автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование двухфазных потоков в случайно-неоднородной пористой среде

На правах рукописи

Спесивцев Павел Евгеньевич

Математическое моделирование двухфазных потоков в случайно-неоднородной пористой среде

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в «МАТИ>> — Российском государственном технологическом университете им К.Э. Циолковского

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Теодорович Эдуард Владимирович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Ентов Владимир Маркович

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Пергамент Анна Халиловна

Ведущая организация:

ОАО «Научно-исследовательский институт вычислительных комплексов им. М. А. Карцева»

Защита состоится » ^Ш/СС&^Х 2006 г. в IУ часов на заседании диссертационного совета Д212.110.08 при «МАТИ» — Российском государственном технологическом университете им. К. Э. Циолковского по адресу 121552, г. Москва, Оршанская ул., д.З (аудитория 612А).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» — Российского государственного технологического университета им К.Э. Циолковского.

Автореферат разослан <г ^ » _ _ 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.110.08 кандидат технических наук старший научный сотрудник Попов Н. И.

ада зз

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На практике, после первичной стадии разработки нефтяного месторождения, когда нефть поступает на поверхность но добывающим скважинам только за счет природного давления в нефтяном пласте, в резервуаре может оставаться от 70% (в редких случаях) до 90% залежей нефти. Для улучшения производительности используются различные методы, одним из которых является вытеснение нефти водой или газом. Таким образом, создается двухфазное течение, направленное от нагнетательных скважин, в которые закачивается вытесняющая жидкость, к добывающим скважинам. Использование этих методов позволяет в среднем добывать еще от 30% до 40% нефти, остающейся после первичной стадии разработки.

Применение средств повышения нефтеотдачи является дорогостоящей операцией и, следовательно, с экономической точки зрения оптимизация таких процессов является важной задачей. Это приводит к необходимости математического исследования задачи двухфазного вытеснения с целью улучшения понимания подземных процессов и установления влияния структуры пористой среды и характеристик жидкостей на поток. С другой стороны, неполное и неточное знание подземной структуры месторождений приводит к неопределенностям в оценке производительности нефтяных резервуаров. Следовательно, добыча нефти вообще и процесс двухфазного вытеснения в частности связаны с рисками. Оценка этих рисков и неопределенностей нефтеотдачи также является задачей представляющей практический интерес.

Значительный вклад в исследование двухфазных течений в пористых средах внесли выдающиеся отечественные ученые В. М. Ентов, Г. И. Баренблатт, В. М. Рыжик, А. Ф. Зазовский, М. Б. Панфилов, М. И. Швидлер и др., а также зарубежные ученые С. Баклей, М. Леверетт, П. Сафмен, Г. Тэйлор, Р. Чуок, Дж. Хагорт и др.

В Диссертации рассматривается общая задача и в качестве модели процесса принимается, что жидкость, первоначально присутствовавшая в пористой среде (вытесняемая жидкость), вытесняется закачиваемой жидкостью (которую будем называть вытесняющей жидкостью). В процессе вытеснения формируется граница раздела, отделяющая область, в которую уже проникла вытесняющая жидкость от области, в которой содержится только вытесняемая жидкость. Эту границу раздела далее будем называть фронтом. Задача двухфазного вытеснения несмешивающихся жидкостей относится к классу нелинейных, поскольку распределение скорости и в пористой среде нелинейно зависит от распределения насыщенности 5. Как следствие, теоретический анализ данной задачи осложнен, а применение численных методов связано с большими затратами машинного времени. Важно отметить, что уравнение баланса насыщенности относится к уравнениям гиперболического типа, и его решение может содержать разрывы (скачок насыщенности на фронте). При

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Пе1ербург

ОЭ ЗОО^акт^бб

численном моделировании этого скачка возникает разброс результатов численного счета (численная дисперсия).

Таким образом, в исследовании задачи несмешивающегося двухфазного вытеснения имеется ряд актуальных направлений. К ним можно отнести поиск теоретических закономерностей, описывающих интересующий процесс и позволяющих оценить существенные характеристики процесса не прибегая к вычислительным экспериментам, а также развитие численных методов, позволяющих решить задачу быстро и с достаточной точностью.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются двухфазные течения несмешивающихся жидкостей, встречающиеся на практике при вытеснении нефти водой из неоднородных резервуаров. Предметом исследования является математическое моделирование таких течений в рамках стохастического подхода и с использованием численных методов.

Цель и задачи'работы. Работа состоит из двух частей. В первой части рассматривается задача о вытеснении в случайно-неоднородной пористой среде и описывающая распространение фронта математическая модель исследуется1 в рамках стохастического подхода. Целью исследования является нахождение основных статистических характеристик возникающего при двухфазном течении фронта. Другой важной задачей, решаемой в первой части работы, является установление связи между статистическими моментами насыщенности (средним и дисперсией) вблизи фронта, статистическими характеристиками поля проницаемости (типом корреляционной функции, дисперсией логарифма проницаемости, длиной корреляции) и параметрами жидкостей (отношением подвижностей на фронте). В заключение первой части приводится сравнение формы предсказанного теоретически профиля средней насыщенности с профилем насыщенности, получаемым после осреднения результатов многочисленных вычислительных экспериментов по методу Монте-Карло.

Во второй части работы строится численная модель распространения границы раздела при двухфазном вытеснении в случайно-неоднородной пористой среде. Отличительной особенностью модели является использование выражения, описывающего динамику фронта, которое позволяет использовать стационарное поле скорости для моделирования распространения фронта, учитывая двухфазные эффекты вблизи фронта с помощью задания в уравнении члена определенного вида. Таким образом, уравнение для давления решается один раз за время работы программы. Задачей является проверка соответствия результатов, даваемых предлагаемой программой, результатам широко используемой программы моделирования, основанной на линиях тока.

Методы исследований. В первой части работы к математической модели распространения фронта применяются стохастические методы исследования. Случайно-неоднородное поле проницаемости описывается как заданное распределение с известными статистическими характеристиками. При выводе определяющего уравнения используется аппарат обобщенных функций, метод функции Грина, метод итераций, выполняется преобразование Фурье по поперечным координатам и по времени.

Во второй части работы задача о распространении фронта в случайно-неоднородной пористой среде рассматривается с использованием численных методов. Для дискретизации уравнения, описывающего динамику фронта применяются стандартные приемы (семиточечная схема метода конечных разностей, центральная разность для аппроксимации пространственной производной, явная схема по времени). Для вычислений в пространстве Фурье-образов используется алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Научная новизна.

1. Использование улучшенной теории возмущений.

В данной работе при моделировании двухфазных течений впервые используется улучшенная теория возмущений, разработанная Теодорови-чем в работах, посвященных анализу однофазных потоков. В рамках этого подхода из системы уравнений для скорости и давления (условия несжимаемости и закона Дарси) исключается давление и получающееся интегральное уравнение для скорости решается методом итераций, что и воспроизводит ряд теории возмущений в виде разложения по степеням логарифма подвижности. Использование улучшенной теории возмущений позволяет получить более корректные результаты для поведения статистических характеристик вблизи фронта вытеснения.

2. Пространство произвольной размерности.

Результаты получены в пространстве произвольной размерности (частные случаи — двумерная и трехмерная задача), что является существенный отличием от предыдущих работ, в которых рассмотрение проводилось в одномерном и двумерном пространстве.

3. Численный метод быстрого моделирования распространения фронта.

В работе выводится упрощенное уравнение, описывающее распространение фронта в случайно-неоднородной среде, которое дискретизируется на сетке, представляющей собой дискретное неоднородное поле проницаемости. В случае, когда система устойчива в смысле Сафмена-Тейлора, применение предлагаемого подхода позволяет моделировать распространение фронта используя стационарное поле скорости, полученное из рас-

смотрения однофазного течения, а двухфазные эффекты моделируются вблизи фронта с использованием метода преобразования Фурье. Достоинствами предлагаемого численного метода являются быстрота работы и отсутствие численной дисперсии.

Практическая значимость. Стохастический подход, предлагаемый в par боте, позволяет вычислить представляющие интерес характеристики процесса двухфазного вытеснения несмешивающихся жидкостей — распределение средней насыщенности и дисперсию насыщенности вблизи фронта вытеснения. Эти характеристики могут быть использованы для построения доверительных интервалов и тем самым позволяют оценить связь неопределенностей в распределении средней насыщенности со статистическими характеристиками случайно-неоднородной пористой среды и с характеристиками жидкостей. Также они дают возможность предсказать вероятность прорыва воды в добывающие скважины.

Численный метод, предлагаемый в данной работе, позволяет вычислить форму фронта для данной неоднородной сетки проницаемости избегая дорогостоящей традиционной процедуры обновления поля давления на каждом временном шаге и без численной дисперсии. Иными словами, метод обеспечивает быстрое и достаточно точное моделирование распространения устойчивого фронта вытеснения.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Стохастическое исследование математической модели распространения фронта в случайно-неоднородной пористой среде.

2. Закономерности поведения статистических характеристик фронта вытеснения, полученные в рамках стохастической подхода.

3. Численный метод быстрого моделирования распространения фронта в неоднородной пористой среде.

Апробация работы. Разработанные методы и основные результаты опубликованы в двух статьях в журнале, рекомендованном к размещению публикаций Высшей аттестационной комиссией (ВАК). Основные результаты работы докладывались на трех международных конференциях и на одной всероссийской конференции. На метод моделирования распространения фронта зарегистрирован французский патент.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, списка основных обозначений и списка литературы.

Работа содержит 137 стр. машинописного текста, включает 33 рисунка, пять приложений, 284 формулы. Список литературы включает 90 наименований.

Содержание работы

Математическое описание фронта вытеснения. Фронт вытеснения, формирующийся при двухфазном течении несмешивающихся жидкостей, может быть описан уравнением, получающимся из теории поверхностей и условия сохранения массы жидкости на скачке

дМу, г) = —К - иадак)(1) щ

где к — функция, задающая форму фронта, <9( — производная по времени, со — средняя скорость распространения невозмущенного (плоского) фронта в однородной пористой среде. Рассматривается задача, где имеется выделенное направление х = Х\. вдоль которого направлена средняя скорость фильтрационного потока «о, а (й — 1)-мерный вектор у = {х2,... а^} представляет собой вектор, перпендикулярный к выделенному направлению оси жх. Таким образом, рассмотрение проводится в пространстве произвольной размерности й, а да обозначает производные по перпендикулярным (поперечным) к х координатам (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Представляет интерес уравнение, описывающее флуктуации фронта вытеснения, которое следует из уравнения (1). В линейном приближении необходимо сохранить члены нулевого и первого порядка по к, т.е. представить последнее уравнение в виде

д1к = С-к-Ь/,

где С — некоторый линейный дифференциальный оператор и / — некоторая случайная функция. Из (1) видно, что для нахождения этого уравнения в выражении (щ — иадак) следует оставить только член нулевого и первого порядка по к для продольной составляющей скорости щ и нулевого порядка в выражении для поперечных составляющих скорости иа.

Для вычисления входящей в (1) скорости фильтрационного потока используется улучшенная теория возмущений. Следуя этому подходу, скорость фильтрации представляется в виде суммы потенциальной (безвихревой) и со-леноидальной (вихревой) частей. Используя такое представление, обобщенный закон Дарси и вводя функцию Грина Д-1 для оператора Лапласа, получаем следующее интегральное уравнение для компонент скорости щ . />+00

щ(т)=иР- Д-Чг-г^га,;(г>г(гЖ (2)

«/ —00

где Ьш — некоторый дифференциальный оператор, а член ад пропорционален производной полной подвижности А—величины, входящей в закон Дарси,

обобщенный на двухфазный случай, = с^А/А. Полученное уравнение можно решать методом итераций, что приводит к представлению решения в виде разложения в ряд теории возмущений по степеням с^А/А. В соответствии с введенными ранее обозначениями радиус вектор имеет вид г = {х, у}.

Функция полной подвижности А зависит от насыщенности и вместе с ней скачкообразно меняется на фронте. Для описания этого скачка привлекает- {

ся обобщенная функция здп(х) = х/\х\. дифференцирование которой дает удвоенную ¿-функцию. Соответствующий расчет позволяет найти явный вид уравнения для описывающей форму фронта функции к и получить решение для Фурье-образа этой функции в виде

со

где

В последних выражениях ч — волновой вектор, отвечающий преобразованию Фурье по поперечным координатам у, ^ и ш - волновые числа, отвечающие преобразованиям Фурье по продольной координате и по времени, соответственно, — Фурье образ функции ц = 1пк(ж, у) (к — абсолют-

ная проницаемость пористой среды). Постоянная А определяется отношением подвижцостей на фронте вытеснения. Используя полученное уравнение оказывается возможным вычислить различные статистические характеристики фронта вытеснения.

Корреляционная функция и дисперсия формы фронта. В частности, используя предположение о статистической однородности поля проницаемости, можно вычислить парную корреляционную функцию случайного поля Л(у,

В(У,Р, у', О = <А(у, *)%', £)) = В(у - у', Ь - «О и дисперсию Л(у,г), определяемую выражением

*=*<°'°> = ^г {{Л)т-2)1{йЛ) ГК{г)г{1 ~

где 1{с1,А) — интеграл, вычисляемый аналитически для заданных с! и А, К(г) — парная корреляционная функция случайного поля проницаемости. При получении последнего выражения в случае, когда с1 = 2, возникают ло- »

гарифмические расходимости, связанные со спецификой решения двумерного уравнения Лапласа. Эти расходимости устраняются стандартным образом,

вводя условие нормировку согласно которому в произвольно выбранной точке нормировки го функция Грина для уравнения Лапласа должна обращаться в нуль. Именно этим объясняется появление в последнем уравнении произвольного параметра гд, имеющего размерность длины. В двумерном случае дисперсия Ь(у, 4) принимает вид

В трехмерном случае можно положить го = оо, что соответствует «естественному» дополнительному условию исчезновения потенциала на бесконечности. В двумерной задаче это невозможно, и результат вычислений зависит от выбора точки нормировки. Дисперсия насыщенности позволяет вычислить распределение средней насыщенности и дисперсию насыщенности вблизи фронта вытеснения.

Другие статистические характеристики фронта вытеснения. В рамках предложенного подхода также подсчитаны такие представляющие интерес статистические характеристики, как дисперсия скоростей продольных смещений фронта вытеснения

срЩс1,А) Щ В((й — 1)/2,1/2)'

(здесь 1х(с1, А) — интеграл, вычисляемый аналитически для заданных с1 и А, Ко — дисперсия логарифма проницаемости а В(а, /3) — бета-функция Эйлера) и вариограмма фронта вытеснения

7« = ту. 0 - МО, чг> = •'¡""'Л ~ °~Ы'П) '

* {т^ЬгФяг1)-^«}*

Исследование вариограммы показало, что в двумерном случае она растет логарифмически в связи с особенностями поведения функции Грина для оператора Лапласа, а в трехмерном случае рост вариограммы ограничен в соответствии с принципом ослабления корреляций на больших расстояниях.

Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности. Важнейшими характеристиками, позволяющими построить доверительные интервалы при оценке эффективности двухфазного вытеснения, являются средняя насыщенность и дисперсия насыщенности. Используя обобщенную функцию з<?п(ж)

для представления скачка насыщенности на фронте, вводя характеристический функционал случайного поля Н(у, Ь) и используя предположение о лсъ гнормальности распределения проницаемости в неоднородной пористой среде, получены следующие соотношения для средней насыщенности вблизи фронта

где erf — интеграл ошибок. Здесь S\ — значение насыщенности на задней стороне поверхности фронта вытеснения, а 5г — значение насыщенности на его передней поверхности. Таким образом, профиль средней насыщенности распространяется с постоянной скоростью со вдоль оси х и его граница размыта в области, определяемой дисперсией продольных смещений фронта Во. Последние соотношения позволяют оценить влияние изменения параметров, характеризующих неоднородность среды (дисперсии логарифма проницаемости, длины корреляции и типа корреляционной функции случайного поля проницаемости) и параметров жидкостей (отношения вязкостей или отношения подвижностей на фронте) на вид профиля средней насыщенности. На рис. 1 представлено сравнение профилей средней насыщенности и дисперсии насыщенности для разных значений дисперсии логарифма проницаемости Ко-

Рис. 1. Влияние различных значений Ко на: (а) — профиль средней насыщенности; (б) — дисперсию насыщенности

Чем больше значение Ко, тем более размыт профиль средней насыщенности и тем выше дисперсия насыщенности. Это позволяет сделать выводы о более

и для дисперсии насыщенности

раннем прорыве воды в добывающие скважины, что является нежелательным эффектом. Вообще, увеличение логарифма проницаемости и/или отношения вязкости вытесняемой жидкости к вязкости вытесняющей жидкости ведет к ухудшению эффективности вытеснения.

Форма профиля средней насыщенности вблизи фронта вытеснения была сравнена с профилем насыщенности, получаемым после осреднения большого числа результатов вычислительных экспериментов. Из результатов сравнения следовало, что при введении дополнительного «настроечного параметра» в теоретическую формулу может быть достигнуто хорошее соответствие профилей. Пример подобного сравнения представлен на рис. 2 для отношения вязко-стей т = 2 и дисперсии логарифма проницаемости К0 = 0,1. Сплошной линией показан профиль насыщенности, получаемый после осреднения результатов многочисленных вычислительных экспериментов по методу Монте-Карло (пунктирной линией показан профиль в предположении, что сзади фронта насыщенность всюду равна 51, с спереди фронта — ¿г), а линией со звездочками — теоретически предсказанный профиль средней насыщенности.

средняя касщохмссть - - средой каеьйцониоеть {&.0) * тсоротичос(гД грефить

\ -

\

\ \ 1 1 . I . 1 \

О 01 ог 03 М 0.5 06 07 00 0.9 1 хЛ.

Рис. 2. Профили средней насыщенности при т = 2 и Ко = 0,1

Численный метод быстрого моделирования устойчивого фронта вытеснения. Используя теорию возмущений было получено выражение, описывающее временную эволюцию флуктуаций формы фронта 51г в трехмерной

неоднородной пористой среде

dt5h = Va + Vb, (3)

где предполагается, что слагаемое 14 можно получить при исследовании однофазной задачи в неоднородной среде, а слагаемое \гъ в свою очередь получается при рассмотрении двухфазной задачи в однородной среде и было вычислено ранее Кингом и Дунаевским. Тогда члены разложения имеют вид

Va = - SuadaSh)\x=H, Vb = соА -—^qShiq,

где 8и\ — флуктуации продольных составляющих скорости, а 8иа — флуктуации поперечных составляющих скорости. Уравнение (3) с членами правой части, даваемыми последними выражениями, может быть дискретизировано на неоднородной дискретной сетке проницаемости и решено стандартными численными методами. В результате можно вычислить форму фронта при его распространении через неоднородное дискретное поле проницаемости на каждом временном шаге. В соответствии с предложенным методом была написана программа. Результаты работы программы представлены на рис. 3 в виде сравнения с результатами, получаемыми с использованием широко распространенной программы моделирования двухфазных течений, в качестве

Рис. 3. id = 0,49. т = 2; (а) — Предлагаемая программа моделирования, (б) - 3DSL

которрй была выбрана программа, основанная на линиях тока — ЗОБЬ. Вычислительный эксперимент в обеих программах проводился для конкретной неоднородной сетки проницаемости и при одинаковых прочих параметрах. При работе предлагаемой программы распространение фронта вытеснения моделируется используя неоднородное поле скоростей, вычисленное один раз для однофазного течения (дорогостоящая операция решения уравнения для давления выполняется один раз). Эффекты, возникающие из-за разности вяз-костей жидкостей, моделируются с использованием аналитического выражения Ц,. приведенного выше. Отметим, что при работе стандартных программ требуется многократное обновление поля скорости (многократное решение уравнения для давления). Следовательно, предложенный метод позволяет моделировать распространение фронта быстро, с достаточной точностью и без численной дисперсии.

Основные результаты и выводы

Выполнен стохастический анализ модели распространения фронта вытеснения в случайно-неоднородной пористой среде и вычислены различные статистические характеристики фронта вытеснения. Другими словами, представляла интерес статистическая информация о фронте и в частности его поведение в среднем. Стохастическое исследование было проведено в пространстве произвольной размерности с использованием улучшенной теории возмущений, которая позволила совместно рассматривать влияние неоднородности среды и характеристик жидкостей на двухфазное течение. Использование предложенного подхода позволило получить следующие результаты:

1. Получено выражение, связывающее корреляционную функцию и дисперсию продольных смещений фронта вытеснения со статистическими характеристиками поля проницаемости (заданными корреляционной функцией случайного поля проницаемости) и характеристиками жидкостей (отношением подвижностей на фронте).

2. Дисперсия продольных смещений фронта в свою очередь была использована для получения связи между статистическими моментами насыщенности вблизи фронта (средним значением насыщенности и дисперсией насыщенности) и характеристиками случайного поля проницаемости и жидкостей. Знание распределения средней насыщенности позволяет вычислить вероятность прорыва воды в добывающие скважины. Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности могут быть использованы для построения доверительных интервалов и оценки неопределенностей, связанных с добычей нефти в неоднородных резервуарах. При рассмотрении частного случая корреляционной функции случайного поля проницаемости в модели распространения фронта вытеснения выявляется

следующая закономерность: увеличение дисперсии логарифма проницаемости или отношения вязкостей жидкостей ведет к большему размытию профиля средней насыщенности и худшей нефтеотдаче.

3. Полученная при исследовании математической модели распространения фронта форма профиля средней насыщенности была сравнена с формой профиля насыщенности, получаемой путем осреднения результатов многочисленных вычислительных экспериментов. Сравнение показало хорошее качественное соответствие, а при введении настроечного параметра было получено хорошее количественное соответствие. Полученные закономерности дают возможность прямо оценить форму распределения средней насыщенности вблизи фронта вытеснения не прибегая к дорогостоящим вычислительным экспериментам по методу Монте-Карло.

4. В рамках предложенного стохастического подхода к рассмотрению математической модели распространения фронта были исследованы другие представляющие интерес статистические характеристики фронта вытеснения —дисперсия скоростей продольных смещений и вариограмма продольных смещений на фронте вытеснения. В двумерном случае вариограмма растет логарифмически с увеличением расстояния. В трехмерном случае рост вариограммы ограничен в соответствии с принципом убывания корреляций на больших расстояниях.

Часть работы посвящена численному решению задачи о распространении фронта вытеснения в трехмерной неоднородной пористой среде и целью являлось получение формы фронта в деталях для заданной неоднородной сетки проницаемости. В работе предложен новый численный метод, который позволил решить следующие задачи:

1. Проверена гипотеза о возможности использования членов первого порядка теории возмущений для описания динамики фронта вытеснения путем сравнения с результатами полного вычислительного эксперимента, проводимого с использованием существующей и широко используемой программы моделирования двухфазных потоков.

2. Предложен и описан численный метод получения формы фронта с использованием единственного решения уравнения для давления, в то время как точность работы существующих программ моделирования зависит от числа обновлений поля давления (числа решений уравнения для давления, в дискретном виде представляющего собой линейную систему уравнений, имеющую огромный размер для больших сеток). Сравнение результатов, получаемых с использованием предложенного численного метода с результатами, получаемыми с использованием существующей

программы моделирования показало, что имеется хорошее соответствие при существенно меньших затратах машинного времени.

3. Фронт вытеснения моделировался как непрерывная поверхность. Соответственно, при использовании предложенного численного метода не возникает проблемы численной дисперсии.

Список основных публикаций по теме диссертации

Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных для публикации ВАК:

1. П. Е. Спесивцев, 9. В. Теодорович. Тензор дисперсии скорости в плоском фильтрационном потоке // Известия РАН, серия МЖГ. — 2004. — № 3. - С. 91-100.

2. Б. Нотанже, П. Е. Спесивцев, Э, В. Теодорович. Стохастический анализ фронта вытеснения в случайно-неоднородной среде // Известия РАН, серия МЖГ. - 2006. - № 5. - С. 174-187.

Международные и всероссийские конференции:

1. П. Е. Спесивцев, Э. В. Теодорович. Разрыв насыщенности в задаче о двухфазной фильтрации в случайно-неоднородных пористых средах // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции «Новые материалы и технологии НМТ-2004» в 3-х томах. — Москва, ноябрь 2004 г. - М: МАТИ, 2004 - Т. 1., 248 с.

2. В. Nœtinger, V. Artus, M. Le Ravalée, P. Spesivtsev. Modelling two-phase flow in random porous media, some recent advances and scientific issues // Труды международной конференции «Моделирование течений в пористых средах». — Москва, ноябрь 2005 г. — М: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ Нефти и Газа им И.М. Губкина, 2006 - С. 1-16.

3. Э. В. Теодорович, Б. Нотаноюе, П. Е. Спесивцев. Распространение границы раздела при двухфазном течении в случайно-неоднородной пористой среде // Труды международной конференции «Моделирование течений в пористых средах». — Москва, ноябрь 2005 г. — М: ГУП Изд-во «Нефть и газ» РГУ Нефти и Газа им И.М. Губкина, 2006 - С. 17-28.

4. П. Е. Спесивцев, Э. В. Теодорович. Вычисление средней водонасыщен-ности вблизи фронта вытеснения в рамках стохастического подхода //' Научные труды Международной молодежной научной конференции «XXXII Гагаринские чтения» в 8-ми томах. — Москва, апрель 2006 г. — М: МАТИ, 2006 - Т. 1. С. 162-163.

5. P. E. Spesivtsev, B. Ncetinger. A Fast Numerical simulator of the Front Propagation for a Two-Phase Flow in a Heterogeneous Porous Medium // In proceedings of the 10th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. — Amsterdam, September 2006.

Патент:

1. Б. Нотанже, П. Е. Спесивцев. Метод для оптимизации улучшенной добычи жидкости, заполняющей пористую среду, путем расчета формы фронта [В. Ncetinger, P. Е. Spesivtsev. Méthode pour optimiser la recuperation assistée d'un fluide en place dans un milieu poreux par suivi de front) — Institut Français du Pétrole (IFP) — французский патент. Дата регистрации: 16.08.2006. Регистрационный номер патента: 06/07.374.

Принято к исполнению 08/11/2006 Исполнено 08/11/2006

Заказ №877 Тираж: 100 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 www.autoreferat.ru

А.ОО & fr

Список иллюстраций

1 Введение

1.1 Описание явления.

1.2 Ак1уальнос1ь рассматриваемой задачи.

1 3 Объект и предмет исследования.

1 4 Состояние проблемы и методы описания

1 4.1 Исследование фронха в однородных средах.

1 4,2 Исследование фроша в неоднородных средах.

14 3 Стохастический анализ двухфазных потоков.

1.4.4 Численное моделирование двухфазных потоков

1.4.5 Методы ренормализационной группы и апскейлинга, . 23 1.5 Цель и задачи работы.

1.5.1 Стохастическое моделирование.

1.5.2 Численное моделирование.

1.5 3 Моделирование устойчивого фроша.

1 б Методы исследований.

1.7 Научная новизна.

1 8 Основные положения, выносимые на защиту.

19 Апробация работы.

1.10 Основные публикации по теме диссертации.

1.11 Краткий обзор содержания работы.

2 Стохастическое моделирование распространения фронта

2.1 Определяющие уравнения.

2.2 Уравнение для формы фроша.

2 3 Скорое 1Ь фильтрационного потока.

2 4 Уравнение для флуктуаций формы фронта.

3 Исследование статистических характеристик фронта

3.1 Корреляционная функция и дисиерсия флуктуаций формы фронта.

3.2 Дисперсия продольных скоростей на фронте вьпеснения.

3.3 Вариограмма продольных смещений фронта вьпеснения.

3 4 Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности

3.5 Сравнение с результатами вычисли 1ельиых экспериментов

4 Численный метод быстрого моделирования распространения фронта

4.1 Основная идея меюда.

4.2 Общее уравнение.

4 3 Численная схема.

4 3.1 Дискретизация однофазной неоднородной задачи . 97 4 3.2 Дискретизация члена, учитывающего неоднородное 1Ь среды

4 3 3 Дискретизация в пространстве Фурье-образов.

4 3 4 Дискретизация по времени.

4.4 Результаты и сравнение.

Работа посвящена моделированию несмешивающихся двухфазных течений в случайно-неоднородных пористых средах в применении к задаче вытеснения. Эта задача актуальна в нефтяной индустрии при использовании путей повышения нефтеотдачи.

1.1 Описание явления

На практике. после первичной стадии разработки нефтяною месторождения, когда нефть посыпает на поверхность по добывающим скважинам только за счет природного давления в нефтяном пласте, в резервуаре может оставаться от 70% (в редких случаях) до 90% залежей неф I и [1]. Для улучшения производи 1ельнос1 и использую1ся различные меюды [2]. одним из которых является вытеснение неф1и водой или 1азом. Таким образом. создае!ся двухфазное течение, направленное от нагнетательных скважин, в коюрые закачивается вытесняющая жидкость, к добывающим скважинам. Использование этих методов позволяет в среднем добывать еще от 30% до 40% нефти. остающейся после первичной стадии разработки.

1.2 Актуальность рассматриваемой задачи

Применение средств повышения нефтеотдачи являе1ся дорогостоящей операцией и, следовательно, с экономической точки зрения ошимизация таких процессов являе1ся важной задачей. Это приводит к необходимости использования 'теоретическою анализа задачи двухфазною вытеснения с целыо улучшения понимания подземных процессов и установления влияния структуры пористой среды и характеристик жидкостей на поток. С другой стороны, неполное и неточное знание подземной С1рук1уры месторождений приводит к неопределенностям в оценке производительности нефтяных резервуаров. Следовательно добыча нефти вообще и процесс двухфазно! о вытеснения в частости связаны с рисками. Оценка этих рисков и неопределенностей неф-1еогдачи также янляемя задачей представляющей практический интерес.

В дальнейшем рассматривается общая задача и в качестве модели процесса принимав 1ся. что жидкость, первоначально присутствовавшая в пористой среде (вытесняемая жидкость), вы гесняемя закачиваемой жидкостью (которую будем называть вытесняющей жидкостью). В процессе вытеснения формируема 1раница раздела. 01деляющая область, в которую уже проникла вытесняющая жидкость ог области, в которой содержится только вытесняемая жидкость. Эту границу раздела далее будем называв фронтом. Одной из важнейших харак1еристик рассматриваемого процесса являемя насыщенное ib S. коюрая представляет собой долю вытесняющей жидкости в элементарном обьеме норового пространства, окружающего данную точку. В дальнейшем. унофебляя слово насыщенное 1ь будем иметь в виду насыщенность вытесняющей фазы, поскольку в системе, состоящей из двух фаз. которым соответс i вуюг индексы w и о справедливо равенство Sw + S„ — 1 и. следовательно имеемя лишь одна независимая насыщенность. Задача двухфазною вьпеснения несмешивающихся жидкостей ошосихся к классу нелинейных поскольку распределение скорости в пористой среде нелинейно зависит or распределения насыщенности. Как следствие, теоретический анализ данной задачи осложнен, а применение численных методов связано с большими затратами машинного времени. Заметим также, чю уравнение баланса насыщенности относится к уравнениям гиперболического типа, и его решение может содержать разрывы (скачок насыщенное!и на фронте). При численном моделировании ною скачка возникает разброс результатов численною счета [3] (будем также употреблять термин «численная дисперсия» по аналогии с термином использующимся в западной литературе — «numerical dispersion»).

Таким образом, в исследовании задачи несмешивающегося двухфазною вытеснения имеется ряд ак!уальных направлений. К ним можно отнести поиск теоретических закономерностей, описывающих интересующий нас процесс и позволяющих оцени 1ь существенные характеристики процесса не при-бе1ая к вычисли 1ельным 'жснеримеитам. а также развитие численных методов позволяющих реши1ь задачу быпро и с достаточной точностью.

5 Заключение

5.1 Обзор полученных результатов

Первая часть работы (главы 2 и 3) посвящена стохастическому исследованию математической модели распространения фроша вытеснения в случайно-неоднородной пористой среде и исследованию различных статистических характеристик фронта вытеснения. Другими словами, нас интересовала статистическая информация о фронте и в частности его поведение в среднем Стохастическое исследование было проведено в пространстве произвольной размерности с использованием улучшенной теории возмущений, которая позволила совместно рассматривать влияние неоднородности среды и характеристик жидкостей на двухфазное течение. Использование предложенного подхода позволило получить следующие результаты:

1. Получено выражение, связывающее корреляционную функцию и дисперсию продольных смещений фронта вытеснения со статистическими характеристиками поля проницаемости (заданными корреляционной функцией случайного поля проницаемости) и характеристиками жидкостей (отношением подвижностей на фронте):

2. Дисперсия продольных смещений фронта в свою очередь была использована для получения связи между статистическими моментами насыщенное I и вблизи фронта (среднее значение насыщенности и дисперсия насыщенности) и характеристиками случайного поля проницаемости и жидкостей. Распределение средней насыщенности является наиболее важной характеристикой при рассмотрении двухфазных течений и наибольший интерес представляет знание этой характеристики вблизи фронта вытеснения. Знание распределения средней насыщенности позволяет вычислить вероятность прорыва воды в добывающие скважины. Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности могут быть использованы для построения доверительных интервалов и оценки неопределенностей. связанных с добычей нефти в неоднородных резервуарах. При рассмотрении частного случая корреляционной функции случайною ноля проницаемости в модели распросхранения фронта выяснения выявляем следующая закономерность: увеличение дисперсии логарифма проницаемости или отношения вязкостей жидкостей ведет к большему размытию профиля средней насыщенности и худшей нефтеотдаче.

3 Полученная при исследовании математической модели распространения фронта форма профиля средней насыщенности была сравнена с формой профиля средней насыщенности, получаемой пу г ем осреднения резулыатов многочисленных вычислительных экспериментов по ансамблю реализаций. Сравнение показало хорошее качественное соответствие. а при введении настроечного параметра было получено хорошее количественное соответствие. Полученные закономерности дают возможность прямо оценить форму распределения средней насыщенности вблизи фронта вытеснения не прибегая к дорогостоящим вычислительным экспериментам по методу Монте-Карло.

4 В рамках предложенного стохастическою подхода к рассмотрению математической модели распространения фронта были исследованы другие интересные статистические характеристики фронта вытеснения — дисперсия скоростей продольных смещений и вариог рамма продольных смещений на фронте вытеснения В двумерном случае вариограмма растет логарифмически с увеличением расстояния. В трехмерном случае рост варислраммы ограничен в соответствии с принципом убывания корреляций на больших расстояниях.

Во второй части работы (глава 4) задача о распространении фронта вытеснения в трехмерной неоднородной пористой среде решалась численно и целью являлось получение формы фронта в деталях для заданной неоднородной сетки проницаемости В работе предложен новый численный метод, который позволил решить следующие задачи:

1. Проверена гипотеза о возможности использования членов первою порядка теории возмущений для описания динамики фронта вытеснения путем сравнения с результатами полною вычислительною эксперимента. проводимого с использованием сущес гвующей и широко используемой программы моделирования двухфазных потоков:

2. Предложен и описан численный метод получения формы фронта с использованием единственного решения уравнения для давления, в то время как точность работы существующих программ моделирования зависит от числа обновлений поля давления (числа решений уравнения для давления, в дискретном виде представляющего собой линейную систему уравнений, имеющую огромный размер для больших сеток). Сравнение резулыатов, получаемых с использованием предложенного численного метода с результатами, получаемыми с использованием существующей программы моделирования показало, что имеется хорошее соответствие при существенно меньших затратах машинною времени;

3 Фронт вытеснения моделировался как непрерывная поверхность. Соответственно. при использовании предложенного численною метода не возникает проблемы численной дисперсии.

5.2 Возможные направления дальнейших исследований

К направлениям дальнейших исследований можно отнести:

1. Рассмотрение задачи в рамках предложенною стохастического подхода в ограниченной среде;

2. Получение полною распределения насыщенности для заданной неоднородной СС1КИ проницаемости с использованием численною решения для фрон:а. получаемого с использование меюда бысхрого моделирования, предлагаемого в данной работе.

1. R. Cosse. Basics of reservoir engineering. — Paris Editions Technip. 1993.— 37G pp.2j В. M. Ентпов, А. Ф. вазовский. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи — Москва: Недра, 1989.— 232 с.

2. J. С. Martin, R. Е. Wegner. Numerical solution of multiphase, two-dimensional incompressible flow using stream-tube relationships // Society of Petroleum Engineers Journal- 1979.- Vol 19.- Pp. 313-323

3. S. E. Buckley, M. C. Leverett. Mechanism of fluid displacement in sands // Trans. AIME.— 1942.- Vol. 146.- Pp. 107-116.

4. P. G. Saffman, G. Taylor. The penetration of a fluid into a porous medium or hele-shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. London. — 1958.- Vol. A245.- Pp. 312 329.

5. R. L. Chuoke, P. Van Меигь, С. Van der Poel. The instability of slow, immiscible, vi&cous liquid-liquid displacements in permeable media //' Trans. AIME. 1959. - Vol 216. - Pp. 188-194.

6. G. M. Homsy. Vi&cous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1987.-Vol. 19.-Pp. 271-311.

7. J Bear. Dynamics of Fluids in Porous Media. — New York. American Elsevier Pub. Co. 1972.- 764 pp.

8. J. Hagoort. Displacement stability of water drives in water-wet connate-water-bearing reservoirs // SPE 4268. 1974. - Pp. 63-74.

9. У С. Yoitsos, A. B. Huang. Linear-stability analysis of immiscible displacement: Part 1 simple basic flow profiles // SPE 12692.- 1986 -Pp. 378-390.

10. M. J. King, V. A. Dunayevsky. Why waterflood works: a linearized stability analysis // SPE 19648. 1989. - Pp. 187-200.

11. G de Marsily, F. Delay, J. Gongalves, P. Renard, V. Teles, S. Violelle. Dealing with spatial heterogeneity // Hydrogeol J.— 2005.— Vol. 13.— Pp. 161-183.

12. V. Artus, B. Ncetinger. Macrodispersion approach for upscahng of two-phase. immiscible flow m heterogeneous porous media // 8th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery.— Freiberg. Germany: 2002.-September 3-6.

13. V. Artus, B. Ncetinger, L. Ricard Dynamics of the water-oil front for two-phase, linmi&cible flows in heterogeneous porous media. 1 — stratified media // Transport in Porous Media. 2004. - Vol. 56. - Pp. 283-328.

14. B. Nmtinger, V. Artus, L. Ricard. Dynamics of the water-oil front for two-phase, immiscible flows in heterogeneous porous media. 2 — isotropic media // Transport m Porous Media. 2004. - Vol. 56.- Pp. 305 328.

15. V. Artus, F. Fart ado, B. Ncetinger, F. Pereira. Stochastic analysis of two-phase immiscible flow in stratified porous media // Computational and Applied Mathematics. 2004.-Vol. 23, no. 2-3. - Pp. 153 172.

16. К. Ye. Uncertainty quantification for multiscale simulations // Journal of Fluid Engineering. — 2002. — Vol. 124. no. 1.- Pp. 29 41.

17. M. Le Ravalec, B. Ncetmger, L. Y. Ни. The FFT moving average (FFT-MA) generator- An efficient numerical method for generating and conditioning gaussian simulations // Mathematical Geology. — 2000.— Vol. 32. no. 6.— Pp. 701 723

18. X. Гулд, Я. Тобочник. Компьютерное моделирование в физике Ч. 2. — Москва: Мир, 1990. 399 с.

19. G. Dagan, V. Cvetkovir. Reactive transport and immiscible flow in geological media, l-general theory // Proc. R. Soc. London.— 199G.— Vol. 452.— Pp 285-301.

20. V. Cvetkovic, G. Dagan. Reactive transport and immiscible flow in geological media n-applications // Proc. R. Soc. London.— 1996.— Vol. 452.— Pp. 303 328

21. P. R. King. The use of field theoretic methods for the study of flow in a heterogeneous porous medium // J. Phyb. A: Math. Gen.— 1987. — Vol. 20 Pp. 3935 3947.

22. G. Chiistakos, D. T. Hnstopulos, С. T. Miller. Stochastic diagrammatic analysis of groundwater flow in heterogeneous porous media // Water Resources Research.- 1995.- Vol. 31. no. 7 Pp. 1687-1703.

23. D. S. Dean, I. T. Drummond, R. R. Horgan. Perturbation schemes for flow in random media // J.Phys. A:Math. Gen.— 1994.— Vol. 27, no. 15.— Pp. 5135 5144.

24. P. E. Speswtsev, E. V. Teodorovich. The velocity variance tensor in a plane seepage flow // Fluid Dynamics. 2004. - Vol. 39. - Pp. 435-443.

25. Э. В. Теодорович. Метод улучшенной теории возмущений при описании эффективной проницаемости случайно-неоднородной среды. // Приклад-нал математика и механика. — 2002. — Т. 66. Х® 3 — С. 448-456.

26. V. Cvetkovic, G. Dagan, A. Shapiro. A solute flux approach to transport in heterogeneous formations. 2. uncertainty analysis // Water Resources Research.- 1992.- Vol. 28, no. 5.- Pp. 1377-1388.

27. G. Dagan. Flow and Transport in Porous Formations.— Berlin: SpringerVerlag. 1989.-465 pp.

28. D. Zhang, H. A. Tchelepi. Stochastic analysis of immiscible two-phase flow in heterogeneous media // SPEjournal 1999. - Vol. 4. no. 4. - Pp. 380 388

29. D. Zhang, H. Li, H. A. Tchelepi. Stochastic foundation for uncertainty assessment of two-phase flow in heterogeneous reservoirs // SPE 51930 — 1999.-Pp. 389-402.

30. D. Zhang. Stochastic Methods for Flow in Porous Media Coping with Uncertainties. — San Diego, California Academic Press, 2002. — 350 pp.

31. P. Langlo, M. S. Espedal. Macrodispersion for two-phase, immiscible flow in porous media // Advances in Water Resources. — 1995. — Vol. 17. — Pp. 297316

32. L W. Gelhar, C. L. Axness. Three-dimensional stochastic analysis of macrodispersion in aquifers // Water Resources Research. — 1983. — Vol. 19. no. l.-Pp. 161-180.

33. R. Lenormand. Determining flow equations from stochastic properties of a permeability field: The MHD model // SPE journal.- 1996.- Pp. 179-190.

34. I. Neuweiler, S. Attmger, W. Kinzelbach, P. King. Large scale mixing for immiscible displacement in heterogeneous porous media // Transport in Porous Media. 2003. - Vol. 51. - Pp. 287 314.

35. M. Panfdov, S. Floriat. Nonlinear two-phase mixing in heterogeneous porous media // Transport m Porous Media.- 2004.- Vol. 57.- Pp. 347 375.

36. М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной вну ¡ренней сфуктурой. — Москва- Наука. 1996.-383 с.

37. S. Skachkov, М. Panfilov. Two-phase flow in fractured media — homogenized model with mixing and upscaling by a stream-coiifignration method // 10th European Conference oil the Mathematics of Oil Recovery. — Amsterdam. Netherlands: 2006 September 4-7.

38. K. Aziz, A. Settari. Petroleum Reservoir Simulation.— Essex. England: Applied Science Publishers. 1979.— 476 pp.

39. J. Glimm, E. Isaacson, D. Marchesin, О. McBryan. Front tracking for hyperbolic systems // Advances m Applied Mathematics. — 1981. — Vol. 2. — Pp 91-119.

40. F. Bratvedt, K. Bratvedt, C. F. Buchholz, L. Holden, H. Holden, N. II. Risebro. A new front-tracking method for reservoir simulation // SPE Reservoir Engineering. — 1992. — Vol 7. — Pp. 107-116.

41. F. Bratvedt, K. Bratvedt, C. F. Buchholz, T. Girnse, H. Holden, L. Holden, N. H. Olufsen, R. Risebro. Three-dimensional reservoir simulation based on front tracking // North Sea Oil and Gas Reservoirs. — 1994.— Vol. III. — Pp. 247-257.

42. F. Bratvedt, T. Girnse, C. Tegnander. Streamline computations for porous media flow including gravity // Transport in Powus Media.— 1996. — Vol. 25.-Pp. 63-78.

43. R. P. Batycky, M. Blunt, M. R. Thiele. A 3d field scale streamline-based reservoir simulator // SPE 36726.- 1997.- Pp. 246-254.

44. R. P. Batycky. A Three-Dimensional Two-Phase Field Scalc Streamline Simulator: Ph.D. thesis / Stanford University. — 1997. — January.

45. B. Ncctmger. The effective permeability of a heterogeneous porous medium // Transport m Porous Media. — 1994 Vol. 15. — Pp. 99-127.

46. Э. В. Теодорович. Об эффективной проводимости случайно-неоднородной среды // Прикладная математика и механика.— 2000. Т. 64. > 6. - С. 989-996.

47. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квашованных полей.— Москва: Наука. 1984.— 600 с.

48. К. Wilson. Renormalization group methods // Adv. Math. — 1975. — Vol. 16. no. 2. Pp 170 186.

49. K. G Wilson. The renormalization group, critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys.- 1975.- Vol 47. no. 4.- Pp. 773-840.

50. U. Jaekel, II. Vereecken. Renormalization group analysis of macrodisper&ion in a directed random flow // Water Resources Research — 1997.— Vol. 33 no. 10. Pp. 2287 2299.

51. D. T. Hristopidos, G. Christakos. Renormalization group analysis of permeability upscahng// Stochastic Environ. Res. Risk. Assessm.— 1999. — Vol. 13. no. 1-2.-Pp. 131 161.

52. B. Ncetinger. Computing the effective permeability of log-normal permeability fields using renormalization methods // C. R. Acad. Sci. Pans. 2000. - Vol. 331. - Pp. 353 357

53. Э. В. Теодорович. Метод ренормализационной i руппы в задаче об эффективной проводимости случайно-неоднородной пористой среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2002. — Т. 122. „Vй 1(7).-С. 79-89.

54. К. G. Wilson, М. Е. Fisher. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phijs Rev. Lett. 1972.- Vol. 28, no. 4.- Pp. 240-243.

55. Э. В. Теодорович. Метод ренормализационной группы в задачах механики // Прикладная математика и механика. — 2004.— Т. 68. JVB 2.— С. 335 367.

56. L. J. Duilofsky. Upscaling of geocellnlar models for reservoir flow simulation: Л review of recent progress // 7th International Forum on Reservoir Simulation. — Buhl/Baden-Baden. Germany: 2003. — June 23 27.

57. L. J. Durlofsky, R. C. Jones, W. J. Milliken. A nonuniform coarsening approach for the scale-up of displacement processes in heterogeneous porous media // Advances m Water Resources.— 1997.— Vol. 20, no. 5 6 — Pp 335 347.

58. B. Noetmger, V. Aitus, G. Zargar. The future of stochastic and upscaling methods in hydrogelogy // Hydrogcol J. 2005. - Vol. 13 - Pp. 184-201.

59. A. Lohne, G. Virnovbky, L. J. Durlofsky. Two-stage upscaling of two-phase flow from core to simulation scale // SPE Journal. — 2006. — Vol 11. no. 3. — Pp 304-316.

60. E. J. Koval. A method for predicting the performance of unstable miscible displacement in heterogeneous media // SPE journal— 1963.— Pp. 145154.

61. M. A. Chnstie Predictive theory for viscous fingering in compositional displacement // SPE Reservoir Eng. 1994. - Vol. 36. no. 12. - Pp. 73 80

62. A. Riaz, H. A. Tchelepi Influence of relative permeability on the stability characteristics of immiscible flow in porous media // Transport m Porous Media 2006.- Vol. 64. - Pp. 315-338.

63. В. H. Кукуджанов. Численные методы решения нелинейных задач механики деформируемо! о твердо1 о i ела. — Москва: МФТИ. 1990. — 96 с.

64. В. Н. Кукуджанов Разностные методы решения задач механики деформируемых тел. Москва. МФТИ. 1992.— 124 с.

65. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные мех оды,— Москва Физматлиг, 2000.- 622 с.

66. H. Darcy. Les fontaines publiques de la ville de Dijon, exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau. — Paris: Victor Dalmont. 1856.

67. A. T. Corey. The interrelation between gas and oil relative permeabilities // Producer's Monthly. 1954. - Vol. 19. no. 1.- Pp. 38-41.

68. Г. И. Баренблатт, В. M. Ентов, В. M. Рыжик. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — Москва: Недра. 1984.— 211 с.

69. Б. Потапже, П. Е. Спесивцев, Э. В. Теодорович. Схохастический анализ фронха вытеснения в случайно-неоднородной среде // Известия РАН, серия МЖГ. 2006. — Xo 5. — С. 174-187.

70. R. A. Freeze. A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform homogeneous media // Water Resources Research.- 1975.- Vol. 11. no. 5.- Pp. 725 741.

71. E. A. Sudicky. A natural gradient experiment on solute transport in a sand aquifer: Spatial variability of hydraulic conductivity and its role in the dispersion process // Water Resources Research. — 1986 — Vol 22. no. 13. — Pp. 2069 2082.

72. И. В. Савельев. Основы теоретической физики. — Москва- Наука. 1977. — Т. 2. 351 с.

73. И. С. Градштпейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963.— 1100 с.

74. И. В. Кляцкии. Стохастические уравнения и волны в случайных средах. — Москва: Наука. 1980. — 336 с.

75. Н. Н. Калиткин. Численные методы. — Москва: Наука. 1978. — 512 с.

76. Н. Р William, S. A. Teukolsky, W. Т. Vetterhng, В. P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing.— New York: Cambridge University Press, 1992. — 933 pp.

77. В. Говорухин, В. Цибулин. Компьютер в магматическом исследовании — Санкт-Петербург. Питер, 2001.— 624 с.

78. Д. Г. Млпъюз, Д. К. Финк. Численные меюда. Использование MATLAB. 3-е издание. — Москва: Издательский дом «Вильяме». 2001.— 720 с.

79. М. И. Швидлер. Статистическая гидродинамика порисхых сред. — Москва- Недра, 1985.- 288 с.