автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование аэроупругих колебаний провода линии электропередачи

На правах рукописи

ИВАНОВА Ольга Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ПРОВОДА ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 НОЯ 2013

Москва - 2013

005538770

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Научный кандидат физико-математических наук, доцент

руководитель: Марчевский Илья Константинович

Официальные Аринчев Сергей Васильевич,

оппоненты: доктор технических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана», профессор кафедры «Аэрокосмические системы»

Нестеров Сергей Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского Российской академии наук», главный научный сотрудник лаборатории моделирования в механике деформируемого твердого тела

Ведущая федеральное государственное бюджетное учреждение

организация: науки «Институт машиноведения имени A.A. Благо-нравова Российской академии наук»

Защита состоится «10» декабря 2013 года в 13 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана по адресу: Москва, Рубцовская наб., д. 2/18, ауд. 1006 л.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «_»_2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

A.B. Аттетков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Устойчивый поперечный ветер, воздействующий на провода воздушных линий электропередачи (ЛЭП), может приводить к пляске (галопированию) — высокоамплитудным низкочастотным колебаниям, происходящим преимущественно в вертикальной плоскости. Пляске наиболее подвержены провода, покрытые несимметричной наледью. Высокие динамические нагрузки, действующие на провода, опоры и арматуру ЛЭП при пляске, могут всего за несколько часов привести к значительным повреждениям. Поэтому большое значение имеет численный анализ математических моделей проводов ЛЭП, позволяющий на этапе проектирования ЛЭП получить информацию о поведении линии под воздействием ветра.

Наиболее простой моделью провода ЛЭП является жесткий цилиндр, совершающий колебания под воздействием поперечного ветра; движение сечений цилиндра при этом является плоскопараллельным, поэтому математической моделью этой конструкции является профиль, обтекаемый двумерным потоком среды. Эксперименты по исследованию колебаний упругозакрепленных цилиндров с различными поперечными сечениями показали, что их пляска может вызываться либо аэродинамической неустойчивостью положений равновесия сечений цилиндра, либо эффектом сближения собственных частот поступательных и крутильных колебаний; теми же механизмами вызывается и развитие больших колебаний проводов ЛЭП.

При проведении численного анализа колебаний проводов ЛЭП применяется гипотеза о том, что аэродинамические нагрузки, действующие на провод, являются квазистационарными, однако известны эксперименты, результаты которых не могут быть воспроизведены на основе данной гипотезы. Альтернативой квазистационарному подходу к определению аэродинамических нагрузок, действующих на провод, является прямое моделирование его нестационарного обтекания. Для этого целесообразно применять бессеточные вихревые (лагранжевы) методы расчета, позволяющие моделировать течение вокруг движущегося тела и определять действующие на него аэродинамические нагрузки с приемлемой точностью и разумными затратами вычислительных ресурсов, а также допускающие эффективное распараллеливание.

Известно лишь о единичных работах, посвященных математическому моделированию нестационарных аэро- или гидроупругих колебаний протяженной конструкции (провода, кабеля), поэтому задача разработки программного комплекса для моделирования аэроупругого движения провода ЛЭП с учетом действия на него нестационарных аэродинамических нагрузок является актуальной.

Цель исследования. Целью настоящей работы является математическое моделирование аэроупругих колебаний провода линии электропередачи с учетом нестационарности аэродинамических нагрузок путем разработки эффективного алгоритма на базе метода вихревых элементов. На основе данного алгоритма необходимо разработать и верифицировать программный комплекс, позволяющий проводить расчеты с использованием различных вычислительных комплексов, включая современные многопроцессорные системы кластерного типа.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Адаптация известных математических моделей к решению задач расчета аэроупругих колебаний провода с учетом нестационарности аэродинамических нагрузок.

2. Разработка алгоритма моделирования аэроупругих колебаний провода, основанного на определении нестационарных аэродинамических нагрузок, а также позволяющего использовать гипотезу об их квазистационарности.

3. Построение методики определения собственных частот и форм малых колебаний провода однопролетной и многопролетной ЛЭП для различных граничных условий.

4. Разработка и верификация алгоритма определения эквивалентной жесткости пружин, моделирующих граничные условия для рассматриваемого пролета многопролетной линии.

5. Программная реализация и верификация метода вихревых элементов для моделирования обтекания движущегося профиля и определения действующих на него аэродинамических нагрузок.

6. Программная реализация и верификация параллельного программного комплекса для расчета аэроупругих колебаний провода.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: механики гибких стержней и нитей, теории колебаний, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, бессеточных лагранжевых методов вычислительной гидродинамики, вычислительной математики и параллельных вычислений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов расчетов с известными точными решениями, экспериментальными данными, а также результатами, полученными ранее другими авторами.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту.

1. Методика определения собственных частот и форм малых колебаний провода многопролетной ЛЭП, основанная на применении метода передаточной матрицы и метода сагиттарной функции.

2. Характеристические уравнения для приближенного определения собственных частот малых колебаний провода многопролетной ЛЭП.

3. Методика задания эквивалентных жесткостей пружин, моделирующих влияние изоляторов и соседних пролетов на колебания рассматриваемого пролета.

4. Алгоритм моделирования аэроупругих колебаний провода под действием нестационарных аэродинамических нагрузок, основанный на применении метода плоских сечений.

5. Параллельный программный комплекс, реализующий предложенный алгоритм, в котором расчет нестационарного обтекания сечений провода и вычисление аэродинамических нагрузок производятся методом вихревых элементов.

Практическая значимость диссертационной работы связана с ее методологической и прикладной направленностью и состоит в возможности математического моделирования колебаний провода ЛЭП или, в частном случае, упругозакрепленного профиля, как при непосредственном определении нестационарных аэродинамических нагрузок, так и с применением гипотезы об их квазистационарности.

Разработан и зарегистрирован программный комплекс «РИОУСЮ — Численное моделирование движения провода ЛЭП под действием ветра», позволяющий выполнять расчеты на современных многопроцессорных вычислительных комплексах (свидетельство о государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ № 2013617549 от 20.08.2013 г.).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы апробированы на IX Международной конференции по математическому моделированию (Феодосия, 2008), XIV, XV и XVI Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Херсон, 2009, 2011 и 2013), V, VI и VII Всероссийских конференциях «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, 2009, 2011 и 2013), 4-й Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии» (Уфа, 2010), 5-м Международном конгрессе по вихревым течениям и вихревым моделям 1С^РМ-2010 (Казерта, Италия, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), XXXVIII Международной молодежной научной конференции «Гагарин-ские чтения» (Москва, 2012), 6-м Европейском конгрессе по вычис-

лительным методам в прикладных науках и инженерной деятельности ECCOMAS-2012 (Вена, 2012), 41-й Международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2013).

Результаты исследований обсуждались также на Международном авиационно-космическом научно-гуманитарном семинаре им. С.М. Бе-лоцерковского под рук. А. И. Желанникова, В. В. Вышинского (ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 2010).

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проводимых в рамках гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (грант НШ-255.2012.8) и гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (грант МК-6482.2012.8).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 18 научных работах, в том числе в 5 статьях в научных журналах и изданиях, которые включены в Перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций, 1 статье в зарубежных научных изданиях, а также 9 тезисах и докладах международных и всероссийских конференций.

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 143 страницах, содержит 34 иллюстрации и 16 таблиц. Список литературы включает 102 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе рассмотрена задача о математическом моделировании движения провода, сопротивляющегося растяжению и кручению, в воздушном потоке, перпендикулярном плоскости начального провисания провода (Рис. 1).

*3 г 1

/*2 Т5

-"А

£

Рис. 1. Расчетная схема Движение провода описывается уравнениями

-Х2-Н (Бт(0о + 0е + в)в + соб(0о + ве + 0)02) = О,

(т+ЬиУ^+О^)*-1-

-х3-к (соб(0о + ве + 0)6 - эт(0с + ве + 0)02) = О,

- О + Св + Ма + й]в" - Л/3(зт(0о + ве + в)х2 +

+ соэ(0с + 0е + 0)*з + соб(0о + ве + б1)) = о.

Здесь и далее производные по безразмерной пространственной координате £ е [-1/2; 1/2] и безразмерному времени т обозначены соответственно штрихом и точкой; г), / = 1,2,3, — декартовы координаты оси провода — линии, проходящей через центры его сечений без обледенения; 0(£, т) — угол поворота сечения с координатой £ вокруг оси; т) — тяжение провода; ЕР и й] — жесткости на растяжение и кручение соответственно (считается, что наличие обледенения не влияет на их величины); Ц?(СТ)> г = 2, 3 — аэродинамические силы (в расчете на единицу длины провода), действующие в направлении декартовых координатных осей Ох2, Ох3; Ма(£,т) — аэродинамический момент; СД£,г), /' = 1,2,3, Се(£,т) — функции, определяющие демпфирование; ве(£) — угол поворота сечений провода в ненапряженном состоянии; /3 = р!?/1, где р — погонная плотность провода, Ь — длина пролета, I — погонный момент инерции провода относительно его оси (здесь и далее знак «тильда» указывает на то, что обозначаемая им величина является размерной). Все сечения провода считаются перпендикулярными оси, а положение оси в конкретном сечении обозначается за С. Положение центра масс й сечения провода с обледенением задается с помощью расстояния к = СО и угла во, отсчитываемого по ходу часовой стрелки от хорды сечения в положении, соответствующем нулевому углу атаки.

В качестве начального условия задается равновесное положение провода в отсутствие ветра *ю(0> *2о(6 = 0, Язо(£),

хЛР. тЛ = дхМ>т)\ = 0> у = 1,2,3,

Граничные условия имеют вид

х,(± 1/2

1 ,/=1,2,3, / «=±і

в(±1/2,т) = 0,

т. е. концы провода закреплены с помощью линейных безынерционных пружин с податливостями Б*, / = 1,2,3, где, как правило, = 0.

Считая, что демпфирование и аэродинамические нагрузки отсутствуют, и пренебрегая связью поступательного и крутильного движений, можно записать уравнения малых колебаний провода, распадающиеся на 3 подсистемы:

где = Р\з(0 — положительно определенная матрица второго по-

рядка, Р2(0 — положительная функция, определяемые равновесным положением провода; / = 1,2,3, ©(£) — собственные формы малых колебаний провода в соответствующем направлении; и> — собственная частота. Граничные условия для уравнений малых колебаний имеют вид

где 5± — диагональные матрицы с элементами и В случае, если рассматриваются малые колебания многопролетной ЛЭП либо провода с точечными массами, моделирующими гасители вибрации или иную подобную арматуру, вышеуказанные граничные условия ставятся в крайних точках линии, а в промежуточных точках задаются условия равенства перемещений провода на соседних участках и условия равенства нулю главного вектора сил, приложенных в этой точке.

(Різ • {£/і', ¿/з'}т)' + ш2{ии и3}т = 0,

(р2-и2')' + и>2и2 = 0, Ыв" + Ь.(3&\п(вв + ве + 0о)в + и>2© = 0,

{£/,(± 1/2),£/3(±1/2)}т = т5±Лз(±1/2){і/і'(± 1/2), £73'(±1/2)}т, и2(± 1/2) = ^Р2{±\/2)Щ±\/2)', 6(±1/2) = 0,

Собственные частоты и формы малых колебаний одного пролета могут быть определены численно с помощью метода сагиттарной функции или метода ускоренной сходимости (Л.Д. Акуленко, C.B. Нестеров, 2004); при этом известно (A. Simpson, 1966; H.M. Irvine, Т.К. Caughey, 1974), что при 5+ = = Si собственные частоты и с высокой точностью удовлетворяют алгебраическому уравнению

sin A (sin A- A(l _CiV(JL + 2S,))

cos A = 0, A =

V \ \EF // J ' 2Jc{

где ci — горизонтальная составляющая тяжения провода.

Для определения собственных частот малых колебаний многопролетной ЛЭП применяется метод передаточной матрицы (Р. Клаф, Дж. Пензиен, 1979). Предложены два подхода к построению общего решения уравнений малых колебаний провода, необходимого для реализации этого метода. Первый подход состоит в численном определении общего решения на основе метода сагиттарной функции. Второй подход предполагает использование приближенного аналитического общего решения, полученного на основе идеи работы Д.С. Саксона и A.C. Кана (D.S. Saxon, A.S. Cahn, 1953), и позволяет получить характеристические уравнения для определения собственных частот малых колебаний линии. При некоторых упрощениях в частном случае, когда линия состоит из N равных пролетов, получено характеристическое уравнение

sin" A cos"-1 А ( sin А - А ( 1 —) cos А ) = О, А =

2, ,2

C7W

ЕР ; ) 2А/'л/сГ'

а в случае двухпролетной линии с длинами пролетов /1 и /г — уравнение

/ 1 . и ш (, \ «

5Ш 7П= 51П ^"7= о Э1П — Т1=\ 1 _ сгГ С05 ——: СОЭ 7Г7= =0.

Данные уравнения позволяют оценить интервалы локализации собственных частот, а также их кратности. В частном случае одного пролета полученное уравнение совпадают с известным ранее.

При математическом моделировании движения одного пролета многопролетной линии принято вычислять эквивалентные податливости пружин на основе информации о соседних пролетах, а также длине и массе изолирующих подвесок (А.5. Уе^эоэ, й.!?. БагЬге, 1983; И.К. МаШиг е1 а!., 1987). В диссертационной работе показано, что такой подход может приводить к неверным значениям первых собственных частот малых колебаний провода в вертикальном и горизонтальном направлениях, в то время как динамика провода в основном определяется

именно ими. Предложен способ определения таких податливостей

что первые собственные частоты малых колебаний одного пролета с пружинами на концах совпадают с первыми собственными частотами его колебаний в составе многопролетной линии.

Во второй главе рассмотрена плоская задача о математическом моделировании обтекания движущегося профиля К потоком вязкой несжимаемой среды, движение которой описывается уравнениями неразрывности и Навье — Стокса

где т) — скорость Среды в точке г = (Х2,Хз) в момент времени т;

= £1е\ = V х V — завихренность (в\ — орт оси ОхО; р(г,т) — давление; Ие = Уооё/й — число Рейнольдса; Яо — скорость набегающего потока; й — характерный размер профиля; — коэффициент кинематической вязкости. Граничные условия имеют вид

Скорость произвольной точки г профиля равна Ук(г) = Ус+шх^ — гс). Закон движения профиля может либо быть заданным, либо определяться аэродинамическими нагрузками, действующими на профиль. В последнем случае задача является связанной, или сопряженной.

Для решения поставленной задачи используется метод вихревых элементов, основанный на интегральных представлениях скорости V и давления р через завихренность П; при этом скорость V может быть восстановлена по распределению Г2 с помощью закона Био — Савара, а давление — на основе аналога интеграла Коши — Лагранжа, разработанного Г.Я. Дынниковой (2000). В случае, если профиль совершает вращательное движение, его внутренняя область должна быть заменена кинематически эквивалентным распределением «фиктивной» завихренности Л/, которая также вносит вклад в V и р.

В расчетах непрерывное поле завихренности П заменяется набором из Л*вэ вихревых элементов (ВЭ) — вихревых нитей, характеризуемых положениями г,- и циркуляциями Г;; профиль заменяется ломаной, состоящей из М отрезков-панелей, на каждом из которых задается контрольная точка и точка рождения вихревого элемента. Выполнение условия прилипания на профиле на каждом шаге расчета по времени обеспечивается равенством касательных компонент скорости среды и профиля на

V • V = 0,

V(r) = VK(r), гедК, V(r) -> Voo = const, p(r) -> poo = const, |r| oo.

его границе (B.C. Морева, И.К. Марчевский, 2012) и приводит к образованию на каждой панели вихревого элемента. Далее вихревые элементы пополняют вихревой след и перемещаются со скоростями V,-, где

V, = V(n) + vd(n), vd =

Новые положения вихревых элементов определяются путем интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений их движения методом Эйлера. В случае, если задача является сопряженной, на каждом шаге расчета также определяется новое положение профиля. Отметим, что вычисление скоростей вихревых элементов — наиболее трудоемкий этап алгоритма, требующий выполнения C(iV|3) операций, поэтому целесообразно реализовать его распараллеливание.

Алгоритм расчета обтекания профиля и определения аэродинамических нагрузок, действующих на него, методом вихревых элементов, реализован в виде программного модуля. На примере задачи о математическом моделировании явления ветрового резонанса кругового профиля показано, что метод вихревых элементов позволяет качественно и количественно правильно моделировать аэроупругие колебания профиля.

Полученные зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов лобового сопротивления Сха, подъемной силы Суа и момента Ст профиля обледенелого провода от угла атаки будут использованы в главе 3 при моделировании колебаний упругозакрепленного профиля и провода ЛЭП целиком.

В третьей главе описан разработанный алгоритм численного решения уравнений движения провода, реализованный в программном комплексе PROVOD. Предполагается, что все сечения провода имеют одинаковую форму и их обтекание является плоскопараллельным; тогда распределенные аэродинамические нагрузки, действующие на провод, могут быть определены путем интерполяции аэродинамических нагрузок, действующих на отдельные его сечения (С.И. Девнин, 1983). Аэродинамические нагрузки считаются нестационарными и определяются в ходе моделирования обтекания сечений провода методом вихревых элементом. Алгоритм допускает также использование известного квазистационарного подхода, в соответствии с которым аэродинамические нагрузки пропорциональны стационарным коэффициентам.

Для моделирования движения провода применен метод Бубнова — Галеркина, в соответствии с которым неизвестные функции Х\, x<i, хз, Q и в, зависящие от £ и т, представляются в виде линейных комбинаций функций, зависящих от с коэффициентами, зависящими от т:

Si

*/(£. т) = xj0(O + J2 ^Mv^tt), / = 1,2,3,

k=\

Q(£. r) = Qo(£) + £ 0(1, T) = Ш + £

k=\ k=i

где (pi, k = 1,...,S, (символ «*» заменяет индексы 1, 2, 3, Q или в) — ортонормированные системы базисных функций. В качестве базисных функций для координат провода Xj целесообразно выбрать первые (Sj — 2) собственные формы малых свободных колебаний провода, алгоритм определения которых описан в главе 1, и две дополнительные функции, необходимые для корректного учета нелинейных граничных условий. В качестве базисных функций для тяжения Q также выбираются (Sq — 2) первые собственные функции и две дополнительные функции. В качестве базисных функций для угла поворота выбираются функции ¡Рь\0 = \/2sin7r£(£+ 1/2), близкие к собственным формам малых крутильных колебаний провода.

Функции Cj(£,T), j = 1,2,3, Св(£,т), определяющие демпфирование, задаются в виде

Si-2 , (/), ч

СМ,Г) = / = 1,2,3,

k=i ат

k=l ат

где LJk — собственные частоты малых колебаний провода в соответствующих направлениях; С/, Се — коэффициенты демпфирования.

Подставляя разложение решения по базисным функциям в уравнения движения провода и вычитая из них уравнения равновесия, получаем невязку, требование ортогональности которой базисным функциям приводит к системе (Si + 5г + 5з + — 6) обыкновенных дифференциальных уравнений; граничные условия представляют собой (Sq + 6) алгебраических уравнений. Получившаяся система дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ) решается с помощью полунеявной численной схемы, имеющей при h = 0 второй порядок точности.

Базисные функции и необходимые для перехода к системе ДАУ интегралы типа J" C^Vi™' ) определяются в системе компьютер--1/2 V '

ной алгебры Wolfram Mathematica и записываются в текстовые файлы, являющиеся исходными данными для программного комплекса.

Поскольку проведение нестационарного расчета с применением метода вихревых элементов требует значительных вычислительных затрат, а для развития пляски провода ЛЭП, первоначально находившегося в положении равновесия, и достижения им периодической траектории иногда необходимо длительное время (порядка десятков-сотен секунд), предлагается проводить расчет в несколько стадий.

1. Построение зависимостей стационарных аэродинамических характеристик профиля сечения провода от угла атаки. Данный этап исследования является трудоемким с вычислительной точки зрения. Целесообразно проводить его на многопроцессорной ЭВМ.

2. Проведение расчета по квазистационарным нагрузкам до достижения проводом периодической траектории движения.

3. Проведение расчета, в котором провод движется по заданному закону — участку полученной на предыдущем этапе периодической траектории, с генерацией вихревых элементов и моделированием эволюции вихревых следов за каждым сечением. Данный этап необходим для формирования за сечениями провода развитого вихревого следа.

4. Проведение расчета по нестационарным аэродинамическим нагрузкам до заданного конечного момента времени.

Для сокращения времени расчета в программном комплексе предусмотрена возможность распараллеливания вычислений с помощью библиотеки MPI. Расчет проводится (N-m) процессорами, где N — заданное число сечений на проводе; m — число процессоров, моделирующих обтекание каждого сечения. Все процессоры делятся на N подгрупп, каждая из которых производит расчет обтекания одного сечения и управляется «локальным» головным процессором (ЛГП). Также выделяется один «глобальный» головной процессор (ГГП), являющийся одновременно ЛГП первой группы. Этот процессор считывает из текстовых файлов исходные данные, обеспечивает синхронизацию расчетов, пересылку данных между процессорами, а также производит расчет динамики провода.

Программный комплекс PROVOD работает в соответствии со следующим алгоритмом.

1. Загрузка ГГП исходных данных, их пересылка на все ЛГП, построение ЛГП расчетной схемы на профиле.

2. Генерация ЛГП завихренности и вычисление скоростей вихревых элементов всеми процессорами подгрупп.

3. Вычисление ЛГП аэродинамических нагрузок и их пересылка на ГГП.

4. Вычисление ГГП нового положения провода и пересылка его на ЛГП.

5. Перемещение профилей, реструктуризация вихревых следов за всеми сечениями; возврат к п. 2.

Если производится квазистационарный расчет, то блоки 2 и 5 не выполняются, а в блоке 3 аэродинамическая нагрузка определяется по стационарным аэродинамическим коэффициентам.

Помимо моделирования движения провода программный комплекс позволяет моделировать движение упругозакрепленного профиля или обтекание набора неподвижных одинаковых профилей, расположенных под разными углами атаки.

Верификация алгоритма. В отчете Канадской электроэнергетической ассоциации (J.K. Chan, 1992) описаны результаты наблюдения пляски центрального пролета трехпролетной линии, на котором имелась насадка ¿/-образной формы, имитирующая обледенение. Влияние крайних пролетов учитывалось путем введения пружин, эквивалентные жесткости которых определялись в соответствии с разработанной в диссертации методикой. На Рис. 2 приведены результаты расчета по квазистационарным нагрузкам. Видно, что они хорошо согласуются с расчетом (R. Keutgen, 1998) и удовлетворительно согласуются с экспериментом.

щ

-1.5 -20

Рис. 2. Зависимость вертикального % и вращательного А9 перемещения центра пролета от времени: точки — эксперимент, пунктир — расчет (R. Keutgen, 1998), сплошная линия — данная работа

В работе (X. Liu et al., 2009) описаны результаты вычислительного эксперимента по исследованию пляски пролета с несимметричным обледенением. На Рис. 3 показаны траектории движения центральной точки провода в разные периоды времени, полученные в данной работе. Видно, что сначала развиваются вертикальные колебания, на которые затем накладываются горизонтальные колебания, в результате чего траектория движения центральной точки провода приобретает подковообразную форму. Данный эффект объясняется тем, что отношение первых собственных частот колебаний провода в вертикальной плоскости и в горизонтальном направлении близко к 2: указанные собственные частоты составляют 0.70 Гц и 0.38 Гц соответственно. Форма и амплитуда колебаний, полученные в данном расчете, хорошо согласуются с результатами вышеупомянутой работы.

-1.5

-2.0

-2.5

t= 80...120 с

0.25

- м

Хз, м

-2.5 ?= 140...180 с

xi, м

X,, м

К5 Л

-2.5 \JJ

1 > 200 с

-0.25 0 0.25 0.50 """" -0.25 0

Рис. 3. Развитие колебаний

0.25 0.50

Моделирование нестационарных колебаний профиля. На Рис. 4, б приведены зависимости стационарных аэродинамических коэффициентов Сха, Суа и Ст профиля обледенелого провода ЛЭП, изображенного на Рис. 4, а, от угла атаки, определенные с помощью программного комплекса РГЮУОБ. На Рис. 4, в показана периодическая траектория движения упругозакрепленного профиля и траектория его нестационарного движения.

Х2, М

-ад' ^20 „"

-0.5

-1.0

а б в

Рис. 4. Зависимости Сха, Суа, Ст от угла атаки а профиля обледенелого провода (а), аппроксимированные гладкими функциями (б); траектория движения профиля (в): результат квазистационарного (сплошная линия) и нестационарного (пунктир) расчета

Моделирование нестационарных колебаний провода. Для провода ЛЭП с профилем сечения, рассмотренным выше, был проведен расчет его движения по квазистационарным аэродинамическим нагрузкам до момента времени t* = 180 с, а затем — расчет с вычислением нестационарных аэродинамических нагрузок методом вихревых элементов.

На Рис. 5 приведена зависимость вертикальной координаты и угла поворота в центральной точки пролета от времени. Видно, что амплитуда вертикальных колебаний провода, полученная в результате нестационарного расчета, снижается на 12 % по сравнению с квазистационарным расчетом и составляет в итоге 0.65 м. Амплитуда угловых колебаний остается практически неизменной и составляет около 9°.

Рис. 5. Зависимость вертикальной координаты Хз и угла поворота в центрального сечения провода от времени

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В диссертационной работе рассмотрена задача о математическом моделировании аэроупругих колебаний провода ЛЭП с вычислением нестационарных аэродинамических нагрузок методом вихревых элементов. Для моделирования движения провода применен метод Бубнова — Галеркина с представлением решения в виде разложения по собственным формам малых колебаний провода. По результатам проведенных исследований могут быть сделаны следующие выводы.

1. Разработана и верифицирована методика определения собственных частот и форм малых колебаний провода многопролетной ЛЭП, основанная на применении метода передаточной матрицы и метода са-гиттарной функции и получены характеристические уравнения для приближенного определения собственных частот малых колебаний провода многопролетной ЛЭП.

2. Разработана и верифицирована методика задания эквивалентных жесткостей пружин, моделирующих влияние изоляторов и соседних пролетов на колебания рассматриваемого пролета.

3. Предложен алгоритм моделирования аэроупругих колебаний провода под действием нестационарных аэродинамических нагрузок. На его основе разработан параллельный программный комплекс РИОУОБ, в котором расчет нестационарного обтекания сечений провода и вычисление аэродинамических нагрузок производятся методом вихревых элементов.

4. Разработанные модели, алгоритмы и программы могут использоваться при исследовании движения провода в существенно нестационарных условиях.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В РАБОТАХ

1. Иванова O.A. Исследование колебаний эллиптического профиля в жидкости методом вихревых элементов // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды XIV Международного симпозиума. Харьков-Херсон, 2009. С. 306-309.

2. Иванова O.A., Марчевский И.К. Численное моделирование вращательного движения профиля в жидкости вихревым методом // Необратимые процессы в природе и технике: труды V Всероссийской конференции. М„ 2009. Ч. 2. С. 102-105.

3. Марчевский И.К., Иванова O.A. Численное моделирование ветрового резонанса кругового профиля методом вихревых элементов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2009. № 5. С. 8-12.

4. Marchevskii I.K., Ivanova O.A. Numerical simulation of wind resonance of a circular profile by means of the vortex element method // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2009. V.38, N 5. P. 420-424.

5. Иванова O.A. Численное моделирование движения провода ЛЭП с учетом ветровых нагрузок // Параллельные вычислительные технологии: труды международной научной конференции. Уфа, 2010. С. 662.

6. Ivanova O.A. Numerical Simulation of Wind Induced Conductor Motion // The 5th International Conference on Vortex Flows and Vortex Models: book of proceedings. Caserta (Italy), 2010. 6 p.

7. Иванова O.A. Определение собственных частот колебаний одиночного провода ЛЭП // Необратимые процессы в природе и технике: труды VI Всероссийской конференции. М., 2011. Ч. 2. С. 247-250.

8. Иванова O.A. Численное моделирование захвата частоты схода вихрей с вибрирующего профиля // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды XV Международного симпозиума. Харьков-Херсон, 2011. С. 193-196.

9. Иванова O.A. Приближенные методы определения собственных частот колебаний проводов многопролетных линий электропередачи // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2011. Спец. выпуск «Прикладная математика». С. 34-44.

10. Исследование аэроупругих колебаний провода, вызываемых отрывным вихревым обтеканием / O.A. Иванова [и др.] // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. Ч. 2, № 4. С. 157-159.

11. Иванова O.A. Численное и аналитическое определение собственных частот колебаний многопролетной ЛЭП // XXXVIII Гагарин-ские чтения: сб. докладов Международной молодежной научной конференции. М„ 2012. Т. 5. С. 63-65.

12. Иванова O.A. Численное моделирование движения провода ЛЭП под воздействием ветра // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2012. Спец. выпуск № 2 «Математическое моделирование в технике». С. 67-74.

13. Ivanova O.A. Numerical and analytical determination of multispan cable eigenfrequencies // The 6th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering: book of proceedings. Vienna, 2012. 9 p.

14. Иванова O.A. Численное моделирование аэроупругого движения провода ЛЭП с использованием метода плоских сечений // Необратимые процессы в природе и технике: труды VII Всероссийской конференции. М„ 2013. Ч. 2. С. 115-118.

15. Иванова O.A. Расчет аэроупругих колебаний провода ЛЭП с использованием метода вихревых элементов // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды XVI Международного симпозиума. Харьков-Херсон, 2013. С. 185-188.

16. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013617549. PROVOD — Численное моделирование движения провода ЛЭП под действием ветра / O.A. Иванова, И.К. Марчев-ский, Г.А. Щеглов. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20.08.2013.

17. Ivanova O.A. On numerical simulation of conductor galloping using vortex element method // Advanced Problems in Mechanics: proceedings of the XLI summer school-conference. St. Petersburg: IPME RAS, 2013. P. 268-274.

18. Иванова O.A. О выборе базиса для моделирования движения провода ЛЭП методом Галеркина // Наука и образование. Электронный журнал. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2013. № 9. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/602290.html.

Подписано к печати 1.11.13. Заказ № 700 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5,стр.1 (499) 263-62-01

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. Баумана

На правах рукописи

04201364959

Иванова Ольга Алексеевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ ПРОВОДА ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные < методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к.ф.-м.н., доцент И.К. Марчевский

Москва — 2013

Оглавление

Стр.

Введение............................. 5

Глава 1. Математическое моделирование малых колебаний

провода........................... 19

1.1. Исходные данные для задачи о моделировании движения

провода ЛЭП в воздушном потоке.............. 20

1.2. Математическая модель движения провода ЛЭП..... 22

1.3. Постановка задачи ...................... 27

1.3.1.Уравнения движения провода в безразмерной форме 27

1.3.2. Равновесная форма провода.............. 29

1.3.3. Эквивалентные податливости пружин, моделирующих изоляторы и соседние пролеты.......... 34

1.4. Определение собственных частот

и форм малых колебаний провода ЛЭП........... 35

1.4.1.Уравнения малых свободных колебаний провода . 35

1.4.2. Граничные условия................... 38

1.4.3. Методы определения собственных частот и форм малых колебаний провода............... 42

1.4.4. Уравнения для определения собственных частот малых колебаний провода................. 50

1.4.5. Собственные частоты малых колебаний одного пролета с неподвижно закрепленными концами..... 55

1.4.6.Частоты колебаний одного пролета с упругозакреп-

ленными концами.................... 63

1.4.7. Собственные частоты малых колебаний провода многопролетной линии................... 64

1.4.8. Собственные частоты малых колебаний провода с точечной массой (гасителем вибрации)........ 69

Стр.

1.4.9. Задание эквивалентной жесткости....................70

1.5. Выводы..........................................................72

Глава 2. Математическое моделирование аэроупругого движения профиля методом вихревых элементов............74

2.1. Постановка задачи ............................................74

2.1.1. Уравнения движения среды............................74

2.1.2. Уравнения движения профиля..........................76

2.2. Описание метода вихревых элементов ......................77

2.3. Расчетная схема метода вихревых элементов................79

2.4. Программная реализация метода вихревых элементов . . 87

2.5. Верификация метода вихревых элементов..................89

2.5.1. Расчет обтекания полукруглого профиля..............89

2.5.2. Расчет обтекания профиля обледенелого провода ЛЭП 90

2.5.3.Колебания вращающегося профиля....................91

2.5.4. Математическое моделирование явления ветрового резонанса профиля......................................92

2.6. Выводы..........................................................96

Глава 3. Программный комплекс РКОУОО для расчета колебаний провода ЛЭП под действием нестационарных аэродинамических нагрузок......................................98

3.1. Математическое моделирование движения провода ЛЭП методом Бубнова — Галеркина................................98

3.1.1. Задание вида решения..................................98

3.1.2. Вычисление аэродинамических нагрузок..............100

3.1.3. Переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений............................................101

3.2. Описание программного комплекса..........................105

3.2.1. Исходные данные........................................108

3.2.2. Выходные данные........................................112

Стр.

3.2.3. Дополнительные возможности ........................113

3.2.4. Схема работы программного комплекса ..............114

3.3. Квазистационарные расчеты..................................116

3.3.1 .Колебания провода с ¿/-образным поперечным сечением ......................................................117

3.3.2. Колебания провода с обледенением....................119

3.3.3. Колебания провода с близкими собственными частотами вертикальных и крутильных колебаний .... 122

3.4. Нестационарные расчеты......................................123

3.4.1. Движение упругозакрепленного профиля ............124

3.4.2. Движение провода с обледенением....................126

3.5. Выводы..........................................................129

Основные результаты и выводы................130

Литература...........................131

Введение

Актуальность работы. Устойчивый поперечный ветер, воздействующий на провода воздушных линий электропередачи (ЛЭП), может приводить к пляске (галопированию) проводов — их высокоамплитудным низкочастотным колебаниям, происходящим преимущественно в вертикальной плоскости. Пляска почти всегда вызывается умеренным ветром, воздействующим на покрытую несимметричной наледью поверхность провода. Высокие динамические нагрузки, действующие на провода, опоры и арматуру ЛЭП при пляске, сокращают срок эксплуатации линии, а в особо неблагоприятной ситуации могут всего за несколько часов привести к значительным повреждениям линии вплоть до ее выхода из строя [58]. Поэтому уже с 1930-х годов, когда стали массово строиться воздушные линии электропередачи и появились первые сообщения о пляске и вызванных ей повреждениях, начались попытки математического описания этого явления и объяснения его причин. В дальнейшем с развитием вычислительной техники все большее внимание стало уделяться численному анализу математических моделей движения проводов воздушных линий, поскольку это позволяет еще на этапе проектирования ЛЭП получить необходимую для разработки оптимальной конфигурации информацию о поведении линии под воздействием ветра.

Наиболее простой моделью провода ЛЭП является жесткий упруго-закрепленный цилиндр, совершающий колебания под воздействием поперечного ветра; движение сечений цилиндра при этом является плоскопараллельным, поэтому математической моделью такой конструкции является профиль, обтекаемый двумерным потоком среды. Главный вектор Р и главный момент М аэродинамических сил, действующих на профиль, в простейшем случае можно считать квазистационарными, т. е. равными

Р = ^Рвоз^УоТН(гуСха(а) + иуСуа{а)), М = ^рВозА^У^нСт(а),

где /эВ03д — плотность воздуха; й — характерный размер (хорда) профиля; У от = Уоо — ^проф — относительная скорость ветра, ]/отн = |Уотн| (Уоо — скорость набегающего потока; Кпроф — скорость движения некоторой фиксированной точки профиля); ту, иу — орты, направленные вдоль вектора Vотн и перпендикулярно ему; Сха(а), Суа(а), Ст(а) — стационарные аэродинамические коэффициенты профиля, зависящие от угла атаки а — угла между вектором Кохн и хордой профиля. Стационарные аэродинамические коэффициенты профиля определяются путем осреднения по большому промежутку времени полученных в эксперименте или расчете мгновенных значений аэродинамической силы и момента, действующих на неподвижный цилиндр (профиль) при установившемся обтекании.

Исследуя колебания профиля с одной вертикальной степенью свободы, Дж. Ден-Гартог установил [55], что возможной причиной пляски является так называемая аэродинамическая неустойчивость профиля — явление, когда аэродинамическая сила, действующая со стороны потока при малых колебаниях профиля, приводит не к демпфированию этих колебаний, а к нарастанию их амплитуды. Ден-Гартогом было получено необходимое условие неустойчивости

в(а) = Сха(а) + С'уа(а) < 0.

Это условие носит имя Глауэрта — Ден-Гартога, поскольку ранее оно было получено Глауэртом [60] как необходимое условие аэродинамической неустойчивости при исследовании авторотации — больших крутильных колебаний вокруг продольной оси. Основываясь на соображениях качественного характера, Ден-Гартог сделал вывод, что к неустойчивым сечениям относятся полукруг, поставленный своей плоской стороной навстречу ветру, и сильно вытянутый прямоугольник (рис. 1), причем полукруг является наиболее неустойчивым из известных сечений. В ходе эксперимента в аэродинамической трубе Ден-Гартог наблюдал высокоамплитудные колебания упругозакрепленного цилиндра с сечением в форме полукруга, что подтвердило его теоретические заключения.

Отметим, что в [84] для цилиндра с полукруглым сечением при наличии у него одной вертикальной степени свободы пляски не наблюдалось, что согласуется с другими экспериментальными данными: так, согласно [38,56] 6(0) > 0. По-видимому, устойчивость или неустойчивость полукруга объясняется разными режимами обтекания в экспериментах, характеризующимися различными значениями числа Рейнольдса (при высоких числах Рейнольдса лобовое сопротивление заметно снижается).

Исследованиям устойчивости по Ляпунову положения равновесия в потоке профиля, закрепленного с помощью упругих или вязкоупру-гих связей, в случае большего числа степеней свободы посвящены работы [5,31]. В [5] рассмотрена модель движения профиля с тремя степенями свободы и в результате получено достаточное условие неустойчивости положений равновесия профиля. В работе [31] для другой схемы закрепления профиля получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости положений равновесия для всех случаев движения профиля (с 1, 2 и 3 степенями свободы) при наличии упругих или вязкоупругих связей.

Эксперименты по исследованию колебаний упругозакрепленных цилиндров с различными поперечными сечениями [45,46,51,81,83,84] позволили сделать ряд выводов о причинах возникновения их пляски. Во-первых, в случае, если пляска вызывается аэродинамической неустой-

чивостью, существенную роль играет положение центра масс сечения цилиндра: если он не лежит на оси вращения, взаимное влияние крутильного и поступательного движений может как расширять область неустойчивости, так и сужать ее. Во-вторых, колебания большой амплитуды могут вызываться эффектом сближения собственных частот поступательных и крутильных колебаний; при этом условие Глауэрта — Ден-Гартога может не выполняться [51,81].

Развитие больших колебаний проводов ЛЭП вызывается теми же механизмами, что и развитие колебаний цилиндров, однако для более глубокого понимания данного явления и прогноза количественных характеристик пляски проводов уже в первые годы эксплуатации ЛЭП начались полевые испытания. Для возбуждения пляски на провода опытных линий крепились деревянные, восковые, глиняные или пластиковые насадки, моделирующие обледенение (рис. 2).

Как указано в [72], впервые пляску опытной линии, к проводу которой был прикреплен восковой выступ в форме вытянутого прямоугольника, удалось наблюдать в 1932 г. на 32-метровом пролете. О пляске провода с полукруглыми деревянными насадками сообщается в работах [7,57,58,87,95] — оказалось, что провод с таким сечением подвержен пляске, несмотря на «спорность» выполнения условия Глауэрта — Ден-Гартога для полукруга; при этом в эксперименте [57] отмечено, что

Рис. 2. Имитация обледенения провода [95]

для возбуждения пляски провода с полукруглыми насадками потребовалось оборудовать пролет дополнительными массивными рычагами, чтобы сблизить собственные частоты вертикальных и крутильных колебаний. В 1970-х годах возобновились попытки воспроизвести пляску на опытной линии с насадками, более близкими к реальным формам обледенения, чем полукруг или прямоугольник. В 1974 г. удалось провести успешный эксперимент для провода с ¿/-образным пластиковым выступом [52,82].

Хотя отдельные случаи пляски, полученные на опытных линиях, представляют большой методический интерес, для оптимального проектирования ЛЭП желательно иметь информацию о возможных амплитудах пляски, которые могут возникнуть в данной местности. Оценки амплитуды пляски [47,73,88] в зависимости от параметров линии и проводов, полученные на основе большой подборки результатов наблюдений, являются слишком грубыми. Более детальный анализ характеристик колебаний проводов может быть выполнен путем проведения вычислительного эксперимента, очевидными преимуществами которого перед натурным является невысокая стоимость и возможность рассмотрения большого набора различных параметров ЛЭП и форм поперечных сечений проводов. В то же время описанные случаи наблюдения пляски проводов с искусственно сформированным поперечным сечением на опытных линиях представляют большую ценность для верификации численных алгоритмов.

Математическому моделированию аэроупругих колебаний проводов ЛЭП и численному анализу построенных моделей посвящены, например, работы [56,59,67,74,99], где для моделирования динамики провода применяется метод конечных элементов, работа [37], в которой используется метод конечных разностей, работы [71,98], где моделирование колебаний проводов производится методом Галеркина. Известны и другие подходы, в частности, в [53,69] провод моделируется набором последовательно соединенных точечных масс. Однако, несмотря на достаточное число ра-

бот по указанной тематике в них приведено очень ограниченное число тестовых примеров (наиболее распространенными являются всего лишь три), причем для одного и того же тестового примера отличие получаемых разными авторами результатов может быть довольно существенным: так, в эксперименте [52], согласно [67], размах колебаний при пляске составлял около 2.2 м, в расчете [56] получилась величина менее 1.5 м, а в расчете [99] — около 5 м. По этой причине задача разработки программного комплекса для моделирования аэроупругой динамики проводов ЛЭП не утратила своей актуальности и имеет большое практическое значение.

На характеристики колебаний конкретного пролета ЛЭП существенно влияет способ закрепления его концов. В простейшем случае они могут быть закреплены неподвижно, однако если линия является многопролетной, между соседними пролетами устанавливаются промежуточные опоры, к которым провод крепится через гирлянду изолирующих подвесок (подвесной изолятор). При этом концы пролета могут совершать перемещения, а низшие собственные частоты провода, в основном определяющие его динамику, могут существенно изменяться по сравнению с собственными частотам провода с неподвижно закрепленными концами. Однако при разработке численного алгоритма для моделирования колебаний провода учет нескольких пролетов может представлять трудности, поэтому нередко используется подход [76,97], состоящий в исследовании вместо многопролетной ЛЭП одного конкретного ее пролета, концы которого закреплены с помощью линейных пружин некоторых эквивалентных жесткостей. Данный подход существенно упрощает разработку программного комплекса, однако может приводить к получению в результате расчета неверных значений низших собственных частот колебаний провода. Поэтому актуальной задачей является разработка методики определения эквивалентных жесткостей пружин, моделирующих наличие изоляторов и соседних пролетов у рассматриваемого пролета.

Ключевой проблемой при численном исследовании аэроупругих колебаний провода является вычисление распределенных аэродинамических нагрузок, действующих на него. В соответствии с общепринятым подходом для их определения принимаются следующие предположения.

• Набегающий поток направлен перпендикулярно плоскости провода и обтекание каждого его сечения является плоскопараллельным. Тогда распределенные аэродинамические нагрузки, действующие на провод, могут быть определены путем интерполяции аэродинамических нагрузок, действующих на отдельные его сечения [8].

• Аэродинамические нагрузки, действующие на сечения провода, являются квазистационарными, т. е. могут быть вычислены по стационарным аэродинамическим коэффициентам профиля сечения провода Сха, Суа, Ст. При этом для качественного исследования характера колебаний провода пригодны приближенные зависимости Сш{(у), Суа{(у), Ст(а), определенные на основе экспериментальных данных и выраженные простыми тригонометрическими функциями, как это сделано, например, в [71].

• Как правило, дополнительно предполагается, что все сечения провода имеют одинаковую форму. Это может быть полукруг, вытянутый прямоугольник, круг с выступом ¿/-образной формы, как в натурных экспериментах, или какой-либо характерный профиль обледенелого провода ЛЭП [3].

Предположение о плоскопараллельности течений воздуха вокруг сечений провода принимается из-за невозможности отказа от него, поскольку вследствие большой пространственной протяженности провода ЛЭП осуществить трехмерный расчет его обтекания едва ли возможно даже при современном уровне развития вычислительной техники. Гипотеза о квазистационарности аэродинамических нагрузок, действующих

на провод, принимается по той причине, что период колебаний провода при пляске (характерный временной масштаб), как правило, в сотни раз превосходит характерное время процесса обтекания провода потоком — время, за которое частицы воздуха преодолевают расстояние в диаметр провода [49]. В пользу правильности данной гипотезы говорит также хорошее согласие результатов некоторых экспериментов с результатами квазистационарных расчетов. К примеру, в работе [68] был проведен вычислительный эксперимент, повторяющий натурный эксперимент [51] по исследованию колебаний упругозакрепленного цилиндра с тремя степенями свободы. Близость результатов расчета с экспериментальными данными позволила сделать вывод о том, что гипотеза о квазиста