автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические методы и алгоритмы обработки информации при идентификации динамических систем

На правах рукописи

Малевинский Михаил Федорович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь 2004

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор А.Н. Катулев

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В.К. Золотухин

доктор физико-математических наук, профессор П.Е.Товстик

доктор физико-математических наук, профессор А.В. Язенин

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита диссертации состоится 24 декабря 2004 года на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова,33,ауд. 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04 доктор технических наук, профессор

В.Н.Михно

аоо?-4

Л.Ш5

35лЗС45

Актуальность. Известно, что в настоящее время все сложные технические динамические системы различного назначения обладают конечной эксплуатационной надежностью и живучестью и подвержены внешним воздействиям. Это означает, что в таких системах могут возникать сбои, отказы, неисправности, приводящие к переходу системы из нормального режима функционирования в другие режимы и состояния. Последние характеризуются отклонениями выходных переменных систем от требуемых.

В связи с этим объективным обстоятельством возникает актуальная необходимость контроля технического состояния систем в текущих условиях их функционирования. При контроле требуется оценивать и прогнозировать основные характеристики и параметры технического состояния систем. Оценивание и прогнозирование характеристик и параметров текущего состояния с требуемой достоверностью возможно лишь на основе анализа реакции системы на известные входные воздействия, математически представимой линейным или нелинейным оператором.

В целом исследование реакции составляет проблему идентификации системы посредством оценки оператора системы по известным входным и измеренным выходным сигналам.

По проблемам теории и практики идентификации динамических систем опубликовано достаточно большое число работ. Результаты этих работ изложены, например, в книгах Я.З.Цыпкина "Основы информационной теории идентификации" (М. :Наука,1984 г.), Т.Е.Штейнберга "Идентификация в системах управления" (Энергоатомиздат, 1987 г.), Л.Льюнга "Идентификация систем- теория для пользователя" (М. Наука,1991 г.), опубликовано большое количество статей в различных научных журналах в нашей стране и за рубежом (их краткое содержание изложено в реферативном журнале ВИНИТИ за 1988-2004 гг., "Техническая кибернетика").

В этих работах такие основополагающие задачи идентификации динамических систем как формирование входного воздействия в виде испытательного сигнала (ИС), оценка временных, частотных характеристик и их параметров рассматриваются как независимые самостоятельные частные задачи и для частных классов систем: линейных непрерывных, представимых в дифференциальной и интегральной форме; линейных дискретных, представимых разностными уравнениями и дискретной сверткой; нелинейных, представимых полиномами Вольтерра и Гаммерштейна в интегральной и дискретной форме.

Принципиальным моментом при идентификации систем является необходимость применения оптимального испытательного сигнала, обеспечивающего получение достоверной информации за минимальное время. Сигнал должен обладать свойствами практической финитности по спектру и на временном интервале. В известных работах таких сигналов не предложено. Например, в качестве испытательного предложено использовать сигнал в виде отрезка ряда Котельникова, имеющий ограниченный спектр с неограниченными по времени координатными функциями.

РОС H'\!Jiviif^

!• "Г- 't'ivlT'.» \

Используется в качестве испытательного сигнала дельта-функция, имеющая бесконечный спектр, но мгновенный импульс нельзя практически реализовать. Испытательный сигнал, синтезированный на основе принципа максимума Понтрягина при ограничении амплитуды сигнала, представляется релейной функцией с неизвестными моментами переключений, которые вычисляются методами многомерной оптимизации. Но такой сигнал из-за сложности формы невозможно также практически реализовать.

Другие применяемые на практике испытательные сигналы являются мало .

информативными, то есть определяют узкий набор частных показателей идентификации и не определяют основную характеристику системы - ее оператор как весовую функцию.

Все существующие испытательные сигналы в должной мере не учитывают *

свойств динамической системы, для которой они применяются, и, следовательно, не обеспечивают оперативности и достоверности идентификации.

Вторым ключевым направлением при идентификации систем является оценивание их операторов по выходным данным при подаче на вход системы испытательных сигналов. Для линейных систем (непрерывных и дискретных ) в качестве характеристики оператора, представляющего систему, принимается ее весовая функция (импульсная переходная функция). Для нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра или Гаммерштейна, в качестве весовой функции принимается набор их ядер.

Обычно в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной (идентифицируемой) системы и искомого оператора системы. Такой критерий справедлив в тех случаях, когда случайные входные воздействия распределены по нормальному закону с известными параметрами. Однако при статистической непараметрической ,

идентификации, когда входные случайные воздействия должны формироваться с заданными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, потребуется большое количество реализаций. Поэтому вероятностные характеристики входного процесса реализуются с некоторыми погрешностями, 1 границы которых можно оценить методами математической статистики. Кроме того, на практике, как правило, неизвестны значения корреляционных функций входных сигналов, а известны только границы их изменения.

Для этих условий актуальна постановка задачи идентификации по критерию минимаксной (максиминной) дисперсии ошибки в условиях априорной неопределенности о вероятностных характеристиках входных воздействий, обеспечивающего гарантированное значение дисперсии ошибки.

С другой стороны, как правило, известны математические ожидания (номинальные значения) и взаимные моменты второго порядка (разброса) отклонений весовых функций (входных полезных сигналов фильтров статистической обработки) от номинальных значений. В этом случае сужается область их определения. За счет учета этого может быть значительно повышена точность определения оператора идентифицируемой системы.

Поэтому задача идентификации динамических систем с учетом априорной информации о значениях весовых функций в минимаксной (максиминной) постановках является актуальной. Это особенно важно для динамических систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности, например, экологически опасных систем, и систем, связанных с безопасностью человека.

Если система нелинейная или входные случайные воздействия не распределены по нормальному закону, то поиск оптимального оператора, обеспечивающего минимум среднеквадратического значения ошибки, должен осуществляться в классе нелинейных операторов, например, при представлении системы функциональным полиномом (оператором) Вольтерра. Полиномы Вольтерра нашли широкое применение для исследования нелинейных систем с непрерывными нелинейностями и для которых используются временные и спектральные методы анализа линейных систем.

Однако применение полиномов Вольтерра ограничено при статистической непараметрической идентификации систем с сосредоточенными параметрами и особенно для систем с распределенными параметрами, из-за необходимости решения систем многомерных интегральных уравнений повышенной кратности для определения ядер, как функций от многих переменных.

Поэтому актуальной задачей является применение такого оператора при непараметрической идентификации нелинейных систем, для определения ядер которого не требуется вычисления многомерных интегралов повышенной кратности. Таким оператором является функциональный полином Гаммерштейна.

Таким образом, возникает необходимость комплексного подхода к решению проблемы идентификации, как проблемы синтеза оптимального испытательного сигнала, разработки методов и алгоритмов определения оптимальных операторов линейных и нелинейных динамических систем, разработай программно-реализуемых на ПЭВМ алгоритмов, обеспечивающих достоверный и своевременный контроль состояния динамических систем в текущих условиях их функционирования.

Цель работы. Разработка математических методов, вычислительных алгоритмов и программ решения комплекса задач идентификации: оптимизации испытательного сигнала и формирования случайных входных воздействий; восстановления операторов линейных и нелинейных систем, наилучшим образом по заданным критериям, аппроксимирующих истинные (реальные) неизвестные операторы идентифицируемых систем; оценки параметров весовых функций линейных систем и ядер операторов Вольтерра или Гаммерштейна для нелинейных систем (параметрическая идентификация); оценки вероятностных характеристик систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна; восстановления частотных характеристик систем (сигналов) по конечной временной выборке, содержащей случайные ошибки; создание библиотеки процедур и моделей для идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

На защиту выносятся следующие концепчии-положения:

1.Комплексный подход к решению проблемы идентификации, заключающийся в совместной оптимизации испытательного сигнала и алгоритмов идентификации динамической системы.

В основу синтезирования испытательного сигнала принята концепция максимальной сосредоточенности его энергии по времени и спектру, практически финитного в частотной и временной областях, с использованием двух разработанных численных методов вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций (ВВСФ).

В основу восстановления оператора нелинейной системы принята концепция параметрического оценивания ядер полинома Вольтерра для систем с сосредоточенными параметрами и непараметрического оценивания ядер полинома Гаммерштейна для систем с распределенными параметрами, для линейных и статистически линеаризованных по методу Казакова- Бутона систем-концепция представления их байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о параметрах нестационарного случайного полезного входного сигнала.

2.Концепция непараметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанная на минимизации среднего квадрата ошибки идентификации, при описании системы полиномом Гаммерштейна. Это обеспечивает оптимальность оценок при негауссовых входных случайных процессах.

3.Концепция непараметрического оценивания операторов линейных систем, основанная на минимаксимизации ( максиминимизации) критерия среднего значения квадрата ошибки идентификации байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о первых двух статистических моментах параметров входного сигнала. Использование априорной информации об ограниченности областей допустимых значений входного полезного сигнала существенно повышает точность идентификации.

4.Концепция параметрического оценивания операторов систем, имеющих нелинейности с разрывами непрерывности производных, нулевого и первого порядков, основанная на статистически линеаризованном методе максимума апостериорной вероятности.

5.Концепция оценки вероятностных характеристик случайных процессов на выходе динамических систем (дисперсий, высших моментов, корреляционных функций, функций правдоподобия и т.д.) по аналитическим выражениям без дополнительного статистического моделирования функционирования динамических систем.

6.Концепция аналитического высокоточного вычисления частотных характеристик динамических систем на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром при их аппроксимации сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова.

7.Концепция построения классов математических моделей в системе объектно-ориентированного программирования "Дельфи" на основе разработан-

ной библиотеки процедур и моделей для исследования методов идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Научная новизна диссертации состоит:

1.В синтезе испытательных сигналов в базисе ВВСФ, полученных в результате решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с сильно осциллирующим ядром и максимальными значениями коэффициентов подобия как собственных значений соответствующих ВВСФ. Собственно синтез осуществляется по критерию минимизации среднеквадра-тической ошибки приближения единичного спектра линейной комбинацией ВВСФ с учетом требований по заданной энергии и согласованности с полосой пропускания частот идентифицируемой динамической системы. Известные методы не обеспечивают формирования испытательных сигналов с максимальными значениями коэффициентов подобия при требовании их финит-ности в частотной области и с заданной энергией во временной области.

2.В синтезировании оптимальных операторов линейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами при априорной неопределенности о пространственно-временных и частотных характеристиках внешних воздействий как условий функционирования, вызывающих дополнительные ошибки при формировании выборочных данных измерительными средствами идентифицируемой системы.

Синтез основан на доказательстве

а)огггимальности операторов систем (весовых функций), описываемых байесовскими минимаксными (максиминными ) фильтрами с конечной памятью при учете ограничений на значения корреляционных функций ошибок выборочных данных. Доказательство построено на сведении задачи поиска условного минимакса (максимина) к задаче минимизации квадратичной формы без ограничений на весовые функции. Ограничения по несмещенности на весовую функцию снимаются за счет представления полезного входного сигнала каноническим разложением со случайными коэффициентами, характеризующимися априори заданными математическими ожиданиями и взаимными центральными моментами второго порядка, а также за счет введения требования точного преобразования фильтром априорного математического ожидания, заложенного в его структуре.

Это теоретическое положение охватывает имеющееся решение аналогичной задачи, для случая, когда коэффициенты разложения имеют бесконечные дисперсии и нулевые взаимные моменты.

б) оптимальности метода вычисления эффективных оценок параметров весовой функции по критерию максимума правдоподобия (при нормальном законе распределения аддитивных ошибок измерений) посредством условной максимизации квадратичной формы с положительно определенной матрицей, при условии, что ошибки измерений ограничиваются заданными пределами второй составляющей ошибок, и последующем сведением задачи максимизации к полной проблеме собственных значений, легко реализуемой на ПЭВМ.

Существующие же методы решения таких задач являются весьма трудоемкими для реализации на ПЭВМ.

в) необходимого условия оптимальности весовой функции линейной системы с распределенными параметрами как двумерного согласованного фильтра. Доказательство основано на принципе построения согласованного фильтра по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы, приводящего к формированию двумерного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, решением которого является искомая оптимальная весовая функ- .

ция. Установленное таким образом необходимое условие в форме интегрального уравнения является общим по отношению к существующим методам определения весовых функций линейных систем как согласованных фильтров.

3. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем с ' распределенными параметрами как нелинейных согласованных фильтров-обнаружителей тестовых сигналов.

Синтез основан на реализации критерия максимального отношения сигнал/шум на выходе динамической системы, представимой оператором Гам-мерштейна п-го порядка, и приводит к необходимым условиям оптимальности в виде системы двумерных линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которой должны удовлетворять ядра Гаммерштейна.

Полученные необходимые условия являются обобщением соответствующих условий для линейных согласованных фильтров, так как последние получаются как частный случай при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.

4. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем, как сглаживающих фильтров, представимых двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка, по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки воспроизведения требуемого выходного сигнала идентифицируемой системы. Необходимые условия оптимальности оператора получены в форме системы п-го порядка линейных двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При этом уравнение Винера- Хопфа является частным случаем полученной системы при представлении динамической системы по- I линомом Гаммерштейна первой степени.

5. В доказательстве эквивалентности по выходным значениям операторов Вольтерра и Гаммерштейна для нелинейных систем, содержащих в качестве линейного инерционного звена фильтр низких частот и безынерционного полиномиальное звено. Замена полинома Вольтерра полиномом Гаммерштейна для таких систем позволяет проводить их синтез и вероятностный анализ без необходимости вычисления многомерных интегралов повышенной кратности.

6. В разработке методов аналитической оценки и прогнозирования вероятностных характеристик процессов на выходе линейных и нелинейных динамических систем, представимых интегральной (дискретной) сверткой, дифференциальными уравнениями в пространстве состояний, операторами Вольтерра и Гаммерштейна.

Выведены аналитические выражения авто и взаимных корреляционных функций ошибок фильтрации для оптимальных линейных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью. В байесовском фильтре с нарастающей памятью (рекуррентном фильтре Калмана) вычисляется ковариационная матрица оцениваемых параметров. Она не отражает вероятностную степень связи значений случайных ошибок в оценках параметров в различные моменты времени. В такой же мере эта вероятностная связь не учитывается и в формулах . В.С.Пугачева, полученных для байесовского фильтра с конечной памятью.

Разработан сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик нелинейных систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, а также ме-I тод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного диф-

ференциального уравнения первого порядка. Из сплайн-интерполяционного метода как частный случай следует интерполяционный метод В.И. Чернецко-го, если интервалы существования случайных величин не разбивать на частичные подынтервалы. Применение сплайн-интерполяционного метода наиболее эффективно для расчета вероятностных характеристик динамических систем, нелинейности которых (как функции от случайных величин) имеют разрывы непрерывности низких порядков и для несимметричных нелинейностей.

В интерполяционном методе статистические узлы выбираются только в зависимости от порядка аппроксимирующего полинома и плотностей распределений по всей области задания случайных величин, и поэтому в должной степени не учитываются динамические свойства системы. В методе локальных статистических узлов А.В.Поцелуева плотности распределений аппроксимируются трапециями, что может привести к большим погрешностям вычисления статистических узлов.

7. В разработке метода вычисления частотных характеристик (спектров сигналов, интегрального преобразования Фурье функций) по конечным выборкам весовых функций (сигналов ), содержащих случайные ошибки.

Собственно вычисление сводится к решению интегрального уравнения > Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром и аппроксимации

частотной характеристики в базисе сплайнов Лагранжа, ВВСФ и обобщенным рядом Котельникова. Принятые аппроксимации приводят к аналитическому вычислению интеграла интегрального уравнения и представлению последнего в виде линейной регрессии. При этом оценивание параметров регрессии производится фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью. Установлена оценка погрешности вычисления интеграла с сильно осциллирующим ядром, для которой выведено уточненное неравенство С.Н.Бернштейна для функций с финитным спектром и конечной энергией. В существующих методах решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода интеграл заменяется какой-либо квадратурной формулой. При сильно осциллирующем ядре это потребует большого числа узлов. Из предложенного метода вычисления интегралов как частный случай выводится известный метод Филона, в котором используются сплайны Лагранжа второй

степени. Обобщенный ряд Котельникова обеспечивает лучшую аппроксимацию функций и их спектров по сравнению с обычным рядом Котельникова.

8. В разработке проблемно - ориентированного комплекса вычислительных алгоритмов, программ и процедур для интеллектуальной поддержки принятия решений при идентификации систем.

Новизна состоит в разработке программ и процедур, приспособленных для непосредственной реализации в системе современного программирования "Дельфи", для решения следующих задач: синтеза сигналов, расчета весовых функций оптимальных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, расчета, вероятностных характеристик линейных и нелинейных систем, моделирования функционирования линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна, для исследования алгоритмов идентификации.

9. В разработке метода точного вычисления распределения Стыодента для любых значений к-степеней свободы. Новизна состоит в рекуррентном вычислении отношения гамма-функций в формуле распределения Стыодента. Метод реализован в устройстве авторского свидетельства на изобретение. Распределение Стыодента вычисляется через элементарные функции с помощью громоздких формул и при значениях к>20 заменяется нормальным законом, но нет оценки погрешности такой аппроксимации.

Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в теорию статистической параметрической и непараметрической идентификации линейных и нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, в статистическую теорию анализа и синтеза оптимальных линейных и нелинейных систем, вероятностного анализа динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, в теорию интегральных уравнений в части решения однородного уравнения Фредгольма второго рода и уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром.

Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1.Расчета с потенциально высокой точностью оптимальных весовых функций систем с сосредоточенными и распределенными параметрами для линейных стационарных и нестационарных систем, представимых в интегральной и дискретной форме, по минимуму среднего значения квадрата ошибки преобразования а также по минимаксному (максиминному) критерию, и для нелинейных стационарных систем, представимых оператором Гаммерштейна, при негауссовых входных случайных процессах.

2.Расчета весовых функций согласованных линейных фильтров, учитывающих априорную информацию о первых двух моментах коэффициентов нестационарной составляющей случайного полезного сигнала и нелинейных согласованных фильтров, представимых оператором Гаммерштейна, в условиях негауссовых помеховых воздействий и случайных полезных входных сигналов.

З.Расчета вероятностных характеристик (математических ожиданий, моментов высших порядков, авто и взаимных корреляционных функций, плотностей распределений) выходных процессов нелинейных стохастических систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, сплайн-интерполяционным методом с определением статистических узлов интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

4.0ценки параметров траекторий движения объектов максиминным методом правдоподобия при их аппроксимации уравнениями линейных регрессий и статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности при аппроксимации траекторий уравнениями нелинейных регрессий. Прогнозирования траекторий движения объектов и расчета вероятностных ошибок прогнозирования по аналитическим выражениям.

5.0ценки текущего и прогнозируемого состояний систем передачи информации с применением синтезированного в базисе ВВСФ испытательного сигнала, в аппаратно-программных комплексах контроля функционирования этих систем.

6.Вычисления частотных характеристик линейных стационарных динамических систем по весовым функциям, реставрации изображений, аналитического продолжения спектра изображения для его восстановления на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с аппроксимацией искомых функций сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Ко-тельникова и аналитическим вычислением интеграла этого интегрального уравнения. Данный метод вычисления интегрального уравнения применим также для синтеза антенн (акустических, радиотелескопов и др.), для повышения разрешающей способности антенн, оценки энергетического спектра по функции автокорреляции, восстановлении сигналов и их спектров в оптике, в том числе и с аналитическим продолжением спектров.

7. Оценки доверительных интервалов для оцениваемых параметров весовых функций динамических систем с вычислением точных значений квантилей (без привлечения таблиц и интерполяции) интегрированием дифференциального уравнения первого порядка. Алгоритм вычисления квантилей для больших выборок (обратной функции Лапласа) реализован в устройстве, защищенным авторским свидетельстве на изобретение, алгоритм вычисления доверительных интервалов для математических ожиданий при малых выборках реализован в устройстве, защищенным во втором авторском свидетельстве на изобретение.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальному курсу: "Методы и алгоритмы оценки параметров случайных процессов".

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на XIV Московской городской НТК, посвященной Дню Радио (Москва,1988); на двух межотраслевых научно-производственных конференциях "Развитие и совершенствование телевизионной техники" (НИИТТ "Электрон" г. Львов, 1990-1991 гг.); на 11-12-ой ежегодных Всероссийских научно-технических

конференциях "Современное телевидение" (Москва, 2003-2004 гг.); на двух Международных конференциях "Информационные технологии в проектировании", "Восток-Запад", (Москва, 1994,1996 гг.); на Международной конференции "100-летие начала использования ЭМ волн для передачи сообщений и зарождения РТ" (Москва, 1995); на 2-ой Международной конференции "Спутниковая связь" (Москва, 1996); на LII научной сессии, посвященной Дню Радио(РНТО РЭС им. Попова A.C., Москва, 1997); на 22"d Europen Meeting of Statistitical, 7 й Vilnus Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, 1998); на 3-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (19081989) (Новосибирск, 1998); в Российском научном обществе исследования операций, ВЦ РАН (Москва, 2001); на 4-ой Московской Международной конференции по исследованию операций (Москва, 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух монографиях издательства "Радио и связь", статья в иностранном журнале, в центральных научных журналах, в ведомственных научных журналах и научно-методических сборниках, в Трудах Межведомственных, Всероссийских и Международых конференций; в сборниках трудов Тверского государственного университета, в виде авторских свидетельств на изобретения. Список работ приведен в конце автореферата.

Достоверность результатов основана: -на корректности постановок задач, адекватно описывающих изучаемые физические процессы;

-строгом выводе необходимых условий оптимальности весовых функций фильтров обработки информации и аналитических выражений для вероятностных характеристик ошибок оцениваемых параметров; -на реализации требований несмещенности и состоятельности оценок параметров;

-на доказательстве, что сплайн-интерполяционный метод дает лучшие по точности оценки математического ожидания и дисперсии для несимметричных и негладких (в том числе разрывных) нелинейностей по сравнению с интерполяционным методом Чернецкого;

-на оценке положительного вклада от использования априорной информации в точность оценок параметров весовых функций в зависимости от объема выборки; -на установлении в результате сравнительного анализа повышенной точности оценок параметров, полученных в диссертации байесовскими фильтрами и методом наименьших квадратов;

-на оценивании параметров весовых функций динамических систем с доверительными вероятностями в диапазоне 0,95 sPs 0,999.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двенадцати глав, приложения к пятой главе, приложения к восьмой главе, заключения и списка литературы. Работа изложена на 309 листах, содержит 36 рисунков и 5 таблиц. Список литературы составлен из 66 источников.

Краткое содержание диссертации Во введении дается общее определение динамической системы, режимы функционирования системы, определены задачи идентификации, дан обзор работ по проблемам идентификации. Здесь также сформулирован комплексный подход к решению задачи идентификации, исходные данные и общая схема ее решения.

В первой главе приводится математическая постановка задачи идентификации динамической системы. Сформулирован критерий качества идентификации и проводится декомпозиция задачи на две: -синтез входного испытательного сигнала в базисе ВВСФ, -оценка весовой функции (параметров) оператора, представляющего математически идентифицируемую систему.

Приводятся свойства ВВСФ и их преимущества по сравнению с другими функциями. Принцип оптимальности синтезирования ИС осуществляется согласно следующим положениям: сигнал должен иметь спектр, равномерный в полосе пропускания частот динамической системы, а во временной области на конечном интервале он должен обладать энергией не меньше заданной.

В качестве принципа оптимальности для задачи оценки параметров весовой функции, в зависимости от объема сведений о входных помеховых воздействиях, принимается принцип максимума апостериорной вероятности, максимума правдоподобия, наименьших квадратов, минимум среднего квадрата ошибки идентификации, а также принцип наилучшего гарантированного ре-зультата-принцип минимакса или максимина. Сформулированы принципы представления результатов идентификации на дисплее ПЭВМ.

Во второй главе сформулирована постановка задачи синтеза тестовых сигналов в базисе ВВСФ для идентификации систем и метод ее решения. Она заключается в следующем. Представим ИС на интервале [-Т,Т] в виде отрезка ряда Фурье в базисе ВВСФ

с неизвестными параметрами k=0,N, при этом потребуем, чтобы относительная доля энергии сигнала F(t) на интервале [-Т, т] равнялась заданной величине

P = fFt(t)dtijFt(t)dt- (1)

-т -»

Тогда постановка задачи синтеза ИС формулируется следующим образом. Найти значения коэффициентов Wt, k=0,N, обращающие в минимум квадратичный функционал

(2)

и в тоже время удовлетворяющий условию (1), где Lk, k=0,N -коэффициенты отрезка ряда Фурье по ВВСФ, аппроксимирующего в частотной области равномерный спектр в полосе частот пропускания динамической системы. Решая задачу на условный экстремум, получим, что

л» Гг

где Ак, к=0,№ - собственные числа функций четного порядка %(0> а неопределенный множитель Лагранжа /определяется решением трансцендентного уравнения

(3)

В виду того, что у рассчитанных предлагаемым методом сигналов доля энергии максимально сосредоточена на конечном временном интервале, их абсолютные значения вне этого интервала будут достаточно малы. Варьируя относительным значением концентрации энергии сигнала и значением Т можно добиться того состояния, когда значениями сигнала вне заданного интервала можно практически пренебречь и таким образом получить оптимальный ИС в базисе ВВСФ.

Сигнал обеспечивает максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе системы как согласованного фильтра по сравнению с любыми другими ИС в аддитивных шумах. Оценивание амплитуды сигнала А!7^) на фоне аддитивного нормального шума методом максимального правдоподобия обеспечивает минимальную дисперсшо оценки амплитуды по сравнению с любыми другими ИС. Далее в главе дается обобщение структуры сигнала Р„ (I) для систем с распределенными параметрами.

Приводятся разработанные методы вычисления ВВСФ на основе сплайнов Лагранжа, В-сплайнов, эрмитовых сплайнов третьей степени, сведения к полной проблеме собственных значений для симметрической матрицы [1], ряда Котельникова. Сущность метода вычисления ВВСФ на основе ряда Котель-никова заключается в следующем. ВВСФ Ч',(0 и соответствующее ей собственное значение А, определяются из решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

А, V, , 1=0,1,2,... (4)

где С- верхняя граничная частота финитного спектра ВВСФ.

Аппроксимируем ВВСФ Ч>(() отрезком ряда Котельникова

д, Бту(т -Щ

-, (5)

— (т - к&) _ Д

где Ч\ = Ч<(кА) , k = -N,N, Д зтг/С =1/2УГ -период дискретности (интервал между отсчетами) на отрезке [-Т,Т\, \У=С/2;г-верхняя граница спектра в герцах; NаТ/А, 2ЛГ + 1- число членов в ряде Котельникова. После подстановки выражения (5) в уравнение (4) и требования, чтобы выполнялось равенство (4) на дискретном множестве точек /, = М, -Т $ I * N получим соотношения

л;

тг 5тС(т-М>/т

(7)

Аналитические выражения для а а,/,£=-ЛГ,ЛГ приведены в [4]. В матричной записи уравнение (6) запишется в виде АЧ'-АЧ', где Ч» = ,

ли—у ■

Таким образом, вычисление функций Ч'/О11 соответствующих им собственных чисел А,, /=0,2ЛГ, сведено к полной проблеме собственных значений для матрицы А размера (2ЛГ+1)х(2#+1).

В третьей главе изложен вычислительный алгоритм синтеза тестовых сигналов по заданным частотно-временным параметрам. Приведены графики изменения ВВСФ для значений Г =160,240,400,800 не для С=бмгц , а также форма испытательного сигнала и его спектр. В конце главы приведены характеристики тестового сигнала для Г=240нс, представленного линейной комбинацией ВВСФ, и проведен сравнительный анализ с другими сигналами.

В четвертой главе разработаны программно реализуемые параметрические и непараметрические методы оценивания весовых функций систем, предста-вимых полиномами Вольтерра и Гаммериггейна.

Для полинома Вольтерра коэффициенты его ядер определяются по минимаксному критерию при предположении, что ошибки измерений находятся в заданных пределах и не имеется другой априорной информации. В этом случае определение коэффициентов сведено к итерационному решению системы линейных алгебраических уравнений. Далее приводятся выражения для минимаксного критерия оценки параметров отрезка ряда Вольтерра при априорной неопределенности о значениях корреляционной функции шума |(<).При этом предполагается, что имеется априорная информация об оцениваемых параметрах в виде математического ожидания и корреляционных моментов второго порядка. Данная задача сведена к поиску минимума квадратичной формы без ограничений методом сопряженных направлений.

В главе показана тождественность по выходным значениям операторов Вольтерра и Гаммериггейна, математически описывающих динамические системы, содержащие фильтр низких частот.

В пятой главе развиты методы оценки весовых функций или их параметров систем с распределенными параметрами двумерным оператором статистического сглаживания (фильтром ), двумерным байесовским оператором сглаживания (фильтром ), методом максимума апостериорной вероятности, статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности, максиминным методом правдоподобия, методом минимальных модулей, линейным и нелинейным на основе оператора Гаммерштейна согласованными фильтрами, нелинейным фильтром Гаммерштейна.

Для байесовского фильтра с конечной памятью полезный входной сигнал

NM NM _

x(n,m)= Уя4/рДп)Ч',(т)+5(п,т) = У (Ли + Л(«>4^ (т) +s( п, т ) ,

(й

где N,M-заданные величины; л,/«-целочисленные значения аргументов,

(рк(п),Щ(п(),к - 0,N, 1=0,М -известные координатные функции. Используется априорная информация:

Аы, к = О,N -априорное математическое ожидание о коэффициентах а и, Ау- случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными моментами М[ \-К щ, k,i=0,N, l,j~ 0,М, s(n,m) - случайный полезный сигнал с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией К,(и,т,í, j).3адается выборка измерений объема (¿+1)х(р +1)

3?(n,m)=x(n,/n)+f(n,m), |(п,т)- случайная помеха с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией K((n,m,i,j),

ци(п,т) -Н<р,(п) Ч>j(m), i=0,JV, jf = 0,M -моменты весовой функции фильтра, H„s(&,/) -воздействие идеального оператора преобразования Н на функцию s(k,l) по переменным к и I.

Получены уравнения для весовой функции двумерного байесовского фильтра W(п,т,к,1\ обеспечивающей минимум среднего квадрата ошибки фильтрации

L^W{n,m,k,l){KM,r,k,l) + Ke(q,r,k,t) )=

W(n,m,i,r)=0, при q>L, q<0, r>P, r<0. Вероятностные характеристики байесовского фильтра рассчитываются по формулам:

дисперсия ошибки фильтрации

D(И,1И)= - LyW(n,m,q,r)Hk,K,(k,l,q,r) +

úio ч"о

взаимный момент второго порядка для линейных преобразований с операторами Н' и Н*

взаимная корреляционная функция ошибки фильтрации К„ (L,P,R,C (Ä,C )+H,uHTv K,(k,l,q,r)-

- VIT (R,C,k,l)H'„К,{q,r,k,l), при£ Ó¿<1

Выражение для взаимной матричной корреляционной функции ошибок фильтрации байесовского фильтра с конечной памятью и рекуррентного фильтра Калмана для многомерных линейных систем выведено в [2].

В главе получены уравнения для весовой функции двумерного максиминно-го байесовского фильтра. В этом случае в выборке измерений х(л,т) присутствует еще аддитивная помеха g(n,m), удовлетворяющая ограничению p(g) * d, где p(g) - норма функции g(n,m) в заданном пространстве. По критерию оптимальности 1= max rain D(m,»i) ,

g,p(g)*d W

где D(n,m)- средний квадрат ошибки фильтрации, получены уравнения для функции веса

\ V>/(n,m,k,l)(K,(q,r,k,[)+K((q,r,k,l))+ itt

+G(9,rW)dp*(W)=HwK,(9,r,M)+ ^Ь0е(п,т)сра(Ф'Лг),

0¿q*L,0<:rsP,

dp*(W)- max

,\У)-функция, обеспечивающая максимум норме р (Ш). При выводе весовой функции \У(* ,г) двумерного непрерывного линейного согласованного фильтра зависимость выхода ) в точке р=(а,/3) от входа г(е ,т) записывается соотношением

Т, г,

е(р)=Г рУ(г,т)2(а-г,/3-т)сЫт,где 2(х,у)=оЦх,у)+%(х,у),

-Т.-Т,

О =1, сигнал Г(х,у) присутствует в выборке, при 0=0, сигнала 1"(х,у) нет. За критерий оптимальности принято отношение средней энергии полезного сигнала к дисперсии процесса выхода фильтра

Е\р) „2/ ч Г'-'. <™<-

Уш«-тах»где Е (р)=

D(P)

/ ¡mt,r)^fpk(a-t)4',W -x)dtdr

Е>(р)= / / / / W(t,r) W(í',r')

NM.N.M

kJTj-V

x*P,()3 -r)cp,(a-t'yVjifi -r')+K,(t-t',r-r') + Kf(t-í',r-r) }dtdt'dxdr'. Оптимальная весовая функция W(t,t) удовлетворяет уравнению

т, т> HMJjJ*

/ J-W(í',r') J> -m'Áfi -T-r') +

+ K,(t- t',r -r') + Ks(t - t',t -r')\dt'dT'= = Y* ^(a-tyiw-r), -I\*t*T, -T,st sr,,

crio

- /u4>k(a-tyv,{fi-r)didt.

При выводе уравнений для весовой функции двумерного нелинейного согласованного фильтра, представленного оператором Гаммерштейна, входной сигнал z(t,t) - s(i,r)+t(i,r), где s(t,x)- случайный полезный сигнал с математическим ожиданием f(t ,т). Критерий оптимальности

S2(n) т'т'»

гв«= шах 77ТТ'ГДе S„(p)-/jjA;(/,rHw>(Mr)^r-

kx(l,x),...,kn(t,x)D,(p) ■ ЦН

математическое ожидание выхода фильтра от входного полезного сигнала s(i,r); _

А: ;(/,г), i =1,я -ядра оператора Гаммерштейна; m',,0) (p,t, т)=(a~t,fi -г) у, 0,(р)-дисперсия выходных значений фильтра от входного сигнала. Выходное значение фильтра у(р) в точке р от входа z(c,x) записывается в ввде

Получена следующая система линейных интегральных уравнений для определения оптимальных ядер Гаммерштейна к ,(t,x), i=\n

Y»a-^J}k,(t,r)m™<j>,t,T)dldT.

При выводе уравнений оптимального нелинейного фильтра Гаммерштейна, предназначенного для непараметрической идентификации динамических систем, входной сигнал задается в виде z(t,r) = s(t,r)+£(/,r). Зависимость выхода от входа фильтра

g(p )=| ff*j(t,T)z'(a-t,p-r)dtdx.

Критерий оптимальности min_ М fffs((,x) - g(<x,rjf\.

Получена следующая система линейных двумерных интегральных уравнений для оптимальных ядер Гаммерштейна к, (f,t), i=%n

Т Т

¡=й, OstzT, , 0stsT,,

= M[Hsia,P)z'(a-t,p -r)J.

ГЛ„ щ

Средний квадрат ошибки фильтрации В,(р) ~ Ош(р) - . Дока-

зано, что добавление нелинейных членов в фильтре Гаммерштейна не ухудшает точность оценок.

При оценке параметров весовой функции методом максиминного правдоподобия в векторной форме записи результаты измерений записываются в виде I, =РА+ д + V, где V -матрица размера Мхи, 1=(1!>...,15и)г - выборка, А=(а,, ,а„)г - оцениваемый вектор,

§ - )г -вектор ошибок измерений с ковариационной матрицей К{

и нормально распределенный. Ошибки V,, г=1,М, у=(у„...,уи)г, находятся в пределах |гг| з дг, Аг -заданные числа, Л - (Д„...,ДЛ,)Г. Критерий оценки вектор А:

1= шах шт(^-РАГО(/.-у-РА)), где <з=к5-.

|г|«4 А

Оценка вектора А производится по формулам: А=С'РГЦ{Ь-у), б = РтОР. Элемент у„»» \М рассчитывается по формулам при р, & О, ,при\3, <0

где р, - / -ый элемент вектора р = -211СР, С=0-0Б- йг(2 + Ит0Р, И - РС'Р, Р -матрица собственных векторов матрицы С.

При оценке параметров весовой функции статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности нелинейная функция Н(<, а) от оцениваемого векторного параметра а =(а,,...,ал)г записывается в виде

Н(<,«)=Я0(*,т,1С) +, где т и К-априорные математическое ожидание и ковариационная матрица вектора а, -аг-щ,,у-%п, Яц(1,т,К) = м{Я(/,а)}.Если вектор а распределен по нормальному закону, то

дт^

Выборку представим в виде 1((г) = Я0(г„ш,К) + + г(/,)> г=1,лг.

Из условия максимума апостериорной плотности вероятности оценка а и ковариационная матрица оценки ч> вектора а рассчитываются по формулам а - т+В-1РТй(Ь - й), Ч' - В"' - (гт0Р + д),

где ..................... , Я=К-', Л = (Нв(11>т,К),...,Н0((к,т,КУ).

В главе предложено два метода декомпозиции системы уравнений метода наименьших квадратов для оценки параметров весовых функций распределенных систем. В первом методе решение исходной системы сведено к последовательному решению двух типов линейных систем меньшей размерности. Во втором методе исходная система решается на основе сопряженных В-сплайнов. В

методе минимальных модулей оценка параметров весовых функций распределенных систем также производится с использованием сопряженных В-сплайнов.

В приложении пятой главы изложены методы решения уравнения для оптимальных весовых функций: прямыми методами вариационного исчисления, для корреляционной функции квазистационарной случайной помехи с использованием дискретного преобразования Фурье и приведения уравнения к виду для стационарных систем.

В шестой главе разработаны методы оценки временных и частотных характеристик динамических систем: переходной, амплитудно-частотной и фазо-частотной, группового времени запаздывания.

Переходная характеристика U(t) линейной динамической системы выражается через весовую функцию w(r) интегральным соотношением

<

U(l)=fnir)ilr. (8)

-т

Для вычисления интеграла (воспользуются сплайны различных типов и степеней.

Переходная функция нелинейной системы при ее описании полиномом Вольтерра записывается в виде следующего выражения

СЧ0-/н<т) + |аиЛ2(0+- , (9)

где Р,(1) - píit(T)dr.

-г

По оценкам второго и последующих слагаемых в (9) устанавливается степень нелинейности системы.

В главе разработан метод вычисления частотной характеристики системы F(w), являющейся интегральным преобразованием Фурье от весовой функции w(í), заданной на конечном интервале [-Т,Т]. В этом случае вычисление F(w) сведено к вычислению действительной части a (z) функции F(¡fc) из уравнения i

a(z)»Jcos czva(y)dv, -lszsl, (10)

и мнимой части b(v) из уравнения i

h(z)=Jsin czvb{v)dv, -lszsl, (11)

где h(z)=^m,

4/e 4/t

c=2itfcT, fc -граничное значение полосы пропускания частот системы. Для решения уравнений (10) и (11) используются модифицируемый метод Лаврентьева и сплайны Лагранжа. При аппроксимации решений этих уравнений с использованием ВВСФ функция a(v) представляется линейной комбинацией по четным ВВСФ 4*,(v), <=°>п с неизвестными коэффициентами a„i-0,n в

виде а функция 6(у) по нечетным ВВСФ <р,(у),у - 0,л в виде

После подстановки этих линейных комбинаций в уравнения (10) и (11) получаются в общем случае погрешности

»«Ю-вЮ-^аАЧЧ*) , 'гЮ-Ю-^ЬтЫ, (12)

где \ и у, собственные числа функций Ч',(г) и <р,(г) соответственно. Потребовав, чтобы погрешности в (12) были ортогональны функциям Ч'^г) и %(г) соответственно на отрезке [-1,1], получим

КЪ У к -1

Групповое время запаздывания вычисляется дифференцированием фазо-частотной характеристики при аппроксимации ее сплайнами.. В седьмой главе предложен метод расчета вероятностных характеристик: математического ожидания, центральных моментов высших порядков, корреляционных функций, интегрального закона распределения выходных процессов нелинейных динамических систем, представимых полиномами Вольтерра и Гаммерштейна, а также системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти вероятностные характеристики рассчитываются с использованием сплайнов Лагранжа.

Пусть динамическая система описывается системой нелинейных уравнений п-го порядка

,[г _

А,,..Л), (13)

-независимые случайные величины с плотностями распределений

Задаются статистические узлы интерполяции для Л,, а1 ^ )н 5 Ьп г,л, /, = 0,ЛГ,, -количество узлов на промежутке, у, = 1,л,, Nl=qln, и разбивается отрезок [а„г>(] на п, подынтервалов следующим образом

Ч„ , к, -0^, Я, -степень поли-

нома Лагранжа по переменной А,, изменяющейся на ], подынтервале [гД,тД( ], и,-количество подынтервалов разбиения отрезка [а,,й,] изменения переменной А,.

Решение системы (13) на каждых У„Л>->7„ подынтервалах интерполируем полиномом Лагранжа от случайных параметров :

Х,(*Л,"А) = Т КХ (Л>-Л ),

»„.дг.-о

г-Хп,

-П ■ —. =(Л-<).

Тогда математическое ожидание фазовой координаты *,(/) вычисляется по формуле

г 1 ■—ж _

= 4 ^ «хя-о,'

/ДЛ)-

> tiosAstÍ.„>

о,

К - ткшк.

гя

Центральный момент fc-ro порядка-

Взаимная корреляционная функция, интегральный закон распределения и другие вероятностные характеристики вычисляются по аналогичным выражениям. Вместо сплайнов Лагранжа могут быть использованы другие фундаментальные сплайны, многомерные В-сплайны.

Аналогичным образом предложенный метод используется для расчета вероятностных характеристик выхода полиномов Вольтерра и Гаммерштейна. Статистические узлы определяются как решения трансцендентного уравнения

ff(T)dr-fP(y)dy, (14)

с а

р(у)- плотность распределения, для которой имеются таблицы статистических узлов и чисел Кристоффеля. А - искомое значение статистического узла. Уравнение (14) записывается в виде

}т<1тJVOOrfy-//(т)Аг.. (15)

О ас

После дифференцирования первого уравнения (15) по q получим

при А(0) - 0. (16)

dq /(А)

*¡ о

Уравнение (16) интегрируется до значения q равного q3= fp(y)dy-ff(r)dT, х3-

а с

значение статистического узла, соответствующего плотности распределения р (х).

При формировании случайных чисел х,- значение случайного числа, полученного от датчика, формирующего случайные величины с плотностью распределения р(х).

Если ДЛ) в граничных точках обращается в нуль, то искомое значение А статистического узла находится как значение А(1) функции А (а ), Она из уравнения

ТаЛТ^Ш' "Р" Я(0)^'ГДеР(Л)=|/(А)"А-

При заданной правой части уравнения (14), например, значению Р, найденное решение \ соответствует квантилю порядка Р одномерного распределения

А

Ф(А)=^/(г)</т. Поэтому предложенный метод вычисления статистических

с

узлов пригоден и для вычисления квантилей.

В восьмой главе разработаны статистические методы восстановления спектра тестового сигнала, частотной характеристики системы, когда в измеренном сигнале 1:г(*) или весовой функции содержатся случайные ошибки. Задача восстановления спектра Р(ш) сведена к вычислению ее действительной части функции а (со) и мнимой части Ь(<о) по конечной выборке наблюдений функции на отрезке [-Т, Г] из уравнений

» £а(а))со$2л(ои1ы, (17)

г,

Л(0= р(а>)$Ь2яш/аю, -Г* ¡¿Г, (18)

где я(0-(/г(') + /г(~0)/2, й(0=(/г(0-/г(-'))/2.

Вследствие того, что функция и ее преобразование Фурье взаимны, то соотношения (17) и (18) используются для восстановления сигнала по спектру. Поскольку ядра интегральных уравнений Фредгольма первого рода (17) и (18) относятся к классу сильно осциллирующих функций, то замена интегралов суммами приводит в конечном счете к большим ошибкам вычисления функций а(ш) и Ь(й)) даже при большом количестве подынтервалов разбиения отрезка [-/„/,]. Для численного решения уравнений (17) и (18) используются сплайны Лагранжа д-ой степени. Для этого на отрезке интегрирования [-/, , /с ] выбираются точки т„1 - О,ТУ и этот отрезок разбивается на л подынтервалов точками т,„/ =1,п следующим образом ^ - ■> г^1,

Функции а(со) и Ь(ш) на каждом «-том подынтервале интерполируются полиномом Лагранжа д-ой степени

«И - с» - , Ь(ю) - - , < * со = <, I - ,

- а(т1) > - Кг'к) -значения функций а(«) и Ь(<и) в узле г^.

Каждая из функций Лагранжа £'*(ю) записывается в виде 4(0))- х = (-1 БиМ'^^ (т'0,...,т'к^

аД

где ^Ш/^^о,...,^.,,^,,...,^)/^- элементарная функция степени а от Я аргументов т'а,...,т'я без аргумента г'к, (о'к = ^ (т'к -т^). В результате подстановки с^(а>) и б'Дш) в правые части уравнений (17) и (18)

и взятия интегралов аналитически получим

N

где

«(О -^едЮ,

Ро(0»сй(,), го(0-5й(0» _

при* -''-М-1,

г,(0™ <«-£

(19)

$2* ' (')> 1"Щ, к" 1,9-1, - -

ЕС. (г).

-, при 1 = 0

а +1

Т°5Ш2ЛПГ аЕ5а_,(т)

2за 2за

О, при < = 0, т° собЫт : аЕСа.,(г) 2я* 2л*

, при <*О , при I * 0.

При аппроксимации функций а (со) и Ь(со) отрезком ряда Котельникова или ВВСФ интегралы (17) и (18) приводятся к виду, аналогичному уравнениям (19).

Если в значениях g(f) и Ь(<) отсутствуют случайные ошибки, то задав на отрезке [-Г,Г] систему точек получим уравнения метода коллокации

N N _

для определения коэффициентов а„Ь, ,) - ^ а,р,(<,), й(/,) - ^Ь,г,(1,), I" - 0,ЛГ.

При наличии в значениях &(() и !>(/) случайных ошибок коэффициенты линейных регрессий (19) определяются фильтром Калмана и байесовским фильтром с конечной памятью.

В главе для аппроксимации функций и восстановления их спектров предложен обобщенный ряд Котельникова, отрезок которого для -Т*/ ¿Г записывается в виде

а а а

где -значения функции 1(0 в дискретных точках к—,

к =0,± , л=1,2,3,..., Т

Д - — -период дискретизации функции {(¡) на отрезке [-Т,т], а к.

При л=1 получаем обычный ряд Котельникова. Получена оценка погрешности аппроксимации для с£[-Г,Т]

ЛЁД"-1

• я.

Бт—г Д

1(г-0"-1+(Г+1)2 (2п-1)(Т3 -I1)2' Е-полная энергия функции Д<).

При замене T-N Д из неравенства (20) следует, что погрешность стремится к нулю при увеличении количества членов N обобщенного ряда Котельникова и при увеличении п скорость стремления к нулю возрастает. Для спектра обобщенного ряда Котельникова приводится выражение

1 К кл

- тг" X /(—/а)Вя.,(ш/2а), 2а а

где !>„.,(/)- В-сплайн степени п-1 с равномерным расположением узлов.

В приложении главы восьмой получена оценка погрешности интегрирования сильно осциллирующих функций с финитным спектром на основе сплайнов Лагранжа

г г

/,(5) = |со*(и1)/(№, J1(s)- £шЫ)/(с)Ж.

При этом для оценки модуля производной функции Щ) т-го порядка при |/(<)| й М и ^/(<)|гА и имеющей финитный спектр с граничной частотой

/с, получено выражение |/<ж)(0|^ /"М/-ч/2т + 1. (21)

Неравенство (21) является уточнением фундаментального неравенства С.Н.Бернштейна для функций с конечной энергией и финитным спектром, в котором присутствует множитель 1/л/2т + 1.

В девятой главе разработаны два метода контрастирования перепадов на двумерных случайных полях на основе интегрального оператора дифференцирования входного поля. В первом методе в качестве весовой функции используется производная от функции типа синусх/х. Во втором методе весовая функция формируется в виде обратного преобразования Фурье от линейной комбинации В-сплайнов п-ой степени с равномерным расположением узлов в частотной области, интерполирующей моном ш".

В главе также рассматриваются вопросы определения геометрических характеристик на тестовом двумерном сигнале. Приведена вычислительная схема расчета контуров объектов. Для аппроксимации контуров объектов используются параметрические сплайны различных типов: кубические дефекта 1, кусочно-линейные, рациональные. С помощью этих сплайнов рассчитыва-

ются геометрические характеристики объекта: длина периметра, кривизна контура, радиус кривизны контура, площадь объекта, координаты геометрического центра объекта.

В десятой главе разработаны вычислительные алгоритмы оценки параметров весовых функций динамических систем с распределенными параметрами, медианного фильтра, сплайнов 1-3 степеней, вычисления ВВСФ. Все вычислительные алгоритмы непосредственно построены по материалам предыдущих глав, они легко реализуются на современных ПЭВМ в системе "Дельфи " в виде стандартных процедур, классов, объектов.

В одиннадцатой главе разработаны вычислительные алгоритмы оценки весовой функции, переходной характеристики и частотных характеристик динамической системы передачи информации с использованием синтезированного ИС в виде линейной комбинации ВВСФ.

В двенадцатой главе приведена структура математической модели и результаты исследований показателей качества разработанных методов и алгоритмов идентификации системы, изложены также алгоритмы отображения на дисплее ПЭВМ результатов идентификации текущего состояния системы в виде четырех информационных моделей.

Заключение

В диссертации автором разработаны теоретические основы обработки информации при идентификации динамических систем различного назначения, формализованы постановки конкретных задач обработки информации, обоснованы критерии качества методов обработки информации, разработаны методы и алгоритмы обработки информации, а также методы и алгоритмы поддержки принятия соответствующих решений по результатам идентификации динамических систем в текущих условиях их функционирования.

1.Разработаны теоретические основы по обоснованию:

1.1.Необходимого условия оптимальности весовой функции двумерного линейного согласованного фильтра обработки информации с целью обнаружения входных возмущений по критерию, максимума отношения сигнал/ шум. Необходимое условие выведено в форме двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода с учетом априорной информации о математических ожиданиях и центральных корреляционных моментах второго порядка коэффициентов обобщенного полинома входного сигнала.

Показано, что это необходимое условие распространяется на случаи конструирования фильтров большей размерности, а при нулевых значениях центральных моментов из данного фильтра как частный случай следует обычный согласованный фильтр;

1.2Леобходимых условий оптимальности нелинейного согласованного двумерного фильтра обработки информации, представимого оператором Гаммер-штейна п-го порядка, при обнаружении негауссовых случайных входных воздействий, характеризуемых одно и двумерными моментами до 2п-го порядков.

Собственно необходимые условия выведены по критерию максимума отношения сигнал/ шум на выходе фильтра и сформулированы для ядер Гаммерштейна в

виде системы п-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Полученные таким образом необходимые условия охватывают известные теоретические положения линейной согласованной фильтрации при обработке информации по одномерным и двумерным входным воздействиям;

1.3.Необходимого условия оптимальности весовой функции двумерного дискретного байесовского фильтра обработки информации при идентификации динамических систем по критерию максимина среднего квадрата ошибки оценки параметров восстанавливаемой функции с учетом априорной информации о входном воздействии.

Необходимые условия выведены в форме системы нелинейных алгебраических уравнений, решение которой обеспечивает восстановление весовой функции с высокой, по сравнению с известными методами (Эльясберг), точностью при малой выборке отсчетов и получение эффективных оценок параметров сигнала на выходе фильтра обработки информации.

1.4.Необходимых условий оптимальности весовых функций нелинейных фильтров обработки информации, представимых ядрами оператора Гаммерштейна, для идентификации нелинейных динамических систем с учетом одно и двумерных моментов до 2п-го порядков негауссовых тестовых входных воздействий. Необходимые условия оптимальности ядер Гаммерштейна выведены по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки идентификации в виде системы п-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Они охватывают теоретические положения линейных стационарных фильтров обработки информации с конечной памятью а при степени равной единице оператора Гаммерштейна - уравнения Винера-Хопфа.

1.5.Высокоэффективных методов восстановления спектров тестовых сигналов, частотных характеристик идентифицируемых динамических систем по конечной выборке отсчетов на их выходе. Восстановление спектров осуществляется как решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода их аппроксимацией линейными комбинациями сплайнов Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова с неизвестными параметрами с последующим аналитическим вычислением интеграла с сильно осциллирующим ядром. Параметры линейной комбинации, в зависимости от условий получения выборочных данных, определяются методом коллокации, фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью. Реализованное в методе аналитическое взятие интеграла с сильно осциллирующим ядром по сравнению с любыми квадратурными формулами, даже с использованием густой сетки узлов, позволяет значительно повысить точность решения уравнения Фредгольма.

2.0существлена формализация критерия, его декомпозиция в проблеме обработки информации при идентификации систем. Сущность формализации критерия заключается во введении обобщенного функционала качества идентификации, определенного на декартовом произведении множества линейных комбинаций ВВСФ, входных случайных воздействий, метрик(мер) близости между оцененным и истинным операторами идентифицируемой системы и множества выборок на конечном отрезке времени.

При решении задач идентификации для конкретных динамических систем обобщенный функционал декомпозируется на критериальные функционалы качества синтеза оптимальных входных тестовых воздействий, двумерных фильтров обнаружения полезных тестовых сигналов входных воздействий и фильтров оценки параметров весовых функций идентифицируемых динамических систем. Соответственно проблема идентификации декомпозируется на следующие задачи:

-синтеза оптимальных входных воздействий в виде аддитивной смеси тестового сигнала, согласованного с полосой пропускания частот динамической системы, случайных процессов с заданными корреляционными функциями, временных рядов с заданными плотностями распределений их коэффициентов; -синтеза весовых функций двумерных линейных минимаксных (максимин-ных) фильтров обработки информации; синтеза весовых функций линейных и нелинейных двумерных согласованных фильтров обработки информации; разработки методов оценки временных и частотных характеристик идентифицируемых динамических систем: переходной, амплитудно-частотной, фа-зово-частотной характеристик, группового времени запаздывания;, -оценки вероятностных характеристик выходных процессов линейных оптимальных двумерных фильтров, операторов Вольтерра и Гаммерштейна обработки информации, вероятностных характеристик фазовых координат динамических систем, представимых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями;

-разработку программно-реализуемых методов отображения результатов идентификации на дисплеях ПЭВМ для принятия соответствующих решений.

3.В качестве критериев оценки параметров в зависимости от объема сведений о полезном сигнале (параметрах весовой функции системы) и помехах принимаются критерии в виде максимума отношения сигнал/шум, минимума, максимина, минимакса среднего значения квадрата ошибки идентификации, максимума апостериорной плотности вероятностей, максимина функции правдоподобия.

По приведенным критериям оптимизации рассмотренные задачи идентификации динамических систем относятся к классу задач оптимального управления при случайных факторах, так как в этих задачах определяемая весовая функция системы по существу представляет собой функцию управления.

Синтезирование испытательного сигнала осуществляется по критерию минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации равномерного спектра в заданной полосе частот и при заданной величине энергии сигнала на конечном временном интервале; сигнал ищется в классе линейных комбинаций ВВСФ.

4.Для решения поставленных задач обработки информации в диссертации разработана соответствующая совокупность методов и алгоритмов. Эта совокупность включает:

- алгоритм синтеза оптимального испытательного сигнала в базисе ВВСФ, включающий два метода вычисления ВВСФ;

- максиминный и минимаксный байесовские фильтры с конечной памятью, учитывающие априорную информацию о коэффициентах нестационарной случайной составляющей входного полезного сигнала:

- максиминный метод максимума правдоподобия при априорной неопределенности относительно ошибок выборочных данных;

- статистически линеаризованный метод максимума апостериорной вероятности для систем, имеющих негладкие и разрывные безынерционные нелинейности;

- алгоритмы расчета переходной, частотной характеристик систем, оптимальных весовых функций одномерных двумерных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью, геометрических характеристик объектов на изображениях с использованием сплайнов различных типов и степеней, оценки параметров траекторий движения геометрических центров объектов;

- сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна;

- метод вычисления статистических узлов, квантилей интегральных законов распределений, формирования случайных величин с заданными плотностями распределений интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Результаты моделирования на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов для идентификации систем. Так, для сложных условий функционирования динамической системы типа канала передачи информации, когда имеют место изменения его частотных и временных характеристик из-за воздействия различных факторов ( помех, сбоев, неисправностей и др.), установлены следующие значения показателей качества методов: -точность оценок весовой функции-99,5%; -точность оценок переходной характеристики-(99-98,5)%; -точность оценок амплитудно-частотной характеристики-97%; -точность оценок фазо-частотной характеристики-97%; -точность оценок группового времени запаздывания-97%. 5. Для отображения на экране монитора ПЭВМ результатов идентификации динамической системы разработаны алгоритмы формирования и выдачи данных по оцененным весовой функции, переходной характеристике, АЧХ, ФЧХ, групповому времени запаздывания.

Результаты идентификации представляются в виде четырех информационных моделей: обобщенная информационная модель; информационная модель о текущем состоянии системы по установленному режиму; информационная модель детальной информации по установленной характеристике; информационная модель графического изображения оцененной характеристики;

Разработанные алгоритмы и информационные модели используются в ап-паратно- программном комплексе контроля текущего состояния динамической системы - телевизионного канала передачи информации, эксплуатируемого в областных телевизионных центрах.

Основные результаты диссертации опубликованы: В периодических научных, научно-технических изданиях, выпускаемых в Российской Федерации:

1. Малевинский М.Ф., Виленчик JI.C., Катулев А.Н. Вычисление вытянутых волновых сфероидальных функций // Радиотехника.1989. N"3.C. 14-16.

2. Малевинский М.Ф., Виленчик JI.C., Катулев А.Н. Ковариационная функция оценок фильтров Семенова и Калмана// Радиотехника. 1991.№З.С.З-5.

3. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Метод восстановления спеюра функции по конечной выборке // Автоматика и телемеханика. 1997. t.LVin, №6 (0,7 пл.).

4.Малевинский М.Ф. Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Метод вычисления ВВСФ с использованием ряда Котельникова // Радиотехника. 1997. № 4.5 с.

5. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Минимаксный метод обработки изображений // Теория и системы управления. 2000.№ 2 (0,4 п.л).

6. Малевинский М.Ф, Катулев А.Н., Соломаха Г.М. Оценка точностных характеристик динамических систем на основе сплайнов Лагранжа // Теория и системы управления.2002.№З.С.19-28.

7. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н.,Соломаха Г.М. Двумерный фильтр с конечной памятью и его вероятностные характеристики // Вестник РУДН, Прикладная и компьютерная математика.2002.№ 1(1).С.107-122.

8. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Кузнецов В.Н.,Соломаха Г.М. Двумерный полиномиальный фильтр //Автоматика и телемеханика.2003№ 9.С.77-88.

9.Малевинский М.Ф, Катулев А.Н. Байесовский фильтр для обработки двумерных случайных полей // Вестник РУДН, Прикладная и компьютерная ма-тематика.2004.т.3,№1. С.132-143.

В монографиях:

1. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Колганов С.К. Идентификация каналов передачи информации: новые методы и алгоритмы. М.: Радио и связь. 1993. 81с.

2. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Колганов С.К. Идентификация каналов передачи информации.М.: Радио и связь, 1996.100с.

В научных изданиях ВЦ РАН им.Дородницина:

1.Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Тихон Н.К. Синтез нелинейного согласованного фильтра в системах контроля безопасности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ РАН, 1999.Вып.2( 0,4 пл).

2. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Тихон Н.К. Весовая функция согласованного фильтра в системах контроля безопасности. Там же(0,4пл.).

3. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Соломаха Г.М. Picture State Parameters in the Monitored Space Estimation // Российское научное общество исследования операций. М.:ВЦ РАН,2000(0,12 п.л.).

В иностранном научном журнале: 1.Малевинский М.Ф., Катулев А.Н. The Minimax Method of Estimation of the Parameters of an Image // Journal of Mathematikal Sciences. 2001.Vol.5.P.612-615.

В авторских свидетельствах на изобретения:

1. Малевинский М.Ф., Конарев Ю.А. Прижилов В.В.Устройство для вычисления обратной функции Лапласа. Авторское свидетельство № 894739, G06G7/26,1981.

2. Малевинский М.Ф., Плетенкин В.В.,Прижилов В.В. Устройство для воспроизведения функций. Авторское свидетельство N 991435, G06F15/31,1982.

3.Малевинский М.Ф., Мудров В.В., Прижилов В.В. Устройство для определения параметров распределения случайных величин. Авторское свидетельство N1084811, G06F15/36,1983.

В Трудах Всероссийских и Международных научно-технических конференций:

1. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С. Принцип построения адаптивного метода наименьших квадратов для идентификации нелинейного ТВ канала.// Межотраслевая научно- производственная конференция "Развитие и совершенствование телевизионной техники", НИИТТ "Электрон", Львов. 1990.С.125-127.

2. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С. Методика контроля ТВ канала при использовании новых испытательных сигналов.// Межотраслевая научно- производственная конференция "Развитие и совершенствование телевизионной техники", НИИТТ "Электрон", Львов.1991. С.71-72.

3. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С. Программный комплекс для проектирования автоматизированной системы контроля ТВ канала с использованием специальных испытательных сигналов.// Международная конференция "100-летие начала использования ЭМ волн для передачи сообщений и зарождения РТ", М.,1995. С.160-162.

4. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С., Гиренко А.Ф. Mathematical Model of TV Channel for its Identification at the Current Control.// Международная конференция "Информационные технологии в проектировании", ВОСТОК-ЗАПАД, М., 1996.С.198-200.

5. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С., Гиренко А.Ф. Modern Computer Complex of Measurement and Control of State of TV Systems.// 2-я Международная конференция "Спутниковая связь", М., 1996. С.70-72.

6. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С., Гиренко А.Ф. Эффективные методы и алгоритмы контроля каналов передачи информации и управления.// LII-ая научная сессия, посвященная Дню Радио, РНТО РЭС им. Попова A.C., М., 1997. С. 22-23.

7. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н. Сплайны в задачах интегрального преобразования Фурье.// 3-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (1908-1989), ИНПРИМ-98, ИМ СО РАН. Новосибирск, 1998.

8. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н. Probability Characteristics of Output Process of Non-Linear Inertial System. 22"' Europen Meeting of Statistitical, 7" Vilnus Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics, Vilnus,1998.( 0,07 пл.).

РНБ Русский фонд

2007-4

9. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик JI.C., Солома ный линейный фильтр для обработки изображений // 11-я Всероссийская 1 "Современное телевидение", М., 2003. С.109-110.

10. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Виленчик Л.С., Соломаха Г.М. Двумерный сплайн-фильтр обнаружения перепадов на изображении.//12-я Всероссийская НТК "Современное телевидение", М.:, 2003.С.160-161.

11. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н. Максиминный метод максимума прав-доподобия.//4-ая Международная Московская конференция по исследованию операций, М.:, 2004. С. 109-111.

Научно-методические разработки и результаты научных исследований опубликованы в 31 отчете НИР по созданию новой спецтехники и в 38 научно-методических сборниках на закрытые темы за 1960-1989 гг.

В ведомственных научно-технических изданиях опубликована 21 научная авторская статья, среди них:

1.Малевинский М.Ф. Способ вычисления волновых функций вытянутого сфероида, НММ, вып.23(52), МО СССР, 1976 (0,25 п.л.).

2.Малевинский М.Ф. Использование сплайн-функций в интерполяционном методе Чернецкого, НММ, МО СССР, вып.25(56), 1976 (0,2 пл.).

3.Малевинский М.Ф. Метод вычисления с повышенной точностью доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, НММ, МО СССР, вып.12(92),1978 (0,2 пл.).

4. Малевинский М.Ф. Использование В-сплайнов в задаче определения параметров траектории объекта по методу максимума апостериорной вероятности, НММ, МО СССР, вып.28(144), 1980 (0,3 пл.).

5. Малевинский М.Ф. Применение сплайнов в задачах оптимальной фильтрации, НММ, МО СССР, вып.28(144), 1980 (0,4 пл.).

6. Малевинский М.Ф.Определение вероятностных характеристик линейных дискретных систем методом конечных элементов, НММ, МО СССР, вып.25(301),198б (0,25пл.).

7. Малевинский М.Ф. Минимаксная оценка при ограничениях на значения корреляционной функции ошибок измерений, НММ, МО СССР, вып.25(301), 1986 (0,3 пл.).

Технический редактор Т.В.Малахова Подписано в печать 29.10.2004. Формат 60 х 84 '/м-_ Бумага типографская № 1. Печать офсетная. Усл.печ.л. 2,0. Уч.-нзд.л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №/527. > Тверской государственный университет, ; Редакционно-издательское управление. Адрес: Россия, 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33. Тел. РИУ: (0822) 42-60-63.

19 !!0Я 2004 "

Введение

Глава 1. Показатели идентификации динамических систем.

1.1. Основные показатели контроля текущего состояния системы. Принципы оценки.

1.2. Принцип прогнозирования.

1.3. Постановка задачи оценки показателей идентификации динамических систем.

1.4. Принципы представления результатов идентификации на дисплее ПЭВМ.

Глава 2. Метод синтеза тестовых сигналов для идентификации динамических систем.

2.1. Постановка задачи синтеза тестовых сигналов в базисе ВВСФ.

2.2. Метод вычисления ВВСФ на основе полной проблемы собственных значений для симметрической матрицы.

2.3. Вычисление ВВСФ методом коллокации с использованием сплайнов произвольной степени

2.4. Вычисление ВВСФ с использованием эрмитовых сплайнов третьей степени.

2.5. Метод вычисления ВВСФ с использованием В-сплайнов.

2.6. Метод вычисления ВВСФ на основе ряда Котельникова.

Глава 3. Алгоритмы синтеза и характеристики тестового сигнала для идентификации динамических систем.

3.1. Алгоритм синтеза тестового сигнала.

3.2. Характеристики тестового сигнала, представимого в базисе ВВСФ

Глава 4. Методы оценки и прогнозирования весовых функций при идентификации динамических систем с сосредоточенными параметрами.

4.1. Оценка параметров весовой функции методом наименьших квадратов.

4.2. Оценка параметров весовой функции методом минимаксных квадратов.

4.3. Оценка параметров весовой функции при априорной неопределенности относительно значений корреляционной функции ошибок измерений.

4.4. Оценка параметров весовой функции системы, представимой нелинейным разностным уравнением.

4.5. Алгоритмы прогнозирования весовой функции системы.

Глава 5. Методы оценки весовых функций при идентификации систем с расределенными параметрами.

5.1. Оценка параметров весовой функции системы двумерным оператором статистического сглаживания.

5.2. Оценка параметров весовой функции системы байесовским оператором сглаживания.

5.3. Оценка параметров весовой функции методом максимума апостериорной вероятности.

5.4. Оценка параметров весовой функции статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности.

5.5. Оценка параметров весовых функций распределенных систем методом наименьших квадратов.

5.6. Оценка параметров весовой функции методом минимальных модулей

5.7. Оценка параметров весовой функции методом максиминного правдоподобия

5.8. Оценка весовой функции, основанная на применении линейного согласованного фильтра.

5.9. Оценка весовой функции нелинейным согласованным фильтром.

5.10. Оценка весовой функции системы нелинейным оператором Гаммерштейна.

5.11. Вероятностные характеристики параметров весовой функции системы, оцениваемые двумерным оператором статистического сглаживания.

5.12. Вероятностные характеристики параметров весовой функции системы, оцениваемые байесовским оператором сглаживания.

Одним из эффективных способов под держания сложных динамических систем в требуемом состоянии является совершенствование и развитие алгоритмического диагностического контроля показателей их функционирования (состояния). Под показателями контроля состояния динамических систем понимаются отклонения их основных-доминирующих и частных характеристик, оцененных (вычисленных) в конкретных текущих условиях от требуемых их значений, установленных для нормального штатного режима. Такие показатели характеризуют устойчивость, как необходимое качество систем. Они должны не только оцениваться, но и прогнозироваться непосредственно в процессе их функционирования в различных реальных условиях: детерминированных и/или при воздействии внешних и внутренних случайных факторов в том числе и при имитации ситуаций и объектов, на которые система должна реагировать в соответствии со своим назначением.

В диссертации показатели состояния оцениваются и прогнозируются для динамических систем, аксиоматически определяемых [1] множествами моментов времени -Т, состояний — X, мгновенных входных воздействий - U, допустимых входных воздействий - С1 = {со :Т С/} * 0, ПсГ, Q- замкнутое множество, множеством мгновенных значений выходных величин -Y, множеством выходных величин Г = {у: Т У}. Принципиальным при этом является то, что перед каждой системой ставится определенная цель, то есть контролю по показателям состояния подлежат целенаправленные динамические системы. В этих системах воздействия а> = {a>(t),a(t)} обусловливаются соответственно состояниями внешней среды и внутрисистемными факторами - параметрами a(t) = {aI(0,fl2(0v.fl/(0} • Текущее состояние системы определяется по соотношению x(t) = Т(/,/0,х(/0),&>(/), д(0), где t е Т, t > t0, t0 - начальный момент времени, x(t)~ траектория поведения системы на множестве Xпри {co(t),a(t)} е Q, rj(t) - случайные возмущения, ЧР - переходная функция состояния на X. ЧР-это основная характеристика системы, но она не наблюдаема в текущих условиях, так как априори принципиально невозможно полностью описать все множество альтернативных состояний системы и связей между ними, порождаемые возможными отклонениями параметров от их номинальных значений в процессе функционирования системы. Известно только, что для режима нормального функционирования должно иметь место выполнение условия а^ < a(t) < а^, иначе будет иметь место нештатный режим: "ВНИМАНИЕ " или "БРАК". При известных же x(t), co(t,tQ) можно было бы однозначно установить текущее состояние системы в зависимости от параметров a(t) = {a,^),^/),.,^/)} и при этом спрогнозировать состояние системы на момент tk>t>t0eT, а значит и установить выходные величины y(t) = (p(t,x(t),a(t)\co{t,t0)) как на текущий, так и на прогнозируемый моменты времени; ^-выходное отображение - оператор выхода. Но поскольку и X неизвестны, то текущее состояние системы можно оценить только по результату её реакции на известные входные воздействия. Так, если входное воздействие задать в виде одиночного кратковременного (широкополосного) сигнала, то оператор выхода будет представляться интегральным оператором, например, в виде оператора Дюамеля, Гаммерштейна, Вольтерра. Ядра этих операторов описывают полностью весовую (импульсную) функцию системы при конкретных, но априори неизвестных, её параметрах.

Очевидно, что весовая функция является основной определяющей характеристикой системы и она восстанавливаема в текущих условиях функционирования системы при заданном входном воздействии и наблюденной выходной величине. Затем для каждой выходной величины можно оценить такие статистические характеристики как математическое ожидание, авто и взаимную корреляционную функцию, центральный момент высшего порядка и интегральный закон распределения вероятностей; эти характеристики условные - вычисляются при известном входном воздействии и они, по отношению к весовой функции, являются частными.

Динамические системы описываются, в общем случае, нелинейными дифференциальными уравнениями. Заметим, что собственно выходная величина в условиях наличия случайных воздействий формируется в виде выборки измерений и описывается уравнением наблюдения, в котором непосредственно учитывается и весовая функция.

На основе результатов прогноза состояния системы должны реализовываться соответствующие воздействия-управления по поддержанию системы в штатном режиме. Однако такие целенаправленные воздействия в диссертации не рассматриваются, так как формирование их множеств и выбор соответствующего управления в текущих условиях составляет самостоятельную проблему - проблему оптимального управления динамическими системами.

Далее всюду будем исходить из учета зависимости y(t) = v(tMv0,x(t0),a(t)Mt),ri(t)), как уравнения наблюдения, которое представляется в пространстве сигналов -в пространстве входных и выходных величин при нахождении системы в состоянии x(t), характеризующимся вектором параметров a{t) ^ {ax{t),a2{t),.,a,(t)}. Из этой зависимости непосредственно следует возможность определения при контроле системы компонент вектора a(t) = {a^tXa^t),.,^^)} или, иначе, возможность определения параметров весовой функции системы и её частных характеристик при известных измеренных данных y(t) и априорных данных относительно x(tQ), co(t), ?j(t), что в целом составляет содержание задачи идентификации системы, причем идентификации как параметрической, так и непараметрической.

Сущность параметрической идентификации будет заключаться в представлении характеристик контролируемой системы в виде разложения в конечный ряд с неизвестными коэффициентами и точечном статистическом оценивании последних по измеренным данным на выходе системы в её текущем состоянии в условиях известных входных воздействий, аддитивно взаимодействующих с другими реально имеющими место внешними и внутренними воздействиями естественного происхождения.

При непараметрической идентификации будет осуществлено, при тех же условиях, восстановление характеристик системы как функциональных зависимостей из соответствующих пространств функций; при этом параметрическое представление искомых характеристик не вводится а учитываются только их свойства гладкости.

Очевидно при контроле - идентификации системы входные воздействия должны представлять смесь полезного сигнала &>(/) и помех rj(t), формироваться специальным образом и в том числе с модуляцией их параметров, чтобы удовлетворить условию сочленения входных воздействий [1,2], что возможно с использованием имитаторов.

В техническом плане динамические системы представляются совокупностью однотипных или разнотипных устройств, взаимосвязанных между собой согласно поставленным перед ними целям. Типы связей могут быть самыми различными: последовательными, параллельными, обратными, иерархическими и др. Системы могут быть с сосредоточенными или распределенными параметрами, линейными или нелинейными, непрерывными или дискретными и др. В качестве примеров систем здесь назовем систему автоматической стабилизации курса самолета, находящегося в условиях случайных воздействий вследствие флюктуаций ветра, плотности атмосферы, силы тяги и др. причин, систему стабилизации курса морского судна, подверженного случайным воздействиям из-за волнения моря, ветра, неравномерности течений и из-за других факторов, и автоматизированную систему управления продольным движением самолета, учитывающую изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления.

Типичными звеньями динамических автоматизированных систем являются информационно-измерительные устройства, вычислительные системы, системы передачи данных, средства отображения результатов функционирования и контроля системы. Каждое из них определяется своей весовой функцией и частными характеристиками, а значит, может быть оценено своими показателями текущего или прогнозированного состояний. Конкретно в диссертации изложены (наряду с методами восстановления весовой функции системы в целом) результаты оценки этих показателей для звена типа канала передачи информации.

Актуальность темы. К настоящему времени по проблемам теории и практики идентификации систем опубликовано достаточно большое число работ. Результаты этих работ, накопленные к 1984—1987 гг., изложены, например, в книгах Я. 3. Цыпкина, «Основы информационной теории идентификации» (М.: Наука, 1984, 320 е.), А.

A. Бессонова, Ю.В.Загашвили, А. С. Маркелова «Методы и средства идентификации динамических объектов» (JL: Энергоатомиздат, 1984,280 е.),

B.Я. Катковника «Непараметрическая идентификация» (М.: Наука, 1985, 336с), Ш.Е. Штейнберга «Идентификация в системах управления» (М.: Энергоатомиздат, 1987, 80 с.) и в «Справочнике по теории автоматического управления» под ред. А. А. Красовского (М.: Наука, 1987, 712 е.). В последующие годы была издана книга JI. Льюнга «Идентификация систем—теория для пользователя» (М.: Наука, 1991, 432 е.), перевод с английского под редакцией Я. 3. Цыпкина и опубликовано большое количество статей в различных научных журналах в нашей стране и за рубежом (их краткое содержание изложено в реферативном журнале ВИНИТИ за 1988—2003 гг. «Техническая кибернетика» в разделе «Теория кибернетических систем управления»).

В этих работах такие задачи идентификации динамических систем как формирование испытательного сигнала (ИС), оценка характеристик и параметров систем рассматриваются как независимые самостоятельные частные задачи.

Принципиальным моментом при идентификации систем является необходимость применения оптимального испытательного сигнала, обеспечивающего получение достоверной информации за минимальное время. Сигнал должен обладать свойствами практической финитности по спектру и на временном интервале. В известных работах таких сигналов не предложено. Например, в качестве испытательного предложено использовать сигнал в виде отрезка ряда Котельникова, имеющий ограниченный спектр с неограниченными по времени координатными функциями.

Используется в качестве испытательного сигнала дельта-функция, имеющая бесконечный спектр, но мгновенный импульс нельзя практически реализовать.

Испытательный сигнал, синтезированный на основе принципа максимума Понтрягина при ограничении амплитуды сигнала, представляется релейной функцией с неизвестными моментами переключений, которые вычисляются методами многомерной оптимизации. Но такой сигнал из-за сложности формы невозможно также практически реализовать.

Другие применяемые на практике испытательные сигналы являются мало информативными, то есть определяют узкий набор частных показателей идентификации и не определяют основную характеристику системы-ее оператор как весовую функцию.

Все существующие испытательные сигналы в должной мере не учитывают свойств динамической системы, для которой они применяются, и, следовательно, не обеспечивают оперативности и достоверности идентификации.

Вторым ключевым направлением при идентификации систем является оценивание их операторов по выходным данным при подаче на вход системы испытательных сигналов. Для линейных систем (непрерывных и дискретных ) в качестве характеристики оператора, представляющего систему, принимается ее весовая функция ( импульсная переходная функция). Для нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра или Гаммерштейна, в качестве весовой функции принимается набор их ядер.

Обычно в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной (идентифицируемой) системы и искомого оператора системы. Такой критерий справедлив в тех случаях , когда случайные входные воздействия распределены по нормальному закону с известными параметрами. Однако при статистической непараметрической идентификации, когда входные случайные воздействия должны формироваться с заданными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, то для этого потребуется большое количество реализаций. Поэтому вероятностные характеристики входного процесса реализуются с некоторыми погрешностями, границы которых можно оценить методами математической статистики. Кроме того, на практике, как правило, неизвестны значения корреляционных функций входных сигналов, а известны только границы их изменения.

Для этих условий актуальна постановка задачи идентификации по критерию минимаксной (максиминной) дисперсии ошибки в условиях априорной неопределенности о вероятностных характеристиках входных воздействий, обеспечивающего гарантированное значение дисперсии ошибки.

С другой стороны, как правило, известны математические ожидания (номинальные значения) и взаимные моменты второго порядка (разброса) отклонений весовых функций ( входных полезных сигналов фильтров статистической обработки ) от номинальных значений. В этом случае сужается область их определения. За счет учета этого может быть значительно повышена точность определения оператора идентифицируемой системы.

Поэтому задача идентификации динамических систем с учетом априорной информации о значениях весовых функций в минимаксной ( максиминной) постановках является актуальной. Это особенно важно для динамических систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности, например, экологически опасных систем, и систем, связанных с безопасностью человека.

Если система нелинейная или входные случайные воздействия не распределены по нормальному закону, то поиск оптимального оператора, обеспечивающего минимум среднеквадратического значения ошибки, должен осуществляться в классе нелинейных операторов, например, при представлении системы функциональным полиномом(оператором) Вольтерра. Полиномы Вольтерра нашли широкое применение для исследования нелинейных систем с полиномиальными нелинейностями и для которых используются временные и спектральные методы анализа линейных систем.

Однако применение полиномов Вольтерра ограничено при статистической непараметрической идентификации систем с сосредоточенными параметрами и особенно для систем с распределенными параметрами, из-за необходимости решения систем многомерных интегральных уравнений повышенной кратности для определения ядер, как функций от многих переменных.

Поэтому актуальной задачей является применение такого оператора при непараметрической идентификации нелинейных систем, для определения ядер которого не требуется вычисления многомерных интегралов повышенной кратности. Таким оператором является функциональный полином Гаммерштейна.

Таким образом возникает необходимость комплексного подхода к решению проблемы идентификации, как проблемы синтеза оптимального испытательного сигнала, разработки методов и алгоритмов определения оптимальных операторов линейных и нелинейных динамических систем, разработки программно-реализуемых на ПЭВМ алгоритмов, обеспечивающих достоверный и своевременный контроль состояния динамических систем в текущих условиях их функционирования.

Цель работы. Разработка математических методов, вычислительных алгоритмов и программ решения комплекса задач идентификации: оптимизации испытательного сигнала и формирования случайных входных воздействий; восстановления операторов линейных и нелинейных систем, наилучшим образом по заданным критериям, аппроксимирующих истинные (реальные) неизвестные операторы идентифицируемых систем; оценки параметров весовых функций линейных систем и ядер операторов Вольтерра или Гаммерштейна для нелинейных систем (параметрическая идентификация ); оценки вероятностных характеристик систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна; восстановления частотных характеристик систем (сигналов) по конечной временной выборке, содержащей случайные ошибки; создание библиотеки процедур и моделей для идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

На защиту выносятся следующие концепции- положения:

1.Комплексный подход к решению проблемы идентификации, заключающийся в совместной оптимизации испытательного сигнала и алгоритмов идентификации динамической системы.

В основу синтезирования испытательного сигнала принята концепция максимальной сосредоточенности его энергии по времени и спектру, практически финитного в частотной и временной областях, с использованием двух разработанных численных методов вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций (ВВСФ) .

В основу восстановления оператора нелинейной системы принята концепция параметрического оценивания ядер полинома Вольтерра для систем с сосредоточенными параметрами и непараметрического оценивания ядер полинома Гаммерштейна для систем с распределенными параметрами, для линейных и статистически линеаризованных по методу Казакова- Бутона систем- концепция представления их байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о параметрах нестационарного случайного полезного входного сигнала.

2.Концепция непараметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, основанная на минимизации среднего квадрата ошибки идентификации, при описании системы полиномом Гаммерштейна. Это обеспечивает оптимальность оценок при негауссовых входных случайных процессах.

3.Концепция непараметрического оценивания операторов линейных систем, основанная на минимаксимизации ( максиминимизации) критерия среднего значения квадрата ошибки идентификации байесовскими фильтрами с конечной памятью, учитывающими априорную информацию о первых двух статистических моментах параметров входного сигнала. Использование априорной информации об ограниченности областей допустимых значений входного полезного сигнала существенно повышает точность идентификации.

4.Концепция параметрического оценивания операторов нелинейных динамических систем, имеющих нелинейности с разрывами непрерывности производных нулевого и первого порядков, основанная на статистически линеаризованном методе максимума апостериорной вероятности.

5.Концепция оценки вероятностных характеристик случайных процессов на выходе динамических систем (дисперсий, высших моментов, корреляционных функций, функций правдоподобия и т.д.) по аналитическим выражениям без дополнительного статистического моделирования функционирования динамических систем.

6.Концепция аналитического высокоточного вычисления частотных характеристик динамических систем на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром при их аппроксимации сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова.

7.Концепция построения классов математических моделей в системе объектно-ориентированного программирования "Дельфи " на основе разработанной библиотеки процедур и моделей для исследования методов идентификации систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Научная новизна диссертации состоит:

1 .В синтезе испытательных сигналов в базисе ВВСФ, полученных в результате решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с сильно осциллирующим ядром, и с максимальными значениями коэффициентов подобия как собственных значений соответствующих ВВСФ.

Собственно синтез осуществляется по критерию минимизации среднеквадра-тической ошибки приближения единичного спектра линейной комбинацией ВВСФ с учетом требований по заданной энергии и согласованности с полосой пропускания частот идентифицируемой динамической системы.

Известные методы не обеспечивают формирования испытательных сигналов с максимальными значениями коэффициентов подобия при требовании их фи-нитности в частотной области и с заданной энергией во временной области.

2.В синтезировании оптимальных операторов линейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами при априорной неопределенности о пространственно-временных и частотных характеристиках внешних воздействий как условий функционирования, вызывающих дополнительные ошибки при формировании выборочных данных измерительными средствами идентифицируемой системы.

Синтез основан на доказательстве а)оптимальности операторов систем (весовых функций), описываемых байесовскими минимаксными (максиминными ) фильтрами с конечной памятью при учете ограничений на значения корреляционных функций ошибок выборочных данных. Доказательство построено на сведении задачи поиска условного минимакса (макси-мина ) к задаче минимизации квадратичной формы без ограничений на весовые функции. Ограничения по несмещенности на весовую функцию снимаются за счет представления полезного входного сигнала каноническим разложением со случайными коэффициентами, характеризующимися априори заданными математическими ожиданиями и взаимными центральными моментами второго порядка, а также за счет введения требования точного преобразования фильтром априорного математического ожидания, заложенного в его структуре.

Это теоретическое положение охватывает имеющееся решение 1 / аналогичной задачи, для случая, когда коэффициенты разложения имеют бесконечные дисперсии и нулевые взаимные моменты. б) оптимальности метода вычисления эффективных оценок параметров весовой функции по критерию максимума правдоподобия ( при нормальном законе распределения аддитивных ошибок измерений) посредством условной максимизации квадратичной формы с положительно определенной матрицей, при условии, что ошибки измерений ограничиваются заданными пределами второй составляющей ошибок, и последующем сведением задачи максимизации к полной проблеме собственных значений, легко реализуемой на ПЭВМ. Существующие же методы решения таких задач являются весьма трудоемкими для реализации на ПЭВМ. в) необходимого условия оптимальности весовой функции линейной системы с распределенными параметрами как двумерного согласованного фильтра. Доказательство основано на принципе построения согласованного фильтра по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы, приводящего к формированию двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода, решением которого является искомая оптимальная весовая функция. Установленное таким образом необходимое условие в форме интегрального уравнения является общим по отношению к существующим методам определения весовых функций линейных систем как согласованных фильтров.

3. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем с распределенными параметрами как нелинейных согласованных фильтров-обнаружителей тестовых сигналов.

Синтез основан на реализации критерия максимального отношения сигнал/шум на выходе динамической системы, представимой оператором Гам-мерштейна n-го порядка, и приводит к необходимым условиям оптимальности в виде системы двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которой должны удовлетворять ядра Гаммерштейна.

Полученные необходимые условия являются обобщением соответствующих условий для линейных согласованных фильтров, так как последние получаются как частный случай при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.

4. В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем, как сглаживающих фильтров, представимых двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка, по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки воспроизведения требуемого выходного сигнала идентифицируемой системы. Необходимые условия оптимальности оператора получены в форме системы п-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При этом уравнение Винера- Хопфа является частным случаем полученной системы при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.

5. В доказательстве эквивалентности по выходным значениям операторов Вольтерра и Гаммерштейна для нелинейных систем, содержащих в качестве линейного инерционного звена фильтр низких частот и безынерционное полиномиальное звено.

Замена полинома Вольтерра полиномом Гаммерштейна для таких систем позволяет проводить их синтез и вероятностный анализ без необходимости вычисления многомерных интегралов повышенной кратности.

6. В разработке методов аналитической оценки и прогнозирования вероятностных характеристик процессов на выходе линейных и нелинейных динамических систем, представимых интегральной (дискретной ) сверткой, дифференциальными уравнениями в пространстве состояний, операторами Вольтерра и Гаммерштейна.

Выведены аналитические выражения авто и взаимных корреляционных функций ошибок фильтрации для оптимальных линейных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью. В байесовском фильтре с нарастающей памятью (рекуррентном фильтре Калмана ) вычисляется ковариационная матрица оцениваемых параметров. Она не отражает вероятностную степень связи значений случайных ошибок в оценках параметров в различные моменты времени. В такой же мере эта вероятностная связь не учитывается и в формулах В. С. Пугачева, полученных для байесовского фильтра с конечной памятью.

Разработан сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик нелинейных систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, а также метод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Из сплайн-интерполяционного метода как частный случай следует интерполяционный метод В.И. Чернецкого, если интервалы существования случайных величин не разбивать на частичные подынтервалы. Применение сплайн-интерполяционного метода наиболее эффективно для расчета вероятностных характеристик динамических систем, нелинейности которых (как функции от случайных величин ) имеют разрывы непрерывности низких порядков и для несимметричных нелинейностей.

В интерполяционном методе статистические узлы выбираются только в зависимости от порядка аппроксимирующего полинома и плотностей распределений по всей области задания случайных величин, и поэтому в должной степени не учитываются динамические свойства системы. В методе локальных статистических узлов А.В.Поцелуева плотности распределений аппроксимируются трапециями, что может привести к большим погрешностям вычисления статистических узлов.

7. В разработке метода вычисления частотных характеристик (спектров сигналов, интегрального преобразования Фурье функций) по конечным выборкам весовых функций сигналов ), содержащих случайные ошибки.

Собственно вычисление сводится к решению интегрального уравнения Фред-гольма первого рода с сильно осциллирующим ядром и аппроксимации частотной характеристики в базисе сплайнов Лагранжа, ВВСФ и обобщенным рядом Котельникова. Принятые аппроксимации приводят к аналитическому вычислению интеграла интегрального уравнения и представлению последнего в виде линейной регрессии. При этом оценивание параметров регрессии производится фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью. Установлена оценка погрешности вычисления интеграла с сильно осциллирующим ядром, для которой выведено уточненное неравенство С.Н.Бернштейна для функций с финитным спектром и конечной энергией.

В существующих методах решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода интеграл заменяется какой-либо квадратурной формулой. При сильно осциллирующем ядре это потребует большого числа узлов.

Из предложенного метода вычисления интегралов как частный случай выводится известный метод Филона, в котором используются сплайны Лагранжа второй степени.

Обобщенный ряд Котельникова обеспечивает лучшую аппроксимацию функций и их спектров по сравнению с обычным рядом Котельникова.

8. В разработке проблемно- ориентированного комплекса вычислительных алгоритмов, программ и процедур для интеллектуальной поддержки принятия решений при идентификации систем.

Новизна состоит в разработке программ и процедур, приспособленных для непосредственной реализации в системе современного программирования " Дельфи для решения следующих задач : синтеза сигналов, расчета весовых функций оптимальных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, расчета вероятностных характеристик линейных и нелинейных систем, моделирования функционирования линейных и нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра и Гаммерштейна, для исследования алгоритмов идентификации.

9. В разработке метода точного вычисления распределения Стьюдента для любых значений к-степеней свободы. Новизна состоит в рекуррентном вычислении отношения гамма-функций в формуле распределения Стьюдента. Метод реализован в устройстве авторского свидетельства на изобретение. Распределение Стьюдента вычисляется через элементарные функции с помощью громоздких формул и при значениях к>20 заменяется нормальным законом, но нет оценки погрешности такой аппроксимации.

Изложенные теоретические положения в целом составляют вклад в теорию статистической параметрической и непараметрической идентификации линейных и нелинейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, в статистическую теорию анализа и синтеза оптимальных линейных и нелинейных систем, вероятностного анализа динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, в теорию интегральных уравнений в части решения однородного уравнения Фредгольма второго рода и уравнения Фредгольма первого рода с сильно осциллирующим ядром.

Практическая значимость. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для решения следующих практических задач:

1 .Расчета с потенциально высокой точностью оптимальных весовых функций систем с сосредоточенными и распределенными параметрами для линейных стационарных и нестационарных систем, представимых в интегральной и дискретной форме, по минимуму среднего значения квадрата ошибки преобразования, а также по минимаксному (максиминному) критерию и, для нелинейных стационарных систем, представимых оператором Гаммерштейна, при негауссовых входных случайных процессах.

2.Расчета весовых функций согласованных линейных фильтров, учитывающих априорную информацию о первых двух моментах коэффициентов нестационарной составляющей случайного полезного сигнала и нелинейных согласованных фильтров, представимых оператором Гаммерштейна, в условиях негауссовых помеховых воздействий и случайных полезных входных сигналов.

3.Расчета вероятностных характеристик ( математических ожиданий, моментов высших порядков, авто и взаимных корреляционных функций, плотностей распределений) выходных процессов нелинейных стохастических систем, представимых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна, сплайн-интерполяционным методом с определением статистических узлов интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

4,Оценки параметров траекторий движения объектов максиминным методом правдоподобия при их аппроксимации уравнениями линейных регрессий и статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности при аппроксимации траекторий уравнениями нелинейных регрессий. Прогнозирования траекторий движения объектов и расчета вероятностных ошибок прогнозирования по аналитическим выражениям.

5.Оценки текущего и прогнозируемого состояний систем передачи информации с применением синтезированного в базисе ВВСФ испытательного сигнала в аппаратно-программных комплексах контроля функционирования этих систем.

6.Вычисления частотных характеристик линейных стационарных динамических систем по весовым функциям, реставрации изображений, аналитического продолжения спектра изображения для его восстановления на основе решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с аппроксимацией искомых функций сплайнами Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова и аналитическим вычислением интеграла этого интегрального уравнения. Данный метод вычисления интегрального уравнения применим также для синтеза антенн (акустических, радиотелескопов и др.), для повышения разрешающей способности антенн, оценки энергетического спектра по функции автокорреляции, восстановлении сигналов и их спектров в оптике, в том числе и с аналитическим продолжением спектров.

7. Оценки доверительных интервалов для оцениваемых параметров весовых функций динамических систем с вычислением точных значений квантилей ( без привлечения таблиц и интерполяции ) интегрированием дифференциального уравнения первого порядка. Алгоритм вычисления квантилей для больших выборок (обратной функции Лапласа) реализован в устройстве, защищенным авторским свидетельством на изобретение, алгоритм вычисления доверительных интервалов для математических ожиданий при малых выборках реализован в устройстве, защищенным в другом авторском свидетельстве на изобретение.

Результаты диссертации используются при чтении лекций и проведении практических занятий со студентами по специальному курсу: "Методы и алгоритмы оценки параметров случайных процессов".

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на XIV Московской городской НТК, посвященной Дню Радио (Москва, 1988); на двух межотраслевых научно-производственных конференциях " Развитие и совершенствование телевизионной техники " (НИИТТ "Электрон" г. Львов, 1990-1991г.г.); на 1-12-ой ежегодных Всероссийских научно-технических конференциях "Современное телевидение" ( Москва; 1992-2004 г. г.); на НТК специалистов и молодых ученых "Развитие и совершенствование телевизионной техники" (НИИТТ " Электрон ", г. Львов, 1993) ; на двух Международных конференциях "Информационные технологии в проектировании", "Восток-Запад" (Москва, 1994,1996 г.г.); на Международной конференции " 100-летие начала использования ЭМ волн для передачи сообщений и зарождения РТ " (Москва, 1995); на 2-ой Международной конференции " Спутниковая связь " (Москва, 1996); на LII научной сессии, посвященной Дню Радио(РНТО РЭС им. Попова А.С., Москва, 1997); на 22nd Europen Meeting of Statistical, 7nd Vilnus Conference of Probability Theory and Mathematical Statistics (Вильнюс, 1998); на 3-м сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (1908-1989) ( Новосибирск, 1998); в Российском научном обществе исследования операций, ВЦ РАН (Москва, ^ 2001); на 4-ой Московской Международной конференции по исследованию операций (Москва,2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух монографиях издательства "Радио и связь", статья в иностранном журнале, в центральных научных журналах, в ведомственных научных журналах и научно-методических сборниках, в Трудах Межведомственных, Всероссийских и Меж-дународых конференций; в сборниках трудов Тверского государственного университета, в виде авторских свидетельств на изобретения. Список работ приведен в конце автореферата. Достоверность результатов основана:

-на корректности постановок задач, адекватно описывающих изучаемые физические процессы;

-строгом выводе необходимых условий оптимальности весовых функций фильтров обработки информации и аналитических выражений для вероятностных характеристик ошибок оцениваемых параметров;

-на реализации требований несмещенности и состоятельности оценок параметров;

-на доказательстве, что сплайн-интерполяционный метод дает лучшие по точности оценки математического ожидания и дисперсии для несимметричных и негладких (в том числе разрывных) нелинейностей по сравнению с интерполяционным методом Чернецкого;

-на оценке положительного вклада от использования априорной информации в точность оценок параметров весовых функций в зависимости от объема выборки;

-на установлении в результате сравнительного анализа повышенной точности оценок параметров, полученных в диссертации байесовскими фильтрами и методом наименьших квадратов;

-на оценивании параметров весовых функций динамических систем с доверительными вероятностями в диапазоне 0,95 <Р<0,999.

В основу постановки и решения проблемы идентификации приняты следующие исходные положения-данные:

1. Когда система находится в нормальном режиме функционирования, то считается, что её амплитудно-частотная характеристика аппроксимируется константой в пределах рабочей полосы пропускания частот и равна нулю—вне ее, а фазочастотная характеристика—линейной функцией. Иначе говоря, это приводит к следующим известным фактам: входной сигнал передается и обрабатывается без каких-либо искажений, справедлив принцип суперпозиции и выходной сигнал записывается во временной области сверткой вида I y(t)= jh(T)x(t-T)dr, t-T где х(т) - входной сигнал; hit) - весовая функция; Т—память системы.

Для пространственно-временного входного сигнала (двумерного поля, изображения) f(t,u,v), где и, v - пространственные координаты, значение выходного t* сигнала в момент времени t в точке {a, ff) через весовую функцию двумерной системы h(u,v) записывается в виде а Р z(t,a,p)= j \h(u,v)f(t,a-u,p-v)dudv, а-Т, Р-Ту где ТХ,ТУ- память двумерной системы.

Заметим, что для двумерных дискретных систем с целью облегчения их анализа в некоторых случаях от матричной записи сигналов будем переходить к векторной, что позволит выполнить анализ с использованием развитых для одномерных систем методов.

Пользуясь теперь условием равенства для неравенства Буняковского-Коши, имеем h(t) = kx(t-t0), а в частотной области Sy(ja>) = K(ja>)Sx(ja>)- для одномерной системы и S2Uax,jay) = K{j(ox, jcoy)Sf (jcox, j<oy)- для двумерной системы, где Sy(ja>), Sx(jco), Sz(ja>x,jcoy), Sf{jcox,jcoy)- спектральные плотности сигналов на выходе и входе системы;

K(jco) = ke~ia*° - частотная характеристика одномерной системы с АЧХ, равной к и ФЧХ - (-ja> ta), а для двумерной системы K{jcox,jcoy) = ке~1а'хе~]ЮуУ и (-jcoxx - j(oyy) соответственно.

Весовая функция одномерной системы к Sin2nF(t-t0) h{t) = л (t-t.) Л к Sin27rF {и -и ) Sm2nF (у- v ) а двумерной - h(u,v) =--jV oJ-—-2-, п (и-и0) Ф-VJ где F, Fx, Fy—верхние граничные частоты, t0, Uq, Vq - характеристики запаздывания систем.

Отсюда следует, что амплитудно-частотный спектр входного сигнала совпадает с АЧХ одномерной или двумерной системы. Это положение принимается в основу формирования одного из требований к испытательному сигналу в частотной области.

2. Если в процессе функционирования параметры и характеристики системы изменяют свои свойства и возникает рассогласование текущего состояния системы с входным испытательным сигналом, то сигнал на выходе естественным образом должен быть согласован с текущим, но априори неизвестным состоянием системы и нести информацию об этом. Установление и идентификация текущего состояния по выходному сигналу составляет обратную задачу относительно задачи формирования входного сигнала, согласованного с системой. Она заключается в восстановлении в ортогональном базисе и оценке параметров весовой функции Щ) по выражению t y(t) — \k(T)x(t-T)dT + 0(t), k(t) * h(t), t-T когда имеют место мешающие воздействия 0{t) и линейные искажения в системе, или в восстановлении ядер отрезка ряда Вольтерра совместно с коэффициентами нестационарности по выражению [3] t y(t) = bD(t) + kit) J*,(r,)*(f-г,)</г, + • • • + t-T t K(t)\--- \кп{тх,тг,.,тп)х(t - rt) • • • x(t - TjdTy •■■drn+ G{t), t-T t-T когда в системе возникают нелинейные искажения и её функционированию сопутствуют мешающие воздействия 0{t), которые считаем заранее неизвестными.

Теперь воспользуемся еще одним известным обстоятельством: динамическая система в исходном нормальном состоянии представляется идеальным фильтром низких частот с весовой функцией h(t), а в других состояниях—реальным фильтром низких частот с неизвестной весовой функцией k(t) или с неизвестной совокупностью ядер отрезка ряда Вольтерра kx(j\k2(jxj2),.,kn(tx,t2,.,tn) и коэффициентов нестационарности ba(t),bx(t),.,b„(t). Очевидно, что наибольшую трудность представляет решение второй из отмеченных обратных задач. Эта задача из-за необходимости вычисления многомерных интегралов и синтезирования входного сигнала, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям сосредоточения энергии на заданном отрезке времени Т, является очень сложной. Сложность задачи усиливается при программной ее реализации на ПЭВМ в реальном масштабе времени. 3. Для облегчения решения можно воспользоваться математической моделью системы в виде оператора Гаммерштейна. Переход к оператору Гаммерштейна обоснован, так как при отмеченном в п.2 представлении системы сигнал на её выходе полностью совпадает с сигналом на входе, когда эта система представляется в рассматриваемой исходной обратной задаче отрезком ряда Вольтерра. Отсюда следует, что ядра Вольтерра в ортогональном базисе функций пространства L2 (обозначим их i=0, N), должны быть представлены не многомерными суммами, а одномерными, т. е. N 0 N

К (j„T2) = Yu (Г1Ж (Т2 ) > 0 N кп(тх,т2,.тп) = • • • у/Хт„),

1=0 что значительно понижает порядок системы алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов Фурье ;. Точность решения исходной задачи в целом не ухудшается.

4. Наличие мешающих воздействий 0(t) обусловливает статистический характер обратной задачи, поэтому метод ее решения существенно зависит от полноты описания характера и частотно-временных параметров воздействий. В диссертации рассматриваются аддитивные флуктуационные, импульсные широкополосные и сосредоточенные узкополосные помехи. Статистические характеристики и основные параметры помех в процессе исследований были приняты по данным [4-10]. Согласно этим данным оказалось возможным представить помехи как аддитивные гауссовы и помехи, для которых могут быть установлены только диапазоны изменения энергетического параметра в полосе частот динамической системы.

5. Построение метода решения задачи идентификации должно осуществляться с учетом требований по частотно-временным характеристикам к входному испытательному сигналу, по достоверности, своевременности и полноте оценок характеристик текущего состояния контролируемой системы. Это, в свою очередь, вызывает необходимость восстановления соответствующего принципа оптимальности. Для его восстановления общая задача идентификации декомпозируется на две: задачу оптимального синтеза широкополосного импульсного входного испытательного сигнала и задачу оценивания параметров ядер Воль-терра как функций, представимых в ортогональном базисе пространства L2. При этом вводится допущение о том, что на интервале времени (t-T\ t) получения выборки измерений состояние системы не изменяется, изменение может иметь место при сдвиге интервала Г на временной оси. В результате искомый принцип оптимальности должен объединить отмеченные здесь требования, т. е. должен представляться объединением принципа неопределенности, принципа формирования общего вида функционала в Ьг на всевозможных линейных комбинациях базисных функций и принципа оптимальности Лагранжа.

6. Для отображения результатов решения задачи оценки показателей контроля состояния системы, как задачи идентификации, предполагается использование обобщенных и детальных дисплейных информационных моделей на автоматизированных рабочих местах операторов органа контроля и управления техническим состоянием динамической системы. Все необходимые данные для отображения определяются оцененными весовой функцией и частными характеристиками, либо оцененными ядрами отрезка ряда Вольтерра и частными характеристиками, либо оцененными оператором Гаммерштейна и частными характеристиками .

Дополнительно отметим, что в настоящее время в задачах идентификации наибольшее распространение получили алгебраические многочлены. Однако при применении таких многочленов для представления модели входного сигнала в задачах фильтрации и оценки параметров изображений имеют место следующие недостатки:

- для уменьшения динамической ошибки аппроксимации необходимо увеличивать степень полинома, а это приводит к увеличению дисперсии случайной ошибки аппроксимации, к трудности реализации на ЭВМ вычислений самих полиномов и коэффициентов аппроксимации;

- на апертуре фильтра во входном сигнале трудно учесть разрывы производных низких порядков.

Свободными от этих недостатков являются широко используемые в диссертации сплайны, так как они имеют следующие преимущества по сравнению с алгебраическими полиномами:

- матрицы коэффициентов систем линейных алгебраических уравнений, составленных для определения коэффициентов, являются слабо заполненными, что позволяет эффективно применять различные численные методы для их решения;

- обладают свойством локальности, то есть наличие особенности в какой-либо точке входного сигнала не влияет на поведение аппроксимирующего сплайна в целом;

- позволяют за счет адаптивного выбора опорных узлов уменьшить динамическую ошибку аппроксимации, не повышая степени сплайна; -применение сплайнов Лагранжа и оптимального выбора узлов интерполяции обеспечивает повышение точности расчета вероятностных характеристик сложных динамических систем с одновременным сокращением количества операций интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих систему, по сравнению со стандартным интерполяционным методом и методом статистических испытаний.

Разработанные методы и алгоритмы были внедрены в работе по созданию программного комплекса для проектирования автоматизированной системы контроля канала передачи телевизионной информации с использованием специальных испытательных сигналов. Это свидетельствует об универсальности и практической значимости полученных в диссертации результатов. Полученные результаты рекомендуются для использования в работах по прогнозированию технического состояния контролируемых динамических систем а также для разработки экспертной диагностической системы контроля как метрологической системы.

Эти результаты в совокупности составляют вклад в развитие научного направления идентификации и оценки показателей контроля текущего состояния систем при априорной неопределенности, они опережают достигнутый уровень в известных работах по близким проблемам отечественных и зарубежных авторов и определяют научную значимость выполненной работы.

Диссертация состоит из двенадцати глав, приложения к пятой главе, приложения к восьмой главе, заключения и списка литературы.

В первой главе формулируются принципы и показатели контроля состояния систем; приведены методы их идентификации.

Во второй главе сформулирована постановка задачи синтеза тестовых сигналов в базисе ВВСФ для контроля технического состояния систем. Показаны преимущества предложенного метода синтеза тестового сигнала перед существующими. Разработаны методы вычисления ВВСФ на основе ряда Котельнико-ва, сплайнов Лагранжа, В-сплайнов, эрмитовых сплайнов третьей степени и полной проблемы собственных значений для симметрической матрицы.

В третьей главе изложен вычислительный алгоритм синтеза тестовых сигналов по заданным частотно-временным параметрам. Приведены характеристики тестового сигнала, представимого линейной комбинацией ВВСФ.

Четвертая глава содержит методы оценки весовых функций линейных и нелинейных систем с сосредоточенными параметрами при различных условиях априорной неопределенности об ошибках измерений.

В пятой главе развиты методы оценки параметров весовых функций систем с распределенными параметрами двумерным оператором статистического сглаживания, двумерным байесовским оператором сглаживания, методом максимума апостериорной вероятности, статистически линеаризованным методом максимума апостериорной вероятности, максиминным методом правдоподобия, методом минимальных модулей, линейным и нелинейным согласованным фильтрами, нелинейным оператором Гаммерштейна. В этой главе получены аналитические выражения для расчета вероятностных характеристик ошибок оценок параметров весовых функций: дисперсии, взаимных моментов второго порядка, взаимных и автокорреляционных функций. Глава включает также приложение. В нем приведены методы решения уравнений оптимальной линейной фильтрации.

В шестой главе разработаны методы оценки временных и частотных характеристик контролируемых систем: переходной характеристики, амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, группового времени запаздывания.

В седьмой главе предложен метод расчета вероятностных характеристик: математического ожидания, центральных моментов высших порядков, корреляционных функций, интегрального закона распределения выходных процессов нелинейных динамических систем, представимых нелинейными дифференциальными уравнениями. Эти вероятностные характеристики рассчитываются с использованием сплайнов Лагранжа, что позволяет учитывать априорную информацию о свойствах контролируемой системы и входного процесса для оптимального выбора статистических узлов. При таком выборе узлов сокращается объем вычислений и повышается точность расчета вероятностных характеристик. В главе предложен также численный метод вычисления распределения Стьюдента, устойчивый при реализации на ПЭВМ к большим значениям степеней свободы. Разработанный метод вычисления статистических узлов на основе решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка может использоваться для произвольных законов распределения с конечными и бесконечными диапазонами изменения аргумента а также для формирования случайных чисел на ПЭВМ.

В восьмой главе изложены статистические методы восстановления спектров тестовых сигналов, частотных характеристик систем по конечной выборке во временной области. С использованием сплайнов Лагранжа, ряда Котельникова и ВВСФ задача восстановления частотных характеристик, спектров сигналов сведена к оценке параметров уравнений линейной регрессии. Оценка параметров производится фильтром Калмана и байесовским оператором сглаживания. В главе предложен обобщенный ряд Котельникова, обладающий лучшими ап-проксимационными свойствами по сравнению с обычным рядом Котельникова. В приложении к главе получена оценка погрешности интегрирования сильно осциллирующих функций с финитным спектром на основе сплайнов Лагранжа и Бернштейна. При этом уточнено фундаментальное неравенство Бернштейна для сигналов с конечной энергией.

В девятой главе приводятся два метода контрастирования перепадов на двумерных сигналах на основе линейного интегрального оператора дифференцирования входного поля. В одном методе в качестве весовой функции используется производная от функции типа синусх/х. В другом - весовая функция формируется в виде обратного преобразования Фурье от линейной комбинации В-сплайнов и-ой степени с равномерным расположением узлов в частотной области, интерполирующей моном со". В главе показано, что из предложенного фильтра в частном случае выводится фильтр низких частот.

В главе рассматриваются также вопросы определения геометрических характеристик объектов на тестовом двумерном поле. Приведена вычислительная схема расчета контуров объектов. Для аппроксимации контуров используются параметрические сплайны различных типов: кубические дефекта 1, кусочно-линейные, рациональные. С помощью этих сплайнов рассчитываются геометрические характеристики объекта: длина периметра, кривизна контура, радиус кривизны контура, площадь объекта, координаты геометрического центра объекта.

В главе приведены алгоритмы оценки параметров круга согласованной фильтрацией и оценки параметров круговых структур. Экстраполяция траектории движения геометрического центра круговой структуры производится с использованием полинома второй степени.

В десятой главе приведены вычислительные схемы алгоритмов оценки параметров весовых функций распределенных систем, вычисления ВВСФ. Вычислительные схемы написаны так, что по ним можно легко составить программы для ПЭВМ.

В одиннадцатой главе разработаны вычислительные алгоритмы оценки весовой функции, переходной характеристики и частотных характеристик контролируемой системы.

В двенадцатой главе содержится структура математической модели и результаты исследования показателей качества разработанных методов и алгоритмов контроля динамической системы типа канала передачи информации, изложены также алгоритмы отображения результатов контроля текущего состояния системы в виде четырех информационных моделей.

Таким образом, в целом в диссертации развита теория и созданы новые методы оценки показателей состояния динамических систем при контроле их текущего и прогнозируемого состояний, приведены результаты исследований по оценке показателей, характеризующие высокую эффективность разработанных методов.

1. Показатели контроля состояния динамических систем

Заключение

В диссертации автором разработаны теоретические основы обработки информации при идентификации динамических систем различного назначения, формализованы постановки конкретных задач обработки информации, обоснованы критерии качества методов обработки информации, разработаны методы и алгоритмы обработки информации, а также методы и алгоритмы поддержки принятия соответствующих решений по результатам идентификации динамических систем в текущих условиях их функционирования.

1 .Разработаны теоретические основы по обоснованию: -необходимого условия оптимальности весовой функции двумерного линейного согласованного фильтра обработки информации с целью обнаружения входных возмущений по критерию максимума отношения сигнал/ шум. Необходимое условие выведено в форме двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода с учетом априорной информации о математических ожиданиях и центральных корреляционных моментах второго порядка коэффициентов обобщенного полинома входного сигнала.

Показано, что это необходимое условие распространяется на случаи конструирования фильтров большей размерности, а при нулевых значениях центральных моментов из данного фильтра как частный случай следует обычный согласованный фильтр;

-необходимых условий оптимальности нелинейного согласованного двумерного фильтра обработки информации, представимого оператором Гаммерштейна n-го порядка, при обнаружении негауссовых случайных входных воздействий, характеризуемых одно и двумерными моментами до 2п-го порядков.

Собственно необходимые условия выведены по критерию максимума отношения сигнал/ шум на выходе фильтра и сформулированы для ядер Гаммерштейна в виде системы n-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.

Полученные таким образом необходимые условия охватывают известные теоретические положения линейной согласованной фильтрации при обработке информации по одномерным и двумерным входным воздействиям;

-необходимого условия оптимальности весовой функции двумерного дискретного байесовского фильтра обработки информации при идентификации динамических систем по критерию максимина среднего квадрата ошибки оценки параметров восстанавливаемой функции с учетом априорной информации о входном воздействии.

Необходимые условия выведены в форме системы нелинейных алгебраических уравнений, решение которой обеспечивает восстановление весовой функции с высокой, по сравнению с известными методами (Эльясберг, Куркин), точностью при малой выборке отсчетов и получение эффективных оценок параметров сигнала на выходе фильтра обработки информации.

-необходимых условий оптимальности весовых функций нелинейных фильтров обработки информации, представимых ядрами оператора Гаммерштейна, для идентификации нелинейных динамических систем с учетом одно и двумерных моментов до 2п-го порядков негауссовых тестовых входных воздействий. Необходимые условия оптимальности ядер Гаммерштейна выведены по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки идентификации в виде системы n-го порядка двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Они охватывают теоретические положения линейных стационарных фильтров обработки информации с конечной памятью а при степени равной единице оператора Гаммерштейна - уравнения Винера-Хопфа.

-высокоэффективных методов восстановления спектров тестовых сигналов, частотных характеристик идентифицируемых динамических систем по конечной выборке отсчетов на их выходе.

Восстановление спектров осуществляется как решение интегральных уравнений Фредгольма первого рода их аппроксимацией линейными комбинациями сплайнов Лагранжа, ВВСФ, обобщенным рядом Котельникова с неизвестными параметрами с последующим аналитическим вычислением интеграла с сильно осциллирующим ядром и определением параметров линейной комбинации в зависимости от условий получения выборочных данных методом коллокации, фильтром Калмана или байесовским фильтром с конечной памятью.

Реализованное в методе аналитическое взятие интеграла с сильно осциллирующим ядром по сравнению с любыми квадратурными формулами, даже с использованием густой сетки узлов, позволяет значительно повысить точность решения уравнения Фредгольма.

2. Осуществлена формализация критерия, его декомпозиция в проблеме обработки информации при идентификации систем. Сущность формализации критерия заключается во введении обобщенного функционала качества идентификации, определенного на декартовом произведении множества линейных комбинаций ВВСФ, входных случайных воздействий, метрик(мер) близости между оцененным и истинным операторами идентифицируемой системы и множества выборок на конечном отрезке времени.

При решении задач идентификации для конкретных динамических систем обобщенный функционал декомпозируется на критериальные функционалы качества синтеза оптимальных входных тестовых воздействий, двумерных фильтров обнаружения полезных тестовых сигналов входных воздействий и фильтров оценки параметров весовых функций идентифицируемых динамических систем.

Соответственно проблема идентификации декомпозируется на следующие задачи :

-синтеза оптимальных входных воздействий в виде аддитивной смеси тестового сигнала, согласованного с полосой пропускания частот динамической системы, случайных процессов с заданными корреляционными функциями, временных рядов с заданными плотностями распределений их коэффициентов;

-синтеза весовых функций двумерных линейных минимаксных (макси-минных) фильтров обработки информации; синтеза весовых функций линейных и нелинейных двумерных согласованных фильтров обработки информации; разработки методов оценки временных и частотных характеристик идентифицируемых динамических систем: переходной, амплитудно-частотной, фазово-частотной характеристик, группового времени запаздывания;

-разработки методов оценки вероятностных характеристик выходных процессов линейных оптимальных двумерных фильтров, операторов Вольтерра и Гаммерштейна обработки информации, вероятностных характеристик фазовых координат динамических систем, представимых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями (методов оценки математических ожиданий, центральных моментов высших порядков, корреляционных функций, интегральных законов распределений); -разработку программно-реализуемых методов отображения результатов идентификации на дисплеях ПЭВМ для принятия соответствующих решений.

3. В качестве критериев оценки параметров в зависимости от объема сведений о полезном сигнале (параметрах весовой функции системы) и помехах принимаются критерии в виде максимума отношения сигнал/ шум, минимума, максимина, минимакса среднего значения квадрата ошибки идентификации, максимума апостериорной плотности вероятностей, максимина функции правдоподобия. По приведенным критериям оптимизации рассмотренные задачи идентификации динамических систем относятся к классу задач оптимального управления при случайных факторах, так как в этих задачах определяемая весовая функция по существу представляет собой функцию управления.

Синтезирование испытательного сигнала осуществляется по критерию минимума среднеквадратической ошибки аппроксимации равномерного спектра в заданной полосе частот и при заданной величине энергии сигнала на конечном временном интервале; сигнал ищется в классе линейных комбинаций ВВСФ.

4. Для решения поставленных задач обработки информации в диссертации разработана соответствующая совокупность методов и алгоритмов. Эта совокупность включает:

-алгоритм синтеза оптимального испытательного сигнала в базисе ВВСФ, включающий два метода вычисления ВВСФ;

- максиминный и минимаксный байесовские фильтры с конечной памятью, учитывающие априорную информацию о коэффициентах нестационарной случайной составляющей входного полезного сигнала;

- максиминный метод максимума правдоподобия при априорной неопределенности относительно ошибок выборочных данных;

- статистически линеаризованный метод максимума апостериорной вероятности для систем, имеющих негладкие и разрывные безынерционные нелинейности;

- алгоритмы расчета переходной, частотной характеристик систем, оптимальных весовых функций одномерных двумерных дискретных байесовских фильтров с конечной памятью, геометрических характеристик объектов на изображениях с использованием сплайнов различных типов и степеней, оценки параметров траекторий движения геометрических центров объектов;

- сплайн-интерполяционный метод расчета вероятностных характеристик динамических систем, представимых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, операторами Вольтерра и Гаммерштейна;

- метод вычисления статистических узлов, квантилей интегральных законов распределений, формирования случайных величин с заданными плотностями распределений интегрированием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Результаты моделирования на ПЭВМ показали высокую эффективность разработанных методов и алгоритмов для идентификации систем. Так, для сложных условий функционирования динамической системы типа канала передачи информации, когда имеют место изменения его частотных и временных характеристик из-за воздействия различных факторов (помех, сбоев, неисправностей и др.) установлены следующие значения показателей качества методов: -точность оценок весовой функции-99,5%; -точность оценок переходной характеристики-(99-98,5); -точность оценок амплитудно-частотной характеристики-97%; -точность оценок фазо-частотной характеристики-97%; -точность оценок группового времени запаздывания-97%. 5. Для отображения на экране монитора ПЭВМ результатов идентификации динамической системы разработаны алгоритмы формирования и выдачи данных по оцененным весовой функции, переходной характеристике, АЧХ, ФЧХ, групповому времени запаздывания.

Результаты идентификации представляются в виде четырех информационных моделей.

Обобщенная информационная модель функционирует на этапе установки (смены, снятия) режимов контроля системы и отображает: -дату и время начала работы оператора с моделью идентификации системы;

-установленный режим контроля (оперативный, функциональный, периодический);

-таблицу контролируемых характеристик динамической системы и их краткие условные обозначения; -контролируемые характеристики;

-меню-перечень и назначение клавиш, с помощью которых оператор работает с моделью.

Информационная модель о текущем состоянии функционирует на этапе контроля текущего состояния системы по установленному режиму и отображает:

-дату и время проведения контроля; -режим контроля;

-таблицу контролируемых характеристик и их условные обозначения; -оцениваемые характеристики;

-обобщенное состояние: " ИСПРАВНА", "ВНИМАНИЕ", "БРАК"; -меню- перечень и назначение клавиш, с помощью которых оператор работает с моделью.

Информационная модель детальной информации по установленной характеристике отображает: -дату и время проведения контроля;

-характеристика системы, по которой проводится просмотр детальной информации;

-состояние системы по данной характеристике :"ИСПРАВНА", "ВНИМАНИЕ", "БРАК";

-таблицу уровней значений оцениваемой характеристики в контрольных точках во временной или частотной областях;

-вычисленные значения установленной характеристики в контрольных точках;

-меню-перечень и назначение клавиш, с помощью которых оператор работает с моделью.

Информационная модель графического изображения оцененной характеристики отображает: -установленную характеристику;

-график установленной характеристики во временной или частотной области;

-области значений нормального, допустимого и состояния брак функционирования системы по установленной характеристике; -состояние системы по установленной характеристике: "ИСПРАВНА", "ВНИМАНИЕ", "БРАК";

-меню-перечень и назначение клавиш, с помощью которых оператор работает с моделью.

Разработанные алгоритмы и информационные модели использовались в аппаратно-программном комплексе контроля текущего состояния динамической системы - телевизионного канала передачи информации.

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем, М.: Мир, 1971.

2. Вязгин В.А., Федоров В.В. Математические методы автоматизированного проектирования. М.: Высшая школа, 1989.

3. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. Пер. с англ., под ред. А.Ю. Ишлинского. М.: Мир, 1964.

4. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М.: Радио и связь, 1986.

5. Шерайзин С. М. Адаптивная коррекция и фильтрация телевизионного сигнала. М.: Радио и связь, 1987.

6. Обнаружение радиосигналов. Под ред. Колосова А. А. М.: Радио и связь, 1989.

7. Варакин JI. Е. Теория систем сигналов. М.: Сов. радио, 1978.

8. Правила эксплуатации магистральной и внутризоновой первичных сетей ЕАСС. Часть 4.—М.: Радио и связь, 1987.

9. Системы подвижной радиосвязи. Под ред. И. М. Пышкина. М.: Радио и связь, 1986.

10. Дворецкий И. М., Дриацкий И. Н. Цифровая передача сигналов звукового вещания. М.: Радио исвязь, 1987.

11. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления . М.: Машиностроение, 1968.

12. Абрамов О.В., Розенбаум А.Н. Прогнозирование состояния технических систем. М.: Наука, 1990.

13. Френке JI. Теория сигналов. М.: Сов. радио, 1974.

14. Ямпольский Э. М. Вариационные принципы согласования сигналов каналом связи. М.: Радио и связь, 1978.

15. Дворкович В. П. Оптимизация измерительных сигналов для оценки характеристик телевизионного канала// Радиотехника, 1988. № 2.

16. Лившиц К.М., Терпугов А.Ф. О выборе сигналов для идентификации линейных систем по методу наименьших квадратов // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, Мм, 1974, №5.

17. Лившиц К.М., Терпугов А.Ф. Идентификация линейных систем био-ртогональными функциями // Автоматика и телемеханика, 1974, №9.

18. ГришинВ.Н., Дятлов В.А., Милов Л.Т. Модели, алгоритмы и устройства идентификации сложных систем. Л.: Энергоатомиздат, 1985.

19. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989.

20. Хургин Я. И., Яковлев В. Н. Финитные функции в физике и технике. М. :Наука, 1971.

21. Виленчик Л. С., Катулев А. Н., Михно В. Н., Михно Г. А. Алгоритмические измерения в телевидении и радиовещании. М: Радио и связь, 1995.

22. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.

23. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

24. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976.

25. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

26. Льюнг Л. Идентификация систем теория для пользователя. М.: Наука, 1991.

27. Катулев А.Н., Малевинский М.Ф., Соломаха Г.М. Двумерный фильтр с конечной памятью и его вероятностные характеристики // Вестник РУДН. №1(11), 2002.

28. Лэннинг Д.Ж., Бэттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. М.: ИЛ, 1958.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

30. Ланкастер П.Л. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

31. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983.

32. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Минимаксный метод обработки изображений // Известия РАН Теория и системы управления , 2000.№ 2. 0,4 пл.

33. Малевинский М.Ф., Катулев А.Н., Кузнецов В.Н.,Соломаха Г.М. Двумерный полиномиальный фильтр // РАН Автоматика и телемеханика ,№ 9,2003. с.77-88.

34. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.

35. Основы автоматического управления. Под ред. B.C. Пугачева. М.: Наука, 1968.

36. Малевинский М.Ф, Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Ковариационная функция оценок фильтров Семенова и Калмана // Радиотехника, № ЗД991.с.З-5.

37. Давенпорт В.Б., Рут B.JI. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: ИЛ, 1960.

38. Крутько П.Д. Статистическая динамика импульсных систем. М.: Сов. Радио, 1963.

39. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.

40. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976.

41. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральные уравнения: методы алгоритмы программы справочное пособие. Киев, Наукова думка, 1986.

42. Поцелуев А.В. Статистический анализ и синтез сложных динамических систем. М.: Машиностроение, 1984.

43. Малевинский М.Ф, Катулев А.Н., Соломаха Г.М. Оценка точностных характеристик динамических систем на основе сплайнов Лагранжа // РАН.Известия Академии наук.Теория и системы упрвле-ния.№3,2002.с. 19-28.

44. Фаронов В.В. Программирование на персональных ЭВМ в среде ТУРБО-ПАСКАЛЬ. М.: МГТУ, 1991.

45. Малевинский М.Ф.,Виленчик Л.С.,Катулев А.Н. Метод восстановления спектра функции по конечной выборке // РАН РФ Автоматика и телемеханика, том LVIII, №6, 1997.0,7 пл.

46. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. М.:Наука,1977.

47. Березин И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений .Т. 1, 2 . М.-.Наука, 1966.

48. Анисимов Б. В., Курганов В. Д., Злобин В. К. Распознавание и цифровая обработка изображений. М.: Высшая школа, 1983.

49. Яншин В.В. Анализ и обработка изображений : принципы и алгоритмы. М.: Машиностроение , 1995.

50. Методы компьютерной обработки изображений. Под ред. В.А. Сой-фера. М.: Физматлит, 2003.

51. Воробьев В.И. Трибун В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. ВУС, С-Пб, 1999.

52. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.: Регулярная и хаотическая динамика, Ижевск, 2001.

53. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. // Успехи физических наук, Т. 171, №5, М.: Наука, 2001.

54. Бакут Б.А., Колмогоров Г.С., Ворновицкий И.Э. Сегментация изображений: методы пороговой обработки. // Зарубежная радиоэлектроника. 1987., № 10.

55. Денисов Д.А., Низовкин В.А. Сегментация изображений на ЭВМ //

56. Зарубежная радиоэлектроника, 1985, №10.

57. Дидэ Э. И др. Методы анализа данных. — М.: Финансы и статистика, 1985.

58. Виленчик JI.C., Катулев А.Н., Богданчук В.З. Методы оптимальной обработки информации в информационно-измерительных системах М.: Радио и связь, 1991.

59. Козлов М.В. Прохоров А.В. Введение в математическую статистику. М.: МГУ, 1987.

60. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Перевод с английского. Под редакцией Б.Р.Левина.М.: Сов.радио.1961.

61. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Колганов С.К. Идентификация каналов передачи информации: новые методы и алгоритмы. М.: Радио и связь, 1993.81 с.

62. Малевинский М.Ф., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Колганов С.К.

63. Идентификация каналов передачи информации, М.: Радио и связь, 1996. 100с.ч