моря.- М. 1980. -С. 243 - 263.

377. Шушкина Э.А., Лебедева Л.П., Мусаева Э.И. Продукционные и дест-рукционные процессы в планктоне Черного моря в позднвесенний период 1984 г.//Современное состояние экосистемы Черного моря. -М., 1980.-С. 197-206.

378. Экологическая система Нарочанских озер. Минск, 1985. -300 с.

379. Экология и биоресурсы Карского моря.- Апатиты, 1989. -С. 181 с.

380. Экосистема озера Плещеево.- Л.: Наука, 1989.- 266 с.

381. Эпштейн Л.М. Зоопланктон Белого моря и его значение в питании сельди//Проблемы использования промысловых ресурсов Белого моря. -М.-Л., 1963.- Вып. 1,-С. 111-116.

382. Эрроусмит Д., Плес К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. Пер. с англ.-М.: Мир, 1986.243 с.

383. Юданов И. Г. Обская губа и ее рыбохозяйственное значение//Тр. Об-ско Тазовской НРХС ВНИРО. -Тобольск, 1935.- Т. 1, -Вып. 4.- 100 с.

384. Ямало-Гыданская область.-Jl., 1977. 226 с.

385. Яцао Б.И. Динамика экологических систем типа странных аттракто-ров//Автоматика. -1985.- Вып. 4.- С. 63-68

386. Яшнов В.А. Планктическая продуктивность северных морей СССР// Бюлл. МОИП. -М., 1940.-57 с.

387. Arrigo D.J., Hill J.M., Broadbridge P. Nonclassical symmetry reduction of linear diffusion equation with a nonlinear source//IMA J.Appl.Math. -1994,- V. 52.-P. 1-24

388. Clement G. R., Williams Т. E. Leys and soil organic matter. 2. The accumulation of nitrogen in soils under different leys//J. Agr. Sci.- 1967.-Vol. 69, N l.-P. 37-51.

389. English T.S. Primary production in the Central North Polar Sea Drifting station Alpha//Preprints Intern. Oceanogr. Congress, ed.Mary Sears, 1957-8.-P. 838-9.

390. Hemmingsen A. R. Energy metabolism as related to body size and respiratory surface and its evolution// Rep. Steno Mem. Hosp. Nord. Insulinlab.- I960.- Vol. 9, N 2.- P. 7-110.

391. Holling C.S. The Functional Response of Invertebrate Predators to Prey Density//Mem. Entomol. Soc. Can.-1966.- N. 48.-P. 43-66.

392. Houde E. D. // Bull. Mar. Sci. -1978. -Vol. 23.- P. 395-411.

393. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics//Nature.- 1976.- V. 261.-P.459-467.

394. Schmidt FR/ Wissenschaftliche Resultate der zur Aufsuchung eines angekund. Mmmuthkadavers an den Unter Jenissei ausg. Expediton// Memoires de Г Academe Imp des Sciences de St. Petersb.-1872.-T. XVIII ( I).-207 p.

395. Smith T. G. Population Dynamics of the Ringed Seal in the Canadian Eastern Arctic//Fisheries research board of Canada.-Ottava, 1973.- Bull. 181.-55p.

396. Wright R. Т. a. Hobbie J. E. The uptake of organic solutes in lake water // Limnol. and Ocean.- 1965. -Vol. 10.- P. 22-28.

397. ZoBell С. E. a. Grant C. W. Bacterial activity in dilute nutrien solution // Science.- 1942,- Vol. 96,- P 186-193.

398. ZoBell С. E. a. Grant C. W. Bacterial utilization of low concentrations of organic matter // J. Bact.- 1943 -Vol. 45.- N 4.- P. 555-564.