автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование эмиссии электронов из острийных структур

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭМИССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И ОСТРИЙНЫХ СТУКТУР.

1.1. Потенциальный барьер и его прозрачность.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Методы расчета и определения прозрачности.

A. Численные методы (типа Рунге-Кутты).

Б. Квазиклассический метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна.

B. Метод малых вариаций работы выхода.

1.2. Теория электронной эмиссии.

1.2.1 Распределение электронов по энергиям.

1.2.2. Работа выхода.

1.2.3. Плотность тока.

1.2.4. Параметры эмиттера.

1.3. Выводы.

II. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОГО ЭМИТТЕРА.

2.1. Моделирование металлического эмиттера.

2.1.1. Расчет прозрачности методом Рунге-Кутты.

2.1.2. Модель ВКБ.

2.1.3. Центроид индуцированного заряда.

2.1.4. Обоснование результатов.

2.2. Моделирование полупроводникового эмиттера.

2.3. Выводы.

III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСТРИЙНОГО ЭМИТТЕРА.

3.1. Интегральная зависимость Фаулера-Нордгейма.

3.2. Расчет потенциала и напряженности поля. в криволинейных координатах.

3.3. Построение вольтамперных характеристик.

3.4. Аппроксимация формы реального эмиттера.

3.5. Аналитическое исследование задачи.

3.6. Сравнение параметров эмиттера, полученных разными методами

3.7. Выводы.

IV. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОЗРАЧНОСТИ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА

4.1. Метод вариаций внешнего поля.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Общий подход.

4.1.3. Проверка предположений.

4.1.4. Численный эксперимент.

4.1.5. Устойчивость метода к погрешностям измерения.

4.2. Выводы.

Актуальность темы. К настоящему времени накоплен значительный объем знаний, полученных с помощью численного и натурного эксперимента, математического и физического моделирования явлений и процессов, имеющих место на поверхности и в приповерхностной области твердых тел при воздействии на них сильного электрического поля [1-9]. В результате этого воздействия потенциальный порог на границе твердое тело — вакуум превращается в потенциальный барьер, и появляется определенная вероятность туннелирования приповерхностных электронов сквозь барьер без затраты энергии в процессе полевой электронной эмиссии (ПЭЭ) [1]. На практике для получения сверхсильных электрических полей (~5-107В/см) эмиттеру придается форма очень тонкого острия - с радиусом кривизны при вершине около 1 мкм [10]. Острия или системы острий являются основным элементом также таких перспективных приборов и устройств как сканирующие туннельные микроскопы (СТМ), СВЧ-генераторы, плоские дисплеи и т. д. [напр. 11-12]. Однако существующие теории ПЭЭ (это относится также к теории СТМ) ограничиваются в основном описанием эмиссии для плоских структур, что затрудняет как интерпретацию экспериментальных данных, так и выработку рекомендаций по практической реализации приборов и устройств, основным элементом которых являются одноострийные и многоострийные структуры. Именно поэтому задача разработки математических моделей [13-14] и математического аппарата для исследования реально используемых на практике острийных систем, а также для изучения влияния конфигурации систем и формы потенциального барьера на их электрофизические, в том числе эмиссионные, характеристики является несомненно актуальным.

Цель работы. Целью диссертационной работы стало создание математических моделей, адекватно описывающих явление ПЭЭ из острийных эмиттеров, а также расчет важнейших эмиссионных характеристик и параметров эмиттера с учетом его геометрической формы.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать математическую модель полевого электронного эмиттера, имеющего форму, приближенную к форме реального острия.

2. На основе математической модели определить технологически значимые параметры эмиттера: фактор поля и площадь эмиссии.

3. Построить математически корректную методику восстановления прозрачности потенциального барьера по экспериментальным данным.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического моделирования и численного эксперимента.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели, описывающие явление полевой электронной эмиссии из острийных эмиттеров, формы которых аппроксимированы поверхностями вращения второго порядка.

2. Результаты аналитического и численного исследования эмиссионных характеристик острийных эмиттеров в их связи с геометрическими параметрами острия.

3. Математическая методика определения прозрачности потенциального барьера по экспериментальным данным.

4. Пакет программ для решения прикладных задач моделирования полевых источников электронов.

Научная новизна работы. Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертационной работы, получены впервые и являются новыми.

Практическая значимость. Разработанные математические модели дают возможность проводить сравнение данных эксперимента с теорией не только на качественном (как это имело место при применении теории ПЭЭ из эмиттеров плоской конфигурации для интерпретации экспериментальных данных), но и на количественном уровне. Предложенные методики позволяют также проводить расчет рабочих характеристик практически важных приборов и устройств, для которых острийные структуры являются основным элементом (сканирующие туннельные микроскопы, СВЧ-генераторы, плоские дисплеи и т.д.).

Опубликованные работы. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ [15-24].

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на V, VI, VII и VIII международных конференциях Beam Dynamics and Optimization (Санкт-Петербург, 1998, 2000 гг., Саратов 1999, 2001 гг.); на IV Санкт-Петербургской Ассамблее молодых ученых и специалистов (Санкт-Петербург, 1999 г.); на IV международной конференции New Approaches to high-tech: Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering (Санкт-Петербург, 2000 г.); на X международной конференции "Accelerators-2001" (Санкт-Петербург, 2001 г.); на XXX, XXXI и XXXII конференциях "Процессы управления и устойчивость" (Санкт-Петербург, 1999, 2000, 2001 гг.), а также на научных семинарах кафедры Моделирования электромеханических систем факультета Прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭМИССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И ОСТРИЙНЫХ СТУКТУР

Основные результаты численных расчетов и численных экспериментов можно резюмировать следующим образом:

1. Построены математические модели ПЭЭ из острийных эмиттеров, формы которых аппроксимированы поверхностями вращения второго порядка. Показано, что для многих реальных острий наилучшей аппроксимацией является полость двуполостного гиперболоида вращения.

2. Для исследуемого интервала напряжений численно и аналитически показана линейность зависимости полного тока от напряжения в координатах ФН для случая неплоской геометрии эмиттеров.

3. Разработана математическая методика определения технологически значимых параметров эмиттера: фактора поля и площади эмиссии. Показано, что определённые из вольтамперной характеристики параметры эмиттера эмиссии нуждаются в корректировке с учётом его реальной конфигурации.

4. Предложена модель определения прозрачности квантового барьера по экспериментальным данным (метод вариаций внешнего поля). В отличие от решения прямой задачи о прозрачности метод не требует информации о виде потенциальной функции электрона. Численное моделирование ошибок измерения показало устойчивость метода к их появлению.

5. Сделанные предположения о зависимости прозрачности преимущественно от разности энергии электрона и напряженности электрического поля, о независимости внутреннего спектра электронов от варьирования внешнего поля и о возможности аппроксимации потенциала полиномами произвольной степени прямо или косвенно подтверждены результатами численного эксперимента.

6. Проведен анализ математического аппарата теории ФН для плоской геометрии полевой эмиссии и показана его корректность.

7. Предложена математическая модель ПЭЭ из полупроводниковых эмиттеров и-типа, учитывающая проникновение поля внутрь полупроводника. Модель основана на предположении о смещении центра масс плотности заряда на некоторую глубину внутрь полупроводника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе предложены математические модели полевой эмиссии из острийных структур, которые были применены для анализа эмиссионных характеристик, определения технологически значимых параметров эмиттера и восстановления прозрачности на основе анализа экспериментальных данных.

1. Fowler R.H., Nordheim L. Electron emission in intense electric field. // Proc. Roy. Soc. A. 1928. Vol. 119. № 781. P. 173-181.

2. Елинсон М.И., Добрякова Ф.Ф., Крапивин В.Ф. О теории автоэлектронной и термоавтоэлектронной эмиссии металлов и полупроводников. // Радиотехника и электроника. 1961. Т. 6, № 8. С. 1342-1353.

3. Oostrom A.G.J. Validity of Fowler-Nordheim model for field electron emission. // Philips Res. Rep. Suppl. № 1. 1966. P. 1-162.

4. Бродский A.M., Гуревич Ю.Я. Теория электронной эмиссии из металлов. // М.: Наука. 1973. С. 255.

5. Харбеке Г. Поликристаллические полупроводники // М.: Мир. 1989. С. 344.

6. Егоров Н.В., Виноградова Е.М. Математическая модель электронной пушки с полевым катодом. // В кн.: Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. С. 57-62.

7. Schvoebel P.R., Brodie I. Surface-science aspects of vacuum microelectronics // J. Vac. Sci. Technol. В 1995. Vol. 13. № 4. Mar/Apr P. 1391-1410.

8. Овсянников Д.А., Егоров H.B. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков // СПб: Издательство С.-Петербургского университета, 1998. С. 276

9. Narayanamuri V., Kozhevnikov М. ВЕЕМ imaging and spectroscopy of buried structures in semiconductors // Phys. Reports. 2001. Vol. 349. № 6. P.447-514.

10. Tatarenco N.I., Solntsev V.A., Rodionov A.N. Novel nanoscale field emission structures: fabrication technology experimental and calculation characteristics. // J. Vac. Sci. Technol. B. 1999. Vol.17, № 2, P. 647-654.

11. Drakova D Theoretical modelling of scanning tunnelling microscopy, scanning tunnelling spectroscopy and atomic force // Microscopy reports on progress in physics. 2001. Vol. 64 № 2. P.205-290

12. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей // Москва: Наука, 1994. С.192.

13. Андрианов С.Н. Численные и символьные вычисления в физике пучков: разумный баланс // Труды Шестого междунар. совещ.: Динамика и оптимизация пучков. Саратов: Изд. Саратовского университета, 2000. С. 7-20.

14. Вараюнь М.И. Математическое моделирование эмиссии электронов из острийного эмиттера туннельного сканирующего микроскопа. // Труды XXXнаучной конференции: "Процессы управления и устойчивость". С.-Петербург, 1999. С. 225-229.

15. Varajun' M.I., Denisov V.P. Mathematical modelling of the field electron emission from tip emitters. // Proc. of 6-th Intern. Workshop: BDO-99. Saratov,2000. C. 51-54.

16. Varajun' M.I., Denisov V.P., Egorov N.V. Mathematical modeling of a field emission in ID case // Abstr. of 7-th Inter. Workshop: BDO-2000. S.-Petersburg, 2000. C. 5.

17. Varajun' M.I., Antonov A.Yu. Semiconductor field emission cathodes // Abstracts of 8-th International Workshop BDO-2001. — Saratov, 2001. — C. 7.

18. Вараюнь М.И., Антонов А.Ю., Денисов В.П. Математическое моделирование полевого эмиссионного катода. // Труды X международного совещания: Ускорители 2001. С.-Петербург, 2001. С. 346-349.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. // Москва: Наука. 1974. С 752.

20. Мессиа А. Квантовая механика. // Москва: Наука. 1978. Том 1. С.480.

21. Antonov A.Yu., Denissov V.P. Surface barrier trnasmissivity determination with small work function variation method // Physica Scripta. Vol. 59. 1999. P. 235-240.

22. Sheard F.W., Toombs G.A. Space-charge buildup and bistability in resonant-tunneling double-barrier structures. // Appl. Phys. Lett. 1988. Vol. 52. № 15. P.1228-1230.

23. Qing-An Huang. // J.Appl.Phys. 1995. Vol. 78. № 11. P. 6770.

24. Антонов А.Ю. Обратная задача о прозрачности квантового барьера. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-таПМ-ПУ СПбГУ. С.-Петербург. 2000. С. 132-136.

25. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. // М.: СПб.: Физматлит. 2000. С. 624.

26. Tung НН, Lee CP A novel energy filter using semiconductor superlattices and its application to tunneling time calculations // IEEE Journal of Quantum Electronics 1996. Vol. 32 № 12. P. 2122-2127.

27. Paulini J., Klein Т., Simon G. Thermo-field emission and the Nottingham effect //J.Phys. D: Appl.Phys. Vol. 26. 1993. P. 1310-1315.

28. Cutler P.H., Jun He, Miskovsky N.M., Sullivan Т.Е., Weiss B. Theory of field emission in high fields from atomically sharp emitters: validity of the Fowler-Nordheim equation // J. Vac. Sci. Technol. В 1993. Vol. 11. № 2. P. 387-391.

29. Qing-An Huang. // J. Appl. Phys. Vol. 79. № 7. 1996. P. 3703.

30. Murphy E.L., Good R.H., Thermionic emission, field emission and transition region // Phys. Rev. В 1956. Vol.102. № 6, P. 1464-1473.

31. Елинсон М.И., Васильев Г.Ф. Автоэлектронная эмиссия. // М.: Физматгиз. 1958. С. 272

32. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твёрдого тела. // М.: Мир. 1979. Том 1. С. 564.

33. Добрецов JI.H. Электронная и ионная эмиссия. // М.: Наука. 1952

34. Елинсон М.И. Влияние внутренних электрических полей в полупроводниках на его автоэлектронную эмиссию. // Радиотехника и электроника. 1959. Т 4. С. 140-142

35. Фишер Р., Нойман X. Автоэлектронная эмиссия полупроводников. // М.: Наука. 1971. С. 216.

36. Filip V., Nicolaescu D., Plavitu C.N., Okuyama F. Transient and stationary field emission currents from semiconductors computed by simple semi-classical method // J. Vac. Sci. Technol. B. 1998. Vol.16, № 2, P.888-894.

37. Jensen K.L., Ganguly A.K. Numerical simulation of field emission and tunneling: A comparison of the Wigner function and transmission coefficient approaches. // J. Appl. Phys. 1993. Vol. 73. № 9. P. 4409-4427.

38. Moon S. Chung, Byung-G. Yoon, Hyun S. Seo, Cutler P.H., Miskovsky N.M. Analytic expression of the average energy of the field electrons from the «-type semiconductors // J. Vac. Sci. Technol. B. 2001. Vol.19, № 3, P.995-998.

39. Иоффе А.Ф. Полупроводники в современной физике. M.-JL: АН СССР. 1957. С. 121-146.

40. Добрецов JI.H., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. // М.: Наука. 1966.

41. Denissov V.P. Vishnevkin А.В. Mathematical modeling of nonequilibrium processes in electron emission // Proc. of 6-th Intern. Workshop BDO-99. Saratov, 2000. C. 41-44.

42. Вишневкин А.Б. Расчет необратимой составляющей потери энергии электрона при взаимодействии с плазмой металла. // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ. С.-Петербург. 2000.

43. Nordheim L.W. The effect of the image force on the emission and reflection of electrons by metals //Proc. Roy. Soc. London. 1928. Vol.A121. P. 626-630.

44. Groning O., Kuttel O.M., Emmenegger Ch., Groning P., Schlapbach L. Field emission properties of carbon nanotubes // J.Vac.Sci.Technol. B. 2000. Vol. 18. № 2 P. 665-677.

45. Chalamala B.R., Wei Y, Gnade B.E. // IEEE Spectrum 1998. Vol. 35. P. 42-46.

46. Zhirnov V.V., Hren J.J. // MRS Bulletin. 1998. Vol. 23. P.42-45.

47. Filip V., Nicolaescu D., Tanemura M., Okuyama F. Modeling the electron field emission from carbon nanotube films // Ultramic. 2001. Vol. 89. P. 39-49.

48. D.Y. Zhong, G.Y. Zhang, S. Liu, T. Sakurai, E.G. Wang Universal field emission model for carbon nanotubes on a metal tip. // Appl.Phys.Lett. 2002. Vol. 80. №3. 506-508.

49. Абрикосов А.А Основы теории металлов. // М.: Наука. 1987.

50. Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная спектроскопия. //М.: Наука. 1990. С. 20.

51. Jensen K.L. Simulation of time-depent quantum transport in field emission from semiconductors: Complications due to scattering, surface density and temperature. //J. Vac. Sci. Technol. Vol. B13. 1995. P. 505.

52. Гаврилов C.B., Mooc E.H. Поправка к работе выхода в нормальном эффекте Шоттки // Радиотехника и электроника. 2000. Т.45. № 12. С. 1499-1500.

53. Burgers R.E., Kroemer Н., Houston J.M. Corrected values of Fowler-Nordheim field emission functions в{у) and S(y) //Phis. Rev. 1953. Vol.90. P.515-518.

54. Quan W., Scheinfein M.R.,Spence J.C.H. // J.Appl.Phys. 1993. Vol. 73. P. 7041

55. Mil'shtein S.,Paludi C.A.,Chau P., Awrach J. // J.Vac.Sci.Technol. A. 1993. Vol. 11. P. 3126

56. W.K. Wong, F.Y. Meng, Q. Li, F.C.K. Au, I. Bello, S.T. Lee Field emission properties of multihead silicon cone arrays coated with cezium. // Appl. Phys. Lett. 2002. Vol. 80. №5. 877-879.

57. Zhirnov V.V., Lizzul-Rinne C., Wojak G.J., Sanwald R.C., Hren J.J. "Standardization" of field emission measurements // J.Vac.Sci.Technol. B. 2001. Vol. 19. №1 P. 87-93.

58. Brenac A., Baptist R., Chauvet G., Meyer R. Caracteristiques energetiques de cathodes a micropointes a emission de champ // Revue Phys.Appl. 1987. Vol. 22 P. 1819-1834.

59. Su-Hua Yang, Meiso Yokoyama Electron emission behaviors of polycrystalline-diamond-coated silicon emitters // Jpn.J.Appl.Phys. 1999. Vol. 38. P. 209-212.

60. Stratton R. Field emission from semiconductor // Proc.Phys.Soc. B. 1955. Vol. 68. № 430B. P. 746-757

61. Stratton R. Theory of field emission from semiconductors // Phis.Rev. 1962. Vol. 125. №1. P.67-82.

62. Фурсей Г.Н., Каплан М.И., Львов О.И. К теории автоэлектронной эмиссии р-типа полупроводников // Вестник Ленингр. университета. Сер. физики и химии. 1968. № 16. С. 167-170.

63. Christov S.G. Unified theory of thermionic and field emission from semiconductors // Phys. Stat. Soc. A. 1967. Vol. 21, № 1. P. 159-173.

64. Baskin L.M., Lvov О.I., Fursey G.N. Generation features of field emission from semiconductors //Phys. Stat. Soc. B. 1971. Vol.47. P.49-62.

65. Жуков B.M., Полежаев С.A. // Радиотехника и эелктроника 1988. Т. 33. № 10. С. 2153-2162

66. Fursey C.N., Glazanov D.V. Deviations from the F-N theory and peculiarities of field electron emission from smoll-scale objects // J.Vac.Sci.Technol. B. 1998. Vol. 16. №2 P. 910-915.

67. Jensen K.L. Semianalytical model of electron source potential barriers // J.Vac.Sci.Technol. B. 1998. Vol.17. №2 P. 515-519.

68. Lang N.D., Kohn W., Theory of metal surfaces: induced surface charge and image potential // Phys. Rev. B. 1973. Vol 7. №6. P. 3541-3550.

69. Forbes R.G. The electrical surface as centroid of the surface-induced charge // Ultramic. 1999. Vol. 79. P. 25-34.

70. Gohda Y., Nakamura Y., Watanabe K., Watanabe S. Self-consistent density calculation of field emission currents from metals // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. №8. P. 1750-1753.

71. Егоров H.B., Толстяков В.П. Исследование влияния состояния поверхности на эмиссионные характеристики полупроводниковых фотополевых катодов //Поверхность. 1996. № 9. С. 10-13.

72. Елинсон М.И., Кудинцева Т.А.Дулюпин Ю.А. Ненакиливаемые катоды. // М.: Советское радио. 1973. С.336.

73. Денисов В.П., Егоров Н.В., Клемешев В.А. Моделирование транспорта электронов в приповерхностной потенциальной яме полупроводника // Вестник ХГТУ. Херсон, 2002. Т. 2. №8. С. 99-103.

74. Spindt С.А., Holland С.Е., Schwoebel P.R., Brodie I.// J.Vac.Sci.Technol. B. 1998.Vol. 16. P. 758

75. Niedermann Ph., Sankarraman N., Noer R.J., and Fisher O. // J.Appl.Phys. 1986. Vol. 59. P. 892-896.

76. Modinos A., Xanthahis J.P. Energy floating of field-emitted electrons due to Coulomb scattering // Surf.Sci. 1991. Vol. 249. №1-3. P. 373-378

77. Nicolaescu D. Physical basis for applying the F-N J-E relationship to experimental I-V data// J.Vac.Sci.Technol. B. 1993. Vol. 11 №2. P. 392-395.

78. A. Seidl, M. Takai, A. Hosono, S. Yura, S. Okuda. Geometry effects arising from anodization of field emitters // J.Vac.Sci.Technol. B. 2000. Vol. 18. №2. P. 929-932.

79. Egorov N.V., Zhukov V.M., Polezhaev C.A. Metal tip producing for scanning tunneling microscopy // Proc. of 148. WE-Heraeus-Seminar: STM-Related Spectroscopies of Semiconductor Interfaces. Bad Honnef, 1995. P. 5-7.

80. Антонова Л.И., Денисов В.П., Егоров H.B. Устройство для определения высоты барьера на границе металл-полупроводник // Приборы и техника эксперимента. 1998. Vol. 6. С. 140-141

81. Антонова JT.И., Денисов В.П., Егоров Н.В., Усольцева И.В. // Поверхность. 1998.

82. Y. Ohkavara, T. Naijo, T. Washio, S. Oshio, H. Ito, H. Saitoh. Field emission properties of AlZnO whiskers modified by amorphous carbon and related films // Jpn. J. Appl. Phys. 2001. Vol. 40. P.I.№12. P. 7013-7017.

83. Jensen K.L., Yater J.E Advanced emitters for next generation rf amplifiers. // J.Vac.Sci.Technol. B. 1998. Vol. 16. №4. P. 2038-2049.

84. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) //М.: Наука. С. 1978,- 832.

85. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдения // Л.:Физматгиз/ 1962. С. 352.

86. Антонов А.Ю., Денисов В.П., Егоров Н.В. Математическое моделирование прохождения электронов через границу твердое тело — вакуум при малых вариациях работы выхода. // Поверхность. 1999. №12. С. 116-118.

87. Денисов В.П. // Письма в ЖТФ. Т. 18. № 14. 1992. С. 21.

88. Захарова А.А. Межзонное резонансное туннелирование в полупроводниковых гетероструктурах в квантующем магнитном поле. // ФТТ. Т. 40. 1998. С. 2121-2126.

89. Жуков Д.В. Аппроксимация уравнения Фаулера-Нордгейма. // Труды XXXI научной конференции: "Процессы управления и устойчивость". С.Петербург. 2000. С. 162-164.

90. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. //М.: Наука. 1971. С. 328.