автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические задачи и методы гидродинамического прогноза погоды

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи УДК 551.509.313/314

Ргй од

2 о £ЕК мп

ГОРДИН Владимир Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

Специальность 05Л3.16 — «Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в отрасли физико-математических наук по специальности механика и физика)»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г. Долгопрудный — 2000 г.

Работа выполнена в Гидрометеорологическом научно-исследовательском центре России.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, зав. отделом института физики атмосферы РАН Должанский Ф. В.,

доктор физико-математических наук Гидрометцентра России, вед. научн. сотр. отдела морских гидрологических прогнозов Ряби-нин В. Э.,

доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института Свиридов М. В.

Ведущая организация — Институт космических исследовании

Защита состоится 7 декабря 2000 г. в 9 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.063.91.04 при Московском физико-техническом институте по адресу: Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института.

Автореферат разослан £ ноября 2000 г.

РАИ.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

1. Актуальность темы Гидродинамический прогноз погоды всегда (начиная с пионерской работы Л. Ф. Ричардсона) рассматривается кале комплекс проблем: технических (измерения, линии связи, вычислительная техника), физических (описание сил различной природы, радиационных процессов, фазовых переходов влаги и т. п.) и математических. К последним относятся задачи исследования различных свойств систем нелинейных уравнений в частных производных, описывающих, с теми или иными ограничениями, эволюцию атмосферы, проблемы обработки метеоинформации для получения начальных данных и проблемы, связанные с численным решением смешанных краевых задач для этих систем.

Следует подчеркнуть, что методы решения математических задач существенно связаны с "внешними" параметрами: мощностью компьютеров, объёмом, ассортиментом и качеством метеоинформации. Возникли оригинальные, не встречавшиеся в других разделах математической физики, постановки.

К числу последних относятся, например, задачи усвоения асинхронной информации и инициализации, т. е. сравнительно небольшого, порядка погрешности измерений и интерполяции, изменения начальных полей, с тем чтобы в решении смешанной краевой задачи не возникали высокочастотные нефизические колебания большой амплитуды.

Недостаточность мощности компьютеров, наряду с недостаточностью исходной информации об атмосфере часто вынуждает ставить задачу только для полушария или региона, а следовательно, к необходимости ставить дополнительные, нефизические граничные условия. Такой же "дефицит" граничных условий имеет место на верхней границе вычислительной области — в верхней стратосфере: выше нет данных измерений, а кроме того происходят дополнительные (химические и электромагнитные) физические процессы; включать эти области (к тому же неограниченные) в прогностическую модель нецелесообразно, поскольку их влияние на синоптические процессы мало.

Возникает задача нахождения граничных условий "полного поглощения", т. е. таких граничных условий, которые минимально искажают "истинное" решение, разумеется, заранее

неизвестное.

Развитие функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, линейных и нелинейных, в последние десятилетия сделало возможным существенно более глубокое понимание свойств решений гидродинамических систем: получение их первых интегралов и симме-трий, построение широких классов их точных решений, стационарных • (возможно в движущейся системе координат) и/или солитонного типа, исследование их устойчивости, в том числе и в таких задачах, где линейный подход неэффективен. Развитие численных методов позволяет более эффективно описыв'ать решения, в которых области сравнительно гладкого изменения чередуются с областями с большими градиентами.

Развитие компьютерных технологий позволяет накопить и обработать большие (десятки гигабайт) архивы прогнозов и метеорологических наблюдений и использовать результаты такой статистической обработки для усовершенствования методов последующей оперативной обработки метеоинформации. Для такой статистической обработки, в свою очередь, требуются новые математические подходы (например, позволяющие обеспечить положительную определенность матричнозначных корреляционных функций по зашумленным данным измерений на неравномерной метеорологической сети).

Отметим, что решение метеорологических проблем -приводит подчас к' прогрессу в фундаментальных и, вообще, смежных областях знаний: известные работы Е.Лоренца привели к существенному улучшению понимания свойств динамических систем; полунеявные схемы интегрирования эволюционных задач были впервые предложены для проблемы прогноза погоды (схема Кибеля — первого порядка, схема Немчинова - Садокова -Робера — второго), но область их применения намного шире. Например, для задач магйитной гидродинамики такие схемы были придуманы заново позднее. Методы функционалов Ляпунова (аналитические и численные) для построения устойчивых стационарных решений или семеств решений также развивались параллельно для моделей атмосферы, океана и плазмы.

Метеорология является одним из крупнейших потребите-

лей суперкомпьютеров, спутниковой и локаторной информации; для более точной локалицации источников метеоинформации используется система GPS (Global Positioning System). Вообще, метеорология есть предмет тесного научно-технического сотрудничества.

Развитие метеорологии, требование повышения качества прогноза, сделало актуальным решение большого количества разнообразных математических задач различной сложности; решению некоторых из них посвящена диссертация. Перечисление математических задач динамической метеорологии, решение которых диссертант считает своей заслугой, будет приведено ниже.

Изложение с единой формальной математической точки зрения широкого круга метеорологических задач, включающее в себя обзор необходимого математического аппарата, который существенно превосходит изучаемый на нематематических факультетах, представляется диссертанту также актуальной задачей. Это определило вид диссертации — в виде 4 монографий (на русском: [29], [30], [34], и английском: [57], языках). Три из них: [29], [30], [57], можно использовать для чтения различных курсов для студентов старших курсов и аспирантов (для метеорологических курсов лекций нужно добавить разделы о турбулентности и неадиабатических процессах в атмосфере), а четвертую: {34], — для студентов младших курсов и учеников физ.-мат. школ. Книги на русском языке в таковом качестве использовались.

Предмет рассмотрения можно условно разбить на три части:

Методы исследования различных гидродинамических моделей;

Методы обработки метеорологической информации;

Методы численного решения прогностических систем.

2. Основные цели диссертации — решение широкого круга математических задач, возникающих при исследовании систем гидродинамического типа и при разработке вычислительных алгоритмов для соответствующих задач, включая оперативную обработку исходной метеорологической информации, а также сравнительно полное изложение с единой точки зрения совре-

менного математического аппарата, используемого в различных разделах проблемы прогноза погоды.

3. Научная новизна.

1. Предложен новый метод, обобщающий метод И. М. Гель-фанда - Л. А. Дикого получения полного набора локальных первых интегралов эволюционных уравнений в частных производных на случай систем уравнений и многих пространственных переменных. В случае баротропной модели атмосферы получены ([29], [57]) неизвестные ранее первые интегралы:

М

= J J [ехр (Ф<7 2) — eooj dxdy — масса;

= J J [exp (фС 2) (u — ly) -f lye<x>\ dxdy—компонент импульса;

Ру = J J [exp (фС-2) (v + Ix) — Ixc ooj dxdy —компонент импульса;

2Ч / и2 + v'2

+ Ф - фтое0

Е= J J exp (ФС~2)

Mz = II{ехр (ФС"~2) uy~vx +^ {*2 + у2)

dxdy — энергия;

—ето£ (я2 + у,2)} dxdy — момент импульса;

X

Kf = jf {ехр (ФС-2) / [fiexp (-ФС"2)] - е^Щ/е^)} dxdy

— семейство интегралов (казимир), связанное с потенциальным вихрем, где С — скорость гравитационных волн, Фоо = lim Ф(*,а:,у), е^ = ехр (ФооС-2), I — параметр Кориолиса,

Х2+1Г-+00

П = —дуи + dxv + I — абсолютный вихрь, / — произвольная функция.

Функционалы Jx = Я[ехР (ФС-2) х - e^i] dxdy и

Лу = //[ехр (ФС~2) у — вооу] ¿хЛу не являются первыми интегралами. Они осциллируют в противофазе с частотой I. Сумма их квадратов, следовательно, также есть первый интеграл модели.

2. Для линеаризованных систем динамических уравнений в случае нехарактеристической границы исследованы условия Шапиро - Лопатинского, выделяющие граничные условия, такие что соответствующая смешанная краевая задача корректна.

Для корректных по И. Г. Петровскому уравнений и систем в частных производных с постоянными коэффициентами построены граничные условия полного поглощения, не отражающие волны, выходящие из прогностической области. Аналогичные граничные условий были получены и для разностных и дифференциально-разностных систем и уравнений. Входящие в такие граничные условия операторы, как правило, нелокальны. Это псевдодифференциальные операторы, интегро-дифференциальные в случае дифференциальном и включающие бесконечные суммирование в случае разностном. В случае практической реализации принципиально минимизировать количество граничных точек, участвующих в приближенных (с заданной точностью) граничных операторах. Для этого была реализована специальная техника векторной аппроксимации Паде, которая позволяет вычислять веса приближенных (с заданным порядком) операторов, [3], [13], [9], [14], [16], [20], [21], [29], [30], [57].

3. Доказана Ь2—корректность характеристической смешанной краевой задачи для линейного уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Здесь граничное условие ставится только на части границы со втоком, [5], [29], [57].

4. Развит вариационный (энергетический, Релея - Арнольда

- Дикого) метод исследования устойчивых стационарных (возможно в движущейся системе координат) решений близких с математической точки зрения атмосферных и плазменных моделей — систем нелинейных уравнений в частных производных. В случае атмосферных уравнений и систем физический интерес представляют решения солитонного типа, в случае задачи удержания плазмы — при заданных граничных условиях на границе

— кожухе ТОКАМАКа. Важное условие применимости мето-

да — строгая положительная определенность второй вариации функционала Ляпунова.

В случае квазигеострофического баротропного уравнения вихря соответствующая оценка была доказана для задачи на всей

плоскости. Для системы уравнений мелкой воды ситуация иная — для решений типа монополя уравнение Якоби для функционала Ляпунова имеют сопряженные (к центру монополя) точки. Соответствующие стационарные решения устойчивы только если в качестве прогностической выбрана область, лежащая в круге некоторого радиуса. Этот радиус оценивается численно и он достаточно (по сравнению с характерным радиусом циклонов и антициклонов) велик: и 9000 км.

В плазменных задачах были построены решения в цилиндрической и тороидальной (форма сечения тороида определяется входе расчетов) областях. При этом система уравнений Якоби после преобразования Фурье по угловым переменным) вырожденная, и при редукции её к невырожденной с меньшим числом неизвестных функций появляются сингулярности коэффициентов уравнения. Расположение этих полюсов зависит от номера коэффициента Фурье; объединение по всем номерам дает всюду плотное множество этих полюсов. Условие отсутствия сильной осцилляции решения редуцированного уравнения Якоби (т. е. отсутствия бесконечного числа сопряженных точек) дает известное условие Сайдема на профиль основного решения как функции радиуса.

Отличие от традиционного в задаче удержания замагничен-ной плазмы линеаризованного подхода состоит в том, что здесь выделяется подкласс стационарных решений, представимых в виде экстремалей функционалов Кр = Е + /Ь/р) <Рх, где Е — энергия, р — плотность, 5" — энтропия, Л = (л, Щ — спи-ральность магнитного поля, Р — функция двух переменных, такая что вторая вариация функционала Ляпунова К;? строго положительно определена.

Указанную положительную определенность нужно проверять для всех гармоник Фурье по угловым переменным. Удивительный результат численных экспериментов состоит -в том, что при

отсутствии сильной (типа sin-) осцилляции решений во

г — Го

всех уравнениях Якоби (зависящих от номера гармоники как от параметра) в них отсутствует и слабая (с конечным числом перемен знака) осцилляция.

Следующим шагом в усовершенствовании метода является оптимизация устойчивости стационарного решения по функциональному переменному F — максимизация константы С в оценке

¿KF[ÍX] > C||áX||2.

Такая задача на минимакс была решена в простейшем случае стационарного уравнения Шредингера, где оптимизация может проводиться по потенциалу и по магнитному полю.

К этому кругу задач примыкает задача о наилучшей оценке инкремента неустойчивости, т.е. об оптимизации собственных чисел по функциональному параметру задачи. Такая задача была решена для классической задачи для уравнения Рэлея — какое плоско-параллельное течение наиболее неустой-

чиво ?

Результаты опубликованы в [23], [24], [26], [28], [29], [30], [48], [31], [32], [33], [49], [45], [34], [35], [36], [56], [55], [57], [58].

5. Исследована серия задач вариационного согласования метеорологических полей, в которых в качестве дифференциальных связей используются различные уравнения динамической метеорологии: уравнение баланса (согласуемые функции — геопотенциал и ветер), уравнение переноса (согласуемые функции — сохраняемая величина за несколько сроков измерения) несжимаемость (согласуемая функция — поле скорости приводного ветра по данным спутникового зондирования ветрового волнения) и т. д. Исследована эллиптичность соответствующего уравнения (или системы уравнений) Эйлера, получены соответствующие граничные условия трансверсальности, исследована эллиптичность, по Дуглису - Ниренбергу соответствующей краевой задачи. В некоторых случаях эллиптичность отсутствует. Показано, что в общем положении для такой задачи выполняется свойство гипоэллиптичности; [10], [30], [57], [39].

6. Предложены и реализованы схемы вертикального контро-

ля. Для контроля геопотенциала и температуры используется L2—наилучшая совместная сплайн-аппроксимация функции и ее производной. При контроле данных на особых уровнях в результате экспериментов на больших архивах аэрологических наблюдений было замечено, что в зависимости от локальной густоты (расстояние в In р—системе координат от данного уровня до ближайшего соседнего) представленных данных статистика (среднйе величины и средне-квадратическое отклонения) первой и второй разделенных разностей существенно разная. Если разбить весь ансамбль данных измерений на кластеры, то статистика в каждом из них существенно отличается от средней. Проводя контроль дл& каждого кластера 90 своими параметрами, можно существенно ужесточить критерий отбраковки ошибочных данных. Соответствующие оценки статистик получены по многолетним архивам данных измерений, а критерии принятия решений проверены на реальных данных; [46], {22], [27],.[30], [34], [51], [52], [40], [57].

7. Предложен и проверен на численном эксперименте проекционный метод подавления вычислительных паразитарных мод, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений, многошаговыми схемами [15], [30], [57].

8. Предложена классификация многослойных разностных схем интегрирования эволюционных линейных уравнений:

dtX = АХ, X{t) = expAtXo,

позволяющая с помощью компьютера находить схемы заданных степеней и'порядка аппроксимации по времени, а также определять условие на Spec Л, чтобы соответствующая схема интегрирования была бы устойчива. Классификация эта основана на векторной рациональной аппроксимации Паде - Эрмита, [20], [30], [57]. В случае двухслойных схем речь идет об аппроксимациях Паде для экспоненты, полученных в классической работе О. Перрона.

Эта классификация разностных схем обобщена на случай нескольких некоммутирующих операторов ЛiЛ*. К числу таких схем относится полунеявная схема Немчинова - Садо-кова - Робера.

8. Как было показано в работе В. М. Кадышникова, при вертикальной дискретизации бароклинных гидростатических моделей атмосферы необходимо обеспечить гиперболичность соответствующей системы "плоских" уравнений. В противном случае задача Коши не корректна по И. Г. Петровскому. В [30], [57] получено обобщение условия Кадышникова на случай, когда задана не одна конкретная вертикальная температурная стратификация атмосферы, но целый класс таких стратификаций.

9. Доказана теорема об общем виде разностных схем интегрирования, не увеличивающих тотальную вариацию решения, обещающая теорему Хартена на случай многослойных схем, [30],

[57].

10. При совместном решении уравнений динамики атмосферы и уравнения теплопроводности для почвы происходит теплообмен. Если решение интересно только для атмосферной части общей модели, то можно использовать граничный оператор, который будет имитировать теплообмен с почвой, не решая уравнение теплопроводности с условием стабилизации на бесконечности и условиями стыковки с уравнениями динамики атмосферы при 2 = 0. Такой разностный оператор, использующий значение температуры в несколько предшествующих моментов времени был предложен в работе Е. Н. Блиновой. В [19], [30], [57] диссертант показал, что оператор Блиновой связан с разложением символа некоторого оператора в ряд Тейлора. Предложен более широкий класс граничных операторов, имитирующих теплообмен с почвой, символы которых получаются с помощью аппроксимации Паде. Проведены численные эксперименты при различных соотношениях между шагом по времени, используемом в разностной схеме, и характерной частотой изменения температуры, показавшие преимущество аппроксимаций Паде с равными степенями числителя и знаменателя.

11. Разработана и реализована (совместно с А. Н. Багровым и Н. Ю. Очан) первая в СССР оперативная схема многоэлементной оптимальной интерполяции [30], [1]. В качестве простейшей гипотезы о горизонтальных корреляционных функциях геопотенциала и ветра предполагалось, что поле скорости ветра есть сумма первого приближения, геострофического ветра, агео-

строфического ветра и погрешностей наблюдений, причем агео-строфическое поле имеет следующую статистическую структуру. Кросс-корреляционные функции её компонентов с геопотенциалом и между собой — нулевые, авто-корреляционные — одинаковые, со сравнительно небольшим радиусом корреляции. Это эквивалентно предположению о равенстве корреляционных функций для их функции тока и потенциала при разложении ¿Таг = + ег X Затем эта схема усовершенствовалась в различных направлениях [2], [57].

12. Задача построения по архивным метеорологическим.дан-ным корреляционных функций для различных метеоэлементов (и их отклонений от прогноза на срок наблюдений), включая и корреляцию между их значениями на различных барических уровнях, необходимо связана с решением ряда чисто математических проблем. Предполагается, что поля после нормировки на корень из дисперсии (зависящей от пространственных координат, месяца и широтного пояся измерений) являются однородными и изотропными по горизонтальным переменным. Ввиду дискретности сети наблюдений, пропусков и ошибок в данных полученные оценки могут не удовлетворять важнейшему свойству положительной определенности. Предложен [25], [30] вариационный метод получения наилучших (т.е. наименее отличающихся от данных архива наблюдений) корректных (т.е. положительно определенных) оценок корреляционных" функций. При этом используется (при необходимости несколько раз) метод теории возмущений для собственных чисел симметричной матрицы А.+ с В, где А — исходная оценка матрицы, е — малый параметр, В — искомая матрица, такая что А + е В строго положительно определена, и среди матриц, обеспечивающих такую положительную определенность, В минимальна в смысле нормы уДгасеВ*В.

Этот подход был реализован при обработке глобального архива наблюдений 1964-1998 гг. совместно с О. А. Алдуховым [42], [43], [44], [57]. При этом использовалось представление

К(г)ъАо6(г)+П^АпЗо(цпг), (1)

•=г

где Ао, ... Ддг — положительно-определенные матрицы, Л0 — нулевая функция Бесселя, £(г) — дельта-функция Дирака, матрица А0 отвечает за погрешности наблюдений, состоящие из непосредственно измерительных ошибок и реально существующие, но мелкомасштабные флуктуации атмосферы. Размер матриц выбирался равным 64 (16 вертикальных уровней и 4 метеоэлемента: геопотенциал, температура, продольный и поперечный компоненты ветра); N = 3 или 4.

13. Результат В. И. Арнольда об общем виде стационарного трехмерного течения несжимаемой жидкости обобщен на случай уравнений сжимаемого газа — получено условие интегрируемости, при котором область течения расслаивается на двумерные интегральные (для скорости и вихря) поверхности. В случае несжимаемой жидкости или баротропного газа это условие выполняется автоматически. [29], [57].

3. Научное и практическое значение работы

1. Разработанные аналитические и численные методы обработки информации и решения краевых задач для диффренци-альных и разностных систем уравнений могут применяться в самых различных задачах механики сплошных сред, геофизики и т.п.

2. Разработанные методы получения устойчивых решений для различных нелинейных гидродинамических моделей позволяют получить параметры солитонных решений. В частности, типичные профили угловой скорости в циклонах по данным измерений, хорошо совпадают с полученными по данной методике по баротропной модели атмосферы. В случае плазмы Получаются устойчивые конфигурации, удовлетворяющие граничным условиям на кожухе. В результате решения задачи о наиболее неустойчивых профилях течения получаются наиболее точные оценки неустойчивости для произвольного профиля.

3. Метод многоэлементной оптимальной интерполяции является основой оперативной схемы объективного анализа (ОА) Гидрометцентра СССР (затем России). Программы и результаты передавались в другие учреждения Гидрометслужбы, метеослужбы ГДР и НРБ. Результаты ОА по Северному полушарию архивируются в Гидрометцентре начиная с 1988 г. Имеются ак-

гы о внедрении.

4. Книги, составляющие данную диссертацию, могут, по мнению диссертанта, быть использованы для подготовки курсов лекций для студентов и аспирантов специальностей "Математика", "Прикладная и вычислительная математика", "Механика", "Физика", "Геофизика", "Метеорология", "Океанология", " География".

4. На защиту выносятся следующие положения

1. Вариационный метод нахождения первых интегралов эволюционных систем уравнений в частных производных. Длй ба-ротропной модели атмосферы с помощью этого метода получена полная система первых интегралов порядка 0.

2. С помощью вариационного метода исследована нелинейная устойчивость (гидродинамическая устойчивость, устойчивость по Ляпунову), экстремальная устойчивость и экстремальная неустойчивость стационарных решений для ряда моделей атмосферы, океана (решения солитонного типа), плазмы (цилиндрическая и тороидальная геометрия), идеальной жидкости. На завершающих этапах исследования, как правило, применялись специально разработанные диссертантом компьютерные коды. Для расслоения пространства бездивергентных векторных полей на равнозавихренные получены условия регулярности этого слоения. Теорема Арнольда о топологии общего стационарного течекия идеальной несжимаемой жидкости обобщена на случай уравнений газовой динамики (получено условие интегрируемости).

3. Разработан общий метод (длй уравнений и систем с постоянными коэффициентами корректных по Петровскому) и построены конкретные примеры граничных условий полного поглощения волн, выходящих из прогностической области. При таких граничных условиях решение смешанной краевой задачи совпадает с решением задачи Коши с продолженными нулем (или фоновыми значениями) начальными данными, т.е. псевдодифференциальные (как правило, интегральные типа свертки) граничные операторы в этой смешанной краевой задаче имитируют задачу Коши.

4. Разработан метод формирования таких граничных операторов для конечно-разностных уравнений и систем. Метод основан на векторной аппроксимаций Паде - Эрмита символа имитирующего граничного оператора и учитывает конкретный вид разностной аппроксимации уравнения. Этот же метод применен для полной классификации схем интегрирования по времени любого порядка и любого числа слоев линейного эволюционного уравнения. Метод распространен на случай, когда пространственный оператор представлен в виде суммь1 нескольких некоммутирующих операторов. Таким путем, например, могут быть получены схемы переменных направлений, полунеявная схема Немчинова - Садокова - Робера, двухшаговая полунеявная схема Магазенкова - Шейнина и др. Указан способ повышения качества пространственно-временной аппроксимации схемы за счет применения операторов пространственного осреднения (и в явном, и в неявном случаях).

5. С помощью аппроксимации Паде символа псевдодифференциального оператора, имитирующего линейное уравнение теплопроводности в почве, связанного с атмосферной моделью двумя условиями сопряжения, построено и протестировано, на численных экспериментах рекуррентное граничное условие теплообмена для соответствующей разностной задачи, обобщающее и улучшающее граничное условие Блиновой.

6. Построен общий проекционный метод (и реализован на примере системы уравнений мелкой воды) подавления вычислительных мод в многослойных схемах при постановке дополнительных (по сравнению с исходной дифференциальной системой) начальных условий.

7. Разработан новый метод синтеза оптимальных операторов и функционалов, обобщающий теорию А. Н. Колмогорова -А. Я. Хинчина - Н. Винера стационарных случайных процессов, теорию Л. С. Гандина оптимальной интерполяции однородных и изотропных случайных полей и синтеза фильтров в статистической радиофизике. Метод позволяет вычислять коэфициенты оптимальных в статистическом смысле разностных операторов и квадратурных формул и вычислять и/или оценивать погрешность.

8. Был разработан алгоритм первой в СССР многоэлементной негеострофической схемы оптимальной интерполяции (внедрена в соавторстве с А. Н. Багровым и Н. Ю. Очан, имеется акт о внедрении), использовавшей сравнительно небольшую априорную статистическую информацию об интерполируемых полях геопотенциала и ветра и их отклонений от прогностических полей на срок анализа.

9. Разработаны математические методы обработки глобальных архивов наблюдений для получения наилучших оценок корреляционных функций. Задача рассматривается как вариационная, а в качестве ограничений используются условие частичной автомодельности корреляционных функций, следствия условия гидростатики, однородность и изотропность по горизонтальным переменным, положительная определенность соответствующих матриц. Для компьютерной реализации таких ограничений используется теория возмущений спектра самосопряженных операторов. Применение методов к глобальному архиву аэрологических измерений (CARDS) производилось совместно с О. А. Алдуховым.

10. Разработаны методы вертикального контроля данных аэрологического зондирования атмосферы, связанные с улучшением вертикальной интерполяции и аппроксимации. В качестве дополнительных параметров при кластеризации данных зондирования использовались, помимо традиционных широтного пояса, сезона и слоя по вертикали, плотность данных и, в случае ветра, средняя скорость ветра. При разбиении данных на кластеры были получены оценки средних и дисперсий. Средние эти существенно зависят от кластера; а следовательно, кластеризация позволяет уменьшить средне-квадратическое отклонение по сравнению с общей совокупностью данных. Таким образом, удается (как показали эксперименты) существенно улучшить разделение правильных и ошибочных данных измерений. .

11. Критерий В. М. Кадышникова для вертикальных дискретизаций бароклинной задачи, обеспечивающие корректность задачи Коши, обобщен, что позволяет оценить корректность не для фиксированной вертикальной стратификации, а для целого класса, что соответствует реальной ситуации при выборе дис-

кретизации.

12. Расширен круг задач и методов вариационного согласования метеорологических полей. В частности, рассмотрено согласование геопотенциала и ветра с уравнением баланса в качестве ограничения (доказана эллиптичность по Дуглису - Ниренбер-гу) краевой задачи; согласование скорости ветра с геострофическими соотношениями в качестве ограничения (получено уравнение эйконала); согласование полей концентрации сохраняющейся в частицах величины в два момента времени с разностной аппроксимацией по Кранку - Николсону уравнения переноса с заданными переменными коэффициентами — полями ветра (задача не обязательно является эллиптической, но при полях ветра, находящихся в общем положении, доказана гипоэллиптич-ность задачи).

5. Аппробация работы

Различные результаты диссертации докладывались в 19762000 гг. на семинарах Гидрометцентра, Гл. Геофизической Обсерватории им. Воейкова, СААНИИ, СахКНИИ, физфака МГУ, МИЭМ'а, ИАЭ им. Курчатова, ФИАН, ИФА, ИПФ, ИОАН, инта прикладной математики им. Келдыша, ин-та проблем механики, ин-та механики МГУ, университета г. Уорвика (Англия); на Всесоюзных/Российских школах и конференциях: по нелинейным волнам (несколько раз), по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (несколько раз), Калининград (2 раза), молодых ученых Гидрометслужбы (П-ая), мат. моделированию атм. процессов и методам оценки влияния деятельности человека на атмосферу, по физике плазмы, по аэрологии (Ш-я), сессии Совета по нелинейной динамике РАН, по проблемам и перспективам гидрометеорологических прогнозов; на международных конгрессах, симпозиумах и конференциях: по проекту 16 КАПГ, экспертов СЭВ по теме N 20, по дифференциальным уравнениям (памяти И. Г. Петровского), по физике плазмы, по нелинейной динамике, хаотическим и сложным системам, по математическим методам усвоения метеорологической информации, по солитонам и топологии (в честь 60-летия С. П. Новикова), алгебрё, геометрии, дифф. уравнениям, оптимизации и приложениям (90-летие Л. С. Понтрягина), по меха-

нике сплошных сред (12-ая), по динамическим системам и эрго-дической теории, по геометрии и топологии потоков жидкости.

6. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из четырех монографий (без соавторов): [29], [30], [34], [57]. Первые три изданы на русском языке (объем 256, 264, 224 стр., соответственно), а четвертая — на английском (объем 842 стр.).

7. Содержание диссертации

Для краткости ограничимся описанием материалов четвертой монографии [57], покрывающей все научные результаты, представленные в остальных книгах, и следовательно, содержание диссертации. Книга состоит из введения, четырех глав и 11 приложений, из которых 9 — математических, 1 — содержит некоторые климатические сведения об атмосфере Земли и 1 — об основных прогностических моделях и оценках их прогнозов в ведущих прогностических центрах планеты. Кроме того имеется предметный указатель, список литературы (1100 названий) и список математических обозначений. Кванторы используются только в математических приложениях. Главы разбиты на параграфы и подпараграфы с отдельными названиями, математические приложения — на пункты без названий.

В первой главе Уравнения динамической метеорологии рассмотрены общие свойства дифференциальных уравнений в частных производных, используемых в механике сплошных сред и, в частности, в задачах динамической метеорологии. В первом параграфе проведен вывод уравнений газовой динамики.

Во втором параграфе описан вариационный метод определения первых интегралов эволюционных систем. Для системы уравнений газовой динамики получено полное описание первых интегралов степени 0, т.е. не зависящих явно от пространственных производных неизвестных функций. Кроме того получены функционалы, которые в силу уравнений не сохраняются, но ведут себя определенным образом, например, осциллируют с заданной частотой. Показано, как первые интегралы могут использоваться для определения устойчивых по Ляпунову стационарных решений. В частности, доказана нелинейная устойчи-

вость простейшего зонального потока в атмосфере.

В третьем параграфе рассмотрены общие свойства эволюционных уравнений, обыкновенных и в частных производных: теорема Коши - Ковалевской, метод интегрирования "пара Лакса", понятие корректности по Петровскому задачи Коши, свойства гиперболических и параболических систем и уравнений. В 1.3.7 объясняется смысл и алгоритм вычисления условий Шапиро -Лопатинского, выделяющих из всевозможных граничных условий те, которые обеспечивают корректность соответствующей краевой задачи. Доказана принадлежащая диссертанту теорема об общем виде граничных условий полного поглощения волн, выходящих из прогностической области, при следующих предположениях: система с постоянными коэффициентами корректна по Петровскому, область — полупространство, граница не характеристическая. Характеристическая граница (в простейшем случае это означает, что через часть границы области происходит "вток", а через часть — "выток") создает большие трудности. Теорему о корректности в Ь2—смысле удается доказать только в случае линейного уравнения переноса с заданными, но переменными коэффициентами. Граничное условие задается на той части границе, где имеет место вток.

В четвертом параграфе обсуждаются квазилинейные гиперболические системы и, в частности, уравнения газовой динамики. Продемонстрирована (с помощью метода характеристик) возможность (в отличие от линейного случая) возникновения за конечное время разрыва решения при гладкой начальной функции. Обсуждается возможность получения обобщенных решений а) как пределов решений регуляризованных (малая вязкость, малая дисперсия и т.п.) уравнений с исчезающе малым регуляризатором; б) следствий из интегральных законов сохранения. Показана неуниверсальность обоих подходов (обобщенное решение зависит от выбора вида регуляризатора или выбора наиболее важных законов сохранения из всех возможных). Обсуждается роль обобщенной энтропии при выборе единственного из множества слабых решений и её связь с симметризуе-мостыо системы (теоремы Годунова и Мока) и условия Гюго-нио - Ренкина для уравнений газовой динамики. Рассматрива-

ются применение инвариантов Римана, метода годографа. Для некоторых систем гидродинамического типа получены оценки сверху и/или снизу времени потери гладкости при гладких начальных условиях. Обсуждается распространение возмущений в решениях гиперболических уравнений и систем. Атмосферные фронты интерпретируются как контактные разрывы. Для плоско-параллельных течений несжимаемой жидкости в канале (простейшая задача такого рода) построены наиболее неустойчивые профили (при заданных плотности энстрофии и волновом числе вдоль канала) в том смысле, что инкремент нарастания амплитуды возмущения наибольший.

Во второй главе Малые параметры и малые осцилляции рассматриваются задачи, более специфические именно для уравнений динамической метеорологии, и наиболее классические, общие математические подходы.

В первом параграфе проводится масштабный анализ уравнений газовой динамики для значений, характерных для крупномасштабного прогноза -на несколько дней. В число влияющих размерных параметров входят как параметры атмосферы (например, эквивалентная высота атмосферы), так и связанные с решаемой задачей (например, требуемая заблаговременность прогноза погоды). В результате получается три безразмерных параметра, один из которых весьма мал. Замена этого параметра нулем (не всегда корректная) приводит к гидростатической системе уравнений. Эта система имеет меньший порядок по времени, (а значит требуется меньше начальных данных для решения задачи Коши) и не является гиперболической в классическом смысле. В этой системе обычно переходят к новой вертикальной координате (давление р, нормированное давление а — р/раиг], где рзиг/(2, х, у) — давление на уровне поверхности Земли или потенциальная температура в). Обсуждаются граничные условия на верхней и нижней границах прогностической области.

В остальных параграфах рассматриваются малые (свободные) колебания атмосферы с предположением Гидростатики и без оного в окрестности состояния покоя над плоской и сфери-

ческой поверхностями, а также в окрестности более сложных стационарных решений.

Во втором параграфе рассматривается случай атмосферы над вращающейся плоскостью. С помощью двумерного преобразования Фурье спектральная задача сводится к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению по вертикали (в 2— или р—системе координат) с переменными коэффициентами, нелинейно зависящими от спектрального параметра и волновых чисел по горизонтали. Наличие непрерывного спектра определяется вертикальной стратификацией — температурой основного состояния Т(г). В случае когда эта функция линейна (т.н. политропная стратификация), спектральная задача может быть полностью проинтегрирована (в гидростатическом случае Д. Я. Прессман доказал, что собственные (векторные) функции выражаются через функции Бесселя, в негидростатическом — В. М. Кадышников, через конфлюэнтные гипергеометрические функции, соответственно). Дисперсионные соотношения определяют несколько семейств кривых. В негидростатическом случае у- системе пятого порядка имеются две акустические, две гравитационные и одна геострофическая (Россби) моды. Акустические и гравитационные моды разделены т.н. волной Лэмба. В случай гидростатическом имеются гравитационные (включая волну Лэмба) и волны Россби. Согласно Кадышникову оценивается искажение дисперсионных кривых при переходе от полной системы уравнений к гидростатической. Особо рассмотрен случай спектра при слабо устойчивой стратификации.

В третьем параграфе рассмотрены малые колебания над сферической поверхностью. После разделения переменных зависимость от широты собственных функций описывается функциями Хафа. Изложение традиционное, следуя монографиям Л. А. Дикого и М. С. Лонге-Хиггинса. В конце параграфа объясняется идея инициализации начальных полей с целью подавления нефизичных высокочастотных колебаний при численном прогнозе.

В четвертом параграфе исследуется задача малых колебаний в окрестности стилизованного атмосферного фронта — наклоненная полуплоскость. Дается вывод формулы Маргулеса о

связи наклона фронта и амплитуд скачков температуры и касательной скорости. Затем с помощью теории возмущений оцениваются собственные числа малых колебаний (Россби, гравитационных и акустических) атмосферы в окрестности фронта.

Глава третья Обработка метеорологической информации начинается с общей характеристики этой задачи.

I. Метеорологическая информация поступает от измерительной аппаратуры принципиально различных типов, расположенной на различных платформах, и имеет различные дискретность по времени, точность и вероятность грубых ошибок. Измерительная аппаратура со временем модифицируется, места базирования могут меняться.

II. Освещенность метеоинформацией различных районов планеты, а также различных уровней по вертикали, различается более чем на порядок.

III. Наблюдения проводятся как в стандартные (установленные Всемирной Метеорологической Организацией) сроки, так и в другие (радарами, спутниками, самолетами). Кроме того, время полета метеорологического радиозонда не пренебрежимо мало и составляет более часа

IV. Наблюдаются различные метеоэлементы: ветер, температура, высота барической поверхности (геопотенциал), влажность, балл облачности, концентрация озона и примесей, количество осадков, высота снежного покрова и т.д. Эти поля связаны между собой соотношениями, полностью или частично стохастическими.

V. Объем поступающей по каналам связи числовой информации составляет несколько мегабайт в сутки.

VI. Система обработки должна быть ориентирована на различных потребителей, а следовательно, наряду с общими блоками и алгоритмами, должны быть разнообразные логические разветвления. Так например, для численных прогнозов погоды требуются начальные данные, причем через короткий, жестко заданный отрезок времени после стандартного момента наблюдений. Для климатических задач нужны обширные статистические сведения о метеополях, но сроки обработки не жесткие.

VII. При обработке метеоинформации используется первое

приближение — климатическое среднее или, более предпочтительно, гидродинамический прогноз на срок контроля и анализа. Таким образом, осуществляется постоянное взаимодействие между системами обработки и прогноза метеополей.

VIII. Статистические гипотезы, используемые при обработке, должны быть в достаточной мере обоснованными и адекватными. При выборе корреляционных функций определенного вида статистические свойства результирующих полей оказываются отчасти предопределенными этим выбором (в смысле теоремы Н. Филлипса).

IX. Система обработки, должна быть обучающейся. В ходе ее эксплуатации выявляются новые и уточняются старые связи между метеополями, и эти связи затем используются для модификации системьк|Леречисленные особенности обусловливают необходимость создания и совершенствования сложных систем обработки метеоинформации, опирающихся на теорию дифференциальных уравнений, функциональный анализ, теорию вероятностей и математическую статистику, а также численные методы.

В первом параграфе дан обзор различных источников информации, плотности их пространственного распределения и их точности.

Во втором параграфе рассмотрен круг вопросов связанных с оптимальной интерполяцией (ОИ) — это естественное многомерное обобщение теории интерполяции стационарных случайных процессов Колмогорова - Хинчина - Винера. Описана процедура ОИ для скалярных и векторных полей, гипотезы однородности и изотропности случайных полей, структура их корреляционных функций. Описана методика расчета корреляционных функций по данным глобального архива метеорологических данных. Выбирается общий вид искомой корреляционной функции и производится минимизация в данном классе, например, в классе (1) или в классе

К(Ри Ра, г) и д{ри р2) f (Pl * Р2, г) .

Важное ограничение — положительная определенность матрицы или матриц. При практической реализации этого огра-

ничения используется теория возмущений спектра симметричных матриц. Другое ограничение — равенство единице диагональных элементов корреляционной матрицы. Эти ограничения также включаются в схему, реализуемую методом множителей Лагранжа.

Затем рассматриваются методы синтеза оптимальных операторов и функционалов, действующих на случайных полях (которые, в свою очередь, определены на линейном пространстве или на сфере).

Желательный (эталонный) функционал (например, интеграл с некоторым весом) или оператор (дифференцирования, сглаживания и т. п.) приближается исходными (т.е. теми, которые можно практически реализовать) функционалами (в случае квадратурных формул это ¿—функции) или операторами {сдвига-в точки разностной сетки), а норма, в которой минимизируется погрешность аппроскимации, индуцируется спектральной мерой случайного поля.

Описаны алгоритмы оптимальной скалярной и многоэлементной интерполяции (Которую можно рассматривать как частный случай синтеза оптимального оператора) и выбора влияющих станций, наиболее равномерно окружающих заданный узел сетки.

Если рассматривать атмосферный фронт как тангенциальной разрыв, то функция Д Р,еа{х, у, 2) (где Д — оператор Лапласа по горизонтальным переменным) имеет сингулярность типа ¿—функции на линии поверхностного фронта. Этаже функция, вычисляемая по разностной сетке, традиционно используется в метеорологии для диагностики реальных атмосферных фронтов по реальной (т.е. редкой) наблюдательной сети или реальной (следовательно, сглаживающей) вычислительной схеме. Точки сетки с большими значениями разностного лгшласиана диагностируются как точки поверхностного фронта. Разумеется, разделение на точки фронта и остальные довольно грубое, а следовательно неправильная диагностика расположения фронта (эта диагностика — из наиболее важных видов выходной продукции метеослужб) весьма вероятна. Предлагается вместо традиционного здесь лапласиана Р,еа — суммы кривизн графика

в двух перпендикулярных направлениях (или что то же самое следа матрицы Гессе), вычислять главную кривизну этого графика (т.е. наибольшее собственное число матрицы). Ясно, что наибольшее собственное число лучше выделяется на фоне шума, чем сумма двух, поскольку второе собственное число вовсе не обязано быть большим в точках фронта.

При использовании оптимальной интерполяции конкретная синоптическая ситуация не учитывается. Корреляционная функция зависит от расстояния между двумя точками, но не зависит от того, разделены ли эти точки атмосферным фронтом или нет. Были проведены оценки корреляционной функции геопотенциала раздельно для нескольких кластеров, определяемых величиной |T7oo(ii) — Т7оо(^г)|- Обычная корреляционная функция получается осреднением по этим кластерам. Эти раздельные корреляционные функции оказываются существенно различными — например, при больших значениях корреляционная функция может принимать сравнительно большие по модулю (~ 0,5) отрицательные значения,— а следовательно, оптимальная интерполяция, проводимая по коэффициентам корреляции, определенным с учётом синоптической ситуации, будет заметно точнее, чем без учёта. В оперативном объективном анализе вместо климатических средних полей используются поля прогноза на срок анализа. Мы можем расширить фазовое пространство — пространство аргументов корреляционных функций и помимо расстояния между парой точек ввести вторую координату

min J |gradT7oo(x), dx\, г

где кривая Г соединяет данную пару точек. Помимо температуры наличие фронтальных зон диагностируется вихрем горизонтальной скорости, который также может быть использован для расширения фазового пространства.

При оптимальной интерполяции, как правило, используются общепринятые величины в качестве вертикальной координаты (впрочем, наилучшие прогностические схемы используют т.н. гибридные координаты) и интерполируемых функций. Для ОА наилучшим является такой выбор, которые обеспечивает наибольшие (в среднем) горизонтальные корреляции. Выбор таких

величин — оптимальных комбинаций известных величин может рассматриваться как вариационная задача.

В 3.2.12 описан метод оценки положения тропопаузы по данным температурного зондирования или прогноза температуры.

В третьем параграфе рассмотрены методы вариационного согласования метеорологических полей. Впервые задачи такого типа для согласования разнородных метеорологических полей обсуждались в работах Y. Sasaki в середине века. Имеются дифференциальные соотношения, которым должны удовлетворять искомые согласованные поля и имеются предварительные'оценки этих полей. Задача состоит в минимальном (как правило, в L2—норме с весом) изменении этих предварительных полей так чтобы измененные поля строго (сильные ограничения) или приблизительно, лучше, чем до согласования (слабые ограничения), удовлетворяли этим априорным дифференциальным связям. В первых работах этого направления рассматривался простейший пример таких ограничений ;— геострофические соотношения между ветром и геопотенциалом Я на одном и том же барическом уровне:

lu = —dyH,lv = дхН, [а{и — й)2+а(и - г>)2+/3 (Я - kYdxdy -> mir J \ /

G

гдe\l —-параметр Кориолиса. Вариационная задача редуцируется к эллиптическому уравнению типа Гельмгольца с граничными условиями трансверсальности (здесь условие Неймана).

Еще более проста задача согласования геопотенциала и температуры на основе уравнения гидростатики. Соответствующее уравнение есть линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Из дискретного аналога (например, с помощью кубических интерполяционных сплайнов) уравнения гидростатики следует также соотношение между ковариационной матрицами на различных р—уровнях для геопотенциала и температуры, а также для кросс-ковариационной матрицы между ними. Если же определенные по зашумленным данным с пропусками ковариационные матрицы этим соотношениям не удовлетворяют, то соотношения могут быть использованы как ограничения для конечномерного вариационного согласования

ковариационных матриц.

Более сложной задача вариационного согласования полей ветра и геопотенциала получается, если вместо геострофических соотношений использовать уравнения несжимаемости и баланса — в более простой постановке линейное. Из несжимаемости следует существование функции тока ф. Усложнение состоит в том, что неизвестные функции Я, ф не выражаются через одну с помощью алгебраических формул и дифференцирований. Уравнения Лагранжа - Эйлера вместе с уравнением баланса образуют эллиптическую систему, к числу неизвестных функций добавляется функциональный множитель Лагранжа А. Уравнения эти являются дифференциальными только по горизонтали, — вертикальная координата входит как параметр. Доказана эллиптичность по Дуглису - Ниренбергу системы при граничных условиях трансверсальности. Для решения системы оказались эффективны описанные в следующем параграфе преобразование Фурье по долготе и матричная прогонка по широте. При использовании нелинейного уравнения баланса возможно использование теории возмущений — нелинейные члены предполагаются малыми и уравнения Эйлера - Лагранжа решаются итерационно.

При использовании данных о скорости ветра над акваторией морей и океанов, полученных по спутниковым измерениям ветрового волнения, возможны несколько постановок: геострофические соотношения скорости ветра с заданным давлением на уровне моря, условие несжимаемости для этой скорости, и наконец, матричная связь (учитывающая поворот геострофического ветра в планетарном пограничном слое) ветра с геопотенциалом на уровне 925 гПа. Соответствующие уравнения Эйлера - Лагранжа не эллиптические. Это уравнения типа уравнения эйконала.

В четвертом параграфе рассматриваются различные солве-ры для эллиптических уравнений: преобразование Фурье, матричная прогонка, метод простых итераций, чебышевское ускорение сходимости, использование идеи энергетически эквивалентных операторов для'ускорения, релаксационные и многосеточные методы, методы блочной релаксации. Демонстрируется

важность локализации спектра обращаемого оператора для сходимости итерационного процесса (эллиптический оператор не обязан быть знакоопределенным; амплитуды при собственных векторах, отвечающих собственным числам с неположительной вещественной частью, "прицельно" подавляются проекционным методом) и его скорости. Сравнительно подробно рассмотрены преимущества релаксационного метода, в котором дополнительное ускорение дает обход вычислительной области, начиная с разных её углов — при этом собственный вектор задачи, отвечающий наиболее медленной сходимости, меняется и "наихудшее для сходимости направление в фазовом пространстве" устраняется.

В 3.4.5 рассмотрена -..п.-чй близкая тема: различные методы минимизации нелинейных функционалов.

В пятом параграфе рассмотрены различные методы контроля качества метеорологических наблюдений: климатический, горизонтальный, временной, вертикальный и объединяющий их с помощью блока принятия решения комплексный контроль. Вертикальный блок (для многоуровенных наблюдений) наиболее эффективен. Особо рассматриваются методики, учитывающие расположение особых уровней, которые выбираются независимо при каждом запуске, должны учитывать и действительно учитывают (наряду с вертикальным слоем, месяцем и ши-ротйым поясом данного наблюдения) различие синоптических ситуаций.

В шестом параграфе рассматриваются методы 4-х мерного усвоения данных. Эти подходы в настоящее время обеспечивают наилучшее качество усвоения (хотя и с небольшим отрывом от трехмерных и квазитрехмерных), но отличаются большой трудоемкостью при отладке и требуют мощного суперкомпьютера и весьма развитой прогностической модели.

Пусть задана траектория в фазовом пространстве прогностической задачи (размерность ~ 106). Наблюдения, в том числе и асинхронные (в частности, спутниковые и самолетные) не лежат на этой траектории. Задача состоит в таком возмущении траектории, и следовательно, начальных данных, чтобы суммарное отклонение возмущенной траектории от наблюдений было ми-

\fiMt й,Л * \6М<0,<]

ьх 5Х

нимальным. В этой проблеме много существенных факторов: вид модели и размерность фазового пространства, учитываемые наблюдения (в том числе т.н. "сырые" наблюдения, когда измеряется например, уходящая радиация, т.е. её распределение по спектру, которое оценивается по температурному профилю и по концентрациям поглотителей; обратная задача восстановления профиля по спектру радиации не решается), их пространственное распределение, скорость (инкремент) разбегания траекторий в окрестности траектории первого приближения, наличие сильно нелинейных и негладких неадиабатических блоков (например, блока конвективного приспособления) в модели, доступное для данного компьютера число итераций и т.п.

Скорость разбегания траекторий за большое время при малом возмущении начальной точки динамической системы характеризуется показателями Ляпунова — логарифмами собственных чисел оператора

; соответствующие собственные вектора называются векторами Ляпунова. Здесь — разрешающий оператор системы. Приводится теорема В. И. Оселедца о почти независимости показателей Ляпунова для динамической системы, сохраняющей меру (например, гамильтоновой) от выбора основной траектории, а также метрики, в которой производится сопряжение оператора. Первые вектора Ляпунова часто используются в конечномерных аппроксимациях (сравнительно небольшой размерности) для лучшего согласования траектории с данными измерений в течение соответствующего интервала времени, предшествующего прогнозу.

Обсуждается вопрос об усвоении данных, измеренных в сроки сравнительно слабо отличающиеся от стандартных. Указывается на то, что их лучше сносить вдоль траекторий частиц воздуха (т.е. использовать лагранжевы координаты взамен эйлеровых), приводя к стандартному сроку измерений, нежели оставлять координаты точек измерений неизменными. Это же относится к данным аэрологического зондирования — зонд поднимается более часа; его горизонтальная скорость совпадает со скоростью частиц воздуха, а вертикальная отличается за счет

подъёмной силы и силы сопротивления воздуха, действующих на шар. Более скрупулезным является перенос результата измерений к стандартному моменту времени в силу уравнения переноса с правой частью, где и коэффициенты уравнения (поле скорости ветра, и правая часть (различная для разных метеоэлементов, — температуры, ветра, влажности, — поскольку они удовлетворяют различным эволюционным уравнениям первого порядка в частных производных) определяется по полям первого приближения — результатам предыдущего прогноза на период усвоения данных.

В используемом сейчас подходе (эйлеровом) отличие срока наблюдения от стандартного влияет на оценку ошибки данного измерения при включении его в пространственный ОА. Так же можно поступить и по отношению к более аккуратно перенесенным (лагранжевым способом) данным, но ошибку можно будет считать меньшей и это наблюдение будет иметь больший вес в ОА. Соответствующие четырехмерные корреляционные функции в лагранжевом и эйлеровом подходе также будут различаться.

В 3.6.4 обсуждается следующая задача вариационного согласования: в два момента времени известны оценки скалярной величины, удовлетворяющей уравнению переноса. Требуется их минимально поправить таким образом, чтобы исправленные поля лежали на общей траектории в фазовом пространстве этого эволюционного уравнения. Коэффициенты уравнения переноса предполагаются известными (из полей первого приближения). Мы аппроксимируем это дифференциальное по времени уравнение по схеме Кранка - Николсона. Соответствующее соотношение, дифференциальное по пространственным переменным, можно рассматривать как ограничение (связь) в задаче Эйлера - Лагранжа, где минимизация проводится по полям переносимой величины в два момента времени. Система уравнений Эйлера - Лагранжа редуцируется к одному скалярному уравнению второго порядка, коэффициенты которого выражаются через поля скорости ветра в указанные два момента времени. Это уравнение второго порядка при полях ветра в общем положении не является эллиптическим. С помощью теоремы

Л. Хёрмандера доказано, что в общем положении задача является гипоэллиптической и что в точках, где поля ветра в указанные два срока коллинеарны, возможно падение порядка гладкости решения вариационной задачи но не более чем на 1. Обсуждаются варианты этой задачи, например три момента измерения, учет вязкости, граничные условия трансверсальности и т.п.

Затем рассматривается задача о вариационном согласовании вихря Эртеля, сохраняющегося в частицах в силу адиабатической системы и поля ветра. Доказывается эллиптичность соответствующей граничной задачи.

На простейших примерах изучается использование других эволюционных уравнений как ограничений при вариационном согласовании четырехмерных прогностических полей.

В первом параграфе четвертой главы Численные методы для прогностических систем рассмотрены различные методы пространственной дискретизации эволюционных уравнений в частных производных: спектральные, спектрально-сеточные, конечноэлементные и разностные. Обсуждаются различные (в том числе и статистический) методы разностной аппроксимации дифференциальных операторов на сфере.

В 4.1.9 анализируется смешанная краевая задача для разностных по пространственным переменным уравнений и получен аналог условия Шапиро ~ Лопатинского, выделяющего корректные граничные операторы. Получены граничные условия полного поглощения для дифференциально - разностных уравнений. Для простейших примеров явно получены коэффициенты граничных операторов. В общем случае дан алгоритм, использующий преобразования: Фурье по касательным к границе переменным и Лапласа •— по времени. Существенной частью алгоритма является нахождение частных решений однородного обыкновенного разностного уравнения по переменной, нормальной к границе области.

В 4.1.10 изучаются различные подходы к пространственной аппроксимации нелинейных уравнения. В качестве важного примера рассмотрена аппроксимация уравнения Хопфа: дги + идхи = 0. Градиентная катастрофа в таком уравнении мо-

жет соответствовать уходу траектории конечномерной, дифференциальной по * и дискретной по х системы на бесконечность. При исследовании таких аппроксимаций оказывается применимой теория цепочек Лоттки - Вольтерра, развитая в последнее время. Здесь бывает полезен метод нахождения первых интегралов задачи с помощью пары Лакса. Обсуждается роль малых диссипативных и дисперсионных добавок для стабилизации решения:

Замена (преобразование) Флорина - Коула - Хопфа, преобразующая уравнение Бюргерса в линейное уравнение теплопроводности, иллюстрирует регуляризующую роль диссипации, а исследование асимптотики решения уравнения Кортевега - де Вриза с убывающей дисперсией — результаты регуляризации слагаемым с третьей производной.

Изучается нелинейная неустойчивость; в простейших случаях удается построить фазовый портрет задачи.

Эти модели имеют также и педагогическое значение — они показывают, с. трудностями какого рода предстоит столкнуться при полностью разностной аппроксимации законов сохранения. Отметим здесь пример Д. Я. Прессмана, показавшего на численном эксперименте, что даже нелинейно устойчивая, имеющая положительно определенный первый интеграл схема не гарантирует сходимости решения к разрывному решению исходной дифференциальной задачи.

В втором параграфе изучается вертикальная дискретизация (разностная или спектральная) бароклинной системы уравнений. При дискретизации уравнения притока тепла и уравнения гидростатики в р—системе координат бароклинная система преобразуется в эволюционную систему уравнений первого порядка по времени с двумя пространственными переменными. Условие слабой гиперболичности является необходимым для того чтобы система эта была корректной по Петровскому, т.е. оно обязательно для разумной постановки задачи прогноза. Условие же слабой гиперболичности есть условие на матрицы, описывающие вертикальную дискретизацию. Для фиксированной стратификации такие условия были впервые описаны в работе Кадышникова. Автору удалось получить условия на собствен-

но вертикальную дискретизацию, общие для целого семейства стратификаций Т(р).

Простейшие дискретизации суть одно- или полутора-уровен-ные модели, состоящие из эволюционных уравнений для горизонтальных компонентов ветра, для геопотенциала и, возможно, для температуры. Все эти функции получаются неким усреднением по вертикали. Поскольку один из выводов такой модели был связан с дополнительной (не обязательной) гипотезой о ба-ротропности газа, модели такого класса иногда называют ба-ротропными. Впрочем, используется также .термин "уравнения мелкой воды". Здесь рассмотрены первые интегралы для таких моделей (иногда полученные впервые) и солитонные решения (типа циклон и антициклон) и их нелинейная устойчивость. Для уравнений мелкой воды построены примеры таких солитонов и доказано, что такая устойчивость имеет место внутри ограниченной области (например, круга) достаточно большого радиуса (и 12000 км).

В квазигеострофической модели (применимой также для описания динамики плазмы) можно построить устойчивые солитонные решения в резонансном потоке на всей ¡3—плоскости. Более того, можно в классе таких устойчивых солитонов выбрать "наиболее устойчивые", допускающие наилучшие оценки снизу для второй вариации функционала Ляпунова.

Задачи такого рода иногда сводятся к неклассической вариационной проблеме, когда оптимизируемый функционал есть собственное число некоторой краевой задачи или мнимая часть собственного числа, если задача не самосопряженная. В качестве модельной может быть рассмотрена задача о наиболее устойчивой потенциальной яме для стационарного уравнения Шрёдингера. На профиль потенциала накладывается интегральное нормировочное ограничение, само уравнение рассматривается как дифференциальная связь между решением и коэффициентом, а оптимизация производится равноправно и по решению, и по коэффициенту.

В третьем параграфе рассмотрены проблемы разностного интегрирования линейных'эволюционных уравнений

<1,Х = АХ (2)

по времени. Рассмотрена примеры явных и неявных, устойчивых и неустойчивых схем, в том числе многослойных и многошаговых. Как известно, двухслойные схемы могут быть параметризованы аппроксимациями Паде экспоненты в нуле:

P(z)IQ(z) - ехр 2 = О (zN+1) as z —> О,

Q(0) = 1, cleg Р = m, degQ - п, N = п + т.

В многочлены вместо комплексного переменного л подставляется оператор тЛд, где т — шаг по времени, Ад — разностная аппроксимация по пространству оператора А. Ярные формулы для аппроксимации Паде экспоненты были получены О. Перроном. Для описания к—слойных схем (например, для схемы leap-frog к = 3) предлагается использовать т.н. векторную аппроксимацию Паде - Эрмита, где вместо двух многочленов Р, Q в аппроксимации участвуют к многочленов с заданными степенями. Для совместного определения совместного коэффициентов этих многочленов решается система линейных алгебраических уравнений. Затем на комплексной плоскости определяется подобласть, которой должен принадлежать SpecАь, чтобы соответствующая схема интегрирования была устойчивой. Приведены соответствующие таблицы коэффициентов и границы областей устойчивости.

При использовании многослойных схем для интегрирования уравнения (2) помимо физического начального условия X(t = 0) = Хо требуются дополнительные к — 2 начальных функций X(t = т), ..., X(t = (к — 2)т) и помимо основной физической моды появляются моды паразитарные, вычислительные, как правило, сильно осциллирующие по времени. Типичный пример — схема leap-frog. Предложен метод фильтрации паразитарных волн — проектор на подпространство мод физических, который используется при получении дополнительных начальных функций. Поскольку физическую часть спектра разностного по времени оператора П удается отделить контуром Г на комплексной плоскости от части паразитарной, для построения проектора используется операторная формула Коши:

Г

Проведенные численные эксперименты для уравнений мелкой воды с периодическими граничными условиями показали существенное подавление амплитуд вычислительных мод по сравнению с вариантом, когда второй комплект начальных данных получался по явной схеме Эйлера, причем эта амплитуда не росла со временем, хотя решались не линеаризованные, но примитивные, квазилинейные уравнения.

Обсуждаются различные спектральные и энергетические подходы к исследованию устойчивости схемы, схемы на шахматных сетках, схемы с осреднениями. Показано, как c. помощью простейших операторов осреднения удается улучшить аппроксима-ционные свойства схемы почти не увеличивая числа арифметических операций. Порядок схемы (явной или неявной) повысить не удается, но можно заметно уменьшить коэффициент в асимптотике для погрешности схемы, особенно для медленных волн, которые наиболее существенны в метеорологических приложениях.

Схемы с расщеплением А = А\ + Л2, когда операторы А\ и Лг входят в схему интегрирования по-разному, используются около полувека. Схема, когда оператор, отвечающий адвекции, аппроксимируется явно по схеме leap-frog, а отвечающий гравитационной части (он линейный и имеет постоянные коэффициенты) — по.неявной схеме, была предложена И. А. Кибелем и усовершенствована до второго порядка по времени С. В. Немчиновым и В. П. Садоковым, а затем независимо А. Робером. Позднее Л. Н. Магазенков и Д. А. Шейнин указали на другую полунеявную схему, в которой вместо leap-frog используется схема Адамса - Бэшфорда. Они же продемонстрировали преимущество чередования этих двух полунеявных схем. В 4.3.9 доказано, что полунеявные схемы второго порядка по времени с некоммутирующими операторами А\ и А2 исчерпываются перечисленными и их линейными комбинациями.

В 4.3.10 рассмотрены граничные задачи для разностных уравнений и систем. Получены условия Шапиро - Лопатинского, которые выделяют те граничные операторы, которые гарантируют корректность смешанной краевой задачи. Это особенно существенно для неявных схем. Отметим, что, при разностной

аппроксимации многих задач мат. физики количество граничных условий для разностной аппроксимации больше, чем для исходной, дифференциальной и дополнительные условия носят сугубо вычислительный, а не физический характер.

В метеорологических задачах граничные условия по горизонтальным переменным (а часто и верхнее граничное условие) нефизичны уже для исходной дифференциальной задачи. Поэтому граничные условия полного поглощения волн, выходящих из прогностической области, рассматриваемые в 4.3.11, особенно существенны. Наиболее распространённые граничные условия — стыковка с более грубой моделью по большей вычислительной области. Однако, если не принять специальных мер, то зона (или линия, или поверхность) стыковки моделей может отражать выходящие волны, хотя в реальной атмосфере ни этой, воображаемой границы, ни отражения от нее не существует. Более того, поскольку у прогностической системы имеются волны различных типов, возможна "перекачка" энергии волн одного типа в волны другого, например, из медленных волн Россби в быстрые, имеющие в природе малую амплитуду, волны гравитационные. Это в свою очередь приводит к заметному зашумлению прогностических полей высокочастотными шумами. С другой стороны, сильные диссипативные операторы в этой зоне стыковки могут приводить к необоснованно сильным оттокам кинетической энергии, изменению энергетического.баланса в модели.

Вывод условий полного поглощения для разностных уравнений и систем проводится заново, но по той же методике: сначала преобразование Фурье по переменным, касательным к границе и 2—преобразование (разностный аналог преобразования Лапласа) по времени, затем исследование функции Грина для обыкновенного разностного уравнения по переменной, нормальной к границе. В ряде случаев коэффициенты граничного оператора получены явно, в других указан алгоритм вычисления таких коэффициентов. При решении разностной задачи особенно актуален оптимальный выбор (он достигается здесь с помощью векторной аппроксимации Паде - Эрмита символа граничного оператора) калибровки граничного оператора полного

поглощения: он должен использовать минимальное количество точек шаблона и хорошо (с заданным порядком аппроксимации) аппроксимировать точный оператор, который использует бесконечное число точек, подобно тому как в дифференциальной задаче для этого, как правило, используются интегралы по пересечению границы области и обратного светового конуса.

Для некоторых простых примеров показана "близость" полученных граничных операторов к операторам "втока по характеристике", если имеет место вток, и "близость" к вырожденным граничным условиям, являющимся следствиями дифференциального уравнения при Л, г —> 0, в случае вытока из прогностической области.

В 4.3.12 рассматриваются спектральные и спектрально-сеточные методы, наиболее популярные сейчас для глобальных и по-лушарных моделей.

Четвертый параграф посвящен нелинейным схемам, аппроксимирующим системы законов сохранения. Схемы такого типа изучаются, начиная с пионерских работ С. К. Годунова. Существенным недостатком схемы Годунова являются ее трудоемкость и первый порядок аппроксимации; важное достоинтсво — сходимость не только на гладких решениях исходного дифференциального уравнения или системы, но и на разрывных. Причем схема должна сама выделять из множества слабых решений задачи единственное, физическое, удовлетворяющее условию энтропии. Известно, что монотонные схемы не могут иметь более высокий порядок уже для одного скалярного одномерного закона сохранения. Поэтому последние 15-20 лет активно изуча-. ются паллиативы — "не совсем монотонные" схемы + "почти второй" порядок аппроксимации.

Рассмотрены сильно монотонные схемы, схемы ТУБ (не увеличивающие тотальную вариацию), схемы, сохраняющие монотонность решения.

Доказана теорема (теорема IV в 4.4.6) о достаточных условиях для того, чтобы многоточечная многослойная схема была ТУБ (аналогичная теорема была доказана Э. Хартеном для двухслойных схем).

Приведены многочисленные примеры монотонных и ТУБ

схем, а также схем Тадмора, показавших в последние несколько лет хорошие результаты при аппроксимации решений с тангенциальными разрывами, и последние варианты Схем А. Аракавы, сохраняющие энергию и уменьшающие энстрофию, что позволяет контролировать возможный рост коротковолновых возмущений в решении.

Проведены численные эксперименты по сравнению различных разностных аппроксимаций нелинейного уравнения переноса (ур. Хопфа) на окружности при экстремально "трудных" начальных условиях: носитель начальной функции состоит из одной точки. Точное решение и его тотальная вариация вычислялись аналитически методом характеристик. При эксперименте оказались наиболее предпочтительными: среди явных схем — пятиточечная схема Хартена, среди неявных схема с нелинейной- вязкостью:

при выбранной экспериментально выбранной вычислительной вязкости и = 0,3 и ее аналог с пространственным осреднением I: »-V (1 - 9) + в (/,•+, + Л_1)/2 для членов V]*1 - ю*. Как было получено теоретически в предыдущем параграфе, наиболее удачная аппроксимация решения достигается при 0 = 1/3, хотя эта схема и не является ТУБ.

Обсуждается распространение техники ТУБ на случай систем уравнений и многих пространственных уравнений.

В приложении 1 Анализ в метрических пространствах и на многообразиях излагаются основы функционального анализа и анализа на многообразиях, в частности, скобки Ли векторных полей, когомологии де Рама, теорема о неявной функции в конечномерном и бесконечномерном случаях, лемма Морса с параметрами, асимптотические методы стационарной фазы и перевала. В некоторых метеорологических задачах функции

не являются гладкими и поэтому вводится и обсуждается размерность Хаусдорфа.

В приложении 2 Вариационное исчисление излагаются, в основном, классические понятия, связанные с первой и второй вариацией функционалов, зависящих от скалярной или векторной функции одного или нескольких независимых переменных с и без ограничений на варьируемую функцию. Обсуждаются примеры несуществования гладкого экстремума и существования сингулярного.

В приложении 3 Обобщенные функции. Интегральные преобразования. Псевдодифференциальные операторы интегральные преобразования (Фурье, Фурье - Бесс.еля, Лапласа, Радона) рассматриваются в пространствах Ь2, С. Л. Соболева, обобщенных функций, а дискретные преобразования (Фурье, 2—преобразование) на конечной или бесконечной сетке, теорема Планшереля, теорема Л. Хермандера о существовании фундаментального решения для оператора с постоянными коэффициентами, эллиптичность и гииоэллиптичность операторов, теорема Хермандера об общем виде гипоэллиптического оператора, процесс Грама - Шмидта, критерий эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу краевой задачи. Преобразование Радона может быть использовано для спутникового рефрактометрического зондирования атмосферы, когда анализируется интеграл по лучу от одного спутника к другому в тот момент, когда этот луч проходит через плотные слои атмосферы.

В приложении 4 Гамильтоновы струтуры. Конечномерный и бесконечномерный случаи излагаются основные понятия симплектической геометрии, скобки Пуассона, теорема Дарбу, преобразование Лежапдра и лагранжевы многообразия, гидродинамические системы, допускающие гамильтонову интерпретацию, интерпретация уравнений Эйлера в терминах алгебр Ли, функция Бернулли, теорема В. И. Арнольда о топологии стационарных течений несжимаемой жидкости, её обоще-ние на случай уравнений газовой динамики (здесь для существования общих интегральных поверхностей для скорости г>(х) и вихря го!;и(х) должно выполняться-явно выписанное условие интегрируемости), течения Громеко - Бельтрами (и(х) и

гоЬу(х) колчЦ^яеарны), АВС—течения (коэффициент пропорциональности этих полей — константа), частные решения уравнений Эйлера, полученные в частности, методом нетривиального разделения переменных и преобразованием Бэклунда. В. И. Арнольд предложил использовать расслоение пространства бездивергентных векторных полей на равнозавихренные для исследования устойчивости стационарных решений. Здесь получены условия регулярности этого течения в терминах поля вихря исследуемого стационарного течения, точнее типа его стационарных точек.

В приложении 5 Теория возмущений дифференциальных уравнений рассмотрены регулярные и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений, фазовые портреты, уравнения в вариациях, методы осреднения, в т.ч." при наличии резонансов, возможность чередования "быстрых" и "медленных" участков траектории, аттракторы системы, в т.ч. странные, асимптотическая теория знаменитой системы Е. Лоренца, развитая в работах В. И. Юдовича и А. В. Моисеева -А. И. Нейштадта, методы погранслоя для различных уравнений. Описано асимптотическое разложение решения для уравнения Бюргерса с малой вязкостью е, полученное А. М. Ильиным: имеется три зоны: решение гладкое, окрестность точки возникновения разрыва решения в предельном уравнении Хоп-фа, окрестность линии разрыва, на котором выполняемся условие Гюгонио - Ренкина. В каждой из зон получено разложение по степеням с1/4 и эти разложения гладко сращиваются. Кратко описаны разложение Дебая (ВКБ) и канонический оператор Маслова.

В приложении 6 Собственные функции линейных дифференциальных уравнений рассмотрены: задача Штурма -Лиувилля, включая задачу.с сингулярным коэффициентом, построение функции Грина краевой задачи теоремы сравнения Штурма и их многомерные обобщения Куранта и обобщения на случай систем уравнений, данные Арнольдом. Техника лагран-жевых плоскостей используется для построения дифференциального аналога разностного метода прогонки (система уравнений Риккати) для линейных гамильтоновых систем. Описан

метод тригонометрической прогонки и метод Б—матрицы для уравнения второго порядка. Рассмотрена задача о минимизации по потенциалу (при наличии интегрального ограничения) первого собственного числа для линейного стационарного уравнения Шредингера на прямой или в пространстве. Выписаны асимптотические формулы для собственных функций на прямой при наличии большого параметра.

Приложение 7 Полиномиальная и сплайн-интерполяция, рациональная чебышевская аппроксимация и квадратурные формулы содержит преимущественно классические разделы, начиная с интерполяционных многочленов в лагран-жевой и ньютоновой формах и константы А. Лебега (С—норма оператора интерполяции) при различном расположении узлов. Возможна интерполяция не только значений функции, но и ее производных в тех же узлах. Сплайны Шонберга вводятся как решения вариационной задачи при наличии точечных интерполяционных ограничений. Указывается на преимущество параметризации сплайнов их значениями и значениями первых или вторых производных в узлах интерполяции по сравнению с параметризацией коэффициентами полиномов на подинтерва-лах (порядок системы много меньше и она трехдиагональная, а следовательно, применим метод прогонки). Приведены оценки равномерной сходимости кубических сплайнов с несколькими первыми производными при убывающей (сравнительно равномерно) норме сетки. Для сплайнового вычисления температуры по геопотенциалу (производная в 1пр—системе координат) приведена матрица, отвечающая набору стандартных метеорологических уровней в р—системе. Матрицы такого вида полезны также для вариационного согласования и контроля данных и о геопотенциале, и о температуре, причем могут обрабатываться данные на особых (т.е. не стандартных) барических поверхностях. Обсуждается проблема обусловленности матриц, ¿—доминирование диагонали, теорема Гершгорина. Вводятся локальные (в отличие от сплайнов Шонберга при интерполяции набора значений, лишь одно из которых ненулевое, носитель такого сплайна ограничен несколькими ближайшими подинтер-валами) сплайны В. С. Рябенького, дефект которых отличен

от минимального. Рассмотрены многомерные сплайны. Практическая реализация равномерной полиномиальной или рациональной аппроксимации основывается на теореме Чебышева об альтернансе: в итерационном алгоритме чередуются шаги по улучшению выбора точек альтернанса, в которых модуль разности аппроксимируемой и аппроксимирующей функций достигает максимума, и нахождению величины этого отклонения и аппроксимирующей функции как решения задачи на собственное значение. Приведены примеры такой аппроксимации для весьма громоздких функций (т.н. формулы ВМО, полученные экспериментально) давления насыщения водяного пара над водой и надо льдом как'- функции температуры в широком диапазоне. Погрешность аппроксимации убывает в геометрической прогрессии от степеней числителя и знаменателя. Оптимален следующий выбор степеней: степень числителя равна степени знаменателя или на 1 меньше. Качество квадратурной формулы на отрезке (или области п—мерного пространства), аппроксимирующей интегральный функционал на данной сетке узлов, может характеризоваться степенями многочленов, на которых эта формула точна; в случае окружности это тригонометрические многочлены, на сфере — сферические функции. Если все N + 1 узлов фиксированы, то выбором коэффициентов можно добиться IV—ого порядка, а если допустить оптимизацию и по расположению узлов (т.н. формулы Гаусса), то — порядка 2М + 1. В некоторых задачах интересны результаты аппроксимации не на всех гладких функциях, а лишь на удовлетворяющих некоторым заданным граничным условиям (например, при интегрировании по широте гармоник по долготе скалярных функций на сфере можно учесть, что в точках полюсов они или их первая производная обращаются в нуль). В этом случае используются формулы Гаусса - Лобатто, Гаусса - Лобатто - Лежандра и Гаусса - Лобатто - Чебышева.

В приложении 8 Случайные поля, вероятность и синтез оптимальных в статистическом смысле операторов рассматриваются основные понятия теории вероятностей: а—алгебра и мера на пространстве элементарных событий, случайная величина, независимость, коррелированность и некоррелирован-

ность случайных величин на общем пространстве событий, плотность вероятности, моменты, неравенство Чебышева, условные вероятности, гауссовские величины, предельные теоремы (т.е. оценки распределения суммы одинаковых независимых случайных величин в т.ч. полученные с помощью метода перевала), теорема Берри - Эссена, разложение реализаций случайных полей по естественным ортогональным составляющим (е.о.с.) этого-поля, однородные и/или изотропньге (в узком и широком смыслах) случайные поля в пространстве, на сфере, однородном пространстве группы Ли. В случае векторного поля на сфере (другие многообразия в метеорологии важны меньше) ортогональная группа может действовать не только на аргумент векторного поля, но и (ковариантным или контравариантным способом) на само поле в каждой точке. Показана связь е.о.с. и собственных функций оператора Лапласа, инвариантного относительно действия соответствующей группы Ли. Приведена теорема Ито о разложении случайного поля по его спектральной мере, теорема Бохнера об общем виде корреляционной функции, Молчана об общем виде спектральной меры однородного марковского случайного поля. Рассмотрены методы синтеза оптимального оператора: некий эталонный псевдодифференциальный оператор (например, дифференцирования, сдвига аргумента или высокочастотного фильтра) приближается функцией от заданных исходных операторов (как правило, операторов сдвига на шаг сетки). Качество такой аппроксимации определяется спектральной мерой случайного поля, на котором действуют все эти операторы. В качестве множества функций рассматриваются конечные линейные комбинации или аналитические функции (этому множеству функций отвечает аппроксимация по бесконечной сетке; она дает оценку сверху качества аппроксимации на произвольном конечном шаблоне). Также рассматривается синтез оптимальных матричных операторов, действующих на случайные векторнозначные поля и синтез оптимальных функционалов, например, оптимальных квадратурных формул, действующих на случайных полях. В частности, рассматривается синтез на сфере, учитывающий ненулевую кривизну земной поверхности, особенно существенную в приполярных областях при

аппроксимации на широтно-долготных сетках. Вся эта теория является естественным обобщением теории Колмогорова - Хин-чина - Винера стационарных случайных процессов.

В приложении 9 Аппроксимация Паде и ее обобщения даны обычные определения и рассмотрены аппроксимации экспоненты (формулы О. Перрона) и логарифма (используемые для вычисления коэффициентов неявных т.н. компактных схем). Аппроксимация Паде м.б. полезна при разностной аппроксимации псевдодифференциальных операторов. В качестве примера рассмотрена задача имитации теплообмена атмосферы с почвой, в. которой предполагается выполненным линейное уравнение теплопроводности с постоянным коэффициентом Т> и условием стабилизации температуры при г —> —оо. На границе (при г = 0) выполняются два условия стыковки рещения. Реще= ние в почве нас интересует лишь постольку, поскольку оно участвует в этих стыковочных условиях. Предположим, что разностная схема интегрирования по времени — Кранка - Никол-сона (возможны и другие схемы). После преобразования

по времени на луче г < 0 получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, допускающее аналитическое решение, зависящее от комплексного параметра д. Значения при г = 0 решения Т(<; г) и его первой производной во все или в дискретные, с шагом Д моменты времени выражаются одно через другое с помощью явно выписанных имитирующих для атмосферной модели теплообмен в почве псевдодифференциальных операторов типа свертки (интегральных в дифференциальном случае и сумматорных в случае разностной аппроксимации по времени). Аппроксимация Паде применяется к символу имитирующего оператора при д = оо, и мы получаем, т.о., коэффициенты в рекуррентной формуле с1гТ(0, п Д <) =

т п

= (1>Д<)-1/2 £ А. [Г(0, (гг-Л Д<)-Г_то]-£ <и [¿ЯТ(0, (п-^) Д*)]

7=0 ¿=1

Ранее в работе Е. Н. Блиновой такой подход использовался (в другой терминологии) только для случая адшроксимациа Тейлора, т.е. п = 0. Проведенные численные эксперименты на решениях с характерным периодов порядка суток показала, что

оптимальное соотношение степеней числителя и знаменателя — равенство или степень знаменателя чуть выше, а вариант Блиновой (нулевая степень знаменателя) значительно им уступает.

Рассмотрены варианты обобщений аппроксимации Паде: многоточечная аппроксимация (условия на искомую рациональную функцию и ее производные ставятся в нескольких различных точках отрезка или комплексной плоскости); векторная аппроксимация Паде - Эрмита, которая используется в диссертации для классификации многослойных схем интегрирования эволюционных уравнений и формирования граничных условий полного поглощения для разностных уравнений и систем; аппроксимация Паде при нескольких переменных, коммутирующих или некоммутирующих. Последнее существенно при схемах с расщеплением на некоммутирующие операторы. Известная схема переменных направлений дает пример схемы второго (а не первого порядка, как при простом расщеплении).

В приложении 10 Средние значения метеорологических полей приведены графики и изолинии метеорологических полей, показывающие географическое, высотное и сезонное распределение основных метеорологических полей.

В приложении И Модели и результаты лидирующих метеорологических центров приведен краткий обзор параметров моделей и оценки результатов их прогнозов.

Книга завершается списком обозначений, списком терминов с указанием страниц, где даются соответствующие определения (около 1000 дефиниций), списком литературы (1140 названий) и оглавлением.

Литература

[1] А. Н. Багров, В. А. Гордин, Н. Ю. Очан: Оперативная схема объективного анализа на основе совместной оптимальной интерполяции полей геопотенциала и ветра. Метеорология и гидрология, 1988, N 5, с.42-51.

[2] А. Н. Багров, В. А. Гордин, М. Д. Цирульников: Оперативная схема объективного анализа в, тропосфере и стратосфере. Метеорология и гидрология , 1990, N 8, 37-45.

[3] В. А. Гордин: О смешанной краевой задаче для линеаризированной баротропной модели атмосферы. Экспресс-информация, ВНИГМИ-МЦД, сер. Метеорология, N 11(43), стр. 12-15, 1975.

[4] В. А. Гордин, Р. М. Шустеф: Об оптимальной разностной аппроксимации на широтно-долготной сетке оператора дифференцирования. ibid, стр. 16-19.

[5] В. А. Гордин: Характеристическая смешанная краевая задача для линейного уравнения первого порядка. Тр. Гидрометцентра СССР, N 180, pp. 108-118, 1976.

[6] В. А. Гордин: Об применении равномерной рациональной аппроксимации к задаче численного прогноза. Экспресс-информация, ВНИГМИ-МЦЦ, сер. Метеорология, N 2(46), стр.1-6, 1976.

[7] В. А. Гордин: Об оптимальных квадратурных формулах на сфере. Журнал вычисл. матем. и мат. физики, т. 17, N 1, стр.35-41, 1977.

[8] В. А. Гордин: О синтезе оптимальных разностных схем на сфере. Метеорология и гидрология, N 4, рр.35-41, 1977.

[9] В. А. Гордин: Некоторые математические задачи численного гидродинамического прогноза. Сб. докл. II Всесоюзной конференции молодых ученых Гидрометслужбы.Гидрометеоиздат, стр. 11- 17, 1977.

[10} В. А. Гордин: К вопросу о вариационном согласовании метеорологических полей. Метеорология и гидрология, N 12, с.тр.95-96, 1977.

[11] В. А. Гордин: О смешанной краевой задаче, иммитирующей задачу кКоши. Успехи матем. наук, т. 33, N 5, стр.181-182, 1978.

[12] В. А. Гордин: Синтез оптимальных матричных операторов как способ учета статистической структуры метеорологических полей при численном прогнозе. Тр.Гидрометцентра СССР, N 196, стр.72-90, 1978.

[13] В. А. Гордин: О смешанной краевой задаче для баротропной модели. ibid, стр.48-61.

[14] В. А. Гордин, Е. А. Локтионова: О применении сплайн-аппроксимации к расчету профилей температуры. Тр.Гидрометцентра СССР, N 212, стр.56-68, 1978.

[15] В. А. Гордин: Применение проекторов в прогностических схемах. ibid, рр.79-96.

[16] В. А. Гордин, Б. К. Долматов: О верхнем краевом условии в задаче численного прогноза метеорологических элементов. Метеорология и гидрология, N 9, стр.25-33, 1979.

[17] В. А. Гордин, Е. А. Локтионова: Объективный анализ тропопаузы. Метеорология и гидрология, N 2, стр.32-39, 1980.

■ [18] В. А. Гордин: Метод расчета потока тепла в почву по температуре. Метеорология и гидрология, N 1, стр.54-60, 1981.

[19] В. А. Гордин, Ю. Д. Реснянский: Численное решение задачи о крупномасштабной ветровой циркуляции в океане. (Задача с косой производной). Океанология, т. 20, N 6, стр.960-965, 1981.

[20] В. А. Гордин: Краевое условие полного поглощения волн, выходящих за пределы прогностической области для разностного уравнения в частных производных. Тр.Гидрометцентра СССР, N 242, стр.104-120, 1982.

[21] В. А. Гордин: Применение векторной аппроксимации Паде при численном решении эволюционных прогностических уравнений. Метео-рЪлогия и гидрология, N 11, стр.24-37, 1982.

[22] В. А. Гордин, Е. А. Локтионова: Вычисление температуры и ее вертикальных производных, определение характеристик поля тропопаузы, контроль и согласование данных о геопотенциале и температуре на основе аппроксимации вертикального профиля геопотенциала кубическим сплайном. Комплекс программ. Принят в ОФАП в 1982г. Ж030030752.

[23] В. А. Гордин: Об устойчивости по Ляпунову простейших стационарных решений прогностических систем. Изв. АН СССР, сер. "Физика атм. океана", т. 20, N 5, стр.356-363, 1984.

[24] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Устойчивые солитонные решения в резонансном зональном потоке. Изв. АН СССР, сер. Физика атм. океана, т. 20, N 7, стр.645-648, 1984.

[25] В. А. Гордин: О согласовании корреляционных функций геопотенциала и температуры. Метеорология и гидрология, 1984, N 5, с.101-103.

[26] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Квазигеострофические вихри, устойчивые по Ляпунову. Докл. АН СССР, т. 285, N 4, стр.857-861, 1985.

[27] В. А. Гордин, Е. А. Локтионова: Вертикальный контроль информации о геопотенциале и температуре. Метеорология и гидрология, N 4, стр.20-27, 1986.

[28] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Уравнение неразрывности спираль-ности в средах с бесконечной проводимостью. Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 45, N 5, стр.215-216, 1987.

[29] В. А. Гордин: Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Аналитические' аспекты. Гидрометеоиздат, Д., 1987, 256 стр.

[30] В. А. Гордин: Математические задачи гидродинамического прогноза погоды. Вычислительные аспекты. Гидрометеоиздат, JI.,' 1987, 264 Стр.

[31] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Калибровка вектор-потенциала и МГД-равновесия, устойчивые по Ляпунову. Физика плазмы, х 13, N 7, стр.124-131, 1987.

[32] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Достаточные условия устойчивости удержания плазменного цилиндра. Физика плазмы, т. 15, N 7, стр.240-246, 1989.

[33] В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Устойчивые по Ляпунову МГД-равновесия плазмы с ненулевым давлением. Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 68, N 5, стр.1711-1722, 1989.

[34] В. А. Гордин: Математика, компьютер, прогноз погоды. Гидрометеоиздат, JI., 1991, 224 стр.

[35]. В. А. Гордин, В. И. Петвиашвили: Нелинейная устойчивость идеальной плазмы, сб. "Нелинейные волны. Физика и астрофизика", ред. А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович, 1993, с.112-117. V. A. Gordin, V. I. Petviashvili. The nonlinear stability of ideal plasma. В сб. "Nonlinear Waves.3", Springer Verlag, E, 1991, c.85-90.

[36] В. А. Гордин: Первые интегралы и устойчивость стационарных течений для задачи динамики идеальной электронной плазмы. Физика плазмы, 1994, т. 20, N 4, с.447-448.

[37] В. А. Гордин: Оптимизация структуры корреляционных функций как задача вариационного исчисления. Метеорология и гидрология, 1994, N 4, с.39-45.

[38] В. А. Гордин: Об обратной интерполяции осредненных значений применительно к климатической информации. Метеорология и гидрология, 1994, N 11, с.110-114.

[39] В. А. Гордин: О вариационной четырехмерной вариационно-статистической интерполяции сохраняющихся величин. Изв. РАН. Физ. атм. и океана, 1998, т. 34, N 2, стр.214-221.

[40] В. А. Гордин, А. П. Кац: Разбиение на кластеры наблюдений ветра в аэрологических сообщениях улучшает их вертикальный контроль. Метеорология и гидрология, 1999, N 2, стр.45-54.

[41] В. А. Гордин: Обработка метеорологической информации как задача прикладной математики. Труды Гидрометцентра России, 1999, N 334, стр.70-79.

[42] О. A. Alduchov, V. A. Gordin -.3-D Correlation Functions of Upper-Air Parameters. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling",

1998, N 27/865, pp.1.1-1.2.

[43] 0. A. Alduchov, V. A. Gordin: 3D Correlation Functions — Variational Problem. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling",

1999, N28, pp.1.1-1.2.

[44] O. A. Alduchov, V. A. Gordin: Complete System of 3-D geopotential height, Temperature and Wind Correlations. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling", 2000, N 29, pp.1.1-1.2.

[45] A. D. Beklemishev, V. A. Gordin, R. R. Khayrutdinov, V. I. Petviashvili, T. Tajima: Toroidal Plasma Reactor with Low External Magnetic Field. Preprint of University of Texas at Austin, DOE/ET - 53088 - 474, IFSR # 474, 29p. (1991); "Nucl.Fusion.", v. 33, N 2, pp.237-249, 1993.

[46] V. A. Gordin, E. A. Loktionova: On the application of the spline-approximation of the hydrostatic equation to the checking and adjustment to the temperature and height data samples. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling", v. 37, pp.2.4-2.11, 1981.

[47] V. A. Gordin, E. A. Loktionova: Objective analysis of the tropopause using the spline-approximation of the vertical profiles of the geopotential heights. ibid, pp.2.12-2.17.

[48] V. A. Gordin, V. I. Petviashvili: Sufficient Conditions for the Stability of Ideal Plasma. Int. Conf. on Plasma Physics. Kiev. USSR. Proc. of contributed papers, v. 3, pp.52-55, 1987.

[49] V. A. Gordin, V. I. Petviashvili: Lyapvnov stability of incompressible flow of ideal fluid. Swirl flows in pipe. Preprint of Institute Atomic Energy, Moscow, USSR, 1990.

[50] V. A. Gordin: Meteorology: the Art to Measure, Construct Models and Calculate. Proc. Int. Conf. on School and Popular Meteorological k Oceanographic Education, Edinburgh, 1996, pp.108-114.

[51] V. A. Gordin, A. P. Katz: Statistics Depend on the Density Level. "Research Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling", 1997, N 25, pp.1.13-1.14.

[52] V. A. Gordin, A. P. Katz: An Extended Parameter Space for the Vertical Verification on Meteorological Data, ibid, pp. 1.11-1.12.

[53] V. A. Gordin: Choice of Configuration Space and Correlation Functions for Optimal Interpolation, ibid, pp.1.9-1.10.

[54] V. A. Gordin: Synoptical Situations Separate Correlation Functions, ibid, 1998, N 2l\ MO/TD-No 865, WMO, p. 1.25-1.26.

[55] V. A. Gordin: Optimization of Eigenvalue of the Shródinger Equation with Respect to Potential. Russian Journal Mathem. k Theoretical Physics. 1997, v. 5, N 4 pp.521-526.

[56] V. A. Gordin: First Integrals of Evolution Systems and Non-linear Stability of Stationary Solutions for the Ideal Atmospheric, Oceanic,

' Hydrodynamical and Plasma Models. Proc. Int. Conf. Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems, Zakopane, 1995; J. of Technical Phys. 1998, v. 39, N 2, pp.213-219.

[57] V. A. Gordin: Mathematical Problems and Methods in Hydrodynamical Weather Forecasting. Gordon k Breach, 2000, 842p.

[58] V." A. Gordin: The Most Unstable Profile of a Plane-Parallel Flow in a ' Channel. "Meccannica", 2000, v.269, N 1, pp.39-53.

[59] V. A. Gordin, A. P. Katz: Clustering of Wind Observation in the Upper-Air Messages in Their Vertical Control. "Research •Activities in Atmospheric and Oceanic Modeling", 1999, N 28, pp.1.20-1.21.

41 AAQZ-i/8A-O

Mathematical Problems and Methods In Hydrodynamic Weather Forecasting

Vladimir Gordin / — - —

Hydrometeorolosical Center of Russie Moscow, Russia .

Президиум ВАК России

-(решениеот;-".....' М А V , Щ З А )

присудил y4ii.ri у к> стеао>.' / РА

наук

; • Начальник управления 1?, )ССИИ

GORDON AND BREACH SCIENCE PUBLISHERS Australia • Canada • France • Germany • India • Japan • Luxembourg Malaysia • The Netherlands • Russia • Singapore • Switzerland

Copyright © 2000 OPA (Overseas Publishers Association) N.V. Published by license under the Gordon and Breach Science Publishers imprint.

All rights reserved.

No part of this book may be reproduced or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying and recording, or by any information storage or retrieval system, without permission in writing from the publisher. Printed in Singapore.

Amsteldijk 166 1st Floor

1079 LH Amsterdam The Netherlands

British Library Cataloguing in Publication Data

Gordin, Vladimir A.

Mathematical problems and methods in hydrodynamic weather forecasting

1. Hydrodynamic weather forecasting - Mathematical models

2. Hydrodynamic weather forecasting - Data processing

3. Hydrodynamic weather forecasting - Numerical methods L Title

551.6'3'0151

ISBN 90-5699-164-7

То ту parents, A.M. Gordin and E.D. Gordina

Contents

Introduction XV

1 Equations of Dynamical Meteorology 1

1.1 Equations of the Hydrothermodynamics 2

1.1.1 Continuous Medium 2

1.1.2 Mass Conservation Law 3

1.1.3 Momentum Conservation Law 4

1.1.4 Energy Conservation Law 6

1.1.5 Thermodynamic Functions 8

1.1.6 Ideal (Perfect) Gas 9

1.1.7 Hydro thermodynamic Equations in Spherical Coordinates 12

1.1.8 Gravity Force and Coriolis Force 14

1.1.9 Physical Limitations of Model 15

1.1.10 Free Atmosphere on /- and /3-Planes 16

1.2 First Integrals of Evolutionary Systems 18

1.2.1 Total Derivative of Functional in virtue of

a System 19

1.2.2 First Integrals of Degree 0 for a First Order Quasi-linear System 22

1.2.3 First Integrals of Degree 0 for System (1.32) 22

1.2.4 First Integrals of Degree 0 for the Spherical

Model 29

1.2.5 First Integrals and Hydrodynamic Stability 33

1.2.6 Stable Steady-State Solutions for the System of Hydro thermodynamic Equations 35

1.2.7 Stable Zonal Flow 38

1.3 Properties of Evolution Equations Systems 39

1.3.1 The Cauchy-Kovalevskaya Theorem 41

1.3.2 The Cauchy Problem for Systems of Linear

Ordinary Equations with Constant Coefficients 43

1.3.3 Applications of Formula (1.66): The Sphtting

Method and a Lax Pair 45

vill

Contents

1.3.4 Systems of Linear Partial Differential Equations

with Constant Coefficients 46

1.3.5 First Order Hyperbolic Systems 49

1.3.6 Parabolic Systems 51

1.3.7 Mixed Problem for Evolutionary Systems 54

1.3.8 Systems with Discontinuous Coefficients 60

Quasi-linear Hyperbolic Systems and Gas Dynamics 61

1.4.1 Cauchy Problem for the Non-linear Transport (Advection) Equation (1.40) 62

1.4.2 Discontinuous Solutions and the Hugoniot-Rankine Condition 66

1.4.3 Choice of a Unique Weak Solution 68

1.4.4 Discontinuous Solutions for More General Systems

and Equations 74

1.4.5 Jump Conditions for Hydrothermodynamic

Equations 77

1.4.6 Riemann Invariants and Characteristics 80

1.4.7 Systems of Conservation Laws with Generahzed Entropy and Symmetrization 87

1.4.8 Propagation of Disturbances 94

1.4.9 Examples of Tangential Discontinuities' Instability 96

2 Small Parameters and Small Oscillations 103

2.1 The Hydrostatic Equation 105

2.1.1 The Small Parameter in System (1.32)

Describing Dynamics of the Atmosphere 106

2.1.2 /A-Coordinate System 111

2.1.3 Boundary Conditions for the Hydrostatic System

of Equations with in the /i-Coordinate 113

2.1.4 Phillips'(7-Coordinate System 117

2.1.5 61-Coordinate System 118

2.2 Free Oscillations over the /-Plane 120

2.2.1 Reduction of the System to an Ordinary Second Order Differential Equation

Depending on a Spectral Parameter 121

2.2.2 Separation of Variables 125

2.2.3 Specific Values of the Spectral Parameter A 127

2.2.4 Boundary Conditions for the Function 131

2.2.5 Free Oscillations in the Quasi-static Approximation 139

Contents ix

2.3 Small Oscillations of the Atmosphere over the Spherical Surface 147

2.3.1 Linearization of the Hydrodynamic Equations

and Separation of Variables 147

2.3.2 Eigen-functions of the Laplace Tidal Equation

(the Hough Functions) 152

2.3.3 Eigen-functions of the Model over the /3-Plane 162

2.3.4 Initialization Using the Normal Modes Technique 164

2.4 Atmospheric Front and Stability of Small Oscillations

in its Vicinity 168

2.4.1 Geostrophic Stationary Solutions 168

2.4.2 Small Oscillations. A Basic State as a Perturbation of a State in Which Separation of Variables is

Allowed 172

2.4.3 The Spectrum Perturbation of Geostrophic Modes 174

2.4.4 Perturbation of the Spectrum of Gravitational and Acoustic Modes 177

3 Meteorological Data Processing 179

3.1 Sources of Meteorological Data 181

3.1.1 Types of Measurements 184

3.1.2 The Density of Meteorological Data Covering Different Areas and Different Vertical Levels 185

3.1.3 Bias and Precision of Measurements 187

3.2 Optimum Interpolation Method 191

3.2.1 Optimum Interpolation of Scalar Fields

(e.g., of Geopotential Field) 192

3.2.2 Choice of a Correlation Function. Phillips

Theorem 194

3.2.3 Optimum Integration over Sphere SA 196

3.2.4 Optimum Differentiation on Sphere 203

3.2.5 Optimum Interpolation of Wind Field and Multivariate Optimum Interpolation of Geopotential

and Wind 209

3.2.6 Selection of Relevant Stations (Example of Algorithm) 215

3.2.7 Objective Analysis of Atmospheric Fronts 217

3.2.8 Choice of a Configuration Space and Correlation Functions for Optimum Interpolation 219

3.2.9 Non-Homogeneity of 3D Correlation Functions 221

X

Contents

3.2.10 Optimal Approximation of a Correlation

Function by Self-similar Ones 223

3.2.11 Vertical Coordinate where a given

Random Field is Closest-to-Homogeneous 226

3.2.12 Objective Analysis of Tropopause 228

3.3 Variational Adjustment of Meteorological Fields 232

3.3.1 Adjustment of Geopotential and Temperature

Profiles 234

Variational Adjustment of Wind and Geopotential Fields with the Geostrophic Relationships as Constraints 236

Variational Adjustment of Wind and Geopotential Fields with the Linear

Balance Equation as a Constraint 237

Variational Adjustment of Wind and Geopotential Fields with the Non-Linear Balance Equation as a Constraint 242

Variational Adjustment of Wind's Speed 243

Variational Adjustment of the Co variance Functions of Geopotential and Temperature 246

Improvement in Small Non-positive Definiteness of a Covariance Matrix.

Variational Approach 248

3.3.2

3.3.3

3.3.4

3.3.5

3.3.6

3.3.7

3.4 Solvers for EUiptic Problems and Functional's

Minimization 251

3.4.1 Matrix Double-Sweep Method and Fast Fourier Transform for Numerical Solution of Elliptic Boundary Value Problem (e.g., for system (3,41)-(3.44)) 252

3.4.2 Simple Iteration Method 260

3.4.3 Chebyshev Acceleration, Projections, and Energy Equivalent Operators 263

3.4.4 Relaxation and Multi-grid Methods 268

3.4.5 Minimizing of Non-Hnear Functionals 281

3.4.6 Block Relaxation Method 287

3.5 Quality Control and Reconstruction of Missing

Meteorological Data 287

3.5.1 ClimaticChecking 288

3.5.2 Horizontal and Temporal Verifications 290

Contents

xi

3.5.3 Vertical Checking 291

3.5.4 Complex (Multi-component) Quality Control 295

3.6 4D Data Assimilation 297

3.6.1 Lyapunov Vectors 300

3.6.2 The Continuous 4D Data Assimilation 304

3.6.3 The Linear Transport Equation 307

3.6.4 Finite-Difference Approximation with

Respect to Time 309

3.6.5 Ellipticity Generically is Violated 312

3.6.6 Hypoellipticity for Generic Wind Fields 313

3.6.7 The Problem for Three-Time-Level Schemes 316

3.6.8 The Problem for Other Equations 317

3.6.9 Characteristics and Optimum Interpolation 317

3.6.10 Variational Adjustment of Potential Vorticity

and Wind Fields 321

3.6.11 Forecast Equations as Constraints 323

4 Numerical Methods for Prognostic Systems 329

4.1 Spectral, Spectral-Difference, Finite-Element and Finite-Difference Methods for Spatial Discretization 332

4.1.1 Spectral Methods 332

4.1.2 The Finite-Element Method 338

4.1.3 Projection Methods for Solution of Dissipative Equations. StabiUty and Convergence 339

4.1.4 Projection Methods AppUcation in

Non-hnear Problems 341

4.1.5 Finite-Difference Methods of Differential

Operators Approximation 343

4.1.6 Equations, that are Differential with Respect to

Time and Finite-Difference with Respect to Space 348

4.1.7 Finite-Difference Spatial Approximation of Conservation Laws. Divergence Schemes 355

4.1.8 Approximation, Stability, Convergence 357

4.1.9 Mixed Initial-Boundary Value Problem 361

4.1.10 Finite-Difference Approximation of Non-linear Operators. Lattices. Non-linear Instability 369

4.2 Vertical Discretization of the Hydrostatic System and the Barotropic Models of Atmosphere 378 4.2.1 The Projection Method of the Vertical

Discretization of the Quasi-Static System

(2.8), (2.9), (2.13) 378

xil

Contents

4.2.2 Difference Approximation of the Hydrostatic

System along the Vertical Coordinate 386

4.2.3 The First Integrals and Exact, Stable According to Lyapunov, Solutions for Barotropic Models of Atmosphere 393

4.2.4 Boundary Conditions along the Horizontal

Variables 404

4.3 Linear Schemes of Integration of Evolutional Equations 411

4.3.1 Linear Schemes 412

4.3.2 Explicit and Implicit Schemes; Examples 413

4.3.3 Multi-step Schemes 416

4.3.4 The Order of Approximation with Respect to Time and the Classification of the Schemes of Maximal Order of Approximation with Respect to Time 421

4.3.5 Computational Waves in Multi-Level Schemes and

their Suppression 422

4.3.6 Stability and Convergence 429

4.3.7 The Schemes Using Staggered (Chess-board) Grids 449

4.3.8 Schemes with Averaging and Phase Error Minimization 452

4.3.9 Multi-Splitting Schemes 458

4.3.10 Mixed Boundary-Value Problem for Finite-Difference Equations and Systems 463

4.3.11 Boundary Conditions of the Total Absorption of the Waves Coming out of the Prognostic Area (the Sommerfeld Condition of Radiation, the Conditions Simulating Cauchy Problem, or the

Open Boundary Conditions) 470

4.3.12 Spectral Models 478

4.4 Non-linear Schemes for Integration of

Conservation Laws Systems 481

4.4.1 Schemes for a Scalar Conservation Law 482

4.4.2 Monotone Schemes 485

4.4.3 Consistence with Entropy Condition 491

4.4.4 Godunov Scheme 492

4.4.5 Godunov-Type Schemes 494

4.4.6 Total Variation Non Increasing Schemes

(or Total Variation Diminishing Schemes) and Monotonicity Preserving Schemes 497

4.4.7 Numerical Experiments with a Generalized

Solution of Eq. (1.40) 507

Contents xiii

4.4.8 Generalization to the Multi-dimensional Case 513

4.4.9 Systems of Conservation Laws 515

4.4.10 Scheme Conserving the Energy and Diminishing

the Enstrophy 522

Appendix 1. Analysis on Metric Spaces and Manifolds 527

Appendix 2. Calculus of Variations 547

Appendix 3. Distributions. Integral Transforms. Pseudo-differential

Operators 561

Appendix 4. Hamiltonian Structures. Finite and Infinite

Dimensional Cases 589

Appendix 5. Stability and Perturbation Theory for

Differential Equations 617

Appendix 6. Eigen-functions of Linear Differential Equations 647

Appendix 7. Polynomial and Spline Interpolation,

Rational Chebyshev Approximation, and

Quadrature Formulae 665 Appendix 8. Probability, Random Fields, and the Optimal

Operator Synthesis in a Statistical Sense 687

Appendix 9. Pade Approximation and its Generalizations 709

Appendix 10. Mean Values of Meteorological Fields 719 Appendix 11. Models and Results in Leading Meteorological

Centers 727

Notations 735

Bibliography 739

Subject Index 811

Introduction

For in much wisdom is much grief: and he that increaseth knowledge increaseth sorrow.

ECCLESIASTES; OR, THE PREACHER. Ch. I, Ver. 18

BUT

It is difficult to find a person who is indifferent to the weather and who would not be interested in its forecast.' However, it was only about a century ago that meteorology began to develop as a science from separate ideas of atmospheric stafics and dynamics.

The question of a large-scale hydrodynamical forecast as a hydrodynam-ical problem is a question about the dynamics of weakly compressed gas, which is stratified because of the Earth's gravitation and the non-homogeneity of heating, which connected with the non-inertial (owing to the Earth's rotation) coordinate system, in the forecast area which is much larger horizontally than vertically.

From the mathematical point of view this means the solution of the mixed initial boundary value problem for various non-linear systems of partial differential equations both hyperbohc and more complicated, with discontinuous solutions likely to arise. The natural preUminary stages are: (1) the study of hnearized systems, in particular, the problems in small oscillations; (2) the analysis of the well posedness of the Cauchy problem; (3) the derivation of self-similar solutions and first integrals; (4) the investigation of problems of hydrodynamic stabihty; (5) the study of evolution of tangential discontinuities — atmospheric fronts.

In most problems of mathematical physics, the boundary of a computation area is a real object, for example, a boundary of a solid body, for which the problem of thermal conductivity is solved. Here the phenomena taking place at the boundary can be explicitly described: the Neumann condition corresponds to the insulation of the boundary; the Dirichlet condition to the

' "We live at the bottom of a sea of air", E. Torrichelli, 1644y,

xvi

Introduction

prescribed temperature on the boundary by means of external arrangements, etc. In geophysics, in particular in meteorology, the situation is different: the boundary of a domain is defined arbitrarily, according to the supply of input data, by the necessity of using more complicated equations (for example, in the upper layers of atmosphere) and computer power. But in spite of the absence of physically justified boundary conditions it is aU the same necessary to pose them, and for securing the well-posedness of the mixed initial-boundary value problem the set of the boundary conditions must satisfy some constraints. A natural variant of the boundary conditions are the boundary conditions of the full absorption of the waves coming out from the forecast area — a generalization of Sommerfeld's radiation condition to the case of more compHcated, though linear, systems and limited forecast area.

The computational aspects of the forecast problem exist in the processing of large volumes of meteorological information, its checking, completing, interpolation, in computing the meteorological fields evolution with a real computer according to the numerical scheme. The word "real" means that the power of computer restricts model parameters: the number of degrees of freedom (grid points in a difference scheme, basis functions in a spectral one), the accuracy of approximation, the kinds of information being treated, the set of non-adiabatic processes taken into consideration and the precision of their description. That is why the efficiency of a computational scheme is its most important parameter.

After approximating partial differential equations by discrete ones it is necessary to solve again the task of the Cauchy problem well-posedness and then that of the mixed boundary value problem well-posedness, though the general scheme of study is similar to the differential variant. Realization of forecast schemes is connected with such difficulties as, for example, non-linear instability or modelling of tangential discontinuity — atmospheric fronts. A separate task is initialization of original information, i.e. such its modification that aUows to reduce the amplitude of the high-frequency components while working further with the given computational scheme.

For modern forecast models the so-called "rigidity" is typical, i.e. the models describe both fast gravitational waves and slow waves connected with the particles transfer. The latter are more essential for the meteorological forecast, .but the former cannot be "filtered out" because both types of waves interact with each other. For checking the stability of a difference scheme according to the Courant-Friedrichs-Levy criterion it is necessary to use just the fastest velocity. That is why the schemes implicit with respect to gravitational linear terms and exphcit with respect to transfer non-linear schemes are widely used. I. A. Kiebel was the first to propose such a scheme. Later its modifications that had the second

Introduction

xvii

approximation order on time were proposed. Such integration schemes are used to date.

The result of the forecast problem is not one or several numbers as happens with many problems of mathematical physics, but a large set of numbers, which makes the problem of evaluation and comparison of numerical schemes technically difficult.

Many of the enumerated questions are found in other geophysical, hydrodynamical and, in general, physical applications. The solution of these problems is connected with the use of a comphcated and diverse mathematical apparatus.

One of the main purposes of the book is to help the reader to come to know and (or) master this apparatus using the examples of the weather forecast problems. Control questions (denoted by Q) of different complexity (those more difficult are denoted by "*") should assist in this purpose, as well as eight mathematical appendices that can be used if the reader does not understand some ideas in the main text. The appendices can also be used as short reviews of the main result of a given topic; the proofs of the theorems are, as a rule, either completely omitted or replaced by short commentaries (denoted by " N"). In both cases there are references to monographs or articles where these proofs are presented. Most of the proofs and calculations that the author considered to be methodically useful or little known are left in the book, sometimes in spite of their bulk.

The other purpose of the book is to give mathematicians (pure and applied) the possibility to acquaint themselves with geophysical appendices in a convenient (as the author hopes) form for them.

It is expedient to mention large sections of meteorology that are not discussed, or are discussed only briefly, in the book. These are the methods of accounting non-adiabatic factors, small-scale meteorological processes, e.g. the air flow near a mountain, long-term forecasts, climatology.

The subject of presentation is large-scale forecast for 1-10 days.

The book could not have been written without the friendly help and participation in numerous discussions of the author's colleagues. The author thanks them and especially S. L. Belousov, 0. S. Kozlovsky, A. I. Neishtadt, O. S. Rosanova, M. A. Tolstykh, O. Talagrand, J. Tribbia, M. D. Tsyrulnikov, and N. A. Vladimirova with all his heart. N. S. Kurkova, I. G. Sitnikov, and O. I. Sitnikova strongly helped me in the translation.

The author wishes to acknowledge support from the Isaac Newton Institute, Cambridge, where part of this work was carried out.

CHAPTER 1

Equations of Dynamical Meteorology

" L a Dynamique est la science des forces accélératices ou retardatrices, et des mouvemens variçs qu'elles doivent produire. Cette science est due entièrement aux modernes, et Galilée est celui qui en a jeté les premiers fondements. Avant lui on n'avait considéré les forces qui agissent sur le corps que dans l'état d'équilibre; et quoiqu'on ne pût attribuer l'accélération des corps pesans, et le mouvement curviligne des projectiles qu'à l'action constante de la gravité, personne n'avait encore réussi à déterminer les lois de ces phénomènes journaliers, d'après une cause si simple. Galilée a fait le premier ce pas importanat, et a ouvert par là une carriè re nouvelle et immence a l'avancement de la Mé c anique. Cette découverte est exposée et développée dans l'ouvrage intitulé: Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno a due move science lequel parut pour la première fois à Leyde, en 1638.

J. L. Lagrange. Mécanique analytique. Second partie.

The description of models of phenomena taking place in the atmosphere is begun with the assumption: the atmosphere state can be defined by several smooth with respect to space variables functions and these functions are smooth with respect to time. From the conservation mass, momentum and energy laws and from thermodynamical properties of air a system of partial differential equations. The same or similar systems are suitable for a description of arbitrary gas and liquid follows. In the following chapters simplifications of the obtained "full" system will be fulfilled and investigated. Such simphfied systems happen to be more convenient for studying and numerical solution.

In Sections 1.2 and 1.3 the general properties of partial differential equations systems will be considered: in Section 1.2 — the methods of construction of the full list of the system first integrals and variational method make possible to use obtained first integrals for finding stationary stable according to Lyapunov solutions of primitive system; in Section 1.3 — methods of studying of well posedness of Cauchy problem and mixed initial-boundary problem. As the main example either the system of hydro-dynamical equations obtained in Section LI or its natural simplifications are used. However, the description is given in a sufficiently general form in

2

Equations of Dynamical Meteorology

order that the reader can apply the described methods to a broad class of systems and equations.

In Section 1.4 we will have to revise our approach to the model construction, based on the hypothesis about a smoothness of a solution. It turns out that for infinitely smooth initial data the solution of quasi-linear hyperbohc systems (and also some other systems and equations) may be discontinuous. The discontinuity of the solution may arise in finite time, which can be estimated even in the simplest cases. Therefore it's necessary to extend the class of admissible solutions including disconfinuous solutions in it, but in such a way that the uniqueness of such generalized solution is guaranteed. The discussion here is limited to the conservation law systems (with some additional hmitations), and the conditions on the discontinuity, which select the unique solution, are the consequence of integral conservation laws. It appears that the system of hydrothermodynamical equations permits two kinds of discontinuous solutions: shock waves and tangential discontinuities, and only the second kind has a meteorological significance (atmospheric fronts).

1.1 Equations of the Hydro thermodynamics

Partial differential equations for the continuous medium evolution are obtained from the laws of mass, momentum and energy conservation and from thermodynamic medium properties. It is necessary to take into account the noninertiahty of the usually used coordinate system, which rotates together with the Earth becomes the contribution of Coriohs acceleration into large-scale model of atmosphere movement is rather important. The other important factor is the gravity force, which defines an essential nonhomogeneity in the vertical direction — stratification.

For further applications of different variants of writing of differential equations may be useful. We recommend to the reader to pay attention to the assumptions made while obtaining one or another equation.

1.1.1 Continuous medium

The atmosphere, which surrounds us as, many other substances, consists of so many molecules, that Laplace idea concerning "forecast of everything" by assigning their initial coordinates and momenta and by using the second Newton's law looks seems to be unpractical.

Statistic physics and ergodic theory give us an opportunity to find out some conformities of the evolution of the magnitudes averaged over a large number of particles. As an example we can examine the density, which is

Equations of the Hydrothermodynamics

3

defined by the following formula:

Nv

p{x,t)=mYiTa(1.1)

where is a volume of the ball with the radius r in the three-dimensional space and the centre of the ball is the point x, Nyis a number of particles inside this ball, m is the mass of one particle (molecules).

N.I. This definition needs, however, some correction, because if r is of the order of the mean distance between particles, then the relation NvaJVMr looses the meaning of the mean density in the volume and is equal to either zero or .

Here we will assume that the continuous medium can be described by a few functions completely, that this functions depend on the space variables and time, that they are smooth, except as otherwise noted.

Proof of the possibility of such a description, which follows from statistic "discrete", classical or quantum theory is too complicated and will not be examined here (see [86,120,131,186,189,284,504,601,644,699,890,958]).

N.II. In some numerical schemes the descriptions of gap solutions of the hydrothermodynamical equations enlarge the number of independent variables, describing the evolution of the probability density of particles according to coordinates and to momenta, but not only with respect to coordinates — so-called Boltzman's type schemes [437,834].

1.1.2 Mass conservation law

Let us consider the one-dimensional substance motion with the density (one-dimensional) p{x,t). Let us assume that the substance moves with the velocity u{x, t) and substance sources and sinks are absent. Then on the interval (x,x -t- Ax) at time instant t the mass p{x, t)Ax + O(AxA) is concentrated, and at time instant t + At — the mass

p{x,t + At) Ax+ 0{Ax^)

and

[p{x, t + At)- p{x, t)]Ax -f O(AxAAi)

= [M(JC, t)p{x, t) - u{x + Ax, t)p{x + Ax, t)]At + 0(Ax AiA).

The first term in the right hand side is the inflow across of the left boundary and the second one is outflow across of the right one. Passing to the limit as Ax, At 0, we will obtain

a.p(x,0=litnAAA'A + AA)-A(AM)

Ai-*0 At

j . A u{x, t)p{x, t) - u{x + Ax, t)p{x + Ax, t) , N

4

Equations of Dynamical Meteorology

Let us underline once more that when deriving this equation, which is called the continuity equation, it is important to use the smoothness of the functions p{x, t) and u{x, t). Otherwise there is no guarantee that the hmits exist.

Q.L Using Stokes formula (A1.9) deduce the three-dimensional continuity equation:

d,p{x, t) = -div [v{x, t)p[x, /)]. (1.2)

If there are a substance source and sinks, for example if p{x, t) is an industrial pollution density, also decreasing as a consequence of a chemical reaction in the air, then Eq. (1.2) is to be changed for

dtp{x, t) = -div [v{x, t)p{x, t)] +f{x, t).

The description of an explicit formula for the function / may be a very complicated problem, connected with the calculation of the chemical reactions speed [143,524].

The mass of the substance is conserved not only in the case of the transport of this substance by the flow v. For example, the diffusion of one substance with the density p{x, t) in another one is described by the equation:

dtp{x,t) = i\xVgi2iAp{x,t) (1.3)

The coefficient of the diffusion 2? > 0 in accordance with the problem may be a constant, a function of the independent variables x and t, of unknown function p and also of grad p. In the general, multi-component case X> is a matrix. The same equation describes the heat conduction phenomena.

Equation (1.3), hke Eq. (1.2), is based on the law of the substance conservation. Really, for each volume V with the smooth boundary dV according to Stokes theorem (A 1.9) the following equality is fulfilled:

dt J pdx — j div2?gradp</x = j (Vgradp,na)ds, V V dV

where nA is an external normal to 9F at the point f € 9F;(,) is the scalar product.

Certainly, the advection of pollutant by the flux v and the diffusion may be realized simultaneously.

Q.II. Invent another mechanism of the density evolution, which does not contradict the law of the substance conservation.

1.1.3 Momentum conservation law

The variation of the substance momentum in the interval [x, x + Ax] in the case of the one-dimensional motion during Af may happen due to:

(a) The flows of the substance with the non-zero momentum out of and into this interval;

Equations of the Hydrothermodynamics

5

(b) the resukatit action of the force f(x, t)Ax + O(AxA) according to the second Newton law.

Like in Subsection 1.1.2, the following equahty holds: [p(x, t + At)u{x, t + Ax, t) - p(x, t)u{x, /)] Ax

= [M(X, t) Kp{x, t) - M(X + Ax, t) Kp{x + Ax, t}]At + F{x,t)AxAt + 0{AxAt+ 0{AxA),

going to the limit (all functions suppose to be smooth again, and limits, therefore, exist), we obtain the equality:

a,(p(x, t)u) = -dx{u^p) + F{x,t).

Q.L Show that in the three-dimensional case the equations of the motion have the form:

dMx,t)n) = -d,,{pVi¥k)^Fi{x,t). (1.4)

Here and below the summation is assumed over repeated indices (here — from 1 to 3); v,(x, t) are the components of the velocity vix, t), Fiix, t) are the components of the force vector F{x, t).

The force is called a potential force, if such scalar function (p(x, t) exists that F(x, t) = grad ip. In particular, the pressure force is potential: F{x, t) = -gradp. The pressure /> is a new unknown function of x and t.

Q.II. Check that the sign of grad? is selected correctly.

If no forces except the pressure forces influence the substance, then equation of motion are called the Euler equations.

Q.III. Show that the gravity force