автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы оптимизации процессов пространственного маневрирования морских подвижных объектов при координированном воздействии на рулевые устройства и силовую установку

На правах рукописи

КОЗЛОВ Юрий Владимирович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ МОРСКИХ ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ КООРДИНИРОВАННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА РУЛЕВЫЕ УСТРОЙСТВА И СИЛОВУЮ УСТАНОВКУ

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2009 г.

003492753

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель:

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Симаков Игорь Павлович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Скороходов Дмитрий Алексеевич

доктор технических наук, профессор Хименко Виталий Иванович

Ведущая организация:

Государственная морская академия имени адмирала С.О. Макарова

Защита состоится «25» марта 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 при ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29, корп. IX, ауд. 121.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «Санкт-Петербургского государственного политехнического университета».

Автореферат разослан «24» февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

Кудряшов Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Проблема математического моделирования для автоматизации процессов управления морскими подвижными объектами (МПО) различных классов и назначений, такими как водоизмещающие корабли (суда), обитаемые и необитаемые подводные аппараты (ПА), включая подводные лодки (ПЛ), разрабатывается в течение многих десятилетий. Несмотря на достижения в области создания моделей сложных систем управления движением (СУД) недостаточно исследован ряд теоретических задач. Это относится к задачам математического моделирования оптимального управления процессами пространственного маневрирования ПА при координированном воздействии на комплекс рулевых устройств (РУ) и силовую установку (СУ). Потребность в решении таких задач возникает в экстремальных ситуациях - при управлении расхождением судов, предупреждением столкновений, уклонением от угроз различных видов. Однако не выявлен ряд важнейших свойств МПО как многомерных объектов оптимального управления - предельные возможности по управляемости и поворотливости, характерные свойства и параметры экстремальных траекторий. Современные СУД содержат автономно действующие функциональные подсистемы управления и стабилизации отдельных координат объекта - курс, крен, дифферент, глубина, скорость хода. Решение задач формирования координированных управляющих воздействий на комплекс РУ и СУ представляется проблемным. Аналитические трудности требуют существенных упрощений моделей, включая переход к моделям, описывающим квазиустановившиеся и установившиеся процессы. Аналогичная ситуация имеет место в области управления летательными и космическими аппаратами (ЛА и КА), где имеются решения практически важных задач оптимизации на основе приближенных моделей объектов.

Цель диссертационной работы - разработка комплекса математических моделей для оптимизации и повышения качества процессов маневрирования ПА по временным и траекторным критериям за счет координированного (согласованного) воздействия на комплекс рулевых устройств и силовую установку.

Научной задачей диссертационной работы является разработка конструктивных математических моделей объекта и моделей для обеспечения предельных маневренных возможностей МПО при оптимальных координированных воздействиях на комплекс РУ и силовую установку, формулировка задач координации как задач нелинейного программирования (НП), выявление структуры и характеристик экстремальных траекторий, принципов, моделей и структуры координирующей системы управления

(КСУ).

А.

з

Для достижения перечисленных целей в работе поставлены и решены следующие научные и практические задачи:

1. Разработаны математические модели объекта и модели оптимальной координации процессов пространственного маневрирования ПА как задачи НП с воздействиями на рулевую и силовую установки при ограничениях на допустимые значения потенциально-опасных координат объекта - крен и дифферент.

2. Разработаны математические модели нелинейных типовых и функциональных элементов локальных подсистем управления ПА, включающие модели с непрерывными и разрывными характеристиками с регуляризацией. На основе моделей разработана методика адекватной оценки качества оптимальных траекторий и параметров режимов движения МПО на длительных временных участках маневрирования.

3. Разработан комплекс численных методов НП для решения задач координации с учетом выявленных особенностей - невыпуклых функционалов и областей допустимых решений. Разработан характер взаимодействия координации и локальных подсистем, обоснована организация координированного управления СУ и РУ и структуры КСУ.

4. Разработано программное обеспечение для вычислительных экспериментов на основе общих математических моделях системы, включающих модели пространственного движения ПА, модели координации и модели локальных подсистем управления с учетом нелинейных элементов. Специфика моделей позволила выявить предельные маневренные возможности ПА как объекта управления и получить количественные оценки достигаемых результатов.

Объект исследования - математические модели подводного аппарата как наиболее сложного МПО.

Предмет исследования - математические модели, численные методы и программное обеспечение для оптимальной координации пространственного маневрирования ПА по временным и траекторным критериям.

Методы исследования - теория корабля, теория автоматического управления, теория оптимального управления, теория конечномерной оптимизации, теория нелинейных операторов для моделирования системы координации подсистем управления.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели подводного аппарата и методы системы оптимальной координации подсистем управления с воздействием на силовую установку и комплекс рулевых устройств для оптимизации процессов глубокого пространственного маневрирования на основе методов нелинейного программирования.

2. Математические модели подсистем управления подводного аппарата, включающие нелинейные элементы с однозначными, неоднозначными и непрерывными и разрывными характеристиками с регуляризацией.

3. Предельные свойства ПА как объекта оптимального управления с несколькими разнородными управляющими воздействиями.

4. Математические модели вычислительных методов решения задач нелинейного программирования с выпуклыми и невыпуклыми областями допустимых решений.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Научное обоснование комплекса задач НП как математических моделей системы координирующего управления локальными подсистемами ПЛ в режимах маневрирования. Исследованы свойства ПА как объекта управления с несколькими разнородными управляющими воздействиями и предложен принцип координированного управления СУ и комплексом РУ для оптимизации маневрирования.

2. Разработаны модели координации и вычислительные методы решения задач нелинейного программирования с выпуклыми и невыпуклыми областями допустимых решений, адекватных поставленным задачам .

3. Разработаны регуляризованные модели разрывных нелинейных элементов подсистем ПА с однозначными, неоднозначными и разрывными характеристиками.

Практическая ценность работы. В диссертации изложены принципы построения КСУ силовой установкой и комплексом РУ, обеспечивающие повышение маневренности по временным и по траекторным критериям.

Реализация результатов работы. Результаты использовались в учебном процессе и внедрены в учебный процесс кафедры «Системный анализ и управление» СПбГПУ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международных и Всероссийских конференциях и опубликованы в материалах конференций (см. список публикаций), а также докладывались на научных семинарах в Военно-морской академии им. Адмирала Флота СССР Кузнецова Н.Г., в Институте проблем управления РАН, на научных конференциях «Фундаментальные исследования в технических университетах», «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки» и др.

Личный вклад автора. Основные научные положения, математические модели, алгоритмы и их программная реализация, содержащиеся в диссертационной работе, получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные теоретические и практические результаты диссертации опубликованы в 10 научных работах, среди которых 2 статьи в ведущих рецензируемых

изданиях, рекомендованных в перечне ВАК, 10 докладов на Международных и Всероссийских конференциях, 1 учебное пособие.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 160 наименований и 2 приложений. Работа изложена на 158 страницах, содержит 80 рисунков, 3 таблиц, объем приложения составляет 6 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность темы исследования, описано современное состояние проблем математического моделирования движения МПО, моделей для оптимизации пространственного маневрирования, а также сформулированы задачи разработки математических моделей системы координированного управления.

В первой главе разработаны математические модели движения автоматизированного ПА как многомерного объекта с несколькими управляющими органами различной физической природы. Сформулированы модели квазиустановившихся режимов для оптимального управления типовыми режимов экстренного маневрирования с воздействиями на РУ и СУ.

В качестве основной базовой модели ПА

\ \ '

\ .у^'Жа " которая описывает движение объекта как

, ' """—управляемого твердого тела, погруженного в

Рис'1 жидкость, в трехмерном пространстве с шестью

степенями свободы. При получении такой математической модели использовались общие принципы, изложенные, в частности, в книге Пантова E.H., Махина H.H., Шереметьева Б.Б. «Основы теории движения подводных аппаратов». - Л.: «Судостроение», 1970. Полная система дифференциальных уравнений, описывающих пространственное движение подводного аппарата, имеет следующий вид.

тх-Ух + т,а>уУг-тусо,Уу-Л2ьа>2 =

mr - V + Л26 -0)г + тхсогУх -т2сохУг + Л15сохсоу = Ry, (1)

m, ■ Уг + Л35 ■ ау + myioxVy - mxa>yVx + À2<ta>xmz = ;

J,<*>* +(^6+^5 ЩГу-ш2Уг) = Мх,

Jy-coy + Л,5-Уг +a>x(olXJx-Jz) + VxV!(mx-m1)-lll,roxVy-XiscoyVx = My, J2-coz + Л2ь-Уу +ioxcoy(Jt, -Jx) + VxVy(my ~тх) + Л,5о>хУ2 +Л21/о1Ух =M,.

/1^2 принимается система обыкновенных 0 "* г дифференциальных уравнений 12-го порядка,

Уравнения сил:

Уравнения моментов:

|у' = юу • sin+ -eos0, Уравнения для расчета углов Эйлера: \ 0' = ах - (со,, ■ eos 9 - <ог ■ sin <?) • igO,

\<р' = (a)r casí)-rox - sin 0)1 cos(y

Уравнения перемещения центра масс подводного аппарата в земной системе координат:

!g=Vx-costp-cosj/+l'y •(sintfsin^-cos^cos^sin^ + F, • (coapsin^-sinÉ'+sinp-cosf?), ■sín^-co^z+K,, ■ (co^-sin<;Ts¡ni//+sin^'cov/i) + ■ íwj)■ QWp■ sir»//-sin<"/i), ;/= Vx-sini//+(Vy со^-Г,•sinó'í-cosy/.

Уравнение (1) и (2) определяют динамику по линейным и угловым скоростям, а уравнения (3) и (4) задают связь между кинематическими параметрами подводного аппарата в неподвижной и связанной системах координат. Величины и

Мх, Мг, Мг обозначают проекции сил и моментов, действующих на ПЛ, на оси связанной системы координат. Общие выражения для этих величин обычно представляются в виде: Xx=A-V2(Cx + CxS+Cxl,) + Tx; Ry=AV2(C,, +Су„); R, = AV2(CZ +CJ;

Л/x = B-V2(Cmx +C„X)-D-sintfcos^; Мг = В-У2(С„„, +C„„,,); (5)

Л/г = В ■ V2(CmI + C,fe ) - D ■ sin V eos8, где V = Jv? + Vy + V2 - модуль вектора скорости хода; Т - сила тяги винтов; mx,mt,m!,Jx,J Jt - обобщенные массы и моменты инерции;- присоединенные статические моменты; A,B,D - постоянные коэффициенты; Cx,Cy,C!,Cmx<Cmy,Cmz -основные гидродинамические коэффициенты ПА; С„?,С„,Сг,5,Сг,5,С„„,С„„г,СЛ„2,С„,1г -гидродинамические коэффициенты для горизонтальных и вертикальных рулей. В приведенных уравнениях, метацентрическая высота принята равной нулю. Уравнения сил и моментов в связи с отличием формы ПА от эллипсоида вращения записаны не в стандартной форме Коши. Для численной реализации модели на ЭВМ осуществлен переход к форме Коши. Полная математическая модель пространственного движения гипотетического ПА с численными значениями параметров, используемая в вычислительных экспериментах, представлена в Приложениях 1 и 2 к диссертации.

В основу математических моделей локальных систем управления и стабилизации курса, крена, дифферента, глубины и скорости хода положены структуры и алгоритмы, представленные в книге Ю.А. Лукомского, В.Г. Пешехонова и Д.А. Скороходова «Навигация и управление движением судов». - СПб, «Элмор», 2002 г. (глава 13 - Системы управления движением подводных аппаратов, с. 315-351).

В работе сформулированы задачи математического моделирования для оптимизации управления в типовых режимах: режим экстренного маневрирования по курсу (в

горизонтальной плоскости) по временному и траекторному критериям с учетом ограничений на угол крена по условию безопасного плавания; режим экстренного маневрирования в вертикальной плоскости с изменением глубины за минимальное время и с максимальной крутизной траектории при ограничениях на угол дифферента; режим экстренного пространственного маневрирования с одновременным изменением глубины и курса при ограничениях на углы крена и дифферента.

Модели и решения задач оптимизации траектории при воздействии на РУ и СУ в строгой постановке представляет сложную математическую проблему. Один из подходов к решению состоит в упрощении полной модели движения ПА. Во-первых, для оптимизации отдельных типовых режимов использовано «разделение движений» объекта на продольное и на боковое. Во-вторых, при осуществлении «глубоких маневров» по курсу и по глубине время их осуществления и характеристика крутизны траекторий в целом определяется участками экстремалей установившихся процессов. В работе предложены модели пространственного, продольного и бокового установившихся движений ПА. Предельно упрощенная модель бокового движения ПА при глубоком

маневре по курсу имеет вид ^-=Уах{(р-р), Р=-с5,—=со, со=-аУ8,0=ЬУгд,

А Л А ' '

где - координаты центра масс ПА корабля в неподвижной (земной) системе координат, V - линейная скорость движения, 8 - угол перекладки вертикального руля, р -угол дрейфа, - угловая скорость вращения корпуса относительно вертикальной оси, <р - курс ПА,<9 - угол крена, а,Ь и с - постоянные коэффициенты. Модель позволяет сформулировать задачу вычисления оптимальных значений скорости у' и угла перекладки вертикального руля в', при которых достигаются максимальная угловая скорость перехода по курсу и минимальный радиус циркуляции при ограничении угла крена допустимым по условиям безопасности значением в = ЬУ26<в{) и естественных ограничений по скорости хода О <У < У(1, где У0 - максимальная скорость, которую может развивать корабль при выбранной СУ, и углу перекладки вертикального руля 0 < < г50. Показано, что для ПА (в отличие от ЛА) радиус циркуляции зависит только от угла перекладки руля К = ^ ^ и не зависит от скорости хода в диапазоне, в

котором не превысит опасного значения. Сформулированная задача оптимизации относится к классу невыпуклых задач. В работе предложены аналогичные упрощенные модели и для других режимов маневрирования.

Во второй главе представлены результаты исследований по развитию теории и

разработке математических моделей локальных систем регулирования ПА с нелинейными элементами, имеющими однозначные, многозначные кусочно-непрерывные и разрывные характеристики. К таким звеньям относятся сервомоторы (СМ) с нелинейной скоростной характеристикой и физическими упорами, одно- двухпетлевые гистерезисные звенья, звенья типа «люфт», «зазор», а также элементы, обеспечивающие функции резервирования технических устройств в системе. Для конструирования моделей таких звеньев в работе предложен следующий базис «элементарных» операторов: модуль-функция: у=|л]; функция сигнатуры: ,, = _Ё.<|,|, = ,/к„(1) = = в том числе ее

«регуляризованный» вариант: у = г | + ^, где е> 0 - малый параметр; импульсная

функция: _ ^ = £ • функция «единичный импульс-

Лх с1х (|х|+ е) (|*| + £)2

прерыватель»: у = где а>Ь, или в базисе функции |ф

I X — a x-h

.); функции «единичного

2 (|.г-<|| + £) (|t-i|+c)

1 (| х-с\ + Е) 2 2 <M| + i')

равна «У», если х > а, и «О» в противном случае, а вторая равна «/», если х < b, и равно «О» в противном случае.

Предложен формализованный метод вывода в базисе «модуль-функция» алгебраического представления нелинейным оператором следующего вида: У - + ^ К (\х - а |+ (х - а )) > описывающим непрерывные кусочно-линейные

функции , численные значения которых у'(х = о,.)заданы в узлах х = о,. Разработан метод алгебраического описания сложных кусочно-разрывных функций в базисе функций единичного скачка: F(x) = + sign(x - а )) / 2 или в базисе «модуль-функций»:

H,(x) = h,(\X-.a'\+i.X аЛ)/2; F(x) = ±H,(x).

В диссертации разработаны уточненные модели нелинейных звеньев с неоднозначными характеристиками. Модель двухполостного СМ, имеющего ограниченную скоростную характеристику и упор представлена в виде нелинейного

уравнения = /(л-)[(1 + - / 2 - 0.5[1 + - + - Л'))]' где >,(')

- текущее положение штока СМ; у_и у - нижний и верхний упоры; х(/) - управляющий сигнал - положение управляющего золотника;/(.г) = -с + (|х + с|-|х-с|+ 2с)/ 2 -

скоростная характеристика СМ, имеющая в вид однозначной кусочно-линейной функции, с- максимальная скорость перемещения штока сервомотора. В работе предложена математическая модель, описывающая процессы в звене типа «люфт»: У =|г/|(5(^«(е+й) + 5;^я(е-6))/2; е(0 = ■*(')-.>'(')• Модель люфта может быть записана и в

базисе функции «Модуль х» = о 5 \и I ^ + ~ ^ + (г ~ 6)|г + где г = х- у. На

Л ' 1 1 + Ь\+е)(\г - Ь\ +с) '

рис.2 даны результаты вычислительных экспериментов с моделями сервомотора и люфта.

// ' \

"V \

Рис.2а

Рис.2б

Рис.2в

Рассмотренные элементы с петлей гистерезиса (см. рис.3) имеют зоны неоднозначности, т. е. значения выходного сигнала при входном сигнале jc(/)e[6, ,62] и при л(0б[й3,64] зависят от знака скорости u = x'{t) входного сигнала. Известные модели таких элементов заданы в предикатной форме и справедливы для монотонного изменения аргумента *(/) в пределах всей петли гистерезиса. В работе предложены математические модели одно- и двухпетлевого гистерезиса. Модель однопетлевого гистерезиса имеет вид

/ = 8{х-b2)|«|(1 + sfen(«0)i( 1 -sign(y-ri)^-S(x-b,)|»|(1-sign(u))^( 1 + sign(y-y))/2, где

входящие в это выражение дельта-функции S(x-b,) и 5(х-Ьг) с достаточно большой точностью могут быть аппроксимированы импульсными функциями 8{х - /)) = K(sign(x - bt + с) - sign(x - b: - с)) / 2, К = \ / с. Для двухпетлевого гистерезиса разработана аналогичная модель, а результаты моделирования даны на рис.3.

Рис.За

Рис.Зб

Рис.Зв

Рис.Зг

В третьей главе излагаются методы решения задачи синтеза координирующих управлений на основе решения задач НП. Разработана градиентная система дифференциальных уравнений для решения задач НП с невыпуклыми областями

допустимых решений. В таких случаях решение задачи каким-либо методом локальной оптимизации осуществляется из различных точек, задаваемых внутри и вне допустимых области. Из локальных оптимумов определяется глобальный. Основные идеи предлагаемых методов: сведение системы неравенств, описывающей допустимую область, к одному равенству, и сведения системы неравенств к одному эквивалентному неравенству, из которого следует уравнение границы допустимой области; формирование «модифицированной» функции Лагранжа с одним множителем; вычисление «седловой» точки функции Лагранжа с применением градиентных методов.

Для определения глобального минимума в случае невыпуклости допустимой области предложены алгоритмы вычисления решений на границе допустимой области путем ее сканирования с заданными «интервалами» линий и фиксацией глобального оптимума.

В четвертой главе приведены результаты оптимизации траекторий и параметров типовых режимов экстренного маневрирования ПА. Для режима экстренного маневрирования в горизонтальной плоскости с максимальной скоростью изменения курсового угла и с минимальным радиусом циркуляции получены следующие результаты. На основе модели подводного аппарата в виде следующих уравнений:

Усоъ(<р-Р), ^=-Уът((р-/3), р = -с8, а)у=-аУ8, в = ЬУг8

и ограничений: в = ЬУ23 < О0, 0 < Г < К0, 0 < < ¿>0 необходимо вычислить оптимальные значения скорости V' и угла перекладки вертикального руля <?', при которых достигает максимума функционал, определяющий максимальную угловую скорость перехода по курсу: а>г=аУ5. Данная специальная задача является задачей геометрического

программирования, которая заменой переменных сведена к задаче линейного программирования (ЛП): вычислить переменные, минимизирующие одночленный

позином gu(t)= с^Ч"'2 ■■■(2" ПРИ ограничениях на неотрицательность переменных: /, > 0, и ограничениях типа неравенств, сформулированных на основе позиномов, в следующем виде g¡(t) = cjt^''ut'!lлl..лУ" <\, ¡ = \,...,п-\. Задача ЛП имеет вид: вычислить переменные, минимизирующие линейный функционал С„ (г) = ап2\ + а|222 +... + ашгт + С, при линейных ограничениях:

бДг) = ам + ам 2гг +...+ ам тгт +СМ. Переменные задач связаны соотношениями:б, = 1п g¡, С = 1п = с, =ехр(С,), /( = ехр(г().

Общая задача НП для синтеза координации ПА имеет вид: вычислить /(х) -» шах , при ограничениях g.(x)>0,j = \,..,m, т< N, где вектор X = (х|,х2,..,хл,). Система

неравенств, описывающая допустимую область, равносильна равенству: = = Функция С(дг) равна нулю, если выполнены все неравенства,

7=1 У=1

положительна при нарушении одного из них. Функция С(дг) определяет «модифицированную» функцию Лагранжа: Цх,Я) = /(х) - Л(1(х), где Я можно рассматривать как множитель Лагранжа или коэффициент штрафования. На основе теорем Каруша (1939 г.) и Куна-Таккера (1951 г.) необходимо вычислить седловую точку, например, методом непрерывного градиента. Вариант градиентной системы

дифференциальных уравнений имеет вид: / = !,...,,¥; = С(х).

(к ск ^сй; ' Л

В общем случае приведя систему неравенств к каноническому виду: <5>0, <50-Л>0, У>0, У0-У>0, ва-ЬУ2д>0, можно получить равносильное равенство С(У,д) = +\б0 - б\ + \У\ + |К0 - У\ + \в„ - Ь Угд\ + +Ь У28 - 5„ - У0 - в, = 0.

Это равенство описывает допустимую область на плоскости (¿',1'). Модифицированная функция Лагранжа примет вид: Ь = аУд-АС(У,д). Знак «минус» определяет «механизм штрафования» при нарушении равенства С(М) = о.При этом, очевидно, что С7(Г, <У) > 0. Градиентные дифференциальные уравнения формируются на основе трех уравнений:

= и,; — = и2;= и3. Требуется определить законы: и.=ш {У,5), / = 1,2,3,

ш Ф Ш '

обеспечивающие решение задачи оптимизации. Методика главы 3 приводит к соотношениям: щ= а5 - и2= аУ - /1(7,; щ = Лй, где и Сл частные

производные. Для различных начальных условий ^(0), ¿(0) и /1(0) > 0 можно получить решения, обеспечивающие в асимптотике максимум функционала ® =аУд при условии: = Невыпуклость допустимой области приводит к локальному оптимуму. Для вычисления глобального оптимума варьируются начальные условия для дифференциальных уравнений. Эксперименты подтвердили, что процессы при интегрировании градиентной системы из различных начальных условий приводят к совпадающему решению: <5*=50; У*<У» (см. табл.1). Полученное решение является оптимальным по критерию максимального быстродействия и по критерию минимизации радиуса циркуляции при выходе ПА на заданный курс.

Обллсть допустимым решений

! - утоп перекладки рул» [рад]

. Система неравенств.

.е*ь к- е<е,

- О £ £ < - 0 Прад 0£ Г<Г,- 20м/с

V - скорость х ода [м/с]

№ Начальные условия Результат

V 5 л

6-0.6 У »30 Л-G 9.33301 0.3168 10.012 3 0.023

2 «5 »02 ¿«0 933033 05190 0 2861 0023

¿.01 р.18 4-0 9.3297 0.5199 01637 0023

4 -02 Уш~5 ¿-0 9.3296 Q 3190 5 0001 0023

Ь ¿-0.9 У'7 4-0 9 5296 0.5199 0.4070 0 023

6 6—02 У*7 4-С 9.53080 0.5195 0.3121 0023

Тдопицл 1 Рассматривая структуру критерия оптимальности IV = а V8, можно утверждать, что оптимальное

решение может находиться только и только на границе допустимой области, для описания которой достаточно рассматривать два определяющих ограничения 6<<>„ и в^ь-У1 -3 <в0. Сведя эти два ограничения к одному равенству, описывающему границу допустимой области, можно сформулировать функцию Лагранжа: ¿(У,3,Я) = аУ8- ЛГ(У,5) ,где Г(К,<5) = (<5„ + 0„) - (1 + ЬУ2)3-¡(^ - в„) - (1 - ЪУ-)д\. В

результате необходимо интегрирование системы уравнений = а3 - Я >

dt

8V

—=aV-Я—> — = i'(V,S) при произвольных, но положительных значениях начальных dt ёд л

условий Г(0) > 0, й~(0) > О, Я(0) > 0. Вычислительные эксперименты показали, что решение задачи Лагранжа совпадали с решениями, полученными выше. Для подтверждения гипотезы о совпадении полученного решения (V *, S *) с глобальным или близким к нему (W -»max) и по траекторному критерию (R -* min) исследованы численно значения

критериев путем организации «обхода» границ допустимой области: F(V,S) = о.

Уравнение F(V,S) = О является функциональным заданием для объекта:

— = «,;—=и2, Для которого синтезирован закон управления: »,=-—-f-Fv± . V" Fs ;

dl dt T JfS+F/

- Ус ■ F

и, = + i " "—, где v0 - постоянной скорость движения по границе, обеспечивающая

выполнение функциональной зависимости F(V,S) = 0 устойчиво и с необходимыми показателями качества. Параллельно вычисляя значения целевой функции /(v(0, £(<)) как функции времени, можно фиксировать значение экстремума.

Полученные результаты позволили сформулировать в форме принципа управления общий алгоритм координированного управления СУ и РУ при осуществлении глубокого маневра по курсу. При этом значение V* может быть определено по приближенной

формуле К*= J-^-, где значение b определяется гидродинамическими характеристиками

ПА. На рис.5 представлены обобщенные зависимости угловой скорости изменения курса

~ г (оу [град/с] и радиуса циркуляции Я, [м] в функции от линейной скорости хода ПА.

Зависимость имеет «излом», явно выраженный «острый» максимум при у*,

определяемый допустимым углом крена вд„„. Зависимость (К) характеризует сильную критичность кривизны траектории корабля при превышении скоростью значения У*. Резкий спад угловой скорости <о и резкое возрастание радиуса циркуляции л1( при У > У* неизбежны из-за необходимости удерживания угла крена 0(1) на предельно допустимом уровне, что вынужденно приводит к «снятию» с упора вертикального руля.

Л

. 6 < п > и

Рис.5а Рис.5б Рис.5в Рис.5г

Алгоритм управления экстренным маневром ПА по курсу имеет следующий вид: при получении команды на маневр должны быть выполнены следующие операции: управление СУ должно обеспечить экстренный переход от любой начальной на оптимальную скорость V*; управление рулем должно переключаться с регулятора стабилизации курса <р на регулятор крена с заданием уставки: вЛт (знак «+» или «-» зависит от направления маневра); при входе курса в зону его стабилизации \1р(1)-<ры(!)\<а все переключения осуществляются в обратном порядке.

В пятой главе для подтверждения эффективности разработанных моделей и оптимизации объекта , принципа управления, структуры КСУ силовой установкой и рулевыми устройствами создано программное обеспечение в среде моделирующего комплекса ПК «МВТУ», разработанного О.С. Козловым. На комплексе проведена серия экспериментов с полными математическими моделями динамики ПА, описывающими пространственное, горизонтальное и вертикальное движения. Создана технология формирования в среде ПК «МВТУ» виртуальных пультов управления с новыми способами отображения динамической информации (рис.6). Программа реализации математических моделей в ПК МВТУ, представлена в Приложении 1 и 2 к диссертации.

Рис.6

В работе приводятся результаты выполненных вычислительных экспериментов для различных режимов оптимального маневрирования ПА. Так, для режима экстренного маневра в горизонтальной плоскости с выходом ПА на заданный курс с максимальной скоростью хода при наличии и отсутствии КСУ результаты представлены в табличной форме для двух вариантов начальной скорости: Г(0) = 2 м/с и 1-'(0) = 18 м/с. Во всех случаях ограничение по углу крена принято равным 0„ = 10 градусов.

____Таблица 2

Н(0) = 2 м/с без КУ К(0) = 2 м/с с КУ К(0) = 18 м/с без КУ К(0) = 18 м/с с КУ

Радиус [м] - 1300 -500 - 1800 - 550

Время перехода [с] -320 - 180 -320 -190

Для иллюстрации приведены «осциллограммы» процессов и траекторий движения ЦТ.

... X

Рис.7.1

Рис.7.2

Рис.7.3

Рис.7.4

Рис.7.5 Рис.7.6 Рис.7.7 Рис.7.8

Из табл.2 следуют выводы: координации скорости хода для глубоких маневров по курсу сокращает около 2 раз время перехода ПА на новый курс при уменьшении радиуса циркуляции более двух раз. Таким образом, оптимальная координация СУ и РУ повышает качество маневрирования. Анализ процессов по координатам, временным и траекгорным критериям доказал допустимость применения упрощенных моделей ПА для синтеза. Вычислительные эксперименты с полными математическими моделями динамики пространственного маневрирования ПА и локальными подсистемами подтвердили близкое к оптимальному качество КСУ и эффективность предложенных моделей.

Заключение по результатам проведенных исследований. В работе содержится новое решение актуальной задачи - задачи координированного управления комплексом РУ и СУ аппарата, обеспечивающее сущуственное повышение маневренных свойств ПА. Основными научными результатами, полученными в диссертации, являются:

1. Математические модели для анализа и синтеза координации подсистем ПА как объектов управления с несколькими разнородными управляющими органами СУ и комплексом РУ при оптимизации процессов пространственного маневрирования.

2. Модели и вычислительные методы решения задач НП.

3. Модели типовых кусочно-линейных и регуляризованных разрывных нелинейных звеньев САУ с однозначными и неоднозначными нелинейными зависимостями.

Практическое значение работы. Разработан комплекс математических моделей для построения КСУ силовой установкой и рулевыми устройствами для повышения маневренности ПА. В среде ПК «МВТУ» создан комплекс для анализа систем.

Основные положения диссертации опубликованы в работах, в том числе в изданиях, рекомендованных DAK РФ:

1. Козлов Ю.В. Математические модели оптимизации движения подводного аппарата на циркуляции. - «Научно-технические ведомости СПбГПУ». Серия «Информатика. Телекоммуникации. Управление», JVs 1,2010. СПб.: изд. СПбГПУ. 2010. с. 55-58.

2. Козлов Ю.В. О неработоспособности динамических систем с «оптимальными» регуляторами, синтезированными методами аналитического конструирования. - «Научно-технические ведомости СПбГПУ», 4-2(52)/2007. СПб,:изд. СПбГПУ, 2007, с.165-168.

3. Козлов Ю.В. Синтез совместного управления движущимися объектами в горизонтальной плоскости // Материалы ХШ Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования и инновации в технических университетах», т.1. СПб,:изд. СПбГПУ, 2009. - с. 271-272.

4. Козлов Ю.В., Кузнецова Е.В., Симаков И.П. Синтез системы координированного управления силовой установкой и рулевыми устройствами подводного аппарата при оптимизации процессов маневрирования в экстремальных ситуациях // Труды IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении». СПб,:изд. СПбГПУ, 2005. - с. 456-458.

5. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Стабилизация крена корабля в условиях морского волнения и грубость замкнутой системы. // Материалы XII Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науки», т. 1. СПб,:изд. СПбГПУ, 2005. - с. 266270.

6. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Кусочно-линейныс и кусочно-разрывные операторы для описания нелинейных динамических звеньев систем автоматического управления // Труды X Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении», ч.З. СПб,:изд. СПбГПУ, 2006. -с. 112-115.

7. Козлов Ю.В., Симаков И.П. О негрубости и неработоспособности динамических систем, синтезированных «классическими» методами аналитического конструирования оптимальных регуляторов // Труды IX Международной научно-практической конференции «Системный анализ в проектировании и управлении». СПб,:изд. СПбГПУ, 2005. - с. 450-456.

8. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Сравнительный анализ оптимальных управлений процессами маневрирования подводных и летательных аппаратов по временным и траекторным критериям. // Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов (26.11 - 01.12. 2007 г.). Часть V. - СПб,:изд. СПбГПУ, 2008. - с. 109-110.

9. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Развитие вычислительных методов решения задач конечномерной оптимизации с выпуклыми и нсвыпуклыми областями допустимых решений. // Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов (26.11 - 01.12. 2009 г.). Часть V. -СПб,:изд. СПбГПУ, 2009.

10. Козлов Ю.В. Анализ грубости методами функционального анализа. - п. 5.6. в кн. В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихнн «Управление энергетическими системами. Часть 1. Теория автоматического управления». - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2007. - с. 236-239.

11. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Развитие градиентных методов решения задач конечномерной оптимизации с нсвыпуклыми областями допустимых решений. - В сб. «Измерительные, вычислительные и управляющие системы». - СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2009.

12. Козлов Ю.В. Модели оптимизации установившихся движений подводного аппарата на циркуляции в классе задач нелинейного программирования. Труды научной конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки». СПб: изд. СПбГПУ. 2010. - с. 276-279.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 24.02.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 5627Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812)550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

ВВЕДЕНИЕ.

1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ПОДВОДНОГО АППАРАТА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ И КООРДИНАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ.

1.1 Классификация задач управления движением аппарата и типовые режимы маневрирования.

1.2 Общие дифференциальные уравнения пространственного движения аппарата.

1.3 Исходные модели подсистем управления курсом, глубиной и скоростью аппарата.

1.4 Исходные модели приводных механизмов исполнительных подсистем аппарата.

1.5 Постановка задач синтеза конструктивных моделей и координации подсистем аппарата.

1.6 Выводы.

2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОДСИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ АППАРАТОМ.

2.1 Классификация типовых и специальных нелинейных элементов подсистем управления аппаратом.

2.2 Модели элементов с разрывными характеристиками и регуляризация.

2.3 Модели элементов с кусочно-линейными характеристиками

2.4 Модели функциональных элементов с разрывными характеристиками.

2.5 Модели элементов типа «сервомотор» с ограниченными скоростными характеристиками.

2.6 Модели нелинейных элементов типа «люфт».

2.7 Модели элементов с гистерезисными характеристиками.

2.8 Модели функциональных элементов подсистем управления.

2.9 Выводы.

3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КООРДИНАЦИИ ПОДВОДНЫХ АППАРАТОВ И НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

3.1 Модели для синтеза координации подсистем аппарата и нелинейное программирование.

3.2 Модели и методы нелинейного программирования для оптимальной координации подсистем аппарата.

3.3 Выводы.

4 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ КООРДИНАЦИИ ПОДВОДНОГО АППАРАТА.

4.1 Модели оптимальной координации подсистем аппарата на циркуляции.

4.2 Модели задач координации подсистем аппарата на основе оптимизации в допустимой области.

4.3 Формулировка задачи координации и решение методами условной оптимизации.

4.4 Модели синтеза координации подсистем аппарата методом Лагранжа для преобразованной системы ограничений.

4.5 Исследование функционала качества координации подсистем аппарата на границах допустимых областей.

4.6 Модели и структура субоптимальной системы координации двух подсистем: силовой установки и рулевого устройства.

4.7 Выводы.

5 ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАЦИИ ПОДСИСТЕМ ПОДВОДНОГО АППАРАТА.

5.1 Модель динамики подводного аппарата и алгоритмы координированного управления.

5.2 Результаты исследования координации подсистем аппарата и анализ вычислительных экспериментов.

5.3 Общая характеристика программного комплекса «МВТУ» для исследования математических моделей.

5.4 Методика математического моделирования и разработки системы координации подводного аппарата.

5.5 Выводы.

Проблема автоматизации процессов управления морскими подвижными объектами (МПО) различных классов и назначений, такими как водоизмещающие корабли (суда) и корабли на динамических принципах поддержания, подводные лодки (ГШ), обитаемые и необитаемые подводные аппараты (ПА), разрабатывается в течение многих десятилетий. Вместе с тем, несмотря на имеющиеся достижения в области создания систем управления движением корабля и комплексной автоматизации управления всеми его функциональными комплексами средств [8, 23, 26, 43, 131], ряд теоретических вопросов управления остаются не исследованными или недостаточно исследованными. Прежде всего, это относится к задачам оптимизации процессов пространственного маневрирования корабля при скоординированном воздействии на все средства функционального комплекса обеспечения маневрирования (ФКТС ОМ), в частности на рулевые устройства (РУ) и силовую установку (СУ) с двигательно-движительным комплексом (ДДК).

Потребность в решении задач оптимального маневрирования возникает в экстремальных ситуациях. Такие экстремальные ситуации возникают при решении задач расхождения судов, предупреждения столкновений, уклонения от угроз различных видов с осуществлением плоских или пространственных маневров с оптимизацией времени их осуществления с одновременной максимизацией кривизны траекторий, экстренного всплытия ПА на безопасную глубину в аварийных ситуациях, например при нарушениях герметичности прочного корпуса и т.п. Однако ряд важнейших свойств и характеристик МПО как многомерных объектов оптимального управления, в том числе их предельные возможности по управляемости и поворотливости, а также характерные свойства и параметры экстремальных траекторий остаются не выявленными. Не выявленными остаются и эффекты, которые могут быть получены при оптимизации координированного управления всей совокупностью технических средств, обеспечивающих движение и маневрирование корабля. Все это не позволяет выработать научно-обоснованные принципы оптимального согласованного управления рулевыми устройствами и силовой установкой, без которых невозможно перейти к корректной постановке проектных задач, связанным с синтезом (выбором) рациональных функциональных и алгоритмических структур комплексной системы управления движением и маневрированием корабля.

В современных системах управления и стабилизации выходных координат объекта (курс, глубина, скорость хода) и потенциально опасных «промежуточных» (крен, дифферент) организованы, как правило, отдельные независимые и автономно действующие функциональные контуры управления (подсистемы) [89]. В многочисленных монографиях и учебных пособиях рассматриваются, как правило, традиционные системы автоматического управления движением судном по курсу так называемые авторулевые [13].

В теоретических работах по управлению движением кораблей преимущественно исследуются в различных постановках задачи оптимальной стабилизации отдельных угловых координат (курса, крена) корабля с воздействием только на гидродинамические органы - рулевые устройства [49, 89, 108], а также задачи оптимального управления, использующие принцип максимума Л.С. Понтрягина [6].

При этом при рассмотрении задач синтеза регуляторов используется аналитическое конструирование регуляторов [89] с использованием традиционных квадратичных критериев в рамках линейных Нг и Нт теорий.

Известно несколько работ, в которых рассматриваются задачи согласованного управления курсом и креном при осуществлении кораблем глубокого маневра по курсу на большой скорости движения [77]. При этом вопросы об оптимальном управлении силовой установкой в процессе выполнения маневра не рассматриваются. Можно отметить работы, опубликованные в виде тезисов доклада на конференциях в начале 70-х годов прошлого века [129,130], в которых в прямом виде рассматривается задача координированного управления силовой установкой и рулями при оптимизации маневрирования судна по курсу. Показывается, что постановка задачи оптимального по быстродействию маневра судна по курсу с воздействием на положение руля и на мощность силовой установки при специфических ограничениях на кинематические параметры (крен), а также на мощность гидравлической системы, обеспечивающей перекладку руля, приводит к неоднозначности решения. На длительных по времени участках экстремалей имеется бесконечное множество пар управляющих функций, обеспечивающих минимальное время маневра.

Неоднозначность решений в задачах оптимального по быстродействию управления многосвязными объектами с несколькими управляющими органами ранее была обнаружена и исследована О.И. Ларичевым [80] и Е.Д. Гарбером [29], получив объяснение фактом не выполнения так называемых «условий общности положения» [9,18]. В некоторых работах, в частности, в работах Дорри М.Х., Соловьева М.М. причина не единственности решений объяснялась наличием ограничения на фазовую координату объекта, определяющую в целом длительность маневра, на которую влияют оба управляющие воздействия.

По-видимому, указанные факторы вместе со сложностью математической модели корабля и, в частности, ПА, описывающей его пространственное движение, не позволили получить теоретическое решение задачи координированного управления силовой установкой и рулями при оптимизации «глубоких» маневров корабля при существенном упрощении его математической модели (до модели квазиустановившегося движения).

Современные МПО относятся к классу сложных динамических объектов и обладают рядом специфических свойств и характерных особенностей с точки зрения управления. Математические модели их пространственного движения вместе с моделями силовой установки, технических средств и систем управления представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. При комплексной постановке задачи оптимального управления таким подвижным объектом, предусматривающей выработку скоординированных управляющих воздействий на рулевые органы и на силовую установку, решение её «в лоб» с использованием полной (подробной) математической модели динамики практически невозможно. Аналитические трудности требуют существенных упрощений модели, связанных с понижением порядка системы дифференциальных уравнений до перехода к моделям, описывающим квазиустановившиеся процессы и установившиеся состояния. Таким образом, используется редукция к более простым задачам и решениям с последующей проверкой корректности полученных решений на полных математических моделях процессов управления с оценкой отклонений уровней показателей эффективности от их «идеализированных» значений.

Аналогичные трудности аналитического порядка имеют место и в области управления летательными аппаратами (JIA). Однако в области механики полета и в ракетно-космической области известно огромное количество решенных задач оптимизации. Прежде всего, это работы Р. Годдарта, Г. Оберта, Г. Гамеля, А. Миеле [94], П. Чикала, Дж. Лейтмана [83], Л. Келли, М. Гарбелла, A.A. Космодемьянского, Д.Е. Охоцимского, Т.М. Энеева, И.В. Остославского [103, 104, 105], главным образом A.M. Летова [84], В.Ф. Кротова, И.М. Шароновой [146] и др. В этих работах, подробно описанных в сборниках [103,128,146], ставились и решались следующие задачи оптимизации:

- расчет максимальных скоростей полета;

- расчет максимальной дальности полета;

- расчет максимальной продолжительности полета;

- расчет характеристик оптимального виража,

- расчет оптимальных режимов набора высоты по различным критериям оптимальности, в том числе, за минимальное время, с минимальным расходом топлива, с наиболее крутым подъемом или с кратчайшим участком горизонтального пути (А. Миеле, Л. Келли, М. Гарбель).

Важное прикладное значение здесь имеют, прежде всего, задачи оптимизации траекторий движения объекта и режимов работы рулевых органов и силовой установки, а также задачи выявления предельных значений летных характеристик (маневренность, поворотливость и т.п.), оцениваемых по временным и по траекторным критериям. Решение этих задач удалось получить только при существенных упрощениях математических моделей управляемых процессов, однако их главная ценность заключается в том, что выявленные свойства экстремалей и характеристик траекторий движения позволили сформулировать принципы управления и перейти к проектированию рациональных структур управляющих систем, обеспечивающих близкое к оптимальному управлению ЛА. Аналогов таких работ в области управления пространственными маневрами ПА не существует.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методов повышения качества пространственного движения морских подвижных объектов по временным и траекторным критериям оптимальности на основе ко ординированного управления подсистемами — силовой установкой и рулевыми устройствами.

Главной научной задачей диссертационной работы является разработка комплекса конструктивных математических моделей для анализа и синтеза методов и структуры координации подсистем, выявления предельных маневренных возможностей морских подвижных объектов при оптимальной координации силовой установки и рулевых устройств. Исследование с помощью конструктивных моделей характеристик экстремальных траекторий и определение принципов формирования согласованных управляющих воздействий на силовую установку (СУ) и рулевые устройства (РУ) как базы для научно обоснованного проектирования функциональных, алгоритмических и технических структур координирующей системы управления техническими средствами комплекса маневрирования МПО.

Для достижения поставленных целей в работе поставлены и решены следующие научные и практические задачи:

1. Разработка конструктивных математических моделей для оптимальной координации процессов пространственного маневрирования подводного аппарата с воздействиями на рулевые устройства и силовую установку. Разработка моделей и методов обеспечения безопасности маневров - выполнения ограничений на допустимые значения потенциально-опасных координат объекта — крен и дифферент. При этом в качестве критерия оптимальности принимался максимум скорости выполнения маневра при использовании максимально допустимых воздействий на рулевую установку. Этот критерий обеспечивает минимум радиуса циркуляции при установившемся движении аппарата и минимум времени осуществления пространственного маневра с одновременным изменением глубины и курса или максимума кривизны траектории пространственного маневра по глубине и курсу.

2. Разработка и исследование математических моделей, структуры, параметров оптимальных траекторий движения ПА на длительных по времени участках маневрирования, анализ взаимодействия различных управляющих воздействий и формирование принципов координированного управления силовой установкой и рулевыми устройствами.

3. Разработка моделей для определения предельных маневренных возможностей ПА как объекта управления с воздействием на силовую установку и рулевые устройства с количественной оценкой достигаемых результатов. Определение основных закономерностей, связывающих временные и траекторные критерии качества (радиус циркуляции, кривизна траектории) с отклонениями рулей и скоростей хода на установившихся участках движения.

4. Разработка моделей с целью сравнения закономерностей для ПА с известными закономерностями для летательных аппаратов (ЛА) при осуществлении правильного виража (с креном) и виража со скольжением (без крена), полученными И.В. Остославским и И.В. Стражевой [103,104,105].

5. Формирование функциональной и алгоритмической структур системы координированного управления СУ и РУ как системы с обратными связями, обеспечивающих квазиоптимальное качество и достижение предельных маневренных свойств ПА.

Для достижения главных целей и основных задач развиты математические модели вычислительных методов конечномерной оптимизации, обеспечившие возможность решение поставленных задач с учетом выявленных при проведении исследований возможностей, а именно наличие невыпуклых областей допустимых решений. Последний фактор привел к необходимости рассмотрения задач глобальной оптимизации.

Для целей оценки качества предложенных принципов управления и структур системы координированного управления проведены вычислительные эксперименты на полных математических моделях пространственного движения ПА. При этом учтены модели локальных систем управления, характеризующихся наличием звеньев с существенными нелинейностями (ограничение скоростной характеристики сервомоторов и наличие упоров на перемещение, звенья типа «люфт» и «гистерезис» и т.п.). Разработаны и программно реализованы в среде Программного Вычислительного Комплекса «Моделирование в технических устройствах» (ПВК «МВТУ») [64] компьютерные модели комплекса «МПО-СУ-РУ» с визуализацией линейных и угловых перемещений ПА с эффектами «виртуальной реальности».

Для повышения качества вычислительных экспериментов и оценки эффективности принципов координации и организации структур системы координированного управления получены новые научные результаты в части моделирования звеньев с широким набором типовых кусочно-линейных и разрывных нелинейностей, в том числе многозначных.

Объектом исследования являются математические модели морских подвижных объектов, наиболее развитыми из которых являются подводные аппараты.

Предметом исследования является разработка математических моделей для оптимальной координации подсистем управления ПА процессами пространственного маневрирования по временным и траекторным критериям на основе конструктивных математических моделей нелинейного объекта в виде подводного аппарата.

При разработке и исследовании использовались: теория корабля, теория дифференциальных уравнений, теория оптимального управления, методы конечномерной оптимизации, методология моделирования сложных динамических систем, системные методы численного интегрирования «жёстких» систем дифференциальных уравнений и теория нелинейных операторов для моделирования исполнительных механизмов с нелинейностями типа «ограничения скоростной характеристики», «упоры руля», «гистерезис», «люфт» и др.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

5.5 Выводы

1. Разработана интегрированная математическая модель системы координированного управления подводным аппаратом для качественного исследования динамики СКУ, а также методика проведения вычислительного эксперимента на основе создания в среде отечественного ПВК «МВТУ».

2. Комплекс вычислительных экспериментов подтвердил эффективность предложенных принципов координированного управления силовой установкой и рулевыми устройствами подводного аппарата на основе полученных количественных оценок достигаемых результатов.

3. Разработана технология создания в ПВК «МВТУ» виртуальных пультов управления с новыми способами отображения динамической информации.

4. Реализация на базе ПВК «МВТУ» эффективных методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений обеспечила возможность моделирования процессов в реальном и ускоренном масштабах времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе содержится новое решение актуальной задачи — задачи разработки конструктивных математических моделей для координации подсистем управления функциональным комплексом средств обеспечения движения и маневрирования подводных аппаратов.

Основными научными результатами диссертации являются:

1 Сформулированы задачи разработки комплекса математических моделей для координации подсистем управления процессами пространственного маневрирования подводного аппарата как многомерного объекта с несколькими управляющими органами различной физической природы — гидродинамическими рулями и силовой энергоустановкой с движителями при учёте реальных ограничений и динамических характеристик средств и ограничений на координаты движения подводного аппарата.

2 На основе разработанных математических моделей выявлен ряд новых свойств аппарата как многомерного объекта управления, определены структуры оптимальных траекторий, роль и взаимодействие совокупности координируемых органов при управлении режимами пространственного движения объекта, а также его экстремальные маневренные свойства.

3 На основе конструктивных нелинейных математических моделей подсистем объекта и задач нелинейного программирования (в частности, геометрического программирования) предложены новые способы и алгоритмы координации автоматизированных рулевых машин и силовой установки, обеспечивающие режимы, близкие к оптимальным по быстродействию:

• маневры аппарата по курсу с одновременной минимизацией радиуса циркуляции;

• пространственные маневры корабля по курсу и глубине с одновременным изменением курса и глубины.

4 Разработаны новые эффективные способы и алгоритмы управления координатами объекта с помощью комплекса рулевых органов, основанные на учёте естественно возникающих при циркуляции сил и моментов на корпус, а также сил от изменения угла крена в процессе осуществления маневров.

5 Разработаны математические модели динамики комплекса «аппарат-ДДК-рули» для разработки принципов и структур организации систем управления процессами пространственного маневрирования подводными аппаратами.

Основные научные положения, выводы и рекомендации базируются на использовании методов математического моделирования, теории корабля, теории автоматического управления, теории оптимальных процессов, результатов моделирования и вычислительных экспериментов.

Научное значение работы состоит в разработке комплекса математических моделей для решения задач автоматизации подводных аппаратов на основе координированного управление совокупностью автоматизированных технических средств, обеспечивающих движение и маневрирование подводного аппарата.

Практическое значение работы состоит в следующем: 1. В среде отечественного ПВК «МВТУ» разработана математическая модель автоматизированного подводного аппарата с элементами анимации и виртуальным пультом управления, обеспечившая возможность выявления специфических свойств объекта оптимального управления путем проведения вычислительных экспериментов. Разработана сетевая версия автоматизированного комплекса моделирования ПА с помощью стандартных средств ПВК «МВТУ».

2. Разработана технология создания моделей для целей исследования процессов управления и создания компьютерных тренажеров и имитаторов для проведения функциональных испытаний реальной аппаратуры систем управления.

3. Разработана инженерная методика синтеза алгоритмов координированного управления в многоуровневой системе управления двигательной установкой и рулями, основанная на аналитических и численных методах моделирования.

4. Разработаны принципиальные способы управления и функционально-алгоритмические структуры систем управления функциональным комплексом движения и маневрирования аппарата, обеспечивающие повышение качества процессов управления на основе координации взаимодействия в различных режимах использования.

159

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Некоторые вопросы теории нелинейных систем автоматического регулирования с разрывными характеристиками. Труды I конгресса ИФАК, т. 1, изд. АН СССР. 1961.

2. Алексеев A.C. Двухпозиционный регулятор температуры с зоной опережения // Памяти A.A. Андронова.-М.:Изд-во АН СССР, 1955, с.45-76.

3. Алексеев A.C. Электронная модель двухпозиционного регулятора с зоной опережения. -М.:Изд-во АН СССР, 1952, т.57, №3, с.393-396.

4. Андронов A.A., Баутин H.H., Горелик Г.С. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в чувствительном элементе. — Автоматика и телемеханика, 1946, № 1.

5. Андронов A.A., Понтрягин JI.C. Теория «грубых» систем (или «Грубые системы»). ДАН СССР, 1937, т. 14, № 5, с. 247 (или с. 356-359).

6. Антомонов Ю.Г. Расчет систем, оптимальных по быстродействию (управление судном по курсу). JL: Изд-во «Судостроение», 1964.

7. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в выпуклом программировании. В сб. Модели и методы исследования операций. — Новосибирск: Наука, 1988. с 4-22.

8. Астров В.В., Симаков И.П. Проблемные задачи развития теории и методов проектирования структур многофункциональных систем управления комплексами технических средств судов. — «Судостроительная промышленность. Сер. Автоматика и телемеханика». 1988, Вып. 6.

9. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. — М.: Изд-во «Машиностроение», 1968.

10. Баринов Н.Г. Оптимизация процессов и систем управления в судовой автоматике. — JL: Изд-во «Судостроение», 1976.

11. Басин A.M. Ходкость и управляемость судов. М.: Изд-во «Транспорт», 1968.

12. Белова Д.А., Нетушил A.B. Об абсолютной устойчивости систем регулирования с неоднозначными нелинейностями типа «люфт» и «упор». — Автоматика и телемеханика, 1967, № 12. с. 58 64.

13. Березин С .Я., Тетюев Б. А. Системы автоматического управления движением судов по курсу. — Л.: Судостроение, 1974.

14. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа, Москва, «Радио и связь». 1987.

15. Бессекерский A.B., Попов Е.В. Теория автоматического регулирования. -М.: Наука, 1970.

16. Бойчук Л.М. Метод дифференциального спуска для решения задач выпуклого программирования, использующий принцип функционального управления. Кибернетика, 1976, № 1.

17. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. 2-е издание. -М.: изд-во «Наука», 1969.

18. Борисов В.Г., Данилова С.К., Чинакал В.О. Исследования по созданию перспективных систем управления морскими подвижными объектами и разработке тренажерных систем. В Специальном выпуске журнала «Проблемы управления», 2009, № 3.1, с. 103 - 106.

19. Брусин В.А. Об абсолютной устойчивости следящей системы с люфтом. Изв. вузов. Радиофизика, т. VII, № 3, 1964.

20. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика пространственного движения самолета. М.: Машиностроение, 1967.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.

22. Войткунский Я.И., Першиц Р.Я., Титов И.А. Справочник по теории корабля. Л.: Судостроение, 1973. - 511 с.

23. Ветчинкин В.П. Динамика полёта. М.: Госмашметиздат, 1933.

24. Волик Б.Г. Автоматизация управления подводными лодками (Опыт создания автоматизированных управляющих систем многоагрегатными техническими комплексами). Автоматика и телемеханика, 1999, № 6.

25. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Наука, 1985.

26. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов. — Изв. вузов. «Математика», 1958, №5.

27. Гарбер Е.Д. Вопросы оптимального управления объектами с несколькими управляющими воздействиями. В сб. статей по проблемам создания систем управления судовыми техническими средствами. Вып. 15. — JL: «Судостроение», 1972.

28. Гарнвелл Г.П. Физика подводной лодки. Журнал «Успехи физических наук», т. XXXVI, вып. 4, 1948.

29. Гелиг А.Х. Исследование устойчивости нелинейных разрывных систем с неединственным положением равновесия. — Автоматика и телемеханика, 1964, №2.

30. Гелиг А.Х., Комарицкая О.И. Абсолютная устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия в критических случаях. Автоматика и телемеханика, 1966, № 8.

31. Гернет Н. Об основной простейшей задаче вариационного исчисления. СПб.: тип. Ю.Н. Эрлих (влад. А.Э. Коллинс), 1913. - XII, 154 е., черт., 28 см. (Магистерская диссертация. — Политехнический институт им. Петра Великого, СПб, 1913).

32. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — Москва, «МИР», 1985.

33. Гольдфарб JI.C. О некоторых нелинейностях в системах регулирования. — Автоматика и телемеханика, 1947, №5.

34. Горбатенко В.Н. Градиентный метод нахождения седловых точек при ограничениях. Изв. АН СССР, «Техническая кибернетика», 1972, № 6.

35. Горбатенко С.А., Макашов Э.М., Полушкин Ю.Ф., Шефтель JI.B. Механика полёта (Общие сведения. Уравнения движения). Инженерный справочник. М.: «Машиностроение», 1969.

36. Горбатенко С.А., Макашов Э.М., Полушкин Ю.Ф., Шефтель JI.B. Расчёт и анализ движения летательных аппаратов. Инженерный справочник. М.: «Машиностроение», 1971.

37. Гулько Ф.Б. Об одном свойстве оптимальных процессов. — Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1963, № 1.

38. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. М.: «Мир».- 1972,- 308 с.

39. Добровольский С.Д. Уточненное математическое описание люфта и интегратора с ограничением. Труды ЦНИИ «Аврора», 1985, вып.10.

40. Дорри М.Х. Автоматизация управления морскими подвижными объектами. В Специальном выпуске журнала «Проблемы управления», 2009, №3.1, с. 94-102.

41. Доценко А.И., Кудинов В.К. Система координированной стабилизации курса судна. В сб. Трудов по теории инвариантности.

42. Евтушенко Ю.Г. Численный метод поиска глобального экстремума функции. ЖВМ и МФ, 1971, № 6.

43. Еремин И.И. Линейная оптимизация и системы линейных неравенств: учеб. пособие для вузов. Издательский центр «Академия», 2007.- 256 с.

44. Ефимьев H.H. Основы теории подводных лодок. М.: Военное издательство Министерства обороны СССР, 1965.

45. Зимин М.Ф. Об уравнениях, определяющих площади, объемы и их границы. «Математическое образование», 1930, №1, с.22-26.

46. Зубов В.И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Судостроение, 1966.

47. Иванов Л.Л. К решению задач с функциями, имеющими разрывные производные или разрывы непрерывности. Сборник научных работ МВТУ им. Н.Э. Баумана, выпуск 87, 1958, с. 126-157.

48. Иванов Л.Л. Начало аналитической теории разрывных функций и расчет нелинейных электрических цепей. Электричество, 1960, № 9, с. 2329.

49. Игнатьев М.Б., Воронов А. А. Об отыскании экстремумов функций в автоматических системах. — Доклад, представленный на Второй Международный конгресс ИФАК. Москва, 1963.

50. Игнатьев М.Б. Голономные автоматические системы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963.

51. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач, — Москва, «Наука», 1974.

52. Калачёв Г.С. Показатели маневренности, управляемости и устойчивости. — М.: Оборонгиз, 1958.

53. Карлин С. Математические методы в теории игр, программирования и экономике. Изд-во «Мир», 1964.

54. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука,1975.

55. Коган Б.Я. О моделировании систем автоматического регулирования при наличии типичных нелинейных характеристик. — Автоматика и телемеханика, т. XVI, 1955, № 2.

56. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 168 с.

57. Козлов В.Н. К аналитическому решению систем линейных алгебраических неравенств // Автоматика и телемеханика, 1989, №4. с. 104107.

58. Козлов В.Н. Предельные возможности методов аналитической оптимизации в конечномерных пространствах // В сб. материалов Международной конференции «Фундаментальные исследования в технических университетах». СПб.: СПбГПУ, 2003.

59. Козлов В.Н., Бугаева Е.А. Метод внешних и внутренних эллипсоидов для аналитического решения систем алгебраических неравенств // В сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах». СПб.: СПбГПУ, 1998, с 51-52.

60. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Математическое моделирование и оптимизация динамики морских объектов. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. СПб.: 2010.

61. Козлов О.С. Инструкция по применению программного комплекса ПК «МВТУ». М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана.

62. Козлов Ю.В. О неработоспособности динамических систем с «оптимальными» регуляторами, синтезированными методамианалитического конструирования. — «Научно-технические ведомости СПбГПУ», 4-2(52)/2007, с. 165-168. СПб.: изд. СПбГПУ, 2007.

63. Кондратьев С.И. Методы автоматического управления судами // Под. ред. В.Н. Козлова. СПб.: изд. СПбГПУ, 2002.

64. Корчанов В.М. К созданию нового класса интегрированных систем управления движением корабля. — В Научно-техническом сборнике ФНПЦ «НПО «Аврора», вып. 5, 2003.

65. Крутова И.Н. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением. Автоматика и телемеханика, 1999, №4, с.27-43.

66. Кузнецов H.A., Лубков A.B. Управление движением судна по траектории. В сб. Трудов Института проблем управления АН СССР «Теоретические вопросы построения АСУ транспортными судами» // Под. ред. академика В.А. Трапезникова. — М.: Наука. - с. 19-23.

67. Ларичев О. И. О единственности оптимального по быстродействию управления в одном классе многосвязных систем. — Автоматика и телемеханика, 1965, № 1.

68. Ларичев О. И. Об одной возможной классификации линейных автоматических систем. — В сб. «Методы оптимизации систем многосвязного регулирования». М.: Изд-во «Наука», 1972, с.29 - 34.

69. Лебедев A.A., Чернобровкин JI.C. Динамика полёта. — М.: Оборонгиз, 1962.

70. Лейтман Дж. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полёта. — Под ред. Дж. Лейтмана. — М.: Наука, 1965.

71. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. I—IV. Автоматика и телемеханика, т. XXI, № 4, 5, 6, 1960; т. XXII, № 4, 1961.

72. Литовченко Ц.Г., Яковенко Ю.П. Аналитическое и структурное описание механических передач систем автоматического регулирования с ограничениями и люфтами. — Автоматика и телемеханика, т. XXII, 1961, № 8.

73. Локк М. Введение в методы оптимизации. Основы и приложения нелинейного программирования. — М.: Наука, 1977.

74. Лукомский Ю.А., Лернер Д.А., Михайлов В.А. и др. Управление морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1979. - 272 с.

75. Лукомский Ю.А., Чугунов B.C. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988. - 272 с.

76. Лукомский Ю.А., Пешехонов В.Г., Скороходов Д.А. Навигация и упрвление движением судов. СПб.: «Элмор», 2002. - 360 с.

77. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами.- СПб.: «Элмор», 1996.

78. Майгарин Б.Ж. Исследование нелинейных систем автоматического управления куром корабля и самолета // Изв. АН Казахской ССР. Серия физ.-матем. 1982. - № 3. - с. 25-30.

79. Матвеев A.C. Лагранжева двойственность в специальной невыпуклой задаче глобальной оптимизации. — Вестник СПбУ, серия 1, 1996 вып. 2 с. 37-43.

80. Матвеев A.C., Якубович В.А. Невыпуклые задачи глобальной оптимизации в теории управления. Итоги науки и техники, серия «Современная математика и ее приложения», т. 60, с. 128-175.

81. Миеле А. Механика полёта, т. 1. Теория траекторий полёта. — М.: Наука, 1965.

82. Михалевич B.C., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем. -М.: Наука, 1982.

83. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. — М.: Наука, 1981.

84. Надеждин П.В. О потере грубости при элементарных преобразованиях дифференциальных уравнений управляемых систем. Автоматика и телемеханика, № 1, 1973.

85. Надеждин П.В. О практической неустойчивости (негрубости систем, синтезированных по методу 1. Автоматика и телемеханика, № 5, 1973.

86. Наумов Б.Н., Цыпкин ЯЗ. Частотный критерий абсолютной устойчивости процессов в нелинейных системах автоматического управления. Автоматика и телемеханика, 1964, № 6.

87. Нетушил A.B. Нелинейное звено типа упор. Автоматика и телемеханика, 1968, № 7. с. 175-178.

88. Нетушил A.B. О нелинейности типа упор. Изв ВУЗов. Электромеханика, 1966, № 4.

89. Онуфрик С.П., Фельдбаум A.A. Электронная модель люфта. — Автоматика и Телемеханика, т. XVII, 1956, № 6.

90. Остославский И.В. (ред.) Исследования по динамике полёта. — Сборник статей под ред. И.В. Остославского. -М.: Машиностроение, 1965.

91. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. -М.: Машиностроение, 1969.

92. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Устойчивость и управляемость летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1965.

93. Пантов E.H., Махин H.H., Шереметов Б.Б. Основы теории движения подводных аппаратов. Л.: Судостроение, 1973. - 216 с.

94. Первозванский A.A. Трение сила знакомая, но - таинственная. — Соросовский образовательный журнал, № 2, 1998.

95. Петров Ю.П. Оптимизация управления систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. «Судостроение», 1973.

96. Петрук С.И., Сапожников Л.А. Методы моделирования некоторых типичных нелинейных характеристик. Труды ЦНИИКА, 1964, выпуск 10.

97. Пиявский С.А. Один алгоритм отыскания абсолютного экстремума функции. ЖВМ и МФ, 1972, № 4.

98. Полуэктов P.A. Ограничения, вызванные объектом в задачах синтеза многомерных замкнутых систем. Автоматика и телемеханика, №3, 1966.

99. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. — М.: «Мир», 1974.

100. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

101. Поляк Б.Т. Итерационные методы, использующие множители Лагранжа для решения экстремальных задач типа равенств. — ЖВМ и МФ. — 1970, № 5.

102. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теории оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

103. Попов В.М. Абсолютная устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования. — Автоматика и телемеханика, 1961, № 8.

104. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования. Атомная энергия, 1994, т.76, вып.1. с.З-11.

105. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом. Автоматика и телемеханика, 1998, № 3, с.57-68. // Compt/Math/ Model, 1997, v.8, № 3, р.62-72.

106. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения (перевод с английского). -М.: Мир, 1980. (гл. 10 «Остойчивость судов»).

107. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1982. - 190 с.

108. Рвачев В.Л. Геометрические приложения алгебры логики. Киев: «Техника», 1967, с. 209.

109. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике, т. 1,-Москва, «МИР», 1986.

110. Рождественский В.В. Динамика подводной лодки. Л.: «Судостроение», 1970.

111. Розенфельд A.C., Яхинсон Б.И. Переходные процессы и обобщенные функции. -М.: Наука, 1966.

112. Рыбашов М.В. Градиентный метод решения задач выпуклого программирования на электронной модели. — Автоматика и телемеханика, 1965, № 11.

113. Рыбашов М.В., Дудников Е.Е. Методы решения задач математического программирования на аналоговых вычислительных машинах общего назначения (Обзор). — Автоматика и телемеханика, 1967, № 5.

114. Рыбашов М.В., Дудников Е.Е. Градиентные методы решения линейных равенств, неравенств и задач линейного программирования на ABM. М.: «Советское радио», 1970.

115. Сборник переводов «Исследование оптимальных режимов движения ракет». М.: Оборонгиз, 1959.

116. Симаков И.П. О некорректности некоторых методов синтеза статистически оптимальных систем автоматической стабилизации объектов. Автоматика и телемеханика, №3, 1974.

117. Смольников Л.П., Бычков Ю.А. Расчет кусочно-линейных систем.- Л.: «Энергия», 1972, с. 161.

118. Соболев Г.В. Управляемость корабля и автоматизация судовождения. Л.: Судостроение, 1976. - 477 с.

119. Солодовников В.В. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Кн.З, 4.1. — М.: Наука, 1961.

120. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в системах с ограниченными координатами. ПММ, 1962, т. 26, вып. 3.

121. Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач — Изд-во Ленинградского университета, 1971. —167 с.

122. Федяевский К.К., Соболев Г.В. Управляемость корабля. Л.: Судпромгиз, 1963.

123. Фернер В. О нелинейных звеньях в системах автоматического регулирования. Труды I конгресса ИФАК, т. 1, изд АН СССР. 1961.

124. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, № 11, с. 2086-2088.

125. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -Москва, «Мир», 1975.

126. Ховгард Виллиам. Плавучесть и остойчивость подводных лодок. -Ревель, тип. Авг. Миквиц, 1917.

127. Цянь Сюэ-сень. Техническая кибернетика. Изд-во иностр. лит.,1956.

128. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. -ПИТЕР, 2004.

129. ЧуркинВ.И. Оптимальное управление расхождением судов. Л.: Судостроение, 1989.

130. Шаронова И.М. Достаточные условия относительного экстремума в задачах динамики полета. — В сб. «Исследования по динамике полета» // Под ред. И.В. Остославского. Вып. 2. М.: Изд-во «Машиностроение», 1969, с. 260 — 283.

131. Щербаков П.С. Достаточное условие робастной устойчивости неопределенных матриц // Автоматика и телемеханика, 1998, № 8, с. 71-79.

132. Эткин Б. Динамика полёта. Устойчивость и управляемость. — Пер. с англ. — М.: Машиностроение, 1964.

133. Удзава X. Итерационные методы вогнутого программирования. -В сб. Эрроу К. Дж., Гурвиц Д., Удзава X. «Исследования по линейному и нелинейному программированию». — Изд-во инстр. лит., 1962.

134. Якубович В.А. Об одном методе решения специальных задач глобальной оптимизации. Вестник СПбГУ, серия 1, 1992, вып. 2 с. 58-68.

135. Янушевский Р.Т. О грубости решения задачи аналитического конструирования регуляторов // Автоматика и телемеханика, № 3, 1966.

136. Arrow K.J., Hurwics L., Uzawa H. Conctrain Qualifications in Maximization Problems. Navy Research Logist Quarterly, v. 8, No. 2, 1961.

137. Courant R. Variational methods for the problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc., vol. 49, 1943.

138. Luenberger D.G. Observing the state of a linear system. IEEE Trans, on Military Electronics, v. 8, N0. 2, 1964.

139. Pearson J.B. compensator design for dynamic optimization. Intern. J. Contorl, v.9, N0.4, 1969.

140. Valentine F.A. The problem of Lagrange with differential inequalities as added side conditions. Diss. Depart. Chicago, Illinois, 1937.

141. Zeeman E.C. Catastrophe Theory: Selected Papers 1972-1977. -London: Addison Wesley, 1977. (Глава 17. «А Catastrophe Model for the Stability of Ships», c. 441-497).

142. Karush W. Minima of Functions of Several variables with Inequalities as Side Constrains. M.Sc. Dissertation. Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois. Available from hUp://wwwlib/umi/com/ffor a free).

143. Kuhn H.W., Tucker A.W. "Nonlinear programming". Proceeding of 2nd Berkeley Symposium. Berkley: University of California Press, pp.481-492.

144. Козлов Ю.В. Математические модели оптимизации движения подводного аппарата на циркуляции. «Научно-технические ведомости СПбГПУ». Серия «Информатика. Телекоммуникации. Управление». Вып.1. СПб.: изд. СПбГПУ. 2010. с. 55-58.

145. Филиппов A.B. Теория разрывных дифференциальльных систем. М.: Наука. 1985.

146. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.: Наука. 1983.

147. Чуа JL, Пень Мин Лиин. Машинный анализ электронных схем. М.: «Мир». 1980.

148. Козлов Ю.В. Анализ грубости методами функционального анализа. п. 5.6. в кн. В.Н. Козлов, В.Е. Куприянов, В.Н. Шашихин «Управление энергетическими системами. Часть 1. Теория автоматического управления». - СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2007. - с. 236-239.

149. Козлов Ю.В., Симаков И.П. Развитие градиентных методов решения задач конечномерной оптимизации с невыпуклыми областями допустимых решений. В сб. «Измерительные, вычислительные и управляющие системы». - СПб.: Изд-во СПбГПУ. 2009.