автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели оптимального управления процессами тепломассопереноса при переработке полимеров

Обозначения.

Введение.

Г л а в а 1. Состояние проблем и задачи исследований.

1.1. Оптимальное управление в задачах с распределенными параметрами.

1.2. Краткие выводы и задачи исследования.

Г л а в а 2. Оптимальное управление в некоторых тепловых и гидродинамических задачах.

2.1. Постановка для слабосвязанных задач.

2.2. Вспомогательные предложения.

2.3. Вывод условий существования оптимального управления.

2.4. Решение задачи оптимального управления.

2.5. Анализ результатов и краткие выводы.

ГлаваЗ.8 - оптимальное управление с различными видами управляющих параметров.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение первой задачи с - оптимального управления.

3.3. Решение второй задачи в - оптимального управления.

3.4. Решение третьей задачи 8 - оптимального управления.

3.5. Краткие выводы.

Г л а в а 4. Задача оптимального управления технологическими процессами переработки полимеров.

ОБОЗНАЧЕНИЯ у, г - декартовы координаты; 7 - временная переменная; V = у (Г, у) - компонента скорости;

2 = у) ~ температура жидкости р - давление [Па];

- градиент давления; лю) - коэффициент динамической вязкости р - плотность жидкости с - удельная теплоемкость жидкости кг • град

X - коэффициент теплопроводности жидкости м • град

Н - величина между пластинами [м]; ий - множество допустимых управлений;

1{и) - функция стоимости (функционал или критерий качества);

А - оператор Лапласса; оператор градиента;

I2 - пространство функций, суммируемых с квадратом; а - ограниченное множество, принадлежащее Я", к VI, Д; ду, дУг^У] I

Н21(о.х(о, г)) - банахово пространство функций, имеющие две обобщенные производные по у и одну по г, суммируемых с квадратом;

В работе рассматриваются задачи оптимизации систем, состояние которых описывается уравнениями с частными производными (системы с распределенными параметрами). Внимание к таким задачам вызвано появлением новых высокоточные технологий получения материалов с заданными свойствами, к таковым, например, относятся получение полимерных оптических волокон. Однако отсутствие точных, математически обоснованных исследований и рекомендаций приводит к тому, что выход качественного продукта невысок. Поэтому даже небольшое повышение количества хорошего продукта существенно понижает затраты производства, что имеет не маловажное значение в условиях рынка. Поэтому необходимы исследования, позволяющие понять зависимость технологического процесса от управляющих параметров и выяснить возможность влияния этих параметров на процесс.

Объектом исследования являются гидродинамические системы, состояние которых описывается нелинейными уравнениями. Управление является граничным, наблюдением будет состояние системы в фиксированный момент времени.

Цель настоящей работы - построение и исследование математической модели оптимального управления процессами тепломассопереноса и исследование построенной задачи управления для случая, когда целевая функция (функционал) является некоэрцитивной. Это исследование обусловлено практической необходимостью, так как в этом случае оптимизационный процесс отражается наиболее точно.

Для проведения полного исследования рассматриваются два случая: 1) слабосвязанные системы (т. е. системы, в которых возможно решение одной задачи не зависимо от другой); 2) Связанные системы.

В первой главе дан краткий обзор литературных источников. 7

Вторая и третья главы посвящаются решению задач оптимального управления для слабосвязанных систем. Приводится математическая модель неизотермического течения вязкой жидкости между двумя параллельными пластинами. Формулируется задача оптимального управления. Рассматривается проблема существования оптимального управления, доказывается теорема о равенстве нулю минимума функционала и на основании этого строится алгоритм решения. В третьей главе предлагается новый, простой способ определения так называемого е - оптимального управления (т. е. находится такое управление, при котором значение целевой функции не превосходит наперед заданного положительного в). Дано обоснование этого способа и далее строится алгоритм решения. Приводятся примеры численного решения.

В четвертой главе предлагается задача определения в - оптимального управления для связанных систем. Излагаются, необходимые для этого, теоретические исследования. Строится алгоритм решения и приводятся примеры численного решения.

Результаты диссертационной работы докладывались на III Минском Международном форуме по тепло-и массообмену (1996г.), на Международной научно-технической конференции "Перспективные химические технологии и материалы" (Пермь, 1997 г.), на седьмой Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997г.), на Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения" (Пермь, 1998 г.), на 12 зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1999г.), на семинаре кафедры теоретической механики (руководитель - профессор Ю. И. Няшин).

Работа проводилась в рамках программы «Университеты России», (1994г.), проект «Фундаментальные проблемы технологии производства полимерных оптических волокон (световодов)»; программа по ГНТП «Перспективные информационные технологии», проект №2002 «Разработка нелинейных математических моделей для решения задач оптимального 9

Выводы.

1. Поставлена и исследована математическая модель оптимального управления процессами тепломассопереноса.

2. Сформулирована в виде задач оптимального управления проблема перевода системы в заданное состояние и удержания ее в окрестности этого состояния.

92

3. Для линейной задачи получены достаточные условия, гарантирующие обращение в ноль положительного некоэрцитивного функционала (т.е. достижение системы заданного состояния).

4. На основе достаточных условий построен численный алгоритм решения задач оптимального управления для линейных систем.

5. Предложен новый, простой и эффективный метод б - оптимального управления для нелинейных систем, корректность которого обоснована доказанными в работе теоремами.

6. Построен алгоритм численного решения задач в - оптимального управления гидродинамическими системами.

7. Разработаны программы, реализующие данный алгоритм и проведены численные исследования.

8. Построенная теория и алгоритмы позволяют находить управления, переводящие, рассмотренные в работе, системы в любую наперед заданную окрестность желаемого состояния.

9. Полученные результаты могут быть использованы при построении двухуровневой системы автоматического управления.

93

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.

2. Андреева Е. А., Ева Надь. Двойственность в теории экстремальных задач: Учобн. пособие.-Калинин: КГУД985.

3. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление линейными системами. -Иркутск: Из-во Иркут. ун-та, 1982.

4. Беллман Р., Динамическое программирование. М.: Наука, 1960.

5. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

6. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

7. Бутковский А. Г. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972.

8. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969.

9. Борисович Ю. Г., Обуховский В. В. О задаче оптимизации для управляемых систем параболического типа. Тр. Мат. ин-та. 1995.- 211 - с. 95-101.

10. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. М.: Химия, 1975.

11. Бэтчелор Д. Ж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973.

12. Васильев О.В. Методы решения экстремальных задач.- М.: Наука,1981.

13. Васильев Ф. П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. / Диф. ур-я. 1995, № 11.-с. 1893-1900.

14. Гловински Р. Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

15. Дементьев С. Н., Кутузов A.A. Градиентные процедуры в задачах управления распределенными системами. // 26 Воронежская зим. Мат. шк., Воронеж, 28 янв 3 февр., 1994. - Воронеж., -1994 -с. 44.

16. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука,1980.

17. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. -М.: Наука, 1978г.

18. Ермолов Ю. М., Гуленко В. П., Царенко Т. И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев.: Наукова Думка, 1978.

19. Завалищин С. Т., Толстоногов. Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1985г.

20. Киимов В. С. Двусторонние оценки значений выпуклых вариационных задач. «Приближенные методы операторных уравнений.», Ярославль, 1985, с. 22-33.

21. Ковалевский В. Б., Козлов С.М. К решению задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов.// Дифференц. Уравнения. 1997. -33, №7.-с. 1002-1003.

22. Колмановский В. Б. Задачи оптимального управления.// Сорос, образ, ж. 1997. - № 6, с. 121-127.

23. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

24. Коновалова Д. С. Управляемость по начальным данным системы Новье-Стокса.// Теорет. Основы и конструиров. Числ. Алгоритмов решения задач мат. физики. :Тез.докл. 11 Всерос. Конф., посвящ. Памяти К. И. Бабенко-Пущино, 1996, с. 41-42.

25. Коряшкин Л. С. Решение одной задачи управления параболической системой.// Пробл. Управления и информатики. 1998.- №2 - с. 94-101.

26. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968г.

27. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М., 1973.

28. Кузенков О. А., Шашков В. М. Оптимальное управление линейными распределенными системами: уравнения теплопроводности. -Новгород: Из-во ННГу, 1996.

29. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

30. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

31. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

32. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

33. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир, 1970.

34. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

35. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описанными уравнениями в частных производных. М.: Мир, 1972.

36. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

37. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

38. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.

39. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.

40. Мак-Келви А. М. Переработка полимеров. М.: Химия, 1965.

41. Милютин А. А., Илютович А. Е., Осмоловский Н. П., Чуканов С. В. Оптимальное управление в линейных системах. М.: Наука, 1993.

42. Минюк С. А. К теории управляемости и полноте в банаховом пространстве линейных нормальных систем при наличии ограничений на управление. / Диф. ур-я. 1996.-32, № 4 -с. 501-508.

43. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

44. Олейник А. А., Самыгина Т. А. Оптимальное управление профилем скорости и температуры в устройствах типа экструдера. III Минский Международный форум по тепло-и массообмену. - Минск. 1996г.

45. Олейник A.A., Первадчук В.П., Самыгина Т.А. Оптимальное управление процессами переработки полимеров.- Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика Пермь: ПГТУ.-1996, №1.- с.67-75.

46. Олейник A.A., Первадчук В.П., Самыгина Т.А. Оптимальное управление неизотермическим течением полимерных жидкостей Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Перспективные химические технологии и материалы".- Пермь, 1997. -с. 126.

47. Олейник A.A., Самыгина Т.А. Оптимальное управление течением полимера в экструдере. Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика Пермь: ПГТУ -1996, №1.- с.86-93.

48. Олейник А. А., Самыгина Т. А. Оптимальное управление профилем скорости и температуры в устройствах типа экструдера. Тезисы докладов международной конференции "Математическое моделирование процессов обработки материалов Пермь, 1994г.

49. Олейник A.A., Первадчук В.П., Самыгина Т.А. Оптимальное управление течением вязкой жидкости с учетом переменной вязкости.-Тезисы докладов Седьмой Межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи".- Самара, 1997, ч. 2,.-с. 74-75.

50. Олейник А. А., Самыгина Т. А. Оптимальное управление течением вязкой жидкости для связанных систем. Тезисы доклада Всероссийскойнаучной конференции "Фридмановские чтения". Пермь, 1998, из-во ПТУ, с. 84.

51. Олейник А. А., Самыгина Т. А., Тюрина Д. Б., Шкляева Е. В. Вариационный подход к решению задач со свободной границей и задач удержания системы в окрестности заданного состояния. Тез. докл. 12 зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999.

52. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969г.

53. Рапопорт Э. Я. Об одной задаче оптимального по быстродействию управления нагревом массивных тел. Автоматика и телемеханика, т. 32, № 4, 1971.

54. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985г.

55. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

56. Самыгина Т.А. Оптимальное управление течением полимерных жидкостей в шнековых насосах Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика Пермь: ПГТУ.-1996, №3.- с.52-66.

57. Самыгина Т.А. Решение некоторых задач оптимального управления. Тезисы докладов научно-технической конференции "Проблемы прикладной математики и механики". - Пермь, ПГТУ,-1998г.,-с.9.

58. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

59. Серовойский С. Я. Оптимальное управление нелинейной сингулярной системой с закрепленным конечным состоянием. // Диф. ур-е.-1997.-33, №8 с. 1114-1117.

60. Соболев С.И. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Из-во ЛГУ, 1950.

61. Сивцова В. К. К минимаксным задачам оптимального управления.// Вопр. Мех. и. Процессов управления. 1995. - № 16.-е. 190-206.

62. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. -М.: Наука, 1977.

63. Тагиев Р. К. Задача оптимального управления коэффициентами параболического уравнения. «Прикладные задачи функционального анализа.», Баку, 1986, с. 93-102.

64. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979.

65. Тихонов А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления. ДАН СССР, 1965 ,162, № 4, с.763.

66. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

67. Фурсиков А. В. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса.// Мат. сборник. 1982. -118 (160), № 3. -с. 323 -349.

68. Хапаев М. М. О решении задачи оптимального управления вариационными методами. Докл. Академии наук, 1999, том 367, № 2, с. 173174.

69. Чеботарев А. Ю. Принцип максимума в задаче граничного управления течением вязкой жидкости. Сиб. Мат. ж.- 1993.-34, № б-с.189-197.

70. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

71. Ягубов М. А. Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения. "Прикладные задачи функционального анализа." Баку, 1986, с. 41-47

72. Янков В. И., Первадчук В. П., Боярченко В. И. Процессы переработки волокнообразующих полимеров. М.: Химия, 1989.

73. Yildiz В., Yaqubow G. On an optimal control problem. // J/ Comput and Appl. Mfth. 1998.-88, №2 - c. 275-287,- Англ.

74. Puel Jean-Pierre. Some results on controllability problems for fluid flows// Differ. Equat. And Math. Phys.: Abstr. Int. Symp. Dedicat. 90 th Birthday Anniv. Acad. 1 Vekua, Tbilisi 21-25 June, 1997. Tbilisi, 1997.

75. Kutateladze S. S. Nonstandard tools for convex analysis// Math. Jap. -1996,- 43, № 2-c. 391-410.

76. Rachunkova Irena. Duality for nonconvex variational problems and differential equations// Rad. Mat. 1992 - 1996 - 8, № 1 - c. 81-93.

77. Raymond Jean Pierre. Existence theorems without convexity assumptions for optimal control problems governed by parabolic and elliptic sustems// Appl. Math. And Optimiz. - 1992. - 26, № 1- c. 39-62.

78. Staib T. On a nonmonotonik parabolik boundary control prodlem: GAMM 94: Annu. Meet. Ges. Angew. Math, und Mech., Braunschweig, Apr. 4-8, 1994//Z. angew. Math, und Mech.- 1995.-75, Suppl. № 2 c. 475-476.

79. Neittaanmaki P. , Revkind V., Seregin G. About optimal shape design in fluid dynamics.// Optim. Contr. Appl. And Meth. 1995. - 16, № 2 - c. 143 - 148.

80. Corneliu Botan, Cristea Pal. Computational aspects in optimal and optimization//Bui. Jnst politehn. Jasi Sec. 4.-1995, № 1-4. -c. 135-138.

81. Troltzsch F. Numerikal solution of parabolic control problems by Lagrange Newton methods.//Tagyngsber./ Math. Forschungsinst., Ober -wolfach. - 1996. - № 4. - c. 16.

82. Mihir Desai, Kazufumi Ito. Optimal control of Navier Stokes equations.// SIAM J. Contr. And Optimiz/ - 1994/ - 32 № 5. -c. 1428-1446.

83. Farag M. H., Farag S. H. An existence and unigueness theorem for one optimal control problem.// Period. Math. hung. 1995 - 30 № 1 - c.61-65.