автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем

На правах рукописи

Вайнштейн Виталий Исаакович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ ВОССТАНОВЛЕНИЙ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ИНФОРМАЦИОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ

05.13.11 — Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и сетей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск 2006

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете

Научный руководитель кандидат технических

наук, профессор ВЕЙСОВ Е. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор НОСКОВ М. В. . кандидат физико-математических наук, доцент ШАТОХИНА Л. В.

Ведущая организация Институт вычислительного

моделирования СО РАН, г. Красноярск

Защита состоится Сс /1 р<? Л А. 2006 года ъ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.098.03 в Красноярском государственном техническом университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан ¿2 У марта 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук,

профессор Журавлев В. М.

¿оовА

Общая характеристика работы

Актуальность исследования Современные информационно-вычислительные системы (ИВС) - отдельные, локальные, распределенные -представляют собой комплекс программных и аппаратных средств, предназначенных для решения задач, связанных со сбором, хранением, обработкой и передачей информации.

Проблема обеспечения высокой надежности и эффективности работы информационно-вычислительных систем является актуальной, если даже не ключевой, в развитии научно-технического, социально-экономического прогресса. Это обусловлено особой значимостью решаемых с помощью ИВС задач; ростом интенсивности режимов работы систем в условиях повышенных требований к качеству их функционирования; повышением ответственности функций выполняемых системами; автоматизацией процессов, исключающих непрерывное наблюдение и контроль за функционированием системы.

В настоящее время эта проблема становится более значимой. Это связано с глобальным распространением ИВС, с большой скоростью изменения самих ИВС, значительным технологическим отрывом от уже устоявшихся технологий, использованием ИВС в системах с большим временем эксплуатации, а также с экономическими, человеческими и даже моральными факторами. Проблемы информационной безопасности, которые возникают при эксплуатации ИВС у большинства развитых стран, в настоящее время сопоставимы с проблемами их экономической, военной и экологической безопасности. Особо негативную роль играют отказы, связанные с потерей информации

Надежность ИВС в первую очередь определяется отказами программных и аппаратных средств Большие показатели надежности в работе ИВС достигаются применением высоконадежных аппаратных средств, многократной системой дублирования и резервирования, введением для программного обеспечения временной, программной и информационной избыточности.

Но и эти дорогостоящие методы и технологии не приводят к отсутствию отказов в работе ИВС.

Отказы ИВС в основном имеют случайный характер и могут произойти при эксплуатации в любой момент и в любом узле информационно-вычислительной системы. В связи с этим особую роль приобретают методы

(РОС. национал Ь;га1г -1 БИБЛИОТЕКА !

повышения показателей надежности и эффективности работы ИБС в период эксплуатации.

Учитывая специфику задач, решаемых информационно-вычислительными системами, важными показателями (критериями) являются:

• интенсивность эксплуатационных затрат (с учетом затрат на возмещение ущерба при отказе ИВС);

• коэффициент готовности, т. е. вероятность того, что элемент окажется в работоспособном состоянии в произвольно выбранный момент времени в установившемся (стационарном) процессе эксплуатации, или как доля времени, в котором элемент находится в работоспособном состоянии;

• математическое ожидание числа отказов в процессе восстановления.

Одной из возможностей повышения показателей надежности и эффективности является проведение оптимальных стратегий эксплуатации, в которых основное значение принадлежит проведению профилактических работ (восстановлений) в оптимальные промежутки времени.

Определение эксплуатационной надежности и эффективности при проведении аварийных и профилактических восстановлений требует совместного рассмотрения надежности аппаратных и программных средств с учетом их функциональных различий, внешних воздействий и человеческого фактора.

Это в первую очередь приводит к необходимости рассмотрения моделей процессов восстановления и стратегий эксплуатации с изменяющимися функциями распределения наработок на отказ в процессе восстановления.

Таким образом, проблема надежности и эффективности при эксплуатации ИВС приводит к актуальной задаче разработки математического и программного обеспечения для решения задач по выбору стратегии эксплуатации с оптимальным временем проведения профилактических работ.

Цель диссертационной работы - создание модулей математического и программного обеспечения, способствующих повышению коэффициента готовности, снижению среднего числа отказов и интенсивности эксплуатационных затрат ИВС.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

• разработка математического и программного обеспечения для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатациии на основе модели процесса восстановления программных и аппаратных средств, учитывающей изменение функций распределения их наработок;

• разработка моделей стратегий проведения профилактических работ с получением формул, определяющих интенсивности эксплуатационных затрат в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений;

• определение условий применимости моделей стратегий эксплуатации программных и аппаратных средств с проведением профилактических восстановлени й.

Научная новизна и положения выносимые на защиту.

1. Разработано программное и математическое обеспечение для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств ИВС и обоснованы математические модели процессов востановления и стратегий эксплуатации, позволяющие определять интенсивность эксплуатационных затрат и математическое ожидание числа отказов в период эксплуатации.

2. Получены условия применимости стратегий эксплуатации с проведением профилактических работ для наработок, имеющих экспоненциальное и Эрланга распределения.

3. Получено представление функции восстановления в виде рядов для различных моделей процессов восстановления для экспоненциального, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко, Максвелла распределений и разработаны численные методы решения интегрального уравнения для нахождения функции восстановления, которые позволили создать алгоритмы и программное обеспечение для выбора оптимальной стратегии эксплуатации.

Практическая значимость. Предложенные модели могут быть использованы для выбора оптимальных стратегий эксплуатации ИВС по критериям интенсивности эксплуатационных затрат, коэффиценту готовности и среднему числу отказов. Созданный программный комплекс позволяет решать задачи по нахождению оптимального времени проведения профилактических восстановлений и выбору оптимальной стратегии эксплуатации для экспоненциального распределения, распределения Эрланга любого порядка и распределения Вейбулла - Гнеденко.

Результаты диссертационной работы по оптимизации стратегий эксплуатации используются в работе ИВЦ КГТУ.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации определяются учетом особенностей работы элементов ИВС, корректным применением математических методов при решении рассматриваемых задач и сравне-

нием результатов численных экспериментов с известными в литературе данными

Методика исследования. В диссертационной работе использованы методы математической теории надежности, теория процессов восстановления, численные и аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра, программирование в среде С++ Builder.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты работы докладывались на межвузовских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии"(Красноярск, 2001 и 2002 г.г.), десятой юбилейной международной научно-технической конференции "Современная техника и технология "(Томск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и ОМС"(Красноярск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Проблемы информатизации региона"(Красноярск, 2005 г.), Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука Технологии, Инновации" (Новосибирск, 2005 г.), на научных семинарах кафедр "Прикладная математика", "Вычислительная техника"(КГТУ, 2005 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них 6 статей (две статьи в центральной печати). Из работ [3, 5,11,12], написанных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников и приложения Основное содержание изложено на 145 страницах текста, содержит 20 рисунков, 5 таблиц Список использованных источников включает 91 наименование.

Основное содержание работы

Во введении отмечается актуальность создания математического и программного обеспечения оптимального сопровождения программных и аппаратных средств информационно-вычислительных систем Определены цели и задачи диссертационной работы, раскрыта новизна полученных результатов и их практическая значимость.

В первой главе Анализ надежности информационно вычислительных систем приведены схема и анализ взаимодействия основных структур ИВС по их отказам и проведению профилактических восстановлений в процессе эксплуатации (рис. 1).

Дан обзор моделей по расчету надежности программных и аппаратных средств и стратегий их восстановления. Рассмотрены специфика и связь меж-

ду отказами аппаратных и программных средств Обосновано создание новых моделей и стратегий процессов восстановления (с их оптимизацией) при эксплуатации ИВС для различных законов распределения случайных наработок до отказов с математическим и программным обеспечением для решения возникающих задач. Приведенный анализ подтвердил актуальность и целесообразность исследования и позволил обосновать задачи диссертации.

Рисунок 1 - Структура взаимодействия в ИВС, где----отказы,-------

профилактики

Во второй главе Процессы восстановления при отказах информационно-вычислительных систем рассмотрены процессы восстановления при отказах ИВС.

В 2.1 Процессы восстановления. Функция восстановления приведены необходимые сведения по процессам восстановления и функции восстановления - математическому ожиданию числа отказов на промежутке от О до t.

В теории надежности простым (обычным) процессом восстановления называется последовательность неотрицательных взаимно независимых случайных величин Хп, имеющих одну и ту же функцию распределения F(t). Если же функция распределения первой случайной величины Х[ имеет распределение, отличное от F(t), то имеем общий (запаздывающий) процесс восстановления.

После каждого отказа элемент восстанавливается. Случайные величины Х„ — наработки элемента от п — 1 до n-го отказа. Здесь предполагается, что после каждого отказа проводятся полные восстановления (с одной и той же функцией распределения наработок), которые происходят мгновенно или за

пренебрежимо малое время.

Если N(t) - число отказов за время от 0 до t, то

P{N(t) = п) = F<n\t) - F(n+1>(i),

где F^{t) — n-кратная свертка функций распределения Fi, F2,..., Fn.

t

F™(t) = Fi(t), F&(t) = (Ft * F2)(t) = J F\(t - x)dF2(x),

0

F("»(t) = (F<n-1> * Fn)(t).

Важную роль в теории надежности и ее приложениях имеет функция восстановления H(t) — математическое ожидание числа отказов за время от О до t.

H(t) = M(N{t)).

Предположение о равенстве функций распределения ограничивает сферу приложений теории восстановления. Так, если при отказе аппаратного средства он заменяется на новый с той же функцией распределения, то изменение внешней среды и характеристик других элементов, взаимодействующих с ним, могут привести к изменению параметров функции распределения или даже к изменению самой функции распределения.

В случае программного обеспечения, исправление даже одной ошибки после отказа может сделать программу совершенно другой.

В 2.2 Общий процесс восстановления порядка (ki,k2) применительно к отказам ИВС вводится процесс восстановления, обобщающий известные процессы восстановления в теории надежности.

Назовем процесс восстановления общим процессом восстановления порядка (ki, к2), если функции распределения времени наработки на отказ при каждом восстановлении удовлетворяют условию

F,(t) = Fj(t) при t = j (mod k2), i,j > h-

Последовательность функций распределения для случая (2,2) имеет вид

iii F2, F3, F2, Fz, F2, F3,...

Это соответствует, например, случаю, когда альтернирующий процесс восстановления (учитывается и случайное время восстановления) начинается только после первого отказа. В общем же случае подбором величин кi и к2 можно моделировать процессы восстановления аппаратных и программных средств ИВС в период их эксплуатации.

Для введенного процесса восстановления в работе получено интегральное уравнение для функции восстановления H{t) :

H{t) = G[t) + f H(t - х)йфЫ(х), J о

ki+k2-2 Jt,-2

G(i)= £ + при ki > 2,

71=1 П=1

k,

= при к1 < 2.

n=l

= * Fh+l *...* Fkl+ki_{){t),

Получено интегральное представление функции восстановления через функции восстановления более простых моделей процессов восстановления

*i-i rt

H(t) = Y1 Р(П)М + / ~ x)dF^(z),

где Н- функция восстановления процесса порядка (l.fca), задаваемая функциями распределения, начиная с номера к\ :

кг

HQkiit) = ^Г#Ф(п)Ф№>(г).

п=1

Функции можно находить, либо используя представление

Яф(">ф<**)(*) = $W(i) + р Яф (*»>(* _

J0

решая для функции интегральное уравнение

J о

либо сразу решая интегральное уравнение

Яф(")ф^)(<) = Ф<">(*) + Р ЯФ(п)Ф№)(* - аО^Ч*)-

Jo

Выведено и другое представление: ¿1-1 кг

H(t) = Y1 р{п)№ + 2(ф(° * F{kl~1])(t)+

кг ~t

+ V / Я- ®)d(«W *

»=1 Л

Для процесса восстановления порядка (2,2), если наработки распределены по экспоненциальному закону, функция восстановления H(t) найдена в явном виде.

Fn(t) = 1 - е-*"4, а„ > 0.

Ж*) = + (1 + afa2 ~ ^ - 7-^г-)(1 - е-«**"*)

«2 + аз (а2 + аз) («2 + аз)а1

аЫ*2-а з) (e_tt,t_e_(tta+tt3)t) +

(а2 + аз) («2 + а3 - а^)4

Я(4) = (^Н^ - а2(а2-аз)с-(а,+а,^ | а2 + а3 а2 + а3

+ а2(2а2 + аз) (a2+a3) = +

(а2 + а3 У

Элементы ИБС, как правило, имеют большие времена средних наработок на отказ. В связи с этим, важное значение имеет асимптотическое поведение функции восстановления, которое позволяет оценивать и прогнозировать среднее число отказов при большом времени эксплуатации.

В 2.3 Асимптотическое поведение функции восстановления получено поведение функции восстановления при больших значениях переменной t.

шт) - - „ -. + - „Ь ■- ± £ ¿««),

где (г = 1,..., k-i) случайные величины, задающие периодическую (повторяющуюся) часть процесса восстановления порядка (fcj, fc2),

Aj íj-l fea

«=i i=i t=i

Формула обобщает известную теорему об асимптотическом поведении функции восстановления для простого процесса восстановления в математической теории надежности.

В интегральное уравнение для нахождения функции восстановления входят свертки функций распределения случайных величин, задающих процесс восстановления. Через свертки выражается и количество отказов в процессе восстановления.

В 2.4 Представление п—кратных сверток функций распределения в виде кратных рядов получено представление сверток любого порядка в виде кратных рядов.

Пусть функции распределения разлагаются в функциональные ряды:

= г>1.

з=о

Тогда

п*=0

пк = (пипг,...,пк), с£1=

»=1

= (/£:1} * дою. /£>(*) = л,», ю,

оо ОО 00 оо

XI 4? = Ц X! - И ^сащ-с*«».

пл=0 П1=0 П2=0 »Н=0

Показано, что для большинства законов распределения, встречающихся в теории надежности,

= А > о,

Так,

• для экспоненциального распределения Д = 1, а,- — 0;

• для распределения Вейбулла - Гнеденко аг = 0;

• для Гамма-распределения Д = 1, а* = а* + 1;

• для распределения Рэлея Д = 2, аг,- = 2;

• для распределения Максвелла Д = 2, а, = 3. Для рассматриваемого случая получена формула

ПГ(Дп, + сч + 1)

Г((Ь*,п*) + |5*| + 1) где Г(х) — Гамма-функция,

к к

ьк = {01,02,Дь), (Ьк,пк) = ы = оч.

1=1 ¡=1

Выведенные формулы для сверток поволили получить представления функции восстановления в виде рядов для указанных ниже моделей процессов восстановления, путем решения соответствующих интегральных уравнений или использования ее представления через функции восстановления более простых моделей:

• для процессов восстановления порядка (к, 1), (1, к), если наработки распределены по закону Вейбулла — Гнеденко,

• для процесса восстановления прядка (1,1), если наработки распределены по закону Максвелла.

Так,

• для процесса восстановления порядка (1,1) при распределении Максвелла

оо оо

с1 = с2 = в1 = о,

1

Ск = Г(2* + 1) Л г{2к ~ 2№®Вк-1> к>2> ** - (-^(2* - В(* - 2)! + Г(Щ к > 2,

Р() ( ' 1)! '

• для процесса восстановления порядка (2,1), если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко

+ У" У\ 1)г+"-2 42)Г(Ап + 1)

^п^гГ(Ап + /32Г + 1)П!

1=1

ВД + 1)

Также получены представления для среднего числа отказов и среднего числа восстановлений альтернирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановлений распределены либо по экспоненциальному закону, либо по закону Вейбулла - Гнеденко.

В третьей главе Стратегии восстановления при эксплуатации и их оптимизация рассмотрены задачи оптимальной эксплуатация аппаратных и программных средств ИБС, в которых основным моментом является проведение наряду с аварийными профилактических восстановлений.

В 3.1 Основные стратегии восстановления представлены три критерия оптимальности рассматриваемых стратегий восстановления:

• коэффицитент готовности;

• средние эксилауатационные затраты на восстановления в единицу времени (интенсивность затрат на восстановление);

• математическое ожидание числа отказов (в случае проведения только

аварийных восстановлений).

В математической теории надежности рассматриваются три основные модели стратегий восстановления и предполагается, что все восстановления - полные.

Стратегия Са. Проводятся только аварийные восстановления.

Стратегия Сь- В случае отказа система подвергается аварийному восстановлению, и независимо от возраста в фиксированные моменты времени т, 2т,... планомерно проводятся профилактические восстановления.

Стратегия Сс. В случае отказа система подвергается аварийному восстановлению. Если она проработала без отказов заданный интервал т, то проводится профилактическое восстановление.

В стоимость аварийных восстановлений следует включать и затраты, связанные с ущербом в результате отказов.

Задача состоит в нахождении для каждой стратегии величин т, при которых интенсивность затрат принимает наименьшее значение, коэффициент готовности - наибольшее значение, а затем в сравнении этих стратегий по критериям оптимальности.

Для построения математических моделей стратегий восстановления программных и аппаратных средств требуется отказаться от возможности проведения полных восстановлений.

В 3.2 Обобщенная стратегия Сс рассмотрена ситуация, когда функции распределения наработок элементов до отказа после аварийных и профилактических воссталовлений не совпадают (восстановления не обязательно полные).

Пусть при каждом аварийном восстановлении элемент восстанавливается с функцией распределения наработки до отказа F„(t), а при каждом профилактическом восстановлении - с функцией распределения наработки Fpr(t). Элемент начинает работу с функцией распределения Fa(t). Причем не обязательно Fa(t) = F^it). Пусть са, Cpr ~ средние эксплуатационные затраты на аварийное и профилактическое восстановления соответственно при данной стратегии замен.

Для этого случая получена формула интенсивности эксплуатационных затрат:

ч _ саРрг(т) /J Fa(t)dt + СрРа(т) for Fpr(t)dt 4r)raFa{t)dt

Ф(т) - FpriT) Г Fa(t)dt + Ра(т) Г Fw{t)dt.

Jo J о

В 3.2.1 Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок решена задача минимизации интенсивности эксплуатационных затрат.

Пусть наработки после аварийного и профилактического восстановления распределены по экспоненциальному закону:

Fa{t) = 1 - exp(-at), Fpr(t) = 1 - exp(-pt).

Доказано, что при условии

\ + ц<1, A = i,

Са а

существует оптимальные время проведения профилактических восстановлений и выгоднее проводить обобщенную стратегию Сс с профилактикой, чем стратегию только аварийных восстановлений, когда профилактика не проводится.

Моменты т* проведения профилактических восстановлений определяются по формулам

г'=- jfîb)'-при

Известно, что стратегия Сс в случае простого процесса восстановления при экспоненциальном распределении, если профилактические и аварийные

восстановления полные, хуже стратегии аварийных восстановлений по критерию интенсивности затрат. Для разъяснения этого факта рассмотрена стратегия Сс при распределении Эрланга порядка тг, частным случаем которого является экспоненциальное распределение.

В 3.3 Стратегия Сс при распределении Эрланга показано, что при выполнении условия

с<1-~,

П Ca

существует оптимальное время проведения профилактических восстановлений и выгоднее проводить рассматриваемую стратегию с профилактикой, чем стратегию только аварийных восстановлений.

В 3.4 Стратегия Сь при общем процессе восстановления порядка (ki, ki) предложено обобщение стратегии Сь на введенный процесс восстановления порядка {ki, к?).

Предположим, что аварийные восстановления образуют процесс восстановления порядка (fei, £2), а после каждого профилактического восстановления заново начинается рассматриваемый процесс восстановления То есть, в результате каждой профилактики, независимо от того, сколько произошло перед этим аварийных восстановлений, элемент восстанавливается с функцией распределения F\(t), а далее продолжается процесс восстановления порядка (fcb fc2).

Показано, что интенсивность эксплуатационных затрат Еь(т) выражается той же формулой, что и для простого процесса восстановления, в которой H{t) - функция восстановления процесса восстановлния порядка (fci,^)-

ад =

т

где Ьа, ЬР средние затраты на аварийное и профилактическое восстановления соответствен но.

Используя формулу асимптотического поведения функции восстановления, выведена формула интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии только аварийных восстановлений.

На — Ьа—. th

В 3.4.1 Стратегия Сь для процесса восстановления порядка (fc, 1) при экспоненциальном распределении наработок рассмотрена задача минимизации интенсивности эксплуатационных затрат.

Пусть

F„(t) - 1 - ап = ак при п > к, а, ^ а} при i ф j, i,j < к.

На параметры модели получено условие, при котором существует оптимальное время проведения профилактических восстановлений:

В 3.4.2 подробно рассмотрен случай (2,1).

В 3.4.3 Стратегия С/, для простого процесса восстановления при распределении Эрланга показано, что при

существует оптимальное время проведения профилактических восстановлений.

Полученные условия существования оптимального времени проведения профилактических восстановлений позволяют выбирать из стратегий Сс, Съ и Са оптимальную.

Одним из важнейших критериев надежности работы любой системы является значение коэффициента готовности.

В 3.4.4 Коэффициент готовности стратегии Сс при распределении Эрланга показано, что при выполнении условия

где ¿а, ¿р - время на проведение аврийного и профилактического восстановления соответственно, существует оптимальное время проведения профилактических восстановлений, и коэффициент готовности больше, чем коэффициент готовности при стратегии только аварийных восстановлений.

Пусть даны две группы функций распределения

задающиие общий процесс восстановления порядка (ку, к2). По определению, функция восстановления #(£) зависит от порядка записи функций распределения в каждой группе.

В 3.5 Оптимизация порядка замен при общем процессе восста^-новления порядка к2) рассмотрена задача определения порядка записи функций распределения в каждой группе для достижения наименьшего среднего количества отказов на фиксированном промежутке времени от 0 до <. При простом переборе требуется рассмотреть (кг — 1)!Агг! вариантов.

Для случая, когда все рассматриваемые случайные величины (наработки) распределены по экспоненциальному закону, доказано, что среднее количество отказов будет наименьшим, если заменять элементы (в случае их отказов) в порядке неубывания их интенсивностей отказов (невозрастания их средних наработок). Численные эксперименты на созданном программном комплексе показали, что этот результат для общего случая несправедлив.

Четвертая глава Алгоритмы и программное обеспечение для нахождения функции восстановления и оптимизации стратегий восстановления посвящена созданию алгоритмов и программного обеспечения для решения рассмотренных в работе задач.

В 4 1 Представления функции восстановления и интегральные уравнения для функции восстановления рассматриваются методы нахождения функции восстановления.

В общем случае функцию восстановления можно находить по определению в виде суммы ряда из сверток функций распределения, определяющих процесс восстановления:

□о п=1

Здесь имеется проблема как вычисления сверток любого порядка, так и вычисления самой суммы ряда из сверток.

Другими возможностями нахождения функции восстановления являются выведенные интегральные представления или решение соответствующих интегральных уравнений. Рассматриваемые интегральные уравнения являются интегральными уравнениями Вольтерра второго рода с разностным ядром.

Одним из методов решения таких уравнений является метод преобразования Лапласа или Лапласа - Стилтьеса. Этот метод эффективен лишь для моделей с экспоненциальными распределениями. Для других распределений возникают значительные сложности при вычислении как прямых, так и обратных преобразований.

Можно находить приближенное решение интегральных уравнений, используя различные численные методы. Во всех случаях требуется разработка методов вычисленния, входящих в интегральные уравнения сверток различных порядков от функций распределения.

В 4.2 Квадратурные формулы для вычисления сверток функций распределения любого порядка получены квадратурные формулы

для приближенного вычисления сверток и их первых производных:

О,

г-г+2

h £ F^)\h{i-j))F'T{h3),

h £ F*-V(h{i-j))K<&)

О,

г > г — 1.

i < г — 1

i > г.

г < г

= г/г, к = Т/п, » = 1,2,... ,п. О < 4 < Т.

В 4.3 Решение интегрального уравнения для функции восстановления общего процесса восстановления порядка (¿1,^2) методом конечных сумм, применив формулы для приближенного вычисления сверток и их производных, получили формулы и разработали алгоритмы для приближенного решения интегрального уравнения для функции восстановления общего процесса восстановления порядка к2) :

В 4.4 Программный комплекс для нахождения функции восстановления и решения оптимизационных задач описывается работа программного комплекса, разработанного в среде С++ Builder, для решения следующих задач:

• нахождение функции восстановления для процесса восстановления порядка (к\, fc2) с наработками, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденко при

• оптимизация стратегии Съ по минимуму интенсивности эксплуатационных затрат при процессе восстановления порядка к2) с наработками, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденко при /? > 1;

• оптимизация стратегии Сс по минимуму интенсивности эксплуатационных затрат при простом процессе восстановления с наработками, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденко при /3 > 1.

¿-1

#(<*) — G(tt) + h при г > fo — 1

j=fci-i

H(t.) = G{ti), при i<k2- 1.

/8>1;

В оптимизационных задачах рассчитывается оптимальное время проведения профилактических восстановлений с соответствующим оптимальным значением интенсивности эксплуатационных затрат.

Программный комплекс можно использовать также для решения следующих задач.

• определение порядка замен общего процесса восстановления порядка

кч) для минимизации среднего числа отказов;

• определение порядка замен для оптимизации стратегии восстановления Сь\

• выбор оптимальной стратегии из стратегий Са, Сь, Сс.

В 4.5 Решение оптимизационных задач приведены численные эксперименты по решению конкретных задач нахождения функции восстановления и оптимизации стратегий восстановления:

• оптимизация стратегии Сс по критериям интенсивности затрат и коэффициенту готовности при распределениии Эрланга второго порядка и Вейбулла - Гнеденко;

• выбор оптимальной стратегии из стратегий Са, Сс, Сь; по критерию интенсивности затрат при распределении Вейбулла - Гнеденко;

• определение порядка замен процесса восстановления порядка (3.1) для минимизации среднего числа отказов и минимизации интенсивности затрат для стратегии Сь, если первые две наработки имеют распределение Вейбулла - Гнеденко, а все следующие имеют экспоненциальное распределение.

Результаты численных экспериментов показали, что проведение оптимальных профилактических восстановлений значительно увеличивает показатели надежности и эффективности работы ИВС (увеличивается среднее время между аварийными восстановлениями и уменьшаются эксплуатационные расходы)

Так, оптимизация стратегии Сс при распределении Эрланга порядка 2 со средней наработкой 100000 часов, если аварийные восстановления требуют 48 часов, профилактические - 1 час, показала, что, если не проводить профилактические восстановления, коэффициент готовности равен 0.99952, а если проводить профилактические восстановления через 11936 часов после отказов, то среднее время между отказами 486227 часов. Коэффициент готовности в этом случае равен 0.99982.

В Приложении приведены таблицы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности затрат в зависимости от основных параметров, задающих стратегию восстановления, для:

• обобщенной стратегии Сс при экспоненциальном распределении;

• стратегий Сь процесса восстановления порядка (2,1) при экпоненциаль-ном распределении.

Основные результаты работы

1. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эр-ланга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщенной стратегии Сс при экспоненциальном распределении наработок.

2. Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИВС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптотическое поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для ИВС.

3. Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат при экспоненциальном распределении наработок.

4. Получены представления функции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном распределении, распределении Эрланга,распределении Вейбулла - Гнеденко и рас-

пределении Максвелла. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до

5. Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность значительно увеличить показатели надежности и эффективности ИВС.

Результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Вайнштейн, В. И. Математическая модель надежности эксплуатации программного обеспечения / В. И. Вайнштейн // Тезисы докладов Межвузовской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии". - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. - С. 4-6.

2. Вайнштейн, В. И. Об одной модели процесса восстановления в теории надежности / В. И. Вайнштейн // Материалы межвузовской конференции "Информатика и информационные технологии". - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. - С. 8-12.

3. Вайнштейн, И. И. О моделях процессов восстановления в теории надежности / И. И. Вайнштейн, В. И. Вайнштейн, Е. А. Вейсов // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - Вып. 6. - С. 78-84.

4. Вайнштейн, В. И. Стратегия восстановления блоками в техническом обслуживании при экспоненциальном распределении наработок элементов / В. И. Вайнштейн // Вестник Красноярского государственного технического университета: сб. науч. тр. / ред. Г. М. Цибульский. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004,- Вып. 33. - С. 9-12.

5. Вайнштейн, В. И. Стратегии планового и аварийного восстановления электрооборудования / В. И. Вайнштейн, Т. Н. Сизова // Тезисы докладов 10 юбилейной международной научно-технической конференции "Современная техника и технология". - Томск: 2004. - С. 52-53.

6. Вайнштейн, В. И. Нахождение функции восстановления для некоторых моделей процессов процессов восстановления / В. И. Вайнштейн // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. -Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 13-25.

7. Вайнштейн, В. И. Стратегия восстановления в зависимости от возраста и ее оптимизация по интенсивности затрат при экспоненциальном распределении наработок / В. И. Вайнштейн // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. -= Вып. 8. - С. 26-33.

8. Вайнштейн, В. И. Организация защиты информации в Красноярском краевом фонде обязательного медицинского страхования / В. И. Вайнштейн // Труды всероссийской конференции "Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и обязательном медицинском страховании". - Красноярск- КМИАЦ, 2004. - С. 298-307.

9. Вайнштейн, В. И. Представление п—кратных сверток функций распределения в виде рядов и нахождение функции восстановления для некоторых моделей процессов восстановления / В. И. Вайнштейн // Электронный журнал "Исследовано в России", - 2005. - №44. - С.486-498.

10. Вайнштейн, В. И. Организация и перспективы развития системы информационной безопасности в Красноярском краевом фонде обязательного медицинского страхования / В. И. Вайнштейн // Проблемы информатизации региона: материалы девятой всероссийской научно-практической конференции. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005. - Т.1. - С. 201-208.

11. Вайнштейн, В. И. Оптимизации стратегий восстановления при работе ИБС / В. И. Вайнштейн, О. О. Шмидт // Тезисы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации", Нов-ск. гос. техн. ун-т, - Новосибирск: 2005. - С. 21-23.

12. Вайнштейн, В. И. Численное нахождение функции восстановления для одной модели процесса восстановления / В. И. Вайнштейн, Е. А.Вейсов, О. О Шмидт // Вычислительные технологии. - Новосибирск. - 2005. - №10. - С. 4-9.

Вайнштейн Виталий Исаакович Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем. Афторефер. дисс на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Подписано в печать 7.03.2006. Заказ №«5&8. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Типография Красноярского государственного технического университета.

I ¡

к

I

6 93 4

Введение

1 Анализ надежности информационно-вычислительных систем в процессе эксплуатации

1.1 Структура взаимодействия и отказы в информационно-вычислительных системах.1G

1.2 Отказы и надежность аппаратных средств.

1.3 Отказы и надежность программных средств.

1.4 Профилактические восстановления и стратегии восстановления при эксплуатации информационно-вычислительных систем

2 Процессы восстановления при отказах информационновычислительных систем

2.1 Процессы восстановления. Функция восстановления. 2.2 Общий процесс восстановления порядка применительно к отказам информационно-вычислительных систем и ее элементов.■.

2.3 Асимптотическое поведение функции восстановления процесса восстановления порядка (fci,/^).

2.4 Представление n-кратных сверток функций распределения в виде кратных рядов.

2.4.1 Представление сверток функций распределения в виде кратных рядов.

2.5 Функция восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.6 Функция восстановления периодического процесса восстановления k-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.7 Функция восстановления общего процесса восстановления 2-го порядка, если наработки Xi,X2 распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.8 Функция восстановления общего процесса восстановления 2-го порядка, если наработка Х\ распределена по закону Вейбулла - Гнеденко, а наработка Хч распределена по экспоненциальному закону

2.9 Функция восстановления простого процесса восстановления, если наработки распределены по закону Максвелла.

2.10 Функции восстановления Ho(t) и H\(t) альтернирующего процесса восстановления при экспоненциальном распределении

2.11 Функции восстановления Ho(t) и H\{t) альтернатирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановления распределены по законам Вейбулла - Гнеденко

Стратегии восстановления при эксплуатации и их оптимизация

3.1 Основные стратегии восстановления.

3.2 Обобщенная стратегия Сс.

1 3.2.1 Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок.

3.3 Стратегия Сс при распределении Эрланга ' порядка п.

3.4 Стратегия Сь при общем процессе восстановления порядка к!,к2).

3.4.1 Стратегия Сь процесса восстановления к—то порядка при экспоненциальном распределении наработок

3.4.2 Стратегия Сь для общего процесса восстановления второго порядка при экспоненциальном распределении наработок .•.

3.4.3 Стратегия Сь для простого процесса восстановления при распределении Эрланга порядка п

3.5 Коэффициент готовности у стратегии Сс при распределении Эрланга порядка п.

3.6 Оптимизация порядка замен при общем процессе востанов-лении порядка (к\, к2).

4 Алгоритмы и программное обеспечение для нахождения функции восстановления и оптимизации стратегий восста-^ новления

4.1 Представления функции восстановления и интегральные уравнения для функции восстановления.

4.2 Квадратурные формулы для вычиследения сверток функций распределения любого порядка.

4.3 Решение интегрального уравнения для функции восстановления общего процесса восстановления порядка [к\, А^) методом конечных сумм.

4.4 Программный комплекс для нахождения функции восстановления процессов восстановления порядка (fci, £2) методом конечных сумм и оптимизации стратегий восстановления

4.5 Численные эксперименты по решению оптимизационных задач

Актуальность исследования Современные информационно-вычислительные системы (ИБС) - отдельные, локальные, распределенные - представляют собой комплекс программных и аппаратных средств, предназначенных для решения задач, связанных со сбором, хранением, обработкой и передачей информации.

Проблема обеспечения высокой надежности и эффективности работы информационно-вычислительных систем является одной из ключевых в развитии научно-технического, социально-экономического прогресса. Это обусловлено особой значимостью решаемых с помощью ИБС задач ( ошибка в единственном операторе программы на Фортране привела к неудаче при первом запуске американского исследовательского коробля на Венеру [1, 2]; ростом интенсивности режимов работы систем в условиях повышенных требований к качеству их функционирования; повышением ответственности функций выполняемых системами; автоматизацией процессов, исключающих непрерывное наблюдение и контроль функционирования системы.

В настоящее время эта проблема становится более значимой. Это связано с глобальным распространением ИВС, с большой скоростью изменения самих ИВС, значительным технологическим отрывом от уже устоявшихся технологий, эксплуатацией ИВС в системах с большим временем эксплуатации, а также с экономическими, человеческими и даже моральными факторами. Проблемы информационной безопасности, которые возникают при эксплуатации ИБС у большинства развитых стран, в настоящее время сопоставимы с проблемами их экономической, военной и экологической безопасности. Особо негативную роль имеют отказы, связанные с потерей информации.

Надежность ИБС в первую очередь определяется отказами программных и аппаратных средств. Большие показатели надежности в работе ИБС достигаются применением высокопадежных аппаратных средств, многократной системой дублирования и резервирования, введением для программного обеспечения временной, программной и информационной избыточности.

Но и эти дорогостоящие методы и технологии не приводят к отсутствию отказов в работе ИБС.

Отказы ИБС в основном имеют случайный характер и могут произойти при эксплуатации в любой момент и в любом узле информационно-вычислительной системы. В связи с этим особую роль приобретают методы повышения показателей надежности и эффективности работы ИБС в период эксплуатации.

Учитывая специфику задач, решаемых информационно-вычислительными системами, важными показателями (критериями) являются:

• интенсивность эксплуатационных затрат (с учетом затрат па возмещение ущерба при отказе ИБС);

• коэффициент готовности, т. е. вероятность того, что элемент окажется в работоспособном состоянии в произвольно выбранный момент времени в установившемся (стационарном) процессе эксплуатации, или как доля времени, в котором элемент находится в работоспособном состоянии;

• математическое ожидание числа отказов в процессе восстановления.

Одной из возможностью повышения показателей надежности и эффективности является проведение оптимальных стратегий эксплуатации, в которых основное значение принадлежит проведению профилактических работ (восстановлений) в оптимальные проомежутки времени.

Определение эксплуатационной надежности и эффективности при проведении аварийных и профилактических восстановлений требует совместного рассмотрения надежности аппаратных и программных средств с учетом их функциональных различий, внешних воздействий и человеческого фактора.

Это в первую очередь приводит к необходимости рассмотрения моделей процессов восстановления и стратегий эксплуатации с изменяющимися функциями распределения наработок на отказ.

Таким образом, проблема надежности и эффективности при эксплуатации ИБС приводит к актуальной задаче разработки математического и программного обеспечения для решения задач по выбору стратегии эксплуатации с оптимальным временем проведения профилактических работ.

Цель диссертационной работы - создание модулей математического и программного обеспечения, способствующих повышению коэффициента готовности, снижению среднего числа отказов и интенсивности эксплуатационных затрат.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

• разработка математического и программного обеспечения для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатациии на основе модели процесса восстановления программных и аппаратных средств, учитывающей изменение функций распределения их наработок;

• разработка моделей стратегий проведения профилактических работ с получением формул, определяющих интенсивности эксплуатационных затрат в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений;

• определение условий применимости моделей стратегий эксплуатации программных и аппаратных средств с проведением профилактических восстановлений;

Основные научные результаты.

1. Разработано программное и математическое обеспечение для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств ИБС и обоснованы математические модели процессов востановления и стратегий эксплуатации, позволяющие определять интенсивность эксплуатационных затрат и математическое ожидание числа отказов в период эксплуатации.

2. Получены условия применимости стратегий эксплуатации с проведением профилактических работ для наработок, имеющих экспоненциальное и Эрланга распределения.

3. Получено представление функции восстановления в виде рядов для различных моделей процессов восстановления для экспоненциального, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко, Максвелла распределений и разработаны численные методы решения интегрального уравнения для нахождения функции восстановления, которые позволили создать алгоритмы и программное обеспечение для выбора оптимальной стратегии эксплуатации.

Практическая значимость. Предложенные модели могут быть использованы для выбора оптимальных стратегий эксплуатации ИВС по критериям интенсивности эксплуатационных затрат, коэффиценту готовности и среднему числу отказов. Созданный программный комплекс позволяет решать задачи по нахождению оптимального времени проведения профилактических восстановлений и выбору оптимальной стратегии эксплуатации для экспоненциального распределения, распределения Эрланга любого порядка и распределения Вейбулла - Гнеденко.

Результаты диссертационной работы по оптимизации стратегий эксплуатации используются в работе ИВЦ КГТУ.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации определены учетом особенности работы элементов ИВС, корректным применением математических методов при решении рассматриваемых задач, сравнением результатов расчетов с известными в литературе данными.

Методика исследования. В диссертационной работе использованы методы математической теории надежности, теория процессов восстановления, численные и аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра, программирование в среде С++ Builder. Положения, выносимые на защиту.

1. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эрланга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщенной стратегии Сс при экспоненциальном распределениии наработок.

2. Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИБС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптотическое поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для ИБС.

3. Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат.

4. Получены представления функции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко и Максвелла распределениях. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до t.

5. Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность увеличить показатели надежности и эффективности ИВС.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты работы докладывались на межвузовских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии"(Красноярск, 2001 и 2002 г.г.), десятой юбилейной международной научно-технической конференции "Современная техника и технология"(Томск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и ОМС"(Красноярск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Проблемы информатизации региона"(Красноярск, 2005 г.), Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации "(Новосибирск, 2005 г.), на научных семинарах кафедр "Прикладная математика", "Вычислительная техника"(КГТУ, 2005 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них б статей (две статьи в центральной печати). Из работ [3, 5, 11, 12], написанных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения,списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено на 145 страницах текста, содержит 20 рисунков, 5 таблиц. Список использованных источников включает 91 наименование.

Основные результаты работы

1. Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИВС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптоточеское поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для

ИВС.

2. Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат.

3. Получены представления п— кратных сверток функций распределения и фунукции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном, Эрланга, Вейбулла - Гне-денко и Максвелла распределениях. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до t.

4. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эрланга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщенной стратегии Сс при экспоненциальных распределениях.

5. Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность значительно увеличить показатели надежности и эффективности ИБС.

Заключение

1. Липаев, В. В. Надежность программных средств / В. В. Липаев. - М.: СИНТЕГ, 1998. - 232 с.

2. Майерс, В. Надежность программного обеспечения / В. Майерс, пер с англ. М.: Мир, 1980. - 360 с.

3. Авижиеенис А. А. Отказоустойчивость свойство обеспечивающее постоянную работоспособность цифровых систем // ТИИЭР. 1978. -Т.65. - №10. - С.67-80.

4. Иыуду, К. А. Надежность контроль и диагностика вычислительных машин и систем / К. А. Иыуду. М.: Высшая школа, 1989. - 216 с.

5. Погоребинский, С. Б. Проектирование и надежность многопроцессорных ЭВМ / С. Б. Погребинский, Б. П. Стрельников. М.: Радио и связь, 1988. - 167 с.

6. Гост 27.002-89. Надежность и эффективность в технике. Термины и определения. М.: Энергия, 1979.

7. Надежность и эффективность в технике. Справочник. В 10 т.Т 1. Методология, организация, терминология. // М.: Машиностроение, 1986. 224 с.

8. Бреунер, Е. Н. Эргономика и психология восприятия программных средств / Е. Н. Бреунер, пер.с англ. Чита: 2002. - 159 с.

9. Константин, JI. J1. Человеческий фактор в программировании / Jl. J1. Константин, пер. с англ. М.: Символ-Плюс, 2004. - 382 с.

10. Адамчук, В. В. Эргономика / В. В. Адамчук, Т. П. Варна, В. В. Воротникова и др. М.: Юнити-Дана, - 1996. - 253 с.

11. И. Анохин, А. Н. Анализ деятельности оператора: модели и методы. Учебное пособие / А. Н. Анохин. Обнинск: ИАТЭ, 1992. - 88 с.

12. Анохин, А. Н. Вопросы эргономики в ядерной энергетике / А. Н. Анохин, В. А. Острожейкин. М.: Энергоатомиздат, 2001. - 344 с.

13. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности / Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. М.: Наука,1965. - 524 с.

14. Барзилович, Е. Ю. Вопросы математической надежностии / Е. М. Барзилович, Ю. К. Беляев, В. А. Каштанов и др. М.: Радио и связь, 1983. - 376 с.

15. Гадасин, В. А. Надежность сложных информационно-управляющих систем / В. А. Гадасин, И. А. Ушаков. М.: Советское радио, 1975. -192 с.

16. Справочник. Надежность технических систем. М.: Радио и сязь, 1985 606 с.

17. Северцев, Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке. / Н. А. Северцев. М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.

18. Кокс, Д. . Теория восстановления / Д. Кокс, В. Смит. пер. с англ. -М.: Сов. Радио, 1967. 292 с.

19. Барлоу, Р. Математическая теория надежности / Р. Барлоу, Ф. Про-шан. пер. с англ. М.: Советское радио, 1969. - 468 с.

20. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / Ф. Байхельт, П. Франкен. пер. с англ. М.: Радио и связь. - 1988. - 392 с.

21. Каштанов, В. А. Теория надежности сложных систем, (теория и практика) / В. А. Каштанов, А. И. Медведев. 2004. - 470 с.

22. Ушаков, И. А. Вероятностные методы надежности информационно вычислительных систем / И. А. Ушаков. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 132 с.

23. Острожейкин, В. А. Теория надежности. / В. А. Острожейкин. М.: Высшая школа, 2003. - 463 с.

24. Smith, W. I. On the renewal function for the Weibull distribution / W. I. Smith, M. R. Leadbetter //Technometrics 5. 1963. - p.p. 393-396.

25. Lomnicki, Z. A. A note on the Weibull renewal process / Z. A. Lomnicki // Biometrica 53. 1966. - C. 375-381.

26. Beckmann, G. Instannhaltung von Anlagen / G. Beckmann, A. Marx // VEB Deutscher Verlag fur Grund-stoffindustrie. Leipzig.: - 1979.

27. Вайнштейн, И. И. Об одной модели процесса восстановления / И. И. Вайнштейн, Н. Ф. Булгаков; Красноярский политехнический институт. Красноярск,1991. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.09.91, №3613.

28. Вайнштейн, И. И. Асимптотика одной модели процесса восстановления / И. И. Вайнштейн; Красноярский политехнический институт. -Красноярск, 1992. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.04.92 №1228.

29. Вайнштейн, И. И. Прикладная иатематика. Сборник индивидуальных заданий / И. И. Вайнштейн. Часть 1.- Красноярск: 1993. - 139 с.

30. Вайнштейн, И. И. Функция восстановления для одной модели процесса восстановления при экспоненциальном распределении наработок / И. И. Вайнштейн; Красноярский политехнический институт. Красноярск, 1991. - 8 с. - Деп.в ВИНИТИ 03.09.91 №3613.

31. Вайнштейн, И. И. Две модели процесса восстановления и их асимптотика / И. И. Вайнштейн

32. Вестник Красноярского технического университета. Красноярск: КГ-ТУ. 1996. С. 85-91.

33. Беляев, Ю. К. Вычисление нижней доверительной границы для еро-ятности безотказной работы сложных систем. / Ю. К. Беляев, Е. Н. Дулина, Е. В. Чепурин //4.1, Изв. АНСССР, Техническая кибернетика. 1967. - т. - С. 52-69.

34. Беляев, Ю. К. Вычисление нижней доверительной границы для вероятности безотказной работы сложных систем / Ю. К. Беляев, Е. Н. Дулина, Е. В. Чепурин // 4.2, Изв. АНСССР, Техническая кибернетика. 1967. - т. - С. 63-78.

35. Ширяева, Т. А. Оценка скорости сходимости к центральной предельной теореме для непрерывных случайных полей / Т. А. Ширяева //Сб.: Математические системы. Красноярск:изд-во КГАУ, 2000. -С. 43-47.

36. Ширяева, Т. А. О точности апроксимации распределений сумм независимых ценральных полей распределением Гауссовского поля / Т. А. Ширяева // Сб.II, Всероссийский конгресс женщин-математиков. Красноярск: КГУ, 2002. С. 167-171.

37. Гласс, Р. Руководство по надежному программированию / Р. Гласс. пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1982. - 256 с.

38. Липаев, В. В. Надежность программного обеспечения АСУ / В. П. Липаев. М.: Энергоиздат, 1981. - 240 с.

39. Тайер, Т. Надежность программного обеспечения / Т. Тайер, М. Ли-пов, Э. Нельсон, пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 325 с.

40. Канер, С. Тестирование программного обеспечения / С. Канер, Д. Фолк, Нгуен Енг Кек. пер. с англ. М.: Dia Soft, 2001. - 543 с.

41. Шураков, В. В. Надежность программного обеспечения систем обработки данных / В. В. Шураков. М.: Статистика, 1987. - 272 с.

42. Калянов, Г. Н. CASE-структурный системный анализ (автоматизация и применение) / Г. Н. Калянов. М.: Изд. ЛОРИ, 1996. - 242 с.

43. Калянов, Г. Н. CASE-технология проектирования программного обеспечения / Г. Н. Калянов // Кибернентика и системный анализ. 1993. №5-С. 152-164.

44. Боэм, Б. У. Инженерное проектирование программного обеспечения / Б. У. Боэм. пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 512 с.

45. Гласс, Р. Сопровождение программного обеспечения / Р. Гласс, Р. Наузо. пер. с англ. М.: Мир, - 1989. - 160 с.

46. Лонгботтом, Р. Надежность вычислительных систем / Р. Лонгботтом. пер с англ. М.: Энэргоатомиздат, 1985. - 288 с.

47. Креденцер Б. П. Прогнозирование работы систем с временной избыточностью / Б. П. Креденцер. Киев: Наукова думка, 1978. - 272 с.

48. Липаев, В. В. Надежность порограммного обеспечения АСУ. / М. Липаев. М.: Энэргоиздат, - 1981. - 240 с.

49. Syooman, М. L. Probabilistic Models for Sofware Reliability Prediction / M. L. Syooman, M. Lin, W. Freiberger, Ed. /•/ Statistical Computer Performanse Evaluation. Nev York: Academic Press, 1972. p.p. 485502.

50. Jelinski Z. Softvare Reliability Rezearth / Z. Jelinski, P. V. Moranda,in W. Freiberger, Ed.// Statistical Computer Performanse Evaluation. Nev York: Academic Press, 1972. pp. 465-484.

51. Lipov, M. Maximum Likelihood Estimation of Paremeters of a Software Time-To-Failure Distribution /М. Lipov. // 0.1.15.June, 1973. -pp 9-73.

52. Wolverton, P. W. Assessment of Software Reliability / P. W. Wolverton,G. J. Schisk. // TRW-SS-7304, September. 1972.

53. Weiss, H. K. Estimation of Reliability Growth in a Complex System with Poisson-Type / H. K. Weiss. // Failure, Operations Rezearch, 4,№5 -(October 1956). p.p. 532-545.

54. Corcoran, W. J. Estimating Reliability After Corrective Fction / W. J. Corcoran, H. Weingarten, P. W. Zehna. // Managemtnt Science, 10,№4. -July, 1954. p.p 786-795.

55. Nelson, E.C. A Statistical Basis for Software Reliability Assessment / E. C. Nelson TRW-SS-73-03, March 1973.

56. Fisher, F. S. CASE: using the newest tools in software development / F. C. Fisher 1998

57. Ng, R A. Modern software ingineering. Foundation fnd curent herspectives / P. A. Ng, R. T. Yeh, ed. N.Y.:Van Nostrand Reinhold. -1990.

58. Барзилович, E. Ю. Определение оптимальных сроков профилактических работ на автоматических системах. / Е. Ю. Барзилович // Известия АН СССР. Техническая кибернентика. №3. - 1964.

59. Барзилович, Е. Ю. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. / Е. Ю. Барзилович, В. А. Каштанов. М.: Советское радио, 1972. - 272 с.

60. Герцбах, И. Б. Теория надежности с приложениями к профилактическому обслуживанию / И. В. Герцбах. М.: Нефть и газ, 2003. - 263 с.

61. Оптимальные задачи надежности / Под ред. Ушакова И. А. Изд-во Комитета стандартов, мер и измерительных приборов при СМ СССР, 1968. 246 с.

62. Игнатов, С. В, Основные этапы оптимизации работы ЛВС. / С. В. Игнатов, Я. В. Игнатов, Е. А. Вейсов // Вестник Красноярского технического университета. Красноярск: КГТУ, 2004. Вып.33. -С. 185190.

63. Копелевич, Б. М. Профилактика дублированной системы / Б. М. Ко-пелевич // Автоматика в вычислительной технике. 1969. №5. - С. 49-55.

64. Вайнштейн, В. И. Об одной модели процесса восстановления в теории надежности / В. И. Вайнштейн // Материалы межвузовской конференции "Информатика и информационные технологии". Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. - С. 8-12.

65. Голодовникова, А. Н. Определение оптимального периода предупредительной замены на основе информации о матиматическом ожидании и дисперсии времени безотказной работы системы. / А. Н. Голодовникова, Д. С. Стойкова // Кибернетика 1973.- №3. - С. 116-118.

66. Вайнштейн, В. И. Об одной модели процесса восстановления в теории надежности. / В. И. Вайнштейн // Информатика и информационные технологии. Материалы межвузовской научной конференции. Красноярск: 2002. С. 8-12

67. Вайнштейн, И. И. О моделях процессов восстановления в теории надежности / И. И. Вайнштейн, В. И. Вайнштейн, Е. А. Вейсов // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - Вып. 6. - С. 78-84.

68. Вайнштейн, В. И. Нахождение функции восстановления для некоторых моделей процессов процессов восстановления / В. И. Вайнштейн // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 13-25.

69. Королюк, В. С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Поротенко, А. В. Скороход, Ф. А. Турбин. М.: Наука. - 1978. - 582 с.

70. Фихтенгольц, Г. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. Н. Фихтенгольц. т. 2 М.: НАУКА, - 1969. - 800 с.

71. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. М.: НАУКА, - Т. №5 - 1959. - 656 с.

72. Лаврентьв, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат М.: ЛАНЬ, - 2002. - 688 с.

73. Glasser, G. J. The age replasement problem / G. J. Glasser. -Technometrics, 1971. №9 - 83-91 p.p.

74. Tiedge, J. Zur optimalen Instanhaltung von Verschleissteilen / J. Tiedge, E. Wogatzki, Z. Wiss // Magdeburg: 1981. 7-13 p.p.

75. Fox, B. L. Age replacement with discounting. / B. L. Fox Operations Res. 14. - 533-537 p.p.

76. Berg, M. Comparision of age, block, and failure replasement policies / M. Berg, B. Epstein // IEEE Trans. Reliab. R-27. 25-29 p.p.

77. Tadiramalia P. R. Age replacement polisies for Weibull failure timts / P. R. Tadiramalia IEEE Trans. Reliab. R-29, - 88-90 p.p.

78. Смирнов, В. И. Курс высшей математики том / В. И. Смирнов. М.: Наука, -т. - 1974. - 336 с.

79. Петровский, И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский М.: Наука, - 1965. - 153 с.

80. Калиткин, Н, Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. М.: Наука, 1978. -512 с.

81. Вайнштейн, В. И. Численное нахождение функции восстановления для одной модели процесса восстановления / В. И. Вайнштейн, Е. А.Вейсов Е. А, Шмидт О. О. // Вычислительные технологии. Новосибирск: 2005. - №10. - С. 4-9.

82. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков М.: Наука, 1987. -248 с.