автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели плоских стационарных силовых полей в гетерогенных средах

^ #

На правах рукописи

ОБНОСОВ Юрий Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ— 1998

Работа выполнена в Казанском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Елизаров А.М.

доктор физико-математических наук профессор Петров И.Б.

доктор физико-математических наук профессор Сильвестров В.В.

Ведущая организация —Институт математического

моделирования РАН

Защита состоится 18 июня 1998 г. в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 053.29.10 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд.324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " № ' " _1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета кандидат физико-математических I

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена систематическому исследованию двух актуальных направлений в теории неоднородных сред:

I) Построение решений полевых задач для конкретных модельных гетерогенных структур.

II) Определение и анализ эффективных - осредненных параметров (эффективных сопротивлений/проводимостей и диссипации), характеризующих изучаемые среды как в среднем однородные.

Классическая в теории плоских гетерогенных сред математическая модель состоит в построении плоскопараллельного стационарного силового поля у{х,у) = (их>г>у) = ^(¡г, у), (я,2/) € Р — 1, "г, потенциального и солекоидального в каждой изотропной фазе Пр изучаемой ш-фазной среды:

Цу\р(х,у) = 0, rotvp(x,y) =0, (1)

по краевому условию

[^(®.1/)]п=К(х,7/)]п, = {х,у)£Срд, (2)

заданному во всех точках гладкости кусочно-гладкой границы контакта Сщ = дБрОдБ,, разнородных фаз Бр и (п-нормаль, а т - касательная к Сп в точке (х, у)). Кусочно-постоянный коэффициент р{х, у) = рр при (х,у) 6 5Р, в общем случае предполагается тензорным:

Рр = РР

1 РР -0Р 1

(•О

где рр > 0 и рр £ Ж - параметры, физический смысл которых зависит от природы исследуемого поля, например, под ними соответственно понимаются коэффициент сопротивления (величина обратная проводимости ор) и параметр Холла материала фазы 5,„ если иметь в виду электродинамическую интерпретацию.

Актуальность темы. Исторические сведения. Расчет полей в неоднородных средах начиная с конца прошлого века1 и особенно в

1Ьоп1 ЯяуЬ-'щЪ Он (Ли; шйиеите \>{ оЬ.чкгк^ея ;итаи£<!<1 ш геск;ш^и1;и кпЬч щюп Ни; рпцляйев <>{' шс-Цши. РЫ1. Мая. 1802. 34. Р.481-502, Михтт П .1 С. А ТгоЖ.н^ «и ЕЬ'.ЫгИу ат! МадпсИчт. Зг<1 е<1п. ОхГоп! Шт-гв^лт Рте«8. 191)4. 1. 440 р.

последние десятилетия привлекал пристальное внимание ученых и инженеров. Это объясняется широким внедрением композиционных материалов в технике и взаимно дополняющими процедурами апскейлинга-даунскейлинга в химической технологии, теории фильтрации, теории теплопроводности и др., когда свойства естественно-неоднородных материалов исследуются с различной степенью точности в зависимости от масштаба объекта. Модели, опиравшиеся на линейные уравнения и предположение об однородности среды, в которой отыскивалось поле, оказываются зачастую довольно „грубыми", поэтому в последние годы исследования осуществляются по двум основным направлениям: во-первых, это переход к нелинейным уравнениям2 и, во-вторых, учет структурной неоднородности среды (случайно-неоднородные среды3 и среды с периодической структурой4). Именно последнее направление развивается в нашей работе. Точнее, нас будут интересовать гетерогенные, кусочно-однородные среды, состоящие из различных изотропных и однородных по своим физическим свойствам компонентов.

В теории гетерогенных сред в целом и при изучении задачи (1)-(3) в частности четко прослеживаются две основные тенденции. Первая и основная обусловлена тем, что в общем случае не существует общих аналитических методов, дающих решение проблемы (1)—(3), что с необходимостью порождает развитие различных численных, асимптотических и вариационных подходов. Это позволяет не только рассчитать искомые поля с приемлемой степенью точности, но и найти приближенные значения эффективных параметров изучаемых композиционных материалов. Подробная библиография, посвященная этому направлению, приведена, например, в монографиях Н.С.Бахвалова и Г.П.Панасенко, В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник, М.И.Швидлера, Беара (J.Bear), Санчес-Паленсии (E.Sanchez-Palencia) и работах Хашина и Штрикмана (Z.Hashin, S.Shtrikman), К.А.Лурье и А.В.Черкаева и др.

2Ахромсевп Т.С., Курдюмчв С.П., Мллинсцкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992. 541 с.

*Фокии А.Г. Проводимость случайно-неоднородной среды // ЖЭТФ 1993. 104. вып.3(9). С.3170-3192.

4 Бахвалов Н. С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984. 352 с.

Безусловно, приближенные методы в решении прикладных задач играли и будут играть основную роль. Вместе с тем, в ряде ситуаций нужна картина „тонкой" структуры поля, особенно в области контакта разнородных компонентов, которая может быть получена только на основе строгих аналитических решений. В работах второго направления и в настоящей диссертации рассматривается ряд конкретных гетерогенных структур, для которых решение задачи (1)-(3) удается получить в замкнутой форме с помощью некоторой цепочки строго обоснованных аналитических построений. Затем найденные таким образом решения (в последующем именно их мы будем называть точными) используются для получения в явной форме значений соответствующих эффективных параметров. Впрочем, иногда удается найти точные значения эффективных параметров, минуя этап построения решения полевой задачи. Так, Келлером5 в скалярном случае (ßp = 0 в (3)) эыло доказано, что для двоякопериодической системы симметричных включений, оси симметрии которых параллельны образующим прямоугольной решетки периодов, имеет место равенство

<7ef(<ri,<72)&ef(<r2,0-l) = °\<ГЬ

где сг^((7х,сг2) (ofy(<72,c7i)) - эффективная проводимость среды в направлении оси х (у) при условии, что оси координат параллельны осям :имметрии среды. Здесь = l/pi (сг2 = 1/рг) - проводимость матри-ды, а <т2 (Vi) - проводимость материала включений. Мендельсон6 обоб-дил результат Келлера на случай произвольных плоских двухфазных ;истем с ортогональными главными осями.

А.М.Дыхне,7 изучая проблему распределения электрических полей i двухфазных пленках, установил, что для скалярного коэффициента 3) эффективная проводимость cref регулярной плоской двухфазной среда, различные фазы Si,52 которой находятся в „статистически эквивалентных" условиях, равна геометрическому среднему проводимостей

5Keller J.В. A theorem он the conductivity of a composite medium // Journal. Math. >liys. 1964 5. P.548-549.

6 Men dr J sou K.S. A theorem on the effective conductivity of a two-dimensional Leterogeneons medium // Journal. Appl.Pliys. 1975. 46. P.4740-4741.

7Дыхне A.M. Проводимость двумерных двухф;пных систем // ЖЭТФ. 1970. 59. L110-115.

(т!, сто компонентов ее составляющих. Под ое/ Дыхне понимал отношение осредненных по площади элементарной ячейки (по прямоугольнику периодов) значений векторов плотности тока и напряженности электрического поля. Вообще говоря, в цитируемой работе получено гораздо более общее равенство:

СТР/(с)сге/(1 - с) = <Г1<Т2,

где с - концентрация первой фазы ¿>1.

Две последние формулы и, как частный случай (с = 1/2) последней, формула о геометрическом среднем являлись до недавнего времени по сути единственными точными аналитическими формулами для эффективной проводимости регулярных двухфазных сред.

Дыхне для вывода своих соотношений применил метод перехода к ..взаимной" системе, т.е. к системе отличающейся от исходной лишь заменой <Г] <72- Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Б.Я.Балагурова и Шульгассера (К.БсЬи^аззег). Ю.П.Емец пришел к формуле геометрического среднего, исследуя с помощью метода симметрии квадратное шахматное поле.

Строгие, точные решения полевых задач для кусочно-однородных по проницаемости структур, к сожалению, немногочисленны и каждое новое решение не только представляет самостоятельный теоретический интерес, но и может служить тестовым для существующего стандартного программного продукта и для вновь разрабатываемых приближенных методов.

К точным методам, конечно, следует отнести метод Фурье, последовательно использованный Г.А.Гринбергом8 при решении задач магнито- и электродинамики для некоторых простейших составных сред. Метод задачи Римана-Гильберта наиболее полно отражен в монографии В.П.Шестопалова,9 в которой получены строгие решения ряда задач теории дифракции и приведена подробная библиография работ, посвященных этому подходу. В работах В.В.Сильвестрова задачи

еГ1>ин1>1:]>г Г А. Игранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлмшй.М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1948. 728 с.

9Ш<<-топ:шив В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения ■электромагнитных волн Харьков: Нч-ви Харьк. ун-та. 1971. 400 с.

теории упругости для многолистных поверхностей с разрезами решены путем приведения к задаче Римана.

Аппарат теории функций комплексного переменного в целом и в частности теория краевых задач для аналитических функций интенсивно использовались при изучении фильтрации в неоднородных пористых средах П.Я.Полубариновой-Кочиной,10 ее учениками и последователями. Рассматривая задачи формирования электрических полей в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах, Ю.П.Емец,11 предложил метод сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче Мар-кушевича (ее еще называют обобщенной задачей Римана, а также задачей М-линейного сопряжения). Используя хорошо развитую теорию краевых задач (Ф.Д.Гахов, Н.И.Мусхелишвили, Л.И.Чибрикова), Ю.П.Емец получил решение некоторых полевых задач, а затем вычислил эффективные характеристики соответствующих регулярных гетерогенных структур. Наши исследования наиболее тесно примыкают к только что указанным. Более того, как хорошо видно из приведенной в конце автореферата библиографии, первые работы по теории гетерогенных сред были выполнены автором совместно с Ю.П.Емецом, которому помимо постановки задачи в этих работах принадлежит и вся их физическая часть.

Цель работы. Получить для новых классов гетерогенных структур решение соответствующих полевых задач (1)-(3) в явной форме. В тех случаях, когда решение выписывается в виде бесконечных рядов, построить удобный для практического использования аппарат приближенного вычисления, позволяющий восстановить искомое векторное поле с любой наперед заданной точностью. Определить эффективные параметры рассматриваемых в работе двоякопериодических двухфазных структур, установив и проанализировав их явную зависимость от физических и геометрических характеристик самой среды и от величины и направления внешнего поля, в которое она помещена.

Научная новизна. В диссертации построена теория двухфазных

10Полу6принова.-Кочнна П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1S77. G64 с.

"Емсц Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук.думка. 1D87. 254 с.

задач с линией раздела разнородных компонентов - кривой второго порядка. Новым методом рассмотрен ряд известных, а также новых трехфазных структур. Даны решения полевых задач для трех модельных двухфазных, двоякопериодических сред. Для исследуемых регулярных структур найдены формулы их эффективных характеристик, обобщающие формулы Дыхне.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск, 1986 г., Всесоюзной научной конференции по классическим и неклассическим краевым задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Куйбышев, 1987 г., Всесоюзной школе по краевым задачам. Сухуми, 1987 г., СевероКавказской региональной школе-конференции „Линейные операторы в функциональных пространствах". Грозный, 1989 г., XXII летней математической школе по современным вопросам теории функций и топологии. Кацивели, 1990 г., Расширенном заседании семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа при Тбилисском государственном университете. Тбилиси, 1990 г., Международной научной конференции „Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева. Казань, 1994 г., Первой Российской национальной конференции по теплообмену. Москва, 1994 г., XIX, XX, XXII General EGS Assembly. Viena, 1994, 1995, 1997., Всероссийской школе-конференции „Теория функций и ее приложения". Казань, 1995 г., Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения -95". Набережные Челны, 1995.. International Conference "Analytic-based Modeling of Groundwater Flow". Netherlands, Nunspeet, 1997, International Conference "Regionalization in Hydrology". FRG, Braunschweig, 1997, International Symposium "Advances in Computational Heat Transfer". Turkey, Cesme, 1997, Saint-Venant Symposium. France, Paris, 1997, Международной научной конференции „Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева. Казань, 1997 г., Международной конференции „Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию Л.Д.Кудрявцева. Москва, 1998.

С сообщениями о результатах диссертации автор также выступал на семинарах акад. Н.С.Бахвалова (Москва, МГУ), проф. Э.И.Зверовича (Минск, БГУ), проф. Ю.П.§меца (Киев, ИЭД АН Украины), проф. Ю.А.Казьмина (Москва, МГУ), проф. И.Б.Петрова (Москва, МФТИ) доктора физ.-мат. наук, доцента Н.Б.Плещинского (Казань, КГУ), проф. Б.В.Шабата (Москва, МГУ).

Результаты по мере их получения регулярно докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета и НИИММ им.Н.Г.Чеботарева, а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (руководители проф.Л.И.Чибрикова и проф.В.И.Жегалов).

Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит 262 страницы и состоит из введения, пяти глав, разделенных на 26 параграфов, и списка литературы, состоящего из 151 наименования.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-26] и тезисах [27-43]. Из совместных статей [1-16], в диссертации использовались только те результаты, которые были получены лично автором.

Краткое содержание диссертации Во введении сформулированы цели диссертации, приведен исторический обзор и дано краткое изложение основных результатов. Показано, что если физическую плоскость (х,у) интерпретировать как плоскость комплексного переменного у, вектор v как комплекснознач-ную функцию v(z) = vx + i vy аргумента z = i + iy,a тензор (3) отождествить с комплексным числом рр = рр( 1 — i/3p), то проблема (1)-(3) приводится относительно функции v(z) = vp(z) = ирх(х, у) — ivpy{x,y), z € Sp, p = 1 , m, голоморфной в каждом однородном компоненте Sr рассматриваемой среды, к эквивалентной задаче R-линейного сопряжения:

vp{t) = ./WO - t е (4)

где t(s) = tM(s) € Срд - функция точки контура £ = [J LVI (объединение берется по всем тем р, q, для которых Ст = dSv П dSq ф 0) от

натурального параметра 5,

л Рр + А; ■ РрРр ~ Р'А с _ Рр ~ Рд ; РрРр ~ ЛА ,еч

арч — ~о--1 --' арч — ~7г--1 ¡7" • v0/

2 р„ ¿рр " 2 Рр 2 рр

В угловых точках Т контура С у комплексно сопряженных функций у(г) и у(г) допускается наличие интегрируемых особенностей.

Краевая задача (4) является частным случаем трехэлементной задачи К-линейного сопряжения, впервые сформулированной А.И.Маркушевичем. Как известно, в общем случае эта задача в явном виде ке решается. Первые результаты об условиях ее разрешимости были получены в работах Н.П.Векуа и Б.В.Боярского: Наиболее полно качественная теория задачи Е-линейного сопряжения в так называемых эллиптическом и параболическом случаях, которые только и могут быть реализованы для задачи (4) с коэффициентами (5), построена Л.Г.Михайловым.12 Из результатов которого в частности следует, что задача (4) в том случае, когда контур С состоит из конечного числа гладких замкнутых дуг, имеет единственное решение в классе функций, принимающих заданное значение на бесконечности

„(ос) = Ц = (6)

Во введении же доказано постоянно используемое в дальнейшем утверждение

Теорема (теорема о двухфазных структурах). Пусть А = А\2, В = В12 ~ произвольные вещественные коэффициенты такие, что \А\ > \В\, и у(г) = ь(г;А,В,Ц)) - решение двухфазной задачи (4), удовлетворяющее условию г>1(со) = Уц (оо 6 Решением задачи (4) с произвольными комплексными коэффициентами А, В при сохранении условия \А\ > |В| будет

12Михаялов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 1963. 183 с.

В первой главе изучаются „Двухфазные среды, разделенные кривыми второго порядка". Следует сказать, такие среды при произвольно заданной главной части искомого комплексного потенциала изучались с помощью метода конформных отображений О.В.Голубевой и. А.Я.Шпилевым,13 Однако, предложенный метод, в той форме, в которой он применен в цитируемой работе, приводит к правильному результату лишь в предельных случаях: = оо;0, т.е. в случаях, когда включение является абсолютно непроницаемым или, наоборот, идеально проводящим. При этом линия раздела фаз будет соответственно линией тока, или эквипотенциалью. Нами в §1 сначала приведено новое решение хорошо известной задачи об одном эллиптическом включении и в качестве примера, иллюстрирующего применяемый метод, дано полное доказательство обобщенной „теоремы об окружности" Милна-Томпсона. Далее (§2) приводится решение двухфазной задачи в случае параболической линии раздела разнородных компонентов. Доказывается теорема единственности в классе функций, принимающих заданное значение на бесконечности, а итоговый результат подводит следующая теорема.

Теорема 1.3. Двухфазная задача (4)—(6) с вещественными коэффициентами А = Аи, В = В\2 (А = /32 = 0) в случае включения 52, ограниченного параболой: у2 = 4а2(ж+а2), безусловно разрешима, если |А| > |В|. Ее единственное решение имеет вид

у1(г) = АЦ>-ВЦ + {2аВ^, г € 5Ь

V2

у2(г) = Ц>, г 6 52.

где под радикалом т/г понимается ветвь, фиксированная во внешности параболы Бг условием 1т \/г > 0 при г = х < 0.

В двух последующих параграфах (§§3,4) построены трехпарамет-рические семейства решений, как оказалось во многом родственных, задач о гиперболическом и клинообразном включениях. Например, в случае двухфазной среды, линией сопряжения разнородных фаз которой служит правая ветвь гиперболы: х2/а2 — у2/Ьг = 1, имеет место

"Голубевя О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах о. прерывно ичме-няюгцейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. №2. С. 174-179.

Теорема 1.4. В невырожденном и непредельных случаях (Д = В/А ф 0, ±1] задача (4) с гиперболической линией раздела фаз при а = 2л--1 + \Ь) 6 (0,1/2), Д > 0 и а € (1/2,1), Д < 0 имеет решение вида

и2(2) = с1Л1(71)х2(-г;71)+с2А1(72)Х2(2;72)+1СзЛ2(7з)Х2(2;7з),

где 71,72 € (0,2) и 73 € (0,2) - корни соответствующих трансцендентных уравнений:

вт(тг'у) - Д 5ш[7Г"у(1 - а)] = 0, аш(тг7) + Д 8т[я-7(1 - а)] = 0;

однозначные ветви функций

е-1т7(2 + у/г2 _ с2)7 _ - - с2)т

x:i(2;7) =

л/z2 — С2

, , (г + %/z2 - с2)^ - (z - v/z2 - С2)Ч

Хг(г! 7) =-7=f===7--

V — С-

фиксированы в областях Si, 52 соответственно и принимают вещественные значения на действительной оси; константы А\, Л2 определяются соотношениями:

Sign C0S7T7

Л/с(7) =

у/А2 + В2 + (-1)*2ЛЯ cos(7T7a)'

наконец, С1, с2, сз - произвольные вещественные параметры.

Яри а € (0,1/2), Д < 0 и а € (1/2,1), Д > 0 требуемое решение выписывается по тем же формулам, что и выше, если заменить в них с2 на \с2 и учесть, что в данном случае первое из указанных трансцендентных уравнений 'имеет на интервале (0,2) один корень (71), а второе два (72, 73). Если а = 1/2, го

= £1X1(2:7) + 1С2Х1(*;2 - 7), = -Л-1 (¿1X2(2; 7) + ^2X2(2; 2 - 7)),

где 7Г7 = 2 агссоз(Д/2).

Для задачи о „клине", когда 52={2 = а;-Ну : а;2/а2-у2/Ь2<0, г >0}, справедлива аналогичная теорема. Решение имеет тот же самый вид,

что и в гиперболическом случае, надо лишь положить здесь Xi{z'il) =

В §1 главы II „Некоторые многофазные среды с круговыми и прямолинейными линиями раздела фаз" рассматривается задача о распределении полей в слоистой .концентрической (п-И)-фазной среде. В работе Л.И.Косгицыной14 для такой среды соответствующее решение в терминах комплексного потенциала для поступательного потока, т.е. потока, порожденного невозмущенным потенциалом VoZ, было получено в каждом из концентрических колец в виде линейной комбинации CkZ — Dk/z. Довольно сложный вид рекуррентных соотношений, полученных Костицыной для коэффициентов С*, Dk, не позволил найти явные выражения искомых параметров. Нами для этой задачи приведено новое полное решение (в терминах скорости), при этом коэффициенты Ck, Dk вычислены в замкнутой форме.

Трехфазная задача о двух круговых включениях (в частности одно из круговых включений может вырождаться в полуплоскость) подробно изучается в §§2,3. Наиболее продвинутые результаты для круговых областей получены В.В.Митюшевым,15 который развил предложенный Г.М.Голузиным16 метод функциональных уравнений. Нами иным, по сравнению с разрабатываемым В.В.Митюшевым, методом рассмотрены все возможные случаи взаимного расположения двух включений. Так, если включения S\ = {z : \z\ < п} и = {z : \z — h\< г2} расположены внешним по отношению друг к другу образом (rj -f r2 < /1), и a,b - точки симметричные относительно обеих окружностей dS\, dS^: _ Л2 + Г» - rj =р J{h2 _r2_ r2)2 _ 4rar| a' 2 h

c-r-w-Br »

иКостицына Л.И. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно-однородной среде // У т. зал. Моск. обл. пед. ии-та. Тр. хаф. тсор. фит. 19G6. 1G4. вып.С. C.GT-82.

15см. напр. Mitynshcv V.V. Transport; pi4>porti<:s of double periodic arrays of circular cylinders // ZAMM - Z.aiigew.Matli.Meoli. 1097. 77. №2. I\ 115-120.

16Голузия Г.М. Решение основных плоских чадач математической физики для случая уравнения Laplacc.'a и миопк-.вямых областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. < 0. 1334. 41. JV-2. С.24С-276.

взаимнообратные дробно-линейные преобразования, первое из которых отображает область 5'з = С \ {¿'1 и ¿>"2} на концентрическое кольцо 5* = : г < |<| < й} (г2 = а/Ь, К2 = (Л - а)/(Л - Ь)), справедлива

Теорема 2.3. Задача (4) — (6) безусловно разрешима, если рр ф 0,оо л Рр ф рч прир ф д дяя всех р, д = 1,3. Ее единственное решение у(г) = vp{z), 2 £ р = 1,3, имеет вид

„ , Т/"^32 (Ъ-аУ^ ( У0Л1р х У^Л

=£ + + Ы! £ ^ (У^ + Ап-^%),

А32 А32 г2 Ап ^ \(2~а£) (2-«у)2У

^32

V3(z) = Vb + Ц(Дз А + ) +(Ь-а)2х

где 5 = Д31Д32, g = т2/Н2, Ди = ~ВЩ/Ат>

al = T(g"), 4 = Т(гУ), bp = T(g~p), Ь2р = T(R2g~"),

Л1Р=Х(Л- Л2р=Х(гУ), Л5р=х(Я"V), xW = x/(l-cc)2. Для остаточных членов полученных рядов имеют место оценки

М*) - < CVIW1, Р = М, •

где

г < r2 №1 rjr24-glA32l г . а |Уо! Г-^-2 + Р1Д31|

3 - I —f^o5—

Соответствующими предельными переходами на базе формул Теоремы 2.3 получаются: решение задачи о двух касающихся круговых

включениях (ri +Г2 = /г); решение задачи о круговом включении, лежащем в одной из двух разнородных полуплоскостей как в некасательном, так и в касательном случаях. Рассматриваются также некоторые предельные (рр —> 0, оо) и вырожденные случаи (рр pq).

Для асимметричного кольца 5з = {г : \г\ > 74, \г — < г2, Л < О, /г 4- г2 > гх} доказывается утверждение, аналогичное Теореме 2.3.

Теорема 2.6. Единственное решение задачи (4)-(6) для трехфаз ной структуры - асимметричного кольца. - в непредельных ситуациях при Н 4- гг > 7*1 имеет вид

, КоДл М . /г \

где величины ар = а2р, Ьр = Ь1р и \\р, Л2р определяются соответствующими соотношениями Теоремы 2.3.

В §§4,5 изучаются две дробно-линейно эквивалентные трехфазные среды: „веерообразная" среда, состоящая из двух квадрантов и полуплоскости, и среда с полукруговым включением, лежащим на прямолинейной линии раздела двух бесконечных разнородных массивов. Для этих структур соответственно устанавливаются

Теорема 2.7. Если 5х = {г : 11е г > 0,1т г > 0}, 52 = {г : 11е.г < 0,1га г > 0}, ¿з = {г : 1тг < 0}, то задача (4) с вещественными коэффициентами (5) (¡5р = 0) во всех непредельных случаях безусловно разрешима, ее общее решение имеет вид

ук(г) = сх Ак + с2 Ак Л 2 € к = ТД

где с\ и с2 - произвольные вещественные константы, а

Лг = isignД12 ехр(~17Г^/2)у/(1 - &\2&и)рз1ри Л2 = 1з1епД12 ехр[17г(аг - р/2)]у/(1 + &п&2з)рз/р2, Л3 = ехр[17г(3а + Р)/2],

= ^ (у/2 + Ли + Д2з + 1«6пД12 ^(2 - Д13 - Д23) ,

е!*«/а=Л + 5 = Ai2(Ai3 - Д»)-

Теорема 2.8. Если Si = {z : \z\ < l,Imz > 0}, S2 = {z : |z| > 1, im 0}, S3 = {z : Imz < 0}, то задача (4) с вещественными коэффициентами (5) во всех непредельных и невырожденных случаях безусловно разрешима. Ее единственное решение, удовлетворяющее условию

d2(oo) = V0,

определяется по формулам

v1{z)=A^[hVi{_z) + hV2(z)},

v2{z) = А2'1[е-Л/гЦ(2) + е--АЛед] + УоДД2(1 -z"2), i/з(г) = (А - AiA)Viiz) + (А - Д^ВД,

где Л = А12, = АЪр, Д = Au/Bn, Др = А3р/В3р,

Б свою очередь

а(Ц) = ^Л28ес(*А/2)с8с(2я7)1ш (е~;,гА/2Ац) ,

27Г7 = sign Д arccos[(A 1 + Д2)/2], 7гА = arccosfl + Д(Д! - Д2)], h = е"^.

В случаях, когда сопротивления (проводимости) двух из трех компонентов последней среды совпадают между собой, формулы Теоремы 2.8 дают решения задач'о полукруговой выемке и полукруговом включении.

С помощью полученного решения для среды с сильно или, наоборот, слабо проводящим полукруговым включением произведен расчет линий тока и эквипотенциалей.

В последующих глазах рассматриваются три конкретные плоские периодические структуры.

Такие среды ввиду их относительной простоты привлекали пристальное внимание как математиков, так и физиков. Однако, до недавнего времени не удавалось получить аналитического решения ни для одной периодической структуры. Насколько нам известно, впервые замкнутое решение полевой задачи для квадратного шахматного поля в скалярном случае (р = р £ Щ было получено Ю.П.Емецем,17 а затем В.Л.Бердичевским.18

В главе III „Решение задачи R-лянейного сопряжения для прямоугольного шахматного поля" после уточнения постановки (§1) сначала рассматривается скалярный случай (§2), для которого доказывается следующее утверждение

Лемма 1. Пусть коэффициенты А = и В = В\2 вещественные и удовлетворяют неравенству А2 - В2 > 0. Тогда как четные {v{-z) = v(z)), так и нечетные (v(~z) = -v{z)) решения задачи (4) для прямоугольного шахматного поля (если таковые существуют) удовлетворяют тождеству

vl(z) + = с, z е Si, (7)

где Si = {z : 0 < Rez < 1,0 < Im z < h}, (S2 = {z : 0 < Re г < l,-h < Imz < 0}),

¿ = АД', Д' = \/l - Д2 > о, Д = BfA,

С - некоторая действительная константа, если решение v(z) четно и С — 0, если v(z) нечетно.

17Емец Ю.П. Электрическое поле проводящей среды с двоякопериодическими неод-нородностями в магнитном поле //Докл. АН УкрССР. Сер. А. 198(1. JV.11. С.82-85.

1аБердичсвский B.JI. Термопроводног.ть шахматных структур // Всстн. Моск.Унта, Мат., Мех. 1985. 40. №4. 56-63.

С помощью Леммы 1 устанавливается

Лемма 2. Задача (4) для прямоугольного шахматного поля имеет только тривиальное нечетное решение и ровно два линейно независимых четных решения, удовлетворяющих условию (7) при С = О, если вещественные коэффициенты А, В удовлетворяют условию 0 < |В| < |А|.

Затем показывается, что общее решение задачи (4) есть линейная комбинация с произвольными вещественными коэффициентами двух решений, о которых идет речь в Лемме 2. Таким образом доказывается основное в этом параграфе утверждение.

Теорема 3.2. Задача (4) для \А\ > \В\ > О (А, В € К) безусловно и однозначно разрешима. Ее единственное решение, удовлетворяющее условиям

1 Сн ■ 1 Г1

-j Яе ы(\у)<1у= Ух, уу 1т 1>1(а:)с1:г = —Уу,

имеет вид

М*) = /^-^{Ме^хМ + Лге-^х-Ч*)}, * е

где Д = В/А, тгА = агсап Д, 7 = (1 + А)/4, Ар = дхУх + (-1 )ЧУу,

. . _ /1.+ сп(2АГг//|т)\^ Х{2)~ \1-сп(2К2/1\т)) '

Здесь ■в = 1?(Л, т), 1?1 = ЩХ,™^, т = т(/г//) = /с2 - параметр, а К = К{т) - соответствующий полный эллиптический интеграл первого рода, гп\ = 1 — тп = к'2 - дополнительный параметр,

^(Л, 5) = Я1/2,1/2; 1; 1;

В третьем параграфе полученный результат переносится со скалярного случая на случай произвольных комплексных коэффициентов (5).

В §4 рассматриваются различные предельные и вырожденные случаи. Сначала показывается, что переход в полученных формулах к пределу при р\ -> оо приводит к решению с простыми полюсами в угловых точках контура, которое можно интерпретировать как решение задачи о движении жидкости в прямоугольной области S2 с гидроизолированной границей и с источниками и стоками в угловых точках прямоугольника. При этом, если в какой-то вершине прямоугольника находится источник (сток), то в диагонально противоположной вершине будет сток (источник) той же самой мощности.

Далее предельным переходом по одному из геометрических параметров, определяющих размеры элементарной ячейки 5 = 5iU(0,î)US,2, получается решение задачи (4) для однопериодической слоистой среды со сдвигом. Предельный переход по обоим геометрическим параметрам приводит к решению задачи о правильном двухфазном четырехлепест-ковом „веере".

В последнем пятом параграфе третьей главы произведен аналитический расчет следующих эффективных параметров шахматного поля:

1 h h 1 f^ P*ef = gJ J_t Re +1 2 M* + i g )1dx/1 J0 Re v(i У) d2/>

1 fh l l 1 fl Pef = 2hj hlm M2 + 1 + ' J0 1тлг(х)dx'

** = {1ШГ' D = w^wi2) = т/3*х)|v(z)|2rfs-

•Здесь соответственно: p*f,p%j ~ эффективные сопротивления вдоль осей симметрии, pef - эффективное сопротивление и D -функционал полной диссипации энергии в элементарной ячейке S. Первые три из этих функционалов вычислены как в вещественном, так и в комплексном случае (5).

Глава IV „Бесконечная матрица с двоякопериодической системой прямоугольных включений" (ДСПВ) посвящена изучению двухфазной среды с концентрацией включений S2 равной одной четверти. Именно, предполагается, что S2 - объединение всех прямоугольников конгруэнтных прямоугольнику S2 = {z : -l < Re г < /, -h < Im гг < h}, по отношению к группе линейных преобразований, порожденной преобра-

зованиями сдвига z+il и z-\-\4h. Следовательно, S = {z : —21 < Re z < 21, —2k < Im z < 2h} - фундаментальный прямоугольник структуры. Через Si обозначена бесконечносвязная область С \ S2, а через Т множество всех угловых точек контура dSi. Дополнительно задаются условия

2 Л 2 (

J-Revi(2l+iy)dy = Vs = a, ^ Jlmvi(x+i2h)dx=-Vvszb. (8) -2 h 21 Исследование проводится по той же схеме, что и в случае шахматного поля. В §2 строится решение в случае неотрицательных коэффициентов А = Л12, В = Ви. Задачу (4) для рассматриваемой структуры удалось привести к решаемой в квадратурах, предварительно доказав справедливость следующего утверждения

Лемма 1. Если вещественные коэффициенты А, В удовлетворяют неравенству А > В > 0, то все решения задачи (4) для ДСПВ (если таковые существуют) четны.

На основании Леммы 1 сначала устанавливается, что для любого решения задачи (4), (8) справедливо представление

v(z; a, b) = {a + 1 - sign |а|)ия(;г) + (b + 1 - sign |bj)t/.r(z),

где vR{z) = sign |a|, 0), vr{z) = 0, sign |Ь|) и

V]i(z) = vR(-z), vj(z) = -vj(-z).

Затем относительно функции vr{z) (i>/(z)) задача (4), (8) приводится к векторной двумерной задаче Римана с кусочно-постоянным матричным коэффициентом, имеющим лишь две точки разрыва. Таким образом доказывается

Теорема 4.3. В эллиптическом случае задача (4), (8) с положительными коэффициентами безусловно и однозначно разрешима. Ее решение находится по формулам

VI = ^Aa(z) + е-^Аах"1^), 2 € Sj,

= -A'1 [e-i3^AlX(z) + е^Аах"1^)], * € S2> где с учетом обозначения е'" — к' -+ i к, к = k(h/l), к' = \/\ — к2,

А1 = - Уу0)(2 + Д)~1/2, Л2 = + У„г?)(2 + Д)-1/2.

Все остальные функции и параметры определяются так же, как и в~ Теореме 3.2, с той лишь разницей, что здесь 7гЛ = 2 агсзт(|Д|/2), 7 = (вщпД + А)/4.

Полученный результат с помощью Теоремы о двухфазных структурах обобщается (§3) на случай комплексных коэффициентов (5) (Теорема 4.4).

В" §4 результат Теоремы 4.4 уточняется на случай произвольных вещественных коэффициентов А, В. Затем с помощью предельного перехода при I —> оо выписывается решение задачи (4) для параллельно-слоистой структуры и однопериодической системы полуполос.

Следующий параграф посвящен вычислению осредненных характеристик ДСПВ, определяемых аналогично тому, как это было сделано для прямоугольного шахматного поля (ПШП).

В §6 в вещественном случае (Д = (рх — Р2)/{Р1 + Рг)) произведен совместный анализ эффективных характеристик ПШП и ДСПВ, собранных ниже в одну таблицу.

ПШП ДСПВ '

Ре! А ,— 1?! /2-Д р1д\ 2 +А -

РЬ Жу/ЛР2 т? /2-Д Л*,У2 + д

Ре! 12- ДК1?1/1?+

И /2-Д / 21?!

А 2 • Л — агсйт Д 1Г 2 . |Д| — агсвт п 2

„ п/ . М1/2,1/2;1;т) „ ' „„ ч

На основании приведенных формул в частности сделаны следующие выводы:

1. Эффективное сопротивление квадратного ШП в соответствии с результатом Дыхне равно геометрическому среднему сопротивлений

компонентов среды. Вместе с тем для ПШП (I ф к) закон геометрического среднего неверен. Величины диссипации энергии в различных фазах ППШ совпадают лишь в случае квадратного поля, а при I ф к равенство имеет место лишь тогда, когда внешнее поле направлено таким образом, что Ух/Уу = ±1?/. Этим же двум направлениям внешнего поля соответствуют решения полевой задачи, имеющие степенные особенности лишь в одной паре диагонально противоположных вершин каждого компонента фаз 5ь и обращающиеся в ноль в другой паре вершин.

2. Эффективное сопротивление и величина диссипации энергии в элементарной ячейке ДСПВ возрастает ровно в три раза, когда сопротивление включений растет от нуля до бесконечности при фиксированных значениях прочих параметров.

3. Величина эффективного сопротивления (проводимости) и диссипация для ПШП и ДСПВ в случае I ф к существенно зависят от направления <р внешнего поля. Они достигают максимума и минимума в случаях, когда внешнее поле ориентировано соответственно вдоль коротких и длинных сторон прямоугольника периодов.

4. Кривая эффективной проводимости г = |реД<р)| в полярных координатах г, <р в точности совпадает с эллипсом, полуоси которого равны упомянутым выше экстремумам.

С помощью полученной точной формулы эффективного сопротивления ДСПВ при I = к в §7 вычисляется приближенное значение эффективного сопротивления предфрактала п-го поколения для фрактальной среды, образованной по аналогии с ковром Серпинского на базе изученной структуры с концентрацией квадратных включений равной 1/4.

В заключительной главе V рассматривается „Правильное треугольное шахматное поле" (ПТШП) - двоякопериодическая среда, элементарная ячейка которой образована парой правильных треугольников 5] и £2 с вершинами в точках 0,(.,и>£ и 0,1,Ш£ соответственно, где и = е'7Г/'3.

Сначала (§§1,2) исследуются некоторые свойства решений соответствующей задачи (4) при дополнительных условиях

- Г Ыгф)йх = а, ^ / Ке[е-^Ч(а>х)]6х = Ъ. (9)

В частности устанавливается фундаментальное для всех дальнейших построений утверждение

Лемма 4. Каждое решение задачи (4) для ПТШП удовлетворяет тождеству

= ыь(и;2г) + см(ш2г).

В §3 в предположении, что коэффициенты краевого условия (4 вещественны, доказана справедливость представления

где 1р(г) = у(г; 1, — 1),гр(г) = 1,1) - частные решения соответству ющих задач (4), (9), удовлетворяющие тождествам

¡р(г) = илр(и)г), ф(г) = —о;ф(шг).

Далее с помощью тождества Леммы 4 задача (4) относительно функции <р{г) приводится к эквивалентной ДЕумерной векторной задаче Римана, кусочно-постоянный матричный коэффициент которой имеет три точки разрыва. Последняя задача рассматривалась в работах Л.А.Хвощинской, однако ею была допущена неточность, приведшая к неверным итоговым формулам. Нам удалось устранить эту неточность и таким образом получить искомое решение а затем и ф{г). Таким образом было доказано основное утверждение этой главы.

Теорема 5.2. Неоднородная задача (4), (9) в случае веществен ных коэффициентов А, В безусловно разрешима, если |/?| < |Л|. /Л• единственное в этом случае решение определяется по формулам

г е Б,,

, л х 2/3-А/2 / \ ( 1 4

"!Й = Т 1--

А \ ги

( — ) +^2Ло2/2 (—

юУ \ги

где и) = ехр(17г/3), Лц = (аи> + Ъш)[\/3, ю = и>(г) имеет вид

ш = — е1

тг(1-2г//)

<т{г - 20)

_а{2 - -г0).

Р\ + Р2

, , РЛ X 2 А 2 Л . ч Л 4 Л 4 \

у^и;)^^!--,---;-;^, =

= 2 ДГ[4/3; Л/2+1/3], <52 = (Д'+ а/1+ЗД2)Г[2/Э; Л/2 -1 /3],

х 2 . \/ЗД' А = — агсБт —-—,

7Г 2

_ 2л/2+1/3ЗГ[1/6, 1/3,2/3 + Л/4]

С° ~ ДД'(1 + Д + Д')Г[Л/4,1/2 - Л/4,2/3 - Л/4]'

В последующих параграфах Теорема 5.2 обобщается (§3) на случай комплексных коэффициентов (5) и вычисляются (§4) эффективные параметры ПТШП. Нетривиальные выкладки привели в этом случае к чрезвычайно простому итоговому результату. Именно, подтвердилась справедливость формулы Дыхне как для эффективных сопротивлений вдоль осей симметрии структуры, так и для эффективного сопротивления элементарной ячейки ПТШП. Для диссипации была доказана формула

i) = v^|Vu|2=/>e/|Vй|2,

где V/) = (2Ь — а)/\/3 — 10 - вектор, характеризующий внешнее поле, в которое помещена среда. Кроме того было установлено, что, как и в случае квадратного ШП, в разнородных фазах ПТШП энергия дисси-пирует поровну (£>1 = Х)2 = £>)•

Таким образом, в диссертации разработаны методы комплексного анализа в применении к широкому кругу конкретных гетерогенных сред. На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Построена теория двухфазных гетерогенных сред с линией раздела разнородных компонентов, представляющей из себя одну из кривых второго порядка (включая случай распадающихся прямых).

2. Найдено явное решение задачи о слоистой концентрической круговой среде и полностью исследован вопрос о распределении полей в однородной среде с двумя инородными круговыми включениями, включая всевозможные предельные и вырожденные случаи. Предложен эффективный приближенный аппарат для расчета соответствующих полей.

3. Решена полевая задача для трехфазной среды - инородное полукруговое включение, расположенное на прямолинейной границе контакта двух разнородных бесконечных массивов, дающая в частности при совпадении проводимостей массивов первый пример до конца решаемой задачи об одном ограниченном включении с негладкой границей.

4. Построены в замкнутой форме решения полевых задач для трех двоякопериодических двухфазных структур: прямоугольного шахматного поля, двоякопериодической системы прямоугольных включений с относительной долей включений равной одной четверти, и правильного треугольного шахматного поля.

5. Для всех трех рассмотренных периодических структур найдены и проанализированы эффективные параметры - сопротивления/проводимости и диссипация.

Публикации по теме диссертации

1. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Электрическое поле в слоистом круговом включении с эффектом Холла // Техн. электродинамика. АН Укр. 1987. №3. С.3-8.

2. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Взаимное влияние неоднородных включений в полевых задачах дисперсных сред // Докл. АН УкрССР. Сер.А. 1988. №2. С.74-78.

3. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Краевая задача для слоистого неконцентрического кругового включения при анизотропной проводимости среды // Техн. электродинамика. АН Укр. 1988. №1. С.3-7.

4. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Точное решение задачи о формировании тока в двоякопериодической гетерогенной системе // Докл. АН СССР. 1989. 309. №3. С.319-322.

5. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Точно разрешимая задача о взаимном -влиянии включений в теории гетерогенных сред // ПМТФ. 1990. №1. С.21-29.

6. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Компактный аналог гетерогенной системы со структурой шахматного поля // ЖТФ. 1990. 60. В.8. С.59-66.

7. Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Электрические силы на поверхности раздела диэлектрических сред при наличии цилиндрического кругового включения // ПМТФ 1993. 34. №4. С.14-24.

8. Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Взаимодействие между касающимися круговыми диэлектрическими цилиндрами в

однородном электрическом поле // ЖТФ. 1993. 63. №12. С.12-24.

9. Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Онофрийчук Ю.П. Электрические силы в диэлектрическом двухслойном цилиндре с неконцентрическим расположением слоев // ПМТФ. 1996. 37. №1. С.З - 14.

10. Касимов А.Р., Обносов Ю.В. Аналитическое решение задач оптимизации формы и режима стационарного теплообмена // Тр. Первой Российск. Нац. Конф. по Теплообмену. М.: 1994. 8. С.91-96.

11. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Minimization of ground water contamination by lining of a waste repository // Proc.Indian Nat.Sci.Acad. A. 1994. 60. №6. P.783-792.

12. Касимов A.P., Обносов Ю.В. Течение грунтовых вод в среде с периодическими включениями // Изв. РАН МЖГ. 1995. №5. С. 139-14S.

13. Касимов А.Р., Обносов Ю.В. Точные значения величин эффективности сеток скважин Маскета // Докл. РАН. 1997. 353 С.195-197.

14. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Explicit, rigorous solutions to 2-D heat transfer: Two-component media and optimization of cooling fins // Int.J. Heat and Mass Transfer. 1997 40. №5. P.1191-1196.

15. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Analytical solutions to problems of sink-sourse flows in porous media // Arab Gulf J. Scient. Res. 1997. 15(2). P.325-351.

16 Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Explicit solution to a problem of seepage in a checker-board massif // Transport in Porous Media. 1997. 28. №1. P.109-124.

17. Обносов Ю.В. К решению линейной задачи Гильберта в одном особом случае // Изв. вузов. Математика. 1979. №9. С.29-40.

18. Обносов Ю.В. Решение смешанной краевой задачи теории аналитических функций // Изв. вузов. Математика. 1981. №10. С.73-75.

19. Обносов Ю.В. Решение смешанной краевой задачи теории аналитических функций // Тр. Семин, по краевым задачам. Казань. 1983. В.19. С.122-132.

20. Обносов Ю.В. Об одной задаче Маркушевича для двоякопериоди-ческой системы прямоугольных контуров // Докл. ин-та прикл. мат. им. И.Н.Векуа." Тбилиси. 1990. 5. №1. С.149-152.

21 Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича в классе дво-якопериодических функций с ортогональными периодами // Докл. АН СССР. 1991. 319. №5. С.1125-1127.

22 Обносов Ю.В. Решение одной задачи R-линейного сопряжения для правильного треугольного шахматного поля // Докл. РАН. 1992. 327. №3. С.326-330.

23. Обносов Ю.В. Решение одной задачи /{-линейного сопряжения с кусочно-постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1992. №4. С.39-48.

24. Обносов Ю.В. Замкнутое решение одной задачи Я-линейного сопряжения для правильного треугольного шахматного поля // Изв. вузов. Математика. 1994. №8. С.55-66.

25. Obnosov Yu.V. Exact solution of a problem of R-linear conjugation for a rectangular checkerboard field // Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1996. 452. P.2423-2442.

26. Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения теории композитов для одной трехкомпонентной среды // Изв. вузов. Математика 1996. №5. С.63-72.

27. Kacimov A.R., Obnosov Yu. V. Analytical solutions and optimization for groundwater flows in structured porous media // Abstr. XIX General EGS Assembly. 1994. Annales Geophysicae. Supplement II. 12. P.522.

28. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V., Yakimov N.D. Explicit solutions for advancing fronts in heterogeneous and fractal permeable continua // Abstr. XX General EGS Assembly. 1995. Annales Geophysicae. Supplement II. 13. P.497.

29. Касимов A.P., Обносов Ю.В. Точные решения задач тепло-массопереноса в гетерогенных средах и оптимизация экранирующих конструкций // Тезисы междунар. научн.-техн. хонф. "Механика машиностроения-95". Набережные Челны. 1995. С.48-49.

30. Kacimov A.R., Obnosov Yu. V., Yakimov N.D. Explicit analytic solutions to problems in ground water flow // Proc. Conf. Analytic-based Modeling of Groundwater Flow. Netherlands Inst, of Applied Geoscience. TNO. 1997. 2. P.459-467.

31. Kacimov A.R., Obnosov Yu. V., Yakimov N.D. Ground water flow and advective contaminant transport: shaping, piping, and heterogeneity // Saint-Venant Symposium Proceedings. Paris. 1997. P.113-118.

32. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Passive tracers in heterogeneous aquifers // Abstr. XXII General EGS Assembly. 1997. Anna/es Geophysicae. Supplement II. 15. P.563.

33. Kacimov A.R., Obnosov Yu.V. Regional groundwater flows: recharge, gravity, inhomogeneties, and interaction with reservoirs // Intern. Conf. Regionalization in Hydrology. FRG. Braunschweig. 10-14.03.97. Ed. B.Diekkruger and O.Richter. P.117-120.

34. Kacimov A.R., - Obnosov Yu.V". Steady temperature fields in 2-D parquet-type media // Abstr. Interntl. Symposium Advances in Computational Heat Transfer. Cesme. Turkey. 26-30.05.97. Interntl. Centre for Heat and Mass Transfer. P.326-327.

35. Обносов Ю.В. Решение задачи о "спутниках" // Тезисы XI Все-союзн. школы по теории операторов в функциональных пространствах. Челябинск. 1986. Ч.Ш. С.87.

36. Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича для двоякопе-риодической квадратной решетки // Тезисы докл. Всесоюзн. научи. конф. Куйбышев. 1987. С.110-111.

37. Обносов Ю.В. Решение одной задачи Маркушевича для прямоугольного шахматного поля // Тезисы докл. Северо-Кавказ. регион. конф.- Грозный. 1989. С. 114-115.

38. Обносов Ю.В. Решение одной задачи Я-линейного сопряжения для прямоугольной трехкомпонентной структуры // Тезисы между нар. научн. конф., посвящ. 100-летию со дня рожден. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1994. 4.2. С.95-96.

39. Обносов Ю.В. Вычисление некоторых эффективных параметров для прямоугольного шахматного поля // Тезисы докл. школы-конф. "Теория функций и ее приложения". Казань. 1995. С.48-49.

40. Обносов Ю.В. Решение одной трехкомпонентной краевой задачи Я-линейного сопряжения // Int. Conf. Boundary value problems, special functions and fractional calculus. Minsk. Belarus. 16-20.02.96. P.72-73.

41. Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения для концентрической кольцевой конечнофазной структуры // Тр. Конф. „Алгебра и анализ", поев. 100-летию Б.М.Гагаева. МГУ-КГУ-НИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1997. С.161-162.

42. Обносов Ю.В. Задача R-линейного сопряжения для одиночных включений, ограниченных кривыми второго порядка // Тр. Конф. „Алгебра и анализ", поев. 100-летию Б.М.Гагаева. МГУ-КГУ-НИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казань. 1997. С.162-164.

43. Обносов Ю.В. Вычисление и анализ эффективных характеристик периодических гетерогенных структур // Тезисы докл. междунар. конф. „Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования". Москва. 1998. С.150.

Сдано в набор 27.04.98 г. Подписано в печать 29.04.98 г. Фор.бум. 60 х 84 1/16. Печл. 1,75. Тираж 100. Заказ 91.

Лаборатория оперативной полиграфии ЮГУ 420008 Казань, Кремлевская, 4/5

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОБНОСОВ ЮРИЙ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЛОСКИХ СТАЦИОНАРНЫХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ В ГЕТЕРОГЕННЫХ

СРЕДАХ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 517.958

Казань — 1998

Содержание

Введение 3

1 Двухфазные среды, разделенные кривыми второго порядка 23

1. Эллиптическое включение в однородной среде...... 23

2. Параболический случай................... 36

3. Составная среда с гиперболической линией раздела фаз 46

4. Задача о клине ..... .................. 55

2 Некоторые многофазные среды с круговыми и прямолинейными линиями раздела фаз 58

1. Концентрическая кольцевая (гс + 1)- фазная структура 58

2. Задача о двух круговых включениях ........... 65

3. Задача об асимметричном кольце............. 83

4. Об одной трехкомпонентной задаче............ 89

5. Задача о полукруговом включении, лежащем на границе двух полуплоскостей..................... 102

3 Решение задачи Ш—линейного сопряжения для прямоугольного шахматного поля 125

1. Постановка задачи............................................125

2. Решение в случае вещественных коэффициентов А,В . . 127

3. Случай комплексных коэффициентов А,В..................136

4. Некоторые вырожденные и предельные случаи..........137

4.1. Предельные случаи 0 < \В\ < \А\ ..................137

4.2. Случай квадратного шахматного поля............141

4.3. Периодическая слоистая среда со сдвигом .... 141

4.4. Правильный двухкомпонентный четырехлепест-

ковый „веер"..........................................143

5. Вычисление некоторых эффективных параметров прямоугольного шахматного поля..............................145

4 Бесконечная матрица с двоякопериодической системой прямоугольных включений 157

1. Постановка задачи..................................157

2. Решение в случае неотрицательных коэффициентов А,В 159

3. Решение задачи в эллиптическом случае для комплексных коэффициентов А,В......................................171

4. Частные, вырожденные и предельные случаи............173

4.1. Случай произвольных вещественных коэффициентов ..................................................173

4.2. Случай квадратных включений....................174

4.3. Параллельно-слоистая структура..................174

4.4. Периодическая система полуполос..................175

5. Вычисление эффективных параметров периодической системы прямоугольных включений........................176

6. Анализ эффективных параметров ПШП и ДСПВ .... 189

7. Эффективное сопротивление одной фрактальной среды типа ковра Серпинского......................................196

5 Правильное треугольное шахматное поле 199

1. Постановка задачи..........................................200

2. Некоторые свойства решений ...............200

3. Решение полевой задачи для треугольного поля в случае вещественных коэффициентов................204

4. Решение в случае комплексных коэффициентов А, В . . 223

5. Вычисление эффективных параметров треугольного поля в вещественном случае .................227

Библиография 250

Введение

Основной задачей диссертации является точное описание пространственного распределения стационарных силовых полей в кусочно-однородных средах и определение их осредненных характеристик.

Начиная с пионерских работ Рэллея [144] и Максвелла [137] и особенно активно в последние десятилетия, в расчетах полей в неоднородных средах развиваются различные численные, асимптотические и вариационные методы. В первую очередь это связано с тем, что в общем случае для этой проблемы не существует аналитических методов, позволяющих построить ее точное решение. Асимптотические и вариационные подходы позволяют найти приближенные значения для эффективных параметров изучаемых композиционных материалов, а чаще границы изменения таких параметров. Подробная библиография, посвященная этому направлению, приведена, например, в монографиях Бахвалова, Панасенко [5], Олейник, Козлова, Жикова [44], Швидлера [117], Беара [121], Санчес-Паленсии [146] и работах Хашина, Штрик-мана [129], Лурье, Черкаева [72], Хонейна Е., Хонейна Т. и Хермана [142]. Безусловно, приближенные методы в решении прикладных задач теории гетерогенных сред играли и будут играть основную роль.

Однако, в ряде ситуаций нужна картина „тонкой" структуры поля в области контакта разнородных компонентов, которая может быть получена только на основе строгих аналитических решений. В диссертации разрабатываются методы комплексного анализа в применении к широкому кругу конкретных гетерогенных сред. Основа нашего подхода состоит в построении решений в терминах специальных функций, что позволяет проводить эффективный параметрический анализ полей, находить в явном виде осредненные характеристики и определять их экстремумы.

Соответствующие математические модели, построенные на базе тех или иных физических законов, описывающих конкретный процесс, обычно сводятся к системам интегральных уравнений или системам уравнений в частных производных. Классические модели опираются на линейные уравнения и предположение об однородности среды, в которой отыскивается поле. Естественно, такие модели могут оказаться довольно „грубыми", поскольку они не учитывают некоторых „тон-

ких" эффектов. Попытки „поймать" такие эффекты в последние годы осуществляются по двум основным направлениям: во-первых, это переход к нелинейным уравнениям (Ахромеева, Курдюмов, Малинецкий, Самарский [2]) и, во-вторых, учет структурной неоднородности среды (случайно-неоднородные среды - [103] и среды с периодической структурой - Бахвалов, Панасенко [5], [7]). Именно последнее направление развивается в нашей работе. Более точно, нас будут интересовать гетерогенные, а именно, кусочно-однородные среды, т.е. среды, состоящие из различных изотропных и однородных по своим физическим свойствам компонентов. Бурное развитие этого направления в последнее время объясняется широким внедрением композиционных материалов в технике и взаимо-дополняющими процедурами апскейлинга-даунскейлинга в химической технологии, теории фильтрации, теории теплопроводности и др. Например, в гидрогеологии важно знать, как происходит фильтрация грунтовых вод, содержащих вредные для здоровья примеси. Для этого необходимо отследить пути миграции меченых частиц - трассеров по всем пластовым неоднородностям, что позволяет установить, произойдет ли естественное очищение воды или нужны искусственные защитные мероприятия. В задачах фильтрации важно найти распределение скоростей течения и на основе этого оценить локальную устойчивость вдоль линии сопряжения пористых слоев разной крупности естественного или искусственного происхождения: пластовые зоны неоднородности, ядра плотин, завесы, обратные фильтры и пр.( Седергрен [116], Гришаев [27]).

Хорошо известно, что часто различные на первый взгляд по своей физической природе явления описываются одними и теми же математическими законами. Другими словами, в рамках соответствующим образом введенной идеализации, для таких процессов оказывается справедливой единая математическая модель. В диссертации рассматривается одна из общепринятых в теории гетерогенных сред моделей. Эта классическая модель может быть описана следующим образом.

Требуется построить плоскопараллельное стационарное силовое поле v(ж,2/) = (ух,уу) = лгр(х,у), (х,у) £ р = 1, 777., являющееся потенциальным и соленоидальным в каждой изотропной фазе рассмат-

риваемой т-фазной среды:

(Цулгр(х,у) = 0, тоЬлгр(х,у) = 0. (1)

Всюду на кусочно-гладкой границе контакта (Сп = двр П дБд \ Т) разнородных фаз вр и за исключением угловых точек Т, предполагаются равными (см. Рис.1) нормальные (касательные) составляющие предельных значений векторов Ур, (ррур, />9Уд):

Мж,у)]п = К(ж,у)]п, [ррУр(х,у)}т = [рд^ч(х,у)]т, (х,у) е £щ. (2)

В точках множества Т у компонентов вектора V допускаются интегрируемые особенности. Во втором условии рефракции (2) рр - постоянный в фазе Бр коэффициент, характеризующий физические свойства среды. В большинстве случаев при реализации конкретных физических моделей этот коэффициент принимает скалярные вещественные неотрицательные значения. Однако в ряде случаев, например, в задачах электродинамики при расчете электрических полей с учетом влияния однородного электромагнитного поля (ортогонального плоскости течения тока) приходится рассматривать случаи, когда коэффициент рр является тензором:

^»С-р,?)' (3)

где рр > 0 - коэффициент сопротивления, а (Зр Е К. - параметр Холла материала фазы 5р, р = 1,га.

Задача (1), (2) называется т-фазной по числу попарно различных коэффициентов />р, характеризующих изучаемую структуру. При этом

число связных компонентов, составляющих фазу может быть как конечным, так и счетным.

К сформулированной выше математической модели приводят соответствующие проблемы теории гетерогенных сред в электродинамике [33], [140] (у - вектор плотности тока рр - тензор удельного сопротивления (3), условия (2) обеспечивают при омическом контакте непрерывность на С нормальных составляющих тока и касательных составляющих напряженности электрического поля); в магнитодинамике [26] (у - вектор напряженности электрического поля, рр = рр = 1 Дгр - величина обратная коэффициенту магнитной проводимости <тр); в задачах антиплоской деформации теории упругости [24], [126] (V - смещение, <7Р - модуль сдвига); в теории диффузии [117] (V - концентрация, стр -коэффициент диффузии); теплопроводности [46] (у - вектор теплового потока, <7р - коэффициент теплопроводности) и пр..

В терминах комплексного потенциала уг(х,у) = ((р(х,у),ф(х,у))' (г>ж — д(р/дх, уу = д(р/ду) задача (1), (2) при скалярном значении коэффициента рр = рр приводится к эквивалентной ([98]) задаче построения пары сопряженных гармонических в каждой изотропной фазе 5Р функций: потенциала - срр(х, у) и функции тока - фр(х, у), удовлетворяющих на Сщ \ Т условиям сопряжения

дфр дфя

РрРР =

ds ds

Почти всюду в дальнейшем мы будем рассматривать задачу (1), (2), (3), обращаясь к комплексному потенциалу лишь в частных - предельных случаях, когда скалярный коэффициент рр = рр обращается в ноль, или бесконечность. В таких ситуациях граница фазы Sp становится эквипотенциалью (<р(х,у) = const, (ж, у) £ dSp), или линией тока (ф(х,у) = const, (х,у) Е dSp) соответственно.

В развитии теории гетерогенных сред в целом и при изучении задачи (1)-(3) в частности, четко прослеживаются две основные тенденции. Первая и основная состоит в определении при помощи различных приближенных методов так называемых эффективных - осредненных характеристик изучаемых сред, позволяющих рассматривать их как в среднем изотропные и применять к ним в дальнейшем известные решения для однородных континуумов. В работах второго направления

и в настоящей диссертации рассматриваются некоторые конкретные гетерогенные структуры, для которых решение задачи (1)-(3) удается получить в замкнутой форме с помощью некоторой цепочки строго обоснованных аналитических построений. Затем, используя найденные таким образом решения (в последующем именно такие решения мы будем называть точными), можно получить в явной форме значения соответствующих эффективных параметров. Иногда удается найти точные значения эффективных параметров, минуя этап построения решения полевой задачи. Впрочем, об этом речь пойдет несколько позже.

Строгие, точные решения задач для кусочно-однородных по проницаемости структур, к сожалению, немногочисленны и каждое новое решение представляет как самостоятельный теоретический интерес, так и может служить тестовым для существующего стандартного программного продукта и для вновь разрабатываемых приближенных методов. Чуть позже, когда мы перейдем к описанию содержания диссертации по главам, параллельно будет приведена библиография почти всех известных нам работ по аналитическому решению исследуемой задачи.

К точным методам, конечно, следует отнести метод Фурье, последовательно использованный Гринбергом ([26]) при решении задач магнито- и электродинамики для составных сред. Метод задачи Римана-Гильберта нашел наиболее полное отражение в монографии Шестопалова [118], в которой получены строгие решения ряда задач теории дифракции и приведена подробная библиография работ, посвященных этому направлению. В работах Сильвестрова [104]—[107] метод приведения к задаче Римана позволил найти точные решения задач теории упругости для многолистных поверхностей с разрезами.

Применение аппарата краевых задач теории аналитических функций к задачам фильтрации в неоднородных средах было начато Полубариновой-Кочиной [101] и ее учениками [18], [102], которые рассмотрели схемы течения под флютбетом в слоистом грунте, течения в пласте с круговыми и эллиптическими включениями и среди прочего дали обобщение теоремы об окружности Милна-Томсона ([74], с. 153) на случай произвольного комплексного потенциала, возмущенного внесением в бесконечную плоскую однородную среду инородного

кругового включения.

Бмец, рассматривая задачи формирования электрических полей в полупроводниковых пластинах и плазменных каналах, насколько нам известно, первым предложил метод ([32], с.53) сведения задачи (1), (2) к эквивалентной задаче Маркушевича (ее еще называют обобщенной задачей Римана, а также задачей М-линейного сопряжения). Используя хорошо разработанный аппарат краевых задач для аналитических функций ([15], [78], [115]), Емец получил решение некоторых полевых задач, а затем вычислил эффективные характеристики соответствующих регулярных гетерогенных структур ([33]). Наши исследования наиболее тесно примыкают к только что указанным. Более того, как хорошо видно из приведенной в конце диссертации библиографии, первые работы по теории гетерогенных сред были выполнены автором совместно с Ю.П.Емецом ([34]—[36], [38]—[43]), которому помимо постановки задачи в этих работах принадлежит и вся их физическая часть.

Особое место среди исследований по теории гетерогенных сред занимает группа работ, в которых изучаются эффективные свойства регулярных двумерных двухфазных структур. Так, Келлером в [134] было доказано, что для двоякопериодической системы симметричных включений, оси симметрии которых параллельны образующим прямоугольной решетки периодов, имеет место равенство

aef(au0)o-yef(cO:(J2) = <7\02I

которое затем он обобщил ([135]) следующим образом:

0"е/(я"Ъ 0-2)^/(^2, 0-1 ) = 01СГ2, (4)

где crf^cr!, а2) (сг^(сг2, <Ji)) - эффективная проводимость среды в направлении оси х (у) при условии, что оси координат параллельны осям симметрии среды, о\ (02) - проводимость матрицы, a a<i (cri) - проводимость материала включений. Мендельсон ([139]) обобщил результат Келлера на случай произвольных плоских двухфазных систем с ортогональными главными осями.

Дыхне в своей широко цитируемой работе [29] изучал проблему распределения электрических полей в тонких двухфазных пленках. Он установил, что эффективная проводимость aef регулярной плоской

двухфазной среды, различные фазы 51,52 которой находятся в „статистически эквивалентных" условиях, равна геометрическому среднему проводимостей о\, <72 компонент ее составляющих. Под ае1- Дыхне понимал отношение осредненных по площади элементарной ячейки (по прямоугольнику периодов) значений векторов плотности тока и напряженности электрического поля. Вообще говоря, в [29] получено гораздо более общее равенство:

<тef(c)aef(l - с) = 0-1СГ2, (5)

где с - концентрация первой фазы 51- Там же было сделано утверждение о равенстве диссипации энергии в разнородных компонентах среды в случае с = 1/2 при произвольном направлении внешнего тока и получено еще несколько замечательных соотношений, на которых мы здесь не останавливаемся. Формулы (4), (5) и, как частный случай последней, формула о геометрическом среднем являлись до недавнего времени по сути единственными точными аналитическими формулами для эффективной проводимости составной среды.

Дыхне для вывода своих соотношений применил метод перехода к , ,взаимной" системе, т.е. к системе отличающейся от исходной лишь заменой ст 1 4—— ¿72. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах Балагурова [3], [4] и Шульгассера [148]. Позже Емец [37], исследуя с помощью метода симметрии квадратное шахматное поле, подтвердил формулу (4), но подверг сомнению вывод работы [29] относительно равенства диссипации энергии в различных фазах такого поля.

Перейдем теперь к краткому описанию содержания диссертации.

В первой главе рассматривается плоская двухфазная среда, представляющая из себя бесконечную однородную матрицу 51 с инородным включением 5г, ограниченным одной из кривых второго порядка. Решение соответствующей краевой задачи в случае одного эллиптического (в частности, кругового) включения хорошо известно [108], [143], [45], [150], [48], [30], [32]. Особо отметим работу [17], в которой наряду с эллиптическим рассматривались случаи параболического и гиперболического включений, причем в довольно общей ситуации - при произвольно заданной главной части искомого комплексного потенциала. Во всех трех случаях в [17] применялась единая схема исследования - переходом к дублю исхо�