автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамической оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности

На правахрукописи

Фоменко Мария Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов (г. Москва)

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Жидков Евгений Петрович доктор физико-математических наук, профессор Крянев Александр Витальевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чуличков Алексей Иванович кандидат физико-математических наук, доцент Ловецкий Константин Петрович

Ведущая организация:

Российский государственный социальный университет

Защита диссертации с о с « » ¿Щр&МЯ^_ 5 г.

в часов на заседании диссертационногосовета К '2Г2.203.08

Российского университета дружбы народов по адресу: ГГ7923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РУДН.

Автореферат разослан

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

М.Б. Фомин

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. За последнее десятилетие в Российской Федерации произошли существенные изменения, связанные с переходом к рыночной системе. Развиваются не только традиционные для России отрасли экономики, но и отрасли, не получившие развитие в советское время. Формируются банковский сектор и фондовый рынок. Появляются крупные корпоративные и многочисленные индивидуальные инвесторы, растет число участников фондового рынка. Это приводит к увеличению интереса к постановке и решению задач экономики с помощью методов математического моделирования.

Широкий класс задач экономики, решаемых методами математического моделирования, образуют задачи эффективного распределения ресурсов, большую роль среди которых играют задачи оптимизации инвестиционных портфелей.

Математическая теория портфельного инвестирования получила свое развитие в пятидесятые годы двадцатого столетия. Ее основателем считается Гарри Марковиц, американский математик-экономист. В последние годы теория портфельного инвестирования переросла в строгую математическую теорию и продолжает успешно развиваться в работах как зарубежных, так и российских ученых.

Для портфельного инвестора принятие решения о структуре распределения средств происходит в основном в условиях неопределенности, когда эффективность вложения ресурсов в каждый конкретный объект инвестирования носит случайный характер, что порождает наличие риска инвестирования и делает задачу оптимизации портфеля, с точки зрения эффективности, довольно сложной как для постановки, так и для разработки методов и алгоритмов численного решения.

Г. Марковицу принадлежит классическая постановка задачи формирования эффективного инвестиционного портфеля1. Тем не менее, наряду с классической постановкой задачи требуется рассмотрение ее модификаций, учитывающих дополнительные

'Markowitz Н.М. Portfolio Selection // Journal of Finance, 7(1), 1952, p.77-91

условия, связанные, в том числе, с накладываемыми на доли активов в портфеле ограничениями.

Подчеркнем, что при инвестировании на рынке ценных бумаг часто ситуация меняется очень быстро, что требует от инвестора периодического пересмотра портфеля для максимизации эффективности вложений. Таким образом, особую актуальность представляет проблема динамического управления инвестиционным портфелем, для решения которой необходима разработка эффективных методов прогнозирования цен (доходностей) активов.

Актуальность проблематики подтверждает также интерес к вопросам теории портфельного инвестирования весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати.

Цель работы: разработка эффективных численных схем и алгоритмов динамического управления инвестиционными портфелями.

Методика исследований: в работе использованы полученные ранее результаты теории портфельного инвестирования, математические методы сглаживания и прогнозирования временных рядов, робастные методы оценивания, а также методы фрактального анализа временных рядов.

Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты:

1. Разработана новая схема и алгоритм формирования и реструктуризации эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальной постановке.

2. Сконструирована новая прогнозная схема и алгоритм динамического управления портфелями инвестиций с использованием SSA-техники прогнозирования и трехкритериальной постановки задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.

3. Предложены новые схемы и алгоритмы выбора оптимальных значений параметров сглаживания и прогнозирования финансовых временных рядов.

Сконструированная схема динамического управления портфелями инвестиций структурно представлена на рис.1. Слева поэтапно показана последовательность шагов, осуществляемых для динамического управления портфелем. Справа перечислены необходимые входные данные и используемые методы для каждого этапа.

Рис. I. Структура разработанной схемы динамического управления инвестиционными портфелями

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы организациями, осуществляющими инвестиционную деятельность для формирования и реструктуризации краткосрочных и долгосрочных инвестиционных портфелей, прогнозирования, выработки инвестиционной политики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2001, 2002, 2003); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на семинарах

в РУДН и МИФИ. Некоторые результаты диссертации внедрены в проектах ООО «Франклин & Грант. Финансы и аналитика».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 156 наименований и трех приложений. В ней имеется 35 рисунков и 21 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, подчеркивается научная новизна и практическая ценность, конкретизируется цель исследования, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведено краткое описание содержания диссертации.

В первой главе обсуждается трехкритериальная задача формирования эффективных инвестиционных портфелей.

В первом параграфе описывается история возникновения и основные этапы развития теории управления портфелями, приведены наиболее значительные результаты каждого из этапов, освещается современное состояние проблемы.

Во втором параграфе рассматривается модель Марковича оптимизации инвестирования и ее модификации.

Классическая схема Марковица постановки и решения задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг основана на предположении о случайном характере эффективностей вложения средств. Эффективность инвестирования (рост цены портфеля, доходность) понимается как случайная величина, математическое ожидание которой определяет среднюю ожидаемую эффективность, а стандартное отклонение - риск инвестирования.

В классической постановке математическая модель оптимизации портфеля инвестиций имеет вид:

• т. -т^-ь max О)

где т = \гп^,т^,...,т f - вектор математических ожиданий случайного

вектора эффективностей R = {r^,R^.....R^f , W- ковариационная

матрица эффективностей вложения, т^ - средняя ожидаемая

доходность портфеля, ст2 - риск портфеля,

инвестиционный портфель, где х. - доля капитала, инвестируемого

в i-й объект (случай короткой продажи (short sale), когда допускается наличие отрицательных долей вектора инвестиций X, не рассматривается).

Наряду с классической постановкой задачи Марковича рассмотрены ее модификации при наличии априорных ограничений.

Параметрами задачи (1) являются: средние ожидаемые эффективности всех активов, потенциально участвующих в портфеле, и ковариационная матрица эффективностей. Кроме того, модель Марковича, по своей сути, является статичной, то есть формирование портфеля производится в определенный фиксированный момент времени на фиксированный промежуток времени. Однако в реальности ситуация на рынке меняется достаточно быстро, поэтому существует необходимость в постоянной корректировке состава портфеля.

В третьем параграфе разработана вероятностная модель распределения (аллокации) капитала между различными направления бизнеса.

Для предлагаемой вероятностной модели распределение капитала между объектами инвестирования будем считать оптимальным, если при максимально возможном уровне совокупной доходности уровень риска с определенной долей вероятности не превышает некоторой пороговой величины.

Пусть в начале периода инвестор направляет в i-й бизнес, i = l,...,n, капитал К., в конце периода инвестор от этого бизнеса

получает капитал Г.К.. Назовем величину г. доходностью i-го бизнеса,

i = 1,..., n. В силу наличия неопределенности г. - случайные величины,

- случайный вектор.

Требуется найти такое распределение средств между существующими направлениями бизнеса, чтобы в конце рассматриваемого периода совокупный капитал, получаемый инвестором от всех видов бизнеса, был не ниже заранее определенной величины с некоторой долей вероятности.

Предлагаемый подход отличается от подхода Марковица к диверсификации капитала возможностью априорного задания вероятности, с которой собственник бизнеса планирует получить доход заранее определенного уровня.

Риск доходности можно определить как риск больших потерь (отрицательного или низкого дохода) и ограничить его.

Обозначим - совокупный капитал, получаемый в конце

периода от всех видов бизнеса. Очевидно, что

где 5 - совокупный объем капитала, направляемого во все виды бизнеса в рассматриваемый период времени. Для безопасного распределения капитала необходимо выполнение условия,

/»{^(х)

где г - априорно заданный уровень вероятности.

Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса имеет ввд

При известном законе распределения случайной функции можно получить явный вид функции £ = ¿¡(х, т, IV, 5), где Q -квантиль, т и IV - соответственно вектор математических ожиданий и ковариационная матрица случайного вектора

Приведен алгоритм полного решения задачи распределения капитала между двумя направлениями бизнеса некоторого холдинга на основе вероятностной модели с учетом определенных допущений.

В четвертом параграфе разработана прогнозная модель динамического управления инвестиционными портфелями. При решении задачи формирования оптимального портфеля возникают два вопроса:

Как организовать динамическое управление портфелем, корректируя его состав с учетом изменений цен?

Как получить прогнозные оценки средних ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы?

Для ответа на эти вопросы была разработана прогнозная модель динамического управления портфелями инвестиций.

Пусть в момент времени ^ инвестору необходимо сформировать

инвестиционный портфель, который будет эффективным во временном промежутке Пусть т[ +д+д,)> ^ +д, ~

соответственно прогнозное значение средней ожидаемой доходности и оценка ковариационной матрицы на дату

Тогда модель динамического управления портфелем инвестиций для классической схемы Марковича имеет вид:

где

т = шах

тах

Решением задачи (2) является множество эффективных портфелей

на дату ^ +Д/. Таким образом, инвестор в каждый момент времени

выбирает из полученного множества подходящий эффективный портфель до следующего периода времени + Д/).

В пятом параграфе приведена постановка трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.

Модель Марковица формирования множества эффективных портфелей в классической постановке является двухкритериальной. Однако инвестору часто не требуется формировать заново оптимальный портфель, а нужно реструктуризировать уже имеющийся портфель, т.е. произвести перераспределение ресурсов с учетом изменения стоимости активов. В этом случае наряду с оптимизацией риска и доходности нового портфеля инвестор также заинтересован в минимизации расходов на пересмотр портфеля.

Задача формирования эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальной постановке имеет вид

Jjjt. т. -»max, (3)

где p{x) = p{x, ip) - функция затрат при переходе от имеющегося

портфеля Х^ к новому портфелю х.

При практическом решении задач формирования портфелей инвестиций ковариационная матрица W часто является плохо обусловленной. Это означает сильные корреляционные связи между объектами инвестирования, то есть рынок «дышит» как единое целое. В этом случае возникает необходимость регуляризации модели (1). Предлагаемая трехкритериальная постановка задачи формирования оптимальных портфелей инвестиций позволяет решать эту проблему с помощью функции затрат на пересмотр портфеля . В

этом случае функция выступает в качестве стабилизирующей

функции.

Решением трехкритериальной задачи (3) назовем р -нормальное решение следующей задачи

(4)

где X 6 X, а множество X определяется как

{я я .I

5еЛя:Ух. = 1,Ух-т =m ,0<x.<l,i = l.....п.т е[т ,т 1>.

I < / р I P Р pmaxJ

1=1 /=1 1

Точку Xt £ Xt называют р -нормальным решением задачи (4), если - множество решений задачи (4).

В шестом параграфе сформулированы условия существования и единственности такого решения.

Теорема 1. Пусть функция р{х) удовлетворяет условиям:

1) р{х) > 0, для любого X€ X;

2) множество р^ = {х : х е X, р(х) S С} является компактным для любого С = const >0;

3) полунепрерывна снизу на множестве X.

сгг(х) = (Wx, х) -» min р

inf р(х) = p{xt), где Xt

Тогда, если множество Х, решений задачи (4) непусто, то существует

хотя бы одно р -нормальное решение задачи (4).

Теорема 2. Пусть ковариационная матрица W является положительно определенной. Если при этом выполнены все условия существования р -нормального решения задачи (4), то трехкритериальная задача (3) имеет единственное решение для всякого

фиксированного т^ = • т., т^ е [т^, т^ ^] .

Для единственности решения задачи требуется лишь положительность собственных значений матрицы W. Некорректность задачи (3) вызвана вырожденностью или плохой обусловленностью ковариационной матрицы W, что часто встречается при решении практических задач.

Предположение о строгой выпуклости квадратичной формы (ffx, х) подразумевает невырожденность матрицы W. Однако матрица может быть достаточно «близкой» к вырожденной, то есть число обусловленности матрицы W может быть достаточно велико. И хотя теоретически в этих случаях трехкритериальная задача будет иметь единственное решение, численное решение задачи не будет обладать свойством устойчивости и, тем самым, требуется регуляризация исходной задачи.

В седьмом параграфе приведен численный метод решения трехкритериальной задачи.

Восьмой параграф содержит анализ численных результатов решения трехкритериальных задач и их сравнение с результатами решения соответствующих задач Марковица.

Во второй главе описывается модель динамического управления портфелем инвестиций с использованием модифицированного SSA-метода (Singular Spectrum Analysis).

В первом параграфе приведено описание метода SSA для временных рядов. Для временного ряда метод состоит в формировании матрицы, которая связана с оценкой ковариационной матрицы для временного ряда, исследовании полученной матрицы методом главных компонент и последующем восстановлении исходного временного ряда. При этом часто оказывается возможным выделить отдельные составляющие исходного ряда, такие как медленный тренд произвольного вида, периодические и колебательные компоненты, случайные вариации. Это, в свою очередь, позволяет прогнозировать

как сам временной ряд, так и тенденции развития различных его составляющих.

При анализе и прогнозировании рядов цен (доходностей) активов существует проблема выделения из изучаемого временного ряда информативных компонент и исключения шумов. Метод 88Л позволяет решать эти проблемы путем отбрасывания при восстановлении и прогнозировании временного ряда компонент, соответствующих случайным составляющим ряда, и производить прогноз, учитывая только главные детерминированные компоненты.

Во втором параграфе приводится алгоритм прогнозирования временных рядов цен (доходностей) активов с помощью модифицированного 88Л-метода, в котором оптимизируются параметры 88Л-метода.

Параметрами модифицированного 88Л-метода являются: длина исходного ряда N, общее число главных компонент г, количество базовых главных компонент При анализе реальных временных рядов цен (доходностей) активов с помощью описанного метода возникает необходимость выбора этих параметров.

Разработан алгоритм прогнозирования рядов цен (доходностей) активов с предварительным сглаживанием ряда с помощью того же модифицированного 88Л-метода путем отбрасывания компонент, соответствующих случайным составляющим ряда и отвечающих нулевым и близким к нулю собственным значениям. Отметим, что предлагаемый алгоритм является самообучающимся. Написанная на его основе программа сама выбирает оптимальные параметры сглаживания и прогнозирования ряда.

Алгоритм модифицированного 88Л-метода.

Имеется статистический ряд цен или доходностей некоторого

актива

1. Выберем натуральное число п, 1<n<N.

2. Для всех возможных пар значений гиг, где г - общее число главных компонент, - количество базовых главных компонент, с помощью модифицированного метода 88А:

2.1. Производится процедура сглаживания ряда (/¡)! гДе

ряд восстанавливается по первым главным

компонентам.

2.2. Рассчитываются прогнозные значения / ,...,/.

соответствующие

3. Находятся значения параметров минимуму невязки

4. С параметрами т^г^ вычисляется прогнозное значение /Л1+).

В третьем параграфе приведена оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели.

При прогнозировании ряда доходностей получаемое в результате прогнозное значение доходности принимается в качестве средней

ожидаемой доходности для рассматриваемого актива, то есть значения '"/< ш в модели (2). Для вычисления множества эффективных

портфелей в задаче (2), а также для решения трехкритериальной задачи (3) необходима оценка ковариационной матрицы $ +Д| доходностей

вложения в различные объекты инвестирования.

Пусть для составления портфеля рассматриваются К различных активов из присутствующих на рынке. Известны статистические

данные доходностей активов где номер

актива. С помощью алгоритма модифицированного ББЛ-метода получаем прогнозные значения доходностей на следующий период:

70) 7« ■'лм'"''•'/У+1

Обозначим 4» = ~ [ = п + 1,..., N,

} = 1отклонения прогнозных значений ] «хвоста»

ряда от реализованных {/У^ (. Тогда получаем следующую оценку

ковариационной матрицы прогнозных значений доходностей: 1 "

1Г..

N..

¡=Я + 1

Полученные прогнозные значения ожидаемой доходности и оценка ковариационной матрицы позволяют произвести пересмотр портфеля инвестиций на следующий временной промежуток посредством решения трехкритериальной задачи. Таким образом, реализуется управление инвестиционным портфелем в динамическом режиме.

Четвертый параграф посвящен анализу численных результатов прогнозирования с использованием модифицированного ББЛ-метода.

Для численных экспериментов использовались реальные исторические данные котировок акций, входящих в индексы Dow Jones и S&P 500.

В модели реализуется «обучение» метода и последующий выбор оптимальных параметров модифицированного SSA-метода. «Обучение» производится на части ряда. Для оценки эффективности прогнозирования использовались доля совпадающих трендов исходного и спрогнозированного с выбранными оптимальными параметрами прогнозной модели ряда, а также погрешность прогноза. Погрешность прогноза оценивалась по формулам

1) е'

U) _

(+1

У) _ fU) i+1

fUl _ /•'

A+i J;

f

Ii) i+i

временные ряды цен активов;

2) ^Ч/0?-/0?!,^

i+l I-'i+l Л+1 1

= 2 ■

z+l

и:

(/) _ fU) l+l

fill _ fl JM

fU) + fU)

1+1 I

M,

временные ряды ежедневных ri.i)

доходностей. Здесь /У" - прогнозное, а - реализованное значение наблюдаемой величины, г = п + у =1,...,К, ]- номер актива.

Исследована зависимость процента совпадающих трендов от длины интервала обучения исходного ряда. Производился прогноз как цен, так и относительных величин - ежедневных доходностей.

При тестировании модели была предусмотрена возможность выбора шага прогнозирования: 1 торговый день, 5 (что соответствует неделе) и 20 (что соответствует 1 месяцу) торговых дней. При прогнозировании на 5 и 20 дней исходный ряд ежедневных доходностей сглаживался модифицированным 88Л-метода, затем прореживался с требуемым шагом, и далее осуществлялось прогнозирование полученного ряда последовательно на один шаг вперед.

В табл. 1 приведены результаты прогнозирования рядов цен и доходностей с помощью модифицированного 88Л-метода с шагом прогнозирования 1 день. При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены составила 1,83 %.

Таблица 1

База прогнозирования Средний процент совпавших трендов, % Средняя погрешность прогноза доходности, %

Доходности 63,23 2,06

Цены 61,61 1,81

Третья глава посвящена моделям динамического управления портфелями инвестиций, использующим робастные методы. С учетом наличия существенной случайной составляющей в рассматриваемых временных рядах для предварительного сглаживания ряда целесообразно использовать робастные методы оценивания, позволяющие нейтрализовать большие выбросы.

В первом параграфе излагается модель динамического управления портфелем, схема прогнозирования которой использует робастные линейные сглаживающие сплайны, построенные с помощью робастной функции Тьюки.

Робастные линейные сглаживающие сплайны позволяют наиболее эффективно и без больших вычислительных затрат производить операцию сглаживания дискретной совокупности точек ,

i = \,...,n, по сравнению, например, с методом SSA. Наиболее простая (линейная) структура линейных сглаживающих сплайнов внутри промежутков х е , i = 1,...,n-1 дает возможность разработки

простых и эффективных алгоритмов численного восстановления, в том числе и робастных линейных сглаживающих сплайнов.

Параметрами рассматриваемого метода являются: длина исходного ряда N и уровень сглаживания if, а> 0.

Во втором параграфе предлагается схема выбора оптимального значения параметра сглаживания для робастных линейных

сглаживающих сплайнов.

Эксперименты показали сильную зависимость эффективности прогнозирования временного ряда доходностей от меры сглаживания . Для определения оптимальных значений предлагается использовать метод нормированного размаха, разработанный Херстом для фрактального анализа временных рядов.

Известно, что для белого шума показатель Херста Я равен 0,5. Если показатель Херста H>0,5, то ряд обладает свойством персистентности. Если же H<0,5, то ряд характеризуется антиперсистентностью.

Поэтому в качестве подходящего уровня сглаживания можно брать такое значение , при котором показатель Херста для остаточной хаотической компоненты после сглаживания исходного ряда наиболее близок к 0,5.

На рис. 2 приведен график изменения показателя Херста в зависимости от , рассчитанный для ряда остатков, полученных при сглаживании ряда цен на акции корпорации Reebok International, Ltd.

На графике также показано изменение показателей эффективности последующего прогнозирования ряда (доли совпадающих трендов исходного и спрогнозированного ряда, а также погрешности прогноза последнего, «неизвестного заранее», значения цены). Значению Н, наиболее близкому к 0,5, соответствует а~ 2, при котором доля совпавших трендов составляет 0,8 (80%), а относительная погрешность прогнозирования последней точки временного ряда составляет менее 0,1%.

Рис. 2. График изменения показателя Херста для ряда остатков, полученного при сглаживании ряда цен на акции корпорации Reebok International, Ltd робастными линейными сглаживающими сплайнами, доли совпавших трендов и относительной погрешности прогноза в зависимости от значения параметра сглаживания а.

В качестве других критериев выбора подходящего уровня сглаживания а, а > 0, брались:

1) , где

/=л+1

исходного ряда, - ряд, полученный в результате

прогнозирования модифицированным SSA-методом, N - длина исходного ряда;

2) е(а) min , где е{а) - погрешность прогноза.

В третьем параграфе описывается модель динамического управления инвестиционным портфелем, схема прогнозирования которой использует робастные ортогональные полиномы, построенные с помощью робастной функции Тьюки. Схема прогнозирования временных рядов цен или доходностей активов для этой модели предполагает предварительное сглаживание исходного ряда, где в качестве функций, сглаживающих совокупность точек ('.,/'(/.)),

i = 1,..., п, взяты робастные ортогональные полиномы, и последующий прогноз сглаженного ряда модифицированным SSA-методом.

Четвертый параграф содержит анализ численных результатов работы моделей динамического управления портфелями инвестиций с применением робастных методов. Эффективность прогнозирования временных рядов цен (доходностей) ценных бумаг оценивалась с точки зрения среднего процента совпадающих трендов исходного и спрогнозированного графиков изменения соответствующего показателя, а также среднего значения погрешности прогноза. В качестве иллюстрации приведены графики исходных и спрогнозированных рядов для некоторых активов. Осуществлен сравнительный анализ эффективности всех разработанных схем прогнозирования.

В табл. 2 приведены результаты прогнозирования рядов цен и доходностей активов с применением робастных линейных сглаживающих сплайнов с учетом выбора оптимального уровня сглаживания. При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены составила 0,97 %.

Таблица 2

База Средний процент Средняя погрешность

прогнозирования совпавших трендов, % прогноза доходности, %

Доходности__65,05___1,75__

Цены 66,56 0,95

На рис. 3 приведены графики исходного ряда цен на акции компании Reebok International, Ltd и ряда, полученного при сглаживании и прогнозировании. Прогноз произведен с использованием предварительного сглаживания робастными линейными сглаживающими сплайнами с выбором оптимального значения параметра сглаживания .

Рис. 3. Прогноз ряда цен на акции компании Reebok International, Ltd. Сглаживание - робастные линейные сглаживающие сплайны, выбор оптимального значения параметра а. Прогноз - модифицированный SSA-метод,

В заключении приведены сводный список результатов выполненных исследований и соответствующие выводы работы.

Приложения содержат графики исходных и спрогнозированных цен и доходностей акций, сводные таблицы результатов прогнозирования цен и доходностей акций, полученных с применением разработанных схем с различными значениями длины этапа «обучения» прогнозных моделей и для разных шагов прогнозирования. Приведены графики для множеств эффективных инвестиционных портфелей, полученные при тестировании прогнозных моделей. Представлены результаты численного решения трехкритериальной задачи.

На защиту выносятся следующие результаты

1. Трехкритериальная постановка задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей, корректность и схемы численного решения задачи.

2. Алгоритм прогнозирования финансовых временных рядов на основе модифицированного SSA-метода.

3. Схемы выбора оптимального уровня робастного сглаживания финансовых временных рядов.

4. Модель динамической реструктуризации инвестиционных портфелей на основе трехкритериальной постановки задачи формирования портфеля и прогнозирования в режиме on-line.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Жидков Е.П., КряневА.В., Фоменко М.В. Постановка и решение задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей с использованием прогнозной модели. М.: Препринт/МИФИ. 002-03,2003. - 20 с.

2. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Применение робастной схемы прогнозирования временных рядов для решения задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2003, Т. 2, № 2, С. 5-12.

3. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Формирование эффективных инвестиционных портфелей в динамическом режиме. Вестник РУДН. Серия «Экология», 2003, Т. 2, № 2, С. 25-31.

4. Крянев А.В., Фоменко М.В. Корректность постановки трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2004, Т. 3, № 1, С. 14-20.

5. Kryanev A.V., Fomenko M.V. The Problem of Investment Effective Portfolios with Three Criterions. Proceeding of the International Conference "Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics" (MMSED-2004), June 23-25, Moscow, Russia.- Moscow: RSSU, 2004, p. 121-123.

6. Дорошенко М.В., Крянев А.В. Численное решение задачи оптимизации портфелей инвестиций. XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2001. - С. 24-25.

7. Дорошенко М.В., Крянев А.В. Постановка и численное решение задачи оптимизации инвестиционных портфелей в динамическом режиме. XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2002. - С. 64-65.

8. Крянев А.В., Фоменко М.В. Прогнозирование доходности активов для динамического управления инвестиционным портфелем. XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2003. - С. 56-57.

Подписано в печать 24.03.2005. Тираж 100 экз. Заказ № 267. Типография ГУ «НИИМОССТРОЙ». Москва, ул. Винницкая, д. 8

УЗ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТРЕХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПОРТФЕЛЕЙ.

1.1. Развитие теории портфельного инвестирования.

1.2. Модель Марковица и ее модификации.

1.3. Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса.

1.4. Модель динамического управления портфелем инвестиций. щ 1.5. Постановка трехкритериальной задачи.

1.6. Существование и единственность решения трехкритериальной задачи.

1.7. Численный метод решения трехкритериальной задачи.

1.8. Численные результаты и их анализ.

Основные результаты, представленные в первой главе.

Глава 2. ПРОГНОЗНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ИНВЕСТИЦИЙ.

2.1. Метод SSA для временных рядов.

2.2. Алгоритм модифицированного SSA-метода прогнозирования временных рядов цен (доходностей) активов.

2.3. Оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели.

2.4. Анализ численных результатов прогнозирования с использованием модифицированного SSA-метода.

Основные результаты, представленные во второй главе.

Глава 3. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ИНВЕСТИЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ РОБАСТНЫЕ МЕТОДЫ.

3.1. Применение робастных линейных сглаживающих сплайнов для динамического управления инвестиционным портфелем.

3.2. Оценка оптимального уровня сглаживания с помощью фрактальных методов.

3.3. Применение робастных ортогональных полиномов для динамического управления инвестиционным портфелем.

3.4. Анализ численных результатов прогнозирования при использовании робастных методов.

Основные результаты, представленные в третьей главе.

Актуальность темы исследования. За последние полтора десятилетия в Российской Федерации произошли существенные изменения, связанные с переходом к рыночной системе. Развиваются не только традиционные для России отрасли экономики, но и отрасли, не получившие развитие в советское время. Формируются банковский сектор и фондовый рынок. Появляются крупные корпоративные и многочисленные индивидуальные инвесторы, растет число участников фондового рынка. Это приводит к увеличению интереса к постановке и решению задач экономики с помощью методов математического моделирования.

Широкий класс задач экономики, решаемых методами математического моделирования, образуют задачи эффективного распределения ресурсов, большую роль среди которых играют задачи оптимизации инвестиционных портфелей.

Математическая теория портфельного инвестирования получила свое развитие в пятидесятые годы двадцатого столетия. Ее основателем считается Гарри Марковиц [129-131], американский математик-экономист. В последние годы теория портфельного инвестирования переросла в строгую математическую теорию и продолжает успешно развиваться в работах как зарубежных, так и российских ученых.

Для портфельного инвестора принятие решения о структуре распределения средств происходит в основном в условиях неопределенности, когда эффективность вложения ресурсов в каждый конкретный объект инвестирования носит случайный характер. Это порождает наличие риска инвестирования и делает задачу оптимизации портфеля, с точки зрения эффективности, довольно сложной как для постановки, так и для разработки методов и алгоритмов численного решения.

Г. Марковичу принадлежит классическая постановка задачи формирования эффективного инвестиционного портфеля [130]. Тем не менее, наряду с классической постановкой задачи требуется рассмотрение ее модификаций, учитывающих дополнительные условия, связанные, в том числе, с накладываемыми на доли активов в портфеле ограничениями.

Подчеркнем, что при инвестировании на рынке ценных бумаг часто ситуация меняется очень быстро, что требует от инвестора периодического пересмотра портфеля для максимизации эффективности вложений. Таким образом, особую актуальность представляет проблема динамического управления инвестиционным портфелем, для решения которой необходима разработка эффективных методов прогнозирования эффективностей инвестирования (в частности, цен или доходностей активов).

Актуальность проблематики подтверждает также интерес к вопросам теории портфельного инвестирования весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати.

Цель работы: разработка эффективных численных схем и алгоритмов динамического управления инвестиционными портфелями.

Методика исследований: в работе использованы полученные ранее результаты теории портфельного инвестирования, математические методы сглаживания и прогнозирования временных рядов, робастные методы оценивания, а также методы фрактального анализа временных рядов.

Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты:

1. Разработана новая схема и алгоритм формирования и реструктуризации эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальной постановке.

2. Сконструирована новая прогнозная схема и алгоритм динамического управления портфелями инвестиций с использованием SSA-техники прогнозирования и трехкритериальной постановки задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.

3. Предложены новые схемы и алгоритмы выбора оптимальных значений параметров сглаживания и прогнозирования финансовых временных рядов.

Рис. 1. Структура разработанной схемы динамического управления инвестиционными портфелями

Сконструированная схема динамического управления портфелями инвестиций структурно представлена на рис. 1. Слева поэтапно показана последовательность шагов, осуществляемых для динамического управления портфелем. Справа перечислены необходимые входные данные и используемые методы для каждого этапа.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы организациями, осуществляющими инвестиционную деятельность для формирования и реструктуризации краткосрочных и долгосрочных инвестиционных портфелей, прогнозирования, выработки инвестиционной политики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2001, 2002, 2003); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на семинарах в РУДН и МИФИ. Некоторые результаты диссертации внедрены в проектах ООО «Франклин & Грант. Финансы и аналитика».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 156 наименований и трех приложений. В ней имеется 35 рисунков и 21 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.

Основные результаты, представленные в третьей главе

Рассмотрены модели прогнозирования финансовых временных рядов, использующие робастные методы сглаживания. Описаны методы робастных ортогональных полиномов и робастных линейных сглаживающих сплайнов, построенные с помощью робастной функции Тьюки.

Предложена схема выбора оптимального значения параметра сглаживания а для робастных линейных сглаживающих сплайнов. Представлены численные результаты и проведен их анализ.

Результаты, представленные в третьей главе, опубликованы в работах [23, 37].

1. АлбертДж., НтьсонЭ., УолшДж. Теория сплайнов и ее применения. - М.: Мир, 1972.

2. Андрамонов М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно выпуклых функций. - Казань: Дас, 2001.

3. Арсенин В.Я., Крянев А.В. Обобщенный метод максимального правдоподобия решения конечномерных некорректных задач // ЖВМ и МФ, 31 (5), 643-653, I99I.

4. Арсенин В.Я., Крянев А.В., Цупко-Ситников М.В. Применение робастных методов при решении некорректных задач // ЖВМ и МФ, 29 (5), 653-661, 1989.

5. Базара М., ШеттиК. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1982.

6. Белонин М.Д., Татаринов КВ., Калинин О.М., Шиманский В.К, Бескровная О.В., Гранскии В.В., Похитонова Т.Е. Факторный анализ в нефтяной геологии.-М.: ВИЭМС, 1971.

7. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. - М.: Тривола, 1995.

8. ВапникВ.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.: Наука, 1979.

9. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс, 2002.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

11. Воеводин в.в. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1977.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.

13. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования.//ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, №12, 1766-1786.

14. Горячев Л.В. Введение в теорию многокритериальной оптимизации. Учебное пособие. -Владивосток, 1989.

15. Данилов Д.Л., Жиглявский А.А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». - СПб.: СПбГУ, 1997.

16. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения. - М.: Прогресс, 1966.

17. ДемиденкоЕ.З. Линейная и нелинейная регрессии.- М.: Финансы и статистика, 1981.

18. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Постановка и решение задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей с использованием прогнозной модели. -М. : Препринт/МИФИ. 002-03, 2003.

19. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Формирование эффективных инвестиционных портфелей в динамическом режиме. // Вестник РУДН. Серия «Экология», 2003, Т. 2, № 2, 14-20.

20. Завьялов Ю. С, Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн- функций. - М.: Наука, 1980.

21. Зенкевич Н.А., КузютинВ.Ф. Элементы выпуклого анализа.- СПб., 1993.

22. Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. // ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, №7, 1045-1060.

23. Керимов АК. Методы анализа и прогнозирования ценовых данных: Технический анализ: Учебное пособие. - М : Изд-во РУДН, 2003.

24. Кислицын М.М. Многомерная статистика временных рядов наблюдений в авиационной эргономике. // Вопросы кибернетики, 1978, Т. 51.

25. Костина Е.А., Костюкова О.И. Алгоритм решения выпуклых задач квадратичного программирования с линейными ограничениями -равенствами и неравенствами. // ЖВМ и МФ^ 2001, Т. 41, № 7, 1012-1025.

26. Крянев А.В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. - М.: МИФИ, 2001.

27. Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. - М.: МИФИ, 1988.

28. Крянев А.В. Применение современных методов параметрической и непараметрической статистики при обработке данных экспериментов на ЭВМ.-М. : МИФИ, 1987.

29. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

30. Крянев А.В., Рубинский Д.А., Черный А.И. Математические модели и компьютерные реализации решений задач оптимизации портфелей инвестиций. Компьютерная хроника. - М . : Интерсоцинформ, 1996, 24-32.

31. Крянев А.В., Фоменко М.В. Корректность постановки трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2004, Т. 3, № 1, 14-20.

32. Крянев А.В., Черный А.И. Математические модели задач оптимизации портфелей инвестиций. - М.: Препринт МИФИ, 005-97, 1997.

33. Крянев А.В., Черный А.И. Математические модели и взаимодействие эффективностей инвестиций.- М.: Препринт МИФИ, 009-96, 1996.

34. Крянев А.В., Черный А.И. Равновесие на рынке ГКО: теория и практика. Рынок ценных бумаг // Аналитический журнал, 14, 1996, 30-32.

35. Крянев А.В., Черный А.И. Робастные линейные сглаживающие сплайны и их применения. - М.: МИФИ, 1997.

36. КряиевА.В., Черный A.M. Численные решения оптимизационных задач математической теории инвестиций. - М.: МИФИ, 1995.

37. Лавров КН., Цыплякова Т.П. Финансовая аналитика MATLAB 6. - М.: Диалог-МИФИ, 2001.

38. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.

39. ЛукашинЮ.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. // Экономика и математические методы, 1995, 31 (1).

40. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. - М.: Наука, 1986.

41. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. - М., 1991.

42. О'БрайенДэю., ШриваставаС. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами, - М.: Дело Лтд, 1995.

43. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: Инфра-М, 1994.

44. Петров А.А. Шананин А.А. Условия интегрирования распределения доходов и социальная структура общества. // Математическое моделирование, 1994, Т. 6, № 8, 3-23.

45. Петров А.А. Шананин А.А. Экономические механизмы и задачи агрегирования модели межотраслевого баланса. // Математическое моделирование, 1993, Т. 5, № 9, 18-42.

46. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996.

47. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. - М.: Энергоатомиздат, 1996.

48. Петухов Л.В. Методы решения задач выпуклого программирования. - Л., 1991.

49. Питер К. Как управляют инвестициями//ЭКО (Экономика и организация промышленного производства), 1993, № 11, 143-153.

50. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.

51. ПолищукЛ.И. Анализ многокритериальных экономико- математических моделей. - Новосибирск: Наука, 1989.

52. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. - М.: Наука, 1983.

53. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975.

54. ПытьевЮ.П. Математические методы интерпретации эксперимента. - М.: Высшая школа, 1989.

55. ПытьевЮ.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента.- М.: Изд. МГУ, 1990.

56. ПытьевЮ.П. Шиишарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. - М.: Изд. МГУ, 1983.

57. Розен В.В. Выпуклый анализ в линейных пространствах. Элементарное введение. - Саратов, 1996.

58. Рязанцева И.П. О выборе параметра регуляризации при решении выпуклых экстремальных задач. // ЖВМ и МФ, 1997, Т. 37, № 7, 895-896.

59. Сеа Ж. Оптимизация, теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1973.

60. СеберДлс. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980.

61. Смоляк А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. - М.: Статистика, 1980.

62. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.

63. Тихонов A.M., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.

64. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.

65. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984.

66. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. - М.: Физматлит, 2003.

67. Шананин А.А. Об устойчивости рыночных механизмов.// Математическое моделирование, 1991 Т. 3, № 2, 42-62.

68. ШарпУ.Ф., Александер Г.Длс, БэйлиД.В. Инвестиции.- М.: Инфра-М, 1999.

69. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. //Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995, Т. 2, Вып. 2,0.527-555.

70. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,-М.: Фазис, 1998.

71. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2, - М.: Фазис, 1998.

72. Aase К. Optimum Portfolio Diversification in a General Continuous Time Model//Journal Stochastic Processes and their Applications, 18, 1984, p. 81-98.

73. Allen D.E. Finance. Theoretical Introduction. St. Martin Pr., 1983.

74. AntoniouL, Gorshkov Yu.S., Ivanov V.V., KryanevA.V. Forecasting financial derivative prices // Chaos, Solitons and Fractals, 2000, № 11, p. 223-229.

75. ArrowK. Essays in the Theory of Risk Bearing.- London: North- Holland, 1970.

76. Bachelier M.L. Theorie de la speculation//Annales scientifiques de 1'есо1й normale superieure, 1900, p. 21-86.

77. BakaevN.Yu. Analysis of Fully Discreet Approximations to Parabolic Problems with Rough or Distribution-valued Initial Data.//Numerische Mathematik, 92 (2002), 621 -651.

78. BakaevN.Yu., ThomeeV., WahllinLB. Maximum-norm Estimates for Resolvents of Elleptic Finite Element Operators. // Mathematics of Computation, 72(2003), 1597-1610. I l l

79. Bertsekas D. Necessary and Sufficient Conditions for Existence of an Optimal Portfolio. //Journal of Economic Theory, 8, 1974, p. 235-247.

80. Blume M. Betas and their Regression Tendencies // Journal of Finance, 10(3), 1975, p. 785-795.

81. Breen W., Jackson R. An Efficient Algorithm for Solving Large-Scale Portfolio Problems//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 6(1), 1971, p. 627-637.

82. Brennan M.J., Kraus A. The Geometry of Separation and Myopia//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 11 (2), 1976, p. 171-193.

83. Brigham E. Fundamentals of Financial Management, - N.Y., 1982.

84. BroomheadD.S., Jones R., King G.P., Pike E.R. Singular System Analysis with Application to Dynamical Systems. - In: Chaos, Noise and Fractals, ed. By E.R. Pike and L.A. Lugaito. - Bristol: lOP Publishing, 1987.

85. BroomheadD.S., KingG.P. Extracting Qualitative Dynamics from Experimental Data. //Physica D., 1986. V. 20, p. 217-236.

86. Broomhead D.S., KingG.P. On the Qualitative Analysis of Experimental Dynamical Systems. - In: Nonlinear Phenomena and Chaos, ed. By S.Sarkar. - Bristol: Adam Hilder, 1986, p. 113-114.

87. Broverman S.A. Mathematics of Investment and Credit. - W. A.: Actex Pub. Inc., 1991.

88. BuserS. A Simplified Expression for the Efficient Frontier in Mean- Variance Portfolio Analysis // Management Science, 23 (4), 1977, p. 901-903.

89. BuserS. Mean Variance Portfolio Selection with Either a Singular or Non-Singular Variance-Covariance Matrix // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12 (3), 1977, p. 436-461.

90. Cohen J, ZinbargE., Zeikel A. Investment Analysis and Portfolio Management, - N.Y., 1987.

91. Cox J., RossS. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes//Journal of Financial Economy, 3, 1976.

92. Сох J., Ross S., Rubinstein M. Optimal Pricing: A Simplified Approach //Journal of Financial Economics, 9, 1979.

93. Debreu G. Mathematical Economics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1983.

94. DuffieD. Security Markets: Stochastic Models.- London: Academic Press, Inc, 1988.

95. Eisner J.В., Tsonis A.A. Singular Spectrum Analysis. New Tool in Time Series Analysis. — N.Y.: Plenum Press, 1996. "102. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. -N.Y.: John Wiley and Sons, 1987.

96. Elton E.J., Gruber M.J. Portfolio Theory when Investment Relatives are 1.ognormally Distributed // Journal of Finance, 39 (4), 1974, p. 1265-1273.

97. FaalandB. An Integer Programming Algorithm for Portfolio Selection // Management Science, 20 (10), 1974, p. 1376-1384.

98. FischerR. Fibonacci Applications and Strategies for Traders.- N.Y., 1993.

99. Forsythe G.E. Generation and Use of Orthogonal Polynomials for Data- fittingwith a Digital Computer//J. Soc. Indust. Appl. Math., 5, 1957, p. 74-87.

100. Gitman I., Jochuk M. Fundamentals of Investing. - N.Y., 1990.

101. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure. SSA and Related Techniques. - Chapman & Hall / CRS, 2001.

102. HullJ.C. Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall International, Inc., 1999.

103. IngersollJ. Theory of Financial Decision Making.- Dotowa. N.J., Prentice-Hall, 1987.

104. Jacob, Nancy A. Limited-Diversification Portfolio Selection Model for the Small Investor//Journal of Finance, 29 (3), 1974, p. 847-856.

105. Johnson J., BaeselJ. The Nature of Significance of Trend Betas // Journal of Finance Management, 4 (3), 1978, p. 36-40.

106. JolliffeLT. Principal Component Analysis. Springer Series in Statistics.-N.Y.: Springer-Verlag, 1986.

107. Jones-LeeM.W. Some Portfolio Adjustment Theorems for the Case Non-negativity Conditions on Security Holdings//Journal of Finance, 26 (3), 1971, p. 763-775.

108. Kimball M.S. Standard Risk Aversion // Econometrica, 61 (3), 1993.

109. KingB. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior//Journal of Business, 39 (1), 1966, p. 139-140.

110. Klemkosky R., Martin J. The Adjustment of Beta Forecasts // Journal of Finance, 10(4), 1975, p. 1123-1128.

111. Klemkosky R., Martin J. The Effect of Market Risk on Portfolio Diversification//Journal of Finance, 10(1), 1975, p. 147-153.

112. KornR. Optimal portfolios: stochastic models for optimal investment and risk management in continuous time. World Scientific Publ. Co., 1997.

113. Krjanev A.V. The Solution of Incorrectly Posed Problems by Methods of Successive Approximations // Soviet Math. Dokl., 14 (3), 1973, p. 673-676.

114. LaffontJ.J. Cours de Theorie Microeconomique. II. Economic de I'incertain et de information. - Paris: Economica, 1986.

115. LaffontJ.J. The Economics of Uncertainty and Information.- N.Y.: MIT Press, 1989.

116. Levy R. On the Short-Term Stationarity of Beta Coefficients // Financial Analysis Journal, 27 (5), 1971, p. 55-62.

117. LintnerJ. The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics, 47, 1965, p. 13-37.

118. Los J., Los M. Mathematical Models in Economics.- Amsterdams: North-Holland, 1974. .127. Lucas R., Prescott E. Investment Under Uncertainty//Econometrica, 39, 1971, p. 659-681.

119. Lynch J.J., MayleJ.H. Standard Securities Calculation Methods. Fixed Income Securities Formulas. - N.Y.: Securities Ind, Ass., 1986.

120. Markowitz H.M. Mean Variance Analysis in Portfolio Choose and Capital Markets. - Basil: Blackwell, 1990.

121. Markowitz H.M. Portfolio Selection//Journal of Finance, 7(1), 1952, p. 77-91.

122. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. - N.Y.: John Wiley and Sons, 1959.

123. MertonR.C. Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty the Continuous-Time Case // The Review of Economic Statistics, 8, 1969.

124. MertonR.C. Optimum consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model //Journal of Economic Theory, 3, 1971, p. 373-413.

125. Miller M.H., Modigliani F. Dividend Policy, Growth and Valuation of Shares // Journal of Business, 34, 1961, p. 441 -433.

126. Modigliani F., Miller M.H. The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment // American Economic Review, 48 (3), 1958.

127. MossinJ. Equilibrium in a Capital Asset Market//Econometrica, 34(4), 1966, p. 768-783.

128. MossinJ. Theory of Financial Markets. Englewood Cliffs.- N.J., Prentice-Hall, 1973.

129. PrattJ.W., ZeckhauserR.J. Proper Risk Aversion//Econometrica, 55(0,1987.

130. Richards. Optimal Consumptions, Portfolio and Life Insurance Rules for an Uncertain Lived Individual in a Continuous Time Model // Journal of Financial Economics, 2, 1975, p. 187-203.

131. Roll R. A Critic of the Asset Pricing Theory Test // Journal of Financial Economics, 3, 1977.

132. Roll R, Ross S.A. A Critical Examination of the Empirical Evidence of the Arbitrage Pricing Theory // Journal of Finance, 6, 1984. "142. Rubinstein M. Mean Variance Synthesis of Corporate Financial Theory//Journal of Finance, 28 (1), 1973.

133. SamuelsonP. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming // Review of Economics and Statistics, 51, 1969, p. 239-246.

134. Sharpe W.E. Capital Asset Price: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk // Journal of Finance, 29 (3), 1964, p. 425-442.

135. Sharpe W.E. A Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science, 1, 1963.

136. Sharpe W.E. Investments. Englewood Cliffs.- N.J.: Prentice-Hall, 1985.-

137. Shim J.K., SiegelJ.G. Handbook of Financial Analysis, Forecasting and Modelling. -N.J.:.Prentice-Hall, 1988.

138. StiglitzJ. On the Optimally of the Stock Market Allocation of Investment // Quarterly Journal of Economics, 86, 1972, p. 25-60.

139. StiglitzJ. The Inefficiency of the Stock Market Equilibrium//Review of Economic Studies, 49, 1982, p. 241-261.

140. Tucker J., Defaro C. A Simple Algorithm for Stone's Version of the Portfolio Selection Problem//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 10(5), 1975, p. 859-870.

141. VautardR., Yiou P., Ghil M. Singular-spectrum Analysis: A Toolkit for Short Noisy Chaotic Signals. // Physica D., 1992. V. 58, p. 95-126.

142. WeronA., Weron R. Fractal market hypothesis and two power- laws // Chaos, Solutions and Fractals, № 1 1 , 2000, p. 289-296.

143. ZhuY., AvellanedaM. A Risk-Neural Stochastic Volatility Model//International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol. 1, № 2 , 1998, p. 289-310.

144. Ziemba W. Solving Nonlinear Programming Problems with Stochastic Objective Functions.//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 7(3), 1973, p. 1809-1827.