автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические методы описания поликристаллических материалов

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕКСТУР

1.1 Основные понятия

1.2 Обзор математических методов вычисления полюсных фигур и функции распределения зерен по ориентациям

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЮСНЫХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ РЕШЕНИЙ УЛЬТРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Восстановление всех полюсных фигур по двум заданным в случае трех независимых переменных

2.2 Построение полюсных фигур для некоторых классов решений ультрагиперболического уравнения

2.3 Продолжение решений ультрагиперболического уравнения с помощью теоремы Айсгерссона

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЮСНЫХ ФИГУР В КЛАССЕ ГАУССОВСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ

3.1 Восстановление всех полюсных фигур по трем заданным

3.2 Нахождение ПФ по приближенным исходным данным

ГЛАВА 4. ОШИБКИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ДЛЯ МАТЕРИАЛОВ ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

4.1 Аналитическое приближение

4.2 Численная реализация алгоритма нахождения физических свойств по ПФ с заложенной экспериментальной погрешностью

Актуальность темы

Большинство материалов окружающих нас в повседневной жизни являются поликристаллами. Это - металлы, керамики, геологические породы. Многие свойства поликристаллов задаются кристаллографической текстурой, то есть закономерностью распределения монокристаллов в образце. Поэтому можно смело утверждать, что с задачами текстурного анализа человечество столкнулось еще несколько тысячелетий назад в бронзовом веке. Тем не менее количественный текстурный анализ - наука достаточно молодая, активно начала развиваться только в середине двадцатого века. На сегодняшний день, несмотря на бурный прогресс, достигнутый в этой области, все же нельзя утверждать, что существует универсальный метод вычисления характеристик текстуры, работающий во всех случаях. Все известные подходы при несомненных достоинствах обладают и недостатками (обзор современных математических методов нахождения текстуры предложен в главе 1). Поэтому развитие новых подходов и улучшение уже зарекомендовавших себя методов является важной и актуальной задачей. В предлагаемой работе полюсные фигуры исследуются с помощью решений ультрагиперболических уравнений, в том числе с использованием теоремы Айсгерссона.

Еще одним малоизученным вопросом современного текстурного анализа является количественная оценка достоверности экспериментальных данных. Как известно, для большинства задач основными исходными данными являются полюсные фигуры, которые, как правило, получают из эксперимента. Оказывается, что экспериментальные погрешности весьма велики. Даже на лучших современных экспериментальных установках минимальная погрешность измерений составляет 10-15%. Максимальная же погрешность может достигать 50-70% и даже 100%. С другой стороны, требования, предъявляемые к точности результатов, постоянно растут. Поэтому особую важность приобретают методы, минимизирующие погрешность, развитие которых, в свою очередь, невозможно без исследования устойчивости решения, а также природы и величины погрешности. В главе 3 данной работы изучается устойчивость нахождения всех полюсных фигур по трем известным. В главе 4 получены оценки величины ошибки вычисления физических свойств для материалов гексагональной симметрии в зависимости от погрешностей исходных данных.

Цель работы

1. Развитие математических методов, описывающих полюсные фигуры с помощью решений ультрагиперболических уравнений.

2. Развитие методов вычисления полюсных фигур по трем известным в классе гауссовских распределений. Исследование устойчивости предложенного алгоритма, оценка возникающих погрешностей и их минимизация.

3. Оценка величины погрешности при вычислении физических свойств материалов гексагональной симметрии. Исследование факторов, оказывающих влияние на точность получаемых результатов, и численные эксперименты вычисления погрешностей с учетом этих факторов.

Научная новизна

Для построения и описания полюсных фигур использовались решения ультрагиперболического уравнения. С помощью данного подхода предложен способ восстановления полюсных фигур по двум известным в случае трех независимых переменных.

Предложен метод нахождения полюсных фигур в классе гауссовских распределений с учетом погрешностей. Исследована устойчивость метода аналитически и численно, найдены величины погрешностей в зависимости от начальных данных.

Определена природа ошибок вычисления физических свойств для материалов гексагональной симметрии. Выявлена взаимосвязь относительной погрешности физических свойств материала и относительной погрешности полюсной фигуры. Численно промоделировано нахождение тензора электросопротивления поликристалла бериллия по полюсной фигуре с заложенной экспериментальной погрешностью.

Научная и практическая ценность

Предложенные математические методы позволяют по новому взглянуть на полюсные фигуры, их свойства и значение. Моделирование "искусственных" полюсных фигур может быть использовано для построения новых аппроксимационных моделей и оценки уже имеющихся.

Исследование погрешностей дает возможность оценить достоверность и точность получаемых результатов, указать природу возникающих ошибок, их величину и пути их минимизации. Написанное программное обеспечение может быть использовано для вычисления физических свойств гексагональных материалов.

На защиту выносятся

1. Метод вычисления полюсных фигур с помощью ультрагиперболического уравнения.

2. Устойчивый метод нахождения полюсных фигур в классе гауссовских распределений с учетом погрешностей.

3. Способ нахождения ошибок вычисления физических свойств материалов гексагональной симметрии и зависимость этих ошибок от экспериментальной погрешности полюсной фигуры.

Апробация и публикации

Основные результаты работы были доложены на международных конференциях "Neutron Textures and Stress Analysis" (Дубна, 1997), "Texture and Properties of Material" (Екатеринбург, 1997), на конференциях "Некорректные задачи" в МГУ (Москва, 1998, 1999), на конференциях "Научная сессия МИФИ-99" (Москва, 1999), "Научная сессия МИФИ-2000" (Москва, 2000). Более подробное изложение результатов проведенных исследований дано в 3 работах (публикации 1-3 в списке литературы).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Работа содержит 119 страниц, 36 рисунков, список литературы из 81 наименований.

Основные результаты диссертации

1. Построены и реализованы на компьютере алгоритмы, позволяющие находить ПФ с помощью решений ультрагиперболических уравнений. Основываясь на решениях из класса плоских волн, вычислены полюсные фигуры. Указаны свойства решений ультрагиперболического уравнения, которые могут описывать экспериментальные полюсные фигуры.

2. В классе гауссовских распределений предложен метод нахождения ФРО по трем заданным полюсным фигурам, кристаллографические направления которых не лежат в одной плоскости и попарно не ортогональны, с учетом погрешности. Исследована устойчивость метода. Полученные оценки показывают, что точность вычисления ФРО и всех остальных ПФ зависит не только от погрешности начальных данных, но и от взаимного расположения кристаллографических направлений исходных полюсных фигур. Предложенный метод реализован на компьютере и использован как для модельных вычислений, так и для реальных образцов.

3. Рассмотрен и реализован на компьютере алгоритм вычисления тензоров физических свойств материалов гексагональной симметрии. Исследования устойчивости данного алгоритма относительно погрешности ПФ выявили качественную и количественную взаимосвязь погрешности вычисленных физических свойств и погрешности исходной экспериментальной полюсной фигуры. Найденные оценки показывают, что погрешность физических свойств носит интегральный характер и в несколько раз меньше исходной погрешности полюсной фигуры. Предложенный метод продемонстрирован на примере вычисления электросопротивления бериллия. В качестве исходных данных использована ПФ реального образца, апроксимированная с помощью круговых гауссовских распределений. Данный метод может быть обобщен на материалы другой симметрии.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Татьяне Ивановне Савеловой, а также коллективу кафедры Прикладной Математики Московского Инженерно-физического Института.

1. Савелова Т.И., Нагаев И.Р. Единственность восстановления функции распределения зерен по ориентациям по трем полюсным фигурам. // Заводская лаборатория, 2000, т. 66(3), с. 31-34

2. Савелова Т.И., Нагаев И.Р. Загадочные полюсные фигуры или универсальный метод Роу-Бунге. // Препринт МИФИ, 026-97, Москва, 1997

3. Нагаев И.Р., Савелова Т.И. Вычисление ПФ с помощью решения ультрагиперболического уравнения. // Заводская лаборатория, 1997, т. 1, с. 17-19

4. Савелова Т.И, Нагаев И.Р. Численные методы продолжения решения ультрагиперболического уравнения с помощью теоремы Айсгерссона. // конф. Обратные и некорректные задачи, М, МГУ, 1998, с. 69

5. Савелова Т.И, Нагаев И.Р. Решение проблемы зависимости полюсных фигур. // конф. Обратные и некорректные задачи, М, МГУ, 1999, с. 84

6. Бухарова Т.И., Николаев Д.И., Савелова Т.И. Применение гауссовских распределений на SO(3) для вычисления физических свойств поликристаллов. // Препринт МИФИ, 066-87, Москва, 1987

7. Иванова Т.М. Применение канонического нормального распределения для решения задач текстурного анализа. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Москва, 1998

8. Иванова Т.М., Савелова Т.И. Вычисление областей зависимости полюсных фигур. // Труды Международн. совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993, с. 224-226

9. Бухарова Т.И. Применение гауссовских распределений для описания текстур гексагональных поликристаллов. // Изв. РАН, Физика Земли, 1993, №6, с. 5963

Ю.Иванова Т.М., Савелова Т.И. Вычисление канонических нормальных распределений на группе вращений SO(3). // Труды Международн. совещания по программированию и математическим методам решения физических задач. Дубна, 1993, с. 220-223

И.Днепренко В.Н., Дивинский C.B. Моделирование трехмерных функций распределения ориентаций в текстурированных материалах. // Металлофизика, 1989, т. 11, №4, с. 11-21

12. Савелова Т.И. Функции распределения зерен по ориентациям в поликристаллах и их гауссовские приближения. // Заводская лаборатория, 1984, т. 50(4), с. 48-52

13. Новые методы исследования текстуры поликристаллических материалов. // Сб. статей под редакцией Папирова И.И., Савеловой Т.И., М.: Металлургия, 1985,312 с.

14. Николаев Д.И., Савелова Т.И. Об аппроксимации решения одной обратной задачи дифракции ô-функциями и гауссовскими распределениями. // ЖВМ и МФ, 1987, т. 5, с. 88-91

15. Николаев Д.И. Вычислительная оптимизация метода Бунге-Роу. // Изв. РАН, Физика земли, 1993. №6, с. 68-70

16. Виглин A.C. Количественная мера текстуры поликристаллического материала. Текстурная функция. // ФТТ, 1960, т. 2(10), с. 2463-2476

17. Певный А.Б. Сферические сплайны и интерполирование на сфере. // ЖВМ и МФ, 1995, т. 35, с. 139-143

18. Лузин В.В. Экспериментальное и модельное исследования процесса измерения текстуры поликристаллов методом нейтронной дифракции. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук, Москва, 1997

19. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. // М.: Наука, 1979

20. Курант Р. Уравнения с частными производными. // М.: Мир, 1964

21. Мардиа К. Статистический анализ угловых наблюдений. // М.: Наука, 1978, 239 с.

22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. // М.: Наука, 1979

23. Волков Е.А. Численные методы. // М.: Наука, 1982

24. Nauer-Gerhardt C.U., Bunge HJ. Orientation Determination by Optical Methods, //inref. [18], 1986, pp. 125-142

25. Savyolova T.I., Nagayev I.R. Calculation of the PF with an ultrahyperbolic equation. // Int. Conf. Neutron Texture and Stress Analysis, Dubna, 1997, p. 44

26. Savyolova T.I., Nagayev I.R. A new method to get the PF with ultrahyperbolic equation. // Int. Conf. Neutron Texture and Properties of Materials, Ekaterinburg, Russia, 1997, p. 53

27. Dingley D.J. Diffraction from Sub-Micron Areas Using Electron Backscattering in a Scanning Electron Microscope. // Scanning Electron Microscopy, 1986, v. II, pp. 569-575

28. Dingley D.J., Rändle V. Review. Microtexture Determination by Electron-Backscatter Diffraction. // J. Mater. Sei., 1992, v. 27, p. 4545

29. Adams B.L., Wright S.I., Kunze K. Orientation Imaging: The Emergence of a New Microscopy. // Metallurgical Transactions, 1993, v. 24A, pp. 819-831

30. Wahba G. Spline Interpolation and Smoothing on the Sphere. // SIAM J. Sei. Stat. Comp., 1981, v. 2, pp. 5-16

31. Wahba G. Erratum: Spline Interpolation and Smoothing on the Sphere. // SIAM J. Sei. Stat. Comp., 1982, v. 3, pp. 385-386

32. Taijeron H.J., Gibson A.G., Chandler C. Spline Interpolation and Smoothing on Hypersphere. // SIAM J. Sei. Comp., 1994, v. 15, pp. 1111 -1125

33. Freeden W. On Spherical Spline Interpolation and Approximation. // Math. Meth. In the Appl. Sei., 1981, v. 3, pp. 551-575

34. Freeden W. Spherical Spline Interpolation - Basic Theory and Computational Aspects. // J. Comput. Appl. Math., 1984, v. 11, pp. 367-375

35. Alfeld P., Neamu M., Schumaker L.L. Fitting Scattered Data on Sphere-Like Surfaces Using Spherical Splines. // Vanderbilt University preprint 95-016, 1995, J. Comp. Appl. Math., 1996, v. 73, pp. 5-43

36. Freeden W., Schreiner M., Franke R. A Survey on Spherical Spline Approximation. // AGTM-ReportNr.157, Universität Kaiserslautern, 1995

37. Schneider F. The Solution of Linear Inverse Problems in Satellite Geodesy by Means of Spherical Spline Approximation. // AGTM-report Nr. 149, Universität Kaiserslautern, 1995

38. Schaeben H. A Brief Survey of Spherical Interpolation and Approximation Methods for Texture Analysis. // Proc. of the workshop "Mathematical Methods of Texture Analysis", Textures and Microstructures, 1995, v. 25, pp. 159-169

39. Andonov P., Dervin P., Esling C. Texture Analysis of Silicon with an Heterogeneous Morphology Used for the Photovoltaic Conversion by Neutron Diffraction. // Revue Phys. Appl., 1987, v. 22, pp. 603-612

40. Nikolayev D.I., Ullemeyer К. A Note on Preprocessing of Diffraction Pole-Densities Data. // J. Appl. Cryst., 1994, v. 27, pp. 517-520

41. Nikolayev D.I., Ullemeyer K. The Effect of Smoothing on ODF Reproduction. // Proc. of the workshop "Mathematical Methods of Texture Analysis", Textures and Microstructures, 1995, v. 25, pp. 149-158

42. Luzin V., Nikolayev D. The Errors of Pole Figures Measured by Neutrons. // труды конференции ICOTOM-11, International Academic Publishers, 1996, pp. 140-145

43. Matthies S. On the Reproducibility of the Orientation Distribution Function of Texture Samples from Pole Figure (Ghost phenomena). // phys. stat. sol. (b),

1979, v. 92, K135-K138

44. Matthies S. On the Reproducibility of the Orientation Distribution Function of Texture Samples from Pole Figure. // Kristall und Technik, 1980, d 15, п. 4, s. 431-444

45. Bunge H.J. Zur Darstellung Allgemeiner Texturen. // Z. Metallkunde, 1965, v. 56(12), pp. 872-874

46. Roe RJ. Description of Crystallite Orientation in Polycrystalline Materials. // J. Appl. Phys., 1965, v. 36(6), pp. 2024-2031

47. Bunge H.J. Texture Analysis in Material Science. // Butterworths, London, 1982

48. Dahms M., Bunge H.J. A Positivity Method for Determination of Complete ODF. // Textures and Microstructures, 1988, v. 10, pp. 21-35

49. Dahms M., Bunge H.J. The Iterative Series-Expansion Method for Quantative Texture Analysis. I. General Outline. // J. Appl. Cryst., 1989, v. 22, p. 439

50. Ruer D., Baro R. A New Method for the Determination of the Texture of Materials of Cubic Structure from Incomplete Pole Figures. // Adv. In X-ray Analysis, 1977, v. 20, pp. 187-200

51. Ruer D., Baro R. Methode vectorielle d'analyse de la texture des matériaux pollicristallins de reseau cubique. // J. Appl. Cryst., 1977, v. 10, pp. 458-464

52. Vadon A., Ruer D., Baro R. The Generalization and Refinement of the Vector Method for the Texture Analysis of polycrystalline materials. // Adv. X-ray Anal.,

1980, v. 23, pp. 349-360

53. Schaeben H. Introducing a Conditional Ghost Correction into the Vector Method. // Textures and Microstructures, 1984, v. 6, pp.117-124

54. Imhof J. Determination of an Approximation of the Orientation Distribution Function Using Only One Pole Figure. // Z. Metall., 1977, v. 68, pp. 38-43

55. Imhof J. The Resolution of Orientation Space with Reference to Pole-Figure Resolution. // Textures and Microstructures, 1982, v. 4, pp. 189-200

56. Imhof J. Determination of the Orientation Distribution Function from One Pole Figure. // Textures and Microstructures, 1982, v. 5, pp. 73-86

57. Imhof J. Texture Analysis by Iteration. // (I) Phys. Stat. Sol. (b), 1983, v. 119, pp. 693-701; (II) Phys. Stat. Sol. (b), 1983, v. 120, pp. 321-328

58. Matthies S., Vinel G.W., Helming K. Standard Distributions in Texture Analysis. // Akademie-Verlag Berlin, 1987, v. 1-3

59. Matthies S., Vinel G.W. On the Reproduction of the Orientation Distribution Function of Texturized Samples from Reduced Pole Figures Using the Conception of a Conditional Ghost Correction. //Phys. Stat. Sol. (b), 1982, v.112, pp. Klll-K120

60. Pawlik K. Determination of the Orientation Distribution Function from Pole Figures in Arbitrary Defined Cells. // Phys. Stat. Sol. (b), 1986, v. 134, pp. 477483

61. Pawlik K., Pospiech J. A Method for the ODF Approximation in Arbitrary Defined Cells from Pole Figure. // Proc. Conf. "Theoretical Methods in Texture Analysis", Clausthal, 1986, pp. 127-139

62. Pawlik K. Application of the ADC Method for ODF Approximation in Cases of Low Crystal and Sample Symmetries. // Material Science Forum, 1993, v. 133136, pp. 151-156

63. Matthies S., Wenk H.R., Vinel G.W. Some Basic Concepts of Texture Analysis and Comparison of 3 Methods to Calculate ODF from PF. // J. App. Cryst., 1988, v. 21, pp. 285-304

64. Matthies S. Standart Functions in Texture Analysis. // Phys. Stat. Sol. (b), 1980, v.101, pp. K111-K115

65. Matthies S., Wagner F. Study of the Ghost Phenomena in Mathematical Texture Analysis. // Phys. Stat. Sol. (b), 1981, v. 107, pp. 591-601

66. Eschner T. Quantitative Texturanalyse durch Komponentenzerlegung von Beugungspolfiguren. // Braunschweig, 1995,187 p.

67. Dnieprenko V.N., Divinskii S.V. A New Approach to Describing Three-Dimensional Orientation Distribution Functions in Textured Materials, I.

Formation of Pole Density Distribution on Model Pole Figures. // Textures and Microstructures, 1993, v. 22, pp.73-85

68. Dnieprenko V.N., Divinskii S.V. Limited Fibre Components in Texture Analysis. // Mat. Sci. Forum, v. 157-162,1994, pp. 1565-1570

69. Schaeben H. Parametrizations and Probability Distributions of Orientations. // Textures and Microstructures, 1990, v. 13, pp. 51-54

70. Schaeben H. Towards Statistics of Crystal Orientations in Quantitative Texture Analysis. // J. Appl. Cryst., 1993, v. 26, pp. 112-121

71. Schaeben H. "Normal" orientational distributions. // Textures and Microstructures, 1992, v. 19, pp. 197-202

72. Bunge H.J. Physical Versus Mathematical Aspects in Texture Analysis. // Textures and Microstructures, 1996, v. 25, pp. 71-108

73. Bucharova T.I., Savyolova T.I. Application of Normal Distributions on SO(3) and S" for Orientation Distribution Function Approximation. // Textures and Microstructures, 1993, v. 21, pp. 161-176

74. Nikolayev D.I., Savelova T.I., Feldmann K. Approximation of the Orientation Distribution of Grains in Polycrystalline Samples by Means of Gaussians. // Textures and Microstructures, 1992, v. 19, pp. 9-27

75. Nikolayev D.I., Savyolova T.I. Approximation of the ODF by Gaussians for Sharp Textures. // Mat. Sci. Forum, 1994, v. 157-162, pp. 387-392

76. Bukharova T.I. The Influence of Crystal Symmetry on the Determination of the Orientation of Isolated Texture Components from Pole Figures. // Textures and Microstructures, 1996, v. 25, pp. 205-210

77. Perlovich Yu., Bunge H.J., Isaenkova M., Fesenko V., Rustamov R. X-RAY Study of Rolled Single Crystals of Ti-48%Ni-2%Fe Alloy. Part I: Texture Development and Mechanisms of Plastic Deformation. // Textures and Microstructures, 1998, v. 31, pp. 53-84

78. Конторовский С. Э., Савелова Т. И. Метод регуляризациизадачи Коши для ультрагиперболического уравнения. // конф. Научная сессия "МИФИ-2001", Москва, 2001, т. 7, с. 93-94

79. Нагаев И.Р. Восстановление ПФ по трем заданным в классе гауссовских распределений. // конф. Научная сессия МИФИ-99,1999, с. 165

80. Нагаев И.Р. Погрешности вычисления физических свойств поликристаллов гексагональной симметрии. // конф. Научная сессия МИФИ-2000, 2000, с. 105.

81. Яковлев В.Б. Материальные и полевые харектеристики текстурированных поликристаллов и композитов. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Москва, 1998