автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели сплошных сред на межфазных границах

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАРКОВ Юрий Георгиевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД НА МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦАХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

С.-Петербург - 2005

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, проф.

Андрианов Сергей Николаевич

доктор физико-математических наук, проф. Павловский Валерий Алексеевич

доктор технических наук, сн.с. Богданов Александр Иванович

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится « » 2005 года в часов

на заседании диссертационного совета Д212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-

Петербургском Государственном Университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственого Университета.

Автореферат разослан

« АО »

Ь 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., проф.

Курбатова Г.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ

В настоящей работе проведен анализ принципов и методов построения моделей сплошных сред на межфазных границах, описывающих процессы образования и роста структур адсорбата на поверхности твердого тела. На основании этого анализа развиты методы моделирования образовать: и эволюции таких структур эффективные с точки зрения обоснованности модели и отображения в модели специфичности исходной физической задачи. Методы, применяемые в настоящей работе являются развитием подходов к моделированию, основанных на использовании методов физической механики сплошных сред, теории динамичечских систем, теории марковских процессов, статистической термодинамики, современной теории сложных систем, уравнений математической физики. Термин сплошная среда используется в математическом смысле как вероятностное пространство состояний. В этом пространстве исследуются модели физической сплошной среды, образованной адсорбционными структуррами на поверхности твердого тела. Задачи динамики роста поверхностных структур входят составной частью в более общий класс задач динамики газовой среды вблизи поверхности с учетом твердой фазы, образуемой адсорбируемыми частицами (адатомами). Эти задачи представляют большой интерес в связи с современными исследованиями в области вакуумной техники, микроэлектроники, материаловедения и т.д. Эта общая проблема имеет фундаментальный характер, заключающийся в необходимости рассмотрения элементарных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии, химических реакций на поверхности, энергетической релаксации. Необходимо описать в терминах моделей фазовые переходы в адсорбате, образование упорядоченных структур адсорбата, исследовать их устойчивость и т.д.

Актуальность задачи обусловлена следующими фактами. Традиционные феноменологические и термодинамические подходы в исследованиий динамики неравновесных процессов на межфазной границе сплошной среды газ - твердое тело при несомненных успехах в объяснении ряда экспериментальных фактов оказываются недостаточными для описания широкого спектра физических явлений в динамике роста структур. Поэтому затруднены оценка области применимости различных подходов такого рода, описание возможных механизмов образования структур и стадий их роста, сравнение с экспериментами и построение вычислительных алгоритмов. Это делает весьма актуальной задачу последовательного и всестороннего аналитического и численного исследования динамики ростовых процессов на микроскопическом, ме-зоскопическом и макроскопическом уровнях. Проблема имеет междисциплинарный характер, соединяя в себе задачи статистической физики, теории стохастических процессов, физической механики сплошных сред, классической теории динамичес-

Тур««* Ьу Лм^-ТёХ

кил систем и современной теории сложных систем. Эта особенность исследуемой проблемы объясняет тот факт, что имеется сравнительно небольшой запас принципиально различных моделей, используемых в практических исследованиях.

Основной цепью настоящей работы является развитие универсальных методов постановки и решения задач моделирования динамики роста структур на поверхности твердого тела, образующихся в результате адсорбции атомов или молекул из газовой фазы. Автор подробно проанализировал около 1500 работ (примерно треть из которых приведена в списке литературы в диссертации), посвященных моделированию процессов адсорбции, десорбции, поверхностной диффузии, химических реакций на поверхности твердого тела, энергетической релаксации, моделированию роста поверхностных структур, и связанных с этими задачами работ по теории стохастических процессов, теории динамических систем, уравнений математической физики, современной теории сложных систем. Как показал анализ один из путей достижения этой цели состоит в использовании при моделировании процессов роста поверхностных структур приближения трехмерного решеточного газа с использованием методов марковских процессов и современной теории сложных систем. Для эффективного использования этих методов потребовалось провести детальное изучение работ (кратко изложенных в главе I диссертации), посвященных исследованию и моделированию основных элементарных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии. В результате изучения проблемы .Автор пришел к убеждению в необходимости использования концепции моделирования, при которой основой моделирования этих процессов является моделирование химических потенциалов адсорбированных частиц. Этот подход позволил описать в рамках единого марковского процесса динамику роста поверхностных структур. Это особенно важно при изучении фазовых переходов в адсорбате, образования диссипативных структур, флуктуаций изучаемых величин. При таком подходе удается получить выражения для переходных вероятностей в модельных уравнениях, учитывающие достаточно полно (в рамках принятых при моделировании взаимодействий адатомов ограничений) физические параметры поверхностных процессов. Также удается установить точные границы интервалов изменения обобщенных безразмерных управляющих параметров, соответствующих различным режимам и стадиям роста структур, из которых легко получить значения соответствующих физических, параметров. В более традиционных подходах из упомянутого выше списка изученных автором работ процессы адсорбции, десорбции и диффузии моделируются с использованием соответствующих физических результатов, но практически независимо друг от друга. При таком подходе моделируются известные из экспериментальных данных или теоретических представлений поверхностные структуры и процессы, формирующие эти структуры. При этом получить выражения для переходных вероятностей, эффективно учитывающих физические параметры, и точные интервалы изменения параметров очень трудно или невоз-

можно. Развиваемые в работе методы и модели в значительной мере свободны от этих недостатков, так как основой моделирования является описание основного физического процесса - взаимодействия адатомов. Этот процесс генерирует особенности основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии. При этом построенные модели можно использовать для уточнения известных феноменологических моделей. В работе выведены и исследованы уравнения для функций состояния системы адатомов (заполненностей ячеек) и для корреляционных функций. Методы развиваемые в данной работе позволяют строить модели, которые имеют предельные квазистационарные и стационарные решения, согласуемые с термодинамикой в силу флуктуационно-диссипативных соотношений, удовлетворяют теоремам Ляпунова об устойчивости. Ввиду сложности проблемы основное внимание было уделено построению моделей, описывающих достаточно полно и детально сответствующие физические задачи. При построении моделей автор ориентировал их на использование стандартных численных алгоритмов, достаточно простого языха программирования (FORTRAN), использование распространенных пакетов программ (MAPLE и MathLab) с целью упростить сравнение рассчитанных с помощью моделей данных с экспериментальными. Поэтому построенные модели можно эффективно применять для математических исследований сложных нелинейных процессов при межфазных взаимодействиях газовая среда-твердое тело методами теории стохастических процессов и современной теории сложных систем.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Цель работы состоит в разработке и развитии методов постановки, исследования и решения задач образования и динамики роста структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Исследования проводятся на основе методов теории марковских процессов, статистической термодинамики, теории динамических систем и учитывают основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию.

Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

1. Развиты методы построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела, основанные на теории марковских процессов и статистической термодинамике и учитывающие основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию.

2. Выведены математические модели образования и эволюции поверхностных моно- и многослойных структур, учитывающие основные теоретические представления о процессах адсорбции, десорбции и диффузии адатомов на поверхности твердого тела.

3. Выполнены математические исследования построенных моделей. Предложены методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Выделены критерии существования различных режимов динамики роста структур, проведены исследования этих режимов и стадий роста структур, исследована связь между параметрами модельных структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.

5. Установлены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, проведены оценки скоростей химических реакций, исследованы режимы роста на различных стадиях эволюции структур.

6. Получены численные и аналитические результаты, включающие постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений, доказательства существляютя предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипа-тивных соотношений для построенных моделей, исследования сформулированных задач и их численные или аналитические решения. Эти результаты входят в математическую базу обоснования методов построения и исследования моделей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

Все полученные результаты являются новыми. Наиболее важные из них следующие.

1. Разработаны универсальные методы построения моделей динамики роста поверхностных структур методами теории марковских процессов, позволяющие выводить уравнения модели в рамках единого марковского процесса, основой которого является моделирование взаимодействия частиц (адатомов) с учетом основных физических параметров моделируемых систем.

2. Выведены уравнения динамики роста структур, для которых флуктуоционно-диссипативные соотношения получаются естественным образом. Проведены доказательства существования, единственности и устойчивости предельных стационарных плотностей вероятностей для уравнений моделей.

3. Проведены полные математические исследования построенных моделей. Развиты методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Доказаны теоремы, дающие критерии существования различных режимов динамики роста структур. Проведены численные исследования моделей для различных режимов и стадий роста структур, исследована связь между геометрией

структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.

5. Модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (MAPLE и MathLab).

6. Проведены качественные, с использованием методов теории динамических систем, и численные, с применением стадартных вычислительных алгоритмов и математических систем MAPLE и MathLab, исследования построенных математических моделей. Получены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей каталитических реакций на поверхности твердого тела, исследованы режимы роста на различных стадиях эволюции структур.

7. Получены математические результаты по обоснованию методов построения и исследования моделей. Они включают постановки начальных, начально—краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений, доказательства существования предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипативных соотношений для построенных моделей, модификацию и адаптацию вычислительных алгоритмов и комплексов программ для численного исследования моделей и расчетов характеристик моделируемых структур.

В результате проведенных исследований развиты методы, позволяющие получать уравнения моделей, согласованные с термодинамическим описанием. Это обеспечивает возможность использования полученных критериев для управляющих параметров в известных физических моделях: модель Кардара - Паризи - Жанга и ее обобщения, модели группы Введенского, модели поверхностных структур Кукушкина -Слезова и т.д. Развитые методы позволяют эффективно сравнивать рассчитанные с помощью моделей данные с экспериментальными с контролируемой точностью. В этом также состоит научная новизна работы. Уравнения, полученные в ранках предлагаемых подходов, ранее практически не предлагались. Математические исследования задач динамики роста структур на поверхности твердого тела в рамках моделирования единого марковского процесса и вывода соответствующих самосогласованных уравнений методами современной теории сложных систем имеют принципиальное значение. Помимо перечисленных качеств эти модели имеют структуру уравнений, удобную с точки зрения применения методов математической физики для их исследования и решения. Уравнения моделей обладают определенной симметрией, облегчающей постановки начально-краевых задач и получение вариационных

формулировок задач. Все эти свойства моделей являются в общем контексте таких задач новыми, их получение составляло часть целей, поставленных при написании данной работы.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Результаты по развитию и обоснованию универсальных методов построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Они являются развитием методов, основанных на теории стохастических процессов, статистической термодинамике, теории динамических систем и учитывают физические параметры основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии.

2. Математические модели образования и эволюции поверхностных моно- и многослойных структур, обобщающие и уточняющие основные известные модели, с учетом основных физических параметров моделируемых систем.

3. Результаты математических исследований построенных моделей. Они включают методы полу чения аппроксимаций переходных вероятностей в уравнениях моделей, доказательства теорем, дающих критерии существования различных режимов динамики роста структур. Результаты численных и аналитических исследований уравнений моделей для различных режимов и стадий роста структур, включающие исследование связи между геометрией структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающие и уточняющие известные феноменологические модели.

5. Критерии возникновения поверхностных самоорганизованных структур, фазовых переходов, режимов роста на различных стадиях эволюции структур, оценки скоростей химических реакций, зависимости характеристик структур от значений безразмерных управляющих параметров и физических параметров адсорбата, газовой фалы и твердого тела.

6. Математические результаты по обоснованию методов построения и исследования моделей: постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений этих задач, доказательства существования, единственности и устойчивости предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипативных соотношений для построенных моделей.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты работы регулярно представлялись на международных и национальных конференциях, симпозиумах и семинарах. Среди них можно указать

следующие:

- X Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1989, Москва; -Школа - семинар АЗАУ - 89, Черноголовка, 1989; - XI Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1991, Ленинград; - 2nd European Fluid Mechanics Conference, Krakow, 1994; - XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, England, 1994; - Int. Conf. "SyDergetics-95", 1995, SPb; - Международная конференция "Математическое моделирование нелинейных возбуждений, иереноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах, 1996, ТвГТУ, Тверь; -3d International Conference "Problems of Geocosmos", 1998, SPb; - XXI International Conference on Rarefied Gas Dynamics, 1999, Marseille, France; - Национальная конференция "Информационно - вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и ме-дицины(ИВТН - 2002), 2002, Москва; - 4th International Conference "Problems of Geocosmos", 2002, SPb; - Национальная конференция "Информационно вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и медицины(ИВТН - 2002), 2004, Москва; -5th International Conference "Problems of Geocosmos", 2004, SPb; - на семинаре "Теория сложных систем в прикладных и междисциплинарных исследованиях", СПбГУ, 2000 -2003 и на ряде других семинаров.

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликованы две монографии и 15 статей, из них 11 в рекомендованном ВАК списке реферируемых изданий. Общее количество публикаций по теме диссертации - 32 работы.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 349 страниц основного текста, включая рисунки и список литературы из 451 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1 состоит из трех параграфов. Она содержит обзор и анализ известных методов описания процессов адсорбция, десорбции и диффузии и методов построения моделей динамики роста структур на поверхности твердого тела. В ней проведено обоснование используемых в работе методов построения моделей структур и построены основные модели.

§1.1 содержит обзор общепринятых математических моделей описания поверхностных процессов и динамики роста структур на поверхности твердого тела, которые являются основой для развиваемых в работе методов построения моделей. В

качестве характерных рассматриваются модельные уравнения вида

9h(R,t) _ &h(R,t)i dh(R,t)]2 to ~" dR2 dR

= v

где h(R,t) - высота структуры, измеряемая в положительном направлении оси 2, й - радиус - вектор в плоскости (X,Y), v, А - феноменологические коэффициенты, r)(R,t) - "внешнее поле". Параметры V, Ли rj{R,t) учитывают на феноменологическом уровне характеристики процессов адсорбции, десорбции и диффузии в динамике роста структуры.

§1.2 посвящен систематическому анализу методов вывода иоделек г -шики роста поверхностных структур, выводу моделей, их связи с классическими методами теории многослойной адсорбции в изотермических условиях. Такое ограничение анализа динамики роста гетероструктур оправдано следующим обстоятельством. Данные, полученные в изотермических условиях более интересны при выводе и исследовании моделей, так как в этих условиях динамика роста более чувствительна к деталям основных элементарных поверхностных процессов. Целью этого анализа является обоснование приближения трехмерного решеточного газа для модельного описания динамики роста многослойных адсорбированных структур методами статистической теории. Исследование стационарных решений модельных уравнений позволяет формулировать задачи равновесной термодинамики и динамики роста поверхностных структур. Исследование этих задач имеет важное значение при изучении процессов самоорганизации таких структур. Развиваемые подходы являются обобщением классической модели адсорбции, построенной Брунауэром, Эмметом и Теллером, так называемой БЭТ-модели. Задача адсорбции в БЭТ-модели формулируется так. На поверхности твердого тела имеется S центров адсорбции. Часть Si этих центров занята адатомами. Часть So = S — Si свободна. Предполагается, что скорость десорбции равна diSi, а скорость адсорбции р а д е через

Р обозначено давление в газовой фазе. Далее предполагается, что система "газ + адсорбат + поверхность твердого тела" находится в равновесии. При этом выполняются равенства Из этих равенств выводится уравнение для заполненности в. Она определяется по формуле в = SijS. Уравнение имеет вид

Дальнейший вывод основан на следующем предположении. Адсорбция происходит на свободную поверхность, открытую для газовой фазы. Поверхность структуры можно разделить на следующие части: поверхность твердого тела свободную от адатомов; поверхность покрытую одним слоем адатомов; поверхность покрытую двумя слоями адатомов и т.д. В условиях равновесия число адатомов, адсорбированных на слой с номером равно числу адатомов, десорбированных из слоя с номером /. Уравнением БЭТ-модели

имеет вид

веа —

01 <1, а,Л 1

(1)

й (1-г)[1 + (с-1)в)'

Уравнение (1) является основным уравнением БЭТ-модели. Оно носит название БЭТ-уравнения и описывает изотерму адсорбции.

Обобщение модели, предложенное в §1.2 основано на использовании методов стохастических процессов. Схема вывода такова. Рассмотрим процесс роста адсорбционной структуры в терминах одношаговых стохастических процессов. Функцию распределения вероятности (эквивалентную заполненности слоя) обозначим через в„(*), где п - номер слоя. Предполагаем, что адсорбция происходит на поверхность, открытую для газовой фазы. Десорбция из слоя с номером п увеличивает заполненность слоя п-1 и уменьшает заполненность слоя п. Адсорбция на слой с номером

увеличивает заполненность слоя п и уменьшает заполненность слоя Уравнения, задающие этот стохастический процесс можно записать так

ад

л

= ¿п+1вп+1(г) + о„_1Йп_1(<) - (а„ + (1„)М0> а_1 = 0.

(2)

Введя оператор шага Е: Евп = 16„ — <?„_!, уравнения (2) можно записать

где / - единичный оператор, п > 0. Равновесное состояние, описываемое изотермой адсорбции, можно определить, найдя стационарное решение системы (3). Оно имеет вид

оо

1п=0

1 "

д, _ Оп-]Оп-2— ±__1 + У^ Д"-1а"~2""а1ао

" ¿п¿П-!—^! «0 ¿п<1п-1—<

Величины обозначают коэффициенты адсорб-

ции и десорбции в слоях с номерами Этот подход позволяет на основе

данной модели описывать поверхностных структур во всем диапазо-

не управляющих параметров и при любых отклонениях от равновесия. Выведенная модель является динамической системой в отличие от равновесной (квазистационарной) БЭТ-модели. Существенно также, что при выводе модели не делается дополнительных предположений о конкретизации типов поверхностных процессов. Рассматривается лишь увеличение или уменьшение заполненности слоев. Вероятности переходов можно конкретизировать.

Далее в рамках теории марковских процессов развиты методы построения математических моделей динамики роста поверхностных структур, согласованные с термодинамическим описанием. Задача моделирования динамики роста поверхностных

структур формулируется так. На поверхность твердого тела падает поток частиц (атомов или молекул). Частицы прилипают к поверхности (адсорбция), покидают поверхность (десорбция), мигрируют по поверхности (диффузия). При определенных условиях, наблюдаемых в эксперименте, на поверхности образуются упорядоченные структуры частиц адатомов (адсорбированных атомов, ¡Ха^шшг, 1936). Вывод моделей для описания динамики роста таких структур и их исследование проводится следующим образом. В качестве основных элементарных поверхностных процессов выбраны адсорбция, десорбция, диффузия с учетом взаимодействий адатомов. Язык описания эволюции поверхностных структур: приближение трехмерного решеточного газа адатомов (система трехмерных ячеек). Эволюция адсорбата моделируется в терминах марковских одношаговых или одноактных процессов. Функции состояния системы - функции распределения адатомов по ячейкам. Построение модели формулируется так.

Поток бесструктурных частиц с плотностью ] (Я, ¿) падает на поверхность твердого тела в точке К в момент времени £ В зависимости от условий напыления ](И, Ь) представляется в разных формах:

где Р и Т - давление и температура газа. Структуры адсорбата на поверхности твердого тела описываются в приближении трехмерного решеточного газа. Адато-мы располагаются в ячейках трехмерной решетки над поверхностью твердого тела: ячейки а задаются дискретными координатами а = (1,т,п), полудискретными а — (I, К) или непрерывными а — (г, Я). Здесь I - номер слоя, тип- номера ячеек по осям X и У, z и Й — (х,у) - координаты центра ячейки. Процессы адсорбции, десорбции и диффузии происходят в пустые ячейки (ленгмюровская кинетика), открытые для газовой фазы, под которыми находятся занятые места, заполненность ячейки характеризуется плотностью вероятности Поверхность твердого те-

ла описывается адсорбционным потенциалом и активационным барьером ла-

теральной диффузии из данной ячейки а — (1,Л). Наряду с первым слоем

могут образовываться последующие слои

Функция вычисляется как усредненная по всему ансамблю адатомов запол-

ненность ячейки а в момент времени ^ и удовлетворяет управляющему уравнению

Величины И^с^а') и \У(а\а) вероятности переходов из с о с т о жнтс^ и наоборот. Уравнение дополняется соотношением детального баланса. Конкретный вид этого соотношения будет приведен ниже. В рассматриваемой задаче это уравнение можно

Я&,1)=ШсовХ(й), №,Ь) = гР(Я,г), 2 = (2* тОТ)~*,

где Мд(0), Мх,(6), АО{в,]) описывают процессы диффузии по слою и между слоями и адсорбции-десорбции. В рамках сделанных выше предположений их можно записать в следующем виде

Мв = £[т(1, - т(1,Я.;1,йУ(0)0(1,Я)},

&

Мь = ~ш(1,Л;1',М)Ч'тиМ)}, (5)

г

где т(1',Ё;1,Ё), т(1.Я';1,Я) вероятности переходов между слоями и по слою. Оператор адсорбции-десорбции АЛ(9,]) записывается так

АЛ(в^) = 9(^>(а)а(а) - (6)

где а(а) и</(а) коэффициенты адсорбции и десорбции, 1/л частота колебаний адатома в адсорбционной ячейке в нормальном к поверхности направлении, <г эффективная площадь адсорбционной ячейки, занятая адатомом при его тепловом движении, а функция q(в) задается равенствами

В формулах для учтены предположения о том, что в каждую пустую ячейку может попасть только один адатом и адатомы занимают места только поверх уже занятых другими адатомами мест. Предполагается, что вероятности переходов тп, a, ё удовлетворяют соотношениям детального баланса

ехр(-/?£*(/, #))«»(/, Д';-К) = ехр(-¡Зец{1, Я))т{1, Я; I, Я')

ехр(-/3££(1',Я))т(г', В-,1,В.) = ехр( Д))т((, Д; /', Л),

где Я) и е£(/, Я) барьеры послойной и межслойной диффузии, еа(1,Й) потенциал адсорбции. Значения функции 0(а,4), найденные из уравнения

= мв(в) + МЬ(6) +

дают возможность определить локальную высоту структуры k(R,t) по формулам (в единицах высоты монослоя fcj =

M¿,t) = iV1(¿,t)/JVo (ñ,i), JV0 = l + ]£í,. (7)

I>1 1>2

При выводе уравнений, моделирующих конкретные физические системы адатомов, важным вопросом является выбор аппроксимации для химического потенциала, описывающего взаимодействие адатомов между собой и с поверхностью твердого тела. В данной работе для описания химического потенциала используется приближение среднего поля и приближение Ван-дер-Ваальса. Для неоднородного адсорбата химический потенциал в приближении среднего поля для взаимодействий адатомов моделируется выражением

е->(а I Щ = е7(а) + 9в(а), е^а) s £/(Д) 1ч- оо, (8а)

где ip — fien„ есть среднее значение поля притяжения, действующего на адатом со стороны его окружения, епп - энергия взаимодействия адатомов, 0 — 1/(крТ), kg - постоянная Болышана, Т - температура адсорбата. Предположение (8а) о зависимости е7(Я) от ( и R является обобщенней БЭТ-приближения на случай неравновесных (неоднородных) состояний многослойного адсорбата. В приближении Ван-дер-Ваальса для латеральных взаимодействий адатомов вместо выражения (8а) надо ваять

е*{3 | в) = е7(а) + V[1 - 0(5)) + «Ш, (»)

При сделанных предположениях уравнения модели можно записать так ¿í(5,í) = £>(<?, a' | в) (BD(a' | f) - BD(a \ в)) +

а'

+A(al9)(av(S)-B*(al#)), (9)

Вд'"(а |0)=ехр(/х^(5|»)) (Ю)

М(а,а' | в) - т(а, а' | 0)д(%(<О = ^и>'(а,а I %(»)«(«'); (П)

j4(q | в) = ща{а | %(0), з = 1,2, (12)

I «) = 1; Ца,а'|«)=Цсг',а|в), Мс =bJ-.

1 Г i/j

а'

В этих уравнениях - частоты колебаний адатомов в адсорбционной ячейке в нормальном я касательном направлениях; ea'D - потенциал адсорбции и барьер диффузии; а = (R, Í) - координаты ячейки (I - номер слоя); ui1,2(a, a' ¡ tf) - симметрн-зованные вероятности диффузионных скачков а а'; а(а | 0) - вероятность адсорбции в ячейку а. Уравнения (9) есть симметризоваяная запись уравнений (4) с

учетом выражений для операторов адсорбции - десорбции и диффузии и выбранных аппроксимаций для описания взаимодействий адатомов. Симметричная запись модельных уравнений удобна при постановке, исследовании и решении начально -краевых задач.

Уравнение (4) вместе с выражениями (5), (б) может оказаться излишне подробным при моделировании конкретных физических задач по динамике роста поверхностных структур, если масштабы пространственных неоднородностей функции 9[а, <) значительно больше атомных масштабов, на которых происходят элементарные поверхностные процессы. В этом случае уравнение (4) играет роль базы для более крупномасштабных уравнений. Если вероятности диффузионных скачков меняются по пространственным координатам значительно быстрее, чем функция в, то можно использовать диффузионное приближение для операторов диффузии.

В случае непрерывной диффузии по слою или всему адсорбату (йна = г- непрерывные переменные) уравнения модели записываются в виде системы уравнений в частных производных. Для описания динамики роста монослойных структур получается уравнение

^М = ^(в)^(в)¿Я») + 9(0) («МЛ - В*(в)), (13)

где Л = (ш,/а,) ехр{/3(е° - £?)}, ш.,а, - усредненные вероятности диффузионных сгачков и адсорбции; е?'° - усредненные барьер диффузии и потенциал адсорбции. Динамика роста многослойных структур описывается системой уравнений

= а, А +«(«,) (ехр(Л - В"(*,)), (14)

где Мь (0|) - оператор межслойных переходов, А[ определяется для слоя 1 аналогично параметру Л для монослоя. При непрерывном описании диффузии, адсорбции и десорбции получается единое нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для функции Д,<) = 9(г,£):

^¡г=Ь - + («р("с> - **<•)) • (15)

Операторы адсорбции-десорбции ж диффузии в этих уравнениях имеют вид АЛ(9) = Ь(1 - «) - 9ехр(-ф"0), £>(») = ехр(-^0»)/в(в), Ь(6) в 1 -ф°9 + ф°<? (16«)

в приближении среднего поля, а в приближении Ван-дер-Валлъса

75(9) = Ь(1 - 9) - *ехр (~ф*9 + ,

= + Ш^г-фВв + цВр-ф0?. (166)

Зависимость 6(0} от 9 в формуле (16Ь) показана на Ряс. 1 при ф > 6.75. Зависимость АО от 9 и параметра Ь при ф > 6.75 показана на Рис. 2, эта же зависимость пря фиксированном Ь приведена на Рис. 3.

Уравнения (13)-(15) имеют структуру типа "диффузия + реакция" я при определенных значениях управляющих параметров задают динамическую систему триг-герного типа. Важным качеством предлагаемых моделей является то, что для многих интересных в прикладном отношении адсорбционных структур математическая модель динамики роста включает три типа описания: дискретное в виде системы уравнений (9), полунепрерывное в виде системы уравнений в частных производных (14) и непрерывное в виде одного уравнения в частных производных (15). Это полезное свойство предлагаемых моделей, которым не обладают известные автору модели динамики роста структур. Так как обычно рассматривается только один из вариантов описания. Большинство известных моделей записано в виде уравнения в частных производных, поэтому предлагаемый подход позволяет проводить достаточно эффективное сравнение различных моделей, используя все три уровня описания. Численные расчеты для моделей удобнее проводить с помощью систем (9), а уравнения (13)-(15) использовать для качественного исследования моделей. Численные расчеты покачивают, что при значениях параметра ф > 4.5 в приближении среднего поля и в приближении Ван-дер-Ваальса возникает система упорядо-

ченных поверхностных структур в виде трехмерных островков адсорбата. Вблизи критических значений образования упорядоченных структур

с выраженной границей не наблюдается. В реальных физических системах такая ситуация встречается при получении поверхностных наноструктур металл на металле или полупроводниковых наноструктур. Одновременное использование в моделях трех типов описания позволяет строить более эффективные алгоритмы решения задач для уравнений (13)-(15). Новым фактором, отличающим предложенные модели от известных автору, является то, что коэффициент диффузии для значений

уп^1_-.¡оощего параметра ф больших критических становится отрицательным при

приближении значений заполненности к стационарным значениям. Это следует из выражений (16a,b) и показано на Рис. 1. Таким образом, диффузия способствует образованию стационарной структуры, ускоряя этот процесс, что уточняет характерное для теории систем "реакция + диффузия" утверждение о влиянии диффузии только как фактора диссипации, выделяя режимы, при которых диффузия ускоряет образование структур вблизи стационарного состояния.

Термодинамически равновесным состояниям соответствуют стационарные реше-пинуравнении (9),(13)-(15). В общем случае их следует искать из условия М(вс) + АО^',^) = 0. Полученные уравнения демонстрируют важную особенность поверх-

ностных процессов: вид операторов диффузия, адсорбции и десорбции симметричен и определяется выбранным приближением для взаимодействия адатомов. С учетом ограничений, сделанных при построении моделей, можно говорить о едином процессе адсорбции-десорбции-диффузии.

В §1.3 для уравнений моделей проведено обоснование аппроксимаций переходных вероятностей в соответствии с принятыми в физических моделях описаниями процессов адсорбции, десорбции и диффузии. Выписаны основные термодинамические соотношения, необходимые для исследования динамики роста структур. Получены выражения для термодинамических гамильтонианов столбцов адсорбата в равновесных и в неравновесных условиях. Термодинамический гамильтониан -ЁТ(п) записан-нный, как функция чисел заполнения имеет

вид

Я(й) = - £ г(5)п(а) - * £ Ца,5>(а)»(а').

Определена равновесная функция распределения вероятностей Fe(n) для точек в дискретном конфигурационном пространстве

F*(n) = Q'1 егр[-/ЗЯ(й)], Я(п) - Я(п) |Р=о, =

Парциальные одно-, двух- и т.д. частичные функции распределения вероятностей адатомов по ячейкам введены следующим образом

Fa>e(n(a)) = £ «), Fa,s.^n(S),п(сГ)) = £ Д(Й)......

«. я.,.,

где символы па, паа> означают яонфигурации п с фиксированными значениями переменных п(а): п(а), п(а'). Среднее значение п(а) числа заполнения ячейки а есть

0е(«) = Корреляционная функция тина "плотность-плотность" есть

л

фе(а,<?) = п(а)п(а')Fe(n) — ве(а)ве(а'). Функции распределения высот адсорб-а

ционных столбцов получаются по формулам

ht(R) = £ WIe(Ä); 6i,(R) = в;1 (R)»e(S), ЦЙ) S 9(5).

I>0

¡>0 t>0 В неравновесных условиях вместо Fc (п) введена функция распределения F(n, t). Она удовлетворяет управляющему уравнению

Результаты главы 1 включают построение основных типов моделей роста поверхностных структур, исследуемых в работе, их соответствие принятым в физических моделях описаниям основных поверхностных процессов и динамики роста поверхностных структур.

В Главе 2 проведен анализ математических свойств выведенных в Главе 1 моделей. В §2.1 исследуются модельные лравневп в контексте теории динамических систем. Необходимость такого исследования возникает при микроскопическом подходе к проблеме роста структур на поверхности твердого тела. Показано, что

в определенных областях пространства параметров дифференциальные уравнения моделей имеют математическую структуру соответствующую монотонной диннами-ке. Такая динамика в вычислительных приложениях развиваемых математических методов характерна для задач, в которых используются скалярные параболические уравнения. Доказано существование глобального полупотока в фазовом пространстве безразмерных физических переменных для динамической системы, описывающей модель, что обосновывает корректность модели. Установлены общие условия, при которых величины 0(а, t) стремятся к стационарному значению 9с{а) для начальных данных во, которые лежат в открытом и плотном по норме С множестве или в множестве полном по мере Лебега. Получены асимптотические представления решений для уравнений моделей в случае Л 1 (медленная диффузия) и А 3> 1 (быстрая диффузия). С использованием уравнений модели (9) получено дифференциальное уравнение в частных производных для химического потенциала адсорбата ¡i(x,t)

Ш = Е^М^м + А, д + 1 (17)

« <>j >.i

В уравнении (17) величины jjJOOi'iijMi'iyM выражаются через переходные вероятности т(а,а'|0), ш(а'1а{в) ■ решение в{ц,а) уравнен*» (9). Для изотропного случая справедливы соотношения ijJ -- 0, »jy = ^ijjijj, v'j — ^Vi^ij V* = ^f и уравнение

Уравнение для гимичесжого потенциала /i(z,i) в предельных случаях можно свести к известным уравнениям, в частности, при ij = 0 и С(ц] ~ const к уравнению Бюргерса

Точно так же, используя развитые в работе методы, можно вывести уравнения для

в случае многослойной адсорбции и нелинейного адсорбата.

В §2.2 проведен качественный анализ влияния диффузии и латеральных взаимодействий адатомов на динамику роста поверхностных структур. Методом анализа миграции адатомов по ячейкам решеточной структуры получены выражения для функциональной зависимости коэффициентов поверхностной диффузии от за-полненностей и от энергий взаимодействий адатомов с поверхностью твердого тела и энергий латеральных взаимодействий. Исследованы различные постановки краевых задач в контексте построенных моделей. Модели роста монослойных поверхностных структур описываются уравнениями типа (9), в которых функция В°'а(в) рассматривается в приближении среднего поля для взаимодействий адатомов и в

приближении Ван-дер-Ваальса. Для этих моделей проведен анализ диффузионной неустойчивости стационарных состояний при выбранных аппроксимациях взаимодействий адатомов и получены критерии устойчивости таких состояний.

В исследуются стационарные решения модельных уравнений и проводится их сравнение с термодинамическими характеристиками в физических моделях роста структур. Рассматриваемая математическая задача соответствует следующей физической модели. Система "газовая фаза + адсорбат" находится в состоянии термодинамического равновесия. Число частиц N в системе конечно. В результате процессов адсорбции-десорбции-диффузии, идущих в условиях детального равновесия, образуются упорядоченные поверхностные структуры. Доказана единственность решения стационарной задачи формирования периодических поверхностных структур для уравнений (13)-(15). Доказано существование периодических нестационарных решений в моделях динамики роста структур. Приведены выражения для вычисления периодов таких решений с помощью методов теории возмущений.

В §2.4 уравнения модели исследуются методами теории марковских процессов. Проведено доказательство существования и единственности предельной стационарной плотности вероятностей и получены критерии ее устойчивости. Это является важным фактом для обоснования использования статистических методов в моделях. Система уравнений модели рассматривается в виде (9). В стандартной форме записи управляющих уравнений при дискретном описании с использованием фазовых ячеек уравнения записываются так

В этой форме записи заполненность есть плотность вероятностей состояния

п системы. Величины И^п')«), И^п!»?) обозначают вероятности перехода из состояния И'лплшаЛьп'. Их точные значения задаются коэффициентами операторов диффузии и адсорбции - десорбции в уравнении (9). Задано начальное распределение Предполагается, что выполняются условия и член

с п = п' можно опустить при суммировании. Вероятности переходов вычисляются с помощью соотношения детального баланса и феноменологических рассуждений в силу доказанного факта существования и единственности стационарной плотности вероятностей для модели (9). Уравнения моделей решены численно или в явном виде с использованием метода характеристик. Полученные в главе результаты служат обоснованием для качественных и численных исследований моделей, сравнения стационарных решений с термодинамическими характеристиками физических моделей роста поверхностных структур.

д1

В главе 8 проводится детальное исследование выведенных моделей динамики

роста поверхностных структур методами качественной теории динамических систем и приведены результаты численного решения уравнений модели.

В §5.1 исследованы модели роста моногослойных структур и приведены результаты численного решения уравнений. Проведено исследование релаксации начальной неоднородности к стационарному состоянию с 0(а) = $ как единого процесса: адсорбция-десорбция-диффузия. Рассмотрен математический фазовый переход в адсорбате и указаны области вне зоны фазового перехода (в пространстве параметров), в которых процессы релаксации сглаживают начальную неоднородность, в то время как в зоне фазового перехода компоненты процесса конкурируют между собой к усиливают неоднородность. Рост заполненности ячеек в зависимости от значений параметров Ьиф показан на Рис. 4. Неоднородность распределения в области фазового перехода наиболее ярко выражена в случае быстрой диффузии. Выделены немонотонные режимы в эволюции пространственного распределения адатомов по поверхности при при учете взаимодействия адатомов в приближении среднего поля и при ф > 6.75 при учете взаимодействия адатомов в приближении Ван-дер-Ваальса. Более полный учет влияния поля адатомов, то есть переход от приближения среднего поля к приближению Ван-дер-Ваальса понижает температуру фазового перехода. Это указывает на дезорганизующее действие поля адатомов с точки зрения получения упорядоченных поверхностных структур.

В §3.2 исследована динамика роста многослойных поверхностных структур. Уделено большее внимание частным результатам: нахождению стационарных решений, нахождению решений в предельных случаях или при ограничениях, имеющих физический смысл. Рассмотрены режимы роста с учетом только адсорбции - десорбции или только диффузии, построены различные представления решений: в параметрическом виде с помощью метода характеристик или в автоволновых переменных и т.д.. Вопрос о стационарных решениях модельных уравнений важен с точки зрения нахождения связи между динамикой роста и термодинамикой поверхностных структур. Знание такой связи существенно при исследование диннамики роста структур, построении вычислительных алгоритмов, сравнении результатов аналитических и численных исследований с экпериментальными данными. Для неидеального адсор-бата (ф ф 0) в непрерывном варианте модели в приближении среднего поля стационарное решение находится из уравнения

Для неидеального адсорбата в приближении Ван-дер-Ваальса стационарное решение находится из уравнения

где управляющие параметры характеризуют поток напыляемых на поверх-

ность частиц. Они вычисляются в выражениях для операторов адсорбции-десорбции в уравнениях (9). Из сравнения модельных режимов динамики роста структур в этих приближениях следует вывод, аналогичный полученному при исследовании мо-нослойных структур. Более полный учет влияния поля адатомов на образование структур указывает на дезорганизующую роль этого поля в процессе формирования упорядоченных структур. Выражается это в понижении температуры фазового перехода в модели, как следут из замены условия ф>, 4. приближении среднего поля на условие ф > 6.75 в приближении Ван-дер-Ваальса, где ф = е„„/?, епп - энергия взаимодействия соседних адатомов, ¡) = (¡Ъ^З1)-1, Т - температура адсорбата.

В §3.3 качественными и численными методами проведен анализ формирования модельных упорядоченных структур. Качественное исследование модельных уравнений описывает динамику роста адсорбата с учетом выбранных приближений для латеральных взаимодействий адатомов. Исследованы нелинейные уравнения второго порядка (13) типа "диффузия + реакция" для плотности адсорбата

Выражения для АО и Ь заданы формулами (16). Их зависимость от заполненности в в управляющих параметров показана на Рис. 1-3. Уравнение (18) описывает фазовый переход на поверхности при значениях управляющего параметра ф > 4 в приближении среднего поля для взаимодействий адатомов и ф > 6.75 в приближении Ван-дер-Ваальса. Доказано существование периодических стационарных распределений плотности для соответствующих этим значениям параметра ф значениях параметра Ь. Качественное исследование решеточных моделей динамики роста адсорбционных структур представляет особый интерес в случае, когда энергии ак-тивациояных барьеров адсорбции и диффузии не равны друг другу. Модели (9) и (13)-(15) позволяют проводить такой анализ во всей физически допустимой области управляющих параметров.

исследуется влияние флуктуации управляющих параметров на динамику роста поверхностных структур. Качественное исследование роли флуктуаций управляющих параметров в модельных уравнениях, описывающих динамику роста адсорбата, проведено с учетом выбранных приближений для латеральных взаимодействий адатомов. При исследовании флуктуаций параметров существенно условие, чтобы уравнения моделей имели подходящие математические свойства. Это означает, что уравнения должны быть сформулированы для плотностей вероятностей и должны иметь единственную стационарную плотность вероятностей. Рассматриваемые в работе модели удовлетворяют этим условиям. Показано, что флуктуации управляющих параметров могут менять картину фазового перехода. При

допущении флуктуации управляющих параметров переход монослойного адсорбата в более плотную фазу происходит при значениях управляющего параметра Ь меньших, чем детерминированные критические значения, определяемые уравнением изотерм адсорбции. С точки зрения динамики роста интересно отметить, что более полный учет влияния поля адатомов, то есть переход от приближения среднего поля к приближению Ван-дер-Ваальса приводит к качественно таким же эффектам как учет внешнего шума. Сдвигаются критические значения параметров, могут появляться новые стационарные решения (экстремумы стационарной плотности вероятности). Результаты исследования динамики роста адсорбата в стационарных режимах полезны для установления связи с термодинамикой (изотермы адсорбции) и для сравнения с результатами полученными для феноменологических моделей.

В §3.5 проведено исследование уравнений модели для профилей поверхностных структур и приведены результаты численных расчетов. Для вычисления профилей поверхностных структур использовались уравнения (9), (15) и выражения (7). Выделены области в пространстве параметров моделей, определяющие различные режимы роста профилей структур. Получены асимптотические выражения для профиля структуры при различных значениях параметра Ь

Ьсг критическое значение параметра Ь, величина v(ф, Ь) зависит от выбранных значений На основании этих результатов можно проводить детальное исследование эволюции профилей поверхностных структур.

Полученные в главе результаты составляют в рамках поставленной задачи полное исследование динамики роста монослойных и многослойных структур на поверхности твердого тела для всех стадий роста.

В Главе 4 проведены исследования с помощью развитых в работе методов для моделирования поверхностных процессов с учетом химических реакций.

В §4.1 приведено расширение моделей для описания каталитических поверхностных реакций. Уравнение для функции распределения вероятностей можно записать следующим образом

т

= Ё(и) + Мк(Л) + щи) + АО(д„и) 4- С(дс,/.),

где Е(/с), Мя(/С), Щ/с), АО(дс,Ь), С(&,Л) - операторы энергетической релаксации, латеральной диффузии, межслойных переходов, нереактивной адсорбции-десорбции и химических реакций, индекс с относится к компонентам смеси частиц. Функция распределения ¡^(Ь,»'',^ частиц в газовой фазе нормирована условием

= Г»с(г,{), Х)пс(г,<) = 6 = (р,-Е;„г), где гае и п парциальная и об-

»' с

шах плотности частиц в газовой фазе, Еш внутренняя энергия частицы. Операторы £(/с), Мя(/С), М1(/с), /с) представляются в балансной форме

В(/с) = £)/е(Я') - Ё')Ш)\,

М'

МшШ = £ ЫЕ\а-,Ё,а)иЁ',а') - те(|,«;г',а')/с(£,«)]1 Л = Д,£,

Й',5'

А0(л,/«) = $>с(?Д<гы?) - ^(Я.сцьиадь 6'

где ес(Е',Е), тс(Е',а';Е,а), ас(Ь',Е,а) и ¿С(Ё, а, (г1) вероятности соответствующих событий в единицу времени. Поверхностные химические реакции можно записать стандартным образом

1V, N. N. К,

]Г гс'»^ + £ У^л <-► £ + У1тУь-

с'=1 Ь<=1 С=1 6=1

Здесь гс"«^^« (•&<:*,!№») - стехиометрические к о э ф ф и Ц<и, £ьн(ТсЫ1>) - химические символы реактантов, участвующих в химической реакции в адсорбированной (£) и газовой (К) фазах; индекс и номерует реакции, участвующие в производстве с компонент; детальные константы скорости прямой и обратной реакций равны К* и К*, соответственно. Балансное уравнение для оператора С имеет вид

с К* = к) и К1 = К*{к, к'), где к' як представляют множества соответствую-

щих переменных. Неидеальность среды можно учесть в выражениях для переходных вероятностей. Последние можно определить методами равновесно!. '• ^равновесной термодинамики, с помощью динамических моделей элементарных процессов и по эмпирическим формулам. Уравнение для: ве{а, <) имеет вид

^^ = М'Л(9С) + ЦЦ9.) + АО-(йЛ) + С'(иЛ)-

Операторы Мд(вс)> М|*(0С), АО*(]с,9с)> С*(.7с|®с) можно представить в балансной форме с учетом замен /„ -*■ вс, дс }с, тс то*, ас а*, ¿с ->• -+

Помеченные звездочками величины есть средние по энергетическим переменным соответствующих величин без звездочек.

В качестве полезной иллюстрация возможностей развиваемых методов исследована модель реакции каталитического окисления оксида углерода на металлах платиновой группы. Эта модель имеет и самостоятельное значение. Поверхностная диффузия и латеральные взаимодействия адатомов существенно влияют на протекание каталитических реакций (например, окисление СО на И). Каталитическая реакция окисления СО на И с кинетикой Лэнгмюра-Хиншельвуда между адсорбированными бесструктурными частицами г — А н » — В, приводящая к образованию продукта реакции, десорбирующегося в газовую фазу описывается уравнением

(з-А) + (а-В)->Ь + АВ(з).

Предполагается, что молекулы А фиксированы, а молекулы В мигрируют. Реакция происходит, если молекула В приближается к молекуле А на критическое расстояние КА- Кинетика адатомов реагента В описывается уравнением

ав(д,г) т

= АМ(<?) + Аоил А = - е1р{/3(е; - с?)}, о.

(19)

где - оператор миграции адатомов реагента - оператор адсорбции-десор-

бции. В зависимости от начального условия может реализоваться один из

двух сценариев реакции. В первом варианте реакция происходит подобно случаю невзаимодействующих адатомов с очевидными ограничениями на выбор начального условия Во втором реакция не происходит из-за влияния диффузии, так как

и притяжение адатомов доминирует над разбеганием, поэтому происходит образование островков адатомов типа В. Реакция в этом случае преимущественно идет по механизму Или - Ридила. При ф > 4 в приближении среднего поля и при и соответствующих значениях параметра существует одно стационарное решение уравнения (19) близкое к единице. В этом случае также возможно протекание реакции по схеме соответствующей случаю невзаимодействующих адатомов В. Латеральные взаимодействия адатомов существенно влияют на процесс каталитической реакции, протекающей по механизму Лэнгмюра - Хиншельвуда вплоть до ее погасания. Следовательно, при управлении реакцией надо выбирать такие температурные режимы, при которых сохраняется условие Этот диапа-

зон температур определяется из условий приближении среднего поля или

ф > 8.75 в приближении Ван-дер-Ваальса. Если же условия ф > 4 ил* ф > 6.75 сохраняются, то надо управлять реакцией, выбирая параметр

В сформулированы начально-краевые задачи для уравнений (19) и доказана их разрешимость. В случае изотропной поверхности твердого тела граничная задача формулируется так

2хЯд£

|г=в„ = = 9.,

где функция 9, определяется из уравнения В"(в,) = Ь, ЯБ радиус фиктивной внешней границы, Ив -+ оо, кс„ > 0 константа скорости реакции на критическом радиусе Яд. В силу симметрии представления операторов адсорбции-десорбции и диффузии в уравнениях (13)-(15) решение этих задач проще по сравнению с традиционными формулировками в контексте теории уравнений математической физики.

В §4.3 построены некоторые модели химических реакций, полученные в рамках сформулированных в §,51.2, 1.3, 4.1 подходов. Схема построения моделей такова. Частицы сорта "I" адсорбируются на поверхность твердого тела. Динамика МОНОСЛОИ этого реагента описывается уравнением типа (9). Частицы сорта "2" формально занимают слой с номером 1 — 2. Реакция происходит, если частица сорта "2" оказывается в ячейке при условии, что ячейка занята частицей

сорта "1". Модель формулируется в виде системы уравнений

^ = £ ВД [вР(Д'|е') - 2»?(Я|в)] + [«Р(М?) - £?(Я|*)] ,¿ = 1,2, й

в правых частях задаются выражениями (14)-(16). Существует единственное стационарное распределение вероятностей в', (» = 1,2). Оно глобально устойчивое. Структура адсорбированного продукта реакции описывается функцией распределения Модель в рамках сделанных предположений о схеме реакции допускает обобщение на произвольное число слоев адсорбата.

В §4.4 исследованы стохастические свойства уравнений моделей для варианта (9), что не умаляет общности результатов. Методами, применяемыми в выведена система уравнений для моментов функции распределения вероятностей Исследовано первое уравнение этой цепочки, записанное в форме

Парная корреляционная функция ^>(а,а')) выделена в слагаемое, имитирующее лан-жевеновский источник При этом уравнение (20) принимает вид

д1

= А2?а(в(а,4)) + Ма(8(3,1)) + Цв,-ф).

Операторы адсорбции-десорбции и диффузии записаны в форме

в приближении среднего поля, а в приближении Ван-дерВаалъса в виде

AD(0) = 6°#) - 0екр (~ф*0 + , M(S) Л £ W(a,af)

В такой форме записи различия между уравнениями для моно- и многослойной адсорбции сводятся к различию в форме источника внешнего шума. Параметры b¡ характеризуют состояние газовой фазы, ф*'° характеризуют латеральные взаимодействия адатомов. Они определяют динамику режимов роста структур, число и тип стационарных решения, возможность фазового перехода в адсорбате. Параметр Л соответствует среднему числу диффузионных скачков адатома за время его жизни на поверхности. Он характеризует скорость диффузионных процессов. Проведенные рассуждения показывают, что для построенных моделей можно использовать статистические характеристики поверхностных струкаур на различных этапах роста структур в силу доказанного факта существования, единственности в глобальной устойчивости стационарной плотности вероятностей для управляющих уравнений моделей. При этом структура уравнений для монослойного и многослойного ад-сорбата не меняется. Достоверность сравнения модельных характеристик структур адсорбата и соответствующих экспериментальных характеристик повышается по сравнению со многими феноменологическими моделями. Это обусловлено тем, что статистические оценки параметров моделей определяются вероятностными характеристиками выбранной аппроксимации для описания взаимодействий адатомов (единым марковским процессом), а не несколькими такими процессами для описания адсорбции, десорбции, послойной и межслойной диффузии. В этом контексте можно говорить об определенной внутренней согласованости моделей, что облегчает в принципе сравнение экспериментальных данных, описываемых некоторой эмпирической функцией распределения вероятностей, с модельными данными.

В §4.5 проведен анализ структурных свойств уравнений моделей динамики роста поверхностных структур. Уравнения моделей имеют структуру модели типа "диффузия + реакция". При определенных значениях управляющих параметров они задают динамическую систему триггерного типа. Такая ситуация возникает при описании взаимодействия адатомов в приближении среднего поля при а при

использовании приближения Ван - дер -Ваальса для описания взаимодействий при При этом коэффициент диффузии становится отрицательным при приближении значений заполненности в к стационарным значениям. Таким образом, диффузия также способствует образованию стационарной структуры, ускоряя этот процесс. Это реалистичная картина и заметим, что она уточняет характерное для

теории систем "реакция+диффузия" или теории диссипативных структур утверждение о влиянии диффузии только как фактора диссипация, выделяя режимы, при которых диффузия ускоряет образование структур вблизи стационарного состояния. Блочная структура модельных уравнений удобна при построении вычислительных алгоритмов, постановке начально-краевых задач и т.д. В ряде случаев модели допускают вариационные формулировки начально-краевых задач. Построенные в данной работе модели объединяют в себе идеи ряда классических приближений в теории адсорбции, описанных в главе I. Они обобщают их на случаи неидеалыхости адсорбционных структур, поверхности твердого тела и потока адсорбирующихся частиц. Найденные зависимости стационарных состояний адсорбата от управляющих параметров Ь и ф совпадают с выводами классической теории о фазовом переходе в монослое. В случае многослойного адсорбата полученные выводы дают качественно правильное описание динамики роста поверхностных структур. Достоинством моделей является возможность полномасштабного, т.е. во всем диапазоне изменения управляющих параметров и при любых отклонениях от равновесия, описания поверхностных структур и сравнения с экспериментами по росту гетсрогтруктур. Результаты по исследованию стационарных состояний адсорбционных структур полезны для установления связи с термодинамикой (изотермы адсорбция) и для сравнения с результатами полученными для феноменологических моделей.

Построенные модели допускают дальнейшую модификацию с целью более детального учета физических параметров адсорбционных структур: потенциального рельефа, геометрических и механических характеристик структур, формы кластеров и т.д. Они имеют теоретическое значение для дальнейшего развития методов моделирования физико-химических процессов на поверхности твердого тела и прикладное - для описания динамики роста поверхностных структур, в том числе наноструктур типа квантовых точек, квантовых нитей и квантовых пятен, исследования режимов эпитаксиального и неэпитаксиального роста таких структур, процессов релаксации адсорбата и реконструкции поверхности, индуцированной адсорба-том. Модели полезны как инструмент для выявления новых механизмов формирования структур, поскольку при их моделируется процесс взаимодействия адатомов, определяющий характер роста структур. В этом одно из отличий построенных моделей от большинства известных моделей, в которых моделируются известные из феноменологических представлений структуры и типы процессов, образующие эти структуры. Полученные результаты и выводы можно использовть в научно-педагогическом процессе на факультетах математико-механическом, прикладной математики-процессов управления и физическом в СПбГУ, на механико-математическом и физическом факультетах МГУ, на физико-техническом факультете СПбГТУ, в СПбГМТУ и других высших учебных заведениях и академических институтах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

К основным результатам, полученным в работе, можно отнести следующие.

- Развиты универсальные методы построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на поверхности твердого тела. Они основаны на теории стохастических процессов, статистической термодинамике, теории динамических систем и учитывают физические параметры основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии.

- Выведены математические модели динамики роста поверхностных моно- и многослойных структур, обобщающие и уточняющие основные известные модели, с учетом основных физических параметров моделируемых систем.

- Проведены полные в рамках поставленных задач математические исследования построенных моделей. В результате получены обоснования аппроксимаций переходных вероятностей в уравнениях моделей, доказательства теорем о существовании, единственности и устойчивости решений модельных уравнений, критериях существования различных режимов динамики роста структур. Проведены численные, качественные и аналитические исследования уравнений моделей для различных режимов и стадий роста структур, исследована связь между характеристическими параметрами модельных структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

- Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающие и уточняющие известные феноменологические модели.

- Выведены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей химических реакций, критерии реализации режимов роста на различных стадиях эволюции структур, установлена связь между характеристиками структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами адсорбата, газовой фазы и твердого тела.

- Получены математические результаты по постановкам начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательствам теорем существования и единственности решений этих задач, доказательствам существования, единственности и устойчивости предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательствам флуктуапионно-диссипативных соотношений для построенных моделей, исследованию и решению начальных и начально-краевых задач.

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях.

1. Марков Ю.Г., 1986. Модельная задача движения теплопроводного газа с релак-сацией//В кн.: Всесоюзн. совещ. по самоорганизации в физических, химических и биологических системах "Синергетика - 86" АН СССР Научный совет по проблемам

биофизики АН МССР ин-т Прикладной физики, Кишинев 1986, Тезисы, с. 99-101.

2. Марков Ю.Г., 1988. Распространение возмущений в газах с внутренними процессами//В сб.: Межвуз. сб. научных трудов "Дифференциальные уравнения с частными производными" 1988, Л., ЛГПИ, с. 81-85.

3. Марков Ю.Г., 1988. Образование бегущих волн в газах с релаксацией//В сб.: Тезисы докладов Второй Всесоюзя Конф. "Физика и газодинамика ударных волн". -1988.-Черноголовка.С.103.

4. Марков Ю.Г., 1989. Распространение возмущений в газах с релаксацией//В сб.: Тезисы докладов X Всесоюзя. Конф. по Динамике разреженных газов.-1989.-М.С.190-191.

5. Марков Ю.Г., 1989. Распространение возмущений в газах с релаксацией//В сб.: Школа - семинар АЗАУ 89, Тезисы докладов, Черноголовка, 1989, с. 101-102.

6. Марков Ю.Г., 1991. Термодинамическое описание состояния реальной поверхности. //В сб.: Тезисы докладов XI Всесоюзн. Конф. по Динамике разреженных

газов.-1991.-Л.С.99.

7. Dubrovskiy G.V.,KozachekV.V.,MarkoffYu.G., 1994. Nomlinear thin film growth dynamics wiibin a lattice ga.s model. //In: Book of Abstracts of 2nd European Fluid Mechanic Conf.- Krakow.- 1904.P. 181.

8. Dubrovskiy G.V., Kozachek V.V., Markoff Yu.G., 1994. Adsorption kinetics of gas-surface interactions.//In: Proceedings of XIX lnt.Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, England.-1994, P. 1040 - 1050.

9. Dubrovskiy G.V., Kozachek V.V., Markoff Yu.G., 1995. Nonlinear kinetics of growth of adsorbed phase.//Iu: Book of Abstracts of International Conference "Synerge-tics-95", July 1995, Saint-Petersburg.

10. Дубровский Г.В., Кузьменко А.В., Марков Ю.Г., 1995. О приближении трехмерного решеточного газа для многослойной адсорбции //Теоретическая и математическая физика. - 1995. Т. 105. N 1. с. 130 - 148.

11. Markoff Yu.G. "Nonlinear evolution of multilayer adsorbed phase" //Труды меж-дунар. конф. "Математическое моделирование нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". 05.0710.07.1996, ТвГТУ, Тверь.

12. Дубровский Г.В., Бауман Д.В., Дубровский В.Г.Козачек В.В., Мареев В.В., Марков Ю.Г "Детальная кинетика многослойной адсорбции". СПб, 1998. 90 с.

13. Канунихов И.Е., Антонова Е.В., Белов Д.Р., Марков Ю.Г. "Применение

теории динамического хаоса для анализа электроэнцефалограмм". Вестник СПб ГУ. Сер.З. 1998. Вып.1. (N3). с. 55 - 61.

14. Kanunikov I.E., Belov D.R., Kiselev B.V., Markoff Yu.G. "Fractal characteristics of the human EEG in the connection with changes of the geomagnetic activity". //Book of Abstr. "Problems of Geocosmos". SPb, 1998.

15. Марков Ю.Г. "О роли диффузии и латеральных взаимодействий адатомов в каталитических реакциях". Вестник СПбГУ. Сер.4. 1997. Bbin.3.(N 18). с. 80 - 84.

16. Марков Ю.Г., Осмоловский В.Г. "0 существовании решений краевой задачи для модели каталитических реакций". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1998. Bbin.l.(N 1). с. 23 - 28.

17. Марков Ю.Г. "Модель роста тонкой пленки на поверхности твердого тела с дефектами". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1998. Bbin.2.(N 8). с. 50 - 54.

18. Марков Ю.Г. "Модель эволюции многослойного адсорбата: динамическая система трштерного типа". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1999. Bbin.2.(N 8). с. 35 - 41.

19. Markoff Yu.G. " Influence of surface diffusion and adsorbate interactions on heterogeneous catalyssis". //Book of Abstr. of XXI Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics. 1999. Marseille. France.

20. Markoff Yu.G. " Thin film growth dynamics on the solids with defects". //Book of Abstr. of XXI Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics. 1999. Marseille. France.

21. Марков Ю.Г. "Модельное уравнение роста фасеточной тонкой пленки на поверхности твердого тела". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Вып.З.(№ 17). с. 33 - 39.

22. Марков Ю.Г. "Эвристические подходы в моделировании наноструктур". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.2.(N 9). с. 49 - 56.

23. Марков Ю.Г. "Модель роста наноструктур: металл на металле". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.3.(N 17). с. 37 - 41.

24. Марков Ю.Г. "Информационные поля как основа функционирования сложных систем". //Доклад в электронном виде на Национальной конф. "Информационно -вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и медицины(ИВТН - 2002)".

10.04 - 11.04.2002. Москва, http://www.group.ru/conference

25. Kiselev B.V., MarkoffYu.G. "The beauty of fractals: what does it cost?". //Proc. of the 4th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 03 - 08 June 2002. p. 227 - 231.

26. MarkoffYu.G. "The information fields: modelling of date for complex system

theory". //Book of Abstr. of the 4th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 03 -08 June 2002. p. 193.

27. Kiselev B.V., MarkoffYu.G. "The beauty of fractals: what does it cost?". //Book, of Abstr. of the 4th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 03 - 08 June 2002. p. 91.

28. Марков Ю.Г. "Эвристические подходы в моделировании сложных систем". Изд-во. СПбГУ. 2003. 150 с.

29. Марков Ю.Г. "Информационные поля: моделирование данных в теории сложных систем". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.2.(N 9). с. 34 - 47.

30. Марков Ю.Г., Киселев Б.В. "Красота фракталов: какова ее цена?" Вестник СПбГУ. Сер.1. 2003. Bbin.2.(N 9). с. 49 - 56.

31. Марков Ю.Г. "Математические модели роста структур на поверхности твердого тела". //Тезисы доклада в электронном виде на Национальной конф. "Информационно - вычислительные технологии в фундаментальных и прикладных физико-математических исследованиях". 14.04 - 15.04.2004. Москва.

http://www.groap.ru/conference

32. Марков Ю.Г., Киселев Б.В. "The fractal dimensions and scale invariance method". //Book, of Abstr. of the 5th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 2428 May 2004.

Рис. 1. Зависимость коэффициента диффузии от заполненности.

Рис. 2. Зависимость оператора адсорбции - десорбции от параметра Ь.

Рис. 3. Зависимость оператора адсорбции-десорбции от заполненности.

5 10 15 20 25 30

Ьпи

Рис. 4. Эволюция заполненности ячеек.

Подписано в печать 02.12.2004 г Формат бумаги 60X841/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. п.л. 2,0. Тираж 120 экз. Заказ 3422. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СП61У с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26.

ВВЕДЕНИЕ. стр.

ГЛАВА I. МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУР

НА ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.стр.

§1.1. Феноменологические модели образования и роста структур адсорбата на поверхности твердого тела. стр.

§1.2. Принципы построения моделей структур на поверхности твердого тела. стр.

§1.3. Термодинамический анализ моделей динамики роста поверхностных структур. стр.

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ РОСТА СТРУКТУР НА ПОВЕРХНОСТИ

ТВЕРДОГО ТЕЛА.стр.

§2.1. Исследование динамических свойств моделей поверхностных структур в приближении решеточного газа. стр.

§2.2. Качественный анализ влияния диффузии ад атомов на формирование поверхностных структур. стр.

§2.3. Исследование стационарных режимов формирования поверхностных структур. стр.

§2.4. Анализ динамики роста поверхностных структур методами теории марковских процессов. стр.

Typeset by Дд^-ТеХ

ГЛАВА III. КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ

ДИНАМИКИ РОСТА ПОВЕРХНОСТНЫХ

СТРУКТУР. стр.

§3.1. Исследование моделей динамики роста монослойных поверхностных структур. стр.

§3.2. Динамика роста многослойных поверхностных структур.стр.

§3.3. Детальный анализ динамики формирования упорядоченных поверхностных структур.стр.

§3.4. Анализ влияния флуктуаций управляющих параметров на формирование поверхностных структур.стр.

§3.5. Модельные уравнения для профилей структур.стр.

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ ПОВЕРХНОСТНЫХ

РЕАКЦИИ. .-стр.

§4.1. Модели каталитических поверхностных реакций с учетом взаимодействий адатомов.стр.

§4.2. Граничные задачи для моделей каталитических поверхностных реакций. стр.

§4.3. Модели поверхностных химических реакций в приближении решеточного газа.стр.

§4.4. Анализ стохастических свойств модельных уравнений.стр.

§4.5. Итоговый анализ модельных уравнений динамики роста поверхностных структур.стр.

В настоящей работе проведен анализ принципов и методов построения моделей сплошных сред на межфазных границах, описывающих процессы образования и роста структур на поверхности твердого тела. На основании этого анализа развиты методы моделирования эволюции таких структур эффективные с точки зрения обоснованности модели и отображения в модели специфичности исходной физической задачи. Методы, применяемые в настоящей работе являются развитием подходов к моделированию, основанных на использовании методов физической механики сплошных сред, теории динамических систем, теории марковских процессов, статистической термодинамики, современной теории сложных систем, уравнений математической физики. Термин сплошная среда используется в математическом смысле как вероятностное пространство состояний. В этом пространстве исследуются модели физической сплошной среды, образованной адсорбционными структурами на поверхности твердого тела. Задачи динамики роста поверхностных структур входят составной частью в более общий класс задач динамики газовой среды вблизи поверхности с учетом твердой фазы, образуемой адсорбируемыми частицами (адатомами). Эти задачи представляют большой интерес в связи с современными исследованиями в области вакуумной техники, микроэлектроники, материаловедения и т.д. Эта общая проблема имеет фундаментальный характер, заключающийся в необходимости рассмотрения элементарных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии, химических реакций на поверхности, энергетической релаксации. Необходимо описать в терминах моделей фазовые переходы в адсорбате, образование упорядоченных структур адсорбата, исследовать их устойчивость и т.д.

Актуальность задачи обусловлена следующими фактами. Традиционные феноменологические и термодинамические подходы в исследованиии динамики неравновесных процессов на межфазной границе сплошной среды газ - твердое тело при несомненных успехах в объяснении ряда экспериментальных фактов оказываются недостаточными для описания широкого спектра физических явлений в динамике роста структур. Поэтому затруднены оценка области

Typeset by AjyS-IfeX применимости различных подходов такого рода, описание возможных механизмов образования структур и стадий их роста, сравнение с экспериментами и построение вычислительных алгоритмов. Это делает весьма актуальной задачу последовательного и всестороннего аналитического и численного исследования динамики ростовых процессов на микроскопическом, мезоскопи-ческом и макроскопическом уровнях. Проблема имеет междисциплинарный характер, соединяя в себе задачи статистической физики, теории стохастических процессов, физической механики сплошных сред, классической теории динамических систем и современной теории сложных систем. Эта особенность исследуемой проблемы объясняет тот факт, что имеется сравнительно небольI шой запас принципиально различных моделей, используемых в практических исследованиях. /

Основной целью настоящей работы является развитие универсальных методов постановки и решения задач моделирования динамики роста структур на поверхности твердого тела, образующихся в результате адсорбции атомов или молекул из газовой фазы. Автор подробно проанализировал около 1500 работ (примерно треть из которых приведена в списке литературы в диссертации), посвященных моделированию процессов адсорбции, десорбции, поверхностной диффузии, химических реакций на поверхности твердого тела, энергетической релаксации, моделированию роста поверхностных структур, и связанных с этими задачами работ по теории стохастических процессов, теории динамических систем, уравнений математической физики, современной теории сложных систем. Как показал анализ один из путей достижения этой цели состоит в использовании при моделировании процессов роста поверхностных структур приближения трехмерного решеточного газа с использованием методов марковских процессов и современной теории сложных систем. Для эффективного использования этих методов потребовалось провести детальное изучение работ (кратко изложенных в главе I диссертации), посвященных исследованию и моделированию основных элементарных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии. В результате изучения проблемы автор пришел к убеждению в необходимости использования концепции моделирования, при которой основой моделирования этих процессов является моделирование химических потенциалов адсорбированных частиц. Этот подход позволил описать в рамках единого марковского процесса динамику роста поверхностных структур. Это особенно важно при изучении фазовых переходов в адсорбате, образования диссипатив-ных структур, флуктуаций изучаемых величин. При таком подходе удается получить выражения для переходных вероятностей в модельных уравнениях, учитывающие достаточно полно (в рамках принятых при моделировании взаимодействий адатомов ограничений) физические параметры поверхностных процессов. Также удается установить точные границы интервалов изменения обобщенных безразмерных управляющих параметров, соответствующих различным режимам и стадиям роста структур, из которых легко получить значения соответствующих физических параметров. В более традиционных подходах из упомянутого выше списка изученных автором работ процессы адсорбции, десорбции и диффузии моделируются с использованием соответствующих физических результатов, но практически независимо друг от друга. При таком подходе моделируются известные из экспериментальных данных или теоретических представлений поверхностные структуры и процессы, формирующие эти структуры. При этом получить выражения для переходных вероятностей, эффективно учитывающих физические параметры, и точные интервалы изменения параметров очень трудно или невозможно. Развиваемые в работе методы и модели в значительной мере свободны от этих недостатков, так как основой моделирования является описание основного физического процесса - взаимодействия адатомов. Этот процесс генерирует особенности основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции, диффузии. При этом построенные модели можно использовать для уточнения известных феноменологических моделей. В работе выведены и исследованы уравнения для функций состояния системы адатомов (заполненностей ячеек) и для корреляционных функций. Методы развиваемые в данной работе позволяют строить модели, которые имеют предельные квазистационарные и стационарные решения, согласуемые с термодинамикой в силу флуктуационно - диссипативных соотношений, удовлетворяют теоремам Ляпунова об устойчивости, сохраняют условия нормировки. Ввиду сложности проблемы основное внимание было уделено построению моделей, описывающих достаточно полно и детально сответствующие физические задачи. При построении моделей автор ориентировал их на использование стандартных численных алгоритмов, достаточно простого языка программирования (FORTRAN), использование распространенных пакетов программ (MAPLE и MathLab) с целью упростить сравнение рассчитанных с помощью моделей данных с экспериментальными. Поэтому построенные модели можно эффективно применять для математических исследований сложных нелинейных процессов при межфазных взаимодействиях газовая среда-твердое тело методами теории стохастических процессов и современной теории сложных систем.

Цели и задачи работы. Цель работы состоит в разработке и развитии методов построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Исследования проводятся на основе методов теории марковских процессов, статистической термодинамики, теории динамических систем и учитывают основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию. Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

1. Развиты методы построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела, основанные на теории марковских процессов, теории управляющих уравнений и учитывающие основные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию и диффузию.

2. Выведены математические модели образования и эволюции поверхностных моно- и многослойных структур, учитывающие основные теоретические представления о процессах адсорбции, десорбции и диффузии адатомов на поверхности твердого тела.

3. Выполнены математические исследования построенных моделей. Предложены методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Найдены критерии существования различных режимов динамики роста структур, проведены исследования этих режимов и стадий роста структур, исследована связь между параметрами модельных структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.

5. Приведены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценка скоростей химических реакций, исследование режимов роста на всех стадиях эволюции структур.

6. Получены численные и аналитические результаты, включающие постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений, доказательства существования предельных распределений вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-диссипативных соотношений для построенных моделей, исследования сформулированных задач и их численные или аналитические решения. Эти результаты входят в математическую базу обоснования методов построения и исследования моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем: Все полученные результаты являются новыми. Наиболее важные из них следующие.

1. Разработаны универсальные методы построения моделей динамики роста поверхностных структур методами теории марковских процессов, позволяющие выводить уравнения модели в рамках единого марковского процесса, основой которого является моделирование взаимодействия частиц (адатомов) с учетом основных физических параметров моделируемых систем.

2. Выведены уравнения динамики роста структур, для которых флуктуаци-онно-диссипативные соотношения получаются естественным образом. Проведены доказательства существования, единственности и устойчивости предельных стационарных плотностей вероятностей для уравнений моделей.

3. Проведены полные математические исследования построенных моделей. Развиты методы получения аппроксимации переходных вероятностей в уравнениях моделей. Доказаны теоремы, дающие критерии существования различных режимов динамики роста структур. Проведены численные исследования моделей для различных режимов и стадий роста структур, исследована связь между геометрией структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающих известные феноменологические модели. Проведен сравнительный анализ построенных и известных ранее моделей.

5. Модели адаптированы для использования стандартных вычислительных алгоритмов и распространенных комплексов программ (MAPLE и MathLab).

6. Проведены качественные, с использованием методов теории динамических систем, и численные, с применением стадартных вычислительных алгоритмов и математических систем MAPLE и MathLab, исследования построенных математических моделей. Получены критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей каталитических реакций на поверхности твердого тела, исследованы режимы роста на различных стадиях эволюции структур.

Т. Получены математические результаты по обоснованию методов построения и исследования моделей. Они включают постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений, доказательства существования предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флуктуационно-дисси-пативных соотношений для построенных моделей, модификацию и адаптацию вычислительных алгоритмов и комплексов программ для численного исследования моделей и расчетов характеристик моделируемых структур.

В результате проведенных исследований развиты методы, позволяющие получать уравнения моделей, согласованные с термодинамическим описанием. Это обеспечивает возможность использования полученных критериев для управляющих параметров в известных физических моделях: модель Карда-ра - Паризи - Жанга и ее обобщения, модели группы Введенского, модели поверхностных структур Кукушкина - Слезова и т.д. Развитые методы позволяют эффективно сравнивать рассчитанные с помощью моделей данные с экспериментальными с контролируемой точностью. В этом также состоит научная новизна работы. Уравнения, полученные в рамках предлагаемых подходов, ранее практически не предлагались. Математические исследования задач динамики роста структур на поверхности твердого тела в рамках моделирования единого марковского процесса и вывода соответствующих самосогласованных уравнений методами современной теории сложных систем имеют принципиальное значение. Помимо перечисленных качеств эти модели имеют структуру уравнений, удобную с точки зрения применения методов математической физики для их исследования и решения. Уравнения моделей обладают определенной симметрией, облегчающей постановки начально-краевых задач и получение вариационных формулировок задач. Все эти свойства моделей являются в общем контексте таких задач новыми, их получение составляло часть целей, поставленных при написании данной работы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты по развитию и обоснованию универсальных методов построения класса математических моделей, описывающих образование и рост структур на межфазной границе: газовая среда - поверхность твердого тела. Они являются развитием методов, основанных на теории стохастических процессов, статистической термодинамике, теории динамических систем и учитывают физические параметры основных поверхностных процессов: адсорбции, десорбции и диффузии.

2. Математические модели образования и эволюции поверхностных моно-и многослойных структур, обобщающие и уточняющие основные известные модели, с учетом основных физических параметров моделируемых систем.

3. Результаты математических исследований построенных моделей. Они содержат методы получения аппроксимаций переходных вероятностей в уравнениях моделей, доказательства теорем, дающих критерии существования различных режимов динамики роста структур. Результаты численных и аналитических исследований уравнений моделей для различных режимов и стадий роста структур, включающие исследование связи между геометрией структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами.

4. Математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающие и уточняющие известные феноменологические модели.

5. Результаты аналитических, качественных и численных исследований построенных математических моделей. Критерии возникновения поверхностных самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей химических реакций, исследование режимов роста на различных стадиях эволюции структур, исследование связи между характеристиками структур, значениями безразмерных управляющих параметров и физическими параметрами адсорбата, газовой фазы и твердого тела.

6. Математические результаты по обоснованию методов построения и исследования моделей: постановки начальных, начально-краевых и краевых задач, доказательства теорем существования и единственности решений этих задач, доказательства существования, единственности и устойчивости предельных плотностей вероятностей для уравнений моделей, доказательства флукг туационно-диссипативных соотношений для построенных моделей.

Основные результаты работы регулярно представлялись на международных и национальных конференциях, симпозиумах и семинарах. Среди них можно указать следующие:

- X Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1989, Москва; - Школа - семинар АЗАУ - 89, Черноголовка, 1989; - XI Всесоюзная Конференция по Динамике разреженных газов, 1991, Ленинград; - 2nd European Fluid Mechanics Conference, Krakow, 1994; - XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, England, 1994; - Int. Conf. "Synergetics-95", 1995, SPb; -VII Int. Symp. on Surface Science,1996, Prage, Chech Republic; - 16th European Conference on Surface Science,1996, Genove, Italy; - 10th European Conference on Thin Films/5th European Vacuum Conference, 1996, Salamanca/Segovia, Spain; - Международная конференция "Математическое моделирование нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах", 1996, ТвГТУ, Тверь; - 3d International Conference "Problems of Geocosmos", 1998, SPb; - XXI International Conference on Rarefied Gas Dynamics, 1999, Marseille, France; - Национальная конференция "Информационно

- вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и медицины(ИВТН

- 2002), 2002, Москва; - 4th International Conference "Problems of Geocosmos", 2002, SPb; - Национальная конференция "Информационно - вычислительные технологии в решении фундаментальных научных проблем и прикладных задач химии, биологии, фармацевтики и медицины(ИВТН - 2002), 2004, Москва;

- 5th International Conference "Problems of Geocosmos", 2004, SPb; - на семинаре "Теория сложных систем в прикладных и междисциплинарных исследованиях", СПбГУ, 2000 -2003 и на ряде других семинаров.

По теме диссертации опубликованы две монографии и 15 статей, из них 11 в рекомендованном ВАК списке реферируемых изданий. Общее количество публикаций по теме диссертации - 32 работ.

Результаты исследования стационарных состояний поверхностных структур полезны для установления связи с термодинамикой (получения уравнений изотерм адсорбции) и для сравнения с результатами полученными для феноменологических моделей. При этом полезную роль могут сыграть методы вычисления корреляционной и других обобщенных размерностей, описанные в §4.4.

При нахождении стационарных решений модельных уравнений можно рассматривать различные формы управляющих уравнений с учетом их физического смысла, области применимости, математических свойств, возможных постановок начально-краевых задач.

Применение для построения моделей роста поверхностных структур методов теории марковских процессов и управляющего уравнения позволяет исследовать физическую задачу, не вводя априорных предположений о характере поверхностных процессов. Вместо этого в качестве критериев для модификации и корректировки математических моделей можно использовать данные экспериментальных иследований.

Продемонстрируем возможности метода на примере модели о росте двух кластеров при фиксированном числе адатомов на поверхности твердого тела. Несмотря на кажущуюся простоту постановки эта задача содержит существенные особенности процесса формирования поверхностной структуры. Эту же модель можно использовать для описания роста двух столбцов адсорбата.

Пусть на поверхности имеется некоторое количество адатомов равное п. Причем каждый адатом может присоединиться к кластеру "1" или "2" . Пррдположим, что п 1 адатомов попадает в кластер "1", а п2 адатомов попадают в кластер "2". Предположим также, что выбор кластера адатомом зависит от числа адатомов в кластере "1" или "2". Обозначим через p{ni,n2\i) плотность вероятности того, что в момент t имеется щ адатомов в кластере "1" и п2 адатомов в кластере "2". Чтобы описать динамику роста кластеров , введем переходные вероятности W\{ni,n2) и W2(n1,n2) Для перехода адатома из кластера "1" в кластер "2" и наоборот, соответственно. Тогда для p(ni,n2; t) можно записать управляющие уравнения jp(nun2\t) = Wi(nx + 1 ,п2- l)p(ni + 1,та2 - 1;*)+ w2(ni -1, п2 + l)p(ni -1, п2 +1; t) - [гих (щ, n2)+w2 (»*!, n2)]p(ni ,п2;t). (5.38) Переходные вероятности W\ и W2 имеют вид

В этих формулах е - параметр, характеризующий энергию взаимодействия кластеров с адатомами в зависимости от размера и формы кластера, h - параметр, характеризующий взаимодействие адатомов с кластерами типа "1" или "2" (h > 0 означает, что включение адатома в кластер "1" предпочтительнее, чем включение в кластер "2"), Т - температура в единицах постоянной Больцмана кв, тп = {п\ — n2)/2n, п = ni + п2, и - частота переходов (скачков адатомов). Для упрощения решения этого уравнения (5.38) можно сделать допустимое в математической модели предположение о том, что число адатомов достаточно велико и можно считать m непрерывной переменной. Тогда можно переходя в пространство состояний из пространства событий трансформировать уравнение в уравнение типа уравнения диффузии и показать, что с течением времени (при t —>■ 00) для стационарной плотности вероятности (в зависимости от переменной тп) выполняется соотношение

Wi(ni,n2) = v ехр{

W2(ni,n2) = у ехр{4 те(- +т), п(- -т). где

Kx(q) = u[sh(eq + h) - 2qch(eq + /г)], Ki(q) = v/n[ch(eq + h) - 2qsh(eq + /г)].

Сравнивая расчетные значения pst(jn) при различных значениях параметров еи/ic экспериментальными данными можно делать выводы о характере эволюции системы из двух кластеров на поверхности твердого тела. Терминология модели в такой формулировке достаточно общая, используются такие понятия как способность притягивать и параметр предпочтения, которые можно ввести используя феноменологические характеристики размеров, формы и структуры кластеров. Этим понятиям можно придавать более точный смысл по мере корректировки математической модели в соответствие с анализом экспериментальных данных для физической модели. Кроме того, такие модели можно использовать как "блоки" при модификации моделей типа (1.2.19), используя уравнения (5.38) как искусственные граничные условия (в терминологии одношаговых стохастических процессов). Однако, обсуждение и исследование этих возможностей находится вне рамок, определенных целями и задачами настоящей работы, и приведено здесь для иллюстрации перспектив построенных моделей и развиваемых методов.

В соответствие с общими подходами к математическому моделированию сплошных сред на межфазных границах, развитыми в данной работе, в построенных моделях объединены идеи ряда классических приближений в моделировании поверхностных процессов.

Управляющие уравнения модели представляют примеры стохастических динамических систем. Они применимы при любых отклонениях от равновесия в силу доказанной единственности и глобальной устойчивости предельной плотности вероятностей, во всем диапазоне физически допустимых значений управляющих параметров и имеют, как отмечалось выше, полезные математические свойства. Эти свойства позволяют применять для исследования моделей стандартные математические методы исследования динамических систем классической теории динамических систем, теории случайных процесов и современной теории сложных систем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Настоящая работа выполнена в границах части проблемы иследования моделей сплошных сред на межфазных границах. Термин сплошная среда используется в математическом смысле как вероятностное пространство состояний. В этом пространстве состояний исследуются модели физической сплошной среды, образованной адсорбционными структурами на поверхности твердого тела. Это исследование охватывает, в частности, задачи динамики роста структур на поверхности твердого тела с использованием методов теории стохастических процессов, статистической термодинамики, теории динамических систем, современной теории сложных систем и уравнений математической физики. Фундаментальный характер этой проблемы потребовал рассмотрения элементарных процессов адсорбции, десорбции, поверхностной диффузии, химических реакций, построения математических моделей, их теоретического анализа, качественного и численного исследования уравнений моделей.

Развитые в данной работе методы построения и исследования моделей роста структур на поверхности твердого тела, модели каталитических поверхностных реакций служат дополнением к широко используемым в практике моделям, вывод которых основан на феноменологических подходах, термодинамике неравновесных процессов, методах механики сплошных сред. Построенные на основании развитых методов модели использованы для обоснования и установления связи между упомянутыми выше моделями, их обобщения и уточнения, изучения более тонких зависимостей ростовой динамики от внешних параметров.

Уравнения моделей (1.2.26), (1.2.27), (1.2.29) имеют структуру типа "диф-фузия+реакция" и при определенных значениях управляющих параметров задают динамическую систему триггерного типа. Важным качеством предлагаемых моделей является то, что для многих интересных в прикладном отношении адсорбционных структур математическая модель динамики роста включает три типа описания: дискретное в виде системы уравнений (1.2.19), полунепрерывное в виде системы уравнений в частных производных (1.2.27)

Typeset by .A^S-TeX и непрерывное в виде одного уравнения в частных производных (1.2.29). Это полезное свойство предлагаемых моделей, которым не обладают известные автору модели динамики роста структур. Так как обычно рассматривается только один из вариантов описания. Большинство известных моделей записано в виде уравнения в частных производных, поэтому предлагаемый подход позволяет проводить достаточно эффективное сравнение различных моделей, используя все три уровня описания.

Численные расчеты для моделей удобнее проводить с помощью систем типа (1.2.19), а уравнения (1.2.27), (1.2.29) использовать для качественного исследования моделей. Численные расчеты показывают, что при значениях параметра ф > 4.5 в приближении среднего поля и ф > 8 в приближении Ван-дер-Ваальса возникает система упорядоченных поверхностных структур в виде трехмерных островков адсорбата.

Вблизи критических значений ф = 4 или ф = 6.75 образования упорядоченных структур с выраженной границей не наблюдается. В реальных физических системах такая ситуация встречается при получении поверхностных наноструктур металл на металле [57] или полупроводниковых наноструктур [49]. Одновременное использование в моделях трех типов описания позволяет строить более эффективные алгоритмы решения задач для уравнений (1.2.27), (1.2.29).

Новым фактором, отличающим предложенные модели от известных автору, является то, что коэффициент диффузии для значений управляющего параметра ф больших критических становится отрицательным при приближении значений заполненности в к стационарным значениям. Таким образом, диффузия способствует образованию стационарной структуры, ускоряя этот процесс, что уточняет характерное для теории систем "реакция+диффузия" утверждение о влиянии диффузии только как фактора диссипации, выделяя режимы, при которых диффузия ускоряет образование структур вблизи стационарного состояния.

Теория, в рамках которой проводились исследования, позволяет строить различные приближенные методы расчета динамики роста и термодинамики многослойных адсорбатов на основе распределения адсорбционных потенциалов и парных потенциалов латеральных взаимодействий адатомов.

Развитые в работе подходы к задачам построения моделей сплошных сред на межфазных границах соответствуют идеологии классической теории динамических систем и современной теории сложных систем, так как основным объектом моделирования является взаимодействие "частиц", то есть моделирование обмена информацией между состояниями системы во всем пространстве состояний. Основной величиной, характеризующей состояние системы, является функция распределения вероятностей (для состояний системы).

При этом в математической модели с контролируемой точностью учитывается специфичность моделируемой реальной системы (приближения для описания взаимодействия адатомов). Таким образом, при данном подходе мы приходим к задаче модельного описания с контролируемой точностью информационных полей в задачах динамики роста структур на поверхности твердого тела.

Основное внимание уделено математическому направлению исследований в той мере, в какой это необходимо для более ясного понимания постановок, методов исследования и решения математических задач теории динамики роста поверхностных структур. С точки зрения математики это задачи теории управляющих уравнений на мезоскопическом уровне описания и теории уравнений типа "реакция-!-диффузия" [11,59] на макроскопическом уровне.

Анализ нелинейных модельных уравнений, в динамике роста поверхностных структур, входит составной частью в более общий класс задач динамики газовой среды вблизи поверхности с учетом твердой фазы, образуемой адсорбируемыми частицами (адатомами). Эти задачи представляют большой интерес в связи с современными исследованиями в области аэрокосмической и вакуумной техники, микроэлектроники, материаловедения и т.д.

Эта общая проблема имеет фундаментальный характер, который потребовал рассмотреть элементарные поверхностные процессы: адсорбцию, десорбцию, диффузию, химические реакции на поверхности, энергетическую релаксацию и т.д. [1,89,94,130]. Проведено описание в терминах моделей фазовых переходов в адсорбате, образования упорядоченных структур адсорбата, исследована их устойчивость и т.д.

В настоящей работе проведено развитие и обоснование методов постановки и решения задач моделирования динамики роста структур на поверхности твердого тела, образующихся в результате адсорбции частиц из газовой фазы. При этом использовались и развивались методы теории управляющих уравнений в приближении трехмерного решеточного газа. В рамках этих методов в работе построены уравнения для функций состояния системы адатомов (плотностей или распределений вероятностей) и для корреляционных функций с подходящими математическими свойствами, обеспечивающими существование, единственность и устойчивость по Ляпунову предельных плотностей или распределений вероятностей, и с учетом основных элементарных поверхностных процессов.

Методы используемые и развиваемые в данной работе позволили построить модели, которые имеют предельные квазистационарные и стационарные решения, согласуемые с термодинамическим описанием в силу флуктуационно-диссипативных соотношений, удовлетворяют теоремам Ляпунова об устойчивости, сохраняют условия нормировки. Поэтому модели можно эффективно применять для математических исследований сложных нелинейных процессов при межфазных взаимодействиях газовая среда-твердое тело методами теории стохастических процессов, статистической термодинамики и современной теории сложных систем.

В большинстве известных моделей динамики роста поверхностных структур используются по существу методы составных марковских процессов. Это затрудняет вывод флуктуационно-диссипативных соотношений.

В данной работе уравнения моделей выводятся в рамках единого марковского процесса, основой которого является моделирование взаимодействия частиц (адатомов). Методами теории управляющего уравнения выведены уравнения динамики роста структур, для которых флуктуационно-диссипативные соотношения получаются естественным образом. Уравнения модели имеют предельные стационарные распределения, существование, единственность и устойчивость которых легко доказываются. Обусловлено это согласованным использованием при построении моделей методов теории стохастических процессов и статистической термодинамики, в частности, использованием соотношения детального баланса или эквивалентных термодинамических соотношений. При этом достигаются две цели. Во-первых, появляется возможность систематическими и строгими методами получать аппроксимации переходных вероятностей в управляющих уравнениях. Обычно это считается одной из главных трудностей при использовании аппарата управляющих уравнений в задачах сплошных сред. Во-вторых, этот подход обеспечивает сравнение рассчитанных с помощью модели данных с экспериментальными с контролируемой точностью. Уравнения, полученные в представленной работе в рамках подходов, основанных на согласованном использовании методов теории стохастических процессов и статистической термодинамики, ранее практически не предлагались.

Математические исследования задач динамики роста структур на поверхности твердого тела в рамках моделирования единого марковского процесса и вывода соответствующих самосогласованных уравнений методами современной теории сложных систем имеют принципиальное значение. Помимо перечисленных качеств эти модели имеют структуру уравнений, удобную с точки зрения применения методов математической физики для их исследования и решения. В уравнениях моделей анзацы диффузии и адсорбции-десорбции обладают определенной симметрией, начально-краевые задачи для моделей допускают вариационные формулировки. Все эти свойства моделей являются в общем контексте таких задач новыми, их достижение составляло часть целей, поставленных при написании данной работы.

Одной из особеностей рассматриваемых моделей является возможность использования для анализа решений модельных уравнений некоторых эффективных методов современной теории сложных систем. В частности, принципиальная возможность использовать в качестве динамического инварианта изучаемых систем корреляционной и других обобщенных размерностей. Обусловлена такая возможность двумя обстоятельствами. Во-первых, для каждой модели доказано существование стационарной плотности вероятностей. Во-вторых, функциями состояния модельных систем являются одночастичные плотности вероятностей, что дает возможность использовать их в формулах обобщенных размерностей, с определенным уровнем точности.

К полезным свойствам построенных моделей, которое также является следствием развиваемых в работе подходов к моделированию сплошных сред на межфазных границах, является возможность выделения характерных масштабов и получения реалистичных скоростей процессов (например, времен перехода к стационарным состояниям, скоростей каталитических поверхностных реакций и т.д.).

Хорошо известно, что при использовании в моделях сплошных сред на межфазных границах уравнений для функций распределения вероятностей необходимо проводить полный анализ математической модели. Исследование только уравнений для средних значений, уравнений для дисперсий и других моментов или приближений типа уравнения Фоккера-Планка недостаточно. Развиваемые в работе методы и построенные модели дают возможность проводить изучение систем " газ+адсорбат+твердое Тело" и в полном объеме и по указанной ограниченной программе с контролируемой точностью. В рамках развиваемых подходов к моделированию можно проводить эффективный пересмотр ранее разработанных моделей, их модификацию, устанавливать логически обоснованные аналогии между моделями.

Развитые методы и построенные модели открывают новые возможности для детального анализа ранее разработанных моделей, их модификации, установления обоснованных с точки зрения статистической термодинамики аналогий между моделями.

Установление таких аналогий позволяет реально продвигаться по пути синтеза физических и математических знаний. Методами, развиваемыми в данной работе можно строить математические модели, соответствующие на уровне термодинамического описания физическим моделям роста структур на поверхности твердого тела.

К основным результатам, полученным в работе, можно отнести следующие.

Развиты универсальные методы построения математических моделей для описания образования и эволюции структур на поверхности твердого тела. Они основаны на теории стохастических процессов, статистической термодинамике, теории динамических систем, современной теории сложных систем, уравнениях математической физики. Универсальность методов обусловлена также тем, что при выводе моделей в качестве основных элементарных поверхностных процессов учитываются процессы адсорбции, десорбции и диффузии. Эти процессы, как показывает анализ теоретических и экспериментальных работ, присутствуют в большинстве задач динамики роста поверхностных структур.

Выведены математические модели динамики роста поверхностных моно-и многослойных структур, обобщающие и уточняющие основные известные модели. Отличие построенных моделей от предлагавшихся ранее заключается, в частности, в том, что для каждого варианта модели выделяются три уровня описания: дискретное в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полунепрерывное в виде системы уравнений в частных производных и непрерывное в виде одного уравнения в частных производных. В предлагаемых моделях, построенных в рамках теории приближения трехмерного решеточного газа, в отличие от альтернативной теории единого газоадсорбционного слоя, основанной на использовании уравнения Больцмана, для численного исследования моделей и расчетов целесообразно использовать дискретный вариант модели типа (1.2.19), а уравнения в частных производных применять для качественного анализа. С их помощью удобно устанавливать критерии фазовых переходов, различных режимов динамики роста структур и т.д. Полунепрерывный и непрерывный варианты описания полезны для сравнения построенных моделей с другими моделями, так как большинство известных моделей роста поверхностных структур сформулированы в виде систем уравнений в частных производных или в виде одного уравнения в частных производных. Дискретный вариант модели более удобен для расчетов применительно к реальным физическим системам и сравнения с экспериментальными данными.

Проведены достаточно полные в рамках сформулированных целей и задач работы математические исследования построенных моделей. Получены обоснования аппроксимаций переходных вероятностей в уравнениях моделей. При этом использовались известные теоретические представления и экспериментальные данные, а сами аппроксимации получались методами статистической термодинамики. Проведены доказательства теорем о существовании, единственности и устойчивости решений модельных уравнений. Получены критерии реализации различных режимов динамики роста структур. Проведены аналитические, с использованием методов уравнений математической физики, качественные, методами теории динамических систем, и численные, с применением стандартных алгоритмов и математических систем MAPLE и MathLab, исследования моделей для различных режимов и стадий роста структур. Установлены зависимости характеристических параметров структур от безразмерных управляющих параметров, которые выражены через физические параметры газовой фазы, адсорбата и поверхности твердого тела.

Построены математические модели каталитических поверхностных реакций, обобщающие и уточняющие известные феноменологические модели. В предлагаемых моделях установлены критерии протекания реакций по механизму Лэнгмюра-Хиншельвуда или Или-Ридила.

Получены достаточно полные с точки зрения постановки проблемы результаты качественных и численных исследовний построенных математических моделей. Среди них можно указать критерии возникновения самоорганизованных структур, фазовых переходов, оценки скоростей химических реакций, исследование режимов роста на различных стадиях эволюции структур.

Полученные результаты соответствуют целям и задачам работы, сформулированным во Введении, и в совокупности расширяют математическую базу для постановок, исследований и решений задач образования и эволюции структур на поверхности твердого тела, построения и исследования моделей динамики роста таких структур.

1. Алексеев Б.В. и Гришин A.M., 1985. Физическая газодинамика реагирующих сред.-М. Высш. шк. 1985. 464 С.

2. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. М.: Гидрометеоиздат., 1978.

3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

4. Белинцев Б.Н. Диссипативные структуры и проблема биолигического формообразования. //Успехи физических наук. 1983. Т. 141. Вып. 1. с. 55101.

5. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир, 1983.

6. Беленький В.З., 1989. К вычислению автокорреляционной функции случайного рельефа поверхностной пленки. //ДАН СССР. 1989.-Т. 306. N.4.C.831-835.

7. Биндер К., ред. 1982. Методы Монте-Карло в статистической физике. М.: Мир.-1982.

8. Бокштейн С.З., Кишкин С.Т., Мишин Ю.М., Разумовский И.М. Раздельное определение коэффициента поверхностной диффузии и диффузионной ширины границы зерен. //Поверхность. Физика, химия, механика. 1989. N.11. С.116-119.

9. Болыпов Л .А., Вещунов М.С. Диффузия и фазовые переходы в пленках на поверхности кристаллов. //ЖЭТФ. 1989. - Т.95.-В.6.-С.2039 - 2046.

10. Борисов С.Ф., Болохонов Н.Ф., Губанов В.А., 1988. Взаимодействие газов с поверхностью твердого тела. Наука. М. 1988.

11. Ван Кампен Н.Г. (van Kampen N.G.) Стохастические процессы в физике, химии и механике. -М.-Мир. 1990. 365 С.1. Typeset by Дд/^-ТеХ

12. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

13. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.

14. Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. Локализованные волны в неоднородных средах //Успехи физических наук. 1983. Т. 142. Вып. 1. с. 61 98.

15. Дубровский Г.В., Козачек В.В., 1994. Модель детальной кинетики роста тонких пленок.//Коллоидный журнал.-1994.- Т. 56.N3. С.356-369.

16. Дубровский Г.В., 1994. Модель трехмерного решеточного газа для описания кинетики многослойных адсорбатов. //Поверхность. Физика, химия, механика.-1994.- N3.C.29-39.

17. Дубровский Г.В., Козачек В.В., 1995. Микроскопическое описание кинетики роста тонких пленок//Журнал технической физики. 1995. - Т. 65. N4. С. 124-141.

18. Дубровский Г.В., Кузьменко А.В., Марков Ю.Г., 1995. О приближении трехмерного решеточного газа для многослойной адсорбции //Теоретическая и математическая физика. 1995. Т.105. N.1. с.130 - 148

19. Дункен X., Лыгин В., 1980. Квантовая химия адсорбции на поверхности твердых тел. М.: Мир.-1980.

20. Жданов В.П., Замараев К.И. Модель решеточного газа для описания хемосорбции на поверхности металлов. УФН. 1986. - Т. 149. - N. 4. С. 635 - 670.

21. Жданов В.П. О подходе Крамерса для описания движения хемосорби-рованных частиц. //Поверхность. Физика, химия, механика. 1986. N. 4. С.32.37.

22. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. Новосибирск: Наука. 1988.

23. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988.

24. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984.

25. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркации. М.: Мир, 1983.

26. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. М.: Мир, 1985.

27. Кац М.(Кас М.), 1978. Математические механизмы фазовых переходов.//В кн.: Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М.,Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М. Мир. 1973.С.164-244.

28. Колебания и бегущие волны в химических системах.

29. Под ред. Р.Филда, М.Бургер. М.: Мир, 1988.

30. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., 1937. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме.//Бюлл. МГУ. Серия А.-1937.-N.6.С.1-26.

31. Коропов А.В., Сагалович В.В. Диффузионный рост островковых пленок в среде инертного газа. //Поверхность. Физика, химия, механика. 1989. No. 5. С. 55 - 63.

32. Крокстон К., 1978. Физика жидкого состояния. М.: Мир.-1978.

33. Кудрявцев И.К. Химические нестабильности. М.: Изд-во МГУ, 1987.

34. Кукушкин С.А., 1988. Кинетика коалесценции островковых пленок на реальной поверхности кристалла при наличии источников напыляемых атомов. //Поверхность. Физика, химия, механика.-!988. N.9.C.53-57.

35. Кукушкин С.А., Слезов В.В., 1988. К теории роста островковых пленок из бинарных расплавов и паровой фазы в неизотермических условиях. //Поверхность. Физика, химия, механика.-1988.-1Ч.4.С. 16-23.

36. Кукушкин С.А., Осипов А.В. Теория зарождения новой фазы на поверхности твердых тел в неизотермических условиях.// ФТТ. 1993. - Т. 35. - No. 6. С. 1492 - 1496.

37. Кукушкин С.А., Осипов А.В. Микроскопическая теория эпитаксиаль-ного роста. I. Зарождение гетероэпитаксиальных пленок на вицинальных поверхностях. // ФТТ. 1993. - Т. 35. - No. 6. С. 1492 - 1496.

38. Кукушкин С.А., Осипов А.В. Микроскопическая теория эпитаксиаль-ного роста. II. Нелинейные волны и образование сплошных структур. // ФТТ. 1993. - Т. 35. - No. 6. С. 1492 - 1496.

39. Кукушкин С.А., Слезов В.В. Дисперсные системы на поверхности твердых тел. М., Наука. 1996. 304 С.

40. Лебедев Н.Н., 1963. Специальные функции и их приложения. М. Гос. изд. физ.-мат. литературы. 1963. 358 С.

41. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

42. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

43. Марков Ю.Г., 1988. Распространение возмущений в газах с внутренними процессами//В сб.: Межвуз. сб. научных трудов "Дифференциальныеуравнения с частными производными" 1988, JL, ЛГПИ, с. 81-85.

44. Марков Ю.Г., 1988. Образование бегущих волн в газах с релаксацией/ /В сб.: Тезисы докладов Второй Всесоюзн. Конф. "Физика и газодинамика ударных волн". -1988.-Черноголовка.С.103.

45. Марков Ю.Г., 1989. Распространение возмущений в газах с релаксацией/ /В сб.: Тезисы докладов X Всесоюзн. Конф. по Динамике разреженных газов.-1989.-М.С.190-191.

46. Марков Ю.Г., 1989. Распространение возмущений в газах с релаксацией/ /В сб.: Школа семинар АЗАУ - 89, Тезисы докладов, Черноголовка, 1989, с. 101-102.

47. Марков Ю.Г., 1991. Термодинамическое описание состояния реальной поверхности. //В сб.: Тезисы докладов XI Всесоюзн. Конф. по Динамике разреженных газов.-1991.-Л.С.99.

48. Дубровский Г.В., Бауман Д.В., Дубровский В.Г.,Козачек В.В., Мареев В.В., Марков Ю.Г. "Детальная кинетика многослойной адсорбции". СПб, 1998. 90 с.

49. Кануников И.Е., Антонова Е.В., Белов Д.Р., Марков Ю.Г. "Применение теории динамического хаоса для анализа электроэнцефалограмм". Вестник СПбГУ. Сер.З. 1998. Вып.1. (N3). с. 55 61.

50. Марков Ю.Г. "О роли диффузии и латеральных взаимодействий адатомов в каталитических реакциях". Вестник СПбГУ. Сер.4. 1997. Bbin.3.(N 18). с. 80 84.

51. Марков Ю.Г., Осмоловский В.Г. "О существовании решений краевой задачи для модели каталитических реакций". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1998. Вып.1.(N 1). с. 23 28.

52. Марков Ю.Г. "Модель роста тонкой пленки на поверхности твердого тела с дефектами". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1998. Bbin.2.(N 8). с. 50 54.

53. Марков Ю.Г. "Модель эволюции многослойного адсорбата: динамическая система триггерного типа". Вестник СПбГУ. Сер.1. 1999. Bbin.2.(N 8). с. 35 41.

54. Марков Ю.Г. "Модельное уравнение роста фасеточной тонкой пленки на поверхности твердого тела". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.3.(N 17). с. 33 39.

55. Марков Ю.Г. "Эвристические подходы в моделировании наноструктур". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.2.(N 9). с. 49 56.

56. Марков Ю.Г. "Модель роста наноструктур: металл на металле". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.3.(N 17). с. 37 41.

57. Марков Ю.Г. "Эвристические подходы в моделировании сложных систем". Изд-во. СПбГУ. 2003. 150 е.

58. Марков Ю.Г. "Информационные поля: моделирование данных в теории сложных систем". Вестник СПбГУ. Сер.1. 2001. Bbin.2.(N 9). с. 34 47.

59. Марков Ю.Г., Киселев Б.В. "Красота фракталов: какова ее цена?" Вестник СПбГУ. Сер.1. 2003. Bbin.2.(N 9). с. 49 56.

60. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир, 1982.

61. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

62. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

63. Неймарк Ю.И. Методы точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

64. Николис Г. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989.

65. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

66. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. М.: Мир, 1990.

67. Осипов А.В., 1989. Распределение зародышей по размерам и кинетика пересыщения. //Поверхность. Физика, химия, механика. 1989. N.11. С.116-119.

68. Осипов А.В. Коалесценция кластеров в тонких пленках. //Металлофизика. 1990. - Т. 12. N.4. С. 44 - 48.

69. Полак JI.C., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико химических системах. М.: Наука, 1983.

70. Полежаев А.А. Об условиях существования контрастных диссипатив-ных структур пичкового типа // Биофизика. 1984. Т. 29. 3. с. 465 469.

71. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.

72. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

73. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., 1987. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., Наука, 1987, 477 С.

74. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

75. Скрипов В.П., Скрипов А.В. Спинодальный распад (фазовый переход с участием неустойчивых состояний). //УФН. 1979. - Т. 128. в. 2. С. 193 -231.

76. Стерхов В.А., Журавин А.И. О модели поверхностной диффузии в многослойных пленочных структурах. //Поверхность. Физика, химия, механика.- 1987. N. 12. С. 132-134.

77. Стратонович P.J1. Корреляторы процессов в простейших системах со странными аттракторами //ДАН СССР. 1982. Т. 267. N. 2. с.355-359.

78. Тарасенко А.А., Чумак А.А. Диффузия адатомов по плоской треугольной решетке. //Поверхность. Физика, химия, механика. 1991. - Т.З. - С. 37- 44.

79. Трофимов В.И., 1989. Теоретическая модель автокорреляционной функции ростовой поверхности пленки. //Поверхность. Физика, химия, механика.- 1989. N.12. С.15 21.

80. Трофимов В.И., Осадчий В.А. Количественное описание микрорельефа ростовой поверхности пленкию //Вопросы атомной науки и техники. Серия ядерно-физических исследований. (Теория и эксперимент). 1990. - No.2. С. 50 - 53. (Москва).

81. Хакен Г. (Haken G.). Синергетика. М.: Мир, 1980.

82. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

83. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.

84. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. Теория и применение в физике, химии и биологии. М.: Мир, 1987.

85. Филипппов Б.В. Кинетическое уравнение адсорбционного слоя. //ДАН СССР. 1963. - Т. 150. No. 2. С. 290-292.

86. Филиппов Б.В. Неравновесные процессы в механике неоднородных сред. // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 3(No.l5). С. 45-55.

87. Флад Э., ред. 1970. Межфазная граница газ-твердое тело. М.: Мир.-1970.

88. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

89. Abarbanel H.D.I., Brown R., Sidorovich J.J.

90. The analysis of observed chaotic data in physical systems //Reviews of Modern Physics. 1993. -Vol. 65. No. 4. - P. 1331 - 1392.

91. Abarbanel H.D.J., Kennel M.B. Local false nearest neighboprs and dynamical dimensions from observed chaotic data //Physical review E. 1993. Vol. 47. N. 5. P. 3057 3068.

92. Adams J.E., Doll J.D., 1981. Desorption from solid surfaces via generalized Slater theory.//Journal of Chemical Physics. 1981. - V. 74. N. 2. P. 1467 - 1471.

93. Adamson A.W., 1982. Physical Chemistry of Surfaces, 4th ed. Willey, Ney York.- 1982.-P.521.

94. Adelman S.A., Garrison B.J., 1976. Generalized Langevin theory for gas -solid processes: Dynamical solid mo dels.//Journal of Chemical Physics. 1976. -V. 65. N. 9. P. 3751 - 3761.

95. Albano A.M., Mees A.I., de Guzman G.C., Rapp P.E. Data requirements for reliable estimation of correlation dimension //Chaos in Biological Systems. /Eds. Degn H., Holden A.V., Olsen L.F. NATO ASI Series. Series A. 1986. Vol. 138. P. 207 220.

96. Albano A.M., Muench J., Schwartz C. Singular value decomposition and Grassberger - Procaccia algorithm //Physical Review A. 1988. Vol.38. N.6. P. 3017 - 3026.

97. Albano E.V., Binder K., Heermann D.W., Paul W. Adsorption on stepped syrfaces: a Monte Carlo simulation. //Surf. Sci. 1989. - Vol. 223. - Nos. 1/2. P. 151 - 178.

98. Alikakos N.D., Fusco G. Slow dynamics for the Cahn Hilliard equation in higher space dimensions. Part I: Spectral estimates. //Communications in Partial Differential Equations. - 1994. Vol. 19. Nos. 9/10. P. 1397-1448.

99. Amer J.C., Familu F. Phase transition in restricted solid-on-solid surfacegrowth model in 2+1 dimensions. //Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. No. 5. P. 543 546.

100. Akutsu Y., Akutsu N. Interface tension, equilibrium crystal shape, and imaginary zeros of partition function: planar Ising systems. //Phys. Rev. Lett.1990. Vol. 64. No. 11. P. 1189 1192.

101. Aquilera Grania F., Moran - Lopez J.L. Specific heat and the phase diagram of the Ising square lattice with nearest- and next - nearest interactions. //J. Phys.: Condens. Matter. - 1993. - Vol. 5. Suppl. No. ЗЗА. P. A195-A196.

102. Arabczyk W., Militzer M., Mussig H.-J., Wieting J. Contribution of pipe diffusion to surface segregation kinetics. //Surf. Sci. 1988. - Vol. 198. - Nos. 1/2. P. 167 - 179.

103. Asada H., 1986. Cell theory of surface diffusion//Surface Science. 1986.-V. 166. N.2/3.P.271-282.

104. Asada H., 1990. Multilayer lattice gas model in quasichemical approximation. //Surface Science.-1990.-V. 230. N.l-3. P.323-328.

105. Asada H., Sekuito H. Multilayer lattice gas model with a restriction on the atomis stacking. //Surf. Sci. 1991. - Vol. 258. - Nos. 1-2. P. L697 - L678.

106. H.Asada, H.Secuto, 1992. Desorption from multilayers. //Surf. Sci.1991.-V. 273.N.1/2.P.139-146.

107. Atkinson A. Grain boundary diffusion: an historical perspective. //J. Chem. Soc. Faraday Transactions. 1990. Vol. 86. - No. 8. P. 1307 - 1310.

108. Aumann C.E., Kariotis R., Lagally M.G. Rate equations modelling of interface width. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. - Vol. 7. No. 3. Pt. II. P. 2180 - 2185.

109. Babloyantz A. Chaotic dynamics in brain activity// Chaos in brain function. 1990. Berlin, Heidelberg. P. 42 47.

110. Bai F., Elliottt C.M., Gardiner A., Spence A., Stuart A.M. The viscous Cahn-Hilliard equation. Part I: computations. //Nonlinearity. 1995. Vol. 8.1. No. 2. P. 131-160.

111. Baker J., Girard C.J., Sholl C.A. The time dependence of an atom-vacancy encounter due to the vacancy mechanism of diffusion. //Philos. Magasin A. 1996. Vol. 74. No. 2. P. 543 - 552.

112. Bales G.S., Zangwill A. Morphological instability of a terrace edge during step-flow growth. //Phys. Rev. B. 1990-II. Vol. 41. No. 9. P. 5500 5508.

113. Bales G.S., Zangwill A. Macroscopic for columnar growth of amorphous films by sputter deposition. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. - Vol. 9. No. 1. P. 145 - 149.

114. Barker J.A., Auerbach D.J. Gas surface interactions and dynamics: thermal energy atomic and molecular beam studies. //Surface Science Reports. -1985. - V. 4. N. 1/2. P. 1 - 99.

115. Bartelt M.C., Evans J.W. Dendric island in metal on - metal epitaxy. II. Coalescense and multilayer growth. //Surface science. - 1994. - Vol. 314. Nos. 1. P. L835 - L842.

116. Bartelt M.C., Evans J.W. Initial evolution of Kashchiev models of thin-film growth. //J. Phys. A: Math. Gen. 1996. Vol. 26. P.2743 2754.

117. Broomhead D.S., King G.P. Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D. 1986. Vol. 20. N. 2. P. 217 -236.

118. Beniere F. Tracer diffusion techniques. //J. Chem. Soc. Faraday Transactions. 1990. Vol. 86. - No. 8. P. 1151 - 1156.

119. Benjamin T.B. Solitary and periodic waves of a new kind. //Philosophical Transactions. Mathem., Physical and Engineering Sciences. 1996. - Vol. 354. P. 1775 - 1806.

120. Bernoff A.J., Lichter S. Continuum model of thin film deposition and growth//Phys. Rev. В. 1989-11. Vol. 39. - No. 5. P. 10560 - 10569.

121. Bilallegovic G., Ercolessi F., Tosatti E. High temperature surface faceting. //Surf. Sci. 1991. - Vol. 258. - Nos. 1-2. P. L676 - L678.

122. Binder К., 1981. Kinetics of phase separation//In: Stochastic nonlinear systems in physics, chemistry and biology. Eds. L. Arnold, R. Lefever. Springer-Verlag. Berlin, New York, Heidelberg. 1981. P. 62-71.

123. Binder K., Landau D.P. Square lattice gases with two- and three-body interactions: a model for the adsorption hydrogen on Pd(100). //Surf. Sci. -1981. Vol. 108. - No. 3. P. 503 - 525.

124. Binder K. Kinetics of phase separation//In: Stochastic nonlinear systems in physics, chemistry and biology. Eds. L. Arnold, R. Lefever. Springer-Verlag. Berlin, New York, Heidelberg. 1981. P. 62-71.

125. Binder K. Nucleation barriers, spinodals and the Ginzburg criterion. //Phys. Rev. A. 1984. vol. 29. No. 1. P. 341-349.

126. K.Binder, 1985. //In: Condensed Matter Reseach Using Neutrons, Pt.l edited by Lovesey S.W. and Scherm S. New York, Plenum.-1985.

127. Binder K., Landau D.P. Monte Carlo calculations on phase transitions in adsorbed layers. // Advances in Chemical Physics. 1989. - Vol. 76. P. 91 - 152.

128. Binder K., Puri S. Surface effects on kinetics of ordening. //Zeitschrift fur Physik B. 1992. Vol. 86. No. 2. P. 263-272.

129. Bogdanov A.V., Dubrovskiy G.V., Krutikov M.P., Kulginov D.V., Strel-chenya V.M., 1994. Interaction of Gases with Surfaces. Detailed Description of Elementary Processes and Kinetics, Springer-Verlag, Heidelberg, 1995.

130. Borup R.L., Sauer D.E., Stuve E.M. Electrochemical and vacuum coad-sorption of carbon monoxide and lead on Pt(111). //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 1886 - 1890.

131. Bowker M., King D.A. Adsorbate diffusion on single crystal surfaces. I. The influence of lateral interactions. //Surface science. 1978. - Vol. 71. No. 3. P. 583 - 598.

132. Brault P., de Almeida J. Palladium island growth on Ni(lll). Stochastic classical trajectory-ghost atom calculations. //Surface science. 1996. - Vol. 360.1. Nos. 1-3. P. 43 49.

133. Bruinsma R., Aeppli G. Interface motion and nonequilibrium properties of the random field Ising model. //Physical Review Letters. - 1984. - V. 52. N. 17. P. 1547 - 1550.

134. Bowker M., King D.A. Adsorbate diffusion on single crystal surfaces. I. The influence of lateral interactions. //Surface science. 1978. - Vol. 71. No. 3. P. 583 - 598.

135. Brunauer S., Emmett P.H., Teller E.J., 1938.// Journal of American Chemical Society. 1938. - V. 60. N. 2. P. 309 - 318.

136. Cabane J., Cabane F. Equilibrium segregation in interfaces. //Diffusion and Defect Data. Solid State Data. Pt. B. 1991. Vol. 15/16. P. 1-160

137. Cahn J.W., Hilliard J.E., 1958. Free nergy of a nonlinear system. I. Interfacial free energy //J. Chem. Phys. 1958. - V. 28. N.2. P. 258-267.

138. Cahn J.W., Hilliard J.E., 1959. Free nergy of a nonlinear system. III. Nucleation in a two-component incompressible flow //J. Chem. Phys. 1959. -V. 31. N.3. P. 688-699.

139. Cale T.S., Gandy Т.Н., Raupp G.B. A fundamental feature scale model for low pressure deposition process. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. -Vol. 9. No. 3. P. 524 - 529.

140. Campbell C.T., Ludviksson A. Model for the growth and reactivity of metal films on oxide surfaces: Си on ZnO. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. -1994. Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 1825 - 1831.

141. A.Cassuto, 1988. On the validity of the desorption-rate version of the Langmuir isotherm proposed by K. Nagai.//Surface Science. 1988. - V. 203. N. 1/2. P. L656 - L658.

142. Cercignani C., 1975. Theory and application of the Boltzmann equation. (Scottish Academic Press, Edinburg and London, 1975).

143. Chen C., Tsong T.T., 1990. Structure transformation of Ir clusters on Irsurfaces. //Applied Physics A. Solid and Surfaces.-1990.-V.51. N.5. P.405-410.

144. Cheng E., Cole M.W., Stella A.L. A model calculation of multilayer adsorption on a fractal surface. //Europhys. Lett. 1989. -Vol. 8. No. 6. -P. 537 - 542.

145. Choj Z., Conrad H., Chab V., Andreicek M., Bradshaw A.M., 1995. A model description of surface diffusion in the presence of two non-equivalent lattice sites //Surf. Sci. 1995. V. 329. N.l/2. P.121-134.

146. Chopra K.L. My experiments with thin films the nanostate of matter. //Bulletin of Material Science. - 1995. - Vol. 18. No. 6. P. 639-668.

147. Clarke S., Vvedensky D.D. Influence of surface morphology upon recovery kinetics during interrupted epitaxial growth.//J. Crystal Growth. 1989. - Vol. 95. Nos. 1-4. P. 28 - 31.

148. Compte A., Jou D. Non-quilibrium thermodynamics and anomalous diffusion. //J. Physics A: Mathem. and General. 1996. - Vol. 29. - No. 15. P. 4321 - 4329.

149. Conrad E.H. Surface roughening, melting, and faceting. //Progress in Surface Science. 1992. Vol. 39. No. 1. P. 65-116.

150. Cox S.M., Roberts A.J. Initial conditions for models of dynamical systems //Physica D. 1995. Vol. 85. N. 1/2. P. 126 141.

151. Curado E.M.F., Tsallis C. Generalized statistical mechanics:connection with thermodynamics. //J. Phys. A: Math. Gen. 1991. - Vol. 24. - No. 2. P. L69 - L72.

152. Czarniecki J., Jaroniec M. Studies of adsorption kinetiks by means of stochastic numerical simulation. //Surface Science Reports. 1983. - Vol. 3. No. 6. P. 301 - 354.

153. Daniel J.A., Thomas G.F. Dynamics of patterned laser-induced chemical vapor deposition. //J. Appl. Phys. 1987. - Vol. 61. - No. 6. P. 3253 - 2357.

154. Das Sarma S. Numerical studies of epitaxial kinetics: What can computersimulation tell us about nonequilibrium crystal growth? //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1990. - Vol. 8. No. 3. Pt.II. P. 2714 - 2726.

155. Das Sarma S., Lai Z.-W. Kinetic growth with surface relaxation: continuum versus atomistic models //Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. No. 18. P. 2348 2351.

156. Das Sarma S. Molecular-beam epitaxial growth as a self-organized critical phenomena. //J. Vacuum Sci. and Technol. B. 1992. - Vol. 10. - No.4. P. 1695-1703.

157. Das Sarma S., Lai Z.-W. Kinetic growth with surface relaxation: continuum versus atomistic models //Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. No. 18. P. 2348 -2351.

158. Das Sarma S., Ghaisas S.V. Solid-on-solid rules and models for nonequilibrium growth in 2+1 dimensions //Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. No. 26. P. 3762 3765.

159. Das Sarma S., Tamborenea P.I. Surface-diffusion-driven kinetic growth on one dimensional substrates. //Phys. Rev. E.- 1993. Vol. 48. No. 4. P. 2575 -2594.

160. Dash J.G. Effects of substrate heterogeneity on the growth of physisorbed films. //J. Cryst. Growth. 1990. - Vol. 100. Nos. 1/2. P. 268 - 270.

161. Datar A.S., Prasad S.D. Adsorbate clastering and surface rates above Tc: a modified mean-field aproach. //Chem. Physics Lett. 1991. -Vol. 181. No. 5. P. 445 - 449.

162. Datar A.S., Prasad S.D. A diffusion-reaction problem with adsorbate interactions. //J. Chem. Physics. 1992. -Vol. 96. No. 3. P. 2387 - 2389.

163. Datar A., Prassad S.D. Role of adsorbate interactions in surface dynamics and phase transformations: mean-field and quasichemical approximation approaches. //J. of Chemical Physics. 1994. -Vol. 100. No. 2. - P. 1742 - 1755.

164. De Oliveira M.I., Griffits R.R. Lattice gas model of multiple layer adsorption. //Surface Science. 1978. - V. 71. N. 3. P. 687 - 694.

165. De Pristo A.E., Sanders D.E. A non-unique relationship between potential energy surface barrier and dynamical diffusion barrier: fcc(lll) metal surface. //Surface science. 1992. - Vol. 264. Nos. 1/2. P. L169 - L176.

166. De Pristo A.E., Raeker T.J. The definition and calculation of interfacial energies for thin films. //Surface science. 1994. - Vol. 310. Nos. 1-3. P. 337 -346.

167. Dickman R., Wang J.-Ch., Jensen I. Random sequencial adsorption: series and virial expansions. //J. of Chemical Physics. 1991. -Vol. 84. No. 12. - P. 8252 - 8257.

168. Ding M., Ott E. Enhancing synchronism of chaotic systems //Physical Review E. 1994. Vol. 49. N.2. P. R945 R948.

169. Doll J.D., Dion D.R., 1976. Generalized Langevin equation approach for atom/solid surface scattering: Numerical techniques for Gaussian generalized Langevin dynamics. //J. Chemical Physics. - 1976. - V. 65. N. 9. P. 3762 - 3766.

170. Dosho S., Takemura Y., Konagai M., Takahashi K., 1989. Atomic layer epitaxy of ZnSe-ZnTe strained layer superlattices//J. Crystal Growth. 1989.-V.95. N.l-4. P.580-583.

171. Dvorak I., Klaschka J. Modification of Grassberger Procaccia algorithm for estimating the correlation exponent of chaotic systems with high embedding dimension //Physical Letters A. 1990. Vol. 145. N.2. P. 225 - 231.

172. Dubrovskiy G.V., Kulginov D.V., Fedotov V.A., 1994. Analytic approximation of kinetic boundary conditions (KBC). //In: Book of Abstracts XIX Int.Symp. on Raref.Gas Dyn., Oxford, England.-1994.P.134.

173. Dubrovskiy G.V., Kozachek V.V., Markoff Yu.G., 1994. Nomlinear thin film growth dynamics within a lattice gas model. //In: Book of Abstracts of 2nd European Fluid Mechanics Conf.- Krakow.- 1994.P. 181.

174. Dubrovskiy G.V., Kozachek V.V., Markoff Yu.G., 1994. Adsorption kinetics of gas-surface interactions.//In: Proceedings of XIX Int.Symp. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, England-1994, P. 1040 1050.

175. Dubrovskiy G.V., Kozachek V.V., Markoff Yu.G., 1995. Nonlinear kinetics of growth of adsorbed phase.//In: Book of Abstracts of International Conference "Synergetics-95", July 1995, Saint-Petersburg.

176. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors //Reviews of Modern Physics. 1985. Vol.57. N.3. Pt.l. P. 617 656.

177. Ehrlich G., Watanabe F. Surface diffusivities from concentration profiles. //Surface science. 1993. - Vol. 295. Nos. 1/2. P. 183 - 196.

178. Ehrlich G. Diffusion of individual adatoms. //Surface science. 1994. -Vol. 299/300. P. 628 - 642.

179. Ernst H.-J., Fabre F., Folkerts R., Lapujoulade J. Kinetic of growth of Си on Cu(001). //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.PUI. P. 1809 - 1817.

180. Ertl G., Eiswirth M., Krischer K. Transition to chaos in an oscillating surface reaction. //Surface science. 1988. - Vol. 202. No. 3. P. 565 - 591.

181. Esipov S.E., Newman T.J. New formulation of restricted growth process. //J. Stat. Phys. 1993. - Vol. 70. - No. 3/4. P. 691 - 702.

182. Estrup P.J., Greene E.F., Cardillo M.J., Tully J.C. Lattice gas model of chemisorption. //J. Physical Chemistry. - 1986. - V. 83. N. 8. P. 4099 - 5010.

183. Evans J.W., Kang H.C. Analytical observations for the d=l+l bridge site (or single step) deposition model//J. Mathematical Physics-1991.- V. 32. N.10. P. 2918-2922

184. Evans J.W. Random and cooperative sequential adsorption. //Reviews ofmodern physics. 1993. - Vol. 65. No. 4. - P. 1281 - 1325.

185. Evans J.W., Derrida B. Exact correlation functions in an asymmetric exclusion model with open boundaries. //J. de Physique I, France. 1993. - Vol. 3. - No. 2. P. 311 - 322.

186. Evans J.W., Bartelt M.C. Nucleation and growth in metal-on-metal homo-epitaxy: rate equations, simulations and experiment. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 1800 - 1808.

187. Evans J.W., Bartelt M.C. Kinetics of restricted solid on - solid models of film growth. //Phys. rev. E. - 1994. - Vol. 49. No. 2. P. 1061 - 1069.

188. Estrup P.J., Greene E.F., Cardillo M.J., Tully J.C., 1986. Lattice gas model of chemisorption. //J. Physical Chemistry. - 1986. - V. 83. N. 8. P. 4099 -5010.

189. Evans J.W., 1993. Random and cooperative sequential adsorption //Rev. of Mod. Phys.-1993.-V. 65. N.4. P.1281-1329.

190. Evans J.W., Kang H.C., 1991. Analytical observations for the d=l+l bridge site (or single step) deposition model //J. Mathematical Physics.-1991.-V. 32. N.10. P. 2918-2922

191. Family F., 1990. Dynamic scaling and phase transitions in interface growth//Physica A.-1990.-V. 168. N.l. P.561-580.

192. J. D. Farmer, J. Sidorowich. Predicting Chaotic Time Series //Physical Review Letters. 1987. Vol. 59. N.8. P. 845 848.

193. Fashinger W., Sitter H., 1990. Atomic-layer-epitaxy of (100) CdTe on GaAs substrates//J. of Crystal Growth.-1990.-V. 99. Pt.l. P.566-571.

194. Fibelman P.J., 1989. Theory of adsorbed interactions //Annual Review of Physical Chemistry.-1989.-V. 40. P.261-290.

195. Feibelman P.J. Diffusion barrier for a Ag adatom on Pt{111). //Surface science. 1994. - Vol. 313. Nos. 1/23. P. L801 - L805.

196. Ferrando R., Spadacini R., Tommei G.E. Theory of diffusion in periodic systems: the diffusion coefficient. //Surface science. 1992. - Vol. 265. Nos. 1-3. P. 273 - 282.

197. Ferrando R., Spadacini R., Tommei G.E. Kramers problem in periodic potentials: jump rates and jump lengths //Phys. Rev. E.- 1993. Vol. 48. No. 4. P. 2437 2451.

198. Ferrando R., Spadacini R., Tommei G.E. Correlation function in surface diffusion: the multiple-jump regime. //Surface science. 1994. - Vol. 311. No. 3. P. 411 - 421.

199. Fife P.C., 1979. Mathematical Aspects of Reacting and Diffusing Systems. //Lecture Notes in Biomath., V.28 1979, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

200. Fisher R.A., 1937. The wave of advance of advantageous genes. //Ann. Eugenics.-1937.-N.7.P.355-369.

201. Fong M.C., 1991. Surface adsorption-migration kinetics.//Journal of Vacuum Science and Technology. A.-1991.-V. 9. N.2. P.207-211.

202. Forrest B.M., Tang L.-H. Surface roughening in a hypercube stacking model. //Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. No. 5. P. 543 - 546.

203. Fox R.F., Keizer J. Aplification of intrinsic fluctuations by chaotic dynamics in physical systems. //Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. No. 4. P. 1709 -1720.

204. Fox R.F., Keizer J. Efffect of molecular fluctuations on the description of chaos by macrovariable equations.//Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. No. 3. P. 249 - 251.

205. Fox R.F., Keizer J. Interpretation of time series from nonlinear systems. //Physica D. 1992. - Vol. 58. - No. 1-4.

206. Fowler R.H., Guggenheim E.A., 1952. Statistical Thermodynamics Cambridge University Press, Cambridge, 1952.

207. Fraser A.M. Reconstracting attractor from scalar time series: a comparison of singular system and redundancy criteria //Physica D. 1989. Vol.34. N.3. P.391- 404.

208. Friedman A., 1964. Partial DifFferential Equations of Parabolic Type. New York: Prentice-Hall,Engewood Cliffs.

209. Freeman D.L., Doll J.D. Langevin analysis of the diffusion model for surface chemical reactions. //J. Chem. Physics. 1983. Vol. 79. No. 5. P. 2343-2350.

210. Freeman D.L., Doll J.D. The influence of diffusion of adsorbed particles into the solid on thermal desorption spectra. //Surface Science. 1987. Vol. 179. No. 1. P. L57-L62.

211. Freund L.B., Gosling T.J. Critical thickness condition for growth of strained quantum wires in substrate V grooves. //Appl. Phys. Lett. - 1995. Vol. 66. No. 21. P. 2822-2824.

212. Frey E., Tauber U.C. Two-loop renormalization group analysis of the Burgers Kardar - Parisi - Zhang equation. //Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. No. 2-A. P. 1024 - 1045.

213. Gates D.J., Westcott M. On stability of crystal growth. //J. Stat. Physics.- 1990.- Vol. 59. No. 1/2. P.73 101.

214. Gavrilenko G.M., Gardenas R., Fedyanin V.K. On the coverage dependence of chemisorption characteristics on metals. //Surface science. 1989. - Vol. 217. No. 3. P. 468 - 488.

215. Genkin V.M., Fraerman A.A., 1988. The dynamics of a rough surface during film growth. //J. of Crystal Growth.-1988. V.89. N. 2/3. P.357 - 360.

216. Ghaisas S.V., Madhucar A. Kinetics aspects of growth front surface morpholoogy and defect formation during MBE growth of strained thin films. //J. Vacuum Sci. and Technol. B. 1989. - Vol. 7. No. 2. P. 264 - 268.

217. Gibson L.F., Farmer J.D., Casdagli M., Eubank S. An analytical approachto practical state-space reconstruction //Physica D. 1992. Vol.57. N.l. P.l 30.

218. Glauber R.J., 1963. Time dependent statistics of Ising model//J. of Mathematical Physics.-1963.-V.4 N.2. P.294-307.

219. Godreche C., edr. Solids far from equilibrium: growth, morphology and defects. 1990. Cambridge University Press.

220. Golubovic L., Karunarisi R., 1991. Spinodal decomposition of the interface in nonlinear Edwards-Wilkinson model//Phys. Rev. Lett. 1991. = V.66 N.24. P.3156-3159.

221. Gomer R., Diffusion of adsorbates on metal surfaces//Reports on Progress in Physics.-1990.-V. 53. N.7. P.917-1002.

222. Gomer R., Uebung C. Monte Carlo Study of diffusion on stepped surfaces. I. Step atraction or repulsion only. //Surface science. 1994. - Vol. 306. No. 3. P. 419 - 426.

223. Gomer R. Monte Carlo Study of diffusion on stepped surfaces. I. Step atraction and adsorbate adsorbate repulsion. //Surface science. - 1994. - Vol. 306. No. 3. P. 427 - 433.

224. Grossman В., Guo H., Grant M. Kinetic roughening of interfaces in driven systems.//Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - No. 4. P.1727 - 1743.

225. Grunstein G-, Lee D.-H. Generic scale invariance and roughening in noisy model sandpiles and other driven interfaces //Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. No. 2 . P. 177 180.

226. Gukier R.J. The effect of surface diffusion on surface reaction rates. //J. Chem. Physics. 1983. Vol. 79. No. 5. P. 2430-2436.

227. Guo H., Grossman В., Grant M. Kinetic of interface growth on driven systems. //Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. No. 11. P. 1262 - 1265.

228. Gutler C.D. A Review of the Theory and Estimation of Fractal Dimension // Dimension Estimation and Chaos / Ed. H.Tong. 1993. Singapore World Scientific. P. 1-107.

229. H.Haken. Synergetics. An Introduction. Berlin. 1983.

230. Hang C., Brenig W. Statistical models for sticking and desorption: a time-scale analysis. //Surface science. 1992. - Vol. 262. Nos. 1/2. P. 271 - 285.

231. Hellen E.K.O., Szelestey P., Alava M.J. Multilayer cooperative sequential adsorption. //J.Stat. Phys. 2000. Vol. 98. Nos.1/2. P.265 280.

232. Henry D., 1981. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations.1.ctures Notes in Mathematics. V. 840. Berlin- N.Y.: Springer-Verlag, 1981.-348 P.

233. Hentschel H.G.E., Procaccia I. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors //Physica D. 1983. Vol. 8. N. 3. P. 435 -444.

234. Henzler M. Defects at surfaces. //In: Dynamical Phenomena at Surfaces, Interfaces and Superlattices. Eds. Nizzoli F., Rieder K.-H., Wills R.F., Springer Series in Surface Sciences. 1985. Vol. 3. P. 14 34.

235. Herman G.S., Peden C.H.F. Growth of thin Ti films on W(1110) and OfW( 110). //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 2087 - 2090.

236. Hilfer R. Classification theory for unequilibrium phase transitions. //Phys. Rev. E. 1993. -Vol. 48. No. 4. P. 2466 - 2475.

237. Hirsch M.W. Systems of differential equations which are competitive or cooperative. I: Limit sets. //SIAM J. on Math. Analysis. 1982. Vol. 13. No. 2. P. 167-179.

238. Hirsch M.W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems. //Journal fur Reine und Angewandte Mathematik. 1988. - B. 383. P. 1-53.

239. Hirsch M.W. Systems of differential equations that are competetive or cooperative. II: convergence almost everywhere //SIAM J. Math. Anal. 1985. -V. 16. N.3. P. 423-439.

240. Honig J.M., Kleiner W.H., 1964. Adaptation of lattice liquid model to gas adsorption phenomena. //Surface Science. 1964. У. 1. N. 1. P. 71 - 87.

241. Howard M. Fluctuation kinetics in a multispecies reaction-diffusion system. //J. Physics A: Mathem. and General. 1996. - Vol. 29. - No. 13. P. 3437 -3460.

242. Ibach H. Adsorbate induced surface stress. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.PUI. P. 2240 - 2245.

243. Imbihl R., Veser G. Synhronization in oscillatory surface reactions on single crystal surface. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 2170 - 2175.

244. Jack D.B, Gortel Z.W., Kreuzer H.J., 1987. Fokker-Plank equation for physisorption kinetics: general formulation for isothermal desorption. //Physical Review B.-1987-1. V. 35.-N.2.-P.468-477.

245. Jager J. On the equilibrium segregation of interacting impurity atoms towards (100) metal surfaces. Compariosn of theoretical consideration with selected experimental results. //Surface science. 1994. - Vol. 315. Nos. 1/2. P. 143 - 156.

246. Jankowski A., Tsakalakos T. Interface phenomena in multilayers. //Material Science and Engineering. B. 1990. Vol. 6. Nos. 2/3. P. 87 - 94.

247. Jesson D.E., Pennycook S.J., Baribeau J.-M. and Hougton D.C. 1993. Direct imaging of surface cusp evolution during strained- layer epitaxy and implications for strain relaxation.

248. Physical Review Letters.-1993.-V. 71. N.ll. P.1744-1747.

249. Jian Y. Inhomogeneous structures of multilayer overlayers. //Solid State Communications. 1989. - Vol. 72. - No.ll. P. 1127-1129.

250. Jug G., Tosatti E. Missing-row reconstraction and roughening phase transitions on the noble metal surfaces. //Vuoto: SCi. e tech. 1989. - Vol. 19. No. 3. P. 189-190.

251. Juliem J.P., Mayou D. Solution of self-consistent field equations by the recursion method. //J. de Physique I, France. 1993. - Vol. 3. - No. 8. P. 1861 - 1872.

252. Jungua N., Grilhe J. Interface instabilities of multilayers and flat precipitates. //Philosophical Magazine A. 1995. Vol. 71. No.5. P. 1125-1134.

253. Kandel D., Mukamel D. Defects, interface profile and phase transitions in growth models. //Europhys. Lett. 1992. -Vol. 20. No. 4. - P. 325 - 329.

254. Kang H.C., Evans J.W. Scaling analysis of surface roughness in simple models for MBE. //Surface science. 1992. - Vol. 269/270. Pt. B. P. 784 - 789.

255. Kang H.C., Evans J.W. Scaling analysis of surface roughness and Bragg oscillation decay in models for low-temperature epitaxial growth. //Surf. sci. -1992. Vol. 271. Nos. 1/2. - P. 321 - 330.

256. Kang H.C., Weinberg W.H. Kinetic modelling of surface rate processes. //Surface science. 1994. - Vol. 299/300. P. 755 - 768.

257. Kanunikov I.E., Belov D.R., Kiselev B.V., Markoff Yu.G. "Fractal characteristics of the human EEG in the connection with changes of the geomagnetic activity". //Book of Abstr. "Problems of Geocosmos". SPb, 1998.

258. Kaplan D.T., Glass L. Direct test for determinism in time series //Physical Review Letters. 1992. Vol. 68. N.4. P. 427 430.

259. Karasova I. Kinetics of multilayer adsorption and desorption. //Czechosl. J. Phys. B. 1989. Vol. 39. - No. 12. P. 1378 - 1391.

260. Kardar M., Parisi G., Zhang Y.-Ch., 1986. Dynamic scaling of growing interface.//Physical Review Letters. -1986.-V. 56. N.9. P.889-892.

261. Kariotis R., Lagally M.G., 1989. Rate equations modelling of epitaxial growth.//Surface Science-1989-V. 216. N.3. P.557-578.

262. Kariotis R., Lagally M.G. Application of rate equation modelling to molecular beam epitaxy. //J. Vacuum Sci. and Technol. B. 1989. - Vol. 7. No. 2. P. 269 - 272.

263. Kariotis R. Nonequilibrium roughening transitions.//J. Phys. A. 1989. - Vol. 22. - No. 14. P. 2781 - 2794.

264. Kariotis R., Lagally M.G., Kleiner J., Aumann C.E., Mo Y.-W. Model two-dimensional diffraction profiles from disordered vicinal surfaces and random island configuration. //Surface science. 1990. - Vol. 240. Nos.1-3. - P. 293 -305.

265. Kariotis R. Influence of long-range interactions in one dimensional statistical mechanical lattice. //Surface science. 1992. - Vol. 262. No. 3. - P. 473 -480.

266. Kashchiev D., 1990. Thickness transitions in thin films: the driving force//Surface Science.-1990.-V. 225. N.l. P.107-116.

267. Kashchiev D., 1989. Thickness transitions in thin films: the equilibrium.

268. Surface Science.-1989.-V. 220. N.2/3. P.428-442.

269. Kaufman A.D., Whaley K.B. Mean-field theories foe multidimensional diffusion. //J. of Chemical Physics. 1989. -Vol. 90. No. 5. - P. 2758 - 2767.

270. Keblinski P., Maritan A., Toigo F., Koplik J., Banavar J.R. Dynamics of rough surfaces with an arbitrary topology.//Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 49. No. 2. P. R937 - R940.

271. Kellog G., Feibelman P.J., 1990. Surface selfdiffusion on Pt(001) by an atomic exchange mechanism. //Physical Review Letters.-1990.-V. 64. N.6. P.3143-3146.

272. Kember J., Fowler A.C. A correlation function for choosing time delays in phase portrate reconstraction //Physical Letters A. 1993. Vol. 179. N.2. P.72 -80.

273. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. Determining embedding dimension for phase space reconstraction using a geometrical constraction //Phys. Rev. A. 1993. Vol. 45. N.6. P. 3403 - 4311.

274. Kessler D.A., Levine H., Sander L.M., 1992. Molecular beam epitaxialgrowth and surface diffusion. //Physical Review Letters.-1992.-V. 69. N.l. P.100-103.

275. Kevin J. An improved estimator of dimension and some comments on providing confidence intervals //Physica D. 1992. Vol. 56. N. 2/3. P. 216 228.

276. Khan K.M., Ahmad W. NO-CO catalytic reaction on a square lattice: the effect of the Eley Rideal mechanism. //J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35. P.2713 - 2723.

277. Kim J.M., Kosterlitz J.M., 1989. Growth in a restricted solid-on-solid model.//Physical Review Letters.-1989.-V. 62. N.19. P.2389-2392.

278. Kiselev B.V., Markoff Yu.G. "The beauty of fractals: what does it cost?". //Proc. of the 4th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 03 08 June 2002. p. 227 - 231.

279. Kiselev B.V., Markoff Yu.G. "The beauty of fractals: what does it cost?". //Book, of Abstr. ofthe 4th Int. Conf. "Problems of Geocosmos". SPb. 03 08 June 2002. p. 91.

280. Koch D.L. Kinetic theory for a mobile adsorbed gas. //J. Chem. Phys. -1994. Vol. 101. - No. 5. P. 4391 - 4406.

281. Kolesik M., Samaj L. New variational series expansions for lattice gas models //J. de Physique I, France. 1993. - Vol. 3. - No. 1. P. 93 - 106.

282. Koplik J., Levine H., 1985. Scaling theory of growing interface. //Physical Review B. 1985. - V. 32. N. 1. P. 280 - 291.

283. Kortla M., Levi A.C., Smilauer P., 1992. Roughness and nonlinearities in (2+l)-dimensional growth models with diffusion //Europhys. Lett. 1992. V. 20. N.l. P. 25-30.

284. Kosterlitz J.M. Ordening in two dimensions. //In: Phase transitions in surface films. Eds. Dash J.G., Ruvalds J. NATO advanced Study Institutes Series. Series B: Physics. 1980. Vol. 51. P. 193 232.

285. Kreuzer H.J., Gortel Z.W., 1985. Physosorption kinetics. //Springer

286. Series in Surface Sciences.-V. 1.-1985.- Berlin: Springer-Verlag.

287. Kreuzer H.J., Payne S.H., 1988. Nonequilibrium thermodynamics of a two-phase adsorbate: lattice gas and van der Waals models. //Surface Science.-1988.-V. 205. N.l/2. P.153-176.

288. Kreuzer H.J., 1990. Theory of surface processes.//Surface Science-1990.-V. 231. N.l/2. P.213-226.

289. Kreuzer H.J., 1990. Kinetic lattice gas model with precursors //Surface Science.-1990.-V. 238. N.l/3. P.305-316.

290. Kreuser H.J., 1990. Diffusion, adsorption and desorption at surfaces//J. of Chemical Society. Faraday Transactions.-1990.-V. 86. N.8. P.1259-1305.

291. Kreuzer H.J., 1991. Kinetic lattice-gas model: Time dependent generalization of the grand canonical ensemble.//Physical Review. B. 1991. 44. N. 3. P. 1232 - 1239.

292. Krug J. Kinetic roughening by epitaxial fluctuations. //J. de Physique I, France. 1991. - Vol. 1. - No. 1. P. 9 - 12.

293. Kukushkin S.A., Osipov A.V. Soliton model of island migration in thin films. //Surf. Sci. 1995. Vol. 329. - Nos. 1/2. - P. 135 - 141.

294. Kuramoto Y., Tsuzuki P., 1975. On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems.

295. Progress of Theoretical Physics. -1975.-V. 54. N.3.P.687-699.

296. Kuramoto Y., 1984. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Berlin: Springer.-1984.-344 P.

297. Lai Z.-W., Das Sarma S., 1991. Kinetic growth with surface relaxation: continuum versus atomistic models.

298. Physical Review Letters. -1991.-V. 66.N.18.P.2348-2351.

299. Langmuir I., 1918. //Journal of American Chemical Society. 1918. -V. 40. P. 1361.

300. Layne S.P., Mayer-Kress G., Holzfuss J. Problems associated with dimensional analysis of electroencephalogram data // Dimensions and Entropies in Chaotic Systems. / Ed. G. Mayer-Kress. 1986. P. 114 122.

301. Lee Ch., Barkema G.T., Breeman M., Pasquarello A., Car R., 1994. Diffusion mechanism of Cu atoms on a Cu(OOl) surface. //Surface Science.-1994.-V. 306. N.3. P.L575-L578.

302. Lennard-Jones J.E., 1932. //Transactions of Faraday Society. 1932. -V. 28. P. 333.

303. Lichtenberg A.J., Lieberman A.J. Regular and stochastic motion.//App. Math. Sci. Vol. 38. -1983. Springer. (Sec. 7.4.)

304. W.Liebert, H.G.Schuster. Proper Choice of the Time Delay for the Analysis of Chaotic Time Series // Physical Letters A. 1988. Vol. 142. N. 1. P. 107 111.

305. Leung K.T., Mon K.K., Valles J.L., Zia R.K.P. Roughness, spartial, and temporal correlations of an interface in a driven nonequilibrium lattice gas. //Phys. Rev. B. 1989. - Vol. 39. No. 13. P. 9312 - 9317.

306. Lee B.P., Cardy J.L. Phase ordening in one dimensional systems with long-range interactions. //Phys. Rev. E. 1993. -Vol. 48. No. 4. P. 2452 - 2465.

307. Lee D., Askar A., Rabits H. Evolution of reaction on surfaces exhibiting defect structures. //Surf. Sci. 1989. Vol. 210. - No. 3. - P. 449 - 467.

308. Lee Ch., Barkema G.T., Breeman M., Pasquarello A., Car R., Diffusion mechanism of Cu atoms on a Cu(001) surface. //Surface Science.-1994.-V. 306. N.3. P.L575-L578.

309. Logan R.M., Stickney R.E., 1966. Simple classical model for scattering of gas atoms from a solid surfaces. //Journal of Chemical Physics. 1966. - V. 44. N. 1. P. 195 - 201.

310. Luse C.N., Zangwill A., 1992. Adatom mobility on vicinal surfaces during epitaxial growth.//Surface Science. 1992. - V. 274. N. 2. P. L535 - L540.

311. MacLaren J.M., Pendy J.B., Rous P.J. A Handbook of Surface Structures. 11 Dordrecht: Reidel, 1987. 352 P.

312. Mapledoram L.P., Wander A.1.landing or random growth? The low coverage growth modes and structure of No on iVi(lll) studied by diffuse ATLEED //Surface science. 1994. - Vol. 312. No. 1/2. P. 54 - 61.

313. Marek M. Transition to chaos in the oscillating CO oxidation on Pt/A^O^. //Surf. Sci. 1989. Vol. 222. - Nos. 2/3. - P. L885 - L889.

314. Markoff Yu.G. "Nonlinear evolution of multilayer adsorbed phase" //Труды междунар. конф. "Математическое моделирование нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". 05.07-10.07.1996, ТвГТУ, Тверь.

315. Markoff Yu.G. " Influence of surface diffusion and adsorbate interactions on heterogeneous catalyssis". //Book of Abstr. of XXI Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics. 1999. Marseille. France.

316. Markoff Yu.G. " Thin film growth dynamics on the solids with defects". //Book of Abstr. of XXI Int. Conf. on Rarefied Gas Dynamics. 1999. Marseille. France.

317. Markoff Yu.G. "The information fields: modelling of date for complex system theory". //Book of Abstr. ofthe4thInt. Conf. " Problems of Geocosmos". SPb. 03 08 June 2002. p. 193.

318. Martinelli F. On the two-dimensional dynamical Ising model in the phase coexistence region. //J. Stat. Phys. 1994. Vol. 76. Nos. 5/6. P. 1179-1246.

319. Masri P., Siviniant J. Semiconductor heterointerfaces, continuity conditions, heteroepitaxy and material physics. //J. Physics: Condensed Matter. 1996. - Vol. 8. - No. 32. P. 5871 - 5882.

320. Matos M., Neto J.B.L. Theoretical prediction of prefered bonding sites: a critical analysis based on a model system. //Surf. Sci. 1991. Vol. 258. - Nos.1.3. P. 439 - 450.

321. Mazenko G.F., Banavar J.R., Gomer R., 1981. Diffusion coefficients and the time auto-correlation function of density fluctuations. //Surface Science. -1981. V. 107. N. 2. P. 459 - 468.

322. Mazenko G.F. Growth kinetcs for a system with a conserved order parameter. //Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. No. 5. P. 3485 3501.

323. Mazor A., Srolovitz D.J., Hagan P.S., Bukiet B.G., 1988. Columnar growth in thin films.//Physical Review Letters. 1988. - V. 60. N. 5. P. 424 -427.

324. Mazor A., Bukiet B.G., Srolovitz D.J., 1989. The effect of vapor incidence angle upon thin film column growth.//Journal of Vacuum Science and Technology. A. 1989. - V. 7. N. 3. Pt. 1. P. 1386 - 1391.

325. Mayer-Kress G., Holzfuss J. An approach to error estimation in the application of dimension algorithms. // Dimensions and Entropies in Chaotic Systems. / Ed. G. Mayer-Kress. 1986. P. 114 - 122.

326. Medina E., Hwa Т., Kardar M., Zhang Y.-Ch. Burgers equations with correlated noise: renormalization-group anlysis and applications to directed polymers and interface growth. //Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. No. 6 . P. 3053 -3075.

327. Mei-Chang Т., Carter E.A. Mean-field theory of heteroepitaxial thin metal film morphologies. //Surf. Sci. 1994. Vol. 318. - Nos. 1/2. - P. 187 - 203.

328. Memory Function Approaches to Stochastic Problems in Condensed Matter. //Advances in Chemical Physics. 1985. - Vol. 62.

329. Miller K.T., Lange F.E., Marshall D.B. The instability of poly crystalline thin films: experiment and theory. //J. Material Research. 1990. - Vol. 5. No. 1. P. 151 -160.

330. Muller K.-H. Role of incident kinetic energy of adatoms in thin film growth. //Surf. Sci. 1987. Vol. 184. - Nos. 1/2. - P. L375 - L382.

331. Mitchell W.J., Weinberg W.H. Interaction of N02 with ito(OOl): formation and decomposition of RuOx layers» //J. Chem. Physics. 1996.- Vol. 104. No. 22. P. 9127 9136.

332. Muranoi T. Variable diffusion coefficient in ZnSe films growth on Ga/As. //Thin Solid Films. 1991. - Vol. 197. Nos. 1-2. P. 393 - 396.

333. Muhlhausen C.W., Williams L.R., Tully J.C., 1985. Dynamics of gas -surface interactions: Scattering and desorption of NO from Ag (111) and Pt (111). //Journal of Chemical Physics. 1985. - V. 83. N. 5. P. 2594 - 2606.

334. Nagai K., 1988. Reply to the Comment by A.Cassuto "On the validity of the desorption-rate version of the Langmuir isotherm proposed by K. Nagai".

335. Surface Science. 1988. - V. 203. N. 1/2. P. L659 - L662.

336. Nagatani T. Scaling of rough surfaces with nonlinear diffusion //Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. No. 10 . P. 5500 5503.

337. Nieminen J.A., Kaski K. Rate equation study of nucleation and growth of thin films. I. Growth of one monolayer. II. Multilayer growth. //Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. No. 4 . P. 2088 2095; 2096 - 2104.

338. Nieswand M., Majhofer A., Dieterich W. Lattice gas analogy of density functional theory: applications to ordening transitions. //Phys. Rev. E. 1993. -Vol. 48. No. 4. P. 2521 - 2527.

339. Nolle C.S., Koiller В., Martys N., Robbins M.O. Morphology and dynamics of interfaces in random two-dimensional media. //Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 73. No. 13. P. 2074 - 2077.

340. Norskov J.K. Chemisorption on metal surfaces. //Reports on Progress in Physics. 1990. Vol. 53.No. 10. P. 1253-1296.

341. Opila R., Gomer R., 1981. Thermal desorption of Xe from the W (110) plane. //Surface Science. 1981. - V. 112. N. 1/2. P. 1 - 22.

342. Paik S.M., Das Sarma S. Atomistic growth mechanisms for the MBE of a model system. //Phys. Rev. B. 1989. -Vol. 39. No. 14. - P. 9793 - 9796.

343. Pain G.N. Method for production of uniform thin films from the vapor phase. //Austral. J. Phys. 1993. - Vol. 46. - No. 1. P. 121 - 126.

344. Palmer B.J., Gordon R.G. Local equilibrium model of morphological instabilities in chemical vapor deposition. //Thin Solid Films. 19888. Vol. 158. No. 2. P. 313-341.

345. Palus M., Dvorak I. Singular-value decomposition in attractor reconstruction: Pitfalls and precautions //Physica D. 1992. Vol. 55. N. 1/2. P. 221 -234.

346. Patrykiejew A., Binder K., Landau D.P. Lattice gas models for multilayer adsorption: variations of phase diagrams with the strength of the substrate potential. //Surf. Sci. 1989. Vol. 238. - Nos. 1-3. - P. 317 - 329.

347. Patrykiejew A., Binder K. Dynamics of multilayer adsorption: a Monte Carlo simulation. //Surf. Sci. 1992. Vol. 273. - No. 3. - P. 413 - 426.

348. Patrykiejew A., Sokolowski S., Zientarski Т., Asada H. Monte Carlo study of multilayer adsorption on surfases with preadsorbed particles. //Surface science. 1994. - Vol. 314. No. 1. - P. 129 - 143.

349. Paulus M.P. Long-range interactions in sequences of human behavior //Physical Review E. 1997. Vol. 55. N. 3-B. P. 3249 3256.

350. Pecora L.M., Carroll T.L. Driving systems with chaotic signals //Physical Review A. 1991. Vol. 44. N.4. P.2374 2383.

351. Pego R.L. Front migration in the nonlinear Cahn Hilliard equation. //Proceed. Roy. Soc. London A. - 1989. Vol. 422. P. 261-278.

352. Pendry J.B., Heinz K. Direct methods in surface crystallography. //Surf. Sci. 1990. Vol. 230. - Nos. 1-3. - P. 137 - 149.

353. Penrose O., Fife P.C. Thermo dynamically consistent model of phase field type for the kinetics of phase transitions. //PhysicaD. 1990. Vol. 43. P. 44-62.

354. Perry A.J. The state of residual stress in TiN films made by PVD methods: the state pf the art. //J Vacuum Sci. and Technol. A. 1990. - Vol. 8. - No. 3. Pt.I. P. 1351 - 1358.

355. Person B.N.J. On the nature of adsorbate phase diagrams: beyond lattice gas model. //Surface science. 1991. - Vol. 258. - Nos. 1-3. P. 451 - 463.

356. Pesin Ya.B. On rigorous mathematical definitions of correlation dimension and generalized spectrum for dimensions //Journal of Statistical Physics. 1993. Vol. 71. N. 3/4. P. 529 547.

357. Pfnur H., Feulner P., Engelhardt H.A., Menzel D. An example of "fast" desorption: anomalously high pre-exponentials for CO desorption from Ru (001). //Chemical Physics Letters. 1978. - V. 59. N. 3. P. 481 - 486.

358. Pfnur H., Menzel D. The influence of adsorbate interactions on kinetics and equilibrium for CO on Ru(001). Adsorption kinetics. //J. Chem. Physics. 1983. Vol. 79. No. 5. P. 2400-2410.

359. Pierce A.P., Rabitz H. An analysis of the effect of defect structures on catalytic surfaces by the boundary element technique.//Surface Science. 1987. -V. 202. N. 1/2. P. 1 - 31.

360. Pierce A.P., Rabitz H., 1988b. Modelling the effect of change in defect geometry on chemically active surfaces by the boundary element technique.//Surf. Sci. 1987. - V. 202. N. 1/2. P. 32 - 57.

361. Poland D. The effect of clustering on the Lotka Volterra model. //Physica D. - 1989. - Vol. 35. No. 1/2. P.148 - 166.

362. Poupart G., Zumofen G. Time-dependent gradients of growing interfaces. //Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. No. 2. P. R663 R666.

363. Prigogine I., Rice S.A., Eds. Surface properties. //Advances in Chemical Physics. 1996. Vol. 95.

364. Privman V., Bartelt M.C. Kinetics of irreversible multilayer adsorption: one-dimensional model. //J. of Chemical Physics. 1990. -Vol. 93. No. 9. - P. 6820 - 6823.

365. Privman V., Barma M. Random sequencial adsorption on a line: mean-field theory of diffusion relaxation. //J. of Chemical Physics. 1992. -Vol. 97. No. 9. - P. 6714 - 6719.

366. Protter M.H., Weinbeyer H.F., 1967. Maximum Principles in Differentio-nal Equations. Engewood Cliffs, New York: Prentice-Hall, 1967.-350 P.

367. Provenzale A., Smith L.A., Vio R., Murante G. Distinguishing betweem low-dimensional dynamics and randomness in measured time series //Physica D. 1992. Vol. 58. N. P. 31 49.

368. Pritchard D., Theiler J. Generating surrogate data for time series with several simultaneously measured variables //Physical Review Letters. 1994. Vol. 73. N.7. P. 951 954.

369. Pfeifer P., Wu Y.J., Cole M.W., Krim J. Multilayer adsorption on a fractally rough surface //Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. No. 17 . P. 1997 -2000.

370. Racz Z., Siegert M., Liu D., Plischke M., 1991. Scaling properties of driven interfaces: symmetries, conservation laws, and the role of constraints. //Physical Review A. 1991. - V. 43. N. 10. P. 5275 - 5283.

371. Raeker T.J., De Pristo A.E. The definition and calculation of interfacial energies for thin films //Surface science. 1994. - Vol. 310. Nos. 1-3. P. 337 -346.

372. Rapp P.E., Albano A.M., Schmach T.I., Farwell L.A. Filtered noise canmimic low-dimensional chaotic attractors //Physical Review E. 1993. Vol. 47. N. 4. P. 2289 2297.

373. Ratsch C., Zangwill A., Smilauer P. Scaling of heteroepitaxial island sizes. //Surface science. 1994. - Vol. 314. Nos. 3. P. L937 - L942.

374. Ratsch C., Zangwill A., Smilauer P., Vvedensky D.D. Submonolayer epitaxy without a critical nucleaus. //Surface science. 1995. - Vol. 329. Nos. 1/2. P. L599 - L604.

375. Reichelt K., 1988. Nucleation and growth of thin films. // Vacuum. -1988. V. 39. N. 2. P. 1083 - 1099.

376. Riccardo J.L., Pereira V., Rezzano J.L., Rodriquezsaa D.A., Zgrablich G. Effect of adsorptive enrgy corelation on adsorption isotherms of lattice gas on geterogeneous surfaces. //Surface science. 1988. - Vol. 204. Nos. 1/2. P. 289 -296.

377. Richards P.M. Effect of different adatom hoping processes on steady state roughness during growth by MBE. //Surface science. 1991. - Vol. 241. No. 3. P. 378 - 394.

378. Reichelt K., Jiang X. The preparation of thin films by physical vapor deposition methods. //Thin Solid Films. 1990. - Vol. 191. No. 1. P. 91 - 126.

379. Rikvold P.A., Collins J.B., Hansen G.D., Grunton J.D. Three-state lattice gas on a triangular lattice as a model for multicomponent adsorption. //Surface science. 1988. - Vol. 203. No. 3. P. 500 - 524.

380. Roelofs L.D. Order in two dimensions. //Applications of Surface Science. 1982. Vol. 11/12. P. 425 - 449.

381. Rothman Daniel H., Zaleski Stephane. Lattice gas model of phase separation: interphaces, phase transitions, and multiphase flow.//Reviews of Modern Physics. 1994. - Vol. 66. No. 4. P. 1418 - 1479.

382. Sahni P.S., Gunton J.D., 1981. Dynamics of island growth in a simple model of the chemisorption system О on W (110). //Physical Review Letters.1981. V. 47. N. 24. P. 1754 - 1757.

383. Sasaki К. Lattice gas model for stripped structures of adatoms: rows on surfaces. //Surf. Sci. 1994. Vol. 318. - Nos. 3. - P. L1230 - L1236.

384. Schwartz M., Edwards S.F., 1992. Nonlinear deposition: a new approach. //Europhysical Letters. 1991. - V. 20. N. 4. P. 301 - 305.

385. Seebauer E.G., Kong A.C.F., Schmidt L.D. The coverage dependence of the pre-exponential factor for desorption. //Surface science. 1988. - Vol. 193. No. 3. P. 417 - 436.

386. Selke W., Oitmaa J. The roughening transition and flattering of periodic surface profiles. //Surface science. 1988. - Vol. 198. Nos. 1/2. P. L346 - L352.

387. Shanenko A.A., Yulalova E.P., Yucalov V.I. Statistical models of clustering matter.//Physica A. 1993. - Vol. 197. No. 4. P. 629 - 666.

388. Shapiro D.A., 1990.//In: Proceedings of 17th International Raref. Gas Dynamics Simposium.-1990. Aachen, Germany. P.404-406.

389. Siegert M., Plischke M., 1992. Instability in surface growth and diffusion. //Physical Review Letters. 1992. - V. 68. N. 13. P. 2035 - 2038.

390. Sircar S. Equilibrium adsorption of gases and liquids on heterogeneous adsorbents a practical viewpoint. //Surface science. - 1988. - Vol. 205. No. 3. P. 353 - 386.

391. Slavin A.J., Young D.P.B. A new kinetic theory for thermal deposition of two-dimensional islands. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1990. - Vol. 8. No. 3. Pt.II. P. 2463 - 2467.

392. Smith H.L., 1988. Systems of ordinary differential equations which generate an order preserving flow, a survey of results. //SIAM Review. 1988. - V. 30. N. 1. P. 87 - 113.

393. Smith L.A. Identification and prediction of low-dimensional dynamics //Physica D. 1992. Vol. 58. N. P. 50 76.

394. Smoller J.A., 1983. Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations. New York: Acad. Press, 1983.-423 P.

395. Spenser B.J., Voorhees P.W., Davis S.H. Morphological instability in epitaxially strained dislocation free solid films. //Phys. Rev. Lett. - 1991. -Vol. 67. No. 26. - P. 3696 - 3699.

396. Spohn H., Salditt T. Kinetic roughening of a terrace ledge. //Phys. Rev. E. 1993. -Vol. 47. No. 5. - P. 3524 - 3531.

397. Spohn H. Surface dynamics below the roughening transitions. //J. de Physique I, France. 1993. - Vol. 3. - No. 1. P. 69 - 81.

398. Srolovitz D.J., Mazor A., Bukiet B.G., 1988. Analytical and numerical modeling of columnar evolution in thin films. //Journal of Vacuum Science and Technolology. A. 1988. - V. 6. N. 4. P. 2371 - 2380.

399. Sun Т., Plischke M., 1993. Renormalization group study of a driven continuum model for molecular beam epitaxy. //Physical Review Letters. 1993. - V. 71. N. 19. P. 3174 - 3177.

400. Sun Т., Plischke M. Dynamics of interfaces in a model for molecular beam epitaxy. //Phys. Rev. E. 1994. -Vol. 50. No. 5. - P. 3370 - 3382.

401. Sundar G., Hoyt J.J. Effect of dislocationson the Langer-Schwartz model of nucleation and growth. //J. of Physics. Condensed Matter. 1992. - Vol. 4. No. 18. P.4359-4372.

402. Suzuki M. Passage from an initial unstable state to a final stable state. //Advances in Chemical Physics. 1981. - Vol. 46. P. 196 - 278.

403. Szarski J., 1967. Differential inequalities. Warszawa. 1967.

404. Tamborenea P.I., Das Sarma S., 1993. Surface-diffusion-driven kinetic growth on one-dimensional substrate.//Physical Review E. 1993. - V. 48. N. 4. P. 2575 - 2594.

405. Tang C., Alexander S., Bruinsma R. Scailing theory for growth of amorphous films. //Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64. - No. 7. P. 772 - 775.

406. Tang L.-H., Nattermann T. Kinetic roughening in molecular beam epitaxy. //Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 66. - No. 22. P. 2899 - 2902.

407. Tang L.-H. Island formation in submonolayer epitaxy. //J. de Physique I, France. 1993. - Vol. 3. - No. 4. P. 935 - 950.

408. Teraoka Y., Seto T. Theory of multilayer adsorption systems. //Surface science. 1992. - Vol. 278. Nos. 1/2. P. 202 - 217.

409. Theiler J. Spirious dimension from correlation algorithms applied to limited time-series data //Physical review A. 1986. Vol. 34. N. 3. P. 2427 -2432.

410. Theiler J., Eubank A.S., Longtin A., Galdrikian В., Farmer J.D. Testing for nonlinearity in time series: the method of surrogate data //Physica D. 1992. Vol. 58. N. 1 4. P. 77 - 94.

411. Thompson J.M.T., Stewart H.B., Ueda Y. Safe, explosive, and dangerous bifurcations in dissipative dynamical systems.//Phys. Rev. E.- 1994. Vol. 49. No. 2. P. 1019 - 1027.

412. Tiller W.A. Fundamental aspects of film nucleation and growth. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. - Vol. 7. No. 3. Pt. II. P. 1353 - 1359.

413. Toussaint J.-C., Debierre J.-M., Turban L. Cooperative diffusion of animals on square lattice. //J. Physics A. 1991. - Vol. 24. - No. - P.477 - 492.

414. Tsong T.T. Energetics of surface atomic processes. //Surface science. -1990. Vol. 231. Nos. 1/2. P. 81 - 89.

415. Tringides M.C., Gomer R. Adsorbate-adsorbate interactions effects in surface diffusion. //Surface science. 1992. - Vol. 265. Nos. 1-3. P. 283 - 292.

416. Tully J.С., 1980. Dynamics of gas surface interactions: 3D generalized Langevin model applied to fee and bcc surfaces. //Journal of Chemical Physics. 1980. - V. 74. N. 4. P. 1975 - 1985.

417. Tully J.C., 1994. The dynamics of adsorption and desorption //Surface Science.-1994.-V.299/300.P.667-677.

418. Tuteur F.B. Wavelet Transformations in Signal Detections //Wavelets. Time-frequency Methods and Phase Space / Eds. J.M. Combes, A.Grossman, Ph. Tchamitchian. Berlin. 1989. P. 132 138.

419. Varnier F., Llebaria A., Rasigni G. How is fractal dimension of a thin film top surface connected with the roughness parameters and anisotrpy of this surface. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. - Vol. 9. No. 3. P. 563 - 569.

420. Vautard R., Yiou P., Ghil M. Singular-spectrum analysis: A toolkit for short, noisy chaotic signals //Physica D. 1992. Vol. 58. N.l 4. P. 95 - 126.

421. Venables J.A., 1973. Rate equations approaches to thin film nucleation kinetics.// Phylosophical Magazine. 1973. - V. 27. N. 3. P. 697 - 738.

422. Villain J., 1991. Continuum models of crystal growth from atomic beams with and without desorption//J. de Physique I, France.- 1991.-V.1.N.1.P.19-42.

423. Vinals J., Gunton J.D., 1985.Kinetics of island growth for a model of H/Fe.//Surface Science. 1985. - V. 157. N.2/3. P. 473 - 490.

424. Vlachos D.G., Schmidt L.D., Aris R. The effect of phase transitions, surface diffusion, and defects on heterogeneous reactions: multiplicities and fluctuations. //Surface science. 1991. - Vol. 249. Nos. 1-3. P. 248 - 264.

425. Vvedensky D.D., Zangwill A., Luse C.N., Wilby M.R., 1993. Stochastic equation of motion for epitaxial growth.//Physical Review E. 1993. - V. 48. N. 2. P. 852 - 862.

426. Unertl W.H. Critical phenomena on surfaces: reconstraction and chemisor-bed layers. //Comments Condensed Matter. Phys. 1986. - Vol. 12. No. 6. P. 289-323.

427. Wayland R., Bromley D., Pickett D., Passmante A. Recognizing determinism in a time series //Physical Review Letters. 1993. Vol. 70. N. 5. P.580 -582.

428. Wolf A., Swift J.B., Swinney J.B., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. Vol. 16. N. 3. P. 285 317.

429. Wei D.H., Skelton D.C., Kevan S.D. Molecular interactions on surfaces. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 2029 - 2036.

430. Wiatrowski G., Le Bosse J.C., Lopez J., Zasada I. Site occupancy pair correlation functions and structure factors of partially ordered overlayers. I. Formalism. //Surface science. 1992. - Vol. 265. Nos. 1-3. P. 229 - 240.

431. Wiethege W., Sherrington D. The transverse Ising model: fermionic representation and the functional integral approach.//J. Phys. C: Solid State Physics. 1986. - Vol. 19. N0. 35. - P. 6983 - 6991.

432. Wilhelmsson H. Nonlinear evolution of densities in the presence of simalte-neous diffysion and reaction processes.//Physica scripta. 1988. - Vol. 38. - No. 6. P. 863 - 874.

433. Williams E.D.,Phaneuf R.J., Wei J., Bartelt N.C., Einstein T.L. Thermodynamics and statistical mechanics of the faceting of stepped <Sz(lll). //Surface science. 1993. - Vol. 294. Nos. 3. P. 219 - 242.

434. Windischmann H. Intrinsic stress in sputtered thin films. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1991. - Vol. 9. No. 4. P. 2431 - 2436.

435. Wolf D.E., Villain J., 1990. Growth with surface diffusion. //Europhysical Letters. 1990. - V. 13. N. 5. P. 389 - 394.

436. Yan H., Kessler D., Sander L.M., 1990. Roughness phase transition in surface growth //Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 64. N. 8. P. 926-929.

437. Zalieska-Kotur Magdalena A. The kinetic Potts model in the description of surface dynamics. //Surface science. 1992. - Vol. 265. Nos. 1-3. P. 196 - 208.

438. Zangwill A., Luse C.N., Vvedensky D.D., Wilby M.R., 1992. Equations ofmotion for epitaxial growth.//Surface Science. 1992. - V. 274. N. 2. P. L529 -L534.

439. Zangwill A., Luse C.N. Stochastic Mullins-Herring equation for a solid-on-solid crystal //Phys. Rev. B. 1993-1. Vol. 48. No. 3. P. 1970 1972.

440. Zangwill A., Luse C.N., Vvedenski D.D., Wilby M.R. Stochastic equation of moiton for epitaxial growth //Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 48. - No. 2. P. 852 - 862.

441. Zeng H., Vidali G., Biham O. Transition from Stransky-Krastanov to quasi layer-by-layer growth in Pb deposition on Cw(110). //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1994. - Vol. 12. No. 4.Pt.II. P. 2058 - 2062.

442. Zgrablich G., Pereira V., Ponzi M., Marchese J., 1986. Diffusion on heterogeneous surfaces.//American Inst, of Chemical Engineers Journal. 1986. - V. 32. N. 7. P. 1158 - 1168.

443. Zgrablich G., Sales J.L., Zhdanov V.P. Lattice gas model for calculating thermal desorption spectra: comparison between anlytical and Monte Carlo results //Surf. sci. 1989. - Vol. 209. Nos. 1/2. P. 208 - 214.

444. Zgrablich G., Pereyra V. Surface diffusion of adsorbed gases as percolation process. //Surface science. 1989. - Vol. 209. No. 3. P. 512 - 522.

445. Zgrablich G., Bullnes F., Riccardo J.L., Pereyra V. Surface diffusion on heterogeneous correlated substrates. //Surface science. 1992. - Vol. 260. Nos. 1-3. P. 304 - 310.

446. Zhdanov V.P. The effect of adsorbate induced surface reconstraction on the apparent Arrhenius parameters for desorption. //Surface science. 1989. -Vol. 219. No. 3. P. L571 - L575.

447. Zhdanov V.P. First order phase transitions in simple reactions on solid surfaces: nucleation and growth of the stable phase. //Phys. Rev. E. 1994. -Vol. 50. No. 2-A. P. 760 - 763.

448. Zhdanov V.P., Kasemo B. Surface restructuring, kinetic oscillations, and349chaos in heterogeneous catalytic reactions. //J. Stat. Phys. 2000. Vol. 101. Nos. 1/2. P. 631 647.

449. Zhdanov V.P., Norton P.R. Statistics of adsorption on top and bridge sites of a square lattice. //Surface science. 1994. - Vol. 312. No. 3. P. 441 - 449.

450. Zinke-Allmang M., Feldman L.C., Grabow M.H. Thin film morphology: equilibrium between clusters and uniform layers at non-zero temperature. //Surf, sci. 1988. - Vol. 200. No. 1. P. L427 - L432.

451. Zinke-Allmang M., Feldman L.C. Growth and morphology kinetics of adsorbate structures on Si. //J. Vacuum Sci. and Technol. A. 1990. - Vol. 8. No. 3. Pt.II. P. 3033 - 3037.