автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели социальной самоорганизации

Санкт-Петербургский Государственный Университет

004Ь

На правах рукописи

че г ?

КОЛЕСИН Игорь Дмитриевич

Математические модели социальной самоорганизации

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

-2 "ЕК 2010

Санкт-Петербург - 2010

004614879

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете. Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Прасолов Александр Витальевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Колпак Евгений Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Валентин Федорович доктор физико-математических наук, профессор Мазалов Владимир Викторович Ведущая организация: Санкт-Петербургский институт информатики

автоматизации РАН

Защита состоится «. 2010 г. в _ _ часов на заседании

диссертационного совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу. 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб. 7/9., Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « j _H^Sj^Jf_2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор Курбатова Галина Ибрагимовна

Общая характеристика работы

Актуальность работы Данное исследование посвящено разработке универсального метода построения класса математических моделей социальной самоорганизации. Под социальной самоорганизацией понимается спонтанное образование социальных групп 1. Это явление имеет свои особенности, отличающие его от подобных же явлений в физике, химии, биологии и т.д. Одной из особенностей является наличие группового (коллективного) сознания 2. Введение его в математическую модель как управляющего элемента ставит вопрос о приемах формализации сознания - представления его как элемента математической модели, взаимосвязанного с прочими элементами. Учет сознания в виде элемента модели, функционирующего во взаимосвязи с другими, отличает данный подход от предшествующих.

Первые шаги в исследовании социальной самоорганизации обозначились уже в работах И. Пригожина и И. Стенгерс3, а позже - в работах Г. Хакена4, получивших синергетическое направление. Наряду с этим, Т. Парсонс ввел понятие о «добровольной самоорганизации (ассоциации)», положив этим начало исследованию социальной самоорганизации как социального феномена5. Краткое изложение истории развития представлений о социальной самоорганизации дал В. Л. Романов6. Понятие о социальной синергетике отражено в работах В. П. Бранского7. Обобщением множества фактов социальной само-

1Карпичев B.C. Организация и самоорганизация социальных систем: Словарь. М.: Изд-во РАГС, 2001.

2Дюркгейм Э. Социология: ее предмет, метод, предназначение. М.: Канон, 1995.

3Пригожин И.Р., Стингере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: Едиториал УРСС, 2003.

4Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 406 с.

5Парсонс Т. Система социальных обществ. М., 1997.

6Романов B.JT. Социальная самоорганизация и государственность. М.: Изд-во Рос. акад. гос. службы. 2000.-140 с.

7Бранский В.П. Теоретические основания социальной синергетики // Петербургская социология. 1999. № 1.

организации стала концепция рождения и сохранения порядка, предложенная В. В. Васильковой8.

Проблема социальной самоорганизации является частью современных исследований по социологии, социальной психологии, культурологии и т.д. Значимость этой проблемы обусловлена тем влиянием, которое оказывают самоорганизующиеся социальные общности на развитие общества в целом. В связи с этим, теоретические разработки проблемы социальной самоорганизации являются предметом внимания ряда общественных наук. Математическое моделирование как часть теоретических разработок выполняет роль инструмента проверки гипотез о механизмах социальной самоорганизации . Среди них - центральная гипотеза о рождении порядка из хаоса. Вместе с тем, развивается и детерминированный подход, изложенный Г. Хакеном в виде математической модели, связывающей параметры порядка. Идея параметров порядка получила развитие в работах А.Ю. Бузина 9, П.В. Куракина и Г.Г. Малинецкого10, а в методологическом плане - в работах О.Н. Астафьевой11, В.Л. Романова 12. Значителен вклад С.П. Курдюмова 13.

Системно-динамический подход к описанию социальной самоорганизации наметился еще в работах Дж. Форрестера14, предложившего идею регулирующих множителей (аналогов параметров порядка), но без введения их иерархии. Переход к иерархиезации параметров поставил вопрос о их взаимосвязи.

8Василькова В.В. Прорядок и хаос в развитии социальных систем: синергетика и теория социальной самоорганизации. СПб: Лань, 1999. -479 с.

9Вузин А.Ю. Самоорганизация в социальных системах (одна математическая модель). М., 1988.

10Куракин П.В., Малинецкий Г.Г. Самоорганизация правил поведения в коллективе. М., Ин-т прикл. матем., 1999.

"Астафьева О.Н. Концептуальные основания культурной политики / Синергетика, будущее мира и России. М., 2008.

12Романов B.J1. Социальная самоорганизация и государственность. М.: Изд-во РАГС, 2000.

13Князева E.H., Курдюмов С.П. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, тем-помиры. СПб.: Алетейя, 2002

14Форрестер Дж. Динамика развития города. М.:. Мир, 1974.

Наряду с этим возникла проблема взаимосвязи параметров порядка с переменными масс-балансных уравнений и параметров порядка меж собой. В попытках решения этой проблемы обозначилась роль аналогий.

Математическое моделирование социальной самоорганизации первоначально сводилось к физическим аналогиям. Развитие этого подхода и расширение видов аналогий проследила В.В. Василькова, отметив значимость изоморфизмов в создании концептуальных моделей социальной самоорганизации. Разработка концепции предваряет математическое моделирование и является важнейшим этапом исследования, где обозначаются черты модели, ее элементы, связи, т.е. системно-динамический образ социальной самоорганизации. Создание такого образа является неотъемлемой частью моделирования. Однако создание самой математической модели требует дополнительных исследований, связанных с количественным определением ключевых понятий, входящих в концепцию модели, указания количественных связей между ними, обоснования принципов построения динамических уравнений. Следующей стадией исследования является анализ дифференциальных уравнений с точки зрения структурной устойчивости. Подобный анализ нашел отражение в работах А. А. Андронова15, В. И. Арнольда16, Л. С. Понтрягина17. Отсутствие цельного алгоритма, охватывающего все изложенные стадии создания модели социальной самоорганизации - от разработки выбранной концепции до переноса ее в динамические уравнения - позволяет считать создание такого алгоритма актуальной темой исследования.

Цель и задачи диссертационной работы. Цель исследования состоит в разработке и исследовании класса математических моделей разнообразных явлений социальной самоорганизации.

15Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

1(iАрнольд В.И. Дополнительные главы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

17Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

1. введен ряд понятий, позволяющих идентично рассматривать разнообразные виды социальной самоорганизации;

2. обоснован выбор аналога и показана возможность создания модели образования социальной группы в аналогии с образованием эпидемического очага;

3. решена проблема взаимосвязи параметров порядка (отражающих активность формирования элементов группового сознания) с переменными масс-балансных уравнений (численностями групп);

4. показана адекватность количественной модели социальной самоорганизации, построенной в соответствии с принятой концепцией регуляции;

5. исследован ряд математических моделей, иллюстрирующих принцип построения и анализ поведения систем с одним параметром порядка (изменчивым параметром);

6. разработана концепция двустадийной самоорганизации и исследован ряд математических моделей с двумя и более параметрами порядка;

7. найдены условия существования ограниченного инвариантного множества с одним параметром порядка;

8. исследованы особенности формирования ведущей компоненты и показана возможность реализации двух режимов: с подавлением всех прочих компонент либо с расстановкой их в иерархический ряд;

9. исследовано влияние конкуренции параметров порядка на характер самоорганизации и показана сопоставимость результатов с полученными на основе принципа подчинения Хакена.

Научная новизна . Новизна подхода к моделированию разнообразных явлений социальной самоорганизации состоит в следующем: 1. предложен эпидемический аналог социальной самоорганизации, основанный на сходство принципов образования социальной группы и эпидемического очага: передаче идей, представлений, чувств подобно передаче инфекции

- от человека человеку - и зависимости эффекта передач от изменчивых параметров ;

2. предложена конструкция взаимосвязей параметров порядка с переменными масс-балансных уравнений, вытекающая из аналогии внутренней регуляции социального процесса с внутренней регуляцией эпидемического;

3. предложены математические модели, объясняющие разнообразные виды социальной самоорганизации как результат взаимодействия разных элементов группового сознания с его субъектами;

4. предложены математические модели, сочетающие эволюцию группового сознания (отбор ведущих элементов сознания) с эволюцией группы (отбором ведущих подгрупп);

5. предложены математические модели, основанные на концепции двустадий-ной самоорганизации, позволяющие объяснять образование семейство групп как начальную активизацию массы индивидов с последующей дифференциацией их на группы разного уклона.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Теоретическая значимость определяется разработкой и исследованием универсального механизма социальной самоорганизации, основанного на двустадийном развитии процесса и взаимообратной связи параметров активности с числен-ностями групп. Это позволило создать математические модели различных видов социальной самоорганизации с учетом различных механизмов внутренней регуляции, обосновать существование режимов упорядочения с частичным и полным подавлением зависимых компонент, объяснить возникновение си-нергетических эффектов взаимодействия мнений, соревнования творческих коллективов, пересудов толпы.

Прикладная значимость определяется практической направленностью разнообразных задач социальной самоорганизации. В их числе: задачи, связанные с формированием в сознании людей здорового образа жизни, ценностей

физической культуры, образования, науки, искусства; задачи формирования экологического сознания, задачи формирования норм и ценностей межэтнического общения, задачи формирования культуры предпринимательства, задачи развития школьных и молодежных субкультур и т.д.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. универсальный метод построения класса математических моделей социальной самоорганизации;

2. математическая модель двустадийной социальной самоорганизации, основанная на взаимообратной связи параметров порядка с переменными масс-балансных уравнений;

3. математические модели разнообразных видов социальной самоорганизации с одним, двумя и тремя параметрами порядка;

4. исследование условий асимптотической устойчивости точек равновесия и условий существования ограниченных инвариантных множеств в математических моделях с разными механизмами внутренней регуляции;

5. исследование условий полного и частичного подавления подчиненных компонент в математических моделях с тремя параметрами порядка;

6. решение прикладных задач, относящихся к социальному выбору, развитию социальных стрессов и подъемов оптимизма, рождению массового энтузиазма, появлению молодежных субкультур, анализу межэтнических отношений.

Апробация работы . Основные результаты работы регулярно представлялись на конференциях, семинарах и в научных изданиях; а также в отчетах по научно-исследовательской работе «Динамическое моделирование в разработке стратегии социальной медицины» (программа «фундаментальные основы диагностики состояния человека». Приказ Комитета по высшей школе № 490, 1992-1997 гг.). Участие в научных конференциях: международной конференции «Устойчивость и процессы упралвения», СПб, 2005; межрегиональ-

ной конференции «Современные математические методы и информационные технологии в образовании», Тюмень, 2005; в Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, зимняя сессия, Москва, 2006; в Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия, Москва, 2007.

Публикации По теме диссертации опубликованы две монографии, пять учебных пособий и 49 статей, из них 38 в рекомендованном ВАК списке реферируемых изданий. Общее количество публикаций по теме диссертации -59 работ.

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит их введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации 228 страниц основного текста, включая рисунки и список литературы из 115 названий.

Содержание работы

Введение раскрывает содержание исследования: обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе даются основные понятия и определения, характеризующие социальную самоорганизацию. В п. 1.1 социальная самоорганизация определяется как целенаправленное объединение людей, протекающее в спонтанном общении с формированием элементов общего понимания, восприятия и оценки; выделяются три направления математического моделирования: социально-идейное, социально-психологическое, социокультурное. В п. 1.2. даются понятия об элементах группового сознания, вариантах каждого, уровне и выраженности формирования; уровень (Р) измеряется числом его вариантов, сформировавшихся к моменту t, а выраженность (V) - приростом

этого числа за время величина V соответствует изменчивым параметрам. В. п.1.3 вводится понятие об организующем факторе как совокупности ведущих элементов группового сознания; далее предполагается, что организующий фактор несет либо идейную, либо психологическую, либо культурологическую нагрузку. В п. 1.4. порядок связывается с наличием структурированной системы правил, а в более общем случае - идей, понятий, представлений, чувств, настроений; в качестве примера дается интегральное выражение порядка через активность формирования групповых норм. В п. 1.5. дается понятие о циклической самоорганизации как ритмически повторяющейся смене порядка. В п. 1.6. даются понятия о механизмах активизации (внушении, убеждении, заражении).

В п. 1.7 развивается детерминированный подход к моделированию самоорганизации, берущий начало от модели Г. Хакена, которая описывает процесс упорядочения конечного числа параметров порядка. Развитием этого подхода является дополнение уравнений для п параметров порядка г = 1 ,п) уравнениями для численностей п групп (И,, г = 1 ,п). Предполагается, что каждой группе соответствует свой ведущий элемент сознания (организующий фактор), а группы упорядочиваются по массовости, конкурентно-способности и долгожительству их ведущих элементов. В соответствии с особнностями социальной самоорганизации автором предложена математическая модель

где М = (Мь ..., Мт), N = (N1, ..., АУ, V = (Ц, ..., Уп), п - число

групп, а т - число фаз, предшествующих объединению индивидов в группы, Мк - число лиц в к-й фазе активизации, 1\Гг- - численность г-й группы,

т (И

^-ЫМ, ЛГ, = = ММ, IV, V), ^ = №(М, ЛГ, V), г = М,

к г

уровень групповой характеристики; Я-общее число участников социального процесса; переменные V{ соответствуют параметрам порядка, а вектор V разбивается на s быстро- и (n — s) медленно-затухающих компонент. Начальные условия:

О < Mt(0) ^ Я, 0 ^ Мг(0) < Я (/ = 27~т), N¿0) ^ 0, К(0) = 0, г = 1~п,

к i

Далее приводится модель интеграции п групп и модель дифференциации массы индивидов на п с последующей интеграцией.

В п. 1.8. обосновывается междисциплинарный подход к изучению социальной самоорганизации, состоящий в использовании аналогов и отыскании количественных соответствий сравниваемых систем. В пп 1.9-1.12 приводятся разнообразные трактовки социальной самоорганизации: эпидемическая, социально-психологическая, социально-информационная, социокультурная. В пп 1.13.-1.14. предлагается системный подход и приводится системно-динамический образ социальной самоорганизации. В пп. 1.15-1.16 дается понятие о ветвящейся самоорганизации; вводится концепция двухстадийной самоорганизации, состоящая в начальной активизации массы индивидов и последующем объединении их в группы разной направленности.

В п. 1.17 приводятся количественные законы, являющиеся основой для построения математических моделей социальной самоорганизцаии (закон действующих масс, закон сохранения). В п. 1.18 описывается способ количественной оценки параметров порядка, основанный на разбиении промежутка наблюдений Т на равные отрезки At и подсчете числа хаотических проявлений параметра на каждом из них с последующим построением дискретной функции, суммирующей лишь удачные (признанные) проявления. Дается пример для п творческих коллективов, соревнующихся в удачной реализации некоторой идеи, и ряд других примеров.

В п. 1.19 дается численный пример, иллюстрирующий рождение и сохранение порядка в системе, моделируемой уравнениями:

dt dNi

м + Y,Ni = Я = const,

= аММ - ftNi, at

= с^М — rriiVi, i — 1, n

dt

mi « Ш2 « ■ ■ • << mn, M(0) = Я, JV4(0) = 0, Vj(0) = 0, (t = M).

Рассматривается случай n = 3.

Во второй главе развивается подход, основанный на аналогии самоорганизующихся систем с экологическими системами, способными менять свои параметры. В п. 2.1 в качестве системы с изменчивыми параметрами рассматривается паразитарная система, где популяция возбудителя (вируса), взаимодействуя с популяцией хозяина, меняет свои параметры. Обоснованием для выбора такой системы в качестве аналога социальной самоорганизации является сходство механизмов образования эпидемического очага и социальной группы: то и другое осуществляется посредством передачи информации (биологической - в первом случае и понятийной - во втором) в процессе хаотических встреч носителей информации с восприимчивыми к ней. В п.2.2 предлагается математическая модель развития эпидемии с учетом изменчивости возбудителя:

at at at

dV

- = (cNl-r- го0)К, (1)

Ni + N2 + N3 = Я = const, 0 < Ni(0) < Я, 0 < N2(0) < Я, 0 ^ JV3(0) < Я, 0 < V{0) < V,

(N\, N2, N3 - соответственно число восприимчивых, инфицированных, иммунных, V - вирулентность возбудителя, а, ¡3, с, то - положительные числа, г - фактор регуляции, К - максимальная величина вирулентности). Система (1) получена дополнением модели Кермака-Мак Кендрика дифференциальным уравнением для «изменчивого» параметра V и уравнением обратной связи а = aV. Кроме того, уравнения (1) дополняются условиями начала эпидемии: aV(Q)N\(Q) > (3, ciVi(O) — r(0) > mo- Выражение для г определяет один из трех механизмов регуляции: 1. г = mN3, 2. г = mN2, 3. г = m(N2 + N3) (т - положительный коэффициент). На основе количественных данных наблюдения показывается адекватность модели (1). Наряду с (1) рассматривается модель с учетом потери иммунитета:

= -aVNiNi + qN3, ^ = aVNM - 0N2, at at

dt Ф

dV , ЛГ \ Т/

— = (dVi - r - m0)V,

N1 + N2 + N3 = H = const (g - величина, обратная характерной длительности сохранения иммунитета, aV(0)iVi(0) > 0, cNi(0) — г(0) > то) и модель с учетом «простудной» компоненты:

= -pVN! - aVN^ + qN3, ^ = pVN1 + aVNxN2 - 0N2, dt at

dt ^ — = (cNi - r - m0)V,

N1 + N2 + N3 = H = const. (pVN\ - интенсивность реактивации скрытой инфекции при простуде, pV(0)JVi(0)+ aV(0)Ni(0)N2(0) > ¡3N2{0), cJVj(O) - r(0) > m0). На примере четырех со-

13

циальных явлений в п. 2.3 осуществляется проверка возможности переноса принципов построения моделей (1)-(3) в сферу моделирования социальной самоорганизации.

В п.2.3. качестве первого явления рассматривается развитие протестно-го движения сельскохозяйственных рабочих в Англии (1830 г.), вылившегося в разрушение механических молотилок. Показывается, что аналогия между изменчивой вирулентностью возбудителя и изменчивой агрессивностью рабочих, связываемой с числом разрушенных машин, качественно верно воспроизводит характер развития протсстного движения. Процесс моделировался уравнениями

dQ dR dV

— - -aVQ, — = aVQ, -=pQ- mV,

Q + i? = L = const,

<?(0) = L, V(0) = 0,

где Q - число целых машин, R - число разбитых, L - общее число тех и других, V - агрессивность рабочих, а, р, т - положительные коэффициенты. Если к - число рабочих, заменяемых одной машиной, то, принимая М = kQ, N = kR, с = кр, Н = kL, получим

М = -aVM,

N = aVM, M + N = H = const, (4)

V = cM - mV,

а с учетом «эпидемической» компоненты (подстрекающей к протесту) aVMN М = —aVM - a'VMN,

N = aVM + a'VMN, M + N = H = const, (5)

V = cM- mV.

В п.2.4 в качестве второго явления рассматривается самоорганизация движения «романтиков» (1960-е гг.), вылившаяся в творческое соревнование авторе

исполнителей (бардов). Показывается, что поведение системы с «изменчивым» параметром V (яркость творческого процесса, измеряемая приростом признанных песен за Д£) качественно верно воспроизводит характер молодежного движения. Система уравнений моделируемого явления имеет вид

^ = -аУВД, ^ = аУВД - /Ж2, ^ = т, N1 + N2 + N3 = Н, /? = 1 /т,

(б)

сIV

— = (сЛГх - тпЫ2)У.,

О < т(0) < Я, 0 < ЛГ2(0) < Я, 0 ^ ЛГ3(0) < Я, 0 < У(0) < к,

где N1 - число восприимчивых к романтике, N2 - число романтиков, N3 -число «переболевших» романтикой, Я - общее число участников, V - яркость романтической идеи, Т - характерная длительность пребывания во власти романтики, си та - коэффициенты обратной связи (положительные числа).

На основе сопоставления численного решения этой системы с данными наблюдений показана адекватность модели.

В п.2.5 рассматирвается модель формирования массового энтузиазма (19291938 гг.), а в п. 2.6. - модель формирования внутригруппового единства (чувства «мы»).

В п.2.7 выполняется качественный анализ поведения моделей (1)-(3) с разными механизмами внутренней регуляции. Для модели (2) доказываются три теоремы об асимптотической устойчивости положительной точки равновесия в случае механизмов 1,2,3, задаваемых слагаемым г: 1. г = тЛ^, 2. г = тЛ^, 3. г = т(Лг2 + N3) (теоремы 2.1, 2.2, 2.3). Аналогичные теоремы доказываются для модели (3) с теми же тремя механизмами (теоремы 2.4, 2.5, 2.6). В п.2.6 проводится сравнение поведения моделей (1)-(3).

В пп 2.9-2.11 изучается поведение моделей (1)-(3) на длительном промежутке времени. Для проверки возможности существования циклических

режимов сначала находятся условия существования пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения третьей степени для положительной точки равновесия системы (2), причем с положительными вещественными частями. Показывается, что в этом случае траектории только входя в область 0 < N1 < Н, 0 < N2 < Я, Ц > 0, оставаясь в ней при Ь —► +оо. Вместе с тем, единственная точка равновесия в этой области, (N1, N2, У), неустойчива. На основании этого анализа формулируются три теоремы о существовании в системе (2) ограниченного инвариантного множества для трех случаев задания г: 1. г = тЛГ3, 2. г = тЛ?2, 3. г = 2 + N3) (теоремы 2.7, 2.8, 2.9). На рис. 1 (с.32) приводится результат численного исследования случая г = тЫ3.

В п.2.12 развивается универсальный метод построения класса математической модели социальной самоорганизации. Выделяется концептуальная и математическая часть. В основу первой берется концепция двустадийной самоорганизации. Разработка этой концепции состоит в указании вида организующего фактора и его п компонент, обусловливающих дифференциацию массы субъектов по п направлениям; кроме того, описывается внутренняя регуляция фазовых переход в период активизации массы и в период дифференциации ее с образованием п групп. Математическая часть состоит в построении балансных уравнений и уравнений регуляции, объединяющих фазовые переменные с параметрами порядка. На этой методике основаны математические модели, приведенные в третьей и четвертой главе.

В главе три приводятся разнообразные математические модели социальной самоорганизации с одним параметром порядка. Упорядочение моделируется как взаимосвязанное изменение параметра порядка и численности образующейся группы. В зависимости от вида социальной самоорганизации параметр порядка меняет свой смысл. Рассматриваются три вида. Особенности их отражены в п. 3.1.

В 3.2. моделируется общественно-значимая социальная самоорганизация, связанная с обсуждением социальных проблем и формированием социального представления. Приводятся следующие математические модели: математическая модель образования дискуссионной группы, математическая модель с учетом активности организовавшихся, математическая модель с активно формирующейся идеей, математическая модель формирования социальных представлений. Выполняется качественный анализ всех моделей. Приведем одну из них. Пусть в процессе общения М человек формируется идея, способствующая их объединению, N - число объединившихся, а V - уровень развития объединяющей идеи. Полагая, что общение носит открытый характер, т.е. любой может стать его участником и в любой момент выйти из общения, составим балансные уравнения для М и N, дополняя их уравнением для «параметра порядка» У:

^ - -aVM - a'VMN + (3N,

, М + N = const,

— = aVM + a'VMN - (3N, (7)

at

^f- = cM - mV,

at

где aVM - интенсивность объединения под действием лидера, a a'VMN -под действием объединившихся, ДЛГ - интенсивность выхода из объединения, сМ - интенсивность формирования идеи (тем большая, чем больше масса М, в которой она формируется), mV - интенсивность распада (т = 1 /Ту, Ту — характерная длительность сохранения представлений, отражающих данную идею). Дополним уравнения начальными условиями, полагая, что в начальный момент не было ни идеи, ни ее носителей:

V(0) = О, N(0) = 0.

Выполнен качественный анализ математической модели (7) и дан численный

пример для двух сценариев: 1. а > 0, а! = О, 2. а > О, а! > 0. Уравнения (7) в данной интерпретации не предлагались ранее.

В п.3.3 моделируется социально-психологическая самоорганизация, связанная с переживаниями людей. Приводятся следующие математические модели: математическая модель развития социального стресса, математическая модель развития социального оптимизма, математическая модель формирования коллектива. Приведем первую. Рассмотрим массу индивидов численностью Н. Представим, что в момент £о одному из них или нескольким сообщено о событии, которое вызывает у них эмоционально-негативное переживание (стресс); это сообщение они передают другим, наделяя его яркими образными элементами, усиливающими переживание.

Пусть информация о событии передается от одного другому в процессе случайных встреч. Тогда в массе восприимчивых индивидов развивается процесс, подобный эпидемическому, но вызванный не биологической информацией, а речевой.

Выделим три фазы развития психологического стресса: начальную, генерализованную, восстановительную и подсчитаем число индивидов, находящихся в данный момент в каждой из этих фаз. Пусть это будет Ni, N2, N3, причем общее число их будем полагать постоянным: N1+N2+N3 = Н = const. Переход индивидов из одной фазовой группы в другую будет отображать развитие социального стресса. Построим математическую модель этого явления.

Следуя тем же предположениям, которые были приняты при построении модели развития эпидемического процесса (п.2.2), предложена следующая

математическая модель:

^ = -aVNM - pVNi + qN3, at

^ = aVNxN2 + pVNi - j3N2, at

^ = /Щ _ qN3, N1 + N2 + N3 = H = const (8)

at

dV , ДГ

— = (cNx - r - m0)V,

0 < iVi(O) < H, 0 ^ N2(O) < H, 0 ^ N3 < Я, 0 < V(0) < V„

где V- степень эмоциональной выраженности сообщения (число элементарных образов - слов, вызывающих то или иное негативное чувство), aVNiN2 ~ интенсивность распространения образа в передачах от носителя восприимчивому, &pVNi - от восприимчивого восприимчивому, (3 = 1 /Тр, Т/з - характерная длительность пребывания в фазе генерализованного стресса, q = \/Tq, Tq - характерная длительность сохранения «иммунитета» к повторному стрессу (полагая потерю «иммунитета» вызванной обновлением информации), cN\ и г - слагаемые, отражающие положительную и отрицательную обратную связь. Основанием для введения положительных и отрицательных обратных связей является то обстоятельство, что эмоционально-оценочный механизм передачи образа привносит в него новые элементы - как положительные, так и отрицательные; первое активно идет в массе восприимчивых, второе -в массе выходящих из стресса (подавляющих образ). Рассматриваются три возможных механизма давления на формирующийся социально-перцептивый образ: г = mNz, г = mN2, г = m(N2 + N3). Анализ поведения этой модели выполняется в п. 2.5.

В п.3.4 моделируется социокультурная самоорганизация, связанная с образованием субкультур. Приводятся следующие математические модели: математическая модель образования социокультурной группы, математическая

модель развития молодежной субкультуры, математическая модель развития протестной субкультуры, математическая модель формирования народных образов, математические модели с трехфазной эволюцией. Приведем одну из них. Показателем развития новой молодежной субкультуры примем расширяющийся набор элементов, характеризующий новый тип поведения, одежды, языка. Пусть V - число таких элементов, появляющихся в молодежной массе Я за время At, М - число восприимчивых к этим элементам, а N - число их носителей (М + N = Я = const). Процесс вовлечения в новую субкультуру можно описать уравнениями:

^ = -aVMN + (3N,

, М + N = Я = const,

dN

— = aVMN - j3N,

dt

^ = (cM - mS)V, S = const,

(9)

0 < М(0) < Я, 0 ^ N{0) < Я, 0 < V(0) < К, где aVMN - интенсивность вовлечения, ßN - интенсивность ухода, (сМ — mS) - регулирующий множитель при V, отражающий влияние на V разности двух компонент: желающей новизны и отторгающей ее. Желающей новизны является масса М, а отторгающей - масса представителей господствующей культуры S. Здесь сМ выполняет роль положительной обратной связи, а mS - отрицательной. Сделав замену М = Я — N, перейдем к системе dN

— = (aV{H-N)-ß)N, ЛГ(0)>0,

^ = (с(Я -N)- mS)V, V(0) > 0. dt

Эта система имеет два состояния равновесия:

l.N = 0, V = 0, 2. N = Я - mS/c, V = ß/(a(H - N)). При сЯ — mS > 0 состояние 1 неустойчиво, а состояние 2 асимптотически устойчиво в области {0 < N < Я, IV > 0} (узел - при ß > ас, фокус - при

/3 < ас). При сН — тЗ < 0 состояние 2 теряет физический смысл, а состояние 1 становится асимптотически устойчивым в той же области.

Из сделанного анализа следует: при слабом влиянии представителей общепринятой культуры (малое 5) новый тип поведения быстро развивается, обретая новых и новых подражателей, а при достаточно сильном - угасает; чем больше представителей общепринятой культуры в массе индивидов М, тем меньше опасность развития отклоняющегося поведения. Модель (9) не предлагалась ранее.

В п. 3.5 предлагается математическая модель парного группирования. В пп. 3.6-3.7 рассматриваются модели суточной и недельной самоорганизации в трудовых коллективах. В пп. 3.8-3.9 моделируются синергетические эффекты взаимодействия мнений (эффект маятника) и творческих усилий (эффект новаций). В п. 3.9 приводится пример математико-исторического исследования (развитие трудового энтузиазма), а в п. 3.11 - пример математико-этнопсихологического исследования (развитие групповой сплоченности).

В четвертой главе исследуются модели социальной самоорганизации, полученные с учетом двух и более параметров порядка. В п. 4.1. отмечаются особенности многопараметрической самоорганизации. Вводится понятие об аморфно-активном состоянии, предшествующем дифференциации на группы. В п. 4.2. моделируется процесс активизации населения (переход в аморфно-активное состояние) в условиях циркуляции п идей, а в п.4.3 - процесс объединения в группы сторонников той или иной идеи. Дается численный пример, иллюстрирующий выявление ведущей идеи, объединяющей наибольшее число сторонников. Показывается, что принцип подчинения, предложенный Хакеном, может реализоваться не только в силу разной затухаемости идей, но и в силу разной конкурентно-способности их. Автором предложена

математическая модель:

dt

dN

dt

г

dNi

= ]T PÍVÍM -bN-Y, aiyiN + £ i i

= aiViN - &Ni,

(10)

dt

^ = CiM - ]T kjViVj ~ rriiVi,

M + N + Y,Ni = H = const, i = T~ñ, i

M(0) = H, N(0) = 0, Ni{0) = 0, V¡(0) = 0 (t = l~ñ),

где M - число восприимчивых к n идеям, N - число обдумывающих их (аморфно-активная масса), Ni - число объединившихся вокруг г-й идеи, V¡ - яркость г-й идеи (образная выразительность ее возрастающая в спорах), PíVíM - интенсивность захвата г- идеей, a¿V¿iV - интенсивность объединения вокруг нее, bN и /?¿iV¿ - интенсивности обратных потоков (вызванных переменою мнения), rrii = 1 /Ti, Ti - характерная длительность циркуляции ¿-идеи в массовом сознании, - коэффициент давления на нее j-й идеи (чем меньше kij, тем выше конкурентно-способность г-й идеи в сравнении с j-й), Н - общее число участников социального процесса. Дополнительно исследуются модели с учетом «эпидемической» компоненты захвата (a"ViNNi) и с учетом возврата в число восприимчивых (qiNi), все коэффициенты - положительные числа. Вводятся понятия: упорядочение с подчинением (выстраиванием компонент в иерархический ряд) и упорядочение с подавлением (выявлением ведущей, подавляющей прочие до нуля). Дается расчет по комплексу программ, показывающий особенности этих случаев (рис. 2, 3, с. 32). В пп 4.4, 4.5 исследуются математические модели с сохраняющейся активностью обсуждения идей,

что соответствует наличию состояния равновесия с положительным значением V.

В пп. 4.6 - 4.8 исследуются математические модели, основанные на понятии о групповой сплоченности: модели образования коллектива как объединения п когорт (для этого уравнения 10 дополняются уравнением формирования коллективного сознания), модель объединения вокруг «центров притяжения» и модели самоорганизации групп по интересам.

В п.4.9 строится математическая модель взаимодействия п культур с формированием единой культуры общения при сохранении собственных (традиционных) культур. В п. 4.10 выполняется качественный анализ модели взаимодействия двух культур без формирования общей культуры, а в п.4.11 - с формированием. Второй случай исследуется методами теории сингулярных возмущений; особенность состоит в введении двух малых параметров разной малости. Доказываются утверждения 4.1, 4.2 о существовании предельного решения при последовательном «занулении» малых параметров.

В п. 4.11 исследуется синергетический эффект, возникающий в пересудах толпы. Строится математическая модель и выполняется качественный анализ.

В Заключении приводятся главные итоги выполненного междисциплинарного исследования. К числу основных результатов исследования можно отнести следующие.

Развит универсальный метод построения класса математических моделей, описывающих образование и развитие социальных групп. В основе метода - теория динамических систем, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория сингулярных возмущений.

Развиты приемы формализации и язык описания социальных явлений; разработаны приемы измерения изменчивых групповых характеристик; предложена концепция внутренней регуляции, связывающая изменчивые группо-

вые характеристики с численностями социальных групп.

Показана адекватность моделей с предложенной внутренней регуляцией для нескольких случаев социальной самоорганизации.

Исследован ряд математических моделей с одной изменчивой характеристикой, отражающей уровень групповых представлений либо уровень группового восприятия либо уровень выраженности групповых норм.

Создан ряд математических моделей с двумя и более «изменчивыми» характеристиками для случая самоорганизации двух и более альтернативных групп.

Создан комплекс программ по численному анализу построенных математических моделей.

Проведены численные исследования моделей с тремя изменчивыми характеристиками, позволившие обнаружить два качественно разных режима выявления ведущей компоненты: с подавлением прочих до нуля и с расстановкой прочих в иерархический ряд.

Выведены условия существования устойчивых режимов в моделях с одной изменчивой характеристикой; доказаны теоремы об асимптотической устойчивости точек покоя; доказаны теоремы о существовании ограниченного инвариантного множества.

Список публикаций

1. Колесин И.Д. Теоретический анализ возможных типов хронической вирусной инфекции клеточной популяции// Биофизика. Т.36.1991. Вып.З. с. 480-482.

2. Колесин И.Д. Применение принципа баланса уверенности к задаче разбиения множеств // Автоматика и телемех. 1991. № 12. С. 156-158.

3. Колесин И.Д. Математическая модель саморегулируемой паразитарной системы// Биофизика. 1993. Т. 38. Вп. 5. С. 892-894.

4. Колесин И.Д. Динамическая модель физического здоровья населения // Гигиена и санитария. 1993. № И. С. 71-72.

5. Колесин И.Д. Математическое моделирование системы человек - микросреда - внешние условия // Гигиена и санит. 1993. № 12. С.47-48.

6. Колесин И.Д. Модель выборной кампании // Автоматика и телемеханика. 1994. № 2. С. 132-139.

7. Колесин И.Д., Сошнев А.Н. Комплексная оценка уровня здоровья человека // Гигиена и санитария. 1994. № 9. С. 34-35.

8. Колесин И.Д. Математическая модель сезонного роста растений// Физиология растений. 1994. Т.41. № 4. С.638.

9. Колесин И.Д. Математическое моделирование изменений энергетического обмена в онтогенезе животных //Онтогенез. 1994. Т.25. № 2. С. 89-91.

10. Колесин И.Д. Математическая модель упорядоченности в организмах и ее изменения // Онтогенез. 1994. Т.25. № 4. С.5-6.

11. Колесин И.Д. Анализ развития эпидемии в фазе распространения ведущего варианта возбудителя. Математическая модель. // Биофизика. 1994. Т.39. Вып.5. С. 927-930.

12. Колесин И.Д. Анализ непостоянства эпидемических вспышек в ритмике сезонных подъемов заболеваемости // Биофизика. Т.40. 1995. Вып.1. С.126-131.

13. Колесин И.Д., Сошнев А.Н. Дифференциальная диагностика донозоло-гических состояний человека с учетом особенностей социальной среды // Вестник СПбГУ. 1995. Сер.4. Вып.2. С.39-42.

14. Колесин И.Д. Математическая модель круговой изменчивости вируса гриппа А. // Вопросы вирусологии. 1996. № 1. С.12-13.

15. Колесин И.Д. Циклические колебания в модели эпидемического процесса // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. № 9.С.1153-1154.

16. Колесин И.Д. Математическая модель предэпидемической циркуляции: анализ механизмов направленной перестройки // Жури, микробиологии. 1997. № 3. С.43-45.

17. Колесин И.Д. Моделирование регуляции межэтнического восприятия // Психологч. журн. 1997. Т.18. № 4. С.118-122.

18. Колесин И.Д. Феномен субкультуры: моделирование, возможности управления// Известия АН. Сер.ТиСУ. 1997. № 4. С.156-160.

19. Колесин И.Д. Модель общественного здоровья // гигиена и санитария. 1997. № 4. С.44-46.

20. Колесин И.Д. Математическая модель межэтнических отношений // Известия АН. Сер. ТиСУ. 1998. № 3. С.137-143.

21. Колесин И.Д., Тендера М.Ф. Оптимизация противогриппозной профилактики// Автоматика и телемех. 1998. № 3. С.132-139.

22. Колесин И.Д. Математические модели в биологических, медицинских и гуманитарных приложениях// Процессы управления и устойчивость. Труды XXIX науч. конф. ПМ-ПУ. СПб, СПбГУ, 1998. С.432-439.

23. Буре В.М., Колесин И.Д. Анализ влияния социальных факторов на динамику заболеваемости// Гигиена и санит. 1999. № 2. С.62-63.

24. Колесин И.Д. Подходы к изучению социокультурных процессов // Со-циол. исследования. 1999. № 1. С.130-136.

25. Колесин И.Д. Многокритериальная оптимизация в определении приоритетов: медико-демографическое приложение // Экономика и математические методы. 1999. Т.35. № 2. С. 151-153.

26. Колесин И.Д. Многокритериальная оптимизация управления коллективным иммунитетом // Процессы управления и устойчивость. Труды

XXX науч. конф. ПМ-ПУ. СПб. СПБГУ, 1999. С.82-83.

27. Колесин И.Д. Оптимизация распределения средств для поддержания межэтнического согласия // Автоматика и телемеханика. 1999. № И. С.113-123.

28. Колесин И.Д. Математическая модель развития внутригрупповой суггестии и контрсуггестии //Психол.журн. 1999. Т.20. 1. С.120-125.

29. Колесин И.Д. Идентификация модели развития субкультуры // Известия АН. Сер.ТиСУ. 2000. № 4. С. 129-133.

30. Колесин И.Д. Германский национализм как социально-психологический феномен: математическая модель развития национальной идеи // Психол.журн. 2000. Т.21. № 3. С.34-42.

31. Колесин И.Д., Морозова О.Г. Задача оптимизации управления эпидемическим процессом // Процессы управления и устойчивость. Труды

XXXI науч.конф.ПМ-ПУ. СПб, СПбГУ, 2000. С.71-72.

32. Колесил И.Д. Идентификация модели межэтнических отношений // Известия АН. Сер.ТиСУ. 2001. № 1. С. 155-159.

33. Колесин И.Д. Релаксационные явления в модели развития повторной эпидемии //Дифференц. уравнения. 2001. Т.37. № 9. С.1277-1278.

34. Колесин И.Д. Математическая модель развития массового энтузиазма // Психол.журн. 2001. Т. 22. № 1. С.113-118.

35. Колесин И.Д. Управление в культурологичеких системах // Известия АН. Сер.ТиСУ. 2002. № 5. С.74-80.

36. Колесин И.Д. Стабилизация отношений в этнических системах // Известия АН. Сер.ТиСУ. 2003. № 6. С.129-134.

37. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Сингулярные задачи оптимального управления эпидемическим процессом// Процессы управления и устойчивость. Труды XXXV науч.конф. ПМ-ПУ, СПб, СПбГУ, 2004. С. 303-307.

38. Колесин И.Д., Трояножко O.A. Фрактальный подход к анализу ранней стадии развития эпидемии. Труды XXXV науч.конф. ПМ-ПУ, СПб, СПбГУ, 2004. С. 322-324.

39. Колесин И.Д., Житкова Е.М. Математические модели эпидемий. Учебное пособие. СПб. НИИФ СПбГУ. 2004. 91 стр.

40. Колесин И.Д. Модели взаимодействия культур и управление социокультурными процессами. Учебное пособие. СПб. НИИФ СПбГУ. 2004. 84 стр.

41. Колесин И.Д. Моделирование взаимодействия этнокультур /// Изв.АН. Сер. ТиСУ. 2005. №6. С. 75-84.

42. Колесин И.Д. Модели взаимодействия культур и управление социокультурными процессами. Учебное пособие, СПб: НИИФ СПбГУ. 2005. 84 с.

43. Колесин И.Д. Модели взаимодействия этнокультур и управление этнокультурными процессами. Учебное пособие, СПб: СПбГУ. 2005. 84 с.

44. Колесин И.Д. Введение в математическое моделирование острых респи-раторно - вирусных инфекций. Учебное пособие, СПб: НИИФ СПбГУ. 2005. 92 с.

45. Колесин И.Д. Модель развития эпидемии с учетом изменчивости возбудителя в приложении к объяснению повторных вспышек. Междунар. конф. «Устойчивость и процессы управления». Россия, СПб. (29.0601.07) 2005. Сб. трудов, т. 2, С. 1094-1098.

46. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Задача управления профилактикой гриппа/ / Процессы управления и устойчивость: Труды XXXVI научной конференции студентов и аспирантов факультета ПМ-ПУ. - СПб: Издательство СПбГУ, 2005, с. 219-222.

47. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Сингулярная задача управления эпидемическим процессом // Тезисы докладов межрегиональной конференции «Современные математические методы и информационные технологии в образовании». Тюмень, 2005. с. 22-23.

48. Колесин И.Д. Моделирование взаимодействия этнокультур // Изв. АН. Сер. ТиСУ. 2005. № 6. С. 75-84.

49. Колесин И.Д. Математические модели острых респираторно-вирусных инфекций и их клинических проявлений. Учебное пособие. СПб: СПбГУ, 2006. 93 с.

50. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Оптимизация профилактики групп риска // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007, т.14, с. 293-294.

51. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Задача организации экстренной профилактики групп риска // Вестник СПбГУ, сер. 10, 2007, вып. 3. с.00-00.

52. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Задача организации вакцинопрофилакти-ки школьников с учетом неоднородности районов города. // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII международной научной конференции аспирантов и студентов, 2007.

53. Колесин И.Д. Математические модели субкультур. СПб: издательство СПбГУ, 2007, 130 с.

54. Колесин И.Д. Самоорганизация и формирование малых групп // Изв.АН. Сер. ТиСУ. 2008. № 2. С. 111-118.

55. Колесин И.Д., Житкова Е.М. Оптимизация противоэпидемической профилактики школьников // Автоматика и телемеханика, 2008, № 7, с. 129-135.

56. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Применение принципа максимума к оптимизации плановой профилактики групп риска // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2008, т. 14, с.293-294.

57. Колесин И.Д. Принцип максимума в организаторской деятельности // Вестник СПбГУ, сер. 10, 2008, вып. 4. с.9-13.

58. Житкова Е.М., Колесин И.Д. Прикладное значение изопериметриче-ских задач // Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVIII

международной научной конференции аспирантов и студентов, СПб, 2008. с. 209-212.

59. Колесин И.Д. Математические методы теории управления в задачах организационной культуры. СПб.: «Соло». 2008. 130 с.

60. Колесин И.Д. Математическая модель развития эпидемического процесса с аэрозольным механизмом заражения // Биофизика. 2007. Т.52. Вып. 1. С. 147-150.

61. Колесин И.Д. Математические модели самоорганизации в социокультурных системах. СПб: изд. СПбГУ, 2009. 148 с.

Рис. 1. Возникновение ограниченного инвариантного множества в системе (2).

Рис. 2. Поведение модели (10) при q^ > 0.

500 " 450 4 400 -350 -300 -230 -200 -130 -100 • 50 -0-

■м

■щ

80 1М 120 140 160 Ш 300

Рис. 3. Поведение модели (10) при q¡ = 0.

Подписано к печати 10.09.10. Формат 60 «84 1/16 . Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4913. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812)428-40-43,428-69-19