автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели стационарного распространения пламени, основанные на принципах термодинамики необратимых процессов

На правах рукописи

Карпов Александр Иванович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИНЦИПАХ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы н комплексы программ

Ав гореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Комсомольск-на-Амуре 2004

Работа выполнена в НИИ компьютерных технологий при Хабаровском Iосударственно.м техническом универсиюте

Научный консультан I.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Булгаков Виктор Кирсанович

член-коррсспондеш РАН, до1Сгор физико-математических наук, профессор С магии Сергей Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Альес Михаил Юрьевич

доктор технических наук, профессор, Заслуженный деятель науки РФ Одинокое Валерий Иванович

Ведущая организация.

Томский государственный университет

Зашита с^сгоктя !9 февраля 2С04 г. в час на заседании диссер ¡ационпого гпвега Л2'2.0С!2СЗ р ГО'»'ВП(; -'Ко^сомольскии-на Амуре государственный тсхннчс-кий } чиверекте;» по адрг'".: 681011 г. Комсомольск-!'?-Амуре. »Г Лчи'на. 27. ГОУВПО <:КчА!Т>,.

( диссертацией можно ознакомиться в би6лис'>еге ГОУВПО ^Комсомольский' на-Амуре I осударственный технический университет».

Автореферат разослан Л-]с и /^Д 2004 г

Ученый секретарь цигсертационного совета

Могильников Е.В.

2004-4

25084 ОПЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Распространение пламени является широко наблюдаемым процессом, сопровождающим самые разнообразные природные явления и области жизнедеятельности, и проявляющимся с прямо противоположными результирующими эффектами - как крайне нежелательным (пожары), так и требующим максимальной эффективности (сжигание топлива в энергетических устройствах). Исследование закономерностей процесса распространения пламени представляет значительный научный и практический интерес, и проводится на протяжении многих лет с применением все более совершенных экспериментальных средств, теоретических подходов и методов математического моделирования. Возможным результатом протекания процесса горения является установление режима стационарного автомодельного распространения пламени, при котором тепловой баланс между внутренним источником энергии (экзотермической реакцией) и окружающей средой обеспечивает движение фронта пламени в направлении исходного реагента с постоянной во времени скоростью Одной из ключевых задач при исследовании данного процесса является определение скорости раслростра^. нения пламени Как показывает практика, измерение данной величины, как макроскопического параметра, не встречает принципиальных трудностей при проведении эксперимента. С другой стороны, теоретический расчет скорости распространения пламени, описывающей результирующий эффект^? всего процесса горения, требует разработки математической модели, деталь*Ц#-но учитывающей все взаимосвязанные теплофизические и кинетические * составляющие рассматриваемого явления Построение моделей данной задачи и алгоритмов расчета скорости распространения пламени базируются на двух альтернативных подходах, основанных, соответственно, на использовании нестационарных и стационарных уравнений сохранения. Первый из*" них приводит к корректной и замкнутой постановке и его главный недостаток заключается в высоких затратах вычислительных ресурсов при использовании численных методов для решения системы нелинейных уравнений в частных производных Второй подход потенциально содержит существенное преимущество в виде понижения размерности задачи, однако реализовать его практически удается не всегда, поскольку возникающая в двухмерном случае задача на собственные значения не имеет единственного решения Настоящая работа посвящена разработке математических моделей и алгоритмов расчета скорости распространения пламени на основе использования стационарных уравнений переноса.

Цель работы заключается в разработке программного комплекса для расчета скорости распространения пламени на базе следующих исследований

Анализ задачи на собственные значения при расчете скорости распространения пламени в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фро)пЬУ1С1^№£¥М"лЛЬНАЯ |

УвЙй? !

Получение соотношений термодинамики необратимых процессов в применении к задачам теории горения; формулировка алгоритма расчета стационарной скорости распространения пламени, основанного на принципе минимального производства энтропии, оценка применимости термодинамических вариационных принципов к решению задачи о расчете скорости распространения пламени.

Разработка методики расчета скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси; проведение расчетов с целью оценки применимости принципа минимального производства энтропии на базе сравнения результатов с физически точным решением, основанным на интегральном балансе реагента в ходе химической реакции горения.

Разработка математической модели процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности полимерного горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело". Разработка методики расчета, основанной на совместном применении метода конечных разностей (контрольного объема) для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого горючего материала. Проведение численных исследований закономерностей распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала: расчет стационарной скорости распространения пламени с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии; количественное сравнение полученных расчетных зависимостей скорости распространения пламени от параметров процесса с экспериментальными данными.

Научная новизна. В работе предложен принципиально новый подход к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении положений термодинамики необратимых процессов (неравновесной термодинамики) в виде принципа минимального производства энтропии. Впервые показана незамкнутость задачи на собственные значения при расчете скорости распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности твердого горючего материала в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фронтом пламени В работе установлено, что данная неопределенность вызвана наличием двух значимых составляющих вектора скорости распространения пламени - линейной скорости термического разложения материала и скорости распространения пламени вдоль его поверхности Анализ задачи показал, что применяемые ранее подходы к получению замкнутой постановки основаны на априорных соотношениях, переопределяющих сопряженную математическую модель задачи Впервые получены соотношения неравновесной термодинамики применительно к решению задачи о распространении пламени. Показано, что с помощью прямого применения

термодинамических вариационных принципов (минимального производства энтропии, локального потенциала) не удается построить адекватный алгоритм, в котором скорость распространения пламени являлась бы самостоятельной зависимой переменной На базе стандартной формулировки принципа минимального производства энтропии предложен новый подход к расчету стационарной скорости распространения пламени С его использованием проведены расчеты модельной задачи о распространении одномерного пламени по перемешанной газовой смеси. Впервые исследованы закономерности распределения составляющих локального производства энтропии по физическим процессам в волне горения. В широком диапазоне параметров процесса (энергия активации, начальная температура, концентрация исходного реагента, давление, число Льюиса, теплота реакции) показано соответствие (качественное и количественное) полученных результатов физически точному решению, основанному на интегральном балансе массы реагента в химической реакции. Разработана математическая модель процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело" с учетом выгорания поверхности горения, что является новым и принципиально определяющим особенности задачи на собственные значения. Разработана новая методика расчета, основанная на совместном применении метода контрольного объема, обеспечивающего эффективный алгоритм расчета поля течения, для газовой фазы и метода конечных элементов, позволяющего с более высокой точностью определить интегральные характеристики реакции термического разложения и форму поверхности горения, для твердого горючего материала На основе оценочных расчетов получены оптимальные значения параметров вычислительного процесса (структура и размеры расчетной области, коэффициенты релаксации для решения систем алгебраических уравнений) Впервые проведены исследования зависимости интегрального производства энтропии от скорости распространения пламени как параметра процесса. На основе анализа составляющих производства энтропии по физическим процессам получено обоснование существования локального минимума (причем единственного) на распределении производства энтропии, что обеспечивает решение задачи о нахождении стационарного значения скорости распространения пламени На примере горения целлюлозного материала проведены расчеты скорости распространения пламени с использованием нового алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии Полученные результаты показывают качественное и количественное соответствие экспериментальным зависимостям скорости распространения пламени от параметров процесса (исследовано влияние толщины слоя горючего материала, концентрации окислителя и давления окружающей среды, скорости обдувающего потока), что подтверждает принципиальную и практическую пригодность алгоритма расчета скорости распространения пламени, предлагаемого в настоящей работе

Практическая ценность. Основное практическое применение результатов работы направлено на решение задачи о расчете скорости распространения пламени по поверхности горючих материалов, что актуально, прежде всего, для проблемы математического моделирования в пожаробезопасности, а также и для других приложений, связанных с моделированием процесса распространения фронта химических превращений в различных средах. Использование предлагаемого подхода позволяет замкнуть постановку задачи на основе физического принципа (в отличие от используемых априорных соотношений) и решить ее в постановке, основанной на стационарных уравнениях, что дает значительную экономию вычислительных ресурсов по сравнению с формулировкой, использующей нестационарные уравнения. Применение предлагаемого в работе теоретического подхода, основанного на принципах термодинамики необратимых процессов, не ограничивается рассмотренной задачей о распространении пламени и может быть распространено на другие модели, имеющие некоторые свободные параметры, определение которых в рамках общепринятой постановки на базе уравнений сохранения сталкивается с необходимостью использования произвольных и физически необоснованных критериев. Разработанная общая схема методики расчета и полученные детальные особенности численной реализации могут быть самостоятельно (вне зависимости от рассмотренного "термодинамического" алгоритма расчета скорости распространения пламени) использованы при расчете характеристик тепломассопереноса, поля течения и химических превращений в реагирующих гетерогенных системах.

Достоверность результатов, полученных в работе обеспечивается физической корректностью и математической замкнутостью рассмотренных моделей, проведенными параметрическими исследованиями сходимости и устойчивости вычислительных алгоритмов и подтверждается качественным соответствием и количественным согласованием рассчитанных значений физически точному решению (одномерная задача) и экспериментальным зависимостям (двухмерная задача).

Положения, выносимые на защиту:

Результаты анализа и доказательство неединственности решения задачи на собственные значения при расчете скорости распространения двухмерного пламени в стационарной постановке.

Алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени, основанный на принципе минимального производства энтропии; вариационная формулировка задачи о расчете скорости распространения пламени на базе термодинамических принципов.

Результаты расчетов стационарной скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси; базовые закономерности распределения производства энтропии по физическим процессам в волне

горения, применимость принципа минимального производства энтропии к расчету скорости распространения пламени.

Математическая модель процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности полимерного горючего материала, методика расчета, основанная на совместном применении метода конечных разностей для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого горючего материала.

Результаты численных исследований закономерностей распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала; количественное сравнение полученных зависимостей скорости распространения пламени от параметров процесса с экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технической конференции "Полимерные материалы в машиностроении" (Ижевск, 1986), II Республиканской научно-технической конференции "Применение пластмасс в строительстве и городском хозяйстве" (Харьков, 1987), VIII Всесоюзной школе-семинаре по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988), 3-м международном симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Нагоя, 1989), конференции "Математическое моделирование пожаро-взрывобезопасности в промышленности" (Владивосток, 1989), 2-м Советско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Цукуба, 1990), III школе-семинаре "Макроскопическая кинетика, химическая и магнитная гидродинамика" (Красноярск, 1990), Советско-Японском семинаре по исследованию процессов горения, взрыва и моделированию пожаров (Хабаровск.

1991), IV международном семинаре по структуре пламени (Новосибирск,

1992), международном совещании по избранным проблемам горения твердых топлив и химической газодинамике (Томск, 1992), 1-м (Хэфей, Китай, 1992), 2-м (Хабаровск, 1995), 3-м (Сингапур, 1998), 4-м (Токио. 2000), 5-м (Ньюкасл. Австралия, 2001) Азиатско-Океанском симпозиуме по научным и технологическим аспектам исследования пожаров, 31-м Японском национальном симпозиуме по горению (Иокогама, 1993), '93 (Нода, Япония, 1993). '94 (Бали, Индонезия, 1994) Азиатских семинарах по исследованию пожаров, 4-м (Оттава. 1994), 5-м (Мельбурн. 1997) международном симпозиуме по научным основам пожаробезопасности, международном совещании по химической газодинамике и горению энергетических материалов (Томск, 1995), международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск, 1996, 1998), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), Второй региональной научной конференции "Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование" (Хабаровск, 2001), семинарах кафедры ППДЛА Ижевского механического института (1982-1987), НИИ компьютерных технологий Хабаровского государственного технического университета (1987-2002), лаборатории реагирующих химических систем Токийского университета (1993-1994).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 39 работах Лнчный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертации получены лично автором, под его руководством или при его непосредственном участии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 323 наименования, Работа содержит 262 страницы, 84 рисунка, 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, проводится анализ существующего к настоящему времени состояния в теории стационарного распространения пламени и определяется круг нерешенных задач в данной области (главной из которых является разработка физически обоснованного алгоритма расчета стационарной скорости распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе стационарных уравнений сохранения), формулируются основные цели исследования, предлагаются подходы к решению поставленных задач.

В первой главе приводится анализ математических моделей стационарного распространение пламени, рассматривается их классификация и взаимосвязь, анализируются известные алгоритмы численного расчета скорости распространения пламени.

Рассмотрены основные конфигурации, реализующиеся при распространении пламени, которые различаются по двум характерным признакам: размерность постановки задачи в целом и направление распространения фронта пламени. Во-первых, это классическая задача о распространении пламени по смеси предварительно перемешанных газов, математическая постановка которой заложена в работах Д.А.Франк-Каменецкого, Я.Б.Зельдовича, Ф.А.Вильямса и основана на одномерных уравнениях, выражающих основные законы сохранения. При рассмотрении задачи в системе координат, связанной с фронтом пламени, уравнения приводятся к стационарному виду в которые, как собственное значение, входит стационарная скорость распространения пламени. В данной задаче алгоритмы расчета скорости распространения пламени основываются на интегральном балансе массы в ходе химических превращений во фронте пламени, имеющем общий вид

оэ

Ы/ = . (1)

о

Здесь г/у - стационарная скорость распространения пламени, IV - скорость

химической реакции.

Другой случай одномерного распространения пламени представляет собой задача о расчете нормальной скорости горения твердого топлива, рас-

смотренная А.Г.Мержановым и ФИ Дубовицким, В Н.Вилюновым, Б В.Новожиловым С учетом особенностей, состоящих в том, что среда является гетерогенной и содержит границу раздела фаз. математическая постановка данной задачи подобна задаче о расчете нормальной скорости распространения пламени по газовой смеси и расчет скорости горения топлива производится на базе соотношения (1), записанного для конденсированной фазы.

Следующей конфигурацией распространения пламени являются процессы, математическая постановка которых описывается двухмерными уравнениями переноса, но непосредственно распространение пламени остается одномерным Таковым является распространение волны горения в газовых и конденсированных средах при наличии теплопередачи в направлении, не совпадающим с распространением пламени (к боковым поверхностям), что приводит к искривлению фронта пламени. Расчет скорости распространения пламени также основан на уравнении (1) для двухмерного случая. Другой комбинацией двухмерной постановки и одномерного распространения пламени является задача о расчете скорости горения твердых топлив при обдуве поверхности горения, рассмотренная В.К.Булгаковым и А.М.Липановым В этом случае имеет место неоднородное распределение теплового потока на границе раздела фаз, что приводит к решению сопряженной задачи тепломассопереноса на базе двухмерных уравнений в газовой фазе и совокупности одномерных уравнений в конденсированной фазе, т.е получению последовательности соотношений вида (1) для значений скорости юрения твердого топлива вдоль поверхности горения. Отмечается, что рассмотренные выше постановки задач содержат одно собственное значение и их решении не встречает принципиальных трудностей при расчете скорости распространения пламени

Рассматривается задача о стационарном распространении двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала, решению которой посвящена, главным образом, настоящая работа В отличие от одномерного распространения пламени, при формулировке данной задачи в постановке, основанной на стационарных уравнениях сохранения в системе координат, связанной с фронтом пламени, преобразование вида ск^и^ск не

приводит к однозначной замкнутой формулировке Поступление горючего компонента в зону диффузионного пламени в газовой фазе происходит в результате газификации горючего материала, что приводит к выгоранию его поверхности и пламя распространяется в двух направлениях - вдоль и "вглубь" поверхности материала (рис.1). В декартовой системе координат истинный вектор скорости распространения пламени \>„ раскладывается на соответствующие проекции: иу и V,. Для их определения необходимо

использовать соотношение вида (1), основанное на сохранении массы реагента в ходе химической реакции термического разложения материала Использование одного уравнения для определения двух параметров при-

водит к тому, что в общем случае не удается сформулировать замкнутую математическую постановку задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени.

Рассмотрена предложенная Г.П.Телицыным интегральная модель для расчета скорости распространения крупномасштабного пламени по слою лесного горючего материала. Отмечено, что модели данного уровня не в состоянии корректно описать движущий механизм распространения пламени, поскольку не учитывается одна из основных взаимосвязанных составляющих процесса, а именно, обратное влияние термического разложения горючего материала на процесс тепловыделения в зоне пламени и замыкание постановки задачи производится на базе априорных соотношений (задается температура пламени или распределение теплового потока на поверхности материала, значения которых получены из эмпирических данных).

Представлена модель стационарного распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала, основанная на решении сопряженной задачи тепломассопереноса и горения. При формулировке модели приняты следующие основные допущения:

В горючем материале, представляющем собой твердое тело (полимерный материал), имеет место одна реакция термического разложения (пиролиза), которая описывается макрокинетической схемой вида S = F + / + C + Qs, где условные символы обозначают следующие реагенты: 5 - исходное твердое тело, Т7, / - горючий и инертный газообразные продукты реакции соответственно, С - твердый продукт реакции (кокс); Qs - тепловой эффект, полагающийся отрицательным в случае эндотермической реакции Предполагается, что продукты пиролиза не содержат окисляющего реагента.

В газовой фазе между газообразными горючими продуктами пиролиза и окисляющим реагентом окружающей среды происходит реакция горения, описываемая схемой VQO + vFF + I = vpP + l+ Q, где О, Р, Р, I -условные обозначения окислителя, горючего, продуктов реакции и инертного компонента соответственно, Q - тепловой эффект реакции.

Теплофизические характеристики (теплоемкость, коэффициенты теплопроводности и диффузии, молекулярный вес) всех компонентов газовой фазы полагаются одинаковыми.

Перекрестные эффекты тепломассопереноса в газовой фазе и процессы диффузии в горючем материале полагаются пренебрежимо малыми. Движение газа является ламинарным. Теплообмен излучением не рассматривается.

Рис 2 Физическая модель задачи

В системе координат, связанной с фронтом пламени (рис.2) стационарные уравнения переноса в газовой фазе, описывающие ламинарное движение вязкого, химически реагирующего газа с учетом естественной конвекции, имеют вид:

ди ди д ди д ди др , ч . _

ох ду дх дх ду ду дх

<Эу д\' д д\> д 5у др , , „ ри—+ру — = - \1 — --г- + (ра -р^соБб, (3)

ох ду ах дх ду ду ду

^ + = (4)

Ох ду

п дТ дт д , дТ д , дТ „.

Срг/-+Срг„ = - + г * _ +£?Р»'> (5)

ох оу дх дх ду ду

дуО дУ0 д пдУ0 д дУ0

ри ^ +ру--и = - рП-У + - рО-\оР№ , (6)

ох су дх дх ду ду

дУр дУ/г д пдУ,т а пдУР ох д}' дх дх ду ду

р^р/ЯТ (8)

В горючем материале рассматриваются уравнения сохранения энергии и концентрации исходного реагента реакции пиролиза:

„ дТ, д . дТ5 д , дТ, ...

С жР,И/ * = — ^ / + - - -- + QsPsWs, (9)

ЭУГ

Эх

& сЬс ' дх ду ' ду

= -УЖ.

(10)

Скорости химической реакции горения в газовой фазе и реакции термического разложения горючего материала определяются по закону Аррениуса:

И'=*У0У>ехр(-£/Л07'), (11)

^ = ^ ехр(- £, / ЛоГ,). (12)

Граничные условия, в соответствии со схемой расчетной области, представленной на рис.2, имеют вид:

х = 0:

«/ +«<7

/ 1-1 С N з"

У У

и\ 2 И

у = о, т = та, ур=о;у6 = у0м,

у = 0(0<х<хд): и = ы/, ру = » Т = Т„

дТ „„ , ЗГ,

Я.^- + РуСГ = -Л., + ,

ау0

(13)

(14)

у = 0(х>х6): = -5(х)

-р£>—- + =0, - р£> ^ + Р^К/Г = >

ру = 0, — = 0 для и, Т, Ур, Ур, ду

дТ,

дп

= 0 или Т5 = Т1а(х),

х = Ьх:

у = Ь}-

— = 0 для и, V, Т, Уд,Ур, ах

и = и/+иа, ~ =0, Т = Та, Уг =0, У0=Уол оу

Здесь му- стационарная скорость распространения пламени. скорость

выделения газообразных продуктов пиролиза, 8- угол между координатой у и направлением действия подъемной силы, Ур 5 - содержание горючего компонента в продуктах пиролиза, п - нормаль к поверхности материала;

индексы а - окружающая среда, /*"- горючее, О - окислитель, Я поверхность горения, л- горючий материал (конденсированная фаза) Остальные обозначения общеприняты

Проводится анализ задачи на собственные значения Постановка задачи (2)-(10) дает девять уравнений для девяти искомых переменных и, V, р, Т, У0, Ур, р, Т5,У5. Кроме них, в уравнения сохранения и граничные условия входят дополнительные параметры: линейная скорость пиролиза горючего материала , форма границы выгорания горючего материала 5(л-) и, как параметр преобразования системы координат, скорость стационарного распространения пламени иу Эти параметры являются собственными значениями задачи и, по определению, должны выражаться через остальные переменные, полученные в результате решения краевой задачи (2)-(10) с соответствующими граничными условиями. Для получения необходимых для этого соотношений проводится детальный анализ процесса термического разложения горючего материала. Рассматривается следующая модель, в горючем материале имеет место объемная реакция пиролиза, которая приводит к газификации твердого тела на границе выгорания 5(л')

Соответственно, У5 = 1 в твердом теле (- 5(д:) < у < 0) и = 0 после газификации горючего материала (-¿о < У < ~5(.т)). Интегрирование уравнения (10) по координате у дает выражение

Л -б(Д-)

правая часть которого представляет собой хорошо известное уравнение для линейной скорости пиролиза (скорости горения твердого топлива), записанное для переменной толщины слоя горючего материала: о

^ = \W.dy. (16)

-6(д)

Интегрирование (15) по координате х дает выражение для формы поверхности горючего материала 5(д:):

5(х)= ¿о- - (17)

"/о

Таким образом, интегрирование уравнения (10), выражающего баланс массы в твердом теле в ходе химической реакции термического разложения, дает необходимые соотношения (16) и (17) для определения линейной скорости пиролиза и границы выгорания горючего материала 8(х) соответственно Фактически преобразование дифференциального уравнения (10) в два интегральных позволяет заменить двухмерную переменную У1(х,у) двумя одномерными - г5(д) и 5(л-) Очевидно, что скорость распространения

пламени г/у остается неизвестным параметром и для ее определения необходимо привлечь некоторые дополнительные соотношения

Проводится анализ известных подходов к замыканию задачи на собственные значения и основанных на них алгоритмов расчета скорости распространения пламени. Используя существенные упрощения постановки задачи (2)-(10), Дж де Рис ввел понятие температуры испарения (газификации) горючего материала на границе кромки пламени, что приводит к дополнительному граничному условию Т = Ту на поверхности у - 0 в зоне реакции термического разложения, которое позволяет однозначно определить значение скорости распространения пламени. Формулы для скорости распространения пламени, полученные на базе модели де Риса и ее дальнейших модификациях и усовершенствованиях, полученных С.С.Рыбаниным, И С.Викманом, М.А.Деличатсиосом широко используются для анализа закономерностей распространения пламени по поверхности горючего материала Основная критика данных моделей касается концепции о температуре газификации. Из приведенного выше анализа задачи в полной сопряженной постановке (2)-(10) следует, что данная величина не является некоторым постоянным свойством горючего материала, а выступает как параметр процесса, зависящий от условий его протекания. Соответственно, температура поверхности материала не является постоянной вдоль поверхности величиной. а однозначно определяется граничными условиями (13)-(14) на базе решения всей задачи. В модели В.А.Сириньяно для определения скорости распространения пламени используется уравнение баланса массы в горючем материале

UfLQ =

—оо

В зависимости от условий, приводящих к завершению термического разложения материала, величина х^ имеет различный физический смысл. В случае «тонкого» слоя горючего материала, она соответствует точке полного выгорания горючего материала (рис.2). В противоположном случае «толстого» слоя горючего материала, его полного выгорания не происходит и завершение пиролиза материала определяется условиями, при которых теплового потока из зоны тепловыделения в газовой фазе недостаточно для поддержания реакции пиролиза. В рассматриваемом случае решение относительно скорости распространения пламени определяется в асимптотическом виде при л-/, —> да. т.е. данная модель применима только в достаточно гипотетическом случае термически толстого, полностью сгорающего слоя горючего материала В работах С.Бхаттачарджи предложена математическая постановка задачи в газовой фазе, идентичная уравнениям (2)-(10) и рассмотренным выше граничным условиям. При формулировке уравнения энергии в горючем материале принимаются допущения о том, что теплопроводность вдоль координаты х и изменение температуры вдоль коордииаты

у пренебрежимо малы Для определения скорости распространения пламени предложены дополнительные условия Одно из них заключается в задании фиксированного значения координаты выгорания горючего материала у/, Однако, как следует из приведенного выше анализа, величина хь определяется уравнением (17) при Ъ = ЪЬ, согласно которому явно зависит от г/у и, через линейную скорость пиролиза ^, от решения всей сопряженной задачи. При другом подходе задается некоторое фиксированное значение температуры в некоторой точке на поверхности горючего материала. Очевидно, что оба условия являются априорными и не соответствуют постановке сопряженной задачи, поскольку значения обоих параметров определяются как результат решения уравнений сохранения.

Таким образом, из приведенного выше анализа следует вывод, что не получено способов корректного замыкания задачи на собственные значения в теории стационарного распространения двухмерного диффузионного пламени при её формулировке в стационарной постановке в системе координат, связанной с фронтом пламени.

Во второй главе сформулированы соотношения термодинамики необратимых процессов в применении к задачам теории горения и приводится оценка применимости термодинамических вариационных принципов к решению задачи о расчете скорости распространения пламени.

Отмечено, что рассмотренная выше постановка задачи основана на следствиях первого начала термодинамики, выражающемся в законах сохранения различных видов энергии, тогда как положения второго закона термодинамики не используются, прежде всего потому, что при решении корректно поставленных и замкнутых задач механики сплошных сред в этом нет необходимости. Кроме того, поскольку последний выражается в общем виде через неравенство >0 , его применение сталкивается с трудностями при получении количественных оценок Как было отмечено выше, рассматриваемая задача о расчете скорости распространения двухмерного пламени не замкнута и необходимы дополнительные соотношения для определения скорости распространения пламени, получение которых базируется на следующих положениях. Вследствие необратимых процессов открытая макроскопическая система, обменивающаяся с окружающей средой энергией и массой, эволюционирует к неравновесному стационарному состоянию, которое может характеризоваться минимальным производством энтропии внутри системы. Согласно концепции локального равновесия, предложенной И Пригожиным, энтропия в неравновесном состоянии является функцией тех же макроскопических переменных, что и в равновесии и применимо соот-

N

ношение Гиббса = <Л/ + рс!У - Хр^оТ^ , которое преобразуется к эво-

к=\

люционному уравнению

dS du dV N dY T dt- dt dt- (18) Здесь S- энтропия, U - внутренняя энергия, V- объем, Yk,\ik- концентрация и химический потенциал компонента к. При подстановке в (18) соответствующих законов сохранения, выводится уравнение баланса энтропии вида

dt ох,

в котором выражение для производства энтропии имеет билинейную форму ст = £./Д,, (20)

I

где J, - обобщенный поток и X, - обобщенная сила /-го необратимого процесса. Для непрерывных систем (сплошных сред) на основе принципа минимального производства энтропии формулируется вариационный принцип, согласно которому полное производство энтропии в системе

P = \adV^> min, (21)

v

минимально в стационарном состоянии, если в выражении

(22)

к

феноменологические коэффициенты Llk постоянны и выполняются соотношения взаимности L,k = Lkl Неоднократно показано, что данный принцип несправедлив для физически реализуемых систем, поскольку уравнения Эйлера-Лагранжа, соответствующие функционалу (21), не совпадают с дифференциальными уравнениями сохранения. П.Гленсдорфом и И.Приго-жиным была предложена концепция локального потенциала, основанная на принципе ограниченных вариаций, основное соотношение которой заключается в следующем:

Р = \HY.L,kCnX,{T)Xk{T)dV . (23)

V I к

Здесь Т - температура, по которой, при получении уравнений Эйлера-Лагранжа для функционала (21), варьирование не проводится. Поскольку существует единственная зависимая переменная (здесь - температура), что предполагает Г —» Т, то применение соотношения (23) приводит к итерационной схеме получения приближенного распределения искомых переменных: Р{п) = ¡'Z'LL,k(ri"~l))X,(Tin))Xk(T(-"))dY ■ Существуют альтернатив-

V I к

ные формулировки феноменологических уравнений вида (22), в которых производство энтропии представляется через потоки

(24)

к

и полное производство энтропии выражается соотношением

P = \YLR,kVVAT)Jk{TW ■

(25)

г i к

На основе принципа минимального производства энтропии (21) формулируется вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени Целью такого подхода является предполагаемая возможность получить условие вида дР1дт= 0 для скорости распро-

что позволит проводить поиск величины m одновременно с остальными переменными, в отличие от использования соотношения (1), которое, для корректировки значения т, требует полных распределений температуры и концентрации по всей области, полученных при приближении m на предыдущей итерации. Данный анализ проводится на примере задачи о расчете скорости распространения пламени по перемешанной газовой смеси. Для числа Льюиса Le = 1, задача сводится к решению одного уравнения для температуры:

2

+plVQ, (26)

àx dx2

где W -{Tj -T)/(Tj- -Г0)Аехр(-£/R0T), p-p/RT. Выражения для

термодинамического потока и обобщенной силы для теплопроводности имеют вид JT=-hdTldx, ХТ = d(\/T)Idx . Поскольку конвективное слагаемое, в которое непосредственно входит скорость распространения пламени m, в выражении для производства энтропии (20) отсутствует, функционал (21) не разрешим относительно m и невозможно получить уравнение Эйлера, которое соответствовало бы (26). Определим тепловой поток как JT = -XdT/dx + CmT В этом случае полученный потенциал не будет строго соответствовать производству энтропии, но позволит обеспечить эквивалентность вариационной и дифференциальной постановок. Соотношения для потока и силы, соответствующих химической реакции имеют вид Jщ = pW , Хцг = AIT, где А - сродство реакции. Феноменологические коэффициенты принимают вид

Уравнение Эйлера для функционала (23) имеет вид--^7-+рИ/Л=0,

Л

который, при равенстве сродства реакции тепловому эффекту (А = О), соответствует исходному дифференциальному уравнению энергии. Однако, данное условие выполняется только при Т—>0. Зависимость сродства от температуры выражается как

странения пламени m = puj , как самостоятельной зависимой переменной.

Lw=^- = p{T)W{T)T л и/ А

d

Л/Т = А,1Т,- \QIT~dT, (27)

т.

где А,, Т, - параметры в некоторой точке, в которой значения обоих известны. Для равновесного состояния, соответствующему адиабатическому пламени А„ = 0 , Г* = 7у С учетом постоянства теплового эффекта реакции

интеграл (27) дает А = ()^-Т/Ту-), а обобщенная сила и феноменологический коэффициент для химической реакции принимают вид Х\У = с!11 т -11 т/). ¿и- = -V = р(Г)/е(1 / Г -1 / Гу) В этом слу-

а

чае получаем--= что полностью идентично дифференци-

1к

альной постановке. Условие минимума для функционала

<ГГ

о о

Р= \Ь,Х}ск = I

-I

А*х__

с!_\_

ск Т

А I

ск Т

ск,

соответствующего стационарному состоянию по отношению к скорости распространения пламени, имеющее вид

дш ' {ск Т

(к = 0,

выполняется при X = О (соответственно, J = 0), что соответствует метаста-бильному состоянию равновесия и дает тривиальное решение т - О при отсутствии распространения пламени. Таким образом, в формулировке через силы, вариационная постановка не позволяет определить скорость распространения пламени.

При представлении потенциала через потоки (24), выражения для феноменологических коэффициентов и потенциала имеют вид'

Ху

3Т

а \_

скТ' !

Ч

а 1 1

---+ Ст —

ск Т Т

рк

Я(7/-7о)

N /

ехр

£

Ло Т

Уравнение Эйлера для функционала (25) приобретает вид

ах

1 +

1

V

т т

/

я,

= 0

(28)

В отличие от представления потенциала через силы, при котором зависимость обобщенной силы для химической реакции описывалась линейно относительно 1П для потока, в данном случае имеет место нелинейная

зависимость, следствием этого является различие уравнения (28) от уравнения (26) и вариационная постановка соответствует дифференциальной только вблизи равновесного состояния при Т —» Ту .

В третьей главе проводится анализ применимости принципа минимального производства энтропии к расчету стационарной скорости распространения пламени на примере решения модельной задачи о распространении одномерного пламени по смеси перемешанных газов. Рассматривается стандартная постановка задачи: решаются два уравнения (для температуры и массовой концентрации исходного реагента с-]), в пламени имеет место одна одноступенчатая реакция горения. Соотношение для скорости распространения пламени имеет вид: о /

т — \pWdx /с? . (29)

-оо 1

Значение т, полученное из (29) полагается в физическом (но, не математическом) смысле точным и строго соответствующим режиму стационарного распространения пламени. Целью анализа является получение соотношения между данным точным решением и состоянием системы, соответствующим минимальному производству энтропии.

В рассматриваемом случае, необратимыми процессами, производящими энтропию, являются теплопроводность, диффузия и химическая реакция, Выражение для производства энтропии определяющееся соотношениями (20)-(21), принимает вид: о о

Р= \аск= \(JTXr + JxXx+JwXw)dx, (30)

-а —со

где индексы соответствуют процессам: Т - теплопроводность, 1 - диффузия исходного реагента, (V - химическая реакция Для термодинамических потоков и обобщенных сил получены следующие соотношения

/ _ V _ 1 ¿Т

ЬеХ с!с\ сх 7? с/с)

и\ — — — , Л I —----— — ,

С с1х С](1-С[) сЬс

= рИ7, Х№ =е(1/Г-1/7у).

Исходные уравнения сохранения решаются при различных заданных значениях скорости распространения пламени т. По полученным распределениям температу ры и концентрации производится расчет производства энтропии и определяется состояние системы, при которой значение интеграла (30) минимально

Исходные данные базового варианта имеют следующие значения (характерные дня низкомолекулярных газов) теплоемкость С = 1000 Дж/(кг К).

теплопроводность Х= 0.05 Вт/(м К), теплота реакции О = 1000 кДж/кг, предэкспонент к = 5 Ю10 1/с, энергия активации Е= 100 кДж/моль, удельная газовая постоянная = 333 Дж/(кг К), давление р = 105 Па, начальная температура 7д- 300 К, начальная концентрация ср = 1, число Льюиса ¿с =1. Значение скорости распространения пламени, рассчитанное по (29) составляет т° = 1.459 кг/(м2 с) На рис.3 представлены значения полного производства энтропии (величины интеграла (30)) при различных значениях скорости распространения пламени. При т = 1.57 имеет место состояние, соответствующее минимальному производству, полученное значение отлично от

точного решения (т° = 1.459) для скорости распространения пламени, при котором реализуется истинное стационарное состояние системы. Механизм формирования минимума на кривой Р(т) заключается в следующем. На рис.4 представлено распределение локального производства энтропии в зависимости от скорости распространения пламени, где кривая 2 соответствует значению т, при котором полное (интегральное) производство энтропии минимально, а кривые 1 и 3 представляют собой производство энтропии при, соответственно, меньшем и большем значениях скорости распространения пламени. На первый взгляд, данные рис.4 приводят к выводу, что зависимость Р(т) имеет монотонный характер - производство энтропии возрастает при уменьшении скорости распространения пламени Рассматривая распределение локального производства энтропии на большем расстоянии от области максимальной интенсивности (рис.5), получаем обратную картину -производство энтропии принимаюI большие значения при большем значении

Рис 3 Зависимость полного производства энтропии от скорости распространения пламени, точное значение т"= 1 459 минимум Р достигается при>л= 1 57

X, мм

Рис 4 Распределение локального производства энтропии в волне горения при различных значениях скорости распространения пламени т, кг/(м2с)' / - 1 30, 2 - 1 57, 3 - 2 50

Рис 5 Распределение локального производства энтропии в зоне прогрева при различных значениях скорости распространения пламени т, к1/(м2с) / - 1.54, 2- 1 57, 3- 1 60

скорости распространения пламени. Несмотря на то, что абсолютные значения локального производства энтропии, представленные на рис.4 и 5, различаются на несколько порядков, расстояние, на которое распространяются кривые рис.5 до достижения начального состояния (Т —> 7д), составляет ~ 6.5-103 м (те же несколько порядков по сравнению с данными рис 4) Суммарный результат взаимодействия этих факторов приводит к тому, что имеет место значение скорости распространения пламени, при котором производство энтропии принимает минимальное значение (интеграл от кривой 2 по сравнению с кривыми 1,3 на рис. 4, 5).

Проводятся параметрические исследования закономерностей распространения одномерного пламени по газовой смеси, демонстрирующие влияние основных теплофизических и кинетических параметров на закономерности распространения пламени. На рис. 6-11 представлены зависимости скорости распространения пламени от исследуемых параметров и различие между полученными решениями, выражающееся отношением

Е, кДж/моль Е, кДж/моль

Рис 6 Зависимость скорости распространения ппамени от энергии активами» • - минимум производства энтропии ж - точное решение. а - абсолютные значения б - относительное отклонение

100 200 300 400 500 Т0. К

100 200 300 400 500 Та, К

Рис 7 Зависимость скорости распространения пламени от начальной температуры, • - минимум производства энтропии, А - точное решение, а - абсолютные значения, б - относительное отклонение

5 0 5

0 0

Рис 8 Зависимость скорости распространения пламени от начальной концентрации исходного реагента, • - минимум производства энтропии, ▲ - точное решение а - абсолютные значения, б - относительное отклонение 6 0

10 0

р 10 Па

р, 10 Па

Рис 9 Зависимость скорости распросфанения пламени от давления • - минимум производства энтропии. ▲ - точное решение а - абсолютные значения, б - относительное отклонение

10 0

2 О

5

■¡а

е 1 О

100

100

Рис 10 Зависимость скорости распространения пламени от числа Льюиса, • - минимум производства энтропии, а - точное решение, а - абсолютные Значения, 6 - относительное отклонение

100 0

10 О

5

О о

0 1 2 3 4 5 О, МДж/кг

0 12 3 4 <Э, МДж/кг

Рис 11 Зависимость скорости распространения пламени от теплоты реакции, • - минимум производства энтропии. ▲ - точное решение. а - абсолютные значения, б - относительное отклонение

, * 0ч ' 0, *

е ={т -т ),т , где т соответствует минимальному производству

энтропии, иг0 - точное решение. Сравнение результатов с физически точным решением, основанным на интегральном балансе массы, показывает, что принцип минимального производства энтропии достоверно описывает известные физические закономерности распространения пламени Данный вывод относится к влиянию исследованных параметров (энергия активации, начальная температура смеси, начальная концентрация исходного реагента, давление, число Льюиса, тепловой эффект реакции) на скорость распространения пламени. Отметим хорошее количественное соответствие полученных результатов (относительное различие по скорости распространения пламени составляет величину порядка 10 %).

На основании проведенных исследований отмечается, что принцип минимального производства энтропии может быть использован в качестве дополнительного соотношения, замыкающего задачу на собственные значения, возникающую при расчете стационарной скорости распространения

двухмерного пламени на базе стационарных уравнений, записанных в системе координат, связанной с фронтом пламени

В четвертой главе представлена методика численного решения сопряженной задачи тепломассопереноса в реагирующей гетерогенной системе "газ-твердое тело", основанная на совместном применении метода контрольного объема для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого тела (горючего материала), схема разбиения расчетной области представлена на рис 12. Данный подход позволяет использовать преимущества обоих методов, заключающиеся в эффективном алгоритме расчета поля течения (применяется алгоритм SIMPLE, разработанный С.Патанкаром) и более высокой (по сравнению с конечными разностями) точности расчета интегральных характеристик в горючем материале и аппроксимации переменной границы выгорания горючего материала (рис.2), формирующейся в соответствии с полученным распределением скорости термического разложения материала согласно уравнению (17) В зависимости от полноты сгорания слоя материала используются треугольные (рис. 13а) и четырехугольные (рис.136) конечные элементы. Итерационный алгоритм решения сопряженной задачи состоит в следующем. При некотором приближении для значений температуры в горючем материале на границе раздела сред (у = 0), рассчитываются распределения переменных (скорости, температура, концентрации реагентов) в газовой фазе, т.е. используется граничное условие (13). Полученное распределение теплового потока в газовой фазе на границе у = 0 подставляется в уравнение (14), ко трое является граничным условием при расчете распределения температуры в горючем материале.

Рис 12 Схема разбиения расчетной области

Рис 13 Конечно-элементная сетка, узлы определения температуры о - в газовой фазе, • - в твердом теле, а) - треугольные конечные элементы, б) - четырехугольные конечные

В пятой главе приводятся результаты исследований закономерностей распространения пламени по поверхности горючего материала. Постановка задачи представляет собой систему уравнений (2)-(9) с соответствующими граничными условиями. Для определения линейной скорости пиролиза и толщины слоя материала используются соотношения (16) и (17) соответственно. Алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени и у основан на применении принципа минимального производства энтропии

В соответствии с принятой моделью теплопереноса в горючем материале, уравнение (9), в производстве энтропии участвуют два необратимых процесса - теплопроводность и химическая реакция. Интеграл (21) представляется в виде

Ч о

(31)

О -8

где индексы Х,У,1У относятся к теплопередаче по координатам х,у и химической реакции соответственно. Выражения для термодинамических потоков и обобщенных сил для процесса теплопроводности имеют вид

Jy=-lsд-^r, (32)

(33)

Термодинамический поток и обобщенная сила, соответствующие химической реакции, выражаются следующим образом:

Jw=psWs, (34)

Хцг - А/Т5.

Выражение для сродства химической реакции, протекающей при постоянном давлении, имеет вид:

т Т° Г0 Т2

5 дх

1 дТ8

Т} дх > АУ Т} ду

Л'

В соотношении для сродства Л = химические потенциалы компо-

/=1

центов определяются соотношениями ц, = \х^{р,Т) + ИТ\п(р, /р). Поскольку парциальное давление твердофазного компонента реакции неизменно, зависимость сродства от координаты реакции в выражении (35) определяется только образующимся газообразным продуктом реакции, стехиометрический коэффициент которого V = 1, а химический потенциал выражается как

р = р°(р,Г) + , где координата реакции соответствует изменению

толщины материала вдоль его поверхности ¡;(х) = 1 -Ь(х)1Ь$. Интегрирова-

А О А0 О о

ние (35) дает — = — - Л1п4 + „ -Щ, + Я 1пЕ, , где константа интегрирова-Т Т т т

ния А0/Г° -<2!,/Т° + определяется из условия окончания химической

реакции термического разложения в точке хь, соответствующей выгоранию

горючего материала, где А = 0, % = 1, Т = Т* (Т* - максимальная температура в горючем материале) Окончательно, выражение для обобщенной силы химической реакции принимает вид

Л ( • • Л

\

/?1п£. (36)

1___1_

Т. Т*

з 1.4

Алгоритм определения скорости распространения пламени состоит в следующем. Решение задачи (2)-(9) производится при различных значениях и f

По полученным распределениям температуры рассчитываются значения полного производства энтропии в горючем материале (согласно интегралу (31), в котором термодинамические потоки и обобщенные силы определяются по уравнениям (32)-(34) и (36)), среди которых определяется минимальное значение полагающееся соответствующим стационарному состоянию системы и искомому значению стационарной скорости распространения пламени

Исследование закономерностей процесса проводится для пламени, распространяющегося по термически тонким, полностью сгорающим слоям горючего материала, что обеспечивает определение расчетной области в твердом теле единственным образом, что существенно для определения замкнутой термодинамической системы. Рассматривается распространение пламени вниз по вертикальной поверхности материала, горящего по обеим поверхностям, навстречу обдувающему потоку, вызванному естественной и вынужденной конвекцией, чго обеспечивает стационарный режим распространения пламени. В качестве базовых приняты "нормальные" внешние условия (атмосферное давление, концентрация кислорода в воздухе, отсутствие вынужденной конвекции), для которых получено значительное количество экспериментальных данных по скорости распространения пламени.

Таблица 1 Исходные данные для базового варианта

Обозначение Газовая фаза Горючий материал Ед измерения

С 1005 6 1257 Дж/(кг К)

X 0 0254 0 1257 Вт/(м К)

Р 1 0 650 кг/м3

О 1 68107 -7 54 105 Дж/кг

У _ 7 %

к 3 7-107 Ю10 1/с

Е 62850 125700 Дж/моль

VF 1 0 -

vo 1.185 -

¿0 - 0 13 мм

Le 1 -

Pr 07 -

P 105 - Па

T ' a 300 300 К

Y0,a 021 -

Yf.; - 1

8 л/2 - рад

"a 0 - м/с

полученных различными авторами Проводится исследование закономерностей распространения пламени по поверхности целлюлозного материала (бумаги). Использовались теплофизические и кинетические параметры (значения приведены в таблице 1), предложенные А.Е.Фреем и Дж.Тянем и апробированные ими по результатам экспериментальных и численных исследований.

Приводятся результаты расчетов базовых закономерностей распределения производства энтропии при распространении пламени. На рис.14 представлены результаты расчета производства энтропии по составляющим физических процессов в зависимости от скорости распространения пламени. На кривой, описывающей суммарное производство энтропии, имеется точка минимума. В соответствии с предлагаемым подходом, полагается, что данная точка минимума описывает стационарное состояние рассматриваемой неравновесной термодинамической системы, а соответствующая ей скорость распространения пламени является искомым стационарным значением, те решением поставленной задачи Закономерности распределения производства энтропии, обеспечивающие формирование минимального значения состоят в следующем. В соответствии с интегралом (31), суммарное производство энтропии складывается из составляющих, соответствующих двум необратимым процессам - химической реакции и теплопроводности по координатам г и у. Данные рис 14 (кривая о) показывают, что производство энтропии за счет химической реакции практически линейно возрастает с увеличением скорости распространения пламени Напротив, вклад в производство энтро-

Рис 14 Зависимость распределения протнодства энтропии от скорости распространения пламени, о - суммарное, о - химической реакцией, о,д - теплопроводностью по координатам д и у соответственно, заполненный символ обозначает точку минимума,

01 02 03 04 05 06 07 08 и,, мм/с

пии составляющей от теплопроводности по координате х уменьшается в области точки минимума (рис.14), причем данная зависимость имеет нелинейный характер. Поскольку производство энтропии по определению положительно, распределение составляющей Рх (кривая □ на рис.14) асимптотически стремится нулю при больших значениях скорости распространения пламени. Таким образом, взаимодействие распределений производства энтропии, вызванного химической реакцией и теплопроводностью в направлении распространения пламени (координаты х) приводит к формированию точки минимума на распределении суммарного производства энтропии. Распределение производства энтропии за счет теплопроводности по координате у (кривая Л на рис 14) имеет существенно меньшие, по сравнению с двумя другими составляющими, значения и практически постоянно в области точки минимума Далее отмечается, что обшая закономерность зависимости производства энтропии от скорости распространения пламени имеет еще одну фундаментальную физическую особенность. Локальный минимум на данном распределении соответствует стационарному состоянию системы, т.е стационарному распространению пламени При приближении скорости распространения пламени к нулю, производство энтропии также стремится к нулю. Данная точка глобального минимума отражает факт существования метастабильного равновесного состояния при отсутствии необратимых процессов и распространения пламени Рассматривается влияние физических параметров на скорость распространения пламени. На рис.15 представлено распределение производства энтропии в зависимости от толшины слоя горючего материала, данные которого показывают, что скорость распространения пламени уменьшается с ростом толщины слоя, что является экспериментально установленным фактом. На рис.16 представлено распределение производства энтропии в зависимости от концентрации кислорода окружающей среды, показывающее что скорость распространения пламени растет с увеличением концентрации кислорода окружающей среды, что является известной физической закономерностью. Из проведенных исследо-

Рис 15 Зависимость распределения производства энтропии 01 скорости распространения нламенн при различных значениях толщины слоя материала, о — ¿£, = 0 1 мм, о - ¿„ = 0 13 мм

Л - ¿0 = 0 16 мм, заполненный символ обозначает точку минимума

Рис 16 Зависимость распределения производства энтропии от скорости распространения пламени при различных концентрациях кислорода в среде, о - У0 а =021,

□ - У0 а = 0 3 , д - „ = 0 4 ; заполненный символ обозначает точку минимума

ваний следует, что применение принципа минимального производства энтропии к расчету скорости распространения пламени дает физически правдоподобное описание известных закономерностей. Однако количественное сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показывает, что полученные значения скорости распространения пламени существенно ниже измеренных, причем данная закономерность проявляется для всех исследованных случаев. Так, например, для базового варианта (рис. 14) расчетное значение г/у = 0.5 мм/с, тогда как согласно эксперименту

г/у «1.2 * 1.4 мм/с. Для проведения количественной оценки результатов

расчетов проводится калибровка исходных данных с помощью подбора значения предэкспоненциапьного множителя к, входящего в определяемую уравнением (11) скорость химической реакции горения в газовой фазе. Данные рис.17 показывают, что увеличение предэкспоненциапьного множителя приводит к росту скорости распространения пламени и наилучшее

соответствие расчетов и измерений имеет место при = 0.8 ! .0 109 1/с

Проводится исследование влияния теплофизических параметров на закономерности распространения пламени, результаты которого представлены на

02 04 06 08 10 12 14 и I, мм/с

Рис 17 Зависимость распределения производства энтропии от скорости распространения пламени при ра)-личиых значениях предэкспонента скорости реакции в газовой фазе, а - точка минимума,

1- к = 3 7 107 1/с. 2- к = 1 108 1/с,

3- к = 3 10* 1/с, 4- А = 5 10* 1/с,

5- к = 8-10* 1/с, 6- к = 1 109 1/с

16 18

рис. 18-20. Отмечается удовлетворительное количественное согласование расчетных и экспериментальных данных. На рис.21 представлены зависимости распределений производства энтропии от скорости распространения пламени при различных значениях скорости обдувающего потока. С ростом скорости обдувающего потока точка минимума на кривой суммарного производства энтропии становится слабо выраженной, а при некотором ее значении (иа >0.7 м/с на рис.21) локальный минимум исчезает, и распределение производства энтропии приобретает монотонный характер Общий вид зависимости скорости распространения пламени от скорости обдувающего потока, представленный на рис 22. показывает, что имеет место критическое значение скорости обдувающего потока, при котором существует стационарное состояние рассматриваемой термодинамической системы, соответствующее минимальному производству энтропии. При больших величинах иа минимальное значение суммарного производства энтропии соответствует точке глобального минимума «/= 0, те отсутствию распространения

пламени. Данная особенность отражает принципиальное различие между

Рис 18 Зависимость скорости распространения пламени от толщины слоя горючего материала, эксперимент о,д,о,», расчет I- к = 8 101 1/с, 2- к = 1 109 1/с

00 05 10 15 20

21 о, мм

0 1 02 03 04 0 5 06 07 08 09

Уо,

Рис |9 Зависимость скорости распространения пламени от концен грации кислорода в окружающей среде, • - эксперимент Д - расчет

2 5

05 ---.-.-1---.-.-1---1---

04 06 08 10 12 14 16 р, 105Па

Рис 20 Зависимость скорости распространения пламени от давления окружающей среды, • - эксперимент, ж - расчет

стационарным распространением пламени и распространением пламени с постоянной скоростью. Экспериментальные исследования Т.Хирано с соавторами, результаты которых приведены на рис.22, показали существование двух режимов распространения пламени навстречу обдувающему потоку. До достижения критического значения скорости обдува имеет место устойчивый режим, затем распространение пламени становится локально неустойчивым - скорость распространения определяется как осредненное по времени значение. Неустойчивый режим является существенно нестационарным процессом и его характеристики не могут быть рассчитаны на базе предлагаемого алгоритма, поскольку его основу составляет определение стационарного термодинамического состояния системы. При рассмотрении устойчивого режима распространения пламени, результаты расчета скорости распространения пламени, представленные на рис.22, дают хорошее соответствие экспериментальным данным.

02 04 06

ОБ 10 12 и,, мм/с

Рис 21 Зависимость распределения производства энтропии от скорости распространения пламени при различных значениях скорости обдувающею потока,, а - точка минимума, 1 - ¡/„=0,2- и„ = 015 м/с. 3 - иа = 0 3 м/с.-/ - «„=07 м/с, 5 - и„ = 1 0 м/с

14 16 18

Рис 22 Зависимость скорости распространения пламени от скорости обдувающего потока, расчет

а - у0 „ = 021,»-)'

О.а

= 03.

0 - эксперимент; У0 а = 021,

1 - устойчивый режим,

II - неустойчивый режим

ВЫВОДЫ

В результате исследований, проведенных в настоящей работе'

Проведен анализ математических моделей, описывающих процесс распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала, показавший, что при формулировке задачи в стационарных уравнениях, записанных в системе координат, связанной с фронтом пламени, задача на собственные значения не имеет единственного решения относительно значения стационарной скорости распространения пламени. Показано, что использование скорости распространения пламени в качестве параметра преобразования системы уравнений сохранения к стационарному виду приводит к незамкнутости математической постановки

Предложен новый подход к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении принципов термодинамики необратимых процессов, в соответствии с которым стационарное распространение пламени представляется как стационарное состояние неравновесной термодинамической системы, которое может характеризоваться минимальным производством энтропии На ба-

зе данного подхода сформулирован алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени

Сформулированы основные соотношения для термодинамических потоков и обобщенных сил, характерные для описания процесса распространения пламени. Проведенный анализ показал, что в общем случае на базе термодинамических принципов не удается получить эквивалентную дифференциальной вариационную постановку задачи относительно скорости распространения пламени как зависимой переменной Проведены расчеты скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси (модельной задачи, имеющей физически точное решение) с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Получены зависимости скорости распространения пламени от основных параметров процесса качественно соответствующие и количественно согласующиеся с точным решением Показано, что принцип минимального производства энтропии пригоден для описания закономерностей процесса распространения пламени Разработана методика численного решения сопряженной задачи тепло-массопереноса и химической кинетики в реагирующей гетерогенной системе "газ-твердое тело" на базе совместного применения метода контрольного объема для газовой фазы и метода конечных элементов для горючего материала.

Проведены исследования закономерностей распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности целлюлозного материала с использованием разработанной методики и алгоритма расчета скорости распространения пламени, основанного на применении принципа минимального производства энтропии.

Получены распределения локального и интегрального производства

энтропии в зависимости от скорости распространения пламени как параметра процесса. Установлено, что на распределении интегрального производства энтропии имеет место локальный минимум, соответствующий искомому стационарному значению скорости распространения пламени.

Получены зависимости скорости распространения пламени от теплофи-зических параметров (толщины слоя материла, концентрации окислителя и давления в окружающей среде, скорости потока, обдувающего поверхность горения), качественно соответствующие и количественное согласованные известным экспериментальным данным

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1 Булгаков В К Лнпанов А М Вилюнов В Н Карпов А И О механизме отрицательной эрозии при горении твердых топлив//Физика горения и взрыва, 1989. т 21 № 4 с 32-35

2 Карпов А И, Булгаков В К Об одном нетрадиционном алгоритме расчета скорости распространения пламени // Физика юрения и взрыва 1990, т 26, № 5. с 137-138

3 Бужаков В К Карпов А И , Лмпанов А М Влняние конфигурации обд^вдуошето потока на скорость горения твердоготопчнва//Докчаты с ^91-393

4 Karpov Л I Minimal entropv production as an approach lo the prediction of stationar) rate of flame propagation//Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1992. vol 17, №1, pp 1-9

5 Bulgakov V К, Karpov А I, Lipanov, A M Numerical Studies of Solid Propcllant Frosive Burning//Journal of Propulsion and Power, 1993, vol 9, No 6, pp 812-818

6 Karpov Л 1, Bulgakov V к Prediction of the steady rate of flame spread over combustible materials // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa 1AFSS, 1994, pp 373-384

7 Булгаков В К , Карпов А И Закономерности распространения пламени по поверхности полимерного материала // Аэрогазодинамика нестационарных процессов - Томск ТГУ, 1988, с 121-127

8 Карпов А И , Булгаков В К , Галат А А Применение принципа минимального производства энтропии к расчету стационарной скорости распространения пламени // Сб трудов конф "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" Ижевск Институт прикладной механики УрО РАН, 1998

9 Karpov А I, Galat А А , Bulgakov V К Prediction of the steady flame spread rate by the principle of minimal entropy production // Combustion Theory and Modelling, 1999, vol 3, pp 535-546

10 Karpov A I, Bulgakov V К , Novozhilov В V Quantitative estimation of relationship between the state with minimal entropy production and the actual stationary regime of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 2003, vol 28, pp 193-205

11 Bulgakov V К. Karpov A I Numerical investigations of the flow feature influence on the combustion of solids // Proceedings of 3d International Symposium on Computational Fluid Dynamics, Nagoya, Japan, 1989, pp 903-906

12 Karpov Al, Bulgakov VK Calculation of convectivc heat transfer in the two-dimensional combustion chamber H Proceedings of 2nd Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, University of Tsukuba, f990, vol 2, pp 109-115

13 Karpov A I On the prediction of flame spread rate over the combustible materials // Proceedings of 1st Asian Conference on Fire Science and Technology Beijing International Academic Publ 1992, pp 319-323

14 Яшима M ■ Хирано T Карпов А И Механизм и закономерное!и распространения пламени по поверхности-жидкого горючего // Труды 31 -го Японского национального симпозиума по горению, Иокогама Университет Кейо, 1993, с 367-369

15 Karpov А I, Hirano Т, Bulgakov V К Flame spread across the combustible materials surface // '93 Asian Fire Seminar, Noda, lapan Building Research Institute 1993 pp 147-154

16 Karpov A I, felitsyn H P , Bulgakov V К Development of the computer code for the prediction of forest fire spread // Proceedings of 2nd Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Khabarovsk. 1995, pp 100-108

17 Karpov A I, Telitsyn H P , Radchuk A S , Bulgakov V К Arrangement of the computer code for the prediction of forest fire spread I1 Proceedings of 3d Asia-Occama Symposium on Fire Science and Technology, Singapore, 1998, pp 529-538

18 Karpov A 1 , Bulgakov V К , Galat A A Numerical modeling of the downward flame spread the effect of opposed forced flow // Proceedings of 4tli Asia-Oceania S>mposium on Fire Science and Technology, Tokyo Waseda University, 2000. pp 387-397

19 Telitsvn HP Karpov Al On the modeling of forest fires from physical background toward practical output // Proceedings of 4th Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology. Tokyo Waseda University, 2000 pp 15-31

20 Karpov A 1, Bulgakov V К Popovich S V Telitsyn H P Arrangement of the computer code for the prediction of forest fire spread // lournal of Harbin Institute of Technology, 2000, vol 7. pp 134-137

21 Карпов А И, Галат А А, Прокопенко А И О применении принципа минимального производства энтропии к решению линейной задачи теплопроводности // Инженерно-физический журнал, 2001 т 74, №4 с 154-155 (Деп ВИНИТИ 09 12 2000. № 3111-В00)

22 Karpov А 1, Bulgakov V К Galat A A Thermodynamic algorithm for the prediction of flame spread rate o\er solid fuels quantitative evaluation of \al1dU5 // Proceedings of 5th Asia-Oceania Svmposium on Fire Science and Technology University of Newcastle Australia 2001

t

>r/.

23 П. таков В К Kapnoi. Л И Численное исследование влияния струк-тхры поюка на горсти конденсированных веиеств // "Матемашческое моделирование по,ет.ро|ирывобсзошг.-]1ос11" I! промышленности", Владивосток ДВО AJI СССР 1989, с 24-27

24 knipov А 1 , relitsvn Н Р Bulgakov V К. Computer code Гш the piediction of fore-.! flic <pie.it1 // '94 Asian Fire Seminar, Bali, Indonesia 1994, Lecture 13

2*> Радчук А С , Телицын Г 1! Карпов А И Булгаков В К Математическая модечь и методика расчета распространения лесных пожаров // СО научных трудов НИН комш loicp.iux те» s пологий "Математическое моделирование", вып 4, Хабаровск X! 1У 1998 г 12/-М9

26 Карпов А И Телицын ГП Попович С В ПрофаммныП ком!,чеке для молслирорания распространения лесных поларов »/Труди научно-праюнческой конференции "Модельный чес "Гаесинский" - 5 лет чыводы. перспективы" Хабаровск Институт водных н okoioi и-\ ческих проблем ДВО РАН 200П, с 57-64

' 27 К arpov А I . Bulgakov VK A theory of steady flame spiead iion-eiiuiiibnum tbernWynami..

, approach /' Soviet. Vmon - lapan Seminar on Combustion. 1£\plosion and lire RcseirJi

Khabarovsk State University ofTechnology 1991. pp 92-99 28 Карпов А И, Потапов ИИ, Попович С В Применение метода конечных элсмсн,-ор к решению задачи о распространении химической реакции в твердом тепе при звтомодель-I но,и формировании i раннцы оОчасти // гб научных трудов НИИ компьютерных техчо.ю-

ц uifi "Математическое модепирокгпше", вып 3. Хабаровск ХГТУ. 1997. с91-ШЗ

t 29 Г;ыат А /\. Карпов АН Математическая модель и апгорнтм расчета ылционагмош

распространения пламени по повеохмосгн горючего материала // Сб научных т-рудо" НИИ компьютерных тсхнодоч П ''Математическое моделирование" вып 9. VafijpofCK ХГТУ ',999. е 52-64

/ 30 Булгаков В К, Карпов А И Чипанов AM Моделирование приисств терм;.'» < к"-.

J ртаю-кемия ¡1 гонения мол.<иг|.ны\ материалов /»' Гсзисы wuia,j»jp V!i! [vec'iiowon 'u'^

ты семнгара пе> механике реагирующих сред. Красноярск, 1988, с 70-71 31 Карпов А И Галат А Д , Прокопенко А И Применение принципа мипиадгл,гого проило:. сгра ыгропс.и к решеыпп задач т^П'.эчсреноса »/ Со ¡rav4iir,ii цпи НИИ '.„;:пп'пч.рч г тсл1|оли1Ий Магематнчесюс модсифоваиие". вып 10. Х<барэ'"-ь Х'ПУ, 200С с ¡1-14 I ?2 Карпов А К Ч'-ма1;--! из cnocr4-i-"ii„e -.„пчемм .. теории cisuMorap.ioio pac^'-o^iiJ.^re»-' *

и а>щ-ч го i.oi,cpvHu:Ti' к.рюче.о :.а;е;и.али. П Vi !•'•{•','] ИНч IVf' i4c

jj еллгаков В К, Карпов И Закономерности гер.ння т-лиметпсыгфчтлга и ком"1».-// ! Тезисы докладоР нау ччо-теччической конферепиии "Полимерные материзты в машино-

\ строении" Ижевск, ! ^86, е 24

34 ЬутпзковВК Карпов А И Численное моделирование процессов термического разложения I н горения ыпимерных материалов /' Тезисы докладов II Республиканской н.»уч"<>-

техиическои конференции ' Применение пластмасс в стронтсльел.е и юродском \0(яиствс' ч 2. Х"рьк,«в 1987 с 101

I 35 Karpov A' Non-equilibrium therinoduiaiiiic analysis of iIil stead\ flame spread /' IV Inl'-mj-

tional Sen.mai on Plaire Structure (Book ol Abstracts) Novosibirsk. Institute of Chcmi'.a! Kiret ics and Combustion, ¡992 p 23 36 Карпов А И 1 алат А А Кулгаков В К Ипименепие принципов |Срмотннамик1' неооргпч-мых процессов в теории стационарного распространения пламеч'ч // Тез докч межч конф "Математичес! не молети и методы их нее "клевания" Красноярск 190°, с 117-118 ^ 37 Bulgakov Vk Lipanov AM. Karpov \l Numerical study "f solid propellant burring in u,e

' «ide range ol Reynolds niimoer /' Intel nationa1 Woiksbop on Selecleo Prob'ems o! Solid Propel-

lant Combustion and Chemical Gas Dynamics (Book of Abstracts). Tomsk University 1992 d ' s 38 Bulaakov V К Karpov A 1 Ltpaiwv \ M The effect ot flow characteristics on the -.ohd

4 propellant burning // International Workshop on ( licmicaLGas D\nanncs and Combustion о! 1 n-

erg'-ue Materials (Book of Abstracts), I omsk Unr'ersity 199s p 58 39 Карпов А И Булгаков В К Пиаг А А Применение принлирок 1ермодинамнк1! необратимых процессов в теории стационарного распространения мтаменг '/ Тешен докладов В юрой решиналыюн на\чил1 ¡.опференцин "Фишка фундаметальиые и прикладные нее 1едования образование" Хабаровск ХГТУ 20ГЧ.с22-23

* 12 35

РНБ Русский фонд

2004-4 25084

Карпов Александр Иваногич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНО! О РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ ОСНОВАННЫЕ НА ПРИНЦИПАХ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЬССО»

Автореферат диссертации на соискание \ченои степени доктора физико-математических наук

П игшсано н печать 13 0! Елма'а писчая Гарнитура "Тайме" 1 иразк 100 зкз

04 Формат 60x84 1/16 Печать офсетная Уел печ л 1 Заказ № 5

От чел оперативной ггалшрафип излягсчьства Хайарогскою государственной! технического университета 680035 Хабаровск \ т Пиоокганская. 136

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

СТАЦИОНАРНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ.

1.1. Общие представления.

1.2. Одномерное распространение пламени по смеси перемешанных газов.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Алгоритмы численного расчета стационарной скорости распространения пламени.

1.3. Распространение двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала.

1.3.1. Интегральные модели.

1.3.2. Модель, основанная на решении сопряженной задачи тепломассопереноса и горения.

1.3.3. Задача на собственные значения.

1.3.4. Алгоритмы расчета скорости распространения пламени.

ГЛАВА 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ В РЕАГИРУЮЩИХ СРЕДАХ.

2.1. Основные положения термодинамики необратимых процессов.

2.2. Принцип минимального производства энтропии.

2.2.1. Применение к решению линбйной задачи теплопроводности

2.2.2. Концепция локального потенциала.

2.3. Вариационная формулировка задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МИНИМАЛЬНОГО

ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ К РАСЧЕТУ СКОРОСТИ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛАМЕНИ ПО СМЕСИ ПЕРЕМЕШАННЫХ ГАЗОВ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Методика расчета.

3.3. Параметрические исследования закономерностей распространения одномерного пламени по газовой смеси.

ГЛАВА 4. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В РЕАГИРУЮЩЕЙ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЕ.

4.1. Общий алгоритм решения сопряженной задачи.

4.2. Метод расчета уравнений переноса в газовой фазе.

4.2.1. Алгоритм расчета поля течения.

4.2.2. Решение системы алгебраических уравнений.

4.2.3. Дискретизация расчетной области.

4.3. Решение задачи тепломассопереноса в горючем материале.

4.3.1. Треугольные конечные элементы.

4.3.2. Четырехугольные конечные элементы.

4.3.3. Определение поверхности горения материала.

4.3.4. Аппроксимация граничных условий.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДИФФУЗИОННОГО ПЛАМЕНИ ПО ПОВЕРХНОСТИ ГОРЮЧЕГО МАТЕРИАЛА.

5.1. Постановка задачи.

5.1.1. Алгоритм расчета скорости распространения пламени.

5.1.2. Исходные данные.

5.1.3. Параметры расчетной области и вычислительного алгоритма.

5.2. Результаты расчетов базовых закономерностей распределения производства энтропии при распространении пламени.

5.3. Исследование влияние теплофизических параметров на скорость распространения пламени.

5.3.1. Общие закономерности.

5.3.2. Толщина слоя горючего материала. ф 5.3.3. Концентрация окислителя окружающей среды.

5.3.4. Давление окружающей среды.

5.3.5. Скорость обдувающего потока.

Распространение пламени является достаточно широко наблюдаемым процессом, сопровождающим самые разнообразные природные явления и области жизнедеятельности, и проявляющимся с прямо противоположными результирующими эффектами - как крайне нежелательным (пожары), так и требующим максимальной эффективности (сжигание топлива в энергетических устройствах). Соответственно, исследование закономерностей процесса горения в целом и распространения пламени в частности, представляет значительный научный и практический интерес, и проводится постоянно на протяжении многих лет с применением все более совершенных экспериментальных средств, теоретических подходов и методов математического моделирования. Возможным, причем весьма часто имеющим место, результатом протекания процесса горения является установление режима стационарного автомодельного распространения пламени, при котором тепловой баланс между внутренним источником энергии (экзотермической реакцией) и окружающей средой обеспечивает движение фронта пламени в направлении исходного реагента с постоянной во времени скоростью. Одной из ключевых задач при исследовании данного процесса является определение скорости распространения пламени. Как показывает практика, измерение данной величины, как макроскопического параметра, не встречает принципиальных трудностей при проведении эксперимента. С другой стороны, теоретический расчет скорости распространения пламени, описывающей результирующий эффект всего процесса горения, требует разработки математической модели, детально учитывающей все взаимосвязанные теплофизические и кинетические составляющие рассматриваемого явления и, как показано в дальнейшем анализе, не во всех случаях удается построить, физически корректную и математически замкнутую модель, адекватно описывающую закономерности данного- процесса на базе общепринятых подходов к решению задач механики сплошной среды.

Современный уровень математической теории распространения пламени, как составной части теории горения, определяется основополагающими работами Я.Б.Зельдовича (обобщенными в коллективной монографии [1]), Д.А.Франк-Каменецкого [2], Ф.А.Вильямса [3], в которых сформулированы и развиты фундаментальные основы теории горения, что в большей степени относится к гомогенным (как газовым, так и конденсированным) средам. С точки зрения дальнейшего развития разработанных теоретических основ и приближения их к конкретным практическим приложениям, закономерности горения гетерогенных систем (таких, например, как полимерные материалы, не содержащие, в общем случае, окисляющего реагента в твердой фазе), рассмотренные Р.М.Асеевой и Г.Е.Заиковым [4], связаны с большим количеством дополнительных физических, химических, механических особенностей; которые к настоящему времени' недостаточно изучены детально. Эти факторы существенно усложняют условия протекания данного процесса и, соответственно, его теоретические модели, которые пока весьма далеки от окончательной, общепризнанной формы. В целом, основы математического моделирования горения полимерных материалов, разработанные В.К.Булгаковым, А.МШипановым, В.И.Кодоловым [5] базируются на методах классической механики сплошных сред [6]. Кроме; них, для решения некоторых задач теории распространения пламени может быть использован математический аппарат феноменологической термодинамики необратимых процессов (неравновесной термодинамики), сформулированный И.Пригожиным (например, [8]), С. де Гроотом и П.Мазуром [7], что в комплексе определяет основные составляющие теории горения [9] — химическая кинетика, процессы тепломассопереноса, механика жидкости, термодинамика.

Учитывая многообразие аспектов, составляющих предмет исследования процессов горения, для ясности дальнейшего изложения обозначим исходную и конечную точки, определяющие круг вопросов, исследуемых в настоящей работе. Прежде всего, отметим, что здесь рассматриваются: теоретические методы исследования процесса теплового распространения пламени с существенно дозвуковой скоростью (дефлаграция) и из анализа исключаются явления, связанные с развитием теплового взрыва и распространением ударных волн (детонация). Конечной же целью работы является разработка методик расчета закономерностей распространения газофазного диффузионного пламени по поверхности горючих материалов (в основном, полимеров). Отметим, что среди обширного количества работ (анализ которых приведен в обзоре [10]), посвященных данной проблеме, основное внимание здесь уделяется развитию математических моделей, основанных на решении сопряженной задачи тепломассопереноса и химической кинетики, отделив их, таким образом, от статистических и эмпирических моделей, базирующихся на анализе и обработке экспериментальной информации. В целом, определим сопряженные модели как систему уравнений, выражающих основные законы, сохранения, способную полностью описать, закономерности протекания двух взаимообусловленных процессов, определяющих распространение пламени. Таковыми являются тепловыделение в ходе экзотермической реакции горения в пламени, являющееся движущей силой процесса, и тепломассообмен пламени с окружающей средой, обеспечивающий поступление реагентов в зону реакции и общий энергетический баланс системы. В этом смысле постановка сопряженной задачи является самодостаточной, т.е. не требующей каких-либо априорных соотношений для описания автомодельного характера процесса распространения пламени. Значительный вклад в формулировку и развитие теоретических моделей такого типа, описывающих процесс распространения диффузионного пламени по поверхности горючих материалов, внесли Дж. де Рис [11], И.Викман [12,16-18,24], В.Сириньяно [19-21], С.С.Рыбанин [45-47], К.Фернандес-Пелло и Ф.Вильямс [124], М.Деличатсиос [14], А.Фрей и Дж.Тянь [25], Ю.Охи и С.Тсуге [44], С.Бхаттачарджи с соавторами [26-34], К. ди Блази с соавторами [37-41]. Данные модели различаются принятыми физическими допущениями и упрощениями математической постановки, методами решения, но имеют принадлежность к отмеченным выше сопряженным задачам.

С формальной точки зрения, распространение пламени является по своей сущности нестационарным процессом, поскольку имеет место изменение параметров во времени. С другой стороны, существование режима распространения пламени с постоянной скоростью дает основание для рассмотрения данного процесса в стационарной постановке, сформулированной в движущейся системе координат, связанной с фронтом пламени. Необходимым- условием правомерности применения такого подхода является инвариантность выбора точки отсчета движущейся системы координат, что фактически означает достаточно большую (в пределе - бесконечную) область рассмотрения. Математические модели данной задачи и алгоритмы расчета скорости распространения пламени базируются на двух альтернативных подходах, основанных, соответственно, на использовании нестационарных и стационарных уравнений. Первый из них приводит к корректной и замкнутой постановке и его единственный недостаток относится к сложности получения решения, заключающейся как в невозможности получения аналитических оценок, так и в достаточно высоких затратах вычислительных ресурсов при использовании численных методов. Второй подход потенциально содержит существенное преимущество в виде понижения размерности задачи, однако реализовать его практически удается не во всех случаях, поскольку возникающая при этом задача на собственные значения может не иметь единственного решения. Настоящая работа посвящена разработке математических моделей и алгоритмов расчета процесса распространения пламени на основе использования стационарных уравнений.

Процесс распространения пламени может иметь различную конфигурацию, что приводит к задачам различной размерности. Так, при исследовании одномерного распространения пламени, математическая постановка является замкнутой и не возникает принципиальных трудностей при формулировке алгоритма расчета стационарной; скорости распространения пламени. Это относится как к распространению пламени по перемешанной газовой смеси [1-3, 56, 63, 64, 68-76] так и к горению твердых топлив [22-23, 80-85]. Напротив, при исследовании распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала [10, 11, 14, 16-21, 24-36, 44-47, 49-52, 103, 104, 114, 124, 125] имеют место две составляющие вектора скорости распространения пламени - линейная скорость пиролиза, нормальная к поверхности горения и непосредственно скорость распространения пламени вдоль поверхности материала. Использование последней в качестве параметра преобразования уравнений к стационарному виду при переходе к системе координат, связанной с фронтом пламени, приводит к тому, что постановка задачи становится в общем случае незамкнутой. Для преодоления этого используются различные подходы, но, как показывает детальный анализ [49-52, 114, 191, 256, 312], проводимый в главе 1, они не являются в достаточной мере корректными с точки зрения постановки сопряженной задачи, поскольку переопределяют ее. Таким образом, вопрос о формулировке замкнутой математической модели рассматриваемого процесса остается нерешенным.

При решении подавляющего большинства задач механики сплошных сред использование законов термодинамики ограничивается ее первым началом, которое, выражая закон сохранения всех видов энергии в наиболее общем виде, является основой для вывода соответствующих уравнений сохранения. В применении второго начала термодинамики, как правило, нет необходимости, поскольку решение корректно, поставленной и математически замкнутой задачи i единственным образом определяется уравнениями сохранения. Кроме того, формулировки второго закона термодинамики,, в исходном виде представляющего собой неравенство, вызывают как изрядную долю сомнения в, их достоверности, так и приводят к сложностям при получении количественных оценок. Тем не менее, приняв его как нормальный физический закон (неправомерность которого, вообще говоря, не доказана, как, собственно, и обратное), применим его к решению рассматриваемой задачи о расчете стационарной скорости1 распространения двухмерного диффузионного пламени! по поверхности горючего материала. Необходимость применения такого, скажем так, нетрадиционного, подхода- для решения, казалось бы, физически прозрачной задачи можно обосновать следующим. Исключение нестационарных членов уравнений производится за счет появления в них дополнительного параметра - скорости распространения, пламени, для определения которой необходимо дополнительное соотношение. В' одномерном случае таковым выступает уравнение баланса реагента в ходе химической реакции, интеграл которого дает однозначное определение значения скорости перемещения фронта реакции (газофазного пламени или поверхности твердого топлива). В двухмерном случае одно уравнение баланса необходимо использовать, для определения двух величин -скорости термического разложения материала и скорости распространения пламени вдоль его поверхности, что, по крайней мере, проблематично. Данная неопределенность является ценой понижения размерности задачи.

В работах [49-52, 191, 241-242, 256, 311-312] предлагается подход к расчету скорости распространения пламени, основанный на принципе минимального производства энтропии [7, 8, 192, 193, 205, 197, 211], представляющем собой одну из формулировок второго закона термодинамики. Процесс горения представляется как термодинамическая' система, в которой происходят необратимые процессы - теплопроводность, диффузия, вязкое движение и химическая реакция. Согласно теореме Пригожина [7, 8, 192, 205]^ при выполнении условия локального равновесия, стационарное состояние неравновесной термодинамической ^ системы характеризуется минимальным производством энтропии внутри системы. Таким образом, процесс распространения пламени с постоянной во времени скоростью отождествляется со стационарным состоянием термодинамической системы, что позволяет замкнуть постановку рассматриваемой задачи и определить единственное (из возможных, удовлетворяющих уравнениям; сохранения) значение стационарной скорости распространения пламени. Однако данный подход сталкивается с существенными сложностями методического характера. Вышеупомянутое условие локального равновесия налагает настолько сильные ограничения на свойства системы, что для физически реализуемых сред принцип минимального производства энтропии математически строго не выполняется даже при бесконечно малом отклонении от состояния равновесия [7, 193, 205, 210]. Этот факт обычно является основным (а, в общем, единственным) доводом при утверждении о невозможности практического использования данного принципа; но при этом никакая количественная оценка вообще не проводится.

В связи с вышеизложенным отметим, что в основе подхода к расчету скорости распространения пламени; развиваемого в настоящей работе, лежит следующая предпосылка: для замыкания задачи, не имеющей единственного решения в общепринятой постановке, использование положений неравновесной термодинамики (осознавая при этом их приближенность и ограниченность) предпочтительнее априорных соотношений.

Окончательное заключение о практической пригодности математической модели может дать только сравнение с известными физическими закономерностями процесса.

В работах [241, 242] проведены расчеты скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Отметим, что данная задача имеет физически точное решение, основанное на интегральном балансе реагента в реакции горения. Сравнение решений, полученных на базе идентичных постановок задачи, показало, что применение принципа минимального производства энтропии приводит к адекватному (верному качественно и вполне приемлемому количественно) описанию зависимостей скорости распространения пламени от параметров рассматриваемого процесса. В дальнейших исследованиях [49-52, 125, 191, 256, 312] подобный подход был применен к расчету скорости распространения двухмерного пламени по поверхности горючего материала. Полученные результаты показали принципиальную пригодность предлагаемого алгоритма для описания основных закономерностей данного процесса. В настоящей работе проводятся исследования, посвященные детальному анализу рассматриваемой проблемы.

Цель работы. В работе приводится решение следующих задач:

- Анализ задачи на собственные значения при расчете скорости распространения пламени в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фронтом пламени.

- Получение соотношений термодинамики необратимых процессов в применении к задачам теории горения; формулировка алгоритма расчета стационарной скорости распространения пламени, основанного на принципе минимального производства энтропии; оценка применимости термодинамических вариационных принципов к решению задачи о расчете скорости распространения пламени.

- Разработка методики расчета скорости распространения одномерного пламени по перемешанной газовой смеси; проведение расчетов с целью оценки применимости принципа минимального производства энтропии на базе сравнения результатов с физически точным решением, основанным на интегральном балансе реагента в ходе химической реакции горения.

- Разработка математической модели процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности' полимерного горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело".

- Разработка методики расчета, основанной на совместном применении метода конечных разностей (контрольного объема) для газовой фазы и метода конечных элементов для твердого горючего материала.

- Проведение численных исследований закономерностей распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала; расчет стационарной скорости1 распространения пламени с использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии; количественное сравнение полученных расчетных зависимостей скорости распространения пламени от параметров процесса с экспериментальными данными.

Научная новизна. В работе предложен принципиально новый подход к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении положений термодинамики необратимых процессов (неравновесной термодинамики) в виде принципа минимального производства энтропии. Впервые показана незамкнутость задачи на собственные значения при расчете скорости распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности твердого горючего материала в стационарной постановке, сформулированной в системе координат, связанной с фронтом пламени. В4 работе установлено, что данная неопределенность вызвана наличием двух значимых составляющих вектора скорости распространения пламени — линейной скорости термического разложения материала и скорости распространения пламени вдоль его поверхности. Анализ задачи показал, что применяемые ранее подходы к получению замкнутой постановки основаны на априорных соотношениях, переопределяющих сопряженную математическую модель задачи. Впервые получены соотношения неравновесной термодинамики применительно к решению задачи о распространении пламени. Показано, что - с помощью прямого применения термодинамических вариационных принципов (минимального производства энтропии; локального потенциала) не удается построить адекватный алгоритм, в котором скорость распространения пламени являлась бы самостоятельной зависимой переменной. На базе стандартной формулировки принципа минимального производства энтропии предложен новый подход к расчету стационарной скорости распространения пламени. С его использованием проведены расчеты модельной задачи о распространении одномерного пламени по перемешанной газовой смеси. Впервые исследованы закономерности распределения составляющих локального производства энтропии по физическим процессам в волне горения. В широком диапазоне параметров процесса (энергия активации, начальная температура, концентрация исходного реагента, давление, число Льюиса, теплота реакции) показано соответствие (качественное и количественное) полученных результатов физически точному решению, основанному на интегральном балансе массы реагента в химической реакции. Разработана математическая модель процесса распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала на базе сопряженных эллиптических уравнений сохранения для реагирующей гетерогенной среды "газ-твердое тело" с учетом выгорания поверхности горения, что является новым и принципиально определяющим особенности задачи на собственные значения. Разработана новая методика расчета, основанная на совместном применении метода контрольного объема, обеспечивающего эффективный алгоритм расчета поля течения, для газовой фазы и метода конечных элементов, позволяющего с более высокой точностью определить интегральные характеристики реакции термического разложения и форму поверхности горения, для твердого горючего материала. На основе оценочных расчетов получены оптимальные значения параметров вычислительного процесса (структура и размеры расчетной области, коэффициенты релаксации для решения систем алгебраических уравнений). Впервые проведены исследования зависимости интегрального производства энтропии от скорости распространения пламени как параметра процесса. На основе анализа составляющих производства энтропии по физическим процессам получено обоснование существования локального минимума (причем единственного) на распределении производства энтропии, что обеспечивает решение задачи о нахождении стационарного значения скорости распространения пламени. На примере горения целлюлозного материала проведены расчеты скорости распространения пламени с использованием нового алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии. Полученные результаты показывают качественное и количественное соответствие экспериментальным зависимостям скорости распространения пламени от параметров процесса (исследовано влияние толщины слоя горючего материала, концентрации окислителя и давления окружающей среды, скорости обдувающего потока), что подтверждает принципиальную и практическую пригодность алгоритма расчета скорости распространения пламени, предлагаемого в настоящей работе.

Практическая ценность. Основное практическое применение результатов работы направлено на решение задачи о расчете скорости распространения пламени по поверхности горючих материалов, что актуально, прежде всего, для проблемы математического моделирования в пожаробезопасности, а также и для других приложений, связанных с моделированием процесса распространения фронта химических превращений в различных средах. Использование предлагаемого подхода позволяет замкнуть постановку задачи на основе физического принципа (в отличие от используемых априорных соотношений) и решить ее в постановке, основанной на стационарных уравнениях, что дает значительную экономию вычислительных ресурсов по сравнению с формулировкой, использующей нестационарные уравнения. Применение предлагаемого в работе теоретического подхода, основанного на принципах термодинамики ^ необратимых процессов, не ограничивается рассмотренной задачей о распространении пламени и может быть распространено на другие модели, имеющих некоторые свободные параметры, определение которых в рамках общепринятой постановки на базе уравнений сохранения сталкивается с необходимостью использования произвольных и физически необоснованных критериев. Разработанная общая схема методики расчета и полученные детальные особенности численной реализации могут быть самостоятельно (вне зависимости от рассмотренного "термодинамического" алгоритма расчета скорости распространения пламени) использованы при расчете характеристик тепломассопереноса, поля течения и химических превращений в реагирующих гетерогенных системах.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается физической корректностью и математической замкнутостью рассмотренных моделей, проведенными параметрическими исследованиями сходимости и устойчивости вычислительных алгоритмов и подтверждается качественным соответствием и количественным согласованием рассчитанных значений физически точному решению (одномерная задача) и экспериментальным зависимостям (двухмерная задача).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-технической конференции "Полимерные материалы в машиностроении" (Ижевск, 1986), II Республиканской научно-технической конференции "Применение пластмасс в строительстве и городском хозяйстве" (Харьков, 1987), VIII Всесоюзной школе-семинаре по механике реагирующих сред (Красноярск, 1988), 3-м международном симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Нагоя, 1989), конференции "Математическое моделирование пожаровзрывобезопасности в промышленности" (Владивосток, 1989), 2-м Советско-Японском симпозиуме по вычислительной гидродинамике (Цукуба, 1990), III школе-семинаре "Макроскопическая кинетика, химическая и магнитная гидродинамика" (Красноярск, 1990), Советско-Японском семинаре по исследованию процессов горения, взрыва и моделированию пожаров (Хабаровск, 1991), IV международном семинаре по структуре пламени (Новосибирск, 1992), международном совещании по избранным проблемам горения твердых топлив и химической газодинамике (Томск, 1992), 1-м (Хэфей, Китай, 1992), 2-м (Хабаровск, 1995), 3-м (Сингапур, 1998), 4-м (Токио, 2000), 5-м (Ньюкасл, Австралия, 2001) Азиатско-Океанском симпозиуме по научным и технологическим аспектам' исследования пожаров, 31-м Японском национальном симпозиуме по горению (Йокогама, 1993), '93 (Нода, Япония, 1993), '94 (Бали, Индонезия, 1994) Азиатских семинарах по исследованию пожаров, 4-м (Оттава, 1994), 5-м (Мельбурн, 1997) международном симпозиуме по научным основам пожаробезопасности, международном совещании по химической газодинамике и горению энергетических материалов (Томск, 1995), международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск, 1996, 1998), международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999), Второй региональной научной конференции "Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование" (Хабаровск, 2001), семинарах кафедры ППДЛА Ижевского механического института (1982-1987),, НИИ компьютерных технологий Хабаровского государственного технического университета (1987-2002), лаборатории реагирующих химических систем Токийского университета (1993-1994).

Представленные в работе исследования проводились (1992-2003 гг.) по тематике министерства образования России в рамках ЕЗН (проекты 93/гб-03, 96/гб-10, 1.Ю.ООФ) и международного научно-технического сотрудничества (проекты 92/мп-19, 95/мп-32).

Личный вклад автора. Автором сформулированы математические модели процесса стационарного распространения диффузионного пламени по поверхности, предложен алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени на базе принципа минимального производства энтропии, получены основные закономерности распределения производства энтропии в пламени, проведены численные исследования и анализ закономерностей процесса стационарного распространения пламени. При непосредственном участии автора разработаны методики численного решения задачи газовой динамики и тепломассопереноса в реагирующих гетерогенных системах.

Основные положения и результаты опубликованы в работах [49-52, 98-100, 114, 125, 145, 175-181, 191,212,213, 241,242, 256-259,311-323].

Автор выражает искреннюю признательность учителю профессору Виктору Кирсановичу Булгакову за многолетнее руководство и сотрудничество, а также благодарит профессора Т.Хирано за поддержку части исследований, к.с.-х.н. Г.П.Телицына за ценные предложения, касающиеся модели лесных пожаров, к.ф.-м.н. А.А.Галата за помощь в решении вопросов программной реализации.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

А - химическое сродство реакции;

С - теплоемкость; с — концентрация;

D - коэффициент диффузии;

Е — энергия активации;

S — ускорение свободного падения;

J — обобщенный поток; к — предэкспоненциальный множитель;

Lq — начальная толщина слоя горючего материала;

Цк ~ феноменологический коэффициент;

Le - число Льюиса; т — массовая скорость распространения пламени; р — интегральное производство энтропии;

Рг - число Прандтля;

Р — давление;

Q - тепловой эффект реакции;

4 - тепловой поток;

R - удельная газовая постоянная;

Rq - универсальная газовая постоянная;

5 - энтропия, источниковый член уравнения;

Т - температура; t - время;

U — внутренняя энергия; и - составляющая скорости по координате х; иj- - скорость распространения пламени;

V - объем; v - составляющая скорости по координате у; vs - скорость выделения газообразных продуктов;

W - скорость химической реакции;

X - обобщенная термодинамическая сила; х - координата, параллельная поверхности горючего материала;

Xfo - координата точки выгорания горючего материала;

Y - концентрация;

У - координата, нормальная к поверхности горючего материала;

Греческие

Г - обобщенный коэффициент переноса; 5 - переменная толщина слоя горючего материала; В - угол между координатой у и направлением действия подъемной силы; X - коэффициент теплопроводности; М- - коэффициент динамической вязкости, химический потенциал; v - стехиометрический коэффициент; £ - координата реакции; р - плотность; а - локальное производство энтропии; ф - обобщенная переменная;

Индексы

0 - начальный;

1 - исходный реагент; а - окружающая среда; F - горючее;

- пламя;

S - газовая фаза; п — нормаль к поверхности горения;

О - окислитель;

Р - продукт реакции;

R - исходный реагент;

S — поверхность горения; s - твердое тело;

W — химическая реакция;

X - теплопроводность по координате х

Y - теплопроводность по координате у

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты исследований, проведенных в настоящей работе, можно охарактеризовать следующими основными; положениями и выводами. Анализ математических моделей, описывающих процесс распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности горючего материала, показал, что при формулировке задачи в стационарных уравнениях, записанных в системе координат, связанной с фронтом пламени, задача на собственные значения не имеет единственного решения относительно значения стационарной скорости распространения пламени. Использование скорости распространения' пламени в; качестве параметра преобразования системы уравнений сохранения к стационарному виду приводит к незамкнутости математической постановки, заключающейся в необходимости определения двух параметров (линейной скорости пиролиза материала, нормальной к поверхности горения и скорости распространения, пламени вдоль его поверхности) из одного уравнения, выражающего сохранение реагента в, ходе' химической реакции термического разложения. Показано, что известные подходы к решению данной проблемы основаны на, использовании априорных, переопределяющих сопряженную постановку, соотношений, не являющихся в полной мере корректными, поскольку значение скорости' распространения пламени по определению должно быть выражено из решения сопряженной задачи.

В работе предложен новый подход к решению задачи о расчете: стационарной скорости распространения пламени, основанный на применении принципов термодинамики необратимых процессов, в соответствии с которым стационарное распространение пламени представляется как стационарное состояние неравновесной термодинамической системы, которое может характеризоваться минимальным производством энтропии. На базе данного подхода, сформулирован алгоритм расчета стационарной скорости распространения пламени, заключающийся в определении среди всех возможных значений, удовлетворяющих уравнениям сохранения, искомого — соответствующего минимальному производству энтропии. Сформулированы основные соотношения для термодинамических потоков и обобщенных сил, характерные для описания процесса распространения • пламени. Проведенный анализ показал, что в общем случае на базе термодинамических принципов- не удается получить эквивалентную дифференциальной вариационную постановку задачи относительно скорости распространения, пламени как зависимой переменной, поскольку зависимость скорости; химической реакции горения от температуры s имеет существенно нелинейный вид.

С использованием алгоритма, основанного на принципе минимального производства энтропии проведены расчеты скорости распространения одномерного пламени по перемешанной' газовой смеси — модельной задачи; имеющей физически точное решение, выражающееся из закона сохранения массы реагента в ходе реакции. Показано, что зависимость интегрального производства энтропии от значения скорости распространения. пламени имеет единственную точку локального минимума; характеризующую • стационарное: состояние системы; определены закономерности локального производства энтропии в волне горения и зоне прогрева. Полученные зависимости скорости распространения пламени от основных параметров процесса (начальной температуры, энергии активации и- теплового эффекта реакции, давления, числа Льюиса, начальной концентрации исходного <■ реагента) качественно соответствуют и количественно согласуются с точным решением, что дает основание для* утверждения о том, что принцип минимального производства энтропии пригоден для описания закономерностей процесса распространения пламени.

На базе совместного применения метода контрольного объема и метода конечных элементов ^ (для, соответственно, газовой и конденсированной фаз) разработана методика численного решения сопряженной' задачи тепломассопереноса и химической кинетики в реагирующей гетерогенной системе "газ-твердое тело". Данный подход позволяет сочетать преимущества обеих методов, заключающиеся в эффективном алгоритме расчета поля течения в газовой фазе и высокую точность расчета интегральных характеристик в горючем материале.

На базе разработанной; методики и алгоритма расчета скорости распространения пламени, основанного на применении принципа минимального производства энтропии, проведены исследования закономерностей распространения двухмерного диффузионного пламени по поверхности целлюлозного материала. Получены распределения; локального и интегрального производства энтропии? в зависимости от скорости распространения пламени, как параметра процесса. Установлено, что на распределении интегрального производства энтропии имеет место локальный минимум, соответствующий искомому стационарному значению скорости распространения пламени (ожидаемый' глобальный минимум реализуется при нулевых значениях скорости распространения пламени и производства энтропии, что соответствует метастабильному состоянию равновесия при отсутствии распространения пламени). Анализ распределения производства энтропии по физическим процессам показал, что существование локального минимума обеспечивается взаимодействием зависимостей производства энтропии вследствие химической реакции термического разложения материала, линейно возрастающего с ростом скорости распространения пламени и производства' энтропии, вызванного процессом теплопроводности, асимптотически стремящегося к. нулю при увеличении скорости распространения пламени. Полученные результаты расчета зависимостей скорости распространения пламени от исследованных параметров (толщины слоя материла, концентрации окислителя и давления в окружающей среде, скорости потока, обдувающего поверхность горения) всегда качественно соответствуют известным экспериментальным данным, их количественное согласование можно полагать хорошим при условиях малой и средней интенсивности процесса и удовлетворительным при более высокой энергетической напряженности. Последнее относится главным образом к расчету характеристик процесса при высоких значениях концентрации кислорода окружающей среды, более точное количественное описание которого требует больших вычислительных ресурсов, недоступных на момент проведения настоящих исследований.

В целом, проведенные исследования показали, что применение принципа минимального производства энтропии к решению задачи о расчете стационарной скорости распространения пламени при ее формулировке в стационарных уравнениях сохранения позволяет получить замкнутую формулировку задачи на собственные значения, а полученные результаты дают адекватное описание физических закономерностей рассматриваемого процесса.

1. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махвиладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва — М.: Наука, 1980, 478 с.

2. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике -М.: Наука, 1967, 491 с.

3. Вильяме Ф.А. Теория горения —М.: Наука, 1971, 616 с.

4. Асеева P.M., Заиков Г.Е. Горение полимерных материалов — М.: Наука, 1981,280 с.

5. Булгаков В.К., Липанов A.M.", Ко долов В.И. Моделирование горения полимерных материалов — М.: Химия, 1990, 240 с.

6. Ландау Л.Д.,, Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986, 736 с.7. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика-М.: Мир, 1964, 456 с.

7. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций — М.: Мир, 1973, 280 с.

8. Williams F.A. The role of theory in combustion science // Proceedings of 24th International Symposium on Combustion, 1992, pp. 1-17.

9. Wichman I.S. Theory of opposed-flow'flame spread // Progress in Energy and Combustion Science, 1992-, vol.l8, pp.553-593.11. de Ris J.N. Spread of a laminar diffusion flame // Proceedings of 12th International Symposium on Combustion, 1969, pp.241-252.

10. Wichman I.S., Williams F.A. Comments on rates of creeping spread of flames over thermally thin fuels // Combustion Science and Technology, 1983, vol.33, pp.207-214.

11. Thomas P.H. Thermal conduction from a moving half plane heat source to a nearby cold surface // Combustion Science and Technology, 1982, vol.28, pp.173-175.

12. Delichatsios M.A. Exact solution for the rate of creeping flame spread over thermally thin materials // Combustion Science and Technology, 1986, vol.44, pp.257-67.

13. Fernandez-Pello A.C., Ray S.R., Glassman I. Flame spread in an opposed forced flow: the effect of ambient oxygen concentration// Proceedings of 18th International Symposium on Combustion, 1981, pp.579-589.

14. Wichman I.S., Williams F.A. A simplified model of flame spread in anopposed flow along a flat surface of a semi-infinite solid // Combustion Science and Technology, 1983, vol.32, pp.91-123.

15. Wichman I.S. Flame spread in an opposed flow with a linear velocity gradient // Combustion and Flame, 1983, vol.50, pp.287-304.

16. Wichman I.S., Williams F.A., Glassman I. Theoretical aspects of flame spread in an opposed flow over flat surface of solid fuels // Proceedings of 19th International Symposium on Combustion, 1982, pp.835-845.

17. Sirignano W.A. A critical discussion of theories of flame spread across solid and liquid fuels // Combustion Science and Technology, 1972, vol.6, pp.95105.

18. Sirignano W.A. Theory of flame spread above solids // Acta Astronautica, vol.1, pp. 1285-1299.

19. Feng C.C., Sirignano W.A. Further calculations based upon a theory of flame spread across solid fuels // Combustion and Flame, 1977, vol.29, pp.247-263.

20. Мержанов А.Г., Дубовицкий Ф.И. К теории стационарного горения пороха// Доклады АН СССР, 1959, т. 129, № 1, с.153-158.

21. Lengelle G. Model describing the erosive combustion and velocity response of composite propellants // AIAA Journal, 1975, vol.13, No. 3, pp.315-322.

22. Wichman I.S., Osman A.M. Flame spread over a flat, combustible, thermally thick solid in an opposed oxidizer shear flow // Combustion and Flame,1998, vol.112, pp.623-634.

23. Frey A.E:, T'ien J.S. A theory of flame spread over a solid fuel including finite-rate chemical kinetics // Combustion and Flame, 1979, vol.36, pp.263289.

24. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A., Srikantaiah N., Vedha-Nayagam M. A theoretical description of flame spreading over solid combustibles in a quiescent, environment at zero gravity // Combustion Science and Technology, 1990,-vol.69, pp. 1-15.

25. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A. The effect of surface radiation on flame spread in a quiescent, microgravity environment // Combustion and Flame, 1991, vol.84, pp.160-169.

26. Bhattacharjee S. A comparison of numerical and analytical solution of.the creeping flame spread over thermally thin material // Combustion and Flame, 1993, vol.93, pp.434-44.

27. Bhattacharjee S., Bhaskaran K.K., Altenkirch R.A. Effects of pyrolysis kinetics on opposed-flow flame spread modeling // Combustion Science and Technology, 1994, vol.100, pp. 163-182.

28. West J., Bhattacharjee S., Altenkirch R.A. Surface radiation effects on flame spread over thermally thick fuels in an opposing flow // Journal of Heat Transfer, 1994, vol. 116, pp.646-651.

29. Bhattacharjee S., West J., Dockter S. A simplified theory for de Ris flame over thick and thin fuel beds // Combustion and Flame, 1996, vol; 104, pp.66-80.

30. Bhattacharjee S., West J., Altenkirch R.A. Determination of the spread rate in opposed-flow flame spread over thick solid fuels in the thermal regime //

31. Proceedings of 26th International Symposium on Combustion, 1996, pp. 1477-1485.

32. Bhattacharjee S., Altenkirch R.A., Sacksteder K. The effects of ambient pressure on flame spread over thin cellulosic fuel in a quiescent, micro-gravity environment//Journal of Heat Transfer, 1996, vol:l 18, pp.181-190.

33. Delichatsios M.A. Comments on "A comparison of numerical and analytical solution of the creeping flame spread over thermally thin material" by Bhattacharjee S. // Combustion and Flame, 1993, vol.95, pp.336-339.

34. Bhattacharjee S. A Response to the Comments by Delichatsios M.A. on "A comparison of numerical and analytical solution of the creeping flame spread over thermally thin material" // Combustion and Flame, 1995, vol.95, p.340.

35. Di Blasi C., Crescitelli S., Russo G. Near limit flame spread over solid fuels // 11th Conference of Italian Section of Combustion Institute, 1986,pp.3.7/1-3.7/3.

36. Di Blasi C. Modeling and simulation of combustion processes of charring and non-charring solid fuels // Progress in Energy and Combustion Science, 1993, vol.19, pp.71-104.

37. Di Blasi C. Predictions of wind-opposed flame spread rates and energy feedback analysis for charring solids in a microgravity environment // Combustion and Flame, 1995, vol.100, pp.332-340.

38. Lengelle G. Thermal degradation kinetics and surface pyrolysis of vinyl polymers // AIAA Journal, 1970, vol.8, No.l 1, pp. 1989-1996.

39. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости-М.: Энергоатомиздат, 1984, 152 с.

40. Ohki Y., Tsuge S. On the flame spreading over a polymer surface // Combustion Science and Technology, 1974, vol.9, pp.1-12.

41. Рыбанин C.C. Структура, скорость и пределы распространения диффузионного пламени по поверхности горючего материала // Доклады АН СССР, 1977, т.235, № 5, с. 1110-1113.

42. Rybanin S.S. The dependence of the flame spread rate over solid fuel on Damkohler number and heat loss // Proceedings of 26th International Symposium on Combustion, 1996, pp. 1487-1493.

43. Зельдович Я.Б. К теории горения неперемешанных газов // Журнал технической физики, 1949, т. 19, с. 1199-1210.

44. Karpov A.I., Hirano Т., Bulgakov V.K. Flame spread across the combustible materials surface // '93 Asian Fire Seminar, Noda, Japan: Building Research Institute, 1993, pp.147-154.

45. Williams F.A. Mechanisms of fire spread // Proceedings of 16th Inter-^ national Symposium on Combustion, 1977, pp.1281-1294.

46. Weber R.O. Modeling fire spread through fuel beds // Progress in Energy and Combustion Science, 1991, vol.17, pp.67-82.55; Щетинков Е.С. Физика горения газов -М.: Наука; 1965, 740 с.

47. Химия горения / под ред. Гардинера У., мл. М.: Мир, 1988; 464 с.

48. Andrews G.E., Bradley D. The burning velocity of methane-air mixtures // Combustion and Flame, 1972, vol.19, pp .275-288.

49. James E.H. Laminar burning velocities of iso-octane-air mixtures — A literaшture review // SAE Technical Paper Series, No.870170, 1987, 20 p.

50. Шебеко Ю.Н., Королъченко А.Я., Шамонин В.Г., Цариченко C.F. Исследование зависимости нормальной скорости горения метано- и водородно-воздушных смесей от давления и состава // Физика горения и взрыва, 1993, т.29, № 5, с. 12-17.

51. Iijima Т., Takeno Т. Effects of temperature and pressure on burning velocity // Combustion and Flame, 1986, vol.65, pp.35-43.

52. Бабушок В.И., Дакданча А.Н. Глобальные кинетические параметры для высокотемпературных газофазных реакций // Физика горения и взрыва, 1993, т.29, №4, с. 48-80.

53. Numerical methods in laminar flame propagation A GAMM workshop / ^ Peters N., Warnatz J. (Eds.), Notes on numerical fluid mechanics, vol.6 —

54. Braunschweig: Vieweg, 1982.

55. Ловачев Л.А., Каганова З.И. Расчет характеристик бромо-водородного пламени //Доклады АН СССР, 1969, т. 188, № 5, с. 1087-1089.

56. Кондратьев В.Н., Никитин Е.Е. Кинетика и механизм газофазных ^ реакций М.: Наука, 1974, 558 с.

57. Dixon-Lewis G. Kinetic mechanism, structure and properties of premixed flames in hydrogen-oxygen-nitrogen mixtures // Phil. Transactions of the Royal Society of London, 1979, vol.292, pp.45-99.

58. Tsatsaronis G. Prediction of propagating laminar flames in methane, oxygen, nitrogen mixtures // Combustion and Flame, 1978, vol.33, pp.217-239.

59. Spalding D.B., Stephenson P.L. Laminar flame propagation in hydrogen+ bromine mixtures // Proceedings of the Royal Society of London, A., 1971, vol.324, pp.315-337.

60. Smooke M.D. Solution of burner stabilized premixed laminar flames by boundary value methods // Journal of Computational Physics, 1982, vol.48, pp. 72-105.

61. Grcar J.F., Kee R.J., Smooke M.D., Miller J.A. A hybrid Newton/time integration procedure for the solution of steady, laminar, one-dimensional, premixed flames // Proceedings of 21st International Symposium on Combustion, 1986, pp.1773-1782.

62. Smooke M.D., Miller J.A., Kee R.J. Determination of adiabatic flame speeds by boundary value methods // Combustion Science and Technology, 1983, vol.34, pp. 79-90.

63. Беляев А.А., Посвянский B.C. Программа для нахождения нормальной скорости распространения пламени // Алгоритмы и программы. Информ. бюл. Гос. фонд алгоритмов и программ СССР, 1985, № 3, с.35.

64. Mukunda H.S., Deshpande S.M., Bhashyam А.Т. New formulation for onedimensional premixed flames // AIAA Journal, 1986, vol.24, pp.1127-1128.

65. Dasch C.J., Blint R.J. An improved Spalding-Stephenson procedure for one-dimensional flame calculations // Combustion Science and Technology,1983 j vol.34; pp. 91-110.

66. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Журнал физической химии, 1938, т. 12, с. 100-105.

67. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. К теории равномерного распространения пламени // Доклады АН СССР, 1938, т. 19, с.693-698.

68. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени // Журнал физической химии, 1948, т.22, с.27-49.

69. Гусаченко JI.K., Зарко В.Е., Зырянов В.Я., Бобрышев В.П. Моделирование процессов горения твердых топлив — Новосибирск: Наука, 1985, 181 с.

70. Вилюнов В.Н. К математической теории стационарной скорости горения конденсированного вещества //Доклады АН СССР, 1961, т.136, с.136-139.

71. Теория горения порохов и взрывчатых веществ / под ред. Лейпунского О.И., Фролова Ю.В.— М.: Наука, 1982, 360 с.

72. Мержанов А.Г. Теория стационарного гомогенного горения конденсированных веществ — Черноголовка: Препринт ОИХФ АН СССР, 1968.

73. Новожилов Б.В. Нестационарное горение твердых ракетных топлив — М.: Наука, 1973, 175 с.

74. Вилюнов В.Н. Теория зажигания конденсированных веществ — Новосибирск: Наука, 1984, 189 с.

75. Гришин A.M., Фомин В.М. Сопряженные и нестационарные задачи механики реагирующих сред — Новосибирск: Наука, 1984, 318 с.

76. Игнатьев В.Н., Задорин А.И. Численное моделирование двухмерного пламени Новосибирск: Препринт № 446 ВЦ СО АН СССР, 1983, 19 с.

77. Aly S., Simpson R., Hermance С. Numerical solution of the two-dimensional premixed laminar flame equations // AIAA Journal, 1979, vol.17, pp.56-63.

78. Benkhaldoun F., Larrouturou B. Explicit adaptive calculations of wrinkled flame propagation // Int. Journal for Numerical Methods in Fluids, 1987, vol.7, pp. 1147-1158.

79. Рыбанин C.C., Соболев С.Л. Скорость и пределы горения конденсированного вещества при теплообмене с окружающей средой — Черноголовка: Препринт ОИХФ АН СССР, 1988,31 с.

80. Коваленко Ю.А. Предельные условия стационарного режима безгазового горения при теплоотдаче в стенки // Физика горения и взрыва, 1987, т. 23, №6, с. 61-65.

81. Рыбанин С.С., Соболев C.J1. Критические условия горения макроге-терогенных систем типа топливо инертный материал // Доклады АН СССР, 1983, т.269, № 6, с.1394-1398.

82. Булгаков В.К., Липанов A.M. К теории горения твердых топлив при обдуве // Физика горения и взрыва, 1983, т. 19, № 3, с. 32-41.

83. Булгаков В.К., Липанов A.M. Модель горения твердых топлив при обдуве учитывающая взаимодействие турбулентности с химической реакцией // Физика горения и взрыва, 1984, т.20, № 5, с. 68-74.

84. Булгаков В.К., Липанов A.M. Взаимодействие турбулентности и химической реакции в теории эрозионного горения'конденсированных веществ // Химическая физика, 1986, т. 5, № 4, с. 548-556.

85. Булгаков В.К., Липанов A.M., Камалетдинов А.Ш. Расчет скорости горения твердых топлив при обдуве // Химическая физика, 1986, т. 5, №6, с. 831-837.

86. Булгаков В.К., Липанов A.M., Вилюнов В.Н., Карпов А.И. О механизме отрицательной эрозии при горении твердых топлив // Физика горения и; взрыва, 1989, т. 25, № 4, с. 32-35.

87. Булгаков В.К., Карпов А.И., Липанов А.М: Влияние конфигурации обдувающего потока на скорость горения твердого топлива // Доклады АН СССР, 1990, т. 312, №2, с. 391-393.

88. Bulgakov V.K., Karpov A.I., Lipanov, A.M. Numerical Studies of Solid Propellant Erosive Burning //Journal of Propulsion and Power, 1993, vol. 9, No. 6, pp. 812-818.

89. Friedman R. A survey of knowledge about idealized fire spread over surfaces // Fire Research Abstracts and Review, 1968, vol.10, pp. 1-8.

90. Magee R.S., McAlevy III R.F. The mechanism of flame spread // Journal of Fire and Flammability, 1971, vol.2, pp.271-297.

91. Fernandez-Pello A.C., Hirano T. Controlling mdchanisms of flame spread // Combustion Science and Technology, 1983, vol.32, pp.1-31.

92. Fernandez-Pello A.C. Flame spread modeling// Combustion Science and Technology, 1984, vol.39, pp.119-134.

93. Hirano Т., Saito K. Fire spread phenomena: the role of observation in experiment// Progress in Energy and Combustion Science, 1994, vol.20, pp.461-485.

94. Campbell A.S. Some burning characteristics of filter paper// Combustion Ф Science and Technology, 1971, vol.1, pp. 103-120.

95. Лалаян B.M., Халтуринский H.А., Берлин Ал. Ал. Влияние тепловых свойств полимеров на скорость распространения пламени по поверхности // Высокомолекулярные соединения, 1979, т.21, сер.А, с.825-829.

96. Бахман Н.Н., Кондриков Б.Н., Раубель С.О., Шутова Л.А: Критические условия горения плоских слоев ПММА на подложках различной: толщины и теплопроводности // Физика горения и взрыва, 1983, т. 19, № 4, с.7-10.

97. Исаков Г.Н., Несмелов В .В. Измерение скорости распространения пламени по поверхности полиолефинов в потоке газа // Механика быстропротекающих процессов — Томск: ТГУ, 1989, с.37-43.

98. Булгаков В.К., Карпов А.И. Закономерности распространения пламени по поверхности полимерного материала // Аэрогазодинамика нестационарных процессов —Томск: ТГУ, 1988, с.121-127.

99. Марголин А.Д., Крупкин В.Г. Предельные условия горения полимерных материалов в окислительной атмосфере // Доклады АН СССР, 1981, т.257, № 6, с.1369-1373.

100. Howard J.B., Williams G.C., Fine D.H. Kinetics of carbon monoxide oxidation in postflame gases // Proceedings of 14th International Symposium on Combustion, 1973, pp.975-986.

101. Westbrook C.K., Dryer F.L. Simplified reaction mechanisms for the oxidation of hydrocarbon fuels in flames // Combustion Science and Technology, 1981, vol.27, pp.31-43.

102. Hirano Т., Suzuki T. Flame propagation across liquids a review of gas phase phenomena//Fire Safety Journal, 1993, vol.21, pp.207-229.

103. Burgoyne J.H., Roberts A.F. The spread of flame across a liquid surface II. Steady-state conditions // Proceedings of the Royal Society of London, A, 1968, vol.308, pp. 55-68.

104. Glassman I:, Hansel J.G. Some thoughts and experiments on liquid fuel spreading, steady burning and ignitability in quiescent atmospheres // Fire Research Abstracts and Review, 1968, vol.10, pp.217-234.

105. Sirignano W.A., Glassman I. Flame spreading above liquid fuels: surface-tension-driven flows// Combustion Science and Technology, 1970, vol.1, pp.307-312.

106. Di Blasi C., Crescitelli S., Russo G. Model of pulsating flame spread across liquid fuels //Proceedings of 23d International Symposium on Combustion, 1990, pp. 1669-1675.

107. Higuera F.J., Linan A., Iglesias I. Effects of boundary layer displacement and separation on opposed-flow flame spread // Combustion Theory and Modelling, 1997, vol.1, pp.65-78.

108. Fernandez-Pello A.C., Williams F.A. A theory of laminar flame spread over flat surfaces of solid combustibles // Combustion and Flame, 1977, vol.28, pp.251-277.

109. Karpov A.I., Bulgakov V.K., Galat A.A. Numerical modeling of the downward flame spread: the effect of opposed forced flow-// Proceedings of 4th Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Tokyo: Waseda University, 2000, pp.3 87-397.

110. Orloff L., de Ris J., Markstein G.H. Upward turbulent fire spread and burning of fuel surface // Proceedings of 15th International Symposium on Combustion, 1975, pp. 183-192.

111. Saito K, Quintiere J.G., Williams F.A. Upward turbulent flame spread // Proceedings of 1st International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1985, pp.75-86.

112. Hasemi Y. Thermal modeling of upward flame spread // Proceedings of 1st International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1985, pp.87-96.

113. Sibulkin M., Kim J. The dependence of flame propagation on surface heat transfer. II. Upward burning // Combustion Science and Technology, 1977, vol.17, pp.39-49.

114. Ahmad Т., Faeth G.M. An investigation of the laminar overfire region along upright surfaces // Journal of Heat Transfer, 1978, vol.100, No.l, pp.112-119.

115. Fernandez-Pello A.C. Upward laminar flame spread under the influence of externally applied thermal radiation // Combustion Science and Technology, 1977, vol.17, pp.87-98.

116. Delichatsios M.M., Delichatsios M.A. Effects of transient pyrolysis on wind-aided and upward flame spread // Combustion and Flame, 1992, vol.89, pp.5-16.

117. Hirano Т., Sato K., Sato Y., Sato J. Prediction of metal fire spread in high pressure oxygen // Combustion Science and Technology, 1983, vol.32, pp.137-159.

118. Sato K., Sega S. Smolder spread in a horizontal layer of cellulosic powder // Proceedings of 2nd International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1989, pp.87-96.

119. Akita K. Some problems of flame spread along a liquid surface // Proceedings of 14th International Symposium on Combustion, 1973, pp.l 075-1083.

120. Mackinven R., Hansel J.G., Glassman I. Influence of laboratory parameters on flame spread across liquid fuels // Combustion Science and Technology, 1970, vol.1, pp.293-306.

121. Glassman I., Dryer F.L. Flame spreading across liquid fuels // Fire Safety Journal, 1980/81, vol.3, pp.123-138.

122. Hirano Т., Suzuki Т., Sato J., Ohtani H. Flame spread over crude oil sludge // Proceedings of 20th International Symposium on Combustion, 1984, pp.1611-1617.

123. Anderson J.E., Magyari M.W. Flashpoint temperatures of methanol -hydrocarbon solutions // Combustion Science and Technology, 1984, vol.37, pp. 193-199.

124. Hillstrom W.W. Flame spreading over liquid fuels, USA Ballistic Research Laboratories Report No. 1797, Aberdeen Proving Ground, Maryland, July 1975,31 р.

125. Ishida H., Iwama A. Some critical discussions on flash and fire points of liquid fuels // Proceedings of 1 st International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1985, pp.217-226.

126. Torrance K.E. Subsurface flows preceding flame spread over a liquid fuel // Combustion Science and Technology, 1971, vol.3, pp.133-143.

127. Torrance K.E., Mahajan R.L. Surface tension flows induced by a moving thermal source // Combustion Science and Technology, 1975, vol.10, pp.125-136.

128. Schiller D.N., Sirignano W.A. Ignition and-flame spread above liquid fuelipools, Meeting of the Western States Section of Combustion Institute, Report No. WSCI 91-96, 1991, 28 p.

129. Яшима M., Хирано Т., Карпов А.И. Механизм и закономерности распространения пламени по поверхности жидкого горючего // Труды 31-го Японского национального симпозиума по горению, Йокогама: Университет Кейо, 1993, с.367-369.

130. Furuta М., Humphrey J;A.C., Fernandez-Pello А.С. Physico-chemical aspects of flame spread hydrodynamics over shallow liquid fuel in counter-flowing air stream, University of California at Berkley Report No.FM-84-3, May 1984,56 р.

131. Williams F.A. Combustion theory (2nd Edition) Redwood, CA: Addison-Wesley, 1985.

132. Clavin P., Fife P., Nicolaenko B. Multiplicity and related phenomena in competing reaction flames // SIAM Journal of Applied Mathematics, 1987, vol. 47, pp.296-331.

133. Reitz R.D. Computations of laminar flame propagation using an explicit numerical method // Proceedings of 18th International Symposium on Combustion, 1980, pp.433-442.

134. Benkhaldoun F., Leyland P., Larrouturou B. Dynamic mesh adaptation for. unsteady nonlinear phenomena Application to flame propagation // Numerical Grid Generation in Computational Fluid Mechanics, 1988, pp.977-986.

135. Brauner C.M., Schmidt-Laine CI. Existence of a solution to a certain plane premixed flame problem with two-step kinetics // SIAM Journal of Mathematical Analysis, 1987, vol. 18, pp. 1406-1415.

136. Norbury J., Stuart A.M. Travelling combustion waves in a porous medium // SIAM Journal of Applied Mathematics, 1988, vol. 48, pp.155-169.

137. Mikolaitis D.W. Premixed flame structure for large activation energy and large heat release — a simple model // Combustion Science and Technology, 1986, vol.48, pp.89-98.

138. Seshadri K., Peters N. The influence of stretch on a premixed flame with two-step kinetics // Combustion Science and Technology, 1983, vol.33, pp.35-63.

139. Buckmaster J., Ludford G.S.S. Theory of laminar flames — London: Cambridge University Press, 1982.

140. Sivashinsky G.I. Diffusional-thermal theory of cellular flames // Combustion Science and Technology, 1977, vol.15, pp.137.

141. Hastings S.P., Lu C., Wan Y.H. Existence of a travelling flame front in a model with no cold boundary difficulty // SIAM Journal of Applied Mathematics, 1987, vol. 47, pp. 1229-1240.

142. Berman V.S., Riazantsev I.S. Asymptotic analysis of stationary propagation of the front of parallel exothermic reactions // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1975, vol.39, pp.286-296.

143. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях -М.: Энергия, 1971.

144. Численные методы исследования течений вязкой жидкости / Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. М.: Мир, 1972, 326 с.

145. Роуч П. Вычислительная гидродинамика-М.: Мир, 1980, 481 с.

146. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен (в 2-х т.) М.: Мир, 1990, 728 с.

147. Warnatz J. Influence of transport models and boundary conditions on flame structure // A GAMM workshop / Peters N., Warnatz J. (Eds.), Notes on numerical fluid mechanics, vol.6 -Braunschweig: Vieweg, 1982, pp.87111.

148. Heimerl J.M., Coffee T.P. Results of a study of several transport algorithms for premixed, laminar steady-state flames // A GAMM workshop / Peters N., Warnatz J. (Eds.), Notes on numerical fluid mechanics, vol.6 -Braunschweig: Vieweg, 1982, pp.71-86.

149. Emmons H.W. Fire in the Forest // Fire Research Abstracts and Reviews, 1964, vol.5, pp. 163-178.

150. Albini F.A. A Physical Model for Fire Spread in Brush // Proceedings of 11th International Symposium on Combustion, 1967, pp.553-560.

151. Van Wagner C.E. Calculation on Forest Fire Spread by Flame Radiation, Canadian Department of Forestry, Report No. 1185, 1967, 28 p.

152. Thomas P.H. Some Aspects of the Growth and Spread of Fires in the Open // Journal of Forestry, 1967, vol.40, pp. 139-164.

153. Telitsyn H.P. Flame radiation as a mechanism of fire spread in forests // Heat Transfer in Flames / Afgan N.H:, Beer J.M. (Eds.), N.Y.: Wiley, 1974, pp.441-449:

154. Telitsyn H.P. A mathematical model of spread of high-intensity forest fires // Fire in Ecosystems of Boreal Eurasia / Goldammer J.G., Furyaev V.V. (Eds.), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996, pp.314-325.

155. Karpov A.I., Telitsyn H.P., Bulgakov V.K. Development of the computer code for the prediction of forest fire spread // Proceedings of 2nd Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Khabarovsk, 1995, pp. 100-108.

156. Радчук A.C., Телицын Г.П.-, Карпов А.И., Булгаков В .К. Математическая модель и методика расчета распространения лесных пожаров // Сб. научных трудов НИИ компьютерных технологий "Математическое моделирование", вып.4, Хабаровск: ХГТУ, 1998, с. 122-139.

157. Karpov A.I., Telitsyn Н.Р., Radchuk A.S., Bulgakov V.K. Arrangement of the computer code for the prediction of forest fire spread // Proceedings of3d Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Singapore, 1998, pp.529-538.

158. Karpov A.L, Telitsyn H.P., Bulgakov V.K. Computer code for the prediction of forest fire spread // '94 Asian Fire Seminar, Bali, Indonesia, 1994, Lectured 13.

159. Telitsyn H.P., Karpov A.I. On the modeling of forest fires: from physical background toward practical output // Proceedings of 4th Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Tokyo: Waseda University, 2000, pp. 15-31.

160. Karpov A.L, Bulgakov V.K., Popovich S.V., Telitsyn H.P. Arrangement of the computer code for the prediction of forest fire spread // Journal of Harbin Institute of Technology, 2000, vol.7, pp. 134-137.

161. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением JL: Энергия, 1971, 294 с.

162. Davis К.Р., Byram G.B., Krumm W.R. Forest fire: Control and use -N.Y.: McGraw Hill, 1959, 584 p.

163. Телицын Г.П;, Сосновшенко А.П. Характеристики лесных горючих материалов и их связь с особенностями горения // Сб. трудов. ДальНИИЛХ, вып. 10, Хабаровск, 1970, с. 248-252.

164. Anderson D.H., Catchpole Е.А., de Mestre N.J., Parkes, Т. Modeling the spread of grass fires // Journal of Australian Mathematical Society (Series B), 1982, vol.23, pp.451-466.

165. Knight I., Coleman J. A Fire perimeter expansion algorithm based on Huygens' wavelet propagation // International Journal of Wildland Fire, 1993, vol.3, pp.73-84.

166. Richards G.D. A general mathematical framework for modeling two-dimensional wildland fire spread // International Journal of Wildland Fire, 1995, vol.5, pp.63-72.

167. Tarifa C.S., Notario P.P., Torralbo A.M. On the process of flame spreading over the surface of plastic fuel in an oxidizing atmosphere // Proceedings of 12th International Symposium on Combustion, 1969, pp.229-240.

168. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных М.: ИЛ, 1962, 279 с.v

169. Хайкин Б.И., Худяев С.И. Доклады АН СССР,.1979, т.242, № i, c.i55.

170. Karpov A.I. On the prediction of flame spread rate over the combustible materials // Proceedings of 1st Asian Conference on Fire Science and Technology, Beijing: International Academic Publ., 1992, pp. 319-323.

171. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов — М.: ИЛ, 1960,314 с.

172. Шехтер Р.С. Вариационный метод в инженерных расчетах — М.: Мир, 1971,291 с.

173. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов-М.: Наука, 1978, 128 с.

174. Седов Л.И. Механика сплошных сред, т. 1 — М.: Наука, 1976, 536 с.

175. Князева А.Г. Введение в локально-равновесную термодинамику физико-химических превращений в деформируемых средах — Томск: ТГУ, 1996, 148 с.

176. Coveney P.V. The second law of thermodynamics: entropy, irreversibility and dynamics // Nature, 1988, vol.333, pp.409-415.

177. Bejan A. Second-law analysis in heat transfer and thermal design // Advances in Heat Transfer, vol.15 / Hartnett J.P., Irvine T.F. (Eds.), London: Academic Press, 1982, pp.1-58.

178. Arpaci V.S., Selamet A. Entropy production in radiation-affected boundary layers, AIAA Paper No.88-2640, 1988, 9p.

179. Arpaci V.S., Selamet A. Entropy production in flames // Combustion and Flame, 1988, vol.73, pp.251-259.

180. Arpaci V.S., Selamet A. Entropic efficiency of energy systems // Progress in Energy and Combustion Science, 1992, vol.18, pp.429-445.

181. Torres J.L. Minimal rate of entropy production as a criterion of merit for thermal engines // Revista Mexicana de Fisica, 1988, vol.34, pp. 18-24.

182. Argrow B.M., Emanuel G., Rasmussen M.L. Entropy production in non-steady general coordinates // AIAA Journal, 1987, vol.25, pp. 1629-1631.

183. Кильматов T.P. Методы неравновесной термодинамики в физической океанологии Владивосток: ДВО АН СССР, 1987, 80 с.

184. Jaynes Е.Т. The minimum entropy production principle // Annual Reviews of Physical Chemistry, 1980, vol. 31, pp. 579-601.

185. Алифанов O.M. Обратные задачи теплообмена — M.: Машиностроение, 1988, 280 с.

186. Гиббс Дж.В. О равновесии гетерогенных веществ (1875-1878) // Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая механика —М.: Наука, 1982, с.61-349.

187. Сторонкин А.В. Термодинамика гетерогенных систем —JI.: ЛГУ, 1967, 447 с.

188. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible thermodynamics // Physical Review, 1931, vol.37, p.405-426 (I); vol.38, p.2265-2279 (II).

189. Lampinen M. A problem of the principle of minimum entropy production // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1990, vol.15, pp. 397-402.

190. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы — М.: Мир, 1974, 304 с.

191. Карпов А.И., Галат А.А., Прокопенко А-И. О применении принципа минимального производства энтропии к решению линейной задачи теплопроводности // Инженерно-физический журнал, 2001, т.74, №4, с. 154-155 (Деп. ВИНИТИ 09.12.2000, № 3111-В00).

192. Finlayson В.А., Scriven L.E. On the search for variationalprinciples // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1967, vol; 10, pp.799-821.

193. Ahmadi G A two-equation turbulence model for compressible flows based on the second law of thermodynamics // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1989, vol.14, pp.45-59;

194. Мои C.Y., Luo J-L., Nicolis G. Stochastic thermodynamics of non-equilibrium steady states in chemical reaction systems // Journal of Chemical Physics, 1986, vol.84, pp.7011-7017.

195. Bataille J., Edelen D.G.B., Kestin J; Nonequilibrium thermodynamics of nonlinear equations of chemical kinetics // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1978, voL3, pp. 153-168.

196. Ross J., Hunt K.L.C., Hunt P.M. Thermodynamics far from equilibrium: Reactions with multiple stationary states // Journal of Chemical Physics, 1988, vol.88, pp.2719-2729.

197. Irvin B.R., Ross J. Calculation of the rate of entropy production for a model chemical reaction // Journal of Chemical Physics, 1988, vol.89; pp.10641066.

198. Koutselos A.D. Steady state thermodynamics for homogeneous chemical systems // Journal of Chemical Physics, 1994, vol; 101, pp. 10866-10872.

199. Герасев А.П. Неравновесная термодинамика тВйловых волн в слое катализатора. Функционал автоволнового решения // Физика горения и взрыва, 2000, т.36, с.51-59.

200. Глазов В.М. Основы физической химии — М.: Высшая школа, 1981, 456 с. • •• .

201. Muschik W. Formulations of the second law-recent developments // Journal of Physics and Chemistry of Solids, 1988, vol.49, pp.709-720.

202. Garcia-Colin L.S., Uribe F.J. Extended irreversible thermodynamics beyond the linear regime: A critical overview // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1991, vol.16, pp.89-128.

203. Kestin Jl Internal variables in the local-equilibrium approximation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1993, vol.18, pp.360-379.

204. Быстрай Г.П. Термодинамический анализ устойчивости равновесных состояний в механике сплошных сред // Физико-химическая гидродинамика Свердловск: УрГУ, 1988, с. 17-25.

205. Rosen P. On the variation principles of irreversible processes // Journal of Chemical Physics, 1953, vol.21, pp. 1220-1222.

206. Sieniutycz S. Variational thermomechanical processes and chemical reactions in distributed systems // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1997, vol.40, pp.3467-3485.

207. Van P., Muschik W. The structure of variational principles in non-equilibrium thermodynamics // Physical Review, E, 1995, vol.52, pp.3584-3590.

208. Van P. On the structure of the governing principle of dissipative processes //Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1996, vol.21, pp. 17-29.

209. Rodriguez R.F., Garcia-Colin L.S., Lopez de Наго M. Extended thermodynamic description of diffusion in a inert binary mixture // Journal of Chemical Physics. 1985, vol.83, pp.4099-4102. ".

210. Rodriguez R.F., Garcia-Colin L.S., del Castillo L.F. Fluids with internal* . degrees of freedom. I. Extended thermodynamics approach // Journal of

211. Chemical Physics, 1987, vol.86, pp.4208-4215.

212. Lebon G., Casas-Vazquez J., Jou D., Criado-Sancho M. Polymer solutions and chemical reactions under flow: a thermodynamic description // Journal of Chemical Physics, 1993, vol.98, pp.7434-7439.

213. Goldstein P., Garcia-Colin L.S. A thermodynamic basis for transport phenomena in viscoelastic fluids // Journal of Chemical Physics, 1993, vol.99, pp.3913-3918.щ*

214. Эткин В .А. Проверка дифференциальных соотношений Взаимности термодинамики необратимых процессов в нелинейных системах // Журнал физической химии, 1982, т.56, с. 1257-1259.

215. Эткин В.А. К термодинамической теории нелинейных необратимых процессов // Журнал физической химии, 1985, т.59, с.560-566.

216. Эткин В.А. Альтернативная форма обобщенных законов переноса // Инженерно-физический журнал, 1999^ т.72, с.775-781.

217. Булатов Н.К., Лундин А.Б. Термодинамика необратимых физико-химических процессов М.: Химия, 1984^ 336 с.

218. Карпов А.И., Булгаков В.К. Об одном нетрадиционном алгоритме расчета скорости распространения пламени // Физика горения и взрыва, 1990, Т.26, № 5, с.137-138.

219. Karpov A.I. Minimal entropy production as an approach to the prediction of stationary rate of flame propagation // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 1992, vol.17, №1, pp.1-9.

220. Калиткин H.H. Численные методы -M;: Наука, 1978, 512 с.

221. Турчак Л.И. Основы численных методов — М.: Наука, 1987, 320 с.

222. Самарский А.А. Введение в численные методы — М.: Наука, 1987, 288 с.

223. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей-М.: Наука, 1972, 720 с. г

224. Основы практической теории горения / под ред. Померанцева В.В. — JL: Энергоатомиздат, 1986, 312 с..

225. Сабденов К.О.,*Постников С.Н. К теорий ламинарного пламени (сообщение I) // Физика горения и взрыва, 1993, т.29, № 1, с.42-46.249.' Сабденов К.О. К теории ламинарного пламени (сообщение II) // Физика горения и взрыва, 1993, т.29, № 5, с.22-30.

226. Сабденов К.О., Постников С.Н. К теории ламинарного пламени (сообщение III) // Физика горения и взрыва, 1993, т.29, № 6, с.25-33.

227. Самарский А.А. Теория разностных схем-М.: Наука, 1983, 616 с.

228. Вазов В.Р., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных — М.: ИЛ, 1963, 487 с.253; Рихтмайер Р.Д., Мортон К.В. Разностные методы решения краевых задач М.: Мир, 1972, 420 с.

229. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики — М.: Наука, 1980, 535 с.

230. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики Новосибирск: Наука, 1981, 304 с.

231. Karpov A.I., Bulgakov V.K. A theory of steady flame spread: non-equilibrium thermodynamic approach // Soviet Union — Japan Seminar on Combustion, Explosion and Fire Research, Khabarovsk State University of Technology, 1991, pp.92-99.

232. Karpov A.I., Bulgakov V.K. Calculation of convective heat transfer in the two-dimensional combustion chamber // Proceedings of 2nd Japan-Soviet Union Joint Symposium on Computational Fluid Dynamics, University of Tsukuba, 1990, vol.2, pp. 109-115.

233. Patankar S.V., Spalding D.B. A calculation procedure for heat; mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows // International Journal of Heat and Mass Transfer, 1972, vol. 15, pp. 1787-1806.

234. Patankar S.V. A calculation procedure for two-dimensional elliptic situations //Numerical Heat Transfer, 1981, vol.4, pp.409-425.

235. Van DoormaalJ.P., Raithby G.D. Enhancement of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows // Numerical heat Transfer, 1984, vol.7, pp:147-163.

236. Van Doormaal J.P., Hutchinson B.R., Turan A. An evaluation of techniques used to accelerate segregated vethods for predicting viscous fluid flows, AIAA Paper No. 86-1653, 1986, 7p.

237. Pau V., Lewis E. Application of the multigrid technique to the pressure-correction equation for the SIMPLE algorithm // GMD-Studien, 1986, No. 110, pp.111-132.

238. Wang Y., He J, Zhang Q. A calculation procedure for steady two-dimensional elliptic flows // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1989, vol. 9, pp.609-617.

239. Бенодекар Р.В., Годдард Дж. Г., Госмен А.Д., Исса Р.И. Численный расчет турбулентного обтекания выступов на плоскости // Аэрокосмическая техника, 1986, № 2, с. 125-134. '

240. Белов И.А., Кудрявцев Н.А Теплопередача и сопротивление пакетов труб JL: Энергоатомиздат, 1987, 223 с.

241. Хейгеман Д., Янг Д. Прикладные итерационные методы М.: Мир, 1986, 448 с.

242. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений -М.: Наука, 1978,591 с.

243. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления — М.: Наука, 1984,320 с.

244. Ортега Дж., Рейнболт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими переменными М.: Мир, 1975.

245. Безуглый В.Ю., Беляев Н.М. Численные методы теории конвективного тепломассообмена Киев-Донецк: Вища школа, 1984.

246. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация -М.: Мир, 1986,318 с.

247. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов М.: Мир, 1979,392 с.

248. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975, 541 с.

249. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина — М.: Мир, 1988,352 с.

250. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов М.: Мир, 1981,304 с.

251. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы М.: Наука, 1981.

252. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач — М.: Мир, 1980.

253. Батэ К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов -М.: Стройиздат, 1982, 448 с.

254. Мадорский С. Термическое разложение органических полимеров -М.: Мир, 1967, 328 с.

255. Грасси Н. Химия процессов деструкции — М.: ИЛ, 1959, 262 с.

256. Ко долов В.И. Горючесть т огнестойкость полимерных материалов —1. М.: Химия, 1976, 157 с.

257. Кодолов В.И. Замедлители горения полимерных материалов — М.: Химия, 1980,269 с.

258. McAlevy III R.F., Magee R.S. The mechanism of flame spreading over the surface of igniting condensed-phase materials // Proceedings of 12th International Symposium on Combustion, 1969, pp.215-227.

259. Lastrina F.A., Magee R.S., McAlevy III R.F. Flame spread over fuel beds: solid-phase energy considerations // Proceedings of 13th International Symposium on Combustion, 1971, pp.935-948.

260. Hirano Т., Sato K., Tazawa K. Instability of downward flame spread over paper in an air stream // Combustion and Flame, 1976, vol.26, pp.191-200.

261. Frey A.E., T'ien J.S., Near-limit flame spread over paper samples // Combustion and Flame, 1976, vol. 26, pp.257-267.

262. Altenkirch R.A., Eichhorn R;, Shang P.C. Buoyancy effects on flames spreading down thermally thin fuels // Combustion and Flame, 1980, vol.37, pp.71-83.

263. Takeno K., Hirano T. Delayed extinction of flames spreading downward over paper sheets // Proceedings of 2nd International Symposium on Fire Safety Science, N.Y.: Hemisphere, 1989, pp.97-105.

264. Zhang Y., Ronney P.D., Roegner E.V., Greenberg J.B. Lewis number effects on flame spreading over thin solid fuels // Combustion and Flame, 1992, vol.90, pp.71-83.

265. McGrattan K.B., Kashiwagi Т., Baum H.R., Olson S.L. Effects of ignition and wind on the transition to flame spread in a microgravity environment // Combustion and Flame, 1996, vol.106, pp.377-391.

266. Suzuki Т., Hirano Т. Effects of gasification properties of a combustible on flame spread over its surface // Proceedings of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa: IAFSS, 1994, pp.361-371.

267. Sato K., Suzuki K., Sakai Y., Sega S. Effects of flame retardant on behavior and temperature profiles of flame spreading over paper.// Proceedings ' of 4th International Symposium on Fire Safety Science, Ottawa: IAFSS;• 1994, pp.503-514.

268. Suzuki M., Kushida H., Dobashi R., Hirano T. Effects of humidity and temperature on downward flame spread over filter paper// Proceedings of 6th International Symposium on Fire Safety Science, University of Poitiers, France: IAFSS, 1999, pp.661-669.

269. Kushida H., Suzuki M., Dobashi R., Hirano T. Effects of humidity on downward flame spread over combustible solid // Proceedings of 3d Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Singapore, 1998, pp.l 81-187.

270. Hirano Т., Noreikis S.E., Waterman Т.Е. Measured velocity profiles near flame spreading over a thin combustible solid // Combustion and Flame, 1974, vol.23, pp.83-96.

271. Sato K., Miki K, Hirano T. Flame spread over paper in an air stream with a velocity change// Journal of Heat Transfer, 1984, vol.106, pp.707-712.

272. Zhou L., Fernandez-Pello A.C., Cheng R. Flame spread in an opposed turbulent flow // Combustion and Flame, 1990, vol.81, pp.40-49;

273. Hirano Т., Sato K. Effects of radiation and convection on gas velocity and temperature profiles of flame spreading over paper // Proceedings of 15th. International Symposium on Combustion, 1975, pp.233-241.

274. Drysdale D.D., Macmillan A.J.R. Flame spread on inclined surfaces // Fire Safety Journal, 1992, vol.18, pp. 245-254.

275. Гришин A.M., Якимов A.C., Миков В.Л. Режимы воспламенения стеклопластиковой трубы с учетом смешанной конвекции окислителя //Физика горения и взрыва, 1981, т.17, № 2, с.13-18.

276. Чжень, Тянь Распространение пламени вдоль вертикальных поверхностей: влияние конечной скорости химических реакций // Теплопередача, 1984, т. 106, № 4, с.31-39.

277. Li Х.Т., Yan Q.S. Flame spreading over a rod fuel in a quiescent environment // Proceedings of 2nd Asia-Oceania Symposium on Fire Science and Technology, Khabarovsk, 1995, pp. 172-182.

278. Сузуки M., университет Токио, частное сообщение.

279. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя — М.: Наука, 1969, 744 с.

280. Olson S.L., Ferkul P.V., T'ien J.S. Near-limit flame spread over a thin solid fuel in microgravity // Proceedings of 22nd International Symposium on Combustion, 1988, pp. 1213-1222.

281. Vedha-Nayagam M, Altenkirch R.A. Backward boundary layers in downward flame spread // Proceedings of 20th International Symposium on Combustion, 1984, pp.1583-1590.

282. Булгаков B.K., Карпов А.И., Липанов A.M. Моделирование процессов термического разложения и горения полимерных материалов // Тезисы докладов VIII Всесоюзной школы-семинара по механике реагирующих сред, Красноярск, 1988, с.70-71.

283. Карпов А.И. Задача на собственные значения в теории стационарного распространения пламени по поверхности горючего материала, Деп. ВИНИТИ, № 6737-В89, 1989, 14 с.

284. Булгаков В.К., Карпов А.И. Закономерности горения полиметилмет-акрилата в воздухе // Тезисы докладов научно-технической конференции "Полимерные материалы в машиностроении", Ижевск, 1986, с.24.

285. Karpov A.I. Non-equilibrium thermodynamic analysis of the steady flame spread // IV International Seminar on Flame Structure (Book of Abstracts), Novosibirsk, Institute of Chemical Kinetics and Combustion, 1992, p.23.

286. Bulgakov V.K., Karpov A.I. Numerical investigations of the flow feature influence on the combustion of solids // Proceedings of 3d International Symposium on Computational Fluid Dynamics, Nagoya, Japan, 1989, pp.903-906.

287. Булгаков B.K., Карпов А.И. Численное исследование влияния структуры потока на горение конденсированных веществ // "Математическое моделирование пожаровзрывобезопасности в промышленности", Владивосток, ДВО АН СССР, 1989, с.24-27.

288. Bulgakov V.K., Karpov A.I., Lipanov A.M. The effect of flow characteristics on the solid propellant burning // International Workshop on Chemical Gas Dynamics and Combustion of Energetic Materials (Book of Abstracts), Tomsk University, 1995, p.58.