автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели возмущенного движения в центральных полях

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БРЭГМАН Константин Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

8 АПР 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005567127

Санкт-Петербург 2015

005567127

Работа выполнена в ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Квитко Александр Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Флегонтов Александр Владимирович (Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена, заведующий кафедрой информационных систем и программного обеспечения)

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Тимошкова Елена Ивановна (Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, научный сотрудник отдела небесной механики и динамической астрономии)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт информатики

и автоматизации РАН

Защита состоится "29" апреля 2015 г. в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ауд. 327.

Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.50 Г.И. Курбатовой.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат и диссертация размещены на сайте wvvw.spbu.ru.

Автореферат разослан " ]7" 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д-р физ.-мат. наук, проф. /ltZ.jP г-и- Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Построение моделей динамических процессов, таких как орбитальное и вращательное движение небесных тел, движение элементарных частиц, движение атомов и молекул в биологических системах и т.д., считается важной и актуальной задачей современной науки. Узким местом в построении и исследовании этих моделей является необходимость применения громоздких и сложных процедур решения дифференциальных уравнений, лежащих в их основе.

На длительном пути развития моделей динамики были разработаны различные методы их построения и исследования, что привело к появлению принципиально более совершенных моделей или к значительному улучшению свойств прежних. За пятьдесят с лишним лет развития информационных технологий постепенно на первый план вышло компьютерное моделирование динамических процессов, не сравнимое по своим возможностям с предыдущим более чем двухсот пятидесятилетним этапом, причем новые модели, новые методы их исследования и алгоритмы стали обычным событием в науке о движении. Можно привести большое количество посвященных этой проблеме работ российских и зарубежных авторов, например, работы С. Н. Андрианова, В. А. Брумберга, В. Н. Латыпова, К. В. Холшевникова, А. Абада (Abad, А.), М. Берца (Berz, М.), Д. С. Каротерса (Carothers, D. С.), И. Чанга (Chang, Y.), Дж. Корлисса (Corliss, G), Д. Граца (Graeca, D.), А. Гриванка (Griewank, А.), М. Джорба (Jorba, А.).

Сложность и трудоемкость процесса построения математических моделей приводит к необходимости автоматизации как самого этого процесса, так и исследования моделей. Действительно, недостатком содержательных реальных моделей современной динамики являются громоздкие, не вполне универсальные и, главное, недостаточно эффективные по временным затратам алгоритмы решения и исследования дифференциальных уравнений конкретных моделей. Для многих специальных моделей приходится разрабатывать свои методы и алгоритмы, и поэтому в современном компьютерном моделировании можно отметить, наряду с прочими тенденциями, и тенденцию к универсализации применяемых методов и алгоритмов с использованием мощных средств компьютерной алгебры.

В этой связи, на передний план выходят задачи построения универсальных методов, алгоритмов и комплексов программ, позволяющих исследовать и решать дифференциальные уравнения, лежащие в основе моделей динамических процессов. Проблемам решения указанных задач и посвящена настоящая работа.

Цель работы — разработать методы и алгоритмы моделирования в символьной форме движения таких материальных объектов, как планеты, спутники, кометы, молекулы, атомы и т.д. Подобный подход важен еще и потому, что результаты моделирования в аналитической (символьной) форме, даже если они и достаточно объемны, позволяют получать высокоэффективные численные алгоритмы решений. Например, модель движения системы материальных точек в центральном поле представляется в виде системы урвавнений с правыми частами представлеными аналитически заданными рядами возмущений или рядами Тейлора с аналитически заданными коэффициентами.

Научная новизна работы. В диссертации предлагается:

• новая схема реализации классического метода возмущений в центральных силовых полях;

• ряд новых алгоритмов, построения аналитических моделей динамики и их численная реализация;

• новая форма модели эллиптической задачи двух тел и модели в планетном варианте задачи трех тел;

• новые инструменты моделирования: алгоритмы метода дополнительных переменных, библиотека функций и дифференциальных уравнений;

• алгоритм символьного дифференцирования функций многих переменных;

• алгоритм сведения полных систем уравнений в частных производных к полиномиальной форме и другие алгоритмы.

Все эти инструменты реализованы в программе AVM (Additional Variables Method - Метод Дополнительных Переменных) для моделей, состоящих из дифференциальных уравнений достаточно широкого класса. Они используются при моделировании динамических процессов с большими возможностями настройки на конкретные задачи, причем результаты получаются в символьной форме и могут далее

обрабатываться и/или встраиваться в другие программные комплексы средствами системы Wolfram Mathematica.

Методы исследования. В диссертации используются вычислительные методы, методы компьютерной алгебры, прикладной астродинамики, теории дифференциальных уравнений. Программное обеспечение разработано с использованием языка программирования Java SE и системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Положения выносимые на защиту.

1. Новый метод построения приближенных моделей возмущенного движения материальной точки в произвольном центральном силовом поле.

2. Уравнения модели планетной задачи трех тел в эйлеровых элементах, полученные при помощи нового аналитического алгоритма сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.

3. Алгоритм метода рядов Тейлора для численного решения дифференциальных уравнений моделей динамики, основанный на новом аналитическом алгоритме дифференцирования.

4. Программный комплекс символьных вычислений AVM, основанный на алгоритмах метода дополнительных переменных. Он включает созданную библиотеку функций и дифференциальных уравнений для рассматриваемого класса задач.

Практическая ценность и реализация.

Изложенные в диссертации результаты и разработанная на пх основе программа AVM послужили основой для создания совместного с Л.К.Бабаджанянцем курса лекций «Автоматизация решения дифференциальных уравнений» для студентов факультета ПМ-ПУ, обучающихся на четвертом курсе бакалавриата по профилю «Математическое моделирование систем и процессов управления» (кафедра механики управляемого движения), который включен в программу по этому профилю. Апробация работы.

Основные положения научной работы докладывались на: XLII-ой научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-

Петербург, 2011); XL международной научной конференции «Вопросы оптимизации вычислений» (Ялта, 2013); XXXI международной научно-практической интернет - конференции «Технические науки - от теории к практике»: секция 7: «Аэрокосмическая техника и технологии» (НП «Сибак», 2014); научных семинарах кафедры механики управляемого движения факультета Прикладной Математики -Процессов Управления Санкт-Петербургского государственного университета. Результаты работы используются в учебном процессе по дисциплине «Основы программирования» и «Физика: Теоретическая Механика», а также будет использоваться в гранте СПБГУ 9.37.345.2015 «Управление орбитальным движением небесных тел с целью противодействия кометно-астероидной опасности».

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 6 работ: 5 печатных и 1 электронная. Из них 2 в журнале, входящем в Перечень журналов, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук. Из упомянутых 6 работ 3 индексированы в базах РИНЦ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Основная часть изложена на 123 страницах машинописного текста. Работа содержит 14 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 128 наименований. Общий объем работы 181 страница.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждаются связанные с темой диссертации проблемы математического моделирования динамических процессов и основные решаемые в диссертации проблемы, кратко излагается содержание диссертации по главам, формулируются цели работы, ее актуальность, новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассматриваются математические модели динамики материальной точки в центральных силовых полях. В четвертом разделе главы предложена новая схема реализации классического метода возмущений. В первом подпункте этого раздела (п. 1.4.1) описан новый метод решения уравнений в вариациях для произвольных центральных силовых полей в пространстве произвольной конечной размерности. Он состоит в следующем. Рассматривается движение материальной точки

Ммассы т в центральном поле относительно системы координат О,в евклидовом пространстве Е". Если <р(г) - потенциал поля, а г = фх?+...+х2„ , то ее возмущенное движение описывается задачей Коши х]=х](р(г) + £](х{,...,хпл) , х/^0) = хю, у = 1,...,/7, а невозмущенное - упрощенной задачей Коши х°=х°<р(г°), х°((0) = х°0 у = 1,...,и. Выписаны уравнения первого приближения для возмущений ¿>х/ = х] - х" (неоднородные уравнения в вариациях):

8хг<р(г«)5х1-х^<р{г°)1г0=8]Хх\1), <рХг) = с1(р1с1г , 5 = |>Г&г4 ■

Решение этих равнений связано с известными сложностями, хотя фундаментальная матрица принципиально может быть найдена согласно теореме Пуанкаре. К сожалению, главная трудность состоит не в построении фундаментальной матрицы, а в переходе от решения однородной системы уравнений в вариациях к неоднородной системе. Сложность состоит в необходимости интегрирования дроби, в числителе которой стоит определитель (я-1) - го порядка, а в знаменателе - определитель п - го порядка, причем элементы определителей сложным образом зависят от элементов фундаментальной матрицы и возмущающих функций В небесной механике

для случая /7 = 3 и центрального силового поля Ньютона эти сложности преодолеваются специальными приёмами, разработанными Брауэром, Энке, Хиллом и другими учеными. Предложенный в диссертации процесс решения уравнений в вариациях для произвольного центрального поля и произвольного п в значитальной мере отличается от упомянутых приемов. Он заключается в том, что:

а) выводится линейное уравнение второго порядка относительно величины 5 :

(» ^ " Г ' 1

V .'=1 Л=/„ '=' V. л. у

б) подстановка л- в неоднородные уравнения в вариациях приводит к тому, что эта система расщепляется на п отдельных линейных уравнений для величин 8х/ с известными правыми частями: 8х) -<р{га)5х) =gJ(x0,t) + x''Js<p (г0)/г°, у' = 1,...,/?:

в) показано, что функции вида у/ = а^у/{ +а1у/2 + су//, удовлетворяют выписанному выше однородному уравнению для Здесь цг} = 0.5д(г0)2 / да^, а а1 - любая из постоянных интегрирования в общем решении невозмущенных уравнений. Это позволяет найти решение неоднородных уравнений в вариациях.

В пункте 1.4.2 приведена новая схема построения приближенной математической модели движения материальной точки в центральных полях. Для реализации этой схемы, кроме упомянутого метода решения уравнений в вариациях, требуется вычисление в символьной форме частных производных высшего порядка для сложных функций многих переменных, в терминах которых записаны уравнения динамики. Соответствующие алгоритмы предлагаются в главе 2, а программы - в главе 4.

Вторая глава составляет теоретическую и алгоритмическую основу методики построения математических моделей динамики, рассмотренных в диссертации. В разделе 2.1 введены в рассмотрение классы функций и дифференциальных уравнений, на которые ориентированы все алгоритмы и другие инструменты, предложенные в диссертации. Если принять, что * = е С", /=(/,,..,(,) е С , а = («„ ....«„,)(= С", // ёС, то полную систему дифференциальных уравнений (т.е. систему уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных) можно записать в виде (при 5 = 1 это система ОДУ): йг(/й. *„,«), /е[1 :/и], уе[1:5].

Эту систему называют полиномиальной, если все // - полиномы по Клас-

сом функций Т", ,( о\яг е[1: +а>)) называется множество скалярных функций переменной ,т = (.г,,...,*„,), каждую из которых можно получить из Хр...,л*гп , используя конечное число операций +,-,х./ и конечное число функций <г>„...,<з, и их конечных суперпозиций, где класс скалярных функций переменной х = (х1,....х„), удовлетворяющих полиномиальным системам.

В остальных разделах второй главы предлагается ряд новых инструментов символьных вычислений, которые используются во всех остальных главах диссертации.

Среди этих инструментов назовем алгоритмы символьных вычислений, предлагаемые в разделах 2.3,2.4, 2.5 («Основы метода дополнительных переменных», «Алгоритм символьного дифференцирования функций» и «Алгоритм сведения полных систем к полиномиальной форме»), но центральным из инструментов является включенная в программу AVM (см. главу 4) библиотека. Она подробно описана в разделе 2.2, содержит имена функций и дифференциальные системы, которым эти функции удовлетворяют. Главная ценность библиотеки заключается в следущем:

• она позволяет реализовывать предлагаемые в диссертации символьные алгоритмы на основе единой идеи метода дополнительных переменных;

• так как пользователь может пополнять библиотеку новыми функциями и уравнениями (возникшими, например, в ходе новой научной работы), упомянутые алгоритмы он сможет применять к функциям и уравнениям, не включенным в системы компьютерной алгебры «Wolfram Mathematica», «Maple» и т.п.

В то же время, все допустимые в упомянутых выше алгоритмах функции и дифференциальные уравнения, включенные в эти системы, легко включаются и в библиотеку программы AVM и могут там корректироваться и обобщаться. Библиотека может содержать (постепенно пополняясь) сотни и тысячи функций, а точнее их имен и дифференциальных систем, которым эти функции удовлетворяют. Библиотека и все алгоритмы второй главы ориентированы на применение к дифференциальным уравнениям с правыми частями, принадлежащими классам .

В третьей главе рассмотрен алгоритм пошагового интегрирования дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора. Очевидными преимуществами метода рядов Тейлора решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений по сравнению с другими пошаговыми методами можно считать возможность создания для него сравнительно простых и эффективных алгоритмов выбора порядка и шага, а также то, что на каждом шаге этим методом получают не очередное табличное значение решения, а представление его с заданной точностью полиномом на всем промежутке между узловыми значениями аргумента. Этот метод редко применялся из-за сложности расчета производных решения второго и бо-

лее высоких порядков. В настоящее время отношение к методу рядов Тейлора изменилось: опубликованы сотни посвященных ему работ, особенно работ, так или иначе связанных со сложными математическими моделями динамики, например, работы Л.К.Бабаджанянца, В.А. Брумберга, H.A. Чернышевой, М. Берца (Berz, М.), И. Чанга (Chang, Y.), С. Пруэтта (Pruett, C.D.), Г. Паркера (Parker, G.), Н. Недялкова (Nedialkov, N.), А. Джорба (Jorba, А.) и многие другие. Большая часть этих работ так или иначе связана или с алгоритмами автоматического дифференцирования или с возможностью сведения обыкновенных дифференциальных уравнений этих моделей к полиномиальной форме, то есть с идеей метода дополнительных переменных, которая восходит к работам Анри Пуанкаре. Основными задачами, которые необходимо решить при реализации метода рядов Тейлора, являются:

а) автоматический выбор величины начального шага и порядка метода;

б) автоматический выбор очередных величин шага и порядка;

в) автоматическое (лучше - символьное) вычисление коэффициентов ряда Тейлора. Отвечающие за точность результата способы решения задач а), б) в большинстве

работ основаны на сходных идеях и имеют общие черты и детали, а вот задача в), отвечающая во многом за затраты машинного времени, решается в них не всегда на основе одних и тех же идей: для нахождения коэффициентов Тейлора используют метод неопределенных коэффициентов, метод последовательных приближений Пи-кара, численные методы и, чаще всего, метод аналитического дифференцирования.

В разделе 3.1 рассмотрены вопросы реализации метода рядов Тейлора для полиномиальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В разделе 3.2 предложен новый алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора для решения систем, правые части которых принадлежат классам^,".

Полная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка записывается в виде: SxtfStj -f/{x,a), / б[1: w], ./e[l:s],

.г = (л-,, .....rJeC",/ = (/„..., t,)eC', a = («,,..., aj s С , // eC. Введем обозначения:

Э1 "V -i

XU = *,л„л = а<,;, сц = С,,......= (/, !-...•/,!)" дг,л.....(коэффициенты Тейлора),

/ = (/„...,О, с, = (|Д...,0),...,е, =(0,...,0,0,1),

J'l = ./l = /i '"'».Ъ ~ fs ~ f\ .....}m|f-l)tl ~ ~~ fms ~~ fm •>

f f ffr/sl + l,fr/il<r/sV

(fr=f,J)<* r = (i-\)-S + f,i= L ,

\r/s, \r/ s\ = r IS V V L L J J J

Уг = fr(*),6 [1: N1 N = ms, Vr, = yr l,.....v- = ^ ^ , = = (v,!-...- !)"' y,,......,

v = (vl,...,vm), e, =(1,0,...',0),...,<?„,=(0,...,0,0,1).

К системе функций у, применяется алгоритм символьного дифференцирования, предложенный в разделе 2.5, и находятся дополнительные переменные, ,

k^[\:d], их первые производные хпнке и функции у, в форме полиномов nox,,...,jr„(+rf:

.....=^+t,y(.v,....,.rmw,), у,=>;(*,.•..,-vj •

Далее вычисляются xtJ и с, , с учетом того, что х, „ = с, 0 „ =.*,, * = с, , (согласно принятым выше обозначениям, /¡-' есть одна из у, =f/ , где /, / однозначно определяются по r.s), а далее, предполагая, что производные х, , представлены уже в виде полиномов хи = Xu(xn...,x:Mj), получаем:

8Х,, А дХ,, Sxj M cxmtk

Си», = =br(l, +1)-'=(A ¡V-C/y+ir'-

Предложена модификация алгоритма Бабаджанянца-Большакова решения дифференциальных уравнений методом рядов Тейлора. Она основана на новом алгоритме вычисления коэффициентов Тейлора и алгоритме сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме, предложенном в разделе 2.4.

В четвертой главе дано краткое описание программного комплекса AVM, написанного на языке Java SE с использованием JavaLink для связи с системой компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. В нем реализованы предложенные в диссертации алгоритмы.

Программный комплекс символьных вычислений AVM позволяет:

о находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлора функций многих переменных,

находить в символьной форме частные производные и коэффициенты Тейлора решений полных систем уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, о сводить полные системы уравнений в частных производных первого порядка и, в частности, системы обыкновенных дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.

От функций и правых частей дифференциальных уравнений требуется:

о они должны быть заданы как конечные суперпозиции четырех действий арифметики и функций, включенных в библиотеку программы AVM; > они должны быть выражениями, синтаксически корректными с точки зрения системы Wolfram Mathematica (для удобства заведения уравнений возможна их запись в рамках системы Wolfram Mathematica с последующим копированием в программу AVM). Дополнительные замечания:

о пользователь может неограниченно пополнять библиотеку необходимыми ему функциями (дифференциальными уравнениями, которым эти функции удовлетворяют) и заводить сколько угодно своих отдельных библиотек; а кроме дифференциальных уравнений пользователь может задавать и начальные данные;

о функции (системы функций), начальные данные и правые части дифференциальных уравнений (тех, что содержатся в задании пользователя и тех, что содержатся в библиотеке) могут зависеть от параметров, и эта зависимость должна быть синтаксически корректна с точки зрения системы Wolfram Mathematica.

В пятой главе два раздела. В разделе 5.1 приведены уравнения движения точки в центральном ньютоновом поле и их общее решение для эллиптического случая: I = . = + (или 4 = т), = 3), /е[1:3]

£ = 0(4 Vi -е2 sin£■ + В,(cosЕ-е)), r = a(l-ecosE),

rh ^-JJi а ecos cos Е-В,smE), /е[1:3]

Л, =— sinftícosQ — cosíysinQcos/, Z?, = cosocosf2 —siníysinQcos/, Л, = -sinú;sinQ + cosíücosQcos/, B2 = cosft>sinf2 + sinft>cosQcos/, A¡ = eos íysin i, By = sin (osin /",

Е-ейх\Е = М , M - Ma+n(t-ta) , n=sJfl/cF,

где а (большая полуось), e (эксцентриситет), M,¡ (средняя аномалия в эпоху t„), П (долгота восходящего узла), / (наклон), со (аргумент перицентра) - кеплеровские элементы, а ¿(эксцентрическая аномалия), А/ (средняя аномалия) - функции времени i; - координаты и скорости точки (в относительной системе координат).

В разделе 5.1.1 («Полная система для уравнения Кеплера») выписана полная система для эксцентрической аномалии как функции эксцентриситета и средней аномалии, а затем выведена другая полная система также для эксцентрической аномалии, которая рассматривается уже как функция времени и трех кеплеровских элементов—полуоси, эксцентриситета и начального значения средней аномалии.

В разделе 5.1.2 («Первая полная система для задачи двух тел») выведена полная система для координат как функций времени г, = t и элементов л, = а, /,=£■, /4 = л/0, а угловые элементы п , / , ы считаются параметрами. Если все величины <р^(р2,<р.,<рл, (/ = 1,2,3), щ=а-е-)т, <р,={l-eV3(£ - координаты точки), рассматриваются как функции этих четырех аргументов, то при помощи программы AVM можно получить для них следующую полную систему:

/ 5t¡ = -В, - Л/, <pz<n, - В, <р\<рА + А, <рг<ръ <Р№, д<р^, / P'z = -B.WPa + A'PWP«' 6<pM / dt, = -Д - Aí^jp, - В:<р]<рл + А^р.ф/рь, д<Ры / Stt = nt2 yrBl<p1(pi + ),

dipt / vtj = dtp,, / 8t¡ = 0, 7 = 1,2,4; сщ/ dt} = -t.cp,,, дщ, /5/, = f,^ , / = 1,2,3.

Эти же формулы получены и вручную, и это послужило одним из элементов отладки программы AVM (разумеется для этой цели использовались и многие другие примеры, рассмотренные выше). В разделе 5.1.3 («Вторая полная система для задачи двух тел») рассмотрена полная система уравнений для Д.В, как функций элементов £l,i,(o. Если кроме этих вспомогательных функций ввести еще четыре функции

Аа = sin <у cos/', В4 = cos ¿y cos /, /í5 = sinQ, /?< = cosil, то искомая полная система запишется в виде:

8А,/8П = -А2, 5A¡ /cr» = -B¡ , 8Aif8i = A}Ai, 8Bt/8Cl = -B,, 8В,!с<о = А„ 8Bl/8i = B3As, 8A2/8Cl = A¡, 8AJ8cü = -B2, 8AJdi = -A,Bs, 8BJ 8Q. = В,, 8B1/8m = A2, 8B2/8i = -B3Bs,

8A, / an=o, ai, / ao=-я,, a-í, / й = в4, as, / en=o, as, / 5®=л,, as, / а/ = .<,, a.44 / ao=o, ад, / a®=s4, ал, / а/ = -я,, ад, / an = о, ад, / а®=- д,, ая4 / а/=-д,,

8А5!8П = В5, dAf/'8a> = 0, 8A5ioi = 0, 8В}/са = ~А, 8BJ8a> = 0, dB¡/8i = 0.

Эта система также была использована для отладки программы AVM, но важно, что

результаты этого и двух предыдущих пунктов были занесены в библиотеку AVM и использованы для вывода «максимальной» полной системы для задачи двух тел.

В разделе 5.1.4 («Максимальная полная система для задачи двух тел») рассмотрена максимальная полная полиномиальная система для эллиптической ньютоновской задачи двух тел, полученная при помощи программы AVM на основе результатов трех предыдущих разделов. Мы рассмотрели шесть функций , .g5 = 4 > i6 = 4 семи аргументов / ,а ,е, Mv, íl i ,а> и, записав в библиотеку результаты разделов 5.1.1-5.1.3, при помощи программы AVM получили полную полиномиальную систему для функций <-/>„...,, определяемых равенствами: <рх=Е , <р2 =sinE,<p3 =cosE,(p4 = (l-ecos£y', г/>5=а~"г, = (1-е")1'2, r/>7 = (1 - e22, сд = ,

<Pll) =Й > Wl = '/l . = ' <Р|3 = > <Pu = 4 > = Л > 'Лб = Ai > «Рп = ' Й8 = й2 5 <Pi4 = ВТ ' =а4 = sin «eos/, ?/>,,= Д, = cos <» cos/', f/Vj = «<i5 =sinn, //>,, =BS =cosíí. Эта система приводится на стр. 103-104 диссертации.

В разделе 5.1.5 («Коэффициенты Тейлора для задачи двух тел») рассмотрены шесть функций ,,g3,= 4 ,£ = 4 , = 4 семи аргументов t ,а ,е, М0 ,С1 i, со. Записав в библиотеку результаты разделов 5.1.1 - 5.1.3 и воспользовавшись программой AVM, мы получили коэффициенты разложения Тейлора этих функций по всем семи аргументам. В Приложении 1 к диссертации представлены, в качестве примера, коэффициенты до второго порядка.

В разделе 5.2 два раздела: 5.2.1 («Возмущенное движение планет в координатах») и 5.2.2 («Возмущенное движение в оскулирующих элементах»).

В разделе 5.2.1 уравнения задачи N тел (в относительных декартовых координатах) приводятся к полиномиальной форме при помощи программы AVM. Эти же уравнения можно получить и вручную, поэтому этот результат также послужил отладочным материалом для программы.

В разделе 5.2.2 рассмотрено движение двух материальных точек Pt,P2 (это могут быть, например, Юпитер и Сатурн) в системе координат , центр которой сов-

мещен с третьей точкой Р„ (Солнцем), имеющей «большую массу» ni' по сравнению с массами «»', т1 остальных двух точек. При отсутствии одной из точек Р}, Р2, предполагаем, что другая из них будет двигаться по (своему) эллипсу и это движение будет определяться своими элементами а^е^М^, = 1,2 в общем решении:

<?/ = a, (Al jyjl-e2jSm E¡ + Bj (cos E} - e¡)), rj = a . (1 - e¡ cos E}),

rj,' = ^ a]'12 (1 - e¡ cos E,) 1 (Aj fi^e] eos £\ - B¡ sin £\). ie[l:3],

A[ — — sin cOj eosQj - eos a>] sin Q , eos i¡, B{ = eos oj¡ cosfiy - sin (ú, sin Qy eos/.,

AÍ =—sin COj si n Q; + eos eos eos /(, B{ = cosft;; sinQy +sin<y/cosQ;cos/J ,

A¡ = eos COj sin i}, B¡ = sin coj sin i¡,

E, - CjúnEj = Mj, Mj =M¿ +n.(t-t„), n

Если использовать метод (Эйлера-Лагранжа) вариации произвольных постоянных, то есть если считать вышеприведенные формулы заменой декартовых переменных 1,-,7/на новые переменные a¡,enMa/,Cl,,i.,o)¡, то эти последние (называемые оску-лирующими эллиптическими элементами Эйлера) удовлетворяют следующей системе из двенадцати обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлера:

daL = _2^dR¡_ ¿fe, _ 1-е; 8.R, 5R,

dt п.а.дМГ dt ел,аг, 8Mí е.п а: Зсо,.

j J о J J J у J J J J

dij ctg(ij) dRj cosec(i¡) dR¡ í/.O, cosecd/) 8Rj dt~ nrffi^deoj „¿fi^dCl/ dt ntf^e) di/

do), _ fi^j 8R. ctgjij) 8Rj dM0j ___2 8RJ \-e) 8Rj t

dt ~ e.ntf 8ej ntfjl^ ty ' di n¡a¡ Scij epp) 8e, '

где

При помощи программы АУМ, эта система была сведена к полиномиальной системе из 68 уравнений. Результаты представлены в Приложении 2. При помощи этой же программы можно получать и другие результаты для задачи трех тел, например, коэффициенты Тейлора ее решения, выраженные через само решение.

В заключении описаны полученные в диссертации результаты, рассмотрены перспективы их использования и намечены задачи по их совершенствованию и развитию.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Предложен метод построения моделей возмущенного движения материальной точки в центральном поле, основанный на новом решении уравнений в вариациях.

2. Предложен новый символьный алгоритм сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.

3. Построены модели задачи двух тел, описываемые полными полиномиальными системами дифференциальных уравнений относительно координат и скоростей как функций времени и шести эллиптических элементов.

4. В задаче двух тел найдены коэффициенты Тейлора для координат и скоростей, рассматриваемых как функции времени и шести кеплеровских элементов орбиты.

5. Построена модель планетной задачи трех тел, описываемая полной полиномаль-ной системой уравнений Эйлера в оскулирующих элементах.

6. Разработан новый символьный алгоритм дифференцирования функций многих переменных, основанный на методе дополнительных переменных с использованием библиотеки полиномиальных дифференциальных уравнений.

7. Предложен модифицированный метод рядов Тейлора для решения систем дифференциальных уравнений динамики.

8. Разработан программный комплекс символьных вычислений АУМ.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

Рецензируемые журналы, входящие в Перечень ВАК РФ

1. Брэгман K.M. Алгоритм дифференцирования, основанный на методе дополнительных переменных // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 14-26.

2. Бабаджанянц Л.К., Брэгман K.M. Алгоритм метода дополнительных переменных // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. Вып. 2. С. 3-12. (60%)

Прочие публикации

3. Бабаджанянц Л.К., Брэгман A.M., Брэгман K.M., Касикова П.В. Об уравнениях в вариациях в задаче о движении точки в возмущенном центральном поле // Сборник статей XXXI Международной Конференции, Секция 7: Аэрокосмическая техника и технологии. НП «Сибак». 2014. С. 83-91. (40%)

4. Бабаджанянц Л.К., Брэгман A.M., Брэгман K.M., Касикова П.В. К задаче о движении точки в возмущённом центральном поле: о построении рядов по малому параметру // Астрономический циркуляр. Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга МГУ. 2014. С. 1-3. (40%)

5. Брэгман K.M. Символьный алгоритм построения матрицы Якоби // Тезисы доклада на XL научной конференции "Вопросы оптимизации вычислений", Институт Кибернетики HAH Украины. 2013 С. 27-29.

6. Брэгман K.M. Сведение дифференциальных уравнений к полиномиальной системе /У Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов, СПБГУ. 2011. С. 103-108.

Подписано в печать 24.03.2015г. Формат А5, цифровая печать Тираж 75 экз.

Отпечатано в ЦОП «Копировальный Центр Василеостровский» Россия, Санкт-Петербург, В.О., 6-лнния, д.29. тел. 702-80-90, факс: 328-61-84 e-mail: vs@copy.spb.ru