автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели и методы исследования циклических процессов в сложных динамических системах

РГ6 од

На праоах рукописи

ПУРШШ Игорь Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЦШНЧЕСЯИХ ПРОЦЕССОВ В ШШ ДШШШЧЕШК СИСТЕМАХ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Азторефсрат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь 1996

>

Работа выполнена о Тверском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

А.Х.Гелиг

доктор физико-математических наук, профессор

А.Г.Перевозчиков доктор физико-математических наук, профессор

В.Д.Шалфеев

Ведущая организация - Институт проблем передачи информации РА!!

Защита состоится " 1996 г. в^ час. на

заседании диссертационного совета Д 063.97.01 по защите докторских диссертаций, в Тверском государственном университете по специальности 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях по адресу: 170013, гор.Тверь, ул. Еелябова, 33, актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Тверского государственного университета (170000, ул. Володарского. 38).

Автореферат разослан 1696 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических

наук, доцент • ' .. В. А.Хияшк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИАПОИ!

Актуальность теш. Нир динамических моделей стал поистине необъятным. Помимо механики. ;техники. Физики, астрономии ныне он охватывает такие менее традиционные области как химия, биология, медицина, экологии, экономика.

По мере усложнения моделируемых объектов и возрастания желания исследователя проникнуть в более глубокие и тонкие закона их функционирования возрастает и сложность динамических моделей, которые становятся, как правило, многомерными и существенно нелинейными. Для нелокального анализа таких моделей, то есть -для решения вопросов устойчивости и неустойчивости "в большом" состояний равновесия, а так5:э задач существования и устойчивости циклов различного типа часто не применимы многочисленные приближенные методы (асимптотические методы, метод малого параметра, метод гармонической линеаризации и другие). Если эти методы все-таки применяются, то, как хорошо известно, они иногда привадят к озибкам качественного характера. Достоверные гсе результаты при нелокальном анализе сложных динамических систем удается получить, лишь используя точные (качественные) методы. Однако большинство точных методов исследования, например, колебательных процессов существенно опирается на низкий порядок системы. Поэтому актуальной является проблема разработки новых, удобных для практического применения качественных методов анализа процессов в- многомерных существенно нелинейных динамических системах.

Объектом исследования о диссертационной работе являются многомерные автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(п

а.также многомерные динамические системы с цилиндрическим фазовый пространством

Целью диссертации является разработка новых приемов и методов качественного анализа процессов в таких системах, а именно, методов доказательства существования у систем вида (1) и (2) циклов различного типа и исследование их устойчивости, методов оценки числа циклов, методов исследования глобальной устойчивости систем и оценок областей притяжения состояний равновесия. Получение на основе вновь разработанных, а также известных общих методов исследования уравнений .(1) и (2) эффективно проверяемых и удобных для Практического применения критериев для систем дифференциальных уравненйй

'¿- Дои №), б-=с*<Е (3)

и ,

£ = .

где А - п*п патрица, 1ч с. - п-векторы, У (б) - скалярная функция, (7 - число, а такие для систем типа'

^---ч^тоШФ^^ (б» ' & ЬШ-

Уравнения вида (3) и (4) являются математическими моделями различных систем автоматического регулирования, электрических и электромеханических систем, следящих систем, систем синхронизации в связи и управлений, а также систем, встречающихся в биологии, химии, медицине. Системами вида (5) описывается динамика различных синхронных электрических мавин, регуляторов, вибраторов.

Иотодм ксслолопзпкл. Использование аппарата зиакопорсг'си-ннх функций Ляпунова в сочетании с частотными метода,¡и, а так-х:е использование различных модификаций метода систем сравнения, топологических метопов и методов Функционального анализа.

Научная нсв;ша. На защиту выносятся следующие положения, определяющие научную новизну результатов диссертационной работы.

1. Обоснована общая методика конструирования инвариантного тора при решении задач существования циклов у многомерных динамических систем вида (1), Разработан метод перехода з "пространство производных", существенно облегчающий вмбор бесконтактного. сечения в инвариантном торе.

2. На основе метода перехода в "пространство производных" разработан эффективно проверяемый частотный критерий.существования циклов у систем, вида (3) с одной дифференцируемо,"1 скалярной нелинейность». Применение полученного критерия продемонстрировано на примерах исследования различных систем третьего и более высокого порядков, исследовавшихся ранее различными авторами с использованием принципа тора. При этом показано, что применение предлагаемого частотного критерия позволяет но только свести до минимума вычислительную работу, но и получить в ряде случаев более тонкие результаты.

3. Для динамических систем вика (4) предложена методика конструирования инвариантного тора, использующая знакопеременную функции Ляпунова типа "квадратичная форма плис интеграл от нелинейности". На основе этой методики разработан частотный критерий существования циклов, с помощью которого исследованы математические модели некоторых радиотехнических систем (система Фридрихса). а 'танке систем.регулирования курса самолета автопилотом (система Широкорада), _ не поддающихся исследования ни с помощь» метода перехода в пространство производных, ки с помощью обобщенного принципа Пуанкаре-Беидиксона Р. Л. Смита.

4. Впервые предложена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов с общими элемента),-.и границы в фазовом пространство системы (1), кмещей единственное положение равновесия, позволяющая получать условия существования и исследовать устойчивость сразу нескольких циклов. На со

.основе доказаны эффективно проверяемые критерии существования не- менее 2 циклов у системы вида (1), не менее из'которых орбитально устойчивы. Тем самым решена задача А.А.Воронова об . условиях возникновения автоколебаний у многомерных систем автоматического регулирования, характеристика нелинейного элемента которых попеременно находится в секторе устойчивости и неустойчивости.

5. Распространен на случай динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством вида (2) метод инвариантных конусных сеток Г.А.Леонова, а также получены условия устойчивости по Бакаеву и условия 'существования 'бесконечного числа циклов первого рода для таких систем. Для систем вида (4) с Дтг -периодической функцией ife) получен частотный критерий существования бесконечного числа циклов первого рода и тем самым решена известная в теории динамических систем с цилиндрическим фазовым пространством задача ( проблема Барбашина-Езейло), Продемонстрировано. применение полученных результатов к исследованию систем фазовой синхрцнизации третьего порядка.

6. На основе синтеза метода нелокального сведения и метода двумерных систем сравнения получены частотные условия существования цикла второго рода у системы вида (4) с ¿г-периодической функцией ^(б) . Полученные результаты применены для исследования системы фазовой синхронизации четвертого порядка.

7. Разработана оригинальная методика доказательства существования циклов второго рода у систем вида (5) с цилиндрическим фазовым пространством. Получены частотные условия су-' ществования .циклов второго рода у таких систем, позволяющие, в частности, провести исследование математических моделей некоторых механических и электромеханических систем, имеющих две степени свободы.

8. Доказан многомерный аналог принципа Пуанкаре-Бендиксо-на для систем на двумерных многообразиях. На его 'основе получен критерий орбитальной устойчивости циклов второго рода многомерных динамических систем с одной угловой координатой, не приводящий к необходимости выписывать уравнение в вариациях. ■ Для систем вида (4) с ^-периодической функцией . сформулированы эффективно проверяемые условия орбитальной устойчивости циклов второго рода,

9. На основа известных критериев Г.А.Леонова так называемой сильной орбитальной устойчивости получен частотный критерии сильной асимптотической орбитальной устойчивости циклов второго рода систем вида (4), а также систем(5), встречающихся в теории синхронных маиин. Приведены примеры исследования устойчивости циклов математических моделей систем . фазовой синхронизации третьего порядка.

10. С использованием метода двумерных систем - сравнения распространен на многомерный 'случай известный результат Н. Н. Красовского о необходимых условиях устойчивости системы второго порядка с двумя нелинейностями. Попутно выделен класс многомерных систем, для которых не справедлива известная в теории систем автоматического регулирования гипотеза М.А.Айзер-. мана., С помощью того не подхода распространены на многомерный случай результаты Л. П. Белюстиной и В. Н..Белых о необходимых условиях устойчивости двумерных систем с угловой координатой.

11. Разработана новая, использующая-идеи метода нелокального сведения методика получения оценок областей притяжения состояний равновесия систем вида (4), имеющих несколько состояний равновесия, На её основе получены оценки области притяжения нулевого состояния равновесия системы частотной автоподстройки частоты третьего порядка, имеющей три состояния равновесия. Эта область имеет п фазовом пространстве системы весьма сложную природу и.её не удаётся локализовать ни одним из известных в настоящее время приемов. -

12. Предложены эффективные методы обнаружения такого нелинейного эффекта, как наличие колебаний с неограниченно нарастающей амплитудой у систем вида (3). На их основе указаны условия, при выполнении которых такие эффекты возникают в'системах Выпиеградского и Мизеса, исследовавшихся ранее А. А.Андроновым и А.Г. Майером при помощи метода точечных отображений, С помощью предложенной методики удается установить наличие неограниченно колеблющихся реаений п упомянутых системах "почти без вычислений".

13. Предложена методика исследования и получены условия глобальной аснытотичеСкой устойчивости важной для приложений многомерной математической модели электромеханических систем Фазовой синхронизации. Ранее устойчивость положений равновесия

таких систем исследовалась только "в малом", причем исследования проводились приближенными методами и лишь в том случае, когда система имела низкий порядок. .

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический'характер. Полученные в ней результаты позволяют развить новые конструктивные методы анализа процессов, происходящих в многомерных существенно нелинейных динамических системах.

Практическая значимость работы определяется широким кругом возможных приложений полученных результатов при решении конкретных задач механики, теории автоматического регулирования, теории фазовой синхронизации, а также задач, возникающих в биологии, химии, медицине.

Апробация работы. Результаты работы регулярно обсуждались на ежегодных конференциях в Тульском государственном университете, а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета, руководимых проф. Г. А. Леоновым.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань,1976), на научно-техническом семинаре по системам фазовой синхронизации (Горький, 1977), на Всесоюзной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986), на Всесоюзной НТК "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи"(Москва, 1988), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы, информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Тула,.1988), на ежегодной Иранской математической конференции (Исфахан, 1990), на научно-техническом семинаре "Нелинейные свойства систем синхронизации" (С.-Петербург, 1995), на межвузовской НТК "Математические модели и краевые задачи" (Самара, 1996), в Тверском государственном университете (1996).

' Кроме того, основные результаты диссертационной работы вошли в книги [16,171. Книга [16] получила положительную рецензию в Mathematical Review (N 95.е. 1995).

Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 26 статьях и 2 книгах. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объам работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы, включающего 141 наименование. Общий объем работы составляет 304 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследования, дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведена аннотация результатов диссертации. Здесь также приведены некоторые утверждения алгебраического характера, которые постоянно используются в диссертации.

/

Глава 1 посвящена разработке общих подходов к доказательству существования циклов у многомерных существенно нелинейных динамических систем (1) с единственным положением равновесия и получению эффективно проверяемых критериев их существования для систем вида (3).

По сути дела, единственным достаточно универсальным и математически строгим методом доказательства существования циклов у многомерных аналогов известного уравнения Ван-дер-Поля. ' то есть у многомерных диссипативных существенно нелинейных динамических систем с единственным состоянием равновесия, является принцип тора. Этот принцип был впервые предложен К.0.Фридрихсом (1946 г.). Однако когда дело касается конкретных приложений, ситуация с применением принципа тора оказывается сродни той, которая имеет место при применении второго метода Ляпунова для исследования устойчивости. То есть сам принцип достаточно универсален и прозрачен, но совершенно неясно, как строить инвариантный тор, обладающий нужными свойствами, для данной конкретной системы. Изложенные обстоятельст-

ва привели к тому, что кавдай. новый результат, основанный на принципе гора (Раух, 1950 г., Широкорад, 1958 г., Вайсборд, 1959 г., Георгиев, 1976 г. и др.) был по сути дела "произведением искусства". Поэтому естественным является стремление найти общие принципы конструирования инвариантного тора хотя бы для некоторых классов систем, а в идеале - получить эффективно проверяемые условия существования циклов, которые не вынуждали бы обращаться к процедуре явного построения многомерного тора.

• Перспектива решения упомянутой проблемы возникла в 70-х годах после появления знаменитой "частотной теоремы" Якубови-ча-Калмана. Сначала эта теорема нашла широкое применение в теории устойчивости систем автоматического регулирования, а вскоре появились и первые, правда далёкие от совершенства, частотные критерии существования циклов (Нолдус, 1974 г., Леонов, 1973 г.) у систем автоматического регулирования.

Б разделе 1.1 обсуждается . общая методика конструирования многомерного инвариантного тора для динамических систем (1), возникающие при этом трудности и пути их преодоления.

Б разделе 1.2 разработан новый подход к доказательству существования циклов - метод перехода в "пространство производных", позволяющий существенно упростить процедуру отыскания бесконтактного сечения инвариантного"тора.

Рассмотрим автономную систему (1) в Rn. предполагая, что она имеет единственное состояние равновесия % = 0 . Будем считать гагате, что матрица Якоби = ^^ определена и непрерывна для всех 'Л £ fi^.B дальнейшем считаем выполненным следующее предположение.

Предположение 1. Функция 4(ъ) взаш-.ио однозначно и взаимно непрерывно отображает простракстшо R'1 на себя. То ешь существует однозначное непрерывное обратное отображение | определенное при всех ye'fl"'. Зададим динамическую систему в R":

где 02(t,решение системы (1).Это и есть система в "пространстве производных". Центральным в построениях пункта 1.2 является

Предгшложение 2. Существует нсособая пх п матрица

- и -

Н=Н*, имеющая 2 отрицательных и п-2 положительных собственных значения, и число А > О такие, что для любых , е выполнено

(%- П)* Н О,-

Теорема 1Л. Пусть система (1) диссипативна по Леейн-сону, выполнены предположения 1 и 2, а также следующие условия: 1) матрица У(о) не имеет собственных значений в полосе -А £ бе р е О;

2.) существует вектор £ в (I ■ такой, что пара наблюдаема и справедливо неравенство

Н (3(о) + А1)"Н ^ - ш*;

3)существует вектор Не такой, -что Эля любого нетри-еиального решения £ систет

= о,

спрааеблиао неравенство Ж Н'Е>0.

ГогЭа система Ш имеет цикл. <

Теорема 1.1 является достаточно общей и может быть применена для исследования широкого класса систем. Однако'возникает естественный вопрос.о розможности эффективной проверки предположений этой теоремы. В особенности это касается предположения 2 и условия 3) теоремы. Ниже на основе теоремы 1.1 сформулированы эффективно проверяемые условия существования цикла у системы (3), в которой функция ЧТб) предполагается непрерывно дифференцируемой. •

Введем в рассмотрение дробно-рациональную функцию комплексного аргумента р: Х(р)=1*(А-рЮ ё, которую будем предполагать невыронденной, то есть будем считать .что степень знаменателя дробй %Ср) равна п И он не сократим с ее числителем. Функцию Х(р) называют'передаточной функцией системы (3) от входа Ц> к выходу (-б) .Понятие передаточной функции и связанное с ней понятие частотной характеристики широко используется в инженерной практике. Поэтому основные утверждения при-

веденной ниже теорема формулируются именно в терминах свойств функции %(р). Последнее обстоятельство не только' делает формулировку теоремы "привычной для инженерного глаза", но и позволяет дать ей простую геометрическую интерпретацию.

Относительно функции будем предполагать выполненными условия . . . '

4>(oJ = О, К, é ICi, Icj * 4/(0U Jc¿,

где, возможно, too или к,--^1 .

Теорема 1.2. Пусть выполнены следующие предположения:

Í .Система (3) диссипативна по Левинсону.

2. Матрица А + имеет два собственных значения с положшюльншш всцссг::всннш,;и частый и не имеет их в полосе -Ас íQepéO, V?0.

3. Для некоторого А е(0,Ао) при всех вещественных- со?- О справедливо неравенство

fk{[f + Уc^Y/i'uj-о при ic^ -oo, t«,

О при = IC^too,

ll¿ [fft/Crï(ta)-Aj][X(ù«-A)]'j?Û при Г^ф-со, t¿,= + «о.

■¡.Либо jC(o)= 0 .либо-У fo) ^ [Cí.tj,"]- при кокечкыж Jí-, и Kî, , либо сосгпсегистеекно - %~\o)<f (-•=o>.fcí,])-')t (о) 4- [к</>-->).

Тогда система (3J имеет цикл.

Применение теоремы Ü 2 иродс-монстрироьанэ па примерах систем автоматического регулирования, систем , описавающих элс-ктричссииз цепи ■ (система. Рауха), а танке систем, встречающихся в биологии и медицине. При этом показано, что применение теоремы 1.2 не только позволяет сиости - до минимума- вычислительную работу (поскольку она но требует прибегать к процедуре явного построения инвариантного тори), но и получить, например. для систем» Рауха более тонкие результаты, чем те, которые были получены автором и оригинальной работе, В заключение пункта 1.2 приведена, формулировка "обобщенного принципа Пуан-каре-Бендиксоиа". принадлсаащего Р.А..Смиту и представляющего собой да;),- кзйаео развитие метода перехода в пространство про-

изв0дннх.'

В разделе 1.3 для систем вида (4) Предложен новый оригинальный метод построения инвариантного тора, один из элементов границы которого представляет собой поверхность уровня знакопеременной функции Ляпунова типа "квадратичная форма плпе интеграл от нелинейности". Полученный на его основе частотный критерий существования циклов позволяет исследовать системы', к ' которым не применима ни теорема 1.2, ни обобщенный принцип Пу-анкаре-Бендиксона.

Рассмотрим систему - (4). где А (п-1)х(п-1) матрица, Ь и с - (п-1)-мерные векторы, - непрерывно дифференцируемая

функция, /0 ^ 0, £ £ (I ". Не эдем функции

\У(р) = Ч*(А-р 1)1ё= Ыр)^(р).

Функция \VCpi предполагается невырожденной. Будем также считать, что не вырсядена и Функция

Везде в дальнойвем будем предполагать существование такого числа к> 0 , что' уравнение

1(р)= [1к(р)-51гГр)])с+ р 1г(р)= О не имеет нулевых корней, а график функции 4{б) пересекается с прямой Ч>= 0 только в начале координат. Будем считать, что векторы о и 6 в системе (4) связаны соотнсйсгоюм функция удовлетворяет условиям О, Що)уО а систе-

ма диссипативна, то есть для любых & б 1 , и некотором

$ ? О справедливо неравенство

где (£(<-, <>(К*оД))- роаёкио системы (4) с начальным условием 2с, 6о.

Полоним

te [о, с)

Тсорека 1.3. Пусть суздсстеуед ткоо число А ? О , что выполнятся услоечя

1. При осс.т (.0 ^ О

рче ^/(ио-лио, &1И, «/"Ве и^-л^о.

2. Уравнение К(р~Л) = о имеет один положительный корень и п-2 корня с отрицательными вещественными частями.

3. Уравнение [т(р)-д и(р)} ^'(о) + р ^ф) = о имеет два корня с положителькыжи вещественными частями.

4.' При А] справедливо неравенство

ф'Гб.)/- -л?!

Тогда система (4) имеет цикл.

Критерий существования цикла, доставляемый теоремой 1.3, позволяет исследовать системы регулирование курса самолета, автопилотом (система Широкорада), а также некоторые радиотехнические системы (система Фридрихса).

Раздел 1.4 носит вспомогательный характер. В нем предложена методика построения концентрических бесконтактных поверхностей для траекторий динамической системы ("конусные и эллипсоидные ловушки" и "выбрасывающие поверхности").. Используя "конусную ловушку" вместо шара диссипативности, удается на основе принципа трра получить условия существования цикла у одной важной для приложений трехмерной системы, являющейся моделью гироскопического стабилизатора, а также трехзвенной КС-цепи с нелинейной обратной связью.

Рассмотрим систему

По-видимому, впервые эта система с нелинейностью типа реле и нелинейностью с насыщением была исследована Ю.Н.Бибиковым и Л. М.Лестевым. Ими были получены условия существования цикла в предположении <1~> О, р>0 . Предположим, что функция Ч(б) ■

непрерывна, дифференцируема при б~= 0 , причем Ч> (о) может принимать сколь угодно большие значения. При этих предположениях применение и теоремы 1.2, и обобщенного принципа Пуанка-ре-Бендиксона Р.А.Смита приводит к тем же самым требованиям на параметры системы, которые в рамках этих теорем не могут быть ослаблены. Применение техники "конусных ловушек" позволяет вы-, делить класс нелинейностей .включающий в'себя и функции со сколь угодно большой производной Ч'(о) ,для которых рассматриваемая система имеет цикл при любых положительных с1 и & .

Будем считать, что функция у(б) может иметь лишь конечное число точек разрыва первого'рода на (-«>,оь) , причем 'fYo) существует. Введем обозначения

И^йЧ)*

iH^Mfirt

ai

(?>- И

при л1*

при ¿S- iß;

при ¿I'S bß,

при ULér iß.

Относительно функции Ц(б) дополнительно сделаем следующие предположения: существуют числа б^^-О, б\у О такие, что

1) ЧМ^Сб-б-,) при 6-e[6i,6j,

2) если , то ffSjS ъц, 6V при <э е [б1.,, 65.], если р^ с 0 .то tf(6)i>0 при б"е

Теорема 1.4. Пуст функция 4Y«s) удовлетворяет условиям 1) и 2), где числа р, и рь определены вша, а также выполнено соотношение. ff'(0)?oljb. Тогда'система (4) инеет цикл.

Подробное исследование рассмотренной системы с нелинейностью типа реле для значений параметров = 5", р~ б приведено Огорзалеком (Ogorsalek М.I..IEEE Trans.on circuit end system, 1989, v.36, N 9). С помощью численного ü аналогового моделирования показано, что при выполнении условий теоремы 1.4, система имеет устойчивый цикл. В то же время было обнаружено, что при нарушении ограничений, накладываемых теоремой на характер поведения функции возможно появление двух периодических реаений. Дальнейшее 'изменение характеристики Ч'(б) приводит к возникновений хаотического поведения трас-кторйй системы и появления странного аттрактора через бифуркаций удвоения периода.

Некоторые вааше для приложений системы с единственным состоянием равновесия допускают существование нескольких цик-

лов, среди которых имеются устойчивые и неустойчивые. (Такие системы рассматривались, например, Н.В.Келдышем). Задача о числе циклов систем с полиномиальными правыми частями была поставлена также Д. Гильбертом. В книге "Особые линейные и нелинейные системы" (Москва, Энергоиздат, 1981) академик А.А.Воронов высказал•гипотезу о существовании нескольких циклов у систем автоматического регулирования с одной нелинейностью, график которой попеременно находится в секторе устойчивости и неустойчивости. До сих пор не было известно математически строгих методов доказательства существования нескольких циклов у многомерных динамических систем. Даже для систем второго порядка такого рода результаты появились совсем.недавно (Г.А.Леонов, 1994 г.). На основе приемов, разработанных в 1.4, в 1.6 предложена методика конструирования одновременно нескольких инвариантных торов в фазовом пространстве динамической системы, в каждом из которых содержится по крайней мере один цикл этой системы, позволяющая также исследовать орбитальную устойчивость циклов. Сформулируем, например, одну из теорем, доказанных в этом разделе.

Предположение 3. Существуют положительные числа Л, £ и hqqcoöor п п матрица Е=Н*, Имеющая ровно 2 отрицательных собственных значения такие, что для любых Ж г и & выпол-

неп0 («г a?tV Н [Ш-fitJ-+ ii^-^)] 6 - -fejt

Лемш. Пуст для системы (1) выполнено предположение 3. Лусть $(%)= 6х . где п*п матрица Ь не ияее'И собстеекшж значений, о полосе -А^ -0 . Тогда существуют такие матрица к* >> 0 и число' $0> О , что выполнено неравенство

■ Теорема 1.5. Пусть Эля ттрицы fi'i и чисел Ai'O, £> D спраоеЭлиоо предположение 3, а & t - некоторый вектор такой, что выполняются следующие условия:

1) если Эля некоторого решения -<C(iJ системы Ш d 'ЛШ = = №№t при то ЖШ=Ло - состояние равновесия системы (1) ;

2) существует шприца Ь , не июещая собственная значений в,полосе -Ai tßep^ 0 , и числа {¿>0 ■ ^ ^ 0 . 6"1(-.>0(ЫД.-"Л

удовлетворяющие соотношениям

life)- В11 * ft при .

W (%, A^ifx iWTMisc,

где 3£ - наибольшее собственное значение матрицы №;

3) существует неособая матрица Н2 =Н2* имеющая росно оЭно отрицательное собственное значение, векторы f£_¿>K¿ (i=1,i,I), числа Aj,? О, > 0, ¿¡у О такие, что

а) e<Z-i = .6.Jit|^ о, t*Ut&i о,

б) (ce-aj^'l/^ffeJtAtfic-MjJ^e^e'«-^./), (<fc- fc-iJ'HittfaO+Aii®-

4) числа Sj. (¿= связаны соот-ноиенияяи

5) матрица UfoJ не имеет собственных значений в полосе

-Ai £ Re pi Я.

Тогда система (1) имеет не менее it циклов, не менее С из которых орбитально устойчивы. Если к тому же $(%) - аналитическая функция, то не менее t циклов систеш (I) асимптотически орбитально устойчивы.

На основе приведенной теоремы могут быть сформулированы эффективно проверяемые условия существования и устойчивости нескольких циклов у систем вида (3) с единственным состоянием равновесия t - 0 . Приведем формулировку одного из таких критериев, полученных в диссертации.

Введем в рассмотрение числа jjti Ji^ji^ • В формулировке будут использованы следующие предположения.

'Прекподпзениа 4. Существует Af > 0 такое, что при ссея СО У/ 0 выполнены неравенства"

!2е + J-« i К Ci'oJ - А,)] * [ i t 3'X (t ш - л.)] > ,

йп, ш^ Re. - i XCuxj- А,)]"[f+XLUO

При зто,ч Оля некоторого jl «старица имеет

ровно 2 бобственныж значения с поленительныш веи|естаеНкыш

частями и не имеет их в полосе -Á¡-i¿tpíO ■

Предполоаенне 5. Матрица À имеет ровно одно нулевое собс- ' твенное значение и п-1 собственных значений с отрицательными вещественными частями. Существует число 0 такое, что матрица А + имеет ровно одно положительное собственное значение и при всех W9- 0 выполнено, неравенство

Rtl(Cu)-\i)-ï ¿i.jUw-Xbtéù.

' Лемма. Пусть выполнено предположение 4 и функция f(s) уЗоелепизоряет условиям

Тогда Эля системы (3) выполнено предположение 3.

Теорема 1.6. Пусть Uíh,p%(p)--Blê 2 0 и

.1) выполнены предпо^огления 4 и 5, причем JU¡ ¿ 0 J-Jii¿

2) функция удовлетворяет при всех 5" условия.',! (в)

3) существуют числа , связанные соотношения/ш (7) и

^H,(ei¿j6Lti¡)>á£l£'i[éFÍñrii¿é¡ot¿,'

где матрица и число уЭоелекворяш (6), а 3£ - наи-

большее собственное значение ширицы Зля которых выполнено:

■ K(s)-/t6 ¡ ¿ _ при 6-6 [6LÁ¿,6Ai].

Тогда если функция дифференцируема в точке б"= О, Jji 4>'ib)¿ jU¿ и /матрица А + ф'Со) шлет ровно 2 собственных значения в полуплоскости Qtp>0 , то система (3) имеет но менее ât циклов, не менее t из кохюрих орбияилько устойчивы. Если же функция lp(s) аналитическая, то не менее I из AZ циклов асимптотически орбитальпо устойчивы.

- Приведен пример следящей системы третьего порядка,- для которой с помощью теоремы 1.б удается докапать существование не менее шести ци.- эв, не менее чем три Из которых орбитапьно устойчивы.'

Другие, качественно отличные от циклов в уравнении Ваи-дер-Поля, нелинейные эффекты наблюдаются в динамических системах с угловыми координатами (фазовых системах). Ото прежде всего круговые движения и ци|{лы второго рода в уравнении маятника. Аналогичными уравнениями описываются синхронные электрические машины и электронные системы фазовой синхронизации . Основы нелокальной теории двумерных систем с угловыми Координатами были заложены в работах Ф, Трикоми и его многочисленных последователей. Однако менее грубая идеализация для синхронных машин и усложнение устройств фазовой синхронизации требовали изучения систем более высокой размерности.

Глава а посвящена опросам существования циклов у многомерных динамических систем с одной угловой координатой вида (2)-(5).

Одна из проблем, возникающих в теории систем с угловыми координатами, известна как задача Барбашина-Езейло и состоит в отыскании условий существования циклов первого рода у уравнения вида

б*' + U<ï t f><r+ Ф(n) = 0 (9)

с периодической функцией Ф(б). Эта задача долго не поддавалась решению. Дело в том, что система с угловой координатой либо не имеет состояний равновесия, либо имеет их бесконечно много и потому не' является диссипативиой. Это обстоятельство не позволяло применить для доказательства существования цикла принцип тора, не локализовав предварительно неустойчивые состояния равновесия. При этом с точки зрения задач синхронизации существование циклов первого рода интересно лишь в том случае,, когда система устойчива по Бакаеву.

Определенно 1. Система (2) называется устойчивой по Бакаеву, если для любого ее решения (ХШ существует такое число Т ? О , что для произвольных V ъ Т и t >/ 'Г выполнено

&'x(t)l f. Д,

где (L& R"- -некоторый вектор такой, что = А /0 .

Решение задачи Барбаиина-Езейло приведено в 2.1. - При этом, применяя технику "конусных ловуаек", удается получить достаточно общие условия устойчивости по Бакаеву.

Теорема 2.1. Преть функция {(а.) непрерывна и едествцт неособая пхп матрица Н2~Нг .имеющая ровно одно отрицательное собственное значение, и числа \i~fD, £.>.О ткйе.что

Тогда система (2) устойчива по Бакаеву.

, Сформулированная теорема обобщает на случай произвольной фазовой системы известный результат Г.Л.Леонова и А;Н.Чурилова . для фазовых систем вида (4). Пользуясь теоремой 2.1 и методикой. развитой в главе 1, можно без труда, сформулировать условия существования циклов первого рода у системы (2). Прэдполо-вим, что.|(11с{) = 0 , гдеуе(рг() . |'(о)=Р-

Теорема 2.8. Пусть функция непрерывно дифференциру-

ема и выполнены условия теорежы 2.1, причем шприца У (о) не имеет собственных значений в полосе -Д^^Йер ^ 0 .Пусть су. чествуют кеособая штрицп Н1 -Н^и числа такие, чко бля любых '£<,9^ Й выполнено

(«1 - (С Л* Н, [№,)- Ш + А ((а?, - - - т, ^

и при этом матрица Я) имеет.ровно 2 отрицательные собственник значения, а матрица У(Ы) не шзет собственных значений в полосе ео.

Тогда система (2) устойчив а по Бакаеву и икззт бзеконеч-. ное число циклов первого роЗа.

Критерий существования циклов первого рода, доставляемый теоремой 2.2, является достаточно общим. Ниже приводен белее, тонкий частотный критерии существования циклов первого рода у фазовой системы вида (3) с 4 -периодической функцией. У (я) . Пусть матрица А в (3) имеет нулевое собственное значение, а Д -периодическая функция Ч'Ы имеет только два нуля б"= 0 и на периоде [О, д) . При этом будем считать, что

функция. (р(б) дифференцируема при 6^0 и 6=6Р, Функцию Х(р)=е."(А-р1Г16 =.»Цз)[ри-Ср)Г1 предполагаем^ невырожденной и удовлетворяющей условиям рХ-(р) = с, й'и^Р Х(р)-°-

Г) оо ' ' Р СКЛ

Предположим также, что при всех е 'е (-««,««) и некотором пологи- . тельном выполнено неравенство Ч^б")? ^х, в .

Теорема -2.3. Пуспь функция деееп ограниченную про-

изводную rtouir.it оезЭз Па д) и существуют полоателыше числа А к, u V ? и.' , 0лл койорыж выполнены условия:

1) ттрица A-tAj.1 и«ееи п-1 собственное значение с отрицательной вещественной частью

2) при осе." а'0 оыполнеко неравенство

+ vlUiio-Xi^-O.

Пусть, кроте кого, сущестует положительное число таков, что выполнены условия:

3) kl(iw-Xt)l(iiú~\t)¿-0 при U^/D, ftia íüt(iaJ-i,)y(iaJ-A1)¿0;

u-5 -) co

4) оОин нуль .многочлена h (p-Ai) пошттвяен, а остальные его нули ишта оирицакельнив eeviecmeciiv.ua части',

5) два нуля многочлена ифИр'^-) р п-(р) пололшявлькы, а остальные его нули ияеш аярш^атёльные ' ве^стзвнныв наспи.

Тогда система (3) цсасйчива по Бакаеву и с каяЗсй "полосе" Kj = {Ж: jáée'léyHUjr, <|' = 0,1,... , Uf.tccn по крайней хере один цикл.

Отметим, что реиеииэ задачи Бгрбапина-Егейло имеет ко только чисто теоретический интерес для качественной теории • ди$$еренцизльных уравнений, но и важное прикладное значение. Уравнение (9) при различных (Р(з) описывает работу ряда электромеханических и радиотехнических систем, например, работу автономных систем Фазовой автоподстройки частоты (фапч) с rcrc-и rlc-фильтрами и различными характеристика!.!« фазовых детекторов. Цикл второго рода означает выпадение системы ФАПЧ из синхронизма, что является нежелательным режимом работы систсш. ■Наличие яе циклов первого рода обеспечивает приемлемый режим работы системы п случае, когда система устойчива по Панаеву (так называемой синхронизм второго рода). В качестве примера в раздело 2.1 получены условия сущестоозаиия бесконечного числа циклоп первого рода у устойчивой по Бакаеву системы фазовой' автоподстрокки частоты третьего порядка.

Спредашнко 3. Решшо система (2) называй? цшгло?.;

шзрого рода, если существует число t > 0 и целое число к. такие, что %(х, iú)- -1о= ÍC-cí ■.

При исследовании вопросов существования Циклоп второго ро-

да у систем с угловой координатой наиболее эффективным оказался синтез прямого метода Ляпунова и элементов бифуркационной теории (Г.А.Леонов), а также конструирование различных систем сравнения (Л.Н. Белюстина, В. Н. Белых,. В. Ц Некоркин, В. Д. Шалфеев). Применение этих методов позволило получить большое количество результатов для многомерных систем. В 2.2 на основе синтеза метода нелокального сведения и метода систем сравнения получены условия существования циклов второго рода у многомерных систем вида (4) с угловой координатой.

Будем считать, что в (4) О , функция Ч'(б) ¿тг -периодическая, а матрица А гурвицева и имеет Ниí И- различных вещественных собственных значений.. Пусть функция №(p)=C*(A-pI) i невырожденная и представлена в виде К(р)= %{р) [•/+ Wx(p)] , где W, (р) и Wi(p) -правильные несократимые дроби, степени знаменателей которых а- К и к. соответственно, причем ic ¿ in. и все корни знаменателя Wi(p) вещественны и различны. Пусть, далее, 6 -гурвицева матрица размерности (Ц-1) х (п~ к.) , а X и (]/ -векторы порядка К - (С такие, что W,(pX

Положим . ^ ■ «з ^^

|f0 = (ÍVÜ3C |Ч>@1 ¡|n(tí!dt, At.

,<г 0 ■ иг \ ' ■

Теорема 2.4. Пусть ¡фикция к(р; представит в виде

' f¿(p) = .Wi(p}[U WiCp)], \\L0 и limn'cW6 -о.

о . ,

Пусть существует такое положительное число А , что выполнены

условия ■ ■

1). Re>Wt(iu)~A J^ о при и)? О, Щu,U) о;

umcxj

2) матрица В + А. I имеет одно положительное собственное значение и п-к-1 собственных значений с отрицательным! вещественными частяш;

3) уравнение второго порядна

ftftj,

имеет" цикл второго роЭа.

Тогда система (4) также имеет цикл второго рода.

Применение полученных результатов, продемонстрировано на примере исследования систеш Фазовой автоподстройки частоты четвертого порядка. В Я. Я получены так;::е чрезвычайно простые условия существования циклей второго рода у многоигрнш систем вида (4), не имещвд состоянии равновесия.

Уравнения различних объектов, в частности, дебалансного-вибратора, • приводимого во вращение асинхронном двигателем, регулятора Буасса-Сарда, а такие некоторых синхронных маяин имеят некоторые общие элементы в своей структуре. '• Эта общность позволяет построить единую математическую модель дкизмики таких объектов в виде системы дифференциальных уравнении (5),где А -постоянная пш гуроицева матрица, $ и (?. - постоянные п-век-торы, ¡(6), '("(б), Ч^б), <?г- периодические по о* функ-

ции. При это!! Функции {'(б) н Ч(с) предполагаются непрерывно дифференцирует«'!, функция Ч'^.е) триады непрерывно дифференцируемой, функция 1Р (£,<•>) непрерывно дифференцируемой по £ и? и удовлетворяющей при всех £ и 6" соотношениям

Достаточно сложная структура таких систем потребовала разработки оригинальной методики доказательства существования циклов второго рода. Полученные в 2. 3 теоремы позволяют исследовать, например, математпчоскуи модель системы, состоящей из лебалансиого вибратора, приводи»¡ого во вращение асинхронным двигателем и.установленного на подвижном основании, а также модель регулятора Буасса-Сарда. Обе эти системы имеют две степени свободы. Приведем здесь один из результате». (

Введем в рассмотрение функцию КСрЬС^-р-Г) 6, считая ее невырожденной, и предположим, что выполняется условие

Ч'(б)+ 0 при бЧ[0,Дп],

гарантирующее отсутствие состояний равновесия у системы (5).

Теорема 2.5. Пусть выполнятся следующие условия: •

1) Ц, > 0 ; ,

2) имеет яссто равенство

л -т

5 fi6j.ilо = 0;

о '

- гi -

3) при всех и)ъО справедливо частотное неравенство Не ио ¡¿(ш)Ъ 0. 4

Тогда система (5) обладает циклом второго рода.

После обнаружения Лоренцом странного аттрактора и осознания возможности хаотического поведения траекторий детерминированных динамических систем , возникла новая волна интереса к вопросам орбитальной устойчивости траекторий. Наличие орби-тдльно устойчивых траекторий означает отсутствие хаоса и, следовательно, предсказуемость поведения системы.

Глава 3 диссертации посвящена разработке эффективно проверяемых критериев орбитальной устойчивости циклов второго рода систем с угловой координатой.

Классические методы исследования орбитальной устойчивости требувт вычисления характеристических показателей уравнения в вариациях. . В настоящее время сложились два новых направления в исследовании орбитальной устойчивости. Одно из них основано на использовании аппарата прямого метода Ляпунова и восходит к работам Г. Борга, Ф. Хартмана и Ч. Олеха, Новые фундаментальные (результаты в этом направлении содержатся в работах Г.А.Леонова, А.Ю.Кравчука и Д.В.Пономаренко. Второй подход к исследованию орбитальной устойчивости замкнутых траекторий динамических систем предложен Р.А.Смитом и использует идеи методов сравнения и обобщенный принцип Пуанкаре-Бендиксона.

В 3,1 разработан многомерный аналог принципа Пуанкаре-Бендиксона для двумерных многообразий. "

Предположение 6. Существует открытое множество 5) с ¡1 такое, то для некоторых постоянных £ > 0 и <?, > о при всех

% выполнены условия

' И- Л*® МГМ-1

и гранит множества пересекается вовнутрь в секи

траектория^риргцздсы (2), которые ее встречают. .

Теорема 3.1. Если для сиотеш (2) выполнены предположения 3 и 6, то лобая траектория в % скобится к циклу • второго рода этой систежы при4->+"3 и ^ содержит по крайней «ере ддин цикл второго-рода, который орбитально устойчив. Если в

99 только конечное .число циклов второго рода, то все они асимптотически ррбитально устойчивы.

На основе этой теоремы для фазовой системы (4) с О доказан частотный критерий орбитальной устойчивости. Предполо-аим, что °bг -периодическая Функция в (4) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям

|ц>'(й)! ¿u, p>(6)dff £= О,

Полошм WCp)=e*(A-pD-°g, ХСр)= p'VfpJ.

Теорема 3.2. Пусть матрица А гурвицева, = и существуют такие числа Ái> 0 u V>£>, что выполнены следующие условия:

1) Re W(iio-Xi)¿-0, U)4lz \VCÜ£j-i1)^0 , w*0;

ÍV-Ь со

2) ттрица А + А, I имеет одно положительное собственное значение и п-1 собственны! значений с отрицательнылги вещественными частями;

3) уразненив второго порядка

Í + fh=.i + if(t) = 0

имеет цикл второго рода;

4) матрица А + VI имеет одно полотлпельное собственное значение и п-1 собственные значений с отрицательными вещественными частями;

5) '-í-jU1при ш>уО.

Тогда система (4) имеет по крайней мере, один орбитально устойчивый цикл второго рода.

С помощью этой теоремы проведено исследование орбитальной устойчивости циклов второго рода системы автоматической подстройки частоты третьего порядка.

В 3.2 изучается так называемая "сильная орбитальная устойчивость" (устойчивости По ¡Чуковскому). Это понятие было надолго забмто. Интерес к нему возродился о связи с исследованием устойчивости решений систем, в которых возможно хаотическое поведение траекторий! На осново результатов недавних работ f.A.jieoHoéa получены частотные критерии сильной орбитальной

- 26 - ' устоЛчивости циклов второго рода систем автоматического регулирования. а такие систем, встречающихся в теории синхронных машин.

Пусть в (4) <{(<>)-¿тг -периодическая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям £г, £,¿0, £^>0, ] 1р(е)с1(?± 0.

Пусть к* соСС^в), &г1о(а,о),ег-м1{о,..„о,1), 0

\\'(рП*(А-р1)\ ХфУ-р'Шр).

Теорвыа Э. 3. Пусть в системе (4) 1*6^0 и выполнены предположения 1)-3) теоремы 3.2. Пусть, кроив того, существует такое число У> О , что:

4) осе собстеенные'значения штрицы 6 + ияеш по-лошаельную вещественную часть; 1

5) при всех шъ 0 выполнено неравенство

6) справедливо соотношение

ТогОа систелш имеет сильно орбияшльно. асимптотически устойчивый цикл второго рода.

Приведен пример применения этой теоремы к исследованию сильной орбитальной устойчивости системы фазовой синхронизации.

В главе 4 диссертации разработаны новые подходы и метода реаения задач, связанных с проблемами устойчивости многомерных динамических систем ,

Одна из этих проблем - известная проблема И. А. Айзерыана. В 1949 году М.А.Айзерман высказал гипотезу о том, что ..многомер- . ная динамическая система с одной нелинейность», удовлетворяв-рей обобщенным условиям Рауса-Гурвица, является устойчивой в целом. Конструктивное описание нелинейных систем, для которых гипотеза Анзермана неверна, оказалось чрезвычайно трудной задачей. Первым опроверг эту гипотезу II.Н.Красовскип (1953 год), указав двумерные системы из этого класса, которйб обладают решениями, уходящими На бесконечность,

'. В 4.1 на ос'ноь.- метода двумерных систем сравнения получено обобщение На-многомерный случай' результатов Н.Н.Кр'асовсцого для двумерных систем. Тот ве подход позволяет распространить на

многомерный случай известные результаты В.N. Белых и В.И.Некор-кина о необходимых условиях устойчивости двумерных систем с угловой координатой, а также выделить )сласс многомерных систем, для которых не справедлива гипотеза И. А. Айзермана. Рассмотрим многомерную систему с двумя нелинейностями

St = + Ше), ¿ = + (10)

где А - постоянная (п-1)*(п-1) матрица, имеющая одно нулевое собственное значение и (п-2) собственных значений с отрицательной вещественной частью, В и С, - (п-1)-векторы, ^ -число, и ^(б) - непрерывные, ограниченные при всех (jeC-oo,«3) функции, удовлетворяющие соотношениям

ffV, (б) У 0 , <?,(<») ^io') >0, 6Y о,

(11)

Теорема 4.1. Пусть выполнено неравенство

piV(p)?0, g9e IVCpJ» ^ГД-рГ)"^. ГогЗа Зля ''устойчивости о целой нулевого решения систзт (Ю) с ограниченным нелинейнсетт ^(б) и ^(ßj, удовлетво-рята;ияи соойндаениян (Ii), необзроЭияо, чтобы баш выполнены

условия _pQ

(^(«M^+w; -о,

о 0

Для п=2 из этой теоремы вытекает упомянутый выше результат H.H. Красовского.

При исследовании устойчивости систем часто возникает задача об оценках областей притяжения состояний равновесия. В настоящее время•известны различные способы оценок областей протяжения состояний равновесия многомерных систем 4M. Я. Вайман, Г.А.Леонов, А. А.Первозванский). Однако встречаются ситуации, когда эти. области притяжения для реальных систем столь сложны, что все известные приемы позволяют выделить лигаь очень малую их часть.Именно такая ситуация имеет место для областей притяжения состояний равновесия математических моделей систем частотной синхронизации. Для решения задачи оценки областей притяжения многомерных систем частотной автоподстройки частоты

в 4.2 строится семейство знакопеременных функций Ляпунова, в конструкциях которых используется информация о поведении.реяе-ний некоторых вспомогательных систем второго порядка.

Математической моделью системы частотной автоподстройки частоты может служить ■ система (4) с^=0 .Относительно непрерывно дифференцируемой нелинейной функции предполагаются выполненными условия

ф(<5о}= = О-+ б> * 6т,

)4 О при е фбс 0,1,1,,.., >н),

означающие, что кроме тривиального состояния равновесия 'к - О, б0 , система (4) имеет еще ровно (-н- состояний равновесия 0, 6 = 61 (к*-1,1,. Предположим дополнительно, что

■гурвицева. Это предположение гарантирует устойчивость в малом ■ решения б" = 0 . Среди остальных состояний равновесия мо-

гут быть как устойчивые, так и неустойчивые. Пусть^(р)-2-(А-р!) 6

Теорема 4.2. Пусть IV рУ-(р)--£*6 и существуем положительные числа £<, Еа , а/,^ такие,, что выпол-

нены условия.

1. Матрица А+А,1 гурвицева. .

2. Матрица Аимеет одно положительное собственное значение и п-1 собственное значение с отрицатоль'ньш вещественными частями.

матриц

3. ^1Си'со-}1)-Е,1Х(ии'А1)11^0 ■ Чш^:

4. ^(¿«о-и)^ МХО'ш-А^Г'- 0 Лше.й'

5. Существуют решения У., (б)» 71(<э) уравнения

опребеленные на и [<¿2,0/5] соответственно, причем

З^КЗ^сЬО-,' при ев^ь^о), ■

при (р^^з)-

6. Существует решение &Сб) уравнения

опреЭеленное ка и уЭовлетворястцее условию &(р)-б{£ч)=0,

при <Ге (рф).

7. Справедливи соотношения

<¿1* 0,' с10>0, ¿¿1 ¿<¿<,¿^¿<11,

|б(о)| ^ I при «Те [¡Ъ,} )ьъ], ЧЦр,) * I

Тогда существуют такие п*п матрица М = о и неособая пхр катрица Н- Н* , имеющая ровно одно отрицательное собственное значение, что множество содержится б области притя-кения нулевого состояния раоноаесия. ЗЭесь

Л, = {& е): %* М зь-1 %1(б) £0, бе ' = {(2,6): £ о, 6-е [рф]', 2*Ц* О,

аЧи-

Патрици ¿1 и II яогул бить найЗекы в соответствии с известны-щ процедурам. •

Альтернативой устойчивости нелинейной динамической системы монет служить не только существование циклов, ', но и наличие различного рода "колеблющихся" решений. Методы обнаружения так называемых "автоколебаний по выходу" у систем автоматического регулирования был предложен В.А.Якубовичем.

В 4.3 предложен новый метод обнаружения такого нелинейного эффекта, как.наличие неограниченных по выходу колебаний у многомерных динамических систем. Ранее такие аффекты, \ присущие, например, известным системам Вышнеградского и Кизеса, удавалось обнаруживать только с помощью метода точечных отображений (А:А.Андронов,А.Г.Кайер).- Предложенная в 4.3 методика позволяет не только констатировать факт наличия неограниченных колебаний "почти без всяких вычислений" ,но и эффективно выделять области неустойчивости в фазовом пространстве, в которых 'начинается неограниченно колеблющиеся реиения.

СйрздййШйа 3. Решение системы (3) называется не-

ограниченно колебательным по выходу <?Ш, если выполнены следующие условия:

1) (К(+) определено на и функция бесконечное число раз меняет знак при Ь -»«=>;

2) существует последовательность Ь^"0 такая, что )-»«>. Приведем здесь один из результатов, полученных в 4.1.

Пусть О ^^ <?о, 1?' - некоторые вещественные числа.

Введем следующую функцию

1Г(ю) = & [-Й /(, Х^ЯЬ^Ж»?)]** [ииХССш)] .

Эта функция определена для всех ф , где ио и - чисто мнимые собственные значения матрицы А. Обозначим через рГА) характеристический многочлен матрицы А; р-СА)= А%0(1 +.., т о/и-.

Теорема 4.3. Пусть пара полностью управляема и

выполнены следующие условия. : ■

2. е.ь/-ч

3. Х(а>)>/ 8",|(А- шЛ) '6 I4, Эля некоторого Ь\>0 и всех о>б[0;о°)) софсо^ , и если матрица /4 не ижеет собственных значений на /кшшой оси, то условия

1ГГ(и;) > 0 ,' ш е |А , ? О.

а1 г) ста

При этом для некоторого ^ £ матрица А+ ^^^ ияеет

к >1 собственных значений с положюашидки есществвнники частями. '

4. Для некоторого р0 матрица Ь- А+у^й. гурвииева.

б. Нелинейность в точках непрерывности удовлетворя-

ет при всех 6" условию

- Ч>(6)5}С, а при |б| ъ60 О - условию

Тогда при к<п в фазовом пространстве системы (3) существует открытое множество Г, простирающееся от сферы некоторого радиуса И> 0 до (т.о. существует непрерывная кривая

^с-Г (5? о) такая, что |г/(о)|--£, при н« ), и ша-

ое, что любое решенио %(Ь,<Г0) с начальным условием х(о,1уеГ еогратчснно колебательно по выходу 6(0 . Если к=п (жтипца А + актигурсицева), то осе решения еисте.та (3) с дчальныш условиями оне с$ори Оостаточно большого раЗиуса ^ограниченно колебательны по выходу 6(0'

В 4.4 исследуются вопросы глобальной асимптотической устойчивости некоторого класса многомерных динамических систем с ,вумя угловыми координата»,(и. Такие системы являются математической моделью широко распространенных электромеханических метем фазовой синхронизации. Приближенные методы исследова-1ия, используемые при расчетах технических систем, позволяют •арантировать только устойчивость в малом их состояний равно-юсия. Результаты, полученные в 4.4, дают рекомендации по выбору параметров систем, обеспе-шващие их глобальную асимпто-■ическуо устойчивость, означающую достижение эффекта синхрсни-(ации при любых начальных расстройках.

ОСКОВНКН ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. Буркин И. Н.. Леонов Г.А. Неограниченная колебательность нелинейных регулируемых систем II Вестник Ленингр. унта. 1975. N 7.

2. Буркин И.Н.,Леонов Г.А. 0 существовании нетривиальных периодических решений в автоколебательных системах II Сиб. мат. яурнал. 1977. Т. 13. М 2.

3. Буркин И. М. Об одном критерии абсолютной устойчивости колебаний в системах регулирования с нестационарной линейной частью. //Диф. уравнения. 1977. N4.

4. Буркин И.М.,Комарова Г.Л..Леонов Г.А. 0 существовании .предельных циклов второго рода у одной динамической

системы с цилиндрическим фазовым пространством // Нелинейные колебания и теория управления.. Икевск. 1977

5. Буркин И. М. Частотные условия моностабильности и автоколебательности многомерной нелинейной системы с одной дифференцируемой нелинейностью II Некоторые вопросы диф. уравнений в решении лршеладных задач. Тула. 1980.

6. Буркин И. М.. Буркина Л. И. .Леонов Г. А. Проблема Барбапи-на в теории фазовых систем П Диф.уравнения. 1931.

г. xvii. fi 11.

7. Буркин И.М. О существовании периодических решений у нелинейных иногосвязных систем // Мат. методы оптимизации и управления в сложных системах. Калинин. 1982.

8. Буркин И.М., Леонов Г-А. О существовании нетривиальных периодических решений у одной нелинейной системы третьего порядка.//Лиф. уравнения. 1984. N 12.

9. Буркин И.М. Метод функций Ляпунова в теории существования периодических решений нелинейных многомерных автономных систем // Тезисы докл. Всесоюзной конф. "Метод Функций Ляпунова в современной математике". Харьков. 1986.

10. Буркин И.М. Необходимые условия устойчивости многосвязных систем регулирования в критическом случае двух нулевых корней // Мат. методы оптимизации и управления в системах. Калинин. 1987.

11. Буркин И. М., Дзесов И. С..Леонов Г.А. Об оценках областей притязания стационарных решений дифференциальных уравнений систем частотной синхронизации. 1,2 // Диф. уравнения. Т. £8. N 2, 3. 1690.

12. Буркин И.М. Об орбитальной устойчивости предельных циклов второго рода систем, встречающихся в теория синхронных манин // Математические методы исследования систем. Тверь.1991.

13. Буркин И.М. Частотный, критерий орбитальной устойчивости предельных циклов второго рода ■ // Днф.уравнения. 1993. И 6. ' • ...

14. Цуркин И.М. Орбитальная устойчивость предельных циклов второго рода динамических систем с цилиндрическим ,80вш пространством // Лиф. уравнения. 1093. Я G.

15. Буркин И.М. О многомерных системах с иеедпнстаенным циклом // Известия Тульского гос. университета. Сер. Мат. Ilex. Информатика. 1995, Т. 1. Был. 1.

16. Леонов Г.А..Буркин И.М..Шепелявый А.И. Частотные методы в теория колебаний. Т.1 и 2. Лзд-ео С.-Петербургского университета. 1892.

17. Lecnov G.А.,Eurkin i.fi.,Shepeljavyi A.I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Klu«er Accdeaic Publi-chers. i&i».

Ti«>«№gifB> в r.tKZU. &-i)S,i>H Сорияг бумага'CQxM 1/IC. Бупгга ткпограф. Сфеспоя ач». Уса. гам. ftf. Усл. вр.-стт. W. Уч.чидл. /,£Лира^; *t> SzEoa*//.

TyzbCzuH . c^cyexpcixccuu-Э jpss^epemet. 380650, Тула, проса. Л сши л Падраадсдтжс ьиератшкс.б иолнграЗжз Тульского государственного у, автета. ЗШКСЗ Tyjsa, уд-Еолдик®,, 151.