Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий

Сотников, Сергей Викторович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий

кандидата технических наук: Сотников, Сергей Викторович
город: Казань
год: 2005
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий»

Автореферат диссертации по теме "Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий"

На правах рукописи

СОТНИКОВ СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ МОБИЛЬНЫХ И СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ С УЧЕТОМ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Специальность: 05713.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Казань 2005

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете имени А.Н.Туполева (КАИ)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Моисеев Виктор Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Маликов Александр Иванович доктор технических наук, профессор Корнилов Владимир Юрьевич

Ведущая организация: Институт проблем информатики Академии

НаукРТ

Защита состоится У^" 2005 г. в /Ч часов

на заседании диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу: 420111, ул. К.Маркса, 10, КГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.

Автореферат разослан " ^ " 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, г/ТУ) V

доктор физико-математических наук, профессор ¿Ив^Р»^'^1 П.Г.Данилаев

Шл

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Функционирование сложных герриториально-распределенных систем подразумевает решение задач оптимального размещения входящих в них мобильных и стационарных объектов. Примерами таких задач являются задачи размещения средств технического обслуживания и ремонта изделий авиационной техники в полевых условиях эксплуатации, средств мониторинга различных параметров окружающей среды, нефтегазодобывающий предприятий, пунктов управления АСУ артиллерии тактического звена, электрорадиоэлементов на печатных платах, станций скорой помощи, пожарных депо, телефонных станций, пунктов переработки сельскохозяйственной продукции и др.

Вопросы моделирования и решения различных задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов рассматривались в работах Винке Ф., Галиева Ш.И., Дрезнера 3., Канторовича'Е.Г., Криртофидеса Н,, Моудера Дж., Раенко Н.В., Сатгарова А.З., Уайта Д.А., Френсиса Р.Л., Фернандеса Д., Франка Ф.М., Элматраби С. и других отечественных и зарубежных ученых.

Анализ существующих работ позволил выделить такие их основные особенности, как большое разнообразие используемых моделей, часто применяемых' к решению однотипных задач, отсутствие общих подходов к решению многокритериальных задач оптимального размещения, отсутствие общих методов и алгоритмов решения задач оптимального размещения с учетом случайных факторов и наличия ограничений.

Таким образом, актуальной является задача разработки общих подходов к решению задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов различной природы с учетом внешних воздействий.

Целью работы является разработка математических моделей и методов оптимального размещения и решение с их использованием практических задач, учитывающих различные ограничения на размещение рассматриваемых объектов.

Задачи исследования:

1. Анализ проблемы оптимального размещения объектов, обзор существующих математических моделей и методов.

2. Постановка задачи детерминированного и стохастического оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.

3. Применение разработанных математических моделей для решения практических задач оптимального размещения объектов различной природы.

4. Модификация метода штрафных функций для решения задачи оптимального размещения объектов.

5. Разработка методики решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.

Методы исследования. При решении сфс

используются модели и методы нелинейного

оптимизации, теории графов, теории вероятностей, векторной оптимизации, теории обыкновенных регулярно-возмущенных и сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений, элементы матричного анализа.

Научная новизна:

1. На основе обобщения существующих подходов и постановок разнообразных практических задач предложена классификация задач оптимального размещения объектов.

2. На основе разработанных математических моделей размещения предложены оригинальные модели решения оптимального размещения различных видов объектов, с учетом действующих на них внешних воздействий.

3. Предложен и обоснован сингулярный метод решения задачи оптимального размещения объектов с учетом ограничений.

4. Предложен алгоритм решения задач оптимального размещения большой размерности с использованием средств распределенной обработки информации.

5. На основе проведенных исследований и разработок предложена методика решения задач оптимального размещения с учетом внешних воздействий.

Достоверность результатов обеспечивается корректным применением математического аппарата и результатами решения практических задач, подтвержденными актами об использовании и внедрении.

Практическая ценность работы. Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из практических потребностей в оптимальном размещении различных видов объектов. Решение этих задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР по договорам о научно-техническом сотрудничестве между КГТУ им. А.Н. Туполева и Федеральным научно-производственным центром по радиоэлектронным системам и информационным технологиям (ФНПЦ "Радиоэлектроника"), а также Казанским филиалом Военного артиллерийского университета (шифр «Краснополь»), Часть задач выполнялась в составе НИР "Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий, моделирования и управления. Этап 2001 г. Математическое моделирование и информатика оптимальных решений в технологиях и управлении" в рамках выполнения договора-подряда № 05-5.2.3/ 2001 (ФП) с Академией Наук Республики Татарстан.

Предложенная в'работе методика позволяет снизить затраты времени на постановку, формализацию и алгоритмизацию реальных задач, учитывающих всевозможные воздействия на объекты размещения. Для решения задачи оптимального размещения большой размерности предлагается в целях экономии времени решать их в распределенной вычислительной среде.

Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы, в том числе их программная реализация были использованы и внедрены в ФНПЦ "Радиоэлектроника" и Казанском филиале Военного артиллерийского университета. Отдельные результаты работы были также использованы в учебном процессе кафедры Прикладной математики и информатики КГТУ им. А.Н.Туполева.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Всероссийских Туполевских чтениях студентов "Актуальные проблемы авиастроения" (г. Казань, 1997), III Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы РТ" (г. Казань, 1997), Всероссийской студенческой научной конференции "Королёвские чтения" (г. Самара, 1997), I Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 1998), Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" (г. Рязань, 1999), Международной молодёжной научной конференции "XXVI Гагаринские чтения" (г. Москва, 2000), II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), Второй Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), LV Научной сессии РНТОРЭС им. A.C. Попова (г. Москва, 2000), IV Международной научно-практической конференции "Системный анализ в проектировании и управлении" (г, Санкт-Петербург, 2000), "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 2000), Международной молодёжной научной конференции "XXVII Гагаринские чтения" (г. Москва, 2001), Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" (г. Казань, 2001), Третьей Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2001), III Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), Республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные технологии" (г. Казань, 2001), Международной молодежной научно-технической конференции "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" (г. Уфа, 2001),. Первом Республиканском Форуме молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), VIII Че-таевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 2002).

Публикации, структура диссертации. Основное содержание диссертации отражено в 23 печатных работах, в том числе в 3 научных статьях. Материалы диссертации вошли также в 6 отчётов по НИР, в которых автор принимал участие как исполнитель НИР. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 134 страницы основного текста, 29 рисунков, 19 таблиц; список литературы включает J02 наименования; объём приложений - 25 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы проводимых исследований, сформулирована цель работы, задачи исследования и разработок, отражена их практическая ценность, приведена структура диссертации.

В первой главе проводится анализ существующих решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий, таких как выход из строя объекта размещения вследствие различных причин (отказ оборудования, поражение огнем противника, ударные нагрузки и т.д.), воздействие объектов размещения на область размещения (вредное производство и т.д.), всевозможные случайные факторы (запросы на обслуживание, природные катаклизмы и т.п.). На основе этого анализа и обобщения существующих подходов предложена классификация задач оптимального размещения с учетом внешних воздействий, представленная на рис. 1.

Рис. 1

Отмечается отсутствие общих подходов к решению различных задач оптимального размещения с учетом действующих на них внешних воздействий. В работе рассматривается следующая постановка задачи: «Пусть имеется две группы объектов А и В, включающие в себя соответственно тип объектов различной природы, испытывающих на себе действие факторов различной природы Эти объекты должны быть размещены на плоскости в заданной области 5».

Оптимальность размещения объектов в общем случае будем оценивать векторным критерием:

/ = (/./г,-.Л)->тт , (1)

где г-тая компонента представляет собой зависимость вида

Л=/Л€\>4г>->£т,т11>Пг,—,111,), (2)

а вектора , > - и ,,■■ ■, ?7„ описывают местоположение двух групп объектов А и В. Каждый вектор £ и тд характеризуется парами (х„у,) и ,)

декартовых координат в области 5.

При размещении объектов в этой области будем рассматривать следующие группы условий: 1) ограничения, накладываемые на координаты объектов группы А, 2) ограничения, которым должны удовлетворять координаты объектов группы В, 3) ограничения на совместное расположение объектов групп А и В.

Ограничения первых двух групп должны отражать требования того, что координаты векторов £ и г]}, во-первых, должны принадлежать области 5 и , во-вторых, не располагаться на запрещенных участках этой области. Так если область 5 представить прямоугольником ахЬ, а запрещенные участки области аппроксимировать кругами, то первая группа ограничений записывается в виде системы неравенств

О <х,<Ь, 0 <,)>,< а,

(*< - )2+(и - ^ )2 г К )2 =И- 1*=(Щ- (з)

Здесь - соответственно координаты центра и величина радиуса I -

того запрещенного участка области Б, М - количество участков области 5, запрещенных для размещения объектов группы А. Если на области 5 задан плоский граф и имеет место требование, что объекты группы А в обязательном порядке должны размещаться в вершинах и на ребрах этого графа, то в дополнение к условиям (3) добавляются ограничения вида

(ад)е^. / = (1^). (4)

Ограничения на координаты объектов группы В в общем случае имеют аналогичный вид

0<х^ <Ь,0<У;<а,

{7J-X^.)2+{УJ-У|.)2*M^ (5)

У=(й), /.-(и*)

Третья группа ограничений определяет выполнение метрических, физических и других требований, накладываемых на взаимное расположение объектов в области 5. Запишем такие ограничения в общем случае в виде неравенств

-,>?„)$О, (6)

Таким образом, общая постановка детерминированной задачи оптимального размещения формулируется следующим образом: «Определить координаты векторов >??2>--->77л> доставляющих минимум критерию (1) при выполнении условий (3)-(6)».

Будем считать, что при решении конкретной практической задачи объекты группы А имеют главное значение среди рассматриваемых в ней (т + п) объектов. Тогда на основе модели (1)-(6) можно сформулировать следующую задачу: Для заданных значений координат объектов группы В определить оптимальное размещение объектов группы А («прямая» задача размещения). В этом случае из общей модели исключается ограничения вида (5), а в выражениях (2) и (6) фиксируются значения векторов =77°, у = (!>")• Если задано размещение объектов группы А из рассматриваемых (т + и) объектов, то можно сформулировать «обратную» задачу размещения, а именно найти оптимальное размещение объектов группы В с учетом имеющегося размещения объектов группы А.

В работе предлагается обобщенная математическая модель задачи дискретного оптимального размещения объектов, приведенная в классификации на рис. 1, которая получается из непрерывной задачи размещения путем добавления дополнительных переменных, описывающих множество всех возможных точек размещения области 5, и ограничений, определяющих единственность размещения на этом множестве. При этом ограничения на размещение групп объектов описаны в терминах теории множеств.

На практике имеют место задачи, в которых при размещении объектов необходимо учитывать действие всевозможных случайных факторов. В этом случае векторный критерий оптимального размещения будем записывать как

шт. (7)

Здесь частные критерии в общем случае имеют вид

^^(ад,...^,^,...,»;), к=(Щ (8)

где Ч'ц - неслучайные функции случайных аргументов, в качестве которых выступают случайные вектора координат размещения 2^2г,...,2т и у'-го объекта первой группы А и 1-го объекта группы В (у' = (1,т},/ = (1,и)). Размещение объектов этих групп также осуществляется в заданной области 5 на плоскости.

При решении конкретных задач размещения используются определенные числовые характеристики вектора случайных величин (7). В качестве таковых будем использовать моменты первого и второго порядка случайных величин ^, которые будем обозначать как

иерд), ке(Щ) (9)

Отметим, что при и-1 минимизируется математическое ожидание значения критерия ^, а при и=2 - дисперсия значения соответствующего критерия. Если

выражение (8) рассматривать как предикат, описывающий наступление некоторого случайного события , то получаем еще один вид частных критериев оптимального размещения

/к=Р{Ч>к(2>,22,...,2„Щ,1Г2.....цг„)}, ке(и7) (10)

Из (7) и (8) следует, что в данном случае требуется минимизировать при размещении объектов вероятность наступления некоторого случайного события, например, вероятность попадания объектов в некоторую запрещенную область. С учетом (9), (10) запишем критерий оптимальности размещения в общем виде как

/ = (/,Л,»../»)-► пип. (11)

Условия, накладываемые на размещения объектов, будем представлять через моменты функций случайных координат размещаемых объектов и вероятности наступления требуемых событий. В общем виде запишем их как

_ __1 (12)

р{Фг{г1,гг,..„гт,1У1,щ,...,}У„)<аг}>рг, г = (л,+1,я)

Здесь Ф,,ФГ известные функции своих аргументов (г = (1,я))> аг,6,,аг, Д. - заданные величины. Кроме того, на координаты определенных объектов могут быть заданы ограничения вида

2, Е^, IV, е5„ уе(й^),/е(й) (13)

Здесь с 5, с 5 - заданные области.

В общем случае в задаче (9)-(13) искомыми значениями являются законы распределения случайных величин 2х,2г,...,2т и , (■К,,..., РГ , которые зависят

от законов распределения функций случайных аргументов 4\ и Фг,Фг, входящих в состав критериев и ограничений сформулированной задачи. В главе рассматривается взаимосвязь законов распределения при вычислении значений критериев оптимальности /к вида (9) для и=1.

Пусть вектора 2х,2г,...,2т и И^,,...,Ж, являются независимыми случайными векторами. Тогда плотность вероятности аргументов функций определяемых выражениями (8), записывается как

/,(2]>22'" '2/п'М'|>М'2'-">У1'п) ~/,|(2|>г2> "»2„)р2(И'1>м'2>-">Н'л)> (14)

где (г,,г2,...,гт), |,и'2,...,и'л) - соответственно плотности вероятности систем случайных векторов 2х,22,...,2т и ТР,,^,...,!^.

В общем случае задача оптимального стохастического размещения объектов в области 5 конкретизируется как задача поиска плотностей распределения и р2(м>х,...,\\'„), доставляющих минимум функционалу (11) при выполнении условий (12)-(13). Здесь, как и в детерминированном случае, также можно сформулировать «прямую» и «обратную» задачу оптимального размещения. Суть стохастического размещения объектов заключается в их мно-

гократном размещении, где в каждом акте размещения по полученным законам распределения с ромощью датчиков случайных чисел генерируется очередные координаты размещаемых объектов.

В практике могут встречаться задачи, в которых координаты объектов группы А или В заданы случайными величинами, а координаты искомых объектов могут быть неслучайными. В этом случае эти задачи сводятся к задачам детерминированного размещения.

В заключение главы приведена методика решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий, построенная на основе приведенной классификации и рассмотренных выше моделей.

Вторая глава посвящена разработке математических моделей и методов оптимального размещения различных видов объектов. Рассмотрим размещение мобильного средства (МС) обслуживания населенных пунктов региона, относящееся к классу задач детерминированного размещения без ограничений.

Как показала практика при решении такой задачи необходимо учитывать выход из строя средства обслуживания (отказ оборудования, уничтожение противником и т.п.). Предположим, что в области обслуживания 5 задана функция Р=Р(х,у), которая имеет смысл вероятности отказа (уничтожения) средства обслуживания, расположенного в точке с координатами (х,у)е8. Будем считать, что мобильное средство обслуживания перемещается к населенным пунктам региона с постоянной скоростью. В этом случае время обслуживания мобильным средством всех пунктов будет пропорционально общей длине всех его маршрутов из точки базирования до населенных пунктов. Тогда задачу размещения средства обслуживания предлагается решать как двухкритериальную задачу оптимизации вида

¿ = Ь(х,у)-> тт , 0 = 0(х,у)-> шах , (15)

{х.уНБ (х.у)еЗ

где Ь(х,у) = >/(*, - х)2 + (у1 - у)2, {х^у,) - координаты объектов обслужива-|«1

ния; <2~!-Р- вероятность безотказной работы средства обслуживания, размещенного в точке (х,у)еБ. Задача (15) представляет собой задачу оптимального размещения с векторным критерием оптимальности. Отметим, что в случае отсутствия критерия Q эта задача представляет собой классическую задачу Вебе-ра-Штейнера.

Для решения задачи (15) построим линейную свертку критериев вида

1(х,у,Х) = Я • 0(х,у) - (1 - Я) • Цх,у) (16)

Построение множества решений оптимальных по Парето сведем к задаче максимизации функции 1(х,у,Я) при различных значениях Яе[0,1]. При решении данной задачи в главе предлагается использовать известные численные методы для нахождения координат точки базирования мобильного средства обслуживания, применяя необходимые условия экстремума функции (16).

В практике решения задач синтеза территориально-распределенных систем специального назначения имеют место ситуации, когда объекты обслуживания размещаются случайным образом в некоторой области их дислокации. В

этом случае задача размещения формулируется следующим образом: Пусть известно, что N объектов обслуживания размещаются в случайных точках плоскости с известными математическими ожиданиями т^(тх,ту ) и дисперсиями D-(Dx ,Dy )(i=l,N). Требуется найти детерминированные координаты

точки размещения места базирования мобильного средства их обслуживания, чтобы дисперсия суммы расстояний от этого него до объектов обслуживания была минимальной, то есть

£>(р) -» min, (17)

где р = ~ +(у~ Ук) , (Х„ ^-случайный вектор, определяющий коор-

динаты размещения объектов обслуживания.

Применяя метод линеаризации и, считая, что точки размещения являются независимыми случайными величинами, получаем конкретный вид критерия оптимальности (17) вида

\2 г * ^

D(x,y)

N ■ 2 ¡=1

J(x-mx.)2 +(у~ту.)2

J(x - )2 + {у- )2

(18)

Для решения данной задачи предлагается использовать известные численные методы, применив необходимое условие экстремума для функции (18)

В данной задаче могут быть учтены ограничения, накладываемые на местоположение средства и объекта обслуживания. Например, средство обслуживания должно находится в некотором удалении от линии боевого сопрокосно-вения, а сами объекты обслуживания находятся на поле боя. Учитывая, что координата у центра обслуживания должна определяться соотношением у й тт(У|,...,Уч.)-а, где а - минимальное из расстояний по ординате до одного из объектов обслуживания, получаем, что критерий оптимальности (18) примет вид

х — тг

■Dx +

mY -а-гПу

^sj(x-™х,? + (mt, ~а~Щ,?

•Д.

Также как и в предыдущем случае предлагается получать итерационные формулы для нахождения решения, в которых величина тг = М[У] ] вычисляется по формуле вида

-со

- |рп(»-2) №.....г,-,)<1У, , -<1у\мг.)<1г-*

п-г

I Е

А = 1 Щ< <1к£п-1

/.(П)л;

В главе рассматривается математическая модель задачи размещения мобильных средств мониторинга окружающей среды региона. В составе Единой государственной системы мониторинга (ЕГСМ) окружающей среды Республики Татарстан предполагается создание и эксплуатация системы стационарных и мобильных средств автоматизации контроля экологической обстановки. Значительная стоимость создания достаточно полной сети стационарных средств контроля и обширная территория республики делает актуальной задачу оптимизации мест размещения мобильных средств (МС) автоматизации мониторинга окружающей среды. Общую задачу оптимизации центров размещения МС мониторинга можно сформулировать следующим образом: «Пусть в некоторой области 5 заданы N населенных пунктов, требующих контроля экологической обстановки. Требуется расположить минимальное число МС с радиусом действия г, осуществляющих контроль экологической обстановки в этих пунктах». В качестве примера области размещения возьмем территорию Республики Татарстан, где пунктами размещения будем считать районные центры. Критерий оптимальности размещения МС автоматизации мониторинга предлагается вычислять как

, ^^с .Ус^-^шт шах (19)

где ,УС^ | = "^Пр - количество объектов мониторинга, охватываемых /-м

мобильным средством обслуживания; (хс ,Ус) - координаты размещения /-го МС; параметр т] предлагается вычислять как

1 ,если(х,-х;)2+(у,-у,)2<г2

(20)

0 ,если(х|-х3)2+(у1-у))2>г2

Этот параметр описывает факт попадания /-го пункта обслуживания в радиус действия /-го мобильного средства. Если размещению мобильных средств

присвоить веса, выражающие стоимость размещения мобильного средства в данном пункте, то задача оптимизации размещения является классической задачей о взвешенном покрытии и может быть решена симплекс методом линейного программирования, для этого соответствующие ограничения предлагается заменить их «непрерывным» аналогом.

В главе рассматривается математическая модель задачи оптимального размещения пунктов управления (ПУ) и батарей артиллерийского дивизиона. При этом формализуется один из вариантов организации связи в артиллерийском дивизионе, исходя из предположения, что дивизион придан мотострелковому батальону, коГорый действует в обороне.

Пусть рассматриваемые объекты размещения должны связаны между собой системой проводной связи. Объекты размещения можно разбить на две группы: А) объекты, требующие размещения (передовой наблюдательный пункт (ПНП), командно-наблюдательный пункт (КНП), командный пункт командира дивизиона (КП адн), пункты управления огнем дивизиона (ПУОД)); В) объекты, имеющие постоянное размещение в заданной области (командный пункт мотострелкового полка (КП мсп), командный пункт мотострелкового батальона (КНП мсб), а также огневые позиции батарей артдивизиона). Считается, что длина располагаемого кабеля ограничена. Кроме ограничений, определяющих области размещения объектов, имеется совокупность ограничений, которые определяют запрещенные области размещения объектов. Эти ограничения определяются по конкретной карте района размещения артдивизиона. В качестве таких запрещенных областей могут выступать озеро, участки леса и т.п.

Требуется разместить указанные объекты таким образом, чтобы самое минимальное расстояние между любой парой объектов было максимальным при ограниченной длине кабеля и указанных ограничениях. Смысл этого критерия заключается в том, чтобы в случае ведения боевых действий противник мог уничтожить не более одного пункта управления. С учетом этого критерий безопасности размещения примет вид

S = min р1( —> шах, (21)

KJ *,.У,

где ptJ = ^(х, -Xjf + (y,-yJ) - расстояния между i-тым и j-тым объектом размещения

Суммарная длина потребной длины кабеля может быть представлена выражением вида

/и

где D = \j.ttj - булевская матрица, описывающая схему связи между объектами размещения; Lra6 - длина располагаемого кабеля.

Запрещенные для размещения области в общем случае определяются функциями вида fr = fr(x,y), г = \,М, где М - количество запрещенных участ-

ков области. Условие не попадания точки с координатами (х,у) во внутрь запрещенной области записывается как

Мх,У)Ъ 0. (23)

Таким образом, постановка задачи оптимизации мест размещения объектов, будет следующая: «Определить координаты объектов размещения, удовлетворяющих ограничениям (22), (23) и доставляющих максимальное значение критерию (21)».

Эта задача относится к задачам нелинейного программирования с многосвязной областью допустимых решений. Для ее решения предлагается использовать модифицированный метод штрафных функций, рассматриваемый в главе 3.

Приведенные выше задачи относятся к «прямым» задачам оптимального размещения, введенным в главе 1.

К классу задач детерминированного размещения можно отнести задачу размещения электрорадиоэлементов (ЭРЭ) на печатных платах. В отличии от известных методов их оптимального размещения в работе в качестве внешних воздействий рассматриваются значительные инерционные нагрузки, составляющие несколько десятков тысяч g. Для обеспечения прочности таких плат при их размещении в артиллерийских управляемых снарядах требуется симметричное расположение ЭРЭ относительно центра печатной платы. Такие задачи согласно приведенной классификации относятся к «обратным» задачам оптимального размещения, где в качестве одного элемента группы А выбран центр печатной платы.

Пусть на круглой печатной плате радиуса К требуется разместить п элементов с массами т1,т2, ...,тщ. Для получения осесимметричной нагрузки на печатную плату размещаемых на ней ЭРЭ потребуем, чтобы центр масс системы «плата - ЭРЭ» совпадал с центром симметрии печатной платы. Любое размещение ЭРЭ, удовлетворяющее этому условию, является сбалансированным. Это условие примет вид

1>Л=0, 2>Л=0> (24)

где =~~> ' = ('>") " относительные массы ЭРЭ; М = - суммарный вес

всех тел; (л,,у,) - декартовые координаты центра масс I -того тела.

Для оптимального размещения ЭРЭ на печатной плате требуется ввести в рассмотрение критерии оптимальности. Известно, что при воздействии на круглую плату поперечной ударной инерционной нагрузки максимальное значение ее прогиба достигается в центре платы. Отсюда, для предохранения корпусов и выводов ЭРЭ от разрушения за счет их больших деформаций элементы должны размещаться на максимальном расстоянии от центра платы. Для каждого /-того ЭРЭ такое расстояние вычисляется по формуле р, = ^х* + у*. Сум-

марное расстояние всех ЭРЭ от центра платы с учетом этого выражения запишется как

шах (25)

1=1 )=•!

Таким образом, первая задача оптимизации размещения ЭРЭ формулируется как- «Определить координаты •••,(*„.>',,) размещения ЭРЭ, удовлетворяющие ограничениям (24) и доставляющие максимальное значение критерию (25)».

Другим важным требованием при размещении ЭРЭ на плаге является минимизации длины их межсоединений. Оценка суммарной длины всех проводников на плате может быть представлена выражением вида

ъ-Т&Л*--*')1+{у-у')2 (26)

(-1 I

где d - взаимосвязи между ЭРЭ, определяемые соответствующей принципиальной схемой устройства, размещаемого на плате, и описываются булевской матрицей вида D = J .

Тогда постановка второй задачи оптимизации размещения ЭРЭ имеет вид: «Определить координаты (х1,у1),...,{хп,уп) размещаемых ЭРЭ, удовлетворяющих ограничениям (24) и доставляющих минимальное значение критерию (26)».

Каждая из задач оптимизации (24), (25) и (24), (26) дают единственное размещение ЭРЭ. Эти решения можно получить тем же методом, который использовался при решении задачи размещения пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона. Различные варианты размещения ЭРЭ можно получить при решении двухкритериальной задачи, объединяя критерии (25) и (26) в векторный критерий вида S = (-S ,S2) —» min. Решение этой задачи также производится при учете ограничений (24).

Все рассмотренные выше задачи в общем случае относятся к детерминированным задачам оптимального размещения. В качестве примера задачи стохастического размещения объектов рассмотрим задачу оптимального выбора позиций стреляющего орудия (СО) в следующей тактической ситуации с одним орудием, ведущим огонь по противнику. Каждый выстрел СО засекается противником с помощью радиолокационной разведывательной системой (РРС), которая по трем контрольным точкам траектории полета снаряда через время тк позволяет вычислить координаты орудия. Эти данные РРС передает на позицию орудий противника (ОП), которые через время rm наносят ответный удар по засеченной точке. В главе рассматривается случай, когда СО и ОП расположены на прямой. Обозначим через х вычисленную РРС координату СО и через и координату падения снаряда ОП, который имеет радиус поражения равный величине г. Для того, чтобы избежать поражения СО после каждого выстрела оно должно изменить свое местоположение со скоростью V за время, не пре-

вышающее величины х = тк + - /1ЮДГ, где ¡т:н - время подготовки орудия к перемещению. При этом перемещения СО должны удовлетворять условию V • г > г. Будем считать, что СО может маневрировать в интервале [а, Ь], в котором задана запрещенная область [а(,А/] и область нежелательных значений координат орудия [аг.ЬЦ. Последнее означает, что вероятность расположения в нем орудия не должна превышать заданной величины р. Потребуем, чтобы местоположение СО при каждом последующем выстреле определялось случайной величиной X. В этом случае точка падения снаряда, выпущенного ОП также является случайной величиной и. В связи с тем, что ОП наводится на точку с координатой х закон распределения случайной величины и описывается условной плотностью распределения вида А ехр|-(ы -х)2/б|, где А(о),

В(а) - константы, зависящие от характеристик рассеивания а снарядов ОП. Обозначим через <р(х) искомую плотность распределения случайной величины X'е[а,Ь]. Тогда плотность распределения случайного вектора (Х,Ц) вычисляется как

<ф,и) = /(и|х) ■?>(*). (27)

Условие того, что СО после каждого выстрела не будет поражено ответным ударом, представим выражением вида \Х - (У| > V ■ г. Вероятность выполнения этого неравенства можно записать как

Р§Х-и\>У-т} = \- Л у(х,и)(Ьи1у. (28)

\f-JfV г

Будем рассматривать выражение (26) как критерий оптимальности стохастического маневрирования СО, который требуется максимизировать путем выбора закона распределения <р(х). Это требование с учетом вида выражений (27) и (28) можно переписать в виде

Я /{»\х)(р{х)ах->т\п. (29)

\l-u\SV г

Ограничения на выбор <р(х) с учетом рассматриваемой тактической ситуации записываются как

4, Ь

]<р{х)сЫр \<р{х)с!х<= 1 (30)

о, 4,

Таким образом, учитывая естественно требование вида <р(х)>0, хе[Ь|,Ь] получаем следующую задачу оптимизации : «Найти плотность вероятности <р(х) случайной координаты СО, удовлетворяющего условиям (30) и доставляющий минимум функционалу (29)».

Для решения поставленной задачи оптимизации предлагается использовать сингулярный метод штрафных функций, подробное описание которого приводится в третьей главе.

Третья глава посвящена разработке модифицированного метода штрафных функций для решения задач оптимального размещения объектов.

В общем случае непрерывные задачи оптимального размещения можно рассматривать как задачи нелинейног о программирования вида

<р(х) —>пип, (31)

где допустимое множество ^определяется следующим образом

X = {х: /(х) г О,; = (х) = 0,/ = т + 1,р). (32)

Для решения такого класса задач предлагается использовать модифицированный метод штрафных функций. Переходя от задачи условной минимизации (31), (32) к безусловной с помощью непрерывной схемы метода штрафных функций получаем задачу вида

Ф(х,//2,г) = /у2(0^(х) + |5(х)1*+|тт{/(х),0}|' ->тт, (33) где (г) «малая» функция 0 < //2 (г) «1, цг (/) -> 0 при и выполняющая

роль штрафного коэффициента. Для решения задачи безусловной минимизации (33) воспользуемся необходимым условием экстремума

«гв^Ф(*,/у„/) = 0. * (34)

Согласно сингулярному методу задачу нахождения корней системы (34) можно рассматривать как предел при I ~> оо, ¡лх -» 0, /и2 (/) —> 0 решения задачи Коши вида

х(0) = х0, где - малые параметры.

В главе рассматривались различные виды функции цг (?), и было показано, что наиболее приемлемой является функция ¡и2(')~ М ", где а = 2 -константа. Далее в главе рассматривались вопросы получения устойчивого решения задачи Коши (35). Для обеспечения дважды дифференцируемости функции ) потребуем, чтобы функция (33) была второго порядка гладкости. Нетрудно заметить, что при 5 > 2 функция 1Р удовлетворяет этому требованию. Для определенности будем считать 5 = 3. При = = 0 система (35) примет вырожденный вид

С2(хЛ0) = 0. (36)

Пусть х = х(0 - какой-либо корень системы (36), определенный в некоторой области Э- {?0 <г <Т;х- Дх,х + Д,}. Будем предполагать, что все корни системы (18) действительны и изолированы в области £>. Тогда корень х = х{1) будет устойчивым корнем системы (36), если выполняется неравенство «(*(/),*,0)<0.

Утверждение 1. Если начальная точка (х0,Г0) находится в области влияния устойчивого корня х(<) системы уравнений (36), то решение

задачи Коши (35) существует и для него имеет место предельное соотношение

Ит = при хе£>.

Поскольку х{!) не является приближением для функции при

малых в некоторой окрестности г = 0 (пограничный слой), возникает за-

дача построения асимптотического приближения для дг(/,//,,//2) к точному решению, пригодного на всем отрезке 0 < г < Т. Кроме того, не известен порядок точности асимптотического приближения ,£■(/) для х(/,;и|,^2) вне погранично- •

го слоя.

Утверждение 2. При достаточно малых /хк (0 < цк < еак, к = 1,2, где еок - некоторые малые числа) задача (35) имеет единственное решение причем ряд является асимптотическим рядом для этого решения при //,,//2->0 на всем отрезке 0</<7\ т.е.

виря,) - Хпцг)|| = О^шах }).

где л-ая частичная сумма ряда, в который раскладывается решение задачи (35), записывается как

п п п

Х„ (?,//„ //2 ) = £ ц\хк (/, р2) = £ ц[хк „+/ (*).

*»0 А=0 1=0

Асимптотическое разложение для х[(,р1,р2) решения задачи (35) будем строить в виде, характерном для задач с сингулярными и регулярными возмущениями

х^,ц1,Р1) = хи,^,1л2) + ТЬс{т,цх,111), (37)

где г = ,

* ('. А • Л) = Е • (*« О(к)) = Е А* ■ X ^ • ■**(/) =

»=о V/=о У

0 Ч/а0 /

= П0х(г) + нП,х(г) + А2П2х(г) + //,2П3х(г) + м,//2П,х(г) + ¿П,х(г) + ... .(39)

Выражение (38) - регулярная часть асимптотики, (39) - сингулярная ее часть. Определяя члены рядов (38) и (39) до любого номера п включительно, можно показать, что все П-функции имеют экспоненциальную оценку. Для '*

обоснования полученной асимптотики имеет место следующее утверждение.

Утверждение 3. Пусть выполнены условия'

1. Функция 0.(х,1,/иг) бесконечно дифференцируема в области С = {0</<Г;||х|<д}.

2. Пусть Re Л(')<0 пРи i = \,...,n, где А,(/) (i = \,...,n) соб-

ственные значения матрицы А - gradxCl{lx(t),t>n^.

3 Выполняется условие утверждения 2.

Тогда ряд (37) является асимптотическим рядом для решения ¿/2)

задачи (35) при —> 0 на отрезке О < ? <Т, те справедлива оценка

max||*(f^,,р2)-Х„(f,//„//2)|| = • maxj/Y,'/^} j,

где

4=0 4=0 V 1=0 )

Искомые координаты стационарной точки получаются из

решения задачи Коши (35) с помощью предельного перехода вида: lim х (t,jj.,fj2) = х'. Для подтверждения справедливости этого утверждения имеет место следующее утверждение.

Утверждение 4. Пусть х' = x(t,/j,,/u2) решение системы (35) Для того, чтобы точка с координатами х — lim x(t,p,,/j1) была стационарной

точкой функции Ф(х), заданной уравнением (33), необходимо и достаточно, чтобы она образовывали устойчивый узел, т.е выполнялось условие grad3Q(^) < 0, где £ - точка из окрестности стационарной точки

Предлагаемый метод при решении практических задач снимает проблемы выбора начального приближения и значения штрафного коэффициента, которые присущи классическому методу штрафных функций.

В четвёртой главе приводятся результаты решения практических задач оптимального размещения рассмотренных в главе 2.

При решении задачи оптимального размещения мобильного средства обслуживания 44-х крупных населенных пунктов Республики Татарстан по условной карте Республики Татарстан были определены координаты объектов обслуживания, в которых были заданы значения вероятности безотказной работы МС обслуживания. Функция Q(x,y), входящая в выражения (15), (16) была построена по этим точкам методом наименьших квадратов в форме квадратичной зависимости. Используя необходимое условие экстремума и, варьируя параметр свертки Я, были получены 10 вариантов Парето оптимальных решений размещения МС обслуживания. Показано, что наиболее предпочтительным местом размещения является точка с координатами х = 184.9,у = 134.2, которым соответствует суммарное расстояние от МС до всех населенных пунктов L = 5982 и вероятность безотказной работы равна Q = 0.949, при этом увеличение значения второго критерия на 0.01 вызывает ухудшение первого критерия на 2%.

В задаче оптимального размещения МС мониторинга окружающей среды в качестве объектов мониторинга рассматривались те же 44 населенных пункта Республики Татарстан. Здесь в качестве носителя передвижной лаборатории рассматривался автофургон КАМАЗ 4320 с различным радиусом действия. Решение задачи (19)-(20) позволило определить номера населенных пунктов для размещения МС и количество населенных пунктов, в которых они осуществляют контроль экологической обстановки. При этом при радиусе действия Л = 100 необходимо 7 МС , а при Л = 60 необходимо 16 МС контроля экологической обстановки. Первый вариант размещения является более предпочтительным с точки зрения минимизации затрат на создание передвижных лабора- • торий в составе ЕГСМ РТ.

При решении задачи размещения ПУ огнем артдивизиона исходные данные были взяты из соответствующих нормативных документов, в частности, располагаемая длина кабеля была равна 14000 метров. Искомыми в рассмотренном примере были позиции ПНП и КНП трех батарей. Для каждого из 6-ти объектов размещения по условной карте местности были выделены 90 различных вариантов допустимых областей размещения. На местоположение КНП адн и ПУОД ограничения наложены не были. При решении этой задачи в связи с ее сложностью была использована распределенная вычислительная среда на базе локальной сети ПЭВМ. Показано, что при использовании в данной задаче 4-х ПЭВМ время решения задачи сокращается более чем в 3 раза по сравнению с ее решением на одной ПЭВМ. Учет многосвязанности множества допустимых решений осуществляется итерационно путем использования классического метода штрафных функций. На каждой итерации осуществляется контроль попадания решения в запрещенные области и требуемой длины кабеля для построения системы связи артдивизиона. Если ограничения не выполняются, то проводилось изменение местоположения трех батарей, командных пунктов мотострелкового батальона и полка в заданных нормативными документами пределах. В результате проведения двух итераций были получены искомые координаты размещаемых объектов при (5 = 335.899 и ¿ = 14000.7. Было проведено исследование решаемой задачи и выявлено условие, когда решение может не существовать. Также было отмечено, что выбор начального приближения не влияет на результаты решения.

При решении примера задачи оптимального размещения ЭРЭ на двух круглых печатных платах (видеоусилитель и дешифратор) диаметром 78 мм требовалось разместить 30 и 22 элемента соответственно, заданными своими массами, длиной и шириной. Были определены радиусы окружностей, в которые вписываются габаритные размеры каждого ЭРЭ. На каждой плате радиусами <з = 12 мм, Ь = 39 мм были выделены области размещения ЭРЭ. В результате использования метода, описанного в главе 3, были получены координаты размещения каждого ЭРЭ на этих печатных платах, которые были переразмещены с учетом размера шага монтажной сетки. В работе приводятся конструкторский эскиз размещения эаементов видеоусилителя и дешифратора.

Задача оптимального стохастического маневрирования СО была решена классическим и предложенным сингулярным методом штрафных функций. Ис-

комая плотность распределения <р(х) была представлена равномерным законом распределения, где в качестве неизвестных величин выступали его параметры а и р. На эти параметры были наложены ограничения, которые описывают местоположение запрещенных и нежелательных для СО отрезков. Вероятность попадания в нежелательную область р была принята 0.5 При решении задачи классическим методом штрафных функций были получены следующие параметры а = 15,у9 = 90 и вероятность поражения СО Р=0.039. При использовании сингулярного метода штрафных функций было проверено выполнение условий устойчивости метода (см. глава 3) и получены те же самые результаты, при этом число итераций для сингулярного метода сократилось в 10 раз по сравнению с классическим методом. При настройке датчика случайных чисел на вычисленные значения а и /? были получены следующие координаты оптимального размещения СО: х1 =61.2, х2=38.4, х3=54.1, *4=44.9, х>-15.9, хй = 15.6, х7 = 62.2, =38.6, х9 = 63.2 , х10 = 26.3. На практике этот рандомизированный план используется следующим образом: После выстрела в точке х, стреляющее орудие должно перемещаться в точку хы с максимально возможной скоростью.

В результате решения этих задач показана достоверность предлагаемых, в главе 1 - обобщенных постановок задач детерминированного и стохастического оптимального размещения, в главе 2 - математических моделей и методов решения практических задач оптимального размещения, в главе 3 - предложенного сингулярного метода штрафных функций и его применение к решению задач оптимального размещения..

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении 1 показаны исходные и промежуточные данные, а также результаты решения задач оптимального размещения.

Приложение 2 содержит краткую характеристику программного обеспечения распределенной вычислительной среды для решения задач оптимального размещения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулирована проблема оптимального размещения объектов с учетом действующих на них внешних воздействий. На основе анализа практических задач и обобщения существующих подходов предложена классификация задач оптимального размещения, учитывающая такие признаки, как количество и вид критериев оптимальности, учет случайных факторов, наличие ограничений на область размещения, количество размещаемых объектов, определяющей роли групп объектов и т.д.

2. Построены общие математические модели задач детерминированного и стохастического оптимального размещения. Указаны методы решения на их основе различных практических задач оптимального размещения.

3. Предложены направления для формализации других видов задач оптимального размещения, представленных в разработанной классификации.

4. Разработаны математические модели решения практических задач, включающих в себя задачи размещения точки базирования МС обслуживания, размещения МС мониторинга окружающей среды региона, размещения пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона, размещения электрорадиоэлементов на печатных платах с учетом ударных инерционных нагрузок, стохастического размещения СО. Была сформулирована задача стохастического размещения средства обслуживания объектов со случайными координатами. Данная задача с помощью метода линеаризации была сведена к задаче детерминированного размещения. Показывается, что построенные математические модели полностью соответствуют общим математическим моделям детерминированного и стохастического размещения объектов.

5. Разработан сингулярный метод решения задач оптимального размещения, сводящийся к интегрированию системы сингулярно-регулярных дифференциальных уравнений. Проведено исследование предлагаемого метода и доказано условие, обеспечивающее устойчивость процесса получения искомого решения. Применение данного метода, который является модификацией метода штрафных функций, позволяет ликвидировать неопределенность с выбором начального приближения и штрафных коэффициентов, существующую в классических методах.

6. Задачи размещения МС были решены для 44 населенных пунктов Республики Татарстан. Парето оптимальные решения были получены с использованием необходимого условия экстремумам свертки критериев.

7. С помощью разработанного метода решены задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона, электрорадиоэлементов на печатных платах, стохастического маневрирования стреляющего орудия. Анализ результатов показал, что скорость решения задачи увеличивается в 3-10 раз в зависимости от трудоемкости задачи.

8. Для решения сложных задач оптимального размещения предложено использовать распределенную вычислительную систему, построенную на базе локальной вычислительной сети. Разработана управляющая программа, обеспечивающая реализацию алгоритма на различных персональных ЭВМ сети. Приведенные вычислительные эксперименты с изменением числа используемых ПЭВМ позволили получить сокращение времени решения задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона с учетом реальной карты местности более чем в 3 раза.

9. Разработанное в главе 3 условие устойчивости решения задачи оптимального размещения на базе предложенного сингулярного метода штрафных функций было апробировано при решении задачи стохастического размещения стреляющего орудия при равномерном законе распределения координат. Полученные частные результаты совпадают с теоретическими результатами, представленными в разделе 3.2 диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Николаев A.A., Сотников C.B. Задача оптимального размещения мобильных средств обслуживания РЭА // Тез. докл. VII Всеросс. Туполевских чтений студентов "Актуальные проблемы авиастроения" / Казань: изд-во КГТУ, 1996, С. 151.

2. Зайдуллин С.С., Николаев A.A., Сотников C.B. Основные задачи автоматизации контроля сосредоточенных и распределённых параметров системы объектов в полевых условиях Н Тез. докл. Всеросс. студ. научной конф. "Королёвские чтения" / Самара, 1997, С. 29.

3. Абсалямов М.Н., Моисеев B.C., Сотников С В. Информационная технология работы с электронными картами регионов для передвижных средств автоматизированного контроля параметров окружающей среды // Тез. докл. III Республ. научно-технич. конф. "Актуальные экологические проблемы РТ" / Казань: Татполиграф, 1997, С. 223-224.

4. Моисеев B.C., Николаев A.A., Сотников C.B. Оптимизация мест размещения мобильных средств автоматизации мониторинга окружающей среды на территории Республики Татарстан // Тез. докл. III Республ. научно-технич. конф. "Актуальные экологические проблемы РТ' / Казань: Татполиграф, 1997, С. 214-215.

5. Сотников C.B. Автоматизированная система оптимального размещения средств обслуживания территориально-распределенных систем // Тез. докл. I Всеросс. научной конф. молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" / Таганрог, 1998, С. 86-88.

6. Сотников C.B., Бормотов К.В. Обратная задача оптимального размещения объектов // Тез. докл. Всеросс. научно-технич. конф. студентов, мол. ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" / Рязань, 1999, С. 75.

7. Сотников C.B. Оптимизация размещения объектов с учетом запрещенных областей // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVI Гага-ринские чтения" / Москва, 2000, Т. 1, С. 306.

8. Сотников C.B. Информационная технология оптимального размещения объектов // Тез. докл. II Всеросс. научно-технич. конф. "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть VII. / Нижний Новгород: изд-во НГТУ, 2000, С. 28.

9. Сотников C.B. Основные направления системного анализа принятия решений по оптимальному размещению объектов // Тез. докл. Межд. научно-практич. конф. "Системный анализ в проектировании и управлении" / СПб: НЕСТОР, 2000, С. 218-219.

10. Моисеев B.C., Зайдуллин С.С., Сотников C.B. и др. Определение и классификация прикладных информационных технологий Н "Радиотехника, электроника и связь на рубеже тысячелетия": Труды LV Научной сессии РНТОРЭС им. А.С.Попова, посвященной Дню радио / М.- Информсвязьиздат, 2000, С. 182-183.

И. Сотников C.B. Информационная технология оптимального вероятностного размещения объектов // Тез. докл. Второй Всеросс. научно-технич. конф.

"Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть 1. / Нижний Новгород, 2000, С. 29.

12. Сотников C.B. Задачи оптимального размещения в АСУ тактического эвена // Тез. докл. III Всеросс. научной конф. молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" / Таганрог, 2000, С. 90-92.

13. Моисеев ВС., Сотников C.B. Общая математическая модель задачи оптимального размещения объектов. — Казань // Вестник КГТУ им. А H Туполева, 2000, № 3, С. 31-35.

14. Сотников С.В Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVII Гагаринские чтения" / Москва, 2001, Т. 2, С. 54.

15. Сотников C.B. Автоматизация принятия решений в стохастических задачах оптимального размещения // Тез. докл. Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" / Казань: Эко-центр, 2001, С. 104-106.

16. Сотников C.B. Общая информационная технология решения задач оптимального размещения // Тез. докл Третьей Всеросс. научно-технич. конф. "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". / Нижний Новгород, 2001, С. 25.

17. Сотников C.B. Математические модели и методы оптимального размещения мобильных средств технического обслуживания и ремонта изделий // Тез. докл. III Республ. научной конф. молодых ученых и специалистов / Казань: Отечество, 2001, Книга 3, С. 26-27.

18. Сотников C.B. Математические модели и методы решения задач оптимального размещения объектов // Тез. докл. Республ. научно-практич. "Интеллектуальные системы и информационные технологии" / Казань- Отечество, 2001, С. 88.

19. Сотников C.B. Применение модифицированного метода малого параметра к задачам оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научно-технич. конф. "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" / Уфа: изд-во УГАТУ, 2001, С. 191.

20. Моисеев B.C., Сотников C.B. Разработка и исследование сингулярного метода штрафных функций для решения задач нелинейного программирования //Деп. в ВИНИТИ, № 1729-В2002,40 с.

21. Моисеев B.C., Сотников C.B. Оптимизация стохастического размещения объектов — Казань // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2002, № 3, С. 23-29.

22. Сотников C.B. Модифицированный метод малого параметр для решения задач нелинейного программирования // Тез. докл. I Форума молодых ученых и специалистов Республики Татарстан / Казань, 2001, С. 76.

23. Сотников C.B. Устойчивость сингулярного метода штрафных функций решения задач нелинейного программирования // Тез. докл. VIII Четаевской Межд. конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" У Казань, 2002, С. 23.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,5. Усл.печ.л. 1,39. Усл.кр.-отт. 1,39. Уч.-изд.л. 1.0. Тираж 100. Заказ? 410-

Типография Издательства Казанского государственного технического

университета 420111, Казань, К. Маркса, 10.

'О -п/г л

РНБ Русский фонд

2007-4 4343

I '• У"

С-я" ; ________

Получено 3 1 Я "В 2006

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Сотников, Сергей Викторович

Введение.

Глава 1. Постановка задачи оптимизации размещения.

1.1. Классификация задач оптимального размещения.

1.2. Постановка задачи детерминированного размещения объектов.

1.3. Постановка задачи стохастического размещения объектов.

1.4. Методика решения задач оптимального размещения объектов.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Математические модели и методы оптимального размещения различных видов объектов.

2.1. Размещение точки базирования мобильного средства обслуживания

2.2. Размещение мобильных средств мониторинга окружающей среды региона.

2.3. Размещение пунктов управления огнем артиллерийского дивизиона

2.4. Размещение электрорадиоэлементов на печатных платах с учетом ударных инерционных нагрузок.

2.5. Стохастическое размещение стреляющего орудия.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения.

3.1. Расчетная схема метода.

3.2. Устойчивость модифицированного метода штрафных функций.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Примеры решения задач оптимального размещения объектов.

4.1. Оптимальное размещение мобильного средства обслуживания населенных пунктов региона.

4.2. Оптимальное размещение мобильных средств мониторинга.

4.3. Оптимальное размещение пунктов управления огнем артдивизиона

4.4. Оптимальное размещение электрорадиоэлементов на круглых печатных платах приемного модуля радиоэлектронной системы.

4.5. Оптимальное стохастическое маневрирование стреляющего орудия

Выводы по главе 4.

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Сотников, Сергей Викторович

Актуальность темы. Функционирование сложных территориально-распределенных систем подразумевает решение задач оптимального размещения входящих в них мобильных и стационарных объектов. Примерами таких задач являются задачи размещения средств технического обслуживания и ремонта изделий авиационной техники в полевых условиях эксплуатации, средств мониторинга различных параметров окружающей среды, нефтегазодобывающий предприятий, пунктов управления АСУ артиллерии тактического звена, электрорадиоэлементов на печатных платах, станций скорой помощи, пожарных депо, телефонных станций, пунктов переработки сельскохозяйственной продукции и др.

Вопросы моделирования и решения различных задач оптимального размещения мобильных и стационарных объектов рассматривались в работах Винке Ф., Галиева Ш.И., Дрезнера 3., Канторовича Е.Г., Кристофидеса Н., Моудера Дж., Раенко Н.В., Саттарова А.З., Уайта Д.А., Френсиса P.JI., Фернандеса Д., Франка Ф.М., Элмаграби С. и других отечественных и зарубежных ученых.

Анализ существующих работ позволил выделить такие их основные особенности, как большое разнообразие используемых моделей, часто применяемых к решению однотипных задач, отсутствие общих подходов к решению многокритериальных задач оптимального размещения, отсутствие общих методов и алгоритмов решения задач оптимального размещения с учетом случайных факторов и наличия ограничений.

Задачи исследования:

1. Анализ проблемы оптимального размещения объектов, обзор существующих математических моделей и методов.

4. Модификация метода штрафных функций для решения задачи оптимального размещения объектов.

5. Разработка методики решения задач оптимального размещения объектов с учетом внешних воздействий.

Методы исследования. При решении сформулированных задач в работе используются модели и методы нелинейного программирования, дискретной оптимизации, теории графов, теории вероятностей, векторной оптимизации, теории обыкновенных регулярно-возмущенных и сингулярно-возмущенных дифференциальных уравнений, элементы матричного анализа.

Научная новизна:

Практическая ценность работы. Рассмотренные в диссертации задачи сформулированы исходя из практических потребностей в оптимальном размещении различных видов объектов. Решение этих задач осуществлялось в рамках выполнения совместных НИР по договорам о научно-техническом сотрудничестве между КГТУ им. А.Н. Туполева и Федеральным научно-производственным центром по радиоэлектронным системам и информационным технологиям (ФНПЦ "Радиоэлектроника"), а также Казанским филиалом Военного артиллерийского университета (шифр «Краснополь»). Часть задач выполнялась в составе НИР "Фундаментальные и прикладные вопросы информационных технологий, моделирования и управления. Этап 2001 г. Математическое моделирование и информатика оптимальных решений в технологиях и управлении" в рамках выполнения договора-подряда № 05-5.2.3/ 2001 (ФП) с Академией Наук Республики Татарстан.

Предложенная в работе методика позволяет снизить затраты времени на постановку, формализацию и алгоритмизацию реальных задач, учитывающих всевозможные воздействия на объекты размещения. Для решения задачи оптимального размещения большой размерности предлагается в целях экономии времени решать их в распределенной вычислительной среде.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на VII Всероссийских Туполевских чтениях студентов "Актуальные проблемы авиастроения" (г. Казань, 1997), III Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы РТ" (г. Казань, 1997), Всероссийской студенческой научной конференции "Королёвские чтения" (г. Самара, 1997), I Всероссийской научной конференции молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 1998), Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" (г. Рязань, 1999), Международной молодёжной научной конференции "XXVI Гагаринские чтения" (г. Москва, 2000), II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), Второй Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2000), LV Научной сессии РНТОРЭС им. А.С. Попова (г. Москва, 2000), IV Международной научно-практической конференции "Системный анализ в проектировании и управлении" (г. Санкт-Петербург, 2000), "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" (г. Таганрог, 2000), Международной молодёжной научной конференции "XXVII Гагаринские чтения" (г. Москва, 2001), Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" (г. Казань, 2001), Третьей Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (г. Нижний Новгород, 2001), III Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), Республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные технологии" (г. Казань, 2001), Международной молодежной научно-технической конференции "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" (г. Уфа, 2001),. Первом Республиканском Форуме молодых ученых и специалистов (г. Казань, 2001), VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 2002).

Заключение диссертация на тему "Математические модели и методы оптимального размещения мобильных и стационарных объектов с учетом внешних воздействий"

Выводы по главе 4

1. Приведенные в данной главе численные примеры и выполненные вычислительные эксперименты с использованием близких к реальным исходных данных показывают достоверность разработанных в главе 2 оригинальных математических моделей.

2. Приведенные в главе результаты решения этих задач, общие математические модели которых были предложены в главе 1, указывают на адекватность этих моделей при решении на их основе практических задач.

3. Для сокращения времени решения сложных задач оптимального размещения была разработана программно-аппаратная распределенная вычислительная среда на базе локальной сети ПЭВМ. Вычислительные эксперименты с изменением числа используемых ПЭВМ позволили получить сокращение времени решения задачи оптимального размещения пунктов управления огнем артдивизиона с учетом реальной карты местности более чем в 3 раза.

4. Разработанное в главе 3 условие устойчивости решения задачи оптимального размещения на базе предложенного сингулярного метода штрафных функций было апробировано при решении задачи стохастического размещения стреляющего орудия при равномерном законе распределения его координат. Полученные частные результаты подтверждают теоретические результаты, представленные в разделе 3.2.

Заключение

В данной диссертационной работе были получены следующие результаты:

По результатам выполненных работ получен акт об использовании от ГУЛ ФНПЦ «Радиоэлектроника», акт внедрения от Казанского филиала военного артиллерийского университета (ныне КВАКУ) и акт внедрения в учебный процесс КГТУ им. А.Н. Туполева.

Библиография Сотников, Сергей Викторович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Техническая эксплуатация летательных аппаратов // Под ред. Пугачева А.С. - М.: Транспорт, 1978.

2. Алексеенко А.Я., Адерихин Н.В. Эксплуатация радиотехнических систем. М.: Воениздат, 1980.

3. Смирнов Н.Н., Ицкович А.А. Обслуживание и ремонт авиационной техники по состоянию. -М.: Транспорт, 1987.

4. Давыдов П.С., Иванов П.А. Эксплуатация авиационного радиоэлектронного оборудования: Справочник. -М.: Транспорт, 1990.

5. Plastria F. Static competitive facility location: An overview of optimization approaches // European Journal of Operational Research 129 (2001), P. 461470.

6. Zhao P., Batta R. Analysis of centroid aggregation for the Euclidean distance p-median problem // European Journal of Operational Research 113 (1999), P. 147-168.

7. Fernandez J., Fernandez P., Pelegrin B. A continuous location model for siting a non-noxious undesirable facility within a geographical region // European Journal of Operational Research 121 (2000), P. 259-274.

8. Chew E. P., Tang L. C. Travel time analysis for general item location assignment in a rectangular warehouse // European Journal of Operational Research 112 (1999), P. 582-597.

10. Исследование операций. Под ред. Моудера Дж., ЭлмаграбиС. М.: Мир, 1981,677 с.

11. Francis R.L., White J.A., Facilities Layout and Location: an Analytical Approach. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1974.

12. Drezner Z., Guyse J. Application of decision analysis techniques to the Weber facility location problem // European Journal of Operational Research 116 (1999), P. 69-79.

13. Zhang J., Liu Z., Ma Z. Some reverse location problems // European Journal of Operational Research 124 (2000), P. 77-88.

14. Ohsawa Y. A geometrical solution for quadratic bicriteria location models // European Journal of Operational Research 114 (1999), P. 380-388.

15. Lee S.-D. On solving unreliable planar location problems // European Journal of Operational Research 28 (2001), P. 329-344.

16. Sviridenko M.I. Worst-case analysis of the greedy algorithm for a generalization of the maximum p-facility location problem // European Journal of Operational Research 26 (2000), P. 193-197.

17. Schilling D.A., Rosing K.E., Revelle C.S. Network distance characteristic that affect computational effort in p-median location problems // European Journal of Operational Research 127 (2000), P. 525-536.

18. Ogryczak W. Inequality measures and equitable approaches to location problems // European Journal of Operational Research 122 (2000), P. 374391.

19. Tragantalerngsak S., Holt J., Ronnqvist M. An exact method for the two-echelon, single-source, capacitated facility location problem // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 473-489.

20. Кристофидес H. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

21. Kacprryk J., Stanczak W. A discrete approximation of the Weber problem with Euclidean distance // Zastozow mat, 1984, 18, №2, P. 257-270.

22. Watson-Gandy C.D.T. The multi-facility min-max Weber problem // European Journal of Operational Research, 1984, 18, №1, P. 44-50.

23. Das Pali, Chakrabarty N.R. Minimax location foran arbitrary shaped contrained region using the rectilinear norm // Asia Pacif. Oper. Res., 1994, 11, №2, P. 202-216.

24. Iri Masao, Murota Karuo, Ohya Takao, A fast Voronoi diagram algorithm with application to geographical optimization problems // Lect. Notes Contr and Inf. Sci, 1984, 59, P. 273-278.

25. Weawer Jerry R., Church Richard L. A comparison of solution procedures for covering location problems // «Model, and Simul. Vol. 14: Proc. 14th Annu. Pittsburgh Conf., 21-22 Apr., 1983. Pt. 4», Research Triangle Park, N.C., 1983, P. 1417-1422.

26. Mehre Abraham, Sinuany-Stern Zilla, Stulman Allam, A single facility location problem with a weighted maximin-minmax rectilinear distance // Comput. and Oper. Res., 1985, 12, №1, P. 51-60.

27. Vincke Ph. Problems de localisation multicriteries // Cah. Cent. Etud. Rech.Oper, 1983, 25, № 3-4, P. 333-338.

28. Megiddo Nimrod, The weighted euclidean 1-center problem // Math/ Oper. Res., 1983, 8, № 4, P. 498-504.

29. Раенко H.B., Стохастическая задача оптимального размещения // Методы решения нелинейных уравнений и задач оптимизации. 3 Симпозиум. Доклады и сообщения., Таллин, 1984, С. 157-158.

30. Канторович Е.Г., Исследование модели размещения обслуживания в городской системе // Динамические неоднородные системы. Материалы семинара., Москва, 1983, С. 164-173.

31. Галиев Ш.И., Саттаров А.З., Оптимизация мест размещения станций скорой помощи с использованием непрерывных моделей // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, Казань, 1996, №4, С. 39-44.

32. Araujo Е.О., Franca P.M., Soares S., Tavares H.M.F., Optimal location of telephone exchanges // «Large Scale Syst.: Thery and Appl., 1983, Proc. IFAC/IFORS Symp., Warsaw, 11-15 July, 1983», Oxford e.a., 1984, P. 689694.

33. Abdel-Malek Layek L., Optimum positioning of moving service facility // Comput. and Oper. Res., 1985, 12, №5, P. 437-444.

34. Drezner Z., Berman O. A note on the location of an obnoxious facility on a network // European Journal of Operational Research 120 (2000), P. 215217.

35. Min H., Melachrinoudis E. The dynamic relocation and phase-out of a hybrid, two-echelon plant/warehousing facility: A multiple objective approach // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 1-15.

36. Galvao R.D., Espejo L.G.A., Boffey B. A comparison of Lagrangean and surrogate relaxations for the maximal covering location problem, European Journal of Operational Research 124 (2000), P. 377-389.

37. Averbakh I., Berman O. Algorithms for the robust 1-center problem on a tree // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 292-302.

38. Rahman S.-U., Smith D.K. Use of location-allocation models in health service development planning in developing nations // European Journal of Operational Research 123 (2000), P. 437-452.

39. Ebery J. Solving large single allocation p-hub problems with two or three hubs // European Journal of Operational Research 128 (2001), P. 447-458.

40. Antunes A., Peeters D. On solving complex multi-period location models using simulated annealing // European Journal of Operational Research 130 (2001), P. 190-201.

41. Ebery J., Krishnamoorthy M., Ernst A., Boland N. The capacitated multiple allocation hub location problem: Formulations and algorithms // European Journal of Operational Research 120 (2000), P. 614-631.

42. Munoz-Perez J., Saameno-Rodriguez J.J. Location of an undesirable facility in a polygonal region with forbidden zones // European Journal of Operational Research 114 (1999), P. 372-379.

43. Николаев A.A., Сотников C.B. Задача оптимального размещения мобильных средств обслуживания РЭА // Тез. докл. VII Всеросс. Туполевских чтений студентов "Актуальные проблемы авиастроения" / Казань: изд-во КГТУ, 1996, С. 151.

44. Сотников С.В. Математические модели и методы оптимального размещения мобильных средств технического обслуживания и ремонта изделий // Тез. докл. III Республ. научной конф. молодых ученых и специалистов / Казань: Отечество, 2001, Книга 3, С. 26-27.

45. Сотников С.В. Оптимизация размещения объектов с учетом запрещенных областей // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVI Гагаринские чтения" / Москва, 2000, Т. 1, С. 306.

46. Сотников С.В. Информационная технология оптимального вероятностного размещения объектов // Тез. докл. Второй Всеросс. научно-технич. конф. "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть 1. / Нижний Новгород, 2000, С. 29.

47. Сотников С.В. Задачи оптимального размещения в АСУ тактического звена // Тез. докл. III Всеросс. научной конф. молодых учёных и аспирантов "Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения" / Таганрог, 2000, С. 90-92.

48. Сотников С.В. Автоматизация принятия решений в стохастических задачах оптимального размещения // Тез. докл. Юбилейной научно-технической конференции "Автоматика и электронное приборостроение" / Казань: Экоцентр, 2001, С. 104-106.

49. Маслов О.В. Комбинированный алгоритм размещения элементов на печатной плате с использованием многокритериальной оптимизации // Управляющие системы и машины. 1990, №3, С.43-48.

50. Методика оптимального размещения электрорадиоэлементов на круглых платах ПМ: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-3 // Руководитель

51. B.C. Моисеев; К.В. Бормотов, Д.А. Горбунов, С.В. Сотников. Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 19 с.

52. Описание и инструкции по эксплуатации комплекса программ «УДАР» для расчета на прочность изделия «ПМ» при действии больших инерционных нагрузок: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-6 // Руководитель B.C. Моисеев; К.В. Бормотов, Д.А. Горбунов,

53. C.В. Сотников. Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 19 с.

54. Оценка прочности платы детекторной секции при различных вариантах закрепления внутри АВТ: Тех. отчет по договору ПМИ-С5-7 // Руководитель B.C. Моисеев; Н.В. Костромина, С.В. Сотников. -Казань, КГТУ(КАИ), 1999, 66 с.

55. Сотников С.В. Информационная технология оптимального размещения объектов // Тез. докл. II Всеросс. научно-технич. конф. "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". Часть VII. / Нижний Новгород: изд-во НГТУ, 2000, С. 28.

56. Сотников С.В. Общая информационная технология решения задач оптимального размещения // Тез. докл. Третьей Всеросс. научнотехнич. конф. "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве". / Нижний Новгород, 2001, С. 25.

57. Balakrishman J., Cheng С.Н. Genetic search and the dynamic layout problem // Comput. and Oper. Res., 2000, 12, №5, P. 587-593.

58. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высш. школа, 1989, 367 с.

59. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982,256 с.

60. Моисеев B.C., Сотников С.В. Оптимизация стохастического размещения объектов — Казань // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2002, № 3, С. 23-29.

61. Моисеев B.C., Сотников С.В. Общая математическая модель задачи оптимального размещения объектов. — Казань // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000, № 3, С. 31-35.

62. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1969, 400 с.

63. Ананьев С.Н., Лифанов Ю.С., Хорев П.Ф. Системы обнаружения движущихся объектов по их собственным физическим излучениям // Зарубежная радиоэлектроника, 1998, №10, С. 55-69.

64. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. -М.: Наука, 1969, 576 с.

65. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969,424 с.

66. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982, 624 с.

67. Моисеев B.C., Валеев В.Ф. Основные задачи комплексной автоматизации технического обслуживания и ремонта изделий в полевых условиях эксплуатации // Изв. вузов. Авиационная техника, 1997,. №1, С. 67-73.

68. Зайдуллин С.С., Николаев А.А., Сотников С.В. Основные задачи автоматизации контроля сосредоточенных и распределённых параметров системы объектов в полевых условиях // Тез. докл. Всеросс. студ. научной конф. «Королёвские чтения» / Самара, 1997, С. 29.

69. Барзилович Е.Ю. Модели технического обслуживания сложных систем. -М.: Высшая школа, 1982, 231 с.

70. Вентцель Е.С., Овчаров Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Физматгиз, 1988

71. Рудюк Г. Связь артиллерийского дивизиона // Военный вестник , 1994, №1, С. 53-58

72. Боевой устав артиллерии сухопутных войск, ч. II. М.: Воениздат, 1990,368 с.

73. Боевой устав сухопутных войск, ч. II, М.: Воениздат, 1990, 463с.

74. Руководство по боевой работе огневых подразделений артиллерии. -М.: Воениздат, 1987, 175 с.

75. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975,534 с

76. Моисеев B.C., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для решения задач анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных функциональных зависимостей // Изв.вузов, Авиационная техника, 1998, №4, С.3-10

77. Преснухин В.В. Конструирование электронно-вычислительной аппаратуры. М., Высшая школа, 1980, 519с.

78. Тарг И.А. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1983, 520 с.

79. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966, 664 с.

80. Моисеев B.C., Сотников С.В. Разработка и исследование сингулярного метода штрафных функций для решения задач нелинейного программирования //Деп. в ВИНИТИ, № 1729-В2002, 40 с.

81. Сотников С.В. Применение модифицированного метода малого параметра к задачам оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научно-технич. конф. "Интеллектуальные системы управления и обработки информации" / Уфа: изд-во УГАТУ, 2001, С. 191.

82. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для вузов. М.: Наука, 1989, 464 с.

83. Сотников С.В. Математические модели и методы решения задач оптимального размещения объектов // Тез. докл. Республ. научно-практич. "Интеллектуальные системы и информационные технологии" / Казань: Отечество, 2001, С. 88.

84. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986, 288 с.

85. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980, 520 с.

86. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. М.: Наука, 1991, 248 с.

87. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1 -М.: Наука, 1975, 631 с.

88. Сотников С.В. Сингулярный метод штрафных функций для решения задач оптимального размещения // Тез. докл. Межд. молодёжной научной конф. "XXVII Гагаринские чтения" / Москва, 2001, Т. 2, С. 54.

89. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра //Мат сб. Изд. АН СССР, 1948, т.22 (64):2, №2, С.193-204

90. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985, 232 с.

91. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990, 208 с.

92. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973, 226 с.

93. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984,320 с.

94. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1971, 600 с.

95. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Мат сб. Изд. АН СССР, 1952, т.31 (73), №3, С.575-586

96. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М., Моисеев B.C. Численный метод решения задач параметрического нелинейного программирования //Деп. в ВИНИТИ, №50-В2004

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00