автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и алгоритмы для определения реакций гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей

На правах рукбпйси

ЖуС

Слепова Светлана Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕАКЦИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСА МИНИАТЮРНОГО ШАРОВОГО ГИРОСКОПА С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Специальности: 05.13.18- «Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ», 05.11.03 - «Приборы и навигация»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Челябинск 2006

Работа выполнена на кафедре «Приборостроение» Южно-Уральского государственного университета.

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент Левина Г.А. Научный консультант - доктор технических наук, профессор Лысов А.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Телегин А.И.;

кандидат технических наук Гохфельд В.Д.

Ведущее предприятие - ФГУП НПО электромеханики, г. Миасс.

Защита диссертации состоится 24 мая 2006 г. на заседании диссертационного совета Д212.298.02 при Южно-Уральском государственном университете: 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ЮУрГУ.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенных печатью, просим направлять по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76, ЮУрГУ, Ученый совет.

Автореферат разослан 17 ал/илЛ- 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н., профессор

А.О. Чернявский

¿00 Ь А-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из определяющих тенденций развития современных систем инерциальной навигации и управления движением объектов различного назначения является их миниатюризация. Разработка перспективных навигационных систем предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой надежностью.

Один из вариантов реализации таких приборов предложен в НПО электромеханики и основан на использовании миниатюрного шарового гироскопа в гидродинамическом подвесе (автор и руководитель проекта - A.C. Золотухин). Ротор шаровой формы, представляющий собой постоянный двухполюсный магнит, заключен в заполненную маловязкой немагнитной жидкостью сферическую полость каркаса статора, сообщающуюся через отверстия с камерой, в которой жидкость находится под давлением. Величина зазора между поверхностями ротора и полости в радиальном направлении мала по сравнению с радиусами каждой из поверхностей. Ротор приводится в быстрое вращение магнитным полем электрических обмоток 1, 5, расположен-

Прибор, включающий в себя датчик угла 4, датчик мпмгтггп 3 п гтнпро низирующие обмотки 2, 6, может служить чувствительным эле« Л Ь ИДЯ

3 С.-Петербург

03 200/6,.. 3 Я А

билизатора. Сигналы с датчика угла 4 и синхронизирующих обмоток 2. 6 подаются на усилительно-преобразовательный блок (УПБ), с помощью которого формируются сигналы управления двигателями стабилизации Дь Д-.

Датчик момента 3 используется для компенсации постоянных составляющих возмущающих моментов и для начальной выставки платформы. Сферический гидродинамический подвес создает возможность самоцентрирования и демпфирования ротора и обладает большой несущей способностью.

Уравнения относительного движения шарового гироскопа - чувствительного элемента гиростабилизатора в первом приближении в проекциях на оси Резаля можно записать в виде:

А а + Ьа + НР + + к2Р = - Нй>£ - А ю^ + + М^,,

А ¡3 + ЪР - На - к2а + кф = Н^, - А а^ + М^Р + М^,

где А - экваториальный момент инерции шарового ротора; Н - кинетический момент гироскопа в собственном вращении; Ь - коэффициент сопротивления вращению в гидрогюдвесе; к\, к-, - коэффициенты элeктpovaгнитныx моментов, характеризующих взаимодействие намагниченного ротора с электрическими обмотками статора; '^сла ~ проекции возмущающих моментов со

стороны гидроподвеса на оси Резаля; М0у1, М(^2 - проекции возмущающих

моментов, обусловленных другими факторами; ¡¡ь Ст, - оси, связанные с платформой; ~~ составляющие угловой скорости платформы; а, /? - углы

поворота гироскопа относительно платформы.

При позиционной цепи стабилизации электромагнитные моменты вызывают дрейф. Введением интегрально-позиционной цепи стабилизации влияние этих моментов на дрейф платформы в установившемся режиме (а = 0, Р = 0) исключается. Представляет практический интерес изучение возмущающих гидродинамических моментов М^С, , обусловленных технологическими погрешностями вследствие условий изготовления и сборки каркаса статора. К ним относятся геометрические погрешности в виде несферичности формы, сдвига центров и усечения сегментов каркаса. Актуальной задачей является анализ таких возмущающих моментов и оценка величины дрейфа, вызванного ими: = /н, со^2 = ■

Следует учесть особенности задачи, связанные с миниатюризацией. Рассматриваются модели гидродинамического подвеса, радиус Я2 шарового ротора которого может принимать значения в интервале 1-5 мм. Величина радиального зазора 8 между поверхностями статора и ротора при концентричном положении сфер составляет 5-10 мкм. В соответствии с указанными параметрами подвеса слой жидкости, заполняющей зазор, является «тонким», геометрически соответствующим смазочному слою: относительная толщина зазора {¡/ = 2 имеет порядок 1СГ3— Ю-2.

При изучении течения тонкого слоя жидкости в задачах гидродинамической теории смазки силами инерции жидкости по сравнению с силами вязкости

• 2 /

пренебрегают, если приведенное число Рейнольдса Яе = = а>ё ¡V (где у-кинематический коэффициент вязкости) значительно меньше единицы. Тогда для описания течения жидкости в зазоре применяют приближенные уравнения, полученные из уравнений Навье - Стокса - уравнения Рейнольдса. Большая скорость собственного вращения ротора со: 3,14-103—1,88" 104 рад/с, необходимая для обеспечения достаточно большого кинетического момента гироскопа при его малых размерах, приводит к тому, что значения числа Яе находятся в интервале 0,1—1,2. Поэтому требуется исследовать возможность применения уравнений Рейнольдса для определения распределения давления слоя жидкости и результирующих реакций подвеса.

Цель и основные задачи исследования. Целью работы является разработка математических моделей, алгоритмов и программ для определения сил и моментов сферического гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических технологических погрешностей.

Цель достигается решением следующих задач:

1. Обосновать применение приближенных дифференциальных уравнений относительного движения жидкости в зазоре подвеса миниатюрного шарового быстровращающегося гироскопа. Оценить влияние инерции жидкости при установившемся движении на реакции гидродинамического подвеса.

2. Изучить особенности определения гидродинамических сил и моментов в случае гироскопа, установленного на подвижном основании.

3. Разработать математические модели и алгоритмы для определения функции давления и гидродинамических реакций сферических подвесов с полюсными отверстиями, имеющих геометрические погрешности.

4. Создать программное обеспечение для численного моделирования характеристик подвесов: распределения давления по поверхности ротора, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления жидкости и возмущающих моментов, приложенных к ротору.

5. Исследовать зависимости значений результирующих гидродинамических сил и моментов от параметров геометрических технологических погрешностей и определить допустимые величины геометрических погрешностей подвеса ротора гироскопа.

Методы исследования. При исследовании задач гидродинамики тонкого слоя жидкости использованы приближенные аналитические методы - метод осреднения конвективных инерционных слагаемых по толщине слоя и метод малых возмущений и численные методы - конечно-разностный метод для решения систем краевых задач, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями, и метод конечных элементов в формулировке Галеркина для решения двумерной краевой задачи. В работе использованы алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с матрицами ленточной и разреженной структуры.

Программы численного моделирования характеристик гидродинамического подвеса разработаны в среде Турбо Паскаль 7.0; при представлении результатов расчета применены системы математических расчетов MathCad 2000 Professional и электронных таблиц EXCEL.

Научная новизна результатов диссертации.

1. Построены математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с различными видами геометрических погрешностей, содержащая вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя жидкости, и пакет прикладных программ для определения результирующих сил и моментов подвеса.

3. Получены приближенные аналитические решения задачи о гидродинамических реакциях сферического подвеса при осевом движении центра ротора с учетом сил инерции жидкости. Определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых является обоснованным применение уравнений Рейнольдса, не содержащих конвективных инерционных слагаемых.

4. Определены равновесные положения центра ротора в подвесе и количественные оценки влияния переносного ускорения на результирующую гидродинамическую силу на основе аналитического решения задачи о реакциях замкнутого сферического подвеса при произвольном движении центра ротора с учетом ускоренного поступательного движения основания.

5. Получены численные оценки возмущающих моментов и угловых скоростей дрейфа платформы гиростабилизатора, обусловленных геометрическими погрешностями подвеса, для класса миниатюрных шаровых гироскопов с гидродинамическими подвесами.

Практическая значимость работы.

1. Создан пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования распределения давления слоя жидкости и действующих на ротор результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов с учетом геометрических погрешностей.

2. Представлена инженерная методика применения разработанного программного обеспечения, позволяющая решать задачи анализа и синтеза при проектировании миниатюрного шарового гироскопа.

3. Результаты исследования применены при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс).

Достоверность полученных результатов обосновывается выбором корректных вычислительных схем решения краевых задач, анализом точности дис-

кретной аппроксимации дифференциальных уравнений; сопоставлением численных решений тестовых задач с имеющимися аналитическими решениями

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции «Вклад молодых ученых и специалистов в решение задач технического перевооружения предприятий области» (Челябинск, 1989), на XVIl-й межотраслевой научно-технической конференции памяти H.H. Острякова (Ленинград, 1991), на Всесоюзной школе-семинаре «Проектирование и технология изготовления газовых опоп экологически чистых машин» (Ростов-на-Дону, Москва, 1991). на ВсероссиискоП научно-технической конференции «Гироскопические системы и их элементы^ (Саратов, 1992), на XXIII-й Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2003), на ежегодных научно-технических конференциях ЮУрГУ

Публикации. По теме диссертации имеется 16 публикаций, в том числе 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, 9 статей, 5 тезисов докладов на Всесоюзных, Всероссийских, межотраслевых научно-технических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на 177 страницах, включая 88 рисунков, 11 таблиц и библиографический список, содержащий 81 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, определены цель исследования и задачи, отмечены научная новизна и практическая значимость работы, проведен обзор литературы об исследованиях в области сферических гидродинамических подвесов и методах, решения краевой задачи для давления в тонком слое жидкости.

Изучению течения вязкой жидкости в зазоре между двумя гладкими сферическими поверхностями и определению гидродинамических характеристик таких подвесов посвящены работы отечественных и зарубежных авторов: Андрейченко К.П., Ахвердиева К.С., Барсукова В.Н., Быкова В.М., Ветер B.C., Горенштейна И.А., Гу, Дементьева ОЛ., Заблоцкого Н.Д., Иващенко В.А., ► Киреева A.C., Лапина A.A., Левиной Г.А., Лойцянского Л.Г., Никитина А.К.,

Овсиенко Ю.Г., Остроухова Б.И., Панкратова В.М., Павловского М.А., Пэна, Радыша Ю.В., Рогожникова Ю.Ф., Сипенкова И.Е., Смарунь А.Б., Смирнова Б.И., Снопова А.И., Токаря И.Я., Хапиловой В.Е., Чайкина В.А., Юрокина А.И., ' Якушина В.И. и др.

В работах Аллейра, Болдырева Ю.А., Букера, Гантера, Генки, Григорьева Б.С., Николаса, Редди, Флетчера Л. и Хюбнера описано применение метода конечных элементов к решению краевых задач для давления тонкого слоя сжимаемой и несжимаемой жидкости. С помощью приближенных аналитических методов распределение давления с учетом инерции слоя жидкости определяли Андрейченко К.П., Ахвердиев К.С., Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А.,

Лунн, Никитин А.К., Овсеенко Ю.Г., Полецкий А.Т., Рейнхарт, Слезкин H.A., Степанянц Л.Г., Тарг С.М., Токарь ИЛ., Якушин В.И. и др.

В первой главе рассматривается задача о гидродинамических реакциях замкнутого сферического подвеса миниатюрного шарового ротора. Быстро-врашающийся ротор является основным элементом гироскопического прибора, установленного на движущемся объекте на гиростабилизированной платформе. Угловые скорости и переносного движения являются малыми, а переносные линейные ускорения А могут принимать большие значения (рис. 2).

Рис. 2. К постановке задачи о реакциях замкнутого гидродинамического подвеса гироскопа: 1 — ротор, 2 - каркас статора

При описании движения тонкого слоя ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости между двумя сферическими поверхностями в соответствии с классическими допущениями режим течения принимается ламинарным и изотермическим. На основе оценки порядков слагаемых уравнений Навье - Стокса относительно малой величины у/ с помощью параметров подобия и усечения членов СК ц/) получены приближенные уравнения, содержащие слагаемые, обусловленные вязкостью и инерцией жидкости.

Анализ влияния сил инерции на гидродинамические реакции выполнен на модели установившегося вращения и осевого движения центра ротора в полости каркаса статора. Приближенные уравнения течения жидкости в зазоре подвеса и уравнение неразрывности, записанные в безразмерной форме в сферических координатах г, в, (р, отсчитанных в пространстве статора 0ХХ1Х2Х3 (СКх,), имеют вид:

Fr дв Re

дг Ув

- дМ,

V® д\а

Eu dp 1

д%1 д2 Va

sin в дер Fr sin# дер Re {€\пв)д¡д\ + д(\вътв)!дв + dV<p/dtp = 0.

Здесь переменные р, представляют собой соответственно отноше-

ния избыточного гидродинамического давления и компонент вектора скорости частицы жидкости к их характерным значениям: р = р/р0, = ,

\в 25 ^ = рг = о?К21?>> ё~ гравитацион-

ное ускорение; Ей = РоДсч2!^/?); р - плотность жидкости; fв(в,<p,A^i/g)1 ^(0,(р, АХ(- проекции вектора плотности массовых сил на оси сферической

системы координат. Граничные скорости определяются по условию «прилипания» частиц жидкости к твердой стенке, функция давления принимается непрерывной и периодической по переменной ср.

Приближенные решения найдены двумя методами: методом осреднения

' конвективных слагаемых по толщине слоя (функция рср) и методом разложе-

ния в ряд по малому параметру Яе* проекций скоростей и гидродинамического

давления (функция рКе). Функции давления рСр, рКе имеют качественно ' одинаковый вид, их численные значения отличаются приблизительно на 10%.

Найденные аналитические выражения для проекций результирующей гидродинамической силы и момента сопротивления содержат слагаемые, включающие переносное ускорение основания и множитель (Яе*)2, - дополнительные слагаемые по сравнению с известным решением Л.Г. Лойцянского для сферического подвеса без учета сил инерции.

Анализ влияния конвективных сил инерции показал: для чисел Яе и А из интервалов Яе* е [0,1; 0,5], А е [0,3; 6] избыточное давление не превышает 10% от характерного давления р0 в слое при выполнении условия Яе -А < 0,6. При этом влияние инерции жидкости на результирующую гидродинамическую силу Г не превышает 0,5%. Величина главного момента сил вязкого трения Мо увеличивается менее чем на 0,02%. Для других чисел Яе и А влияние инерции жидкости на характеристики подвеса является более значительным. Поэтому определены области допустимых значений физических параметров со миниатюрных сферических подвесов, при которых применение не содержащих конвективных инерционных слагаемых укороченных уравнений в виде ► уравнений Рейнольдса является обоснованным.

Во второй главе на модели замкнутого сферического подвеса ротора гироскопа с горизонтальной осью вращения и произвольным пространственным I движением его центра решена задача о гидродинамических реакциях с учетом

ускоренного поступательного движения основания. С помощью преобразования всех параметров движения подвеса от исходной, жестко связанной с каркасом статора системы координат СКх! к подвижной системе координат СКх^ одна из осей которой является осью симметрии зазора, построено аналитическое решение. Получено, что при малых относительных экваториальных смещениях центра ротора ^Ю"4, 10~3 и 10~2, соответствующих переносным ускорениям g,

10д и 1 ООй, в экваториальных составляющих Рл результирующей силы подвеса слагаемые, зависящие от переносных сил инерции, составляют = 20% от слагаемых, обусловленных вязкостью жидкости. Эксцентриситеты ротора в равновесных положениях его оси, вычисленные с учетом и без учета переносных сил инерции жидкости, отличаются на = 22%. Численные оценки свидетельствуют, что в миниатюрных сферических подвесах с использованием маловязкой тяжелой жидкости при определении значений проекций гидродинамических сил необходимо учитывать инерционные массовые силы от переносных ускорений. Найденное аналитическое решение применяется как тестовое при оценке достоверности численных решений последующих задач.

В третьей главе рассматривается задача о влиянии геометрических погрешностей гидродинамического подвеса ротора гироскопа на его реакции. Шаровой ротор совершает установившееся вращение вокруг горизонтальной оси в неподвижной полости статора. Зазор между поверхностями статора и ротора сообщается с камерой через два противоположных отверстия. Зазор и камера заполнены маловязкой жидкостью под давлением для исключения кавитации. Геометрические параметры отверстий таковы, что они не являются ограничителями расхода поступающей в зазор жидкости.

Каркас статора составлен из двух полусферических сегментов. Исследуются расчетные схемы гидродинамических подвесов с учетом геометрических погрешностей в виде усечения и сдвига центров сегментов", схема А: плоскость смещения усеченных сферических сегментов, составляющих статор, перпендикулярна оси вращения ротора (рис. 3); схема В: вектор сдвига центров оснований сегментов лежит в плоскости, проходящей через ось вращения

Принимается, что отклонения оси собственного вращения ротора О7л относительно оси статора ОхХз, а также скорости этих отклонений малы и ими можно пренебречь при определении реакций подвеса.

Рассматривается также расчетная схема С, в которой поверхности ротора и полости каркаса статора представляют собой близкие к сфере эллипсоиды с произвольно ориентированными главными осями (рис. 5). В этом случае принимается, что ось собственного вращения ротора Ог3 отклонена на малые углы а, относительно оси статора Охх3.

Для схемы А (рис. 3) уравнение Рейнольдса для распределения давления записывается для каждой из областей к в сферических координатах, отсчитанных в пространстве статора Охх{к)х«х« (к = 1,11):

д

Рис. 5. Расчетная схема С (к)

(Н(к))3] +

1

ятб? дер д<р

где р ' - давление в области к; /' = 1; I" = - 1; Л = 6/жоК\]<52р0 ; /л - динамический коэффициент вязкости; р0 - давление в камере; функция зазора в области к -Н(к) = 1-£-!(к)8т^со5<з-4Ю8т(9зт<»-4к)со8б'; (2)

дв дв

-(к)

£\ = ; 4 = е2; 4 = £з+А'<

и ■ J // ~ 1 II ~~И

е{' = е2е2 = £) -2сов^; = -Ег + Хг

е, (1 = 1,3) - проекции относительного эксцентриситета на оси СКх,; X ~ относительные параметры усечения полусферы к вдоль оси Охх-< и сдвига центров сегментов; ф - угол ориентации вектора сдвига. Приняты следующие

краевые условия: {(П1 д?1 /дв\ = -((ПП )3 др" /дв) ; рУ\вь(р)=\, V /0=я/2 V )е=я/ 2

= г*/я,, г* - радиус отверстия.

Краевая задача решается методом малых возмущений. В качестве малых

параметров принимаются величины (¡ = 1,5): Л\ = Л2 = £\: Л2= Л!/

¿3 = Л." = х соэф; Л4 - Л]1 = х ^'тф; = + х'з \ = -£3 + Х\ • Функция

давления приближенно представлена в виде: р^ =+ . Функции

1=1

первого приближения приводятся к виду:

Р<У) = 1, Р^ = ±г™(в) З1п<г> ± соз^ (¡ = 1,4), Р™ = 0,

где функции 2^(9) (] = 1, 2; 1 = 1,4) определяются решением восьми краевых

задач, которые представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения с соответствующими краевыми условиями. Строятся разностные схемы интегро-интерполяционным методом на равномерной сетке. Разностные уравнения приводятся к системам линейных алгебраических уравнений трехдиаго-нальной структуры, которые решаются методом прогонки.

В схеме В зазор терпит разрыв по координате (р с переменной по координате 9 «ступенькой» (рис. 4). Учесть нерегулярности геометрии зазора гидродинамического подвеса позволяет решение двумерной краевой задачи для распределения давления методом конечных элементов в формулировке Галеркина. Поверхность чаши подвеса разбивается на четырехугольные конечные элементы N параллелями и I меридианами по сферическим координатам в, <р соответственно. Причем, линии координатной сетки, проходящие по меридианам (р = '0 и (р = л через полюсы сферы в = О, в = л, разделяют поверхность на области I и И, показанные на рис. 4.

Краевая задача для функции давления задана уравнениями (1) при Рк> = I,

к = /, II и краевыми условиями: р(к\#| ,<р) = 1, р' (в, 0) = р' {в, 0), р (в,ж) -= р/7(0,7г). Функция зазора Н^ в уравнении (1) определяется по формуле (2), в которой е' = ех\ е{ = £2 +%2' £" =Е\+ ХС0*Ф; ¿2 = £2~%2^

е^1 = £3 + %51пф; Хг ~ относительный параметр усечения полусферы к вдоль ОСИ ОхХ2-

Приближенное решение краевой задачи записывается в виде линейной комбинации пробных функций, коэффициентами которых являются узловые значения искомой функции давления в области к: Р^ = Р^, где Р(к) -столбец значений функции давления р® в узлах I = (1/2 +1)0-1) +}, которым соответствуют координаты # и <р} (¡ = 1, N] = 1,1/2 + 1); W - матрица-строка, компонентами которой являются билинейные пробные функции шх(в,(р), определяемые на каждом конечном элементе. Уравнения для узловых значений р[к* получены по условию Галеркина:

ЛЭДОДэОДфЮ««), ё = 1,^(1/2 + 1). (3)

пло

Здесь щ(в,ф) - весовая функция выбирается из того же семейства, что и пробные функции тдК(в,<р)\ - невязка уравнения (1). Добавляя к двум системам уравнений (3) при к = / и к = // краевые условия, получаем замкнутую систему линейных алгебраических уравнений высокого порядка

А Р = С,

-

Рис. 6. Структура матрицы А

где Р - столбец, составленный из искомых узловых значений функции давления, С - столбец, состоящий из коэффициентов, обусловленных дискретизацией краевой задачи, А - квадратная разреженная матрица почти девятидиагоналыгой структуры с локальными отклонениями, элементы которой также обусловлены дискретизацией. Ненулевые элементы аза матрицы А расположены по указанным на рис. 6 диагоналям и в отмеченных (х) узлах.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с ленточной структурой матрицы А эффективным является построенный на основе метода Гаусса обобщенный алгоритм Томаса. Основная идея состоит в многократном повторении прогонки вперед с целью последовательного исключения диагональных элементов матрицы, расположенных под главной диагональю. В рассматриваемой задаче алгоритм Томаса непосредственно применить невозможно, так как исходная матрица А не является строго ленточной. Выполнена модифицикация алгоритма Томаса, в которой учитываются особенности расположения ненулевых элементов матрицы А, и приведена оценка числа арифметических операций алгоритма. Созданный алгоритм может быть применен для класса систем линейных алгебраических уравнений с подобной разреженной структурой, к которым при численном решении приводятся задачи для распределения давления тонкого слоя с условиями периодичности.

В схеме С (рис. 5) учитываются погрешности отклонения поверхностей ротора и чаши подвеса от сферичности в виде эллипсоидальности. Дифференциальное уравнение для распределения давления с осредненными за полупериод оборота ротора коэффициентами записывается:

дв\дв

д/р\д(р

-Лзт 0{£1(-зт#5т^-асо5<?) +

+ £2(бш<9со&ф-Рсо&в) + втв(асо®д> + /Зъ'т<р)+ ¡тО*

1=1

,и> Л"

Здесь выражение для относительной величины зазора имеет вид: Н = 1- 2>кЯк + £л-1Н,(в,<р,2ер,ф1х)4*))+ ¿1^(0,

к=1 ¡=1 р4

где =8т0соз^; Н2 = втб #з=сов0; А\ - параметры эллнпсоидапь-

ности поверхностей чаши подвеса при 1 = 1,3 и ротора при ¡ = 4,6, отнесенные к

величине радиального зазора <5; О = 1, 2) - углы ориентации главных

осей эллипсоидов чаши подвеса и ротора в СКх, статора и СЮ, ротора соответственно; / - угол поворота ротора относительно собственной оси. Краевые условия принимаются следующими: р(в,(р) = р(в,ср + 2я); р(вх,ср) - р(ж -д\,<р) = 1.

Двумерная краевая задача для функции давления с помощью метода малых возмущений, как и в схеме А, сведена к семнадцати краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве малых параметров приняты относительные смещения центра ротора (к = 1,3) и относительные параметры эллипсоидальное™ Л, (¡ = 1,6). Численное решение пятнадцати подобных краевых задач для функций первого приближения выполнено применением тех же методов, что и в схеме А при вычислении функций 0 = 1, 2; ¡ = 1,4). Для двух из полученных краевых задач найдено

аналитическое решение.

По узловым значениям функции давления, полученным при исследовании схем А, В, и С, численно определяются касательные и нормальные напряжения на поверхности ротора, и затем вычисляются значения проекций результирующих гидродинамических сил на оси СКх, статора, момента сопротивления и возмущающих моментов с помощью квадратурной формулы Симпсона.

В четвертой главе приведены алгоритмы расчета характеристик сферических гидродинамических подвесов, обусловленных геометрическими технологическими погрешностями. На основе алгоритмов в системе Турбо-Паскаль 7.0 разработан пакет прикладных программ «Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа (АПГ -СГПГ)» и РООУЕЯ С для численного моделирования распределения давления, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов, приложенных к быстровращающемуся ротору в подвесах, выполненных по схемам А, В и С.

Численное моделирование проведено для реальных гидродинамических подвесов, параметры которых предоставлены разработчиками шарового гироскопа: р0 = 5-Ю5 Па; р = 1,75-103 кг/м3; ц = 7,4-1 (И Па-с; Я2 = 0,6-10 3 м; 1,185-Ю""3 м; 1,5-10"3 м; 2,5-10~3 м; 6= 5-Ю"4 м; & = 3,14-103-18,85-103 рад/с; плотность материала ротора рр = 8-103 кг/м3.

Геометрические погрешности гидроподвеса влияют на распределение давления слоя жидкости - приводят к несимметричности формы поверхности функции давления вдоль координат в, ф. В качестве примера на рис. 7 представлена поверхность функции распределения избыточного давления слоя жидкости подвеса с параметрами: а>= 6,283-103 рад/с, Яг = 1,185-10 3 м, выполненного по схеме В. Здесь величины усечений полусфер х[, Хг и модуль вектора сдвига х равны 5-1 (Г7 м при угле ориентации вектора сдвига ф = л/6,

относительные смещения е, (¡ = 1,3) центра ротора составляют 0,01. Заметим, что в этом случае двумерная краевая •задача для функции давления решена методом конечных элементов.

Получены численные оценки момента сопротивления роюра и возмущающих моментов, вызывающих уходы платформы гиростабили затора, в зависимости от величин геометрических технологических погрешностей.

Момент сопротивления ротора в гидродинамическом подвесе, выполненном по схеме А, не зависит от сдвига % центров сегментов, составляющих каркас статора. В гидроподвесе, выполненном по схеме В, с ростом величины сдвига х от 0 до 2-10"6 м момент сопротивления увеличивается на 11,9%. Изменение параметров усечения полусфер х1 ■> Х? (1 = 2 - для схемы В, I = 3 - для схемы А) от 0 до 1,5-10"6 м приводит к возрастанию момента сопротивления на 7,8% и 3,73% в схемах В и А соответственно. Влияние эллипсоидальности каждой из поверхностей подвеса на момент сопротивления ротора практически не отличается. Увеличение одного из параметров эллипсоидальности (] = 1,6) поверхностей ротора или

чаши подвеса от 0 до 10"6 м приводит к изменению величины момента сопротивления на =8%. При этом максимальные отклонения момента сопротивления от номинальных значений, обусловленные рассогласованием ф^Р, ф^ 0=1,2) главных осей Ог*, Охх* (1 = 1,3) эллипсоидов ротора и чаши

подвеса относительно осей СКг, ротора и СКх, статора, составляют не более 4%. При увеличении углов а, Р отклонений оси собственного вращения ротора Ох3 относительно оси статора Охх3 от 0° до 5° значение момента сопротивления возрастает на =0,8%.

Значения возмущающих моментов возрастают при увеличении сдвига х центров сегментов. Зависимости безразмерных возмущающих моментов М0x1, М 0x2 ротора гироскопа от угла ориентации ф вектора сдвига сферических сегментов при относительных смещениях центра ротора относительно центра статора = 0,01 (¡ = 1,3) для гидроподвесов, выполненных по схемам А и В, показаны на рис. 8, 9 соответственно. На графиках 1-5 величина сдвига / составляет 0,1-Ю"*6; 0,5-10-6; МО"6; 1,5-10-6; 2-10-6 м соответственно. Масштабные коэффициенты Км для перехода к размерным значениям моментов для подвесов

(во)" Р ~ Р0 - -0.1157 Рис 7 Поверхность функции распредеюиия избыточною давления

с параметрами Я2 = 1,185-Ю"3 м, со = 1,57 1 04рад/с и Я2= 1,5-10 3 м, й>=1,57-104 рад/с равны 1,44-10~5 Н-м и 3,69-10"' Н ■м соответственно. Параметры усечения полусфер х(, Х\ 0 = 2- для схемы В, \ = 3 - для схемы А) на величину возмущающих моментов и, следовательно, уход платформы не влияют.

Рис. 8. Зависимости Мо\](Ф), Мох2(Ф) для схемы А

Рис. 9. Зависимости Мо\\(ф), Мох2(Ф) для схемы В

Влияние эллипсоидальное™ поверхности чаши подвеса на возмущающие моменты проявляется, когда ось собственного вращения ротора OZ3 отклонена относительно оси статора Охх3 на малые углы а, р. Увеличение по модулю параметров эллипсоидальности Aj (j = l,3) чаши подвеса и углов отклонений а, Р приводит к росту абсолютных значений возмущающих моментов. Зависимости возмущающих моментов Мау], Mq^ от параметров Л^ (j = l,3) эллипсоидальности полости каркаса статора для подвесов с различными значениями R;. а приведены на рис. 10. Изменения величин возмущающих моментов M(h |,

Mqy2 в зависимости от угла ориентации ф\Х> показаны на рис. 11а, б. Графики > мОу2^Х>) имеют аналогичный вид.

Графики 1,2,3,4, 5,6-Л/(9у2(Я2), А/р^А,); график 7 - М^Л^, Л^Ц); графики 8, 9,10,11,12,13 - М^ОI,), МоугЩ)-Для графиков 1,13: со = 6Д8-103 рад/с; для графиков 2,12: со = 3,14-103 рад/с; для графиков 3, 5, 9, 11: со = 1,57'Ю4 рад/с; для графиков 4, 6, 8, 10: со = 9,42'103 рад/с. Рис.10. Зависимости Л/^,^), Л^д^) (¡ = 1,3)

е, = е2 = 0,001; £3 = 0; для графиков 1: А, = -5-10~7 м, Л2 = 310 7 м, А3 = 5-10~7 м; для графиков 2: Л2 г 5-10"7 м, Л, = = 0; для графиков 3: Л3 = 5'10~7 м, ¿1 = Л2 - 0: для графиков 4: Я, = 5'10~7 м, кг ~ Ь ~ Рис.11. Зависимости М0у1(ф,(х>), М0у2(^<х))

Предложенная методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями позволяет оценить уровень точности прибора, построенного на основе рассматриваемого

миниатюрного шарового гироскопа- по величинам возмущающих моментов можно вычислить соответствующую угловую скорость дрейфа платформы гиростабилизатора. Угловая скорость = 1, 2) дрейфа платформы не

зависит от угловой скорости собственного вращения ротора, определяется радиусом и плотностью материала ротора, величиной радиального зазора и вязкостью жидкости. Рост радиуса ротора приводит к уменьшению . С

увеличением сдвига/ уход платформы &>-, (¡=1,2) возрастает (рис. 12).

а) б)

Рис. 12. Зависимости ^¡(х), ^(ж) дл* схемы В

Для схемы А зависимости угловых скоростей со^ (1 = 1, 2) дрейфа

платформы от величины сдвига х центров сегментов аналогичны графикам, приведенным на рис. 12а для схемы В. Численные оценки угловых скоростей дрейфа платформы от возмущающих моментов гидроподвеса позволяют определить допустимый сдвиг % центров сегментов. Например, для обеспечения угловых скоростей дрейфа 0,1 рад/с величина сдвига / не должна превышать 0,07-Ю"6 м; 0,09-Ю"6 м; 0,15-10"* м для роторов, радиусы которых принимают значения 1,185-10_э м; 1,5-10~3 м; 2,5-10"3 м соответственно.

В рамках рассматриваемой математической модели, учитывающей геометрические погрешности подвеса в первом приближении, эллипсоидаль-ность ротора не влияет на возмущающие моменты и, следовательно, не вызывает дрейфа платформы гиростабилизатора.

Эллипсоидальность поверхности чаши подвеса приводит к дрейфу платформы в том случае, когда ось собственного вращения ротора Ог3 отклонена относительно оси статора Охх3 на малые углы а, ¡3 (рис.13). Вид графиков зависимостей угловых скоростей со^ (1 = 1,2) дрейфа платформы от

углов ф0 = 1,2) ориентации главных осей эллипсоида чаши подвеса в СКх, статора повторяет вид зависимостей возмущающих моментов М()у]Щ '), М0у1{ф<^), изображенных на рис. 12а, б, при тех же параметрах моделирования.

®С1. ®с,,рад/с

а=р=3° £-1=г-2=0,001,с3 = 0

Д110б(1 = 1,3),м

—К2=1Д8510"3м -о-К2=1,51СГМ

Графики 1. 2, 3 - бУ-( (Л3), «^(Л;,): график 4 - й»-,^) . (Я,). графики 5, 6, 7 - «»^(Лз).

Рис. 13. Зависимости о-,(Я ). й>п(А ) (¡ = 1.3)

(/ ^ I 7" I

Для того чтобы угловая скорость дрейфа со^ (¡ = 1,2) при углах а = /? = 3° не превышала 0,1 рад/с, параметры (] = 1,3) эллипсоидальности полости каркаса статора должны быть менее 0,64-10^ м; 0,8' Ю-6 м; 1,28" 10^ м для подвесов ротора радиуса 1,185-10~3 м; 1,510~3 м; 2,5-10^ м соответственно. Для >меньшения дрейфа платформы от возмущающих моментов гидроподвеса следует уменьшать углы а, р.

С помощью разработанного программного обеспечения проектировщики М01ут решать след>ющие инженерные задачи: 1. Для заданных параметров подвесов, выполненных по схемам А, В, С, и известных величинах геометрических погрешностей подвесов определять результирующие гидродинамические силы и моменты. 2. При заданных параметрах гидродинамического подвеса и величинах возмещающих моментов определять допустимые значения геометрических погрешностей, т.е. предъявлять требования к точности изготовления его поверхностей.

В заключении кратко изложены основные результаты выполненного исследования.

В приложении приведены акты об использовании результатов научно-исследовательских работ и помещены копии свидетельств об официальных * регистрациях разработанных программ для ЭВМ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработаны математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

-0.15

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями, содержащая:

- построенные с применением методов конечных разностей и конечных элементов вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя вязкой жидкости; модификацию алгоритма Томаса (многократной прогонки), учитывающую почти ленточную разреженную структуру системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка; оценку числа арифметических операций алгоритма;

- алгоритмы и пакет прикладных программ для определения характеристик гидродинамического подвеса: распределения давления, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов, действующих на ротор гироскопа.

3. Пакет прикладных программ «Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа» и программный модуль «Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида» зарегистрированы соответственно в РосАПО и в ОФАП.

4. Численные оценки гидродинамических характеристик подвесов, полученные с применением пакета программ, показали, что наибольшее влияние на возмущающие моменты и, следовательно, дрейф платформы гиростабилизатора оказывает погрешность в виде сдвига центров сегментов каркаса статора. В случае миниатюрного гироскопа даже малые сдвиги приводят к значительному дрейфу, поэтому рассмотренные возмущающие моменты необходимо компенсировать с помощью сигналов, подаваемых на датчики моментов гироскопического прибора.

5. Сформулирована методика применения разработанного программного обеспечения для определения гидродинамических характеристик и допустимых погрешностей геометрии подвеса при проектировании шарового гироскопа.

6. Получены приближенные аналитические решения методами осреднения и малых возмущений уравнений движения тонкого слоя жидкости с учетом конвективных сил инерции при смещении центра ротора вдоль оси вращения. На основе этих решений определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых течение жидкости можно принять безинерционным и применять уравнения Рейнольдса.

7. Установлено, что величины результирующей гидродинамической силы и эксцентриситеты ротора в равновесных положениях его оси, вычисленные с учетом и без учета переносного ускоренного движения основания, отличаются на 20%. Следовательно, в миниатюрных сферических подвесах с маловязкой тяжелой жидкостью при определении результирующей гидродинамической силы необходимо учитывать инерционные массовые силы от переносных ускорений основания.

8. Результаты исследования использованы при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс Челябинской обл.).

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. Слепова C.B. Расчет реакций сферического гидродинамического подвеса гироскопа// Обл. науч.-прак. конференция «Вклад молодых ученых и специалистов в решение задач технического перевооружения предприятий области»- Тезисы докладов. - Челябинск, 1989. - С. 24—25.

2. Слепова C.B. Уравнения для определения реакций слоя жидкости гидродинамического подвеса сферического гироскопа// Информационные и управляющие устройства, системы технологических процессов: Тем. сб. науч. тр. - Челябинск: ЧГТУ, 1990. - С. 40-43.

3. Левина Г.А., Слепова C.B. К оценке влияния инерционных эффектов в слое жидкости на реакции сферического гидродинамического подвеса// Системы автоматики и их элементы: Тем. сб. науч. тр. - Челябинск: ЧГТУ, 1991. -С. 70-74.

4. Левина Г.А., Лысов А.Н., Слепова C.B. Специальное// Материалы XVIl-й межотраслевой научно-технической конференции памяти H.H. Острякова. - Л.: ЦНИИ «Румб», 1991.

5. Левина Г.А., Слепова C.B. Влияние инерции жидкости и погрешностей геометрии статора на реакции сферического гидродинамического подвеса гироскопа// Всесоюзная школа-семинар «Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин»: Тезисы докладов. -М., 1991.-С. 26.

6. Левина Г.А., Слепова C.B. Влияние погрешностей геометрии статора на реакции гидродинамического подвеса сферического гироскопа// Всероссийская науч.-техн. конференция "Гироскопические системы и их элементы": Тезисы докладов. - Саратов: СПИ, 1992. - С. 45.

7. Левина Г.А, Слепова C.B. Влияние погрешностей геометрии статора на реакции гидродинамического подвеса шарового гироскопа// ЧГТУ -Челябинск. - 1993. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 29.07.93, № 2166 - В93.

8. Слепова C.B. Модифицированный алгоритм Томаса для численного решения одной краевой задачи гидродинамической теории смазки// ЧГТУ. -Челябинск. - 1995. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 6.09.95, № 2530 - В95.

9. Слепова C.B. Применение метода конечных элементов к решению одной задачи гидродинамической теории смазки// Элементы и приборы систем управления: Тем. сб.' науч. тр. - Челябинск: ЧГТУ, 1996. - С. 88-94.

10. Слепова C.B. Определение реакций гидродинамического подвеса шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей статора// ЧГТУ. -Челябинск. - 1996. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ 6.12.96, № 3551 -В96.

11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РосАПО № 970233 от 27.05.97. Анализ погрешностей геометрии сферического

гидродинамического подвеса гироскопа (АГТГ - СП IIУ C.B. Слепова, Г.А. Левина

12. Левина Г.А., Слепова C.B., Чащин М.Ю. К проблеме создания миниатюрного шарового гироскопа в гидродинамическом подвесе: результаты математического моделирования// В книге «Труды Международного Форума по проблемам науки, техники и образования». Том 2. / Под ред. В.П. Савиных, В В. Вишневского. - М.: Академия наук о Земле, 2001. - С. 119-123.

13. Свидетельство об официальной регистрации программы в ОФАП № 1801 от 21.12.2001; № гос. регистрации 50200100528. Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида/ C.B. Слепова

14. Левина Г.А., Слепова C.B. Численные методы для оценки уводящих моментов сферического гидродинамического подвеса гироскопа// XXIII Российская школа по проблемам науки и технологий: Тезисы докладов. -Миасс: Межрегиональный совет по науке и технологиям, 2003. - С. 84.

15. Левина Г.А., Слепова C.B. Численная схема определения реакций гидродинамического подвеса на основе метода конечных элементов// Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». -2003. - Вып. 2. - № 4(20). - С. 99-106.

16. Левина ГА., Слепова C.B. Численное моделирование реакций гидродинамического подвеса сферического гироскопа с учетом технологических погрешностей// Авиакосмическое приборостроение. - 2003. - № 12. - С. 2-6.

Издательство Южно-Уральского государственного университета

Подписано в печать 03.04.2007. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 74/131.

УОП Издательства. 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76.

95 78

Введение.

Глава 1. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса шарового гироскопа

1.1. Постановка задачи об относительном движении жидкости в зазоре подвеса.

1.2. Приближенные уравнения относительного движения вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подвеса с учетом сил инерции.

1.3. Анализ влияния инерции жидкости при установившемся движении и осевом смещении ротора на реакции гидродинамического подвеса.

1.3.1. Применение метода малых возмущений для нахождения гидродинамического давления

1.3.2. Применение метода осреднения сил инерции по толщине слоя жидкости для нахождения гидродинамического давления.

1.3.3. Численные результаты моделирования распределения избыточного давления.

1.3.4. Оценка влияния инерции жидкости на реакции гидродинамического подвеса.

Актуальность темы. Одной из определяющих тенденций развития современных систем инерциальной навигации и управления движением объектов различного назначения является их миниатюризация. Разработка перспективных навигационных систем предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой надежностью [47, 70].

Один из вариантов реализации таких приборов предложен в НПО электромеханики и основан на использовании миниатюрного шарового гироскопа в гидродинамическом подвесе (автор и руководитель проекта - А.С. Золотухин [1]). Ротор шаровой формы, представляющий собой постоянный двухполюсный магнит, заключен в заполненную маловязкой немагнитной жидкостью сферическую полость каркаса статора, сообщающуюся через отверстия с камерой, в которой жидкость находится под давлением (рис. 0.1). Величина зазора между поверхностями ротора и полости в радиальном направлении мала по сравнению с радиусами каждой из поверхностей.

Ротор приводится в быстрое вращение магнитным полем электрических обмоток 1, 5, расположенных на каркасе статора (рис. 0.2). Прибор, включающий в себя датчик угла 4, датчик момента 3 и синхронизирующие обмотки 2, 6, может служить чувствительным элементом гиростабилизатора. Сигналы с датчика угла 4 и синхронизирующих обмоток 2, 6 подаются на усилительно-преобразовательный блок (УПБ), с помощью которого формируются сигналы р управления двигателями стабилизации Дь Д2.

Датчик момента 3 используется для компенсации постоянных составляющих возмущающих моментов и для начальной выставки платформы. Сферический гидродинамический подвес создает возможность самоцентрирования и демпфирования ротора и обладает большой несущей способностью.

Каркас статора Корпус

Рис. 0.1. Схема подвеса

Рис. 0.2. Функционально-кинематическая схема двухосного гиростабилизатора

Уравнения относительного движения шарового гироскопа - чувствительного элемента гиростабилизатора в первом приближении в проекциях на оси Резаля можно записать в виде:

А а + Ъа + Н/? + кха + k2J3 = - Н со^ - А со^ + + М^,,

А р + Ь/3-Нсс-к2а + к];3 = На)у - A(by++ М^, где

А - экваториальный момент инерции шарового ротора; Н - кинетический момент гироскопа в собственном вращении; b - коэффициент сопротивления вращению в гидроподвесе; к\, к2- коэффициенты электромагнитных моментов, характеризующих взаимодействие намагниченного ротора с электрическими обмотками статора [40]; проекции возмущающих моментов со стороны гидроподвеса на оси Резаля;

Мру,, Моу2 - проекции возмущающих моментов, обусловленных другими факторами;

Сь £,2, Сз ~ °си, связанные с платформой; о)^\,а>п ~ составляющие угловой скорости платформы; а, (3 - углы поворота гироскопа относительно платформы.

При позиционной цепи стабилизации электромагнитные моменты вызывают дрейф. Введением интегрально-позиционной цепи стабилизации влияние этих моментов на дрейф платформы в установившемся режиме (а = 0, (3 = 0) исключается. Представляет практический интерес изучение возмущающих гидродинамических моментов М2^, обусловленных технологическими погрешностями вследствие условий изготовления и сборки каркаса статора. К ним относятся геометрические погрешности в виде несферичности формы, сдвига центров и усечения сегментов каркаса. Актуальной задачей является анализ таких возмущающих моментов и оценка величины дрейфа, вызванного ими.

Следует учесть особенности задачи, связанные с миниатюризацией. Рассматриваются модели гидродинамического подвеса, радиус R шарового ротора которого может принимать значения в интервале 1-5 мм. Величина радиального зазора 8 между поверхностями статора и ротора при концентричном положении сфер составляет 5-10 мкм. В соответствии с указанными параметрами подвеса слой жидкости, заполняющей зазор, может называться тонким, геометрически соответствующим смазочному слою: относительная толщина зазора S/R имеет порядок 10"3-10"2. При этом заметим, что в гидродинамической теории смазки значения S/R обычно входят в диапазон 10-4-10"3.

При изучении течения тонкого слоя жидкости в задачах гидродинамической теории смазки силами инерции жидкости по сравнению с силами вязкости пренебрегают, если приведенное число Рейнольдса * 2 2 /

Re =ц/ Re = сод / v (где у — кинематический коэффициент вязкости) значительно меньше единицы [71]. Тогда для описания течения жидкости в зазоре применяют приближенные уравнения, полученные из уравнений Навье-Стокса - уравнения Рейнольдса. Большая скорость собственного вращения ротора со: 3,14" 103—1,88* 104 рад/с, необходимая для обеспечения достаточно большого кинетического момента гироскопа при его малых размерах, приводит к тому, что значения числа Re находятся в интервале 0,1-1,2. Поэтому требуется исследовать возможность применения уравнений Рейнольдса для определения распределения давления слоя жидкости и результирующих реакций подвеса.

Отмеченные особенности определяют цель диссертационной работы.

Цель работы - разработка математических моделей, алгоритмов и программ для определения сил и моментов сферического гидродинамического подвеса миниатюрного шарового гироскопа с учетом геометрических технологических погрешностей.

Цель достигается решением следующих задач:

1. Обосновать применение приближенных дифференциальных уравнений относительного движения жидкости в зазоре подвеса миниатюрного шарового быстровращающегося гироскопа. Оценить влияние инерции жидкости при установившемся движении на реакции гидродинамического подвеса.

2. Изучить особенности определения гидродинамических сил и моментов в случае гироскопа, установленного на подвижном основании.

3. Разработать математические модели и алгоритмы для определения функции давления и гидродинамических реакций сферических подвесов с полюсными отверстиями, имеющих геометрические погрешности.

4. Создать программное обеспечение для численного моделирования характеристик подвесов: распределения давления по поверхности ротора, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления жидкости и возмущающих моментов, приложенных к ротору.

5. Исследовать зависимости значений результирующих гидродинамических сил и моментов от параметров геометрических технологических погрешностей и определить допустимые величины геометрических погрешностей подвеса ротора гироскопа.

Краткий обзор предшествующих работ. Для анализа возмущающих моментов, определяющих уровень точности гироскопического устройства, необходимо решить соответствующую гидродинамическую задачу. Отметим, что рассматриваемый прибор не относится ни к поплавковым, ни к гидродинамическим гироскопам. Особенностью прибора является то, что поверхность быстровращающегося шарового ротора может рассматриваться как опорная поверхность сферического гидродинамического подшипника, в котором жидкость выполняет роль смазочного, поддерживающего и демпфирующего слоя.

Задача о течении смазки в сферическом подшипнике описана в известной монографии Л.Г. Лойцянского [41]. Рассматривается движение жидкости в замкнутой полости между двумя эксцентрично расположенными сферами. Внешняя сфера неподвижна, внутренняя сфера - ротор выполняет поступательное и сферическое движения в пространстве зазора. Приведены аналитические выражения для распределения давления по поверхности внутренней сферы, для главного вектора реакций жидкости и главного момента сил вязкого трения, приложенных к поверхности ротора. Подход Л.Г. Лойцянского используется во второй главе представленной диссертации для определения приложенных к ротору реакций замкнутого сферического гидродинамического подвеса, установленного на подвижном основании.

Расчет сферического гидродинамического подвеса с подачей и выводом смазки через два диаметрально противоположных отверстия с радиусами, соизмеримыми с величиной зазора, приводится в работах Ахвердиева К.С., Ветер B.C., Никитина А.К., Остроухова Б.И. и Хапиловой В.Е. [19, 44, 45]. В диссертации рассматривается подвес, у которого диаметр отверстий на порядок больше величины зазора. Отверстия не являются ограничителями расхода, они обеспечивают сообщение слоя жидкости с камерой, в которой жидкость поддерживается под давлением.

Исследованию моделей сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями формы и анализу влияния этих погрешностей на характеристики подвесов посвящены работы [8, 10, 17, 18, 24]. Ахвердиевым К.С. [10] рассмотрено неустановившееся движение жидкости, заполняющей все пространство между вращающимся валом и неподвижным подшипником, близким к сферическому. Несферичность рабочих поверхностей камеры и поплавка учтена в работе Андрейченко К.П. и Рогожникова Ю.Ф. [8]. Решение системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности в [10] было найдено в виде рядов по положительным степеням относительного эксцентриситета. В [8] исходные уравнения движения жидкости в зазоре подвеса решены с помощью метода асимптотического разложения по малому параметру, равному отношению средней амплитуды несферичности к разности радиусов идеальных сфер, искомых составляющих вектора скорости и давления. В рефератах Быкова В.М. и Дементьева О.Н. [17, 18, 24] сообщается о влиянии погрешностей формы сферической полости на поле скоростей жидкости и устойчивость шарового ротора. В отмеченных публикациях поверхности подвеса при учете несферичности его формы имеют непрерывную гладкую геометрию. В представленной работе сдвиг центров и усечение сегментов полости каркаса приводят к кусочно-гладкой геометрии внешней поверхности подвеса и к несимметрии гидродинамического слоя, что усложняет решение задачи.

Многие исследователи решение краевой задачи для распределения давления при сложной конфигурации зазора находят численно, используя конечно-разностные методы: Барсуков В.Н. и Панкратов В.М. [11]; Киселев

A.Г., Либин A.M., Приходько О.Б., Шашков В.Я.[27]; Киреев А.С., Лапин А.А., Павловский М.А., Радыш Ю.В., Юрокин А.И. [28, 30]; Токарь И.Я., Данильцев

B.Г., Урасов П.Г., Найдис Н.М. [68].

Метод конечных элементов (МКЭ) начали применять к решению задач теории смазки в конце 60-х - начале 70-х годов XX века. В работе Редди [49] предложен численный метод для расчета подшипников на основе совместного использования принципа минимума и МКЭ. Конечноэлементный анализ гидродинамических опор различных типов: ступенчатой опоры скольжения, полусферического и радиального подшипников, радиального подшипника с шевронными канавками и комбинированного радиального и упорного подшипника с плавающим промежуточным элементом приведен в работах Букера, Генки, Хюбнера [14, 20], Аллейра, Николаса и Гантера [2], Zirkelback Nikole, Andres Luis San [81], Hua Shao-jie, Guo Hong, Xia Bo-qian, Zhang Shao-lin, Qi Jian-zhong, Cen Shao-qi [77]. В статьях Зернина M.B., Ефимова К.В [26] и Мишина А.В. [43] на основе конечноэлементных моделей ламинарного течения жидкости между двумя поверхностями вычислены характеристики динамически нагруженных опор скольжения. Имеется ряд работ, относящихся к конечно-элементным исследованиям газодинамических подшипников. Среди них статья Болдырева Ю.Я., Григорьева Б.С. [13] об определении осевой несущей способности сферической опоры с микроканавками. Методика применения метода конечных элементов в формулировке Галеркина к решению стационарных и нестационарных гидродинамических задач подробно описана в книге Флетчера JI. [69]. МКЭ позволяет легко учитывать нерегулярности геометрических и физических свойств гидродинамических подвесов.

В ряде работ рассмотрено влияние сил инерции жидкости на характеристики гидродинамического слоя. Метод осреднения инерционных сил по толщине смазочного слоя, предложенный Слезкиным Н.А. и Таргом С.М. [58], применен в исследованиях Полецкого А.Т. [48], Бургвица А.Г., Завьялова Г.А. [15, 16], Андрейченко К.П. [3-7], Александрова В. [74], Bourgin Patrick, Tichy John [75]. Методом разложения в ряд по малому параметру проекций скоростей и гидродинамического давления строились решения уравнений Навье-Стокса в работах [23, 45, 46, 50, 72, 73, 79]. Приведенное число Рейнольдса использовано в качестве малого параметра в исследованиях Овсеенко Ю.Г [46]. Якушина В.И. [72, 73], Рейнхарта, Лунна [50], Никитина А.К., Ахвердиева К.С., Остроухова Б.И. [44], Sato Yuichi, Tamura Akiyoshi [79]. Городецким O.M. и Климовым Д.М. [23] выбраны два малых параметра: величина относительного эксцентриситета и параметр, зависящий от периода движения центра поплавка в камере. Смирновым Б.И. [65] к задаче гидродинамической теории смазки применена идея метода обобщенного подобия Лойцянского Л.Г. расчета пограничного слоя. В работах Сестьери и Пива [56], Анисимова В.Н., Анисимовой Н.В. [9], Kakoty S.K., Majumdar B.C. [78], Cen Shao-qi, Yang Jin-feng, Guo Hong, Zhang Shao-lin [76], Walicki E., Walicka A. [80] анализ влияния сил инерции в стационарных и нестационарных слоях смазки выполнен на основе численного интегрирования уравнений Навье-Стокса.

В статьях Овсеенко Ю.Г [46], Городецкого О.М. и Климова Д.М. [23] приведены численные оценки влияния сил инерции на реакции гидродинамического слоя: при приведенных числах Рейнольдса от 1 до 10 значения гидродинамических сил и моментов изменяются не более чем на 10%. Сестьери и Пива [56] утверждают, что инерционные эффекты в слоях смазки заметны при Re* > 1. Параметры изучаемого подвеса таковы, что число Re* может принимать значения порядка 1, поэтому необходимо оценить влияние инерции жидкости на его характеристики.

На основании выполненного обзора литературных источников выбраны методы решения поставленных задач.

Методы исследования. При исследовании задач гидродинамики тонкого слоя жидкости использованы приближенные аналитические методы - метод осреднения конвективных инерционных слагаемых по толщине слоя и метод малых возмущений и численные методы - конечно-разностный метод для решения систем краевых задач, описанных обыкновенными дифференциальными уравнениями, и метод конечных элементов в формулировке Галеркина для решения двумерной краевой задачи. В работе использованы алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка с матрицами ленточной и разреженной структуры.

Программы численного моделирования характеристик гидродинамического подвеса разработаны в среде Турбо Паскаль 7.0; при представлении результатов расчета применены системы математических расчетов MathCad 2000 Professional и электронных таблиц EXCEL.

Научная новизна результатов диссертации.

1. Построены математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с различными видами геометрических погрешностей, содержащая вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя жидкости, и пакет прикладных программ для определения результирующих сил и моментов подвеса.

3. Получены приближенные аналитические решения задачи о гидродинамических реакциях сферического подвеса при осевом движении центра ротора с учетом сил инерции жидкости. Определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых является обоснованным применение уравнений Рейнольдса, не содержащих конвективных инерционных слагаемых.

4. Определены равновесные положения центра ротора в подвесе и количественные оценки влияния переносного ускорения на результирующую гидродинамическую силу на основе аналитического решения задачи о реакциях замкнутого сферического подвеса при произвольном движении центра ротора с учетом ускоренного поступательного движения основания.

5. Получены численные оценки возмущающих моментов и угловых скоростей дрейфа платформы гиростабилизатора, обусловленных геометрическими погрешностями подвеса, для класса миниатюрных шаровых гироскопов с гидродинамическими подвесами.

Практическая значимость работы.

1. Создан пакет прикладных программ, предназначенный для численного моделирования распределения давления слоя жидкости и действующих на ротор результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов с учетом геометрических погрешностей.

2. Представлена инженерная методика применения разработанного программного обеспечения, позволяющая решать задачи анализа и синтеза при проектировании миниатюрного шарового гироскопа.

3. Результаты исследования применены при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс).

Достоверность полученных результатов обосновывается выбором корректных вычислительных схем решения краевых задач, анализом точности дискретной аппроксимации дифференциальных уравнений; сопоставлением численных решений тестовых задач с имеющимися аналитическими решениями.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на областной научно-практической конференции «Вклад молодых ученых и специалистов в решение задач технического перевооружения предприятий области» (Челябинск, 1989), на XVII-ой межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.Н. Острякова (Ленинград, 1991), на Всесоюзной школе-семинаре «Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин» (Ростов-на-Дону, Москва, 1991), на Всероссийской научно-технической конференции «Гироскопические системы и их элементы» (Саратов, 1992), на XXIII-й Российской школе по проблемам науки и технологий (Миасс, 2003), на ежегодных научно-технических конференциях ЮУрГУ.

Публикации. По теме диссертации имеется 16 публикаций, в том числе 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, 9 статей, 5 тезисов докладов на Всесоюзных, Всероссийских, межотраслевых научно-технических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, изложена на 177 страницах, включая 88 рисунков, 11 таблиц и библиографический список, содержащий 81 наименование.

8. Результаты исследования использованы при проектировании миниатюрных сферических гироскопов в НПО электромеханики (г. Миасс Челябинской обл.).

Заключение

1. На основе уравнений Рейнольдса движения жидкости разработаны математические модели сферических гидродинамических подвесов ротора гироскопа с полюсными отверстиями, учитывающие геометрические погрешности в виде усечения и сдвига центров сегментов, составляющих каркас статора.

2. Создана методика численного моделирования сферических гидродинамических подвесов с геометрическими погрешностями, содержащая:

- построенные с применением методов конечных разностей и конечных элементов вычислительные схемы и алгоритмы решения систем одномерных и двумерных краевых задач для распределения давления тонкого слоя вязкой жидкости; модификацию алгоритма Томаса (многократной прогонки), учитывающую почти ленточную разреженную структуру системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка; оценку числа арифметических операций алгоритма;

- алгоритмы и пакет прикладных программ для определения характеристик гидродинамического подвеса: распределения давления, результирующей гидродинамической силы, момента сопротивления и возмущающих моментов, действующих на ротор гироскопа.

3. Пакет прикладных программ «Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа» и программный модуль «Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида» зарегистрированы соответственно в РосАПО и в ОФАП.

4. Численные оценки гидродинамических характеристик подвесов, полученные с применением пакета программ, показали, что наибольшее влияние на возмущающие моменты и, следовательно, дрейф платформы гиростабилизатора оказывает погрешность в виде сдвига центров сегментов каркаса статора. В случае миниатюрного гироскопа даже малые сдвиги приводят к значительному дрейфу, поэтому рассмотренные возмущающие моменты необходимо компенсировать с помощью сигналов, подаваемых на датчики моментов гироскопического прибора.

5. Сформулирована методика применения разработанного программного обеспечения для определения гидродинамических характеристик и допустимых погрешностей геометрии подвеса при проектировании шарового гироскопа.

6. Получены приближенные аналитические решения методами осреднения и малых возмущений уравнений движения тонкого слоя жидкости с учетом конвективных сил инерции при смещении центра ротора вдоль оси вращения. На основе этих решений определены области допустимых значений физических параметров миниатюрных сферических подвесов, для которых течение жидкости можно принять безинерционным и применять уравнения Рейнольдса.

7. Установлено, что величины результирующей гидродинамической силы и эксцентриситеты ротора в равновесных положениях его оси, вычисленные с учетом и без учета переносного ускоренного движения основания, отличаются на 20%. Следовательно, в миниатюрных сферических подвесах с маловязкой тяжелой жидкостью при определении результирующей гидродинамической силы необходимо учитывать инерционные массовые силы от переносных ускорений основания.

1. А.с. 253470. Гироприбор. / НПО электромеханики, авторы Золотухин А.С., Дубских Н.И., Богатырев В.В., Кротков С.А. Заявлено 27.12.85 № 3131041 MKHG01 С 19/20.

2. Аллейр, Николас, Гантер. Система конечных элементов для подшипников конечной длины. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1977, № 2, с. 45-57.

3. Андрейченко К.П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника. // Машиноведение, 1978, № 4, с. 117-122.

4. Андрейченко К.П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости. // Машиноведение, 1978, № 1, с. 69-75.

5. Андрейченко К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах. // Изв. АН СССР МТТ, 1977, № 5, с. 13-23.

6. Андрейченко К.П. К теории слабонагруженного сферического гидродинамического подвеса. // Изв. АН СССР МТТ, 1977, № 1, с. 17-24.

7. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение, 1987. 126 с.

8. Ахвердиев К.С. Исследование работы подшипника, близкого к сферическому. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 7, с. 26-30.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учебное пособие. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. - 632 с.

10. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С. Численное решение уравнения Рейнольдса газовой смазки с помощью МКЭ. // Машиноведение, 1982, № 5, с. 78-84.

11. Букер, Хюбнер. Применение метода конечных элементов в теории смазки: инженерный подход. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1972, №4, с. 22-33.

12. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. К интегрированию уравнений Прандтля для случая неустановившегося движения вязкой жидкости в слое смазки. // Изв. АН СССР Механика и машиностроение, 1964, № 1, с. 155-158.

13. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость шипа в подшипнике конечной длины. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1963, № 12, с. 38-48.

14. Быков В.М. Влияние погрешности формы камеры на силы и моменты, действующие со стороны вязкой жидкости на сферический ротор. // Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин. Тезисы докладов. М.: 1991, с. 17.

15. Ветер B.C., Никитин А.К. Гидродинамический расчет сферического подвеса. // Машиноведение, 1969, № 2, с. 70-74.

16. Генка, Букер. Сферические подшипники. Статический и динамический анализ МКЭ. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1980, № 3, с. 48-59.

17. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1977.-400 с.

18. Горенштейн И.А. Гидродинамические гироскопы. М.: Машиностроение, 1972. - 112 с.

19. Городецкий О.М., Климов Д.М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом. // Изв. АН СССР МТТ, 1982, № 4, с. 10-20.

20. Дементьев О.Н. Устойчивость тонких слоев сплошных сред и влияние осложняющих факторов. // Автореферат диссертации на соискание степени доктора физико-математических наук. Пермский государственный университет. Пермь. 1999.

21. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.541 с.

22. Зернин М.В., Ефимов К.В. Двухмерные конечноэлементные модели течения масла в зазоре опор жидкостного трения. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянского гос. техн. унив-та. -Брянск: Изд-во БГТУ, 1997, с. 169-176.

23. Киселев А.Г., Либин A.M., Приходько О.Б., Шашков В.Я. Теоретические основы расчета гидродинамических сферических подшипников. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 2, с. 34-38.

24. Киреев А.С., Радыш Ю.В., Юрокин А.И. Исследование вращения твердого тела в поплавковом подвесе. // Механика гироскопических систем. Киев, 1989, №8.-С. 38^3.

25. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

26. Лапин А.А., Павловский М.А., Радыш Ю.В. К динамике твердого тела в поплавковом подвесе типа сфера в сфере. // Изв. АН СССР МТТ, 1990, № 5, с. 9-15.

27. Левина Г.А. Устойчивость стационарного вращения сферического ротора в гидродинамическом подвесе. // Управление и микропроцессорная техника автоматических систем: Тем. сб. науч.тр. Челябинск: ЧГТУ, 1993

28. Левина Г.А., Лысов А.Н., Слепова С.В. Специальное. // Материалы XVII-й межотраслевой научно-технической конференции памяти Н.Н. Острякова. Л.: ЦНИИ "Румб", 1991.

29. Левина Г.А., Слепова С.В. Влияние погрешностей геометрии статора на реакции гидродинамического подвеса шарового гироскопа. // ЧГТУ. Челябинск, 1993, 12 с. Деп. в ВИНИТИ 29.07.93, № 2166 В93.

30. Левина Г.А., Слепова С.В. К оценке влияния инерционных эффектов в слое жидкости на реакции сферического гидродинамического подвеса. // Системы автоматики и их элементы: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1991.-С. 70-74.

31. Левина Г.А., Слепова С.В. Численная схема определения реакций гидродинамического подвеса на основе метода конечных элементов. // Вестник ЮУрГУ, №4, 2003. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника», выпуск 2, с.99-106.

32. Левина Г.А., Слепова С.В. Численное моделирование реакций гидродинамического подвеса сферического гироскопа с учетом технологических погрешностей. // Авиакосмическое приборостроение, 2003, № 12, с. 2-6.

33. Лойцянский JI. Г. Механика жидкости и газа. М: Дрофа, 2003.840 с.

34. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М: Мир, 1981. -216 с.

35. Мишин А.В. Расчет динамически нагруженных опор скольжения методом конечных элементов. // Динамика, прочность и надежность транспортных машин: Сб. науч. тр. Брянского гос. техн. унив-та. Брянск: Изд-во БГТУ, 2002, с. 174-182.

36. Никитин А.К., Ахвердиев К.С., Остроухов Б.И. Гидродинамическая теория смазки и расчет подшипников скольжения, работающих в стационарном режиме. М.: Наука, 1981.-316 с.

37. Никитин А.К., Хапилова B.C. Нелинейная задача о сферическом подвесе. // Изв. АН СССР МЖГ, 1966, № 2, с. 102-107.

38. Овсеенко Ю.Г. О движении вязкой жидкости между двумя вращающимися сферами. // Изв. ВУЗов Математика, 1963, № 4, с. 129.

39. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала XXI века. // Гироскопия и навигация, 2003, № 4, с. 5-18.

40. Полецкий А.Т. Интегрирование дифференциальных уравнений течения смазки с учетом квадратичных членов инерции. // В сб. Расчет и конструирование машин. Москва, Свердловск: Изд-во Машгиз, 1957, с. 58-70.

41. Редди. Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных элементов // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1969, № 3, с. 169-179.

42. Рейнхарт, Лунн. Влияние сил инерции жидкости на динамические характеристики радиальных подшипников. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1975, № 2, с. 15-23.

43. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М: Мир, 1989.-192 с.

44. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

45. Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. - 315 с.

46. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в РосАПО № 970233 от 27.05.97./ Анализ погрешностей геометрии сферического гидродинамического подвеса гироскопа (АПГ — СГПГ). Авторы: Слепова С.В., Левина Г.А.

47. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т II. М.: Наука, Гл. редак. физ.-мат. лит, 1984. - 560 с.

48. Сестьери, Пива. Влияние инерции жидкости в нестационарных слоях смазки. // ТАОИМ. Серия F. Проблемы трения и смазки. 1974, № 1, с. 76-88.

49. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. - 519 с.

50. Слезкин Н.А., Тарг С.М. Обобщенные уравнения Рейнольдса. // ДАН СССР, 1946, т. 54, № 3, с. 205-208.

51. Слепова С.В. Модифицированный алгоритм Томаса для численного решения одной краевой задачи гидродинамической теории смазки. // ЧГТУ. Челябинск, 1995, 13 с. Деп. в ВИНИТИ 6.09.95, № 2530 В95.

52. Слепова С.В. Применение метода конечных элементов к решению одной задачи гидродинамической теории смазки. // Элементы и приборы систем управления: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1996. - С. 88-94.

53. Слепова С.В. Программа для ЭВМ: «Модифицированный метод Томаса решения системы линейных алгебраических уравнений специального вида.» // № ОФАП 1801, № гос. регистрации - 50200100528. от 21.12.2001.

54. Слепова С.В. Определение реакций гидродинамического подвеса шарового гироскопа с учетом геометрических погрешностей статора. // ЧГТУ. Челябинск, 1996, 15 с. Деп. в ВИНИТИ 6.12.96, № 3551 В96.

55. Слепова С.В. Уравнения для определения реакций слоя жидкости гидродинамического подвеса сферического гироскопа. // Информационные и управляющие устройства, системы технологических процессов: Тем. сб. науч. тр. Челябинск: ЧГТУ, 1990. - С. 40-43.

56. Смирнов Б.И. К гидродинамической теории сферического подшипника с учетом конвективного ускорения смазки. // Машиноведение, 1982, № 3, с. 70-77.

57. Теоретическое и экспериментальное исследование шарового гироскопа и его подвесов. Научно-технический отчет, авторы Лысов А.Н., Левина Г.А., Слепова С.В. / ЧГТУ. Челябинск, 1991. - № гос. регистрации 01920007018, инвентарный № 02920007658.

58. Токарь И.Я., Данильцев В.Г., Урасов П.Г., Найдис Н.М. Нестационарная задача смазки сферических опор трения. // Изв. ВУЗов Машиностроение, 1979, № 3, с. 28-32.

59. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах: Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 504 с.

60. Шебшаевич Б.Н. Основные тенденции развития аппаратуры потребителей глобальных навигационных спутниковых систем. // Гироскопия и навигация, 2002, № 1, с. 3-12.

61. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем.- М.: Наука, 1974. -711 с.

62. Якушин В.И. О неустойчивом движении жидкости в тонком шаровом слое. // Изв. АН СССР МЖГ, 1969, № 1, с. 119-123.

63. Якушин В.И. О неустойчивости движения жидкости между двумя вращающимися сферическими поверхностями. // Изв. АН СССР МЖГ, 1970, № 4, с. 155-156.

64. Александров В. Равнинно установено движение на смазката при еластохидродинамични плъзгащи лагери с отчитане на влиянието на инерци-онните сили. // Теория и приложения механики, 1985, 16, № 2, с. 84-90 (болг.).

65. Bourgin Patrick, Tichy John. Lubricating films of a viscoelastic fluid, including fluid inertia, studied by a linearization method. // Int. J. Eng. Sci., 1985, 23, № 10, с. 1135-1149 (англ.).

66. Cen Shao-qi, Yang Jin-feng, Guo Hong, Zhang Shao-lin. Расчет распределения давлений с учетом инерции жидкости в цилиндрическом подшипнике с плавающим кольцом. // Zhengzhou gongue daxue xuebau=J. Zhengzhou Univ. Technol. 2001, 22. № 3, c. 6-8 (англ.).

67. Kakoty S.K., Majumdar B.C. Effect fluid inertia on stability of oil journal bearings. // Trans. ASME J. Tribol., 2000, 122, № 4, c. 741-745 (англ.).

68. Sato Yuichi, Tamura Akiyoshi. Fluid inertia effects on the characteristics of spherical hydrostatic bearings. // Bull JSME, 1983, 26, № 216, c. 1059-1071 (англ.).

69. Walicki E., Walicka A. Rotational inertia effect in a curvilinear bearing lubricated by generalized second grade fluids of power-law type. // Int. J. Appl. Mech. and Eng., 2002, 7, № 3, c. 1045-1056 (англ.).

70. Zirkelback Nikole, Andres Luis San. Finite element analysis of herringbone groove journal bearings: A parametric study. // Trans. ASME J. Tribol., 1998, 120, № 2, c. 234-240 (англ.).