автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Математическое моделирование электромеханических переходных процессов в неявнополюсных электрических машинах.

Державний університет “Львівська політехніка”

Математичне моделювання електромеханічних перехідних процесів у неявнополюсних електричних машинах

05.09.01 Електричні машини і апарати

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Гладкий Володимир Миколайович

УДК 621.313.33.001.57

Львів-2000 р.

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Державному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіта і науки України

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор кафедри “Електричні машини і апарати” Державного університету “Львівська політехніка” Фільц Роман Володимирович

Офіційні опоненти:

Доктор технічних наук, професор кафедри “Електромеханіка” Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” Шумілов Юрій Андрійович.

Кандидат технічних наук, доцент кафедри “Обчислювальна техніка і моделювання технологічних процесів” Українського державного лісотехнічного університету Василів Карл Миколайович.

Провідна установа - Інститут електродинаміки НАН України, відділ електромеханічних систем, м. Київ.

Захист відбудеться “Жо6ті*-% 2000 року о годині О О хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.02 Державного університету “Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул. С. Бандери, 12, ауд. 114 головного корпусу).

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Державного університету “Львівська політехніка” (Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “//“ 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченоїради Д35.052.02

Коруд В. І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Електричні машини з шихтованим магнетопроводом неявнополюсної конструкції є одними з найпоширеніших електромеханічних перетворювачів енергії, тому дослідженню електромеханічних перехідних процесів (ЕМПП) у машинах цього типу приділяється значна увага.

Чільне місце серед неявнополюсних електричних машин (НЕМ) займають асинхронні машини, які виготовляють або з фазним ротором, або з клітковим. Відомі математичні моделі для машин цього типу дозволяють досліджувати окремі перехідні процеси (пуск, коротке замикання тощо) для конкретних машин (одно-, трифазний асинхронний двигун чи генератор). Такі важливі чинники, як насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищі' просторові гармоніки магнеторушійних сил (MPC), витіснення струму в стрижнях кліткового ротора у цих моделях враховуються поодинці, або ж в комбінації деяких з них. Тому створення математичних моделей для неявнополюсної машини з фазним ротором та неявнополюсної машини з клітковим ротором з урахуванням згаданих чинників у їхньому взаємозв’язку є актуальним завданням.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

• розвиток на підставі чисельних методів нелінійної теорії електричних машин неявнополюсної конструкції з шихтованим магнетопроводом;

• створення математичної моделі для розрахунку ЕМПП в узагальненій неяв-нополюсній електричній машині (УНЕМ) з фазним ротором як машині з довільною кількістю фазних обмоток кільцевого чи барабанного типу на статорі й роторі, розподілених по пазах вздовж періоду магнетного поля довільним чином, з урахуванням насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння та вищих просторових гармонік MPC у взаємозв’язку цих чинників;

• створення математичної моделі для розрахунку ЕМПП в УНЕМ з клітковим ротором як машині, на статорі якої розташована довільна кількість фазних обмоток кільцевого чи барабанного типу, розподілених по пазах вздовж періоду магнетного поля довільним чином, а на роторі - кліткова обмотка з довільною кількістю пазів довільної конфігурації поперечного перерізу, з урахуванням насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищих просторових гармонік MPC та витіснення струму в стрижнях ротора у взаємозв’язку цих чинників;

• проведення математичних експериментів, спрямованих на дослідження впливу насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищих просторових гармонік MPC та витіснення струму в стрижнях кліткового ротора на ЕМПП у НЕМ.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі задачі:

• здефініювати поняття УНЕМ з фазним ротором;

• здійснити математичне формулювання задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з

фазним ротором; .

• опрацювати алгоритм розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором;

• здефініювати поняття УНЕМ з клітковим ротором;

• здійснити математичне формулювання задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з клітковим ротором;

• опрацювати алгоритм розрахунку ЕМПП в УНЕМ з клітковим ротором;

• скласти комп’ютерну програму розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором та в УНЕМ з клітковим ротором.

Наукова новизна одержаних результатів:

• вперше створено математичну модель для розрахунку електромеханічних перехідних процесів в УНЕМ з фазним ротором з урахуванням насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння та вищих, просторових гармонік магнеторушійних сил у взаємозв’язку цих чинників. Дана модель охоплює досить широкий клас електромеханічних . перетворювачів енергії, що об’єднуються спільністю конструкції шихтованого магнетопроводу й відрізняються кількостями й типами фазних обмоток (кільцеві, барабанні), їх розподілом по пазах вздовж періоду магнетного поля, розмірами магнетопроводу, характеристиками активних матеріалів тощо;

• вперше створено математичну модель для розрахунку електромеханічних перехідних процесів в УНЕМ з клітковим ротором з урахуванням насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищих просторових гармонік магнеторушійних сил обмоток та витіснення струму в стрижнях ротора у взаємозв’язку цих чинників. Дана модель охоплює досить широкий клас електромеханічних перетворювачів енергії, що об’єднуються спільністю конструкції шихтованого магнетопроводу й відрізняються кількостями фаз на статорі й типами обмоток, їх розподілом по пазах вздовж періоду магнетного поля, кількостями стрижнів на роторі та їх поперечним перерізом, розмірами магнетопроводу, характеристиками активних матеріалів тощо;

• на підставі математичних експериментів виявлено ряд закономірностей впливу згаданих чинників на ЕМПП у НЕМ.

Практичне значення одержаних результатів. За опрацьованими математичними моделями УНЕМ з фазним ротором та УНЕМ з клітковим ротором складено комп’ютерну програму, яка на підставі даних, отриманих з заводського розрахункового формуляру конкретної машини, дозволяє розрахувати ЕМПП для цієї машини. Модель може бути використана як складова частина системи автоматизованого проектування НЕМ для перевірки поведінки спроектованої машини в перехідних процесах з метою подальшої оптимізації її параметрів.

Особистий внесок здобувана.

Дисертантові належать: .

• дефініція поняття УНЕМ з фазним ротором;

• математичне формулювання задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором;

• опрацювання алгоритму розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором;

• дефініція поняття УНЕМ з клітковим ротором;

• математичне формулювання задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з клітковим ротором;

з

• опрацювання алгоритму розрахунку ЕМГІП в УНЕМ з клітковим ротором;

• складення комп’ютерної програми розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором та в УНЕМ з клітковим ротором;

• проведення математичних експериментів, спрямованих на дослідження впливу насичення магнетопроводу, вищих просторових гармонік MPC та витіснення струму в стрижнях кліткового ротора на ЕМПП у НЕМ.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: • .

• IV науково-технічній конференції “Zastosowania Komputerôw w Elektrotech-nice”, Poznan-Kiekrz, 1999;

• XXII міжнародній конференції “Sympozjum z podstaw elektrotechniki і teorii obwodôw IC - SPETO’99”, Gliwice-Ustron, 1999;

• науковому семінарі кафедри “Електричні машини” Державного університету

“Львівська політехніка”. ■

Робота в цілому доповідалась на кафедрі “Електричні машини” Львівської політехніки.

Публікація результатів дослідження. Основний зміст дисертації викладений в шести друкованих працях, з яких три - статті у наукових виданнях, три -доповіді на науково-технічних конференціях.

Структура дисертації. Дисертація викладена на 209 сторінках і складається з вступу, шести розділів з 54 рисунками, висновків і списку літератури з 137 назв. Основний машинописний текст викладений на 154 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ У вступі наголошується важливість дослідження ЕМПП у НЕМ шляхом математичного моделювання, сформульовано мету і задачі дослідження, здефіні-йовано поняття УНЕМ з фазним ротором та УІІЕМ з клітковим ротором, відображено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі “Загальна характеристика проблеми й обгрунтування прийнятого напряму досліджень” на підставі огляду літератури проаналізовано сучасний стан теорії й практики математичного моделювання ЕМПП у НЕМ, окреслено актуальні завдання в цій галузі, обгрунтовано прийнятий напрям дослідження, вказано вихідні допущення для побудови математичних моделей.

На підставі аналізу літератури встановлено, що:

• магнетно-лінійна теорія НЕМ, яка грунтується на допущеннях про синусоїдальний розподіл вздовж розточки провідників фаз статора й ротора та лінійності характеристик намагнечування, не задовольняє потреб практики внаслідок досить грубих допущень, закладених в її основу;

• насичення магнетопроводу, вищі просторові гармоніки MPC, витіснення струму в стрижнях кліткової обмотки ротора істотно впливають fia ЕМГІП у . НЕМ, а математичні моделі, у яких згадані чинники враховувалися б у їхньому взаємозв’язку, відсутні.

При сучасному рівні розвитку теорії математичного моделювання та комп’ютерної техніки доцільним є створення єдиної математичної моделі для НЕМ багатьох типів. Математичне моделювання конкретної машини зводилось би до представлення вхідної інформації, яка виділяє дану машину з множини бага-

тьох можливих НЕМ.

З умов забезпечення необхідної для інженерних потреб точності результатів моделювання та швидкодії математичних моделей в основу їх побудови приймаємо такі допущення:

• магнетне поле умовно розділене на взаємонезалежні основне поле й поля розсіяння;

• зубчасті структури статора й ротора замінені гладкими;

• зубцеві зони статора й ротора замінені гомогенними в тангенціальному напрямі тонкими шарами, характеристики намагнечування яких у радіальному напрямі є тотожними до характеристики намагнечування реальної зубцевої зони;

• магнетне поле в активному шарі має тільки радіальну складову, а в ярмах статора й ротора - лише тангенціальну;

• вихрові струми й гістерезис відсутні.

Для УНЕМ з клітковим ротором додатково приймаємо такі допущення:

• електричне поле в стрижні ротора має тільки складову, спрямовану вздовж довжини стрижня, а магнетне поле - лише складову, спрямовану в тангенціальному напрямі.

Важливо наголосити, що відмова від будь-якого з прийнятих допущень виключає можливість розв’язування поставленої задачі на підставі моделювання магнетного поля в одновимірній постановці.

Кожна конкретна НЕМ як частковий випадок УНЕМ характеризується певними даними, які виділяють її з множини можливих машин неявнополюсної конструкції. Такими даними, отриманими на підставі заводського розрахункового формуляру, є відомості про кількість фаз, розподіл провідників фаз по пазах, геометрію магнетопроводу, характеристики активних матеріалів тощо. Інформація про НЕМ, отримана на підставі заводського розрахункового формуляру та довідників, називається первинною інформацією про модельовану НЕМ.

Вторинною інформацією про модельовану НЕМ назвемо інформацію, отриману на підставі первинної інформації. До вторинної інформації належать коефіцієнти, матриці, які не залежать від кроку інтегрування чи номеру ітерації.

Процедура інтегрування системи алгебро-диференційних рівнянь, якою описується ЕМПП, вимагає виконання на кожному кроці інтегрування ітера-ційної процедури до розв’язування нелінійної системи алгебричних рівнянь. З метою максимальної швидкодії математичної моделі вторинна інформація про модельовану НЕМ повинна бути обчислена перед початком процедури інтегрування (початком розрахунку ЕМПП). Отже, математичні моделі для розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором та в УНЕМ з клітковим ротором складаються з двох частин, перша з яких здійснює перетворення первинної інформації у вторинну, а друга - процедуру розрахунку ЕМПП та представлення результатів цього розрахунку у вигляді, зручному для їх подальшого використання.

У другому розділі “Обробка вхідних даних, що характеризують УНЕМ” виведено формули для обчислення амплітуд гармонік кутової густини розподі-

лу провідників фаз статора й ротора, викладено методики розрахунку характеристики намагнечування активного шару та характеристик намагнечування коронок зубців статора й коронок зубців ротора, а також наведено методику аналітичного опису характеристик намагнечування.

: Кутову густину розподілу провідників /-тої фази статора наближаємо многочленом Фур’є, який є функцією магнетного кута ам нахилу променя ОР, проведеного через довільну точку Р на розточці статора, до нерухомого відносно статора променя ОРс, тобто ,

т

«СД“и) = «с/о +Епос сс«(уам) + ИСІ>Ї віп^сх м), (1)

\=і

де т - кількість враховуваних гармонік; псі0, ггс/л,с, «с,-.у5 - відповідно постійна складова, амплітуда косинусної та амплітуда синусної складової у-то ї гармоніки кутової густини розподілу провідників /-тої фази статора. Вони обчислюються на підставі відомого розподілу провідників фаз статора по пазах.

Кутову густину розподілу провідників /'-тої фази ротора наближаємо многочленом Фур’є, який є функцією магнетного кута (Зи нахилу променя ОР до нерухомого відносно ротора променя ОРр, тобто

т

ЛрЖ ) = Лр/О + 1>рм С С0Б(урм) + ир/у5 яп(урч), (2)

\'=|

де прі0, пріуС, лрі-.у8 - відповідно постійна складова, амплітуда косинусної та

амплітуда синусної складової у-тої гармоніки кутової густини розподілу провідників /-тої фази ротора. Вони обчислюються на підставі відомого розподілу провідників фаз ротора по пазах.

Для кута маємо

Рм = ам-Л,У = е РНЛаяаи, (3)

де рм - кількість періодів магнетного поля вздовж розточки статора; у - гео-

(І

-РиУ’.-

метричний кут повороту ротора; е ам - оператор зсуву на кут - рму.

Вираз (2) з урахуванням (3) набирає вигляду а а

~Рм1~, РиУ~ї ҐЛ\

«рДе ам) = е ““ЛрДа»^

де

пі

«р/(«м) = "р/о + Хлр/А'С сов(уай) + прІМ віп(уам) (5)

У=1 ,

- кутова густина розподілу провідників /-тої фази ротора як функція кута ам.

Характеристика намагнечування активного шару, характеристики намагнечування коронок зубців статора й коронок зубців ротора представлені у вигляді табличних функцій, а для їх наближення використано кусково-поліноміальну інтерполяцію многочленами Тейлора третього степеня.

У третьому розділі “Магнетно-механічна характеристика УНЕМ з фазним

ротором” отримано магнетно-механічну характеристику (MMX) УНЕМ з фазним ротором, тобто систему рівнянь і формул, яка при заданих струмах фаз статора й ротора та куті повороту ротора дозволяє обчислити внутрішні магнетні координати (магнетні напруги, індукції, потоки тощо), потокозчеплення фаз статора й ротора та електромагнетний момент.

На континуальному рівні ММХ УНЕМ з фазним ротором складається з рівнянь магнетного стану

dF

daM

+ ЬС#С-b Н - йсХ(ам)аД - е

-Р»т

іа“«рт(ам)<Гр = 0;

2% -р у _ - 2я .

'■р Je da” //pdaM - Je

'РиУ—•“ _

da” «pT(aM)ap1?pdaM = °;

В = В = Вп- сВс;

Сс ¿ам 1

Р = Р(В)-, Нс = Яс(Вс); Нр = Нр(Вр), формул для обчислення потокозчеплень фаз статора й ротора

Ф =Ф

коре ^коріЛ*пах

пар

:ф

Опах) 5 Опаз)) s

корр'.^паф 2л

М>с = LJc + азАорс + РыСуй? I Йс(“и )Вс d

а.

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(И)

(12)

-РыУ~

Фр = + РяаР «.,а.рФкорр+ PuCyUр‘ je

о

та формули для обчислення елеюромагиетного моменту

2к

м = -¿'м Дтас'Ч(ам)5<іам ,

(13)

(14)

де / - магнетна напруга в активному шарі; Яс, Нр - напруженість магнетного поля в ярмі статора й ротора відповідно; В - магнетна індукція в повітряному проміжку; Вс, Вр - магнетна індукція в ярмі статора й ротора відповідно; Вп -

постійна індукція, що не залежить від координати а м; М - електромагнетний момент; гр - радіус середини ярма ротора; Ьс, Ьр, ес, с, сч, см - постійні коефіцієнти, які визначаються через конструкційні параметри машини (висоти ярем статора й ротора, розрахункову довжину магнетопроводу тощо); ас =гііа§(ас1,...,ас1), ар =diаg(apl,...,ap,) - матриця кількостей паралельних

гілок фаз статора й ротора відповідно;

г, =

’*сі~ ’ ?р = *р1 -Є о II ’Ч»сі" • ^р = Vpi 5 ^пазе *пазс! > ^пазр *пазр!

Jcs. jpr _ _М^С5_ Vpr. _^пазс.У_, ^пазр R

ф . ^ корсі ф . ^ коррі Чі(ачГ яРі(а„)

ф = коре Ф о коре 5 Ф = ’ ^ корр ^коррД > Пс(«м) = * «р(ам) =

вектор струмів фаз статора й ротора, потокозчеплень фаз статора й ротора, струмів пазів статора й ротора, потоків коронок зубців статора й ротора, кутових густіш розподілу провідників фаз статора й ротора відповідно;

постійна матриця

Атсі.сі * *• Ajc1.cs Ajpl.pl * ■ 4рі,рг

Атс “ _Атсл\сІ • ■ ■ АтС-Ї.С.Ї > Атр Arpr.pl * *' Атрг.рг

індуктивностей розсіяння фаз статора й ротора відповідно;

^пспсі.і 1 •' ^пазсі.5 ^пазрі.і * *• ^пачрї.Л

^rmc.y.l * • * ^najcs.S 9 ^пазр 77 '‘паїрг.і ' *• ^пачр r.R - матриця розподілу

по пазах провідників фаз статора й ротора відповідно, елементами якої е кількості провідників фаз у пазах.

Індекс “Т” тут і надалі означає транспонування. У векторах і матрицях індекси означають: s, г - кількість фаз статора й ротора відповідно; S, R - кількість пазів статора й ротора в межах періоду магнетного поля відповідно.

Рівняння (6) - (14) ММХ УНЕМ з фазним ротором алгебризовуємо на підставі методу тригонометричної колокації (МТК). Наклавши на період магнетного поля рівномірну сітку з N - 1 -t- 1т вузлами, невідомі заміняємо векторами їх дискрет ... YnY (Y= Z?c, Hc, Bp, H , B, F), оператор диферен-

ціювання

d

da„

- його дискретним аналогом

д~*

£vsin(v(aMl -aMt))

V=1

£vsin(v(aM, -a4.v))

V=l

rn

v sin(v(a м у - a M s,))

£vsin(v(aM-V -a„,))

_V=| V=l

інтегральний оператор - його алгебричним аналогом

«„о

і ~2л Іп ~

Дискретним аналогом в МТК оператора е

" зсуву на кут - риу є оператор

-Pi,уIX

N

£cos(v(aMAi-aMl-pMv)) ••• Xcos(v(aMAr-clmN -p„y))

MMX (6) - (14), алгебризована на підставі MTK, набирає вигляду - Ц,Ра + ЬеНт -6„ясд-исдТаД -е'^Ирдт^'Гр =0;

Чд р -*4 рд ' ч:дТ ис *с

«рдт«р'4)=°;

^Мр^рд рдТир Ір

йд = —Д4д; ¿рд = с,В„ -cBz.x; £ f*

^=/д(5д); ЯСД = ЯСД(5СД); Ярд = Ярд(5рд);

с(* пазе) ’

= Ф ^ ,

коре коре V пазе

^па’ірТ^р ’

^корр ^коррО'пазр)»

Vc = 4 Jc + Чекере + /^Д^ЧДд і

Vp=V„ +/»«ар1и„Ч)ФЮрр+ /?мсч,яв;,пряе~л,гДт Дд;

М — ~с^^іс7сіс д) де с, = [і ... і]Т - стовпець розміру N-, сц,д = 2^ / jV; сМд = 2ясм / N;

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21) (22) (23)

«СІЛ • •• Пс\..V Vi • •• ЯрІ.Л’

««.> • •• ncs.y _ > v = Лм • •• Яр r.N_

матриця дискрет кутових

густин провідників фаз статора й ротора відповідно.

У четвертому розділі “Математична модель УНЕМ з фазним ротором” наведено САДР, яка описує ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором та опрацьовано алгоритм розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором.

Довільне з’єднання поміж собою фаз статора й ротора утворює електричну схему. Точки цієї схеми, з допомогою яких вона безпосередньо сполучається з іншими електричними схемами, назвемо полюсами, а точки сполучення затискачів окремих фаз, які не є полюсами, назвемо вузлами. Схема сполучень фаз

Хс А, ~

статора й ротора відображається матрицею А =

Ч1

-вр.

з’єднань фаз ста-

тора й ротора, утвореною за відомим в електротехніці правилом. Тут підматри-ці Апс, Апр, Авс, Авр мають розміри Exs, Ехг, /хл, /хг відповідно, де Е,

І - кількість незалежних полюсів та кількість вузлів відповідно.

САДР, яка описує ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором, складається з рівнянь (15) - (23) її ММХ, рівнянь електричного стану

АВХ + Аврір =0; (24)

^■ + /и-АпсТфп-АвсТфп=0; ^Е.+ ^/р-АпрТфп-АпрТфв=0 (25) та рівнянь механічного стану

мвал+л/-у^:=й;;;'ш-^, ' V (26)

де 7^, =diag(Лcl,...,Лcs.), Л,, = £Йа§(Яр1,...,'Др,) - матриця опорів фаз статора

й ротора відповідно; срв =[<рВ| ... ФВ/]Т - вектор потенціалів вузлів; J - мо-

мент інерції обертових мас; и - кутова швидкість машини; Фп ~ Фп(0 ~ [^пі М ••• Ч>пг(0]Т, Мвал = Мвал(?) - вектор потенціалів вузлів та момент на валі як відомі функції часу.'

Векторна система рівнянь (15) - (26) складається з дев’ятнадцяти рівнянь і містить стільки ж невідомих функцій часу: Ф„ =фв(0, 4 = 4(0 > ¡р=гр0)>

У = У(0, -^п=5п(0, Вса = Вся(і), 7/сд = Ясл(0, 5рд=5рд(0, Ярд = Ярд(/),

Я, ~ Вя0), (0 ' /Пах ~ ^па'с(^) ' “ ¿пар(0 ‘ ^коре ~ ^корс(^) ■

Фкорр = Фкорр(0. Фс='І>с(0» М>р = 4>р(0, М = М(І), © = ю(0. Разом з початкового умовою

* = /0; ?ро = 4,('о); 7о = уОо); ®0 = ©о0)

вона с математичним формулюванням задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з фазним ротором.

Кількість скалярних невідомих у векторній системі рівнянь (15) - (26) становить І + 2$ + 2г + 2Б + 2Я. + 6М + 4. Наприклад, для асинхронної машини АК 61-4 маємо: / = 2, ^ = 3, г-З, ^ = 18, /?=24, /V = 45, тобто загальна кількість скалярних невідомих становить 2+2-3+2-3+2-18 + 2-24+6 -45 + 4 = 372, що свідчить про складність задачі розрахунку ЕМПП в асинхронних машинах з фазним ротором.

Виконавши алгебризацію похідних у рівняннях (25), (26) на підставі формули диференціювання назад (ФДН) ¿»-того порядку, отримуємо нелінійну САР. Розв’язуючи її методом Ньютона, отримуємо на /-тій ітерації лінійну САР

г^'!д^в=-/<м), (2?)

г1 /—1; г' /—1 ' ■ ? •

к , - значення квадратної матриці та вектора нев язок розміру

І + $ + г + N + 2, обчислені за (і -1 )-им наближенням невідомих; АЛ',.'срі) - значення вектора Ампери = [дірв Аіс Аір Ау ДВп АЯС.Д]Т поправок первинних невідомих на ¡-тій ітерації.

Ітераційна процедура розв’язування нелінійної САР методом Ньютона вимагає виконання на /-тій ітерації таких дій:

• розв’язати методом Гаусса лінійну САР (27);

• обчислити /-те наближення первинних невідомих шляхом додавання їх поправок на /-тій ітерації до їх (і -1 )-го наближення;

• обчислити /-те наближення решти невідомих, які є вторинними, безпосередньо за виведеними формулами.

При виконанні ітераційної процедури на кроці інтегрування за нульове наближення невідомих приймаємо їх значення, отримані в результаті виконання попереднього кроку інтегрування. На першому кроці інтегрування за нульове наближення невідомих приймаємо їх значення при / = /0.

У п’ятому розділі “Математична модель УНЕМ з клітковим ротором” записано САДР, яка описує електромеханічні перехідні процеси в УНЕМ з клітковим ротором та опрацьовано алгоритм її розв’язування.

Магнетний стан машини, яка має 2" стрижнів в межах періоду магнетного поля, описується рівняннями (запишемо їх відразу в алгебризованому на підставі МТК вигляді)

густин стрижнів контурів обмотки ротора.

Формули та залежності (19), (21) справедливі і для УНЕМ з клітковим ротором.

І^р = с1іа§(2І&кл,...,2І^ь) - матриця (розміру .£) індуктивностей розсіяння контурів ротора (тут Ьст1сл - індуктивність розсіяння елемента короткозамикаю-

та рівняннями (17), (18). У рівнянні (28) гр =[гр1 ... ір2]Т~ вектор струмів

: ПрІ.І ■■■ Прим

контурів обмотки ротора; ярд

- матриця дискрет кутових

Вектор ур = [\);р| ... Ч'ргГ потокозчеплень контурів обмотки ротора об-

числюємо за формулою

у/ =Ь, І +В Ф +с п е~мЯт В

т р •Изр^р г ^пазр^корр и\уд рд сд5

(ЗО)

де

Фкоррг'Г _ вектор потоків коронок зубців ротора;

чого кільця); Впазр

1 -1 0 ... 0 0

0 1 -1 ... о о

- матриця розміру Z х Z.

-1 0 0 ... 0 1

Вектор Фкорр зв’язаний з вектором іпазр = [гішр| ... ішізр2]т струмів

пазів

кліткового ротора характеристикою

Ф = Ф (7 1

корр ^корр^назр/

намагнечування коронок зубців кліткового ротора.

Електромагнетнмй момент машини обчислюємо за формулою (23). Електромагнетний стан ¡-того стрижня описується рівняннями

де //СТ1, 7,, Ь, Ясп1, У(1, , //сті 2, д2> А2 - напруженість магнетного поля,

густина струму й ширина /-того стрижня на висотах _у, _у,, від дна паза відповідно; /,пов - густина струму на поверхні /-того стрижня; - питомий опір

матеріалу стрижня; у0 - питомий магнетний опір пустоти; £стор,- = Е„ор-(1) -

напруженість стороннього електричного поля як відома функція часу.

Перше з рівнянь (34) є класичною граничною умовою, а друге - некласич-ною, тому рівняння (32) - (34) є некласичною крайовою задачею електродинаміки.

Алгебризація рівнянь (32) - (34) здійснюється на підставі методу колокації, який передбачає наближення невідомих многочленами Тейлора (7-того степеня

і пошук їх дискрет у ()+ \ вузлах сітки, накладеної вздовж висоти стрижня. Записуючи дискретний аналог вихідної системи рівнянь на підставі методу колокації, невідомі функції замінюємо їх дискретами, а інтегральний оператор

висоти стрижня.

Записавши рівняння (32) - (34) для всіх стрижнів та алгебризувавши їх на підставі методу колокації, отримуємо систему рівнянь, яку представимо у векторній формі .

^,./л ^ ^-біповігіов ^62 ^ ^5 ^стд ^бз(-^б4Ід ^54повУпов) ’ 0^

де Люб = І/'іпов j гтвТ ~ вект°Р густим струмів на поверхні стрижнів;

І-сі у - його алгебричним аналогом

Уі

(1,2) ~ Уг-У\

де 7й - обернена матриця Тейлора для комплекту вузлів, накладених вздовж

(36)

(37)

вектор дискрет

£.ор ~ [^"сгор І * * *

поля;

напруженостей магнетного поля

“/CTOpZ

г-

стрижнях;

Рст^О

1 -1

0 1

0

-1

вектор напруженостей стороннього електричного

K,noB = PCTv0[0 о ... 0 -1]Т,

0 0 0

' 1 0 0 . .. 0 0 '

І(0,1)0 _І(о.і)2 Ь0 -Ьі 0 . .. 0 0

к2 = І ^3 = 0. 6. -6, . .. 0 0

1 (2-і.2)0 ••• ~ *(2-1.02,

0 0 0 . • • ^2-1 -Ь<д

' ' 0 ... 0

*4 = ■ ■ -I (o.ijo Ь„ ••• ^(0.1)2-1 2-і , ^ пов [* 1 1,0. 1)2 bQ ■

_І(Є-і.2)о ''' ^(Є-І.Й)Є-І *е-і

^5 = 1 (0,00 ¿о ■ •• * (0.00-1 ^2-1 J. * 5пов = 1(0 00 bQ ~ матриці розміру О) X О)

Qx 1 G*«2+D <2+i)x(Q+0, (S+DxS (Q + 1)х 1, 1 xQ, 1 X 1 відповідно

*б.= diag(АГ, , АГ,), АГб1пов- diag(A'In0B,. •' Пов) КЪ1 = diag( АГ2 ,. ..,К2)

К63 = diag(AT3.......Къ), К54 = diag(/tT4 ,..., К,), KCUnoB = diag(tf4miD..........К4аов),

tf6S=diag(K5.....K5

•^■бзпов ^а8 (^5поті ' • • • > ^5лов)

матриці, кожна з яких містить Z блоків.

блочно-діагональні

Електричний стан УНЕМ з клітковим ротором описується рівняннями

^ > ^па^р — ^пазрі^'р ^ 5 (3$)

dv[/c

+ Rjt - АпсТфп - АвсТсрв = 0;

(39)

^ - -С-С -ШТП --ВС1ТВ -> ' "Р Р

де /'¡р = diag(2^\л,...,2JRkл) - матриця (розміру 2) опорів контурів (тут /?кл -опір елемента короткозамикаючого кільця); / - довжина осердя ротора. Механічний стан УНЕМ з клітковим ротором описується рівняннями (26). Друге з рівнянь (39) за своїм фізичним змістом аналогічне до некласичної крайової умови (36), а в даному випадку воно виконує роль контактної умови, Векторна система рівнянь (28), (29), (17), (18), (19), (21), (37), (31), (30), (23), (35), (38), (39), (26) складається з двадцяти двох рівнянь і містить стільки ж невідомих функцій часу: фв = фв(/), \ =Ч(0, 7р = 7р(і), = 7т»(0> У = ї(0.

Ви = вп0), 4д = Да(0. 7Д = 7д(0, Ясгд = Д,д(0, к = //«(0, Вт = вт0),

^\\\ ~ Ярд (/) , (/) , Рд — / (/) , /пах. — ¿пах. (?) , ^пар “ 0) 5

Фкорт = Фкорс(0, Ф«орр = Ф«орр(0. Vc=ÿ.(0, ÿp=Vp(0, М=М(0, Ш = ю(0.

Разом з початковою умовою

^ *“ ^0 ’ ^сО ~ 4 (*0 ) > *р0 ~ ^*р (^0 ) 9 JповО ” /лов^0 ) » То “ V('о ) ’

}до=л(го); ®о = ю(го) вона є математичним формулюванням задачі розрахунку ЕМПП в УНЕМ з клітковим ротором.

Кількість скалярних невідомих у цій системі рівнянь становить

І + 2s + 5Z + ZQ + Z(Q +1) + 2 S + 6N + 4. Наприклад, для асинхронної машини А 61-4 з клітковим ротором маємо: / = 1, s = 3, Z-22, 5 = 18, jV = 45, Q = 9, тобто загальна кількість скалярних невідомих становитиме 1 + 2-3+5-22+ + 22-9+ 22-(9+1)+ 6-45+ 2-18+ 4 = 845, що більш ніж удвічі перевищує кількість невідомих для асинхронної машини АК 61-4 з фазним ротором.

Алгебризувавши похідні в цій САДР на підставі ФДН g-того порядку, отримуємо нелінійну САР, яку розв’язуватимемо методом Ньютона. Лінійна САР, отримана на ¿-тій ітерації методу Ньютона, після алгебричних перетворень має порядок І + s + 2Z + ZQ+ N+2.

Ітераційна процедура розв’язування нелінійної САР методом Ньютона вимагає виконання на /-тій ітерації таких дій:

• розв’язати методом Гаусса отриману після алгебричних перетворень лінійну САР відносно поправок Аф['', AiJ'\ A/ps'\ А/^в, Ау',/, Аі?^, AB^'J;

‘* 'і)

• обчислити поправку А/д за отриманою в результаті перетворень лінійної САР формулою;

• обчислити г-те наближення невідомих фв, гс , гр , ./ПОТ), у, Bu, Z?c;i, уд шляхом додавання поправок цих невідомих на /-тій ітерації до їх (г-І)-го наближення;

• обчислити за виведеними формулами решту невідомих.

У шостому розділі “Результати експериментів та їх аналіз” наведено й проаналізовано результати математичних експериментів, спрямованих на вивчення впливу насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищих просторових гармонік MPC та витіснення струму в стрижнях кліткового ротора на ЕМПП у НЕМ.

У дисертації аналізуються результати пуску та динамічного гальмування ба-гатошвидкісної асинхронної машини, спроектованої на базі машини А 61-6.

На підставі математичної експериментів встановлено, що:

• вищі просторові гармоніки MPC зумовлюють протікання вищих часових гармонік струму як в обмотці ротора, так і в обмотці статора, причому їх амплітуди можуть досягати істотних з погляду енергетичних показників машини значень;

• витіснення струму в стрижнях кліткового ротора спостеряігається як в режимах роботи машини з великим ковзанням, так і в режимах роботи з малим (в межах декількох відсотків) ковзанням, причому в останніх витіснення струму

є більш істотним;

• високочастотні струми в обмотці ротора, зумовлені вищими гармоніками

MPC, спричиняють пульсації електромагнетного моменту, частота яких зростає зі збільшенням швидкості обертання ротора; ' '

• при лінійних характеристиках намагнечування елементів магнетопроводу вищі просторові гармоніки MPC зумовлюють значне (в декілька разів) збільшення електромагнетного моменту порівняно з машиною з синусними обмотками. В насичених машинах вплив вищих гармонік MPC на електромагнет-ний момент є значно меншим, ніж у ненасичеких;

• насичення коронок зубців ротора спостерігається у випадках, коли в обмотці ротора протікають великі струми і є тим істотнішим, чим вужчим є шліц паза ротора;

• насичення коронок зубців ротора зумовлює протікання в обмотці ротора високочастотних струмів, що спричиняє інтенсивніше витіснення струму в стрижні.

Наведені на підставі математичних експериментів висновки свідчать про те, що кожен із згаданих чинників істотно впливає на перебіги ЕМПП, а результати, отримані з урахуванням цих чинників у їхньому взаємозв’язку, істотно відрізняються від результатів, отриманих з урахуванням кожного з чинників зокрема.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКІ1

1. В результаті проведеного аналізу літератури встановлено, що насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищі просторові гармоніки MPC та витіснення струму в стрижнях кліткового ротора істотно впливають на поведінку машини під час перехідного процесу. Відомі математичні моделі неявнополюсних машин ці чинники враховують поодинці, або ж у комбінації деяких з них. Тому досягнення поставленої в дисертації мети є актуальним завданням.

2. Встановлено, що оптимальною як з погляду швидкодії, так і з погляду забезпечення необхідної точності розрахунку, може бути модель, де розрахунок основного магнетного поля й електромагнетного поля в стрижні кліткової обмотки здійснюється в одновимірній постановці.

3. Записано на континуальному рівні неявну магнетно-механічну характеристику УНЕМ з фазним ротором з урахуванням насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння та вищих просторових гармонік MPC у взаємозв’язку цих чинників. Ця магнетно-механічна характеристика складається з рівнянь магнетного стану і формул для обчислення потокозчеплень фаз статора й ротора та електромагнетного моменту. Для алгебризації магнетно-механічної характеристики використано метод тригонометричної колокації.

4. Отримано формулу для обчислення дискретного аналога диференційного оператора для періодичної функції на підставі відомого комплекту вузлів колокації.

5. Отримано формулу для обчислення дискретного аналога оператора зсуву в методі тригонометричної колокації на підставі відомого комплекту вузлів колокації.

6. Записано нелінійну САДР, яка описує електромеханічні перехідні процеси в УНЕМ з фазним ротором. Ця САДР складається з рівнянь магнетно-механічної характеристики, рівнянь електричного та механічного станів машини.

7. Опрацьовано алгоритм розв’язування САДР, яка описує електромеханічні перехідні процеси в УНЕМ з фазним ротором.

8. Записано нелінійну САДР, яка описує електромеханічні перехідні процеси в УНЕМ з клітковим ротором. Ця САДР складається з рівнянь магнетного стану, рівнянь електромагнетного стану стрижнів, формул для обчислення потокозчеплень фаз статора й контурів ротора, формули для обчислення електромагнетного моменту, рівнянь електричного та механічного станів машини.

9. Опрацьовано алгоритм розв’язування САДР, яка описує електромеханічні перехідні процеси в УНЕМ з клітковим ротором.

10. Складено комп’ютерну програму розрахунку електромеханічних перехідних процесів в УНЕМ з фазним ротором та в УНЕМ з клітковим ротором. Ця програма складається з двох частин, перша з яких здійснює перетворення первинної інформації про машину (розміри магнетопроводу, характеристики активних матеріалів тощо) у вторинну (постійні коефіцієнти, матриці, які не залежать від номеру ітерації чи кроку інтегрування), а друга - розрахунок електромеханічного перехідного процесу та представлення результатів цього розрахунку у вигляді, зручному для їх подальшого використання.

11.3 використанням складеної комп’ютерної програми виконано математичні експерименти для асинхронної машини з клітковим ротором, спрямовані на дослідження впливу насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння, вищих просторових гармонік MPC та витіснення струму в стрижнях на перебіги перехідних процесів. Отримані результати проаналізовано під кутом зору фізичного пояснення впливу згаданих чинників. Показано, що кожен з цих чинників істотно впливає на перебіги електромеханічних перехідних процесів, а результати, отримані з урахуванням чих чинників у взаємозв’язку, істотно відрізняються від результатів, отриманих з урахуваннях кожного з чинників зокрема.

12. Порівняння результатів математичного експерименту з фізичним показало високий рівень адекватності математичної моделі.

Основні положення дисертаційної роботи висвітлено в публікаціях:

1. Гладкий В. М., Фільц Р. В., Цеслік С. Математичне моделювання електромеханічних перехідних процесів в асинхронній машині у фазних координатах на підставі її магнітно-механічних параметрів. // Вісник ХДПУ “Проблеми автоматизованого електроприводу. Теорія і практика”. Вип. 51, 1999. - с. 143 -146.

2. Фільц Р. В., Гладкий В. М. Математична модель узагальненої неявнопо-

люсної електричної машини з синусними обмотками як елемента електромеханічної системи. // Електромашинобудування та електрообладнання, 1999, № 53. -с. 64-69. '

3. Фільц P., Гладкий В. Математична модель узагальненої неявнополюсної електричної машини з урахуванням насичення основного магнітного кола. // Ві-

сник ДУ “ЛП” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”, 1999, № 372. -с. 181-189.

4. File R., Cieslik S., Hladkyj W. Elektromechaniczne stany nieustalone maszyny indukcyjnej przy hamowaniu dynamicznym. // IV Kotifcrcncja'Naukowo-Techniczna Zastosowania Komputerow w Elektrotechnice, Poznan-Kiekrz, 1999. - s. 519 - 522.

5. File R., Hladkyj W., Cieslik S. Modelowanie matematyczne elektromechanic-znych stanow nieustalonych maszyny indukcyjnej we wspolrz^dnych fazowych na podstawie jej parametrow magnetyczno-mechanicznych. // IV Konferencja Nau-kowo-Techniczna Zastosowania Komputerow w Elektrotechnice, Poznan-Kiekrz, 1999.-s. 513-518.

6. File R., Hladkyj W., Cieslik S. Modelowanie matematyczne uogolnionego przetwomika elektromechanicznego z niejawnobiegunowym rdzeniem ferromagne-tycznym. И XXII Miedzynarodowa konferencja z podstaw elektrotechniki і teorii obwodow IC - SPETO’99. - s. 175 - 180.

Дисертантові належать: в [1] - [2] - математичне формулювання задачі та опрацювання алгоритмів, в [3] - дефініція поняття УНЕМ, опрацювання алгоритмів та складення комп’ютерної програми, в [4] - проведення математичних експериментів, в [5], [6] - опрацювання алгоритмів.

Анотація

Гладкий В. М. Математичне моделювання електромеханічних перехідних процесів у неявнополюсних електричних машинах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.09.01 “Електричні машини і апарати”, Державний університет “Львівська політехніка”, Львів, 2000.

Дисертація присвячена математичному моделюванню електромеханічних перехідних процесів в електричних машинах неявнополюсної конструкції з шихтованим магнетопроводом. Узагальнену неявнополюсну електричну машину (УНЕМ) з фазним ротором здефінійовано як машину з довільною кількістю фазних обмоток кільцевого чи барабанного типу на статорі й роторі, розподілених по пазах вздовж періоду магнетного поля довільним чином. УНЕМ з клітковим ротором здефінійовано як машину, на статорі якої розташована довільна кількість фазних обмоток кільцевого чи барабанного типу, розподілених по пазах вздовж періоду магнетного поля довільним чином, а на роторі - кліткова обмотка з довільною кількість пазів довільної конфігурації поперечного перерізу. Опрацьовано математичні моделі УНЕМ з фазним ротором та УНЕМ з клітковим ротором. Модель УНЕМ з фазним ротором враховує насичення основного магнетного кола й шляхів потоків розсіяння та вищі просторові гармоніки маг-неторушійних сил у взаємозв’язку цих чинників. Модель УНЕМ з клітковим ротором враховує, окрім згаданих чинників, витіснення струму в стрижнях ротора.

Аннотация

Гладкий В. М. Математическое моделирование электромеханических переходных процессов в неявнополюсных электрических машинах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.09.01 “Электрические машины и аппараты”, Государствен-

ный университет “Львівська політехніка”, Львов, 2000.

Диссертация посвящена математическому моделированию электромеханических переходных процессов в электрических машинах неявнополюсной конструкции с шихтованным магнитопроводом. Обобщенная неявнополюсная электрическая машина (ОНЭМ) с фазным ротором представляет собой машину с произвольным количеством фазных обмоток кольцевого или барабанного типа на статора и роторе, распределенных по пазам вдоль периода магнитного ноля произвольным образом. ОНЭМ с короткозамкнутым ротором представляет собой машину, на статоре которой размещено произвольное количество фазных обмоток кольцевого или барабанного типа, распределенных по пазам вдоль периода магнитного поля произвольным образом, а на роторе - короткозамкнутая обмотка с произвольным количеством пазов произвольного профиля. Разработаны математические модели ОНЭМ с фазным ротором и ОНЭМ с короткозамкнутым ротором. Модель ОНЭМ с фазным ротором учитывает насыщение главного магнитного пути и путей потоков рассеивания, а также высшие пространственные гармоники магнитодвижущих сил во взаимосвязи этих факторов.. Модель ОНЭМ с короткозамкнутым ротором учитывает, кроме упомянутых факторов, вытеснение тока в стержнях ротора.

Abstract

Hladkyj V. М. Mathematical modelling of electromechanical transients in non-salientpole electrical machines. - Manuscript.

The thesis for a degree of the candidate of technical science on the speciality

05.09.01 “Electrical machines and apparatus”, State university “Lvivska politech-nica”, Lviv, 2000.

The thesis is devoted to mathematical modelling of electromechanical transients in electrical machines with nonsalientpole laminated core. Mathematical models of generalized nonsalientpole electrical machine (GNEM) with wound rotor and of GNEM with squirrel-cage rotor have been developed.

The GNEM with wound rotor is defined as a machine having an arbitrary quantity of phase windings on stator and rotor arbitrarily distributed in slots along a period of the magnetic field. In a basis of mathematical model the following assumptions are fixed: the magnetic field is divided on mutually independent the main magnetic field and leakage fields; the toothed structures of stator and rotor are replaced by homogeneous in tangential direction layers, which magnetization curve in radial direction is equivalent to the magnetization curve of real slotted zones; the magnetic field in active layer has only radial component, in the stator and rotor yokes - only tangential one; eddy currents and hysteresis are neglected. With such assumptions the computation of magnetic field can be come to solving the one-dimensional two-point boundary problem. To solve this problem the method of trigonometric collocation has been used.

For GNEM with wound rotor the implicit magnetic-mechanical characteristic containing the equations of magnetic state, the formulae to determine the stator and rotor flux linkage and electromagnetic torque versus stator and rotor current and angular position has been derived.

Electromechanical transients in GNEM with wound rotor are described by a sys-

tem of algebraic-differential equations containing its implicit magnetic-mechanical characteristic, electrical and mechanical states equations. The derivatives in this system of algebraic-differential equations are approximated according to the g-th order backward differentiation formula. The received linearized nonlinear system of algebraic equations is solved by the Newton method.

The mathematical model of GNEM with wound rotor takes into account the main magnetic field path and the paths of the leakage fluxes saturation, spatial harmonics of magnetomotive forces in interconnection of listed factors.

The GNEM with squirrel-cage rotor represents a machine having an arbitrary quantity of phase windings on stator arbitrarily distributed in slots along a period of the magnetic field, and having on the rotor an arbitrary quantity of bars of arbitrary cross-section. , ,

The mathematical model of GNEM with squirrel-cage rotor is based on the same assumptions as the GNEM with wound rotor and except these ones there are the assumptions: the electric field in a bar has only the component directed along the bar length; the magnetic field in the bar has only the tangential component.

For GNEM with squirrel-cage rotor the equations of its magnetic state have been received. These equations are algebrized according to the method of trigonometric collocation.

The equations of electromagnetic state of squirrel-cage rotor bars are written according to the integral-differential equations of electrodynamics and for their algebri-zation the method of collocation has been used.

The system of algebraic-differential equations describing the electromechanical transients in GNEM with squirrel-cage rotor contains the equations of magnetic state, the equations of electromagnetic state of bars, the formulae of flux linkages and electromagnetic torque, the equations of electrical and mechanical states. The derivatives in this system of algebraic-differential equations are approximated according to the g-th order backward differentiation formula. The received linearized nonlinear system of algebraic equations is solved by the Newton method.

The mathematical model of GNEM with squirrel-cage rotor takes into account the main magnetic field path and the paths of leakage fluxes saturation, spatial harmonics of magnetomotive forces and deep bar effect in interconnection of listed factors.

The computer program based on the mathematical models of GNEM with wound rotor and- GNEM with squirrel-cage rotor has been developed. With this computer program the mathematical experiments directed to research the influence of core saturation, spatial harmonics of magnetomotive forces and deep bar effect in squirrel-cage rotor bars on the machine behavior during transients have been carried out. The results of the mathematical experiments show that the influence of listed factors , is essential.

Ключові слова: неявнополюсна електрична машина, електромеханічний перехідний процес, насичення магнетопроводу, вищі просторові гармоніки ма-гнеторушійних сил, витіснення струму, математична модель.