автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические модели и вычислительные процедуры анализа интервальных систем с изменяющейся конфигурацией



На правах рукописи

КУЗЬМИНА Екатерина Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ КОНФИГУРАЦИЕЙ

Специальность:

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (технические системы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2009

003473529

003473529

Работа выполнена в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Соколова Светлана Павловна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

кандидат технических наук, доцент

Свиньин Сергей Федорович Дрожжин Владимир Васильевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

государственный политехнический университет

Защита состоится «9» июля_2009 г. в 1230 часов на

заседании диссертационного совета Д.002.199.01 при Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., 14 линия, 39.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского института информатики и автоматизации РАН

Автореферат разослан «» UtQHJL- 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.00Й199.01 кандидат технических наук щи.

Ронжин Андрей Леонидович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Современные сложные системы, как правило, включают набор взаимодействующих определенным образом подсистем, математические модели которых имеют разнообразную динамику, большую размерность, неопределенности (координатные и параметрические), различные области функционирования. При переходе из одной области функционировании в другую в них могут происходить структурные изменения.

К числу систем со структурными изменениями можно отнести следующие: электроэнергетические, функционирующие в условиях возникновения и развития аварийных ситуаций (короткие замыкания, обрывы линий, отключение и подключение нагрузок и т. д.); экономические: развитие и структурные преобразования при изменении выпуска и номенклатуры продукции в соответствии со структурой спроса и предложения; природно-экологические с особо опасными динамическими процессами: восходящая и нисходящая ветви эпизоотических процессов, периоды депрессии до и после них; распределенные компьютерные сети: режимы нормального и абнормального (режим вторжения) функционирования и т. д.

Объектом исследования в диссертации являются указанные выше системы с наличием структурных изменений, координатных и параметрических неопределенностей интервального типа и различных областей функционирования. Неопределенность интервального типа характеризуется способностью принимать значения из ограниченного заданного множества. Системы с координатными и параметрическими неопределенностями интервального типа определяются как семейства математических моделей точечных объектов. Из-за отсутствия полноценной дистрибутивности интервального пространства большинство задач интервального анализа являются МР-трудными или МР-попными, что приводит к необходимости использовать внешние и внутренние оценки соответствующих множеств решений. Основополагающие результаты в области интервального анализа и его приложений были получены в работах Л.В.Канторовича, А Б. Куржанского, Ю.И.Шокина, Г.Г.Меньшикова, С.П.Шарого, А.В.Лакеева, А.П.Вощинина, Р. Мура, Е. Хансена, Г. Апефепьда, А Ноймайера, Ю. Рона и др.

Для вьиепенного класса систем необходимо обеспечить в зависимости от области функционирования разноцелевые режимы функционирования. При этом каждый режим функционирования системы индивидуален в том смысле, что он подчиняется самостоятельной подцели управления, может отличаться как требованиями к желаемой динамике, так и выбранным критерием качества. Сами же режимы функционирования могут существенно различаться модельным представлением динамики реальной системы.

В настоящее время известен рад подходов к созданию выделенного класса систем: интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов (Р.М.Юсупов, Б.В.Соколов, I

М. Ю. Охтилев); методы анализа нелинейных систем управления со структурными изменениями на основе принципа сравнения с векторными функциями Ляпунова (В. М. Матросов, С.Н.Васильев, В.Лакшмикантам, А. И. Маликов и др.).

Современная практика построения подобных систем предъявляет более жесткие требования к математическим методам мониторинга и анализа: достоверность, эффективность обработки исходной разнородной информации и получения результатов анализа с учетом неопределенностей, многовариантности развития событий и т. д.

Поэтому задачи выбора эффективной информационной технологии для решения задач мониторинга и анализа динамических свойств вьделенного класса систем со структурными изменениями и неопределенностью интервального типа, функционирующих в различных областях, с учетом особенностей интервального пространства определяют актуальность темы диссертационной работы.

Цель работы и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке интегрированной интеллектуальной технологии мониторинга и анализа свойств интервальных систем со структурными изменениями для повышения эффективности их функционирования. Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) обоснование выбора структуры интервальной системы с изменяющейся конфигурацией;

2) разработка и исследование вычислительных процедур сингулярного разложения интервальных матриц;

3) разработка вычислительных процедур обучения и распознавания по данным мониторинга области функционирования анализируемых объектов на основе интервального аналога иммунокомпьютинга;

4) разработка вычислительной процедуры параметрически идентификации интервальной математической модели на основе ¿МЭ-анализа;

5) разработка вычислительной процедуры анализа управляемости восстановленных интервальных математических моделей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы и математические модели интервального анализа, иммунокомпьютинга, методы линейной алгебры и матричного анализа.

Положения, выносимые на защиту:

1) градиентные алгоритмы сингулярного разложения интервальных матриц для реализации процедур иммунокомпьютинга и БУО-анализа;

2) математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по данным мониторинга области функционирования на основе интервального аналога иммунокомпьютинга;

3) вычислительные процедуры параметрической идентификации интервальной математической модели на основе БУР-анализа;

4) вычислительные процедуры анализа управляемости восстановленных интервальных математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые разработаны градиентные алгоритмы сингулярного разложения интервальных матриц, являющиеся базовыми процедурами для получения интервальных аналогов иммунокомпьютинга и SVD-анализа. Их сравнение с существующими в литературе показало эффективность по быстродействию и позволило продемонстрировать ошибочность принятого ранее допущения о том, что оптимальное решение является только угловым решением.

2. Введенное понятие интервальной энергии связи позволило адаптировать математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по иммунокомпьютингу, которые обеспечили возможность по интервальным данным мониторинга эффективно распознавать область функционирования анализируемой системы.

3. С использованием модифицированного распознающего функционала и SVD-анализа решение задач параметрической идентификации интервальной математической модели для каждой области функционирования сведено к получению внутренней оценки допустимого множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений; управляемости— к получению внешней оценки объединенного множества решений.

Обоснованность и достоверность научных положений, основных выводов и результатов обеспечивается за счет корректного анализа состояния исследований в данной области, подтверадается согласованностью теоретических результатов с результатами, полученными при компьютерной реализации и при решении прикладных задач, а также апробацией основных теоретических положений диссертации в печатных трудах и докладах на научных конференциях.

Практическая ценность работы. Полученные теоретические результаты, математические модели и вычислительные процедуры были использованы при решении задач мониторинга и анализа особо опасных динамических процессов (на примере чумы); при разработке системы управления процессом воздушного охлаздения природного газа на магистральном газопроводе; при оценивании кредитоспособности заемщика. Также они были использованы при построении курса лекций, лабораторных работ, курсового и дипломного проектирования по дисциплинам «Интеллектуальные информационные системы» и «Интеллектуальный анализ данных». Эти результаты могут быть использованы при разработке систем мониторинга технологических, экологических и других процессов.

Реализация результатов работы. Основные научные результаты работы внедрены и использовались в следующих организациях:

в рамках международного проекта INCO-COPERNICUS «STEPICA», Contract № ICA2-CT-2000-10048;

в рамках проекта по разработке автоматизированной системы учета оказания медицинских услуг в НИИ АГ СЗО РАМН им. Д. О. Отта;

в Санкт-Петербургском государственном университете аэрокосмического приборостроения (ГУАП) в учебном процессе по дисциплинам: «Интеллектуальные информационные системы», «Интеллектуальный анализ данных».

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях: «V Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2006), «I Международная конференция «Математическая биология и биоинформатика» (Пущино, 2006), «X Санкт-Петербургская менщународная конференция «Региональная информатика-2006 (РИ-2006)» (Санкт-Петербург, 2006), «XVI International Conference on Systems Science» (Wroclaw, 2007), «Научная сессия ГУАП» (Санкт-Петербург, 2007), «XII Санкт-Петербургская международная конференция «Региональная информатика-2008 (РИ-2008)» (Санкт-Петербург, 2008), XL конференция «Процессы управления и устойчивость (Control Processes and Stability^)» (Санкт-Петербург, 2009).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 13 статей, в том числе 1 из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук», утверзденном Высшей аттестационной комиссией («Известия высших учебных заведений. Приборостроение»).

Струюура и объем работы. Диссертационная работа объемом 141 машинописная страница содержит введение, три главы и заключение, список литературы, содержащий 158 наименований, 10 таблиц, 26 рисунков. В приложениях приведены глоссарий и спецификации разработанного пакета прикладных программ для мониторинга и анализа интервальных систем с изменяющейся конфигурацией.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель диссертационной работы и задачи исследования, которые необходимо решить для ее достижения. Охарактеризована научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложены основные результаты проведенных исследований, определена практическая ценность работы.

В первой главе приведен аналитический обзор современного состояния исследований свойств интервальных систем, математические модели которых представляются с использованием правил и терминологии интервальной математики и интервального анализа. Проанализированы достоинства и недостатки современных интеллектуальных информационных технологий (нейрокомпьютинг, генетические и эволюционные алгоритмы) для решения задач мониторинга и анализа свойств математических моделей интервальных систем

Особое внимание уделено анализу возможностей и эффективности решения задач мониторинга на основе математунеских моделей и вычислительных

процедур иммунокомпьютинга и отмечено, что эта технология пока не ориентирована на класс интервальных систем. Глава завершается постановкой решаемых в диссертационной работе задач исследования.

Во второй главе для решения вышеперечисленных задач предложена интервальная система с изменяющейся конфигурацией, имеющая модульную структуру (рис. 1). В модуле мониторинга на основе исходной информации решаются задачи обучения и распознавания, выходом этого блока является информация о значимых индикаторах анализируемого объекта и области его функционирования. В модуле анализа на основе полученной информации из модуля мониторинга решаются задачи параметрической идентификации интервальных математических моделей, соответствующих каждой области функционирования, и анализируется управляемость. Ниже представлены функциональные задачи соответствующих блоков.

Рис. 1. Структура интервальной системы с изменяющейся конфигурацией

Блок обучения. Структурная схема блока обучения представлена на рис. 2. На вход блока обучения подается одна из сформированных интервальных обучающих матриц. Поскольку базовой процедурой последующих вычислительных процедур является сингулярное разложение матриц, то были разработаны и исследованы математические модели сингулярного разложения интервальных плоской и кубической матриц с учетом особенностей интервального пространства.

Вычислительная процедура сингулярного разложения интервальной матрицы. В соответствии с международным соглашением далее точечные векторы и матрицы обозначаются латинским шрифтом, а их интервальные аналоги обозначаются латинским жирным шрифтом.

Интервалом а называется: [а,а]:={хе/К|а<х<а}, где а, а—

соответственно верхняя и нижняя границы интервала а, /Я — интервальное пространство.

Интервальная (тх п) -матрица— это прямоугольная таблица, составленная из интервалов //?. Интервальная оболочка оЭ непустого ограниченного

множества Б в Я" представляется следующим образом:

а8:=а{хе«?"|х28}.

Для интервальной матрицы А е /р>т*п / -е сингулярное число я,- (А), /' = 1 ,...,г представляется

интервалом, ограничивающим

множество сингулярных чисел точечных

матриц УАеА е/Ят"п, т.е.:

8, (А) = ф,- (А) | (УА е А)}, где □{•} -

интервальная оболочка.

Задача вычисления интервального сингулярного числа интервальной матрицы ставится следующим образом: необходимо найти минимум и максимум матричной целевой функции /-го сингулярного числа вДА),

/ = 1.....г, в области элементов интервальной матрицы А е А е 1Ят*п.

Множество сингулярных чисел, левые и правые сингулярные векторы интервальной матрицы А е /Я?тхл представляются следующим образом: „ ^ ее Ятх1, V, еЯ"*11(УАе Ь),{М, = 5/и/, АГи,- = 8,7,,]_

[Ц-и/" = 1, У/,уТ =1,5/ = и[АУ,-, / = 1.....г, ^ > з2 >... > > 0) \ '

где в,, / = 1.....г,— сингулярные числа любой точечной матрицы

Х/А е А, и,,V,, / = 1,...,г, — соответственно правые и левые сингулярные векторы, г — ранг матрицы А.

Решение сформулированной задачи было получено с использованием градиентного метода. Выражение для градиента функции 8к(А) в точке А0 по элементу А(/,_/) имеет вид:

Рис. 2. Структурная схема блока обучения

rs,(A0+D)-sfc(A0r I A

Л

где матрица D (m,l)-

Оптимизационная процедура

вычисления /-го сингулярного числа представляется в виде:

= Ак + с( ■ U, (Ак )Vj (Ак),

A, < А АЛ+1= А, Ак > А ,

(1)

Á, кке А А0€А,

где U, (А„), V, (Ак) — /-й правый и левый сингулярные векторы матрицы А^, d 6[-1,0)^(0,1]— коэффициент, определяющий направление спуска (минимизация или максимизация) и длину шага оптимизации, А0 — начальная матрица в итерации.

Алгоритм получения оценки границ /'-го интервального сингулярного числа интервальной действительной матрицы А содержит следующие шаги (величина шага оптимизации равна d = -1 при вычислении нижней границы, d = 1 — верхней границы).

Шаг 1. Провести итерацию (1), останов осуществляется при выполнении принятого условия.

Шаг к. Провести итерацию (1), но в качестве начальной матрицы принять матрицу, на которой остановилась итерация (1) на предыдущем шаге. При этом коэффициент d уменьшить в два раза.

Проводить итерации до тех пор, пока невязка между целевыми функциями (сингулярные числа), полученными на двух последних шагах, не станет меньше заданной точности: |s,.(A;.)-s,(Ay.,)| < с .

Сравнительный анализ разработанного алгоритма с другими, имеющимися в литературе, продемонстрировал его значительную вычислительную эффективность по быстродействию. При проведении такого анализа с алгоритмами, предложенными в [источнике: Deif A. S. Singular Values of an Interval Matrix. II Linear Algebra and its Applications, 1991. №151. P. 125-133], была продемонстрирована ошибочность принятого в этой работе допущения о том, что оптимальное решение должно быть обязательно угловым.

Полученные интервальные компоненты сингулярного разложения используются далее для решения задачи обучения. Процедура обучения

на основе интервальных математических моделей иммунокомпьютинга включает следующие шаги:

1. Формирование интервальной обучающей (/77*л )-матрицы

А = [Х1,...,Хт]т, где X,, / = 1,...,л — интервальный вектор

индикаторов, характеризующий состояние объекта.

2. Сингулярное разложение интервальной матрицы А с использованием разработанной градиентной вычислительной процедуры.

3. Обоснование, выбор и хранение интервальных компонент сингулярного разложения (интервальных правых сингулярных векторов и соответствующих им сингулярных чисел в качестве «антител») для решения задач выбора значимых индикаторов объекта и распознавания области его функционирования.

Блок распознавания. Структурная схема блока распознавания представлена на рис. 3.

В этом блоке происходит распознавание области функционирования Gv, V = 1,...,р. На основе переданной из блока обучения информации об «антителах» и информации о входном образе М, /' = 1 ,...,т вычисляются значения интервальной энергии связи, которая представляется следующим множеством:

МДУ^еу.)/)

/=1,2.....у=1.....т }'

При решении задачи распознавания области функционирования было использова-но следующее понятие: расстоянием между интервалами называется отображение определяемое как:

(М(а,Ь) := тах||а-Ь|,|а-Ь)| и обладающее свойствами:

• сМ(з, Ь) > 0, равенство достигается только при а = Ь;

• (М(а,Ь) = сП5|(Ь,а);

Рис. 3. Структурная схема блока распознавания

(2)

• с!1зКа,с) < сИБ1(а,Ь)+с1181(Ь,с).

Принимая во внимание особенности вычисления расстояния меаду интервалами и особенности интервальных арифметических операций, алгоритм распознавания области функционирования включает шаги:

1. Вычисление интервального значения энергии связи IV,^ хранимого набора компонент сингулярного разложения У и «1 с входным образом Му, у' = 1 ,...,т по соотношению (2).

2. Выбор компоненты ип, ¿=1.....к которая характеризует

соответствующую область функционирования и имеет минимальное расстояние со значением энергии связи V//,:

тт^/в^и^., ,и(1)) = тт(тах(|и?(1 -|й/п -й(1|}), /=1.....к.

Выбранная область V = 1.....р, считается искомой областью

функционирования образа М -. Для увеличения точности решения задачи

распознавания можно использовать несколько наборов хранимых компонент сингулярного разложения.

В третьей главе поставлены и решены задачи параметрической идентификации интервальных математических моделей для областей функционирования ви, у = 1,...,р и анализ их управляемости.

Блок параметрической идентификации. В данном блоке на основе

переданной информации об области функционирования , V -1.....р,

получено решение задачи параметрической идентификации интервальной математической модели в классе линейных структур.

Набор интервальных линейных математических моделей представляется следующими соотношениями:

УЛ^Е^Рл^Р/М^.еели Уу(/с)ебу, V = 1.....р,

м

где к — дискретное время, /с = 1,2,3,...; Piv{k) = [Piv(k),p¡v{k)]elR, / = 1,...,л— последовательность интервальных входных переменных;

Уч{к) = [Уу(к),уу(к)] е/Я, / = 1.....п — последовательность интервальных

выходных переменных; 9,у, / = 1.....пу — множество настраиваемых

параметров математической модели (далее индекс V будет закреплен и опущен).

Оценка математической модели объекта представляется соотношением:

у(*)=£ё,р,(*)=Рт(*)е.

/=1

где у(к) = 1у(к),у(к)]е1Я, / = 1,...,л — последовательность оценок интервальных выходных переменных модели; §,-, ¡ = \,...,п— оценки неизвестных параметров; 9 = (91,...,8Л)— вектор оценок неизвестных параметров; ВеС^; С^ —множество допустимых значений параметров.

Задача параметрической идентификации формулируется как задача о допусках и заключается в получении внутренней оценки допустимого множества

решений Е(0| для вектора 0, доставляющего минимум функции невязки

е(к) = (у(к)-Рт(кЩ для УР(к)еР(к) и попадающего в у (к).

Допустимое множество решений Н(0| с использованием компонент

сингулярного разложения интервальной матрицы объекта представляется в следующем виде:

н(0| = !ё6кл

(уи 6 и) е Я) (УУ е V) (Зу е у) (иЭУ7"© = у)).

Для исследования непустоты множества решений Е1о( был использован модифицированный распознающий функционал следующего

вида:

г

Tol(0) = min

min]rady/

1 <i<r

У=1 k= 1

которые обладает свойствами:

• функционал Tol(0) вогнутый;

• функционал То1(0) достигает конечного максимума на всем R". Решение задачи параметрической идентификации представляется

следующим алгоритмом:

1. Полное исследование разрешимости задачи.

Принадлежность 0sEtO|(0) определяется выполнением

неравенства: Tol(0) > 0. Процедура распознавания непустоты

множества Н(О|(0) заключается в следующем: необходимо решить задачу безусловной максимизации вогнутого функционала Tol(0). Пусть 7" = max/Tol(0) и

0' = arg maxäTol(8):

• если 7 > 0, то 9* е StQl(B) ф 0 , задача совместна;

• если 7">0, то 8* еint Eto|(8)*0, принадлежность

6* допустимому множеству решений устойчива к малым возмущениям данных;

• если Т< О, то вектора 9, принадлежащего множеству EtO|(0), не существует.

2. Получение внутренней интервальной оценки множества Ht0](8), которое является допустимым множеством решений интервальной

г

системы линейных алгебраических уравнений: (^S/)U) V/r)9 = у.

/=1

Для получения этой оценки был использован алгоритм Шакурова. Для внешнего оценивания допустимого множества решений ИСЛАУ возможно также использовать методы: интервальный метод Гаусса, процедуру Хансена-Блика-Рона, метод Кравчика.

Блок анализа управляемости восстановленных интервальных математических моделей для каждой области функционирования Gv, v = 1. .,р. Набор дискретных математических моделей интервального объекта в пространстве состояний представляется в виде

* *+t.v =АЛу+вЛс,V-если Чу eG„.v=1.....Р.

где к-0,1,2,...— дискретное время, х0— начальное значение вектора состояний, Av elRn'yn" — интервальная (nv хп)-матрица; В„б//?^"1 — интервальная (nv х mv) -матрица управления (далее инцекс v будет закреплен и опущен).

Грамиан управляемости для этой системы представляется в виде

N

Wc =]Г А^ВВ^А1)* и удовлетворяет интервальному матричному уравнению

/с=0

Ляпунова:

AWcAr-We = -BBr, (3)

объединенное множество решений которого представляется следующим образом:

Hün/(A1B) = {wceWcnx"|(3AeA)(3B6B)(AWcA7"-Wc+BB7' =o)j. (4) Представив левую часть (3) в виде W = Аг <8> А7" -Е, где ® — кронекерово произведение, W е /R"2*"2; b = j^BB7" .....(ввг j,

wc =(wji,wc2.--.,wjnj получим, что задача анализа управляемости

интервальной математической модели в области функционирования Gv,

у = 1.....р, сведена к получению внешней оценки объединенного

множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений =Ь , которое представляется в виде:

((35(.е5,)(ЗХ/еХ1)(ЗУ/еУ,.;

i(W,b) =

е/?П

I

(^■Х,^ С=Ь

V /=1

(5)

Для получения внешней оценки (ищется брус, объемлющий все множество решений) объединенного множества решений (5) был использован гибридный алгоритм на основе оператора Кравчика.

Реализация вышеприведенных вычислительных процедур была осуществлена на базе разработанного пакета прикладных программ с использованием системы интервальных вычислений 11\1Т1_АВ.

В четвертой главе , ..„,5мг" ;]"•■■-..,, приведены результаты

применения разработанных математических моделей и вычислительных процедур | для решения реальных прикладных задач, к которым относятся: мониторинг особо

Рис. 4. Фрагмент модифицированного распознающего функционала То!

опасных

процессов,

группой

воздушного

природного

магистральном

и задача

динамических управление аппаратов охлаждения газа на газопроводе оценивания

кредитоспособности

заемщика.

Особо опасные динамические процессы (на примере чумы), как правило, являются сложными многокомпонентными динамическими системами. Чумный процесс характеризуется состоянием чумной триады: носитель - переносчик - чумный микроб. Состояние этой триады и данные по абиотическим факторам представляются 45 временными рядами. Динамический процесс включает четыре области функционирования в.,,

V = 1.....4 , в которых могут изменяться как размерность, так и параметры

математических моделей, отражающих паразито-хозяинные отношения в чумной триаде.

С использованием математических моделей и вычислительных процедур, разработанных во второй и третьей главах, были решены задачи обучения с интервальными обучающими выборками, включающими набор из 45 временных рядов мониторинга, распознавания области

функционирования V = 1.....4. Для каждой из этих областей были

восстановлены параметры математических моделей, проанализирована управляемость. Рис. 4 демонстрирует фрагмент модифицированного распознающего функционала.

При сравнении результатов моделирования при интервальных и средних значениях параметров модели был сделан вывод о предпочтительности использования математической модели с интервальными параметрами (среднеквадратическая ошибка для модели со средними значениями 6,271, а для интервальной модели — 1,933).

Представлены результаты для решения задачи оценивания кредитоспособности заемщика по исходным данным стандартной базы данных заемщика (около 1000 записей). На этом примере продемонстрирована возможность учета кредитной истории заемщика при проведении БУй-анализа с использованием интервальной кубической матрицы и ее компонент сингулярного разложения.

Также рассмотрен технологический процесс воздушного охлаждения природного газа на магистральном газопроводе и предложена система управления, оптимальная по минимуму затрат энергии и стабилизирующая температуру газа на выходе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

На основе выполненных исследований в диссертации решена актуальная научно-техническая задача разработки интегрированной интеллектуальной технологии для мониторинга и анализа свойств интервальных систем со структурными изменениями и различными областями функционирования.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Предложена модульная структура интервальной системы с изменяющейся конфигурацией.

2. Разработаны и исследованы градиентные вычислительные процедуры для сингулярного разложения интервальных плоской и кубической матриц. Доказана их эффективность на основе сравнения с имеющимися в литературе результатами.

3. Введенное понятие интервальной энергии связи позволило адаптировать математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по иммунокомпьютингу, которые обеспечили возможность по интервальным данным мониторинга эффективно распознавать область функционирования анализируемой системы.

4. На основе интервального аналога 3\Ю-анализа и модифицированного распознающего функционала,

выраженного через компоненты сингулярного разложения интервальной матрицы, разработана вычислительная процедура решения задачи параметрической идентификации математической модели. Решение этой задачи сведено к получению внутренней оценки допустимого множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ). Для ее получения был использован алгоритм Шайдурова.

5. С использованием грамиана управляемости и кронекерова произведения задача анализа управляемости интервальных дискретных математических моделей сведена к задаче получения внешней оценки объединенного множества решений ИСЛАУ. Для ее получения был использован гибридный алгоритм на основе оператора Кравчика.

6. На основе разработанных математических моделей и вычислительных процедур решены прикладные задачи: мониторинг и анализ свойств особо опасных динамических процессов; управление группой аппаратов воздушного охлаждения природного газа на магистральном газопроводе; оценивание кредитоспособности заемщика с учетом кредитной истории.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях из списка ВАК:

Кузьмина, Е А Интеллектуальная система мониторинга особо опасных динамических процессов/ С. П. Соколова, Е. А Кузьмина// Изв. вузов. Приборостроение.—СПб., 2008.—Т. 51, № 11. — С. 73-77. Публикации в других изданиях:

Kuzmina, Е. A. Analysis and management of a credit risk: of the XVith International Conference On Systems Science (Wroclaw, Poland, 4-6 September 2007)/ S. P. Sokdova, E. A Kuzmina, LASokola/a// Systems Science.— Wroclaw, 2007.—P. 375-382.

Кузьмина, Б А Вычислительная процедура для технинесклго анализа фондового рынка. I/ С.П.Соколова, Е. А Кузьмина, А Г.Тохтабаев// Труды СПИИРАН. — СПб.: Наука, 2007. — Вып. 4, т. 1. — С. 171-183.

Кузьмина, Е А Вычислительная процедура оценивания кредитного риска при интервальной неопределенности/ Е. А Кузьмина// Материалы Десятой международной конференции «Региональная информаггика-2006 (РИ-2006)».— СПб.: СПОИСУ, 2006.—С. 150-151.

Кузьмина, Е А Градиентный алгоритм сингулярного разложения многомерной интервальной матрицы/ Е. А Кузьмина// Сборник докладов научной сессии ГУАП. — СПб.: СПбГУАП, 2007. — С. 148-151.

Кузьмина, Е А. Динамические свойства интервальных систем/ С.П.Соколова, Е.А.Кузьмина// Труды СПИИРАН.— СПб.: Наука, 2008.— Вып. 7,—С. 215-221.

Кузьмина, Е А. Динамические свойства интервальных систем управления/ Е.А. Кузьмина// Материалы Двенадцатой международной конференции «Региональная информатика-2008 (РИ-2008)».— СПб.: СПОИСУ, 2008.— С. 312-313.

Кузьмина, Е А Интеллектуальный анализ данных. Методические указания к выполнению лабораторных работ №1-6 / С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина. — СПб.: СПбГУАП, 2008. —70 с.

Кузьмина, Е А Интеллектуальная геоинформационная система с интервальными данными/ С.П.Соколова, Е.А.Кузьмина// Сборник докладов Первой международной конференции «Математическая биология и биоинформатика». — М.: МАКС Пресс, 2006. —С. 160-161.

Кузьмина, Е А Интеллектуальные информационные технологии/ С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина// Актуальные проблемы экономики современной России. Сборник научных трудов.—СПб.: ГУАП, СПб, 2008. — Вып. 4. — С. 276283.

Кузьмина, Е А Мониторинг особо опасных инфекций (на примере проблемы чумы)/ С.П.Соколова, Е.А.Кузьмина, В.3.Абцуллина// Математическая биология и биоинформатака. — Пущино: ИМПБ РАН, 2007. — Т. 2, № 1. — С. 8297. — Режим доступа: http: // www.matbio.org / downloads / Sokolova2007(2_82).pdf.

Кузьмина,EА Оценивание банковских рисков / С.П.Соколова и др.// Интеллектуальный анализ многомерных данных на основе иммунокомпьютинга. —Апматы: PC, 2006. — С. 83-104.

Кузьмина, Е А Оценка кредитного риска на основе иммунокомпьютинга/ С. П. Соколова, Е. А Кузьмина// Материалы Пятой международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)». — СПб.: Изд-во МБИ, 2006. — Т. 2.—С. 199-200.

Перечень используемых сокращений и обозначений.

ВВЕДЕНИЕ.

Положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Современное состояние исследований интервальных систем.

1.1. Интервальные вычисления для исследования свойств интервальных систем.'.

1.2. Интеллектуальные информационные технологии для анализа данных мониторинга, распознавания и прогнозирования состояния систем.

1.3. Интеллектуальные информационные технологии, ориентированные на интервальные вычисления.

1.4. Постановка задач исследования.

1.5. Выводы по главе 1.

Глава 2. Структура и вычислительные процедуры интервальной системы с изменяющейся конфигурацией.

2.1. Модульная структура системы с изменяющейся конфигурацией.

2.2. Блок обучения.

2.2.1. Градиентный алгоритм сингулярного разложения интервальных матриц.

2.2.3. Реализация градиентного алгоритма сингулярного разложения интервальной матрицы на основе вычислительной системы ЩТЬАВ.

2.3. Блок распознавания.

2.4. Выводы по главе 2.

Глава 3. Математические модели и вычислительные процедуры, реализованные в блоках параметрической идентификации и анализа управляемости.

3.1. Оценивание множеств решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений.

3.2. БУВ-алгоритм параметрической идентификации.

3.3. Анализ управляемости интервальных математических моделей.

3.4. Структура пакета прикладных программ для реализации разработанных вычислительных процедур.

3.5. Выводы по главе 3.

Глава 4. Практические применения результатов исследования для решения прикладных задач.

4.1. Мониторинг особо опасных динамических процессов.

4.1.1. Исходные данные.

4.1.2. Результаты расчетов.

4.2. Результаты решения задачи параметрической идентификации.

4.3. Оценивание кредитоспособности заемщика.

4.3.1. Результаты оценивания кредитоспособности.

4.4. Выводы по главе 4.

Актуальность темы диссертации. Современные сложные системы, как правило, включают набор взаимодействующих определенным образом подсистем, математические модели которых имеют разнообразную динамику, большую размерность, неопределенности (координатные и параметрические), различные области функционирования. При переходе из одной области функционировании в другую в них мо1уг происходить структурные изменения.

К числу систем со структурными изменениями можно отнести следующие: электроэнергетические, функционирующие в условиях возникновения и развития аварийных ситуаций (короткие замыкания, обрывы линий, отключение и подключение нагрузок и т. д.); экономические: развитие и структурные преобразования при изменении выпуска и номенклатуры продукции в соответствии со структурой спроса и предложения; природно-экологические с особо опасными динамическими процессами: восходящая и нисходящая ветви эпизоотических процессов, периоды депрессии до и после них; распределенные компьютерные сети: режимы нормального и абнормального (режим вторжения) функционирования и т. д.

Объектом исследования в диссертации является класс указанных выше систем с наличием структурных изменений, координатных и параметрических неопределенностей интервального типа и различных областей функционирования. Неопределенность интервального типа характеризуется способностью принимать значения из ограниченного заданного множества. Системы с координатными и параметрическими неопределенностями интервального типа определяются как семейства математических моделей точечных объектов. Из-за отсутствия полноценной дистрибутивности интервального пространства большинство задач интервального анализа являются ^-трудными или КР-полными, что приводит к необходимости использовать внешние и внутренние оценки соответствующих множеств решений. Основополагающие результаты в области интервального анализа и его приложений были получены в работах Л. В. Канторовича, к

А. Б. Куржанского, Ю. И. Шокина, Г. Г. Меньшикова, С. П. Шарого, А. В. Лакеева, А. П. Вощинина, Р. Мура, Е. Хансена, Г. Алефельда, А. Ноймайера, Ю. Рона и др.

Для выделенного класса систем необходимо обеспечить в зависимости от области функционирования разноцелевые режимы функционирования. При этом каждый режим функционирования системы индивидуален в том смысле, что он подчиняется самостоятельной подцели управления, может отличаться как требованиями к желаемой динамике, так и выбранным критерием качества. Сами же режимы функционирования могут существенно различаться модельным представлением динамики реальной системы.

В1 настоящее время известен ряд подходов к созданию выделенного класса систем: интеллектуальные технологии мониторинга и управления структурной динамикой сложных технических объектов (Р. М. Юсупов, Б. В. Соколов, М. Ю. Охтилев); методы анализа нелинейных систем управления со структурными изменениями на основе принципа сравнения с векторными функциями Ляпунова (В. М. Матросов, С. Н. Васильев, В. Лакшмикантам, А. И. Маликов и ДР-)

Современная практика построения подобных систем предъявляет более жесткие требования к математическим методам мониторинга и анализа: достоверность, эффективность обработки исходной разнородной информации и получения результатов анализа с учетом неопределенностей, многовариантности развития событий и т. д.

Поэтому задачи выбора эффективной информационной технологии для решения задач мониторинга и анализа динамических свойств выделенного класса систем со структурными изменениями и неопределенностью интервального типа, функционирующих в различных областях, с учетом особенностей интервального пространства определяют актуальность темы диссертационной работы.

Цель работы и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается1 в разработке интегрированной интеллектуальной технологии мониторинга и анализа свойств интервальных систем со структурными изменениями для повышения эффективности их функционирования. Для достижения этой цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1) обоснование выбора структуры интервальной системы с изменяющейся конфигур ацией;

2) разработка и исследование вычислительных процедур сингулярного разложения интервальных матриц;

3) разработка вычислительных процедур обучения и распознавания по данным мониторинга области функционирования анализируемых объектов на основе интервального аналога иммунокомпьютинга;

4) разработка вычислительной процедуры параметрической идентификации интервальной математической модели на основе БУО-анализа;

5) разработка вычислительной процедуры анализа управляемости восстановленных интервальных математических моделей.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы и математические модели интервального анализа; иммунокомпьютинга, методы линейной алгебры и матричного анализа.

Положения, выносимые на защиту:

1) градиентные алгоритмы сингулярного разложения интервальных матриц для реализации процедур иммунокомпьютинга и БУО-анализа;

2) математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по данным мониторинга области функционирования на основе интервального аналога иммунокомпьютинга;

3) вычислительные процедуры параметрической идентификации интервальной математической модели на основе 8УО-анализа;

4) вычислительные процедуры анализа управляемости восстановленных интервальных математических моделей.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые разработаны градиентные алгоритмы сингулярного разложения интервальных матриц, являющиеся базовыми процедурами для получения интервальных аналогов иммунокомпьютинга и 8УО-анализа. Их сравнение с существующими в литературе показало эффективность по быстродействию и позволило продемонстрировать ошибочность принятого в работе [94] допущения о том, что оптимальным решением является только угловое решение.

2. Введенное понятие интервальной энергии связи позволило адаптировать математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по иммунокомпьютингу, которые обеспечили возможность по интервальным данным мониторинга эффективно распознавать область функционирования анализируемой системы.

3. С использованием модифицированного распознающего функционала и 8"УГ)-анализа решение задач параметрической идентификации интервальной математической модели для каждой области функционирования сведено к получению внутренней оценки допустимого множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений; управляемости — к получению внешней оценки объединенного множества решений.

Обоснованность и достоверность научных положений, основных выводов и результатов обеспечивается за счет корректного анализа состояния исследований в данной области, подтверждается согласованностью теоретических результатов с результатами, полученными при компьютерной реализации и при решении прикладных задач, а также апробацией основных теоретических положений диссертации в печатных трудах и докладах на научных конференциях.

Практическая ценность работы. Полученные теоретические результаты, математические модели и вычислительные процедуры были использованы при решении задач мониторинга и анализа особо опасных динамических процессов (на примере чумы); при разработке интервальной системы управления процессом воздушного охлаждения природного газа на магистральном газопроводе; при оценивании кредитоспособности заемщика. Также они были использованы при построении курса лекций, лабораторных работ, курсового и дипломного проектирования по дисциплинам «Интеллектуальные информационные системы» и «Интеллектуальный анализ данных». Эти результаты могут быть использованы при разработке систем мониторинга технологических, экологических и других процессов.

Реализация результатов работы. Основные научные результаты работы внедрены и использовались в следующих организациях:

• в рамках международного проекта INCO-COPERNICUS «STEPICA», Contract № ICA2-CT-2000-10048;

• в рамках проекта по разработке автоматизированной системы учета оказания медицинских услуг в НИИ АГ СЗО РАМН им. Д. О. Отга;

• в Санкт-Петербургском государственном университете аэрокосмического приборостроения (ГУАП) в учебном процессе по дисциплинам: «Интеллектуальные информационные системы», «Интеллектуальный анализ данных».

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях: «V Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (Санкт-Петербург, 2006), «I Международная конференция «Математическая биология и биоинформатика» (Пущино, 2006), «X Санкт-Петербургская международная конференция «Региональная информатика-2006 (РИ-2006)» (Санкт-Петербург, 2006), «XVI International Conference on Systems Science» (Wroclaw, 2007), «Научная сессия ГУАП» (Санкт-Петербург, 2007), «XII Санкт-Петербургская международная конференция «Региональная информатика-2008 (РИ-2008)» (Санкт-Петербург, 2008), XL конференция «Процессы управления и устойчивость (Control Processes and Stability'09)» (Санкт-Петербург, 2009).

Публикации. По материалам диссертационной работы- опубликовано 13 статей [22, 24, 21, 23, 13, 58, 56, 54, 57, 59, 53, 52, 139], в том числе 1 [55] из

Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук», утвержденном Высшей аттестационной комиссией [42] («Известия высших учебных заведений. Приборостроение»).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений, содержит 8 таблиц и 29 рисунков. Объем основного текста диссертационной работы 135 машинописных страниц. Список литературы включает 152 наименования. В приложениях приведены глоссарий, спецификации разработанного пакета прикладных программ для мониторинга и анализа интервальных систем с изменяющейся конфигурацией, а также копии актов о внедрении.

4.4. Выводы по главе 4 1. Для особо опасного динамического процесса (на примере чумы) решены задачи мониторинга: обучения и распознавания области функционирования. С использованием выделенных значимых индикаторов чумной триады для распознанной области функционирования решена задача параметрической идентификации интервальной математической модели, представляющей.динамику численности основного носителя. Приведены результаты моделирования и сравнительного анализа эффективности процесса моделирования.

2. Решена задача параметрической идентификации для системы управления группой аппаратов воздушного охлаждения природного газа на магистральном газопроводе.

3. Предложена технология анализа кредитоспособности заемщика, учитывающая градации индикаторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проблема» управления сложными системами со структурными изменениями, наличием; неопределенностей и различных областей функционирования становится все более актуальной в таких областях, как электроэнергетика, экономика, экология природных очагов с особо опасными динамическими процессами (чума, сибирская язва и пр;).

На основе выполненных исследований в диссертации решена актуальная научно-техническая'задача разработки интегрированной интеллектуальной* технологии для мониторинга и анализа свойств интервальных; систем со структурными изменениями и различными областями функционирования.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Предложена модульная; структура интервальной системы с изменяющейся конфигурацией.

2. Разработаны и исследованы градиентные вычислительные процедуры? для сингулярного разложения интервальных матриц. Доказана их эффективность на основе сравнения с имеющимися в литературе результатами.

3. Введенное понятие интервальной энергии связи; позволило адаптировать математические модели и вычислительные процедуры обучения и распознавания по иммунокомпьютингу, которые обеспечили возможность по; интервальным данным мониторинга эффективно распознать область функционирования анализируемой системы.

4. На основе интервального аналога ЗУБ-анализа и модифицированного распознающего функционала, выраженного через компоненты сингулярного разложения интервальной матрицы, разработана вычислительная процедура решения задачи параметрической идентификации математической модели для каждой области функционирования. Решение этой задачи сведено к получению внутренней оценки«допустимого множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ).

5. С использованием грамиана управляемости и кронекерова произведения задача анализа управляемости интервальных дискретных математических моделей сведена к задаче получения внешней оценки объединенного множества решений ИСЛАУ. Для ее получения был использован гибридный алгоритм на основе оператора Кравчика.

Разработанные в рамках диссертационной работы модели, вычислительные процедуры были использованы при проведении ряда научно-исследовательских работ. Полученные в работе результаты могут применяться при исследовании различных систем, характеристики которых имеют неопределенность интервальной природы.

Разработанные в диссертационной работе вычислительные процедуры являются развитием результатов работ [22, 24, 21, 23, 13, 58, 56, 54, 57, 59, 53, 52, 139].

Апробация полученных результатов проводилась на 8 научно-технических конференциях. Основные результаты, полученные автором, опубликованы в 13 научных работах.

1. Адаптивные сети обработки информации Текст. / С. И. Барцев, В. А. Охонин. — Красноярск: Ин-т физики СО АН СССР, 1986. Препринт N 59Б. — 20 с.

2. Айкимбаев, А. М. Эпидемиологический надзор за чумой в Урало-Эмбенском и Предус-тюртском автономных очагах Текст. / А. М. Айкимбаев и др. — Алматы:?, 1994. 129 с.

3. Андреева, Г. Скоринг как метод оценки кредитного риска Электронный ресурс. / Г. Андреева— Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // www.cfin.ru / finanalysis / banks / scoring.shtml (по состоянию на 01.02.2007).

4. Антитело. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф: дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Антитела (по состоянию на 01.10.2008).

5. Аппарат недоопределенных вычислений Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // www.artint.ru / institute / know.asp nedo print (по состоянию на 01.01.2008).

6. Введение в интервальные вычисления.: Пер. с англ. Текст. / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. —М: : Мир, 1987. — 360 с.

7. Введение в оптимизацию Текст. / Б. Т. Поляк Б.Т. — М. : Наука, 1983. — 384 с.

8. Генетический алгоритм. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipediaorg / wiki / Генетический^алгоритм (по состоянию на 01.10.2008).

9. Ивлев, P." С. Построение и исследование свойств многомерных систем управления'ин-тервально заданными объектами Текст.: автореф. дис. канд. техн. наук : 05.13.01 / Ивлев Р. С.—Алматы, 1999.

10. Идентификация технических объектов Текст. / Д. Ж. Сыздыков, Р. М. Юсупов. — Алматы: ?,1994. — 227 с.

11. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB Текст. / Б. Р. Андриевскйй, А. Л. Фрадков. — СПб. : Наука, 2000. —475 с

12. Интеллектуальный анализ многомерных данных на основе иммунокомпьютинга Текст. / С. П Соколова, Т. П. Зиямов, Б. А. Абрамов, В. 3. Абдуллина. — Алматы: PC, 2006. —109 с.

13. Интервальный анализ Текст. / Ю. И. Шокин. — Новосибирск: Наука, 1981. — 112 с.

14. Интервальный анализ и его приложения Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м.: б. и.]. — Режим доступа: http: // www.sbras.nsc.ru / interval / index.php?j=Introduction / Ruslntro (по состоянию на 01.10.2008).

15. Искусственная нейронная сеть. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон. текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org/ wiki / Искусственнаянейроннаясеть (по состоянию на-01.10.2008).

16. Искусственные иммунные системы и их применение. : Пер. с англ. Текст. / Под ред. Д. Дасгупты. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 344 с.

17. Искусственный интеллект. : Пер. с англ. Текст. / Д. Ф. Люгер. — М. : Издательский дом «Вильяме», 2003. — 864 с.

18. Клеточный автомат. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Клеточныйавтомат (по состоянию на 01.10.2008).

19. Конечномерный интервальный анализ Текст. / С. П. Шарый. — Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2007. —733 с.

20. Кузьмина, Е. А. Вычислительная процедура оценивания кредитного риска при интервальной неопределенности Текст. / Е. А. Кузьмина // Материалы Десятой международной конференции "Региональная информатика-2006 «РИ-2006»". — СПб. : СПОИСУ, 2006,—С. 150-151.

21. Кузьмина, Е. А. Градиентный алгоритм сингулярного разложения многомерной интервальной матрицы Текст. / Е. А. Кузьмина // Научная сессия ГУАП. Сборник докладов. Часть 3. — СПб. : Издательство СПбГУАП, 2007 , С. 148-152.

22. Кузьмина, Е. А'. Динамические свойства интервальных систем управления Текст. / Е. А. Кузьмина// Материалы Одиннадцатой международной конференции "Региональная информатнка-2008 «РИ-2008»". — СПб. : СПОИСУ, 2008. — С. 312-313.

23. Малоземов, В. Н. Кронекерово произведение Электронный документ. /

24. B. H Малоземов, О. В. Просеков. — Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — Б. м. : б. и.. — Режим доступа: http: // dha.spb.ru / PDF / tensor.pdf (по состоянию на 01.01.2008).

25. Математическое программирование Текст. / М. Мину. — М. :: Наука, 1990. — 488 с.

26. Математическое программирование в примерах и задачах Текст. / И. Л Акулич.— М. : Высшая школа, 1986. — 319 с.

27. Матричные вычисления Текст. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. —М. : Мир, 1999. — 548 с.

28. Матричный анализ и линейная алгебра Текст. / Е. Е.Тыртышников. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 480 с.

29. Методы оптимизации Текст. / H. H Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова — M : Наука, 1978.—351 с.

30. Методы численного анализа. Серия: Прикладная математика и информатика. Текст. /. Е. Е. Тыртышников. — M : Академия, 2007. — 320 с.

31. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. : Пер. с англ. Текст. / Ф. Уоссермен. — M : Мир, 1992. — 118 с.

32. Нейронные сети для обработки информации. : Пер. с польского. Текст. /

33. C. М. Осовский. — М. : Финансы и статистика, 2002. — 343 с.

34. Нейронные сети на персональном компьютере Текст. / А. Н. Горбань, Д. А. Россиев. — Новосибирск: Наука, 1996. — 276 с.

35. Нечеткие сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы Текст. / Д. Рутковская, М Пилиньский, JI. Рутковский. — М. : Горячая линия-Телеком, 2007. — 452с.

36. Оселедец,И:В. Методы разложения тензора Текст./ И. В. Оселедец, Д. В. Севостьянов // Сборник нучных трудов «Матричные методы и технологии решения больших задач» / Под ред. Е. Е. Тыртышникова. —- М : Институт вычислительной математики, 2005. — С. 51-65.

37. Перцептрон. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Перцептрон (по состоянию на 01.01.2008).

38. Письмо ЦБ РФ от 23 июня 2004 г. N 70-Т Текст.: [от 23.06.2004 №70-Т] — [2004].

39. Прикладной интервальный анализ.: Пер. с англ. Текст. / JI. Жолен, М: Кифер., О. Дидри, Э. Вальтер. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2007. — 468 с.

40. Пространственные матрицы и их приложения Текст. / НИ Соколов. М : Физматлит, I960.—300 с.

41. Пространство состояний. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Пространствосостояний (по состоянию на 01.01.2008).

42. Псевдообратная матрица. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Псевдообратнаяматрица (по состоянию на 01.01.2008).

43. Распознавание образов. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м.: б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Распознавание образов (по состоянию на 01.01.2008).

44. Синтез многослойных систем распознавания образов Текст. / А. И. Галушкин. — М : Энергия, 1974. — 235 с.

45. Соколова, С. П. Вычислительная процедура для технического анализа фондового рынка. I Текст. / С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина, А. Г. Тохтабаев // Труды СПИИРАН (под общ. ред. чл.-кор. Р. М: Юсупова). — СПб. : Наука, 2007. — Вып. 4.— С. 171-183.

46. Соколова, С. П. Интеллектуальная система мониторинга особо опасных динамических процессов Текст. / С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина // Приборостроение. — СПб. : Изд-во СПбГУИТМО, 2008. — Т. 51, № 11. — С. 73-77.

47. Соколова, С. П. Интеллектуальные информационные технологии Текст. / С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина // Актуальные проблемы экономики современной России. Сборник научных трудов. — СПб. : ГУАП, СПб, 2008. —Вып. 4. — С. 276-283.

48. Соколова, С. П. Интеллектуальный анализ данных. Методические указания к выполнению лабораторных работ №1-6 / С. П. Соколова, Е. А. Кузьмина. — СПб.: СПбГУ-АП, 2008. — 70 с.

49. Состояние. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м. : б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedi&org / wiki / Состояние (по состоянию на 01.01.2008).

50. Сценарное логико-вероятностное управление риском в бизнесе и технике Текст. / Е. Д. Соложенцев. — СПб. : Бизнес-пресса, 2004. — 432 с.

51. Тензор. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м.: б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Тензор (по состоянию на 01.01.2008).

52. Тензорное произведение. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [Б. м.: б. и.]. — Режим доступа: http: // ru.wikipedia.org / wiki / Тензорноепроизведение (по состоянию на 01.01.2008).

53. Теория переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления Текст. / Б. И Девятов — Новосибирск: СО АН СССР, 1964.

54. Теплообменники и теплообменные системы Текст. / Г. Е. Каневец — Киев: Наук, думка, 1981, —272 с.

55. Торговый хаос. Экспертные методики максимизации прибыли.: Пер. с англ. Текст. / Билл Вильяме. — М. : ИК Аналитика, 2000. — 328 с.

56. Устойчивые методы и алгоритмы параметрической идентификации. Монография Текст. / Ю. Е. Воскобойников. — Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2006. — 160 с.Аi ■ ' 121

57. Харитонов, В.' Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений Текст. / В. JI. Харитонов // Дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1978. — Вып 11. —С. 2068-2088.

58. Харитонов, В.* Л. Проблема Рауса-Гурвица для семейства полиномов и квазиполино-\ мов Текст. / В. Л. Харитонов // Математическая физика. — М?. :Издательство?, ? 1979. — Вып.26. — С. 69-79.

59. J 72. Харитонов, В. Л. Семейства устойчивых квазиполиномов Текст. / В. Л. Харитонов //

60. Автоматика и Телемеханика — М. : ВИНИТИ РАН, 1979. — Вып.7. — С. 75-88.

61. Численные методы решения экстремальных задач Текст. / Ф. П. Васильев. — М. : Наука, 1980.— 281 с.t ,

62. Число обусловленности квадратной матрицы Электронный ресурс. / Электрон, текстоv вые дан. и граф. дан. — Б. м. : б. и.. — Режим доступа: http: // matsoft.ru / im /10596.htm (по состоянию на 01.10.2008).

63. Шайдуров, В. В. Решение интервальной алгебраической задачи о допусках / , В. В. Шайдуров, С. ПШарый— Красноярск, 1988 (Препр. АН СССР. Сиб. отд-ние1. Вычисл. центр. №5).

64. Шарая, И; А. Строение допустимого множества решений интервальной линейной системы Текст. / И. А. Шарая // Вычислительные технологии. — РАН Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2005. — Т. 10, № 5. — С. 103-119.

65. Шарый, С. П. Внутреннее оценивание множеств решений неотрицательных интервальных линейных систем Текст. / С. П. Шарый // Сибирский журнал вычислительнойi математики РАН — РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2006. — Т. 9, № 2. — С. 189—206.

66. Шарый, С. П. Еще раз о внутреннем оценивании множеств решений интервальных линейных систем Текст. / С. П. Шарый // Вычислительные технологии. — РАН. Сиб. отд-ние. — Новосибирск, 2003. —Т. 8, специальный выпуск. — С. 1-15.

67. Шарый, С. П. Решение интервальной линейной задачи о допусках Текст. / С. П. Шарый // Автоматика и телемеханика. — М. : ВИНИТИ РАН, 2004. — № 10 — С 147-162.*

68. Artificial immune system. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // en.wikipedia.org / wiki / Artificialimmunesystems (по состоянию на 01.10.2008).

69. Baker Kearfott, R. Standardized notation in interval analysis Text. / R. Baker Kearfott, M T. Nakao, A Neumaier, S M. Rump, S. P. Shary, P. van Hentenryck. — [S. 1.], 2002.

70. Baker, M. R. Universal approximation theorem for interval neural networks Text. / M R. Baker, R Patil // Reliab. Comput. — [S. 1.], 1998. — Vol. 4. — P. 235-239.

71. Bauer, R. J. Genetic Algorithms and Investment Strategies Text. / R J.Bauer // John Wiley & Sons. — [S. 1 ], 1995. — P. 88-94.

72. Bebis, G. Using genetic algorithms for 3D object recognition Text. / G. Bebis, S. Louis, M. S. Fadali //ISCA Caine 98. — [S. 1.], 1998.

73. Bersini, H. Hints for adaptive problem solving gleaned from immune networks Text. / H. Bersini, F. Varela // Proc. of the 1st Workshop on Parallel Problem Solving from Nature. — [S. 1.], 1990. —P. 343-354.

74. Changyin, S. A new condition for the global robust exponential periodicity of interval neural networks with delays Text. / S. Changyin, Derong Liu, Chun-Bo Feng // Neural Networks.— [S. 1.], 2004. — P. 188-194.

75. Dasgupta, D. Artificial Immune Systems and Their Applications Text. / D. Dasgupta // Springer.— New York: ?, год ?.— Vol. 9.

76. De Castro, L. Artificial Immune Systems: a novel paradigm to pattern recognition. Artificial neural networks in pattern recognition. Text. / L. De Castro, J. Timmis // SOCO-2002. — University of Paisley, 2002. — P. 68-74.

77. De Castro, L. Immune and neural network models: theoretical and empirical comparosions Text. / L. De Castro, N. Fernando, J. Von Zuben // International Journal of Computational Intelligence and applications. — [S. 1.], 2001. — No. 1. — P. 239-257.

78. De Castro, L. Immune, swarm and evolutionary algorithms. Part I: basic models. Text. / L. De Castro //Proc. of the ICONIP conference, workshop on artificial immune systems, Singapore, 18-22 November 2002. — [S. 1.], 2002. — Vol. 3. — P. 1464-1468.

79. De Lathauwer, L. Multilinear singular value decomposition Text. / L. de Lathauwer, B. de Moor // SIAM Journal on matrix analysis and applications. — [S. 1.], 2000. — Vol. 21. — No. 4,—P. 1253-1278.

80. Deif, A. S. Singular Values of an Interval Matrix Text. // Linear Algebra and its Applications, 1991. —No. 151. —P. 125-133.

81. Faedo, S. Un nuova problema di stabilita per le equazioni algebrihe a coeficienti reali Text. / Ann. Sc. Norm. Sup. — Piza: Sci. Fiz. Mat, 1953: —P. 53-63.

82. Hargreaves, G. I. Interval analisys in MATLAB. Электронный документ. / G. Hargreaves // Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // www.ma.man.ac.uk / ~nareports (по состоянию на 01.10.2008).

83. Hebbian theory. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // en.wikipedia.org / wiki / Hebbsynapse (по состоянию на 01.10.2008).

84. Hernandez, С. A. Interval arithmetic backpropagation Text. / С. A. Hernandez, J. Espf, К Nakayama, M. Fernandez // Proc. Int. Joint Conf. in Neural Networks, Nagoya, Japan. — [S. 1.], 1993. — Vol. 1. — P. 375-378.

85. Hopfield^ J. Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities Text. / J. Hopfield // Proc. National Academy of Science USA — [S. 1.], 1982. — Vol. 79. — P. 2554-2558.

86. Immunocomputing. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // en.wikipedia.org / wiki / Immunocomputing (по состоянию на 01.10.2008).

87. Moore, R. E. Interval integrals Text. / R. E. Moore, W. Strother, С. T. Yang // Technical report, report LMSD703073. — [S. 1.], 1960. — 24 p.

88. Mooresearlypapers /MooreinRallVl.pdf (по состоянию на 01.10.2008).

89. Munoz, A. iMLP: Applying multi-layer perceptrons to interval-valued data Text. / Roque S.,

90. Mate C., Arroyo J., Sarabia A. // Neural Processing Letters. — S. 1., 2007.

91. Neumaier, A. Tolerance analysis with interval arithmetic Text. / A. Neumaier // Freiburger1.tervall-Berichte. — S. 1., 1986. — No. 86. — P. 5-19.

92. Neural network. Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // en.wikipedia.org / wiki / NeuraINetworks (по состоянию на 01.10.2008).

93. Principal Component Analysis on Interval Data Text. / F. Gioia, C. N. Lauro. — [S. 1.]: Computational Statistics, 2006.

94. Pruning feedforward neural networks through interval arithmetic Text. / G. P. Drago, S. Ridella // 1st. per i Circuiti Elettronici.— Genova: CNR, 1998. — Vol.34. — P. 2142-2143.

95. QR algorithm Материал из Википедии Электронный ресурс. / Электрон, текстовые дан. и граф. дан.— [S. 1. : s. п.].— Режим доступа: http:// en.wikipedia.org / wiki / QRalgorithm (по состоянию на 01.10.2008)

96. Röhn, J. Inner solutions of linear systems Text. / J. Röhn // Interval mathematics —New-York: Springer Verlag, 1986. — P. 157-158.

97. Röhn, J. Input-output model with interval data Text. / J. Röhn // Econometrica— [S. 1.], 1980. — Vol. 48. — P. 767-769.

98. Röhn, J. Input-output planning with inexact data Text. / J. Röhn // Freiburger IntervallBerichte— [S. I.], 1978. — No.9. — P. 1-16.

99. Rumelhart, D. E. Learning internal representations by error propagation Text./

100. D. E. Rumelhart, G. E. Hinton, R J. Williams // Parallel Distributed Processing.— Cambridge: МГГ Press, 1986. — Vol. 1. — No.8. — P. 318-362.

101. Shen, T. Improved global robust stability criteria for delayed neural networks circuits and systems П: Express Briefs Text. / T. Shen, Y. Zhang. — [S. 1.], 2007. — Vol.54. — P. 715-719.

102. Sima, J: Generalized back propagation for interval training patterns Text. / J. Sima // Neural network world. — [S. 1.], 1992. — Vol. 2. — No. 2. — P. 167-174.

103. Simoff, S. J. Handling uncertainty in neural networks: an interval approach Text. / S. J. Simoff // Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks. — [S. 1.], 1996. — Vol. 1 — P. 606-610.

104. Singh,V. Global robust stability of delayed neural networks: an LME approach Text./ V. Singh // Circuits and Systems П: Express Briefs. — [S. 1.], 2005. — Vol. 52. — P. 33-36.

105. Sokolova, L. A. Index design by immunocomputing Text. / L. A. Sokolova // Lecture Notes in Computer Science. — Berlin: Springer, 2003. —Vol. 2787. — P. 120-127.

106. Sokolova, S. P. Analysis and management of a credit risk Text. / S. P. Sokolova,

107. E. A. Kuzmina, L. A. Sokolova // Proceedings of the 16th International conference on systems science — Wroclaw, 2007. — Vol. 3. — P. 375-382.

108. Sokolova, S. P. Immunocomputing for -complex interval objects Text. / S. P. Sokolova, L. A. Sokolova // Proc. first International conference on artificial immune systems (ICARIS -2002). — University of Kent at Canterbury, 2002. — P. 222-230.

109. Subroutine DGESVD Электронный ресурс. — Электрон, текстовые дан. и граф. дан. — [S. 1. : s. п.]. — Режим доступа: http: // www.netlib.org / lapack / double /dgesvd.f (по состоянию на 01.10.2008).

110. Tarakanov, А. О. A comparison of immune and neural computing for two real-life tasks of pattern recognition Text. / A. O. Tarakanov, Y. A. Tarakanov // Lecture Notes in Computer Science. — Springer: Berlin, 2004. — Vol. 3239. — P. 236-249.

111. Tarakanov, A.O. A formal model of an artificial immune system Text. / A. O. Tarakanov, D. Dasgupta//BioSystems. — [S. 1.], 2000. — Vol. 55. — No.l. — P. 151-158.

112. Tarakanov, A. O: Pattern recognition by immunocomputing Text./ A. O. Tarakanov, V. A. Skormin // Proceedings of the 2002 Congress on computation Intelligence, CEC-2002. — [S. 1.], 2002. — Vol. 1. — P. 938-943.

113. Werbos, P. J. Beyond regression: new tools for prediction and analysis in the behavioral sciences Text. /Р. J. Werbos //Ph.D. thesis. —Harvard University, Cambridge, MA, 1974.

114. Zhang, J. Fuzzy Genetic algorithms based on level interval algorithm. Proceedings the 10th IEEE International Conference on Fuzzy Systems Text. / J. Zhang, B. Pham, P. Chen // Fuzzy systems. — [S. 1.], 2001. — Vol. 3. — P. 1424-1427.

115. Zhang, X. A new interval-genetic algorithm Text. / X. Zhang, S. Liu // Third international conference on natural computation (ICNC 2007). — [S. 1.], 2007. — Vol. 4. — P. 193-197.

116. Zhang, Y. Q. Statistical fuzzy interval neural networks for currency exchange rate time series prediction Text. / Y. Q. Zhang, X. Wana // Appl. Soft Computer.— [S. 1.], 2007. — Vol. 7. — No. 4. — P. 1149-1156.