автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические методы восстановления формы поверхности по данным интерферометрических измерений

, с ^

^ ^ ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

ШАРОНОВ Вячеслав Николаевич

УДК 535.3+681.7+778.4

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ПОДАННЫМ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

(05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна — !!)!)!

Работа выполнена в Университете дружбы народов имени Патриса Лумумбы.

Научный руководитель —

кандидат физико-математических наук В. Б. Губин.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук И. И. Духопел,

доктор физико-математических наук И. М. Иванченко.

Ведущая организация — Институт космических исследований АН СССР, Москва.

Защита диссертации состоится « ? »¿//¿//Я 199/г. в ¿О час. ЗО мин. на заседании специализированного совета Д 047.01.04 при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований по адресу: город Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

оияи.

Автореферат разослан « » 199-^ г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 047.01.04 кандидат физико-математических наук

3. М. ИВАНЧЕНКО

,1

1

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для современного оптического производства характерно увеличение ассортимента, типов и размеров поверхностей, требующих прецизионной обработки, что вызывает необходимость совершенствования известных и разработки новых сйособов пх контроля. В многочисленных обзорных работах Сна-прпкэр, (1,2,3,43), обобщающих последние достижения в области изготовления и измерения поверхностей и оценивающих пути и перспективы развития оптического контроля, важная роль в повышении ого точности и производительности отводится уточнению математических ютдолей оптических систем и оптимизации математического аппарата обработки данных контроля.

Одним из сашх иощгах, универсальных и широко используемых иэтодов контроля формы оптических .оверхностей является интерференционный. Оя позволяет получать весьма точные количественные оценки деформаций поверхностей. Однако в настоящее врз«я з связи с переходом к широкому изготовлению сложных оптических поверхностей с точностью порядка 0.01 длины волны с"йззлссь необходимым дальнейшее развитие математических методов аттестации поверхностей по интерферограммам.

Цель работа состоит в разработке алгоритмов восстановления форка поверхностей по дашпш ее иптерферокетрических изно-ронва методами

- радиального сдвига,

- сравнения с эталонной поверхностью Спри контроле сферических и цилиндрических поверхностей),

- абсолютной калибровки трех поверхностей по четырем ийтер-фэрограимаы Сметод "трех") для плоских я сферических поверхностей,

уменьшающих погрешности аттестации, вызванные присутствием во. входных данных случайных ошибок и эффектов настройки измерительных схем, и в выработке рекомендаций по выбору параметров измерений.

Научная новизна.

1) Уточнены математические модели интерферограым как

функций деформаций и взаимных положений сфэряябских и цилиндрических поверхностей и разработаны алгоритмы восстановления поверхностей, ослабляющие требования к настройке системы контроля. Для обработки интерферограмы от сферических зеркал построен ортогональный базис на части сферы,отсекаемой плоскостью.

2) Для метода радиального сдвига построено линейное преобразование, переводящее коэффициенты аппроксимации интерферо-. граммы полиномами Цернике в коэффициенты Цернике аппроксимации контролируемой поверхности, что сокращает вычисления и повышает их устойчивость.

3) Разработан алгоритм обработки данных метода "трех", полностью использующий интерферометрическую информацию. Даны рекомендации по оптимальному выбору относительного угла поворота одной из пар зеркал в этом методе.

4) Изучено.влияние шума в данных на точность восстановления поверхностей в разных методах контроля при различных значениях параметров измерений.

Практическая значимость. В результате уточнения и разработки новых алгоритмов восстановления поверхностей ослаблены требования к точности установки зеркал при измерениях и создана возможность для более полного использования информации, содержащейся в интерферометрических данных. Проведенные исследования влияния шума на погрешность восстановления позволяют более обоснованно выбирать способы и параметры контроля. Разработанные алгоритмы обеспечивают возможность построения программных комплексов обработки различных типов интерферограмм и их комбинаций по унифицированному модульному принципу.

Апробация. Результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных конференциях "Вычислительная физика и математическое моделирование" (Волгоград, 1988, 19893, на Всесоюзном семинаре "Методы контроля формы оптических поверхностей" (Москва, 1989), на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наул Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы и на научном семинаре по вычислительной и прикладной математике в ЛВТА ОИЯИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано И работ,

- 3 -

перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих 16 параграфов, заключения, списка литературы из 77 наименования и приложения. Объем диссертации -124 страницы (из них приложение - 6 страниц).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, очерчивается крут вопросов математической обработки интерферограмы, рассматриваемых в диссертации, определяются цели работы и пути их достижения. Дается распределение материала по главам.

В первой главо вводится понятие ошибки оптической поверхности, приводятся принципиальные схемн я математические модели рассматриваемых в диссертации интерфброметрических измерений поверхности. Рассматриваются вопросы корректности задачи восстановления формы поверхности по интерферограшам. Обсуждаются недостатки известных методик обработки данных интерферо-кэтрических измерений и ставятся задачи по их устранению.

Уклонения поверхности, отсчитываемые по нормалям от ближайшей (в среднеквадратичном сжсло) номинальной поверхности Сплоской, сферической, цилиндрической и др.) называют дефор!п-цвяыз или ошибками поверхности. Для описания ошибок оптических поверхностей наиболее удобны и практичны полиномы Цорникэ

15], описнвагшо классические аберрации волновых

фронтов. Их применение упрощает вычисление критериев качества оптических систем, выработку рекомендаций по их доводке, а в случго адаптивных систем - управление по модальному принципу [В].

Инторфэрогранш о точностью до константа регистририрует разности оптических длин путей, проходимых интерферирующими фронтами. При практически нормальном падении лучей на контролируемые поверхности и относительной малости ошибок поверхностей можно считать, что отраженные лучи возвращаются по траекториям падения. Эти допущения приводят к следующим математическим моделям интерферометрических измерений плоских поверх-

ностей:

1) сравнение с идеальный эталоном С в схеме ицтерфзроиетра ФизоЭ

<Кх,у)-8Сх,у)=НСх,у); С1)

2Э радиальный сдвиг

сКх,у)+8Сх,у)-8Срх,ру)=Н(х,у); Ср*1) С2Э

3) абсолютная калибровка трех поверхностей по четырем ин-терферограмыам (в схеме интерферометра Физо)

с11(х,у)-81(х,у)-8вС-х,у)=Н1(х,у); с!аСх,у)-^Сх,у)-8а(-х.у)=НаСх,у); С3)

с!гСх>у)-Б1Сх,у)-ЗаС-х.у)=Н1(х1у); ^Сх.уМБ^х.уЗ)^ -5а(-х,у)=Н Сх.у).

Функции БСх.у) описывают ошибки контролируемых поверхностей. Вклад с!Сх,у) характеризует настройку - конкретное взаимное расположение зеркал или волновых фронтов. Он является функцией известного вида с неизвестными парамэтрамн. Значения функций НСх.у) с точностыз до константы определяются в процессе оцифровки интерферограмм на некоторой сетке с ошибкой, ииеюией случайный характер. Для интерферограмм с эталоном от сферических и цилиндрических поверхностей и для калибровки трех сферических зеркал структура соответствующих уравнений сохраняется.

Задачи математической обработки интерферограш на этапе интерпретации результатов измерений заключаются в

1) аппроксимации данных на оцифровочных сетках;

2) определении вкладов, обусловленных собственно ошибками поверхностей;

3) восстановлении по ним ошибок измеряемых поверхностей соответственно типам интерферограш и их комбинациям.

Эти задачи могут решаться в различной последовательности,

по наиболее распространенной является следующая схема. Данные аппроксимируются некоторой системой полиномов Сполиномами Цер-шпсо, степенными одночленами и т.п.). Коэффициенты аппроксимации корректируется для удаления вклада, обусловленного настройкой. Затем с помоаью некоторого линейного преобразования, зависящего от типа полиномов и метода контроля, по скорректированный коэффициентам аппроксимации интерферограмм вычисляются коэффициенты аппроксимации ошибок контролируемых поверхностей.

При контроле плоских поверхностей вклад пастройкп интер-фзрограммы описывается линейной функцией

(Кзс.у) = к + ах + Ьу (4)

а автоматически выделяется при аппроксимации данных системой полиномов, содержащих в качестве своих элементов 1, х, у.

Интерфероградаы от сферических зеркал обрабатывается в известных алгоритмах подобно плоскому случаю: данные об уклонениях от сферы приблихавтея полиномами в переменных на апертуре в иэтрнко плоскости. Для зеркал с небольшими апертурными угла«:! такой подход оправдан. В этом случав вклад настройки кнторфэрограгагы достаточно точно описывается функцией

<Кх, у) = к + ах + Ьу + сСх'+у*) С5)

я убирается из аппроксимации интерферограммы полиномами Церни-кэ обнулением коэффициентов, соответствующих первым четырем полиномам. С увеличением апертурного угла поверхность сферического зеркала все более отличается от плоской и эта процедура становится недостаточно адекватной. Кроме того, для высоко-апертурных зеркал использование для функции настройки приближения С5) монет вносить в аттестацию поверхности ошибку, превышающую 0.01 длины волны X. Поэтому для того, чтобы собственно математическая обработка интерферограмм от высокоаперту-рных сферических зеркал была по точности аналогична математической обработке интерферограмм от плоских поверхностей, т.о.

2-335

на хуже 0.001X, необходимо, во-первых, уточнение @шяЧ1Ч9-ской модели интерференционной картины и, во-вторых, .озданпа математического аппарата, обеспечивающего выделение настройки с указанной точностью. Аналогичные задачи возникают и при контроле цилиндрических зеркал по интерферограммаы с эталонов;.

Использование ортогонального Оазиса полиномов Цернике повышает устойчивость аппроксимации интерферограмы. Однако полиномы аппроксимации иногда ввиду недостаточной разработанности математических алгоритмов выбирают, исходя из возможности простым образом получить коэффициенты аппроксимации сшибок поверхности по коэффициентам аппроксимации интерферограммы. Так, для обработки интерферограмм радиального сдвига часто используется система функций [7,81

|гпсо5тр; гп511шр| , (6)

позволяющая легхо переходить от аппроксимации интерферограмш к аппроксимации фронта, но не типичная для анализа деформаций и не ортогональная на круге, что снижает возможности восстановления. Для устранения этих дефектов а также для унификации алгоритмов восстановления была поставлена задача построить линейное преобразование, связывающее коэффициенты Цернике интер-ферограммы радиального сдвига с коэффициентами Цернике формы поверхности.

Способ пересчета коэффициентов Цернике четырех интерферограмы в коэффициенты Цернике трех поверхностей, предложенный в [9], не полностью использует имеющуюся избыточность данных для уменьшения ошибки аттестации, вызванной шумом в данных. Это снижает практическую точность метода. Работа [9] оставляла такжэ открытым вопрос об оптимальном выборе относительного угла поворота (ро одной из пар поверхностей, от которого существенно зависит точность контроля.

Во второй главе • для интерферограммы радиального сдвига отроится линейное преобразование, связывающее коэффициенты аппроксимации полиномами Цернике ошибок контролируемой поверхности с коэффициентами аппроксимации полиномами Церни-

ко пнторферсграюш. Это преобразование реализуется с помощью

+

двух верхнэтрэугольных матриц и первая из которых

соответствует полиномам четной азимутальной частоты, а вторая - нечетной. Коэффициенты Цернике поверхности соответст-

вующие полиномам одной четности и одной азимутальной частоты в, могут быть определены по коэффициентам Цернике иитерферо-граммы ) при полиномах тех же азимутальной частоты и четности решением систем линейных уравнений

^ з<и+» = ь(а*>, в1"-' » Ь1"-» ,

где 5<я+) Се'"-') - вектор коэффициентов при четных (нечетных) полиномах азимутальной частоты п, аналогично для Ь<п+> и

Ь6""'; матрица размерности С(1-т)/2]+1 (здесь I - степень аппроксимирующего полинома, [ ] обозначает целую часть числа) получается из матрицы вычеркиванием первой строки и первого столбца,' = 2р , = 2р.

Со втсрсу параграфе второй главы для метода абсолютной калибровки выведены матричные связи между коэффициентами Цер-нико трох контролируемых поверхностей и коэффициентам четырех интерферограш. Для каждой пары полиномов одной ненулевой азимутальной частоты и одной радиальной степени 4 уравнения (3) даот систему из 8 линейных алгебраических уравнений относительно 8 неизвестных коэффициентов, соответствующих дан-ио8 пара полиномов Цернике в разложениях ошибок трех поверхностей. Системы следует решать методом наименьших квадратов.

Кэ анализа определителей систем нормальных уравнений для соответствующих задач ншшеньаих квадратов определены те значения относительного угла поворота ро двух поверхностей, при которых нет однозначного восстановления ошибок поверхностей.

В третьей главе уточняется уравнение интерференционной картины, полученной сравнением в схеме интерферометра Фпзо двух сферических зеркал. Пря взаимных децентровках а,Ь,с 10Х. (по Ох, Оу и Ог соответственно) зеркал, радиусы кото-

рых V Ю см, о точностью, не худшей 0.001Х, в естественной дл« единичной сферы системе координат (б,р) интерферограмма регистрирует следующую зависимость между ошибками Э^б.р) (1=1,2) двух сферических зеркал, их децентровками а, Ь и с и расстояниями НСб,р) между зеркалами вдоль лучей (0,р) (известными с точность» до константы)

к+азIпвсо5р+Ьз£ пбэIпр+ссозб^(б.п-р)-Ба С б,л+р) = Н(б,р)

На поверхности сферического зеркала с полураствором 0о заменой радиальной переменной г полиномов Цернике на з£п(0/2)/51п(0о/2) строится ортогональный базис

о. Г э£п(0/2) 1

гЭо(б,р) 5 2, ——— , р ,

Ч * I 5МвоУ2) ]

который и используется в алгоритмах восстановления деформаций сферических поверхностей.

Задача разделения вкладов в коэффициенты аппроксимации

интерферограммы полиномами ^2®°(8,р)| ее настройки и собственно ошибок измеряемых поверхностей решается определением аналитической зависимости взаимных децентровок сферических зеркал а, Ь и с от коэффициенте аппроксимации интеферограммы

а = д2 • Ь = 92 ^ с = ^К •

где

12з£пае„ 9 ---8-

г-ЗсОвв +С05*8 о о

с^ и - коэффициенты разложения по функций ыпвсозр

и 5*п0з£пр соответственно. Чтобы перейти от аппроксимации интерферограммы к аппроксимации суммы ошибок двух сфер

(8, я-р) + п+р) = I ^2®о(0,р)

J

следует положить

О, ¿=1.4;

ас - Ь , т=1, J - четно;

о ¿о

г, = ■

1 Ьв. - Ь. , т=1 3 - нечетно; "•в ■'в

- Ь. , в остальных случаях. ^

Использование в качестве базиса аналогов полиномов Церни-ке позволяет без существенных изменений перенести способ обработки данных измерений, проведенных по методу "трех", разработанный во второй главе для плоскостей, на контроль сферических поверхностей.

Для аттестации цилиндрической поверхности <(х,0):-хо<х^хо, -0о<б<0о> строится математическая модель интерферограммы с ци-. линдрическим эталоном в схеме интерферометра Физо

С/Зх+ЫвШ + (гх+Осогв - Б (х,0Э - 8а(х,-0) = Шв,р)

и алгоритм ее обработки, использующий для аппроксимации данных попарные произведения' полиномов Лежандра. Получены вырагения для определения параметров взаимного положения зеркала и эталона и коэффициентов аппроксимации ошибок поверхностей по коэффициентам аппроксимации интерферограммы.

Для сферических и цилиндрических зеркал о помощью процедуры ортогонализации Грама-Шмидта строятся ортогональные базисы, прямо включающие в качестве своих элементов составляющие функций настройки соответствующих типов интерферограмм. Использование этих базисов для аппроксимации интерферограмм обеспечивает автоматическое выделение вклада настройки в интерфе-рограмму и особенно удобно при аттестации крупногабаритных зеркал с помощью эталонов меньшего размера.

В четвертой главе на основе полученных во второй главе матричных соотношений между коэффициентами Цернико ошибок

контролируемых поверхностей и коэффициентами Цэрнике шггерфе-рограмы методами линейного регрессионного анализа исследуется зависимость ошибки восстановления поверхности по зашумленныы данным от числа полиномов аппроксимации и выбора параметров измерений при контроле поверхности методами сравнения о эталоном, радиального сдвига и абсолютной калибровки трех зеркал.

Если погрешность аппроксимации интерферограмкы вызвана только слу*;айныын некоррелироваными ошибками в данных о дио-персией 0я, то среднеквадратичная ошибка аппроксимации ннтер-ферограммы ^ может быть оценена через дисперсионную матрицу 1П| коэффициентов аппроксимации:

Здесь матрица 2 составлена из значений полиномов Цернике в точках оцифровочной сетки. Если коэффициенты аппроксимации форыы повергаоств являются результатом линейного преобразования коэффи- лентов интерферограммы

то среднеквадратичная ошибка восстановления формы поверхности оценивается величиной

В предполосокии, что па оцкфровочной сетхе полиномы ортогональны, ошибка восстановления поверхности определяется числом Н точек сетки, величиной дисперсии о* и нормой матрицы А Сполиномы нормированы на я)

• 1

А,- (шсь)" = сг^гСг^"1

5 ■ ЛЬ,

I I

да= ^гЛШВ1)1 = ог[1гД(2тг-,Дт)".

С 83

Последнее выражение позволяет сопоставить между собой интерфе-рометрические методы контроля по точности при шуме в данных путем сразнения норм соответствующих матриц пересчета коэффициентов Цорккке интерфорограмм в коэффициенты Цернике поверхностей.

Для метода "трех" приводится аналитическое выражение для нормы матрицы А в зависимости от угла ро и степени I аппроксимирующего полинока. Расчотами этого выражения были найдены значения угла рд, минимизирующие ошибку восстановления поверхностей для различных Ь. Вычисления показали, что при оптимальных значениях ро погрешность восстановления поверхностей методом "трех" практически равна погрешности восстановления поверхностей по ннтерферограшам с идеальным эталоном.

Для метода радиального сдвига получена формула, выражающая норму соответствующей матрицы Д через элементы матриц об-+

ратных к и 2р. Вычислением нормы Д для различных значений

Ь степени аппроксимирующего полинома и величины радиального сдвига р проведено сравнение точности метода радиального сдвига с точностью контроля по интерферограмме с эталоном.

Полученные теоретические оценки сопоставлены с результатами модельных вычислительных экспериментов. Расчеты, в частности показали, что если точки оцифровочной сетки достаточно равномерно распределены по поверхности и их число М в 4 и более раз превосходит число N полиномов аппроксимации, для оценки точности восстановления поверхности можно пользоваться выражением (8), используя для дисперсии несмещенную оценку:

= ^ 2 - 2^2/х1(У1)]а

1 =» J =1

Для методов радиального сдвига и абсолютной калибровки трех поверхностей на модельных данных показывается лучшая устойчивость к измерительному шуму методик обработки интерферо-грамм, предлогенных в диссертации, по сравнению с ранее известными алгоритмами.

- 12 -

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1) Уточнены математические модели интерферограмм для сферических л цилиндрических поверхностей. Разработаны алгоритмы обработки интерферограмы для этих типов поверхностей, точнее, чем прежде существовавшие, отделяющие эффекты, вызванные ошибками зеркал,от эффектов, вызванных их взаимным расположением. Это ослабляет требования к настройке в реальном эксперименте.

2) Разработан алгоритм обработки интерферограмм радиального сдвига о использованием полиномов Цернике, ускоряющий счет и повышающий устойчивость результатов аттестации.

3) Улучшен алгоритм калибровки трех плоских зеркал по четырем интерферограыыам, что позволило увеличить практическую точность метода. Даны рекомендации по выбору параметра ро измерений. доказано, что ошибка восстановления поверхностей в этом методе по зашумленным данным при оптимальном значении параметра *>о практически равна ошибке восстановления по интер-ферограмме о идеальным эталоном.

Разработан аналогичный алгоритм для аттестации трех сферических зеркал.

4) Теоретически и в вычислительных экспериментах в широкой области условий изучено влияние случайного шума в данных на точность восстановления поверхностей в разных методах аттестации, что позволяет обоснованно выбирать способы контроля и параметры измерений.

5) На основе построенных алгоритмов создан программный комплекс DEFORM для восстановления формы плоских и сфэркчэскиж оптических поверхностей по интерферометрическим измерениям различных типов. Этот комплекс внедрен в Государственном оптическом институте им. С.И. Вавилова и во Всесоюзном научно-исследовательском институте мер и стандартов, где используется для аттестации эталонных поверхностей.

- 13 -

Результаты, получешшэ в диссертации, опубликованы в следующие работах.

1. Губин В.Б., Шаронов В.Н. Алгоритм обработки цнтерферо-граш радиального сдвига// Оптико-механическая промышленность. - 1989. - N б. - С. 4-6.

2. Губил В. Б., Шаронов В.Н. Комплекс программ для обработай пнтерферограыц // Сборник тезисов докладов Бессоюзного сэ-шшара "Методы контроля формы оптических поверхностей". -Л.: Изд-во ГОИ, 1689. - С. 29-30.

3. Губнп В. Б., Мнкулич А. В., Шаронов В. И. Об алгоритме восатановлозшя оптических поверхностей и определения вкладов аберраций // Сборник тезисов докладов Всесоюзного семинара "Методы контроля $орш оптических поверхностей". - Л.: Изд-во ГОИ, 1989.- С. 31-33.

4. Губин В.Б., Шаронов В. Н. О методах абсолютной калибровка оптических поверхностей / Всесоюзная конф. "Вычислительная физика и математическое моделирование". Волгоград, 1218 сентября 1988 г. Тезисы докладов.-Н.: Шд-во УДН, 1989. - С. 23-26.

5. Губин В.Б., Шаронов В. Н. Алгоритм восстановления формы оптических поверхностей по результатам экспериментальных данных // Оптико-механическая промышленность.- 1930. - И 3. - С. 19-21.

6. Губин В. Б., Шаронов В. Н. О точности восстановления оптических поверхностей по иитерфэромэтрическим данным / Тезисы докладов XXV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. 1S-20 мая 1989 г. - И: Изд-во' УДН,

1989. - С. 22.

7. Губин В.Б., Шаронов В. Н. Полиномы Цернике на часта сферы, отсекаемой плоскостью /II Всесоюзная конференция "Вычислительная физика и математическое моделирование".' Волгоград, 11 —1А сентября 1989 г. Тезисы докладов.-М.: Изд-во УДН.

1990. С. 23.

8. Губин В.Б., Шаронов В. Н. Определение ошибок сферических поверхностей при интерферометрии со сферическим пучком //

Оптико-механическая промышленность.- 1990 - N 8 .-С. 32-33.

9. Губин В. 5., Баронов В. Н. Абсолвтная калибровка сферических поверхностей // Оптико-механическая промышленность.-1990. -N9.-C. 41-42.

10. Шаронов В.Н. О выделении настройки в интерферограмшх от сферических зеркал // Деп. ВИНИТИ 08.05.90, Н 24666-В90.

И. Гу'.нн В.Б., Шаронов В.Н. О выделении параметров ближайшей поверхности в янтерферограшах от цилиндрических зеркал /✓ Деп. ВИНИТИ 08.03.90, N 2466S-B90.

ЦИТИРОВАННАЯ ШГЕРАТУРА

1. Оптический производственный контроль. / Под ред. Д. Ма-лакары.- И.: Машиностроение, 1985.- 400 о.

2. Smythe R.A., Sobitsky J.A., Truax В.Е. Recent advances in interferometry at Zygo//SPIE -1987.-Vol.81B, P. 95-105.

3. Гр&'ашткн А. П., Гая M. А. Математическое моделирование оптичеоких систем на стадиях разработки и изготовления // Оптико-механическая промышленность.- 1989.- N 1.-С. 9-12.

4. Витриченко Э. А., Лукин В. П., Пушной JI. А., Тартаков-скяй В. А. Проблемы оптического контроля. - Новосибирск: Наука, 1990. - 350 с.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1670. -856 с.

6. Wang J Л., Markoy J. К. ✓/ J. Opt. Soc. Am. - 1978.-Vol. 68, Ho 1.- P. 78-87.

7. Малакара Д. Интерферометры радиального, поворотного и реверсивного сдвига // Оптический производственный контроль / Под ред. Д.Иалакары. - М.: Машиностроение, 1985. - С. 119-139.

8. Hariharan P., Oreb B.F., Zhou Wanzhi. Measurement of aspheric surfaces using a microcomputer-controlled digital radial-shear interferometer // Optica Acta. - 1984.- Vol.31, No 9.- P. 989-999.

9. Fritz B.S. Absolute calibration of an optical flat // Opt. Eng. - 1984.- Vol. 23, No 4.- P. 379-383.