автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Основные подходы к построению математических моделей динамики популяций (обзор)

1.1. Общие сведения

1.2. Детерминированные модели

1.3. Вероятностные модели

ГЛАВА 2. Детерминированная модель динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов

2.1. Интегродифференциальная модель

2.2. Интегральная модель

2.3. Примеры .'.

2.4. Теорема существования, единственности и неотрицательности решений

2.5. Выводы по главе

ГЛАВА 3. Применение монотонного метода к исследованию моделей динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов

3.1. Вводные замечания

3.2. Ограниченные и экспоненциально убывающие решения моделей

3.3. Примеры моделей с вырождением популяций

3.4. Постоянные (стационарные) решения моделей

3.5. Двусторонние оценки на решения моделей и предел решений при £ —> +оо

3.6. Двусторонние оценки на решения моделей некоторых биологических процессов .;.

3.7. Выводы по главе

ГЛАВА 4. Вероятностная имитационная модель динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов

4.1. Описание модели

4.2. Построение точечных распределений

4.3. Алгоритм моделирования на ЭВМ

4.4. Результаты тестирования программной реализации модели

4.5. Выводы по главе

ГЛАВА 5. Моделирование динамики конкурирующих популяций в экологических системах

5.1. Вводные замечания

5.2. Интегральная модель Лотки - Вольтерра и некоторые свойства ее решений

5.3. Связь интегральной и классической моделей Лотки - Вольтерра

5.4. Асимптотическое поведение решений интегральной модели и условия конкурентного равновесия видов

5.5. Результаты численных экспериментов с интегральной моделью

5.6. Моделирование конкурентного равновесия между популяциями малого мучного хрущака и суринамского мукоеда

5.7. Выводы по главе

ГЛАВА 6. Моделирование динамики противовирусного иммунного ответа с учетом возрастной структуры зараженных клеток

6.1. Постановка задачи

6.2. Линейная интегродифференциальная модель динамики иммунного ответа и анализ ее решений

6.3. Результаты численных экспериментов с интегродифференциальной моделью

6.4. Результаты численных экспериментов с вероятностной имитационной моделью

6.5. Выводы по главе

ГЛАВА 7. Моделирование механизмов регуляции процесса кроветворения

7.1. Основные понятия процесса кроветворения.

7.2. Постановка задачи

7.3. Математическая модель процесса производства зрелых клеток крови

7.4. Моделирование заболеваний, связанных с эритроидной линией кроветво -рения, и исследование влияния эритропоэтина на дифференцировку стволовых кроветворных клеток

7.5. Моделирование процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток

7.6. Моделирование и обработка данных по динамике стволовых кроветвор -ных клеток в селезенке облученных мышей.

7.7. Выводы по главе

ГЛАВА 8. Моделирование динамики педагогических кадров

8.1. Вводные замечания

8.2. Описание модели

8.3. Вычисление оптимальных значений параметров модели

8.4. Выводы по главе

ВЫВОДЫ

Метод математического моделирования широко используется при изучении динамики популяций различных индивидуумов в задачах экологии, иммунологии, гематологии, эпидемиологии, демографии и медицины. Одним из современных направлений в применении этого метода является исследование процессов, протекающих в различных экосистемах, процессов иммунного ответа при заболеваниях, изучение механизмов регуляции и патологий процесса кроветворения, анализ эпидемических и социально - демографических процессов. Об актуальности этого направления свидетельствует большое количество работ, посвященных указанной тематике (см., например, А.Д. Базыкин, 1985 г., В.Е. Быков, А.Ii. Мартынов, 1988 г., В.М. Глушков, В.В. Иванов, В.М. Яненко, 1983 г., С.М. Зуев, 1988 г., Г.И. Марчук, 1980, 1985, 1991 гг., А.И. Михальский, A.M. Петровский, А.И. Яшин, 1989 г., H.H. Моисеев, 1983 г., А.Я. Моничев, 1984 г., A.B. Нахушев, 1995 г., И.Б. Погожев, 1989 г., P.A. Полуэктов, Ю.А. Пых, И.А. Швытов, 1980 г., Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет, 1978 г., Ю.И. Хме-левский, 1991 г., G.A. Bocharov, A.A. Romanyukha, 1994 г., S. Busenberg, К. Cooke, H. Thieme, 1991 г., J. Cushing, 1977, 1994 гг., Eizen, 1979 г., О. Diekmann, J. Metz, H. Heijmans, 1985, 1986 гг., I. Gyori, J. Eller, 1981, H. Wichmann, 1976 г., 1983 г. и др.). Вместе с тем, сложность объектов моделирования и важность решаемых задач указывают на необходимость дальнейшего развития построенных моделей, а также разработки новых моделей и методов их исследования.

Интерес автора к указанной тематике сложился в ходе работ по созданию математических моделей процессов кроветворения и иммунного ответа при заболеваниях, разработке модели динамики педагогических кадров, моделей взаимодействующих популяций, анализу свойств решений моделей и попытке обобщения моделей с учетом ограниченности времени жизни индивидуумов. Сущность возникающей проблемы состоит в следующем. Рассматриваются популяции индивидуумов с перекрывающимися поколениями, динамика которых существенным образом зависит от следующих факторов:

1) прохождение индивидуумами нескольких стадий развития;

2) старение и гибель индивидуумов при достижении определенного (конечного) возраста;

3) рождение новых индивидуумов за счет существующих индивидуумов, причем один индивидуум на протяжении своей жизни может порождать некоторое количество новых индивидуумов;

4) взаимодействие между собой индивидуумов различных видов разного возрастного состава;

5) наличие отрицательных и положительных обратных связей, отражающих регуляцию интенсивностей рождения и гибели индивидуумов.

Одним из наиболее распространенных подходов к построению моделей динамики популяций является использование дифференциальных уравнений с последействием, правые части которых описывают скорости рождения, иммиграции, гибели и эмиграции индивидуумов. Эти скорости могут зависеть как от текущей, так и от предшествующей численности индивидуумов. Для некоторых популяций при построении уравнений приходится учитывать ограниченность времени жизни индивидуумов. Необходимость в этом возникает в тех случаях, когда интервал времени моделирования превышает максимально допустимый (предельный) возраст индивидуумов, либо в начальный момент времени имеются индивидуумы, возраст которых близок к предельному. Поэтому указанные дифференциальные уравнения должны быть модифицированы или дополнены таким образом, чтобы они содержали члены, описывающие гибель индивидуумов в зависимости от возраста. Определенные результаты в этом направлении получены в работах по моделированию роста популяций и распространения эпидемий, кинетики клеток крови и иммунной системы (см., К. Cooke, 1967 г., E.H. Мосягина, 1969, 1976 гг., К. Cooke, J. York, 1973 г., М. Eizen, 1979 г., S. Busenberg, К. Cooke, 1980 г., I. Gyori, 1990 г., J. Beiair, 1991 г., W. Aiello, H. Freedman, J. Wu, 1992 г., H. Freedman, J. So, J. Wu, 1994 г.).

Другой подход к моделированию динамики популяций связан с использованием вероятностных моделей, опирающихся на случайные процессы рождения и гибели, ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц и стохастические дифференциальные уравнения (D.G. Kendall, 1945, 1948 гг., М.С. Бартлетт, 1958 г., Т. Харрис, 1966 г., Б.А. Севастьянов, 1971 г., М. Jilek, 1971 г., Б.Г. Заславский, 1975 г., Р. Jagers, 1975 г., Б.А. Севастьянов, A.B. Калинкин, 1982 г., S. Asmussen, Н. Hering, 1983 г., Ю.М. Свирежев, 1987 г., В.И. Дорогов, В.П. Чистяков, 1988 г., М.Ф. Диментберг, 1989 г., В.Б. Колмановский, A.B. Тихонов, 1996 г. и др.). Однако учет таких факторов, как взаимодействие индивидуумов, неэкспоненциальный характер распределений продолжительности времени их жизни, возрастные распределения первоначально существующих индивидуумов, приводит к значительным сложностям при создании и исследовании моделей. В этих случаях для проведения расчетов можно применять метод статистического моделирования, ориентированный на реализацию моделей в виде программ для высокопроизводительных ЭВМ, иначе говоря, вместо аналитических моделей следует рассматривать вероятностные имитационные модели. Для построения таких моделей требуется разработка рекуррентных соотношений, описывающих изменение во времени переменных, характеризующих состояния исследуемых популяций (это могут быть численности популяций, их возрастные распределения, изменяющиеся во времени, и т.д.).

Цель работы состоит в построении математической модели в форме интегродифференциальных (интегральных) уравнений и вероятностной имитационной модели, позволяющих качественно и количественно изучать динамику взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов.

Основные задачи работы включали:

- построение системы интегродифференциальных и интегральных уравнений с последействием, описывающих динамику численности взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов и изучение свойств решений модели;

- построение вероятностной имитационной модели динамики численности взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов и создание ее программной реализации на ЭВМ;

- изучение динамики конкурирующих популяций в рамках интегральной модели Лотки - Вольтерра, учитывающей ограниченность времени жизни взаимодействующих индивидуумов;

- исследование условий развития вирусного заболевания в рамках линейного варианта модели Марчука - Петрова, учитывающей возрастную структуру зараженных клеток органа - мишени;

- построение математической модели, описывающей производство клеток крови и исследование механизмов регуляции процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток.

- построение математической модели динамики педагогических кадров и разработка метода планирования наборов в педвузы с учетом потребностей регионов в учителях и обучения на бюджетной, коммерческой и договорной основе, программная реализация этого метода на ЭВМ.

Работа состоит из введения, восьми глав, выводов и заключения.

Первая глава является обзорной и посвящена описанию основных подходов к построению моделей динамики популяций с учетом их возрастной и плотностной структуры.

Вторая глава посвящена построению детерминированной модели динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов. Описан объект моделирования и построены уравнения модели в форме систем интегродифференциальных и интегральных уравнений с последействием. Сформулирована и доказана теорема о существовании, единственности и неотрицательности решении построенного класса систем уравнений.

Третья глава посвящена применению монотонного метода к исследованию поведения решений построенных моделей в форме систем интегродифференциальных и интегральных уравнений с последействием. Сформулирован и доказан ряд теорем об ограниченных решениях и асимптотическом поведении решений рассматриваемых систем при t —> +оо. Полученные результаты применяются также к дифференциальным уравнениям с последействием, возникающим в моделях некоторых биологических процессов. Приведены примеры исследования конкретных моделей.

Четвертая глава посвящена построению вероятностной имитационной модели динамики взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов. В основу построения модели положен подход, опирающийся на описание динамики численности популяций с позиций ветвящихся случайных процессов с взаимодействием частиц и учитывающий возрастную структуру популяций. Построены рекуррентные соотношения для точечных распределений, описывающих изменение во времени численности популяций с учетом их возрастной и плотностной структуры. Приведен алгоритм статистического моделирования динамики популяций на ЭВМ. Представлены результаты тестирования программной реализации модели.

Пятая глава посвящена изучению динамики конкурирующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов в задачах экологии. Рассматриваются детерминированная (интегральная) и вероятностная имитационная модели, построенные с учетом плотностной и возрастной структуры конкурирующих популяций. Аналитически и численно исследовано поведение решений интегральных моделей типа Лотки - Вольтера, Ферхюльста - Пирла, Хатчинсона. Установлены аналоги теорем В. Вольтерра о поведении решений диссипативных моделей. Представлены результаты приближения экспериментальных данных по динамике двух конкурирующих видов с помощью детерминированной и вероятностной имитационной моделей.

Шестая глава посвящена исследованию модели динамики противовирусного иммунного ответа при заражении клеток органа - мишени с учетом их возрастной структуры. Построенная модель опирается на линейный вариант модели противовирусного иммунного ответа, предложенной Г.И. Марчуком и Р.В. Петровым. Рассмотрено поведение решений детерминированной и вероятностной имитационной моделей в зависимости от механизма выработки вирусных частиц за счет зараженных клеток органа - мишени.

Седьмая глава посвящена исследованию механизмов регуляции процесса кроветворения на уровне стволовых кроветворных клеток. Построена математическая модель, описывающая процесс производства клеток крови и исследованы свойства решений уравнений модели. На основе модели предложен возможный вариант регуляции процесса кроветворения, который проявляется в согласованном изменении интенсивностей процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток под влиянием различных факторов. Представлены результаты обработки экспериментальных данных по динамике стволовых кроветворных клеток в селезенке облученных мышей, на основании которых получена конкретная числовая зависимость между интенсивностями указанных процессов.

Восьмая глава посвящена моделированию динамики педагогических кадров с учетом потребности в них различных регионов (областей, городов, районов). Построена и реализована на ЭВМ математическая модель, описывающая изменение численности учителей с учетом их возрастного состава. Поставлена и решена задача о планировании наборов в педвузы в условиях обучения на бюджетной, коммерческой и договорной основе.

В разделе "выводы" сформулированы основные результаты и итог работы.

В заключении перечислены названия институтов, семинаров и конференций, на которых обсуждались результаты работы. Приведен список используемой литературы, включая список основных работ, опубликованных по теме диссертации. Научная новизна.

Проведенное исследование является продолжением работ по созданию математических моделей и методов для анализа динамики популяций в различных задачах естествознания. Представленный класс интегродифференциальных (интегральных) уравнений с последействием является развитием и обобщением ранее построенных моделей аналогичного типа.

Разработан подход к исследованию асимптотического поведения решений представленного класса систем дифференциальных, интегродифференциальных и интегральных уравнений, использующий монотонность функций, входящих в правые части уравнений. Полученные здесь результаты и теоремы являются новыми.

Разработана и программно реализована новая вероятностная имитационная модель, позволяющая изучать динамику рассматриваемых популяций, насчитывающих от единиц до нескольких десятков тысяч индивидуумов.

Исследованы решения моделей типа Лотки - Вольтерра, Ферхюльста - Пирла и Хатчинсона, учитывающих ограниченность времени жизни индивидуумов. Впервые показана существенная зависимость поведения решений этих моделей от средней продолжительности времени жизни индивидуумов и от начальных распределений индивидуумов по возрасту.

На основе линейного варианта модели Марчука - Петрова впервые исследована зависимость условий выздоровления организма от возрастного распределения зараженных вирусами клеток органа - мишени.

На основе новой математической модели процесса кроветворения сформулирована гипотеза о монотонной зависимости между интенсивностями процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток. Приведено количественное описание этой зависимости по результатам обработки экспериментальных данных о динамике популяции стволовых кроветворных клеток в селезенке облученных мышей.

Поставлена и решена задача о формировании оптимальных наборов студентов в педвузы с учетом изменяющейся потребности регионов в учителях и возможностей регионов по обеспечению обучения студентов с учетом бюджетной, коммерческой и договорной форм обучения. Научно - практическая значимость работы.

Основным практическим результатом работы является разработка подхода к построению математических моделей, описывающих динамику численности рассматриваемых популяций в форме систем интегродифференциальных (интегральных) уравнений и вероятностной имитационной модели. Программная реализация вероятностной имитационной модели позволяет проводить расчеты по оценке и прогнозированию динамики рассматриваемых популяций в режиме диалога с ЭВМ. Построенные модели могут быть использованы для описания некоторых процессов в задачах экономики и для оценки функционирования сложных технических систем.

Модели процесса кроветворения использованы в НИИ клинической иммунологии СО РАМН (г. Новосибирск) для изучения кинетики стволовых кроветворных клеток в селезенке облученных мышей (КОЕс) и в Международном научном Центре по исследованию экстремальных состояний организма (г. Красноярск) для анализа и обработки экспериментальных данных по физиологической реакции организма животного на введение ионов кобальта.

Сформулированная гипотеза о монотонной зависимости интенсивностей процессов пролиферации и дифференцировки стволовых кроветворных клеток (СКК) указывает на возможный механизм регуляции процесса кроветворения, при котором одновременно обеспечивается самоподдержание СКК и выполнение запросов на их диф-ференцировку под влиянием различных факторов - индукторов дифференцировки СКК.

Разработанная математическая модель динамики педагогических кадров и ее программная реализация дают возможность планировать наборы студентов в педвузы, исходя из потребностей регионов в учителях с учетом обучения на бюджетной, коммерческой и договорной основе. Этот подход может быть использован в работе региональных органов управления системой образования.

Благодарности.

Выбор направления и тематики исследований в значительной мере связан с работой автора в 1977 - 1986 г.г. в коллективе, возглавляемом академиком Г.И. Марчу-ком. Постановки некоторых задач в той или иной форме принадлежат Г.И. Марчуку, которому автор выражает свою искреннюю признательность и благодарность.

В ходе исследований автор сотрудничал с В.А. Козловым и И.Г. Цырловой, совместная работа с которыми способствовала решению ряда задач по постановке экспериментов и обработке экспериментальных данных по динамике стволовых кроветворных клеток. Большое влияние на автора оказала совместная работа с венгерским математиком И. Дьери (I. Gyori) по исследованию математических моделей процесса кроветворения. Результаты работы позволили сформулировать подходы к анализу решений определенного класса дифференциальных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов. Автор благодарен В.А. Козлову, И.Г. Цырловой, И. Дьери за плодотворное сотрудничество.

Автор также благодарит И.А. Орловскую, A.A. Романюху, Г.А. Бочарова, С.М. Зуева, В.А. Ватутина, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, JI.B. Недорезова, А.Н. Ба-шева, А.К. Гуца, В.А. Топчего, Р.К. Романовского, В.А. Громова, С.Д. Симонжен-кова, Г.И. Сечкина, А.Б. Стукена, принимавших участие в обсуждении отдельных результатов работы.

Результаты работы обсуждались на втором и третьем Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1996, 1998 гг.), конференциях "Инновационные технологии в образовании" (г. Омск, 1996 г.), "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (г. Омск, 1997 г.), "Математические модели и методы их исследования" (г. Красноярск, 1997 г.), "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (г. Омск, 1998 г.).

По теме диссертации опубликовано 25 работ: [28], [29], [30], [57], [74] - [93], [210].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ОСНОВНОЙ ИТОГ РАБОТЫ состоит в разработке нового класса моделей, описывающих динамику взаимодействующих популяций с ограниченным временем жизни индивидуумов, и их применение для исследования ряда задач, связанных с проблемами экологии, иммунологии, гематологии и системы подготовки педагогических кадров.

Материалы диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Омского государственного педагогического университета и кафедры математического моделирования Омского государственного университета (г. Омск, 1994 - 1998 гг.).

Отдельные результаты работы докладывались на семинарах Омского государственного технического университета, Московского государственного института электроники и математики (технический университет), Новосибирского государственного университета, Института математики СО РАН, Омского филиала Института математики СО РАН, Института вычислительной математики РАН, НИИ клинической иммунологии СО РАМН.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллииа Л.Ф. Введение в теорию функционально - дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 280 с.

2. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Известия Вузов. Математика. 1994. - Т.6. - с. 20 - 27.

3. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия. В кн.: Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. - М.: Мир, 1983. - с. 383 - 394.

4. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. -М.: Наука, 1985. 181 с.

5. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. - 223 с.

6. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. М.: Иностранная литература, 1958. - 384 с.

7. Баруча Рид А.Т. Элементы теории марковских случайных процессов и их приложения. - М.: Наука, 1969. - 512 с.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 368 с.

9. Беллман Р., Кук К. Дифференциально разностные уравнения. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

10. Бочаров Г.А., Романюха A.A. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Аппроксимация, устойчивость и сходимость. Препринт ОВМ АН СССР N 116. -М., 1986. - 52 с.

11. Бочаров Г.А., Романюха A.A. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе линейных многошаговых методов. Алгоритм и программа. Препринт ОВМ АН СССР N 117. - М., 1986. - 39 с.

12. Быков В.Е., Мартынов А.Н. Экономико математические модели управления в просвещении. - Томск, 1988. - 175 с.

13. Ватутин В.А., Зубков A.M. Ветвящиеся процессы. I. В кн.: Итоги науки и техники // Теория вероятностей, математическая статистика, теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1985. - с.1 - 67.

14. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование // Успехи физ. наук. 1928. - Т.8. - вып.1.

15. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. - 286 с.

16. Гаврилов O.K. История развития теории кроветворения и современная схема гемопоэза // Нормальное кроветворение и его регуляция / Под ред. H.A. Федорова.- М.: Медицина, 1976. с.ЗЗ - 38.

17. Гаузе Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование // Зоол. журн. 1933. - Т.12. - вып.З.

18. Гаузе Г.Ф. Экспериментальное исследование борьбы за существование между Paramecium caudatum, Paramecium aurelia и Stylonychia mytilus // Зоол. журн. 1934.- T.13. вып.1.

19. Глушков В.M., Иванов В.В., Яненко В.M. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. - 352 с.

20. Гольдин В.Я., Пестрякова Г.А. Нестационарная математическая модель роста населения Земли // Математическое моделирование. 1998. - Т.10. - N.3. - с.39 -47.

21. Гречанников A.B., Махоткин O.A. Применение метода Монте Карло к задачам флуктуационной химии // Численные методы и статистическое моделирование в теории переноса / Под ред. Г.А. Михайлова. - Новосибирск: ВЦ СОАН СССР, 1980. -С.107- 118.

22. Демиденко Е.В., Жуль Е.Г., Моргулис И.И., Ушанов C.B., Нефедов В.П. Моделирование физиологической реакции организма животного на введение ионов кобальта // Гомеостаз и окружающая среда / Под ред. В.П. Нефедова. Красноярск, 1997. - Т.2. - с.229 - 235.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. - 472 с.

24. Дибров Б.Ф., Лившиц М.А., Волькенштейн М.В. Математическая модель иммунной реакции II. Стохастические аспекты. // Биофизика. 1977. - Т.22. - с.313 -317.

25. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989. - 175 с.

26. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. P.A. Полуэктова.- М.: Наука, 1974. 456 с.

27. Дорогов В.И., Чистяков В.П. Вероятностные модели превращения частиц. -М.: Наука, 1988. 110 с.

28. Дьери И., Перцев Н.В. Поведение решений при t —> оо систем функциональных уравнений, обладающих свойством смешанной монотонности. Препринт ОВМ АН СССР N 86. - М., 1985. - 25 с.

29. Дьери И., Перцев Н.В. Устойчивость положений равновесия систем функционально дифференциальных уравнений, обладающих свойством смешанной монотонности. Применение к моделям биологических процессов. - Препринт ОВМ АН СССР N 126. - М, 1986. - 23 с.

30. Дьери И, Перцев Н.В. Об устойчивости положений равновесия функционально- дифференциальных уравнений запаздывающего типа, обладающих свойством смешанной монотонности // Доклады АН СССР. 1987, Т.297. - N.1. - с.23 - 25.

31. Дьери И, Эллер Й, Зеллеи М, Крижа Ф. Свойства математической модели тромбопоэза, основанной на подходе фон Ферстера // Математические модели в иммунологии и медицине / Под ред. Г.И. Марчука и Л.Н. Белых. М.: Мир, 1986. -с.212 - 222.

32. Ермаков С.М, Михайлов P.A. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. - 319 с.

33. Заславский Б.Г. Стохастическая модель роста клеточной популяции // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1975. - вып.25. - с.139 - 151.

34. Зверкин A.M. Применение теорем сравнения к исследованию устойчивости уравнений с запаздыванием // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Университет Дружбы народов. - 1969. -Т.7. - с.З - 16.

35. Зубов В.И. Дифференциальные уравнения эволюции видов // Доклады АН СССР. 1992. - Т.322. - N.3. - с.456 - 459.

36. Зуев С.М. Статистическое оценивание параметров математических моделей.- М.: Наука, 1988. 143 с.

37. Ильичев В.Г. Дельта функции и исследование экологических моделей Воль-терра в переменной среде // Известия Вузов. Математика. - 1998. - N.4 - с.23 -33.

38. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. - 537 с.

39. Кассирский И.А, Алексеев Г.А. Клиническая гематология. JL: Медицина, 1970. - 800 с.

40. Кинетические аспекты гемопоэза // Под ред. Г.И. Козинца и Е.Д. Гольдберга.- Томск: Издательство Томского университета, 1982. 310 с.

41. Коддингтон Э.А, Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Иностранная литература, 1958. - 474 с.

42. Козлов В.А. Скорость клеточного цикла и проблема дифференцировки стволовой кроветворной клетки (ПСКК) // Научный отчет. Новосибирск: Институт клинической иммунологии СО РАМН, 1996. - с.29 - 30.

43. Козлов В.А, Журавкин И.Н, Цырлова И.Г. Стволовая кроветворная клетка ииммунный ответ. Новосибирск: Наука, 1982. - 220 с.

44. Коллатц JL Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 447 с.

45. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. Вып.25. М.: Наука, 1972. - с.100 - 106.

46. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

47. Колмановский В.Б., Тихонов A.B. Об устойчивости по вероятности системы Лотки Вольтерра // Дифф. уравнения. - 1996. - Т.32. - N.11. - с.1480 - 1487.

48. Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений.- М.: Наука, 1969. 455 с.

49. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев, Наукова Думка, 1980. - 267 с.

50. Ляпунов A.A., Павлов А.Д. К вопросу о построении математических моделей эритропоэза // Математические проблемы математической биологии / Под ред. A.A. Ляпунова. Новосибирск: Институт гидродинамики СОАН СССР, 1973. - с.31 - 42.

51. Майборода И.Н., Островецкий Л.А. О двустороннем методе решения нелинейных уравнений // Известия Вузов. Математика. 1998. - N.4. - с. 53 - 59.

52. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

53. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. - 397 с.

54. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии: 1-е изд. М.: Наука, 1980. - 264 с.

55. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии: 2-е изд. М.: Наука, 1985. - 240 с.

56. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты: 3-е изд. М.: Наука, 1991. - 300 с.

57. Марчук Г.И., Перцев Н.В. Математическая модель процесса кроветворения.- Препринт ВЦ СОАН СССР N 225. Новосибирск, 1980. - 43 с.

58. Михальский А.И., Петровский A.M., Яшин А.И. Теория оценивания неоднородных популяций. М.: Наука, 1989. - 128 с.

59. Моисеев H.H. Модели экологии и эволюции. М.: Знание, 1983. - 64 с.

60. Моничев А.Я. Динамика кроветворения. М.: Медицина, 1984. - 176 с.

61. Моран П. Статистические процессы эволюционной теории. М.: Наука, 1973.- 287 с.

62. Мосягина E.H. Анемии детского возраста. М.: Медицина, 1969. - 300 с.

63. Мосягина E.H. и др. Эритропоэз // Нормальное кроветворение и его регуляция / Под ред. H.A. Федорова. М.: Медицина, 1976. - с.344 - 348.

64. Нагаев C.B., Вахтель В.И., Недорезов JI.B. Стохастическая модель динамики изолированной популяции // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, ч.4. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1998. - с.121.

65. Натан Д.Г., Зифф К.А. Регуляция кроветворения // Гематология и трансфу-зиология. 1994. - Т.39. - N.2 - с.З - 10.

66. Натасон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Изд.-во техн. теор. лит., 1957. - 551 с.

67. Нахушев A.B. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. - 301 с.

68. Недорезов Л.В., Назаров И.Н. Об одной непараметрической дискретной модели конкуренции двух видов // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, ч.4. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1998. - с.122 - 123.

69. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. - 277 с.

70. Оболенский А.Ю. Об устойчивости решений автономных систем Важевского с запаздыванием // Укр. матем. журн. 1983. - Т.35. - N.5. - с.574 - 579.

71. Опойцев В.И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного поведения. М.: Наука, 1977. - 245 с.

72. Орловская И.А. ß глобиновая цепь - ингибитор пролиферации ранних гемо-поэтических предшественников // Научный отчет. - Новосибирск: Институт клинической иммунологии СО РАМН, 1996. - с.34 - 35.

73. Перцев Н.В. Математическое моделирование механизмов регуляции процесса кроветворения // Математическое моделирование в иммунологии и медицине / Под ред. Г.И. Марчука. Новосибирск: Наука, 1982. - с.75 - 87.

74. Перцев Н.В. Стохастическая модель для исследования динамики популяции стволовых кроветворных клеток // Там же. с.59 - 74.

75. Перцев Н.В. Вероятностная модель инфекционного заболевания. Препринт

76. ВЦ СОАН СССР N 462. Новосибирск, 1984. - 21 с.

77. Перцев Н.В. Статистическое моделирование процессов иммунного ответа // 7 Всесоюзное совещание "Методы Монте Карло в вычислительной математике и математической физике". - Новосибирск, Вычислительный центр СО АН СССР, 1985. - с. 408 - 411.

78. Перцев Н.В. Математическая модель кинетики СКК и метод обработки экспериментальных данных // Стволовые клетки и опухолевый рост / Под ред. В.Г. Пинчук, З.А. Бутенко. Киев: Наукова Думка, 1985. - с.243 - 247.

79. Перцев Н.В., Цырлова И.Г., Козлов В.А. Метод обработки экспериментальных данных по кинетике стволовых кроветворных клеток // Кибернетика. 1986. - N.3.- с.87 89.

80. Перцев Н.В. Математическая модель для прогнозирования потребностей некоторого региона в педагогических кадрах // Прикладная математика. Математическое моделирование / Под ред. А.Т. Лукьянова. Алматы: Каз. НИИ НТИ, 1994.- с.63 64.

81. Перцев Н.В. Математическое моделирование процесса взаимодействия частиц с ограниченным временем жизни // Там же. с.15 - 17.

82. Перцев Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ, 1994. - с.119 - 129.

83. Перцев Н.В. Об асимптотическом поведении решений одной системы линейных дифференциальных уравнений с последействием // Известия Вузов. Математика. -1996. N.9. - с.48 - 52.

84. Перцев Н.В. Исследование решений одной системы интегродифференциаль-ных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций // Вестник Омского университета. 1996. - N.1. - с.24 - 26.

85. Перцев Н.В. Об одном обобщении логистической модели динамики популяций с ограниченным временем жизни особей // Вестник Омского университета. 1997.- N.1. с.14 - 16.

86. Перцев Н.В. Математическое моделирование потребностей регионов в педагогических кадрах // Вестник Омского университета. 1997. - N.3. - с.21 - 23.

87. Перцев Н.В. Об одном классе интегродифференциальных уравнений в моделяхдинамики популяций // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ, 1998. - вып. 1. - с.72 - 85.

88. Перцев Н.В. Вероятностная модель динамики взаимодействующих частиц с ограниченным временем жизни // Там же. с.60 - 71.

89. Перцев Н.В. Математическое моделирование процесса кроветворения // Математические структуры и моделирование / Под ред. А.К. Гуца. Омск: ОмГУ, 1998. - вып. 2. - с. 92 - 115.

90. Перцев Н.В. Анализ устойчивости стационарного решения модифицированной модели противовирусного иммунного ответа // Вестник Омского университета. -1998. N 3. - с.19 - 21.

91. Перцев Н.В. Исследование решений интегральной модели Лотки Вольтерра с плотностно - возрастной структурой // Там же. 4.5. - с.128 - 129.

92. Петровский A.M., Яшин А.И. Построение и идентификация моделей неоднородных популяций. Препринт ИПУ АН СССР. - М., 1982. - 59 с.

93. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 288 с.

94. Пых Ю.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений Лотки -Вольтерра // Прикладная математика и механика. 1977. - Т.41. - вып.2. - с.262.

95. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. -М.: Наука, 1983. 182 с.

96. Рябов С.И., Шостка Г.Д. Молекулярно генетические аспекты эритропоэза. - Л.: Медицина, 1973. - 279 с.

97. Сабаев Е.Ф. Системы сравнения для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980. - 282 с.

98. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978. 352 с.

99. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. - 366 с.

100. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971. - 434 с.

101. Севастьянов Б.А., Калинкин A.B. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц // Доклады АН СССР. 1982. - Т.264. - N.2. - с.306 - 308.

102. Соболь И.М. Численные методы Монте Карло. - М.: Наука, 1973. - 311 с.

103. Старинова Т.Т. Математическая модель регенераторных процессов после дозированных кровопотерь // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов, ч.4. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1998. - с.139.

104. Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М.: Мир, 1975. - 271 с.

105. Федоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. М.: МГУ, 1980. - 463 с.

106. Фриденштейн А.Я., Лурия Е.А. Клеточные основы кроветворного микроокружения. М.: Медицина. - 1980. - 213 с.

107. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990. - 512 с.

108. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов,- М.: Мир, 1966.- 355 с.

109. Хейл Дж. Теория функционально дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1984. - 421 с.

110. Хмелевский Ю.И. Самовоспроизводящиеся системы. Математическая теория. М.: Наука, 1991. - 431 с.

111. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра. В кн.: Итоги науки и техники // Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 15. - с.131 - 198.

112. Цырлова И.Г. Регуляция пролиферации и дифференцировки гемопоэтических стволовых клеток (КОЕс) при антигенном воздействии // Онтогенез. .1991. - Т.22. - с. 152 - 158.

113. Чеглякова В.В., Цырлова И.Г., Козлов В.А. Эритроидной природы естественные супрессорные клетки костного мозга // Иммунология. 1989. - N.3. - с. 5255.

114. Чертков И.Л. Родоначальная клетка кроветворной системы // Нормальное кроветворение и его регуляция / Под ред. H.A. Федорова. М.: Медицина, 1976. -с.40 - 97.

115. Чертков И.Л., Воробьев А.И. Современная схема кроветворения // Пробл. гемат. и пер. крови. 1973. - Т.18. - N.10. - с. 3 - 13.

116. Чертков И.Л., Фриденштейн А.Я. Клеточные основы кроветворения. М.: Медицина, 1977. - 354 с.

117. Чертков И.Л., Гуревич O.A. Стволовая кроветворная клетка и ее микроокружение. М.: Медицина, 1984. - 240 с.

118. Чертков И.Л., Дерюгина Е.И., Дризе Н.И. Примитивная стволовая кроветворная клетка // Вестн. АМН СССР. 1990. -N.9. - с.35 - 37.

119. Эльсгольц Л.Э., Норкин C.B. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

120. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью. Киев, Наукова Думка, 1991. - 218 с.

121. Aiello W.G., Freedman H.I., Wu J. Analysis of a model representing stage -structured population growth with state dependent time delay // SIAM J. Appl. Math.- 1992. V.52. - N.3. - p.855 - 869.

122. Ahmad S., Rao M.R.M. Asymptotically Periodic Solutions of N Comprting Species Problem witw Time Delays // J. of Math. Anal, and Appl. - 1994. - V.186. -N.2. - p.559 - 571.

123. Allwright D.J. A global stability criterion for simple control loops // J. Math. Biol. 1977. - V.4. - p.363 - 373.

124. Amine Z., Ortega R. A periodic Prey Predator System // J. of Math. Anal, and Appl. - 1994. - V. 185. - N.2 - p.477 - 489.

125. Arino O., Kimmel M. Stability analysis of models of cell production systems // Mathematical Modelling. 1986. - V.7. - p. 1269 - 1300.

126. Asmussen S., Hering H. Branching Processes. Stuttgart: Birkhauser, 1983. -461 p.

127. Banks H.T., Mahaffy J.M. Global asymptotic stability of a certain models for protein synthesis and repression // Quart. Appl. Math. 1978. - V.36. - p.209 - 221.

128. Belair J. Lifespans in Population Models: Using Time Delay // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1991. - p. 16 - 27.

129. Belair J. Population Models with State dependent Delays // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics (mathematical population dynamics). - New York: Marcel Dekker, 1991. - p.165 - 176.

130. Beretta E., Capasso V., Rinaldi F. Global Stability results for a generalized Lotka- Volterra system with distributed delays //J. Math. Biol. 1988. - V.26. - N.6. - p.661- 688.

131. Bermann A., Plemmons R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.- New York: Academic Press, 1979. 316 c.

132. Blackett N.M. Cell cycle characteristics of hemopoietic stem cells // Stem cells of renewing cell populations. 1976. - p. 157 - 163.

133. Bocharov G.A., Romanyurha A.A. Numerical treatment of the parameter identification problem for delay differential systems arising in immune response modelling // Applied numerical mathematics. - 1994. - V.15. - p.307 - 326.

134. Busenberg S., Cooke K., Thieme H. Demographic change and persistence of HIV/AIDS in a heterogeneous populations // SIAM J. Appl. Math. 1991. - V.51.- N.4. p. 1030 - 1052.

135. Busenberg S, Cooke K. The Effect of Integral Conditions in Certain Equations Modelling Epidemics and Population Growth // J. Math. Biol. 1980. - N.10. - p.13 -32.

136. Castillo Chavez C, Busenberg S. On the solution of the Two - Sex Mixing Problem // Lecture Notes in Biomathematics. - New York: Springer, 1991. - p. 80 - 98.

137. Cooke K. Functional Differential Equations: Some Models and Perturbation Problems // Differential Equations and Dynamical Systems / Ed. J. Hale and J. LaSalle.- New York: Academic Press, 1967. p. 167 - 183.

138. Cooke K, York J. Some equations Modelling Growth Processes and Gonorhea Epidemics // Math. Biosc. 1973. - V.16. - p.75 - 101.

139. Crombi A.C. On competition between different species of graminivorous insects // Proc. Royl. Soc. 1945. - B. - V.132.

140. Crombi A.C. Interspecific competition // J. Animal Ecol. 1947. - V.16. - N.l.

141. Cushing J.M. Integrodifferential equations and delay models in population dynamics. Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1977. - 196 p.

142. Cushing J.M. Oscilations in age structured population models with on Allee effect // J. of Comput. and Appl. Math. - 1994. - V.52. - N.l - 3. - p.71 - 80.

143. Diekmann O. The dynamics of structured populations: some examples // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1985. - p.7 - 18.

144. Eisen M. Mathematical models in Cell Biology and Cancer Chemoterapy. Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1979. - 431 p.

145. Feller W. On the logistic law of growth and its empirical verifications in biology // Acta biotheor. 1940. - A5. - p.51 - 66.

146. Freedman H.I, So J.W.H, Wu J. A model for the growth of a population exibiting stage structure: cannibalizm and cooperation //J. of Comput. and Appl. Math. 1994.- V.52. N.l -3. - p.177 - 198.

147. Frindel E, Leuchars E, Davies A.J.S. Thymus dependency of bone marrow stem cell proliferation in response to certain antigen // Exp. Hematol. 1976. - V.4. - p.275- 284.

148. Furry W.H. On fluctuation phenomena in the passage of high energy electrons though lead // Phys. Rev. 1937. - V.52. - p.569 - 581.

149. Goldwasser E. Erythropoietin and differentiation of red blood cells // Fed. Proc.- 1975. V.34. - p.2285 - 2291.

150. Grabosh A., Heijmans H.J.A.M. Production, Development and Maturation of Red Blood Cells. A mathematical model // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics (mathematical population dynamics). New York: Marcel Dekker, 1991. - p.189 - 210.

151. Gyori I. Oscilations and comparison results in neutral differential equations and their applications to the delay logistic equation // Computers and Math. Applic. 1989.- V.18. N.10/11. - p.893 - 906.

152. Gyori I. Global attractivity in Delay Differential Equations Using Mixed Monotone Technique // J. of Math. Anal, and Appl. 1990. - V.152. - N.l. - p.131 - 155.

153. Gyori I. Interaction between oscilations and global asymptotic stability in delay differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. - V.3. - N.l. - p.181- 200.

154. Gyori I. Some mathematical aspects of modelling cell population dynamics // Computers and Math. Applic. 1990. - V.20. - N.4 - 6. - p.127 - 138.

155. Gyori I., Eller J. Compartmental systems with pipes // Math. Biosci. 1981. -V.53. - p.223 - 247.

156. Guttorp P. Statistical inference for branching processes. New York: Wiley and Sons, 1992. - 211 p.

157. Hadeler K.P., Waldstatter R., Worz Busekros A. Models for pair formation in bisexual populations // J. Math. Biol. - 1988. -V.26. - N.6. - p.635 - 649.

158. Hannsgen K.B., Tyson J.J., Watson L.T. Steady state size distibution in a probabilistic models of the cell division cycle // SIAM J. Appl. Math. - 1985. - V.45. -N.4. - p.523 - 540.

159. Heijmans H.J.A.M. Dynamical Behavior of Age Size - Distribution of a Cell population // Lecture Notes in Biomathematics. - New York: Springer, 1986. - p.185 -202.

160. Hethcote H.W., Stech H.W., P. van den Driessche. Stability analisys for models of diseases without immunity // J. Math. Biol. 1981. - V.13. - p.185 - 198.

161. Huang W., Cooke K., Castillio Chaver C. Stability and bifurcation for a multiple - group model for dynamics of HIV/AIDS transmission // SIAM J. on Appl. Math. -1992. - V.52. - N.3. - p.835 - 854.

162. Iannelli M. Mathematical Problems in description of age structured populations // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1985. - p.19 - 32.

163. Jagers P. Branching processes with biological applications. London: Wiley and Sons, 1975. - 268 p.

164. Jagers P. Coupling and population dependence in branching processes // The

165. Annals of Appl. Prob. 1997. - V.7. - N.2. - p.281 - 298.

166. Jilek M. On contact of immunocompetent cell with antigen (Note on a probability model) // Folia microbiologica. 1971. - v.16. - p.83 - 87.

167. Kendall D.G. On the generalized "birth and - death" process // Ann. Math. Stat. - 1948. - V.19. - p.l - 15.

168. Kendall D.G. Stochastic processes and population growth //J. Royal. Statist. Soc. 1949. - Bll. - p.230 - 264.

169. Korman P. On the dynamics of two classes of periodic ecological models // J. of Comput. and Appl. Math. 1994. - V.52. - N.l - 3. - p.267 - 275.

170. Korn A.P. et. al. Investigation of stochastic model of haemopoiesis // Exp. Hemat. 1973. - N.l. - p.326 - 375.

171. Kretchmar A.L. Erythropoiesis: hypothesis of action, tasted by analog computer // Science. 1986. - V.152. - N.7348. - p.367 - 368.

172. Kulenovich M.R.S., Ladas G., Sficas Y.G. Global attractivity in population dynamics // Computers and Math. Applic. 1989. - V.18. - N.10/10. - p.925 - 928.

173. Kurnit D.M. et. al. Stochastic branching model for hemopoietic progenitor cell differentiation // J. Cell Physiol. 1985. - V.123. - p.55 - 63.

174. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities. V.l, 2. New York: Academic Press, 1969.

175. Leslie P.H. The use of matrices in certain population mathematics // Biometrika.- 1945. V.33. - p.183 - 212.

176. Leslie P.H. Some further notes on the use of matrices in population mathematics // Biometrika. 1948. - V.35. - p.213 - 245.

177. Leslie P.H. A stochastic model for studying the properties of certain biologycal systems by numerical methods // Biometrika. 1958. - V.45. - p.16 - 31.

178. Levis R.M., Anderson B.D. Insensitivity of a classof nonlinear compartmental systems to the introduction of arbitrary time delays // IEEE Trans. Circuits Systems. -1980. V.27. - p.604 - 612.

179. Lajtha L.G. Stem cell concepts // Differentiation. 1979. - V.14. - p.23 - 34.

180. Lord B.I. The relationship of Go to the cell cycle of haemopoietic spleen colony-forming cells // Cell. Tissue. Kinet. 1981. - V.14. - p.425 - 431.

181. Lord B.I. The architecture of bone marrow cell populations // Int. J. Cell Cloning.- 1990. V.8. - p.317 - 331.

182. Lotka A.J. Undamped oscillations derived from the low of mass action //J. Amer. Chem. Soc. 1920. - V.42. - N.8. - p.1595 - 1599.

183. Lotka A.J. A contribution to the theory of celf- renewing aggregates, with specialreference to industrial replacement // Ann. Math. Stat. 1939. - V.10. - p.l - 25.

184. Lu Z., Takeuchi Y. On the qualitative stability of Lotka Volterra model // J. of Math. Anal, and Appl. - 1994. -V.182. - N.l. - p.260 - 268.

185. MacKendrick A.G. Studies on the theory of continuous probabilities, with special reference to its bearing on natural phenomena of a progressive nature // Proc. London Math. Soc. 1914,- Ser.II. - V.13. - p.410 - 406.

186. MacKendrick A.G. Applications of mathematics to medical problems // Proc. Edinburg Math. Soc. 1926. - V.40. - p.98 - 130.

187. Mackey M.C. Periodic auto immune hemolytic anemia: an induced dynamical disease // Bull, of Math. Biol. - 1979. - V.41. - p. 829 - 834.

188. Mackey M.C., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control systems // Science. 1977. - V.197. - p. 287 - 289.

189. Mahaffy J.M. Cellular control models with linked positive and negative feedbak and delays. Linear analysis and local stsbility // J. Theor. Biol. 1984. - V.106. - p.103 - 118.

190. Marchuk G.I., Petrov R.V., Romanyukha A.A., Bocharov G.A. Mathematical model of antiviral immune response, I: data analysis, generalized picture construction and parameter evoluation for hepatitis B // J. Theor. Biol. 1991. - V.151. - p.41 - 70.

191. Marchuk G.I., Romanyukha A.A., Bocharov G.A. Mathematical model of antiviral immune response, II: parameter identification for acute viral hepatitis B // J. Theor. Biol.- 1991. V.151. - p.41 - 70.

192. Mazanov A. Stability of multi pool models with lags //J. Theor. Biol. - 1976.- V.59. p.429 - 442.

193. Merril S.J. Stochastic models of tumor growth and the probability of elimination by cytotoxic cells // J. Math. Biol. 1984. - V.20. - p.305 - 320.

194. Metcalf D. The molecular control of proliferation and differentiation in hemopoietic cells // Life Sciences. 1993. - V.316. - p.866 - 870.

195. Metz J.A.J., Diekmann O. A Gentle Introduction to Structured Population Models: Three Worked Examples // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1986. - p.3 - 45.

196. Michelson S. A system for Monte Carlo simulation of heterogeneous tumar cell population // Computers and Math. Applic. - 1990. - V.20. - N.4 - 6. - p.139 - 148.

197. Milner F.A., Kostova T. Some examples of Nonstationary Populations of Constant Size // Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1991. - p. 219 - 234.

198. Mohler M. Forward and backward processes in bisexual models //J. Appl. Prob.- 1994. V.31. - N.2. - p.309 - 322.

199. Nakahata T. et al. A stochastic model of self renewal and commitment to differentiation of the primitive hemopoietic stem cells in culture //J. Cell Physiol. - 1982.- V.113. p.455 - 458.

200. Necas E. Stem cells: an autonomous cell producing system // Leuk. Res. 1985.- V.9. N.9. - p.1209 - 1212.

201. Nisbet R, Garney W. Modelling Fluctuating Populations. New York: Wiley and Sons, 1982. - 379 p.

202. Noonburg V.W. Competing species model with behavioral adaptation //J. Math. Biol. 1986. V.24. - N.5. - p. 543 - 555.

203. Oelschlages K. Limit theorems for age structured populations // The annals of probability. - 1990. - V.18. - N.l. - p. 290 -318.

204. Ogawa M., Porter P.N., Nakahata T. Renewal and commitment to differentiation of hemopoietic stem cells // Blood. 1993. - V.61. - p.823 - 829.

205. Ogawa M. Differentiation and proliferation of hematopoietic stem cell// Blood. -1993. V.81. - p.2844 - 2853.

206. Park T., Leslie P.H., Mertz D.B. Genetic strains and competition in populations of Tribolium // Physiol. Zool. 1964. - V.37. - p.97 - 161.

207. Pearl R., Reld L.J. On the mathematical theory of population growth // Metron.- 1923. V.3. -p.6 - 19.

208. Pertsev N.V., Marchuk G.I. Mathematical models of haemopoiesis // Mathematical Modelling in Immunology and Medicine / Eds. G.I. Marchuk, L.N. Belykh. -Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1983. p. 197 - 202.

209. Rotenberg M. Theory of Distributed Quiescent State in the Cell Cycle //J. Theor. Biol. 1982. - V.96. - p.495 - 509.

210. Schofield R. The relationship between the spleen colony forming cell and hemopoietic stem cell. A hypothesis // Blood cells. 1978. - V.4. - p.7 - 25.

211. Shackney S.E. The orderliness of cell proliferation and cell differentiation in relation to kinetic heterogeneity in mouse bone marrow // Differentiation of normal and neoplastic hematopoietic cells. Cold. Spring. Harbor.- 1978. - p.789 - 804.

212. Sharpe F.R., Lotka A.J. A problem of age distribution // Philosophical Mag. -1911. - V.21. p.435 - 438.

213. Sulsky D., Vance R.R., Newman W.I. Time delays in Age Structured Populations // J. Theor. Biol. - 1989. - V.141. - N.3. - p.403 - 422.

214. Svensson A. On the asymptotic size and duration of a class of epidemic models // J. Appl. Prob. 1995. - V.32. - N.l. - p.ll - 24.

215. Takahashi M. Theoretical basis for cell cycle analysis //J. Theor. Biol. 1968.- V.18. p.195 - 209.

216. Tan W.Y., Hsu H. Stochastic Model for the AIDS Epidemic in a Homosexual Population // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics (mathematical population dynamics). New York: Marcel Dekker, 1991. - p.347 - 369.

217. Taylor P.J. Consistent Scaling and Parameter Choice for Linear and Generalized Lotka Volterra Models used in Community Ecoljgy // J. of Theor. Biol. - 1988. - V.135.- N.4. p.543 - 569.

218. Taylor P.J. The construction and Turnover of Complex Community Models Having Generalized Lotka Volterra Dynamics // J. of Theor. Biol. - 1988. - V.135. - N.4. -p.569 - 588.

219. Testa U., Pelosi E., Gabbianelli M. Cascade transactivation of growth factor receptors in early human hematopoiesis // Blood. 1993. - V.81. - N.6. - p.1442 - 1456.

220. Till J.E. et. al. A stochastic model of stem cell proliferation based on the growth of spleen colony forming cells // Proc. Natl. Acad. Sci. 1964. - V.52. - N.l. - p.29 -36.

221. Trentin I.I. Hemopoietic inductive microenvironment // Stem cells of renewing cell populations. 1976. - p.155 - 164.

222. Tuljapurkar S. Cycles in a Nonlinear Age Structured Models. 1. Renewal Equations // Theor. Popul. Biol. - 1987. - V.32. - N.l. - p. 26 - 41.

223. Vance R.R., Newmann W.I., Sulsky D. The demographic Meanings of the Classical Population Growth Models of Ecology // Theor. Popul. Biol. 1988. - V.33. - N.2. - p. 199 -225.

224. Van Zant G., Goldwasser E. Competition between erythropoietin and colony stimulating factor for target cells in mouse marrow // Blood. 1979. - V.53. - p.946 -953.

225. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching processes. II. // J. Soviet Math. 1993.- V.67. N.6. - p.3407 - 3485.

226. Verhulst P.F. Notice sur la loi que la population, suit dans son accroissment // Corr. Math. Phys. 1838. - V.10. - p.113 - 121.

227. Visser J., Van den Ehgh G., Williams N. et.al. Phisical separation of the cycling and noncycling compartment of murine hemopoietic stem cells// Stem cells of renewing cell population. 1976. - p.130 - 143.

228. Vogel H. et. al. Stochastic development of stem cells //J. Theor. Biol. 1969.- V.22. p.249 - 270.

229. Von Foerster H. Some remarks on changing populations // The kinetics of Cellular Proliferation / Ed. F. Stohlman. New York: Grune and Stratton, 1959. - p.382 - 407.

230. Waltmann P. Deterministic Threshold Models in the theory of Epidemics. Lecture Notes in Biomathematics. New York: Springer, 1974. - 101 p.

231. Watson h.W., Galton F. On the probability of the extinction of families // J. Anthropool. Inst. Gr. Br. and Ir. 1874. - V.4. - p. 138 - 144.

232. Weissman I.L. Developmental switches in the immune system // Cell. 1994. -V.76. - p.207 - 218.

233. Wichmann H.E., Spechtmeyer H., Gerecke D., Gross R. A mathematical Model of Erythropoiesis in Man // Mathematical Models in Medicine / Ed. J. Berger et.al. New York: Springer, 1976. - p. 159 - 179.

234. Wichmann H.E. Computer modeling of erythropoiesis // Current Concepts in Erythropoiesis / Ed. C.D.R. Dun. New York: Wiley and Sons, 1983. - p.100 -141.

235. Yule G.U. A mathematical theory of evolution based on the conclusions of Dr. J.C. Willis, F.R.S.Philos. // Trans. Royl. Soc. London. 1924. - B 213. - p.21 - 87.