автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики физических процессов и явлений на основании дифференциальных уравнений высших порядков

. i ü

1 1 НОЯ 1S25

Ф1зиш-мехашчш1й iiicrirryT Нацюнальшл академл наук Украши

На правах рукопису

БУНЬ Ростислав Адамович

математичне моделювання динам1к .1 ф13ичних процес1в на ochobi диференц1альних ршнянь вищих Лорядкгв

Спещальшсть: 05.13.02 - "математичне моделювання ; в наукових досл1джеш№с"

АВТОРЕФЕРАТ дисергаци на здобуття наукового ступеня доктора техшчних наук

Лшв — 1996

Дисератщею е рукопис.

Робота виконана в ФЬикр-мех«очному шституп HAH Украши.

Офвдйш опоненти: чл.-кор.НАН Украши,

докт. 4пз.-мат. наук, проф. СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович

докт, техн. наук, проф. МАНД31Й Богдан Андрхйович

докт. техн. наук, проф. СИНИЦЬКИЙ Лев Аронович

Провшна оргашзацш: 1нститут елекгродинамши HAH Украши (м.Кщв)

Захист вщбудеться " ^О 1996 р. о Jji.L. год.

на зааданш спещашзоважн вчено! ради Д 04,01.02 при Ф1зико-ыехгипчному iHcrmyri HAH Украши (290053, Льв1в, вул. Нау-кова, 5). ,

3 дисертащею можна ознайомитися у-бйыпотещ Ф1зико-мехашч-ного шституту {IAH Украши (290053, Льв1в, вул. Наукова, 5).

Автореферат роздслаиий __ 1996 р.

В.о. вчсного секретаря епещал1зовано1 вченоУ рада, докт. техн. наук, доцент ( -v Д1кмарова Л.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальность проблем». Математичне моделюиашш широко ви-користовуеться в р1зноманшшх областях людсько! д1ялышст!. Результат! I такого модолювання дають змогу персдбачити розвнток процесу, розрахувати його характеристики, керувати цим проце-сом, лроектуватн системи з бажаними характеристиками тощо.

Особливу роль при цьому мае: математичне модолювання р1зно-маншшх дтшнчних систем, тобто систем, о яких величш-ш, що характеризуют стан, змшюються в чаек Моделями таких об'ошв на макрор|31п е систекш звичайних диференшалышх р1внлнь з за-даними ночатковими умовами, в яких незалелшою змшною к час. В основ! таких моделей лежать компонент!» р1вняиия окремих слс-мегшв та тополопчш ршняшш, вид яких втначаеться фЬнчннми чи шшими законами, що лежать в основ! цнх моделей, 1 яю в!добра-жаготь зв'язшг мш; окремими еле"ентами.

Процедур» побудови математичних моделей звичайно базуються на законах, що вццюсятьея до конкретаих наукових областей. Тому питания формуваннл математичних моделей можиа розглядати лгол с стосовно конкрешоУ галузГнауковпх доелдасень. В дашй робот1 щ питания розглядаються на прикладах побудови математичних моделей перехщних процест у нелппйшгх електричних колах та р!шенш задач небсснси механпси 1 екологн. Роз екнул в дашй робогс . нов! шдходи до формування моделей базуються на доробку вщомих вчешгх-електрртехннив, таких як В.Атамов, О.Архш¡гельсьгаи";, Р.Базнлевнч, С.Басан, Б.Баталов, З.Бененсон, Б.Влажкевич, Т.Блейкслц В.Бондаренкй, С.Букашкш, Г.Влах, Г.Возняцш, б.Гло-ршзоа, Д.Данътоз, К. Дсмирчяи, Р.Дмнтркшии, В.Ьчын, Д.Калахан, Ю.Калшболотськлй, А. Ланке, М.Максимович, Б.МавдзШ, П. Мат-ханов, В.Миронов, Л.Нагорпий, Шоренков, Пен-Мга Лш, В.Пер-хач, А.Петренко, Г.Пухов,- М.Ронто, Л.Сшшщ>кий, В.Спгорський, В.Слшченко, П.Стах1в, Дж.Стюарт, Дж.Фщлер, б.Чахмахсазян,

Л.Чуа, ^.Шатров та ilffli. Особлива увага звернута при цьому на тдходах, пов'язаиих з методом тдсхем та побуцовою макромоделей багатонолюених тдсхем. /

Питания знаходження розв'язку матсматичних моделей, ппсдстав-лепнх диференшальнимн р1вшшнями, носять ушверсалышй характер. Чпслов! методи, яш при цьому використовуються, придатш до знаходження розв'язку матсматичних моделей дишпичних систем в загалыюму, безвщюсно до ШчоУ-небудь галуз} наукових дослш-ыта. Значний впесок у розвйток числовых ыетод1в для pißimitb пер-шого порядку пробили: К.Бабенко, М.Бахвалов, К.Бренен, К.Пр, С.Годунов, В.Горбатов, В.Крилов, В.Малшов, Г.Марчук, М.Меи-рон, Дж.Ортега, Л.Петзольд, Ю.Ракитеький, О.Самарський, А.Сншвкованш-Вшчснтс-лл!, Р.Слоньовський, Дж.Трауб, Л .Турчак, Дж.Уатт, Дж.Ф< !j)3ircp, Дж .Форсайт, Е.Хайрер, Р.Хсмыииг, Г.Хеч-тел, Дж.Холл. Л.Шемпайн. Х.Штеттер та зша.

Як правило, при моделюваши дштпчних ироцеав приннято ви-кориетовупати р1вняння з похщнимп вшшочно першого порядку. У значив Mipi це повязано з тнм, то кнуе добрерозроблений апа-рат числозих методш i вщповщшх програмшх засо'лв розв'нзуван-ня таких ¡шшяль. Натомить. в ряд'1 наукових областей доглиы:у-viaui проуеен мають ту оечншишеть, що в ix математлчному oimci прпсутш noxi.uii нешдомих не тьчьки першого, а i 61льш вксоких поргдкш. Модс.'П, в яга1Х мк"гяться таш похши, можна звести до снегеми рлшяиь першого порядку. Проте, такн процедура веде до додчткок/.ч иезручностен при фор»шпзащгзадач1, а також суптво зГчлгшу.: розмфН1сть задач! i оочислюпальш затрати.

Тому ;Чтуалъною с розробка нового пщходу, л кий дак можли-üicTL 6yrj вати математичш модема дшшм^чшис ripoueeiB у иигляд!. pißioiHb витщк порядив i ефектшшо розвязувати ix бел здшенення' будь-яких додатковнх onepauifi, Оенопт науков! резз'льташ дисер-тацп одержано в ход! виконання планових пауково-дослщлгх роГйт Ф1зико-мехашчного шетитуту HAH Украши (Постанови ПрезшйУ

HAH Укра'щи N 3 тд 22.02.94, N 18 шд 25.12.89, N 474 шд 27.12.85, N 1195 вщ 09.06.86 та N 585 вщ 30.12.81), проект Державши науково-техтчлоУ програми 06.02.02 ДКНТПП Украши "Перспек-тивт шформагийти технолога i сйстеми" та господарських дого-

Bopio.

Об'ектом досл1джен1Ш е математичш модел1 дишипчшк про-Uecia i систем. Предметом дослдокешш е метода побудош! мате-матичних моделей у виглщц звичайних диференц'шлытх ршнянь вшцих порядив та методи числового розв'язування таких р1внянь.

' Метою роботи е створенпя метода та засоб1в математпчного моделювання динашни ф1зичних процеав i явищ з використанням диференщальних р1внянь вищпх порядюв, яю базуються на нових шдходах до формування моделей та нових числових способа розв'я-• зуваиня 'р1в!1яиь вшцих порядюв без зведення Тх до системи решишь першого порядку в нормальшй формь

Досягнення мети здШснюеться шляхом розв'язання таких задач:

— розробка Д1акоптичного ni&vQZjy до побудови модел1 динамично}' систем!! у виглВД! р'тнянь вищих порядюв на прикладах анал1зу псрехщпгх процеав в складному нелпийному електричному колг,

-- розробка нового класу неявних багатокрокових числових методов для математичних моделей з похитим» вищих порядюв, ям базуються на узагальнених формулах диференшювання з ршш-цями назад (узагальнеш методи ФДН), використовують апроксима-uiio невщомих ¡нтерполящйними многочленами з краткими вузлами i вщМзняються В1Д В1домих метощв В1дсутшстю процедури зведення р1внянь вищих порядшв до системи р!внянь з тшдними ильки першого порядку;

— створення основних BapiairriB узагальнених методав ФДН для моделей вищих порядюв, розробка метод1в ошнки локальних похи-бок цих метод1в та знаходакеннп ix областей criftKocri; розробка уза-, гальнених метсойв ФДН, яю базуються на апроксимацй' старших

поэадних нггерполяшйними полшомами заданого степсня;

— на осноп! запропонованих тдходш до математичного моделю-вання линямиш ф1зичних процеав I явшц розробка алгор'тлпв та програмних засоб|в для побуцови моделей тахх числового розв'язу-вання; ошнка числа арифметичних операц!й для узагальнених методв ФДН та пор^вняння IX з рядом вщомих методав;

—- використання розроблених даакоптичних гадхошв до побупови математичних моделей диналпчних систем при розв'язуванш. задач електротемнки, небесноТ механ1ки та екологГь

Метода досл'цркень. В основ! методологи дослишень лежать роз-роблеш в диоертащУ пцеходи до формувамш математичних моделей та знаходження Ух розв'язшв. В дослщженнях використовуються також загальш положения та метода математичного моделювшшя 1 обчислюпальноУ математики. При побудов! моделей для електро-техшчних задач використовуються загальш положешш теори елек-тричних мл (елементи теори граф1в, методу, пщехем, метошв анашзу перехшж процеав). >

Достош'рш'сть основних наукових положень та отримагагх результата» забезпечуеться коректшетю постановы! розглянутих задач, строп стю математичних перетворен: сшвпащншш отриманпх формул в часткових випадках з вщомимк результатами.

Наукова новизна роботи. В робот! розроблено новий науковий иапрям—Ч-творення Ж'тодш та засобш математичного моделювашгя д; пшики ¿>шчних процеав ! явшц на основ! диференэдалших рап-щшь ¡.лщих порядив, як! полягають у застосуваиш нових п!дход!в до формування моделей та нових числових епособш розв'язувашш ртиянь виших порядкт без зведення к до сисгеми ршнянь першого ' порядку- В рамках цього паукового напряму отримано хаю основт пауков! результата: .

—■ розроблено нов! шдходи до формування матоматичноУ модел1 П'?рех!днс;го процесу и складному нелишнему електричному кол!,

' с

яю включають: метод побудови математичноУ модел1 багатополюсноУ тдсхеми у вигляд1 [лвнянь вгацих порядив мМмальноУ рапнриогп; метод одержання математичноУ модел1 кола, як об'еднання шдсхем, при опис! Ух р1внянняьш вшцих порядюв; алгоритмы формувашш 1 розв'язування р1вняиь для визначення початкових умов па ос-нош початкових значень змшних стану;

— для моделей з похущими вшдих порядив створено новий клас неявних багатокрокових числових метода», як! базуються на узагаль-нених формулах диференциовашш з рЬницями назад 1 використо-вують апроксимацно невщомих штерполящйними многочленами з кратними вузлами;

— одержано ощнку локальноУ похибки узагальненнх метсэдв ФДН та розроблено методик}- визначення Ух областей стшкога, знайдено границ! областей спйкост! низки часткових вар!ант!в;

— розроблено основн! варпшти рсал1заци узагальненнх мепдав ФДН; однокроков1 вар}анти; вар:шти, яы забезпечують найшвид-ший ркт степеня штерполящйного многочлена; вар1анти з мгамиль-гшм числом крошв назад; вар1анти з постнйою кратшстю вyзлiв ш-терполяцн; запропоновано спрощену реал^зацно узагальнсного методу ФДН для л!щйних моделей вшцих пордщав;

— для моделей вищих порядив розроблено узагальнеш методи ФДН, яш базуються на апроксимаци старших пох!дних штерполящйними шшномами заданого степеня;

— для задач моделювання перехщного процесу в електричному кол! розроблено: метод одержання початкових умов при перетворит! операторних макромоделей лннйних тдсхем у диференщалын р1внянпя; метод формувашш модел! кола на основ! макромоделей його лнпйних 1 пелннйних частнн у винищ р1внянь вищих порядюв шдносио зовшшшх величин; метод формувашш дискретних макромоделей багатополюсних шдсхем на основ! узагальненнх формул диференщювашш з р1зницями назад;

-— для задач моделювання-у небесшй мехашц! розроблено чи-

слот мегоди, яи не пикористовують перших шшдних невщомих; для р1внянь хретього порядку, що не лпстять окрсмих похздних не-вщомих, розроблсно узагальнен! методиФДН, дао враховують спе-цифшу пих р1внянь 1 дозволяють уникнути виконання додаткових операшй з першими та другими похишими невщомих;

- розроблсно даакоптичний шдогд до моделювання кругообну вуг-лецю в б!осфер'1, розроблено метод формування модел! репональ-ного кругооб1гу, а також метод побуцови модеЛ1 глобального круго-об^гу на основ! регюнальних моделей та р'тнянь зв'язку.

Практичне значения результата. Розроблеш в робот! метода та алгоритма дають можлишсть формувати модел1 дщтпчних про-цеств у вигляд! р!внянь виших порядив 1 розв'язувати 1х без зве-дення до систоми першого порядку бьтьшоТ розм1рносп. Тим самим змеишуються обеяги обчислювальних затрат, спрошуеться процес числового моделювання I його результата сгають наочшшими.

Створеш метода побудови моделей перехшшх процеав у склад-нпх нелнлйиих елсктричних нолях на баз! макромоделей пщехем дають можлхансть формувати моде.ш багатополюсних пщехем у виг-ляд! р1шшнь сиключно вшносно зовшшшх Величин. При цьому роз-?,ш>пкт1> модол1кола в цшшу, як об'еднання пшехем, р мипмальною 5 доршнкн: сумарному числу нсзалежннх зоашшшх полюав }члх п!д-схем.

Розроблеш методи та алгоритми числового розв'язувашя моделей'! виших порядив з викорипанням узагнльнених формул дпферен-циозанпя п рЬнпцями назад дають можливк'хь знаходити розв'язкн таких моделей без додаткового ззедешш Ух до систем р!внянь першого порядку ! лов'язаного з Щ1.м зб!льшоння розлпрност! задач!. Це дае яримцшову мож;швк:ть зпизити обчиелювальш затрати при числовом)' аналш моделей. Багатоманпшсть вар!анпв розроблених узагальпених метода ФДН, як! базуються на використаши р!зно-машхних штерполяшйних шок, ыдкрпиають можлииосл здшенення проблемно! адаптацй алгоритм'ш в ход! числового шшнзу.

Розвинутс числсш метода для моделей, що не мктять перших по-хцдаих невшомих, дають можтткть розв'язуваги задач! небееноУ механида без зведення вихщних моделей до снстеми р'тнянь пер-шого порядку, що суттево зшккуе обсяги обчнслювальниз затрат за рахунок вшшочення операщй з першими шшдпими.

Розроблеш1й даакоитичний пцтад до моделговання крупктагу пуг-лецю в бюсфер! розширюе область адекватное^ модель дае можли-В1сть враховувати неоднордоисть протшання бкгам'^их процес5в у р1зшх регюнах планета.

Реал^защя результате. На основ! розроблешк методов матсма-тичного моделювання динамш! ф!зичних процеав 1 явшц з вико-ристашш диференщальних ртвднь вищих порядив створено алго-ритми та В1Дповщп програмш засоби для побудови моделей та Ух числового розв'язування. Розроблено програмш засоби формування модел! перех1дного процесу у складному нелшшному електрнчному кол» на основ! опису тдсхем макромоделями у винищ р1внянь вищих порядшв вщносно вшшочно нез-лелишх зовшшшх величин. Розроблено програмн! засоби числового штегрування нелшшних (1 як спрощений вариант — лпийпих) моделей вищих порядшв на оспоги узагальнених ыетод1в ФДН. Створено програмн! засоби ¡мтщш-иого моделювання нругооб1гу вуглецю, яга базуготься на д1акоптич-иих шдходах до формування модел1 1 враховують неоднорщшсть протшання бюх1м1чш!х прицепи в р1зних репоиах планети.

Розроблеш на основ! запропонованих метод1в 1 алгоршлпв програмш засоби анал1зу електричшгс шл методом тдсхем на основ! р1внянь вищих порядшв включено в САПР аналогових засоб1в елек-тровтпрювальноУ техшки в СКВ мшроелектрошки в приладобу-дуваши Льв1вського ВО "Мшроприлад" та в САПР лопчних ш-тегральних схем на основ! МДН-транзистор1В на Кшшшшському завод! "Мезон". Окрем! програм!и засоби були включен! в Дер-жавний фонд алгоритмов 1 програм та передан! для викорлстання зацшавлсним оргашзашям.

Апробащя робота. Ochobhí науков1 результата та положения дисертащйноУ роботи доповщалис-я та обговорювалися на м^жиар синих, всесоюзних, республшанських та галузевих науково-техшчних конференциях i школах-семшарах, у тому числк на МЬкнародпгх науково-техшчних конференшях " Проблем! ф!зично1 i бюмедично1 електрошки" (Киш. 1995 та 1996 рр.); на Всеукрашсьшй науко- ■ bíü конференцй "Розробка та застосування математичних методав в науково-техшчштх досл1дясеш1ях" (Льв1в, 1995 р.); на Перший та ДругШ укра'шських конфсрешвях з автоматичного управлншя "Автоматика-94" та''Автоматика-95" (Кшв, 1994 р.; jlbbíb, 1995 р.); на Першш м!жнародшй науково-техшчшй конференцй "Матема-тичне моделювання в елсктротехшщ й електроенергетищ" (Льв1в, 1995 р.); на М^жнародшй конференцй "Hobí шформащйщ технологии науш, ocbítí, медициш та 6¡3Heci" (Москва, 1994 р.); на Пср-uiiíi мЬкнарсдшй конференцй з шформацнших технолопй i систем (Лыйв, 1993 р.); на Науково-техшчнш конференцй "Фундамен-тальш та приклада! проблемн kocmÍ4hiix дослдокень" (Житомир, 1993 р.); на Наукоглй конференцй, присвячешй 40-р!ччю ф1зичного (факультет}- Льв1вського держушверситету (Льв1в, 1993 р.); на Рсс-публшансьый науково-техшчнш конференцй' "Проблеет автомати-зованого моделювання в слектрошщ" (Гшв, 1993 р.); на III та IV на} л<ово-техн1Ч1шх конференшях "Проблеми шлпшшоТ електроте-хшки'- (Черкаси, 1938 р.; Кшв, 1992 р.); на Всесоюзны конф^енцп "Матсматнчне моделювання в енергетищ". (КиУв, 1990 р.); на Míjk-нарсш.ш науково-техшчшй конференцй !'1шегращя систем. цшьовоУ шдготоьки спедоинспв i автоматизованих техщчних систем р1зно-маштного призначення" (Алушта, 1990 р.); на' VIII iHMwi-ccMÍHapi "Матсматичне i машшше моделювання в мшроелсктрошщ". (Паланга, 1991 р.); на Республшанських конференш-'гх "Проблемна адапташя алгоритшчного та ¡нформащ иного забезпсчешгя САПР" (Кшв. 1D87,1988 та 1990 рр,); на Науково-техшчшй нарад'ьсемшар! "'ПроОлеми автоматшацй" функщонального проектувашш PEA" (Ta-

lo

ганрог, 1989 р.); на IX республшансыий ншш-семшар! з теоретично! електротехшки, електрошки i моделювання (Льв'т-Шацьк, 1987 р.); на V та VI Всесоюзних птолах-семшарах "Розпаралелю-вання обробки шформаци" (Лшв-Косш, 1985 та 1987 pp.); на CeMinapi НауковоУ ради АН УРСР по комплексшй проблем! "На-ужш основи електроенергетгаои" (Кит, 1987 р.); на Друпй кон-ференцн "Проблеми гадвшцення якоси матер1ал1в, прпладш та об~ ладнання" (Льв'т, 198G р.); на 8-i'ft Республшансыий ишольеем'шар! По теоретичтй електротехшщ i електрошщ (Льв^в-Шацьк, 198G р.); на CeMinapi Науково'1 ради АН УРСР по комплексшй проблем! "Теоретична електротехнша, електрошка i моделювання" (Лшв, 1981 та 1985 pp.); на Друпй, Треий та ЧетвертШ республшанських нарадах-ceMiimpax з машинного проектувашш електрошшх схем (Лшв-Славськ, 1981, 1983 та 1985 pp.); на Всесоюзшй науково-техтчтй коиференшУ "Моделювання-95 (1Mb, 1985 р.); на Рес-публжапсыйй коиференцп "Моделювання та ¡дентифшащя компонент i вузл]в електронно! техники" (Ки'ш, 1985 р.).

На захист виносяться таш ochobih пололшиня:

— лшсоптичш шдходн до побудовн математичних моделей переходник процеслв у нелш1йному електрпчнолгу кол! у вигляд! р!внянь вгашгх порядшв, яю ышочають: метод побуцови модел! багатопо-люсноУ гпдехешх у виглядт р1внянь вгадих порядив, невщомт.га: в яких виступають вшиночно зовншпп по в1дношенню до тдсхеми величшщ; метод формувашл модел1 кола, як об'аднаиня шдсхем, при oroici Тх р!вняннями вшцих порядок; алгоритми формувагаш i розв'язувгшпя р'юняиь для визначення початкових умов модели з викорнстанням початкових значеиь змшних стану;

— давкй клас ггелвних багатокрокових числовпх методт для роз-в'язування моделей вшцих порядшв, яш базуюгься на узагальнених формулах дпферешщовання з р1зпицяш назад i використовують апрсжскмацш нев'щомих ¡нтерполягвйними многочленами з краткими цузлами; результат даслущень по оцшщ локалыгих похибок

цих метощв та метода визначення Ух областей сийкостг

— основш вар^анти реал1защ\' узагальнених метода ФДН стосов-но розв'язування моделей з пох1дними вищих порядив (ода экроков1 вартнти; вар!антп, яю забезпечують найшвщщшй р1ст степеия ш-терполяшйного многочлена; вар!анти з мшшальним числом кроюв назад; варианта з посетйною кратшстю вузл!в штерполяцн; спро-' щена реашашн узагалькеного методу ФДН для лшйних моделей вищих порядюв; узагальнеш метода ФДН, яю базуються на апрок-симашУ старших иохцших штерполяхвйшши полшомами заданого степеня);

— алгоритми I програмш засоби реал1защ1 залропонованих шдхо-да до математичного моделювання дцнами<и ф1зичних процеав 1 явшц з шшористанням диферешвальних р!внянь вищих порядшв;

— - метод формування моде л! переходного процесу в електричному кол! на основ! макромоделей його лшйних 1 нелцайних частин у вигляд1 р1внянь вищих порядшв; метод одержання початкових умов при перетворенн! операторних макромоделей лшйних шдсхем у ди-ферешвальш р'тнотшя; метод формування дискретних макромоделей багатополюсних шдсхем на баз1 узагальнених формул диферен-циовання з р!зницями назад;

— чиелов! методи для розв'язування задач небесно! механики, яю не пикористовують перших похщних невщомих; узагальнеш мекди ФДН для ршнянь третього порядку, що нешстять окремих похщних невщомих;. '.•.'"•"■■ ■ ~ '••.-.'.

— д!акоптичний л!дхщ до моделювання кругообиу вуглсщр в бю(\^ер1, метод формуватш модел! регионального ьч>угообку, а та-кож метод побдаови модт глобального кругоойгу на основ! репс-. нальних моделей та ршнянь зв'язку. . .

Публшаци. По тем! дисертащйноУ робоги опублшоваш 62 ту-. ков! пращ. . . ; V/• •.•."--'■■■.■

Структура та обсяг роботи. Диеертац!йна робота складаехься з . вступу, семи роздшв, висновшв, списку використаноУ лператури та

додатоп. Робота пикладена на 355 сторишах 1 пключае 263 сторпши основного тексту та список лггератури 1з 480 найменувань.

основний зм1ст роботи

У встуш обгрунтовуеться актуальшсть проблем! математич-ного моделюпання динам1ки ф!зичних процесш з пшсористашшм р1в-нянь вищих трядюв, формулюються мета та основю задач! доелщ-женъ, подаеться анотащя основних положенъ роботи.

. В першому розд1л1 розгашуто питания побудови моделей дшшичних процеав I систем у вигляд1 дифереищалыдах р1вня!п> вищих порядгав. Наведено традпщйга формн представления моделей перехщних процеав та описано облает застосупання моделей з шхщгшт вищих-порядки). Використовуючи задачу дткоптичного формуватпгя р1внянь нелиийного електричного кола прошостровано процедуру побудови моделей вищих порядкш. При цьому розгля-нуто питания формувашш макромоделей багатополгосиих гад схем у вигляд! р1внянь вищих порядгав 1 на Ух осшш — побудови матема-тичноУ моделпшла в ЦШому, якоб'еднашш шдсхем. Зроблено огляд шдомих шдходав до розв'язування моделей вищих порядкш.

В роздш показано, що найбЬтьш вживаною формою представления м'атематпчних моделей динампш фгаичних процеав 1 яв1Щ е си-стемн звпчайних диференщалыпгх р5внлнь першого порядку з вщо-мими незалежшши початковими умовами. Проте, е багато задач (з мехашки, електротехшки, небесиоУ мехашки та ишшх областей), в яких математичгп модсга даслщжупаних процеав чи явгац зру-гго представляти у вигляд1 звичайних диферешцальних р1внянь з по-хщними вищих порядков виду

Ы{4]}, 7 == 1,2,...;гц г = 1,2,...,в}к\ Ь) = 0, к = 1,2,...,п,

г г (1)

з заданими незалежними початкових умовах »¿о = к —

= 1,2,..., n; г = 1,2,..., s — 1. В pimWHffipe (1): Xk{t)yx^(t) — невщом! та ïx похщш r-го порядку, xp(t) = dxrkfdtr; fu — вщомх ïK-Jiiiïifïiîi фупкцп; n — розмУршсть модеш;' l — незашкиа змшна (час), Sji: — максимальшш порядок похщшх j-oï невщоыоУ в к-му рщияши. Taivi модел'|, в принциш, можуть бути предетавлеш як в япшй, так i в неявшй форм!.

Пщходи до фо]).мувашш моделей (1) специф^чга для кожного зо-крсма об'екту чи класу об'ект'ш. Ця специфика поллгае у своерщнос-ïi пщходвдо: впбору властивостейоб'скта, яш шдлягають вщобра-' жошно а ыоделЗ; абору вшадноУ шформацГУ про виб^мш'иластивосл обЧкта; (синтезу структури медош; розрахупку числовых заачеиь параметра» i т.д. В poooïi пропонуеться новий ддакоптнчнш шдаад до иобудови 'модел! виду (1) для задач аиалЬу перехщшгх процсеш у складшлл' нелнийному електричному mai. Пцрад базуехься па форм);:анш математичних моделей гадсхем та кола в цшому, як об'кднання гидсхем. у впшш системи р1вняш> вщюсно зоаншшх

ПСЛИЧНН.

гь.и.зано, то багатополюсиу пщехему бев зияжснпяточиост! мо-дел1 мо;ша описати миймальтш числом р!впянь, яке доршшо<- числу ïï Н'.'залежиих полюмв. Цього мояша досягнути, яйцо з мате-матичш/i' модел], складеноУ на компонентом}' pifliii виклгочи'ш Bci змшш, -цо вшшЫдатоть BtiyîpiuniiM величинам niдсхем! При цьому викорглтовуються ршняння злпшшх стаиу багатополюсноУ пщехеми

Хте, Ещ, t) — О,

де Х„и. -- матриця-етовпець змшних стану m-o'i шдсхеми, Хтс —

= ! ! Х„к\, Х,пг>z,ncj, • • - , ^тспш<. | Г 5 Х}м — МаТрИЦЯ-СТОВПеЦЬ Ух перших похщшх по часу; nr„,n,,ic та пт>, — числа дезалежних зовншш|Х иолюав тдехеми, ц зм'иших сяану та' автономиях дже-рел t'iiejjriï; Хшс -- вектор незалежиих зовшшшх величин тдс-хсда,' А',„с ~ (хте1x,-nci,..., $ юе,2пт)> Ет~ вектор а втономш tx па-.

раметр1В джерел енергп в шдсхеш, Ет = (е„а,..., ет/,..., ет„тк); Фга 5 Ф,„ — матрищ-стовтл нелдайних функщй багатьох змшних. Число р^внянь в щй модел1 дор^внюе сум! числа незалежних зов юшгах полюав пщсхеми \ числа змшних стану. а невщомих в вдй модел1 метиться птс 4- 2п,„.

Розроблено метод побудопи математичши модел1 багатополюсиоУ гадсхеми у виглдщ р1внянь вищих порядив в'щносно невщомих, яки-' ми виступають виключно зовщшш по вщношенню до пщсхеми величина Метод базуеться на додатковому диферешлювашн та ал-гебра!«шому перетворенш р1внянь змнших стану I дозволяе сфо]>-мувати макромодель пщсхеми у виглящ рюнянь

Р (X X(г) Х^"1' Е р(')

»• • • » лте> • • • > те ' ■'-'пи >•■•»

= 0, (2)

де Рт — матриця-стовпець розм>ром пт лел'шШних функщй багатьох змиших; Хт\ — 2пт-м1рний вектор г-х похщних по часу незалежних зовшшшхвеличин пщсхеми, тобто = сГхт^/Мг (3 - 1,2,..., 2пт; г = 1,2,..., 5т); — пт6-м5рний вектор 1-х гошдних по часу автономних параметр!в джерел енергн (I = — 1,2,..., зт). Створений метод побудови макромодел1 дае можли-В1сть звсста число р'шнянь у модел1 тдсхеми до мнимуму, що дор1в-нюе числу незалежних полюав пщсхеми. При цьому невщомими виступають виключно зовшшш незалежш величини (напруги сторш та полюеш струми). На вщмшу вщ традищйних способ1в макромо-делюванпя, пов'язаних ¡з спрощенням моделц таке зменшення роз-кцрност! модел1 не веде до звуження и облает! адекватносп. В робот! описуються випадки, при Я1шх описане вшце виключення вну-тршшх змшних можливе.

Основу для формув;шня математичноУ модел1 кола в шлому, як об'еднання пщехем, складають п ршнянь (п = п™) швдих

порядав макромоделей (2) упх М пщехем та р!вняння зв'язшв, от-римаш иа основ! закошв Шрхгофа з врахуванням способов з^диання

пщехем у кило та з врахуваниям вибрано! система незалежних зов-шшпх величин vcix гадохем. Розроблено метод, який дае можли- ' BÍcTb еформувати модель кола у виглад р1внянь

F(X, X{i1 »,..., Х<г\..., Еу ... \ E{i\t) = fl, (3)

до F— матрида-стовпець вщомих функщй, F = Ц/1,/2, • • .,/*, • ■ • > fn||Г; X — п-м!рний вектор базисних величин кола (невщомих), X — аг2,..., Xj,... ,х„); Х^ — п-MÍpmiñ вектор r-х похщних невщомих; Е — сектор автономних параметр!В джерел енерги, що мктятьгя в колЬ Е = (е\, е>,..., е„ь). "

В xor.i побудови м<1дел"1 (3) використовуються р1вншшя зв'язку, яи складаються з q незалежних вузлових р1внянь струтшв та р контур-ннх piiiimin» напрет, де q —- число незалежних вузлщ у i«mí, р — число незалежних контур'щ в граф1 цього кола, р — n—q. Множила базисних ж-лнчпн кола в ньому випадку складаетьсл з р незалежних полюсних стррив, що вщпошдають хордам дерева в граф! струм'т, та q незалежних HanpjT пщехем, яю вщювщають веткам дерева в граф) напрет. Структуры! р)вняння капа використовуються для вираженш! Bcix 2п незалежних зовшштх величин пщехем xa íx по-хшшх у внгляд*1 лшнйшх комбшашй п базисних величин. Ш вирази об'еднано у матричному равняли

Хс ~ DX,

де А",. - - матриая-стовпець розм^ром 2п незалежних 30BHÍmH¡x величин vcix пщехем, Xt = ||.Yle, Х2с> • .. , xmty. . . , XМс11^ - (1^1,1,

О — ПрЯМО-

кутна матрица, D = j|¿¡;|| (t = 1,2,...,2n:j = 1,2,...,п), при-ному ft:; G {-1;0;1}.

Онайти частковий розв'язок матсматичноУ модел1 (3) можна при Vmobí, що шдомо незалежш початков! умови, Я1сими е <шслов! значения в лочатковий момент часу фтичних величин, яы входять як невщом! в pici№Hiw. У випадку наявност! в 'монет гашдних виших порядив повшпп також бути задан! початков! значения молодших

шшдшгх. В робой розроблсно метод одержання незалежних по-чаткових умов на основ! вщомих початкових значень змшннх стану. Осшльки швидшсть розповсюдження енергн в простор! I як насл^док дього — швидшсть зм1ни запас1в енергн п енергоемких компонентах кола б скшченною, то зм!нн! стану описуються неперервнимн ф}ик-щями часу. Це вщобршкаеться у законах комутащ1 електричного кола, загальний вираз яких мае вигляд

•¿тс}0 = ®тсД^0—) = )

Ут = 1,2,...,М;7 = 1,2,... ,птс, (4)

де хтС} — 2-та зм*1нна стану т-6\ тдсхеми; ¿о- — момент часу, що безпосередньо передув початкосому моменту (моментов! комутацп), ¿0- = Ншо<£-,о(^о — е)- Створено алгоритм, який дае можлшппь формувати 1' розв'язупати р1вняння для визначения початко к значень базисних величин кола та Ух молодших похщних на базг початкових значень змшних стану, виражених стввщношеннями (4).

Представлений в роздш меточ одержання математично!" модел! електричного кола на основ! макромоделей багатополюсних п!дсхем дозволяе звести число р!вняиь модел! до миимуму, який визначаеться загальшш числом п незалежних зовшшшх полюс!в ус!х шдехем, що веде до суттевого зменшення розм!рпост! модел! (на число вну-тр!шшх змшних).

В першому роздш прощкшзовано також недол!ки традищйннх шдахдав до розв'язування моделей вшцих порядшв. Ц! гадходи ба-зуеться на зведешц вюадних моделей до системи ршнта, першого порядку, що ведедо суттевого зб!льшешш розм!рност! задач!. Зроб-лено огляд вщомих метод!в безпосереднього (без зведення до систем! першого порядку) розв'язування р!внянь вшцих порядшв. Бтппсть цих метод!в допускають !нтегруватпш з постйшш кроком р!внянь тдаки другого порядку, представлених у нормальн!й форм!.

Другий роздщ присвячено розробщ нового класу неявних багатокрокових числовнх методав для моделей вищих порядшв. Ме-

тоди базуються на полшом!альшй !нтерполяци з кратними вузлами 1 дозволяють знахсдити розв'язок р^внянь вшцих порядюв без додат-коього зведення !'х до системы першого порядку в нормальней форм!. ВотI е узагальненням в!домого методу, який базуеться на формулах . диференшювання з рЬшшлми назад, на р1вшшня вшцих порядив (узагальнеш методи ФДН).

Припускаетьсл, гцо ситема (1) мае едшшй роз'язок у вигяад! непе-рервнихфункшйяДг) 6 С^сЫ, причому = тах*6{112,...,„} в,-*. Вважаетыя також, що незалежн! початков! умови у вигляш початко-вих значень нсв!домих х,-0 = яД^о) та гх молодших похщних = = ®}г)(*о) задан! для вах ] € {1,2, ..., п} та г € {1,2,,,., $1 — 1}. Допускакться, що залежш початков! умови, якими е початков! значения старших пох!дних можуть бути обчислеш з допустимою похибкою за допомогою в!домих числових метода з рЬшшь (1), записаних для £ =

Розв'язок системи (1) шукаеться у вигляд! шожини наближених дискретних значень кожноУ !з змшних на множит дискретних значень аргумента 6 [¿о, *лг]> де и — порядковий номер крону штегрування, и € {1,2,..., ЛГ}; —дискретне значения часу, яке вмзначае кшець 1^-го кроку штегрування.

Су*ъ пропонованих метод!в полягае Ь тому, що властива вс!м числит»! методам розв'язувашш диференщалышх р!шшнь алгебраУза-ц!я задач! здШсшоеться шляхом шдстановки на кожному кроц! дис-кретизаод в одержашй на основ! р!внянь (1) при t = система .

л({®$?}«з -2> • • •»п;г = • • •>а-) = °>

/; = 1,2,...,п, (5) зам!сть точних дискретних значень пох!дних х^ = х^р(1„) Ух на-

-(г) . . . .

олцжених значень »}„', яю виражеш у вигсвдщ.

^-Y.il (б)

1=1 1=0

Тут ßfvri Та 7>r — коефвденти, значешш Я1шх необхщно внзначити на кожному крощ штегрувания на основ! вщомих значень !г„ (доя-жгаш ¡v-ro кроку дискрстизацп, h„ — t„ — t„_t) та = t„ — г — 1,2,..., fijv', Hjv — число кроив назад при апроксимацп j-oi змшнсТ на //-му кровд; Pjui — щлочиселышй параметр — кратшсть г-го вузла щтерполяцн j-oi нешдомо1 на цьому ;к крощ; —

наближет значения невщомнх та в!дпов1Дних похщних, знайдеш на P-jv {ßjv < v) попередшх кронах (при и — i = 0 внкористоауються задан! початков} умови). В залежноси вщ значень параметр1в pjv та pjui пропоиуються pi3iii BapiaiiTH реал1зацн запропонованого класу методш.

В результат вказаноГ постановки отримусмо систему нелинйних алгебршчних рхвнянь вид}'

eh,.{{xjv}J = 1,2,...,п) =0, к = 1,2,...,п,

в результат! розв'язування яко1 вщомими числовими методами зна-ходимо значетш невщомих, що вг'досщаютъ дискретном}' значешпо t = t„.

Перед переходом до настушюго [и -J- 1)-го кроку штегрування модел! (1) необхщно за формулою (б) на ocnoni знайдешгх оначень обчислитц ri дискретш значения похщнсс xj^, що вдаозщають б'шсучому кроку, яга будуть використовуватисл на настушшх кроках.

3 метою обчислення коефщюшв та уу„г у виразах (6) на кожному- крощ дискретизацн у вщповщиост! i3 (формулою т?^ = {ti> ~ вводиться новий безрозм1рпш1 аргумент з додатшм дапрямком в сторону змеишення t. Bei пепздом], яш е функщямн аргумента I, перетворюють у функцн аргумента Кожну невщому на певному штершш апроксимують полшомом заданого степеня. Для впзначешш коефшдегтв апроксимацп використовуеться iiixep-полщшш-ш многочлен Ермгга та метод невизначенпх коефвдатв. 3 врахуванням зв'язку цих коефвдентш з наближешши дискретнимп значениями похщних одержано формули для обчислення значень ко-

сфщшипв $2, та у виразах (6). Ц1 формула мають вигляд:

0). =__-- = _ >

(7)

дс

/ = 0;

г-1

Н» + £ (р]»к - 1) + / = 1,2,..., - 1.

А=0

У формулах (7) ру„г„ — елеменхи матриц! Р^, оберненоУ по шдношеншо до матриц! Qjl/, елементи якоУ обчислюемо за формулою

4} их-г — *

^М>> ^ 2, . . . э /¿/у,

(г-/)!'

V >

1 = 0; г > г < /;

О, и >

причому у другому рядку шеУ формули нщекс г набувае. значень

г — 1,2,..., за вннятком тих, для яких = 1, нщекс I набувае

значень I = 1,2,..., р^—1, а 1ндекс V заложить вщ значень шдешв

¿-1

г та I за формулою V = - + ]Г) [р]^ ~1) + 1. .

ы о .

В роздш дано ощнку локально!" похибкн визпачення невщомих узагальнелими методами ФДН, яка встановлюе зв'язок м!л; параметрами штсрполящйно1 стой та порядком апроксимашУ числового методу. Розроблено методику визпачення областей стшкост! уза-I альнених метод1в ФДН стосовно. розв'язування моделей з похщними вищих порядив. Знайдсно границ! областей стйкосп низки вар;ан-Т1П узагальнених метоц!в ФДН при розв'язуванн! моделышх задач. ••

Запрэпоновано алгоритми знаходження початкових наближень не-шдомпх на кожному крощ штегрувяння узагальнснйми методами

ФДН, шаги базуеться павшюристанш нггертшпцйних многочлеьчв, що вщпов|дають попередньому кроков! дискретизаци. Р1зниця м!>гс уточненими значениями нешдомих та прогнозовашши значениями враховуеться для автоматичного управлшнл велхпшною крону дио ; кретизаци.

В третьему роздЬп описано основш вар1анти реал!заци уза-га льнених методов ФДН для моделей вищнх порядюв (однокроков! вар1анхи, вариант з мнпмалышм числом кроив назад, варианта з постИшого кратшстю вузл'ш штерполяци та ¡нш,). Розглянуто спро-щену реал1заццо метод!в для лнийпнх моделей вгодих порядк!в та дошджено зв'язок узагальнених метод1в ФДН з вщомимн методами.

Р^здаманти вариант» реал1зацн узагальнетос методш ФДН мож-лапз1 в, залеляюсп вщ значень параметр!в штерполящГцкл стш, яка вщгорисховуеться для апроксимаца нешдомнх, тобто в зал жиосп в!д значень парамехрш тар^. Однокроков! вар1аитн узагальне-них метод1в ФДН характерш поспйним числом крошв назад р]'вшгм одишщ! (/.¿^ = 1) для вслх змшштх {] = 1,2,..., ?г) I на вЫх кронах штегруванпя (и — 1,2,.,., Лг). Стетиь штерполящйного многочлена е посхшшш^на вс']х кронах. В'ш р'шшй максимально можли-вому при — 1 значешда в; + 1.

ОднокрокоВ1 варщнти використовують спрощеш обчислювальш операнд, що виконуються на .кожному крощ ¡нтсгрування. Для ре-ал!заца цих вар1агшв одержано формули для косфпденпв методу

д(') - )

Р]УГ1 - ^

к

¡-г

!1!~г1\(з] + 1 — г)!' . 1 {$] -Ц)!

/ = 0,1,.,.,(г-1);

(^• + 1)!

яш не використовують процедуру зпаходження оберненох матрищ.

Однокрокош варЗанти, на вЗдошу вЗд Знших варЗаппв, не потре-бують так звано! стартозо'1 процедур». Це знаходить свое вщобра-. ження в тотожност! алгоритму реалЗзацц методу на вс1Х. кронах, ' лочщ;аючи з першого. Алгоритм;:, що вЗдпоаЗдають еднокроковим варЗантам, обов'язково використовуються на першому крощ стар-тово1 процедур«, яка характерна ¡шшш вариантам реалЗзатш уза-' гальнецих метощв ФДН.

В ]>озд1Л1 розроблено варЗанти, яш забезпечують найдгохшшй., рЗст степеня Знтерполящйного многочлена 1 якЗ характеризуются максимально можливим числом крошв назад I максимальною крат- "' тетю вузлЗв 1нтерполяцп на всЗх кронах Знтегрування. ВарЗанти з мЗиЗмальним числом кроив назад дають можлшисть досягнутиза-даного степеня ЗтерполяцЗйного полЗиому при мЗшмальному чист крошв назад (мЗшмальному чист вузлЗв ЗнтерполяцЗЗ"). Розроблено також варЗанти, яш характеризуються однаковими на вих кронах 3 для всЗх алишшх кратностями вузлЗв Знтерполяци за винятном вузла, що вЗдповЗдав бЗжучому кроковЗ дискрмгизавд' (варЗанти з постЗйною кратшетю вузлЗв ¡нтерполяхш).

Розглянуто спрощену реалЗзагцю узагальненого методу ФДН сто-совно розв'язуваяня лЗшйних математичних моделей з цохщними вищих порядив. Одержано аналтгичю ..ирази для обчислешш на-блм;ених дискрстних зиачень нёвЗдомих та Ъс похщдах накожному крош числового Знтегрування. .

Показано, що в частковому вйпадку, стосовно до розв?язування моделей, як1 мЗстять П(шдн1 тЗльки першого порядку, варЗайти за-протаовашх узагальнених метощв ФДН з лостЗйно» 1фатнЗстю вузлЗв и;терполяШ1 рЗвиою одиниш, сгавпадають з В1Дошш методом формуя диференщювання з рЬницями назад (методом ФДН). Запропоновши методи е узагальнешшм методу ФДН на рЗвняння з похЗдиими виших порядшв, бо область Ух застосування набагато ширша. . -

В четвертому роздш» для розв'язування моделей вищих

порядшв залропоновапол розроблеио "штегральш" вар!анти уза-'гальнег-шх методт ФДН, як! базуються на апроксимащУ на кожному • . крощ дискретизаци найстарших похцдаих штерполяшйними полшо-мамй зпдалого степеня. Молодив похщн та сам! невцдаш апрок-сшсугать при цьому в1диов1дтт1 ¡нтегралами пказаних полнюшв. Метода вщгосяться до иласу неявних багатокрокопих метода I до-пускають нслвну. форму запису моделей. '. АлгебраУзащя задач! здйснюеться шляхом шдстановки на кожному' крощ в одержан!» на основ! стввщношень (1) при Ь — ¿„ си. м

стаи рлвнянь зашсть точних дискретних значень пох]дних х^' = . !х наближешзх значень х^, представлених у вигляд! о

¡4»

Сутгева вщмМсть пропонованих метода, вщ метод!в Представлених . в другому роздал!, в основ! щсйх лежать вирази (6), полягае в том}', ; що на кожному крощ щтеГрування дискретт значения похщних ви-; ражають у вигляд! липйних комб!нап!й в першу чергу старших похщних (а не самих зшнних), знайдених на попередшх кроках. . На баз! щтерполяшйшк шогочлешв Ермгса для даних варианта узагальиеннх метощв ФДН одержано пирази для наближених дискретних значень поздних на б!жучому крощ штсгрування. В залеж-ност!в!дпибра1ШХ параметргв нггершшпдйяоУ атки, яка використо-вуеться для аИрокашаШ невщомих, можлит р!зноматтт вар!анта реал!зац!У методов, Сшлышм для век цих варштв € те, що ву-зол игсерподяци, я1сий вщшиидае бщучому 1фоков! штегрування, е простим, кратшеть вузла, який вщповщае попередньому кроков! ш-тегрування, е максимальною, й. для решти цузлю в иггерполящйну атку в перщу чергу вюпочають значення старшоУ пох!дноУ ! при 'необхщноеп — значения, молодших похщнгос.

Формули для обчислення коефпвент та 7>г у виразах

(8) мають вигляд

@}ип ~ ' Р]1'П-> 1]1>г — 77 У , Рп

»

!

прнчому V = У] Р)»>* — ^ В останнш формул! елементп

ь= 1

матрши оберненоУ по вщношеншо да матриц! елементи якоУ залежать ¡мд вибрапого варианта штерполящйно'У сш<п.

Розроблено однокроковий штегралышй вар1ант узагальиеного методу ФДН, одержано формули цъого методу, яш не використовують процедурн знаходл;ення обернених матриць. Показано тотожшсть цих вар1анта ¡' однокроковнх диферспц!алытпх вар!ашлв узагаль-ненмх методов ФДН, розглянугих в третьому роздш.

Розроблено варианты, в яких для зиаходжепня значень невщомнх на б]л;учому крощ використовуються значения старших поздних ■ на галькох иопередтх кронах, а також значения вах молодших по-хлдиих 1 самих невщомих на осташп.ому кр'ощ. Для цих вар1а1шв вирази для дискрет!шх значень похщшх мають вигляд

_ V М-У-ОА*!-') у- п^К^ 4- -V- X ■ 1—0 ¡=2

Дана ошнка локально'/ похибки вшначешш невщомих у випадку штегралышх вар!алгш узагальненнх ыетодш ФДН та на ряд1 прик-. лад'щ прошюстровано використання методшаг знаходження 'облас-. тей сййкош цих вар!аттв.

В п'лтому роздЬп описано розроблеш алгоритма та программ засоби, що реал1зовують запропоноваш пщходи до матема-тичного моделювання з використання диферешцалышхр!шшнь ви-щих порядмв. Створ еш алгоритми молснарозддяити на алгоритми формування моделей дшшичкнхпроцес'щ та алгоритми числового розв'язування моделей вищнх порядков з використанням узагальне-них метощв ФДН.

Розроблеяо алгоритм формувашя математично! модел! перехщ-ного пронесу у складному нелгайному електричному таш на основ! опиеу шдсхем макромоделями у виглад диференщальних р1внянь вищих порядит, нешдомими в яких внступають викшочно незалежн! зопш'шш величшш гадсхем. Алгоритм дозволяе звести число р!внянь ! число невщомих в модел! до мйимуму, ршному загалъному числу нсзалелашх полюав уах шдсхем.

Створено алгоритмн числового штегрування нелшйнпх моделей вищих порядив на основ! неявпих багатокрокових узагальнсних методов ФДН. Алгоритмн датоть можлнвкть розв'язувати р1вняння вищих порядив без зведення IX до системп р!внянь першого по>, рядку бшьшсУ розм1рност1 Тим самим вони змсншують обсяги об-числювалъних затрат, спрощують процес числового моделювашш I роблять його результат!! б1льш наочними. Алгоритмн допуекяють розв'язування жорстких систем р1вцкиь та ал^ебро-диференщалъних р!внянь вищих порядков.

Розроблено алгоритм спрощеноУ реал!защУ узагальнених методов ФДН для розв'язування лшпяшх моделей втцих порядив \ показано його використаннн для моделювання перех!дних процегт у лшйному електричному кол!.

• Одержано вирази, яи дозволяют?, гюр!вняти число арифметпчних операцш, що виконуються на кожному часовому крон! числового штегрування лшшких однор]'дшгх йатематичнпх молелей узагаль-пеними. методами ФДН та рядом вщомих числовых метод! в. Тане порвпяпнй здойспено |га основ! розв'язуваншг вцсомими методами системпп р!внящ> виду У^ = АУ, де А — ||а,-;-||, г,] — 1,2, ...,?? — квадратна матриця; У ~ | |г, г = 1,2..., п — матрипя-стовпеиь невщомих. На осйов! ще'У системи була одержана система [п/й] р!втшъ 5-го порядку

г=о

яш розв'язуваЛися узагальнеяиш методами ФДН.

Показано, що число арифметичних операцш, яш виконуються иа кожному крощ штегрувгщня узагальненим методом ФДН, пропор-щйне (змиша величина проку дискретизащУ)

ЯУФДН « | (П) 3 + + П2 + -(2мр - 1 - |) п+

& 1

У випадку однокрокового варианту узагальпеного метода ФДН справедливо

*УФДШ - ^ + (¿4- ;}»2 + (2 - ¿) п+

7 2 И

. :

В оетанюх двох формулах: ц —г число крогав назад, р — кратносл вузл!в штерполяаГУ, як! приймаютвся одпаковнлШ для вйх змншх. На основ! здШснених числових експеримеыпв показано, що у випадку математичних моделей з похщними вищих порядит числов! методи, яи базуються на ттжлпальщй штерполяцГУ з краткими вузлами, потребують виконання набагато меншого числа арифме-тичннх операцш (в 2-5 раз в залелшосл тд числа р^виянь 1 по. рядку похщних). Рдзшщя в числ! таких' операщй збшшуеться ¡з збьтьшенням числа р^вняиь в систем! та з ростом, максималышх порядив гошдних.

Щостий та сьомш'г ррздши присвячено питаниям застосувашш розробленого пщходу до моделювания дштм!чш1Х иродшв та снс-. тем з використанням р1внянь вищих порядюв при розв'язувашп задач счтектротехшки, нсбесноУ мехашки та еколопУ. .

В шостому.роздш! на ряд!задачМатематичногомоделювания порехщких процеав у нелнлмних електричних колах протлтостро-. вано сикористання запропонованого подходу, який базусться на д'ш-коптичних принципах формування эдодел! кой а у вишда ришянь

•м;

вшпих порядив та на новому клас-i числових метрщв розв'язування таких. pisroiHb без зведешш до нормально! форми Komi. Зокрема. розроблено метод моделювання порех!дного процесу в електрнч-ному кол! з використанням моделей його лппшгоТ i нелннйно!' частнн у вигляде pin нянь втдих порядив, створено алгоритм зпаходжешш початкових умов для операторних макромоделей л1шйких тдехем, запропоновано метода побудови дискретних макромоделей багато-полюсних тдехем на основ! узагальнених методго ФДН.

. При анал1з1 складних нелнпйних електричних ил мають мк-це випадки, коли математичш модел! окремих лппшшх пгдехем задам у вигляш операторних макромоделей. В таких випадках ui мо-с дел) необхщю подати у вигляда системи диференщальннх р!внянь i зберегти при цьому всю шформацио про початков! умови. Така шформаиця в подальшому використовуеться при обчислеши нсза-лежнпх початкових умов для математично!" модел! кола в цшому як об'еднання тдехем. В роздш розроблено метод одержашя вказа-них початкових умов при перетворенш операторних макромоделей лпнйних тдехем у даференщальт р'типтя. Метод дае можлив!сть обчислювати початков! умови для модел!. яка одержана безпосеред-ньо на основ! матаматичних моделей тдехем у вигляда р!внянъ вш-иосно зовшшшх величин, без використання в рол! прошжних р!внянь змшних стану.

При числовому штегруванш неявнимп методами математичних моделей, що описують нелшзйне електричне коло, рядки матриц! Якоб!, rati вдаовщають лшйним р!внянням, зашднаютьел беззмищ на кожному крощ дискрегизаци. Це можна викорнстов}гвати для оптимально!' оргашзацп оочнелювального процесу i виключення час-тшш зм!нних, яы вщповщають лшиш!й чаетти кола. Досягнуте при цьому зшекення порядку матриц! Якоб) дозволяе значно змеи-шнти обчвдлювальш затрат при аналзз! порех!дних npoucciB, особливо у випадках Kin, математичш модел! яких мктять nopiBiwuo велике число лнпйних pisiMin..' Для таких шл в робот! запропоно-

вано метод формування математичноТ модел] на основ! макромоделей лшйних I негаюйних частин кола у вигляд! р!внянь вшцих по-рядгав вщюсно зовшшшх величин. Метод дае можлшмсть у два рази змешнити число нелш!йних алгебраУчних р1внянь, як! розв'язують на кожному крощ дискретизацн.

Розроблено метод формування дискретних макромоделей бага-тополюсних гадсхем, який базуеться на використанш з'загалшених формул диферевдтватш з р!зницями назад. Метод дае можли-в1сть подати макромодел) нелшйних подсхем у вигляд! р5зницевих р!внянь, яю пов'зують дискретш значения невщомих на б1жучому та на попередшх кронах штегрування. Сукупшсть таких макромоделей для ис¡к гадсхем дае можливкть звести моделювання перехщних процеав до почергового розв'зування систем лшйних алгебраУчних р!вгшнь, число яких дор1внюе числу незалежних зовшшшх полюслв услх шдсхем.

Основою для одержання дискретних макромоделей е "неперер-вш" макромодел! (2) у вигляд! р1вняш> вищих порядив в!дносно зовшшшх величин. В результат! розкладу функций /,„*,. в рад Тейлора в окшп точок £„ та ¿„_ь а також в!дпов!дних алгебраУчних перетво-рень, одержано л!неаризовану дискретну макромодель пщсхеми у вигляд! матричного р1вняння

■Дгш>Х,П1/ — Стпиу (9)

де Ат„ г- квадратна матриця, Л„,„ = \\ат^и\\\ Хт„ — матриця-стовпець дискретних значень незалежних зовшшшх величин шдсхем на и-щ крощ дискретизацн; Ст„ — матриця-стовпець дискретних значень автономних параметр!в шдсхеми на цьому ж крощ, причому

г=0 2Пт

Сгпк* ~ У2 ^ (®т)>-] ~ ЪпЫ^-хК-

г=0

2.4

Коефвдпгги 4rL-,, fmkt,v-1 та знаходимо за формулами

Л-Г _

d/m*

mkj, I/-1 (Г)

т j

Г д/тк-

Jmkt, i»-l =

i=i

i—l

f'ji/ Ojvi~'

6<r> V л(').¿<'1 .

»nji/ / > / , >=1 /=0

Коефщ!енти та 7j,/r, ям входять в останн! формули, зале-жать виключно вщ Bapiamy штерполяцшно!" Ытки {тобто вщ пара-метр1в fijV та pj„i) в узагальненому метод! ФДН та в!д величин остантх }ij„ кромв дискретгоавд. Числов1 значения параметр1в 1 тя fmki,v-\ визиачають на основ! наближених дис.креттну, значеннь вс!х змшних, обчислених на попередтх кронах. 3 цього слщуе, що коефдоенти ат^„ у р!вняниях (9) — нсавтоно.\пп па-раметри дискретно? макромодел! шдсхеми — е фунюрями величин кроюв дискретизаци, а також дискретних значень Bcix змшних та ix пох5дних па Hjv попередшх кронах. BiflbHi члени с,„ь в цих р1внян-нях -- автономн1 параметри дискретно! макромоде л! — залежать в!Д тих самих Параметр1в.

Сукупшсть р1внянь (9) (дискретних макромоделей) для Bcix тд-схем, на яги розбите анал1*зоване коло, тела визначення числових значень автономиях та неавтонбмних параметрш разом ц структур-ними р!вняншши кола (¡Мвняннями зв'язку), записаними для дискретного значения часу t = t„, утворюють систему Л1н1йних ал-гебраТчних ршнянь, число яких вщповшае числу невщомих. В результат розв'язування ща системи р1внянь методами, що врахову-ють властиву для елсктронних юл розрщжешеть матриц! коефвден-Tib, можна знайтинаближен! дискрепй значения незалежних зов-Hinfflix величин Bcix тдехем на ¿/-му крощ.

• Внзначено обласп дошлыюго використання запропонованого пщ-ходу до математичног^ модешовання щрехщшх процеав у нелдай-ному електричному кол!, який базуеться на ддакоптичних принципах

формування модел! у виглад р^внянь вищих порядюв та числовому метощ розв'язування таких р1внянь без зведення до системи ршнянь першого порядку. На пршшцц розв'язування ряду вщомих тесто-вих задач показано особливосп та переваги такого шдходу. Показано його ефектившсть для нласу структурно-регулярних електрич-них юл, тобто юл, структурний граф яких складаеться з ряду ¡ден-тичних частин. До таких юл вищоситься велика юльюсть цифрових 1нтегральних схем, ям побудовано ¡3 з'еднаиих певним чином щен-тичних блоюв. В таких випадках найб1льш ефективно використову-ються мак[)омодел'1 тдсхем у виглдщ р1внянь вищих порядив.

Запропонований тдхщ ефективний також при моделюванш висо-кочастотних електричних юл, в схемах замещения яких р'ико зростае число враховуваних реактивних зв'язюв. При цьому модель щд-схеми, одержана за допомогою вдомих методов, лнстить внутршш змшш, число яких набагато б1лыие числа незалежних полюсш шд-схеми. Виключення внутрЗшшх зм1нних веде в цих випадках до суттевого зменшення числа р1внянь та числа невцомих в матема-тичшй модель

До переваг узагальнених методов ФДН слщ вшнести те, що вони дають можлив1сть знаходити розв'язок для моделей не зведених до нормальноУ форш (не розв'язаних а явному вигляда вадюсно старших похщних). Для цих метсдав не характерна також проблема стартовоУ процедури, яка притаманна вщомим багатокроковим методам 1 яка полягае в тому, що для початку роботи методу необ-хшт так зваш розгшш точки — значения невщомих на дёюлькох перших кроках, отримаш за допомогою пшшх, частше однокроко-вих, метевдв. Осюльки узагальнеш методи ФДН вюпочають багато вар1анив, в тому чиш I однокроюш, то на будь-якому крощ ш-тегрування завжди е можлившть використовувати един ¡з вар1аштв цього методу.

В сьомому роздШ залропоновано нов! числов1 методи для розв'язування задач небесноУ мехаьла!. Методи базуються на уза-

гальнелшх формулах дифорснцноващ-ш \ врахозують специфжу моделей.

.Математичш модст, я1.« викорпстовуготьсд при рнпенш задач но- бесно! мехашки, продставлтоть собою еистеми звичайних диферен-щальнмх р!шяш. з похщпимп другого порядку

Д({^2)Ь^ = 1,2,...,П;0 = 0, к = 1,2,...,п. (7.2)

Особлишсть цих р1В1ииь полагай з тому, то вони не мютять перших похщних негчдомих. Така специфша моделей вшфивае можлтмсть для гтобудови спсц!алышх чиелових методов з покращснтпт екс.плуа-тмвйнпмя характеристиками.

Для розв'язувагшя вказаних р1вшшь в робот1 розроблено чнслов! метода, загальшш вир аз яких мае вигляд

4}) = ^(йЩ ■ ■ + 6{2)Г{2) ■) + у ОТ ■

Внкористовуючи полпкхадальну штерполяцно з кратними вузлами одержано формула для обчнеленнд кисфкцашв методв

" ¿=1 "

причому елементи матршн (^¡у, обернено! до знаходимо за формулою

Г V — 1,2,..., 1 = 0;

г^'т2

д>тг = V (г-2)!' " > ^ 1 = 2 г -

к О, V > I = 2, г < I.

Для р1внянь третьего порядку, що не мштять окремих похьтних •кевщомих, в робот! розроблеио узагальнеха мстодк ФДН, яга враховують специфжу цих р!йтнь ! дозйоляготь уттнути викопаиня додаткових операщй з першими та другими ггохщнпми наидомих.

В сьомому роздш розроблено також д!акоптичний пщх!д домате-матичного моделювання глобального кругаоб!гу вуглецю в биосфер!, який базуеться на умовному розбита планети на ряд регюшв 1опиЫ кожного з них своею математичною моделлю. Враховуеться зв'язок сусццпх регюшв через атмосферу. Запропонований шдх!д розяш-рюе область адекватносп модели, дае можлшнсть враховувати неод-нор!дшсть прот!кання бюх1М1чних процеав у р^зиих регюнах планети.

Запропоновано метод формування матсматичио!' мoдeлi репональ-ного кругооб!гу вуглецю, який базуеться на розбигп колаюгорегюну на ряд травяних I люових шдсистем та враховуе потоки вуглещо мис окремими блоками цих шдсистем. В -модель входять також блош!, ям вщображають антропогешп 1 ксантропогеша викиди вуглецю в атмосферу, а також притж вуглецю !з еуслдшх регюшв. . .

Розроблено метод формування математично1 модел! глобального кругооб!гу вуглецю на основ! репоналышх моделей та р1внянь зв'яз-ку, як! в!дображають взашний зв'язок сусддшх регюшв через атмосферу. При формуванш р!виянь зв'язку використовуються даш про "рози в!тр'т" в точках границ! под!лу регюшв. Для числового розв'язування р1в®шь модел! пропонуеться вккористовувати алгоритм, який враховуе латен±нють— суттев! вдашош в швидкостях протшання окремих складових дослщжувадшх процеав.

Розроблений дагкопгичний пщх! д до моделювання кругооб!гу вуглецю дае можлшнсть враховувати сезощп змпш параметров модел!, специф!чн! вдашшост! окремих регюшв, а також да£ шяшпйсть здЗйснювати !м!тац!йне моделювання: впливу еколопчних катастроф в окремих репонах на юнмат планети; результат керованого 1 некерованого антропогенного впливу-на природу; впливу на кшмат планети таких факторш, як зм!на плот с!льськогосподарсыУ1Х упдь, вирубування л!ав, л!сов! пожеж!, мелюратиаш роботи та ипн.

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТИ I висновки

В дисертацп запропоновано 3 розвииуто новкй науковий напрям — створення метоД1'в та заеоГшз матемаТичного моделювання динамш! ф1зичних процес1в 1 явищ на основ! диференшальних р1внянь вищих порядив, як1 ггалягають у застосуванш нових пщхо.щв до фор-мува!шя моделей та нових числових способ1в розв'язування ]нвшшь вищих порядшв без зведення Ух до системи р1внянь першого порядку в нормальшй формь В рамках цього наукового напряму отримано таш основш результата:

1. Показано, що ¡снуе ряд задач математичного моделювання? (в мехагищ, електромехашщ, електротехшщ та шпшх областях), в яких модел1 доыпджуваних процеав чи явшц зручно представляти у виглядо звичайних диф ер енад алышх р!внянь з поздними вгацих по-рядюв з заданими початковими умовами. На приклада розв'язування задащ .моделювання переходного процесу в складному нелшЫному електричному кол! розглянуто нов1 даакоптичш тдходи до побудови математичноУ модели у виглдщ р1внянь вищих порядив. При цьому:

- розроблено метод побудови математичноУ модел1 багатополюсноУ пщсхслаг у виглдд»' ржгяиь вищих порддюв, невЬдомими в яких висту-пають виключно зовшшт по вдогошенню до шдсхеми величгага; ме-

• тод базуегься на диферешшованш та алгебраУчному псретворетп р1вняш> змшних стану I дозцоляе звести число р^внянь у модел! до мдамуму, що дор1вшое. числу незалеиших полгоав тдсхеми;

- розроблено метод одержання математичноУ модел1 кола, як об'-еднання шдсхем, при опис! Ух р1вншиьчми вищих порядив; розроб-лепо алгоритм формувашш 1 розв'язування р!знянь для визначешш початковкх умов на основ! початкових значень змшшх стану.

2. Для математичних моделей з похщпими вищих порядив розроблено новиа клас геяв.'шх багатокрокозих числових метода, як] базуюхься на узагальнених формулах даференщювання з р1зни-аями назад (узагальнеш метода ФДН) 3 використовують апроксима-

цио невщомих штерполяцшними многочленами з краткими вузлами. Методи допускають неявну форму-представления моделей \ вщлзня-ються В1Д в!домих вщсутшетю процедури зведення р1внянь вшцих порядив до системи р^внянь з гашдними Т1льки першого порядку, яка веде до суттевого збшьшення розшрноси задач!. На баз! штер-поляшйних. многочлеюв Ерм^та одержано вирази для наближепих дискретних значень пох!дних. Дана оцшка локально! похиб1Ш уза-гальнених метода ФДН, яка встановлюе зв'язок м!ж параметрами штерполяшйшп ,<ятки та порядком апроксимаци числового методу. Розроблено методику визначення областей слйкоси узагальнених метод!в ФДН, знайдено границ! областей стйкост! низки варштв цих метод!в.

3. Показано, що в залежнос-и в!д параметр!в !итсрпол1щ!йШ1Х сдток, ям використовуються для апроксимада невщомих, можЛша р!знома1Итш вар!анти реал!зац!1' узагальнених метод!в ФДН стосов-но розв'язувания моделей з похщпми вшцих порядив. Розроблено ряд часткових вар!ант!в узагальнених метод!в ФДН: однокрошш вар1анти; вар!анти, яш забезпечують найшвидший р!ст степей« т-терполяшйного многочлена; вар!анти з мшшальним числом кроив назад; вар!анти з поепйкою кратшстю вузл!в щтерполяци. За-пропоновано спрощену реал!зац!ю узагальненого методу ФДН для л!шйних моделей випщх порядшв. Показано, що розроблеш методи е узагальненням вщомих метод!в ФДН на ршвднвп вшцих порядив ! ствпадають з ними в частковому вшюдку — вариант з постШ-ною кратшстю вузл1в штерполяци р!внохо единиц! при розв'язувашп р!внянь першого порядку.

4. Для моделей вшцих порядив розроблено узагальнеш метода ФДН, яи базуються па апроксимаци на кожному кроц! штегру-вашш найстарших похщшх штерполящйнимн полшомами зедашго етепеня. Нсв!дом! та'молодил пох!дн! апроксимуюгь при цьому вщ-пов!ДШ1ми интегралами вказаних полшомш. Методи вщпосяться до класу неявних багатокрокових метод!в, допускаюсь неявну форму

запису р1внянь 1 е узагальненням вщомих числових меход1в Адамса-Мулхона на р!вняння видах порядив. Розроблено однокроковий вар!ант та вар!анти, в яких для знаходжсння невщомих на б!жучому . крощ використовують значения старших гошдних на гальках попе-редшх кронах, а також значения невщомих та 1х молодших похщних на останньому крощ. Дана оцнша локально!' похибки метод1в та ви-значеио облает! сийкост! ряду вар!ант!в.

5. На ослов! запропонованих шдвдив до математичного моделю-вання динамит ф}знчт1х процест ! явищ з вщсористання дпфе-репшаяьиих р!внянь шяцих порядк!в розроблено алгоритми та про-грамн! засоби для поблдови моделей та IX числового розв'язування., Розроблено алгоритм формування модел! перехщного пронесу у складному неяпийкому електричному кол! на основ! опису шдсхем макромоделями 3' вигляд! ршнянь вищих порядк!в вщгосно виключно незалежних зовшишх величин. При цьому число р!вгогнь I- число невщомих-в модел! зводиться до мнимуму, що дор1вшое загальному числу незнлежшге полю с ¡и уах шдсхем. Розроблено алгоритм числового штегрування нелпнйних ! лпш'ших моделей вгацнх поряд-гав на основ! узагальнених метода ФДН. Алгоритм:! допускають розв'язування жорстких систем ршгяш, та алгебро-диференшалыпгх р!внянь вищих порядгав, Одержано вирази, яш дозволяготь оц!нити число арифметичних операци), що виконуються на кожному крон! числового штегрування лшййих одиорщшх математпчиих моделей узагальненими методами ФДН та рядом зщомих числових метошв. Показано, що переваги розроблених метода зростаготь ¡з збьльшен-ням числа р!внянь з систем! га з ростом максималыгох порядшв похщшхх.

6. На приклад! розв'язуваиня задач математичного моделюванпя перехщгшх процсс'ш у складних келшшних елсктричштх колах про-ьиостровано використання запропонованого шдходу, який базумъся на д!акоптичних принципах формування модел! у вигляд! рпшяпь вищих порядшв та на новому клас! числових метскив розв'язупання

таких 1нвнянъ без зведення до нормально! форми Кош1. Використо-вуючи моде л! вищих порядгав одержано там результат:

- розроблено метод одержання початкових умов при перетвореню операторних макромоделей лтайяих шдсхем у диференщальш р1в-няння; при цьому не використовуються в рол! промшших р1вняння змшних стану; -

- для юл ¡з значною частиною ливйиих елементш розроблено метод формування модел'1 на основ1 макромоделей лшшних \ нелний-них частин кола у вигляд! р1вняиь вищих порядюв вщносно зов-шшлх величин, який дае: можливк:ть сугхс-во зменшити розм!ршсть модел^

- розроблено метод формз'вання дискретних макромоделей бага-тополюсних шдсхем, який базуеться на використанш узагальнених формул диференцшвання з р'шницями назад; метод дае можливкть представити макромодел] нелдайних шдсхем у вигляд1 р1зшщевих р1внянь, як! пов'язують дискретш значения невщомих на бшучому та на попередшх кроках штегрування.

- на приклад1 розв'язування в'щомих тестових задач прошюстро-вано особливоси та переваги роэробленого пщходу; показано, що запропоноваш метода ефективш для класу структурно-регулярних електричних мл, яш складаються з ряду ¡деитичних частил, та висо-кочастотних електричних шл, в схемах замнцешш яких р1зко зростае число реактивних елеменга. .

7. Розвинут! в робот! Д1акоптичн1 годхода до формування моделей та розроблею числов1 метода для р]внянь вищих порядюв вико-ристано для розв'язування задач небесно! механиш та екологн:

- для задач моделювання у небесшй мехаивд розроблено чи-слов! методи, ям не використовують перших похщних невщомих 1 базуються на узагальнених формулах диференциовання з р1зни-ця.\п! назад; для р1внянь третьего порядку, що не м^стять окремих похшигх невщомих, розроблено узагальнеш методи ФДН, яш вра-ховують специфику цих р1внянь 1 дозволяють уиикнути виконанда

зс

додаткових операщй з першими та другими пстдними;

. - розроблено д1акоптичний шдхщ до моделювання глобального Kpyroo6iry вуглецю в ■ бюсфер1, який базуеться на розбигп планета на ряд perioHiB i oraici кожного з них своею математичною моделлю; розроблено метод формування модел! регионального кру-roo6iry, а також метод побудови модел! глобального кругооб!гу на основ! регюнальних моделей та р1'внянъ зв'язку, яы вщображають взаемний зв'язок суадшх perioniB через атмосферу; запропонований шдхш розширюе область адекватное^ модел1, дае можлшнелъ вра-ховувати неодпор1д1псть протшання бю.тпчних npouecifl у р1зних регюнах планети.

Розроблеш в робот! метода та алгоритми дають можлив^сть фор-мувати модел1 Д1гнам1чиих процеав у вштщщ р1внянь вшцих по? рядыв i розв'язувати ix без зведення до системи першого порядку б!льшо1 proMipnocri, а тим самим вони зменшують обсяги обчис-лювальних затрат, спрощуютъ процес числового моделювання i роб-лять його результати бшын наочними.

QcHOBHi положения дисертацп опублшовано в роботах:

1. Бунь Р.А., Васильев Е.Д., Семитюк В.Н. Моделирование электрических цепей методом подсхем.- Клеи: Наук, думка, 1991.- 176 с.

2. Bun R.A. Information technologies for the simulation of complex nonlinear electrical circuits // Pattern Recognition and Image Analysis.-1994,- V. •!.- N. 3.- P. 309-316.

3. Bun Tv.A., Vasil'vev Ye.D. A numeric."! method for solving differential equations with derivatives of any order // Computation Mathematics and Mathematical Physics.- 1992.- N. 3,- V. 32,- P. 317-330.

■1. Бунь P.A., Васильев IS.Д.. Дущенко В.К. Моделирование :г оптимизация- крутизны характеристики мощного СВЧ МДП-гранзпстора // Электронное моделирование.- 1993.- N 6 - С. 84-86.

5. Byirt. Р.А. Дискретные макромодели мяогополтоегогх подсхем па основе одношагового варианта метода ОФДН // Электронное моделирование.- 1994.- N 2,- С. 29-33.

6. Вунь P.A., Васильев Е.Д. Моделирование электрических цепей методом подсхем на основе дифференциальных уравнений высокого порядка // Изв. вузов СССР. Электромеханика.-1991.- N 9.- С. 45-46.

7. Буль P.A., Васильев 6.Д., Дущенко В.К. Залежшсть крутизни характеристики иотужного НВЧ польового транзистора В1Д його ф^зико-тополопчних параметра // Теоретич. електротехшка. - Вил. 52.1995.- С. 121-133.

8. Бунь P.A. Числове моделюваиня елёктричних ыл методом УФДН з ностШною кратшстю вузл»в штерноляцн // Теоретич. електротехшка,- Вип. 52.- 1995.- С. 19-30:

9. Буш. P.A. Определение начальных условий в случае описания цени математической моделью, составленной на основе ыакромоделей подсхем // Теоретич. электротехника,- 1987.- Вып. 43.- С. 148-154.

10. Блажкевич Б.И., Бунь P.A. Формирование ыакромоделей нелинейных многополюсных подсхем, дополненных уравнениями начальных условий, на оспове их математических моделей в ииде уравнений переменных состояния // Теорег. электротехника.- 1987.- Вьга.42.- С.

; 68-75.

11. Бунь P.A. Анализ локальпой погрешности метода ОФДН // Отбор и обработка инфорйации.- 1993.-Вип.9.-С. 32-37.

12. Бунь P.A., Васильев Е.Д., Семоиок В.Н. Моделирование электрических цепей па оспове макрокоде л ей линейных и нелинейных подсхем в виде дифференциальных уравнений повышенного порядка // Отбор и обработка информации.- Вып 6.- 1991.- С. 34-38.

13. Бунь P.A. Преобразование операторных макромоделей линейных подсхем в дифференциальные уравнения, дополненные уравнениями начальных условий // Отбор и передача информации.- 1987.- Вып. 76.- С. 68-72.

14. Босик Л.В., Буш, P.A. Одношаговый метод ОФДН для решения системы линейных дифференциальных уравнении высших порядков // Отбор и обработка информация.- 1993.- Вып.9.- С. 23-27.

15. Васильев Е.Д., Бунь P.A. Формирование математической модели электрической цепи на базе макромоделей шюгополюспых подсхем // Отбор и обработка информации.- 1C)8S.- Вып. 1.- С. 52-54.

ÜS

16. Бунь P.A., Васильев Е.Д. Алгоритм анализа электронных схем с инжекпиоппым Пиганием по постоянному току // Отбор и передача информации.- 1983.- Вып. 68.- С. 37-41.

17. Бунь P.A. Численный метод моделирования электрических цепей, основанный па оппсаппн подсхем уравнениями относительно внешних величин / Теория п математические модели электрических цепей и интегральных схем.- Киев: Ин-т электродинамики АН УССР, 1988.-С. 55-64.

18. Блажкевич Б.И., Бунь P.A., Васильев Е.Д. Численный метод реше-НШ1 дифференциальных уравнений с высшими производными / Теория и применение моделирующих систем : Труда Всес. науч.-техн. конф. "Моделирование - 85: Теория. Средства. Применение''. Киев: Наук, думка, 1986.- С. 65-75.

19. Бунь P.A., Семпкша A.B. СтШккть числових методав розв'язування . pinrninr. вищих порядкш / Проблемы физической и биомсдищгаской электроники: CG. докл. Меяэдупар. науч.-техп. конф - Киев, 1996.-С. 169-172.

20. Блажкевич Б.И., Бунь P.A. Численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с произвольным порядком производных.- Львов, 1986.- 64 е.- (Препринт / АН УССР. Фпз.-мех. гам; N 111).

21. Бунь P.A., Шереметьев С.С. Числолий метод розтдауванпя дифе-ренщалышх рЬнянь пшцих норядюв на ocnoui апрокснмащТ втгогх похшшх полшомьми Ершга,- Льв1в: ФМ1, 1993.- 28 е.- (Деп. в ДНТБ Уиратп 18.10.93, N 2014 Ук93). ;

22. Васильев Е.Д., Буш» P.A. Программа решения системы нелинейных дифференциальных уравнехгнй, содеря.'пщнх производные высокого порядка,- Киев, 1988.- 97 е.- (Деп. в ГосФАП СССР 30.12.88, N 50S9000068S).

23. Программа анализа интегральных схем с нпжекцпоппым пптанием в режиме'постоянного тока / Е.Д.Васцльев, И.Б.Мелехов,- Р.А.Бунь п др. // АН УССР. Ин-т кибернетики. Фпз.-мех. нп-т,- Киев, 1984.. 170 е.- (Рук. деп. в ГосФАП СССР 05.04.84, N П007360).

24. Программа решения системы линейных дифференциальных уравнении, содержащих производные высокого порядка /. Б.й.Блпжкевич,

за

Е.Д.Васильев, Р. А.Бунь и др.// АН УССР. Ин-т кибернетики. Фиа.-мех. ин-т.- Киев, 1987.-125 е.- (Рук. деп. в ГосФАПСССР 10.09.87, N. 50880000230).

25. Buii R.A. Numerical methods for modelling clectrical circuits oil the basis of high-order differential equations / The New Information Technologies in Science, Education, Medicine and Business: The XXIst International Conference, Gurzuf, 1994.- Moscow, 1994.- P. 117-118.

26. Bun R., Shercmetyev S. Generalized BDF methods for equations that don't include derivatives of the first or the second 'order / Second Ukrainian Conference on Automatic Control.- V. 2.- Lvivv 1995.-P. 17-18.

27. VasilyevYe. D., Bun R.A- Radio electronic circuits modelling on the basis of high-order differential equations / The Integration of Purpose Specialists' Training Systems and Automation Technical Systems of Various Purpose: The Intern. Canf., Alushta, 1990.- Moscow, 1990.-P. 70.

28. Бунь P. А. Моделкшания пелшйних електричцих id л на тдеташ зви-чайнпх диферешнйпих рЬиянь высоких порядюв / Перща ышшар. наук.-техн. коиф. "Математичне моделюваняя в ёлектротехшад й електроенергетищ": Тез. доп.г JlbBio, 1995.-С. 30-31.

29. Бунь Р.А. Д1акоптичний шдхщ до числового моделювашмоере-х1дних процеав у нелш1йному електричноыу юш з шшористаншш макромоделей шдсхем / 1нформацШш технолог» i системи: Перша М1жнар. конф.- Т.1.- JlbBin: ФМ1 HAH Украши, 1994.- С; 99-101.

30. Буш. Р.А. Моделюванпя нелипйппх слектршшшмил звикористан-шш дискрехних макромоделей шдсхем / 1-а Укра'шська конферепщя з автоматичного керування: Кшв, 18-23 травня 1994: Tel. доп.- Кшв: 1и-т мбернетики, 1994,- Т.2.- С. 266.

31. Бунь Р.А. Одношаговый вариант реализации метода ОФДН / Распараллеливание обработки информации; Шестая Всес. школа-семинар; Львов,1987: Tei. докл.- Львов: Физ.-мех.ин-т,:1987.-ЧЛ.-С.117-118.

32. Бунь Р.А., Дачук B.C. Д1акоптичнпй niitxw ври моделюванш кру-тообхгу бюсферного вуглецю в задах управления еколопчпими системами / Друга украшська коцфоренщяз автоиатнчного кёрування "Автоматика-Эб"; Правд.-Т. 2.-Льв1в, 1995>-О. 15-16.

33. Буиь P.A., Дачук B.C. Математичне моделговання KpyronGiry вуг-лешо в 6ion}>ppi / Всеукр. наук. нопф. '"Розробка та застосування магематичних методав в науково-техтчипх досл1джешшх'': Тези доп,-JlbBiB, 1995,- Ч. 3.- С. 17-18.

34. Бунь P.A. Распараллеливапле алгоритма прн численном решегаш дифференциальных уравнений, содержащих производные высокого порядка, с использованием интерполяционного полинома Эрмнта / Распараллеливание обработки информации: Пятая Всес. школа-семннар, Льиов, 1985: Тез. докл.- Львов: Физ.-мех. пн-т, 1985.Ч. IV- С. 109-110.

35. Бунь P.A. Численные методы решения дифференциальных уравнений высших порядков в задачах нелинейной -электротехники / Проблемы нелинейной электротехники: Тез. докл. IV пауч.-техп. конф.- Киев: Ин-т ноблем моделнр. п энергет. АН Украины, 1992.о С. 83-84.

36. Буиь P.A., Шереметьев С.С. Днскретш макромодел1 багатополюенпх шдсхсм на основ! узагальнених методтв ФДИ / МЬкпар. наук.-техн. конф, "Проблема фЬично! i б1омедичио-1 елсктроншГ.- Kni'n, 1995.-С. 77-78.

Особиетий пиесок автора. В роботах, написаних у стваптор-ctbI, здобувачу наложить: з роботах [1,6,12,15] - основш положения метод!г> математичного моделювання з викорнстанням р!внянь вп-щих горядкш; в робот] [3] -- основш положения уэагнльнейих мевднв ФДИ; в роботах [14,19,21,20,36] - постановка задач! i здШспешш ocHourhix тслротичних досл'джень; в роботах [4,7] - одержан! ма-тематпчн! модел1 та результат!! числових експеримент'т; в роботах [32,33] - шдходп до побудовп моаел! глобального Kpyroooiry вуглецю на nasi моделей peri опального кругооГигу; з роботах [22-24] - роз-робка оедгапних ллгоритм!в та ix программа реалпащя; в роботах [10.10,18,20,27] автори мали однакозий творчий доробок.

Bun R.A. Mathematical modelling dynamics of physical processes

and phenomena on the basis of higher-order differential equations. The thesis of a doctor degree of technical sciences on speciality 05.13.02 - mathematical simulation in scientific researches. Physical and Mechanical Institute of National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv, 199G.

The thesis is devoted to elaboration of a new approach -- a creation of methods and software for mathematical modelling dynamics of physical processes and. phenomena on the basis of higher-order differential equations. New diaqoptical methods for forming higherorder models, and new class of multistep implicit numerical methods for solving such equations without transformation to a system of the first order equations are created.-* The methods are based on generalized backward differentiation formula, and use polynomial interpolation with nmltipole nodes. Main variants of these methods realization are carryed out. Their local errors are investigated, and their stability domains are. found. The suggested approaches are ap-plyed for creation of mathematical models of transient processes in electrical circuits, solving equations for problems of celestial mechanics, and diaqoptical modelling carbon cycle in the biosphere.

Буль P. А. Математическое моделирование динамики физических процессов и явлений на основании дифференциальных уравнений высших порядков. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.02 - математическое моделирование в научных исследованиях. Физико-механический институт НАН Украины, Львов, 199G.

Диссертация посвящена разработке нового научного направления —- создание методов и программных сред ста математического моделирования динамики физических процессов и явлышй на основами! дифференциальных уравнений высших порядков. При т/ом разработаны новые диакоптичеекце методы формирования моделей высших порядков к новый класс многошаговых неявных численных

методов решения таких уравнений без сведения к системе уравнений первого порядка. Методы основаны на обобщенных формулах дифференцирования с разностями назад и используют полиномиальную интерполяцию с кратными узлами. Разработаны основные варианты реализации методов, исследованы их локальные погрешности и найдены области устойчивости. Предложенные подходы использованы для создания математических моделей переходных процессов в электрических цепях, для решения уравнений небесной механики и для диакоптического моделирования кругооборота биосферного углерода.

(

Ключов1 слова: математичне моделювання, динамка, диферен-щальне ршняння, похъдна вшцого порядку, числовий метод;

Пщп. до друку 5~' 09'9С Формат Пашр С. Друк офсетний

Умовн.друк.арк. Обл.вид арк. Зам. № З/З Тираж -^00

Видруковано у виробиичо-полнрафНному вмдЫ Лв ЦНТП1