автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели неразрушающего контроля мезоскопических сред и методы их исследования

На правах рукописи

Бондаренко Анатолий Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ МЕЗОСКОПИЧЕСКИХ СРЕД И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ (АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ)

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Иституте математики им С Л Соболева СО РАН

Официальные оппоненты

1 д ф м н , проф Блохин А М ,

2 д ф-м н , проф Кошкин Г М

3 д ф м н , проф Лопатин В Н

Ведущая организация

Институт вычислительной математики и математической геофизики Новосибирск, СО РАН

Защита состоится 17 марта 2005 года в 14 час 30 мин на заседании дисер тационного совета Д 212 267 08 при Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета

Отзывы на автореферат (2 экз ), заверенные печатью, высылать по адресу 634050 г Томск, пр Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ

Автореферат разослан

февраля 2005 года

Ученый секретарь диссертационного сов доктор технических наук

Скворцов А В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Изучение наноструктур знаменует новый этап развития естетственных наук. Наноструктуры - это структуры, по своим размерам занимающие промежуточное положение между молекулами и микроскопическими объектами, т.е. объектами размером порядка 1 мкм. Они содержат конечное число атомов и, следовательно, подходят для решения современных технологических задач на атомном уровне. Следует особо отметить широту и разнообразие возможностей, создаваемых этим научным направлением. Это особенно справедливо для материаловедения, где нанотехнология в ближайшие десятилетия должна привести к подлинной революции.

В этой связи в последнее время значительно усилился интерес к построению моделей среды на наноуровне, иначе называемым мезоскопическим моделям сплошной среды Это объясняется так же тем, что при создании новых технологий неразрушающего контроля среды, обычно сталкиваются с проблемой создания адекватной как математической, так и физической модели исследуемого объекта. При этом часто получаемая математическая модель не описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Одной из первых таких математических моделей, созданной для описания рассеяния излучения, можно считать уравнение переноса. Примерами сред, для которой часто рассматривается мезоскопическая модель, являются, например, среды с временной или пространственной дисперсией и уставший металл.

Ситуация с описанием физических процессов на мезоуровне начала меняться после после принятия физическим сообществом идей Мандельбро-та о структурном самоподобии (фрактальности). Многочисленные примеры физических структур, обладающих самоподобием на уровне промежуточном между микро и макроуровнями (на мезоуровне), стали объектами пристального внимания со стороны физиков - экспериментаторов. Оказалось, что материалы, мезоскопическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантностью (скейлинга) всего 5-8 порядков, имеют уникальные физические свойства, являющиеся результатом его внутренней самоподобной "архитектуры". Заметим, что для такого материала нельзя определить такое основное понятие физики сплошной среды как "плотность"и, соответственно, для него нет адекватной математической модели.

Наибольший вклад в развитие этого направления внесли: Смирнов Б.М.. Соколов Д.Д.,Поликарпов М.И., Бгршадский А.Г. Зосимов В.В., Потапов A.A., Нигматулин PP., ЧукКар КВ. Учяйкии В.В., Коболсв В.Л., Романов Е.П., Окоогооп A.A.. Bviimi К.Ж.. Пиши ж» B.C.. Васильев Л.Н.. Ан-

дреев ГА, Галкина Т.В., Опаленов Ю.В., Милованов А.В., Засовин ЭА, Соколов А.Ф.,Кравченко В.Ф., Bande A., Halvin S., Lauwerier H., Niemeyer L, Pietronero L., Wiesmann H.J.,Davaney R.L.,Ramstyein A.S., Schaefer D.W., Keefer K.D., Pfeifer P., Jakeman E., Allain C, Cloitre M., Tsallis C, Alexandrowicz Z.,

Для всех этих математических моделей большой интерес представляют задачи неразрушающего контроля. Эти обратные задачи, состоящие в определении характеристик среды по известным параметрам реакции этой среды на внешнее воздействие, не являются, как правило, классическим коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных.

Поэтому на первом этапе постановки обратной задачи актуальной становится задача нахождения параметров, несущих наиболее значимую информацию об интересующих нас внутренних характеристиках среды. В этом случае выделение этих параметров и исследования характера зависимости этих параметров от характеристик среды является основной задачей компьютерного моделирования и может привести к созданию новых технологий неразруша-ющего контроля среды. Состояние проблемы

Одной из основных задач неразрушающего контроля я мезоскопических сред, ставшей актуальной в последнее десятилетие, являются задача оптической (лазерной) томографии. Задачи лазерной томографии возникли в результате отказа от использования сильно ионизирующего гамма излучения при ранней диагностики рака головного мозга. Применение классической схемы томографии с использованием лазерного излучения затруднено в виду сильного рассеяния оптического излучения видимого диапазона. Как известно классическая схема томографии основана на обращении преобразования Радона, при этом рассеянное излучение воспринимается как шум. Использование уравнения переноса для описания рассеяния фотонов в оптически плотных средах делает обратную задачу более адекватной физической проблеме и снимает ряд проблем, однако, математическая сложность такой обратной задачи возрастает. Это связано с переходом от задачи обращения преобразования Радона к обратной задаче для уравнения переноса. Большой вклад в развитие теории обратных задач для уравнения переноса внесли Амиров А.Х., Аниконов Ю.Е., Аниконов Д.С, Иванков А.Л., Нижник Л.П., Орловский Д.Г., Прилепко А.И., Романов В.Г., Тарасов В.Г., Case K.M., Larsen E.W., McCormick N.J., Sanches R., Grunbaum A., Dorn 0., Natterer F. Автору известна единственная работа Wang Z.-S., Lu B.-W. в которой рассматривалась обратная задача рассеяния для фрактальной среды.

Исследования структуры фундаментального решения стационарного уравнения переноса, результаты которого приведены в диссертации, привело к со-

зданию принципиально новой технологии дистанционного зондирования оптически плотных сред. Эту схему будем назвать спектроскопией с высоким пространственным и угловым разрешением. (Space-domain spectroscopy) Для этой схемы автором разработаны простые численные алгоритмы решения возникающей обратной задачи. Эти алгоритмы являются более устойчивыми и позволяют определять дополнительные параметры среды. В предложенной схеме, использование рассеянного излучения, как источника дополнительной информации о среде, дало возможность восстанавливать одновременно не один, а два параметра, характеризующих среду.

Однако, практическая реализация этой схемы для обьектов размером порядка 103 длин свободного пробега, натолкнулась на определенные трудности. Как показали совместные с группой проф. Наттерера компьютерные Монте-Карло эксперименты, это было связано со следующим обстоятельством. Угловые особенности рассеянного излучения, порожденные сосредоточенным, мононаправленным источником, бысто затухая в оптически плотной среде, становились не доступными для регистрации современной аппаратурой. Для биологических обьектов размером в несколько десятков длин свободного пробега, таких как молочная железа, эта схема давала желаемый результат. Но для обьектов типа головного мозга (103 длин свободного пробега) эта схема не могла быть практически реализована.

Для решения это проблемы рассматриваются два подхода.

1. Подход, предполагающий создание новой математической модели, описывающей рассеяние излучения в оптически плотной среде.

В этом направлении в диссертации, на основе подхода, используемого в современной теории поля, было выведено интегральное уравнение напоминающее уравнение Липпмана-Швингера. После анализа структуры сингулярно-стей его решения был предложен метод решения обратной задачи, состоящей в восстановлении двух параметров среды по измерениям плотности модуля вектора Пойнтинга на границе области. Как показало компьютерное моделирование, этот метод позволяет исследовать внутреннюю структуру объектов порядка 102 длин свободного пробега. Основная проблема заключалась в том, что для лазерной томографии головного мозга требуются методы, работающие с объектами порядка 103 длин свободного пробега фотона видимого спектра.

2.Подход, основан на таком статистическом явлении, как диффузионные волны.

На сегодняшний день, в зависимости от конфигурации экспериментальной установки и используемой теоретической модели распространения света в исследуемой среде, принято различать дно базовых методики определения искомых оптических характеристик:

Спектроскопия с высоким временным разрешением ( в англоязычной литературе "Time-Lesolved-''или "Time-domain spectroscopy") На поверхность исследуемой сильно-рассеивающей среды падает короткий (обычно пикосе-кундный) лазерный импульс Интенсивность рассеянного света регистрируется приемником, расположенным на известном расстоянии от точки падения лазерного излучения на поверхность среды Выражение для интенсивности, как функции расстояния "источник - детектор"и времени, может быть получено на основе решения нестационарного уравнения диффузии света в исследуемой среде Искомые оптические характеристики среды входят в полученное выражение в качестве параметров Наибольший вклад в разработку этого направления внесли Patterson M S , Chance В , Wilson В С , Kienle А , Wang R К , Wikiamasmghe Y А

Модуляционный метод ("Fiequency-domam technique") Одним из самых перспективных направлений в области неразрушающего контроля среды, является исследование свойств диффузионных волн в регулярных средах и в средах с временной дисперсией Диффузионные волны, как физическое явление, являются основой для создания одной из самых перспективных технологий неразрущающего контроля сплошной среды Эти волны являются сильно затухающими волнами огибающей плотности фотонов и порождаются периодическим источником излучения в оптически плотной среде

Модуляционный метод развивался в работах Тучин В В , Arridge S R , Patterson М S , Chance В, Kienle A, Cubeddu R, Piffen A , Tarom P , Tomcelli A , Valentini G , O'Leary M A , Arjun G , Tromberg В J , Coquoz 0 , Fiskin J В , Schweiger M В качестве источника света использовалось непрерывное лазерное излучение, модулированное по амплитуде Отметим, что под диффузионными волнами понимаются физически различные явления Например, слабую локализации ноносекундного светового импульса в оптически плотной среде и волны плотности фотонов, возбуждаемые периодическим по времени источником

Прямые физические эксперименты, результаты которых приведены в работах Tromberg В j , Svaasand L.O , Tsay T -T , Haskell R С , O'Leary M A , Boas D A , Chance В , Yodh A , показали, что возмущения фотонной плотности обладают типичными для волн свойствами они преломляются, дифрагируют, обладают дисперсией и затухают Автору не известны результаты исследований оптических свойств диффузионных волн методом прямого компьютерного моделирования

В последнее время большое внимание физиков привлекли, так называемые, решетчатые модели меюгкопичегкнх <ред Кик быпо «мечено выше исследование неупорядочных систем флктртуеня ма мдачу ж следования дискретной модели и приему про и'лъного нсрехоцд Первая решается пу-

тем многочасовых компьютерных экспериментов, вторая - ренормгрупповы-ми методами. Этот подход был разработан в современной квантовой теории поля для исследования открытых нелинейных систем и считается одним из самых эффективных. При этом в современной физике, моделям использующим самоподобные (фрактальные) решетки уделяется особое внимание. В этом направлении следует отметить работы Pai-Yi Hsiao, Burioni R., Gassi D.. Donnetti L, Carmona J.M., Mariconi U.M., Ruiz-Lorenzo J.J.. Taracon A.

Однако автору не известны работы посвященные исследованию обратных задач для таких моделей. Цель работы

Целью работы является разработка новых математических моделей и численных методов решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред, возникающих в рамках этих моделей. Компьютерное моделирования работы построенных на основе этих математических моделей измерительных схем с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать структуры фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнения переноса с переменными коэффициентами с целью решения методом сингулярных разложений обратных задач теории переноса излучения, возникающих в задачах томографии с рассеянием. Разработать на этой основе новые схемы томографии, использующих рассеянное излучение, как дополнительную информацию о среде.

2. Разработать новые математические модели для описания процессов рассеяния излучения в оптически плотных средах. Построить новые схемы измерения в томографии для сред с сильным рассеянием, использующих информацию только о распределении плотности энергии излучения на границе.

3. Разработать математические методы моделирования всех предлагаемых схем томографии с рассеянием с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

4. Провести компьютерное моделирование процессов рассеяния диффузионных волн, с целью сравнительного анализа их оптических свойств в различных моделях и разработка на основе этого исследования рекомендаций для создания новых технологий неразрушающего контроля мезо-скопических сред, основанных на регистрации диффузионных волн.

5. Разработать математические модели, описывающих процесс отражения волн от границ раздела регулярной и фрактальной среды. Провести ком-

пьютерное моделирование критических явлений в модели Изинга на самоподобных решётках, с целью определения влияния параметров этих решеток на величину критических экспонент.

6. Разработать математические методы моделирования для нахождения высокочастотной асимптотики малые поперечных колебания этих решеток, с целью нахождения параметров, несущих наибольшую информацию о структуре решеток.

Научная новизна

1. Впервые получены аналитические результаты о сингулярной и регулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами, доказаны теоремы единственности решения возникающих в томографии с рассеянием обратных задач, построены численные алгоритмы их решения, разработаны новые схемы томографии в оптически плотных средах, проведено моделирование работы этих схем и даны выводы об их эффективности и границах применимости.

2. Впервые дан феноменологический вывод интегрального уравнения (типа Липпмана - Швингера) для эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах, получены две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса, доказаны теоремы единственности задачи оптической томографии и построены численные алгоритмы ее решения. На этой основе, впервые, разработана новая схема томографии с рассеянием, проведено моделирование переднего фронта решения уравнения ЛШ и сделаны выводы об эффективности предложенной схемы.

3. Впервые, с помощью техники фейнмановских диаграмм, была получена теорема о структуре особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными неоднородностями в потенциале и разработаны алгоритмы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Впервые разработан метод сведение этой задачи к обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе, получена теорема единственности и разработаны численные алгоритмы решения этой задачи.

4. Впервые, с помощью разработанного метода локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени. пу тем компьютерного моделирования диффузионных ш>.'ш для рн гшчнмх моделей мсзоскопи-ческих сред, обнлрх'женм явления дифрнкнпи. рефракции, выполнение

принципа Гюйгенса-Френеля и явление разогрева неоднородностей. На основе этого моделирования, впервые дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии.

5. Впервые получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Впервые получено обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

6. Впервые, с помощью компьютерного моделирования, как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло, исследованы различные решетчатые математические модели отражения волн от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны впервые выбирались модель Каца, модель предложенная Фейнманом для уравнения Дирака (спинорная модель) и модель квантового блуждания.

7. Впервые, путем компьютерного моделирования критических явлений на самоподобных решетках, исследовано влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри и сделаны выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Впервые, методом теплового ядра, сводящего исследование спектральной асимптотики малых собственных колебаний решетки к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке, исследована высокочастотная асимптотика самоподобных решеток. Результаты компьютерного моделирования дают возможность сделать выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля среды на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра её малых колебаний.

9. Впервые разработаны основы техники спектральной хирургии квантовых графов, используя которую впервые удалось получить функциональное уравнение для - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского. Впервые доказаны теоремы единственности решения для обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе и для задачи оптической томографии с сингулярными неод-нородностями. Впервые разработаны численные методы и предложены технологические схемы для их решения.

Теоретическая значимость

1. Аналитические результаты о сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного уравнения переноса, нестационарного уравнения переноса и уравнения Липпмана-Швингера могут использованы для создания новых численных алгоритмов решения задач неразрушающсго контроля среды.

2. Уравнение типа Липпмана-Швингера, предложенное в работе для описания эволюции плотности вектора Пойнтинга электромагнитного поля в оптически плотной среде, является более удобным чем уравнение переноса и не имеет артефакта - бесконечной скорости распространения возмущений, присущего уравнению теплопроводностию Предложенный подход, может использован для вывода новых уравнений для описания рассеяния излучения в средах с аномальной диффузией.

3. Точные решения обратных задач аномальной диффузии, полученные в работе, могут быть использованы при построении численных алгоритмом решения обратных задач аномальной диффузии.

Практическая значимость

1. Разработана новая схема томографии с рассеянием, в которой рассеянное излучение воспринимается не как шум, а как источник дополнительной информации, позволяющей определять одновременно две характеристики среды. Эта схема была положена в основу проекта, принятого правительством России к финансированию и уже частично реализована западными фирмами. Алгоритмы и пакеты программ, разработанные для моделирования работы этой схемы, позволяют исследовать ее эффективность в различных ситуациях.

2. Разработаны алгоритмы численного решения обратной задачи томографии с сингулярными неоднородностями, позволяющие находить их координаты в неоднородной среде.

3. Результаты численного моделирования, на основе разработанных алгоритмов, поведения диффузионных волн для различных моделей распространения излучения позволили сделать выводы о перспективности различных схем оптической томографии.

4. Явление разогрева неоднородностей, выявленное в результате компьтер-ного моделирования поведения диффузионных волн в различных моделях рассеяния излучения дает теоретическую возможность для создания

новых технологий для раннего лечения злокачественных новообразований.

5. Результаты компьютерного моделирования новых моделей процессов отражения электромагнитных волн от "фрактальных"поверхностей, позволяют сделать ряд выводов об их адекватности реальным процессам.

6. Полученные компьютерным моделированием, проведенным на основе комплекса разработанных программ, выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков и высокочастотной асимптотики малых колебаний в рамках модели фрактальной параметризации материала, дают основу создания новых технологий неразрущающего контроля мезоскопических сред.

Достоверность результатов диссертации подтверждаются их совпадением в частных случаях с результатами расчетов выполненых другимим авторами и с помощью других методов. Теоретические результаты опубликованы в ведущих зарубежных журналах, докладывались на крупных международных конференциях и представлены в их публикациях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. На защиту выносятся

1. Результаты исследования сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами и решений уравнения Липпмана-Швингера.

2. Алгоритмы решения (аналитические и численные) решения обратных задач рассеяния в оптически плотных средах и новые схемы томографии, построенные на этой основе. Выводы об их эффективности и границах применимости, основанные на результатах компьютерного моделирования работы этих схем.

3. Методы решения задач оптической томографии, основанные на описа-ниии эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах с помощью предложенного в работе интегрального уравнения типа Липпмана-Швингера.

4. Метод исследования сингулярной структуры уравнения (ЛШ), основанный на технике фейнмановских диаграмм и результаты исследования структуры решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Методы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных ноодиородностей по следу

решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Метод сведение этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе.

5. Метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени и результаты численного моделирования диффузионных волн в различных моделях мезоскопических сред. Комплекс программ и результаты компьютерных экспериментов по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Данный, на основе этого моделирования, анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Аналитические результаты, полученные для обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами.

6. Методы моделирования в задаче отражения электромагнитной волны от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. Сравнительный анализ различных моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученных как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

7. Результаты моделирования критических явлений на самоподобных решетках и анализ влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Метод исследования высокочастотной асимптотики малых собственных колебаний самоподобных решеток методом теплового ядра, сводящий исследование этой асимптотики к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке. Выводы о перспективности технологий на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра малых колебания среды.

9. Техника спектральной хирургии квантовых графов, ее теоретическое обоснование и результаты по обратной задаче рассеяния, полученные с ее помощью.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

• Международном симпозиуме по теории обратных чадим (Самарканд-1987)

• Заседании рабочей группы но разработке рекомендани провительству по создания оптического томографа (Санкт-ПетерГ>ург-1991, 3-8 мая.).

• International Symposium on Computerized Tomagraphy, ( Novosibirsk-1993).

• International workshop "Computational Radiology and Imaging: Therapy and Diagnistic", Minneapolis, Institute for Mathematical and its Applications, 3-17 march, 1997.

• International Conference "IIL-POSED AND INVERSE PROBLEMS "dedicated to Prof. M.M. Lavrent'ev, Novosibirsk-1999.

• 6th International Symposium on science and technology, Novosibirsk State Technical University, 24-30 June 2002.

• 7 th International Symposium on science and technology, Ulsan Technical University, Korea, June 24-July 30, 2003.

• 8 th International Symposium on science and technology, Tomsk State University, Tomsk, June 26-July 3, 2004.

Основные результаты докладывались также на семинарах Института математики, Вычислительного центра СО РАН, Института гидродинамики и Новосибирского государственного технического университета.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 61 печатная работа, в том числе 20 - в рекомендованных ВАКом журналах и в центральных зарубежных изданиях, 10 работ опубликовано без соавторов.

Личный вклад автора

Диссертационная работа и все результаты, лежащие в её основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему полностью принадлежат постановки задач исследования, теоретические исследования и анализ численных экспериментов.

Работа выполнялась в Институте математики им. С.Л. Соболева СОРАН и Новосибирском Государственном техническом университете в период с 1985 по 2004 год.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения.

Во Введении очерчены основные понятия, постановки задач и методы решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред. Дана структура диссертации по главам, оценена научная новизна и практическая ценность полученных результатов и приведен список публикаций по теме диссертации.

В главе 1 диссертации рассмотрено нестационарное уравнение переноса:

Введем необходимые обозначения. Мы используем стандартное обозначение V для пространства бесконечно-дифференцируемых функций с компактным носителем в R4 х S2. В диссертации введено понятие допустимой пары (а, а$т}). Пусть В будет замкнутый конус В = {х G К3, t 6 Rj. : vt > \х - ж°|} и К+ = В х S2 область в R4 х S2. Обозначим через

К+{т) = Я+П{0 < t < т}, D(t) = {(z - < vr] , К = К+(Т) и D = D(T),

для некоторой фиксированной константы Т > 0 . Нам понадобятся следующие условия :

UA Пусть существует выпуклая, связанная область Do С D с diam Do =

такая, что (х € R3; \х - х°\ < vTi) С D0, для некоторого Т\ < Т и для некоторой 7 = consi,

О < 7 < (Та(ж), х € £>о- (Однородность поглощения).

,t 1 " " WS sup I р(х,х - v(t — r)Q.)dt < (Слабое, рассеяние).

(i,t,n left: У« ^Р

Здесь а = |х — х° - г)Ш|г(2и(и< — fi • (ar — as0)))-1 и через р(х, у) обозначена оптическая длина пути

р(х, у) = exp -у\ j а(х + s(y - x))dsj .

Задача Коши для уравнения переноса

i^ + Q • V.I7 + = А^ f ri(x,n,W)U{x,t,n*)dn* + Q(x,t,tt)

v at 4тг ys2

t/(x,i,Q)|i<0 = 0 может быть преобразована к интегральному уравнению:

¡7(х, t, П) = AKS U{x, t, П) + К Q(x, t, П), где S,K интегральные операторы

4?г Js2

Kf{x,t,Q) = 6(t) f vdrexp (- f a {x)dl\ <p{x - - т)П,т,П), УО V Jx-v[t- r)fl /

определенные на L°°(K). Доказана следующая лемма:

Теорема 1 Пусть (а,а$1)) определяют допустимую систему и удовлетворяют условию (№3). Тогдаинтегральноеуравнение

и(х, г, П) = К Э и(х, 0) + Р{х, г, П)

имеет единственноерешение 6 К) для всехР(х,1,0) € Ь°°(К).

На основе полученного представления Филлипса-Дайсона для фундаментального решения приведена формула Фейнмана - Каца и схема ее доказательства. Далее в главе 1 сформулированы и доказаны три утверждения, касающиеся структуры фундаментального решения нестационарного уравнения переноса.

Иерархия сингулярностей фундаментального решения. Обозначим через Дп(£,П,х0,Г2°) часть плоскости вШ^раниченную этим отрезком и отрезками х = ха + ьтП,х = х° + ыП0, т £ [0, <]. Рассмотрим 4-многообразие

Определим функцию

Теорема 2 (Структура особенностей.) Фундаментальное решение для уравнения с регулярной системой, удовлетворяющее условию (WS), может быть представлено следующим образом:

п=3

Е{х, = 5„(1, Ь, £1)фп + - \х - ж°|)р(х, Ь, П). (1)

71=0

Здесь

Бо = уЩ)6(х - х° - - фо = ьр(х°,х° + vtQ,0)

51 = ¿(Г+), фг = £р(Х0, х*)р(х', х)а,(х*)ф', П,

= в(Ы - \х - я°|)Г_1, х1ъ{х,1,П) = <р{х,Ь,П)а1сЬтЦх,1,П) 53 = - |х - «°|)|П - П»!"1 Ь» .

и фк(х, П) € с = 4(1 - у/2)и.

Более того, пусть дополнительно втшлшно условие. (НА) и ф,П,П*) > 0 дляП,П' 6 82,|г-ж"| < 1'Т{. Тогда 0 < <р(х,1,П) на Ы К+{Тг).

Теорема 3 (Затухание особенностей.)

Пусть в условиях теоремы 2 дополнительно выполнено условие (UA). Тогда существует такая констлнты /3,7 не зависящие от Т\ а п такие, что

О < фп(х, t, fi) < jSexp(-7vt), на K*{T{) для всех Тг > 0.

В диссертации построено некоторое семейство конусов такое, что

ICn{x,t) С ... С £з(М) С /Cj(x,i) С K\{x,t) С fCo{x,t).

Структура заднего фронта фундаментального решения дается следующей теоремой:

Теорема 4 (Наличие заднего фронта.) Для всех п > О

supp Snil>n{x,t&x°,n°) f| JCn(x,t) = 0. Далее в главе рассмотрено стационарное уравнение переноса:

П- VxU + <r(x)U= f r){x,tt,tt*)U{x,n*)dn* + W{x,tt)-4т yS2

Для уравнения переноса в диссертации показано что, с точностью до регулярной части из L°°(D X S2), сингулярная часть ФР содержит два дельта-образных распределения; одно содержит особенность на луче

г = х° + П°т, т > О,

второе на части 4-мерной поверхности в R3 х S2

£ = {(х, Г2) е Д3 х S2 |х° + аП° + Ш - х = 0}, а, 6 > 0,

а так же два слагаемых содержащих сингулярные члены из Ltoc(D х S2) \ L°°(D х S2) и имеющих степенно-логарифмическую и логарифмические оценки.

Оценки, полученные для коэффициентов стоящих перед особенностями

0<Vv, </3"ехр(-а|х-х°|), (x,x°)6D0, п = 0,...,3,

sup ||as7/||M, а= inf а(х)>0, Cl'eS2 xiD.cD

могут рассматривается, как оценки особенностей одно и двух кратно рассеянных потоков излучения, создаваемых точечным мононаправленным источником в дальней зоне:

-2™„c„.u J>IMT („ О. „О Г)0\ ^ 1 1- ' ^

О < /Г2 ехр(«|х - х°\)Е2{х, П; х°, < In

-з „„„/„,. _оп J? л. п. „о П0х ^ ,_ , d*5\n х П°!

(¿1,2 = const, (х, х°) € Do.

В эти оценки входят только

diam D о = -«г

и они могут использоваться как асимптотики для больших |г — х°|. В дальнейшем мы будем называть пару (а, а3т]) или систему допустимой если:

i as(x),a(х) и т](х, П, П*) неотрицательные Cq° функции.

ii Существует компактное, выпуклое подмножество D С R3 с измеримой функцией границы sq(s, ii) (определенной далее), diam D = RCl такая что as(x) обращается в ноль если х е R-l \ D.

iii Рассматривая система является подкритической, т.е.:

О < £75(х) < <т(х), х е D.

Зададим следующие условия:

(ОП) Существует выпуклое, связное подмножество D, С D такое, что

О < а < сга{х), х е Ds

(Однородность поглощения),

sup I р(х, х - RSYjdR < — (xfl)£DxS* Jo P

(Слабое рассеяние),

(CP)

где "граничная функция "во (г, П) определяется как расстояние между точкой хи границей дИ вдоль направления —П. Вектор П является входящим в х € дБ (обозначение П' £ £г(х)). если и только если, существует е = е(х,Г2) > О такое, что

I + тй' 6 В, 0 <т < е.

Пусть IV(х, П) = 0, х £ й(!б 52. Тогда решение граничной задачи

для допустимой системы

Q-VxU + a{x)U=^- [ г)(х,П,П*)и(х,П*)с1П* + W(x,П) 4тг Jp

(2)

Щх, й) = 0, {х, П)€дОх Э(х) (3)

может быть представлено, как решение интегрального уравнения:

и(х,П)=К8и{х,П) + КШ(х,П), (4)

где 8,К обозначены интегральные операторы

4т Уо

определенные на х Я2).

Теорема 5 Если (а, авц) определяет допустимую систему и удовлетворяет условию (СР), тогда интегральное уравнение

и(х,(1) =КЙ Щх,П) + Р(х,П) (5)

имеет единственное решение £/(х,П) € х 52) Лдя есеж Р(х,й) 6

х 52).

Для каждого фиксированного П, х°, через Т, — Е(х°,П,П0), мы обозначим часть плоскости, расположенной между лучами г = х° 4- Г2т и г = х° + П°т, т > 0:

Е := {х € = х° + аП° + Ш}, а, Ь > 0.

Множество всех внутренних пар мы обозначим через И', а некоторое выпуклое множество В Р|(Д, х £>,) через £>о-

Теорема 6 Пусть для допустимой системы (а, условие (СР) выполнено. Тогда фундаментальное решемие Е(х,£1:х°,0,а) стационарного уравнения переноса может быть представлено в <5 х <Э в форме п=3

Е(х, О; 1°, 0°) = £ 5„(х, П; х°, + д(х, П; х°, П°)

п=0

где

50 = 6{1№)5(П-П°),

<? = 1 . ( ^Дс \

2 |П х Г2°| х • (х - х°)|/ '

<? = , ЛгЯс |йь ¿2Дс|ЙхП°|

3 |(х - х") х |(х - хп) ■ (П х П°)|'

Фо =

5(x,fi;x°,ft0), ф2,3{х, 6 L°°{D х S2), uRc = diam Д <fli2 = const.

И если условие (ОП) выполнено тогда

О < фп(х,П;х°,П°) < /?пехр(-а|х-х°|) для (х,х°) € D0 С DxD, п = 1..3.

В главе 2 предложена новая схема спектроскопии с высоким пространственным разрешением. Эта схема основана на методе сингулярных разложений и результатах о структуре особенностей фундаментального решения стационарного уравнения переноса, полученных в диссертации.

Общая схема метода спектроскопии с высоким пространственным и угловым разрешением. Метод основан на пространственном и угловом разделении особенностей рассеянного поля излучения и состоит в определении коэффициентов уравнения переноса в следующем порядке:

a(x),crs{x),i}(x,il -П) и <та(х).

Мы рассматриваем два сорта связанных приемников D = (Dj,D2) и Е = (Ei, Ej). В стандартной томографической схеме один приемник Dt расположен в точке ж1 напротив источника излучения. В предлагаемой схеме приемник регистрирует как нерассеянное, так и рассеянное излучение, падающее со всех направлений на элемент поверхности SQ 6 Я2 в точке х1, ще приемник Di расположен. В отличии от традиционной схемы, мы размести добавочный источник D2 в точке х1 + Дх вне зоны падения прямого излучения. Мы назовем связку D = (Dj, D2) приемником первого типа. Приемник второго типа - это два связанных мононаправленных приемника. Каждый такой приемник измеряет интенсивность излучения, входящего в точку в направлении, которое лежит внутри конуса с направлением П. Таким образом, каждый приемник определяется своим положением и вектором направленности. Зафиксируем точку х" в лежащую на луче источника, в которой мы хотим измерить параметры среды. Выберем направление Qd так, что поверхность JC(-Qj) содержащая точку х* и ортогональный к плоскости Т вектор Д-Q такой, что конус IC(-(Qd + f ДП)) не пересекает луч х — х° + тП° для некоторого б > 0. Рассмотрим новый приемник Е] с вектором направленности - еДП. Точка х" лежит в пересечении внутренности конуса AC(-(iJd - еДГ2)) и луча х = х° + тП° для некоторого е > 0. Второй приемник Ег расположен в той же точке хг, его вектор направленности Qi + «ДО. Конус К(-(П + еДО)) сканирует в непосредственной близости от точки х*, но не пересекает луч х = х° 4- тП° для некоторого е > 0.

• Шаг 1: Восстановление коэффициента поглощения.

Согласно доказанной теореме 6. первый приемник Dt регистрирует сум-

Рис. 1: Общая схема метода.

му

М*1) = 7- ( (кяхШЭ + -г [ (От + к)<ша

4?г 4тг Лад*

= 7 [{х^ + ГЦх1)

не рассеянного и рассеянного потока в точке х1. Так как Со(ж1-|-Дх, П) = О для некоторого П 6 52, мы получаем следующее выражение для разности сигналов двух приемников первого типа.

Д1, = ^(х1) - Мх1 + Дх) - /;(х,) + (^'(х1) - ^'(х1 + Дх))

Функция

I (вт + ^ёп

интегрируема, и следовательно

Нт (/¡У) - /¡'(х1 + Дх)) = 0.

Тогда

= Нт Шх1) - Ь{хх + Дх)) =

Ди+С

= Ф1) = Г [ Соро^^С

=Л ехр (- / м*)+о"«(1))) •

ьтР I I

Таким образом, мы получили значение ослабления не рассеянного излу-„1

чения в каждой точке х и, следовательно, значения интегралов по всем прямым. Применяя обратное преобразование Радона, мы можем восстановить коэффициент полного ослабления <г(х) = а3(х) + аа(х) во всех точках области.

• Шаг 2: Восстановление сечения рассеяния.

Существенным моментом в предлагаемой схеме является тот факт, что в разности показаний приемников Ej and Ез имеется скачок. Обозначим через £(П) открытый конус квадратного сечения с вектором направленности О. Выбираем вектор Qd так, что бы пересечение поверхности конуса /С(—ii<i) с лучом х = а^+тП0 содержало интервал (г'+Дх], х*-Дхг). Этот интервал мы видим из точки хг под углом Д7. Обозначим через Т* плоскость, ортогональную к Т,и проходящую через точки х', х2. Выбираем, так же, единичный вектор -ДГ2 ортогональный к плоскости Т. Заметим, что Gi(x2,fi) = 0 для некоторого i2 е + еДП) и е > 0. Следовательно, поток регистрируемый приемником Ei равен

I2{x2,Qd + eAQ.) = ^- f (Gi(x2,0)^1 + k(x2, П)) <Ш

4?r /mj+едп)

4тг jK

h(x2, Q,)dfl.

Для некоторого фиксированного х $ {х — ж0 + П°т} функция h(x2,Q) интегрируема на S2 и, следовательно,

/

Jaiid-'

h{x2,Q)dQ',

i

К{Пл+еАС1)

h(x2,n)dtt, e-f +0.

Таким образом, мы получаем следующее выражение для разности между показаниями приемников второго типа.

Обозначим

4*/с(^дп) u ' JlCiSl^n) |ПхП0|

Тогда для ?;(x) € V{x)

i = = iofW

4гг ./Ц^-еДП) X " I Уд3

Следовательно

1 f gtfAfdV lKrJAV\(X-x0) x ПО, "РиД7^+0.

Здесь ДУ область в Äj расположенная между плоскостями Е(х°, Q°) и П* 6 Т* и угол между Т и Q* равен Д7.

Окончательно

Так как мы уже восстановили коэффициент сг(х), то и величина р(0,х")р(х',х)

нам известна. Таким образом, все параметры в этой формуле нам известны, за исключением

• Шаг 3: Восстановление коэффициента поглощения. Так как сг0(х) сг(х) — о3{х), то мы можем найти значения функции <т0(х), используя найденные значения функций а,(х) и а(х).

Численное решение задачи оптической томографии предлагаемым методом имеет смысл, только при наличии экспериментальных данных, причем полученных в описанной выше схеме измерений. Частично результаты таких экспериментов на реальных данных приведены в работах Dom О. Для модельной задачи проводились численные эксперименты с целью проверки эффективности предлогаемой схемы и для демонстрации влияния эффекта рассеяния на восстановление образа сечения тела. Объект исследования -сфера радиуса 1, разделенная на две области: концентрическая сфера радиуса 0.5 и остальная ее часть. Первая область заполнена чисто рассеивающим (непоглощающим) веществом, а вторая - чисто поглощающим. Коэффициенты рассеяния и поглощения постоянны внутри соответствующих областей и

Рис. 2: Объект исследования

одинаковы по величине: . Таким образом, величина общего ко-

-(ффпцнсита ослабления постоянна во всей большой сфере: с = 10. Данные для восстановления были получены расчетами методом Мойте Карло.

Р а счет скачков первого и второго типа. Кривая на Рис. 3 показывает зависимость между интенсивностью полного потока, приходящего в приемник первого типа и расстоянием х. Кривая на Рис. 4 показывает зависимость между интенсивностью рассеянного излучения, приходящего в точку приемника второго типа (в случае кругового конуса), и угла вращения в направления наблюдения 7ш

На графике хорошо виден скачок в показаниях приемника. Относительная ошибки величин нерассеянного и рассеянного потока излучения составила меньше 1%.

Влияние эффекта рассеяния на восстановление образа. В диссертации было проведено компьютерное моделирование и дан сравнительный анализ классической и предложенной схем томографи для сред с сильным рассеянием При моделировании вклад рассеянного потока излучения составлял до 40%. благодаря относительно большой величине коэффициента рассеяния (с\ = 10) На рис. 5 показан график восстановленного профиля на диаметре сферы

И( графика видно, что восстановленный коэффициент внутренней области «падает в окрестности центра сферы. Это и есть искажение, вызванное >фф('К'1ом рассеяния. Естественно ожидать такого же эффекта в случае произвольной области, заполненной рассеивающим веществом.

Предлагаемый метод можно рассматривать как первый шаг к решению проблемы томографии с рассеянием. Как указал автору проф. Хаунсфилд, приемники первого типа, предложенные в диссертации, уже частично исполь-

Рис. 3: Скачок первого рода.

зовались экспериментаторами с целью выделения нерассеянной части излучения. Теоретических обоснований для их использования на тот момент не было. При этом использовалась классическая томографическая схема, что естественно приводило к большим искажениям.

Как показали эксперименты (Dorn), для объектов размера < 50 длин свободного пробега метод дает хорошие результаты. Трудности возникают при применении этого метода для оптических сред размером превышающих 50 длин свободного пробега. Причиной является сильное ослабление особенностей волнового фронта рассеянного излучения в биологических тканях. Это приводит к тому, что зарегистрировать скачки первого и второго типа не представляется возможным. Возможные подходы к решению задачи оптической томографии в этом случае будут рассмотрены в последующих разделах.

В главе 3 дан эвристический вывод интегрального уравнения переноса плотности энергии фотонов для оптически плотной среды (Уравнения Лип-пмана - Швингера).

Вычислено асимптотического представления решения этого уравнения вблизи светового конуса в двух случаях:

Теорема 7 Для всех t > 0, х ф у.

K(x,t,s,y) = a-2{x,y)6('r) + a-1(x1y)\Ti'y + ao{x,y)'y0 + 0(-yln2'?) при -у i 0

Рис 4- Скачок второго рода

Здесь

На основе полученных аналитических результатов, автором предложены несколько алгоритмов решения обратных задач для интегрального уравнения, выведенного в предыдущей главе. Линеаризованная обратная задача сводится к задаче интегральной геометрии по семейству эллипсоидов. В общем случае обратная задача факторизуется на две задачи интегральной геометрии по семейству прямых. Представлен подробно разработанный алгоритм численного решения в двух случаях расположения источников и приемников.

Далее рассмотрена обратная задача для ЛШ, состоящая в определении координат сингулярных неоднородностей внутри среды с неизвестными характеристиками. Использование техники фейнмановских диаграмм позволило доказать теорему о структуре особенности решения уравнения ЛШ в этом случае. На основе этой теоремы доклшт рднш гпопногть решения обратной задачи и приведен ряд численных алгоритм«)» ее решения В случае фиксированных координат источпиков-приемнпкон обращая задача сводится к обратной задаче рж сеяния д ш \'р,ишемия Шредшп ера на полном графе

ф) [e\-h<mogeneous media

[.)- wth scattenng mhomogeneity

10

1 О 0 5 г 1

Рис 5 Восстановленное сечение

В главе 4 рассмотрены различные математические модели, предназначенные для описания диффузионных волн в оптически плотных средах

Используя, разработанный метод локальной оценки плотности по времени интегрального потока излучения, было проведено компьютерное Монте-Карло исследование структуры фундаментального решения уравнения переноса Было обнаружено явление временной локализации импульса сразу за передним фронтом волны. Это явление, называемое так же диффузионной волной, ранее наблюдалось только в физических экспериментах

Приведены результаты компьютерных экспериментов с различными математическими моделями, показывающих, что диффузионные волны обладаю рядом "оптических"свойств Явление разогрева неоднородности, обнаруженное в ходе этих экспериментов, проверяется для разных моделей распространения На основе полученных результатов даны рекомендации о перспективности различных схем диффузионной томографии

Далее исследуются диффузионные волны в средах с временной дисперсией Для уравнения Нигматулина

рассмотрена обратная задача, состоящая в определении порядка дифференцирования и коэффициента теплопроводности по значениям амплитуды и фазы диффузионной волны Получены точные формулы для решения этой обратной задачи, необходимые для численных лчгорпшов рршений обратных задач в общем глучле ОГн-уждгпм но (ученные обобщения законов Фурье.

В главе 5 рассмотрены решетчатые модели мезоскопических сред. В первом разделе исследуются различные математические модели отражения электромагнитной волны от фрактальной поверхности.

Рассмотрены следующие модели распространения волн:

• Модель классического блуждания на решетке. Эта модель в пределе на регулярной решетке дает решение параболического уравнения и является классической решетчатой моделью диффузии. Вероятность выхода частицы из полуплоскости связана с задачей нахождения вероятности траектории броуновской частицы совершить п оборотов вокруг начала координат (wind number).

• Волновая модель. Эта модель в предельном случае на регулярной решетке дает гиперболическое уравнение. Свойства волновой модели на фрактальной решетке исследуются впервые. Как показали компьютерные эксперименты, интенсивность рассеянной волны имеет сложный, фрактальный характер.

• Спинорная модель. Эта модель в предельном случае на регулярной одномерной решетке даетуравнение Дирака для двухкомпонентного спинора Ф(я, t) Уравнение Дирака для свободной, спина 1/2 - релятивистской частицы массы т в одномерном пространстве может быть записано:

где h = с = 1,<тх и аг являются матрицами Паули, a ip(x,t) имеет две компоненты. Фейнман представил случайное блуждание, плотность распределения которого, в пределе дает фундаментальное решение уравнения Дирака.

Результаты компьютерных экспериментов этой модели, показывают, что отраженный сигнал сильно ослаблен, абсолютно не структурирован, и интенсивность отраженной волны спадает по времени гораздо быстрее, чем для волновой модели. Это объясняется интерференционными эффектами и сложной структурой предфрактальной решетки.

• Квантовое блуждание. Этот алгоритм является квантовым аналогом метода Монте-Карло. Результаты, полученные этим методом показывают мультифрактальность отраженного сигнала, как функции времени. Эта модель требует дополнительных исследований, так как для нее. даже на регулярной решетке, неизвестно существование каких либо предельных дифференциальных уравнений.

Целью компьютерных исследований было изучение статистических свойств рассеянного излучения Построен алгоритм квантового блуждания на решетках Он является квантовым аналогом метода Монте-Карло, обобщенным на фрактальные решетки Приведен сравнительный анализ моделей рассеяния от фрактальной полуплоскости

Далее представлены результаты исследования термодинамики систем со спином на регулярныхи и самоподобных решетках Для исследования поведения критических параметров модели Изинга ферромагнетика с гамильто нианом

и статистической суммой

= + (7)

при изменении параметров фрактальной решетки, используется следующие Монте-Карло методы

• Существенной выборки Метрополиса,

• Кластерный алгоритм Swendsen-Wanga,

• Алгоритм Wolf переворога кластера

Приведены результаты исследований, касающиеся гипотезы гиперуниверсальности, и сделаны выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля ферромагнетиков, использующих измерение температуры Кюри

Еще один подход, использующий метод теплового ядра, применяется для сведения задачи получения оценок высокочастотной асимптотики оператора Лапласа на самоподобной решетке к исследованию свойств некоторого случайного процесса на этой решетке

Метод теплового ядра, применяемый в настоящей работе для исследования асимптотики оператора Лапласа на ковре Серпинского, в отличии от вариационного подхода, основан на построении - функции эллиптического оператора на многообразии

Пусть Р С7°°(У) C°°(V) - эллиптический самосопряженный дифференциальный оператор порядка d > Ос положительно определенным главным символом Тогда spec (р) С [-с, оо) для некоторой констлнты с

Будем так же предполагать, что Р положительно определен, те spec Р С для некоторого - сглаживающий оператор при

ядром вида

Определим С - функцию оператора Р как

Ф, Р) = Тг(Р"а) = I Ц-8, X, х)йх = С(в, Д) = Е '

А„>0

Обозначим через

КЦ,х,у) = ^2е'х"фп(х) ^ фп(у)

ядро

/(*) = [ К{г,х,у)!{у)<1у = ^кфп{х) [ №Ш*У

Можно показать

-НР

задается сходящимся рядом при всех ¡3 > О

Следующая формула является основой метода теплового ядра и централь ным моментом в нашем исследовании Используя свойства преобразования

Меллина

получаем следующую связь £ функции оператора Р и статистической суммы

^ ^ (9)

Такт/ образом, мы связали £ - функцию эллиптического оператора Р со случайным процессом, порожденным параболической полугруппой е~1Р

Использование Монте-Карло моделирование и тауберовой теоремы Кара маты позволило сделать ряд выводов о перспективности подхода, использующего параметры спектральной асимптотики для определения свойств среды Глава 6 посвящена исследованию задачи рассеяния для уравнения Шре-дингера на графах В этой главе развивается техника спектральной хирургии квантовых графов, представляющая самостоятельным интерес Эта техника позволила получить нелинейное функциона м.пор > равнение для § - матрицы конечно разветвленной гапфегки Сергпнк кою

Теорема 8 Коэффициенте /?' п I' 1)>я н + 1 пит шт/ипиш конечно раз ветвленноА (апф/тьи С/рпнш иш < нпипшьт формул (10), (8) и

(11) выражаются через коэффициенты Л иТ п-той итерации М5„. К {к) = Я.(к/У) + [Ь1(к/2>)е'к^ + а2{к/д)}Т{к/^, Г (к) = (а1(*/3) + Ь3(фук'3]Т{к/3).

Где

01 :

а2 •

-Те*{ел11 - 1)

О

, &1 =

-Те'к(еаЯ? - е'кТ2 - Я)

-Гей*(е'*Д2 - е'^Г2 - Д) I)

¿ик<рг аз = —р—, =

Ьг =

егкТ2

~~1Г

Б

-Т{е1кН - 1)

В = -езаТ3 + еыЛ?Т - еыЕТ - ешКТ2 + ешЯ3 - еъкВ? - е'кК + 1. (11)

Используя результат этой теоремы, можно определить элементы матрицы рассеяния свободной частицы на конечно разветвленной салфетки Серпин-ского, как неподвижную точку системы итерационных уравнений (10).

Далее рассматривается задача восстановления координат сингулярных неод-нородностей, расположенных в случайной среде . Как было показано в диссертации, она сводится задаче рассеяния на полном некомпактном графе. Рассмотрим полный метрический граф в К® с рационально независимыми длинами ребер и выберем в нем четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. После чего приклеим к этим вершинам ребра бесконечной длины. Полученную конструкцию можно понимать, как набор, состоящий из четырех "источников-приемников" волн и неоднородностей, расположенных в оставшихся вершинах графа.

Теперь рассмотрим вложение этого графа в Я3. Возникает вопрос, как матрица рассеяния на полученном графе может характеризовать пространственное положение вершин его вложения в ?

Используя разложение производной фазы рассеяния

где суммирование происходит по всем замкнутым путям в графе, Gutkm и Smilansky доказали теорему о единственности задачи рассеяния на графе.

Однако эта теорема не дает полного представления о том, каким образом бесконечные ребра приклеены к компактной части. В диссертации доказано, как преодолеть эту трудность.

В заключении диссертации приводятся основные результаты проведенных исследований

Публикации по теме диссертации.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих работах

1 Бондаренко А Н Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории переноса частиц // Докл Акад Наук СССР 1992 т 322, N 2 с 274-276

2 Bondarenko А N Mathematical problems for diffuse tomography // YI International Symposium on Computerized Tomography 1993 Novosibirsk P32

3 Bondarenko A N On structure of the fundamental solution of the time-independent transport equation // Ин-т Математики СО РАН April 1996 Препринт No 31 P 18

4 V S Antiufeev, A N Bondarenko X-ray tomography m scatteiing media /, SIAM J Appl Math 1996 V 56 №2 P 573-578

5 Anatoly Bondarenko Singular structure of the fundamental solution of the

tiansport equation//Inst for Math and Appl, Minneapolis 1997 Preprint 1474 P 32

6 Anatoly Bondarenko The structure of the fundamental solution of the time-mdependent transport equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications 1998 V 221 P 430-451

7 A H Бондаренко, Д Н Иванов Компьютерный эксперимент в задаче рассеяния диффузионных волн // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2001 Тез докл С 106

8 А Н Бондаренко, Д С Иващенко Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2001 Тез докл С 107-108

9 А Н Бондаренко, А В Кацук Отражение волн от фрактальной среды // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2001 Тез докл С 109 ПО

10 АН Бондаренко, А В Ломов Парлболические диффузионные волны в задачах оптичегкой iomoi рифнп ' H.uk.i Течникл и Инновации Региональная на\чн,и мин]» ¡и ишь! 1(1 Т\ ЛИП 1< . ч«>кч С 114 113

11 АН Бондаренко, Е В Харбанова Методы квантовой теории поля в задачах многократного рассеяния волн // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2001 Тез докл С 119-120

12 А Н Бондаренко, Ерофеева Ю А Рассеяние волн во фрактальной среде // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2001 Тез докл С 109-110

13 Anatoly N Bondarenko Feynman diagrams for Lippman - Schwingei equation with singular potential // 6th International Symposium on science and technology - Novosibirsk State Technical University 2002 Proceedings P 240 245

14 Anatoly N Bondarenko Dmitry S Ivashenko, Vadim Seleznev InveiseSommer-feld's problem for fractal media // 6th International Symposium on science and technology- Novosibirsk State Technical University 2002 Proceedings

P246-252

15 Anatoly N Bondarenko, Andrey V Katsuk Quantum and wave scattering from Sinpmsky carpets tesselation // 6th International Symposium on science and technology- Novosibusk State Technical University, 2002 Pioceemngs P 260-266

16 A N Bondarenko, Uha Eiofeeva Back scattering electromagnetic waves from fractal nonhomogenious // 6th International Symposium on science and technology Novosibnsk State Technical Univeisity 24-30 June 2002 Materials P180

17 A N Bondarenko, E V Harbanova Quantunm field approuch to wave scattering in fractal media // 6th International Symposium on science and technology Novosibirsk State Technical University 24-30 June 2002 Materials P 182

18 A N Bondarenko, D N Ivanov Warmed up obstacle by a diffusion wave // 6th International Symposium on science and technology Novosibirsk State Technical University 24-30 June 2002 Materials P 181

19 A N Bondarenko Feynman diagrams technics for Lippman-Scwinger equation with singular potential // International Conference'IIL-POSED AND INVERSE

PROBLEMS"dedicated to Prof M M Lavrent'ev Materials P 38

20 АН Бондаренко, А В Ломов Модель Иишга на фрактальной решетке // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 207-208

21 А Н Бондаренко, В А Дедок Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на полных графах // Наука Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 193-195

22 А Н Бондаренко, Д С Иващенко Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 200-202

23 А Н Бондаренко, А В Кацук Квантовое блуждание на ковре Серпин-ского // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 205-206

24 А Н Бондаренко, Д Н Иванов Рефракция диффузионных волн и закон Снеллиуса // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 198-199

25 А Н Бондаренко, Ю А Ерофеева Дистанционная диагностика фрактальных поверхностей // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 197-198

26 А Н Бондаренко, Е В Харбанова Спектральная асимптотика фрактальных решеток // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 119-120

27 А Н Бондаренко, Я В Килин, М В Синенко Построение фрактальных решеток // Наука, Техника и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2002 Тез докл С 211 212

28 Бондаренко А Н Структура волновых фронтов в мезоскопической теории переноса излучения // Научный вестник НГТУ 2002 Т 12 №1 С 29-44

29 Бондаренко А Н , Иващенко Д С , Селезнев В А Диффузионные волны в средах с остаточной памятью // Научный вестник НГТУ 2004 Т 12 №1 С 45-55, 2002

30 Бондаренко А Н Обратные задачи для уравнения типа Липпмана Швингера // Сибирский журнал индустриальной математики 2003 Т 15 №4 С 13-33

31 Бондаренко А Н Техника фейнмановских диаграмм для уравнения Липпмана Швингера с сингулярным потенциалом // Сибирский журнал индустриальной математики 2003 ТУТ Т 16 №4 С 3 10

32. Бондаренко А.Н., Ломов А.В. Фазовые переходы в моделях фрактальных ферромагнетиков // Научный вестник НГТУ. 2003. Т. 13. №2. С. 87-96.

33. Бондаренко А.Н., Селезнев ВА, Харбанова Е.В. Спектральная асимптотика фрактальных решеток и задачи определения степени усталости материала // Научный вестник НГТУ. 2003. Т. 13. №2. С. 97-106.

34. Anatoly N. Bondarenko, Vadim A. Seleznev, The model of forming the fractal defect in elastic continuum and its undestructive control // 7 th International Symposium on science and technology.- Ulsana Technical University, Korea.

2003. Proceedings. P. 111-114.

35. Bondarenko A. N., Harbanova E.V., Ivanov D.A. High frequency asymptotic of fractal wires in nondestructive testing of material fatigue // 7 th International Symposium on science and technology. Materials. Ulsan Technical University. Korea. 2003. P.22-27.

36. Bondarenko A. N., Lomov A.V. Phase transition in ferromagnetic Ising model on multyfractal lattices // 7 th International Symposium on science and technology. Materials. Ulsan Technical University. Korea. 2003. P.65-70.

37. Bondarenko A. N., Dedok VA. Inverse scattering problem on quantum graphs // 7 th International Symposium on science and technology. Materials. Ulsan Technical University. Korea. 2003. P. 105-110.

38. Бондаренко А.Н., Шиханова О.И. Диффракция Фраунгофера на неодно-родностях с фрактальной границей // Сборник научных трудов НГТУ.

2004. 1(35). С. 19-24.

39. Бондаренко А.Н., Дедок ВА Хирургия квантовых графов // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 218-219.

40. Бондаренко А.Н., Зинкин С.С. Критические экспоненты перколяционной теории электрической проводимости материалов // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 222-223.

41. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 223-224.

42 Бондаренко А Н , Иванов Д Н Решение уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом методом конечных элементов //Наука, Технологии и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2003 Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых С 225-226

43 Бондаренко А Н , Кацук А В Информативность признаков Ренье при анализе медицинских изображений // Наука, Технологии и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2003 Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых С 227-228 стр

44 Бондаренко А Н , Ломов А В Сравнительный анализ алгоритмов моделирования системы спинов // Наука, Технологии и Инновации Региональная научная конференция НГТУ 2003 Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых С 234-236

45 Бондаренко А Н , Кацук А В Двумерный Ренье анализ изображений Сборник научных трудов НГТУ 2004 Т 35 № С 143-148

46 Бондаренко А Н , Иванов Д Н Решение уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом методом конечных элементов // Сборник научных трудов НГТУ 2004 Т 35 М С 59-64

47 Бондаренко АН , Зинкин С С Критические экспоненты в перколяци-онной теории электрической проводимости // Сборник научных трудов НГТУ 2004 С

48 Бондаренко А Н , Иващенко Д С Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сборник научных трудов НГТУ 2004 Т 34 №4 С 50-64

49 А N Bondarenko, V A Dedok Suigeiy of quantum giaphs// 8 th International Symposium on science and technology Materials - Tomsk 2004 P 108-112

50 A N Bondarenko, V A Levm Localisation and crossover on fractal grid// 8 th International Symposium on science and technology Materials - Tomsk, 2004, P106-108

51 Бондаренко A H , Дедок В А Обратная задача рассеяния на графах / / Всероссийская конференция по обратным задачам Екатеринбург 2004 Тез докл С 106

52 Бондаренко А Н , Лепим A D Эффект лоылп мцнн колебаний на фрактальных решетках 5- ля Biepomiiic к.ы конференция молодых ученых по математичес кому мо ie inpoiwnmo н информационным технологиям И ВТ СОРАН Ноши и(шр< к 2001 Гс i шм С'11

Ot \{z ' 05~. /3

53 Б01 upniKoAH Иванов ДН Решение задачи оптической томографии методом конечных элементов / 5- ая Всероссийская конференция мо-юлых ученых по матемагическому моделированию и информационным имтюпым ИВТСОРАН Новосибирск 2004 Тез докл С 19

4 Бон i,i|i ико АН Ломов AB Модель Шинга на мультифракгальных jх пк I v i\ 5 ал Всероссийская конференция молодых ученых по ча пн in к ском) моделированию и информационным техножн иям ИВТ С ОРАН Норосибирек 2004 Тез докл С 15

У Бои цр< пко А. Н Иванов Д Н Решение задачи оптической юмографии \|(юю> ко)» 1 пых зле тентов http www ict lisc n YM2004 8577

5G Бон i i« пм) А H Левин В А Локализация Андерсена в самоподобных <ф\кцра\ Региональная научная конференция Наука Техника Ин Ю1 )ц,ш 2004 Новое нбирс к Тез докл

j7 Ьо I i.ipc ико А Н Ш ixdHOLrf О И Дифракция Фраушофера на ш ровных пи t р\по( I/IX фрак сальной размерное т Все росе ийская копфе ренция м пор, ны» ааа«.1ам Екакрннбур! 2004 Тез докл С 107

j8 Ьо i ( ре ико АН Иващенко Д С Вех становление парамечров слоистой (]" и м( ю 1,0м минимизации функционала невязки Сборник научных Ф юь НГТУ 2004 №3(37) С 21 26

59 Бон i,<ipt пко А Н ИващенкоДС ' Оптимизация вычиспений в рам-к,1\ iiaKeja программ Численное решение обратных задач аномальной шфф\,1н Сборник научных трудов НГТУ 2004 >3(37) С 27-32

GO Boniape пко А Н ИващенкоДС Исследование функционала невязки в »I sa\ монишринга слоистых сред 1 Сборник научных фудов НГТУ 2004 >4(35) С 17 23

61 Бои ipuiKo А Н Дедок В А Спек фал ьная xnpypi ия кванюных i рафов С iu5np( кий журнал индуе [риальнои ма1ема!ики 2004 Т 20 №4 С 1G-

2S

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета формат 60x84/16, объем 2,25 п л, тираж 100 экз , заказ № 1005 , подписано в печать 24 Oft 05 г

\ 244

Введение

1 Структура фундаментальных решений уравнений переноса излучения

1.1 Интегральное уравнение для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса.

1.2 Представление Дайсона-Филлипса для фундаментального решения уравнения переноса.

1.3 Аналог формулы Фейнмана-Каца для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса.

1.4 Структура особенностей волнового фронта фундаментального решения нестационарного уравнения переноса.

1.4.1 Иерархия сингулярностей фундаментального решения.

1.4.2 Затухание особенностей фундаментального решения при t —> оо

1.4.3 Наличие заднего фронта особенностей фундаментального решения

1.5 Стационарное уравнение переноса.

1.6 Интегральное уравнение для фундаментального решения стационарного уравнения переноса.

1.7 Теорема существования и единственности решения интегрального уравнения

1.8 Фундаментальное решение стационарного уравнения переноса.

1.9 Оценки особенностей некоторых несобственных интегралов.

1.10 Сингулярная структура фундаментального решения стационарного уравнения переноса.

1.11 Результаты главы 1.

2 Метод спектроскопии с высоким пространственным и угловым разрешением для задач оптической томографии

2.1 Задачи оптической томографии.

2.2 Преобразование Радона вЕ".

2.2.1 Потенциалы Рисса и формулы обращения.

2.2.2 Теоремы единственности восстановления по неполным данным

2.3 Метод спуска для уравнения переноса.

2.4 Общая схема метода спектроскопии с высоким пространственным разрешением

2.4.1 Устройство и расположение источников и приемников.

2.5 Численные результаты.

2.5.1 Расчет скачков первого и второго типа.

2.5.2 Влияние эффекта рассеяния на восстановление образа.

2.6 Результаты главы 2.

3 Уравнение типа Липпмана - Швингера для функции плотности энергии электромагнитного поля

3.1 Уравнение переноса энергии: Мезоскопический подход.

3.1.1 Уравнение типа Липпмана - Швингера.

3.1.2 Асимптотическое разложение решения уравнения ЛШ вблизи светового конуса.

3.1.3 Асимптотическое разложение некоторых интегралов.

3.2 Обратные задачи рассеяния для уравнения типа Липпмана - Швингера

3.2.1 Линеаризованная постановка обратной задачи.

3.2.2 Решение обратной задачи рассеяния для уравнения ЛШ.

3.2.3 Обратная задача с сингулярными рассеивающими неоднородно-стями.

3.3 Метод диаграмм Фейнмана в задаче описания структуры волнового фронта уравнения ЛШ с сингулярными неоднородностями.

3.3.1 Секвециальный подход к определению произведения обобщенных функций.

3.3.2 Структура особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными включениями в потенциале

3.3.3 Теорема единственности решения обратной задачи.

3.3.4 Задача с периодическим источником.

3.3.5 Локализация дискретных включений.

3.4 Компьютерное моделирование решений уравнения Липпмана - Швингера111 3.4.1 Локальная оценка плотности потока излучения в фиксированный момент времени в расчетах методом Монте Карло

3.4.2 Структура решения уравнения Липпмана -Швингера для оптически плотной среды

3.5 Результаты главы 3.

4 Теория и компьютерное моделирование в задачах рассеяния диффузионных волн

4.1 Диффузионные волны в регулярных средах.

4.1.1 Обратные задачи рассеяния для биологических сред.

4.1.2 Диффузионные волны в случайных средах

4.1.3 Иерархия математических моделей для описания процессов рассеяния в регулярных средах.

4.1.4 Компьютерное исследование оптических свойств диффузионных волн в моделях с постоянной и экспоненциально распределенной длинами свободного пробега.

4.1.5 Общая схема моделирования процесса переноса в регулярных средах

4.1.6 Разогрев неоднородностей диффузионной волной в модели с постоянной длиной свободного пробега.

4.1.7 Дифракция диффузионной волны на щели

4.1.8 Принцип Гюйгенса-Френеля для диффузионной волны

4.1.9 Рефракция диффузионных волн и закон Синелиуса.

4.1.10 Сравнительный компьютерный анализ свойств мезоскопических и макроскопических моделей диффузионных волн.

4.1.11 Поведение диффузионных волн в различных моделях.

4.2 Оптические свойства диффузионных волн в макроскопической модели

4.2.1 Уравнение для диффузионной волны плотности фотонов в макромодели

4.2.2 Конечноэлементная аппроксимация краевых задач для уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом.

4.2.3 Решение параболической задачи с использованием МКЭ

4.2.4 Оптические свойства диффузионных волн в модели параболического уравнения.

4.2.5 Явление разогрева неоднородностей.

4.2.6 Диффузионная волна в случае параболического уравнения с сингулярным по времени источником.

4.3 Диффузионные волны в средах с временной дисперсией.

4.3.1 Законы Фурье.

4.3.2 Некоторые особенности сред с памятью

4.3.3 Физическая интерпретация дробных интегралов и производных

4.3.4 Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их свойства.

4.3.5 Метод конечных разностей для дробного дифференцирования

4.3.6 Сигнальная задача для уравнение Нигматулина.

4.3.7 Обобщенная обратная задача Зоммерфельда

4.3.8 Решение обратных задач.

4.3.9 Особенности распространения диффузионных волн в средах с временной дисперсией.

4.4 Результаты главы 4.

5 Решетчатые модели мезоскопических сред

5.1 Модели рассеяния на решетках.

5.1.1 Классическая, волновая и спинорная модели распространения волн.

5.1.2 Монте-Карло алгоритмы случайных блужданий фрактальной полуплоскости.

5.1.3 Результаты Монте-Карло моделирования.

5.1.4 Квантовое блуждание.

5.1.5 Квантовое блуждание в пространстве более высоких четных размерностей

5.1.6 Результаты компьютерных моделирования квантового метода Монте-Карло.

5.1.7 Сравнительный анализ моделей рассеяния.

5.2 Критические явления в спиновых системах на фрактальных решетках

5.2.1 Фазовые переходы и критические экспоненты классических ферромагнетиков

5.2.2 Модель Изинга.

5.2.3 Гипотеза скейлинга.

5.2.4 Критические явления в ферромагнитной модели Изинга на фрактальных решетках.

5.2.5 Монте-Карло алгоритмы для модели Изинга на решетках Сер-пинского

5.2.6 Построение вычислительных алгоритмов для двумерной модели Изинга.

5.2.7 Результаты экспериментов с фрактальными решетками разных размерностей.

5.2.8 Критические параметры для регулярных решеток и фрактальных решеток первого типа.

5.2.9 Критические параметры для фрактальной решетки второго типа.

5.2.10 Сравнение с известными результатами.

5.2.11 Проверка гипотезы гиперуниверсальности.

5.3 Асимптотика фрактального спектра и задачи неразрушающего контроля уставших материалов.

5.3.1 Вариационные принципы и асимптотика собственных значений оператора Лапласа.

5.3.2 Метод Хермандера

5.3.3 Гипотеза Weyl - Berry для фрактальных границ и оценки второго члена спектральной асимптотики.

5.3.4 £ - функция эллиптического оператора на компактном многообразии.

5.3.5 Метод теплового ядра.

5.3.6 Тауберова теорема Карамата.

5.3.7 Фрактоны и собственные колебания фрактальных структур

5.3.8 Фрактонная размерность фрактального кластера.

5.3.9 Высокочастотная асимптотика фрактонного спектра мульти-фрактальных решеток.

5.3.10 Результаты моделирования методом Монте-Карло.

5.3.11 Обсуждение результатов компьютерных экспериментов

5.4 Результаты главы 5.

6 Спектральная хирургия квантовых графов

6.1 Спектр оператора Лапласа на графах.

6.2 Одномерная задача рассеяния.

6.3 Задача рассеяния на квантовых графах

6.4 Задача Штурма-Лиувилля на компактных графах.

6.5 Задача рассеяния на некомпактных графах.

6.5.1 Контрпримеры к обратной задаче рассеяния на графах.

6.6 Формула следа оператора Лапласа на графах и обратные спектральные задачи.

6.7 Метод множественного рассеяния.

6.8 Спектральная комбинаторика квантовых графов.

6.9 Фрактальные графы. Салфетка Серпинского.

6.10 Спектральная хирургия графов.

6.11 Факторизация S-матрицы рассеяния.

6.12 Метод ренормгрупп для конечно разветвленной салфетки Серпинского

6.13 Задача лазерной томографии.

6.14 Рассеяние на графе как рассеяние на прямой.

6.15 Результаты главы 6.

Актуальность

Изучение наноструктур знаменует новый этап развития естественных наук. Наноструктуры - это структуры, по своим размерам занимающие промежуточное положение между молекулами и микроскопическими объектами, т.е. объектами размером порядка 1 мкм. Они содержат конечное число атомов и, следовательно, подходят для решения современных технологических задач на атомном уровне. Следует особо отметить широту и разнообразие возможностей, создаваемых этим научным направлением. Это особенно справедливо для материаловедения, где нанотехнология в ближайшие десятилетия должна привести к подлинной революции.

В этой связи в последнее время значительно усилился интерес к построению моделей среды на наноуровне, иначе называемыми мезоскопическими моделями сплошной среды. Это объясняется также тем, что при создании новых технологий неразру-шающего контроля среды, обычно сталкиваются с проблемой создания адекватной как математической, так и физической модели исследуемого объекта. При этом часто получаемая математическая модель не описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. Одной из первых таких математических моделей, созданной для описания рассеяния излучения, можно считать уравнение переноса. Примерами сред, для которых часто рассматривается мезоскопические модели, являются, например, среды с временной или пространственной дисперсией и уставший металл.

Ситуация с описанием физических процессов на мезоуровне начала меняться после принятия физическим сообществом идей Мандельброта о структурном самоподобии (фрактальности). Многочисленные примеры физических структур, обладающих самоподобием на уровне промежуточном между микро- и макроуровнями (на мезоуровне), стали объектами пристального внимания со стороны физиков - экспериментаторов. Оказалось, что материалы, мезоскопическая структура которых обладает свойством масштабной инвариантностью (скейлинга) всего 5-8 порядков, имеют уникальные физические свойства, являющиеся результатом его внутренней самоподобной "архитектуры"[49]. Заметим, что для такого материала нельзя определить такое основное понятие физики сплошной среды, как "плотность", и, соответственно, для него нет адекватной математической модели.

Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Смирнов Б.М., Соколов Д.Д.,Поликарпов М.И., Бершадский А.Г., Зосимов В.В., Потапов А.А., Нигматулин P.P., Чукбар К.В., Учайкин В.В., Кобелев B.JL, Романов Е.П., Оксогоев А.А., Бунин Е.Ж., Иванова B.C., Васильев J1.H., Андреев Г.А., Галкина Т.В., Опаленов Ю.В., Милованов А.В., Засовин Э.А., Соколов А.Ф.,Кравченко В.Ф., Bande A., Halvin S., Lauwerier Н., Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann H.J.,Davaney R.L.,Ramstyein A.S., Schaefer D.W., Keefer K.D., Pfeifer P., Jakeman E., Allain C., Cloitre M., Tsallis C., Alexandrowicz Z.,

Для всех этих математических моделей большой интерес представляют задачи перазрушающего контроля. Эти обратные задачи, состоящие в определении характеристик среды по известным параметрам реакции этой среды на внешнее воздействие, не являются, как правило, классическими коэффициентными обратными задачами для уравнений в частных производных.

Поэтому на первом этапе постановки обратной задачи актуальной становится задача нахождения параметров, несущих наиболее значимую информацию об интересующих нас внутренних характеристиках среды. В этом случае выделение этих параметров и исследования характера зависимости этих параметров от характеристик среды является основной задачей компьютерного моделирования и может привести к созданию новых технологий неразрушающего контроля среды. Состояние проблемы

Одной из основных задач неразрушающего контроля я мезоскопических сред, ставшей актуальной в последнее десятилетие, является задача оптической (лазерной) томографии. Задачи лазерной томографии возникли в результате отказа от использования сильно ионизирующего гамма излучения при ранней диагностики рака головного мозга. Применение классической схемы томографии с использованием лазерного излучения затруднено в виду сильного рассеяния оптического излучения видимого диапазона. Как известно, классическая схема томографии основана на обращении преобразования Радона, при этом рассеянное излучение воспринимается как шум. Использование уравнения переноса для описания рассеяния фотонов в оптически плотных средах делает обратную задачу более адекватной физической проблеме и снимает ряд проблем, однако математическая сложность такой обратной задачи возрастает. Это связано с переходом от задачи обращения преобразования Радона к обратной задаче для уравнения переноса. Большой вклад в развитие теории обратных задач для уравнения переноса внесли Амиров А.Х., Аниконов Ю.Е., Ани-конов Д.С., Иванков А.Л., Нижник Л.П., Орловский Д.Г., Прилепко А.И., Романов В.Г., Тарасов В.Г., Case К.М., Larsen E.W., McCormick N.J., Sanches R., Grunbaum A., Dorn O., Natterer F. Автору известна единственная работа Wang Z.-S., Lu B.-W. в которой рассматривалась обратная задача рассеяния для фрактальной среды.

Исследования структуры фундаментального решения стационарного уравнения переноса, результаты которого приведены в диссертации, привели к созданию принципиально новой технологии дистанционного зондирования оптически плотных сред. Эту схему будем называть спектроскопией с высоким пространственным и угловым разрешением. (Space-domain spectroscopy) Для этой схемы автором разработаны простые численные алгоритмы решения обратной задачи. Эти алгоритмы являются более устойчивыми и позволяют определять дополнительные параметры среды. В предложенной схеме использование рассеянного излучения, как источника дополнительной информации о среде, дало возможность восстанавливать одновременно не один, а два параметра, характеризующих среду.

Однако практическая реализация этой схемы для обьектов размером порядка 103 длин свободного пробега натолкнулась на определенные трудности. Как показали совместные с группой проф. Наттерера компьютерные Монте-Карло эксперименты, это было связано со следующим обстоятельством. Угловые особенности рассеянного излучения, порожденные сосредоточенным, мононаправленным источником, бысто затухая в оптически плотной среде, становились недоступными для регистрации современной аппаратурой. Для биологических обьектов размером в несколько десятков длин свободного пробега, таких как молочная железа, эта схема давала желаемый результат. Но для обьектов типа головного мозга (103 длин свободного пробега) эта схема не могла быть практически реализована.

Для решения этой проблемы рассматриваются два подхода.

1.Подход, предполагающий создание новой математической модели, описывающей рассеяние излучения в оптически плотной среде.

В этом направлении в диссертации на основе подхода, используемого в современной теории поля, было выведено интегральное уравнение, напоминающее уравнение

Липпмана-Швингера. После анализа структуры сингулярностей его решения был предложен метод решения обратной задачи, состоящей в восстановлении двух параметров среды по измерениям плотности модуля вектора Пойнтинга на границе области. Как показало компьютерное моделирование, этот метод позволяет исследовать внутреннюю структуру объектов порядка 102 длин свободного пробега. Основная проблема заключалась в том, что для лазерной томографии головного мозга требуются методы, работающие с объектами порядка 103 длин свободного пробега фотона видимого спектра.

2.Подход основан на таком статистическом явлении как диффузионные волны.

На сегодняшний день, в зависимости от конфигурации экспериментальной установки и используемой теоретической модели распространения света в исследуемой среде, принято различать две базовые методики определения искомых оптических характеристик:

Спектроскопия с высоким временным разрешением ( в англоязычной литературе "Time-resolved-" ил и "Time-domain spectroscopy"). На поверхность исследуемой сильно-рассеивающей среды падает короткий (обычно пикосекундный) лазерный импульс. Интенсивность рассеянного света регистрируется приемником, расположенным на известном расстоянии от точки падения лазерного излучения на поверхность среды. Выражение для интенсивности, как функции расстояния "источник - детектор1^ времени, может быть получено на основе решения нестационарного уравнения диффузии света в исследуемой среде. Искомые оптические характеристики среды входят в полученное выражение в качестве параметров. Наибольший вклад в разработку этого направления внесли Patterson M.S., Chance В., Wilson B.C., Kienle A., Wang R.K., Wikramasinghe Y.A.

Модуляционный метод ("Frequency-domain technique"). Одним из самых перспективных направлений в области неразрушающего контроля среды является исследование свойств диффузионных волн в регулярных средах и в средах с временной дисперсией. Диффузионные волны, как физическое явление, являются основой для создания одной из самых перспективных технологий неразрущающего контроля сплошной среды [136], [133], [159], [135], [147]. Этот метод находит применение в медицинской [143], [144], [154], [124], [207], [119] и оптической [188], [113], [153], [213] диагностике. Эти волны являются сильно затухающими волнами огибающей плотности фотонов и порождаются периодическим источником излучения в оптически плотной среде.

Модуляционный метод развивался в работах: Тучина В.В., Arridge S.R., Patterson M.S., Chance В, Kienle A, Cubeddu R, Pifferi A., Taroni P., Torricelli A., Valentini G., O'Leary M.A., Arjun G., Tromberg B.J., Coquoz O., Fiskin J.В., Schweiger M. В качестве источника света использовалось непрерывное лазерное излучение, модулированное по амплитуде. Отметим, что под диффузионными волнами понимаются физически различные явления. Например, слабую локализации ноносекундного светового импульса в оптически плотной среде и волны плотности фотонов, возбуждаемые периодическим по времени источником.

Прямые физические эксперименты, результаты которых приведены в работах Tromberg B.j., Svaasand L.O., Tsay T.-T., Haskell R.C., O'Leary M.A., Boas D.A., Chance В., Yodh А., показали, что возмущения фотонной плотности обладают типичными для волн свойствами: они преломляются, дифрагируют, обладают дисперсией и затухают. Автору не известны результаты исследований оптических свойств диффузионных волн методом прямого компьютерного моделирования.

В последнее время большое внимание физиков привлекли, так называемые, решетчатые модели мезоскопических сред. Как было замечено выше, исследование неупорядочных систем факторизуется на задачу исследования дискретной модели и проблему предельного перехода. Первая решается путем многочасовых компьютерных экспериментов, вторая - ренормгрупповыми методами. Этот подход был разработан в современной квантовой теории поля для исследования открытых нелинейных систем и считается одним из самых эффективных. При этом в современной физике, моделям использующим самоподобные (фрактальные) решетки уделяется особое внимание. В этом направлении следует отметить работы Pai-Yi Hsiao, Burioni R., Gassi D., Donnetti L., Carmona J.M., Mariconi U.M., Ruiz-Lorenzo J.J., Taracon A.

Однако автору не известны работы посвященные исследованию обратных задач для таких моделей. Цель работы

Целью работы является разработка новых математических моделей и численных методов решения задач неразрушающего контроля мезоскопических сред, возникающих в рамках этих моделей. Компьютерное моделирования работы построенных на основе этих математических моделей измерительных схем с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать структуры фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнения переноса с переменными коэффициентами с целью решения методом сингулярных разложений обратных задач теории переноса излучения, возникающих в задачах томографии с рассеянием. Разработать на этой основе новые схемы томографии, использующих рассеянное излучение, как дополнительную информацию о среде.

2. Разработать новые математические модели для описания процессов рассеяния излучения в оптически плотных средах. Построить новые схемы измерения в томографии для сред с сильным рассеянием, использующих информацию только о распределении плотности энергии излучения на границе.

3. Разработать математические методы моделирования всех предлагаемых схем томографии с рассеянием с целью исследования их эффективности, точности и границ применимости.

4. Провести компьютерное моделирование процессов рассеяния диффузионных волн, с целью сравнительного анализа их оптических свойств в различных моделях и разработать на основе этого исследования рекомендации для создания новых технологий неразрушающего контроля мезоскопических сред, основанных на регистрации диффузионных волн.

5. Разработать математические модели, описывающих процесс отражения волн от границ раздела регулярной и фрактальной среды. Провести компьютерное моделирование критических явлений в модели Изинга на самоподобных решётках, с целью определения влияния параметров этих решеток на величину критических экспонент.

6. Разработать математические методы моделирования для нахождения высокочастотной асимптотики малые поперечных колебания этих решеток, с целью нахождения параметров, несущих наибольшую информацию о структуре решеток.

Научная новизна

1. Впервые получены аналитические результаты о сингулярной и регулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами, доказаны теоремы единственности решений, возникающих в томографии с рассеянием обратных задач, построены численные алгоритмы их решения, разработаны новые схемы томографии в оптически плотных средах, проведено моделирование работы этих схем и даны выводы об их эффективности и границах применимости.

2. Впервые дан феноменологический вывод интегрального уравнения (типа Лип-пмана - Швингера) для эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах, получены две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса, доказаны теоремы единственности задачи оптической томографии и построены численные алгоритмы ее решения. На этой основе впервые разработана новая схема томографии с рассеянием, проведено моделирование переднего фронта решения уравнения ЛШ и сделаны выводы об эффективности предложенной схемы.

3. Впервые с помощью техники фейнмановских диаграмм была получена теорема о структуре особенностей решения уравнения ЛШ с сингулярными неоднород-ностями в потенциале и разработаны алгоритмы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородно-стей по следу решения уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Впервые разработан метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе, получена теорема единственности и разработаны численные алгоритмы решения этой задачи.

4. Впервые с помощью разработанного метода локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени путем компьютерного моделирования диффузионных волн для различных моделей мезоскопических сред обнаружены явления дифракции, рефракции, выполнение принципа Гюйгенса-Френеля и явление разогрева неоднородностей. На основе этого моделирования впервые дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии.

5. Впервые получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Впервые получено обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

6. Впервые с помощью компьютерного моделирования, как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло, исследованы различные решетчатые математические модели отражения волн от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны впервые выбирались модель Каца, модель, предложенная Фейнманом для уравнения Дирака (спинорная модель), и модель квантового блуждания.

7. Впервые путем компьютерного моделирования критических явлений на самоподобных решетках исследовано влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри и сделаны выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Впервые методом теплового ядра сводящего исследование спектральной асимптотики малых собственных колебаний решетки к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке, исследована высокочастотная асимптотика самоподобных решеток. Результаты компьютерного моделирования дают возможность сделать выводы о перспективности технологий неразрушающего контроля среды на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра её малых колебаний.

9. Впервые разработаны основы техники спектральной хирургии квантовых графов, используя которую впервые удалось получить функциональное уравнение для § - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского. Впервые доказаны теоремы единственности решения для обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе и для задачи оптической томографии с сингулярными неоднородностями. Впервые разработаны численные методы и предложены технологические схемы для их решения.

Теоретическая значимость

1. Аналитические результаты о сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного уравнения переноса, нестационарного уравнения переноса и уравнения Липпмана-Швингера могут быть использованы для создания новых численных алгоритмов решения задач неразрушающего контроля среды.

2. Уравнение типа Липпмана-Швингера, предложенное в работе для описания эволюции плотности вектора Пойнтинга электромагнитного поля в оптически плотной среде, является более удобным, чем уравнение переноса, и не имеет артефакта- бесконечной скорости распространения возмущений, присущего уравнению теплопроводности. Предложенный подход может быть использован для вывода новых уравнений описывающих процесс рассеяния излучения в средах с аномальной диффузией.

3. Точные решения обратных задач аномальной диффузии, полученные в работе, могут быть использованы при построении численных алгоритмом решения обратных задач аномальной диффузии.

Практическая значимость

1. Разработана новая схема томографии с рассеянием, в которой рассеянное излучение воспринимается не как шум, а как источник дополнительной информации, позволяющая определять одновременно две характеристики среды. Эта схема была положена в основу проекта, принятого правительством России к финансированию и уже частично реализована западными фирмами. Алгоритмы и пакеты программ, разработанные для моделирования работы этой схемы, позволяют исследовать ее эффективность в различных ситуациях.

2. Разработаны алгоритмы численного решения обратной задачи томографии с сингулярными неоднородностями, позволяющие находить их координаты в неоднородной среде.

3. Результаты численного моделирования на основе разработанных алгоритмов, поведения диффузионных волн для различных моделей распространения излучения позволили сделать выводы о перспективности различных схем оптической томографии.

4. Явление разогрева неоднородностей, выявленное в результате компьтерного моделирования поведения диффузионных волн в различных моделях рассеяния излучения дает теоретическую возможность для создания новых технологий для раннего лечения злокачественных новообразований.

5. Результаты компьютерного моделирования новых моделей процессов отражения электромагнитных волн от "фрактальных"поверхностей позволяют сделать ряд выводов об их адекватности реальным процессам.

6. Полученные компьютерным моделированием, проведенным на основе комплекса разработанных программ, выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков и высокочастотной асимптотики малых колебаний в рамках модели фрактальной параметризации материала, дают основу создания новых технологий неразрущающего контроля мезоскопических сред.

Достоверность результатов диссертации подтверждается их совпадением в частных случаях с результатами расчетов, выполненных другими авторами и с помощью других методов. Теоретические результаты опубликованы в ведущих зарубежных журналах, докладывались на крупных международных конференциях и представлены в их публикациях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. На защиту выносятся

1. Результаты исследования сингулярной структуре фундаментальных решений стационарного и нестационарного уравнений переноса с переменными коэффициентами и решений уравнения Липпмана-Швингера.

2. Алгоритмы решения (аналитические и численные) решения обратных задач рассеяния в оптически плотных средах и новые схемы томографии, построенные на этой основе. Выводы об их эффективности и границах применимости, основанные на результатах компьютерного моделирования работы этих схем.

3. Методы решения задач оптической томографии, основанные на описаниии эволюции плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах с помощью предложенного в работе интегрального уравнения типа Липпмана-Швингера.

4. Метод исследования сингулярной структуры уравнения (ЛШ), основанный на технике фейнмановских диаграмм и результаты исследования структуры решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Методы решения задачи томографии с рассеянием, состоящей в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Метод сведения этой задачи к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе.

5. Метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени и результаты численного моделирования диффузионных волн в различных моделях мезоскопических сред. Комплекс программ и результаты компьютерных экспериментов по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Данный на основе этого моделирования анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Аналитические результаты, полученные для обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами.

6. Методы моделирования в задаче отражения электромагнитной волны от полуплоскости замощенной решетками Серпинского. Сравнительный анализ различных моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученных как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

7. Результаты моделирования критических явлений на самоподобных решетках и анализ влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Выводы о перспективности использования значения критических экспонент в задаче неразрушающего контроля уставших ферромагнетиков в рамках модели фрактальной параметризации материала.

8. Метод исследования высокочастотной асимптотики малых собственных колебаний самоподобных решеток методом теплового ядра, сводящий исследование этой асимптотики к моделированию некоторого случайного процесса на этой решетке. Выводы о перспективности технологий на основе измерения параметров высокочастотной асимптотики спектра малых колебания среды.

9. Техника спектральной хирургии квантовых графов, ее теоретическое обоснование и результаты по обратной задаче рассеяния, полученные с ее помощью.

Апробация

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на

• Международном симпозиуме по теории обратных задач (Самарканд-1987)

• Заседании рабочей группы по разработке рекомендаци провительству по создания оптического томографа (Санкт-Петербург-1991, 3-8 мая.).

• International Symposium on Computerized Tomagraphy, ( Novosibirsk-1993).

• International workshop "Computational Radiology and Imaging: Therapy and Diag-nistic", Minneapolis, Institute for Mathematical and its Applications, 3-17 march, 1997.

• International Conference "IIL-POSED AND INVERSE PROBLEMS"dedicated to Prof. M.M. Lavrent'ev, Novosibirsk-1999.

• 6th International Symposium on science and technology, Novosibirsk State Technical University, 24-30 June 2002.

• 7 th International Symposium on science and technology, Ulsan Technical University, Korea, June 24-July 30, 2003.

• 8 th International Symposium on science and technology, Tomsk State University, Tomsk, June 26-July 3, 2004.

Основные результаты докладывались также на семинарах Института Математики, Вычислительного Центра СО РАН, Института Гидродинамики и Новосибирского Государственного Технического Университета.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 61 печатная работа, в том числе 20 - в рекомендованных ВАКом журналах и в центральных зарубежных изданиях, 10 работ опубликовано без соавторов.

Личный вклад автора

Диссертационная работа и все результаты, лежащие в её основе, выполнена и получены при непосредственном участии автора на всех этапах. Ему полностью принадлежат постановки задач исследования, теоретические исследования и анализ численных экспериментов.

Работа выполнялась в Институте Математики им. C.JI. Соболева СОРАН и Новосибирском Государственном Техническом Университете в период с 1985 по 2004 год.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, и заключения, изложенных на 319 страницах машинописного текста.

Заключение

Приведем основные результаты проведенных исследований.

1. Для фундаментального решения нестационарного уравнения переноса представлена его сингулярная структура, экспоненциальный закон затухания особенностей и наличие заднего фронта этих особенностей. Для фундаментального решения стационарного уравнения переноса установлена сингулярная структура его фундаментального решения. На основе этих результатов предложены новые схемы томографии в оптически плотных средах. Доказаны теоремы единственности решения возникающих здесь обратных задач, разработаны численные алгоритмы их решения и приведены результаты компьютерного моделирования работы этих схем.

2. Дан феноменологический вывод интегрального уравнения (ЛШ) для плотности энергии рассеянного электромагнитного излучения в оптически плотных средах. Доказаны две теоремы об асимптотическом разложении решения этого уравнения вблизи светового конуса. Рассмотрена обратная задача для уравнения (ЛШ), состоящая в определении двух функций по известному рассеянному излучению на границе области. Используя метод сингулярных разложений и полученные результаты об асимптотическом разложении решения (ЛШ), доказана теорема единственности решения этой обратной задачи. Разработаны численные алгоритмы её решения. Проведено компьютерное моделирование структуры решения ЛШ и на основе этих результатов даны выводы о перспективности предложенной схемы. Рассмотрена линеаризованная постановка этой обратной задачи. В этом случае задача сведена к известной задаче интегральной геометрии для семейства эллипсоидов. Доказана теорема единственности решения этой обратной задачи. Рассмотрена задача оптической томографии, состоящая в определении координат сингулярных неоднородностей по следу решению уравнения (ЛШ) на границе исследуемой области. Используя технику фейнмановских диаграмм, доказана теорема о структуре особенностей решения уравнения (ЛШ) с сингулярными включениями в потенциале. Полученные результаты о структуре особенностей решения ЛШ с сингулярными неоднородно-стями позволили свести эту задачу к обратной задаче рассеяния для уравнения Шредингера на полном графе. Доказана теорема единственности и предложены конструктивные алгоритмы решения этой задачи.

3. Проведено аналитическое численное исследование свойств диффузионных волн для различных моделей мезоскопических сред. Для модели уравнения переноса предложен метод локальной оценки потока излучения в фиксированный момент времени для расчетов методом Монте-Карло. Это позволило обнаружить и исследовать путем компьютерных Монте-Карло экспериментов такие оптические свойства диффузионных волн, как дифракция, рефракция и выполнение принципа Гюйгенса-Френеля. Проведены компьютерные эксперименты по исследованию свойств диффузионных волн, порожденных периодическим по времени источником в модели параболического уравнения. Используя конечноэлементную апроксимацию для уравнения Гельмгольца с комплексной фазой, исследованы оптические свойства диффузионных волн в этой модели. Обнаружено явление |,разогрева"неоднородностей диффузионной волной. На основе этих компьютерных экспериментов дан анализ перспективности различных схем диффузионной томографии. Рассмотрены прямые и обратные задачи для модели сред с временной дисперсией. Получены аналитические решения одномерных обратных задач для уравнения Нигматулина с постоянными коэффициентами, состоящих в определении коэффициента теплопроводности и порядка дифференциального оператора по измерениям в нескольких точках и на разных частотах. Для численного решения обратных задач с переменными коэффициентами используется метод обращения разностной схемы. Приведены результаты расчетов ряда модельных задач. Получено и исследовано обобщение законов Фурье для сред с временной дисперсией.

4. Исследовалась задача отражения электромагнитной волны от полуплоскости, замощенной решетками Серпинского. В качестве решетчатых моделей распространения волны были предложены модель Каца, модель, предложенная Фей-нманом для уравнения Дирака (спинорная модель) и модель квантового блуждания. Дан сравнительный анализ этих моделей, основанный на результатах компьютерных экспериментов, полученные как классическим, так и квантовым методами Монте-Карло.

5. Метод существенной выборки (алгоритм Метрополиса), кластерный алгоритм Swendsen-Wanga и алгоритм Wolff использовались для анализа влияния параметров самоподобной решетки на величину температуры Кюри. Для самоподб-ных решеток, построенных по коврам Серпинского с одинаковой размерностью хаусдорфа, но с разной топологией, были получены разные значения температуры Кюри. На основе этих результатов даны выводы о возможности создания новых технологий неразрушающего контроля мезоскопических ферромагнитных сред.

6. Исследовалось влияние параметров самоподобных решеток на высокочастотную асимптотику фрактонного спектра. На основе метода теплового ядра и тауберовой теорема Карамата был предложен метод исследования этой асимптотику методами Монте-Карло. Результаты этого моделирования позволили сделать некоторые выводы о перспективности использования параметров высокочастотной асимптотики в задаче неразрушающего контроля уставших материалов в рамках модели фрактальной параметризации материала.

7. Разработаны основы спектральной хирургии квантовых графов. Эта техника позволила доказать теорему единственности обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера на иррациональном графе. Используя эту технику, доказана теорема единственности решения задачи оптической томографии с сингулярными неоднородностями. Исследована задача рассеяния для самоподобных решеток. Получены факторизационные соотношения для § - матриц для операций разрезания и склейки. Техника спектральной хирургии позволила, используя ренормгруповой анализ, получить функциональное уравнение для S - матрицы конечно разветвленной салфетки Серпинского.

1. Аниконов Д.С. Единственность восстановления коэффициентов в транспортном уравнении для источников специального вида. Мат. Доклады, 1985, Т.32. N.23. 23-34 с.

2. Бондаренко А.Н. Сингулярная структура фундаментального решения уравнения переноса и обратные задачи теории переноса частиц // Докл.Акад.Наук СССР. 1992. т. 322, N. 2. с. 274-276.

3. Бондаренко А.Н, Иванов Д.Н. Компьютерный эксперимент в задаче рассеяния диффузионных волн // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С.106.

4. Бондаренко А.Н , Иващенко Д.С. Задачи неразрушающего контроля фрактальной среды // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С.107-108.

5. Бондаренко А.Н, Кацук А.В. Отражение волн от фрактальной среды // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С.109-110.

6. Бондаренко А.Н, Ломов А.В. Параболические диффузионные волны в задачах оптической томографии // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С.114-115.

7. Бондаренко А.Н, Харбанова Е.В. Методы квантовой теории поля в задачах многократного рассеяния волн // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С. 119-120.

8. Бондаренко А.Н, Ерофеева Ю.А. Рассеяние волн во фрактальной среде // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2001.Тез. докл. С. 109-110.

9. Бондаренко А.Н., Ломов А.В. Модель Изинга на фрактальной решетке // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. С.207-208.

10. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Обратная задача рассеяния для уравнения Шре-дингера на полных графах // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. С. 193-195.

11. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Волновые процессы в средах с временной дисперсией // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. С.200-202.

12. Бондаренко А.Н., Кацук А.В. Квантовое блуждание на ковре Серпинского // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. С.205-206.

13. Бондаренко А.Н., Иванов Д.Н. Рефракция диффузионных волн и закон Снел-лиуса // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002. Тез. докл. С. 198-199.

14. Бондаренко А.Н., Ерофеева Ю.А. Дистанционная диагностика фрактальных поверхностей // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. С.197-198.

15. Бондаренко А.Н., Харбанова Е.В. Спектральная асимптотика фрактальных решеток // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002.Тез. докл. .С.119-120.

16. Бондаренко А.Н., Килин Я.В., Синенко М.В. Построение фрактальных решеток // Наука, Техника и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2002. Тез. докл. С.211-212.

17. Бондаренко А.Н. Структура волновых фронтов в мезоскопической теории переноса излучения // Научный вестник НГТУ. 2002. Т. 12. №1. С. 29-44.

18. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С., Селезнёв В.А. Диффузионные волны в средах с остаточной памятью // Научный вестник НГТУ. 2004. Т. 12. №1. С. 45-55, 2002.

19. Бондаренко А. Н. Обратные задачи для уравнения типа Липпмана-Швингера // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. 15. №4. С. 18-33.

20. Бондаренко А. Н. Техника фейнмановских диаграмм для уравнения Липпмана-Швингера с сингулярным потенциалом // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. T.VI. Т. 16. №4. С. 3-10.

21. Бондаренко А.Н., Ломов А.В. Фазовые переходы в моделях фрактальных ферромагнетиков // Научный вестник НГТУ. 2003. Т. 13. №2. С. 87-96.

22. Бондаренко А.Н., Селезнев В.А., Харбанова Е.В. Спектральная асимптотика фрактальных решеток и задачи определения степени усталости материала // Научный вестник НГТУ. 2003. Т. 13. №2. С. 97-106.

23. Бондаренко А.Н., Шиханова О.И. Диффракция Фраунгофера на неоднородно-стях с фрактальной границей // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. 1(35). С.19-24.

24. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Хирургия квантовых графов // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 218-219.

25. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численное решение обратных задач аномальной диффузии // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 223-224.

26. Бондаренко А.Н., Ломов А.В. Сравнительный анализ алгоритмов моделирования системы спинов // Наука, Технологии и Инновации. Региональная научная конференция. НГТУ. 2003. Материалы докладов всероссийской научной конференции молодых ученых. С. 234-236.

27. Бондаренко А.Н., Кацук А.В. Двумерный Ренье анализ изображений // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. Т.35. Ж. С. 143-148

28. Бондаренко А.Н., Иванов Д.Н. Решение уравнения Гельмгольца с комплексным волновым числом методом конечных элементов // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. Т. 35. №1. С. 59-64.

29. Бондаренко А.Н., Зинкин С.С. Критические экспоненты в перколяционной теории электрической проводимости // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. С.

30. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Численные алгоритмы решения обратных задач аномальной диффузии // Сборник научных трудов НГТУ. 2004. Т. 34. №4. С. 50-64.

31. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Обратная задача рассеяния на графах // Всероссийская конференция по обратным задачам. Екатеринбург. 2004. Тез. докл. С.106.

32. Бондаренко А.Н., Левин А.В. Эффект локализации колебаний на фрактальных решетках //5-ая Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. ИВТ СОРАН. Новосибирск. 2004. Тез. докл. С.14.

33. Бондаренко А.Н., Иванов Д.Н. Решение задачи оптической томографии методом конечных элементов // 5- ая Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. ИВТ СОРАН. Новосибирск. 2004. Тез. докл. С.19.

34. Бондаренко А.Н., Ломов А.В. Модель Изинга на мультифрактальных решетках // 5 ая Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. ИВТ СОРАН. Новосибирск. 2004. Тез. докл. С.15.

35. Бондаренко А.Н., Иванов Д.Н. Решение задачи оптической томографии методом конечных элементов, http://www.ict.nsc.ru/ws/ YM2004/8577

36. Бондаренко А.Н., Левин В.А. Локализация Андерсена в самоподобных структурах // Региональная научная конференция Наука, Техника, Инновации. 2004. Новосибирск.Тез. докл.

37. Бондаренко А.Н., Шиханова О.И. Дифракция Фраунгофера на неровных поверхностях фрактальной размерности // Всероссийская конференция по обратным задачам. Екатеринбург. 2004. Тез. докл. С.107.

38. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Восстановление параметров слоистой среды методом минимизации функционала невязки // Научный вестник НГТУ. 2004. №3(37). С.21-26.

39. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. // Оптимизация вычислений в рамках пакета программ 'Численное решение обратных задач аномальной диффузии' // Научный вестник НГТУ. №3(37). С.27-32.

40. Бондаренко А.Н., Иващенко Д.С. Исследование функционала невязки в задачах мониторинга слоистых сред // Научный вестник НГТУ. №4(38). С.17-23.

41. Бондаренко А.Н., Дедок В.А. Спектральная хирургия квантовых графов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т.20. №4. С.16-28.

42. Вильсон К. Дж. // Успехи физических наук, 1983. Т.141. С.193-231.

43. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур, Москва-Ижевск: Научно-здательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 116 с.

44. Герасименко Н.И.,Павлов B.C. Задача рассеяния на некомпактных графах // Теоретическая и математическая физика. 1988. Т.74. №3. С. 345-359.

45. Жаров В.П., Летохов B.C. Лазерная оптико-акустическая спектроскопия, М:Наука, 1984. 340 с.

46. Зеленый Л. М., Милованов А. В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. // Успехи физических наук. 2004. Том 174. Ш. С.810-854.

47. Зоммерфельд А. Оптика, М.: ИЛ, 1953. 382 с.

48. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики, М.: Изд. ин. лит, 1950. 340 с.

49. Ермаков С.М. Метод Монте Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 350 с.

50. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования, М:Наука, 1976. 324 с.

51. Ершов Ю.И., Математические основыитеории переноса, том 1. Энергоатомиз-дат, 1985. 232 с.

52. Иванова B.C., Шнявский А.А. Количественная фрактография. Усталостное разрушение, Челябинск, Металлургия, 1988. 310 с.

53. Кузьмин В.Jl., Романов В.П. Характерные эффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах // УФН. 1996. Т.166, 212-247 с.

54. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электодинамика сплошных сред. Ч. 9. М.: Наука, 1968. 420 с.

55. Марчук Г.И., Михайлов Г.А. и др. Метод Монте Карло в атмосферной оптике. Новосибирск, Наука, 1976. 238 с.

56. Михайлов Г.А. Некоторые вопросы теории методов Монте Карло. Наука, Новосибирск, 1974. 341 с.

57. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика,Т.90. V.3, 1992.43-57 с.

58. Новокшенов В.Ю. Введение в теорию солитонов. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 242 с.

59. Приезжаев А.В., Тучин В.В., Шубочкин Л.П. Лазерная диагностика в биологии и медицине, М:Наука, 1989. 352 с.

60. Соболь И.М. Численные методы Монте Карло. Москва, Наука, 1973. 312 с.

61. Тучин В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния, УФН, 1997. Т.167, с. 117-123.

62. Фаддеев Л.Д.,Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для математиков. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 340 с.

63. Фаддеев Л.Д.Свойства 5-матрицы одномерного уравнения Шрёдингера. Труды МИАН. 1964. Т.73. с.314-336.

64. Федорюк М.В. Метод перевала, М:Наука, 1977. 340 с.

65. Фейнман Р. Квантовая электродинамика. Мир, 1964. 280 с.

66. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985), М.: Мир, 1988. 672 с.

67. Хуанг К. Статистическая механика, Москва,1966. С.430.

68. Albert G.E. A general theory of stochasticv estimates of the Neumann series for solution of certain Fredholm integral equation and related series. Int. Symp. on Monte Carlo methods, NY, 1956. C. 141-163.

69. Alexander S., Orbach R. Density of states on fractals: «fractons»// J. de Phys. Lett.1982. V.43, L625,c.l92-211.

70. Alexander S., Laermans R., Orbach R., Rosenberg H.M. Fracton interpretation of vibrational properties of cross-linked polymers, glasses, and irradiated quarz // Phys. Rev. 1983. B, v.28, 8, c.4615-4619.

71. Alexander S. Superconductivity of networks. A percolation approach to the effect of disorder // Phys. Rev. 1983. В V.27. с. 1541-1557.

72. Aharomov Y., Davidovich L., Zagury N. One dimensional walk // Phys. Rev. 1992. A 48, c.1687-1691.

73. Ambainis A., Bach E., Nayak A., Vishwanath V., Watrous J. One dimensional quantum walk // Proceedings of the 33rd Annual Symposium on Theory of Computing, ACM Press, New York, 2001. c. 37-45.

74. Antiufeev V.S., Bondarenko A.N. X-ray tomography in scattering media // SIAM J. Appl. Math. 1996. V.56. №2. P. 573-578.

75. Antosik P., Mikusinski J., Sikorski R. Theory of distributions. The sequential approuch, Amsterdam-Warszawa, 1973. c. 342.

76. Arridge S.R. Optical tomography in medical imaging // Inverse Problems, 1999. V.15, C. 41-63.

77. Arfken G.B. Mathematical Methods for Physicists, Academic Press, Orlando, 1985. 432 c.

78. Babich V. M., Hadamard's ansatz, its analogies, generalizations, applications, Algebra and Analysis, vol. 3, 1991, pp.1-37

79. Beam J.E. Multiply reflection in potential-barrier scattring // Am. J. Phys. 1970.V.38, c. 1395-1401.

80. Berry M.V. Distribution of modes in fractal resonators, Structural Stability in Physics (W. Guttinger and H. Eikemeir, eds.,Springer-Verlag, Berlin, 1979. c. 51-53.

81. Berry M.V. Some geometric aspects of wave motion: wavefront dislocations, diffraction catastrophes, diffractals,Geometry of the Laplace Operator, Proc. Symp. Pure Math., v.36, Amer. Math. Soc., Providence, 1980, c. 13-38.

82. Bevilacqua F, Berger A.J., Cerussi A.E., Jakubowski D, Tromberg B.J. Broadband absorption spectroscopy in turbid media by combined frequence-domain and steady-state methods // 2000. Appl. Optics. 39. N34. C.6498-6502.

83. Brossard J.,Carmona R. Can one hear the dimension of a fractal? // Comm. Math. Phys. 1986. V.104, c.103-122.

84. Boas D., O'Leary M.A., Chance В., Yodh A.G. Refraction of diffusive photon density waves // Phys.Rev.Let.1992. V. 69, №18 c. 2658-2662.

85. Boas D. Diffuse Photon Probes of Structural and Dynamical Properties of Turbid Media: Theory and Biomedical ApplicationsEquation // Dissertation in Physics University of Pennsylvania. 1998. 320 c.

86. Boas D. Scattering and wavelength transduction of diffuse photon density waves // Phys.Rev.E, 1993.V.47, No.5, c. R2999-R3002.

87. Bondarenko A. N. On structure of the fundamental solution of the time-independent transport equation // Ин-т Математики CO PAH. April 1996. Препринт No 31. P. 18.

88. Bondarenko A.N. Singular structure of the fundamental solution of the transport equation // Inst, for Math.and Appl., Minneapolis. 1997. Preprint 1474. P. 32.

89. Bondarenko A.N. The structure of the fundamental solution of the time-independent transport equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. V.221. P.430-451.

90. Bondarenko A. N. Mathematical problems for diffuse tomography // YI International Symposium on Computerized Tomography. 1993. Novosibirsk. P.32.

91. Bondarenko A.N. Feynman diagrams for Lippman Schwinger equation with singular potential // 6th International Symposium on science and technology. -Novosibirsk State Technical University. 2002. Proceedings. P. 240-245.

92. Bondarenko A.N., Ivashenko D.S., Seleznev V., Inverse Sommerfeld's problem for fractal media // 6th International Symposium on science and technology-Novosibirsk State Technical University. 2002. Proceedings. P.246-252

93. Bondarenko A.N., Katsuk A.V. Quantum and wave scattering from Sierpinsky carpets tesselation // 6th International Symposium on science and technology-Novosibirsk State Technical University, 2002. Proceedings. P. 260-266.

94. Bondarenko A.N., Erofeeva U. Back scattering electromagnetic waves from fractal nonhomogenious // 6th International Symposium on science and technology. Novosibirsk State Technical University. 24-30 June 2002. Materials. P.180.

95. Bondarenko A.N., Harbanova E.V. Quantunm field approuch to wave scattering in fractal media // 6th International Symposium on science and technology. Novosibirsk State Technical University. 24-30 June 2002. Materials. P.182

96. Bondarenko A.N., Ivanov D.N. Warmed up obstacle by a diffusion wave // 6th International Symposium on science and technology. Novosibirsk State Technical University. 24-30 June 2002. Materials. P. 181.

97. Bondarenko A.N. Feynman diagrams technics for Lippman-Scwinger equation with singular potential // International Conference"IIL-POSED AND INVERSE PROBLEMS"dedicated to Prof. M.M. Lavrent'ev. Materials. P.38.

98. Bondarenko A.N, Seleznev V.A., The model of forming the fractal defect in elastic continuum and its undestructive control // 7th International Symposium on science and technology- Ulsana Technical University, Korea. 2003. Proceedings. P. 111-114.

99. Bondarenko A. N., Lomov A.V. Phase transition in ferromagnetic Ising model on multyfractal lattices // 7 th International Symposium on science and technology. Materials. Ulsan Technical University. Korea. 2003. P.65-70.

100. Bondarenko A. N., Dedok V.A. Inverse scattering problem on quantum graphs //7 th International Symposium on science and technology. Materials. Ulsan Technical University. Korea. 2003. P. 105-110.

101. Bondarenko A.N., V.A. Dedok. Surgery of quantum graphs // 8 th International Symposium on science and technology. Materials Tomsk. 2004. P. 108-112.

102. Bondarenko A.N., V.A. Levin. Localisation and crossover on fractal grid// 8 th International Symposium on science and technology. Materials Tomsk, 2004, P.106-108.

103. Bouligand G. Ensembles impropres et nombre dimensionnel // Bull. Sci. Math. 1928. (2). V.52. C.320-344.

104. Burioni R., Gassi D., Donnetti L. Lee-Yang zeros and the Izing model on the Sierpinski Gasket. Universita di Parma Italy. 1999. C.24.

105. Carmona J. M., Mariconi U. M., Ruiz-Lorenzo J. J., Taracon A. Critical properties of Izing model on Serpinski fractals. A finite scaling analysis approach // Preprint. 1998. C.41.

106. Carmona J. M., Mariconi U. M., Ruiz-Lorenzo J. J., Taracon A. Critical properties of Izing model on Serpinski fractals. A finite scaling analysis approach// Phys. Rev. 1998. В 58, С.143-157.

107. Case K.M., Hoffman F., Placzek G.P., Introduction to the theory of neutron diffusion, Los Alamos Scientific Laboratory, Los Alamos, NM, 1953.c.382.

108. Case K.M., Zweifel P.F. Linear transport theory, Addison-Wesley, Reading, MA, 1967. 422 c.

109. Changqing Li, Jiang H. A calibration method in diffuse optical tomography. // Opt. A: Pure Appl. Opt.-2004.-Vol. 6.- № 9.-p. 844-852.

110. Comtet A., Desbouis J., Monthus C. Asymptotic windin angle distribution for planar Brownian motion with drift // J. Phys. A: Math. Gen. 26(1993). C.5637-5643.

111. M. Choulli, P. Stefanov. Inverse scattering and inverse boundary value problems for the linear Boltzmann equation // Comm. Pure and Appl. Diff. Eq.,21,(5,6),1996, c.763-785.

112. Compte A., Metzler R. The generalized Cattaneo equation for the description of anomalous transport processes // J.Phys.A: Math.Gen.1997. V.30, C.7277-7289.

113. Cubeddu R, Pifferi A., Taroni P., Torricelli A., Valentini G. Noninvasive absorption and scattering spectroscopy of bulk diffusive media: An application to the optical characterization of human breast // 1999. Appl. Phys. Lett., V.74, N6. C.874-882.

114. Dabaghian Y., Blumel R. Explicit analitical solution for scaling quantum graphs // Phys. Rev. E. 2003. V.68. pp. 055201(R).

115. Dehghani H., Doyley M., Pogue В., Jiang S., Geng J.,Paulsen K. Breast deformation modelling for image reconstruction in near infrared optical tomography. // Phys. Med. Biol.-2004.-Vol. 49.-ДО 7.-p. 1131-1145

116. Deans S.R. The Radon transform and some of its applications, John Wiley, New York, 1983. 450 c.

117. Davison B. Neutron transport theory, Clarendon Press, Oxford, 1958. c.422.

118. Dergatchev A, de Mul F.F. Monitoring of deep structures using frequency-domain technique: experimental approaches // 2001, SPIE Proc. C.178-187.

119. Dorn O. Das inverse transportproblem in der lasertomographie// PhD thesis. Univ. Munster,1997, 210p.

120. Endoh R., Suzuki A., Fujii M., Nakayama K. Fundamental study on diffuse reflective optical tomography // Phys. Med. Biol.2004.-Vol. 49.-№ 10.-p.l881-1889

121. Ferderer H. Geometrical measure theory, Springer, New York, 1969. C.650.

122. Furutsu K. and Yamada Y. Diffusion approximation for a dissipative random medium and the applications // Phys.Rev.E. 1994. V. 50, c. 3634-3642.

123. Feynman R.P., Hibbs F.P. Quantum theory and path integrals, New York:McGraw-Hill, 1965. 560 c.

124. Feldman M., Hillery M. Quantum walks on graphs and quantum scattering theory // 2004. quant-ph/0403066. C.32.

125. Gefen Y., Mandelbrot B.B., Aharony A. Phase transition and critical phenomenal // Phys. Rev. Lett. 1980. V.45. C.855-872.

126. Gefen Y., Aharony A., Mandelbrot B.B. Phase transition and critical phenomenall// J.Phys. A. 1983. V.1267. C.32-37.

127. Grunbaum F.A. Diffuse tomography: a refined model in Mathematical methods in tomography, Herman G.T., Natterer F.N., Louis A.K. Springer-Verlag, Oberwolfach, 1990. c. 376.

128. Gutkin В., Smilansky U. Can one hear the shape of a graph? // J. Phys. A. 2001. V.34, c. 6061-6068.

129. Guillaume B. Reconstructions in impedance and optical tomography with singular interfaces // Inverse Problems.2005.Vol. 21.-№ l.p. 113-131.

130. Haskell R.C., Svaasand L.O., Tsay T.T., Feng T.-C., McAdams M.S., Tromberg B.J. Boundary conditions for the diffusion equation in radiative transfer // 1994. J. Opt. Soc. Am. V.ll. 10. C.2727-2732.

131. Heino J., Somersalo E., Kaipio J. Compensation for geometric mismodelling by anisotropies in optical tomography // Optics express.-2005.-Vol.13.-N8 1-p.296-308

132. Henk J. Ising universality in three dimensions: a Monte-Carlo study // J. Phys. A. v.213, 23,c.251-272.

133. Hejtmanek J. Scattering theory of the linear Boltzmannoperator // Commun. Math. Phys. 1975, T.43. 1975. 109-120 c.

134. Herman G.T., Natterer F.N., Louis A.K. Mathematical methods in tomography, Springer-Verlag, Oberwolfach, 1990. c. 214.

135. Herman G.T. Image reconstruction from projections, implementation and application. Springer-Verlag, Berlin, New-York, 1979. c. 320.

136. Henk W.J., Luijten Blote E., Heriga J. R. Ising universality in three dimensions: A Monte Carlo study // J. Phys. A. 1996.29. C.3002-3028.

137. Hormander L. The spectral function of an elliptic operator // Acta Math.1968. V.121(4). c.193-218.

138. Hielscher A., Klose A., Scheel A., Moa-Anderson В., Backhaus M., Netz U., Beuthan J.Sagittal Laser Optical Tomography for Imaging of Rheumatoid Finger Joints. // Physics in Medicine and Biology.-2004.-49(7).-p.ll47-1163.

139. Hielscher A., S. Bartel S. Parallelization of gradient-based iterative image reconstruction algorithms for optical tomography // Computer Methods and Programs in Biomedicine.-2004.-73(2).-p. 101-113.

140. Helgason S. The Radon transform, Birkhauser-Verlag, Basel, Swizerland, 1980. c.230.

141. Hiller M., Kottos T, Cohen D, Geisel T. Quantum Reversebility: Is there an Echo?// Phys. Rev. Lett. 2004. 92. pp.010-020.

142. Hillman E., Boas D. A, Dale A. M, Dunn, A. K. Laminar Optical Tomography: demonstration of millimeter-scale depth-resolved imaging in turbid media // Optics Letters.2004.vol.29. № 14, p. 1650-1652.

143. Hisiao P.-Y. Critical exponents of ferromagnetic Ising models on fractal lattices// preprint, 2000. C.32.

144. Hisiao P.-Y. Monceau P. Critical behavior of Ising models on a Sierpinski carpet // Phys. Rev. 2002. В 65, 184 C.427-432.

145. Hisiao P.-Y. Critical behavior of ferromagnetic Ising models on a Sierpinski carpet: Monte-Carlo renormalization group study // preprint. 2003. C.34.

146. Hisiao Pai-Yi. Critical exponents of ferromagnetic Izing model on fractal lattices. Universite Paris 7. 2000. C.28.

147. Hormander L., The spectral function of an elliptic operator // Acta Math., v. 121, 1968. c. 193-218.

148. Hyvnen N. Characterizing inclusions in optical tomography. // Inverse Problems.-2004/Vol. 20.-ДО 3.-p. 737-751.

149. Intes X., Maloux С., Guven M., Yazici В., Chance B. Diffuse optical tomography with physiological and spatial a priori constraints // Phys. Med. Biol.-2004.-Vol. 49.-№12.-p. N155-N163

150. Jackson J.D. Classical Electrodynamics. Wiley and Sons Inc., New York, 1975. C.450.

151. John F., Plane waves and spherical means, New York, 1955,324pp.

152. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V.73, pp.1-23.

153. Kahane J.-P. , Salrm R. Ensembles parfaits et series trigonometriques. Hermann, Paris. 1963. C.230.

154. Kanmani В., Vasu R. Diffuse optical tomography using intensity measurements and the a priori acquired regions of interest: theory and simulations. // Phys. Med. Biol.2005.Vol. 50. № 2.p. 247-264.

155. Kienle A, Patterson M.S. Improved solutions of the steady-state and the time-resolved diffusion equations for reflectance from a semi-infinite turbid medium // 1997. J. Opt. Soc. Am, 14, C.246-252.

156. Kozak J.,Balakrishnan V. Analytic expression for the mean time to absorbtion for a walker on the Sierpinski gasket // Physical Review E. 2002. 65. pp.21-32.

157. Kostrykin V., Schrader R. On the inverse scattering problem on branching graps // J. Phys. A. 1999. V.32, pp.595-630.

158. Kottos Т., Smilansky U. Combinatorial identities the spectral theory of quantum graphs// The Electronic Journal of Combinatorics, March 2000. C.32-64.

159. Kottos Т., Smilansky U. Quantum chaos on graphs // Phys. Rev. Lett. 1997. V.79. pp. 4794-4797.

160. Kottos Т., Smilansky U. Periodic orbit theory and spectral statistics for quantum-graphs // Ann. Phys. 1999. V.274. pp. 76-124.

161. Kurasov P., Stenberg F. On the inverse scattering problem on branching graps // J. Phys. A. 2002. V.35, pp. 101-121.

162. Lapidus M. L. Fractal dram, inverse spectral problems for elliptical operators and a partial resolution of the Weyl-Berry conjecture// Univ. of Georgia preprint, Athens, 1988. C.123.

163. Lapidus M.L., Fleckinger-Pelle. Tambour fractal: vers une resolution de la conjecture de Weyl-Berry pour les valeurs propres du Laplacien // C, R. Acad. Sci. Paris Ser.I, Math. 1988. 306. C.171-175.

164. O'Leary M.A., Boas D.A., Chance В., Yodh A. Refraction of Diffuse Photon Density Waves // 1992. Phys. Rev. Lett., 69, C.2658-2668.

165. Liang X., Jiang H. Experimental studies of near-infrared diffuse optical tomography in turbid media: distributed excitation source and periodical boundary conditions coefficient. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt.-2004.-Vol. 6.-№ 4.-p. 454-460

166. McKean H. P. Jr, Singer I.M. Curvature and the eigenvalues of the laplacian // J. Diff. Geometry.1967. N.l. pp.43-69.

167. Muller G et al. (Eds) Medical Optical Tomography: Functional Imaging and Monitoring. Bellingham: SPIE, 1993.IS11.

168. Natterer F.N. The mathematics of computerized tomography, B.G. Teubner, Stuttgart, 1986. c. 234.

169. Middleton D. An Introduction to Statistical Communication Theory. New York:McGraw-Hill.l960. C.560.

170. Mandelbrot B.B. The fractal geometry og nature, W.H. Freeman, Nrw Yirk, 1983. C.560.

171. Mandelbrot B.B. Les objects fractals. Flammarion, Paris, 1984. C.342.

172. Mandelbort B.B., The fractal Geometry of Nature. Freeman, San Fransisco, 1983. C.654.

173. Moore C., Russell A. Quantum walk on the hypercube, preprint quant-ph/0104137, 2001. p.17.

174. Nigmatullin R.R. To the theoretical explanation of the Universal Response // Phys.Stat.Sol.(b). 1984. 123, C.739-754.

175. Nigmatullin R.R. On the theory of relaxation for systems with Remnant memory // 1984. Phys.Stat.Sol.(b) 124, C.389-395.

176. Nigmatullin R. R., Le Mehaute A. To the nature of irreversibility in linear systems. // Magnetic Resonance in Solids, 2004. Vol. 6, No. 1, pp.165-179.

177. Nielsen M.A., Chung I.L. Quantum computation and quantum information. Cambrige University Press, Cambrige.2000. C.342.

178. Pascaud M., Montambaux G. Persistent currents on networks // Phys. Rev. Lett. 1999. V.82, pp. 4512-4515.

179. Patterson M.S., Chance B, Wilson B.C. Time resolved reflectance and transmittance for the non-invasive measurement of tissue optical properties // 1989. Appl. Optics, 28, N12, C.2331-2342.

180. Podlubny I. The Laplace Transform method for Linear Differential Equations of the Fractional Order // Pre-Print, 1994. C.42.

181. Rinneberg H., in The Inverse Problem (Ed. H Lubbig, Berlin: Akademic Verlag. 1995. 107. C.234-246.

182. Reis F. D. A. A., Riera R. High-temperature series expansions for Ising-like systems on fractal // Phys. Rev. E, 1994. 49(4): C.2579-2587.

183. Ren К., Abdoulaev G., Bal G., Hielscher A. Algorithm for solving the equation of radiative transfer in the frequency domain. // Optics Letters.-2004.-29(6).-p. 578580

184. Romanov V.G., Inverse problems of mathematical physics. Utrecht: VNU, 1987. C.324.

185. Rogers C. A., Hausdorf measures, Cambrige Univ. Press, Cambrige, 1970. c.342.

186. Roth Jean-Pierre. Le spectre du laplacien sur un graphe // Lecture Notes in Mathematics: Theorie du Potentiel ed A. Dold and B. Eckmann (Berlin: Springer), 1995. pp. 521-539.

187. Ruedenberg K.,Scherr C. W. Free-electron network model for conjugated systems I // Theory. J. Chem. Phys. 1953. 21. pp.1565-1581.

188. Saichev A. I., Utkin S. G. Crossover from anomalous to normal diffusion of particles and rays // XV Session of the Russian Acoustical Society. 2004. Nizhny Novgorod, November 15-18, C.23-34.

189. Schwartz L. Theorie des distributions, v.I-II,1950. C.450.

190. Scherr C. W. Free-electron network model for conjugated systems. II. Numerical calculations// J. Chem. Phys. 1953. 21,pp.l582-1596.

191. Seeger S.,Franz A.,Schulzky C., and Hoffmann К. H. Random walks on finitely ramified Sierpinski carpets // Comput. Phys. Commun.2001. V.134, C.307-316.

192. Simon B. Existence of scattering matrix for the linearized Boltzmann equation // Commun. Math. Phys. 1975, T.41, 31, p. 99-108.

193. Sourin D., Sumathi R., Diptiman S. Renormalization froup study of the conductances of interacting quantum wire systems with different geometries // Physical Review B. 2004. V.70. pp. 085318.

194. Spanier J., Gelbard E.M. Monte Carlo principles and Neutron Transport. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1969. c. 420.

195. Smith K.T., Solomon D.S., Wagner S.L. Practical and matrhematical aspects of the problem of reconstructing objects from radiographs, Bull. Amer. Marth Soc., 83 (1977)

196. Smith K.T., Keinert F. Mathematical foundations of computed tomography // Appl. Optics. 1985. V.24. C.231-242.

197. Stanley H.E. Introduction to phase transition and critical phenomena, Clarendon, Oxford, 1971.C.370.

198. R.H. Swedsen and J.S. Wang. New algorithm for Ising modeling // Phys. Rev. Lett. 1987. V.58, C.86-94.

199. Tromberg B.j., Svaasand L.O., Tsay T.-T., Haskell R.C. Properties of photon density waves in miltiple-scattering media// 1993. Appl. Optics, 32, N4, C.607-612.

200. Tuchin V.V. (Ed.) Selected Papers on Tissue Optics: Applications in Medical Diagnostics and Therapy.Bellingham: SPIE. 1994. MS102.

201. Urakawa H. Bounded domains which are isospectral but not congruent // Ann. Sci. Ecole Normale Sup. (4) 15 (1982), C.441-456.

202. Wang R., Hebden J., Tuchin V. Recent developments in biomedical optics. // Phys. Med. Biol.-2004.-Vol. 49.-Л* 7.

203. Wang R.K., Wikramasinghe Y.A. Fast algoritm to determine optical properties of a turbid medium from time-resolved measurements // 1998. Appl. Optics, 37, N31, C.7442-752.

204. Watson G.H., Fleury Jr.,P.A., McCall S.L. Search for photon localization in the time domain // Phys.Rev.Let. 1987. V.58, №9 C.945-949.

205. Weyl H., Uber die asymptotishe verteilung der Eigenwerte // Gott. Nach. 1911, 110-117.

206. Weyl H.,Das asymptotishe Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen // Mat. Ann. 71. 1912. C. 441-479.

207. Welch A.J., van Gemert M.C. Tissue optical properties and laser-tissue interactions. 1995. New York: Plenium. C.340.

208. Xu Y., Zhang O., Jiang H. Optical image reconstruction of non-scattering and low scattering heterogeneities in turbid media based on the diffusion approximation model. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt.-2004.-Vol. 6.-ДО l.-p. 29-35