автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики негармонических волновых пакетов в стратифицированных средах

На правах рукописи

0034В5160

Булатов Виталий Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

о - ч

Москва-2009

003465160

Работа выполнена в лаборатории физического и математического моделирования в гидродинамике Учреждения Российской академии наук Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор САВИН Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, КОРЧАГИН Николай Николаевич

доктор физико-математических наук, БОЯРИНЦЕВ Владимир Иванович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Геофизический центр РАН

Защита диссертации состоится «_//[>> ^^оН-Л- 2009 года в ( ь ч. с/ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.05 в Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская область, г.Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ауд. 903.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета). Автореферат разослан 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.05, к.ф.-м.н.

О. С. Федько

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время наблюдается рост интереса к математическому моделированию волновых движений неоднородных природных стратифицированных сред, обусловленный проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, охраны и изучения окружающей среды, эксплуатации сложных гидротехнических сооружений, в том числе морских нефтедобывающих комплексов и рядом других актуальных задач науки и техники. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем математического моделирования. Изучение волновых процессов в неоднородных стратифицированных природных средах превратилось в быстро развивающуюся область, причем результаты этих исследований важны как с фундаментальной точки зрения, так и для технических приложений. Новые экспериментальные и технические возможности стимулируют работу по математическому моделированию и асимптотическому исследованию волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. При этом в основе анализа, как правило, лежат асимптотические методы, что позволяет на базе изучения невозмущенных уравнений формировать соответствующие асимптотические разложения, учитывающие неоднородность и нестационарность природных стратифицированных сред.

Вопросам динамики внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах посвящено значительное число работ как отечественных (И.В.Стурова, В.Ф.Санников, В.А.Боровиков, Э.В.Теодорович, В.А.Городцов, А.М.Тер-Крикоров, К.А.Бежанов, Ю.З.Миропольский, А.Г.Воронович, Ю.Д.Чашечкин, Е.Г.Морозов, С.А.Габов, А.Г.Свешников, Л.В.Черкесов и др.), так и зарубежных (ШБЬгЫП, ШПеБ, 1В.Ке11ег, В.^эт, Е.КаПеп, Б.А.ТЬогре, Т.МИоЬ, ЕЛ.Норйп§ег, М.&Йегшап и др.) авторов. Основное внимание в настоящее

время уделяется экспериментальному исследованию динамики внутренних волн, детальному теоретическому рассмотрению динамики линейных внутренних гравитационных волн в средах с модельными распределениями плотности, а также прямому численному моделированию соответствующих уравнений гидродинамики. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.

Для детального описания широкого круга физических явлений, связанных с волновой динамикой стратифицированных неоднородных по горизонтали и нестационарных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев адекватное качественное первоначальное представление об изучаемом круге явлений можно получить на основе более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования. В этом отношении весьма характерны задачи математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Даже в рамках линейных моделей их решения достаточно своеобразны и представляют наряду с нетривиальными физическими следствиями самостоятельный математический интерес.

Цель исследования. Целью диссертации является решение следующих фундаментальных проблем: математическое моделирование динамики природных стратифицированных сред, связанное с теоретическим изучением процессов возбуждения, распространения, критических явлений при эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; численное моделирование динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн; разработка асимптотических методов для

математического моделирования особенностей распространения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; разработка алгоритмов интерпретации натурного наблюдения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн на основе предложенных математических моделей.

Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Построена, аналитически и численно исследована математическая модель генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений в произвольно стратифицированных средах и созданы эффективные численные алгоритмы расчета волновых полей в различных пространственных зонах.

2. Разработаны и реализованы численные методы решения основных вертикальных спектральных задач уравнения внутренних гравитационных волн, расчетов собственных функций и дисперсионных кривых для произвольно стратифицированных сред, а также расчета многократных квадратур с быстроосциллирующими фазовыми функциями и подынтегральными функциями, имеющими различные особенности

3. Решена задача математического моделирования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах как вблизи, так и вдали от источников возмущений, в том числе при критических режимах возбуждения волновых полей. Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии применимости полученных асимптотических и аналитических представлений решений.

4. Разработан модифицированный пространственно-временной лучевой метод, на основе которого аналитически и численно исследованы задачи об эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных природных стратифицированных средах, получены асимптотические представления,

описывающие особенности амплитудно-фазовых характеристик волновых полей с учетов реальной изменчивости природных сред и согласующиеся с результатами натурных наблюдений.

Методы исследования. В основу исследования математических моделей положены аналитические и численные методы решения краевых задач, аппарат функций Грина, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, методы возмущений и малого параметра, приближенные методы теории функций комплексного переменного. Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, а также применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в работе методы и подходы к исследованию динамики и генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн сочетают сравнительную простоту и вычислительную мощность аналитических результатов, а также возможность их качественного анализа. Разработанные в работе методы математического моделирования могут быть использованы для исследования любых других волновых процессов (акустические и сейсмические волны, СВЧ-излучение, волны цунами и т.п.) в реальных средах со сложной структурой. Значение предложенных методов анализа волновых полей определяется не только их наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что они могут явиться некоторой полуэмпирической основой других приближенных методов при математическом моделировании негармонических волновых пакетов иной физической природы. Все фундаментальные результаты получены для произвольных распределений плотности и других параметров неоднородных сред, и, кроме того, основные физические механизмы

формирования изученных явлений динамики внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах рассматривались в контексте имеющихся данных натурных измерений.

Универсальный характер предложенных методов математического моделирования негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, дополняется универсальными же эвристическими условиями применимости этих методов. Эти критерии обеспечивают внутренний контроль применимости использованных асимптотических методов, и в ряде случаев на основе сформулированных критериев удается оценивать волновые поля там, где другие методы неприменимы. Тем самым открываются широкие возможности анализа волновых картин в целом, что важно как для правильной постановки теоретических исследований, так и для проведения оценочных расчетов при натурных измерениях негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Особая роль данных методов обусловлена тем обстоятельством, что параметры природных стратифицированных сред, как правило, известны приближенно, и попытки точного численного решения исходных уравнений с использованием таких параметров могут привести к потере точности.

Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования неоднородных сред, геофизической гидродинамики, океанологии, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических сооружений, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики.

Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований №96-01-01120 «Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах: генерация, распространение, анализ результатов измерений», №98-05-64606 «Пять подходов к изучению приливных внутренних волн в Северной части Тихого океана», №99-017

00856 «Критические явления при генерации и распространении внутренних гравитационных волн в неоднородных средах: теория и натурные наблюдения», №93-013-17702 «Асимптотические методы в линейных и нелинейных задачах гидро- и газодинамики», №96-01-00937 «Сингулярные асимптотические решения линейных и нелинейных уравнений гидро- и газодинамики», проекту INTAS № 94-2187 «Nonlinear and singular partial differential equations and applications», проектам International Science Foundation №№M3L000, M3L300 «The evaluation of fields excited by oscillating sources moving in stratified fluids and in general dispersive media: the construction of the uniform asymptotic and the creation of the effective computer programs», а также в рамках выполнения Федеральной целевой программы «Мировой океан», программы Министерства науки РФ "Комплексные исследования океанов и морей, Арктики и Антарктики" (проект "Волны в океане"), программы №17 Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология».

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации неоднократно докладывались в 1988-2008 годах на семинарах Института проблем механики РАН, Института высоких температур РАН, Института океанологии РАН, физического факультета МГУ, международных конференциях и симпозиумах, в том числе: 19 Session scientific and methodological seminar on ship hydrodynamics SMSSH-90, 1-6 October 1990, Varna, Bulgaria; First International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 23-26 April 1991, Strasbourg, France; First European Fluid Mechanics Conference, September 1991, Cambridge, Great Britain; Second International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 7-10 June 1993, Newark, Delaware, U.S.A.; Международная конференция "Asypmtotics in Mechanics", 14-17 August 1994, С.-Петербург; Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation(SIAM-INRIA), 24-28 April 1995, Mandelieu, France; 23-nd General Assembly of European Geophysical Society, 20-24 April

1998, Nice, France; Fourth International Conferences on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM-INRIA), 1-5 June 1998, Golden, Colorado, U.S.A.; Twenty-Second Symposium on Naval Hydrodynamics, 9-14 August 1998, Washington, D.C., U.S.A.; XIV General Assembly of European Geophysical Society, 19-23 April 1999, Hague, Netherlands; 4-th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics ICTCA-99, 10-14 May

1999, Trieste, Italy; Международная конференция "Современная теория фильтрации", 6-8 сентября 1999 , Москва; Международная конференция "Fluxes and Structures in Fluids", 20-22 июня 2001, Москва; Sixth International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-2008, 1620 September 2008, Psalidi, Kos, Greece.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 работ, 23 из которых приведены в списке основных публикаций по теме диссертации, в том числе две монографии и 16 статей в ведущих рецензируемых научных журналах, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук, рекомендованных ВАК РФ.

Личный вклад соискателя. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит: [1,2] - равноценное участие в постановке задач, разработке методов их решения, получения и обсуждения результатов; [3-5] - разработка математических моделей и численных методов, интерпретация результатов; [6,7,10,11,13-20] - постановка задач, формулировка математических моделей, создание численных алгоритмов; [9,12,21] -разработка и реализация численных алгоритмов, интерпретация результатов. Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве и включенные в диссертацию, получены автором лично, и содержатся в диссертации с согласия и одобрения соавторов. В случаях, когда в диссертации приведены результаты, полученные не лично соискателем, этот факт явно отражен в тексте.

Структура работы. Диссертация, общим объемом 299 страниц, состоит из

введения, трех глав, заключения, приложения, списка использованных источников, включающих 341 наименование. Общее количество рисунков -59.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении сформулирована цель исследования, обоснованы актуальность, научная новизна, практическая ценность, дан краткий обзор результатов других авторов, относящихся к теме диссертации, обосновано соответствие результатов диссертации паспорту специальности 05.13.18.

Первая глава посвящена изложению задач, связанных с математическим моделированием генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах.

В разделе 1.1 изложены постановка задачи, основные сведения из теории внутренних гравитационных волн, которые необходимы для понимания последующих результатов, обсуждаются основные используемые приближения, а также построено интегральные формы решений, описывающих внутренние гравитационные волны вдали от локальных источников возмущений в слое произвольно стратифицированной среды. Из линеаризованной системы уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска получается уравнение, которому удовлетворяет вертикальная компонента скорости внутренних гравитационных волн

+ + = Д = |1 + |1 (1)

дг дг ох ду

где Ы2(г)~—частота Брента-Вяйсяля. Решение задачи о Ро &

математическом моделировании поля внутренних гравитационных волн, возбуждаемых движущимися локальными источниками возмущений в слое произвольно стратифицированной среды, с учетом соответствующих начальных и граничных условий представляет собой сумму мод. Рассматривается установившийся режим, поэтому, в системе координат, движущейся вместе с источником возмущений £ = х + у, ищется предел

выражения при фиксированных ¿;,у и при i -»со Л (£ У. z) = lim 77(х, у, z, t) = X Ц„ У, г)

N i } , . w 7 , . rsßV(o]{k)m{z,k)q>'(z.,k),

Собственные функции и собственные числа определяются из стандартной спектральной задачи:

?„(*,*) = О, <ря{0,к) = <ря(Н,к) = й,

^ у

Основной вклад определяется полюсами подынтегральной функции на действительной оси, эти два полюса ¡л = ±цп (V) определяются из решения

уравнения: ¡и2У2 = озЦ-^ц1 + и2). Существуют также чисто мнимые решения данного уравнения. Квадратуры первого (волнового) типа, зависящие от действительных корней основного дисперсионного уравнения, вносят существенный вклад в волновое поле в дальней зоне, тогда как квадратуры второго (неволнового) типа, зависящие от мнимых корней основного дисперсионного уравнения, экспоненциально малы вдали от источников возмущений. Вдали от источников возмущений полное волновое поле определяется свойствами квадратур первого (волнового) типа и представляет собой сумму волновых мод, каждая из которых распространяется независимо от других и заключена внутри соответствующего конуса Маха. Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн определяются далее как асимптотики, описывающие структуру волновых полей как вблизи (локальная асимптотика), так и вдали от соответствующих волновых фронтов (равномерная асимптотика).

В разделе 1.2 исследованы негармонические пакеты внутренних гравитационных волн вдали от источников возмущений. Показано, что в глубоком океане (стратифицированный слой толщины /г лежит на однородном подстилающем слое толщины И, Н = к + Н - полная толщина

слоя среды.) асимптотика отдельной моды возвышения в окрестности волнового фронта имеет вид локальной волны Френеля

т,,»

2

, ^(х) = СОБХ2 + ЭШX2 ^¡П^А

где с„, у/п (г) - собственные числа и собственные функции задачи — у„=В, ^„=0, г = —— = 0, 2 = —п

г„ =сугл-И)

&

1Кг(г)ч/\{г)<Ь

.Я^с./у/У'-с.1

Локальная волна Эйри, описывающая асимптотику отдельной моды возвышения в окрестности волнового фронта имеет вид

сУхЛг)

-Аг

у-чА

¿хЛъ)

где Аг(х)- функция Эйри, с„,х„(2) ' собственные числа и собственные функции задачи

<к сп аг

Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн - равномерные (глобальные) волны Эйри и Френеля, описывающие поля внутренних гравитационных волн, как вблизи, так и вдали от волновых фонтов имеют вид

вш ,{в в = {Ъ-{цп{уМ-КУ)

А, =■

УМ»

а*.

где Р„ - корень уравнения /лп{у) = у I д, собственные функции и значения определяются из (2). Численные расчеты и аналитические оценки показывают, что если толщина однородного слоя И составляет несколько толщин стратифицированного слоя И, или даже сравнима с А, то существует промежуточная пространственная зона, в которой асимптотика отдельной моды поля внутренних гравитационных волн выражается через интегралы Френеля, и можно использовать понятие глубокого океана, в определенной переходной зоне оба асимптотических представления качественно верно описывают поведение поля внутренних гравитационных волн вблизи волновых фронтов, при значениях 1г меньших используется понятие мелкого моря, а также асимптотика волны Эйри.

В разделе 1.3 изучаются негармонические пакеты внутренних гравитационных волн вблизи от источников возмущений. Показано, что точное выражение для отдельной моды возвышения имеет вид:

%=/;+/;+/! и>о), 7„=-/!а<о),гДе V

11 = —-.] ехр(± *Х(у)£ -)• уу)Л,„(у,г.г^сИу 4x1.1

/! = — \ ехр( - Л, - IVу) ) ¿у

А« -

А _ К<У)Уг

2" 52 /.л .,2

ШШ

+1

&о

Собственные функции и собственные числа соответствующих спектральных задач

N>(2)

-v' +

УгЫ\2)

М2ЛУУ2

~м1<У)

определяются из

(2)

д>.(г,У)

дг2

Л2„(У)-У2 +

2 , N>(2)

1 —

Л»

/„ (О, V) = /„ (Я, V) = О, (О, У) = ^ (Я, V) = О

В ближней зоне, в некоторой окрестности от источников возмущений, квадратуры второго (неволнового) типа вносят наиболее существенный вклад в суммарное поле и описывают локальные особенности поля вблизи этих источников. Показано что из медленно сходящегося ряда мод второго типа, каждая из которых выражается через функции Макдональда можно выделить особенность, не зависящую от стратификации среды и существенно улучшающую сходимость суммируемых рядов волновых мод

81±,а

, которая имеет вид: IV = У;г„ = 2 + £(7° + + Гп - К„), где: У*'0 =

„ л-1 Уд£

П'1

2тН-г

-г

2 тН + г

(р2 + (2 тН - г У )5'2 {р1 + (2 тН + гУ)гп

2 тН-г^ 2 тН + г^

+

(р2+(2тН-гУУ" (р2+(2тН+2УГ здесь Кл = пН~1Ка(япрН~1)5т(япгН~1)со5(я№0Н~1), г+ = г + г0,

р2 = у2 + К0(х) - функция Макдональда нулевого порядка. Функция Кп представляет собой асимптотику отдельной моды вертикальной скорости при у,£0, причем с увеличением номера моды п и скорости течения V функция К„ все более точно приближает^,. Асимптотика полного поля в ближней зонБ1 есть сумма полей от переотраженных (относительно вертикальных границ) среды источников, находящихся в однородной нестратифицированной среде, причем поле каждого источника выражается через фундаментального решения трехмерного уравнения Лапласа в неограниченном пространстве.

В разделе 1.4 построены асимптотические представления собственных функций и собственных значений основной вертикальной спектральной задачи внутренних волн в приближении больших волновых чисел и получены асимптотические выражения для отдельной моды волнового поля, описывающие пространственную структуру и особенности полей внутренних гравитационных волн в окрестности траекторий движения источников возмущений. Поскольку собственные функции при больших волновых числах сосредотачивается в окрестности максимума термоклина и быстро убывают вне этой окрестности, можно заменить реальное распределение частоты Брента-Вяйсяля на модельное: И2{г) = N1 - 4%2 (г - £0)2. Полученные асимптотические решения для отдельной моды возвышения в виде

П= 11я, г = V/ + + г1,)^/N.]2, у = 42х!¥ позволяют описывать пространственную структуру внутренних гравитационных волн вблизи от траекторий источников возмущений, при этом показано, что вклад в волновое поле высших мод генерации пренебрежимо мал на больших расстояниях

В разделе 1.5 рассмотрено построение модифицированной функции Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды при наличии постоянных средних сдвиговых течений. Исследованы основные свойства соответствующих спектральных задач, модифицированных собственных функций и собственных значений. Показано, что каждая мода модифицированной функции Грина состоит из суммы трех членов, описывающих распространяющиеся от источника внутренних гравитационных волн, эффекты нестационарности источника, локализованные в некоторой его окрестности, эффекты вытеснения жидкости (внутренний скачок), вызываемые источником. Проведен анализ полученных выражений для постоянного и осциллирующего источника генерации

внутренних гравитационных волн, при этом каждое из слагаемых функции модифицированной Грина представлено в виде однократных квадратур.

В разделе 1.6 исследованы критические режимы генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах. Выражение, описывающее асисмптотику отдельной моды поля внутренних гравитационных волн, генерируемых источником возмущений, движущимся в стратифицированной жидкости, со скоростью, близкой к максимальной групповой скорости распространения

М»Н

соответствующей моды имеет вид: -Кч{——), где

2 Жп Н

Еп-—-у1с1у~2 -1, С„- максимальная групповая скорость и-ой моды, м» -Н

амплитудный множитель. При значениях У/ссущественно больше единицы, а также при больших значениях у/Н (дальнее поле) асимптотическое представление отдельных мод внутренних волн, должно, в соответствии с результатами предыдущих разделов, описываться асимптотическим представлением, выражающимся через функцию Эйри (мелкое море) или интегралы Френеля (глубокий океан).

Рассмотрена также структура ближнего поля внутренних гравитационных волн при критических режимах их генерации. Исследованы точные решения, как для возвышения, так и для вертикальной компоненты скорости, описывающие структуру волнового поля в непосредственной окрестности от источника возмущений. При этом отдельная мода возвышения выражается через полный эллиптический интеграл первого рода, а отдельная мода вертикальной скорости - через функцию Макдональда и логарифмические функции. Получены выражения для полного поля, представляющего сумму волновых мод, и выражающегося через производные от гамма-функции.

Вторая глава посвящена изложению методов численного моделирования генерации и динамики негармонических волновых пакетов внутренних

гравитационных волн, возбуждаемых нелокальными источниками возмущений.

В разделе 2.1 описаны численные методы решения основных вертикальных спектральных задач уравнения внутренних гравитационных волн (2), алгоритмы расчета собственных функций и дисперсионных кривых. Рассматривается численный метод, использующий кусочно-постоянную аппроксимацию А'2 (г), основная особенность данного алгоритма от обычно используемых, состоит в том, рассчитываются дисперсионные кривые "в целом", т.е. при нахождении значения спектрального параметра в каждой следующей точке дисперсионной кривой используется информация о поведении в предыдущей точке, что существенно повышает вычислительную мощность алгоритма. Толщина слоя стратифицированной среды [0,Н] разбивается на т интервалов (слоев) Лг, г = 1,..., т, где

= 0,Ит=Н). В каждом слое А, частота Брента-Вяйсяля аппроксимируется константой ТУ,. В основу алгоритма положен метод стрельбы, в результате работы которого на последнем шаге итераций вычисляются значения собственной функции и ее производной по г в точках г = /г,., г = 0,1,...,/и, которые затем нормируются на определенный множитель, зависящий от собственной функции и в каждом слое вычисляемый аналитически. В результате работы алгоритма на произвольной сетке ук (к = 1,..., д, д - количество узлов сетки) для моды с заданным номером п вычисляются следующие величины: значения ¡лп(ук) дисперсионной кривой и ее производной 8 /х„(ук)/8у , значения нормированной собственной функции /„ (г, ) (при заданном г), а также значения дисперсионной кривой Я,К), ее производной 8Яп(ук)/8у и нормированной функции (//Дг^Хпри заданном г) в узлах сетки Ук.

В разделе 2.2 изложены методы численного моделирования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн от

произвольных нелокальных источников возмущений. Решена задача о математическом моделировании поля установившихся внутренних гравитационных волн, возбуждаемом при движении нелокального источника возмущений в слое стратифицированной среды толщины Н с произвольным распределением частоты Брента-Вяйсяля Щг). Вертикальный размер нелокального источника возмущений к считается малым по сравнению с толщиной слоя жидкости. Эти предположения означают, что внутреннее число Фруда Fr = K/M много больше единицы, поэтому картины траекторий вблизи обтекаемого источника качественно должны иметь тот же вид, что и в случае однородной жидкости. Вертикальная компонента скорости Ж внутренних гравитационных волн вне обтекаемого нелокального источника возмущений удовлетворяет уравнению (1), граничные условия на поверхности 2 = 0 и на дне г = -Я, а также начальное условие имеет вид: IV - 0, г = 0,-#, - 0, (<0. На поверхности движущегося

нелокального источника, форма которого описывается функцией г(^,у) = 20±И±(4,у) (£ = х + У/, г0 - горизонт движения источника), предполагается выполнение условия непротекания: IV = г = 2(%,у),

где функции И* описывают форму нелокального источника выше и ниже горизонта движения 20, и = (С/, + К,(/2) - вектор горизонтальных скоростей. Конкретный вид функций И*, которые описывают форму обтекаемого нелокального источника возмущений, определяются, например, из численного решения соответствующей нелинейной задачи.

Предполагается что скорость движения источника много больше горизонтальных компонент £/, 2 скоростей собственно внутренних гравитационных волн, Тогда условие непротекания можно снести на горизонт движения г = га и приближенно представить в виде:

З/г*

Ж = -V-н /г*(£,у), 2 = г0±0. Далее будет рассматриваться функция IV,

дх

претерпевающая скачок при г = г0, равный = Я*(<^,у)-К'(<;,у), то

есть IV будет определяться с точностью до произвольной непрерывной по г функции, которую в настоящей постановке исключаем из рассмотрения. Ищется предел решения при г -»°о и фиксированных с,, тогда IV имеет вид:

п »

Г* = + 3*п + > 0), О - область, где * 0. Полученное решение

представляет собой сумму трехкратных квадратур, что существенно затрудняет как численный расчет функции W, так и ее качественный анализ. Численное решение данной задачи требует вычисления значительного числа интегралов от быстро осциллирующих функций, поэтому, во-первых, необходимо использовать методы, позволяющие эффективно рассчитывать интегралы подобного вида. Во-вторых, вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений полное волновое поле представляет собой плохо сходящийся ряд, и для достижения достаточной точности надо суммировать большое число мод, однако, используя метод выделения статической особенности, можно рассчитывать поле вблизи обтекаемого источника, избегая такого суммирования. В-третьих, на больших расстояниях от источника, когда полное поле распадается на волновые моды, асимптотические представления отдельной моды позволяют рассчитывать дальние поля внутренних гравитационных волн, не прибегая к точным численным расчетам. Расчет полного волнового поля по формулам сводится

ь

к вычислению интегралов вида: I = $ехр(1А<р(у))Г(у)с1у, где А

а

параметр, который может принимать большие значения, <р(у)- фазовая функция, F(v) - гладкая функция переменной V, не имеющая особенностей в пределах изменения у. Если фазовая функция линейна по у, то для вычисления интеграла можно использовать метод Филона, если фазовая функция нелинейна, то для вычисления интеграла используется модифицированный метод Филона, тогда фазовая функция <р(у) путем замены переменной сводится к линейной и на каждой интервале разбиения

используется квадратичная интерполяция для внеэкспоненциальной функции. Можно использовать другой метод, отличный от модифицированного метода Филона, для этого необходимо непосредственно аппроксимировать на каждом интервале разбиения (Ум,к) фазовую и амплитудную функции соответствующими полиномами.

А

I

Рис.1 Возвышение внутренних гравитационных волн от движущегося нелокального источника возмущений

На рис.1 представлены типичные результаты численных расчетов

возвышения внутренних гравитационных волн, из которого видно, что

существуют, как минимум, три различных области возбуждаемых полей. Во-

первых, это область непосредственно над движущимся нелокальным

источником, имеющая ширину порядка толщины слоя стратифицированной

среды - ближняя зона. Как показали численные расчеты, волновое поле

внутренних гравитационных волн в ближней зоне слабо зависит от конкретной стратификации и амплитуды скоростей и возвышения в этой зоне максимальны. Во-вторых, на больших расстояниях от источника возмущений поле внутренних гравитационных волн распадается на отдельные моды, причем каждая мода заключена внутри своего клина Маха, амплитуда вне клина мала. Кроме того, существует переходная зона, где структура волновых полей достаточно сложна. Вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений, на расстояниях порядка толщины слоя стратифицированной среды, для достижения достаточной точности требуется суммировать значительное число мод. В разделе 1.3 изложен метод выделения статистической особенности, поэтому полное поле внутренних гравитационных волн вблизи обтекаемого нелокального источника возмущений можно представить в виде: Ж = в 5 + Д„,

п П

5 = - Г,у -

а

А„ =Г„ - [{К у-у', г, г0)Щ\.

п

Функция Б удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, то есть описывает обтекание нелокального источника потоком однородной жидкости. Как показали численные расчеты на расстояниях порядка Н от нелокального источника возмущений течение стратифицированной среды почти потенциально и определяется только геометрией задачи, однако при удалении от обтекаемого источника необходимо учитывать наличие стратификации. Метод выделения особенности позволяет не только точно рассчитывать поле внутренних гравитационных волн в ближней зоне, но и оценивать погрешность асимптотических формул. На больших

расстояниях от движущегося нелокального источника, происходит разделение поля внутренних гравитационных волн на отдельные моды, кроме того, на больших расстояниях в случае слабой стратификации можно не учитывать точную форму обтекаемого нелокального источника, а заменить

ее соответствующей системой источников и стоков. Поэтому вдали от обтекаемого нелокального источника возмущений целесообразно заменить распределение источников, описываемое формой этого нелокального источника, на более простую комбинацию источников и стоков в виде:

= Я = где - координаты

■'о

источника и стока соответственно. При больших значениях слагаемые , вносящие основной вклад в полное волновое поле, допускают различные асимптотические представления (г„, зависящие от распределения Ы(г). Для случая мелкого моря в дальней зоне асимптотика каждого слагаемого /*, вблизи фронта выражается через функцию Эйри, в то время как для глубокого океана существует промежуточная зона, где асимптотика каждого слагаемого вблизи фронта может выражаться через интегралы Френеля. Используя асимптотические представления (7„, можно, получить выражение для отдельной моды }¥„ полного поля IV в виде:

К - .

Третья глава посвящена изложению проблемы математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных стратифицированных средах.

В разделе 3.1 систематически изложены обобщения метода геометрической оптики - пространственно-временному лучевому методу эталонных функций, который позволяет решить задачу математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах с медленноменяющимися параметрами. Главными причинами важности использования лучевых методов являются следующие: лучевые представления достаточно хорошо согласуются с интуитивными и эмпирическими представлениями о распространении внутренних

гравитационных волн в реальных средах; данные методы достаточно универсальны, а во многих случаях единственно возможны для приближенного расчета волновых полей в плавно неоднородных стратифицированных средах.

Введем медленные переменные х" -ех, у' = еу, = £? (по ъ медленности изменения не предполагается, знак далее опускаем), где е = X / Ь «1 малый параметр, характеризующий плавность изменения среды по горизонтали (Я. - характерная длина внутренних гравитационных волн, Ь - масштаб горизонтальной неоднородности). Тогда система уравнений гидродинамики для вертикальной компоненты скорости IV и вектора горизонтальной скорости и=(и)уи2)в медленных переменных, с учетом горизонтальной неоднородности среды, имеет вид

Исходя из структуры первого члена равномерной асимптотики,

гравитационных волн в однородной по горизонтали среде (глава 1), решение данной системы, можно искать в виде (для отдельно взятой моды Шп, и„, опуская далее индекс п)

и = (г, X, у, О Д, И + е^ (г, х, у, 1)Я2 (а) + еи°и2 (г, х, (а) +...,

где аргумент <т = (3(х,у,1)/аУ е'а считается порядка единицы. Эти разложения согласуется с общим подходом метода пространственно-временного лучевого метода, при этом модельными интегралами (ст), описывающими негармоническую волну Эйри, для отдельных слагаемых в данных рядах будут следующие выражения: а = 2/3, Л0(а) = А1'(сг),

= 0 вШг + —— = 0.

дгду

описывающей динамику негармонических пакетов внутренних

Д,(<7) = АЦ&), Я2(ст)= \Aiiuyiu. Функции (сг) обладают следующим

-00

г

свойством: (сг) = Ят (сг) . Очевидно, исходя из свойств соответствующих интегралов Эйри, функции Ля(сг) связаны между собой следующими рекуррентными соотношениями: (сг) + аК\ (сг) = 0,

(а) + 2 (сг) - сг2 Л (сг) = 0. В качестве модельных интегралов Яш(а), описывающих распространение негармонических волн Френеля (а = 1/2), используются следующие выражения:

Я0 (сг) = 11е |ехр(- Па -и2/ 2)# = Ые ф' (сг) = Ф(сг), (сг) + г сг д„ (сг) = 0,

о

Л_з(сг)-2г/г_,(сг)-гсгд-2(сг) = 0. Из подобной структуры решения следует, что в неоднородной по горизонтали и нестационарной среде решение будет зависеть как от "быстрых" (вертикальная координата), так и от "медленных" (время и горизонтальные координаты) переменных. Далее, как правило, решение ищется в "медленных" переменных, при этом те структурные элементы решения, которые зависят от "быстрых" переменных получаются в виде интегралов от некоторых медленноменяющихся функций вдоль пространственно-временных лучей. Данный выбор решения позволяет описать равномерную асимптотику полей внутренних гравитационных волн, распространяющихся в стратифицированных средах с медленноменяющимися параметрами, верную как вблизи, так и вдали от волновых фронтов отдельной моды. Если необходимо описать поведение поля только вблизи волнового фронта, то можно использовать один из методов геометрической оптики - метод «бегущей волны», а также слабодисперсионное приближение в виде соответствующих локальных асимптотик и искать представление для аргумента фазовых функций сг в виде сг = а(1,х,у)(Б^,х,у)-&)в'°, где функция 5(?,х,у) описывает положение волнового фронта и определяется из решения уравнения эйконала ЧгВ = сг(х,у^), где с(х,у,1) - максимальная групповая скорость

соответствующей моды, то есть первый член разложения дисперсионной кривой в нуле. Функция a(t,x,y) (второй член разложения дисперсионной кривой) описывает пространственно-временную эволюцию ширины импульса волн Эйри или Френеля и будет тогда определяться из некоторых законов сохранения вдоль характеристик уравнения эйконала, конкретный вид которых определяется физическими условиями задачи.

В разделе 3.2 рассмотрены негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах переменной глубины при движении источника возмущений в слое произвольно стратифицированной среды с медленноменяющимся дном. Полученные решения описывают дальнее поле как вблизи волновых фронтов каждой отдельной моды, так и вдали от волновых фронтов и представляют собой разложения по волнам Эйри или Френеля, аргумент которых определяется из решения соответствующего уравнения эйконала. Амплитуда волнового поля определяется из закона сохранения энергии вдоль лучевой трубки. Для модельных распределений формы дна и стратификации, описывающих типичную картину океанского шельфа, получены точные аналитические выражения для лучей и проанализированы особенности фазовой структуры волнового поля. Из линеаризованной системы уравнений гидродинамики в приближении Буссинеска имеем LW = SZ(x + Vt) S(y) S'(z - z0)

ДU + V — = 8(z - z0) V (S(x + Vt) 5{y)) dz

где V = (д/дх,д/ду), z0 и V - глубина и скорость движения источника возмущений. В качестве граничных условий на поверхности используется условие "твердой крышки", на дне z = -H(sx,£y) имеем условие непротекания: W = IN H(sx,sy), z = -H(sx,£y). Решение этой задачи, исходя из структуры равномерной асимптотики для Н{х,у) = const, будем искать в виде суммы мод, каждая из которых распространяется независимо

друг от друга ("адиабатическое приближение") и может быть представлена в виде следующих асимптотических

рядов: W = А{ех, sy, z, et )R0 (сг) + e°B(sx, еу, z, st)R, (<т) +..., U = U0 (ех, еу, z, et) Л, (a) е°~' + ... Функции S(sc, sy, et), А(ех, еу, z, et), U0(ex,ey,z,et) подлежат определению. Аргумент cr(x,y,t) считается порядка единицы. Функция R0( a) в зависимости от наличия однородного (нестратифицированного) подстилающего слоя выражается через функцию Эйри (мелкое море) или интегралы Френеля (глубокий океан). В дальнейшем, без ограничения общности, рассматривается возвышение T]{W = dt]/dt) негармонической волны Френеля. С точностью до членов

з _ у^г 3

порядка s2 имеем: £Л = -Л' ~JlS ——г+0(е2 ), откуда получаем при Je

ffVS

д2А ,/Аг2

= А = О, z = 0,-ff(x,y),

®

к (р,д) = -У5, ,у = 55/о/

Дисперсионная зависимость, обозначаемая далее через К(о,х,у), определяется из решения вертикальной этой спектральной задачи, а -спектральный параметр. Тогда для определения функции 5 имеем уравнение эйконала: |У8|2 = К2(со,х,у) - уравнение Гамильтона - Якоби с гамильтонианом |к|2 -К2(со,х,у), решаемое на характеристиках. Предполагая дисперсионную зависимость известной, получаем закон сохранения для определения амплитудной зависимости в виде :

—ЩРц/2К'шК~х) = 0, где — - производная вдоль характеристик эйконала, с^ dt

о

А(х,у,г,{) = ц/(х,у,а(х,у,Г)) /(х,у,г,т(х,у^)), | (№(2)-т2)/2<1г = 1

В - якобиан перехода от лучевых координат к декартовым. Полученный закон сохранения, в отличие от случая движения источника возмущений в

стратифицированной среде с плотностью р = p(x,y,z), можно трактовать как закон сохранения волновой энергии вдоль лучевой трубки. Действительно, из осредненных уравнений гидродинамики следует, что если невозмущенная плотность является функцией горизонтальных координат, то из существования стационарного распределения плотности p = p(x,y,z) следует существование стационарных течений. Однако вследствие медленности этих течений ими можно пренебречь в первом приближении. Поэтому обычно считается, что р = p{x,y,z) есть некоторое фоновое поле плотности, сформировавшееся под воздействием массовых сил и неадиабатических источников и задается a priori, например, из эксперимента. Поэтому вследствие неравновесности среды при р = р[х, у, z) поток энергии непостоянен вдоль лучевой трубки. Однако рассматриваемая система источник - неровное дно является консервативной, нет притока энергии извне, поэтому данный закон - есть закон сохранения волновой энергии вдоль лучевой трубки.

На рис.2 представлены результаты расчетов первой моды вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Френеля для параметров неровного дна, характерного для реального океана, из которых видно, что учет неровности дна при эволюции негармонических волновых пакетов приводит к существенным изменениям как фазовых (искривление лучей), так и амплитудных волновых характеристик Численных расчеты показывают, что с ростом фазы расширяется зона проникновения лучей, и с увеличением расстояния от источника возмущений в приходящем волновом поле уменьшается доля низкочастотных составляющих, т.е. волн Френеля с малыми значениями фазы (групповая скорость уменьшается с ростом частоты) и выбранной зависимостью рельефа дна (групповая скорость растет с удалением от берега), и относительно высокочастотные компоненты поля с меньшей групповой скоростью имеют возможность распространяться на большие расстояния, чем низкочастотные.

^ЩЩ-А

у/км

0.6

0.2

10"5, лг/с

-1(У5,м/с

5, км

Рис.2. Первая мода вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Френеля над ровным (А) и неровным (Б) дном

В разделе 3.3 изучаются негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали стратифицированных средах и построены равномерная и локальная асимптотики дальнего поля внутренних гравитационных волн в стратифицированных, неоднородных по горизонтали средах. С помощью метода "бегущей волны", являющегося модификацией метода геометрической оптики, решается задача о распространении внутренних гравитационных волн Эйри и Френеля в среде с неоднородным по горизонтали полем плотности. Рассматриваться только пространственная область вблизи волнового фронта, т. е. используется приближение слабой дисперсии.

Под волной Эйри в данном разделе понимается следующее асимптотическое решение уравнения внутренних гравитационных волн для отдельной моды возвышения т] в горизонтально-однородном стратифицированном слое 0<г<-Н с частотой Брента-Вяйсяля /-ст./

1=<?РЛ Л

(ЗАО

1/3

g„(z)> ёЛ2) и <?„ - собственные функции и

а я

собственные числа задачи: —— +a2nN2(z)gn=0, gr=0 (г = О,-Я).

с/г2

Коэффициенты а„, Д, есть первые два коэффициента разложения дисперсионной кривой кп(со) = ст^а + 0псу3+-- в нуле, / = хсозб + уэт©, 0 - угол распространения волны с осью х.

Под волной Френеля понимается асимптотическое решение уравнения внутренних гравитационных волн для возвышения 77 в горизонтально-однородном стратифицированном слое 0 < г < -к с частотой Брента-Вяйсяля

Л^2(г), лежащем на однородном слое бесконечной толщины с Ы2{г) = 0 : (

/7 = Яе

(гЛ'"1 Ф'

V

где <7„ (г) и Хп - собственные функции и

собственные числа задачи:

^ +Л2 Ы2 (*)<!„ = О, д„=0 (г = 0), ^ = 0 = Коэффициенты

с/г2 ж

Л„, у, - первые два коэффициента разложения дисперсионной кривой кГ!((о) = Лпе) + упю2 +•■• в нуле. Уравнение для определения возвышения

Э2

имеет вид: —-

8е

а ^ Д +-г

дг2

г? = В А(ф^гаг/ 1п /?), вектор скорости

и = (и^,иг,Ж) выражается через потенциал <р = {<р,,<р2,г]} следующим образом: С/= Зф/Эл Решение для возвышения негармонической волны Френеля ищется в виде : 77 = Яет]', где

аргумент г = а(ех,еу)[&-8(вс,Еу)]£~112 считается порядка единицы, параметр £ характеризует "медленные переменные", функция в определяет положение волнового фронта при г-0, функция а описывает эволюцию ширины импульса волны Френеля. На поверхности г = 0 ставится граничное условие "жесткой крышки" т] = 0, на границе стратифицированного слоя 2 = -к - граничное условие, обеспечивающее экспоненциальное затухание решения с глубиной, \д^/дг\ = \Ч?]\. В первом приближении по е можно

получить:фЛ ~-Аг +0(1), срк = {<р{,(р2}. Тогда для

аые

определения функции Б имеем уравнение эйконала с известной правой частью: = Л(х,у) = с~1(х,у), на характеристиках которого имеем закон сохранения для определения амплитудной зависимости:

-^-(В()р~*а~2с~1) = 0, 6=) ^(г,х,у)А2ск, х = где <Ийт -

¿г 2

производная вдоль характеристик, Б - якобиан преобразования от координат х,у к лучевым координатам.

Решение для возвышения г] негармонической волны Эйри ищется в виде: г] = А(ех,еу,г)(г) + егпС(£х,£у,г)(г) + 0(е,1г), Я0(г) = А1(г). Для

определения функции Э уравнение эйконала: ¡У^) = а(х,у), на

характеристиках которого выполнен закон сохранения:—(£>ОаГ2<т) = 0.

йт ~

В разделе 3.4 методом "бегущей волны" решена задача о распространении негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в нестационарных стратифицированных средах. Рассматривается распространение внутренних гравитационных волн в нестационарных средах, параметры временной изменчивости которых имеют период изменения сутки и более, что позволяет использовать приближение геометрической оптика. Система линеаризованных уравнений гидродинамики, когда невозмущенная плотность зависит от переменных г и г, сводится к уравнению (1), которое отличается от обычного уравнения внутренних гравитационных волн в стационарной среде только параметрическим вхождением времени г в частоту Брента-Вяйсяля:^2 =Лг2(2,а). Рассматривается время близкое ко времени прихода фронта волны, обозначаемого в дальнейшем через г, то есть используется слабодисперсионное приближение. Решение для негармонической волны Эйри ищется в виде

+ е'

дт дт

ад+ ?2'),

где /7 = 2/3; г = г(ас,£у); Яа(ср) = А1'((р) - производная функции Эйри, ар1умент которой (р = а(ех, еу)(& - т(ех, £у))£~р порядка единицы. Функция т описывает положение волнового фронта, функция а - эволюцию ширины волны Эйри, малый параметр в характеризует "медленные переменные". Так как рассматриваются только "медленные времена" й, близкие ко времени прихода волнового фронта т, то все функции, стоящие перед функциями ^, представляются в виде рядов по степеням в том числе:

N2(z,et) = N2(z,z) +

5N2(z, z)t dz

(et -1) + 0(e2p). Собственные функции

собственные числа Я(т) = |Уг[ задачи:

dz2

+ \Vt\2 N2(Z,T)A = 0,

А = 0, г = 0, - Я, предполагаются известными, тогда для определения г имеем уравнение эйконала, на характеристиках которого выполняется закон Ч'с'Я

сохранения:

а

■ = const, с(г) = Я~ (г) - максимальная скорость длинных

гравитационных волн, геометрическая расходимость лучей Я связана с якобианом О, описывающим переход от пространственных переменных к лучевым координатам посредством соотношения: И = Я с. На характеристиках эйконала уравнение для определения а сводится к йа 1 dЯ(z)

уравнению Бернулли--ь

вид: a(x,y) = c(z)

dz Л(т) dr

-5 '(».Я

^ \a{t)c\t)dt

~ 'а ('.У)

-а = -а4а(г), решение которого имеет

Решение для возвышения негармонической волны Френеля 77 ищется в виде: г] = Яе?]', т]' + + Т}1+ 0(б2р)

7] =

А(ех, еу, т, z) + —-■ ' {st-z) + -dz

R*{<p)

T}2 = iep

r? = iep

B{^ey,r,z)+8B{£Xf'r'Z\st-z) + .

C(£x,sy,z,z) +

dz

dC(£x,sy,z,z) дт '

(st - r) + •

Ш R.M

здесь р = 1 / 2, Я0(<р) = Ф'(<р)- На характеристиках соответствующего

ШсЯ

уравнения эйконала верен закон сохранения:

а

--const, функция а

будет

решением соответствующего уравнения Бернулли

сс(х,у) = с(т)

'('.У)

Jb(t)c3(t)dt

,b(z) = f2(-H,z).

600

Рис.3. Первая мода вертикальной скорости внутренней гравитационной волны Эйри в различные моменты времени (г = 1500с - верхний рисунок, т = 3500 с - нижний).

Для численных расчетов использовались данные об изменчивости частоты Брента-Вяйсяля в реальных условиях Черного моря. На рис.3 представлены результаты расчетов вертикальной скорости, иллюстрирующие эволюцию во времени волновых полей в движущейся вместе с источником возмущений системе координат. Очевидно, что при отсутствии изменчивости частоты Брента-Вяйсяля во времени подобная волновая координат была бы стационарной.

Приложение посвящено краткому изложению неспектральных алгоритмов анализа натурных измерений негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в океане, позволяющих определить характеристики волновых цугов составляющих измеренные гидрофизические поля: скорости и направления распространения, формы, а также параметры океана вдоль трассы распространения этих волновых цугов. Проблема анализа данных натурных измерений внутренних волн на фоне больших помех вплотную примыкает к рассмотренным задачам математического моделирования волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Исходя из полученных теоретических результатов, можно предположить, что ожидаемые измеренные волновые цуги должны быть широкополосными, то есть относительно короткими и состоять из сравнительно небольшого числа осцилляции, и в этой ситуации традиционные методы пространственно-временного спектрального анализа могут оказаться неприменимыми. Рассмотрены новые алгоритмы анализа натурных наблюдений, позволяющие выделять относительно короткие цуги внутренних гравитационных волн для определения характеристики этих волновых цугов, источников их возбуждения и параметров, океана вдоль трассы распространения данных волновых пакетов.

В основе предложенных алгоритмов лежит предположение о том, что измеренное волновое поле есть сумма относительно небольшого числа плоских волновых цугов, обладающих определенной скоростью и направления распространения, параметры которых определяются на основе результатов

математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в океане, изложенных в настоящей работе. Для определения параметров негармонических волновых пакетов предложено исследовать некоторые функционалы, что позволяет в случае наличия в натурных данных устойчивых волновых цугов определить их характеристики. Для численного анализа были использованы результаты измерений компонент скорости течения, полей температур и других характеристик волновых полей, полученных в эксперименте "Мезополигон" (тропическая часть восточной Атлантики), на шельфе Западной Сахары, Черного моря. Полученные результаты показывают, что, действительно, исследование предложенных функционалов позволяет с достаточной степенью точности определять время существования устойчивых волновых цугов, а также их параметры, в том числе при наличии существенных помех. Сравнения с результатами обычного пространственно-временного спектрального анализа тех же натурных данных демонстрирует совпадение определяемых различными методиками основных волновых характеристик.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные публикации по теме диссертации. Монографии.

1. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. - М.: Наука, 2005. - 195 с.

2. Bulatov V.V., Vladimirov V.V. Internal gravity waves: theory and applications. - M.: Наука, 2007. - 304 с.

Статьи в журналах из списка ВАК.

3. Боровиков В.А., Булатов В.В. О границах применимости асимптотических формул для поля внутренних волн, возбуждаемых движущимся источником // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана.1986, Т.22, № 6, С.658-661.

4. Боровиков В.А., Булатов В.В., Кельберт М.Я. О промежуточной асимптотике дальнего поля внутренних волн в слое стратифицированной жидкости, лежащем на однородном слое // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988, № 3, С.158-162.

5. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Левченко Е.С. О расчете поля внутренних гравитационных волн, генерируемых неподвижным источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989, № 4, С.58-61.

6. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Ближнее поле внутренних гравитационных волн, возбуждаемых источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 1, С.24-28.

7. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны, возбуждаемые источником в стратифицированных неоднородных по горизонтали средах // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991, № 1, С.124-128.

8. Булатов В.В. Установившееся движение стратифицированной жидкости над неровным дном // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 5, С.34-39.

9. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Исаев И.Л., Ломанов Ю.П., Фрост В.А. Обработка и анализ измерений внутренних волн в районе шельфа Западной Сахары // Океанология. 1993, Т.ЗЗ, № 4, С.532-535.

10. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете поля внутренних гравитационных вон при произвольном нестационарном движении источника// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1995, №3, С.174-177.

11. Borovikov V.A., Bulatov V.V., Vladimirov Y.V. Internal gravity waves excited by a body moving in a stratified fluid. // Fluid Dynamics Research, 1995, №5, P.325-336.

12. Боровиков B.A., Булатов B.B., Морозов Е.Г., Тамайо Р.Г. Неспектральное и спектральное исследование распространения приливных внутренних волн в

океане (на примере эксперимента «Мезополигон») //Океанология, 1998, Т.З, №38, С.343-348.

13. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Равномерная асимптотика дальнего поля внутренних гравитационных волн при движении источника в слое стратифицированной жидкости с плавноменяющимся дном// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1998, №3, С.111-120.

14. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Об асимптотике критических режимов генерации внутренних гравитационных волн// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2000, №5, С.124-128.

15. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете собственных функций и дисперсионных кривых основной вертикальной спектральной задачи уравнения внутренних гравитационных волн // Математическое моделирование, 2007, Т.19, №2, С.59-68.

16. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны при критических режимах генерации и в окрестности траекторий движений источников // Журнал прикладной механики и технической физики, 2008, Т.49, № 5.С.70-79.

17. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О моделировании полей внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений // Математическое моделирование, 2008, Т.20, №8, С.3-12.

18. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Модифицированная функция Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды с постоянным сдвиговым течением // Прикладная математика и механика, 2008, Т.72, №5, С.727-733.

Статьи в рецензируемых журналах.

19. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в неоднородной по горизонтали среде // Морской гидрофизический журнал, 1989, № 6, С.14-19.

20. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в нестационарных средах // Морской гидрофизический журнал, 1990, № 5, С.13-18.

21. Булатов В.В., Ваньян П.Л., Владимиров Ю.В., Морозов Е.Г. Распространение внутренних приливных волн в северо-западной части Тихого океана // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и информатика, 2000,T.I, С.112-117

22. Bulatov V.V. Non-spectral methods of analysis of the internal gravity waves measurements in ocean // Cornell University Library, 2007, E-Print Archive, Paper ID: physics/0707.1704, http://arxiv.org/abs/0707.1704

23. Bulatov V.V. Dynamics of nonharmonic internal gravity wave packets in stratified medium // Cornell University Library, 2008, E-Print Archive, Paper ID: physics/0808.0668, http://arXiv.org/abs/0808.0668

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ И ДИНАМИКИ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ.

1.1 Внутренние гравитационные волн в слое вертикально стратифицированной среды: исходные уравнения, постановка! задачи, I интегральные формы решений вдали от локальных источников возмущений.

1.2 Негармонические пакеты-внутренних гравитационных волн вдали от источников возмущений.

1.3 Негармонические пакеты внутренних- гравитационных волн вблизи от источников возмущений.

1.4 Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в окрестности траекторий движения источников возмущений.

1.5!Модифицированная функция Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной'среды с постоянным сдвиговым течением.

1.6 Критические режимы генерации негармонических* пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ И ДИНАМИКИ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН; ВОЗБУЖДАЕМЫХ НЕЛОКАЛЬНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ВОЗМУЩЕНИЙ.

2.1 Численные методы решения основных вертикальных спектральных задач' уравнения внутренних гравитационных волн: расчет собственных функций и* дисперсионных кривых.

2.2 Численное моделирование генерации и динамики негармонических пакетов внутренних, гравитационных волн» от произвольных нелокальных источников возмущений.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ ПО ГОРИЗОНТАЛИ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ.

3.1 Основные понятия и обобщение пространственно-временного лучевого метода (метода геометрической оптики).

3.2 Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах переменной глубины.

3.3 Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали стратифицированных средах.

3.4 Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн в нестационарных стратифицированных средах.

Актуальность исследования. В настоящее время наблюдается рост интереса к математическому моделированию динамики волновых движений различных неоднородных природных стратифицированных сред, обусловленный проблемами геофизики, океанологии, физики атмосферы, охраны и изучения окружающей среды, эксплуатации сложных гидротехнических сооружений, в том числе морских нефтедобывающих комплексов и рядом других актуальных задач науки и техники. Этот интерес обусловлен не только практическими потребностями, но и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем математического моделирования. Изучение волновых процессов в неоднородных стратифицированных природных средах превратилось в быстро развивающуюся область, причем результаты этих исследований важны как с фундаментальной точки зрения, так и для технических приложений. Новые экспериментальные и технические возможности стимулируют работу по математическому моделированию и асимптотическому исследованию волновой динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. При этом в основе » анализа, как правило, лежат асимптотические методы, что позволяет на базе изучения невозмущенных уравнений формировать соответствующие асимптотические разложения, учитывающие неоднородность и нестационарность природных стратифицированных сред.

Вопросам динамики внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах посвящено значительное число работ как отечественных (И.В.Стурова,

B.Ф.Санников, В.А.Боровиков, Э.В.Теодорович, В.А.Городцов, А.М.Тер-Крикоров, К.А.Бежанов, Ю.З.Миропольский, А.Г.Воронович, Ю.Д.Чашечкин, Е.Г.Морозов,

C.А.Габов, А.Г.Свешников, Л.В.Черкесов и др.), так и зарубежных (J.Lighthill, J.Miles, J.B.Keller, B.Voisin, E.Kallen, S.A.Thorpe, T.Miloh, E.J.Hopfinger, M.Gitterman и др.) авторов. Основное внимание в настоящее время уделяется экспериментальному исследованию динамики внутренних волн, детальному теоретическому рассмотрению динамики линейных внутренних гравитационных волн в средах с модельными распределениями плотности, а также прямому численному моделированию соответствующих уравнений гидродинамики. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики.

Для детального описания; широкого круга физических явлений, связанных с волновой; динамикой стратифицированных, неоднородных по горизонтали; и нестационарных сред, необходимо исходить из достаточно развитых математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными, нелинейными, многопараметрическими, и для их полного исследования эффективны лишь численные методы. Однако в ряде случаев адекватное первоначальное качественное представление об изучаемом■ круге явлений можно получить на основе: более простых асимптотических моделей и аналитических методов их исследования. В этом отношении весьма характерны задачи математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, и даже в рамках линейных моделей* их решения: достаточно своеобразны и определяют наряду с нетривиальными" физическими следствиями; и самостоятельный математический интерес

Цель исследования;Цельюдиссертации является;решение следующих фундаментальных проблем: математическое моделирование динамики природных стратифицированных сред, связанной с теоретическим изучением процессов; возбуждения, распространения, критических явлений: при? эволюции: негармонических; пакетов > внутренних гравитационных волн в. неоднородных и? нестационарных стратифицированных природных средах; численное моделирование динамики негармонических- пакетов; внутренних гравитационных волн; разработка асимптотических методов для математического моделирования особенностей распространения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в, неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; разработка алгоритмов интерпретации натурного наблюдения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн на основе предложенных математических моделей.

Научная новизна. Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Построена; аналитически и численно исследована математическая модель генерации и динамики; негармонических пакетов внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений в произвольно стратифицированных средах и созданы эффективные численные, алгоритмы расчета волновых полей: в различных пространственныхзонах.

2. Разработаны и реализованы численные методы решения» основных вертикальных спектральных, задач . уравнения внутренних гравитационных волн, расчетов собственных функций и; дисперсионных кривых для произвольно стратифицированных сред, а также; расчета многократных квадратур с быстроосцнллирующими фазовыми функциями и подынтегральными функциями, имеющими различные особенности

3. Решена задача математического моделирования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах как вблизи, так и вдали от источников возмущений, в том числе при критических режимах возбуждения волновых полей Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии применимости полученных асимптотических и аналитических представлений решений.

4. Разработан модифицированный пространственно-временной лучевой метод, на основе которого аналитически и численно исследованы задачи об эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных природных стратифицированных средах, получены асимптотические представления, описывающие особенности амплитудно-фазовых характеристик волновых полей с учетов реальной изменчивости природных сред и согласующиеся с результатами натурных наблюдений.

Методы исследования. В основу исследования математических моделей положены аналитические и численные методы решения краевых задач, аппарат функции Грина, асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, методы возмущений и малого параметра, приближенные методы теории функций комплексного переменного. Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды, а также применением современных методов асимптотического и численного анализа, сравнением получаемых решений с данными натурных измерений и результатами, известными в литературе.

Научно-практическая значимость работы. Предложенные в работе методы и подходы к исследованию динамики и генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн сочетают сравнительную простоту и вычислительную мощность аналитических результатов, возможность их качественного анализа и точность численных результатов, кроме того, имеется возможность проверки истинности используемых гипотез и приближений на основе анализа реальных океанологических данных, в то время как точные аналитические решения для модельных задач не позволяют применить полученные результаты, например, для анализа задачи с реальными параметрами среды, а точный численный расчет для одной конкретной реальной среды не дает возможности качественного анализа среды с другими реальными параметрами. Построенные в работе асимптотические представления в виде соответствующих модельных функций могут быть использованы и для исследования любых других волновых процессов (акустические и сейсмические волны, СВЧ-излучение, волны цунами и т.п.) в реальных средах со сложной структурой. Все фундаментальные результаты получены для произвольных распределений плотности и других параметров неоднородных сред, и, кроме того, основные физические механизмы формирования изученных явлений динамики внутренних гравитационных волн в неоднородных стратифицированных средах рассматривались в контексте имеющихся данных натурных измерений.

Универсальный характер, предложенных методов математического моделирования негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, дополняется универсальными же эвристическим условиями применимости этих методов. Эти критерии обеспечивают внутренний контроль применимости использованных асимптотических методов, и в ряде случаев на основе сформулированных критериев удается оценивать волновые поля там, где данные методы неприменимы. Тем самым открываются широкие возможности анализа волновых картин в целом, что важно как для правильной постановки теоретических исследований, так и для проведения оценочных расчетов при натурных измерениях I негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Особая роль данных методов обусловлена тем обстоятельством, что параметры природных стратифицированных сред, как правило, известны приближенно, и попытки точного численного решения исходных уравнений с использованием таких параметров могут привести к потере точности.

Разработанные методы математического моделирования динамики и генерации негармонических пакетов внутренних гравитационных волн могут быть использованы при решении широкого круга интересных физических проблем, вполне адекватно описываемых этими методами, так как многочисленность задач такого рода связано с разнообразием природных неоднородных и нестационарных стратифицированных сред. Значение предложенных методов анализа волновых полей определяется не только их' наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что они могут явиться некоторой полуэмпирической основой других приближенных методов при математическом моделировании негармонических волновых пакетов иной физической природы.

Полученные результаты, а также разработанные методы могут быть использованы специалистами в области численного моделирования неоднородных сред, геофизической гидродинамики, океанологии, морской гидротехнике, при строительстве сложных морских гидротехнических сооружений, а также при решении различных задач прикладной математики и математической физики. Представленные в диссертации результаты получены в процессе исследований по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований №96-0101120 «Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах: генерация, распространение, анализ результатов измерений», №98-05-64606 «Пять подходов к изучению приливных внутренних волн в Северной части Тихого океана», №99-01-00856 «Критические явления при генерации и распространении внутренних гравитационных волн в неоднородных средах: теория и натурные наблюдения», №93-013-17702 «Асимптотические методы в линейных и нелинейных задачах гидро- и газодинамики», №96-01-00937 «Сингулярные асимптотические решения линейных и нелинейных уравнений гидро- и газодинамики», проекту INTAS № 94-2187 «Nonlinear and singular partial differential equations and applications», проектам International Science Foundation №№M3L000, M3L300 «The evaluation of fields excited by oscillating sources moving in stratified fluids and in general dispersive media: the construction of the uniform asymptotic and the creation of the effective computer programs», а также в рамках выполнения Федеральной целевой программы «Мировой океан», программы Министерства науки РФ "Комплексные исследования океанов и морей, Арктики и Антарктики" (проект "Волны в океане"), программы №17 Президиума РАН «Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология».

Апробация результатов исследования. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Института проблем механики РАН, Института высоких температур РАН, Института океанологии РАН, физического факультета МГУ, международных конференциях и симпозиумах:

19th Session scientific and methodological seminar on ship hydrodynamics SMSSH-90, 1-6 October 1990, Varna, Bulgaria;

First International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 23-26 April 1991, Strasbourg, France;

First European Fluid Mechanics Conference, September 1991, Cambridge, Great Britain; Second International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation (SIAM), 7-10 June 1993, Newark, Delaware, U.S.A.;

Международная конференция "Asypmtotics in Mechanics", 14-17 August 1994, С.Петербург;

Third International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Wave

Propagation(SIAM-INRIA), 24-28 April 1995, Mandelieu, France;

23nd General Assembly of European Geophysical Society, 20-24 April 1998, Nice, France;

Fourth International Conferences on Mathematical and Numerical Aspects of Wave

Propagation (SIAM-INRIA), 1-5 June 1998, Golden, Colorado, U.S.A.;

Twenty-Second Symposium on Naval Hydrodynamics, 9-14 August 1998, Washington,

D.C., U.S.A.;

XIV General Assembly of European Geophysical Society, 19-23 April 1999, Hague, Netherlands;

4th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics ICTCA-99, 10-14 May 1999, Trieste, Italy;

Международная конференция "Современная теория фильтрации", 6-8 сентября 1999 , Москва;

Международная конференция "Fluxes and Structures in Fluids", 20-22 июня 2001, Москва; Sixth International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM-2008, 16-20 September 2008, Psalidi, Kos, Greece.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 68 работ, в том числе две монографии и 16 публикаций в ведущих рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя. Все изложенные в диссертации результаты принадлежат автору, в постановке ряда задач принимали участие проф., д.ф.-м.н. В.А.Боровиков, к.ф.-м.н. Ю.В.Владимиров, которым автор выражает искреннюю признательность. Результаты диссертации соответствуют специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», так как основным содержанием работы является разработка фундаментальных основ и применение математического моделирования для решения задач динамики природных стратифицированных сред, связанной с теоретическим изучением процессов возбуждения, распространения, критических явлений при эволюции негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; численных методов исследования генерации и динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн, исследование с помощью асимптотических методов математических моделей, описывающих особенности распространения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах. Областями исследований диссертации являлось разработка новых математических методов моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах; развитие качественных и приближенных (асимптотических) аналитических методов исследования математических моделей, описывающих эволюцию негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных и нестационарных стратифицированных природных средах в приближении геометрической оптики; разработка, обоснование и программная реализация эффективных алгоритмов численного решения основных вертикальных спектральных задач, позволяющие, с использованием аналитических свойств дисперсионных кривых для произвольных распределений плотности стратифицированной среды, рассчитывать дисперсионные кривые и собственные функции, а также численного расчета многомерных квадратур, имеющих особые точки фазовых и амплитудных функций, опирающиеся на модифицированный метод Филона; разработка алгоритмов интерпретации натурного наблюдения негармонических пакетов внутренних гравитационных волн на основе предложенных математических моделей. Краткий обзор результатов, относящихся к теме диссертации Под стратифицированной средой как правило понимается среда, физические характеристики которой (плотность, динамическая вязкость и другие) в стационарном состоянии меняются лишь вдоль некоторого выделенного направления. Стратификация природных сред (океан, атмосфера) может быть вызвана различными физическими причинами, наиболее часто встречающейся из них является сила тяжести. Эта сила создает в стратифицированной среде такое распределение ее частиц, растворенных в ней солей и взвешенных суспензий, при котором возникает неоднородность среды вдоль направления гравитационного поля. Такая неоднородность называется плотностной стратификацией. Стратификация плотности, как показывают экспериментальные и натурные наблюдения, оказывает наиболее существенное влияние по сравнению с другими видами стратификации на динамические свойства среды и на процессы распространения в ней волновых движений. Вследствие этого при рассмотрении волновых возмущений в стратифицированных средах обычно пренебрегают всеми видами стратификации, кроме плотностной, и под стратифицированной средой понимается среда с плотностной стратификацией, вызванной силой тяжести [9, 20, 44, 45, 48, 70, 73, 75-77, 85, 88-90, 96, 98, 111, 112, 116, 117, 125-128, 155, 182, 196, 207, 214, 258, 261, 268, 288, 289, 295, 303, 306, 326, 341].

Стратификация, или слоистое строение природных сред (океан и атмосфера) приводит к возникновению внутренних гравитационных волн, играющих заметную роль в различных океанических процессах и оказывающих влияние на горизонтальные и вертикальные динамические обмены. Периоды внутренних волн могут составлять от нескольких минут до нескольких часов, длины волн достигать десятков километров, а их амплитуды могут превышать десятки метров. Физический механизм образования внутренних волн является достаточно простым: если в устойчиво стратифицированной среде возникло возмущение, которое вывело частицу из положения равновесия, то под действием силы тяжести и плавучести частица будет совершать колебания около положения равновесия [9, 20, 44, 45, 48, 70, 73, 75-77, 85, 88-90, 96, 98, 111, 112, 116, 117, 125-128,155, 182, 196, 207, 214, 258, 261, 268, 288, 289, 295, 303, 306, 326, 341].

Теория волновых движений стратифицированной среды — раздел современной гидродинамики, быстро развивающийся в последнее время, весьма интересный в теоретическом отношении и связанный с важнейшими приложениями в- технике (гидротехнике, судостроении, мореплавании, энергетике) и в геофизике (океанологии, метеорологии, гидрологии, охране окружающей среды). В настоящее время большинство прикладных задач, посвященных генерации волн различными возмущениями, решаются, как правило, в линейной постановке, т. е. в предположении, что амплитуда волновых движений мала по сравнению с длиной волны. Относительная простота решения линейных уравнений по сравнению с полной нелинейной задачей, современное развитие соответствующего математического аппарата и вычислительной техники позволяют ответить на многие запросы практики [6, 9, 20, 44, 45, 48, 54, 55, 70, 73, 75-77, 85, 88-90, 96, 98, 111, 112, 116, 117, 125-128, 143, 155, 182, 196, 207,214, 258, 261,268, 288, 289, 295. 303, 306, 326, 341].

Первоначально теория волновых движений стратифицированной жидкости развивалась как теория поверхностных волн, описывающая поведение свободной поверхности жидкости, находящейся в поле силы тяжести. Позднее было понято, что поверхностные волны являются частным примером волн, существующих на границе раздела жидкостей различной плотности, которые, в свою очередь, представляют частный случай внутренних волн в неоднородной (стратифицированной) по плотности среде. В реальных природных средах неоднородное распределение плотности может иметь место, как в вертикальном, так и в горизонтальных направлениях, при этом учет неоднородности среды как по вертикали, так и по горизонтали, а также ее нестационарности, при исследовании распространения внутренних гравитационных волн требует использования специального математического аппарата. Как правило, рассматривается только случай изменения плотности по вертикали, при этом предполагается, что распределение плотности является устойчивым, т. е. плотность не убывает с глубиной [6-10, 13, 51, 52, 55-58,61-64, 67, 85, 88, 89, 104-106, 111, 114-116, 134-139, 177-181, 193, 195, 231,232, 270273, 288, 289, 303, 324-326, 338-341].

Причины возникновения поверхностных и внутренних волн в океане и атмосфере очень разнообразны: колебания атмосферного давления, обтекание неровности дна, движение надводного или подводного корабля, деформация в поле плотности, образующиеся по каким-либо причинам турбулентные пятна, подвижка дна или подводное землетрясение, надводный или подводный взрыв и т. п. Одним из механизмов генерации внутренних гравитационных волн может являться, например, возбуждение волновых полей при движении (обтекании) твердых тел, пятен турбулентности, водных линз и иных неволновых образований с аномальным характеристиками [9, 11, 44, 48, 53, 84, 90-92, 96, 98, 112, 139, 180, 192, 208-210, 225, 235-237, 251, 259, 260, 292-294, 302, 309, 312, 316, 317, 319, 334-340]. При решении задач о генерации внутренних волн, например, потоком стратифицированной жидкости, обтекающим некоторое нелокальное препятствие, наиболее распространенным является два способа. Первый заключается в численном решении линеаризованной системы уравнений гидродинамики, описывающей внутренние волны, к недостаткам которого следует отнести ограниченность области интегрирования пространства, в котором возможно численное решение задачи. Второй способ состоит в том, чтобы заменить функцию, описывающую форму нелокального источника, или функцией, имеющей достаточно простой вид, или системой точечных источников, взятых с некоторым весом. Очевидно, что при решении задачи таким способом возникает проблема оценки границ применимости использования различных упрощающих аппроксимаций обтекаемого препятствия [6-10, 51, 52, 55-58, 60-64, 75, 102, 111, 112, 114-115, 219, 222, 227, 228, 232, 241, 249, 251, 268, 269, 273, 311-317, 324, 325, 341].

Основная характеристика стратифицированной среды - частота плавучести или частота Вяйсяля—Брента N(z) имеет фундаментальное значение в теории внутренних гравитационных волн. Величина T=27r/N определяет период Вяйсяля—Брента. Для реального океана и атмосферы величина Т меняется от минут до нескольких часов, а для стратифицированной жидкости, созданной в лаборатории, может составлять несколько секунд [44, 53, 65, 68-70, 85, 90, 122-124, 127, 180, 192, 214, 258, 261, 288, 312, 334]. Эффекты сжимаемости, вязкости, диффузии, вращения реальных стратифицированных сред, влияющие на волновую динамику внутренних гравитационных волн исследованы как теоретически, так и экспериментально в большом числе работ [68, 69, 81, 96, 122-124, 134-139, 176-191, 202-204, 208, 209, 211, 212, 234-238, 259, 260. 270, 271, 302, 304, 323, 334, 335].

Однородность уравнений линейных внутренних гравитационных волн и их краевых условий по переменным горизонтальным переменным и времени позволяет искать элементарные волновые решения в виде плоских волн, откуда получаются являются соответствующие задачи на собственные значения, в результате решения которых находится система собственных значений (дисперсионные зависимости) и собственных функций для каждого фиксированного значения волнового числа к. Спектр таких задач всегда дискретен, т. е. система обладает счетным числом мод, каждой из которых соответствует свой закон дисперсии. В том случае, когда глубина стратифицированной среды является бесконечной и отличие функции N(z) от нуля имеет место также на неограниченном интервале, наряду с дискретным существует и непрерывный спектр [20, 77, 85, 88-90, 108, 109, 112, ИЗ, 155, 261, 288, 329-331 ].

Знание дисперсионных зависимостей и их свойств имеет первостепенное значение при исследовании линейных гравитационных волн. Основные свойства собственных значений и собственных функций задач хорошо изучены [85, 88-90, 112, 155, 261, 288 ]. Собственные функции рассматриваемых задач распадаются на два класса. Первый представлен одной собственной функцией, монотонно и довольно быстро убывающей с глубиной. Эта собственная функция слабо зависит от условий стратификации и описывает поверхностную волну. Все остальные собственные функции соответствуют нормальным модам внутренних гравитационных волн. Для непрерывно стратифицированной жидкости конечной глубины как для поверхностной, так и для внутренних волн характерно монотонное увеличение частоты со отдельной моды с ростом волнового числа, монотонное уменьшение фазовых скоростей с ростом к и при увеличении номера моды, а также превышение фазовых над групповыми скоростями. Максимальные значения фазовых и групповых скоростей совпадают и имеют место при малых волновых числах. Существенное отличие поверхностной волны от внутренних состоит в том, что в коротковолновой области частота поверхностной волны неограниченно возрастает, тогда как для внутренних волн она стремится к максимальному значению частоты Брента-Вяйсяля [70, 88-90, 116, 261, 288 ].

Для численного решения вертикальной спектральной задачи используются, различные способы аппроксимации распределения »N(z). В-том случае, если в каждом слое разбиения используется кусочно - постоянная аппроксимация N(z), то решение в каждом слое выражается через тригонометрические и гиперболические функции, если распределение N(z) аппроксимируется кусочно- линейно функцией, то решения в слоя определяются через функции Эйри. Иногда также используется преобразование Прюфера, позволяющее свести спектральную задачу к нелинейному уравнению первого порядка [20, 112].

В силу линейности рассматриваемых задач, поле внутренних гравитационных волн, возбуждаемых нелокальным? источником: возмущений в стратифицированной жидкости выражается , через функцию Грина уравнениям внутренних волн. В большом числе работ были построены точные интегральные представления функции; Грина уравнения* внутренних волн, а также асимптотические представления функций Грина, позволяющие описывать как ближнее, так и дальнее волновое поле [6-8, 10, 55-58, 61-64, 104-106, 114, 115, 219, 329-331]. В, [249] были предложены методы численных расчетов полей внутренних гравитационных волн, генерируемых движущимся нелокальным источником возмущений произвольной формы. Решение задачи о поле внутренних волн, возбуждаемых нелокальным источником представляет собой; как правило, сумму трехкратных квадратур с быстроосциллирующими фазовыми функциями. Для исследования подобного рода квадратур, обычно предполагается, что форма нелокального источника возмущений описывается достаточно простой функцией (сфера, цилиндр, овоид и т.п.), и, кроме того, используется предположение об экспоненциальной зависимости плотности от глубины [6-8, 10, 55-58, 67, 96, 111, 112, 125, 126]. В этом случае удается исследовать поученные решения аналитически. Достаточно много работ посвящено точному численному исследованию соответствующих линеаризованных уравнений гидродинамики, однако для расчета дальних полей внутренних гравитационных волн использование только численных методов представляется неэффективным [ 9, 60, 96, 102, 194, 221-226, 249, 256, 278, 294, 296-301, 307, 314, 334 ].

На распространение внутренних гравитационных волн в стратифицированных природных средах (океан, атмосфера) оказывает влияние горизонтальная неоднородность и нестационарность параметров природных сред [48-50, 65, 83, 85, 90-92, 103, 127, 207, 214, 261, 268, 269, 288]. К числу наиболее характерных горизонтальных неоднородностей реального океана можно отнести изменение рельефа дна, неоднородность поля плотности и изменчивость средних течений. Точное аналитическое решение задачи о распространении внутренних гравитационных волн в стратифицированных по вертикали, горизонтально неоднородных и нестационарных средах, методом разделения переменных возможно получить только в том случае, если распределение плотности и форма дна описываются достаточно простыми, модельными функциями. Когда форма дна и стратификация, произвольны, возможно построить только асимптотические представления решения в ближней и дальней зонах, однако для описания поля внутренних волн между этими зонами необходимо точное численное решение задачи. Если, например, глубина океана и его плотность меняется медленно по сравнению с характерной длиной внутренних волн, что неплохо выполняется в реальном океане, то при, решении задачи о распространении внутренних волн над переменным дном можно использовать метод асимптотический метод — метод геометрической оптики или его модификации [49, 50, 72, 85, 133, 199, 252-255, 285, 286, 288, 289].

Общим вопросам применения пространственно-временного лучевого метода при исследовании волновой динамики в различных диспергирующих средах посвящено значительное число работ [1-5, 54, 72, 86, 87, 97, 100, 107, 110, 113, 118, 121, 133, 181, 326, 333]. При использовании полученных асимптотических представлений волнового поля на больших расстояниях от источников возмущений задача о эволюции волновых полей внутренних гравитационных волн может быть решена, в частности, с помощью различных модификаций метода геометрической оптики: методом "вертикальные моды -горизонтальные лучи", методом «бегущей волны», при использовании которых не предполагается медленности изменения параметров стратифицированной среды по вертикальной координате [78, 86, 87, 97, 247, 288, 336].

Важной и достаточно сложной проблемой является интерпретация и анализ данных натурных измерений внутренних гравитационных волн, при этом, в частности, возникает задача о выделении проходящих волновых цугов на фоне случайных помех, а также определение характеристик этих волновых цугов. Наиболее широко распространенным методом анализа данных натурных наблюдений является спектральный пространственно-временной метод и его модификации [11, 53, 71, 84, 90-92, 99, 101, 140, 201, 288]. Существуют также другие методы, использующие некоторые интегральные преобразования данных, для выделения волновых составляющих на фоне случайных гидрофизических полей [84, 101, 186, 263].

Структура работы. Диссертация общим объемом 299 страниц состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, список использованных источников 341 наименование, общее количество рисунков 59.

Основные результаты, полученные в диссертации и выносимые на защиту.

1. Решена задача о математическом моделировании внутренних гравитационных волн, возбуждаемых локальными источниками возмущений в слое произвольно стратифицированной среды, которое представляет собой сумму мод, каждая из которых суть квадратура первого (волнового) типа, зависящие от действительных корней основного дисперсионного уравнения, вносящая основной вклад в волновое поле в дальней зоне, и квадратура второго (неволнового) типа, зависящая от мнимых корней основного дисперсионного уравнения, экспоненциально малая вдали от источников возмущений.

2. Показано, что вдали от источников возмущений полное волновое поле определяется свойствами квадратур первого (волнового) типа и представляет собой сумму волновых мод, каждая из которых распространяется независимо от других и заключена внутри соответствующего конуса Маха. Негармонические пакеты внутренних гравитационных волн определяются как асимптотики, описывающие структуру волновых полей как вблизи (локальная асимптотика), так и вдали от соответствующих волновых фронтов (равномерная асимптотика). Вблизи от волновых фронтов соответствующих волновых мод асимптотики волнового поля, в зависимости от типов стратификации (мелкое море, глубокий океан) могут выражаться как через функции Эйри, так и через интегралы Френеля, конкретный вид асимптотического преставления решений определяется поведением дисперсионных кривых при малых волновых числах.

3. Показано, что в ближней зоне, в некоторой окрестности от источников возмущений, квадратуры второго (неволнового) типа вносят наиболее существенный вклад в суммарное поле внутренних гравитационных волн и описывают локальные особенности поля вблизи этих источников. Из медленно сходящегося ряда мод второго типа, каждая из которых выражается через функции Макдональда, можно выделить особенность (не зависящую от стратификации среды), или асимптотику ближней зоны, что существенно улучшает сходимость суммируемых рядов волновых мод. Асимптотика полного поля в ближней зоны есть сумма полей от переотраженных (относительно вертикальных границ) среды источников, находящихся в однородной нестратифицированной среде, причем поле каждого источника выражается через фундаментального решения трехмерного уравнения Лапласа в неограниченном пространстве.

4. Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии применимости различных асимптотических и аналитических представлений решений, описывающих динамику негармонических пакетов внутренних гравитационных волн как вблизи, так и вдали от источников возмущений.

5. В окрестности траекторий движения источников возмущений построены асимптотические представления собственных функций и собственных значений основной вертикальной спектральной задачи внутренних гравитационных волн в приближении больших волновых чисел и получены асимптотические выражения для отдельной моды волнового поля.

6. Рассмотрено построение модифицированной функции Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды при наличии постоянных средних сдвиговых течений. Исследованы основные свойства соответствующих спектральных задач, модифицированных собственных функций и собственных значений. Показано, что каждая мода модифицированной функции Грина состоит из суммы трех членов, описывающих распространяющиеся от источника внутренних гравитационных волн, эффекты нестационарности источника, локализованные в некоторой его окрестности, эффекты вытеснения жидкости (внутренний скачок), вызываемые источником. Проведен анализ полученных выражений для. постоянного и осциллирующего источника генерации внутренних гравитационных волн, при этом каждое из слагаемых функции модифицированной Грина представлено в виде однократных квадратур.

7. Рассмотрена задача о математическом моделировании поля внутренних гравитационных волн, возбуждаемых источником, движущимся со скоростью, близкой к максимальной групповой скорости распространения отдельной волновой моды. Асимптотические представления решения представляют собой разложения по определенному малому параметру, описывающему степень отклонения скорости стратифицированного потока от значения групповой скорости внутренних гравитационных воли в нуле и для критических режимов генерации выражается через функцию Макдональда нулевого порядка, определены границы применимости полученных асимптотических разложений.

8. Исследована структура ближнего поля внутренних гравитационных волн при критических режимах их генерации, при этом отдельная мода возвышения выражается через полный эллиптический интеграл первого рода, а отдельная мода вертикальной скорости — через функцию Макдональда и логарифмические функции. Получены выражения для полного поля, представляющего сумму волновых мод, и выражающегося через производные от гамма-функции.

9. Разработан и реализован эффективный алгоритм численного решения основных вертикальных спектральных задач, позволяющие для произвольных распределений плотности стратифицированной среды рассчитывать дисперсионные кривые и собственные функции «в целом». Численные алгоритмы основаны на аналитических свойствах дисперсионных кривых, в частности использовано локальное свойство неубывания частоты внутренних гравитационных волн в зависимости от роста волнового числа.

10. Построена, аналитически и численно исследована математическая модель генерации и динамики негармонических волновых пакетов внутренних гравитационных волн, возбуждаемых нелокальными источниками возмущений в слое произвольно стратифицированной среды. Аналитическое решение задачи выражаются, через построенную функцию Грина и представляет собой суммы трехкратных квадратур с быстроосциллирующими фазовыми функциями и подинтегральными функциями, имеющими различные особенности. Разработаны эффективные численные методы расчета многомерных квадратур, опирающиеся на предложенный модифицированный метод Филона, основанный на введении специальных переменных в интегралах, имеющих особые точки фазовых функций. Для численного расчета волновых полей в различных пространственных областях используются полученные интегральные и асимптотические представления функции Грина уравнения внутренних гравитационных волн. Вдали от источников возмущений волновое поле представляет собой сумму отдельных мод, каждая из которых распространяется независимо друг от друга, и отдельная мода допускает различные асимптотические представления в виде волновых негармонических пакетов определенного типа. Кроме того, на больших расстояниях от нелокальных источников возмущений возможно не только построить асимптотические представления отдельных мод, но и описать, с достаточной степенью точности, форму нелокального источника возмущений определенной комбинацией источников и стоков, взятых с соответствующими весами. Вблизи от нелокальных источников возмущений, используя метод выделения статической особенности и полученные в предыдущей главе асимптотические представления функции Грина, волновое поле представлено в виде свертки (по двум переменным) фундаментального решения уравнения Лапласа с функцией формы источника. Сформулированы и численно реализованы внутренние критерии применимости различных асимптотических представлений, обеспечивающих заранее определенную точность расчетов, а также приведены результаты точных численных расчетов с использованием всех вышеприведенных аналитических и асимптотических методов и подходов.

11. В предположении медленности изменения параметров вертикально стратифицированной среды по горизонтали и во времени исследована эволюция негармонических волновых пакетов внутренних гравитационных волн. Конкретная форма волнового пакета может выражаться через некоторые специальные функции, например, функция Эйри, интегралы Френеля, и определяется локальным поведением дисперсионных кривых отдельных мод вблизи соответствующих особых точек. Решение этой задачи возможно с помощью предложенных модифицированных вариантов пространственно-временного лучевого метода (метода геометрической оптики) эталонных функций, основное отличие которого заключается в том, что асимптотические представления решения при исследовании эволюции негармонических волновых пакетов в стратифицированных, нестационарных, горизонтально-неоднородных средах ищется в виде ряда по нецелым степеням малого параметра, причем показатель степени зависит от конкретной формы представления этого пакета. Конкретная форма представления определяется из асимптотического поведения решения в стационарном, горизонтально-однородном случае. Фаза волнового пакета будет определяться из соответствующего уравнения эйконала, которое может быть решено численно на характеристиках (лучах). Амплитуда волнового пакета находится из некоторого закона сохранения вдоль характеристик (лучей).

12. Используя асимптотические представления волнового поля на больших расстояниях от источника возмущений для случая постоянного дна, задача о построении равномерной асимптотики дальнего поля для случая медленноменяющегося дна решена одним из модификаций метода геометрической оптики - методом "вертикальные моды -горизонтальные лучи" (в данном методе медленности изменения параметров среды по вертикали не предполагается). Полученные решения представляют собой разложения по волнам специального вида - волнам Эйри или Френеля, и описывают не только эволюцию этих негармонических волновых пакетов при их распространении над медленноменяющимся дном, но и структуру волнового поля каждой отдельной моды как вблизи, так и вдали от волновых фронтов отдельных мод. Аргумент волн Эйри или

Френеля определяется из решения соответствующего уравнения эйконала, амплитуда волнового поля при этом определяется из закона сохранения энергии вдоль лучевой трубки.

13. Для модельных распределений формы дна и стратификации, описывающих типичную картину океанского шельфа, получены точные аналитические выражения для лучей и проанализированы особенности фазовой структуры волнового поля. Показано, в частности, что в зависимости от траектории движения источника, формы дна, стратификации, могут проявляться различные особенности структуры волновых полей, проанализирован эффект пространственного "запирания" относительно низкочастотных составляющих волнового поля, которое генерируется при движении источника со сверхкритической скоростью вдоль берега океана.

14. Построены, аналитически и численно исследованы асимптотические представления решений, описывающие распространение негармонических волновых пакетов внутренних гравитационных волн в неоднородных по горизонтали и нестационарных стратифицированных средах в приближении слабой дисперсии, то есть в окрестности соответствующих волновых фронтов. Проведенные численные расчеты для типичных океанических параметров показывают существенное влияния факторов нестационарности и горизонтальной неоднородности параметров природных на реальную динамику негармонических пакетов внутренних гравитационных волн. Также построены решения, в наиболее общем виде описывающие динамику негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в стратифицированной, горизонтально-неоднородной по плотности среде. В горизонтально-однородной по плотности стратифицированной среде эти решения совпадают с равномерными (глобальными) асимптотиками, полученными в первой главе. В горизонтально-неоднородной по плотности стратифицированной среде вдали от волновых фронтов, решение представимо в виде обычного разложения по локально-гармоническим волнам. В горизонтально-неоднородной по плотности стратифицированной среде вблизи от волновых фронтов допустимо использовать асимптотику решений в приближении слабой дисперсии и использовать модификацию метода геометрической оптики - метод «бегущей волны».

15. Предложены неспектральные алгоритмы обработки натурных данных на основе математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн в океане, которые позволяют выделить волновые пакеты с определенными характеристиками, например от нелокальных источников возмущений, среди других волновых цугов и случайных помех, что дает возможность проверки адекватности используемых математических моделей на основе данных натурного эксперимента. Проведенный анализ натурных данных, полученных в эксперименте "Мезополигон" (тропическая часть восточной Атлантики), на шельфе Западной Сахары, Черного моря, с целью выделения волнового цуга с определенными характеристиками, показывает принципиальную возможность применения результатов математического моделирования динамики негармонических пакетов внутренних гравитационных волн (в частности асимптотических представлений негармонических пакетов внутренних гравитационных волн вдали от нелокальных источников возмущений) для анализа данных натурного наблюдения этих пакетов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Актуальные проблемы механики: механика жидкости, газа и плазмы. М.: Наука, 2008, 285 с.

2. Арнольд А.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996, 334 с.

3. Арнольд В.И. Волновые фронты и топология кривых. М.: Фазис , 2002, 120 с.

4. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.

5. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пространственно-временной лучевой метод: Линейные и нелинейные волны. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985, 272 с.

6. Бежанов К.А. Многослойные установившиеся течения идеальной несжимаемой тяжелой жидкости. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: Московский физико-технический институт, 1991, 245 с.

7. Бежанов К.А., Заец П.Г., Онуфриев А.Т., Тер-Крикоров A.M. Пространственные задачи обтекания неровного дна потоком экспоненциального стратифицированной жидкости.// Известия АН СССР. Механики жидкости и газа. 1990, №3,- с.101-111.

8. Бежанов К.А., Онуфриев А.Т., Тер-Крикоров A.M. Исследование дальнего и ближнего полей в задаче обтекания неровности' дна потоком экспоненциально стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1987, №5, с.106-110.

9. Белолипецкий В.М., Костюк В.Ю., Шокин Ю.И. Математическое моделирование течений стратифицированной жидкости. Новосибирск.: Наука, Сибирское отделение, 1991, 176 с.

10. Бондур В.Г. Аэрокосмические методы в современной океанологии. Том 1. Физика. Химия. Биология. М.: Наука. 2004, С.55-117.

11. Бондур В.Г., Морозов Е.Г., Бельчанский Г.И., Гребенюк Ю.В. Радиолокационная съемка и численное моделирование внутренних приливных волн в шельфовой зоне // Исследование Земли из Космоса, 2006, №2, с. 51-63.

12. Боровиков В.А. Поле точечного источника внутренних волн в полупространстве с переменной частотой Брента-Вяйсяля // Прикладная математика и механика, 1988, т.52, №4, с.686-692.

13. Боровиков В.В., Булатов В.В. О границах применимости асимптотических формул для поля внутренних волн, возбуждаемых движущимся источником // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1986, т.22, № 6, с.658-661.

14. Боровиков В.А., Булатов В.В., Кельберт М.Я. О промежуточной асимптотике дальнего поля внутренних волн в слое стратифицированной жидкости, лежащем на однородном слое // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988, № 3, с.158-162

15. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Левченко Е.С. О расчете поля внутренних гравитационных волн, генерируемых неподвижным источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989, № 4, с.58-61.

16. Боровиков В.А., Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Исаев И.Л., Ломанов Ю.П., Фрост В.А. Обработка и анализ измерений внутренних волн в районе шельфа Западной Сахары // Океанология. 1993, т.ЗЗ, № 4, с.532-535.

17. Боровиков В.А., Булатов В.В., Морозов Е.Г., Тамайо Р.Г. Неспектральное и спектральное исследование распространения приливных внутренних волн в океане (на примере эксперимента «Мезополигон») // Океанология, 1998, т.З, №38, с.343-348.

18. Боровиков В. А., Владимиров Ю. В., Кельберт М.Я. Поле внутренних гравитационных волн, возбуждаемых локализованными источниками // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1984, т. 20, № 6, с. 526-532.

19. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982, 336с.

20. Булатов В.В. Установившееся движение стратифицированной жидкости над неровным дном // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 5, с.34-39.

21. Булатов В.В., Ваньян П.Л., Владимиров Ю.В., Морозов Е.Г. Распространение внутренних приливных волн в северо-западной части Тихого океана // Известия Академии инженерных наук РФ. Прикладная математика и информатика, 2000, т.1, с.112-117.

22. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в неоднородной по горизонтали среде // Морской гидрофизический журнал. 1989, №6, с.14-19.

23. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в стратифицированных неоднородных по горизонтали средах М.: Препринт Института проблем механики АН СССР, 1990, № 445, 23 с.

24. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Распространение внутренних волн Эйри и Френеля в нестационарных средах // Морской гидрофизический журнал, 1990, № 5, с.13-18.

25. Булатов В.В:, Владимиров Ю.В. Ближнее поле внутренних гравитационных волн, возбуждаемых источником в потоке стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики. 1991, № 1, с.24-28.

26. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны, возбуждаемые источником в стратифицированных неоднородных по горизонтали средах // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1991, № 1, с.124-128.

27. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете поля внутренних гравитационных вон при произвольном нестационарном движении источника// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1995, №3, с. 174-177.

28. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Равномерная асимптотика дальнего поля внутренних гравитационных волн при движении источника в слое стратифицированной жидкости с плавноменяющимся дном // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1998, №3, с. 111-120

29. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Об асимптотике критических режимов генерации внутренних гравитационных волн// Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2000, №5, с.124-128.

30. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Локальные и нелокальные источники критических режимов генерации внутренних гравитационных волн в неоднородных средах М.: Препринт Института проблем механики РАН, 2004, №750, 19с.

31. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. М.: Наука, 2005, 195 с.

32. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Численные алгоритмы решениям модифицированной спектральной задачи уравнения внутренних гравитационных волн // Препринт Института проблем механики РАН, 2005, №788, 20с.

33. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. О расчете собственных функций и дисперсионных кривых основной вертикальной спектральной задачи уравнения внутренних гравитационных волн //Математическое моделирование, 2007, T.19j №2, С.59-68.

34. В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров О моделировании полей внутренних гравитационных волн от нелокальных источников возмущений // Математическое моделирование, 2008, Т.20, №8, С.3-12.

35. В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров Исследование . динамики, внутренних гравитационных волн при критических, режимах генерации и в окрестности траекторий движения источников возмущений. Препринт Института проблем механики РАН, 2008, №872, 23 с.

36. В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров Модифицированная функция Грина для уравнения внутренних гравитационных волн в слое стратифицированной среды с постоянным сдвиговым течением // Прикладная математика и механика, 2008, Т.72, №5, С.727-733.

37. В.В.Булатов, Ю.В.Владимиров Внутренние гравитационные волны при критических режимах генерации и в окрестности траекторий движений источников // Журнал прикладной механики и технической физики, 2008, Т.49, № 5, С.70-79.

38. Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Данилов В.Г., Доброхотов С.Ю. О распространении точечной алгебраической особенности для двумерныхнелинейных уравнений гидродинамики // Математические заметки. 1994, Т.55, вып.З, С. 11-20.

39. Булатов В.В., Владимиров Ю.В., Данилов В.Г., Доброхотов С.Ю. Пример вычисления траектории "глаза" тайфуна на основе гипотезы В.П.Маслова // Доклады Академии Наук. 1994, Т.338, №1, С.102-107.

40. Бышев В.И. Синоптическая и крупномасштабная изменчивость океана и атмосферы . М.: Наука, 2003, 344 с.

41. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 768 с.

42. Владимиров Ю.В. Поле внутренних волн в окрестности фронта, возбужденное источником, движущимся над плавно меняющимся дном // Журнал прикладной механики и технической физики, 1989, № 4, с. 89-94.

43. Воляк К.И. Избранные труды. Нелинейные волны в океане. М.: Наука, 2002, 486 с.

44. Воронович А.Г. О распространении внутренних волн в неоднородном по горизонтали океане // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1976, т. 12, №1, с.83-92.

45. Воронович А.Г. Распространение внутренних и поверхностных волн в приближении геометрической оптики // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1976, т. 12, №8, с.850-857.

46. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Наука, 1998, 448 с.

47. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированной жидкости М.:' Наука, 1986, 288 с.

48. Гидрофизические исследования по программе "Мезополигон". М.: Наука, 1988, 264 с.

49. Годин О.А., Бреховских J1.M. Акустика сплошных сред. М.:Наука, 1989,414с.

50. Городцов В.А. Порождение и динамика малых возмущений в стратифицированных жидкостях // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. М.: Институт проблем механики РАН, 1996.

51. Городцов В.А. Излучение внутренних волн быстро движущимися источниками в экспоненциально стратифицированной жидкости // Доклады Академии наук СССР, 1981, т.256, №6, с.1375-1378.

52. Городцов В.А. Волны-предвестники при движении источников переменной интенсивности в стратифицированной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 1994, №2, с.97-103.

53. Городцов В.А., Теодорович Э.В. Об излучении внутренних волн при равномерном прямолинейном движении локальных и нелокальных источников. //Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980, т.16, №9, с.954-961.

54. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962, 1100с.

55. Гранберг И.Г. Пространственная задача обтекания препятствия потоком несжимаемой стратифицированной жидкости (численное моделирование) // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1983, т. 19, №4, с.357-365.

56. Григорьев П.Л., Яковлев В.А. К решению задачи Коши уравнения внутренних волн в среде с жесткими границами// Журнал технической физики, 1986, т.56, №11, с.2087-2090.

57. Докучаев В.П., Долина И.С. Излучение внутренних волн источниками в экспоненциально стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1977, т.13, №6, с.655-663.

58. Завольский Н.А. Особенности распространения линейных внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1987, №1, с. 106-110.

59. Завольский Н.А., Зайцев А.А. К вопросу о развитии внутренних волн, генерируемых сосредоточенным импульсным источником в безграничной,равномерно стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики, 1984, №6, с.58-64.

60. Изменчивость гидрофизических полей Черного моря (под ред. Б.А.Нелепо). Л.: Гидрометеоиздат, 1984, 240 с.

61. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, 512с.

62. Кельберт М.Я., Сазонов И.А. Распространение импульсов в жидкостях. М.: Наука, 1991, 158с.

63. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Линейная теория распространения пучков внутренних волн в произвольно стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики, 1998, № 5, с.88-98.

64. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Регулярные и сингулярные компоненты периодических течений // Прикладная математика и механика, 2007, т.71, № 5, с.844-854.

65. Кононкова Г.Е., Показеев К.В. Динамика морских волн. М.: Издательство Московского университета, 1985, 298 с.

66. Коняев К.В. Спектральный анализ океанологических полей. Л.: Гидрометеоиздат, 1981,208 с.

67. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980, 304 с.

68. Краусс В. Внутренние волны. Л.:Гидрометеоиздат, 1968, 272с.

69. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987, 688 с.

70. Лайтхил Д. Волны в жидкостях. М.:Мир, 1981, 598с.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986, 736 с.

72. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. В 2-х томах. М.:Мир, 1981, т.1, 480с., т.2, 365с.

73. Льюис Р. Формальная теория бегущей волны // В кн. : Квазиоптика. М.: Мир, 1968, с.80-104.

74. Лэмб Г. Гидродинамика (в 2-х томах). Москва- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003, т. 1 452 е., т. 2 - 482 с.

75. Люк ЮЛ. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 1980, 608 с.

76. Макаров С.А., Чашечкин Ю.Д. Присоединенные внутренние волны в вязкой несжимаемой жидкости // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1982, т. 18, №9, с. 986-994.

77. Марсден Дж.Э., Чорин А. Математические основы механики жидкости. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 204 с.

78. Мельников В.А. Влияние рельефа дна на внутренние волны // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1982, т. 18, № 7, с. 775-778.

79. Методы, процедуры и средства аэрокосмической радиотомографии приповерхностных областей Земли. По ред. Нестерова С.В., Шамаева А.С., Шамаева С.И. М.: Научный мир, 1996, 272 с.

80. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. JL: Гидрометеоиздат, 1981, 302с.

81. Молотков И.А. Аналитические методы в теории нелинейных волн. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 208 с.

82. Молотков* И.А., Вакуленко С.А., Бисярин М.А. Нелинейные локализованные волновые процессы. М.: Янус-К, 1999, 176 с.

83. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 424 с.

84. Монин А.С., Миропольский Ю.З. Внутренние волны. В кн.: Физика океана, т. 2, Гидродинамика океана (под ред. Каменковича В.М., Монина А.С.) М: Наука, 1978, с. 182-218.

85. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны. М.: Наука, 1985. 151 с.

86. Морозов Е.Г. Генерация внутренних приливов на подводных хребтах // Океанологические исследования, 1988, №41, с.55-67.

87. Морозов Е. Г., Нечволодов Л.В. Лучевое распространение внутренних приливов над континентальным склоном // Известия Академии Инженерных Наук Российской Федерации, 2006, т. 18, с. 33-40.

88. Муравский Г.Б. Квадратурная формула для интегралов от быстроосциллирующих и резко меняющихся функций // Известия высших учебных заведений. Математика, 1988, №9, с.55-57.

89. Навроцкий В.В., Лазарюк А.Ю., Малышев А.А. Особенности структурыгидрофизических характеристик и внутренних волн вблизи границ шельфа // Доклады АН СССР, 1989, т. 309, № 1, с. 187-191.

90. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 536 с.

91. Овсянников JI.B., Макаренко Н.И., Налимов В.И., Стурова И.В. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985, 318 с.

92. Островский JI.A, Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 400 с.

93. Перегудин С.И. Волновые движения в жидкости и сыпучих средах. С.-Пб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004,288 с.

94. Потапов А.А., Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Пахомов А.А., Герман В.А. Новейшие методы обработки изображений. М. ФИЗМАТЛИТ, 2008, 494 с.

95. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 560 с.

96. Рожков В.А. Методы вероятностного анализа океанических процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1979, 280 с.

97. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980, 616 с.

98. Самодуров А.С. Внутренние волны в среде с меняющейся по горизонтали частотой Брента-Вяйсяля // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1974, т.10, №3, с.306-309.

99. Санников В.Ф. Поле горизонтальных скоростей, создаваемое движущимся источником возмущений в стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики, 1990, №3, с.78-83.

100. Санников В.Ф. Точное решение линейной задачи об установившихся волнах, создаваемых диполем в потоке стратифицированной жидкости // Прикладная математика и механика, 1990, т.54, №6, с.977-978.

101. Санников В.Ф. Улучшение сходимости по модам внутренних волн, создаваемых движущимся диполем // Прикладная математика и механика, 1998, т.62, №5, с.796-802.

102. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984, 472 с. i

103. Секерж-Зенькович С.Я. Фундаментальное решение оператора внутренних волн // Доклады АН СССР, 1979, т.246, №2, с.286-289.

104. Секерж-Зенькович С.Я. Построение фундаментального решения оператора внутренних волн // Прикладная математика и механика, 1981, т.45, №2, с.266-274.

105. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения. М.: Мир, 1989, 664 с.

106. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977, 816с.

107. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. Серия «Механика жидкости и газа», т.22, М.:ВИНИТИ, 1987, с.93-179.

108. Степанянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Наука, 1996, 240 с.

109. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие в экспоненциально стратифицированной жидкости при произвольном движении источника. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1980, № 3, с. 67-74.

110. Стурова И.В. Внутренние волны, возникающие при нестационарном движении источника в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа, 1985, №4, с. 122-130.

111. Тареев Б.А. Динамика бароклинных возмущений в океане. М.: Издательство Московского университета, 1974, 188с.

112. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости. М.: Мир, 1977, 432 с.

113. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны М.: Мир, 1977, 622 с.

114. Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987, 544 с.

115. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1980. 352 с.

116. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн (в 2 томах) . М.: Мир, 1978, т.1 -546 е., т.2-556 с.

117. Чашечкин Ю.Д., Гуменник Е.В., Сысоева Е.Я. Трансформация плотностного поля трехмерным телом, движущимся в непрерывно стратифицированной жидкости // Журнал прикладной механики и технической физики, 1995, № 1, с. 2032.

118. Чашечкин Ю.Д., Кистович А.В., Ильиных Ю.С. Экспериментальной исследование генерации периодических внутренних волн пограничным течением на вращающемся диске // Доклады Академии наук, 2000, т.375, №3, с.338-342.

119. Чашечкин Ю.Д., Кистович А.В. Классификация трехмерных периодических движений в жидкости // Доклады Академии наук, 2004, т.395, №1, с.55-58.

120. Черкесов JI.B. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наукова думка, 1976, 364 с.

121. Черкесов Л.В. Основы динамики несжимаемой жидкости. Киев: Наукова думка, 1983, 168 с.

122. Эккарт К. Гидродинамика океана и атмосферы. Москва- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 328 с.

123. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир, 1987, 179 с.

124. Abraham, G. 1963 Model study of water gravity waves generated by a moving circular low-pressure area. J. Geophys. Res., 68(8), 2185-2210.

125. Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (eds.) 1965 Handbook of Mathematical Functions. Dover.

126. Amen, R. and Maxworthy, T. 1980 The gravitational collapse of a mixed region into a linearly stratified fluid. J. Fluid Mech., 96(1), 65-80.

127. Appleby, J. C. and Crighton, D. G. 1987 Internal gravity waves generated by oscillations of a sphere. J. Fluid Mech. 183, 139-150.

128. Babich, V.M. and Buldyrev, V.S. 1991 Short-Wavelenght Difraction Theory -Asymptotic Methods. Vol.4 of Springer Series on Wave Phenomena (Springer-Verlag)

129. Baines, P. G. 1971 The reflexion of internal/inertial waves from bumpy surfaces. J. Fluid Mech. 46, 273-291.

130. Baines, P. G. 1979 Observations of stratified flow over two-dimensional obstacles in fluid of finite depth. Tellus, 31(4), 351-371.

131. Baines, P. G. 1979 Observations of stratified flow past three-dimensional barriers. J. Geophys. Res., 84(12), 7834-7838.

132. Baines, P. G. 1987 Upstream blocking and airflow over mountains. Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 75-97.

133. Baines, P. G. and Grimshaw, R. H. J. 1979 Stratified flow over finite obstacleswith weak stratification. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 13, 317-334.

134. Baines, P. G. and Hoinka, K. P. 1985 Stratified flow oyer two-dimensional topography in fluid of infinite depth: a laboratory simulation. J. Atmos. Sci. 42, 16141630.

135. Barber, N.F. 1963 The directional resolving power of an array of wave detectors. Ocean wave spectra. N.Y.: Engelwood Cliffs, Prentice Hall, 137-150.

136. Barcilon, V. and Bleistein, N. 1969 Scattering of inertial waves in a rotating fluid. Stud. Appl. Maths 48, 91-104.

137. Basak, P. C. 1975 Surface waves in deep water due to arbitrary periodic surface pressure. Meccanica, 10(1), 42-48.

138. Batchelor, G. K. 1967 An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.

139. Bell, Т. M. 1975 Lee waves in stratified flows with simple harmonic time dependence. J. Fluid Mech., 67(4), 705-722.

140. Bleistein, N. 1966 Uniform asymptotic expansions of integrals with stationary point near algebraic singularity. Comm. Pure Appl. Maths. 19, 353-370.

141. Bleistein, N. 1984 Mathematical Methods for Wave Phenomena. Academic.

142. Bleishtein, N. and Handelsman, R. A. 1986 Asymptotic Expansions of Integrals. Dover.

143. Blumen, W. and McGregor, C. D. 1976 Wave drag by three-dimensional mountain lee-waves in nonplanar shear flow. Tellus 28, 287-298.

144. Bonneton, P. and Chomaz, J.-M. 1992 Instabilites du sillage genere par une sphere. C. R. Acad. Sci. Paris II 314, 1001-1006.

145. Borovikov V.A. 1994 Uniform stationary phase method. IEE electromagnetic waves, Series 40. London, U.K., 233 pp.

146. Borovikov, V.A., Bulatov V.V. and Vladimirov, Y.V. 1995 Internal gravity waves excited by a body moving in a stratified fluid. Fluid Dyn. Res., 5, 325-336.

147. Borovikov, V.A., Bulatov, V.V., Gilman, M.A. and Vladimirov Y.V. 1998 Internal gravity waves excited by a body moving an a stratified fluid. Preprints of Twenty-Second Symposium of Naval Hydrodynamics, Washington, D.C., U.S.A., 92-99.

148. Boyer, D. L., Davies, P. A., Fernando, H. J. S. and Zhang, X. 1989 Linearly stratified flow past a horizontal circular cylinder. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 328, 501528.

149. Brekhovskikh, L. and Goncharov, V. 1985 Mechanics of Continua and Wave Dynamics. Springer.

150. Broutman, D., Macaskill, C., Mclntyre, M.E. and Rottman, J.W. 1997 On Doppler-spreading models of internal waves Geophys.Res.Lett., 24, 2813-2816.

151. Bulatov V.V 2007 Non-spectral methods of analysis of the internal gravity waves measurements in ocean //Cornell University Library, 2007, E-Print Archive, Paper ID: physics/0707.1704, http://arxiv.org/abs/0707.1704

152. Bulatov V.V. 2008 Dynamics of nonharmonic internal gravity wave packets in stratified medium // Cornell University Library, 2008, E-Print Archive, Paper ID: physics/0808.0668, http://arXiv.org/abs/0808.0668

153. Bulatov, V.V. and Vladimirov, Y.V. 1990 Internal gravity waves in an inhomogeneous ocean. Advanced Experimental Technics and CAE Methods in Ship Hydro- and Aerodynamics. Varna, 1, 46/1-46/3.

154. Bulatov, V.V. and Vladimirov, Y.V. 1991 Internal gravity waves in an inhomogeneous ocean. Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation Phenomena. SIAM, Philadelphia, USA, 700-702.

155. Bulatov, V.V. and Vladimirov, Y.V. 1993 Internal gravity waves from a body moving in a stratified ocean. Extended Absracts of Second International Conference of Mathematical and Numerical Aspects Wave Propagation. SIAM, Delaware, U.S.A., 145147.

156. Bulatov, V.V. and Vladimirov, Y.V. 1995 Internal gravity waves from an arbitrary moving sources. Abstracts of Third International Conference on Mathematical and

157. Numerical Aspects of Wave Propagation. Mandelieu, France. SLAM-INRIA, Edited by G.Cohen, 783-784.

158. Bulatov, V.V., Vakorin, V.A. and Vladimirov, Y.V. 2005 Critical regimes of internal gravity wave generation. Cornell University Library, E-Print Archive, Paper ID: math-ph/0511083, http://arxiv.org/abs/math-ph/0511083

159. Bulatov, V.V., Vakorin, V.A. and Vladimirov, Y.V. 2005 Internal gravity waves in stratified horizontally inhomogeneous media. Cornell University Library, E-Print Archive, Paper ID: math-ph/0511082, http://arxiv.org/abs/math-ph/0511082

160. Bulatov, V.V. and Vladimirov, Y.V. 2006 General problems of the internal gravity waves linear theory // Cornell University Library, 2006, E-Print Archive, Paper ID: physics/0609236, http://arxiv.org/abs/physics/0609236

161. Bulatov V.V, and Vladimirov Y.V. Internal gravity waves: theory and applications. Moscow: Nauka, 2007, 304 pp.

162. Bulatov V.V., Vladimirov Y.V. Analysis of the internal gravity waves measurements in ocean. Препринт Института проблем механики РАН, 2007, №835, 57 с.

163. Bulatov V.V., Vladimirov Y.V. 2008 Internal gravity waves near to the sources of disturbances at the critical modes of generation // Cornell University Library, 2008, E-Print Archive, Paper ID: physics/0802.3555, http://arxiv.org/abs/0802.3555

164. Case, К. M. 1978 Some properties of internal waves. Phys. Fluids, 21 (1), 18-29.

165. Castro, I. P. 1987 A note on lee wave structures in stratified flow over three-dimensional obstacles. Tellus A 39, 72-81.

166. Castro, I. P. and Snyder, W. H. 1988 Upstream motions in stratified flow. J. Fluid Mech. 187,487-506.

167. Castro, I. P., Snyder, W. H. and Marsh, G. L. 1983 Stratified flow over three-dimensional ridges. J. Fluid Mech. 135, 261-282.

168. Cerasoli, C. P. 1978 Experiments on buoyant-parcel motion and the generation of internal gravity waves. J. Fluid Mech., 86(2), 247-271.

169. Chandrasekhar, S. 1961 Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, London, UK, pp.652

170. Chang, W. L. and Stevenson, T. N. 1975 Internal waves in a viscous atmosphere. J. Fluid Mech., 1975, 72(4), 773-786.

171. Chaudhuri, K. S. 1969 Directional variation of shallow water waves due to arbitrary periodic surface pressure. J. Phys. Soc. Japan, 26(4), 1048-1055.

172. Chee-Seng, L. 1981 Water waves generated by an oscillatory surface pressure travelling at critical speed. Wave motion, 3(2), 159-179.

173. Cheng, H. K., Hefazi, H. and Brown, S. N. 1984 Topographically generated cyclonic disturbance and lee waves in a stratified rotating fluid. J. Fluid Mech. 141, 431453.

174. Chui, C.K. 1992 An introduction to wavelets. Academic Press, pp. 266.

175. Gitterman M. 2007 Hydrodynamics of compressible liquids: influence of thepiston effect on convection and internal gravity waves. Physica A 386, 1-11.

176. Crapper, G. D. 1959 A three-dimensional solution for waves in the lee of mountains. J. Fluid Mech. 6, 51-76.

177. Crapper, G. D. 1962 Waves in the lee of a mountain with elliptical contours. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 254, 601-623.

178. Dagan, G. 1975 Waves and wave resistance of thin bodies moving at low speed: the free-surface nonlinear effect. J. Fluid Mech., 69(2), 405-416.

179. Dagan, G. and Miloh, T. 1982 Free-surface flow past oscillating singularities at resonant frequency. J. Fluid Mech., 120, 139-154.

180. Dahlqvist, H and Kallen, E. 1991 Field experiments to study internal wave generation in the Baltic. FOA rapport C20834-2.7. Mars 1991.

181. Drazin, P. G. 1961 On the steady flow of a fluid of variable density past an obstacle. Tellus 13, 239-251.

182. Dugan, J. P., Warn-Varnas, A. C. and Piacsek, S. A. 1976 Numerical results for laminar mixed region collapse in density stratified fluid. Computers and Fluids, 4(2), 109-121.

183. Eckart, C. 1961 Internal waves in the ocean. Phys. Fluids, 4(7), 791-799.

184. Ekman, V. W. 1904 On dead water. In: Norwegian North Polar Expedition, 18931896, Scientific Results (ed. by F. Nansen), Longmans (1906), 5(15).

185. Engevik, L. 1975 On the indeterminancy of the problem of stratified fluid flow over a barrier and related problems. Z. Angew. Math, und Phys., 26(6), 831-834.

186. Farell, C. 1973 On the wave resistance of a submerged spheroid. J. Ship. Res., 17(1), 1-11.

187. Felsen, L. B. 1969 Transients in dispersive media, Part I: Theory. IEEE Trans. Antennas Propag. 17, 191-200.

188. Fox, D. W. 1976 Transient solutions for stratified fluid flows. J. Res. Nat. Bur. Stand., B80(l), 79-88.

189. Garret, C.J.R. and Munk, W.H. 1979 Internal waves in the ocean. Ann.Rev.Fluid Mech., 11,339-369.

190. Gartner, U. 1983 A note on the visualization and measurement of the internal wave field behind a cylinder moving through a stratified fluid. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 26, 139-145.

191. Gartner, U. 1983 Visualization of particle displacement and flow in stratified salt water. Exp. Fluids 1, 55-56.

192. Gartner, U., Wernekinck, U. and Merzkirch, W. 1986 Velocity measurements in the field of an internal gravity wave by means of speckle photography. Exp. Fluids 4, 283-287.

193. Gerkema, T. 2002 Application of an internal tide generation model to baroclinic spring-neap cycles. J.Geophys.Res., 107, l(7)-7(7).

194. Ghosh, B. and Chaudhuri, K. S. 1983 Waves due to a moving line impulse on the surface of running stream of finite depth. Meccanica, 18(1), 16-20.

195. Gill, A.E. 1982 Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic

196. Gilreath, H. E. and Brandt, A. 1983 Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid. AIAA Pop., 1704, 12.

197. Gilreath, H. E. and Brandt, A. 1985 Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid. AIAA J. 23, 693-700.

198. Goodman, L. and Levine, E. R. 1977 Generation of oceanic internal waves by advecting atmospheric fields. J. Geophys. Res., 82(12), 1711-1717.

199. Gordon, D., Klement, U. R. and Stevenson, T. N. 1975 A viscous internal wave in a stratified fluid whose buoyancy frequency varies with altitude. J. Fluid Mech., 69(3), 615-624.

200. Gordon, D. and Stevenson, T. N. 1972 Viscous effects in-a vertically propagating internal wave. J. Fluid Mech., 56, 629-639.

201. Gorgui, M. A. and Kassem, S. E. 1978 Basic singularities in the theory of internal waves. Quart. J. Mech. and Appl. Math., 31(1), 31-48.

202. Gossard, E. E. and Hooke, W. H. 1978 Waves in the atmosphere. Amsterdam.

203. Gradstein, I.S. and Ryshik, I.M. 1980 Table of Integrals, Series and Products. Academic

204. Graevel, W. P. 1969 On the slow motion of bodies in stratified and rotating fluids. Quart. J. .Mech. and Appl. Math., 22(1), 39-54.

205. Graham, E. W. 1973 Transient internal waves produced by a moving body in a tank of density-stratified fluid. J. Fluid Mech., 61(3), 465-480.

206. Graham, E. W. and Graham, В. B. 1980 The tank wall effect on internal waves due to a transient vertical force moving at fixed depth in a density stratified fluid. J. Fluid Mech., 97(1), 91-114.

207. Gray, E.P., Hart, R.W. and Farrel, R.A. 1983 The structure of the internal wave Mach front generated by a point source moving in a stratified fluid. Phys. Fluids, 10, 2919-2931.

208. Grue, J. and Palm, E. 1985 Wave radiation and wave diffraction from a submerged body in a uniform current. J. Fluid Mech., 151, 257-278.

209. Han, T. Y., Meng, J. C. S. and Innis, G. E. 1983 An open boundary condition for incompressible stratified flows. J. Comput. Phys., 49(2), 276-297.

210. Hanazaki, H. 1988 A numerical study of three-dimensional stratified flow past a sphere. J. Fluid Mech. 192, 393-419.

211. Hanazaki, H. 1989 Drag coefficient and upstream influence in three-dimensional stratified flow of finite depth. Fluid Dyn. Res. 4, 317-332.

212. Harband, J. 1976 Three-dimensional flow over a submerged object. J. Eng. Math., 10(1), 1-21.

213. Hartman, R. J. and Lewis, H. W. 1972 Wake collapse in a stratified fluid: linear treatment. J. Fluid Mech. 51,613-618.

214. Heam, G. E. 1977 Alternative methods of evaluating Green's function in three-dimensional ship-wave problems. J. Ship Res., 21(2), 89-93.

215. Higuchi, H. and T. Kubota, T. 1990 Axisymmetric wakes behind a slender body including zero-momentum configurations. Phys. Fluids A 2, 1615-1623.

216. Hinwood, J. B. 1972 The study of density-stratified flows up to 1945. Pt 2. Internal waves and interfacial effects. Houille blanche, 27(8), 709-722.

217. Hodges, B.R., Imberger, J., Saggio, A. and Winters, K. 2000 Modelling basin-scale internal waves in a stratified lake. Limnol.Oceanogr., 45, 1603-1620.

218. Holschneider, M. 1995 Wavelets: an analysis tool. Clarendon Press, Oxford, pp. 426.

219. Hopfinger, E.J. 1987 Turbulence in stratified fluids: a review. J.Geophys.Res., 92, 5287-5303.

220. Hopfinger, E. J., Flor, J.-B., Chomaz, J.-M. and Bonneton, P. 1991 Internal waves generated by a moving sphere and its wake in a stratified fluid. Exp. Fluids 11, 255-261.

221. Horn, D.A., Redekopp, L.G., Imberger, J. and Ivey, G.N. 2000 Internal wave evolution in a space-time varying field. J.FluidMech., 424, 279-301.

222. Hudimac, A. 1961 Ship waves in a stratified ocean. J. Fluid Mech., 11, 229-243.

223. Hunt, J. C. R. and Snyder, W. H. 1980 Experiments on stably and neutrally stratified flow over a model three-dimensional hill. J. Fluid Mech. 96, 671-704.

224. Hurdis, D. A. and Pao, H.-P. 1976 Observations of wave motion and upstream influence in a stratified fluid. Trans. ASME: J. Appl. Mech., 43(2), 22-226.

225. Hurley, D. G. 1969 The emission of internal waves by vibrating cylinders. J. Fluid Mech., 36(4), 657-672.

226. Hurley, D. G. 1972 A general method for solving steady-state internal gravity wave problems. J. Fluid Mech. 56, 721-740.

227. Hyun, J. M. 1976 Internal wave dispersion in deep oceans calculated by means of two-variable expansion techniques. J. Oceanogr. Soc. Jap., 32(1), 11-20.

228. Hyun, J. M. 1977 Internal wave dispersion in density-stratified deep oceans with a thermocline. J. Oceanogr. Soc. Jap., 33(1), 16-22.

229. Janowitz, G. S. 1968 On wakes in stratified fluids. J. Fluid Mech., 33(3), 417-432.

230. Janowitz, G. S. 1971 The slow transverse motion of bodies of a flat plate through non-diffusive stratified fluid. J. Fluid Mech., 47(1), 171-181.

231. Janowitz, G. S. 1974 Line singularities in unbounded stratified flow. J. Fluid Mech., 66(3), 455-464.

232. Janowitz, G.S. 1981 Stratified flow over a bounded obstacle in a channel of finite height. J. Fluid Mech., 110, 161-170.

233. Janowitz, G.S. 1984 Lee waves in a three-dimensional stratified flow. J. Fluid Mech., 148, 97-108.

234. Johnston, T.M. and Merrifield, M.A. 2003 Internal tide scaterring at seamounts, ridges and islands. J.Geophys.Res., 108, 1(11)-17(11).

235. Jones, W.L. 1969 Ray traicing for internal gravity waves. J. Geoph. Res., 8, 20282033.

236. Jung-Tai Lin and Yih-Ho Pao 1979 Wakes in a stratified fluids. Ann. Rev. Fluids Mech., 11,317-338.

237. Kallen, E. 1987 Surface effects of vertically propagation waves in a stratified fluid. J. Fluid Mech., 182, 111-125.

238. Kamachi, M. and Honji, H. 1988 Interaction of interfacial and internal waves. Fluid Dyn. Res. 2, 229-241.

239. Kao, T. W. and Pao, H.-P. 1980 Wake collapse in the thermocline and internal solitary waves. J. Fluid Mech., 97(1), 115-127.

240. Keller, J.B. 1958 Surface waves on water of non-uniform depth. J. Fluid Mech., 6, 607-614.

241. Keller, J.B., Levy, D.M. and Ahluwalia, D.S. 1981 Internal and surface wave production in a stratified fluid. Wave Motion, 3, 215-229.

242. Keller, J.B. and Mow, Van C. 1969 Internal wave propagation in a inhomogeneous fluid of non-uniform dept. J. Fluid Mech., 2, 365-374.

243. Keller, J. B. and Munk, W. H. 1970 Internal wave wakes of a body moving in a stratified fluid. Phys. Fluids, 6, 1425-1431.

244. Khatiwala S. 2003 Generation of internal tides in an ocean of finite depth: analytical and numerical calculations . Deep Sea Research, Vol.50, №1, 3-21.

245. Kranzer, H. C. and Keller, J. B. 1959 Water waves produced by explosions. J. Appl. Phys., 30(3), 398-407.

246. Krauss, W. 1966 Methoden und Ergebnisse der theoretischen Ozeanographie. Bd. 2. Interne Wellen. Berlin.

247. Laurent, L.T., Stringer, S., Garret, C. and Perraut-Joncas, D. 2003 The generation of internal tides at abrupt topography. Deep-Sea Res., 50, 987-1003.

248. Laws, P. and Stevenson, T. N. 1972 Measurements of a laminar wake in a confined stratified fluid. J. Fluid Mech., 54(4), 745-748.

249. Le Blond, P. H. and Mysak, L. A. 1978 Waves in the ocean. Amstepdam.

250. Legg , S. 2004 Internal tides generated on a corrugated continental slope. Part 1: Cross-slope barotropic forcing. J. Phys. Oceanography, 34(1), 156-173.

251. Liandrat, J. and Moret-Bailly, F. 1990 The wavelet transform: some applications to fluid dynamics and turbulence. Europ. J. Mech., B/Fluids, 1,1-19.

252. Lighthill, M. J. 1958 Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press.

253. Lighthill, M. J. 1960 Studies on magneto-hydrodynamic waves and other anisotropic wave motions. Phil. Trans. R. Soc. bond. A 252, 397-430.

254. Lighthill, M. J. 1965 Group velocity. J. Inst. Maths Applies 1, 1-28.

255. Lighthill, M. J. 1967 On waves generated in dispersive systems by travelling forcing effects, with applications to the dynamics of rotating fluids. J. Fluid Mech. 27, 725-752.

256. Lighthill, M. J. 1978 Waves in Fluids. Cambridge University Press.

257. Lighthhill, M. J. 1986 An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Oxford University Press.

258. Lin, J.-T. and Apelt, C. J. 1973 Stratified flow over a vertical barrier. Lect. Notes Phys., 19, 176-183.

259. Lin, J.-T. and Pao, Y.-H. 1979 Wakes in stratified fluids. Ann. Rev. Fluid Mech. 11,317-338.

260. Lin, Q., Lindberg, W. R., Boyer, D. L. and Fernando, H. J. S. 1992 Stratified flow past a sphere. J. Fluid Mech. 240, 315-354.

261. Liu, J. Т. C. 1979 Generation of interfacial gravity waves by submerged regions of fluctuating hydrodynamical motions and fluid inhomogeneities. Phys. Fluids, 22(5), 814818.

262. Lofquist, К. E. B. and Purtell, L. P. 1984 Drag on a sphere moving horizontally through a stratified liquid. J. Fluid Mech., 148, 271-284. -334.

263. Malvestuto, V. 1979 Internal wave motion in a periodic stratification. Phys. Fluids, 22(10), 1862-1867.

264. McLaren, Т. I., Pierce, A. D., Foul, T. and Murphy, B. L. 1973 An investigation of internal gravity waves generated by a buoyantly rising fluid in a stratified medium. J. Fluid Mech. 57, 229-240.

265. Mei, С. C. 1976 Flow around a thin body moving in shallow water. J. Fluid Mech., 77(4), 737-751.

266. Meng, J.C.S. and Rottman, J.W. 1988 Linear internal waves generated by density and velocity perturbations in a linearly stratified fluid. J. Fluid Mech., 186, 419-444

267. Miles, J. W. 1962 Transient gravity wave response to an oscillating pressure. J. Fluid Mech., 13(1), 145-150.

268. Miles, J. M. 1968 Lee waves in stratified flow. Pt. 2. Semi-circular obstacle. J. Fluid Mech., 33(4), 803-814.

269. Miles, J. W. 1969 The lee-wave regime for a slender body in a rotating flow. J. Fluid Mech. 36,265-288.

270. Miles, J. W. 1969 Transient motion of a dipole in a rotating flow. J. Fluid Mech. 39, 433-442.

271. Miles, J. W. 1971 Internal waves generated by a horizontally moving source. Geophys. Fluid Dyn. 2, 63-87.

272. Miles, J. W. 1972 Internal waves in a sheeted thermocline. J. Fluid Mech., 53(3), 557-573.

273. Miles, J.W.and Chamberlain, P.G. 1998 Topographical scattering of gravity waves. J. Fluid Mech., 361, 175-188

274. Miles, J. W. and Huppert, H. E. 1969 Lee waves in a stratified flow. Part 4., Perturbation approximations. J. Fluid Mech. 35, 497-525.

275. Miloh, T. and Dagan, G. 1985 A study of nonlinear wave resistance using integral equations in Fourier space. J. Fluid Mech., 159, 433-458.

276. Miropol'skii, Yu. Z. and Shishkina, O.V. 2001 Dynamics of internal gravity waves in the ocean. Boston: Kluwer Academic Publishers.

277. Morozov E.G. Internal Tides. Global Field of Internal Tides and Mixing Caused by Internal Tides. "Waves in Geophysical Fluids", Springer, Wein New York, 2006

278. Mowbray, D. E. and Rarity, B. S. H. 1967 A theoretical and experimental investigation of the phase configuration of internal waves of small amplitude in a density stratified liquid. J. Fluid Mech. 28, 1-16.

279. Mowbray, D. E. and Rarity, B. S. H. 1967 The internal wave pattern produced by a sphere moving vertically in a density stratified liquid. J. Fluid Mech. 30, 489-495.

280. Muller, P. and Liu, X. 2000 Scattering of internal waves at finite topography in two dimensions. Part I: theory and case studies. J. Phys.Oceanogr., 30, 532-549.

281. Muller, P. and Liu, X. 2000 Scattering of internal waves at finite topography in two dimensions. Part II: spectral calculations and boundary mixing. J. Phys.Oceanogr., 30, 550-563.

282. Nestegard, A. and Selavounos, P. D. 1984 A numerical solution of two-dimensional deep water wave-body problems. J. Ship Res., 28(1), 48-54.

283. Newman, J. N. 1977 Marine hydrodynamics. Cambridge: MIT Press.

284. Newman, J. N. 1984 Double-precision evaluation of the oscillatory source potential. J. Ship Res., 28(3), 151-154.

285. Newman, J. N. 1985 Algoritms for the free-surface Green function. J. Eng. Math., 19(1), 57-67.

286. Noak, B.R. and Eckelmann, H. 1994 A low-dimensional Galerkin method for the three-dimensional flow around a circular cylinder. Phys. Fluids, 1, 124-142.

287. Noblesse, F. 1981 Alternative integral representations for the Green function of the theory of ship wave resistance. J. Eng. Math., 15(4), 241-265.

288. Noblesse, F. 1982 The Green function in the theory of radiation and diffraction of regular water waves by a body. J. Eng. Math., 16(2), 137-169.

289. Orlanski, I. and Ross, В. B. 1973 Numerical simulation of the generation and breaking of internal gravity waves. J. Geophys. Res., 78(36), 8806-8826.

290. Peat, K. S. and Stevenson, T. N. 1975 Internal waves around a body moving in a compressible density-stratified fluid. J. Fluid Mech. 70, 673-688.

291. Pedlosky J. 2003 Waves in the ocean and atmosphere: introduction to wave dynamics. Academic.

292. Peters, F. 1985 Schlieren interferometry applied to a gravity wave in a density-stratified liquid. Exp. Fluids, 3(5), 261-269.

293. Phillips, D. S. 1984 Analytical surface pressure and drag for linear hydrostatic flow over three-dimensional elliptical mountains. J. Atmos. Sci. 41, 1073-1084.

294. Phillips, О. M. 1977 The dynamics of the upper ocean. 2nd ed. Cambridge e. a.: Cambridge Univ. Press.

295. Pidcock, M. K. 1985 The calculation of Green's functions in three dimensional hydrodynamic gravity wave problems. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 5(10), 891-909.

296. Pramanik, A. K. and Majumdar, S. R. 1985 Capillary-gravity waves generated in a viscous fluid. Phys. Fluids, 28(1), 46-51.

297. Ramirez, C.and Renouard, D. 1998 Generation of internal waves over shelf. Dyn. Atmosph. Oceans, 2, 107-125.

298. Rao, A. R. 1979 Green's function solution of a water wave problem in a stratified ocean of finite depth. Int. J. Eng. Sci., 17(5), 527-532.

299. Rehm, R. G. and Radt, H. S. 1975 Internal waves generated by a translating oscillating body./. Fluid Mech. 68, 235-258.

300. Schooley, A. A. and Hughes, B. A. 1972 An experimental and theoretical study of internal waves generated by the collapse of a two-dimensional mixed region in a density gradient. J. Fluid Mech., 51(1), 159-175.

301. Sharman, R. D. and Wurtele, M. G. 1983 Ship waves and lee waves. J. Atmos. Sci. 40, 396-427.

302. Shen, H.-T. and Farell, C. 1977 Numerical calculation of the wave integrals in the linearized theory of water waves. J. Ship Res., 21(1), 1-10.

303. Simon, M, J. and Ursell, F. 1984 Uniqueness in linearized two-dimensional water-wave problems. J. Fluid Mech., 148, 137-154.

304. Simpson, J. E. 1982 Gravity currents in the laboratory, atmosphere, and ocean. Annu. Rev. Fluid Mech. Vol. 14. Palo Alto, Calif., 213-234.

305. Snyder, W. H., Thompson, R. S., Eskridge, R. E., Lawson, R. E., Castro, I. P., Lee, J. Т., Hunt, J. C. R. and Ogawa, Y. 1985 The structure of strongly stratified flow over hills: dividing-streamline concept. J. Fluid Mech., 152, 249-288.

306. Sobolev, S. L. 1965 Sur une classe des problemes de physique mathematique. Simposio Internazionale Sulle Applicazioni Dell'Analisi Alia Fisica Matematica, Cagliari-Sassari, September 28-October 4 1964, Edizioni Cremonese (Roma), pp. 192208.

307. Staquet, C. and Sommeria, J. 2002 Internal gravity wave: from instabilities to turbulence. Ann. Rev Fluid Mech., 34, 559-593.

308. Stevenson, T. N., Woodhead, T. J. and Kanellopulos, D. 1983 Viscous effects in some internal waves. Appl. Sci. Res, 40, 185-197.

309. Suzuki, M. and Kuwahara, K. 1992 Stratified flow past a bell-shaped hill. Fluid Dyn. Res. 9, 1-18.

310. Sykes, R. I. 1978 Stratification effects in boundary layer flow over hills. Proc. R. Soc. Lond. A 361, 225-243.

311. Thomas, N. H. and Stevenson, T. N. 1973 An internal wave in a viscous ocean stratified by both salt and heat. J. Fluid Mech., 61(2), 301-304.

312. Thorpe, S.A. 1975 The excitation, dissipation and interaction of internal waves in deep ocean. J. Geoph. Res., 3, 329-338.

313. Thorpe, S.A. 1999 On the breaking of internal waves in the ocean. J. Phys. Oceanogr., 29, 2433-2441.

314. Tolstoy, I. 1973 Wave Propagation. McGraw-Hill.

315. Turner, J.S. 1973 Buoyancy effects in fluids. Cambridge University Press, London, UK, pp.367

316. Van Dyke, P. 1973 Bottom depth effects on regular surface waves due to a submerged Rankine body with attached vertical column. J. Hydronautics, 7(2), 78-84.

317. Voisin, B. 1991 Internal wave generation in uniformly stratified fluid. Part 1. Green's function and point sources. J. Fluid Mech., 231, 439-480.

318. Voisin, B. 1991 Rayonnement des ondes internes de gravite. Application aux corps en mouvement. Ph.D. thesis, Universite Pierre et Marie Curie.

319. Voisin, B. 1994 Internal wave generation in uniformly stratified fluids. Part II. Moving point sources. J. Fluid Mech., 261, 333-374.

320. Watson, G. N. 1966 A Treatise on the Theory of Bessel Functions (2nd edn). Cambridge University Press.

321. Whitham, G. B. 1974 Linear and nonlinear waves. New York.

322. Wickerts, S. and Kallen, E. 1990 Observations and modeling on internal waves in a strongly stratified ocean. FOA rapport C20784-2.7, Februari 1990.

323. Winters, K.B., Lombard, P.N., Riley, J.J. and D'Asaro, E.A. 1995 Available potential energy and mixing in density-stratified fluids. J.FluidMech., 289, 115-124.

324. Wolfe, P. and Lewis, R.M. 1966 Progressing waves radiated from a moving point source in an inhomogeneous media. J. Diff. Equat., 3, 328-350.

325. Wu, J. 1969 Mixed region collapse with internal wave generation in a density-stratified medium. J. Fluid Mech. 35, 531-544.

326. Wunsch, C. 1968 On the propagation of internal waves up a slope. Deep-Sea Res., 15,251-258.

327. Yanovitch, M. 1962 Gravity waves in a heterogeneous incompressible fluid. Comm. Pure Appl. Math., 1, 45-61.

328. Yeung, R.W., Rhines, P.B. and Garrett, CJ.R. 1982 Shear-Flow dispersion, internal waves and horizontal mixing in the ocean. J. Phys. Oceanogr., 12, 515-527.

329. Yih, C.-S. 1980 Stratified flows. New York: Acad. Press.1. M eJU. -($9