автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование задач распределения ресурсов на основе минимизации риска

На правах рукописи

Лукин Глеб Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Диссертация выполнена в Московском инженерно-физическом институте (государственном университете).

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Крянев Александр Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бакаев Николай Юрьевич

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Зрелое Петр Валентинович

Ведущая организация - Российский Университет Дружбы Народов

Защита состоится ? 2005 г. в час. на засе-

дании диссертационного совета Д-212.130.09 при Московском инженерно-физическом институте (государственном университете) по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, д. 31.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МИФИ.

Автореферат разослан « ^'2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук,

профессор Леонов А. С.

т- ч гъчч^ъъ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В течение последних лет в Российской Федерации возрос научный интерес к задачам математического моделирования экономических систем и процессов. Одним из классов задач математического моделирования в экономике являются задачи оптимального распределения ресурсов. Задачи оптимального распределения ресурсов возникают в различных областях науки, техники и социальных сферах, причем характер распределяемых ресурсов и смысл оптимальности может быть различным в зависимости от рассматриваемой прикладной области и конкретизации задачи.

Наиболее широкий класс задач оптимального распределения ресурсов образуют такого рода задачи в условиях неопределенности. Неопределенность в этих задачах может быть порождена различными причинами, но в абсолютном большинстве случаев причиной неопределенности является неопределенный (случайный) характер величин, количественно описывающих эффективность использования ресурсов в тех объектах, в которые они распределяются.

Современный подход постановки задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности основан на двух-критериальном рассмотрении такого рода задач, когда одним из критериев, подлежащих максимизации, является суммарная характеристика эффективности использования ресурсов во всей совокупности объектов, в которые распределены ресурсы, а вторым критерием, подлежащим минимизации, является мера неопределенности эффективного использования ресурсов в совокупности этих объектов.

Исторически первой математической двухкритериальной моделью задачи оптимального распределения ресурсов является модель лауреата Нобелевской премии Г.Марковица1, в рамках которой в качестве критерия эффективности использования ресурсов берется математическое ожидание числовой характеристики эффективности (трактуемой как случайная величина), а в качестве критерия неопределенности - дисперсия эффективности. В рамках подхода Марковича разработаны эффективные алгоритмы и на их основе компьютерные программы решения задач оптимального распределения ресурсов.

HM Markowitz. Portfolio Selection Journal of Finance, 7, №1 (1952), pp 77-91. Harry M Markowitz. Portfolio Selection Efficient Diversification of Investments N Y., John Wiley, 1959

3

РОС. H \

¡ИОНАЛЬНАЛ

ПОТЕКА

В последние годы интенсивно развивается альтернативное направление двухкритериальной постановки и решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанной на расчете вероятности Р* - принятия числовой характеристикой суммарной эффективности использования ресурсов значения, меньшего заданного уровня Я*.

В рамках такого подхода, широко используемой аббревиатурой которого является УаИ (\/а1ие-а^зк), критерием эффективности использования ресурсов является И*, а критерием неопределенности (риска) - Р*.

По существу концепция УаЯ соответствует пониманию риска, традиционно используемого в технических областях, где величина риска обычно измеряется величиной вероятности наступления неблагоприятной ситуации (вероятность аварии, вероятность выхода из строя аппаратуры и т.д.).

Потребность развития и использования УаК-технологии для решения практических задач требует разработки эффективных вычислительных алгоритмов и их программной реализации для решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности.

В диссертационной работе в теоретическом и прикладном планах рассматриваются постановки, численные методы и компьютерные реализации решений актуальных задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаК-технологии и использовании результатов прогнозирования эффективностей как случайных динамических процессов.

Целью диссертационной работы является:

1. разработка математических моделей задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанных на УаЯ-подходе;

2. разработка алгоритмов прогнозирования хаотических временных процессов, описывающих динамическое изменение эффективностей с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа;

3. разработка численных алгоритмов решения практических задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанных на УаЛ-подходе с использованием результатов прогнозирования с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа;

4. реализация решения задач оптимизации распределения ресурсов в виде программного комплекса

Научная новизна и значимость.

1. Предложены новые постановки задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ-подходе.

2 Разработаны новые алгоритмы численного решения задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаИ-подходе в условиях нормального закона распределения эффективностей и в условиях произвольного закона распределения эффективностей.

3. Разработаны алгоритмы реализации нового метода прогнозирования хаотических временных процессов на основе нестационарного сингулярно-спектрального анализа.

4. Впервые разработана схема включения результатов прогнозирования на основе нестационарного сингулярно-спектрального анализа в алгоритм решения задачи оптимизации распределения ресурсов на основе \/аЯ-подхода.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации постановки задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности и разработанные алгоритмы и компьютерные программы их численного решения применяются для построения математических моделей задач оптимизации в экономических областях и могут быть использованы в технических приложениях, например, в задачах оптимального распределения памяти и других параметров компьютерных сетей, в задачах трафика различного содержания и др.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей, алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты были доложены на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи» (МГУ, 2003 г.), Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (г. Москва, 2004 г.), Международной научно-практической конференции «Глобальные тенденции в статистике и математических методах в экономике' наука, практика и образование» (г. Санкт-Петербург, 2004 г), Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г. Екатеринбург, 2004 г.), Научных конференциях МИФИ (2001, 2002, 2003, 2004 гг.), научном семинаре под руководством профессора Н Ю. Бакаева (Российский

государственный социальный университет), научном семинаре под руководством профессора Н А. Кудряшова (МИФИ)

Публикации. Полученные в диссертации результаты опубликованы в 15 работах [1] - [15], а также представлены на сайте www.kryanev.ru.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список цитируемой литературы содержит 117 наименований. Общий объем диссертации /Об с.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор публикаций по тематике диссертации, общая характеристика работы, ее актуальность, формулируются цели диссертации, научная новизна и значимость, дано краткое изложение содержания работы.

Первая глава диссертации посвящена описанию предлагаемого метода нестационарного сингулярно-спектрального анализа (^БА) хаотических временных рядов и процессов.

Математическая модель исследуемого векторного непрерывного временного процесса имеет вид системы неоднородных дифференциальных уравнений вида:

с1р' у т с1Рн у т ч

0, (1)

Ш /=1 Ш - /=1 *=1

где у (О, У = 1,...,/и - исследуемые временные процессы, для которых известны реализации до момента Т, е^) - хаотические шумы, а коэффициенты а и, и]к функции /к(!) и порядки уравнений р] неизвестны.

Требуется спрогнозировать значения исследуемого векторного временного процесса у(1:) = (ухЦ),...,ум{^ для Г>7\

Конечномерный аналог динамической системы (1) имеет вид векторной многофакторной модели для системы временных рядов-

т Р) Я

у» = ЕЕ«^/«-* + +ер ■ (2>

/=1 *=1 к=1

6

7=1,...,/я, / = 1 ,...,п, где а .к, и/к - неизвестные константы, # - неизвестные натуральные числа.

Для реализации нестационарного сингулярно-спектрального анализа системы временных рядов у , / = 1,..,т, / = 1,..,и образуем матрицу наблюдений К размерности (Ьх(р т + д)у.

( 4" \

У\,\ У2,1 ••■ Уг,р —Ут, I —Ут,р Д/> "'*ч,р

у_ У\,2 •••У\,р+\ Уг,! ••■У2,р+\ —Ут,2 •••Ут,р+\ /\,р+\ "•/д,р+1

КУи-У1,п У2,1- "•Уг.п "'Ут,Ь"'Ут,п у

где р > шах = 1,...,/я|, /к1,к = 1,.= 1,...,и - нестационарные компоненты.

Рассматривается задача на собственные значения симметричной неотрицательной матрицы УТУ размерности (р-т + + .

Г7^ = , (4)

где

м,>м2>... >//рт+9 >о, ,

7 = 1 „.„р-т + ч -

ранжированная система собственных значений и соответствующая им ортонормированная система собственных векторов соответственно.

Прогнозируемые значения >>,_„+,,...,Утп+\ используемых временных рядов даются равенствами:

mp+q

У\,п+\ k,p

Ш mp+q

У2,n+\ = ^

k=1

mp+q

где Z = - МНК-решение системы линейных алгеб-

раических уравнений:

mp+q 7=1

mp+q

7=1

mp+q 7=1

m p+g

Z74/ = V

У J,mp-1 .'m,л

7=1

mp+q

7=1

mp+q

EZ4> = f

j j,mp+q J q,n+\'

7=1

(6)

Показано, что в случае отсутствия хаотических компонент ец

предлагаемый метод прогнозирования (5) и (6) обеспечивает абсолютно точный прогноз (с точностью до вычислительной погрешности при решении системы (6) и расчета по формулам (5)) (рис 1).

Рис. 1

В случае присутствия хаотических компонент е точность прогноза определяется вариацией хаотических компонент.

Проведены численные эксперименты по применению предлагаемых методов для прогнозирования различных временных процессов, в том числе графиков потребления электроэнергии. На рис 2 представлены результаты прогнозирования почасового графика потребления электроэнергии методом ^ЭА.

При практическом использовании прогнозной модели (5) - (6) рекомендуется использовать схему предварительного выделения детерминированных компонент исследуемых хаотических временных рядов с помощью системы робастных ортогональных полиномов, либо системы робастных сглаживающих сплайнов первого или третьего порядков [7].

Рис. 2

Во второй главе построены математические модели задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности на основе VaR.

В начале главы дано краткое введение в схемы Марковица и VaR при рассмотрении задач распределения ресурсов в условиях неопределенности. Дано сравнение двух схем, показаны отличия понятия риска в схеме Марковица и в схеме VaR. Анализируются преимущества понятия портфельного риска в схеме VaR.

Предлагаемые математические модели задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности имеют вид:

p(Rp(x)<R') = p, R' - max, р - min,

(7)

и

x, > 0, i = l,...,n,

1=1

Ax>b, x = (xl,...,xn)T,

где /?,, i = l,...,n - эффективности использования ресурсов, распределяемых в рассматриваемые объекты, i = l,...,n - доли распределяемого ресурса, R* - уровень эффективности, р* -уровень вероятности (вероятность события Rp(x) < R*), неравенства Ах>Ь - дополнительные (экспертные) ограничения на доли распределяемых ресурсов.

При решении прикладных задач экспертные ограничения

Ах > Ъ часто имеют вид групповых ограничений вида:

aJ<,xjX+... + x]ni£ßJt j = \,...,m, (8)

т т

где т - число групп, 0 < < ß} < 1, ]|Г < 1, ^ ßj > 1, rij -

число объектов, принадлежащих j-й группе.

В дальнейшем множество ограничений на искомый вектор х, определяемое системой всех ограничений задачи (7), будем обозначать через X.

Особенность двухкритериальной задачи (7) заключается в том,

что критерий R* не определяется явным образом через значения

управляющих переменных х, как это обычно имеет место при постановке многокритериальных задач.

Под решением задачи (7) понимаются решения Парето, которые могут быть найдены по двум обычным схемам

1. Фиксируется значение уровня риска р е (0,1) и находится

такой вектор х е X с Е", который обеспечивает максимальное значение уровня эффективности R* в равенстве p(Rp(x) < R*) = р*. Меняя значения р' е(0,1), находим множество решений Парето двухкритериальной задачи (7).

Таким образом, при использовании данной схемы решение задачи (7) сводится к решению серии однокритериальных задач

maxi?*, х&Х (9)

при фиксированных значениях уровня риска р .

2. Фиксируется значение уровня эффективности R' из области его возможных значений и находится такой вектор хе X с Е", который обеспечивает минимальное значение уровня риска /?* в

равенстве р* = p(Rp(x) < R*). Меняя значения R* из интервала

его возможных значений, находим множество решений Парето двухкритериальной задачи (7).

Таким образом, при использовании второй схемы решение задачи (7) сводится к решению серии однокритериальных задач

minр, х&Х (10)

при фиксированных значениях уровня эффективности R*

Решения задачи (7) определяются совокупностью функций распределения вероятностей случайных величин Rp(x), причем геометрически решения задачи (7) на двухкритериальной плоскости (R*,p') соответствует огибающая снизу семейство функций распределения вероятностей совокупности случайных величин Rp(x) (рис.3).

Рис. 3 12

При применении схемы Марковица каждой точке совокупности решений сгр -ар2(тр) на двухкритериальной плоскости

(мр,сгр2} соответствует отличное от других решение х. В то же

время различным точкам кривой р - />*(/?*), представляющим на двухкритериальной плоскости (/?*,/>*) решения задачи (7), могут

соответствовать одно и то же решение х , причем совокупность таких точек кривой р — р'(Я') с одинаковым решением х может представлять непрерывные участки кривой р* = />*(/?*) или даже всю кривую р* = р'(Я') ■

Пусть законы распределения эффективностей г = \,...,п -

нормальные, те. К = (Я,,..., Д„)г имеет нормальный закон распределения Я ~ N(т,1¥), где т = МЯ, Ж - ковариационная

матрица случайного вектора Я .

Тогда каждое решение задачи (7) является решением задачи Марковица:

тр = |т,х)-тах, (11)

хеХ.

Обратное утверждение неверно, т.е. оптимальное решение по Марковицу может не быть одним из решений двухкритериальной задачи (7).

В третьей главе конструируются алгоритмы численного решения задачи (7) и описываются алгоритмы и комплекс программ для решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности на основе УаЛ и результатов прогнозирования эффективностей с помощью ЫЭЗА.

В условиях нормальности распределения эффективностей алгоритм численного решения задачи (7) состоит из двух этапов. На первом этапе решается задача Марковица (11).

-min

дг

(13)

Алгоритм решения задачи (11) базируется на последовательном решении однокритериальных задач

(т,х) = тре[тр,ттах], (12)

хе X,

где тр' =^т,х |, ттах = {т, хтах), х - решение задачи

хеХ,

а Хшах - решение задачи

\т,х )-тах

V / 5 (14)

хеХ.

Если множество X определяется системой линейных относительно х равенств, то (13) - задача квадратичного программирования, которая может быть решена одним из стандартных методов решения задач квадратичного программирования.

Задача (14) - задача линейного программирования, которая может быть эффективно решена с помощью метода прямого и обратного хода1.

Для реализации численного решения задач (12) можно ввести сетку значений

тр = трк = т* + к■ Ат, к = 1,2,.-1, оттах - т'

где Ат =-— и последовательно решать задачи (12) для

N

каждого фиксированного значения тр=трк, к = 1,2,...,Ы-1.

1 Крянее A.B., Черный А И Численные решения оптимизационных задач для математических моделей теории инвестиций Матем моделирование, 8(8), 1996

Эффективный метод численного решения задач (12) при фиксированных значениях тр=трк, к-\,2,...,Nсостоит в переходе к двойственной задаче

2V I \ ) (15)

и> б,

где и = {щ,...,ир) - вектор двойственных переменных, С - симметричная неотрицательная матрица с положительными элементами на главной диагонали, а - известный вектор.

Задача квадратичного программирования (15) с каноническими

ограничениями и > 0 решается с помощью обобщенной итерационной процедуры Некрасова1:

v/+1

I

с„

,.Uj

7=1 7=,+1 ] (16) ы,(/+1) =тах|0,у/'+1)|, / = 1

После нахождения решений Парето задачи (12) со значениями критериев {тр,ор} можно утверждать, что для каждого фиксированного значения тр е ^ значение функции распределения вероятностей любого набора Кр = с теми же значениями средней ожидаемой эффективности тр и с дисперсией

<7 2 (х) будет больше соответствующего значения функции распределения, соответствующей решению Парето со значениями критериев (тр,<гр2у поскольку имеет место неравенство

1 Крянев А В., Черный А И Численные решения оптимизационных задач для математических моделей теории инвестиций Матем моделирование, 8(8), 1996.

15

Поэтому для любого фиксированного уровня эффективности Я' < ттзх среди множества функций распределения вероятностей

для всевозможных наборов -Яр^) наименьшее значение принимает функция распределения вероятностей, соответствующая одному из решений Парето задачи (12). Следовательно, для каждого

фиксированного значения Я* = тр решение двухкритериальной

задачи (10) достаточно искать, рассматривая только функции распределения вероятностей для семейства решений Парето задачи Марковича (12). Огибающая снизу на плоскости только этого семейства функций распределения случайных величин

Яр ^х) = и будет давать решение задачи (12). Ясно, что при

построении огибающей необходимо сохранять информацию о решении х для каждой точки огибающей. Практически процедура построения огибающей осуществляется на сетке фиксированных дискретных значений Я' < ттш .

Численное решение задачи (7) в условиях нарушения нормальности закона распределения эффективностей Я,, / = 1 ,...,п становится намного трудней, поскольку оптимальные решения Парето задачи Марковица (12) не являются оптимальными решениями задачи (7) и предварительное решение задачи (12) не может быть использовано для решения задачи (7).

В общем случае для решения задачи (7) необходимо знать закон распределения вероятностей случайной величины

Я = (Л,,...,Яп)г, выражаемый, например, совместной плотностью вероятностей р(Я,,...,Яп). Тогда вероятность Р^Яр(х) < Я'^ определяется равенством

я*

(17)

-со

где рк фС?) - плотность вероятностей случайной величины яр(х) = (я,х).

Фиксируя вектор х = (х,,...,хп)г и зная закон распределения системы случайных величин, в принципе можно восстановить плотность вероятностей р ,-.(.у) и подсчитать вероятность (17) для

различных значений Л*. К сожалению, аналитический расчет р .-Ля) даже в условиях независимости Л,,чрезвычайно

труден. 8 то же время можно предложить алгоритмы эффективного расчета вероятностей (3), имея эмпирические законы распределения системы случайных величин /?,,...,.

Если используется один из таких алгоритмов расчета вероятностей (3), то для каждого фиксированного значения Я' < ттт , имеем целевую функцию многих переменных

^„..„^'^(яДх)^).

Для решения задачи (7) достаточно решить дискретное множество однокритериальных задач для каждого фиксированного значения Я* на выбранной сетке его значений

к ' * (18) хеХ.

Задача (18) может быть решена, например, методом проекции градиента

х/+1) = Рх -а, /?*)), (19)

где Рх - оператор проекции на множество X, а1 > 0 - подбирается из условия быстрой сходимости х к искомому решению х(Я').

Алгоритм численного решения задачи оптимизации состоит из двух этапов. На первом этапе с помощью ЫввА и с использованием статистических данных зффективностей осуществляется формирование базы данных распределения прогнозируемых значений зффективностей использования ресурсов в объектах, в которые распределяются ресурсы.

Итогом первого этапа алгоритма является база данных Яу, / = у=1,...,п распределения прогнозируемых значе-

ний эффективностей /? = (/?,,..., Яп)т как случайных величин.

На втором этапе на основе базы статистических данных /? , / = ] = \,...,п используются алгоритмы решения за-

дачи оптимизации (7), представленные в третьей главе.

Для каждого фиксированного вектора х = (х1,...,хп)1, хе.Х

формируется статистическое распределение Яр: (х), / = 1,..., N

для эффективности Яр = как случайной величины со-

Х) = ■

У=1

Значение целевой функции подсчи-

тывается по формуле

где целое число к определяется из последовательности ранжированных значений г = 1 ,...,АГ

Р) * *рл» (*) * - * (*) * * р) * - * (*) ■

На рис.4 представлены примеры численных экспериментов по распределению ресурсов по схеме Марковица (верхняя кривая) и по предлагаемой в диссертации УаР-схеме (нижняя кривая). Представленный рисунок демонстрирует получение более эффективного распределения ресурсов на основе минимизации риска с использованием предлагаемых в диссертации методов.

Для решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности на основе УаЯ разработан комплекс программ, построенных по блочному принципу, обеспечивающий решение различных задач с использованием представленных в диссертации методов. В качестве блоков реализованы алгоритмы численного решения задач оптимизации по схеме Марковица (12), алгоритмы численного решения задачи (13) по нахождению распре-

18

деления ресурсов с минимальным значением дисперсии суммарной эффективности, алгоритмы решения задачи линейного программирования (14) по нахождению распределения с максимальным ожидаемым значением эффективности, решаемой с помощью метода прямого и обратного хода.

р* 0 5 0 45 04 0 35

03 0 25 02 0 15 01 0 05

-0 026 -0 026 -0 024 -0 022 -0 02 -0 018 -0 016 -0 014 -0012 R*

Рис. 4

В комплекс программ входят блоки прогнозирования нестационарных хаотических временных рядов с помощью одномерного и многомерного NSSA и блоки, реализующие алгоритмы численного решения задач оптимизации распределения ресурсов на основе VaR, в том числе блоки формирования статистических данных эф-фекгивностей на основе прогнозирования с помощью NSSA и их использования для решения задач оптимизации распределения ресурсов.

В третьей главе представлены также блок-схемы частей вычислительного комплекса и структурная схема самого комплекса. Представлены численные результаты оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, проведен анализ численных результатов, включая их сравнение с результатами распределений, не являющимися оптимальными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:

1. Предложен и обоснован алгоритм прогнозирования хаотических временных процессов с помощью NSSA.

2. Получены новые постановки задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на VaR-подходе и использующие двухкритериальное рассмотрение задач оптимизации.

3. Доказано, что в условиях нормальности распределения эф-фекгивностей использования ресурсов VaR-оптимальные решения могут быть получены с помощью оптимальных решений в смысле Марковица.

4. Предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач VaR-оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности и нарушения нормального закона распределения эффекгивностей.

5. Предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на VaR-постановке и результатах прогнозирования с помощью NSSA.

Содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Лукин Г. В Формирование портфелей ценных бумаг с использованием комплексных финансовых инструментов. Сборник тезисов докладов Всероссийской конференции «Информационные технологии в экономике, бизнесе и образовании». - 4.1. - М.: МЭСИ, 2001.-С.151.

2. Лукин Г.В. Использование опционов при формировании комплексных финансовых инструментов. Сборник тезисов докладов Всероссийской конференции «Информационные технологии в экономике, бизнесе и образовании». - 4.1. - М : МЭСИ, 2001. - С.152.

3. Крянев А.В, Лукин Г.В. О постановке и решении задач оптимизации инвестиционных портфелей - Препринт МИФИ 006-

2001.-М.: МИФИ, 2001.

4. Крянев A.B., Лукин Г.В. Формирование инвестиционных портфелей из комплексных финансовых инструментов. Сборник научных трудов. Научная сессия МИФИ - 2002 - Т.7. - М.: МИФИ,

2002. - С.99-100.

5. Крянев А В., Лукин Г В. Расчет характеристик комплексных финансовых инструментов, содержащих опционы Сборник научных трудов Научная сессия МИФИ - 2002 - Т.6. - М.: МИФИ, 2002. -С.2ЛА.

6. Крянев А.В., Лукин Г В. Анализ непараметрических методов восстановления плотности вероятностей // Обратные и некорректные задачи: VIII международная конференция, Тезисы докладов. -М.: МГУ, 2003.

7. Крянев А В., Лукин Г.В Математические методы обработки неопределенных данных. - М.: Наука, Физматлит, 2003.

8. Крянев А В , Лукин Г.В. Сравнение методов восстановления плотности вероятностей Сборник научных трудов. Научная сессия МИФИ - 2004. - Т 7. - М.: МИФИ, 2004 - С. 148-149.

9 Бурак Д.А, Иванов ВВ., Крянев А.В., Лукин Г.В. Прогнозирование одномерных экономических временных рядов с помощью робастного метода «Гусеница». Сборник научных трудов. Научная сессия МИФИ - 2004. - Т.7. - М.: МИФИ, 2004. - С.128-129.

10. Бурак Д.А., Иванов В.В., Крянев А.В., Лукин Г.В. Прогнозирование многомерных экономических временных рядов с помощью робастного метода «Гусеница». Сборник научных трудов. Научная сессия МИФИ - 2004. - Т.7. - М.: МИФИ, 2004. - С. 130-131.

11. Burak D.A., Ivanov V.V., Kryanev A.V., Lukin G.V. Forecasting of one-dimensional chaotic time series with the help of the robust "Caterpillar" method. // Proceeding of the International Conference "Global tendencies in statistics and mathematical methods in economics". -Sankt-Peterburg, 2004.

12. Burak D.A., Ivanov V.V., Kryanev AV„ Lukin G.V. Forecasting of multi-dimensional chaotic time series with the help of the robust "Caterpillar" method. // Proceeding of the International Conference "Global tendencies in statistics and mathematical methods in economics". - Sankt-Peterburg, 2004.

13 Kryanev A V., Lukin G.V. New approach to financial chaotic time series analysis, Proceedings of the International Conference "Mathematical modeling of social and economical dynamics". - Moscow, 2004-P. 168-170.

14. Крянев AB, Лукин Г.В. Прогнозирование хаотических временных рядов с помощью робастной нестационарной SSA-модели. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач». - Екатеринбург, 2004.

15. Antoniou I., Akritas P., Burak DA., Ivanov V.V., Kryanev A.V., Lukin G.V Robust methods for stock market data analysis. Physica A 336 (2004). - P. 538-548.

Подписано в печать 12.10.2005. Формат 60x84/16 Объем 1,5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № <557

Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31

РНБ Русский фонд

2QQ7-4 4322

31RHB200*

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ СИНГУЛЯРНО-СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (N8 8 А) ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.

1.1. Одномерный N88 А.

1.2. Многомерный Ы88А.

Глава 2. ДВУХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА ОСНОВЕ УаЯ.

Глава 3. АЛГОРИТМЫ И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА ОСНОВЕ УаЯ, СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ЭФФЕКТИВНОСТЕЙ

И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ N88А.

В течение последних лет в Российской Федерации возрос научный интерес к задачам математического моделирования экономических систем и процессов [10, 11]. Одним из классов задач математического моделирования в экономике являются задачи оптимального распределения ресурсов.

Задачи оптимального распределения ресурсов возникают в различных областях науки, техники и социальных сферах, причем характер распределяемых ресурсов и смысл оптимальности может быть различным в зависимости от рассматриваемой прикладной области и конкретной задачи.

Наиболее широкий класс задач оптимального распределения ресурсов образуют такого рода задачи в условиях неопределенности. Неопределенность может быть порождена различными причинами, но в абсолютном большинстве случаев причиной неопределенности в задачах распределения ресурсов является неопределенный (случайный) характер величин, количественно описывающих эффективность использования ресурсов в тех объектах, в которые распределяются ресурсы.

В последние годы повысился научный интерес к постановкам и решению задач теории инвестиций, которые связаны с распределением инвестиционных ресурсов и, в частности, формированию инвестиционных портфелей. Решение о распределении инвестиционных ресурсов и формировании инвестиционных портфелей приходится осуществлять в условиях неопределенности и тем самым в условиях наличия риска.

Современный подход постановок задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности основан на двухкритериальном рассмотрении такого рода задач, когда одним из критериев является уровень суммарной эффективности использования ресурсов во всей совокупности объектов, в которые распределены ресурсы, а вторым критерием мера неопределенности (риска) эффективного использования ресурсов в совокупности этих объектов, причем первый критерий подлежит максимизации, а второй - минимизации.

Исторически первой математической двухкритериальной моделью задачи оптимального распределения ресурсов является модель Гарри Марковича [1], который за цикл работ по портфельному инвестированию получил в 1990 г. Нобелевскую премию.

В рамках модели Марковича в качестве критерия уровня суммарной эффективности использования ресурсов (в интерпретации Марковича роль ресурса играет капитал) берется математическое ожидание суммарной эффективности как случайной величины, а в качестве критерия меры неопределенности - дисперсия суммарной эффективности.

Такой выбор математического выражения меры неопределенности позволил реализовать в рамках модели Марковича распределение ресурсов по нескольким объектам (диверсификация ресурсов), что при выполнении некоторых условий должно приводить к уменьшению риска.

Математическая модель Марковича задачи оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности принадлежит к классу задач квадратичного программирования. Теория численного решения этого класса задач" получила развитие в работах самого Марковича [2, 3] и в работах других авторов [4-9, 12-15].

Следует подчеркнуть, что класс задач оптимизачии известный под названием задач квадратичного программирования был сформулирован, и была развита теория решений такого класса задач в основном под влиянием модели Марковича.

В последние годы развивается альтернативное направление постановок и решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанное на расчете вероятности р события, состоящего в том, что суммарная эффективность использования ресурсов, трактуемая как случайная величина, примет значение меньшее, чем заданный уровень Я*.

Подход, основанный на рассмотрении задач оптимального распределения ресурсов с использованием вышеуказанных значений р и Л*, получил название УаЯ - подхода (УаЯ - аббревиатура словосочетания УаЫе-а^ШБк).

При постановке задач оптимального распределения ресурсов, основанного на УаЯ - подходе, критерием уровня суммарной эффективности является Я*, а критерием неопределенности (риска) вероятность р*.

По существу концепция УаЯ соответствует пониманию риска традиционно используемого в технических областях, где величина риска обычно измеряется величиной вероятности наступления неблагоприятной ситуации (вероятность катастрофы, вероятность аварии, вероятность выхода из строя аппаратуры и т.д.).

УаЯ — подход, включая рассмотрение задач оптимизации распределения капитала на основе УаЯ- подхода, изложены в работах [16-31].

Потребность развития и использования УаЯ - технологии для решения практических задач распределения ресурсов в условиях неопределенности требует разработки эффективных вычислительных алгоритмов и реализации их в компьютерных программах для решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности.

Более того, современный подход постановки и решения задач оптимального распределения ресурсов требует эффективного использования всей доступной информации об использовании ресурсов в тех объектах, в которые распределяются ресурсы.

Для многих конкретных задач распределения ресурсов исследователю известны реализации эффективностей использования ресурсов, рассматриваемых как временные случайные процессы при непрерывном временном рассмотрении или как случайные временные ряды при дискретном временном рассмотрении.

При наличии такого рода информации естественно требовать ее использования при постановке и решении задач оптимизации распределения ресурсов, прогнозируя рассматриваемые временные процессы, соответствующие эффективностям, на будущий временной промежуток будущего использования ресурсов после их распределения.

При таком подходе необходимо использовать весь современный арсенал методов прогнозирования стохастических временных процессов (временных рядов).

Отметим, что прогнозирование временных процессов в условиях неопределенности является одним из основных направлений исследований современной науки с приложениями практически во всех областях науки, техники, природных и социальных областях [32-42].

В последние годы интенсивно развиваются методы прогнозирования динамических процессов, в том числе в условиях наличия хаотических компонент, основанные на сингулярно-спектральном анализе (SingularSpectrum Analysis - SSA) [43-57]. Отметим, что в Российских научных публикациях вместо «SSA» часто используют термин «Гусеница» [58-62].

Применение SSA - для прогнозирования стационарных временных процессов показало его высокую эффективность и устойчивость при исследовании многих конкретных хаотических временных процессов технического, природного и социально-экономического характеров [63-70].

Такая высокая эффективность SSA - прогнозирования основана, прежде всего, на возможности с помощью SSA эффективно выделять компоненты исследуемого временного процесса с разным уровнем информации о процессе, в каждой из выделяемых компонент.

В отличие от других методов, использующих разложение исследуемого процесса на составляющие компоненты (например, разложение по системе базовых функций), только SSA не привносит эти компоненты извне, а строит их на основе самого исследуемого временного процесса. Вышеуказанная «самодостаточность» SSA и служит основой его высокой эффективности при исследовании многих стационарных временных процессов (рядов).

К сожалению, абсолютное большинство хаотических временных процессов, описывающих временное изменение эффективностей использования ресурсов, не обладает свойством стационарности. Поэтому возникает потребность построения такой модификации 88А, которая позволяла бы исследовать, в том числе прогнозировать, нестационарные временные процессы. Одной из целей диссертационной работы и является модификация 88А, позволяющая исследовать и прогнозировать хаотические временные процессы, не обладающие свойством стационарности.

Далее в диссертационной работе рассматриваются в теоретических и прикладных планах постановки, численные методы и компьютерные программы решения актуальных задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ - технологии и результатах прогнозирования эффективностей как хаотических нестационарных временных процессов.

Целью диссертационной работы является:

1. Разработка алгоритмов прогнозирования хаотических нестационарных временных процессов с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа (К88А);

2. Разработка математических моделей задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ — подходе;

3. Разработка алгоритмов численного решения задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ - подходе и результатах прогнозирования с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа;

4. Реализация решения задач оптимизации распределения ресурсов в виде комплекса компьютерных программ.

Научная новизна и значимость.

1. Разработаны алгоритмы нового метода прогнозирования хаотических временных процессов на основе нестационарного сингулярно-спектрального анализа.

2. Предложены новые постановки задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ -подходе.

3. Разработаны новые алгоритмы численного решения задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ - подходе, в условиях нормального закона распределения эффективностей.

4. Впервые разработана схема включения результатов прогнозирования на основе нестационарного сингулярно-спектрального анализа в алгоритм решения задачи оптимизации распределения ресурсов на основе УаЯ - подхода.

5. Сконструирован и реализован программный комплекс, включающий в себя все разработанные в диссертации новые алгоритмы прогнозирования хаотических временных процессов и решение задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаИ. - технологии.

Предложенные в диссертации постановки задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности и разработанные алгоритмы и компьютерные программы их численного решения применяются для построения математических моделей задач оптимизации в экономических областях и могут быть использованы в технических приложениях, например, в задачах оптимального распределения поступающей информации в различных частях компьютерной сети, в задачах трафика различного содержания и др.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе изложен нестационарный сингулярно-спектральный метод и алгоритм прогнозирования хаотических нестационарных временных рядов.

Нестационарный сингулярно-спектральный анализ хаотических временных рядов ] = 1,.,М, / = 1где М - число исследуемых рядов, п - число дискретных фиксаций времени, основан на формировании матрицы наблюдений У размерности (.£ х (/? • М+#))

У\,\"'У\,р У2,1 *" У2,р "'Ум,\'"Ум,р /\,р У 1,2 ~'У\,р+\ У2,2 •••Уг,р+\ Ум,2 '"УМ,р+\ А,р+\ '"/д,р+1

У\,1, •"Ух.п У2,1'"Уг,п "'Ум,1 •'•Ум,п

0.1) где р - параметр N8БА-модели;

Рассматривается задача на собственные значения симметричной неотрицательной матрицы УТУ размерности (р-М + #)х(/?-М + #).

УтГ¥ = мЧ, (0.2) где ,^^ )Т, у = 1,р • М + д - ранжированная система собственных значений и соответствующая им ортонормированная система собственных векторов }.

Формулы прогнозирования совокупности исследуемых временных рядов

Ур* У = 1>—I = 1,.определяются совокупностью собственных векторов Ч?j, а числовые значения ¡л} определяют информационный вклад соответствующей ей компоненты в исследуемые временные ряды.

Показано, что в случае отсутствия хаотических компонент в исследуемых детерминированных временных рядах предлагаемый метод прогнозирования обеспечивает абсолютно точный прогноз (с точностью до вычислительной погрешности при расчете прогнозируемых значений).

В случае присутствия хаотических компонент в исследуемых временных рядах точность прогноза определяется вариацией хаотических компонент.

При практическом использовании прогнозной модели рекомендуется использовать схему предварительного выделения детерминированных компонент исследуемых хаотических временных рядов с помощью систем робастных ортогональных полиномов, либо систем робастных сглаживающих сплайнов первого или третьего порядков [35].

Во второй главе дано краткое введение в схему Марковица и VaR -схему при рассмотрении задач распределения ресурсов в условиях неопределенности. Дано сравнение двух систем, включая анализ отличия, недостатков и преимуществ понятия риска в схеме Марковица и VaR -схеме.

Предлагаемые во второй главе математические модели задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности имеют вид: p(Rp(x)<R') = p,

R*- шах, (0.3) р - min, где

R^^RjXJ, у=1 > xeJ,

X - множество ограничений на искомый вектор долей распределяемого ресурса х, включая естественные ограничения м l Xj ^ 0, / = 1,.,М y=i

- критерий уровня эффективности, p* - критерий уровня риска.

Двухкритериальная задача (0.3) в отличие от традиционных многокритериальных задач обладает той особенностью, что критерий R* не определяется явным образом через значения управляющих переменных х.

Предлагаются две схемы нахождения решений Парето задачи (0.3), каждая из которой сводит задачу (0.3) к серии однокритериальных задач.

Согласно первой схеме решается серия однокритериальных задач

R* - шах,

0.4) при фиксированных значениях уровня риска р е [0,1].

Согласно второй схеме решается серия однокритериальных задач р* - min,

- (0.5) при фиксированных допустимых значениях уровня эффективности R*.

Нахождение интервала допустимых значений уровня эффективности R* сводится к решению однокритериальных задач

R* - max(min),

- „ (°-6) хе X.

Показано, что решения Парето задачи (0.3) определяются совокупностью функций распределения вероятностей случайных величин Rp(x), х е X.

Доказано, что в случае. нормального закона распределения эффективностей Rj> ] — каждое решение задачи (0.3) является решением задачи Марковича о-р = [¡¥х,х^-т}п, тр (т,л:)-т ах, (0.7) хеХ, т = (тх,.,тм)Т - вектор математических ожиданий МЯ} = т},

IV — ковариационная матрица совокупности случайных величин Щ, j = l

В третьей главе конструируются алгоритмы численного решения задачи (0.4).

В условиях нормальности распределения эффективностей > ] — 1,—> М, предлагается двухэтапный способ решения задачи (0.4).

На первом этапе находятся решения Парето задачи Марковица (0.7), для численного решения которой предлагается использовать переход к двойственной задаче с каноническим типом ограничений вида и > 0 и применением к двойственной задаче обобщенного итерационного процесса Некрасова [77].

Доказано, что для нахождения решений Парето исходной задачи (0.4) достаточно на втором этапе построить семейство функций распределения случайных величин где х - решение Парето задачи (0.7), и провести огибающую снизу это семейство кривых на плоскости р=р(Яр(х)<Я-).

Практически процедура построения огибающей осуществляется на сетке фиксированных дискретных значений Я* из интервала допустимых значений.

Конструируются алгоритмы численного решения двухкритериальной задачи (0.4) в общем случае, когда условие нормальности распределения случайных величин Яу» у = 1 ,.,М не выполнено.

Если используется алгоритм, основанный на решении серии однокритериальных задач (0.5), то предлагается численная реализация алгоритма, основанная на методе проекции градиента

0.8) где Рх - оператор проекции на множество ограничений X, ае> 0 подбирается из условия лучшей скорости сходимости х(е) к искомому решению х , - целевая функция задачи (0.5).

В третьей главе представлены также разработанные алгоритмы и комплекс программ для численного решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности на основе УаЯ и, представлены результаты прогнозирования эффективностей с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа (N8 Б А).

Алгоритмы с использованием ЫББА для решения задач оптимизации состоят из двух этапов.

На первом этапе с помощью №8А и с использованием статистических данных по реализации эффективностей осуществляется формирование базы данных распределения прогнозируемых значений эффективностей использования ресурсов.

Итогом первого этапа алгоритма является база = у = \,.,М распределение прогнозируемых значений эффективностей Я = Им)т как случайных величин.

На втором этапе на основе базы данных У = 1,.,М, / = 1,.,7\А используются алгоритмы решения задач, представленных в третьей главе.

Например, при реализации схемы решения серии однокритериальных задач (0.5) для каждого фиксированного вектора х = (х1,.,хм)т, х еХ, формируется статистическое распределение Яр1(х),1 = 1,.,// для эффективности ЯД;с) = (3с,7?) как случайной величины согласно формуле м у=1

Значение целевой функции ^(х,Я*) = Р(Яр(х)<Я*) подсчитывается по формуле = где целое число к определяется из последовательности ранжированных значений

V*) : * * . * * - *

Разработанный в диссертации комплекс программ решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности на основе УаЯ имеет в качестве блоков программные реализации алгоритмов численного решения задач оптимизации по схеме Марковича, включая задачи по нахождению распределения ресурсов с минимальным значением дисперсии суммарной эффективности и задачи линейного программирования по нахождению распределения с максимальным ожидаемым значением эффективности, решаемой с помощью метода прямого и обратного хода [79].

В комплекс программ входят также блоки прогнозирования нестационарных хаотических временных процессов с помощью N8ЗА и блоки программной реализации алгоритмов численного решения задач оптимизации распределения ресурсов на основе УаЯ, в том числе блоки формирования статистических данных на основе прогнозирования эффективностей с помощью и их использования для решения задач оптимизации.

В третьей главе представлены также блок-схемы частей вычислительного комплекса и структурная схема всего комплекса в целом. Представлены также численные результаты оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности и анализ численных результатов.

В диссертации использовались результаты теоретических исследований в различных областях прикладной математики, представленные в работах [86117].

На защиту выносятся следующие результаты диссертации:

1. Предложены и обоснованы алгоритмы прогнозирования хаотических временных процессов с помощью нестационарного сингулярно-спектрального анализа (ЫЗБА);

2. Получены новые постановки задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ-подходе и использующие двухкритериальное рассмотрение задач оптимизации;

3. Доказано, что в условиях нормальности распределения эффективностей использования ресурсов УаЯ-оптимальные решения могут быть получены с помощью оптимальных решений схемы Марковича;

4. Предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач по УаЯ-оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности;

5. Предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на Уа11-постановке и результатах прогнозирования с помощью ЫБЗА;

6. Сконструирован комплекс программ, обеспечивающий численные решения класса задач оптимизации, основанные на УаЯ-подходе;

7. Проведены серии численных экспериментов по оптимальному распределению ресурсов.

Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены автором. В работах, отражающих содержание диссертации и выполненных в соавторстве, автору принадлежит равный вклад в разработку математических моделей, алгоритмов численных решений рассматриваемых задач и их программную реализацию.

Полученные в диссертации результаты были доложены на:

- Международной конференции «Обратные и некорректные задачи» (Москва, МГУ, 2003 г.);

- Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004 г.);

- Международной научно-практической конференции «Глобальные тенденции в статистике и математических методах в экономике: наука, практика и образование» (Санкт-Петербург, 2004 г.);

- Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004 г.);

- Научных сессиях МИФИ (2001, 2002, 2003, 2004 гг.);

- Научном семинаре по рук. профессора Н.Ю. Бакаева (Гос. соц. Университет, Москва);

- Научном семинаре по рук. профессора H.A. Кудряшова (МИФИ); Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в 16 работах

37, 71-85].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем в заключении сводный перечень результатов, представленных в трех главах диссертации.

1. Разработан и обоснован алгоритм прогнозирования детерминированных нестационарных одномерных временных рядов с помощью ЫЗБА.

2. Разработан алгоритм прогнозирования хаотических нестационарных одномерных временных рядов с помощью N8 Б А.

3. Разработан и обоснован алгоритм прогнозирования систем детерминированных взаимосвязанных временных рядов с помощью многомерного №8А.

4. Разработан алгоритм прогнозирования систем хаотических взаимосвязанных временных рядов с помощью многомерного №8А.

5. Проведены серии численных экспериментов по исследованию эффективности разработанного ШБА и алгоритмов прогнозирования детерминированных и хаотических временных процессов.

6. Предложена двухкритериальная УаЯ-постановка задачи оптимизации распределения ресурсов, соответствующая классической задаче Марковича.

7. Проведено сравнение понятий риска в схеме Марковича и УаЯ-схеме.

8. Установлена взаимосвязь решений Парето задачи Марковича и решений Парето задачи оптимизации в УаЯ-постановке в условиях нормальности распределения эффективностей как случайных величин.

9. Предложены обобщенные постановки задачи Марковича и соответствующей ей задачи в УаЯ-постановке.

10. Разработан и реализован алгоритм численного решения нахождения решений Парето задачи оптимального распределения ресурсов в обобщенной УаК-постановке в условиях нормального закона распределения вероятностей для эффективностей как случайных величин. Алгоритм состоит из двух этапов, на первом из которых решается обобщенная задача Марковича с тем же множеством ограничений на искомый вектор долей распределенного ресурса х, что и в обобщенной УаК-постановке.

11. Разработан и реализован алгоритм численного нахождения решений Парето задачи оптимального распределения ресурсов в обобщенной УаК-постановке в условиях общего закона распределения вероятностей для эффективностей как случайных величин. Алгоритм использует статистические данные реализованных значений эффективностей и основан на эмпирическом расчете УаЯя вероятности Р(Яр(х)<Я. ), где Кр(х) - - суммарная 1 эффективность использования распределенного ресурса.

12. Проведены серии численных экспериментов, показавших устойчивость и эффективность предложенных алгоритмов.

13. Разработан и реализован алгоритм построения эмпирических распределений эффективностей как случайных величин на основе результатов прогнозирования эффективностей с помощью многомерного ЫЗБА.

14. Предложены схемы включения рассчитанных значений эмпирических распределений эффективностей в алгоритм решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности.

15. Разработана структура и реализован комплекс программ, решающих задачи оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности.

16. С помощью реализованного комплекса проведены серии численных расчетов по оптимальному распределению финансовых ресурсов и формированию эффективных инвестиционных портфелей.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. предложен и обоснован алгоритм прогнозирования детерминированных и хаотических временных процессов с помощью ИББА;

2. получены новые постановки задач оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ-подходе и использующие двухкритериальное рассмотрение задач оптимизации;

3. доказано, что в условиях нормальности распределения вероятностей для эффективностей использования ресурсов как случайных величин УаЯ-оптимальные решения могут быть получены с помощью оптимальных решений в смысле Марковича;

4. предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач УаЯ-оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности и нормального закона распределения эффективностей;

5. предложены и обоснованы алгоритмы численного решения задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности, основанные на УаЯ-постановке и результатах прогнозирования с помощью №8А;

6. сконструирован комплекс программ, обеспечивающий численное решение задач прогнозирования нестационарных временных процессов и задач оптимального распределения ресурсов в условиях неопределенности;

7. проведены серии численных экспериментов по прогнозированию и оптимальному распределению ресурсов.

Автор благодарен коллективу кафедры Прикладной математики (каф.31) МИФИ и персонально заведующему кафедрой профессору Николаю Алексеевичу Кудряшову за благожелательную обстановку во время учебы в аспирантуре и работы над диссертацией.

Автор искренне благодарен профессору кафедры Прикладной математики МИФИ Татьяне Ивановне Савеловой за оказанное положительное влияние на формирование профессиональных навыков автора.

Автор также благодарен сотрудникам ООО «Лаборатория 3 ИТ» и персонально Елене Владимировне Шелястиной за помощь в программной реализации разработанных в диссертации алгоритмов, включая реализацию вычислительного комплекса и проведение на их основе численных экспериментов.

Особую благодарность и признательность выражаю своему научному руководителю профессору Александру Витальевичу Кряневу.

1. Markowitz Н.М. Portfolio Selection. Journal of Finance, 7, N1, pp.77-91, 1959.

2. Markowitz H.M. The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints. Naval Research Logistic Quarterly 3, 1-2, pp. 111133, 1956.

3. Markowitz H.M. Portfolio Selection. N.-Y., Yale Press, 1959.

4. Alexander G., Fransis J. Portfolio Analysis. N.-Y., 1985.

5. Sharp W.F. Investments. N.-Y., Prentice-Hall, 1985.

6. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.-Y., 1981.

7. Duffie D. Security Markets, Stochastic Models. Stanf. Univer. Press, 1988.

8. Buser S. Mean Variance Portfolio Selection with Either a Singular or Non-Singular Variance-Covariance Matrix. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12(3), pp. 436-461, 1977.

9. Korn R. Optimal portfolios: stochastic models for optimal investment and risk management in continuous time. World Scientific Publ. Co., 1997.

10. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996.

11. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

12. Шарп У.Ф., Александер Г.Дж., Бейли Д.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 2001.

13. Крянев А.В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. М.: Изд-во МИФИ, 2001.

14. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. Экономика и математические методы, 31(1), 1995.

15. Cvitanic J. and I.Karaitzas. On Portfolio Optimization under "Drawdown" Constraints. IMA Lecture Notes in Mathematics and Applications 65, pp. 77-88, 1995.

16. Jorion Ph. Value at Risk: A New Benchmark for Measuring Derivatives Risk. Irwin Professional Pub., 1996.

17. Крянев A.B., Климанов С.Г. Новая схема и компьютерная программа оптимизации инвестиционных портфелей. Рабочие материалы. М: МИФИ, 1997.

18. Kast R., Luciano Е., and Peccati L. VaR and Optimization. 2-nd International Work-Shop on Preference and Decisions, Trento, July 1-3, 1999.

19. Duffie D. and Pan J. An Overview of Value-at-Risk. Journal of Derivatives, 4, pp. 7-49,1997.

20. Kreinin A., Markoulovich L., Rosen D., and Michael Z. Measuring Portfolio Risk Using Quasi Monte Carlo Methods. ALGO Research Quarterly, vol. 1, 1, pp. 17-25, 1998.

21. Puels A. Portfolio Selection Models under a Value at Risk Decision Framework. Edwin L. Cox School of Business. Southern Methodist University, Dallas, Texas, 1999.

22. Rockafellar R.T. and Uryasev S. Optimization of Conditional Value-at-Risk. The Journal of Risk, 2000.

23. Uryasev S. Conditional Value-at-Risk: Optimization Algorithms and Applications. Financial Engineering News, N 14, 2000.

24. Esch L., Keiffer R., Lopez T. Value-at-Risk Vers un Risk Management Moderne. De-Boeck Univerite, 1997.

25. KPMG. VaR: Understanding and Applying Value at Risk. Risk Books, 1997.

26. Chavas J.-P. Risk Analysis in Theory and Practice. Academic Press, 2004.

27. Glasserman P. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer Verlag, 2003.28