автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование распространения контагиозных заболеваний в структурированной популяции

РГ8 ОД

г П 1':ОГ; с..- ••

На правах рукописи.

Демидова Ольга Анатольевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОНТАГИОЗНЫХ ЗАБОЛЕВАНИЙ В СТРУКТУРИРОВАННОЙ ПОПУЛЯЦИИ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат,

диссертации на соискание ученой степени кандидата физика - математических наук _

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико - математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

В. Н. Разжевайкин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.И.Цурков,

кандидат физико-математических наук А.Н.Герасимов.

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится ''(У/С^КсХё^хХ-995 г. в час. на заседании диссертационного совета

Д.002.32.05 при Вычислительном Центре РАН по адресу: 117967, Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, д.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН им. В.А.Стеклова.

Автореферат разослан " " 1995 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.32.05 к.ф.-м. н.

Бушенков В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации построена модель распространения безыммунных . контагиозных заболеваний (т.е. инфекционных заболеваний, передающихся при непосредственном контакте здорового и заразного индивидуумов) в неоднородной популяции и проведено ее аналитическое исследование. Приведены примеры использования полученных теоретических результатов для управления эпидемиями.

Актуальность темы.

Появление математических моделей в эпидемиологии вызвано прежде всего потребностью медицинских организаций в получении научно обоснованных прогнозов распространения инфекционных заболеваний и, при угрожающем положении, принятию возможных мер по предотвращению широкомасштабного распространения эпидемии, например, пропаганде способов, позволяющих избежать заражения, вакцинации и т.д.

Специалисту, работающему в области моделирования в эпидемиологии, необходимо выбрать такую математическую интерпретацию инфекционного процесса, которая, с одной стороны, учитывала бы особенности рассматриваемого заболевания, допуская, с другой стороны, не только численное, но и аналитическое исследование.

Построение математической модели распространения инфекционного заболевания обычно начинается с выделения конечного числа состояний, в которых может находиться индивидуум по отношению к болезни (например, восприимчивый, инфицированный, иммунный) и набора параметров, которыми характеризуется каждый индивидуум. Модель может представлять собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, систему уравненийча •'■частных производных, марковскую цепь, ветвящийся процесс и т.д., с помощью которых описывается изменение численностей индивидуумов в каждой из выделенных групп. При аналитическом исследовании модели обычно находится пороговое условие, зависящее от параметров модели, позволяющее определить, будет ли эпидемия развиваться или

затухать и какие меры достаточно предпринять для предотвращения эпидемии.

В случае, когда популяцию можно считать однородной и достаточно хорошо перемешивающейся (например, при моделировании распространения детских инфекций в школах), динамика изменения численности восприимчивых, заразных, иммунных индивидуумов описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это проделано, например, в одной из первых работ в области математического моделирования в эпидемиологии С11. Было найдено пороговое условие возникновения эпидемии, а именно, показано, что если начальная численность восприимчивых индивидуумов меньше некоторого зависящего от параметров модели выражения, то численность заразных индивидуумов монотонно стремится к нулю, т.е. эпидемия затухает, а если больше, то эта численность будет сначала возрастать (т.е. эпидемия будет развиваться), а затем монотонно стремиться к нулю.

При моделировании распространения некоторых заболеваний необходимо учитывать неоднородность популяции (например, в моделях распространения венерических заболеваний учитывать для каждого индивидуума пол, возраст, уровень сексуальной активности, отношение к наркотикам, частоту посещения медицинских учреждений и т.д.). Структура популяции может существенным образом влиять на динамику распространения в популяции инфекционного заболевания, на величины пороговых значений параметров. Для ее учета часто приходится усложнять используемый математический аппарат, например, увеличивать число обыкновенных дифференциальных уравнений, использовать уравнения в частных производных, дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах.

1. Kermack W.D., Me. Kendric A. G. A contribution to the mathematical theory of epidemics// Journal of the Royal Statistical Society. Ser. A. 192T. V. 115. P.700-721.

Например, в работе 121 при моделировании распространения гонореи популяция разбита на 8 групп в зависимости от пола, сексуальной активности, наличия или отсутствия симптомов заболевания, а в работе [3 3, посвященной моделированию распроостранения безыммунных заболеваний (т.е. заболеваний, к которым у индивидуума не вырабатывается иммунитета, например, гонореи или малярии) для задания структуры популяции использованы две переменные: дискретная и непрерывная. В каждой из этих двух работ построены модели в виде- системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены пороговые условия возникновения эпидемии и показано, что при неустойчивости равновесия с нулевой численностью заразных индивидуумов (неэндемического равновесия) существует единственное асимптотически устойчивое положение равновесия с ненулевой численностью заразных индивидуумов (эндемическое равновесие).

Для учета возрастной структуры популяции обычно разбивают популяцию на несколько возрастных классов, численность которых считается постоянной, как в работе [4], или используют уравнения с частными производными, как в [53. Однако при моделировании распространения неизлечимых заболеваний, например, СПИДа, нельзя использовать ни предположение о неизменности возрастной структуры, как в С43, ни о постоянной численности новорожденных, как в С53.

2. Hethcote H.W., Jorka J.A., Nold A. Gonorrtiea modeling: a comparison of control methods// Math. Biosci. 1982. V.58. P.93-109.

3. Thieme H.R. Renewal theorems for some mathematical models in epidemiology // Journal oi Integral Equations. 1985. P.185-216.

4. Tudor D.W.'An age-dependent' epiemlc model tflth. application to measles // Math. Biosci. 1985. V.73. N 1. P.131-147.

5. Webb G.F. Theory oi nonlinear age-dependent population dynamics. Marcel Dekker Inc. New York. 1985.

- б -

Неоднородность популяции учитывается и в многочисленных работах, посвященных моделированию распространения СПИДа. В некоторых работах были получены новые интересные качественные результаты. Например, в статье С62 показана, что при неустойчивости неэндемического равновесия может существовать несколько эндемических равновесий, что затрудняет исследование динамики распространения заболевания.

Однако, в настоящее время исследованы лишь некоторые частные аспекты распространения СПИДа в популяции (например, в работе* [73 найдены пороговые условия для модели распространения СПИДа в одной из групп риска (гомосексуалистов) с постоянной скоростью пополнения, см. также обзор работ в С8]), в то время как общая теория остается неразработанной.

В настоящее время, особенно в связи с распространением СПИДа - болезни, для лечений: которой до сих пор нет эффективных медицинских средств, возрос интерес к построению математических моделей, описывающих распространение эпидемии в неоднородной популяции и определению на основании построенной модели действий, достаточных для предотвращения эпидемии. При аналитическом исследовании таких моделей вызывает интерес нахождение пороговых условий в структурированной популяции, исследование поведения решений при неустойчивости неэндемического равновесия, существование

6. Lin X. On the uniqueness of endemic equilibria of an HIV/AIDS transmissln model ior a heterogeneous population// Journal oí math., biology. 1991. V.29. P.779-790.

7. Human J.M., Li J., Stanley A. Threshold conditions for the spread of the HIV infection in age - structured populations of homosexual men// Journal of theor. biology. 1994. V.166. P.9-31.

8. Schwager S.J., Castillo-Chavez C., Hethcote H.W. Statistical and mathematical approaches'in HIV/AIDS modeling: a review. Lecture Notes in Biomathematics. V.83. P.2-37. Berlin: Springer-Verlag., 1989.

- Т -

и устойчивость эндемических равновесий, сравнение полученных результатов с известными для классических моделей. Несмотря на усложнение математического аппарата, в моделях структурированных популяций часто получаются интересные качественные результаты, не имеющие места для более грубых моделей. Эти модели являются более эффективными в приложениях при выборе средств, позволяющих предотвратить эпидемию.

Цель работы.

Построение модели, описывающей распространение безыммунного контагиозного заболевания в неоднородной популяции, ее аналитическое исследование и применение полученных теоретических результатов для управления эпидемией.

Методы исследования.

В работе используются:

1) методы доказательства теорем существования и единственности решений уравнений в частных производных с помощью принципа сжимающих отображений,

2) теоремы о неотрицательных решениях нелинейных уравнений в банаховых пространствах,

3) метода теории бифуркаций,

4) численные метода нахождения наибольшего по модулю собственного значения матрицы.

Научная новизна.

Научная новизна работы состоит в том, что

1. Построена и исследована на корректную разрешимость новая математическая модель распространения безыммунного контагиозного заболевания в структурированной популяции.

2. Исследована у^тпйттт^прг-тч. „.стационарных решений несколько упрощенной модели. Отличительной особенностью этой модели является возможность ее непосредственной идентификации на практически значимых параметрах распределения и, тем самым, ее практического использования.

- а -

3. Получен ряд чисто математических результатов, касающихся свойств положительности решений, задающих динамику основной и упрощенной моделей, свойств бифуркационных диаграмм стационарных решений упрощенной задачи с учетом их устойчивости или неустойчивости.

4. Доказан принцип сравнения для широкого класса задач, в частности, упрощенной. С помощью принципа сравнения найдены верхние и нижние оценки для решений . основной и упрощенной задач.

5. Построен алгоритм вычисления по имеющимся статистическим данным критических параметров, определяющих, будет ли происходить распространение или затухание эпидемии. Приведены примеры таких вычислений.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1992 г., на семинаре по математическому моделированию в экологии и медицине на механика математическом факультете МГУ, на семинаре по прикладному нелинейному анализу в ВЦ РАН, на семинаре кафедры исследования операций на факультете ВМиК МГУ.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая часть работы (главы 1 - 4) может представлять интерес для специалистов в области математического моделирования в эпидемиологии. Результаты главы 5 могут быть использованы медиками для определения действий, достаточных для предотвращения эпидемий (проверку всего населения или некоторых его груцц с целью выявления инфицированных, ведение пропаганды по применению средств индивидуальной защиты, проверку связей выявленного инфицированного индивидуума и т.д.).

Структура работы.

Диссертация объемом в 150 страниц состоит из введения, пяти глав, заключения и четырех приложений, снабжена

оглавлением и общим списком литературы, включающим 44 наименования.

Публикации.

По теме диссертации автором опубликованы 3 работы (две -в соавторстве), иг список приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе дан обзор математических моделей в эпидемиологии, в частности, работ, посвященных моделированию распространения СПИДа. Отмечены особенности построенной в диссертации модели.

В первом разделе второй главы введены обозначения, необходимые для формулировки задачи. В частности, = СО,А1, 4 > О,

А

г г, г г +1 г '

1 гп^ . ш

[0,11..], 1 = 1,...,т., К, г О, П = ' 1 1 1

I {1,...11), 1 = 111,4-1,...,т, 11 е И,

В = В X

а х*

Обозначим через Ь.(13) пространство функций у(а,Г) с

ограниченной нормой |)у||ь ^ = у(а,г)йайг =

)у(а,г)|йайг, где

Ш

1 +1 171 1

у(а,Г1,... ,г ,г , ,... ,гт)(3г1 .„йг ,

а

-1-1 I

Г =1 ^. = 1-' т т,

Ц(Г)) = К11 а ЬЛЕ), п е N. с нормой

п

3=1

1^(1)) = С(Г0,Т], Ь^Б)) - пространство функций, непрерывных на отрезке С0,Т], Т ^ О со значениями в 1^(0) с

нормой И^Зт-гт = БиР Й^ЭИг (т-

^(Б) - конус неотрицательных функций в пространстве

Ц^Б) = ЕП о Ь^О, ^(В) = ЕП о 1^(0),

М = Сх е Ц(П): О^х^ 1>,

Му = С(С0,Т1, М).

Во втором разделе второй главы построена модель, описывающая распространение в популяции безыммунной контагиозной эпидемии (основная задача).

Приведенная ниже модель является аналогом системы уравнений в частных производных для функций из Ц(С). Частные производные заменены подходящими пределами от интеграла модуля разности смещенной и несмещенной функций.

Под уравнением

ЗХ(а,г,1) = (Р(Х(.,.,1:))Ма,г), где х е Ц(О), Р: Ц(0 —> мы будем понимать

выполнение следующего равенства:

11ш

|Ь 1 (х1(а + 11,г,г + Ь.) - х1(а,г,1))

- (Р1(Х(.,.,г))(а,г)|йайг = 0 для всех 1 = 1,...,п, положив х*(а+Ь.,.,.) = 0, если а+Ь. > А.

Каждый индивидуум характеризуется возрастом а и некоторым набором г = (г1,...,гт) непрерывных и дискретных переменных. Учет сложной структуры популяции необходим при описании распространения, в частности, венерических заболеваний. Например, при моделировании распространения СПИДа для каждого индивидуума можно учитывать количество партнеров, пристрастие к наркотикам, частоту посещения медицинских учреждений, донорство, болезнь гемофилией и т.д. Одна дискретная переменная выделена, т.е. популяция разбита на несколько групп, по крайней мере, в зависимости от пола, что объясняется приведенными ниже граничными условиями, зависимостью численности новорожденных от численности женщин.

В работе [9] при моделировании распространения СПИДа, кроме того, мужчины разбиты на 3 группы в зависимости от склонности к гетеросексуальным, бисексуальным, гомосексуальным связям. В пятой главе, посвященной приложению полученных теоретических результатов к управлению эпидемиями, для задания структуры популяции используется одна дискретная перемершая. Основная задача выглядит следующим образом: 3N(a,r,t) = - (d(a) + 5t>u(a,r,t)) » N(a,r,t) (1)

эи(а,г,t) = (1 - u(a,r,t))o(H(u,N)(.,.,t))(a,r) - (2)

- pu(a,r,t) o (1 - 5u(a,r,t)), U(0,r,t) = 0, U(a,r,0) = u0(a,r), (3)

N(a,r,0) = N0(a,r),

b(a',r',r)((1 + (HJu'ta'.r'.t))«

N(0,r,t) =

где о обозначает покомпонентное (по i e <1,...,n>) умножение,

x N1(a",r',t)da'dr',

(Н(и^)(.,.,г))(а,г) = ^1Д(а,г,г)х (4)

г 3=1

N = (Г!1,...,МП)Т, И1, 1 = 1,...,п - численность

индивидуумов в 1 - ой группе, Т 1

и = (и1,...,1^) ,и, 1 = 1,...,п - доля зараженных индивидуумов в 1 - ой группе,

1 = (1,...,1) Т

1 п Т1 (1(а) = («а. (а),___,й (а)) , а (а), коэффициенты

смертности индивидуумов 1-ой группы возраста а, 1 = 1,...,п,

у - величина, обратная средней продолжительности инкубационного периода,

- количество лиц из группы при контакте с

9. Разжевайкин В.Н., Демидова O.A. Теоретические и прикладные вопросы моделирования динамики эпидемии СПИДа. М.: Вычислительный центр РАН, 1993. 28с.

которыми индивидуумы из группы 1 возраста а с набором параметров Г могут заразиться в момент времени

р13(а,г,а' ,г' ,1:) = р^а.г.а' ,г' (а,г,а' ,г'),

Р1^(а,г,а',г'- вероятность встречи индивидуума из группы 1 возраста а с набором параметров г с индивидуумом из группы $ возраста а' с набором параметров Г' в момент времени 'а''г'^ ~ вероятность заражения при этой встрече, Ь(а',г',г) = (Ь1(а',г',г),...,Ьп(а',г',г))Т,

Ь1(а',г,г') - среднее число новорожденных с набором параметров г от матерей возраста а' с набором параметров г', попадающих в будущем в группу 1, 1 = 1,—,п,

Г - доля здоровых детей, рождающихся от инфицированных матерей,

6 - параметр, принимающий два значения: 0 и 1 и позволяющий рассматривать сразу два типа безыммунных заболеваний: при 5 = О, когда зараженные индивидуумы выздоравливают (заболевание типа гонореи), при 5 = 1, когда зараженные индивидуумы погибают (заболевание типа СПИДа).

Сделан ряд предположений, естественно вытекающих из биологического смысла входящих в основную задачу функций: о неотрицательности и ограниченности коэффициентов рождаемости, смертности, количества лиц, при контакте с которыми индивидуум может заразиться, вероятности заражения при контакте восприимчивого индивидуума с инфицированным, начальной численности индивидуумов и доли зараженных; о выполнении закона сохранения количества встреч между индивидуумами и т.д.

В третьем разделе второй главы доказано, что при выполнении сделанных предположений имеет место

Теорема 1. При любом Т г: а задача 1-3 имеет единственное решение (М, и) е 1-у(Б) х Му.

В первом разделе третьей главы рассмотрена упрощенная задача:

би(а,г,1:) = (1 - и(а,г^))о(Ш(.,.,г))(а,г) - (5)

- 1ДДа,г,1:)<>(1 - би(а,Г,г)) и(0,г,1:) = о, и(а,г,0) = и0(а,г), (6)

где

(HiU(.,.,t))(a,r) = (7)

n

= ¿L q13(a'r) P1;]-(a,r,a',r')uJ(a',r',-t)da'dr', i= 1,...,n, 3=1 JJ°

которая получается из уравнения (2) с соответствующими граничными и начальными условиями (3), если функции q^^^, Pij' входящие в определение оператора Н (см. формулу (4)), не зависят от и, N.

Во втором разделе третьей главы найдены достаточные условия для локальной асимптотической устойчивости стационарных решений упрощенной задачи и доказана

Теорема 2. Если и* - нетривиальное стационарное решение задачи (5), (6) и выполнено одно из условий

1)5=0,

2) 5 = 1, i>u* - HU* < 0, функции (и*)1, i = 1,...,п удовлетворяют условию Липшица по совокупности переменных

то это решение является локально асимптотически устойчивым.

В третьем разделе третьей главы найден критический

параметр К г r(Qy), где r(Qy) - спектральный радиус оператора га

ехр(у(с - а))(HU)(c,r)dc, (8)

О

сравнение которого с 1 позволяет определить, будет ли устойчиво нулевое положение равновесия.

Получены, в частности, следующие результаты. Теорема 3. Если К < 1, то нулевое стационарное решение задачи (5), (6) асимптотически устойчиво.

Теорема 4. Если К > 1, то нулевое стационарное решение задачи (5), (6) не является устойчивым по Ляпунову.

В четвертом разделе третьей главы показано, что при неустойчивости нулевого стационарного решения задачи (5), (б) существуют ненулевые стационарные решения.

Теорема 5. Если К > 1, то существуют неотрицательные ненулевые и не превышающие 1 стационарные решения упрощенной задачи.

Теоремы 3-5 используются в главе 5 для определения, будет ли распространяться эпидемия. Если К > 1, то эпидемия

QyU(a,r) =

развивается, а если К < 1, то эпидемия затухает.

Найдены достаточные условия единственности

нетривиального стационарного решения задачи (5), (б).

Теорема 6. Пусть выполнены условия:

1) если п > 1, то для любого 1 = 1,...,п существует 3(1) * 1 такое, что ^^^^

2) если ^^ О, то р0 £ р1;} £ р.

Тогда при 5 = О, К > 1 задача (5), (6) имеет единственное нетривиальное решение.

Рассмотренный в теореме 6 случай имеет место, если в популяции распространяется несмертельное заболевание и индивидуумы каждой из п групп, на которые разбита популяция, контактируют с индивидуумами из других групп.

В пятом разделе третьей главы с помощью методов теории бифуркаций получена дополнительная информация о стационарных решениях задачи (5), (6), если К достаточно близко к 1. Рассмотрено семейство зависящих от параметра X уравнений

иЧа.г) = %хр|-|а^+^х|(1Н:1и)(с1,г))йс1|х ' (9)

х [(¿+Л) (И1и)+^(и1)2)(с,г)ас, 1 = 1,...,п, решения которых являются стационарными решениями для семейства уравнений

зи(а,г,г) = (1 - и(а,г^))о(К~1 + Х)(Ш(.,.,г))(а,г) -

- уц(а,г,г)о(1 - би(а,г,г)).

Стационарное решение уравнения (5) удовлетворяет уравнению (9) при X = 1 - К-1.

Получен ряд результатов, касающихся существования, неотрицательности, устойчивости решений уравнения (9). Доказаны, в частности

Теорема 7. Предположим, что оператор <Зу, определенный формулой (8), имеет единственный собственный вектор ис, соответствующий собственному значению К > 1. Тогда (0,0) является точкой бифуркации уравнения (9), причем множество решений уравнения (9) вблизи начала координат состоит из двух кривых Г1 и Г2, пересекающихся только в точке (0,О), причем Г1 = (0,X), а Г2 может быть параметризована с помощью

переменной s, )s| < e: Г2 = (suc+ v(s), X(s)), где V(0) =

= V(O) = 0 (■= d/ds), X (0) = Q.

Утверждение 1. Если функции q1;j, l,j = 1,...,n, входящие в формулу (4)- для оператора и, непрерывны по переменным а, г1,...,г и выполнено одно из условий

1)5=0,

2) 6=1, \(0) > О,

имеет место неравенство u(2u* - 1) - (К-1+ l)IHU* < х1 < 0, компоненты (U*(\))*, 1 = 1,...,п решений уравнения (9)

удовлетворяют условию Лишцица по переменнным г1____,г ,

то при переходе X через V с его ростом тривиальное равновесие теряет устойчивость, а устойчивыми становятся нетривиальные решения, близкие к suc, так что бифуркационная диаграмма для семейства решений уравнений (9) выглядит, как изображенная на рис.1.

Утверждение 2. Семейство нетривиальных решений задачи (9) можно представить в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням параметра X

со

ЩХ) = £ Х1/Зи1, (10)

1=1

где ^ е N.

Если при некоторых функциях Р-у» Ч-ц 5 входящих в определение оператора Н (см. формулу (7)), удается доказать сходимость ряда (10) при X = 1 - К-1, то решение задачи (9) при \ = 1 - К~1 с точностью до (1 - Кимеет вид ± (1 -- КГ1)(знак решения требует дополнительного исследова-

ния),

В четвертой главе доказан применимый для достаточно широкого класса задач (в частности, для задачи (5), (6)) принцип сравнения.

Теорема 8. (Принцип сравнения). Пусть при 1: е С05Т], Т > О вектор-функции и^, 112 е 1~у являются соответственно единственными ограниченными решениями уравнений

ЭЦ(а,г^) = (С1(и(.,.,г)))(а,Г)4

зи(а,г,г) = (с2(и(.,.,г)))(а,г), причем выполнены следующие условия:

1) существует неубывающая функция 1: —► Е+ такая, что если 1« е Ц"(0), (?1(.).) ¿г, 1 = 1,...,п, то

Ь1(и2(.,.,1) + 1*) - С1(и2(.,.,г)) + 1(г)» е ^(Б) при всех X ь О, где и2 - решение уравнения (Д. 1.2),

2) существует неубывающая функция Ь: К+ —> К+ такая, что если я |и1(а,Г)| г. р- при всех (а,Г) е I), 1 = 1,...,п, то имеет место неравенство

|(С*(и2 + *) - С^(и2))(а,г)| * Ь(р)р, при всех (а,г) е О, I = ?,...п,

3) существует неубывающая функция Ь: Е+ —> такая, что если * е Ц(Б), |»1(а,Г)| й р при всех (а,Г) е О, 1 = 1,...,п, то имеет место неравенство

||С1(и + _ С^ЮЦ } * Ь(р)В*Вь

Д) |(С^(и2(.,.^)) - с|(и2(.,.,г)))(а,г)| 5 е при всех (а,Г) е I, 1 = 1,...п, X ^ О,

5) 0^2) * С2(и2),

6) и^(0,Г,1:) = и2(0,Г,1) при всех Г е Бг, г * О,

7) Ц|(а,г,0) = и50(а,о, 1 = 1,2, и10 г и20-Тогда \}](.,.,Х) к и2(.,.,г) при всех г 2 о.

Следствие 1. Решения задачи (5), (6) при 5 = 0 не превосходят решений этой задачи при 5 = 1 при всех I ^ О (при одинаковых начальных и граничных данных).

Следствие 2. Если и^, и2 - решения задачи (5), (б) с одинаковыми граничными условиями и и|(.,.,г ) а и2(•,•>X1) при некотором г О, то г и2(.,.,г) при всех

Следстзие 3. Пусть и - стационарное решение задачи (5),

* * I

(6). Тогда, если ид £ и (ид а и ), то и(.,.,г) 5 и (и(.,.,1:) гаи) при всех х г О.

Утверждение 2. Если г q:L.; ^^ q1J), Р^ * Р1;} (Р-у ^ Р^), = 1,...п, где функции р^ входят в

формулу (4), е Ь^И), то, заменив в задаче (2)-(4) q1J на а р^ на р^ и решив полученную задачу, мы получим соответственно нижние (верхние) оценки решений задачи (2)—(4).

С помощью принципа сравнения получены верхние и нижние оценки решений задачи (5), (6).

Утверждение 3. Решения задачи (5), (6) с и0 г еис, Нис а г <5^11 , где ис е Ц"(0) - собственный вектор оператора С! заданного формулой (8), соответствующий собственному гначешш К, оператор Н задан формулой (7), е з 1 - К-1, удовлетворяет неравенству

и(.,.,Т) а Ь(ф(г))ис(.,.),

где

ь(Ф(г)) = (1 - к_1)х

*(1 - (1 - к~1) £ (ехр^О - К-1)« - 1) + 1 -

Утверждение 4. Если щ.,.,1) - решение задачи (5), (6) с начальным условием Цд, то при 5=0 имеет место неравенство и*(а,Г,1:) <;

((н11)(а,г)/((н11)(а,г)+у))(1-ехрс-((н11)(а,г)+и)а)),

сиасЬ,

и^(а-г,г)ехр{-((Н11)(а,г)+у)г) +

+((И11)(а,г)/((Н11)(а,Г)+у))(1-ехр<-((1Н11)(а,г)+1/)г>), а при 5 = 1 выполнено неравенство

и1(а,г*

((Н1) )(а,Г)(-1+ехр<(-(Н11)(а,Г)а}х

х(-(Н11)(а,Г) + 1>ехр{(-(1Н11)(а,Г)+1/)а))-1, 0*а<1:

^(а^,Г)(у-(1Н11)(а,Г)ехри-(1Н11)(а,г)+и)г>)-(1Н11)(а)г)х

х( 1-ехр{ (—(И11) (а,г)+и-)г>)| 1-ехр{(-(И'!"1) (а,г)+

+у)г>)— (Н-Чна.г) + уехр<(-(Н11)(а,Г)+г/К>^ , г*а*;А В пятой главе приведены примеры использования полученных теоретических результатов для управления эпидемией. Для определения, Судет ли распространяться эпидемия СПИДа в России, были использованы данные В.В.Покровского об анонимном обследовании населения, опубликованные в С101. Все население было разбито на 80 групп в зависимости от возраста и поведения. С" помощью численных мето-дря Аыло найдено значение критического параметра К, позволяющего с помощью пороговых теорем 3, 4 определить, будет ли эпидемия распространяться при малой начальной численности инфицированных индивидуумов (что соответствует неустойчивости нулевого положения равновесия) или затухать (что соответствует устойчивости тривиального равновесия). Если медицинскими органами не проводится обследование населения по выявлению инфицированных ВИЧ (вирусом иммунодефицита человека) и СИЗ (средства индивидуальной защиты) не применяются, то К = 1,33, т.е. эпидемия будет распространяться. Для предотвращения эпидемии достаточно проверять 25% 16-25-летних, 19% 26-40-летних, 15% 41-51-летних индивидуумов и 2055 групп риска (проституток и бисексуалистов), при этом предполагается, что выявленные инфицированные индивидуумы далее никого не заражают. Весьма эффективной является пропаганда СИЗ. Например, если индивидуумы будут применять СИЗ при 10% контактов, то для предотвращения эпидемии достаточно проверять 17%

10. Покровский В.В. Анонимное обследование населения на антитела к вирусу, вызывающему СПИД // ЖМЭИ. 1989. N3. С.53-57.

индивидуумов. Отметим, что проверки преимущественно групп риска недостаточно для предотвращения эпидемии.

С помощью обобщения приведенного примера разработан алгоритм нахождения по имеющимся статистическим данным критического параметра К и определения комплекса мер, достаточных для предотвращения эпидемии.

В приложениях 1,3, Л приведены основные технические определения и теоремы, используемые в тексте работы. В приложении 2 доказаны вспомогательные результаты, используемые в третьей главе.

В заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

Выводы.

1. Построена модель распространения в неоднородной популяции безыммунного контагиозного заболевания в виде аналога системы уравнений в частных производных для интегрируемых по Лебегу - Стилтьесу функций.

2. Исследована корректная разрешимость построенной модели.

3. Построена упрощенная задача, имеющая самостоятельное прикладное значение.

4. Исследовано поведение решений упрощенной задачи и найден критический параметр, характеризующий асимптотическую устой- чивость нулевого стационарного решения и показано, что в случае неустойчивости этого равновесия существует хотя бы одно асимптотически устойчивое ненулевое стационарное решение.

5. Доказан принцип сравнения решений аналога уравнений в частных производных для интегрируемых по Лебегу - Стилтьесу функций, применимый для достаточно широкого класса задач, в частности, упрс-денн-.'!.

6. Построен алгоритм вычисления критического параметра по статистическим данным.

7. Указан комплекс возможных мер по предотвращению распространения эпидемии.

- го -

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. Демидова O.A. Об одной математической модели в эпвдемиологииУ/Вестник МГУ. Серия 1. Математика. Механика. 1993. N 4. с. 14- 17.

2. Раэжевайкин В.Н., Демидова O.A. Моделирование распространения инфекционного заболевания по неоднородной популяции на примере СПИДА. М.: Вычислительный центр РАН, 1991. гас.

3. Раэжевайкин В.Н., Демидова O.A. Теоретические и прикладные вопросы моделирования динамики эпидемии СПИДа М.: Вычислительный центр РАН, 1993. 28с.