автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование диффузионного перераспределение легирующей примеси при термическом отжиге

^ 'а'

^ ^ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЧЕБ ЕЛЕНА. СЕРГЕЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОГО ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЕГИРУЮЩЕЙ ПРИМЕСИ ПРИ ТЕРМИЧЕСКОМ ОТЖИГЕ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК 1992

р Г) Л

Работа выполнена ' на 'кэфе,рре математической физики Белорус-

ского государственного'£&йерситета

Научные руководители: кандидат физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Институт математики и кибернетики

Защита диссертации состоится 1Ц9_Цфевраля___1993_года_

в 14 часов на заседании специализированного Совета К 058.03.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Белорусском государственном университете по адресу: 220080, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 4, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан "___^_________1993 года.

Ученый секретарь

доцент Корзюк В.И.,

кандидат физико-математических наук,

доцент Мозолевский И.Е.

профессор Абрапшн В.Н.,

доктор физико-математических наук,

профессор Новиков А.П.

АН Литвы

специализированного Совета

доцент

И.Е.Мозолевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Решение ряда острейших проблем разработки СБИС требует применения новых методов автоматизированного проектирования, основой которых является математическое моделирование всех этапов изготовления СБИС. Диффузия, по существу, является одним из ваннейшх технологических процессов ' при изготовлении микросхем на кремнии. Постоянное усложнение СБИС, переход к тонкослойным полупроводниковым областям требует учета распределения концентраций диффундирующие. примесей в многослойных структурах, поскольку от них в конечном итоге зависят основные электрофизические параметры прибора.

Поэтому разработка математической модели процесса диффузионного перераспределения примесей в структуре БЮ - Б1 при термическом отжиге в окисляющей атмосфере является актуальной как с практической, так и о теоретической точек зрения.

Расчет диффузии в многослойных структурах требует постанови! краевых условий на границе раздела областей, изменяющихся с течешкм времени, что приводит к. рассмотрению задач сопряжения для параболических уравнений в нецилиндрических областях, которые в настоящее время недостаточно изучены.

Поэтому вопросы исследования такого рода краевых задач на разрешимость, а такие разработка вычислительных алгоритмов решения задач сопряжения в областях с подвижными границами, рассматриваемые в диссертации являются весьма актуальными таете с точки зрения теории корректной разрешимости граничных задач математической физики.''

Диссертационная работа выполнена на кафедре математической

•3

физики. Белорусского государственного университета в порядке проведения плановой НИР (тема "Исследование граничных задач для уравнений математической физики и разработка математических методов, алгоритмов и программных средств в области проектирования изделий микроэлектроники и радиотехники. Исследование граничных задач для уравнений математической физики, описывающих процессы циклонических образований и других явлений", гос. per. N 01890086973)..

Целью работы является:

1. Разработка математических моделей, описывающих процесс диффузионного перераспределения примесей в структуре SiOa - Si при термическом отжиге.

2. Создание эффективных численных алгоритмов для приближенного решения задач моделирования диффузии при термической обработке в окисляющей атмосфере и проведения на их основе вычислительного эксперимента.

3. Исследование на разрешимость задачи сопряжения для линейных параболических уравнений в нецилиндрических областях, описывающей процессы диффузии.

Научная новизна основных результатов диссертации состоит в следующем:

1. Предложена математическая модель процесса диффузионного перераспределения примеси в структуре окисел-кремний при термическом отжиге в окисляющей атмосфере.

2. Разработан численный метод решения задачи сопряжения в области с подвижными границами, описывающей процесс диффузии.

3. Для краевой задачи сопряжения линейных параболических

4

уравнений в нецилиндричеоких областях доказана теорема существования и единственности сильного решения.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, и разработанный комплекс программ могут быть использованы для моделирования технологического процесса диффузионного перераспределения ионно-имплантированной примеси при термическом отжиге кремниевых пластин в различных окисляющих средах, для оптимизации параметров процесса при изготовлении интегральных схем. Доказанные в диссертационной работе теоремы о существовании и единственности решения задачи сопряжения для параболических уравнений второго порядка в нецилиндричеоких областях могут быть использованы при исследовании корректной разрешимости ряда здтач математической физики. Кроме того, полученные в работе вычислительные алгоритмы численного решения задачи сопряжения для нелинейных параболических уравнений могут найти применение при приближенном решении широкого круга практических задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались

- на Республиканской научно-практической конференции творческой молодежи (Минск, 1990г.),

- на Республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" (Гродно, 1990г.),

- на школе "Современные методы в теории краевых задач" (г.Воронеж, 1992г.),

- на конференциях молодых ученых факультета прикладной математики и информатики Белгооуниверситета,

- на объединенном научном семинаре кафедр математической

физики и вычислительной математики Белорусского государственного университета.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 104 наименования. Материал изложен на 170 страницах машинописного текста и содержит 14 рисунков.

Публикации. Результаты опубликованы в статьях [1-8].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность выполненных в работе исследований, поставлена цель работы, дается обзор литературы по теме диссертации, описывается структура работы, приведен подробный план ее изложения и выделены положения, выносимые на защиту.

В первой главе проведено описание основных физических процессов, лежащих в основе производства ИС на стадии термического отжига и сформулирована математическая модель процесса диффузионного перераспределения примеси в SÍ0 - Si при термообработке. Рассмотрены механизмы диффузии в кремнии и сформулирована дифференциальная модель диффузии с выделением в уравнении непрерывности отдельного члена, описывающего электростатическое взаимодействие примесей, как наиболее адекватная наблюдаемым процессам миграции примеси при отжиге структур с высоким уровнем и сильной неоднородностью легирования. Описана модель диффузионного коэффициента в зависимости от типа и уровня легирования, который является существенно нелинейным, в предположении, что диффузия примеси по различным зарядовым

состояниям происходит независимо. Зарядовое состояние управ-

6

ляется положением уровня Ферми в запрещенной зоне.

Модель термического окисления рассмотрена в одномерном и двумерном приближениях. В основу одномерной модели положен линейно-параболический закон роста толщины слоя 510а. Приведены сведения с учетом последних работ по данным о линейном и параболическом коэффициентах окисления. Отмечено изменение коэффициента диффузии в окислительной среде.

Рассмотрены процессы, протекающие на границе раздела сред Б102 - , описана их математическая модель. Рассмотрена аппроксимация экспериментальных профилей, полученных в результате ионий имплантации. Описаны параметры распределения Гаусса в одномерном и двумерном приближениях и распределение Пирсона.

В заключении перьой главы сформулирована математическая постановка задачи о диффузионном перераспределении примесей в структуре ЗЮ2- при термообработке. В основе этой задачи лежит совместное решение уравнений непрерывности в области окисла Й0и кремниевой подложки 0я 30°

= V [ V N° + V и0], (х,у) е Ао, 1 > 0,

30" , л ■ (1) = V [ н" + 7 иа], (х.у) € 0в, t > о,

1 = 11 • • •) М |

где 0° =(С°.....С°) ,0° =(С".....С")- искомые вектор-функции,

1 М 1 п

описывающие концентрации примесей в области окисла и области кремния соответственно , диффузионные коэффициенты

1-ой примеси, Ы°(0°,Св),^= N"(0°,С")-концентрации 1-ой

электрически активной примеси, Ъ - постоянный множитель', и°,и'1-суммарные концентрации примесей, 1°(0°,0Я),£"(С°,Ов)-мнокители, учитыващие действие электрического поля.М-количество примесей;

с начальными условиями

0°(х,у,0) = е°(х,у), 0°(х,у,0) = (2)

условиям на границе раздела окисел - кремний 30° , „ О» " 30° 30"

^-вй1 - - ТГТ • Ъ-яг'Ч-яг- (3) в 1

если отжиг осуществлялся без окисления и условиями

0°п + V „(0° - «0?) = иу 0"Й , 0?/ 0? = т . (4)

11 ОК 1 1 11 1 1 ■ В 1

на движущейся границе раздела Б10з- при отжиге в окислительной среде, где скорость роста окисла, а - отношение объема окисленного крешшя к объему полученного окисла (а^0.44), т коэффициент термической равновесной сегрега-

В 1 •

ции, Ь - коэффициент поверхностного массопереноса, и условиями

О

отсутствия потока на внешних границах области 0 = А и й .

О в

Данная математическая модель представляет собой задачу сопряжения для нелинейных уравнений диффузии (1) в двух средах с разрывным диффузионным коэффициентом в областях с движущимися границами.'

Во второй главе исследуется на разрешимость задача сопряжения для линейных параболических уравнений в нецилиндрической ограниченной области 0 пространства Я"*1 переменных (1;,х) = = (1;,х. ,х .... ,х ), разделенной кусочно-гладкой п-мерной повер

12 п

хностыо у на две части и 02 вида

эи. гА з , аи.

М«- —1 - Е — ! -::1) + А1(^х'Й1)и1 =

эt

а,х) е 01 , (5)

где (З^-Ь.х) а 0о > 0 для всех (1;,х) е С^ (замыканию С^),

Al(t,x,dl) - линейный дифференциальный оператор первого порядка по переменным х с непрерывно дифференцируемыми .коэффициентами в , е О1 ), Г4 ( Ь,зг) - заданные функции, е'; начальными условиям 1и = и = (р(х) (6)

на нижнем основании области 0, граничными условиями эи

— = о ' (7)

81>

пр

на внешней границе Г области 0 и условиями сопряжения на у и2(1;,х) = та,2) 1^(1;,х), (8)

эи эи, , ,

—2 = —А + ь(г,*)[и, - а(г,х)и_Ь

эи 1 э1> 1 3}

пр

где ----

эу

эи -и, эи

= } ----сов(1> ,х ) ,

¿-эх пр к

у - проекция на гиперплоскость {(1;,х)/Ч = ооив1;} внешней по

п р

отношению к 0 единичной нормали V = (!> У ),

0 1 п

1у1 5 Р0 < 1» т(1;,х), Ь(1;,х), а(1;,х) - определенные на 7 положительные функции.

Доказательство существования и единственности сильного решения задачи (5) - (8), записанной в операторном виде

Ьи . (9) ■

где Ьи = { «и , 1и }, Р = линейный неограниченный

оператор, проведено методами функционального анализа. Сильное решение определяется как решение уравнения

1и = Р, и е 0(1), (10)

где I! - замыкание оператора Ь .

Ра'сматриваются условия:

Условие I. Пусть у'= Г л 7. Не исключается случай ц'= в. Обозначим через S(r) = { (t,x) с Г / |t-t|2+ |х-у|2 s га, для любых (т,у) е 1 } с Г. В случае у ф в существует такая константа г>0, что l>0(t,2) = oos(y,t) а 0 для всех (t,x) е S(4r);

Условие II. Поверхность раздела 7 такова, что l>o(t,x)s О для люб.;"' т ■ -31 (t,x) е 7 .

Условие III. Предположим, что поверхность Г такова, что за счет соответствующего выбора функции р^п для. всех (t,x) е Г moskho сделать

к» 1

Taopeua 1. Пусть выполняются условия I-III, условия

о

гладкости коэффициентов и пусть a(t,x) s — .Тогда для L и I

1+т

справэдлшо энергетическое неравенство.

Для его доказательства построен разделяющий оператор специального вида.

Теорема 2.При.выполнении условий теоремы 1 для любого Р с Н существует единственное сильное решение и задачи (5) - (8).

Для доказательства существования решения при любом Е е Н нужно установить плотность R(L) в Н. Это утверждение предварительно доказано для случая 1 = L0 = { HqU, 1ц }, где ¿ U = (£ и, , £„„U ),

0 Oil 03 2

а L а , аи , гп.и1 = ---"У----fcUx.t) ---i j , i = 1,2, (11)

01 1 et aXj-^ 1 ax j '

с использоваш;ем операторов осреднения переменного шага, сохраняющих граничные условия вида

V = 5>и<*> ьи' (12>

1—1 тк

т = 0

ОТ

<и = Е ^ ли)> <1з>

тк

т-0

где « - последовательность функций из разбиения единицы, а

В1

и - операторы осреднения Соболева.

тк *

Доказано ряд оценок для дифференциальных операторов с использованием операторов осреднения (12), (13Ь :

Для доказательства плотности в общем случае используется метод продолжения по параметру.

Третья глава посвящена численному моделировашго ■■ процессов диффузии, возникающих при термическом отжиге, методом конечных элементов и конечно-разностными методами.

Рассмотрена одномерная модель процесса диффузионного перераспределения примеси при термическом отшге в инертной и окисляющей атмосфере. В этом случае концентрация примеси в области окисла и области кремния описывается уравнениями

Э0„ а Г п V

тг "Л* {\-rnr} • <«<1а^).

= 4х ( (] •

(14)

о соответствующими граничными условиями (3) - (4) и начальными ' условиями (2).

Здесь С , С - концентрация примеси в окисле и кремнии1 -

О в о

диффузионный коэффициент примеси в окисле, являющийся величиной

постоянной и Б^1 - эффективный диффузионный коэффициент примеси в кремниевой подложке, который является фушащей концентрации и учитывает действие электростатического поля и условия окисления; 1(1;) - граница раздела окислительная среда окисел, а

II

1а(1;) - окисел - кремний, t - время процесса.

Движение границ 1(1;), 1^(1.) описывается уравнениями 1(1;) = (1 -а)Х , (1;), 1^(1) = а X , (1), где X ,'(1;) - толщина

1 о к 2 ок о к

окисла, которая рассчитывается по линейно-параболической модели Дила-Гроува.

Характерной особенностью рассматриваемой задачи сопряжения является переменная расчетная область. Приближенное решение задачи в каждый момент времени t вычисляется по методу Бубнова-Галеркина с конечноелементной аппроксимацией линейными базисными функциями по пространственной переменной. Это позволяет свести исходную задачу к начальной задаче для системы нелиней- ■ ных дифференциальных уравнений вида

ыо-зг + V = V

(15)

Ы -гт- + К (ав)ав + а V , В а" - V ,В а° = -£„,

в Ш и ок в ок гО О

где a0(t),as(t)- векторы, представляющие аппроксимацию концентраций, матрицы В , В связывают концентрации а° и а" на

в во

границе раздела Б102- 81, Ы0, К0, Мв, Кя~ матрицы метода конечных элементов, имеющие трехдиогональный вид.

Для численного решения задачи Коши применена неявная разностная двухслойная схема Эйлера, которая приводит к решению системы нелинейных трехточечных уравнений. Линеаризация системы осуществляется по методу Ньютона. В качестве нулевого приближения используется решение о предыдущего временного слоя, которое предварительЬо интерполируется в узлы сетки, соответствующей рассматриваемому временному слою. Приведены расчеты -

диффузионных профилей бора и фосфора, внедренных методом ион-

12.

мой имплантации сквозь слой окисла с последующим отжигом в окисляющей атмосфере по описшшому алгоритму, результаты которых хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Рассмотрена двумерная математическая модель процесса диффузии примеси в структуре 510а- Б1 при отжиге в инертной среде. Как и в'одномерном случае, для численного решения двумерной задачи диффузии используется метод Бубнова-Галеркина с конечно-элементной аппроксимацией по пространственней переменной. При построении матриц метода конечных элементов используется ассам-блирование по узлам, что позволяет сократить объем используемой памяти. Решение системы нелинейных уравнений осуществляется методом Гаусса-Зейделя с релаксационным уточнением.

Приведены примеры расчета диффузионного распределения бора ' в структуре Б10 - 51 при отжиге в инертной среде и проведено • сравнение с результатами одномерного моделирования.

Рассмотрена задача о совместной диффузии примесей в ионно-легированных слоях кремния при отжиге в химически неактивной среде. В основу алгоритма для численного решения задачи в прямоугольной области положен метод суммарной аппроксимации.На на каждом временном слое для аппроксимации используется аддитивная чисто неявная разностная схема. Для решения линейных трехточечных уравнений применяется итерационный метод. Приведены примеры по численному моделированию совместной диффузии бора, галлия и мышьяка. Примеры иллюстрируют взаимное влияние примесей на их диффузионное перераспределение при терягаеском отжиге при различных уровнях легирования. Проведено сравнение численных результатов с экспериментальными данными.

13

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- Для описания процесса диффузионного перераспределения примеси при термическом отжиге в окисляющей атмосфере предложен» математическая модель, в основе которой лежит рассмотрение уравнений непрерывности в области окисла и в области подложки соответственно с условиями сопряжения на границе раздела сред Si02~ Si, учитывающими сегрегационный поток и поток, вызванный движением границы раздела.

- Доказана теорема о существовании и единственности решения задачи сопряжения для линейных параболических уравнений второго порядка с п независимыми переменными в нецилиндрических областях, описывающей процесс диффузии примесей при термообработке в окисляющей атмосфере. Доказательство проведено методами функционального анализа с использованием операторов осреднения переменного шага.

Разработан вычислительный алгоритм для численного решения задачи сопряжения, моделирующей процессы диффузии примесей при термическом отжиге в окисляющей среде, основанный на применении метода конечных элементов по пространственным переменным.. Предложен метод численного решения задачи совместной диффузии примесей в области кремниевой подложки, основанный на конечно-разностной аппроксимации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: 1. Буренков А.Ф..Темкин М.М., Чеб Е.С. Двумерное моделирование диффузионного перараспределение ионно-легированных примесей в технологии микроэлектроники // В сб.! Применение математи- . чеоких методов и вычислительной техники при решении народнохо-

14

зяйственных задач. - Гомель, 1986. - с.234.

2. Чей Е.С. Численное моделирование диффузионного перераспределения примеси в кремнии // В сб.применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач. - Минск, 1989. - с.52.

3- Буренков А.Ф., Комаров Ф.Ф., Корзюк В.И., Чеб Е.С. Моделирование совместной диффузии примесей в ионнолегированных слоях кремния при термическом отжиге // Весц1 АН БССР. Сер. ф1з-мат. навук. - 1989. - N 4. - с.77-83.

4. Корзюк В.И., Мозолевский И.Е., Чеб Е.С. Моделирование диффузионного перераспределения примеси в условиях окисления методом конечных влементов // В сб.: Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и инфорлационное обеспечение. - Минск, 1990. - о.194.

5. Корзюк В.И.,Чеб Е.С. Математическое моделирование диффузионных процессов при термическом отжиге У/ В сб.: Мат.моделирование и вычислительная математика.- Гродно, 1990. - с.70-71.

6. Буренков А.Ф..Корзюк В.И..Мозолевский U.E.,Чеб Е.С. Моделирование диффузионных процессов при термическом отжиге кремния в условиях окисления // Поверхность. - 1992. - II 5. -с.98-101.

7- Чеб Е.С. Двумерное моделирование диффузионных процессов при окислении / Конференция математиков Беларуси. Тезисы докладов. Часть 2. - Гродно, 1992. - с.34.

8. Чеб Е.С. Математическое моделирование диффузионных процессов при термическом окислении // Тезисы докладов школы "Современные методы в теории краевых задач." - Воронеж, 1992.

-0.116. • (fäar

15

Подписано к печати 14 января 1993 г., заказ N тирак 100 экз. Формат <50 х 84 / 16. Объем 1,0 п.л., Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситета Бобруйская, 7